GEOMETRIA ANALÍTICA NOTAS DE AULA 2015
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GEOMETRIA ANALÍTICA
NOTAS DE AULA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em 4 partes ou quadrantes.
Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo assim podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, ficando P determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P (x, y) onde x é abscissa e y é a ordenada de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do plano e os pares de números reais. Particularidades: a) O(0,0): origem do sistema cartesiano b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O.
Elementos: Ponto O: origem do sistema cartesiano Retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz. Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz.
Professora Marli
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Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y e z nos pontos Px, Py e Pz respectivamente. Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde: x = OPx: abscissa y = OPy: ordenada z = OPz: cota
Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do espaço e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas octantes.
Particularidades: a) O (0,0): origem do sistema. b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos coordenados. c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos coordenados. Exercícios: 1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo:
2) Representar graficamente os seguintes pontos: A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3) Professora Marli
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SISTEMA POLAR Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um referencial não-cartesiano. Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis, pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos.
0
sen 0
√
cos 1 √
√
√
1
0
0 -1
Sistema polar Consideremos uma reta orientada p de um plano. Esta reta e um ponto O p determinam o sistema polar.
O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares através do par ordenado P(,) onde: = OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. ( 0 < < 2): argumento, anomalia ou ângulo polar de P. Convenção: O argumento será considerado positivo se sua orientação for a do sentido anti-horário e negativo se no sentido horário. O raio polar é positivo quando assinalado no lado terminal de e negativo quando assinalado no seu prolongamento.
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Representação gráfica de pontos Na prática, utiliza-se o papel quadriculado polar no qual os raios das circunferências concêntricas aumentam de um em um centímetro, e os ângulos de 15 em 15 graus. Representar os pontos A(5, 30o), B(4, 150o), C(7, - 30o) e D(4, - 120o) e em seguida determine as coordenadas destes considerando o raio polar negativo.
Construir o gráfico de
0 2,0
150 1,9
30o 1,8
45o 1,7
60o 1,5
75o 1,2
90o 1,0
105o 120o 135o 150o 165o 180o 0,7 0,5 0,2 0,1 0,03 0,0
Esta curva é denominada cardioide e apresenta simetria em relação ao eixo polar
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pois
5
Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: Fazendo o eixo polar coincidir com o eixo cartesiano x e o polo com a origem, teremos:
Do triângulo retângulo OPxP obtém-se as relações:
Exemplos: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: a) A1,1 b) A0,10 c) x 2 y 2 4
d) ( x 2) 2 y 2 4
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6
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: a) P 3, 3
2 b) P 2, 3 c) 3
d)
4
e) 2sen
3) Esboce os gráficos: a) 2 4 cos - caracol 0 6 3 2 4 cos
2
2 3
5 6
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7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
7
b) 3sin 2 - Rosácea de quatro pétalas.
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Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:
a) A 3,3 3
b) B 3 3,3
c) x 2 y 2 3x 0
d) x 2 y 2 xy 5 e) x y 2 0
f) ( x 2 y 2 ) 2 3( x 2 y 2 )
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
a) P 2, 6
7 b) Q 2, 6
c) 2 k 2 sen 2
d) 2 cos2 2 2
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9
3) Representar graficamente: a) 2 0 0 6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
b) 2 2 cos - cardióide 0 6 3 2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3
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10
c)
2 4 cos
0 2 0 6 3
2
2 3
5 6
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7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
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SISTEMA CILÍNDRICO Consideremos em um plano um sistema polar, cujo polo é O e cujo eixo polar é p; além disso, um eixo z de origem O e ortogonal ao plano . Dado um ponto P do espaço, determinamos suas projeções ortogonais sobre o plano e sobre o eixo z, obtendo os pontos P’ e Pz respectivamente.
Assim o ponto P fica determinado no espaço por suas coordenadas cilíndricas através da terna ordenada P(,,z) onde: = OP’: distância polar de P, raio polar ou raio vetor de P. (0 < < 2): argumento de P, anomalia ou ângulo polar de P. z = OPz: cota de P.
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Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa:
Consideremos os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo x, o polo coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas
Do triângulo retângulo OPxP’ obtém-se as relações:
Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico:
1 1 a) A , ,2 2 2
b) B (0, 1, 3)
2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano:
2 a) A 6, ,2 3
b) B 1,330 ,
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SISTEMA ESFÉRICO Escolhido um ponto O (polo), uma reta orientada z (eixo polar) contendo O, um semiplano de bordo z, a posição de um ponto P 0 é caracterizada por três números , e que são suas coordenadas esféricas, onde:
= OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. : ângulo que o eixo z forma com OP. Colatitude ou distância zenital de P. : ângulo entre os semiplanos e . Longitude ou azimute de P. ( é o semiplano de bordo z que contém P). Para que um ponto corresponda a um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se fazer as seguintes restrições: ,
e
(VENTURI, 9ª ed. p.60)
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Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano e vice-versa: Fazemos coincidir o semiplano com o plano xOz. O ponto P tem projeções ortogonais sobre os eixos cartesianos em Px, Py e Pz. O ponto P’ é a projeção de P sobre o plano xy. coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas
Por construção, PxP = OP’. Do triângulo retângulo OPxP, obtém-se: PxP =
e
Do triângulo retângulo OPxP’, obtém-se: mas então
então
Cálculo de : Dos dois triângulos retângulos em destaque obtém-se:
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Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: a) A2,2,0
5 5 5 2 b) B , , 2 2 2 2) Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
a) P12, , 3 6 3 b) Q 5, , 2 2
3) Passar do sistema esférico para o sistema cilíndrico: 11 a) A 2 2 , , 4 6
4) Mostre que x 2 y 2 z 2 2
5) Se um ponto tem as coordenadas a seguir, encontre as coordenadas cartesianas e cilíndricas. a) 4,
6
b) 10,
,
3
3
,
4
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Grandezas escalares e vetoriais As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares são caracterizadas por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatura, etc. As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes: intensidade, direção e sentido, como por exemplo: a força, momento linear, velocidade, deslocamento, etc. Grandezas escalares • 50 kg de massa • 30 minutos • 15 m de comprimento Grandezas vetoriais Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30° com a reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita. Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a esquerda.
VETORES: Definições. Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta. B A Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto. Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB. Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento ou módulo. É indicado por AB .
O segmento nulo tem comprimento igual a zero. Segmentos opostos tem mesma medida. Professora Marli
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Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta. Segmentos equipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Representamos por AB ~ CD. Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v . Vetores iguais: AB CD se e somente se AB ~ CD. Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 0 .
Vetores opostos: se v AB o oposto é BA AB v . Vetor unitário: vetor de módulo um. v 1 . Versor de um vetor não nulo v , é um vetor unitário de mesma direção e mesmo v sentido de v . vers v . v Vetores colineares: tem mesma direção. Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo plano. Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor v é o ponto B que é a extremidade da imagem geométrica de v construída a partir de A.
Av B . v B A
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OPERAÇÕES COM VETORES Adição: Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor.
Dados os vetores u , v e w , obter graficamente: a) u w b) u v w c) u w d) w u e) u v w
w
v
Multiplicação de número real por vetor:
O produto de um número real k 0 por um vetor v 0 é um vetor p kv . O vetor kv tem mesma direção de v .
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Ângulo entre dois vetores O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo formado pelas semiretas OP e OQ e tal que 0 .
Observações: Se 0 , os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Se , os vetores têm a mesma direção e sentidos contrários. Se os vetores são ortogonais. Indicamos por u v . 2 O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. Se u v e k , então u kv . O ângulo formado pelos vetores u e v é o suplemento do ângulo de u e v .
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EXERCÍCIOS: 1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) DH BF
e) AC HF
b) AB HG
f ) | AG || DF |
c) AB CG
g ) BG // ED
d ) AF BC
h) AB, BC e CG são coplanares
i) AB, FG e EG são coplanares j ) EG, CB e HF são coplanares k ) AC, DB e FG são coplanares l ) AB, BG e CF são coplanares
m) AB, DC e CF são coplanares n) AE é ortogonal ao plano ABC
o) AB é ortogonal ao plano BCG p) DC é paralelo ao plano HEF.
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3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
a) AC CN
e) AC EO
i) MO NP
b) AB BD
f ) AM BL
j ) BC CB
c) AC DC
g ) AK AN
k ) LP PN NF
d ) AC AK
h) AO OE
l ) BL BN PB
4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
a) AB CG
d ) EG BC
b) BC DE
e) CG EH
c) BF EH
f ) EF FB
g ) AB AD AE h) EG DA FH
5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) EO OG b) AF CH c) DO HG d) C O O B e) H O H D
f ) H E OC g ) AC BD h) OA
1 DB 2
i) AF // CD j ) GF // HG
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k ) AO // OC l ) AB OH m) EO CB n) AO HF o) OB FE
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6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
b) EH FG
f ) 2OE 2OC 1 g ) BC EH 2
c) 2 AE 2 AF
h) FE FG
d ) EH EF
i) OG HO
e) EO BG
j ) AF FO AO
a) OC CH
7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se u v , então u v . b) Se u v , então u v . c) Se u // v , então u v . d) Se u v , então u // v . e) Se w u v , então w u v . w u v , então u , v e w são paralelos. f) g) Se AB DC , então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. h) 5v 5v 5 v . i) Os vetores 3v e 4v são paralelos e de mesmo sentido. j) Se u // v , u 2 e v 4 , então v 2u ou v 2u . v k) Se v 3 , o versor de 10v é . 3 8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
a) AD AB
b) BA DA
d ) AN BC
e) MD MB
c) AC BC 1 f ) BM DC 2
9. No hexágono regular ABCDEF, obter: a) AB FE AF
b) AD AE BE c) AE FE FD BD 10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor PA em função dos vetores PM e PN , sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que AN 3AM .
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11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores u e v de modo que o vetor u v seja bissetriz do ângulo por eles formado? 12. Sendo dados u v , u 4, u v 8 , calcule v e determine os ângulos que o vetor u v forma com u e com v respectivamente.
13. Os vetores u e v formam um ângulo de 60o. Sabe-se que u 8 e v 5 . Calcule u v e u v . 14.
Determine as somas que se pedem:
a) AD CD DH GC HB AG b) ED DB BF c) BF BG BC d ) HE EF FG BG BH e) AE EF FG GC
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RESPOSTAS: 1. a) V b) V k) V l) V
c) F m) F
d) V n) V
e) V o) V
f) V p) V
g) F q) V
h) V r) F
2. a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) F
h) F
i) V
j) V
k) V
l) F
m) V
n) V
o) V
p) V
c) AB
d) AO
3. a) AN
b) AD
g) AH
h) AI
4. a) AF
b) AE
i) AC
c) AH
e) AM
j) AC
d) AB
e) AH
k) AE
l) 0
f ) AF
g) AG
b) F
c) V
d) V
e) F
f) F
g) V
i) V
j) F
k) V
l) V
m) V
n) F
o) V
g) AH
b) AC c) AC h) AD i) AO
d) AB e) AO
j) V t) V
f) AK
5. a) V
6. a) AE
i) F s) V
h) AD
h) V
f ) AD
j) AC
7. V, F, F, V, F, V, F, V, F, V, V
8. a) AC b) CA c) AB d ) AM
e) MN
f ) BD
9. AD, AE, AB 12. 4 3, 30 , 60 13. 129 , 7 14. AC, EF, 2BG, 2BG, AC .
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VETORES NO 2 E NO 3 Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os vetores são relacionados com o referencial cartesiano. Decomposição de um vetor no plano:
Dados dois vetores v1 e v2 não colineares e um vetor v coplanar a eles, podemos obter v a partir de v1 e v2 (basta determinar vetores que tenham a mesma direção de v1 e v2 e que somados resultem v ).
v é combinação linear de v1 e v2 . O conjunto { v1 , v2 } é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois vetores não colineares forma uma base no plano. Os números a1 e a2 são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { v1 , v2 }. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por vetores unitários e ortogonais. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e ortogonais são simbolizados por i e j , ambos com origem na origem do sistema e
extremidades em 1,0 e 0,1 respectivamente. Base canônica i , j .
Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as componentes ou coordenadas de v na referida base.
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Vetor definido por dois pontos. Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor AB são calculadas pela diferença B A , temos o representante cuja origem está na origem do sistema. Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores AB e CD .
Igualdade de vetores: Dois vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y 2 . Operações com vetores: Sejam os vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 e . u v x1 x2 , y1 y 2 u x1 , y1 Paralelismo de dois vetores. Dois vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 são paralelos se existe um número real tal que u v x1 , y1 x2 , y2 x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 e y1 y2 x1 y1 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. x2 y 2 Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor paralelo também é nula. Módulo de um vetor Seja v x, y pelo teorema de Pitágoras temos que v x 2 y 2 A distância entre dois pontos Ax1 , y1 e Bx2 , y2 é o módulo do vetor AB .
d ( A, B) AB .
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Vetores no espaço
A base canônica no espaço é composta pelos vetores i , j e k representados com origem no ponto O.
Igualdade de vetores: Dois vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 x1 x2 , y1 y2 e z1 z 2 .
são
iguais
se
e
somente
se
Operações com vetores: Sejam os vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 e . u v x1 x2 , y1 y 2 , z1 z 2 u x1 , y1 , z1 Paralelismo de dois vetores. Dois vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 são paralelos se existe um número real tal que u v x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z 2 x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z 2 x1 x2 y1 y2 z1 z 2 x1 y1 z1 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são x2 y 2 z 2 proporcionais. Módulo de um vetor Seja v x, y, z pelo teorema de Pitágoras temos que v x 2 y 2 z 2 A distância entre dois pontos Ax1 , y1 , z1 e Bx2 , y2 , z 2 é o módulo do vetor AB .
d ( A, B) AB .
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EXERCÍCIOS: 1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular OA AB e 3BA 4CB . (-4,1), e (-5,-30) 2. Dados os vetores u 2,4, v 5,1 e w 12,6 , determinar a e b tais que w a u b v . a= -1 e b =2 3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores u 1,3 e v 2,1 , determinar: a) u c) 2u 3v b) u v d) d(A,B) 10 , 13 , 97 , 45
4. Calcular os valores de a para que o vetor u a,2 tenha módulo 4. a 2 3 3 1 5. Calcular os valores de a para que o vetor u a, seja unitário. a 2 2 3 4 6. Dado o vetor v 3,4 , calcular o versor de v e o versor de 2v . , 5 5 3 7. Em apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) Paralelo ao eixo dos x; b) Representado no eixo dos z; c) Paralelo ao plano xy; d) Paralelo ao plano yz; e) Ortogonal ao eixo dos y; f) Ortogonal ao eixo dos z; g) Ortogonal ao plano xy; h) Ortogonal ao plano xz. 8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que AP PB . 1 P 3,1, 2 9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor 7 4 4 v 3BA 2BC . , , 9 9 9 10. Seja o vetor v m 7 i m 2 j 5k . Calcular m para que v 38 . m 4 ou m 5 11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0). 2 11 3 12. Dado o vetor v 2,1,3 , determinar o paralelo a v que tenha: a) Sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ; (-6,3,9) 4 12 8 , , b) O mesmo sentido de v e módulo 4; 14 14 14 5 15 10 , , c) Sentido contrário ao de v e módulo 5. 14 14 14
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13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). P , (-5,-1,-4). 14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são AC 4,2,3 e BD 2,0,1 . Calcular as coordenadas dos outros três vértices. B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3). 2 1 1 , , são unitários. v é 15. Verificar se os vetores u 1,1,1 e v 6 6 6 unitário 16. Determinar o valor de a para que u a,2a,2a seja um versor. a 1 3 17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para 13 que v 7 , sendo v m AC BC . m 3 ou m 5 18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4, y,4), B(10,y,-2) e C(2,0,-4) seja equilátero. y 2 19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4). 20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que
AB 35 . m 3 ou m 1
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PRODUTO ESCALAR
O produto escalar dos vetores u e v , representado por u v ou u , v , é o número real dado por u v u v cos 0 u v 0 , indica que cos 0 é agudo ou nulo. u v 0 , indica que cos 0 é obtuso ou raso. u v 0 , quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais. Propriedades
Para quaisquer vetores u , v e w e o número real , valem as propriedades: I) Comutativa: u v v u II) Associativa em relação à multiplicação por u v u v u v III) Distributiva em relação à adição de vetores: u v w u v u w 2 u u u IV) 2 2 2 u v u 2u v v V)
escalar:
Expressão analítica do produto escalar
Sejam os vetores u x1i y1 j z1k e v x2 i y 2 j z 2 k . u v x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
1. Dados os vetores u 3i 5 j 8k e v 4i 2 j k , calcular u v . 14 2. Sendo u 2, v 3 e 120 o ângulo entre u e v , calcular u v e u v . 3. 4. 5. 6. 7.
3e 7 Dados os vetores u 1, a, 2a 1, v a, a 1,1 e w a,1,1 determinar o valor de a de modo que u v u v w a =2 Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor x tal que 2 x AB x BC AB AC . x 17,13,15 Mostrar que os vetores u 1,2,3 e v 4,5,2 são ortogonais. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices A2,3,1, B2,1,1 e C 2,2,2 é um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede
10cm. Calcular AB AC . 50 8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular
AB AC BA BC CA CB . 169
9. Qual o valor de x para que os vetores a xi 5 j 4k e b x 1i 2 j 4k sejam ortogonais? -3 ou 2 10. Dados os vetores a 2,1, x , b x 2,5,2 e c 2 x,8, x , determinar o valor de x para que o vetor a b seja ortogonal ao vetor c a . 3 ou -6
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Ângulo de dois vetores
Da definição u v u v cos temos: u v cos u v Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Seja o vetor não nulo v xi yj zk . Ângulos diretores de v são os ângulos , e que v forma com os vetores i , j e k .
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores.
x, y, z 1,0,0 v i cos v (1) v i x, y, z 0,1,0 v j cos v (1) v j
x v y v
x, y, z 0,0,1 z v k cos v (1) v v k
Os cossenos diretores de v são as componentes do seu versor: x, y, z x , y , z cos , cos , cos . v v v v v v Como o versor é um vetor unitário, temos:
cos2 cos2 cos2 1 1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. 45 2. Calcular os ângulos diretores de v 1,1,0 . 45 135 90 3. Os ângulos diretores de um vetor são 45 , 60 e . Determinar . 60 ou 120 4. Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j ângulos de 60 e 120 , respectivamente. Determinar o vetor v , sabendo que v 2 . 1,1, 2 5. Determinar o vetor v , sabendo que v 4 , v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60 com o vetor i e ângulo obtuso com j . 2,2 3,0
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Projeção de um vetor sobre outro.
