58Ímãs E Campo Magnético

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FÍSICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

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I229

IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor] 732 p.

ISBN: 978-85-387-0576-5

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas

Autores

Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia

Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

Produção

Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

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Magnetismo e

eletromagnetismo é mais pronunciado: são os polos do ímã (convencionalmente chamados de polo norte (N) e polo sul (S). No meio existe uma região praticamente inativa chamada zona neutra. Este tópico apresenta o aspecto histórico e os conhecimentos atuais dos ímãs e do campo gravitacional terrestre.

Introdução ao magnetismo Os gregos antigos conheciam mais sobre o magnetismo do que sobre a eletricidade. Uma de suas histórias conta que um pastor de cabras, de nome Magnes, notou que existia uma pedra determinada que tinha a propriedade de atrair a ponta de ferro do seu cajado de pastoreio, daí surgiu o nome magnetismo. Outra hipótese levantada para explicar a palavra magnetismo é o fato de existir uma região que fazia parte da Grécia e era chamada Magnésia, onde se encontravam rochas que tinham a propriedade de atrair o ferro. Há referência aos fenômenos magnéticos em Homero, quando ele narra que os gregos esfregavam seus anéis de ferro em pedras especiais e eles passavam a ter a propriedade de atrair outros anéis de ferro. Na literatura árabe, existem histórias de navios que afundaram porque uma montanha “mágica” havia arrancado os pregos que fixavam o casco. Atualmente denominamos magnetita ao minério de ferro que constitui os ímãs naturais (Fe3O4).

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Ímãs Ímãs são corpos que têm a propriedade de atrair o ferro, o aço, o níquel, o cobalto e outros metais, e interagem com outros ímãs. Eles podem ser naturais ou artificiais, permanentes ou transitórios. Se pegarmos um ímã em forma de barra, notamos que existem regiões onde o efeito de atração

polos de ímã em forma de barra

polos de ímã em forma de ferradura

Se partirmos um ímã em forma de barra ao meio, notamos que os polos não se separam: aparecem dois novos ímãs com polos N e S. Se repetimos essa divisão várias vezes, vemos que sempre obtemos dois novos ímãs, cada um deles com polo norte e polo sul.

Da experiência pode-se concluir que não podemos conseguir um monopolo magnético. A teoria molecular do magnetismo admite que cada molécula seja um imã elementar. Algumas vezes, por defeito de imantação, podem aparecer outros polos, chamados pontos consequentes. Atualmente, a melhor teoria para explicar o magnetismo é a da vinculação do spin (movimento de rotação de um elétron em torno de seu próprio eixo); um corpo magnetizado tem elétrons com spins coordenados, como mostrado na simulação:

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c) por toque em separado, idêntico ao anterior sendo cada um dos ímãs movido para uma das extremidades da barra. Na magnetização por indução consideram-se substâncias de três tipos: a) substâncias ferromagnéticas – sob ação de um campo magnético têm a propriedade de aumentá-lo intensamente. Por exemplo: ferro, aço, níquel, cobalto;

corpo imantado

b) substâncias paramagnéticas – o campo de imantação induzido é muito pequeno. Por exemplo: platina, alumínio, manganês;

Processos de imantação Podem-se gerar ímãs artificiais por três processos clássicos: •• pela ação de outros ímãs; •• pela ação de corrente elétrica; •• pela ação da Terra. A magnetização por ação de ímãs pode realizar-se por contato, por fricção ou por indução. Na magnetização por fricção podem-se considerar vários modos de proceder: a) por toque simples: fricciona-se um polo magnético ao longo da barra a imantar, sempre no mesmo sentido; dessa maneira, pode-se imantar as duas faces de uma lâmina delgada de aço em forma de losango (que vem a ser a agulha magnética);

N imã

S

S

N

barra a imantar

b) por toque duplo, isto é, friccionando os polos contrários de dois imãs ao longo da barra, em movimento alternado a partir do centro, e sem separar os ímãs;

