53 GEOMETRIA ESPACIAL PIRÂMIDES

SAVE OFFLINE

25

GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

PIRÂMIDES

MATEMÁTICA II

PIRÂMIDE REGULAR Dizemos que uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do seu vértice V sobre o plano da base coincide com o centro do polígono da base. Exemplos:

h

Considere um polígono convexo A1A2...An contido em um plano α e um ponto V fora deste plano. Considere ainda todos os segmentos de reta com uma extremidade no polígono e a outra em V. A reunião desses segmentos é um poliedro que chamamos de pirâmide.

ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE

h

h

Pirâmide triangular regular

h

h

h

Pirâmide quadrangular regular

h

h

h

Pirâmide pentagonal regular

APÓTEMA DA PIRÂMIDE E APÓTEMA DA BASE Considere uma pirâmide regular, sendo M o ponto médio de uma das arestas da base.

Considere a pirâmide apresentada. Chamamos o ponto V de vértice da pirâmide; o polígono ABCDEF de base da pirâmide; as faces, com exceção da base, de faces laterais; as arestas que compõe a base de arestas da base e as demais arestas de arestas laterais. A distância do vértice V ao plano da base é chamada de altura da pirâmide. Cabe ressaltar que as faces laterais da pirâmide são sempre triangulares, e o somatório das áreas desses triângulos é chamado de área lateral.

NOMENCLATURA As pirâmides são nomeadas de acordo com o número de arestas de sua base. Exemplos:

Chamamos o segmento VM de apótema da pirâmide (Observe que VM é a altura da face lateral da pirâmide), e o segmento OM de apótema da base. Considere as medidas h como a altura da pirâmide, apir como medida do apótema da pirâmide, abase como a medida do apótema da base, b como medida da aresta da base, L a medida da aresta lateral e R o raio do círculo circunscrito à base. Observando a figura anterior, obtemos as seguintes relações por meio do teorema de Pitágoras. h2 + abase2 = apir2 apir2 + (b/2)2 = L2 h2 + R2 = L2

PRÉ-VESTIBULAR

PROENEM.COM.BR

77

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considere uma pirâmide hexagonal regular de altura 8 cm cuja aresta da base mede 6 cm. Dessa pirâmide, calcule:

VOLUME DA PIRÂMIDE O volume de uma pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base pela altura, ou seja:

V pirâmide =

a) o apótema da base; b) o apótema da pirâmide; c) a aresta lateral. Resolução: a) O apótema do hexágono pode ser calculado utilizando-se a seguinte relação:  3 , como nesse caso o lado da base mede 6 cm, 2 6 3 ab = 3 3 cm. temos:= 2 ab =

A base ⋅ h 3

Onde h é a altura. Como justificativa, considere um prisma triangular como o da figura abaixo. Esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares de mesmo volume. Assim, o volume de uma pirâmide triangular é 1/3 do volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura da pirâmide.

b) O apótema da pirâmide é calculado a partir do Teorema de Pitágoras. Dessa forma, temos: = ( apir )

( abase )

+ h2

= ( apir )

(3 3 )

+ 82

2 2

2

2

( a )= 27 + 64 ( a ) = 91

Divida o prisma ABCDEF na pirâmide triangular E-ABC e quadrangular E-ACFD. Em seguida, divida a pirâmide quadrangular em outras duas triangulares E–ACFD e E–AFD.

apir = 91 cm

Observemos que VE-ACF = VE-AFD , pois a distância de E à base ACFD é a mesma para as duas pirâmides, e as áreas de AFD e AFC são iguais, logo temos duas pirâmides com mesma área de base e mesma altura. Note ainda que VA-DEF = VE-ABC. Portanto, o prisma foi dividido em três pirâmides de mesmo volume, e assim, o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma que possui mesma área de base e mesma altura.

2

pir

2

pir

c) para calcularmos a aresta lateral faremos uso novamente do Teorema de Pitágoras: b +  2

= L2

(a )

L2 =

( 91)

2

pir

2

2

6 +  2

2

EXERCÍCIO RESOLVIDO

2 L= 91+ 9

02. A figura a seguir representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular.

L2 = 100 L = 10 cm

Sabendo-se que PQ mede 3 3 cm e que as faces laterais são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é:

PLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE REGULAR Ilustramos abaixo algumas planificações de pirâmides regulares: de base triangular, de base quadrangular e de base pentagonal.