Projeção do vetor v sobre o vetor u : proju v
Seja v1 a projeção do vetor v sobre o vetor u 0 e seja v2 u Sendo v1 // u temos: I) v1 k u e II) v v1 v2 Substituindo I em II:
v k u v2 Multiplicando escalarmente por u
u v k u u u v2
u v k u
2
0
u v k 2 u Substituindo k em I: u v v1 2 u u u v proj v u u u u
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar
O módulo do produto escalar dos vetores v e u , sendo u comprimento do vetor projeção de v sobre u .
unitário, representa o
Determinar o vetor projeção de u 1,2,3 na direção de v 2,1,2 .
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Exercícios: 1. Calcular n para que seja de 30 o ângulo entre os vetores u 1, n,2 e v j .
15
2. Determinar o vetor v , paralelo ao vetor u 1,1,2, tal que v u 18 . 3,3,6 3. Determinar o vetor v , sabendo que v 5 , v é ortogonal ao eixo Oz, v w 6 e w 2 j 3k . 4,3,0 1 1 11 1 4. Sabe-se que v 2, cos e cos . Determinar v . 1, , 2 4 2 2 5. O vetor v é ortogonal aos vetores u 2,1,3 e w 1,0,2 e forma ângulo agudo com o vetor j . Calcular v , sabendo que v 3 6 . 2,7,1 6. Determinar o vetor v , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v v1 10 e v v2 5 , sendo v1 2,3,1 e v2 1,1,2 . 1,4,0 7. Calcular o módulo dos vetores u v e u v , sabendo que u 4 , v 3 e o ângulo entre u e v é de 60 . 37 e 13 3 rad , determinar 8. Sabendo que u 2 , v 3 e o ângulo entre u e v é de 4 2u v u 2v . 26 15 2 9. Determinar u v u w v w , sabendo que u 2 , v 3 e w 5 . -9 10. O vetor v é ortogonal aos vetores a 1,2,0 e b 1,4,3 e forma ângulo agudo com o eixo Ox. Determinar v , sabendo que v 14 . 12,6,4 11. Calcule o ângulo formado pelos vetores v1 i 2 j 2k e v2 2i j 2k e determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores. 3 1 4 arc cos , ,0 9 10 10
12. Dados os vetores v1 1,2,2 e v2 2,3,1 , determine os vetores a e b tais que a b v1 , a // v2 e b v1 . a 9, 27 2 , 9 2 b 10, 23 2 , 13 2 13. Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos vetores u e v , sabendo que u a 2b , v a b , a 6 e b 2 .
arc cos
11 91 182
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14. Os vetores u e v são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam um ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo, 21 arc cos sabendo que u 4 e v 2 . 7
15. Dados os vetores u 0,1,1 e v 1,1,1 determine os vetores w , sabendo que w u u; w v v e w 5 . (1,2,0) e (1,0,2) 16. Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse vetor e o ângulo que ele forma com um vetor w j k .
1 6 6 v , , 30 4 4 2
2 17. Os vetores u e v formam um ângulo de rad. Sabe-se que u 4 e v 5 . 3 Calcule: a) 3u v 2u v 61 b) u v u v 61 c)2u 3v 2u 3v 161 18. Dados os vetores unitários u , v e w que satisfaçam a condição u v w 0 , calcule u v u w v w . –3/2 19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor MH , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1)
20. Determine u tal que u 2 , o ângulo entre u e v 1,1,0 seja de 45° e que u1,1,0 . 2 2 , , 1 2 2
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PRODUTO VETORIAL OU EXTERNO Estudaremos outro tipo de multiplicação entre vetores, o produto vetorial. Esse tipo de multiplicação foi descoberta pelo matemático e físico irlandês Sir William Rowan Hamilton em outubro de 1843. Hamilton trabalhou muitos anos tentando deduzir uma estrutura multiplicativa nas ternas ordenadas (x, y, z) de números reais, da mesma forma como fizera dez anos antes descrevendo os números complexos como pares ordenados de números reais com uma estrutura multiplicativa num trabalho apresentado à Real Academia Irlandesa. Os esforços de Hamilton culminaram em outubro de 1843 com a sua descoberta dos quatérnios, quádruplas ordenadas de números reais (t, x, y, z) com uma estrutura multiplicativa semelhante à dos números complexos. Tal estrutura, quando restrita às quádruplas da forma (1; x; y; z), coincide com a operação denominada produto vetorial. William Rowan Hamilton 1805-1865, Dublin Irlanda William Hamilton começou a estudar Matemática aos 13 anos de idade, lendo o tratado de Álgebra de M. Clairaut e, aos 15 anos, estudando os trabalhos de Newton e Laplace. Em 1822, ganhou a atenção dos astrônomos da Coroa Irlandesa ao descobrir um erro no tratado de Mecânica Celeste de Laplace. Aos 18 anos, ingressou no Trinity College, em Dublin, onde graduou-se com menções de honra. Apresentou diversos trabalhos na Real Academia Irlandesa versando sobre tópicos avançados de Geometria, Física e Astronomia. Deve-se a Hamilton a origem da palavra vetor. Definição:
O produto vetorial dos vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y2 , z 2 , nesta ordem, representado por u v ou u v , é o vetor: i j k u v x1 y1 z1 x2 y 2 z 2
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Propriedades: 1) u u 0 2) u v v u 3) mu v mu v u mv 4) u v w u v u w u 0 5) u v 0 u kv u 6) Direção : u v v 7) Sentido : u , v e u v formam um triedro positivo
2 2 2 2 8) Identidade de Lagrange: u v u v u v 9) Módulo : u v u v sen 10) Não é associativo : (u v ) w u (v w)
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u (2,1,3) e v (1,1,0) .
Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: a)
j 2i
b) 2i 3 j
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Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo determinado pelas imagens geométricas de dois vetores.
Exercícios:
1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u (3,1,2) e v (4,1,0) .
117 u.a. 2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 2 6 u.a. 3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo 1 29 de área . x 3 ou x 5 2 4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2a b e b a , sendo a (3,1,2) e b (1,0,3) . k (3,7,1), k 5. Sabendo que a 3, b 2 e 45 é o ângulo entre a e b , calcular a b . 3 6. Se a b 3 3 , a 3 e 60 é o ângulo entre a e b , calcular b . 2 7. Dados os vetores u (3,4,2) e v (2,1,1) , obter um vetor de módulo 3 que seja ao 1 6,3,15 mesmo tempo ortogonal aos vetores 2u v e u v .
30
8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 6 u.a. 9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da 3 35 altura relativa ao lado BC. u.c. 7 10. Dados os vetores u (0,1,1) , v (2,2,2) e w 1,1,2, determinar o vetor x , paralelo a w , que satisfaz à condição: x u v . 2,2,4 11. Determinar o valor de m para que o vetor w 1,2, m seja simultaneamente ortogonal aos vetores u (2,1,0) e v (1,3,1) . m 5
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12. Determinar u tal que u 3 3, u2,3,1 e u2,4,6 . Dos vetores determinados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o primeiro
a 2i 3 j 4k 9 13. Resolva o sistema . a i j k 2 i 2 k
14. Determine a tal que a i k 2 i j k
e
a i j k
a 6 .
(-1,2,1)
15. Determinar u v , sabendo que u v 12, u 13 e v 1 . u v 5
16. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u 2v e v u sendo u 3,2,0 e v 0,1,2 . Um deles é (-12,-18,9)
17. Dados os vetores u 3,1,2 e v 2,2,1 , calcular: a) área do paralelogramo determinado por u e v ;
3 10
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v .
10
18. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v , sabendo que 35 suas diagonais são u v 1,3,4 e u v 1,1,2 . 19. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1), B( 1,0,1) e C( 1,2,0).
h
7 5
20. Dado o vetor u 2,1,0 , determinar o vetor v ortogonal ao eixo Oz, sabendo que u v 6 e u v 2 . (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0)
21. Dado u 1,2,1 , determine um vetor v ortogonal ao eixo Ox tal que u v 1331 e que o vetor u v forme ângulos congruentes com os eixos Oy e Oz. v 0,11,11 22. São dados os vetores u 1,1,1, v 1,2,3 e w 26,6,8 . Determinar os vetores a e b , ortogonais entre si, sabendo que a é simultaneamente ortogonal aos vetores a 1,4,3 e b 25,10,5 u e v e que a b w . 23. É dado o vetor v 0,1,2 . Determine o vetor w ortogonal ao eixo Ox, sabendo que v w 12 e que v w 4 . (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5)
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PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u x1 , y1 , z1 , v x2 , y2 , z 2 e w x 3 , y3 , z 3 , nesta ordem, representado por u , v , w ou u , v , w é o número real u v w . x y1 z1 u , v , w x2 y 2 z 2 x3 y 3 z 3
Propriedades: Nulidade: u , v , w =0 quando: a) um vetor é nulo, b) dois vetores são paralelos, c) três vetores são coplanares. II) Cíclica: u, v, w = O produto misto independe da ordem circular dos vetores: v, w , u w , u, v Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos: u, v, w v, u, w . O produto misto não se altera se os sinais e forem permutados entre si. u v w u v w III) Associativa em relação à multiplicação por número real m u , v , w = mu , v , w = u , mv , w = u , v , mw I)
Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares?
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Módulo do produto misto:
u, v, w
u v
w
cos
é o ângulo formado pelos vetores u v e w
podendo ser agudo ou obtuso.
Interpretação geométrica do módulo do produto misto Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores u , v e w , representa o volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes vetores.
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EXERCÍCIOS:
1. Sabendo que u , w, x 2 e v , w, x 5 , calcular: a) u , x,w b) 3u ,3w,2 x c) 2u 4v , w, x a) 2 b) 36 c) 24 d ) 10
d ) 5u 3v ,2w, x
2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u 3,1,4, v 2,0,1 e w 2,1,5 . Calcular seu volume e a altura relativa à base 17 definida pelos vetores u e v . 17 e
30
3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v 1 0,1,2 , v2 4,2,1 e v3 3, m,2 seja igual a 33. Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2 . m 4 ou m 17 4 h 33 89 4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por AB, AC e AD seja 25 u. v. (0,0,-10) ou (0,0,15) 5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? V= 12 h= 9
6. Sabendo que os vetores AB 2,1,4, AC m,1,3 e AD 3,1,2 determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2 7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: a) u 2,1, k , v 1,0,2 e w k ,3, k k 6 b) u 2, k ,1, v 1,2, k e w 3,0,3 k 2 ou k 3
8. Mostre que u v , v w, u w 2u , v , w . 9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares? m=4 10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 2,1,0, v2 6, m,2 e v3 4,0,1 seja igual a 10. 6 ou -4 11. Os vetores a 2,1,3, b 1,1,4 e c (m 1, m,1) determinam um 8 paralelepípedo de volume 42. Calcular m. m 2, m 3 12. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD . 6 ou 2
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13. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D. 2 e
12 3
14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A. 4 e
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8 10
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A RETA Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção. A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor). Equações: Seja r uma reta que passa pelo ponto A ( x1 , y1 , z1 ) e tem a direção do vetor não nulo v (a, b, c) . Para que um ponto P ( x, y, z ) do espaço pertença à reta é necessário que os vetores AP e v sejam paralelos. AP t v , t P At v P Atv Substituindo P ( x, y, z ) , A ( x1 , y1 , z1 ) e v (a, b, c) , temos a equação vetorial da reta. Equação vetorial da reta: ( x, y, z) ( x1 , y1 , z1 ) t (a, b, c) . Ex.: r : P (1,0,4) t (1,3,5)
Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim x x1 at as equações paramétricas da reta y y1 bt . z z ct 1
x 2 3t Ex.: y 4t z 2t 1 Equações simétricas da reta:
Ex.: r :
x x1 y y1 z z1 a b c
x 3 y 21 z 2 5 3
Equações reduzidas da reta:
y mx n z px q
x my n z py q
x mz n y pz q
P(0, n, q)
P(n,0, q)
P(n, q,0)
v (1, m, p)
v (m,1, p)
v (m, p,1)
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Exercícios: 1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas:
x 2t a) y 1 2t z 2t
x 2 z c) y 1 2z xy e) z 1 y
b)
x4 y z 1 2 1 2
y 1 3x d) z 2 4 x f) x y z
2. Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,0) e tem a direção do vetor v (3,4,1) . 3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1). 4. Verificar se os pontos A(3,-1,1) e B(2,1,3) pertencem à reta r :
A r e B r
x 3 y 1 z 1 . 2 1 2
x 2t 5. Determine o ponto da reta r : y 1 2t que tem abscissa 2. P(2,1,1) z 2t 6. Determinar as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta que passa y 2x 8 5 pelos pontos A(4,0,-3) e tem a direção do vetor v 2i 4 j 5k . z x 13 2 7. Determinar as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que passa 1 5 x 2 z 2 pelos pontos A(-1,0,3) e B(1,2,7). 1 3 z x 2 2
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Casos particulares Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou duas destas componentes podem ser iguais a zero. 1° caso: Uma das componentes do vetor é nula. O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano dos outros dois eixos.
a) Se a 0, v (0, b, c) Ox r // yOz y y1 z z1 b c x x1
y 1 z 4 Ex.: 2 3 x2
b) Se b 0, v (a,0, c) Oy r // xOz x x1 z z1 a c y y 1
x 2 z Ex.: 3 5 y 3 c) Se c 0, v (a, b,0) Oz r // xOy x x1 y y1 a b z z1 x y 3 Ex.: , z 8 3 2
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2° caso: Duas componentes do vetor são nulas. O vetor tem a direção de um dos vetores i , j ou k e, portanto a reta é paralela a um dos eixos coordenados.
a) Se a b 0, v (0,0, c) // k r // Oz ou r xOy x x1 x x1 y y1 y y1 z z ct 1
x 2 Ex.: y 3
b) Se a c 0, v (0, b,0) // j r // Oy ou r xOz
x x1 x x1 y y1 bt z z1 zz 1
x 3 Ex.: z 4
c) Se b c 0, v (a,0,0) // i r // Ox ou r yOz x x1 at y y1 y y1 z z1 zz 1
y 1 Ex.: z 3
Os eixos coordenados são retas particulares. y 0 x 0 x 0 Ox : Oy : Oz : z 0 z 0 y 0
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EXERCÍCIOS: 1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: y 1 x 2 z 4 c) a) 3 5 z5 y 3 x 5 y d) y 2 z 1 b) z 2 x 2. Determinar as equações das seguintes retas: a) Passa por A(1,4,-3) e é paralela ao eixo dos x;
b) Passa por A(4.-6,2) e é perpendicular ao plano xz;
c) Passa por A(1,2,-3) e é ortogonal aos eixos dos x e dos y;
d) Passa pelos pontos A(2,-3,4) e B(2,-1,3).
y 2x x3 3. Representar graficamente as retas r : e s: . z 3 y 4
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Ângulo de duas retas É o menor ângulo formado pelos vetores diretores. v1 v2 cos , 0 2 v1 v2
Exercícios: 1. Determinar o ângulo entre as seguintes retas: y 1 2 x y z 1 ; x 2 . 30º a) r : e s: 3 3 z 2 x
x 2 2t x y 6 z 1 b) r : e s : y 2t . 60º 4 2 2 z 3 4t
2. Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas y nx 5 x2 y4 z r: e s: . 7 ou 1 4 5 3 z 2x 2
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Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas.
Se r1 // r2 então v1 // v2 v1 kv2
Se r1 r2 então v1 v2 v1 v2 0
Se r1 é coplanar a r2 então v1 , v2 e A1 A2 são coplanares v1, v2 , A1 A2 0 .
Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares. v1 v2 0 e v1, v2 , A1 A2 0
Reta ortogonal a duas retas r1 Se r v k v1 v2 r2
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Exercícios: x 3t x 5 y 1 1. Calcular o valor de m para que as retas r : y 3 t e s : ;z6 6 m z4 sejam paralelas. m = - 2 2. Determinar as equações reduzidas, em função de x, da reta que passa pelo ponto y 4x 9 x2 y4 z A(-2,1,0) e é paralela à reta r : . s: 1 4 1 z x 2
y mx 3 3. Calcular o valor de m para que a reta s : seja ortogonal à reta z x 1 3 determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-2,2m,2m). m 1 m 2 y 2x 3 x 1 y z 4. Calcular o valor de m para que as retas r : e s: 2 1 m z 3x 1 sejam coplanares. m = 4 5. Calcular o ponto de interseção das retas: x 5t x2 y z 5 a) r : e s : y 2 t ; I(4,3,9) 2 3 4 z 7 2t
y 5 x 1 z 5 ; y 5 . I(1,-5,5) b) r : e s: 2 3 z 4x 1 x 3t y 2x y 3 z 1 ; x 2, s : 6. Dadas as retas r : e h : y 1 3t , 2 2 z x 3 z t determinar: a) O ponto de interseção de s e h; I(2,4,-1) 3 b) O ângulo entre r e s. arccos 6 7. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é x 3 t x 3 y 2 x 1 simultaneamente ortogonal às retas r : e s: . h: y 2 z 1 z x 3 z 1 t 8. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção x 1 y y 1 z e s: das retas r : x 2 e é simultaneamente ortogonal 2 3 z 2 2 y
x 2t às retas r e s. h : y 1 5t z 3t
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51
Exercícios gerais:
1. a) b) c)
x 2t Dada a reta r : y 3 t , determinar o ponto de r tal que: z 4 2t a ordenada seja 6; (-1,6,-10) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16)
2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar P. P(2,1,9) 3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t 4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t 5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta: a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5 6. Representar graficamente as retas de equações:
y 2x a) z 3
y4 b) z 2x
y 3 c) z 1
x3 d) y 4
x 1 t 7. Dada a reta r : y t e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r z t eqüidistante de A e B. P(1,0 0) 8. Verifique se as retas r : P 0,1,0 t 1,2,0 e s :
x 1 z 1 y 1 são 2 3
perpendiculares.