S

im

ã

NS S

S

2

imã

N

barra a imantar

N

madeira

N

imã

S

imã

c) substâncias diamagnéticas – o campo de imantação induzido é pouco intenso e de sentido oposto ao do indutor. Por exemplo: bismuto, quartzo, água. A magnetização por ação de corrente elétrica será objeto de discussão nos próximos módulos. A magnetização por ação da Terra é apreciável somente em objetos de aço e é pouco intensa. Qualquer que seja o processo empregado para magnetização, observa-se por exemplo, entre o ferro doce e o aço, uma diferença: o ferro doce magnetizase rapidamente, mas também perde mais rapidamente o poder magnético, enquanto que o aço custa a magnetizar-se, conservando permanentemente as propriedades magnéticas. Diz-se que o aço tem força coerciva ou retentividade magnética elevada, enquanto o ferro tem fraca retentividade.

O campo magnético Pelo item anterior percebe-se a grande semelhança entre eletricidade e magnetismo. A principal diferença é que, enquanto que o campo elétrico atua sobre cargas em qualquer situação, o campo magnético só atua sobre cargas em movimento. São válidas as considerações da Lei de du Fay e da Lei de Coulomb, isto é, polos de mesmo nome se repelem e polos de nomes distintos se atraem e a força de interação é proporcional às massas magnéticas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas, existindo uma constante de permeabilidade magnética cujo valor, no vácuo ou no ar, é de 10–7 uSI. A visualização do campo magnético é mais fácil. Despejando-se limalha de ferro sobre um cartão e colocando-se sobre ele um ímã veremos que a limalha se dispõe seguindo as linhas de força.

N

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corpo não-imantado

nético da Terra como a linha imaginária que passa pelos polos magnéticos. Como não há coincidência entre os polos geográficos e magnéticos, tem-se um ângulo entre esses meridianos: é a declinação magnética.

As linhas de força do campo magnético saem do polo norte e entram pelo polo sul. Como todo campo é vetorial, pode-se definir uma intensidade de campo magnético; | | = |F| . mmag Hoje em dia, praticamente, não se usa mais essa ideia de campo, substituindo-a pela ideia do campo de indução magnética.

Magnetismo terrestre A Terra se comporta como se dentro dela houvesse um ímã gigantesco. Suspendendo-se uma agulha imantada pelo seu centro nota-se que tal agulha adquire determinada posição (sobre uma linha de força, isto é, numa curva tal que, a reta tangente à curva nesse ponto representa a direção do campo magnético). A ponta norte da agulha imantada (geralmente a ponta clara) é atraída pelo polo sul magnético da Terra (SM), isto é, aponta para o norte geográfico, e a ponta sul da agulha magnética (geralmente ponta escura), para o norte magnético da Terra (NM), isto é, aponta para o sul geográfico.

Chamamos de linha isógona a linha que passa pelos pontos da Terra de mesma declinação magnética e de linha agônica aquela em que o ângulo de declinação magnética é nulo. Se estivermos sobre o equador magnético (linha imaginária que equidista dos dois polos magnéticos) a agulha permanece na horizontal. Se nos aproximarmos do polo norte geográfico (SM), a ponta norte da agulha será abaixada e a ponta sul, levantada, determinando um ângulo entre a direção da agulha e a horizontal: é o ângulo de inclinação magnética. Os pontos da Terra que apresentam a mesma inclinação magnética constituem uma linha isóclina; o ângulo de inclinação magnética no equador magnético é zero e nos polos é de 90°.

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Introdução ao eletromagnetismo A ação diretriz da Terra sobre uma agulha magnética é indicada por dois ângulos: a declinação e a inclinação magnética. Define-se meridiano geográfico como a linha imaginária da Terra que passa pelos polos geográficos. Da mesma maneira, define-se meridiano mag-

Um condutor de corrente elétrica gera um campo magnético, como foi demonstrado por Oersted em 1819. A experiência é bastante simples: pega-se um fio de um metal condutor de eletricidade e coloca-se este passando sobre uma agulha imantada, sob

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ação do campo magnético terrestre, com direção coincidente com o eixo maior da agulha, conforme a figura abaixo:

S



O sentido de ∆ B é dado pela regra da mão direita;

N

Ao passar corrente elétrica contínua pelo fio, nota-se que a agulha sofre uma rotação, ficando com direção perpendicular à do fio. Cessada a corrente, ela volta à posição primitiva. Pode-se ampliar a experiência: liga-se o polo de maior potencial de uma pilha ao ponto A do fio e o polo de menor potencial ao ponto B: N

i

S A

B

Observa-se a rotação da agulha para a esquerda da corrente; se invertêssemos os polos, teríamos uma rotação para a direita. Isso nos mostra que a passagem de corrente elétrica contínua em um fio condutor gera um campo magnético e que, invertendo-se o sentido da corrente, o campo também inverte seu sentido.

