Aula 2 - Geometria Analítica

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Cursos de Engenharia Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Aula 2

Prof. Dr. Rubens Carvalho

Logaritmos Um logaritmo e apenas uma maneira diferente de expressar uma relação exponencial entre números. 32 = 9 ↔ log 3 9 = 2 Lembre-se!  A base 𝑎 de um logaritmo log 𝑎 𝑏 pode ser qualquer numero maior do que zero e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1) . Você consegue explicar o por que?  Por convenção, se a base de um logaritmo for igual a 10, então você não precisa escreve-la, ou seja, em vez de log10 100 = 2, basta escrever log 100 = 2.  O logaritmo de um número na base 𝑒 ( 𝑒 ≈ 2,72 é conhecida como constante de Euler) é escrito como ln 𝑥 ao invés de log 𝑒 𝑥, ou seja, ln 5 significa log 𝑒 5.

“log de 9 na base 3 é igual a 2” Propriedades  log 𝑎 1 = 0  log 𝑎 𝑎 = 1  log 𝑎 𝑏. 𝑐 = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐



log 𝑎



log 𝑎 𝑏 =

= log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎

(propriedade bastante útil quando tiver que calcular o logaritmo de um número qualquer, utilizando uma calculadora) 



log 𝑎 𝑏𝑐 = 𝑐. log 𝑎 𝑏 (Não confunda com log 𝑎 𝑏 𝑐 . Cuidado!) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏

Fatoração Fatorar uma expressão algébrica significa que você deve escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples. No Cálculo, você irá constantemente precisar fatorar expressões algébricas do tipo: 5𝑥𝑦 + 10𝑦𝑧 ou 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 A seguir veremos alguns casos de fatoração que darão a você condições de fatorar grande parte das expressões algébricas. Fator comum A expressão algébrica 5𝑥 3 𝑦 4 + 10𝑥 2 𝑦 5 + 15𝑥 4 𝑦 3 𝑧 contém o fator comum 5𝑥 2 𝑦 3 e, portanto, ele pode ser colocado em sua forma fatorada: 5𝑥 2 𝑦 3 (𝑥 + 2𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑧)

Agrupamento A expressão (𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦) pode ser escrita na forma de um produto de expressões algébricas mais simples : 





Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦

Colocar em evidência o fator comum de cada grupo. 𝑎 𝑥+𝑦 +𝑏 𝑥+𝑦 Colocar o fator comum 𝑥 + 𝑦 evidência. 𝑥 + 𝑦 . (𝑎 + 𝑏)

em

Agrupamento Saber como fatorar quadrados e essencial:

a

diferença

Assim, obtemos a forma fatorada da expressão dada: de 3𝑥 + 4 3𝑥 − 4

Atenção 1!! Uma diferença de quadrados 2 2 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 (∗) 𝑎 − 𝑏 pode ser fatorada, mas uma soma de quadrados 𝑎2 + 𝑏2 NÃO Sempre que você puder reescrever uma pode! expressão na forma 2− 2 , Atenção 2!! Não confunda 𝑎 2 + 𝑏2 com (𝑎 + 𝑏)2 . é possível utilizar a equação (∗) para obter Soma e Diferença de cubos a sua forma fatorada. Por exemplo: 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 9𝑥 2 − 16 = 3𝑥 2 − 4 2

Trinômio quadrado perfeito 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Trinômio do segundo grau 𝑥 2 + 𝑆𝑥 + 𝑃

Um trinômio é quadrado perfeito quando:  dois de seus termos são quadrados perfeitos (𝑎2 e 𝑏2 ).  o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2𝑎𝑏).

Devemos procurar dois números 𝑎 e 𝑏 que tenham soma S = a + 𝑏 e ainda o produto P = a. 𝑏 de maneira que: 𝑥 2 + 𝑆𝑥 + 𝑃 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏

Por exemplo, 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥)2 +2. 𝑥. 3 + (3)2 = 𝑥+3 2 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = (2𝑥)2 −2.2𝑥. 1 + (1)2 = 2𝑥 − 1 2

Por exemplo: 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 𝑥 + 4 𝑥 − 2 Qual seria o resultado para 𝑥 2 − 7𝑥 + 10?