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52
9. Determine o ângulo entre as retas:
x 3t z 5 ; 60° a) r : y 2 t e s : x 2 y 3 2 z 2t
x 2 x 1 3 z z3 b) r : 3 e s: 2 . y 0 y0
45°
10. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de x 1 y y 1 z r:x2 e s: e é simultaneamente ortogonal a elas. 2 3 z 2 2 y x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t 11. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de interseção.
y 2x 3 y 3x 7 a) r : I(2,1,3) e s z x 5 z x 1 x 1 t x 3 y 1 z 2 b) r : e s: y 4t 2 3 4 z 8 3t
I(1,2,-2)
y 2x 3 y 4 z 1 e s:x c) r : reversas 3 2 z x 10 x 2t x 3 6h d) r : y 3 5t e s : y 1 7h I(3,8,12) z 6 6t z 1 13h x 2 t y 6 x e) r : y 4 t e s : z 2 x z t
coincidentes
(4,5,7) e (0,-3,-1)
12. Decompor o vetor v =(-2,-6,-1) em dois vetores a e b tais que a // r e b r sabendo x z 2 que r : . a 3,3,3 b 1,3,2 y z 1 13. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e y x 5 os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°. r : z 2 x 1 2 2
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53
14. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que x 3z 3 passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z. y 3 z 6 2 15. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo 7 x 5 z AÔB. 11 z z 5 16. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é xt perpendicular à reta r : y 0 . x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t z 1 t
17. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1 18. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é 1 x 3y z 3 paralela à reta s : . x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t 5 4 6 19. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do 1 triângulo ABC seja . 2 a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1)
(2,-1,1) ou (4,-3,1) x 2t c) Determinar os pontos da reta r : y 1 2t que distam 6 unidades do ponto z 3 2t A( 2,1,3). (4,5,7) e (0,-3,-1)
x 1 t 20. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta r : y 2 t z 4 2t
, determinar:
a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h b) O ponto simétrico de A em relação a reta r.
(-5,4,2)
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O PLANO Equações paramétricas do plano
Seja A( x1 , y1 , z1 ) um ponto de um plano e sejam u (a1 , b1 , c1 ) e v (a2 , b2 , c2 ) vetores não colineares (vetores-base do plano). Um ponto P( x, y, z ) pertence ao plano se, e somente se existem números reais h e t tais que: AP hu tv P A hu tv P A hu tv ( x, y, z ) ( x1 , y1 , z1 ) h(a1 , b1 , c1 ) t (a2 , b2 , c2 ) x x1 a1h a2 t : y y1 b1h b2 t z z c hc t 1 1 2
Estabelecer as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,2,3), B(2,3,-1) e C(-1,3,2).
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55
Equação geral do plano Seja A( x1 , y1 , z1 ) um ponto de um plano e seja n (a, b, c) um vetor não nulo, ortogonal (normal) ao plano. O plano é o conjunto de todos os pontos P( x, y, z ) do espaço, tais que os vetores AP e n sejam ortogonais.
n AP n AP 0 (a, b, c) ( x x1 , y y1 , z z1 ) 0 ax by cz ax1 by1 cz1 0 ax by cz d 0
d (ax1 by1 cz1 )
Obs.: Um plano fica determinado quando conhecemos um ponto e um vetor normal. Qualquer vetor kn também é normal ao plano. Os coeficientes a,b,c representam as componentes de um vetor normal ao plano, d só é conhecido quando temos um ponto do plano. O vetor normal é ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Determinar a equação geral do plano: Paralelo ao plano : 2 x 5 y 3z 6 0 e que contém o ponto A(5,-2 1).
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x 3y 2 Perpendicular à reta r : e que contém o ponto A(2,0,-1). z 4 2 y
Determinado pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1).
Que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores u i e v 2 j k .
Que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 1 : 2 x y 4 z 6 0 e 2 : x y 2z 3 0 .
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x 1 z 1 y 2x 3 Que contém as retas r : e s: 3 5 . z x 2 y 1
x 3 t x 2 y 1 Que contém as retas r : y t e s : ;z0 2 2 z4
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58
Casos particulares 1° caso: Plano que passa pela origem - o termo independente é nulo. O(0,0,0) Substituindo na equação geral temos: ax by cz d 0
a (0) b (0) c (0) d 0 d 0 A equação geral do plano será : ax by cz 0 2° caso: Planos paralelos aos eixos coordenados – uma componente de n é nula. O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim o plano é paralelo ao mesmo eixo. a) Se
a 0, n (0, b, c) Ox // Ox . A equação
geral do plano será
: by cz d 0 b) Se b 0, n (a,0, c) Oy // Oy . A equação geral do plano será : ax cz d 0 c) Se c 0, n (a, b,0) Oz // Oz . A equação geral do plano será : ax by d 0 Obs.: Se na equação geral de um plano falta uma variável, o plano é paralelo ao eixo da variável ausente na equação. : x 2y 4 0 : 2 y 3z 6 0 : x z 3 0
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59
3° caso: Planos paralelos aos planos coordenados – duas componentes de n são nulas. O vetor tem a direção de um dos vetores i , j ou k e, portanto o plano é paralelo ao plano dos outros dois vetores. a) Se a b 0, n (0,0, c) // k // xOy A equação geral do plano será : z z1
:z4
b) Se a c 0, n (0, b,0) // j // xOz A equação geral do plano será : y y1
:y3
c) Se b c 0, n (a,0,0) // i // yOz A equação geral do plano será : x x1
:x2
Os planos coordenados são planos particulares. xOz : y 0 xOy : z 0 yOz : x 0
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60
Equação segmentária do plano. Se na equação geral : ax by cz d 0, a, b, c, d 0 o plano intercepta os eixos coordenados nos pontos P( p,0,0), Q(0, q,0) e R(0,0, r ) e sua equação pode ser representada na forma segmentária. As coordenadas dos pontos P, Q e R verificam a equação : ax by cz d 0 . Substituindo o ponto P: a p b 0 c 0 d 0 a
d p
Substituindo o ponto Q: a 0 b q c 0 d 0 b
d q
Substituindo o ponto R: a 0 b 0 c r d 0 b
d r
d d d x y z d : (d ) p q r x y z 1 p q r
Determinar a equação geral do plano: Paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0,3,1) e B(2,0,-1).
Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3,4,-1).
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61
Identificar os lugares geométricos em
:
a)
____________________________________________
b)
___________________________________________________
c)
__________________________________________________
d)
_______________________________________________________
e)
________________________________________________________
f)
____________________________________________________________
g)
__________________________________________________________
h)
__________________________________________________
Represente graficamente os planos do exercício anterior.
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62
Ângulo de dois planos É o menor ângulo formado pelos seus vetores normais.
n1 n2 cos , 0 2 n1 n2
Calcular o ângulo entre os planos 1 : x 2 y z 10 0 e 2 : 2 x y z 1 0 .
Condições de paralelismo e perpendicularidade de dois planos.
Se 1 // 2 então n1 // n2 n1 kn2 Se 1 2 então n1 n2 n1 n2 0
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63
Ângulo entre reta e plano É o complemento do ângulo que a reta forma com uma reta normal ao plano.
é o ângulo que a reta r forma com o plano . é o ângulo que a reta r forma com uma reta normal ao plano . é o complemento do ângulo . Se e são ângulos complementares temos cos sen . v n sen , 0 2 v n
Condições de paralelismo e perpendicularidade entre reta e plano.
Se r // , então v n v n 0
Se r , então v // n v kn
Condições para que uma reta esteja contida em um plano.
1) v n e 2) se A r , A
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64
Interseção de dois planos: é uma reta cuja direção é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos.
Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta interseção dos planos 1 : 3x y z 3 0 e 2 : x 3 y 2 z 4 0 .
Interseção entre reta e plano: é um ponto que pertence à reta e ao plano. Determinar o ponto de interseção da reta r : x 2 y 3
: 2 x y 3z 9 0 .
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2z 3 com o plano 3
65
EXERCÍCIOS 1. Seja o plano : 2 x y 3z 1 0 , calcular: a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3; (4,3,-2) b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2; (1,9,2) c) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota; (0,-2,-1) d) O valor de k para que o ponto P(2, k+1, k) pertença a . k= -2 2. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e B(3,0,0). x + y - 3z + 8 =0 3. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano : 3x 2 y 4 z 12 0 e pelos planos coordenados. 4. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,1) e C(0,0,1). x – 2 y =0 5. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3) e C(4,2,3). z =3 6. Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo ao vetor v 2i 3k . 3x-4y+2z+9=0 7. Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A(1,-2,2), B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano : 2 x y z 8 0 . x-12y-10z-5=0 8. Determinar a equação geral do plano que contém as retas: a) r :
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 e s: . 2 3 1 2 1 2
x t xz b) r : e s : y 1 . y 3 z 2 t
5x-2y+4z-21=0
2x+y-2z+3=0
9. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
xt a) A(3,-1,2) e r : y 2 t . x+y-2=0 z 3 2t b) A(1,-1,2) e o eixo dos z. x+y=0 10. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2,0,2) e B(0,-2,1). y-2z+4=0
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66
11. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1). x+2z-2=0 12. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(5,-2,3) e é paralelo ao plano xOy. z=3 13. Dada a equação geral do plano : 3x 2 y z 6 0 determinar um sistema de equações paramétricas de . 14. Calcular o ângulo entre os planos 1 : 2 x 2 y 1 0 e 2 : 2 x y z 0 . 30º 15.
Calcular
o
valor
e
m
para
que
o
ângulo
formado
1 : x my 2 z 7 0 e 2 : 4 x 5 y 3z 2 0 seja de 30º. 1 ou 7
16. Determinar a e b de modo que os planos 2 : 3x 5 y 2 z 0 sejam paralelos. -6 e 10 17.
Determinar m de modo que os planos 2 : 3x my 2 z 1 0 sejam perpendiculares. 1/2
pelos
planos
1 : ax by 4 z 1 0 e 1 : 2mx 2 y z 0
e
18. Determine o ângulo que a reta forma com o plano. a) r :
x2 y z 1 e : 2 x y 7 z 1 0 60º 3 4 5
y 2 x b) r : e : x y 5 0 45º z 2x 1
x 3t 1 19) Mostrar que a reta r : y 1 2t é paralela ao plano : x 2 y z 3 0 . zt 20)
Mostrar
que
: 2 x y 3z 1 0 .
a
reta
r:
x 1 y 1 ; z0 1 2
está
contida
no
plano
y 2x 3 21. Calcular os valores de m e n para que a reta r : esteja contida no plano z x 4 : nx my z 2 0 . -2 e 3 22. Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta 1 3 y x interseção dos planos 1 : 3x 2 y z 1 0 e 2 : x 2 y z 7 0 . 2 2 z 2 x 4
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67
23. Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
x 4t a) 1 : 2 x y 3z 5 0 e 2 : x y z 3 0 . y 1 t z 2 3t xt b) 1 : 2 x y 2 0 e 2 : z 3 . y 2 2t z 3 24. Determinar o ponto de interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
x 1 t a) r : y 2t e : x 3 (3,4,5) z 5
xt b) r : y 1 2t e : 2 x y z 4 0 . (3,-5,-3) z t 25. Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,6,4), intercepta x y z 1 o eixo z e é paralela ao plano : x 3 y 5 z 6 0 . ou 1 2 1 x3 y 6 z 4 1 2 1
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DISTÂNCIAS Distância entre dois pontos A e B: d ( A, B) AB Distância de ponto à reta: Seja uma reta definida por um ponto P1 ( x1 , y1 , z1 ) e pelo vetor v (a, b, c) e seja P0 ( x0 , y0 , z0 ) um ponto qualquer do espaço. v P1P0 d ( P0 , r ) v
Distância entre duas retas Concorrentes: é nula, por definição. Paralelas: recai na distância de um ponto a uma reta.
Reversas: d (r , s)
v , v , P P 1
2
1 2
v1 v2
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Distância de um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ) a um plano : ax by cz d 0
d ( P0 , )
ax0 by0 cz 0 d
a2 b2 c2 Se o ponto considerado for a origem (0,0,0) do sistema, temos: d d (O, ) a 2 b2 c2
Distância entre dois planos (só está definida quando os planos são paralelos): Em planos paralelos sempre é possível obter a1 a2 a, b1 b2 b e c1 c2 c , então, d ( 1 , 2 )
d1 d 2 a2 b2 c2
Distância entre uma reta e um plano (só está definida quando a reta é paralela ao plano): ax by0 cz 0 d d (r, ) d ( P0 , ) 0 a2 b2 c2
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Exercícios: 1. Mostrar que o ponto A(2,2,3) é equidistante dos pontos B(1,4,-2) e C(3,7,5).
x 1 2t 2. Calcular a distância do ponto P(1,2,3) à reta r : y 2t . z 2t 3. Calcular a distância entre as retas r e s: x 0 y3 a) r : e s: z 2 x y z
x 3 x 1 b) r: e s: y 4 y 2 4. Determinar a distância do ponto A(2,-3,5) ao plano : 3x 2 y 6 z 2 0 . 5. Calcular a distância da origem ao plano : 3x 4 y 20 0 . 6. Calcular a distância entre os planos paralelos 1 : 2 x 2 y 2 z 5 0 e 2 : x y z 3 0.
x 3 7. Determinar a distância da reta ao plano : x y 12 0 . y 4 Respostas: 2. 2 3.
3 e2 2 6
4. 4 5. 4 6. 7.
3 6 5
2
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71
Parábola CÔNICAS Elipse (circunferência) Hipérbole
A PARÁBOLA Seja uma reta d e um ponto F d de um plano . Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes do ponto F e da reta d.
d ( P, F ) d ( P, d ) d ( P, F ) d ( P, P ' ) FP P ' P
Elementos: F: foco; Reta d: diretriz; Eixo de simetria: reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz; V: vértice (ponto de interseção da parábola com o eixo); Parâmetro: p * , d(F,d)
Equação da parábola de vértice na origem do sistema 1° caso: Eixo de simetria é o eixo y.
FP P ' P
x 02 y p
2
2
x x2 y p
2
2
2
2 2 2 x y 2 py p y 2 py p 4 4 x 2 2 py
2
2° caso: Eixo de simetria é o eixo x. y 2 2 px
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72
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Vértice: V(0,0); diretriz d: y= - 2.
2) Vértice: V(0,0); foco: F(-3,0).
3) Vértice: V(0,0); simetria em relação ao eixo dos y, passando pelo ponto P(2,-3).
Translação de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: a) x e y em relação ao sistema xOy; b) x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.
x x' h y y' k
ou
x' x h y' y k
Estas são as fórmulas de translação que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Professora Marli
73
Equação da parábola de vértice fora da origem do sistema 1° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
x ' 2 py ' 2
x h2 2 p y k
2° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo x.
y k 2 2 px h Equação da parábola na forma explícita Eixo de simetria é paralelo ao eixo y: y ax2 bx c Eixo de simetria é paralelo ao eixo x: x ay 2 by c
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74
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Vértice: V(-2,3); foco F(-2,1).
2) Foco: F(2,3); diretriz: y= -1.
3) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, passando pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C(3,1).
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75
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico. 1) x 2 12 y
2) y 2 4 y 16 x 44 0
3) x 2 4x y 2 0
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76
Aplicações práticas das parábolas Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são: Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contém o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.
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77
EXERCÍCIOS: Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Foco F(2,0); diretriz d: x + 2 = 0. y 2 8x 2) Vértice V(0,0); foco F(0,-3)
x 2 12 y
3) Foco F(0,-1), diretriz d: y - 1 = 0. x 2 4 y 4) Vértice V(2,-1); foco F(5,-1). y 2 2 y 12 x 25 0 5) Vértice V(4,1); diretriz d: x + 4 = 0 y 2 2 y 32 x 129 0 6) Vértice (-4,3); foco F(-4,1). x 2 8x 8 y 8 0 7) Foco F(6,4); diretriz d: y = - 2. x 2 12 x 12 y 48 0 8) Vértice V(1,3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(-1,-1).
y 2 6 y 8x 1 0
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico. 1) y 2 100 x V(0,0), F(-25,0), x = 25, y = 0 2) x 2 4x 8 y 12 0 V(-2,-1), F(-2,-3), y = 1, x = - 2 3) x 2 2x 20 y 39 0 V(1,-2), F(1,3), y = - 7, x = 1 4) y 2 2 y 16 x 31 0 V(-2,-1), F(2,-1), x = - 6, y = - 1 5) y 2 16 x 2 y 49 0 V(3,-1), F(7,-1), x = - 1, y = - 1
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A ELIPSE Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distância a dois pontos fixos desse plano é constante. P
P1
F1
F2 P2
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como F1 e F2. A figura acima será considerada uma elipse, se e somente se: d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) = d ( P1 , F1 ) d ( P1 , F2 ) = d ( P2 , F1 ) d ( P2 , F2 ) , ou seja, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos deve permanecer constante. Fixaremos essa soma em 2a. d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Tomando a distância entre os focos como 2c, teremos que 2a > 2c. Elementos: -
B2 A1
F1
F2 C
A2
Focos: são os pontos F1 e F2.
- Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
2b
B1 2c
-
- Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. - Eixo maior: é o segmento A1A2 2a de comprimento 2a. (o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse) Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 A1A2 no seu ponto médio). Vértice: são os pontos A1, A2, B1 e B2. c Excentricidade: é o número dado por e , 0 e 1 a
Obs.: em toda a elipse vale a relação a 2 b 2 c 2 . B2 a A1
F1
b C
a c
F2
A2
B1
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Equação da elipse de vértice na origem do sistema 1º caso: o eixo maior está sobre o eixo x. y P (x,y) x y) F1
F2
Como a distância entre os focos é 2c, então F1 (-c, 0) e F2(c, 0). Se P (x, y) é ponto de uma elipse conforme a figura acima, então, por definição, teremos:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a
xF1 xP 2 yF1 yP 2 xF2 xP 2 yF2 yP 2 2a
c x2 0 y2 c x2 y 02
2a
x 2 y 2 2cx c 2 2a x 2 y 2 2cx c 2 2 x y 2 2cx c 2
2 2a x 2 y 2 2cx c 2
2
x 2 y 2 2 xc c 2 4a 2 4a x 2 y 2 2cx c 2 x 2 y 2 2 xc c 2 4a x 2 y 2 2cx c 2 4a 2 4cx a x 2 y 2 2cx c 2 a 2 cx a 2 x 2 y 2 2cx c 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2 a 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2 2 2 2 como : a c b log o : b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
Dividindo todos os membros da equação por a 2b 2 , obtemos:
x2 y2 1 2 2 a b que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
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80
2º caso: o eixo maior está sobre o eixo y. F1 0,c e F2 0, c
y P (x, y)
y
Com raciocínio análogo ao 1º caso, obtemos a equação:
F2 x
x2 y2 1 Forma reduzida da equação da elipse b2 a2
x F1
de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x
Equação da elipse de vértice fora da origem do sistema 1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo x. y
y’ x’
C
k
x O
h
Anteriormente definimos a equação da elipse com centro na origem do sistema xOy. Como agora a elipse está fora da origem, referenciamos esta elipse ao sistema x’O’y’, cuja origem coincidirá com o centro C (h, k). Assim, a equação da elipse no sistema x’O’y’ será: x' 2 y ' 2 1 a 2 b2
Substituindo x' x h e y' y k nesta equação obtemos a equação da elipse com centro C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo x
x h2 y k 2 a
2
b
2
1
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2º caso: eixo maior é paralelo ao eixo y. De forma análoga teremos: y’
y
O’
k
No sistema x’O’y’ a equação da elipse será:
x’
x' 2 y ' 2 1 b2 a 2
x O
h
No sistema xOy a equação da elipse de C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y será:
x h2 y k 2 1 b2
a2
Obs. : Como a 2 b 2 c 2 segue-se que a 2 b 2 logo a > b. Assim o maior dos denominadores na equação reduzida de uma elipse será a2. Se a2 é denominador de x2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo x. Se a2 é denominador de y2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo y.