Lei de Biot-Savart Estudaremos, então, um pequeno trecho do fio que chamaremos elemento do fio e o representaremos por . Imaginemos que esse fio está contido em um plano p; se observarmos um ponto P pertencente a esse plano, a uma distância r do elemento, D notaremos o aparecimento de um campo de indução elementar no ponto P, conforme a figura abaixo:

O polegar estará acompanhando a corrente elétrica no fio e os demais dedos apontarão para o ponto M. O sentido do vetor campo será o da saída da palma da mão para cima, como se fôssemos dar um tapa. A intensidade do vetor B é diretamente proporcional ao módulo do elemento de corrente i e será inversamente proporcional ao quadrado do módulo do vetor r , variando ainda com o sen a, formado pelos vetores i e r . Pode-se então escrever: | B| = k

|i | sen a r2

sendo que k é uma constante de proporcionalidade: para o vácuo (e o ar) usamos k0= 0 , onde m0 é 4 chamado de permeabilidade magnética do vácuo e tem valor, no SI, 4p . 10 -7. A expressão acima é conhecida como Lei de Biot-Savart ou 1.ª Lei elementar de Laplace.

Unidades de |B| A unidade no SI é tesla (T). Ainda é bastante utilizado o gauss (G), derivada do CGS tal que 1 T= 104G.

Campo de uma espira circular Considera-se um fio constituindo uma espira circular, isto é, um fio que forma, quase completamente, um círculo e faça-se passar corrente contínua por ele.

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

A direção do campo elementar ∆ B é perpendicular ao plano p e, portanto, ele é perpendicular ao  vetor r e ao vetor i ∆ l , este último chamado de vetor elemento de corrente.

Na determinação do campo B , no centro (M) da espira, pode-se notar que: 1 – a direção de B é a da perpendicular ao plano da espira; 2 – o sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita ou do saca-rolhas; 3 – a intensidade pode ser calculada usando a Lei de Biot-Savart. Esse vetor será a soma de todos os vetores B para todo o comprimento da espira e como ela é circular implica que essa soma será o produto do perímetro do círculo pela corrente i. Além disso, sendo a espira circular, o vetor r faz, sempre, um ângulo a = 90° com um elemento i ; para uma espira imersa 90º ou simplificando: no ar | B | = K0 i . 2 r . sen r2 i.2 0 | B | = K0 r e usando k0 = 4 tem-se: i B= 0 2 r.

b) a espira colocada num plano perpendicular ao plano do papel:

Bobina chata Considere n espiras circulares idênticas e justapostas. Tal dispositivo é a bobina chata. A

Pode-se então notar que, se o campo sai de uma das faces da espira, essa face corresponde ao polo norte de um ímã, pois, por nossa convenção, o campo magnético sai do polo norte e entra no polo sul. B

O campo magnético gerado por ela será, portanto, n vezes o campo gerado por uma espira, isto é: Bbobina =n .

Como o nosso estudo é feito no R3, existem algumas convenções para representar o campo: a) a espira colocada no plano do papel:

i 0 2 r

face sul face norte B

i

Bobina longa ou solenoide B perpendicular ao papel e entrando nele

Chamamos de bobina longa ou solenoide um fio condutor enrolado em n espiras iguais, uma ao lado da outra, mantendo o mesmo espaçamento entre si. O comprimento do solenoide será designado por .