Resolução:

ÁREA DA PIRÂMIDE Podemos concluir que a área total da pirâmide é a soma da área da base com sua área lateral. Atotal = Abase + Alateral Nas pirâmides regulares, temos que a área lateral é: Alateral = pbase . apirâmide Onde p é o semiperímetro e a é o apótema da pirâmide.

78

PROENEM.COM.BR

Primeiramente, é necessário sabermos que o volume de uma A ⋅h pirâmide é dado por V pirâmide = base . 3 Como a base é um quadrado de lado desconhecido a primeira coisa a se fazer é calcular este lado. Dado que as faces laterais são triângulos equiláteros temos o valor da altura destas faces (apótema da pirâmide) que mede 3 3 , assim calculamos:

 3 = 3 3 ⇒=  6 cm 2

PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

Com a medida do lado da base conseguimos obter a sua área, 36 cm². Para calcularmos o volume da pirâmide dependemos agora do valor da sua altura e podemos usar o fato de que o apótema da base, o apótema da pirâmide e a altura da pirâmide formam um triângulo retângulo, desse forma, fazemos uso do teorema de Pitágoras. h2 + abase2 = apir2 h2 + 32 = (3 3 )2 h2 + 9 = 27

EXERCÍCIOS

PROPOSTOS 01. (ENEM) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.

h2 = 18 h = 3 2 cm Agora basta aplicarmos todos os valores obtidos na fórmula do volume: ⋅h A V pirâmide = base 3 36 ⋅ 3 2 V pirâmide = 3 V pirâmide = 36 2 cm³

EXERCÍCIOS

PROTREINO 01. Determine a área total da superfície de uma pirâmide reta de altura 8 cm, cuja a base é um quadrado de lado 4 cm. 02. Calcule o volume de uma pirâmide que possui 4 cm de altura, cuja base é um triângulo equilátero de lado 3 cm.

b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptandose uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 02. (UERJ) Leia os quadrinhos:

03. Determine o valor da medida da aresta de um tetraedro regular sabendo que a área total de sua superfície vale 16 3  cm2 . 04.Observe a planificação de uma pirâmide:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-demão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm³, igual a: Sabendo que a medida da aresta da base vale 4 cm e o valor da altura é igual ao dobro do apótema da base, determine o volume dessa pirâmide

a) 12

05. Encontre o volume de uma pirâmide oblíqua de altura 7,4 dm e base retangular com lados medindo 5 dm e 9 dm.

d) 15

PRÉ-VESTIBULAR

b) 13 c) 14

PROENEM.COM.BR

79

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

03. (ENEM PPL) A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.

Os pontos A. B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são a) todos iguais. b) todos diferentes. c) três iguais e um diferente. d) apenas dois iguais. e) iguais dois a dois.

A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão a) 2y x2 +

y2 4

d) 4 x2 + y 4

2

b) 2y x2 +

y2 2

e) 4 x2 + y 2

2

07. (ENEM PPL) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.

c) 4y x2 + y2 04. (MACKENZIE) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que a) a altura é igual a 3 3 m. b) a altura é igual a 3 6 m. c) a altura é igual a 4,5 m. d) o volume é igual a

27 3 3 m. 2

e) o volume é igual a 18 2 m3 . 05. (ENEM) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico? a) Quadrados, apenas. b) Triângulos e quadrados, apenas. c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.

O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é a) 97,0.

d) 189,3.

b) 136,8.

e) 240,0.

c) 173,7. 08. (FUVEST) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1.

e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas. 06. (ENEM) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo, No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

Sendo G o ponto médio da altura EF e α a medida do ângulo AGB, então cos α vale: a) 1/2

d) 1/5

b) 1/3

e) 1/6

c) 1/4

80

PROENEM.COM.BR

PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES 09. (ENEM PPL) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.