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Aplicações: A propriedade refletora da elipse é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos de emissão de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos museus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos. A maioria dos dentistas utiliza em seus consultórios uma luminária com espelho elíptico, obtendo assim duas significantes vantagens: A primeira é concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente causando certo desconforto. Isto porque o espelho, sendo elíptico, possui a propriedade de concentrar os raios luminosos emitidos pela lâmpada em um determinado ponto (propriedade refletora) que é ajustado pelo dentista. Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emissão de raios usados em tratamentos médicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor. As salas de sussurros são construídas de forma oval onde são marcados dois pontos no chão. Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala. A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se dois pontos P e Q, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão se comunicar. A seguir, toma-se uma elipse que admita P e Q como focos e, a sala é construída de tal maneira que qualquer plano que passe por esses pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida. Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da curva aos focos é constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos que, ao se refletirem nas paredes da sala, cheguem ao segundo foco, terão percorrido a mesma distância e, por isso, chegarão ao mesmo tempo. E a propriedade bissetora, garante que todo som emitido em um dos focos se dirigirá, após a reflexão, exatamente para o outro foco. Assim conjugando essas duas propriedades, concluímos que todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos chegarão ao mesmo tempo no outro foco, o que, sem dúvida, proporciona uma amplificação natural do som, explicando o funcionamento das salas de sussurros. A Geometria Analítica tem também um papel importante no desenvolvimento da astronomia. Johannes Kepler, teólogo e astrônomo alemão, analisando cuidadosamente as observações realizadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu a forma elíptica das órbitas dos planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário. Kepler decidiu calcular a órbita da Terra concentrando-se no planeta Marte. Pela razão de ser o primeiro dos planetas exteriores, ele se move mais rapidamente em sua órbita, retornando logo á sua posição inicial, o que facilita o seu estudo. Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular ela mais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita de Marte era uma elipse de excentricidade e _ 0,093 com o Sol em um dos focos. Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qual ficou conhecida como sua primeira lei e que assim se enuncia: “Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. e que marcou uma época na história da ciência. Na II Guerra Mundial, foram utilizados aviões que tinham nas extremidades de suas asas, arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prendesse ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em voo.
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EXERCÍCIOS: Determinar a equação de cada uma das elipses, sabendo que: 1) Centro C(0,0), um foco F (0, 5 ) e eixo menor mede 4. 2) Centro C(0,0), eixo menor mede 6, focos no eixo dos x e passa pelo ponto P(2 5 , 2) . 3) Eixo maior mede 10 e focos F (4,0) . 9x 2 25 y 2 225
3 4) Centro C(0,0), um foco F ,0 e um vértice A(1,0). 7 x 2 16 y 2 7 4 8x 2 y 2 5) Vértice A(0, 6), passando pelo ponto P(3,2). 1 81 36 3 6) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade . 4 7) Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. 8) Eixo
maior
mede
10
e
F1 2,1 e F2 2,5 .
focos
25x 2 16 y 2 100 x 64 y 236 0
9) Centro
C(-3,0),
um
foco
F(-1,0)
e
tangente
ao
eixo
dos
y.
5 x 9 y 225 2
2
10) Centro C(-3,4), semieixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x. 9x 2 16 y 2 54 x 128 y 193 0
A1 1,2 e A2 7,2 e a medida do eixo menor igual a 2. x 9 y 8x 36 y 43 0
11) Vértices 2
2
12) Vértices
A1 1,4 e A2 1,8 ,
excentricidade
e
2 . 3
9x 2 5 y 2 18x 20 y 151 0
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Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices A, os focos e a excentricidade das elipses. Esboçar o gráfico. 1) 4x 2 y 2 1 . 2)
9x 2 5 y 2 45 0 .
3) 9x 2 25 y 2 25 . 4) 4x 2 9 y 2 24 x 18 y 9 0 . 5) 25x 2 16 y 2 50 x 64 y 311 0 . 6) 16 x 2 y 2 64 x 4 y 52 0 . 7) 16 x 2 9 y 2 96 x 72 y 144 0 . 8) 4x 2 9 y 2 8x 36 y 4 0 . RESPOSTAS
5 4 4 , 0), F ( , 0), e 3 3 5 3 5) C(-1,-2), A1 1,7, A2 1,3, F1 1,5, F2 1,1, e 5 15 6) C(-2,2), A1 2,2, A2 2,6, F 2, 2 15 , e 4 7 7) C(3,-4), A1 (3,-8), A2 3,0 , F 3,4 7 , e 4 5 8) C(1,2), A1 (-2,2), A2 4,2 , F 1 5 ,2 , e 3 2) C(0,0), A(0, 3), F(0, 2), e
2 3
3) C(0,0), A(
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CIRCUNFERÊNCIA Definição: Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é constante.
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência. Então:
|⃗⃗⃗⃗⃗ | √
1) Escrever a equação dada na forma reduzida determinando o valor do raio e as coordenadas do centro de cada uma das circunferências abaixo: a)
b)
c)
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2) Determinar a equação da circunferência que tem centro C(2,7) e passa pelo ponto M (1,1).
3) Determinar a equação da circunferência na qual os pontos A(1,9) e B(–3, 5) são diametralmente opostos.
4) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(3, –2) e B(–1,6) e tem seu centro na reta 3x + y – 19 = 0.
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HIPÉRBOLE Definição: Considerando, num plano, dois pontos distintos, F1 e F2 tal que a distância entre eles seja 2c, e sendo 2a um número real menor que 2c, hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como F1 e F2. A figura acima será considerada uma hipérbole, se e somente se:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 )
= = d (Q, F1 ) d (Q, F2 ) = d ( R, F1 ) d ( R, F2 ) 2a . Fixaremos essa diferença em 2a. d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Elementos da hipérbole - Focos: são os pontos F1 e F2. - Distância focal: é a distância 2c entre os focos. - Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. - Vértices: são os pontos A1 e A2. - Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. - Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b - Excentricidade: é o número dado c por e , e 1 a Obs.: em toda a hipérbole vale a relação c2 a2 b2 . Hipérbole equilátera: a = b
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Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos b focos. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é m ; a a quando é vertical, o coeficiente é m . b
Equação da hipérbole de centro na origem 1º caso: o eixo real está sobre o eixo x. F1 (-c, 0) e F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Obtemos a equação:
x2 y 2 1 a 2 b2
Equação reduzida da hipérbole de
centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x.
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2º caso: o eixo real está sobre o eixo y.
F1 0,c e F2 0, c
y2 x2 1 a2 b2 Equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo y.
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema 1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo x.
x h2
( y k)2 1 Equação da a2 b2 hipérbole com centro C (h, k) e eixo real paralelo ao eixo x.
2º caso: eixo real é paralelo ao eixo y.
y k 2 x h2
1 Equação da a2 b2 hipérbole de C (h, k) e eixo real paralelo ao eixo y.
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APLICAÇÕES: O sistema LORAN de localização em navegação (Navegação de Longa Distância) permite ao navegante de um navio ou avião achar sua posição sem confiar em marcos visíveis. Usando para isso o conceito de lugar geométrico que define a hipérbole. Seu princípio básico de funcionamento é bastante simples, descrito a seguir. Estações de rádio situadas simultaneamente em posições F1 e F2 emitem sinais que são recebidos pelo navegante situado numa posição P. O navegante mede o intervalo entre o instante t2, tempo quando ele recebe o sinal enviado por F2, e o instante t1, tempo quando ele recebe o sinal de F1.
Se T1 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F1 para alcançar a posição do navegante, e T2 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F2 para alcançar a posição do navegante, então a diferença entre a distância da posição do navegante a F1 e a distância da posição do navegante a F2 é PF2 PF1 ct em que c é a velocidade do som no ar. Portanto, embora o navegante não possa medir T1 e T2 diretamente sem saber quando os sinais foram enviados, ele pode medir com precisão a diferença entre os instantes que os sinais foram recebidos, que é o bastante para determinar que o navio esteja em algum ponto P da hipérbole cuja equação é
Assim, o navegante pode localizar sua posição se ele receber sinais de três estações de rádio situadas em F1, F3, F3.
Cada par de estações dá uma hipérbole que contém a posição do navegante, assim sua posição exata é o ponto onde as três hipérboles intersectam. Ela pode ser determinada através da plotagem das três hipérboles em um mapa, obtendo a interseção comum ou usando coordenadas e computando algebricamente a interseção. (Na realidade, seria necessário levar em conta a curvatura da Terra e também que os sinais de rádio podem ter sido refletidos e outras fontes potenciais de erro.)
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EXERCÍCIOS: Determinar a equação das hipérboles, sabendo que: 1) Vértices A( 4 , 0), passando pelo ponto P(8,2).
2) Vértices em (5,-2) e (3,-2), um foco em (7,-2).
3) Focos F(0, 5), comprimento do eixo imaginário 4.
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4) 5) 6) 7) 8) 9)
Focos F(0, 3 ), vértices A(0, 2 ). Vértices A( 3,0), equações das assíntotas y 2 x . Vértices em (5,5) e (5,-1), excentricidade e = 2. Centro C(5,1), um foco em (9,1), eixo imaginário mede 4 2 . Focos F1 1,5 e F2 5,5 , hipérbole equilátera. Focos em (3,4) e (3,-2), excentricidade e = 2.
RESPOSTAS: 4) 4x 2 5 y 2 20 0 4) 4 y 2 21x 2 84 0 5) 36 y 2 9x 2 324 0 6) x 2 3 y 2 10 x 12 y 40 0 7) x 2 y 2 10 x 2 y 16 0 8) 2x 2 2 y 2 8x 20 y 51 0 9) 4x 2 12 y 2 24 x 24 y 51 0 Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles. Esboçar o gráfico. 1) 4x 2 5 y 2 20 0 .
2) 9x 2 4 y 2 18x 16 y 43 0 .
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3) x 2 y 2 2 . 4) x 2 4 y 2 6x 24 y 31 0 . 5) 9x 2 4 y 2 54 x 8 y 113 0 . 6) 4x 2 y 2 32 x 4 y 24 0 . 7) 9x 2 y 2 36 x 6 y 63 0 RESPOSTAS: 3) A( 2 ,0 ), F( 2,0 ), e 2
4) C(-3,3), A1 (5,3) , A2 (1,3) , F 3 5 ,3 , e
5 2
13 3 6) ) C(4,2), A1 (1, 2) , A2 (7, 2) , F 4 3 5 , 2 , e 5 5) C(3,1), A1 (3,2) , A2 (3,4) , F 3,1 13 , e
7) ) C(-2,3), A1 (2,3) , A2 (2, 9) , F 2, 3 2 10 , e
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10 3
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Resolva os problemas:
1. Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm. Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada. 20cm 2. Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice ao foco é 3cm. Se o diâmetro da abertura do espelho for 64cm, qual a profundidade do espelho no centro? 3. Suponha que a órbita de um planeta tenha a forma de uma elipse com eixo maior cujo comprimento é de 500 milhões de quilômetros. Se a distância entre os focos for de 400 milhões de quilômetros, determine a equação da órbita. (em milhões de km) 4. A figura dada mostra o vão da entrada de um armazém pelo qual passará um caminhão com 4m de largura. Determine a altura máxima do caminhão sabendose que o arco superior do vão é semielíptico.
√
5. O teto de um saguão com10m de largura tem a forma de uma semielipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Determine a altura do teto a 2m de cada parede.
6. O arco de uma ponte tem a forma de uma semielipse com um vão horizontal de 40m e com 16m de altura no centro. Qual a altura do arco a 9m à esquerda ou à direita do centro? √
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Classificação das quádricas Elipsoide x 2 y 2 z2 1 a 2 b2 c2 Centrado na origem Pontos de interseção com os eixos coordenados: a,0,0 , 0,b,0 , 0,0,c x2 y2 Traço no plano xy é a elipse 2 2 1, z 0 a b x2 z 2 Traço no plano xz é a elipse a 2 c 2 1, y 0 y2 z2 Traço no plano yz é a elipse b2 c 2 1, x 0
a, b, c semieixos do elipsoide
Se dois dos semieixos são iguais obtemos um elipsoide de revolução. Se todos os semieixos são iguais obtemos uma superfície esférica.
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Hiperboloide de uma folha
x 2 y 2 z2 1 a 2 b2 c2 centrado na origem pontos de interseção com os eixos coordenados: a,0,0 , 0,b,0 x2 y2 Traço no plano xy é a elipse 2 2 1, z 0 a b 2 x z2 Traço no plano xz é a hipérbole a 2 c 2 1, y 0 y2 z2 Traço no plano yz é a hipérbole b 2 c 2 1, x 0
Se a = b obtemos um hiperboloide de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário.
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97
Hiperboloide de duas folhas x2 y 2 z 2 2 2 2 1 a b c
Centrado na origem Pontos de interseção com os eixos coordenados: 0,0,c O plano xy não intercepta a superfície Traço no plano xz é a hipérbole x2 z 2 2 2 1, a c
y0
y2 z2 Traço no plano yz é a hipérbole b2 c 2 1, x 0
Se a = b obtemos um hiperboloide de revolução gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo real.
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98
Paraboloide elíptico
x2 y 2 2 cz 2 a b Traço no plano xy é a origem (0,0,0) x2 Traço no plano xz é a parábola a 2 cz, y 0 y2 Traço no plano yz é a parábola b2 cz, x 0
Se a = b temos um paraboloide circular.
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99
Paraboloide hiperbólico
y 2 x2 2 cz 2 b a Traço
no
plano
xy
é
o
par
de
retas
y x y x 0, z 0 e 0, z 0 b a b a
x2 Traço no plano xz é a parábola a 2 cz, y 0 y2 Traço no plano yz é a parábola b2 cz, x 0
(0,0,0) ponto de sela ou de mínimo da superfície
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100
Superfície cônica É uma superfície gerada por uma reta móvel (geratriz) que se move apoiada em uma curva plana (diretriz) e passando sempre por um ponto dado (vértice) não situado no plano dessa curva.
Superfície cônica elíptica Tem como diretriz uma elipse com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos coordenados.
x 2 y 2 z2 0 a 2 b2 c2 Ponto de interseção com os eixos coordenados: (0,0,0) Secções paralelas ao plano xy: z =0 (0,0,0) caso contrário elipses. Secções paralelas ao plano xz: y =0 duas retas concorrentes caso contrário hipérboles Secções paralelas ao plano yz: x =0 duas retas concorrentes caso contrário hipérboles Se a = b obtemos uma superfície cônica circular.
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101
Superfícies Cilíndricas Consideremos uma curva plana C em um plano e uma reta fixa não contida nesse plano. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta móvel (geratriz), paralela à reta fixa, que se apoia sobre a curva plana C (diretriz) Se a linha curva se encontra no plano xy (ou num plano paralelo ao plano xy) então as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo z e a equação do cilindro só envolve x e y.
Superfície cilíndrica parabólica
x 2 2py
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102
Superfície cilíndrica elíptica
x2 y2 2 1 2 a b Se a b obtemos uma superfície cilíndrica circular.
Superfície cilíndrica hiperbólica x2 y2 2 1 2 a b
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103
EXERCÍCIOS: 1. Identificar as superfícies representadas pelas equações: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
x 2 y 2 z 2 25
j) x 2 y 2 9 k) y 2 4z l) x 2 4 y 2 16 m) 4 y 2 z 2 4x 0 n) x 2 4 y 2 z 2 0 o) 16 x 2 9 y 2 z 2 144 p) 16 x 2 9 y 2 z 2 144 q) x 2 2 y 2 3z 2 0 r) 4x 2 9 y 2 36 z
2x 2 4 y 2 z 2 16 0 x 2 4 y 2 2z 2 8 4x 2 4 y 2 z 2 4
x2 z 2 4y 0 x 2 y 2 4z 0 4x 2 y 2 z
x2 y2 z 2 x2 y2 z
2. Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da superfície que ela representa. a) 9x 2 4 y 2 36 z 2 36
h) x 2 4 y 2 z 2 0
b) 36 x 2 9 y 2 4z 2 36
i)
x 2 y 2 2z 2 4
c) 36 x 2 9 y 2 4z 2 36
j)
x2 z 2 y2
d) x 2 y 2 z 2 36
k) 4x 2 2 y 2 z 2 1
e) x 2 y 2 9z 0
l)
f)
x2 y z 2 0
m) x 2 9 y 2 9
x 2 4z 2 8 y 0
g) 4x 2 9 y 2 36 z 0
n) x 2 4 y 2 0
3. Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições: a) Centro C(2,-3,1) e raio 4. b) O segmento de extremos A(-1,3,-5) e B(5,-1,-3) é um de seus diâmetros. c) Centro C(4,-1,-2) e tangente ao plano . d) Centro C(-2,3,4) e tangente ao eixo dos z. e) Centro C(0,-4,3) e tangente ao plano
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RESPOSTAS: 1. a) sup. esférica b) elipsoide c) hiperboloide de uma folha d) hiperb. de duas folhas e) hiperb. de duas folhas f) paraboloide circular g) paraboloide hiperbólico h) sup. cônica circular i) paraboloide circular
j) k) l) m) n) o) p) q) r)
2. a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m) n)
elipsoide hiperboloide de uma folha hiperb. de duas folhas sup. esférica de raio 6 paraboloide circular paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico
sup. cilíndrica circular sup. cilíndrica parabólica sup. cilíndrica hiperbólica paraboloide elíptico sup. cônica elíptica hiperboloide de uma folha hiperb. de duas folhas sup. cônica elíptica paraboloide elíptico
sup. cônica elíptica hiperboloide de uma folha sup. cônica circular elipsoide paraboloide circular sup. cilíndrica hiperbólica dois planos
3. a) x2 y 2 z 2 4x 6 y 2z 2 0 b) x 2 y 2 z 2 4x 2 y 8z 7 0 c) x 2 y 2 z 2 8x 2 y 4z 17 0 d) x 2 y 2 z 2 4x 6 y 8z 16 0 e) 9x 2 9 y 2 9z 2 72 y 54 z 31 0
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NOTAS DE AULA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em 4 partes ou quadrantes.
Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo assim podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, ficando P determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P (x, y) onde x é abscissa e y é a ordenada de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do plano e os pares de números reais. Particularidades: a) O(0,0): origem do sistema cartesiano b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O.
Elementos: Ponto O: origem do sistema cartesiano Retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz. Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz.
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2
Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y e z nos pontos Px, Py e Pz respectivamente. Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde: x = OPx: abscissa y = OPy: ordenada z = OPz: cota
Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do espaço e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas octantes.
Particularidades: a) O (0,0): origem do sistema. b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos coordenados. c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos coordenados. Exercícios: 1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo:
2) Representar graficamente os seguintes pontos: A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3) Professora Marli
3
SISTEMA POLAR Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um referencial não-cartesiano. Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis, pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos.
0
sen 0
√
cos 1 √
√
√
1
0
0 -1
Sistema polar Consideremos uma reta orientada p de um plano. Esta reta e um ponto O p determinam o sistema polar.
O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares através do par ordenado P(,) onde: = OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. ( 0 < < 2): argumento, anomalia ou ângulo polar de P. Convenção: O argumento será considerado positivo se sua orientação for a do sentido anti-horário e negativo se no sentido horário. O raio polar é positivo quando assinalado no lado terminal de e negativo quando assinalado no seu prolongamento.
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4
Representação gráfica de pontos Na prática, utiliza-se o papel quadriculado polar no qual os raios das circunferências concêntricas aumentam de um em um centímetro, e os ângulos de 15 em 15 graus. Representar os pontos A(5, 30o), B(4, 150o), C(7, - 30o) e D(4, - 120o) e em seguida determine as coordenadas destes considerando o raio polar negativo.
Construir o gráfico de
0 2,0
150 1,9
30o 1,8
45o 1,7
60o 1,5
75o 1,2
90o 1,0
105o 120o 135o 150o 165o 180o 0,7 0,5 0,2 0,1 0,03 0,0
Esta curva é denominada cardioide e apresenta simetria em relação ao eixo polar
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pois
5
Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: Fazendo o eixo polar coincidir com o eixo cartesiano x e o polo com a origem, teremos:
Do triângulo retângulo OPxP obtém-se as relações:
Exemplos: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: a) A1,1 b) A0,10 c) x 2 y 2 4
d) ( x 2) 2 y 2 4
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6
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: a) P 3, 3
2 b) P 2, 3 c) 3
d)
4
e) 2sen
3) Esboce os gráficos: a) 2 4 cos - caracol 0 6 3 2 4 cos
2
2 3
5 6
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7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
7
b) 3sin 2 - Rosácea de quatro pétalas.
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8
Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:
a) A 3,3 3
b) B 3 3,3
c) x 2 y 2 3x 0
d) x 2 y 2 xy 5 e) x y 2 0
f) ( x 2 y 2 ) 2 3( x 2 y 2 )
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
a) P 2, 6
7 b) Q 2, 6
c) 2 k 2 sen 2
d) 2 cos2 2 2
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9
3) Representar graficamente: a) 2 0 0 6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
b) 2 2 cos - cardióide 0 6 3 2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3
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10
c)
2 4 cos
0 2 0 6 3
2
2 3
5 6
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7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
11
SISTEMA CILÍNDRICO Consideremos em um plano um sistema polar, cujo polo é O e cujo eixo polar é p; além disso, um eixo z de origem O e ortogonal ao plano . Dado um ponto P do espaço, determinamos suas projeções ortogonais sobre o plano e sobre o eixo z, obtendo os pontos P’ e Pz respectivamente.
Assim o ponto P fica determinado no espaço por suas coordenadas cilíndricas através da terna ordenada P(,,z) onde: = OP’: distância polar de P, raio polar ou raio vetor de P. (0 < < 2): argumento de P, anomalia ou ângulo polar de P. z = OPz: cota de P.
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Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa:
Consideremos os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo x, o polo coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas
Do triângulo retângulo OPxP’ obtém-se as relações:
Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico:
1 1 a) A , ,2 2 2
b) B (0, 1, 3)
2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano:
2 a) A 6, ,2 3
b) B 1,330 ,
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13
SISTEMA ESFÉRICO Escolhido um ponto O (polo), uma reta orientada z (eixo polar) contendo O, um semiplano de bordo z, a posição de um ponto P 0 é caracterizada por três números , e que são suas coordenadas esféricas, onde:
= OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. : ângulo que o eixo z forma com OP. Colatitude ou distância zenital de P. : ângulo entre os semiplanos e . Longitude ou azimute de P. ( é o semiplano de bordo z que contém P). Para que um ponto corresponda a um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se fazer as seguintes restrições: ,
e
(VENTURI, 9ª ed. p.60)
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Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano e vice-versa: Fazemos coincidir o semiplano com o plano xOz. O ponto P tem projeções ortogonais sobre os eixos cartesianos em Px, Py e Pz. O ponto P’ é a projeção de P sobre o plano xy. coordenadas cartesianas coordenadas cilíndricas
Por construção, PxP = OP’. Do triângulo retângulo OPxP, obtém-se: PxP =
e
Do triângulo retângulo OPxP’, obtém-se: mas então
então
Cálculo de : Dos dois triângulos retângulos em destaque obtém-se:
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Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: a) A2,2,0
5 5 5 2 b) B , , 2 2 2 2) Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano:
a) P12, , 3 6 3 b) Q 5, , 2 2
3) Passar do sistema esférico para o sistema cilíndrico: 11 a) A 2 2 , , 4 6
4) Mostre que x 2 y 2 z 2 2
5) Se um ponto tem as coordenadas a seguir, encontre as coordenadas cartesianas e cilíndricas. a) 4,
6
b) 10,
,
3
3
,
4
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Grandezas escalares e vetoriais As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares são caracterizadas por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatura, etc. As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes: intensidade, direção e sentido, como por exemplo: a força, momento linear, velocidade, deslocamento, etc. Grandezas escalares • 50 kg de massa • 30 minutos • 15 m de comprimento Grandezas vetoriais Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30° com a reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita. Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a esquerda.
VETORES: Definições. Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta. B A Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto. Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB. Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento ou módulo. É indicado por AB .
O segmento nulo tem comprimento igual a zero. Segmentos opostos tem mesma medida. Professora Marli
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Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta. Segmentos equipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Representamos por AB ~ CD. Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v . Vetores iguais: AB CD se e somente se AB ~ CD. Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 0 .
Vetores opostos: se v AB o oposto é BA AB v . Vetor unitário: vetor de módulo um. v 1 . Versor de um vetor não nulo v , é um vetor unitário de mesma direção e mesmo v sentido de v . vers v . v Vetores colineares: tem mesma direção. Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo plano. Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor v é o ponto B que é a extremidade da imagem geométrica de v construída a partir de A.
Av B . v B A
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OPERAÇÕES COM VETORES Adição: Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor.
Dados os vetores u , v e w , obter graficamente: a) u w b) u v w c) u w d) w u e) u v w
w
v
Multiplicação de número real por vetor:
O produto de um número real k 0 por um vetor v 0 é um vetor p kv . O vetor kv tem mesma direção de v .
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Ângulo entre dois vetores O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo formado pelas semiretas OP e OQ e tal que 0 .
Observações: Se 0 , os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Se , os vetores têm a mesma direção e sentidos contrários. Se os vetores são ortogonais. Indicamos por u v . 2 O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. Se u v e k , então u kv . O ângulo formado pelos vetores u e v é o suplemento do ângulo de u e v .
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EXERCÍCIOS: 1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) DH BF
e) AC HF
b) AB HG
f ) | AG || DF |
c) AB CG
g ) BG // ED
d ) AF BC
h) AB, BC e CG são coplanares
i) AB, FG e EG são coplanares j ) EG, CB e HF são coplanares k ) AC, DB e FG são coplanares l ) AB, BG e CF são coplanares
m) AB, DC e CF são coplanares n) AE é ortogonal ao plano ABC
o) AB é ortogonal ao plano BCG p) DC é paralelo ao plano HEF.
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3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
a) AC CN
e) AC EO
i) MO NP
b) AB BD
f ) AM BL
j ) BC CB
c) AC DC
g ) AK AN
k ) LP PN NF
d ) AC AK
h) AO OE
l ) BL BN PB
4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
a) AB CG
d ) EG BC
b) BC DE
e) CG EH
c) BF EH
f ) EF FB
g ) AB AD AE h) EG DA FH
5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) EO OG b) AF CH c) DO HG d) C O O B e) H O H D
f ) H E OC g ) AC BD h) OA
1 DB 2
i) AF // CD j ) GF // HG
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k ) AO // OC l ) AB OH m) EO CB n) AO HF o) OB FE
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6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
b) EH FG
f ) 2OE 2OC 1 g ) BC EH 2
c) 2 AE 2 AF
h) FE FG
d ) EH EF
i) OG HO
e) EO BG
j ) AF FO AO
a) OC CH
7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se u v , então u v . b) Se u v , então u v . c) Se u // v , então u v . d) Se u v , então u // v . e) Se w u v , então w u v . w u v , então u , v e w são paralelos. f) g) Se AB DC , então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. h) 5v 5v 5 v . i) Os vetores 3v e 4v são paralelos e de mesmo sentido. j) Se u // v , u 2 e v 4 , então v 2u ou v 2u . v k) Se v 3 , o versor de 10v é . 3 8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
a) AD AB
b) BA DA
d ) AN BC
e) MD MB
c) AC BC 1 f ) BM DC 2
9. No hexágono regular ABCDEF, obter: a) AB FE AF
b) AD AE BE c) AE FE FD BD 10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor PA em função dos vetores PM e PN , sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que AN 3AM .
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11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores u e v de modo que o vetor u v seja bissetriz do ângulo por eles formado? 12. Sendo dados u v , u 4, u v 8 , calcule v e determine os ângulos que o vetor u v forma com u e com v respectivamente.
13. Os vetores u e v formam um ângulo de 60o. Sabe-se que u 8 e v 5 . Calcule u v e u v . 14.
Determine as somas que se pedem:
a) AD CD DH GC HB AG b) ED DB BF c) BF BG BC d ) HE EF FG BG BH e) AE EF FG GC
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RESPOSTAS: 1. a) V b) V k) V l) V
c) F m) F
d) V n) V
e) V o) V
f) V p) V
g) F q) V
h) V r) F
2. a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) F
h) F
i) V
j) V
k) V
l) F
m) V
n) V
o) V
p) V
c) AB
d) AO
3. a) AN
b) AD
g) AH
h) AI
4. a) AF
b) AE
i) AC
c) AH
e) AM
j) AC
d) AB
e) AH
k) AE
l) 0
f ) AF
g) AG
b) F
c) V
d) V
e) F
f) F
g) V
i) V
j) F
k) V
l) V
m) V
n) F
o) V
g) AH
b) AC c) AC h) AD i) AO
d) AB e) AO
j) V t) V
f) AK
5. a) V
6. a) AE
i) F s) V
h) AD
h) V
f ) AD
j) AC
7. V, F, F, V, F, V, F, V, F, V, V
8. a) AC b) CA c) AB d ) AM
e) MN
f ) BD
9. AD, AE, AB 12. 4 3, 30 , 60 13. 129 , 7 14. AC, EF, 2BG, 2BG, AC .
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VETORES NO 2 E NO 3 Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os vetores são relacionados com o referencial cartesiano. Decomposição de um vetor no plano:
Dados dois vetores v1 e v2 não colineares e um vetor v coplanar a eles, podemos obter v a partir de v1 e v2 (basta determinar vetores que tenham a mesma direção de v1 e v2 e que somados resultem v ).
v é combinação linear de v1 e v2 . O conjunto { v1 , v2 } é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois vetores não colineares forma uma base no plano. Os números a1 e a2 são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { v1 , v2 }. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por vetores unitários e ortogonais. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e ortogonais são simbolizados por i e j , ambos com origem na origem do sistema e
extremidades em 1,0 e 0,1 respectivamente. Base canônica i , j .
Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as componentes ou coordenadas de v na referida base.
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Vetor definido por dois pontos. Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor AB são calculadas pela diferença B A , temos o representante cuja origem está na origem do sistema. Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores AB e CD .
Igualdade de vetores: Dois vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y 2 . Operações com vetores: Sejam os vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 e . u v x1 x2 , y1 y 2 u x1 , y1 Paralelismo de dois vetores. Dois vetores u x1 , y1 e v x2 , y 2 são paralelos se existe um número real tal que u v x1 , y1 x2 , y2 x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 e y1 y2 x1 y1 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. x2 y 2 Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor paralelo também é nula. Módulo de um vetor Seja v x, y pelo teorema de Pitágoras temos que v x 2 y 2 A distância entre dois pontos Ax1 , y1 e Bx2 , y2 é o módulo do vetor AB .
d ( A, B) AB .
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Vetores no espaço
A base canônica no espaço é composta pelos vetores i , j e k representados com origem no ponto O.
Igualdade de vetores: Dois vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 x1 x2 , y1 y2 e z1 z 2 .
são
iguais
se
e
somente
se
Operações com vetores: Sejam os vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 e . u v x1 x2 , y1 y 2 , z1 z 2 u x1 , y1 , z1 Paralelismo de dois vetores. Dois vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y 2 , z 2 são paralelos se existe um número real tal que u v x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z 2 x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z 2 x1 x2 y1 y2 z1 z 2 x1 y1 z1 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são x2 y 2 z 2 proporcionais. Módulo de um vetor Seja v x, y, z pelo teorema de Pitágoras temos que v x 2 y 2 z 2 A distância entre dois pontos Ax1 , y1 , z1 e Bx2 , y2 , z 2 é o módulo do vetor AB .
d ( A, B) AB .
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EXERCÍCIOS: 1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular OA AB e 3BA 4CB . (-4,1), e (-5,-30) 2. Dados os vetores u 2,4, v 5,1 e w 12,6 , determinar a e b tais que w a u b v . a= -1 e b =2 3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores u 1,3 e v 2,1 , determinar: a) u c) 2u 3v b) u v d) d(A,B) 10 , 13 , 97 , 45
4. Calcular os valores de a para que o vetor u a,2 tenha módulo 4. a 2 3 3 1 5. Calcular os valores de a para que o vetor u a, seja unitário. a 2 2 3 4 6. Dado o vetor v 3,4 , calcular o versor de v e o versor de 2v . , 5 5 3 7. Em apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) Paralelo ao eixo dos x; b) Representado no eixo dos z; c) Paralelo ao plano xy; d) Paralelo ao plano yz; e) Ortogonal ao eixo dos y; f) Ortogonal ao eixo dos z; g) Ortogonal ao plano xy; h) Ortogonal ao plano xz. 8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que AP PB . 1 P 3,1, 2 9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor 7 4 4 v 3BA 2BC . , , 9 9 9 10. Seja o vetor v m 7 i m 2 j 5k . Calcular m para que v 38 . m 4 ou m 5 11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0). 2 11 3 12. Dado o vetor v 2,1,3 , determinar o paralelo a v que tenha: a) Sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ; (-6,3,9) 4 12 8 , , b) O mesmo sentido de v e módulo 4; 14 14 14 5 15 10 , , c) Sentido contrário ao de v e módulo 5. 14 14 14
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13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). P , (-5,-1,-4). 14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são AC 4,2,3 e BD 2,0,1 . Calcular as coordenadas dos outros três vértices. B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3). 2 1 1 , , são unitários. v é 15. Verificar se os vetores u 1,1,1 e v 6 6 6 unitário 16. Determinar o valor de a para que u a,2a,2a seja um versor. a 1 3 17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para 13 que v 7 , sendo v m AC BC . m 3 ou m 5 18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4, y,4), B(10,y,-2) e C(2,0,-4) seja equilátero. y 2 19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4). 20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que
AB 35 . m 3 ou m 1
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PRODUTO ESCALAR
O produto escalar dos vetores u e v , representado por u v ou u , v , é o número real dado por u v u v cos 0 u v 0 , indica que cos 0 é agudo ou nulo. u v 0 , indica que cos 0 é obtuso ou raso. u v 0 , quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais. Propriedades
Para quaisquer vetores u , v e w e o número real , valem as propriedades: I) Comutativa: u v v u II) Associativa em relação à multiplicação por u v u v u v III) Distributiva em relação à adição de vetores: u v w u v u w 2 u u u IV) 2 2 2 u v u 2u v v V)
escalar:
Expressão analítica do produto escalar
Sejam os vetores u x1i y1 j z1k e v x2 i y 2 j z 2 k . u v x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
1. Dados os vetores u 3i 5 j 8k e v 4i 2 j k , calcular u v . 14 2. Sendo u 2, v 3 e 120 o ângulo entre u e v , calcular u v e u v . 3. 4. 5. 6. 7.
3e 7 Dados os vetores u 1, a, 2a 1, v a, a 1,1 e w a,1,1 determinar o valor de a de modo que u v u v w a =2 Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor x tal que 2 x AB x BC AB AC . x 17,13,15 Mostrar que os vetores u 1,2,3 e v 4,5,2 são ortogonais. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices A2,3,1, B2,1,1 e C 2,2,2 é um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede
10cm. Calcular AB AC . 50 8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular
AB AC BA BC CA CB . 169
9. Qual o valor de x para que os vetores a xi 5 j 4k e b x 1i 2 j 4k sejam ortogonais? -3 ou 2 10. Dados os vetores a 2,1, x , b x 2,5,2 e c 2 x,8, x , determinar o valor de x para que o vetor a b seja ortogonal ao vetor c a . 3 ou -6
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Ângulo de dois vetores
Da definição u v u v cos temos: u v cos u v Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Seja o vetor não nulo v xi yj zk . Ângulos diretores de v são os ângulos , e que v forma com os vetores i , j e k .
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores.
x, y, z 1,0,0 v i cos v (1) v i x, y, z 0,1,0 v j cos v (1) v j
x v y v
x, y, z 0,0,1 z v k cos v (1) v v k
Os cossenos diretores de v são as componentes do seu versor: x, y, z x , y , z cos , cos , cos . v v v v v v Como o versor é um vetor unitário, temos:
cos2 cos2 cos2 1 1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. 45 2. Calcular os ângulos diretores de v 1,1,0 . 45 135 90 3. Os ângulos diretores de um vetor são 45 , 60 e . Determinar . 60 ou 120 4. Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j ângulos de 60 e 120 , respectivamente. Determinar o vetor v , sabendo que v 2 . 1,1, 2 5. Determinar o vetor v , sabendo que v 4 , v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60 com o vetor i e ângulo obtuso com j . 2,2 3,0
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Projeção de um vetor sobre outro.