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B perpendicular ao papel e saindo dele

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c) sentido – dado pela regra da mão direita; envolvendo-se o fio com os dedos separados do polegar, ao sentido da corrente, será dado pelo polegar. Os demais dedos indicarão o campo, circular, em torno do fio:

i

Num solenoide consideramos o campo externo praticamente nulo e podemos dizer que o campo i

gerados interno vale a soma dos elementos k ∆l pelas espiras (Lei de Ampère), ou, para um solenoide no ar: Binterno =

0

.

n

i

As linhas de força no interior do solenoide serão praticamente retilíneas, equidistantes entre si, e paralelas ao eixo do solenoide (campo uniforme).

Pode-se também usar a regra do saca-rolhas: H

Fio retilíneo

i

Considera-se, agora, um fio retilíneo longo, percorrido por corrente contínua. Fazendo-se um esquema no R3, teremos para o campo gerado em ponto P: b) B

P

O mesmo esquema visto de cima será π

i

O ponto P, situado a uma distância r do fio, ficará submetido a um campo magnético com as seguintes características: a) módulo – dado pela Lei de Ampère i 2 r b) direção – contida no plano p que é perpendicular à direção do fio; B=

6

0

B

S

fio

r

P

N

No desenho anterior não desenhamos todos os círculos concêntricos que indicam as linhas de força para melhor visualização. Uma vista lateral do mesmo esquema será

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R

+ + + + + + +

fio

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

. . . . . . . . .

.

. . . . . . . . .

.

campo saindo no papel

i

+ + + +

+ + + + + + + + + +

+ + + +

+ + + + + + + + + + campo entrando no papel

1. (UFS) Uma pequena agulha magnética orientada inicialmente na direção Norte-Sul é colocada entre os polos de um ímã, como mostra a figura.

2. (Cesgranrio) O lugar geométrico dos pontos da superfície terrestre que possuem mesma declinação magnética denomina-se: a) linha isóclina. b) linha magnética. c) linha isógona. d) linha agônica. e) linha de maior declive.

Se o campo magnético do ímã é da mesma ordem de grandeza do campo magnético terrestre, o gráfico que melhor representa a orientação final é: a)

b)

``

Solução: C O texto é a própria definição da linha isógona.

3. (Fuvest) Uma espira circular de raio R é percorrida por uma corrente i, no sentido horário. Uma outra espira circular de raio R/2 é concêntrica com a precedente e situada no mesmo plano que esta. Qual deve ser o sentido e qual o valor da intensidade de uma corrente que, percorrendo essa segunda espira, anula o campo magnético resultante no centro O?

c)

d)

e)

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``

``

Solução: E O dado mais importante do exercício é a informação sobre as intensidades do campo. Como elas são iguais, a agulha se posicionará segundo o campo restante.

Solução: – o campo gerado pela 1.ª será; B1 =

µ0 i 2 R

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– o campo gerado pela 2.ª será; µ0 i ´ µ0 i ´ ou B 2 = 2 R R 2    Como o campo é vetorial, faremos B1 + B 2 = 0 . Isso B2 =

5. (UFLA) Determine a intensidade do vetor campo mag nético B, originado pela corrente constante de 5,0A, no centro O da espira circular de raio igual a 5 mm. (

0

= 4 . 10–7 .SI)

significa que os dois vetores têm a mesma direção,  sentidos opostos e mesma intensidade. Para B 2 ter o sentido oposto deveremos ter corrente de sentido anti



µ0 i

µ0 i'

= horário na 2.ª espira. Como | B1 | = | B 2 | ⇒ R 2 R 1 ou i’ = . 2 4. (Aman) Duas espiras circulares iguais são dispostas com centros coincidentes, segundo planos perpendiculares entre si, sendo percorridas por correntes constantes de intensidades de mesmo valor. No centro das espiras, o vetor campo magnético resultante:

``

Solução: µ0 i e substituindo pelos valores no 2 r −7 5 SI, temos B = 4 π .10 . e simplificando 2 5 π .10 − 3

Aplicando B =

B = 2 .10–4 T. 6. (PUC) A figura mostra uma espira percorrida por uma corrente de intensidade constante no sentido indicado.

O i

i

i

x

?

i i

a) forma ângulo de 45º com os planos das espiras. N

b) está contido em um dos planos das espiras. S

c) não tem direção constante. d) é nulo.

