55 GEOMETRIA ESPACIAL SEMELHANÇA DE SÓLIDOS E TRONCOS

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MATEMÁTICA II

GEOMETRIA ESPACIAL: SEMELHANÇA DE SÓLIDOS E TRONCOS

RAZÃO ENTRE ÁREAS E VOLUMES DE FIGURAS SEMELHANTES Dadas duas figuras semelhantes, é possível estabelecer a razão entre suas áreas e seus volumes através da razão de semelhança. Considere as figuras semelhantes abaixo, uma de altura h e a outra de altura H.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Duas estátuas são semelhantes, e a maior tem o dobro da altura da menor. Se a menor tem volume de 3 m³, determine o volume da estátua maior: a) 6 m³ b) 9 m³ c) 12 m³ d) 24 m³ e) 36 m³ Resolução: Como conhecemos a razão entre as alturas (razão linear), podemos obter facilmente a razão entre os volumes, veja:

h 1 = = e v 3 m² H 2 v h = V  H 

3

3

3  1 3 1 =   ⇒ = ⇒ V = 24 cm3 V 2 V 8 Observando que áreas e volumes são diretamente proporcionais à cada uma de suas dimensões, a razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança e a razão entre volumes de figuras semelhantes é o cubo da razão de semelhança. Podemos afirmar que a razão entre as áreas das figuras 1 e 2 é:

A1  h  = A2  H 

2

SEÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE Uma seção transversal de uma pirâmide ou de um cone é uma seção feita por um plano paralelo à base. Note que as regiões obtidas na seção, são semelhantes à região da sua respectiva base.

E a razão entre os volumes das figuras é:

V1  h  =  V2  H 

3

Exemplo: Considere 2 cubos, um de aresta 2 e outro de aresta 3.

Observe na figura, que a pirâmide e o cone de altura H foram seccionados por um plano paralelo à sua base, formando outro sólido semelhante de altura h. Considere a área da seção As, a área da base Ab e os volumes v e V para sólidos semelhantes de alturas h e H respectivamente. Temos então:

A razão entre as áreas totais é:

A1 6 ⋅ 22  2  = =   A2 6 ⋅ 32  4  A razão entre os volumes é: V1 23  2  = =   V2 33  3 

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3

2

As  h  = AB  H  v h =  V H

2

3

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TRONCOS Cabe ressaltar que ao seccionarmos uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo à base, obtemos dois sólidos: um semelhante ao original, como abordamos anteriormente, e um outro chamado tronco de pirâmide ou tronco de cone.

02. (UFU) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.

Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio da base maior R? Considere, nesses troncos, que as medidas das áreas de suas duas bases paralelas e semelhantes são dadas por AB e Ab e a medida de sua altura (distância entre as bases) dada por h. O volume do tronco é calculado por:

VTRONCO =

h ⋅ A b + AB + A b ⋅ AB 3

(

)

Podemos ainda obter, mais especificamente, que o volume de um tronco de cone, cujos raios das bases maior e menor são R e r respectivamente, pode ser dado por.

Vtronco=

a) 8,5

c) 8

b) 9

d) 7,5

Resolução:

1 da capacidade 4 do balde, temos que a capacidade do balde é igual a 4 · 0097πL = 0,388πL = 388π cm³.

Como 0,097π litros correspondem a 25% =

Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12 cm e o raio da base menor mede 3 cm, vem 12π 2 388π = (R + 3R + 32 ) ⇔ R2 + 3R − 88 =0 ⇒ R =8cm. 3

π ⋅h ⋅ (R2 + r 2 + R ⋅ r) 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. (UDESC) Um recipiente de uso culinário com 16 cm de altura possui o formato de um tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura.

01. Para obter um objeto de decoração, um artista plástico utiliza uma pirâmide de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice o artista deve cortá-la por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original: a) 2 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m

Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 20 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa.

e) 8 m Resolução: Usando as razões de semelhança podemos escrever: 3

v h 1  h  =  ⇒ =   V H 8  10 

3

Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros, temos: 1 h = ⇒ h= 5 m 2 10

( ) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária para enchê-lo totalmente. ( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm3 por segundo, então o tempo necessário para esvaziálo será superior a 20 segundos. ( ) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais 364π cm³ de água. A alternativa correta, de cima para baixo, é: a) V – F – F

d) F – F – V

b) F – V – F

e) V – V – F

c) F – V – V

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03. Obtenha o volume a área total do tronco de cone abaixo:

Resolução: Considere a figura.