Projeção do vetor v sobre o vetor u : proju v
Seja v1 a projeção do vetor v sobre o vetor u 0 e seja v2 u Sendo v1 // u temos: I) v1 k u e II) v v1 v2 Substituindo I em II:
v k u v2 Multiplicando escalarmente por u
u v k u u u v2
u v k u
2
0
u v k 2 u Substituindo k em I: u v v1 2 u u u v proj v u u u u
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar
O módulo do produto escalar dos vetores v e u , sendo u comprimento do vetor projeção de v sobre u .
unitário, representa o
Determinar o vetor projeção de u 1,2,3 na direção de v 2,1,2 .
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Exercícios: 1. Calcular n para que seja de 30 o ângulo entre os vetores u 1, n,2 e v j .
15
2. Determinar o vetor v , paralelo ao vetor u 1,1,2, tal que v u 18 . 3,3,6 3. Determinar o vetor v , sabendo que v 5 , v é ortogonal ao eixo Oz, v w 6 e w 2 j 3k . 4,3,0 1 1 11 1 4. Sabe-se que v 2, cos e cos . Determinar v . 1, , 2 4 2 2 5. O vetor v é ortogonal aos vetores u 2,1,3 e w 1,0,2 e forma ângulo agudo com o vetor j . Calcular v , sabendo que v 3 6 . 2,7,1 6. Determinar o vetor v , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v v1 10 e v v2 5 , sendo v1 2,3,1 e v2 1,1,2 . 1,4,0 7. Calcular o módulo dos vetores u v e u v , sabendo que u 4 , v 3 e o ângulo entre u e v é de 60 . 37 e 13 3 rad , determinar 8. Sabendo que u 2 , v 3 e o ângulo entre u e v é de 4 2u v u 2v . 26 15 2 9. Determinar u v u w v w , sabendo que u 2 , v 3 e w 5 . -9 10. O vetor v é ortogonal aos vetores a 1,2,0 e b 1,4,3 e forma ângulo agudo com o eixo Ox. Determinar v , sabendo que v 14 . 12,6,4 11. Calcule o ângulo formado pelos vetores v1 i 2 j 2k e v2 2i j 2k e determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores. 3 1 4 arc cos , ,0 9 10 10
12. Dados os vetores v1 1,2,2 e v2 2,3,1 , determine os vetores a e b tais que a b v1 , a // v2 e b v1 . a 9, 27 2 , 9 2 b 10, 23 2 , 13 2 13. Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos vetores u e v , sabendo que u a 2b , v a b , a 6 e b 2 .
arc cos
11 91 182
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14. Os vetores u e v são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam um ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo, 21 arc cos sabendo que u 4 e v 2 . 7
15. Dados os vetores u 0,1,1 e v 1,1,1 determine os vetores w , sabendo que w u u; w v v e w 5 . (1,2,0) e (1,0,2) 16. Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse vetor e o ângulo que ele forma com um vetor w j k .
1 6 6 v , , 30 4 4 2
2 17. Os vetores u e v formam um ângulo de rad. Sabe-se que u 4 e v 5 . 3 Calcule: a) 3u v 2u v 61 b) u v u v 61 c)2u 3v 2u 3v 161 18. Dados os vetores unitários u , v e w que satisfaçam a condição u v w 0 , calcule u v u w v w . –3/2 19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor MH , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1)
20. Determine u tal que u 2 , o ângulo entre u e v 1,1,0 seja de 45° e que u1,1,0 . 2 2 , , 1 2 2
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PRODUTO VETORIAL OU EXTERNO Estudaremos outro tipo de multiplicação entre vetores, o produto vetorial. Esse tipo de multiplicação foi descoberta pelo matemático e físico irlandês Sir William Rowan Hamilton em outubro de 1843. Hamilton trabalhou muitos anos tentando deduzir uma estrutura multiplicativa nas ternas ordenadas (x, y, z) de números reais, da mesma forma como fizera dez anos antes descrevendo os números complexos como pares ordenados de números reais com uma estrutura multiplicativa num trabalho apresentado à Real Academia Irlandesa. Os esforços de Hamilton culminaram em outubro de 1843 com a sua descoberta dos quatérnios, quádruplas ordenadas de números reais (t, x, y, z) com uma estrutura multiplicativa semelhante à dos números complexos. Tal estrutura, quando restrita às quádruplas da forma (1; x; y; z), coincide com a operação denominada produto vetorial. William Rowan Hamilton 1805-1865, Dublin Irlanda William Hamilton começou a estudar Matemática aos 13 anos de idade, lendo o tratado de Álgebra de M. Clairaut e, aos 15 anos, estudando os trabalhos de Newton e Laplace. Em 1822, ganhou a atenção dos astrônomos da Coroa Irlandesa ao descobrir um erro no tratado de Mecânica Celeste de Laplace. Aos 18 anos, ingressou no Trinity College, em Dublin, onde graduou-se com menções de honra. Apresentou diversos trabalhos na Real Academia Irlandesa versando sobre tópicos avançados de Geometria, Física e Astronomia. Deve-se a Hamilton a origem da palavra vetor. Definição:
O produto vetorial dos vetores u x1 , y1 , z1 e v x2 , y2 , z 2 , nesta ordem, representado por u v ou u v , é o vetor: i j k u v x1 y1 z1 x2 y 2 z 2
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Propriedades: 1) u u 0 2) u v v u 3) mu v mu v u mv 4) u v w u v u w u 0 5) u v 0 u kv u 6) Direção : u v v 7) Sentido : u , v e u v formam um triedro positivo
2 2 2 2 8) Identidade de Lagrange: u v u v u v 9) Módulo : u v u v sen 10) Não é associativo : (u v ) w u (v w)
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u (2,1,3) e v (1,1,0) .
Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: a)
j 2i
b) 2i 3 j
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Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo determinado pelas imagens geométricas de dois vetores.
Exercícios:
1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u (3,1,2) e v (4,1,0) .
117 u.a. 2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 2 6 u.a. 3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo 1 29 de área . x 3 ou x 5 2 4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2a b e b a , sendo a (3,1,2) e b (1,0,3) . k (3,7,1), k 5. Sabendo que a 3, b 2 e 45 é o ângulo entre a e b , calcular a b . 3 6. Se a b 3 3 , a 3 e 60 é o ângulo entre a e b , calcular b . 2 7. Dados os vetores u (3,4,2) e v (2,1,1) , obter um vetor de módulo 3 que seja ao 1 6,3,15 mesmo tempo ortogonal aos vetores 2u v e u v .
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8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 6 u.a. 9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da 3 35 altura relativa ao lado BC. u.c. 7 10. Dados os vetores u (0,1,1) , v (2,2,2) e w 1,1,2, determinar o vetor x , paralelo a w , que satisfaz à condição: x u v . 2,2,4 11. Determinar o valor de m para que o vetor w 1,2, m seja simultaneamente ortogonal aos vetores u (2,1,0) e v (1,3,1) . m 5
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12. Determinar u tal que u 3 3, u2,3,1 e u2,4,6 . Dos vetores determinados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o primeiro
a 2i 3 j 4k 9 13. Resolva o sistema . a i j k 2 i 2 k
14. Determine a tal que a i k 2 i j k
e
a i j k
a 6 .
(-1,2,1)
15. Determinar u v , sabendo que u v 12, u 13 e v 1 . u v 5
16. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u 2v e v u sendo u 3,2,0 e v 0,1,2 . Um deles é (-12,-18,9)
17. Dados os vetores u 3,1,2 e v 2,2,1 , calcular: a) área do paralelogramo determinado por u e v ;
3 10
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v .
10
18. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v , sabendo que 35 suas diagonais são u v 1,3,4 e u v 1,1,2 . 19. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1), B( 1,0,1) e C( 1,2,0).
h
7 5
20. Dado o vetor u 2,1,0 , determinar o vetor v ortogonal ao eixo Oz, sabendo que u v 6 e u v 2 . (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0)
21. Dado u 1,2,1 , determine um vetor v ortogonal ao eixo Ox tal que u v 1331 e que o vetor u v forme ângulos congruentes com os eixos Oy e Oz. v 0,11,11 22. São dados os vetores u 1,1,1, v 1,2,3 e w 26,6,8 . Determinar os vetores a e b , ortogonais entre si, sabendo que a é simultaneamente ortogonal aos vetores a 1,4,3 e b 25,10,5 u e v e que a b w . 23. É dado o vetor v 0,1,2 . Determine o vetor w ortogonal ao eixo Ox, sabendo que v w 12 e que v w 4 . (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5)
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PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u x1 , y1 , z1 , v x2 , y2 , z 2 e w x 3 , y3 , z 3 , nesta ordem, representado por u , v , w ou u , v , w é o número real u v w . x y1 z1 u , v , w x2 y 2 z 2 x3 y 3 z 3
Propriedades: Nulidade: u , v , w =0 quando: a) um vetor é nulo, b) dois vetores são paralelos, c) três vetores são coplanares. II) Cíclica: u, v, w = O produto misto independe da ordem circular dos vetores: v, w , u w , u, v Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos: u, v, w v, u, w . O produto misto não se altera se os sinais e forem permutados entre si. u v w u v w III) Associativa em relação à multiplicação por número real m u , v , w = mu , v , w = u , mv , w = u , v , mw I)
Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares?
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Módulo do produto misto:
u, v, w
u v
w
cos
é o ângulo formado pelos vetores u v e w
podendo ser agudo ou obtuso.
Interpretação geométrica do módulo do produto misto Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores u , v e w , representa o volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes vetores.
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EXERCÍCIOS:
1. Sabendo que u , w, x 2 e v , w, x 5 , calcular: a) u , x,w b) 3u ,3w,2 x c) 2u 4v , w, x a) 2 b) 36 c) 24 d ) 10
d ) 5u 3v ,2w, x
2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u 3,1,4, v 2,0,1 e w 2,1,5 . Calcular seu volume e a altura relativa à base 17 definida pelos vetores u e v . 17 e
30
3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v 1 0,1,2 , v2 4,2,1 e v3 3, m,2 seja igual a 33. Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2 . m 4 ou m 17 4 h 33 89 4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por AB, AC e AD seja 25 u. v. (0,0,-10) ou (0,0,15) 5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? V= 12 h= 9
6. Sabendo que os vetores AB 2,1,4, AC m,1,3 e AD 3,1,2 determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2 7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: a) u 2,1, k , v 1,0,2 e w k ,3, k k 6 b) u 2, k ,1, v 1,2, k e w 3,0,3 k 2 ou k 3
8. Mostre que u v , v w, u w 2u , v , w . 9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares? m=4 10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 2,1,0, v2 6, m,2 e v3 4,0,1 seja igual a 10. 6 ou -4 11. Os vetores a 2,1,3, b 1,1,4 e c (m 1, m,1) determinam um 8 paralelepípedo de volume 42. Calcular m. m 2, m 3 12. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD . 6 ou 2
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13. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D. 2 e
12 3
14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A. 4 e
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8 10
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A RETA Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção. A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor). Equações: Seja r uma reta que passa pelo ponto A ( x1 , y1 , z1 ) e tem a direção do vetor não nulo v (a, b, c) . Para que um ponto P ( x, y, z ) do espaço pertença à reta é necessário que os vetores AP e v sejam paralelos. AP t v , t P At v P Atv Substituindo P ( x, y, z ) , A ( x1 , y1 , z1 ) e v (a, b, c) , temos a equação vetorial da reta. Equação vetorial da reta: ( x, y, z) ( x1 , y1 , z1 ) t (a, b, c) . Ex.: r : P (1,0,4) t (1,3,5)
Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim x x1 at as equações paramétricas da reta y y1 bt . z z ct 1
x 2 3t Ex.: y 4t z 2t 1 Equações simétricas da reta:
Ex.: r :
x x1 y y1 z z1 a b c
x 3 y 21 z 2 5 3
Equações reduzidas da reta:
y mx n z px q
x my n z py q
x mz n y pz q
P(0, n, q)
P(n,0, q)
P(n, q,0)
v (1, m, p)
v (m,1, p)
v (m, p,1)
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Exercícios: 1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas:
x 2t a) y 1 2t z 2t
x 2 z c) y 1 2z xy e) z 1 y
b)
x4 y z 1 2 1 2
y 1 3x d) z 2 4 x f) x y z
2. Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,0) e tem a direção do vetor v (3,4,1) . 3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1). 4. Verificar se os pontos A(3,-1,1) e B(2,1,3) pertencem à reta r :
A r e B r
x 3 y 1 z 1 . 2 1 2
x 2t 5. Determine o ponto da reta r : y 1 2t que tem abscissa 2. P(2,1,1) z 2t 6. Determinar as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta que passa y 2x 8 5 pelos pontos A(4,0,-3) e tem a direção do vetor v 2i 4 j 5k . z x 13 2 7. Determinar as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que passa 1 5 x 2 z 2 pelos pontos A(-1,0,3) e B(1,2,7). 1 3 z x 2 2
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Casos particulares Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou duas destas componentes podem ser iguais a zero. 1° caso: Uma das componentes do vetor é nula. O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano dos outros dois eixos.
a) Se a 0, v (0, b, c) Ox r // yOz y y1 z z1 b c x x1
y 1 z 4 Ex.: 2 3 x2
b) Se b 0, v (a,0, c) Oy r // xOz x x1 z z1 a c y y 1
x 2 z Ex.: 3 5 y 3 c) Se c 0, v (a, b,0) Oz r // xOy x x1 y y1 a b z z1 x y 3 Ex.: , z 8 3 2
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2° caso: Duas componentes do vetor são nulas. O vetor tem a direção de um dos vetores i , j ou k e, portanto a reta é paralela a um dos eixos coordenados.
a) Se a b 0, v (0,0, c) // k r // Oz ou r xOy x x1 x x1 y y1 y y1 z z ct 1
x 2 Ex.: y 3
b) Se a c 0, v (0, b,0) // j r // Oy ou r xOz
x x1 x x1 y y1 bt z z1 zz 1
x 3 Ex.: z 4
c) Se b c 0, v (a,0,0) // i r // Ox ou r yOz x x1 at y y1 y y1 z z1 zz 1
y 1 Ex.: z 3
Os eixos coordenados são retas particulares. y 0 x 0 x 0 Ox : Oy : Oz : z 0 z 0 y 0
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EXERCÍCIOS: 1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: y 1 x 2 z 4 c) a) 3 5 z5 y 3 x 5 y d) y 2 z 1 b) z 2 x 2. Determinar as equações das seguintes retas: a) Passa por A(1,4,-3) e é paralela ao eixo dos x;
b) Passa por A(4.-6,2) e é perpendicular ao plano xz;
c) Passa por A(1,2,-3) e é ortogonal aos eixos dos x e dos y;
d) Passa pelos pontos A(2,-3,4) e B(2,-1,3).
y 2x x3 3. Representar graficamente as retas r : e s: . z 3 y 4
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Ângulo de duas retas É o menor ângulo formado pelos vetores diretores. v1 v2 cos , 0 2 v1 v2
Exercícios: 1. Determinar o ângulo entre as seguintes retas: y 1 2 x y z 1 ; x 2 . 30º a) r : e s: 3 3 z 2 x
x 2 2t x y 6 z 1 b) r : e s : y 2t . 60º 4 2 2 z 3 4t
2. Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas y nx 5 x2 y4 z r: e s: . 7 ou 1 4 5 3 z 2x 2
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49
Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas.
Se r1 // r2 então v1 // v2 v1 kv2
Se r1 r2 então v1 v2 v1 v2 0
Se r1 é coplanar a r2 então v1 , v2 e A1 A2 são coplanares v1, v2 , A1 A2 0 .
Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares. v1 v2 0 e v1, v2 , A1 A2 0
Reta ortogonal a duas retas r1 Se r v k v1 v2 r2
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50
Exercícios: x 3t x 5 y 1 1. Calcular o valor de m para que as retas r : y 3 t e s : ;z6 6 m z4 sejam paralelas. m = - 2 2. Determinar as equações reduzidas, em função de x, da reta que passa pelo ponto y 4x 9 x2 y4 z A(-2,1,0) e é paralela à reta r : . s: 1 4 1 z x 2
y mx 3 3. Calcular o valor de m para que a reta s : seja ortogonal à reta z x 1 3 determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-2,2m,2m). m 1 m 2 y 2x 3 x 1 y z 4. Calcular o valor de m para que as retas r : e s: 2 1 m z 3x 1 sejam coplanares. m = 4 5. Calcular o ponto de interseção das retas: x 5t x2 y z 5 a) r : e s : y 2 t ; I(4,3,9) 2 3 4 z 7 2t
y 5 x 1 z 5 ; y 5 . I(1,-5,5) b) r : e s: 2 3 z 4x 1 x 3t y 2x y 3 z 1 ; x 2, s : 6. Dadas as retas r : e h : y 1 3t , 2 2 z x 3 z t determinar: a) O ponto de interseção de s e h; I(2,4,-1) 3 b) O ângulo entre r e s. arccos 6 7. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é x 3 t x 3 y 2 x 1 simultaneamente ortogonal às retas r : e s: . h: y 2 z 1 z x 3 z 1 t 8. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção x 1 y y 1 z e s: das retas r : x 2 e é simultaneamente ortogonal 2 3 z 2 2 y
x 2t às retas r e s. h : y 1 5t z 3t
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51
Exercícios gerais:
1. a) b) c)
x 2t Dada a reta r : y 3 t , determinar o ponto de r tal que: z 4 2t a ordenada seja 6; (-1,6,-10) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16)
2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar P. P(2,1,9) 3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t 4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t 5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta: a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5 6. Representar graficamente as retas de equações:
y 2x a) z 3
y4 b) z 2x
y 3 c) z 1
x3 d) y 4
x 1 t 7. Dada a reta r : y t e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r z t eqüidistante de A e B. P(1,0 0) 8. Verifique se as retas r : P 0,1,0 t 1,2,0 e s :
x 1 z 1 y 1 são 2 3
perpendiculares.