11. (FUVEST) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) a 3 b) a 2

d) a 2 2

c) a 3 2

e) a 2 4

12. (UERJ) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais. Considere as seguintes medidas da pirâmide:

Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocandose pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.

•

altura = 9 cm;

•

aresta da base = 6 cm;

•

volume total = 108 cm³.

Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.

A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por d)

a)

e)

b)

O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³, é: a) 26 b) 24 c) 28

c)

d) 30 13. (UERJ) A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta da base mede b e sua aresta lateral mede h. 10. (FUVEST) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm.

Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume 1 da pirâmide ABCP seja exatamente do volume total do prisma. 9 Logo, a medida de AP é igual a: h 9

c) 2h 3

b) h 3

d) 5h 6

a) A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja 4 do volume da pirâmide SEFGH é igual a 3 a) 2 cm c) 6 cm e) 10 cm b) 4 cm

PRÉ-VESTIBULAR

d) 8 cm

PROENEM.COM.BR

81

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

14. (UERJ) Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD. mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M.

ˆ equivale a: O cosseno do ângulo AMD 1 2

c) 2 3

b) 1 3

d) 2 5

a)

15. (UNESP) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são: I.

Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;

18. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm³.

c) 192 cm³.

b) 189 cm³.

d) 216 cm³.

e) 540 cm³.

19. (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a 5 9

b)

4 9

1 3

d)

2 9

e)

1 9

II. Sua altura é de 140 metros.

a)

Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 104 m3, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,22 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,

20. (ENEM 2ª APLICAÇÃO) Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central.

a) 20. b) 30. c) 40. d) 50.

c)

Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.

e) 60. 16. (UECE) Assinale a opção que corresponde à medida da altura do tetraedro regular cuja medida da aresta é igual a 3 m. a)

2 6 m. 3

c)

6 m. 2

b)

6 m.

d)

6 m. 3

17. (UECE) Considere uma pirâmide regular hexagonal reta cuja medida da altura é 30 m e cuja base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 10 m. Desejando-se pintar todas as faces triangulares dessa pirâmide, a medida da área a ser pintada, em m² é a) 115 ⋅ 39. b) 150 ⋅ 39. c) 125 ⋅ 39. d) 140 ⋅ 39.

82

PROENEM.COM.BR

Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a a)

288

c)

328

b)

313

d)

400

e)

505

PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

EXERCÍCIOS DE 05.

APROFUNDAMENTO

01. (UERJ) A figura a seguir representa um objeto com a forma de um octaedro. Admita que suas arestas, feitas de arames fixados nos vértices, possuem os comprimentos indicados na tabela.

Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis ligando os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule: a) a distância percorrida pela formiga F1.

b) a distância percorrida pela formiga F2.

Calcule o menor comprimento do arame, em centímetros, necessário para construir esse objeto. 02. (FUVEST) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.

04. (FUVEST) Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e CD, respectivamente.

a) Determine a área do triângulo EFH. b) Calcule a área do quadrilátero EGIH. a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH. 05. (UNICAMP) A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos a, b e c.

03. (UNIFESP) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.

a) Determine o número de vértices e de arestas desse poliedro. b) Para a = 13 cm, b = 16 cm e c = 10 cm, calcule o volume desse poliedro.

PRÉ-VESTIBULAR

PROENEM.COM.BR

83

MATEMÁTICA II

25 GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. C

05. E

09. C

13. B

17. B

02. D

06. E

10. E

14. B

18. B

03. A

07. B

11. D

15. A

19. D

04. E

08. B

12. C

16. B

20. D

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 01. Perímetro = 134 cm 02. a) A = 3 b) V = 4 c) √61 d) AQ =

12 61 . 61

03. a) MN = 6 3  cm b) MN =

(3 + 3 ) · 3

04. a)  (EIH) =

cm 2  m

9 3 cm2 . 4

2 b) (EGIH) = 9cm .

c) V =

9 2 cm3 . 2

05. a) 9 vértices e 16 arestas. b) V = 2000 cm³.

ANOTAÇÕES

84

PROENEM.COM.BR

PRÉ-VESTIBULAR