Trabalhando com Equações Quadráticas Uma equação quadrática pode ser colocada na forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais, com a ≠ 0. Você pode resolver de três modos diferentes: Modo 1: Fatoração



igualamos cada fator a zero 𝑥−6 =0 𝑥+1 =0

Então, essa equação apresenta duas soluções: 𝑥 = 6 e 𝑥 = −1

Para resolver a equação 𝑥 2 − 5𝑥 = 6 fazemos o seguinte: Modo 2: A fórmula quadrática 



passamos todos os termos para o lado esquerdo, igualando a zero 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0 fatoramos o primeiro membro da equação 𝑥 − 6 𝑥 + 1 =0

−𝑏 ± 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 𝑥= 2𝑎

Modo 3: Completando o quadrado Envolve criar um trinômio quadrado perfeito que você poderá usar para resolver uma equação quadrática.

𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 9 + 16 

Para resolver a equação 3𝑥 2 = 24𝑥 + 27, procedemos da seguinte maneira: 



coloque os termos que contém 𝑥 2 e 𝑥 de um lado e a constante do outro. 3𝑥 2 − 24𝑥 = 27



divida ambos os lados pelo coeficiente de 𝑥 2 . 𝑥 2 − 8𝑥 = 9 



“pegue” a metade do coeficiente de 𝑥, eleve ao quadrado e adicione o resultado nos dois lados da igualdade.

fatore o lado esquerdo (observe que o fator sempre contém o número encontrado no passo anterior [ -4 neste exemplo]) 𝑥 − 4 2 =25 extraia a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando de colocar o sinal de ± no lado direito da igualdade. 𝑥 − 4 2 = 25 𝑥 − 4 = ±5 Resolva. 𝑥 =4±5 𝑥 = 9 ou 𝑥 = −1

Não cometa os seguintes erros! 







Confundir − −𝑥 com − −𝑥 . Por exemplo: − −5 = −5, mas − −5 = 5. Confundir (−𝑥)2 com −(𝑥)2 . Por exemplo: (−3)2 = 9 mas −(3)2 = −9 Escrever − 𝑎 + 𝑏 como −𝑎 + 𝑏. Por exemplo: 2𝑥 + 1 − 𝑥 + 2 ≠ 2𝑥 + 1 − 𝑥 + 2 Concluir que se 𝑥 < 𝑎 então c𝑥 < 𝑐𝑎. Nesse caso, devemos tomar bastante cuidado, pois a conclusão acima só é valida se c > 0.



Escrever (𝑥 + 𝑎)2 como 𝑥 2 + 𝑎2 . 𝑐





Confundir 𝑎 𝑏 com (𝑎𝑏 )𝑐 . Por exemplo: 4 52 = 516 , mas (52 )4 = 52.4 = 58 Numa fração, cancelar uma parcela do numerador com uma do denominador. As simplificações a seguir ESTÃO INCORRETAS: 5𝑥 + 2 =5+2=7 𝑥 𝑥 2 + 5𝑥 + 2 5𝑥 + 2 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥+1

Exercícios de Equações de 2º Grau 1) Achar as raízes das equações utilizando pelo menos duas formas distintas.

2) O número -3 é a raiz da equação x2 - 7x 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c e da outra raiz:

a) x2 - 3x -4 = 0 b) x2 - 8x + 7 = 0 c) 5x2 - 3x - 2 = 0 d) x2 - 10x + 25 = 0 e) x2-2x-8= 0

3) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?

Trigonometria ..\trig-tour_pt_BR.html Identidade trigonométrica

sin2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

Teoremas da adição sin(𝜃 ± 𝛾) = sin 𝜃 cos 𝛾 ± cos 𝜃 sin 𝛾 cos(𝜃 ± 𝛾) = cos 𝜃 cos 𝛾 ∓ sin 𝜃 sin 𝛾

Funções Uma função fornece uma ligação entre duas variáveis: a variável independente (normalmente x) e a variável dependente (normalmente y). 𝑦 = f(x) Atividade em sala!!!

Funções

http://www.flashandmath.com/m athlets/calc/famplot/famplot.html

Atividade em casa!!!