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52
9. Determine o ângulo entre as retas:
x 3t z 5 ; 60° a) r : y 2 t e s : x 2 y 3 2 z 2t
x 2 x 1 3 z z3 b) r : 3 e s: 2 . y 0 y0
45°
10. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de x 1 y y 1 z r:x2 e s: e é simultaneamente ortogonal a elas. 2 3 z 2 2 y x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t 11. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de interseção.
y 2x 3 y 3x 7 a) r : I(2,1,3) e s z x 5 z x 1 x 1 t x 3 y 1 z 2 b) r : e s: y 4t 2 3 4 z 8 3t
I(1,2,-2)
y 2x 3 y 4 z 1 e s:x c) r : reversas 3 2 z x 10 x 2t x 3 6h d) r : y 3 5t e s : y 1 7h I(3,8,12) z 6 6t z 1 13h x 2 t y 6 x e) r : y 4 t e s : z 2 x z t
coincidentes
(4,5,7) e (0,-3,-1)
12. Decompor o vetor v =(-2,-6,-1) em dois vetores a e b tais que a // r e b r sabendo x z 2 que r : . a 3,3,3 b 1,3,2 y z 1 13. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e y x 5 os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°. r : z 2 x 1 2 2
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53
14. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que x 3z 3 passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z. y 3 z 6 2 15. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo 7 x 5 z AÔB. 11 z z 5 16. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é xt perpendicular à reta r : y 0 . x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t z 1 t
17. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1 18. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é 1 x 3y z 3 paralela à reta s : . x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t 5 4 6 19. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do 1 triângulo ABC seja . 2 a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1)
(2,-1,1) ou (4,-3,1) x 2t c) Determinar os pontos da reta r : y 1 2t que distam 6 unidades do ponto z 3 2t A( 2,1,3). (4,5,7) e (0,-3,-1)
x 1 t 20. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta r : y 2 t z 4 2t
, determinar:
a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h b) O ponto simétrico de A em relação a reta r.
(-5,4,2)
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O PLANO Equações paramétricas do plano
Seja A( x1 , y1 , z1 ) um ponto de um plano e sejam u (a1 , b1 , c1 ) e v (a2 , b2 , c2 ) vetores não colineares (vetores-base do plano). Um ponto P( x, y, z ) pertence ao plano se, e somente se existem números reais h e t tais que: AP hu tv P A hu tv P A hu tv ( x, y, z ) ( x1 , y1 , z1 ) h(a1 , b1 , c1 ) t (a2 , b2 , c2 ) x x1 a1h a2 t : y y1 b1h b2 t z z c hc t 1 1 2
Estabelecer as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,2,3), B(2,3,-1) e C(-1,3,2).
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55
Equação geral do plano Seja A( x1 , y1 , z1 ) um ponto de um plano e seja n (a, b, c) um vetor não nulo, ortogonal (normal) ao plano. O plano é o conjunto de todos os pontos P( x, y, z ) do espaço, tais que os vetores AP e n sejam ortogonais.
n AP n AP 0 (a, b, c) ( x x1 , y y1 , z z1 ) 0 ax by cz ax1 by1 cz1 0 ax by cz d 0
d (ax1 by1 cz1 )
Obs.: Um plano fica determinado quando conhecemos um ponto e um vetor normal. Qualquer vetor kn também é normal ao plano. Os coeficientes a,b,c representam as componentes de um vetor normal ao plano, d só é conhecido quando temos um ponto do plano. O vetor normal é ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Determinar a equação geral do plano: Paralelo ao plano : 2 x 5 y 3z 6 0 e que contém o ponto A(5,-2 1).
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56
x 3y 2 Perpendicular à reta r : e que contém o ponto A(2,0,-1). z 4 2 y
Determinado pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1).
Que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores u i e v 2 j k .
Que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 1 : 2 x y 4 z 6 0 e 2 : x y 2z 3 0 .
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57
x 1 z 1 y 2x 3 Que contém as retas r : e s: 3 5 . z x 2 y 1
x 3 t x 2 y 1 Que contém as retas r : y t e s : ;z0 2 2 z4
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58
Casos particulares 1° caso: Plano que passa pela origem - o termo independente é nulo. O(0,0,0) Substituindo na equação geral temos: ax by cz d 0
a (0) b (0) c (0) d 0 d 0 A equação geral do plano será : ax by cz 0 2° caso: Planos paralelos aos eixos coordenados – uma componente de n é nula. O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim o plano é paralelo ao mesmo eixo. a) Se
a 0, n (0, b, c) Ox // Ox . A equação
geral do plano será
: by cz d 0 b) Se b 0, n (a,0, c) Oy // Oy . A equação geral do plano será : ax cz d 0 c) Se c 0, n (a, b,0) Oz // Oz . A equação geral do plano será : ax by d 0 Obs.: Se na equação geral de um plano falta uma variável, o plano é paralelo ao eixo da variável ausente na equação. : x 2y 4 0 : 2 y 3z 6 0 : x z 3 0
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59
3° caso: Planos paralelos aos planos coordenados – duas componentes de n são nulas. O vetor tem a direção de um dos vetores i , j ou k e, portanto o plano é paralelo ao plano dos outros dois vetores. a) Se a b 0, n (0,0, c) // k // xOy A equação geral do plano será : z z1
:z4
b) Se a c 0, n (0, b,0) // j // xOz A equação geral do plano será : y y1
:y3
c) Se b c 0, n (a,0,0) // i // yOz A equação geral do plano será : x x1
:x2
Os planos coordenados são planos particulares. xOz : y 0 xOy : z 0 yOz : x 0
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60
Equação segmentária do plano. Se na equação geral : ax by cz d 0, a, b, c, d 0 o plano intercepta os eixos coordenados nos pontos P( p,0,0), Q(0, q,0) e R(0,0, r ) e sua equação pode ser representada na forma segmentária. As coordenadas dos pontos P, Q e R verificam a equação : ax by cz d 0 . Substituindo o ponto P: a p b 0 c 0 d 0 a
d p
Substituindo o ponto Q: a 0 b q c 0 d 0 b
d q
Substituindo o ponto R: a 0 b 0 c r d 0 b
d r
d d d x y z d : (d ) p q r x y z 1 p q r
Determinar a equação geral do plano: Paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0,3,1) e B(2,0,-1).
Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3,4,-1).
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61
Identificar os lugares geométricos em
:
a)
____________________________________________
b)
___________________________________________________
c)
__________________________________________________
d)
_______________________________________________________
e)
________________________________________________________
f)
____________________________________________________________
g)
__________________________________________________________
h)
__________________________________________________
Represente graficamente os planos do exercício anterior.
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62
Ângulo de dois planos É o menor ângulo formado pelos seus vetores normais.
n1 n2 cos , 0 2 n1 n2
Calcular o ângulo entre os planos 1 : x 2 y z 10 0 e 2 : 2 x y z 1 0 .
Condições de paralelismo e perpendicularidade de dois planos.
Se 1 // 2 então n1 // n2 n1 kn2 Se 1 2 então n1 n2 n1 n2 0
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63
Ângulo entre reta e plano É o complemento do ângulo que a reta forma com uma reta normal ao plano.
é o ângulo que a reta r forma com o plano . é o ângulo que a reta r forma com uma reta normal ao plano . é o complemento do ângulo . Se e são ângulos complementares temos cos sen . v n sen , 0 2 v n
Condições de paralelismo e perpendicularidade entre reta e plano.
Se r // , então v n v n 0
Se r , então v // n v kn
Condições para que uma reta esteja contida em um plano.
1) v n e 2) se A r , A
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64
Interseção de dois planos: é uma reta cuja direção é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos.
Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta interseção dos planos 1 : 3x y z 3 0 e 2 : x 3 y 2 z 4 0 .
Interseção entre reta e plano: é um ponto que pertence à reta e ao plano. Determinar o ponto de interseção da reta r : x 2 y 3
: 2 x y 3z 9 0 .
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2z 3 com o plano 3
65
EXERCÍCIOS 1. Seja o plano : 2 x y 3z 1 0 , calcular: a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3; (4,3,-2) b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2; (1,9,2) c) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota; (0,-2,-1) d) O valor de k para que o ponto P(2, k+1, k) pertença a . k= -2 2. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e B(3,0,0). x + y - 3z + 8 =0 3. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano : 3x 2 y 4 z 12 0 e pelos planos coordenados. 4. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,1) e C(0,0,1). x – 2 y =0 5. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3) e C(4,2,3). z =3 6. Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo ao vetor v 2i 3k . 3x-4y+2z+9=0 7. Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A(1,-2,2), B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano : 2 x y z 8 0 . x-12y-10z-5=0 8. Determinar a equação geral do plano que contém as retas: a) r :
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 e s: . 2 3 1 2 1 2
x t xz b) r : e s : y 1 . y 3 z 2 t
5x-2y+4z-21=0
2x+y-2z+3=0
9. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
xt a) A(3,-1,2) e r : y 2 t . x+y-2=0 z 3 2t b) A(1,-1,2) e o eixo dos z. x+y=0 10. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2,0,2) e B(0,-2,1). y-2z+4=0
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66
11. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1). x+2z-2=0 12. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(5,-2,3) e é paralelo ao plano xOy. z=3 13. Dada a equação geral do plano : 3x 2 y z 6 0 determinar um sistema de equações paramétricas de . 14. Calcular o ângulo entre os planos 1 : 2 x 2 y 1 0 e 2 : 2 x y z 0 . 30º 15.
Calcular
o
valor
e
m
para
que
o
ângulo
formado
1 : x my 2 z 7 0 e 2 : 4 x 5 y 3z 2 0 seja de 30º. 1 ou 7
16. Determinar a e b de modo que os planos 2 : 3x 5 y 2 z 0 sejam paralelos. -6 e 10 17.
Determinar m de modo que os planos 2 : 3x my 2 z 1 0 sejam perpendiculares. 1/2
pelos
planos
1 : ax by 4 z 1 0 e 1 : 2mx 2 y z 0
e
18. Determine o ângulo que a reta forma com o plano. a) r :
x2 y z 1 e : 2 x y 7 z 1 0 60º 3 4 5
y 2 x b) r : e : x y 5 0 45º z 2x 1
x 3t 1 19) Mostrar que a reta r : y 1 2t é paralela ao plano : x 2 y z 3 0 . zt 20)
Mostrar
que
: 2 x y 3z 1 0 .
a
reta
r:
x 1 y 1 ; z0 1 2
está
contida
no
plano
y 2x 3 21. Calcular os valores de m e n para que a reta r : esteja contida no plano z x 4 : nx my z 2 0 . -2 e 3 22. Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta 1 3 y x interseção dos planos 1 : 3x 2 y z 1 0 e 2 : x 2 y z 7 0 . 2 2 z 2 x 4
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67
23. Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
x 4t a) 1 : 2 x y 3z 5 0 e 2 : x y z 3 0 . y 1 t z 2 3t xt b) 1 : 2 x y 2 0 e 2 : z 3 . y 2 2t z 3 24. Determinar o ponto de interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
x 1 t a) r : y 2t e : x 3 (3,4,5) z 5
xt b) r : y 1 2t e : 2 x y z 4 0 . (3,-5,-3) z t 25. Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,6,4), intercepta x y z 1 o eixo z e é paralela ao plano : x 3 y 5 z 6 0 . ou 1 2 1 x3 y 6 z 4 1 2 1
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68
DISTÂNCIAS Distância entre dois pontos A e B: d ( A, B) AB Distância de ponto à reta: Seja uma reta definida por um ponto P1 ( x1 , y1 , z1 ) e pelo vetor v (a, b, c) e seja P0 ( x0 , y0 , z0 ) um ponto qualquer do espaço. v P1P0 d ( P0 , r ) v
Distância entre duas retas Concorrentes: é nula, por definição. Paralelas: recai na distância de um ponto a uma reta.
Reversas: d (r , s)
v , v , P P 1
2
1 2
v1 v2
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69
Distância de um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ) a um plano : ax by cz d 0
d ( P0 , )
ax0 by0 cz 0 d
a2 b2 c2 Se o ponto considerado for a origem (0,0,0) do sistema, temos: d d (O, ) a 2 b2 c2
Distância entre dois planos (só está definida quando os planos são paralelos): Em planos paralelos sempre é possível obter a1 a2 a, b1 b2 b e c1 c2 c , então, d ( 1 , 2 )
d1 d 2 a2 b2 c2
Distância entre uma reta e um plano (só está definida quando a reta é paralela ao plano): ax by0 cz 0 d d (r, ) d ( P0 , ) 0 a2 b2 c2
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70
Exercícios: 1. Mostrar que o ponto A(2,2,3) é equidistante dos pontos B(1,4,-2) e C(3,7,5).
x 1 2t 2. Calcular a distância do ponto P(1,2,3) à reta r : y 2t . z 2t 3. Calcular a distância entre as retas r e s: x 0 y3 a) r : e s: z 2 x y z
x 3 x 1 b) r: e s: y 4 y 2 4. Determinar a distância do ponto A(2,-3,5) ao plano : 3x 2 y 6 z 2 0 . 5. Calcular a distância da origem ao plano : 3x 4 y 20 0 . 6. Calcular a distância entre os planos paralelos 1 : 2 x 2 y 2 z 5 0 e 2 : x y z 3 0.
x 3 7. Determinar a distância da reta ao plano : x y 12 0 . y 4 Respostas: 2. 2 3.
3 e2 2 6
4. 4 5. 4 6. 7.
3 6 5
2
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71
Parábola CÔNICAS Elipse (circunferência) Hipérbole
A PARÁBOLA Seja uma reta d e um ponto F d de um plano . Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes do ponto F e da reta d.
d ( P, F ) d ( P, d ) d ( P, F ) d ( P, P ' ) FP P ' P
Elementos: F: foco; Reta d: diretriz; Eixo de simetria: reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz; V: vértice (ponto de interseção da parábola com o eixo); Parâmetro: p * , d(F,d)
Equação da parábola de vértice na origem do sistema 1° caso: Eixo de simetria é o eixo y.
FP P ' P
x 02 y p
2
2
x x2 y p
2
2
2
2 2 2 x y 2 py p y 2 py p 4 4 x 2 2 py
2
2° caso: Eixo de simetria é o eixo x. y 2 2 px
Professora Marli
72
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Vértice: V(0,0); diretriz d: y= - 2.
2) Vértice: V(0,0); foco: F(-3,0).
3) Vértice: V(0,0); simetria em relação ao eixo dos y, passando pelo ponto P(2,-3).
Translação de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: a) x e y em relação ao sistema xOy; b) x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.
x x' h y y' k
ou
x' x h y' y k
Estas são as fórmulas de translação que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Professora Marli
73
Equação da parábola de vértice fora da origem do sistema 1° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
x ' 2 py ' 2
x h2 2 p y k
2° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo x.
y k 2 2 px h Equação da parábola na forma explícita Eixo de simetria é paralelo ao eixo y: y ax2 bx c Eixo de simetria é paralelo ao eixo x: x ay 2 by c
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Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Vértice: V(-2,3); foco F(-2,1).
2) Foco: F(2,3); diretriz: y= -1.
3) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, passando pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C(3,1).
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Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico. 1) x 2 12 y
2) y 2 4 y 16 x 44 0
3) x 2 4x y 2 0
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Aplicações práticas das parábolas Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são: Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contém o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.
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EXERCÍCIOS: Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 1) Foco F(2,0); diretriz d: x + 2 = 0. y 2 8x 2) Vértice V(0,0); foco F(0,-3)
x 2 12 y
3) Foco F(0,-1), diretriz d: y - 1 = 0. x 2 4 y 4) Vértice V(2,-1); foco F(5,-1). y 2 2 y 12 x 25 0 5) Vértice V(4,1); diretriz d: x + 4 = 0 y 2 2 y 32 x 129 0 6) Vértice (-4,3); foco F(-4,1). x 2 8x 8 y 8 0 7) Foco F(6,4); diretriz d: y = - 2. x 2 12 x 12 y 48 0 8) Vértice V(1,3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(-1,-1).
y 2 6 y 8x 1 0
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico. 1) y 2 100 x V(0,0), F(-25,0), x = 25, y = 0 2) x 2 4x 8 y 12 0 V(-2,-1), F(-2,-3), y = 1, x = - 2 3) x 2 2x 20 y 39 0 V(1,-2), F(1,3), y = - 7, x = 1 4) y 2 2 y 16 x 31 0 V(-2,-1), F(2,-1), x = - 6, y = - 1 5) y 2 16 x 2 y 49 0 V(3,-1), F(7,-1), x = - 1, y = - 1
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A ELIPSE Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distância a dois pontos fixos desse plano é constante. P
P1
F1
F2 P2
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como F1 e F2. A figura acima será considerada uma elipse, se e somente se: d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) = d ( P1 , F1 ) d ( P1 , F2 ) = d ( P2 , F1 ) d ( P2 , F2 ) , ou seja, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos deve permanecer constante. Fixaremos essa soma em 2a. d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Tomando a distância entre os focos como 2c, teremos que 2a > 2c. Elementos: -
B2 A1
F1
F2 C
A2
Focos: são os pontos F1 e F2.
- Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
2b
B1 2c
-
- Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. - Eixo maior: é o segmento A1A2 2a de comprimento 2a. (o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse) Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 A1A2 no seu ponto médio). Vértice: são os pontos A1, A2, B1 e B2. c Excentricidade: é o número dado por e , 0 e 1 a
Obs.: em toda a elipse vale a relação a 2 b 2 c 2 . B2 a A1
F1
b C
a c
F2
A2
B1
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Equação da elipse de vértice na origem do sistema 1º caso: o eixo maior está sobre o eixo x. y P (x,y) x y) F1
F2
Como a distância entre os focos é 2c, então F1 (-c, 0) e F2(c, 0). Se P (x, y) é ponto de uma elipse conforme a figura acima, então, por definição, teremos:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a
xF1 xP 2 yF1 yP 2 xF2 xP 2 yF2 yP 2 2a
c x2 0 y2 c x2 y 02
2a
x 2 y 2 2cx c 2 2a x 2 y 2 2cx c 2 2 x y 2 2cx c 2
2 2a x 2 y 2 2cx c 2
2
x 2 y 2 2 xc c 2 4a 2 4a x 2 y 2 2cx c 2 x 2 y 2 2 xc c 2 4a x 2 y 2 2cx c 2 4a 2 4cx a x 2 y 2 2cx c 2 a 2 cx a 2 x 2 y 2 2cx c 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2 a 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2 2 2 2 como : a c b log o : b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
Dividindo todos os membros da equação por a 2b 2 , obtemos:
x2 y2 1 2 2 a b que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
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2º caso: o eixo maior está sobre o eixo y. F1 0,c e F2 0, c
y P (x, y)
y
Com raciocínio análogo ao 1º caso, obtemos a equação:
F2 x
x2 y2 1 Forma reduzida da equação da elipse b2 a2
x F1
de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x
Equação da elipse de vértice fora da origem do sistema 1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo x. y
y’ x’
C
k
x O
h
Anteriormente definimos a equação da elipse com centro na origem do sistema xOy. Como agora a elipse está fora da origem, referenciamos esta elipse ao sistema x’O’y’, cuja origem coincidirá com o centro C (h, k). Assim, a equação da elipse no sistema x’O’y’ será: x' 2 y ' 2 1 a 2 b2
Substituindo x' x h e y' y k nesta equação obtemos a equação da elipse com centro C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo x
x h2 y k 2 a
2
b
2
1
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2º caso: eixo maior é paralelo ao eixo y. De forma análoga teremos: y’
y
O’
k
No sistema x’O’y’ a equação da elipse será:
x’
x' 2 y ' 2 1 b2 a 2
x O
h
No sistema xOy a equação da elipse de C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y será:
x h2 y k 2 1 b2
a2
Obs. : Como a 2 b 2 c 2 segue-se que a 2 b 2 logo a > b. Assim o maior dos denominadores na equação reduzida de uma elipse será a2. Se a2 é denominador de x2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo x. Se a2 é denominador de y2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo y.