Sabendo que AD = 16 cm e que o recipiente está com água até a metade da sua altura, segue que AE = ED = 8 cm. Além disso, como AC = 20 cm e EB é base média do triângulo ACD, vem AB = BC = 10 cm. Desse modo, BE = 6 cm e CD = 12 cm. Sabendo ainda que AO = DF = 2 cm, temos que o volume do recipiente é dado por 2 2 π ⋅ AD π ⋅ 16 2 ⋅ (BG + BG ⋅ AO + AO= ) ⋅ (142 + 14 ⋅ 2 + 2= ) 1216π cm3 . 3 3

04. Determine o volume de um tronco de cone reto, sabendo que a medida dos raios das bases são 30 cm e 20 cm e que a distância entre as bases é de 10 cm. 05. Um cone de 8 cm de altura é interceptado, a 3 cm de seu vértice, por um plano paralelo à sua base, determinando uma seção de área 36π. Determine a razão entre o menor e o maior cone.

Por outro lado, o volume de água no recipiente é 2 2 π ⋅ AE π⋅8 2 ⋅ (BG + BG ⋅ AO + AO )= ⋅ (8 + 8 ⋅ 2 + 22 )= 224 π cm3 . 3 3

Assim, a quantidade necessária de água para encher totalmente o recipiente é 1216π – 224π = 992π cm³. Portanto,

224 π 7 1 = ≠ . 992π 31 4

Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm³ por segundo, então o tempo necessário para esvaziá-lo 224 π 224 ⋅ 3 será ≅ = 24 > 20 s. 28 28 Para aumentar 4 cm o nível de água no recipiente, é necessário π⋅4 acrescentar mais ⋅ (112 + 11⋅ 8 + 82 )= 364 π cm3 de água. 3

EXERCÍCIOS

PROPOSTOS 01. (FAMERP) Um desodorante é vendido em duas embalagens de tamanhos diferentes, porém, de formatos matematicamente semelhantes. A figura indica algumas das medidas dessas embalagens.

EXERCÍCIOS

PROTREINO 01. Calcule a área total da superfície do tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas.

Se a capacidade da embalagem maior é de 100 mL, a capacidade da embalagem menor é de a) 64,0 mL. b) 48,6 mL. c) 56,4 mL. d) 80,0 mL. e) 51,2 mL. 02. (ACAFE) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8/27 do volume da pirâmide original. A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: a) fracionário.

02. Calcule a área total da superfície de um tronco de pirâmide triangular regular de bases paralelas, que possui arestas das bases medindo 16 cm e 4 cm e a aresta lateral medindo 10 cm.

b) primo. c) múltiplo de 3. d) quadrado perfeito. e) cubo perfeito.

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03. (UPF) Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base com 1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura 1 m, como representado na figura a seguir.

06. (INESPER) O rótulo de uma embalagem de suco concentrado sugere que o mesmo seja preparado na proporção de sete partes de água para uma parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar um copo desse suco, mas dispõe apenas de copos cônicos, mais precisamente na forma de cones circulares retos. Para seguir exatamente as instruções do rótulo, ele deve acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de suco até a) metade da altura.

d) seis sétimos da altura.

b) um sétimo de altura.

e) sete oitavos da altura.

c) um oitavo da altura.

Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 1/3 do seu volume por semana. Considerando a aproximação π ≅ 3 e sabendo que 1 dm3 = 1l esse vazamento é de:

07. (IFSUL) Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos igualmente a no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a 120° estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça.

a) 4.320 litros. b) 15,48 litros. c) 15.480 litros. d) 12.960 litros. e) 5.160 litros. 04. (UERJ) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm3/s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.

Suponha que cada “pata” do tetrápode tenha o formato ao abaixo. Considere também que se gasta 10% a mais do concreto utilizado nas 4 patas para “colar” as mesmas.

Qual é o volume total de concreto, aproximado, necessário para fazer esse tetrápode? (Use π = 3,1) a) 4 m3 b) 6 m3 Admitindo π ≅ 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: a)

h = 43 t

d)

h=4 t

b)

h = 23 t

e)

h = 2 t3

c)

h=2 t

05. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é a) R3 = 3r3

c) R3 = 2r3

b) R2 = 3r2

d) R2 = 2r2

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c) 10 m3 d) 12 m3 e) 13 m³ 08. (ESPM) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 ml b) 938 ml c) 742 ml d) 693 ml e) 567 ml

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27 GEOMETRIA ESPACIAL: SEMELHANÇA DE SÓLIDOS E TRONCOS 09. (ESPEX) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será R

óleo

12. (ENEM PPL) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos: •

copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;

•

copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

h água

Vtroncodecone =

πh 2 2 (R + r + Rr) 3

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, no mínimo, igual a Figura fora de escala

a) b) c)

7 h 2

d)

7 h 3

e)

3

3

3

3

23 h 2

3

23 h 3

a) 2,664 cm.

d) 14,824 cm.

b) 7,412 cm.

e) 19,840 cm.

c) 12,160 cm. 13. (UERJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

12 h 2

10. (UDESC) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. Para embrulhála, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, foi: a) 8 cm2 b) 168 cm

d) 68 cm2 2

e) 148 cm2

c) 80 cm2 11. (ENEM) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: a)

1 2

b)

3 4

c)

5 6

d) 7 8

14. (UERJ) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.

Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros.

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Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a a) 16

c) 20

b) 18

d) 22

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15. (MACKENZIE) Para construir um funil a partir de um disco de alumínio de centro O e raio R = 16 cm. retira-se do disco um setor circular de ângulo central θ = 225º. Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r = 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC e BD. O processo de construção do funil está representado nas figuras abaixo.

19. (MACKENZIE) Um frasco de perfume, que tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios 1 cm e 3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em um recipiente que tem a forma de um cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a figura.

A medida da altura do funil é a) 2 39 cm b)

15 39 cm 8

c)

55 cm 8

d) 2 55 cm e)

15 55 cm 8

16. (UFMS) Em uma padaria são produzidos bombons em formato de tronco de cone, conforme a figura a seguir:

Se d é a altura da parte não preenchida do recipiente cilíndrico e, adotando-se π = 3 o valor de d é: a)

10

b)

11

c)

6 6

d)

14

e)

13

6 6

12 6

20. (PUCCAMP) Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 1 metro, e a distância entre as bases igual a 1 metro. Um monumento foi construído justapondo-se esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das bases maiores, formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da superfície exposta do monumento é, em m². igual a a) 4 + 6 5.

d)

b) 8. Considerando R1 = 2 cm, R2 = 3 cm e H = 4 cm, qual o volume de cada bombom? a)

100π cm3 . 3

b) 52π cm3 . 3 76π c) cm3 . 3

d)

e) 95π cm3 . 3

17. (UDESC) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são, respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, então o volume do cone original é: a) 98π cm³

c) 13,5π cm³

b) 49π cm³

d) 62,5π cm³

e) 12 2 − 8.

c) 12 2 + 4.

95π cm3 . 3

16 . 3

EXERCÍCIOS DE 05.

APROFUNDAMENTO

01. (UNESP) Um cone circular reto de geratriz medindo 12 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S desse tronco de cone, obtido após a secção.

e) 76 π cm³

18. (UDESC) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm. Se o volume deste tronco é 35 cm³, então a altura da pirâmide que deu origem ao tronco é: a) 5 cm b)

5 cm 3

20 cm 3 d) 20 cm

c)

Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado na figura 1.

e) 30 cm

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27 GEOMETRIA ESPACIAL: SEMELHANÇA DE SÓLIDOS E TRONCOS 02. (UERJ) Um prisma triangular reto ABCDEF foi dividido em duas partes por um plano α, de acordo com a imagem abaixo. Os ângulos BAC e EDF das bases do prisma são retos, e o plano α contém os pontos A, B e G, sendo que G pertence à aresta CF e dista 4 cm de C.

04. (UEL) Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente de formato cônico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir.

Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade de sua capacidade? Despreze a espessura do material do qual é feito o recipiente. Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 05. (UNICAMP) Uma caixa d'água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa. Calcule o volume, em cm³, do maior sólido definido pela separação estabelecida no prisma pelo plano α. 03. (USF) Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura.

a) Qual o volume total da caixa d'água? b) Se a caixa contém o nível d'água?

13 3 m de água, a que altura de sua base está 6

GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. E

05. C

09. A

13. D

17. D

02. B

06. A

10. E

14. B

18. C

03. E

07. D

11. D

15. E

19. B

04. A

08. A

12. C

16. C

20. A

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO

Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade deste funil. Sabe-se que 5 L de xarope caseiro serão envasados. Determine o número mínimo de frascos necessários para o envase. (Use π ≅ 3,14).

01. O perímetro da superfície S é 12 · (π + 1) cm. A área da superfície S é igual a 36π cm². 112π 2  cm3 3 02. O volume do tronco de prisma ABGFDE é dado por 65 cm³. O volume do tronco de cone é

03. 9 frascos. 04. g = 30 3 4cm 05. a) b) 2 m

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21 3 m 4

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ANOTAÇÕES

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