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Aplicações: A propriedade refletora da elipse é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos de emissão de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos museus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos. A maioria dos dentistas utiliza em seus consultórios uma luminária com espelho elíptico, obtendo assim duas significantes vantagens: A primeira é concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente causando certo desconforto. Isto porque o espelho, sendo elíptico, possui a propriedade de concentrar os raios luminosos emitidos pela lâmpada em um determinado ponto (propriedade refletora) que é ajustado pelo dentista. Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emissão de raios usados em tratamentos médicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor. As salas de sussurros são construídas de forma oval onde são marcados dois pontos no chão. Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala. A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se dois pontos P e Q, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão se comunicar. A seguir, toma-se uma elipse que admita P e Q como focos e, a sala é construída de tal maneira que qualquer plano que passe por esses pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida. Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da curva aos focos é constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos que, ao se refletirem nas paredes da sala, cheguem ao segundo foco, terão percorrido a mesma distância e, por isso, chegarão ao mesmo tempo. E a propriedade bissetora, garante que todo som emitido em um dos focos se dirigirá, após a reflexão, exatamente para o outro foco. Assim conjugando essas duas propriedades, concluímos que todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos chegarão ao mesmo tempo no outro foco, o que, sem dúvida, proporciona uma amplificação natural do som, explicando o funcionamento das salas de sussurros. A Geometria Analítica tem também um papel importante no desenvolvimento da astronomia. Johannes Kepler, teólogo e astrônomo alemão, analisando cuidadosamente as observações realizadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu a forma elíptica das órbitas dos planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário. Kepler decidiu calcular a órbita da Terra concentrando-se no planeta Marte. Pela razão de ser o primeiro dos planetas exteriores, ele se move mais rapidamente em sua órbita, retornando logo á sua posição inicial, o que facilita o seu estudo. Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular ela mais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita de Marte era uma elipse de excentricidade e _ 0,093 com o Sol em um dos focos. Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qual ficou conhecida como sua primeira lei e que assim se enuncia: “Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. e que marcou uma época na história da ciência. Na II Guerra Mundial, foram utilizados aviões que tinham nas extremidades de suas asas, arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prendesse ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em voo.
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EXERCÍCIOS: Determinar a equação de cada uma das elipses, sabendo que: 1) Centro C(0,0), um foco F (0, 5 ) e eixo menor mede 4. 2) Centro C(0,0), eixo menor mede 6, focos no eixo dos x e passa pelo ponto P(2 5 , 2) . 3) Eixo maior mede 10 e focos F (4,0) . 9x 2 25 y 2 225
3 4) Centro C(0,0), um foco F ,0 e um vértice A(1,0). 7 x 2 16 y 2 7 4 8x 2 y 2 5) Vértice A(0, 6), passando pelo ponto P(3,2). 1 81 36 3 6) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade . 4 7) Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. 8) Eixo
maior
mede
10
e
F1 2,1 e F2 2,5 .
focos
25x 2 16 y 2 100 x 64 y 236 0
9) Centro
C(-3,0),
um
foco
F(-1,0)
e
tangente
ao
eixo
dos
y.
5 x 9 y 225 2
2
10) Centro C(-3,4), semieixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x. 9x 2 16 y 2 54 x 128 y 193 0
A1 1,2 e A2 7,2 e a medida do eixo menor igual a 2. x 9 y 8x 36 y 43 0
11) Vértices 2
2
12) Vértices
A1 1,4 e A2 1,8 ,
excentricidade
e
2 . 3
9x 2 5 y 2 18x 20 y 151 0
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Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices A, os focos e a excentricidade das elipses. Esboçar o gráfico. 1) 4x 2 y 2 1 . 2)
9x 2 5 y 2 45 0 .
3) 9x 2 25 y 2 25 . 4) 4x 2 9 y 2 24 x 18 y 9 0 . 5) 25x 2 16 y 2 50 x 64 y 311 0 . 6) 16 x 2 y 2 64 x 4 y 52 0 . 7) 16 x 2 9 y 2 96 x 72 y 144 0 . 8) 4x 2 9 y 2 8x 36 y 4 0 . RESPOSTAS
5 4 4 , 0), F ( , 0), e 3 3 5 3 5) C(-1,-2), A1 1,7, A2 1,3, F1 1,5, F2 1,1, e 5 15 6) C(-2,2), A1 2,2, A2 2,6, F 2, 2 15 , e 4 7 7) C(3,-4), A1 (3,-8), A2 3,0 , F 3,4 7 , e 4 5 8) C(1,2), A1 (-2,2), A2 4,2 , F 1 5 ,2 , e 3 2) C(0,0), A(0, 3), F(0, 2), e
2 3
3) C(0,0), A(
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CIRCUNFERÊNCIA Definição: Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é constante.
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência. Então:
|⃗⃗⃗⃗⃗ | √
1) Escrever a equação dada na forma reduzida determinando o valor do raio e as coordenadas do centro de cada uma das circunferências abaixo: a)
b)
c)
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2) Determinar a equação da circunferência que tem centro C(2,7) e passa pelo ponto M (1,1).
3) Determinar a equação da circunferência na qual os pontos A(1,9) e B(–3, 5) são diametralmente opostos.
4) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(3, –2) e B(–1,6) e tem seu centro na reta 3x + y – 19 = 0.
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HIPÉRBOLE Definição: Considerando, num plano, dois pontos distintos, F1 e F2 tal que a distância entre eles seja 2c, e sendo 2a um número real menor que 2c, hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como F1 e F2. A figura acima será considerada uma hipérbole, se e somente se:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 )
= = d (Q, F1 ) d (Q, F2 ) = d ( R, F1 ) d ( R, F2 ) 2a . Fixaremos essa diferença em 2a. d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Elementos da hipérbole - Focos: são os pontos F1 e F2. - Distância focal: é a distância 2c entre os focos. - Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. - Vértices: são os pontos A1 e A2. - Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. - Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b - Excentricidade: é o número dado c por e , e 1 a Obs.: em toda a hipérbole vale a relação c2 a2 b2 . Hipérbole equilátera: a = b
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Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos b focos. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é m ; a a quando é vertical, o coeficiente é m . b
Equação da hipérbole de centro na origem 1º caso: o eixo real está sobre o eixo x. F1 (-c, 0) e F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole:
d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) =2a Obtemos a equação:
x2 y 2 1 a 2 b2
Equação reduzida da hipérbole de
centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x.
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2º caso: o eixo real está sobre o eixo y.
F1 0,c e F2 0, c
y2 x2 1 a2 b2 Equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo y.
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema 1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo x.
x h2
( y k)2 1 Equação da a2 b2 hipérbole com centro C (h, k) e eixo real paralelo ao eixo x.
2º caso: eixo real é paralelo ao eixo y.
y k 2 x h2
1 Equação da a2 b2 hipérbole de C (h, k) e eixo real paralelo ao eixo y.
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APLICAÇÕES: O sistema LORAN de localização em navegação (Navegação de Longa Distância) permite ao navegante de um navio ou avião achar sua posição sem confiar em marcos visíveis. Usando para isso o conceito de lugar geométrico que define a hipérbole. Seu princípio básico de funcionamento é bastante simples, descrito a seguir. Estações de rádio situadas simultaneamente em posições F1 e F2 emitem sinais que são recebidos pelo navegante situado numa posição P. O navegante mede o intervalo entre o instante t2, tempo quando ele recebe o sinal enviado por F2, e o instante t1, tempo quando ele recebe o sinal de F1.
Se T1 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F1 para alcançar a posição do navegante, e T2 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F2 para alcançar a posição do navegante, então a diferença entre a distância da posição do navegante a F1 e a distância da posição do navegante a F2 é PF2 PF1 ct em que c é a velocidade do som no ar. Portanto, embora o navegante não possa medir T1 e T2 diretamente sem saber quando os sinais foram enviados, ele pode medir com precisão a diferença entre os instantes que os sinais foram recebidos, que é o bastante para determinar que o navio esteja em algum ponto P da hipérbole cuja equação é
Assim, o navegante pode localizar sua posição se ele receber sinais de três estações de rádio situadas em F1, F3, F3.
Cada par de estações dá uma hipérbole que contém a posição do navegante, assim sua posição exata é o ponto onde as três hipérboles intersectam. Ela pode ser determinada através da plotagem das três hipérboles em um mapa, obtendo a interseção comum ou usando coordenadas e computando algebricamente a interseção. (Na realidade, seria necessário levar em conta a curvatura da Terra e também que os sinais de rádio podem ter sido refletidos e outras fontes potenciais de erro.)
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EXERCÍCIOS: Determinar a equação das hipérboles, sabendo que: 1) Vértices A( 4 , 0), passando pelo ponto P(8,2).
2) Vértices em (5,-2) e (3,-2), um foco em (7,-2).
3) Focos F(0, 5), comprimento do eixo imaginário 4.
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4) 5) 6) 7) 8) 9)
Focos F(0, 3 ), vértices A(0, 2 ). Vértices A( 3,0), equações das assíntotas y 2 x . Vértices em (5,5) e (5,-1), excentricidade e = 2. Centro C(5,1), um foco em (9,1), eixo imaginário mede 4 2 . Focos F1 1,5 e F2 5,5 , hipérbole equilátera. Focos em (3,4) e (3,-2), excentricidade e = 2.
RESPOSTAS: 4) 4x 2 5 y 2 20 0 4) 4 y 2 21x 2 84 0 5) 36 y 2 9x 2 324 0 6) x 2 3 y 2 10 x 12 y 40 0 7) x 2 y 2 10 x 2 y 16 0 8) 2x 2 2 y 2 8x 20 y 51 0 9) 4x 2 12 y 2 24 x 24 y 51 0 Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles. Esboçar o gráfico. 1) 4x 2 5 y 2 20 0 .
2) 9x 2 4 y 2 18x 16 y 43 0 .
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3) x 2 y 2 2 . 4) x 2 4 y 2 6x 24 y 31 0 . 5) 9x 2 4 y 2 54 x 8 y 113 0 . 6) 4x 2 y 2 32 x 4 y 24 0 . 7) 9x 2 y 2 36 x 6 y 63 0 RESPOSTAS: 3) A( 2 ,0 ), F( 2,0 ), e 2
4) C(-3,3), A1 (5,3) , A2 (1,3) , F 3 5 ,3 , e
5 2
13 3 6) ) C(4,2), A1 (1, 2) , A2 (7, 2) , F 4 3 5 , 2 , e 5 5) C(3,1), A1 (3,2) , A2 (3,4) , F 3,1 13 , e
7) ) C(-2,3), A1 (2,3) , A2 (2, 9) , F 2, 3 2 10 , e
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10 3
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Resolva os problemas:
1. Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm. Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada. 20cm 2. Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice ao foco é 3cm. Se o diâmetro da abertura do espelho for 64cm, qual a profundidade do espelho no centro? 3. Suponha que a órbita de um planeta tenha a forma de uma elipse com eixo maior cujo comprimento é de 500 milhões de quilômetros. Se a distância entre os focos for de 400 milhões de quilômetros, determine a equação da órbita. (em milhões de km) 4. A figura dada mostra o vão da entrada de um armazém pelo qual passará um caminhão com 4m de largura. Determine a altura máxima do caminhão sabendose que o arco superior do vão é semielíptico.
√
5. O teto de um saguão com10m de largura tem a forma de uma semielipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Determine a altura do teto a 2m de cada parede.
6. O arco de uma ponte tem a forma de uma semielipse com um vão horizontal de 40m e com 16m de altura no centro. Qual a altura do arco a 9m à esquerda ou à direita do centro? √
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Classificação das quádricas Elipsoide x 2 y 2 z2 1 a 2 b2 c2 Centrado na origem Pontos de interseção com os eixos coordenados: a,0,0 , 0,b,0 , 0,0,c x2 y2 Traço no plano xy é a elipse 2 2 1, z 0 a b x2 z 2 Traço no plano xz é a elipse a 2 c 2 1, y 0 y2 z2 Traço no plano yz é a elipse b2 c 2 1, x 0
a, b, c semieixos do elipsoide
Se dois dos semieixos são iguais obtemos um elipsoide de revolução. Se todos os semieixos são iguais obtemos uma superfície esférica.
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Hiperboloide de uma folha
x 2 y 2 z2 1 a 2 b2 c2 centrado na origem pontos de interseção com os eixos coordenados: a,0,0 , 0,b,0 x2 y2 Traço no plano xy é a elipse 2 2 1, z 0 a b 2 x z2 Traço no plano xz é a hipérbole a 2 c 2 1, y 0 y2 z2 Traço no plano yz é a hipérbole b 2 c 2 1, x 0
Se a = b obtemos um hiperboloide de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário.
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Hiperboloide de duas folhas x2 y 2 z 2 2 2 2 1 a b c
Centrado na origem Pontos de interseção com os eixos coordenados: 0,0,c O plano xy não intercepta a superfície Traço no plano xz é a hipérbole x2 z 2 2 2 1, a c
y0
y2 z2 Traço no plano yz é a hipérbole b2 c 2 1, x 0
Se a = b obtemos um hiperboloide de revolução gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo real.
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Paraboloide elíptico
x2 y 2 2 cz 2 a b Traço no plano xy é a origem (0,0,0) x2 Traço no plano xz é a parábola a 2 cz, y 0 y2 Traço no plano yz é a parábola b2 cz, x 0
Se a = b temos um paraboloide circular.
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Paraboloide hiperbólico
y 2 x2 2 cz 2 b a Traço
no
plano
xy
é
o
par
de
retas
y x y x 0, z 0 e 0, z 0 b a b a
x2 Traço no plano xz é a parábola a 2 cz, y 0 y2 Traço no plano yz é a parábola b2 cz, x 0
(0,0,0) ponto de sela ou de mínimo da superfície
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Superfície cônica É uma superfície gerada por uma reta móvel (geratriz) que se move apoiada em uma curva plana (diretriz) e passando sempre por um ponto dado (vértice) não situado no plano dessa curva.
Superfície cônica elíptica Tem como diretriz uma elipse com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos coordenados.
x 2 y 2 z2 0 a 2 b2 c2 Ponto de interseção com os eixos coordenados: (0,0,0) Secções paralelas ao plano xy: z =0 (0,0,0) caso contrário elipses. Secções paralelas ao plano xz: y =0 duas retas concorrentes caso contrário hipérboles Secções paralelas ao plano yz: x =0 duas retas concorrentes caso contrário hipérboles Se a = b obtemos uma superfície cônica circular.
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Superfícies Cilíndricas Consideremos uma curva plana C em um plano e uma reta fixa não contida nesse plano. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta móvel (geratriz), paralela à reta fixa, que se apoia sobre a curva plana C (diretriz) Se a linha curva se encontra no plano xy (ou num plano paralelo ao plano xy) então as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo z e a equação do cilindro só envolve x e y.
Superfície cilíndrica parabólica
x 2 2py
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Superfície cilíndrica elíptica
x2 y2 2 1 2 a b Se a b obtemos uma superfície cilíndrica circular.
Superfície cilíndrica hiperbólica x2 y2 2 1 2 a b
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EXERCÍCIOS: 1. Identificar as superfícies representadas pelas equações: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
x 2 y 2 z 2 25
j) x 2 y 2 9 k) y 2 4z l) x 2 4 y 2 16 m) 4 y 2 z 2 4x 0 n) x 2 4 y 2 z 2 0 o) 16 x 2 9 y 2 z 2 144 p) 16 x 2 9 y 2 z 2 144 q) x 2 2 y 2 3z 2 0 r) 4x 2 9 y 2 36 z
2x 2 4 y 2 z 2 16 0 x 2 4 y 2 2z 2 8 4x 2 4 y 2 z 2 4
x2 z 2 4y 0 x 2 y 2 4z 0 4x 2 y 2 z
x2 y2 z 2 x2 y2 z
2. Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da superfície que ela representa. a) 9x 2 4 y 2 36 z 2 36
h) x 2 4 y 2 z 2 0
b) 36 x 2 9 y 2 4z 2 36
i)
x 2 y 2 2z 2 4
c) 36 x 2 9 y 2 4z 2 36
j)
x2 z 2 y2
d) x 2 y 2 z 2 36
k) 4x 2 2 y 2 z 2 1
e) x 2 y 2 9z 0
l)
f)
x2 y z 2 0
m) x 2 9 y 2 9
x 2 4z 2 8 y 0
g) 4x 2 9 y 2 36 z 0
n) x 2 4 y 2 0
3. Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições: a) Centro C(2,-3,1) e raio 4. b) O segmento de extremos A(-1,3,-5) e B(5,-1,-3) é um de seus diâmetros. c) Centro C(4,-1,-2) e tangente ao plano . d) Centro C(-2,3,4) e tangente ao eixo dos z. e) Centro C(0,-4,3) e tangente ao plano
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RESPOSTAS: 1. a) sup. esférica b) elipsoide c) hiperboloide de uma folha d) hiperb. de duas folhas e) hiperb. de duas folhas f) paraboloide circular g) paraboloide hiperbólico h) sup. cônica circular i) paraboloide circular
j) k) l) m) n) o) p) q) r)
2. a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m) n)
elipsoide hiperboloide de uma folha hiperb. de duas folhas sup. esférica de raio 6 paraboloide circular paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico
sup. cilíndrica circular sup. cilíndrica parabólica sup. cilíndrica hiperbólica paraboloide elíptico sup. cônica elíptica hiperboloide de uma folha hiperb. de duas folhas sup. cônica elíptica paraboloide elíptico
sup. cônica elíptica hiperboloide de uma folha sup. cônica circular elipsoide paraboloide circular sup. cilíndrica hiperbólica dois planos
3. a) x2 y 2 z 2 4x 6 y 2z 2 0 b) x 2 y 2 z 2 4x 2 y 8z 7 0 c) x 2 y 2 z 2 8x 2 y 4z 17 0 d) x 2 y 2 z 2 4x 6 y 8z 16 0 e) 9x 2 9 y 2 9z 2 72 y 54 z 31 0
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