O ímã, situado ao longo do eixo x’x, está atraindo ou repelindo a espira? E se invertêssemos o sentido da corrente i, o que aconteceria ao ímã?

e) Nada do que se afirmou é correto. ``

Solução: A Outra vez vamos fazer a soma vetorial dos campos, observando que, agora, esses campos estão perpendiculares entre si, mas são iguais em módulo:

x'

``

Solução: Aplicando a regra da mão direita, notamos que a face da espira, em frente ao polo norte do ímã, é um polo norte; ocorrerá, então, repulsão entre o ímã e a espira; invertendo-se a corrente, a face mais próxima do ímã se tornará polo sul e ocorrerá atração entre o ímã e a espira.

7.

(PUC) Nos pontos internos de um longo solenoide percorrido por corrente elétrica contínua, as linhas de força do campo magnético são: a) radiais com origem no eixo do solenoide.

mesma corrente, mesmo raio), o vetor resultante estará na bissetriz do ângulo, não é nulo, tem direção constante e é perpendicular aos planos das duas espiras, formando um ângulo de 45º com cada um desses planos.

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b) circunferências concêntricas. c) retas paralelas ao eixo do solenoide. d) hélices cilíndricas. e) Não há linhas de força, pois o campo é nulo.

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  Como B1 e B 2 são iguais em módulo (mesmo meio,

``

Solução: C Admitido que o campo exterior ao solenoide é nulo, as linhas de força no seu interior serão razoavelmente retilíneas, paralelas e equidistantes, isto é, um campo uniforme.

10. (UFRGS) A seguinte figura representa um fio retilíneo muito longo, percorrido por uma corrente elétrica convencional i de A para B. B

8. (Aman) A indução magnética no centro de um solenoide é de 50 . 10–5 unidades SI, quando este conduz uma corrente de 2,0 ampères. Sabendo-se que o solenoide tem 30cm de comprimento e vácuo no seu interior, determine o número total de espiras. (Dado: ``

2

i

3

1

= 4 . 10–7u.SI) 0

P

Solução: Usando a equação B solenoide = µ 0

n i e substituindo l

A

pelos valores dados, todos em SI, temos: 50 . 10 − 5 =

Qual o sentido do campo magnético criado pela corrente no ponto P? a) 1.

4 π . 10 − 7. n . 2 30 . 10 − 2

b) 2.

n 59,68 ou, como não podemos ter um número fracionário de espiras, n = 60 espiras. 9. (UFES) As figuras representam um núcleo de ferro sobre o qual é enrolado um fio de cobre e uma barra imantada, suspensa próxima ao núcleo.

c) 3. d) Para fora da página. e) Para dentro da página. ``

Solução: E Usando a regra da mão direita observaremos que a região do espaço à esquerda do fio apresenta campo perpendicular ao papel e saindo dele. A região do espaço à direita do fio, que contém o ponto P, apresenta campo perpendicular ao papel e entrando nele.

11. (Santo Amaro) Um fio metálico, reto e extenso é percorrido por uma corrente de intensidade de 4,5A. A intensidade do campo magnético a 30cm do fio é de: (Dado: 0 = 4 . 10–7u.SI) a) 3,0 . 10–6T.

Fazendo passar uma corrente contínua através do fio de cobre no sentido indicado, a barra imantada a) é repelida.

b) 3,0 . 10–7T. c) 9,0 . 10–7T.

b) é atraída.

d) 1,2 . 10–7T.

c) não é atraída nem repelida. d) oscila como um pêndulo. e) se desmagnetiza. ``

Solução: B

e) n.d.a. ``

Solução: A Aplicando a expressão de campo para um fio retilíneo B =

e substituindo pelos valores dados, em SI,

−7 e, portanto, B = 3,0 . 10–6T. temos B = 4 π .10 . 4,5 −2

2 π . 30 .10

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Usando a regra da mão direita, nota-se que a face do núcleo de ferro mais próxima do ímã vai ser uma face sul e, portanto, vai atrair a barra imantada.

µ0 i 2π r

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12. (AFA - adap.) Numa experiência sobre o campo gravitacional terrestre, um geógrafo precisa usar sua bússola em um campo uniforme. Para se obter um campo magnético uniforme, ele pode usar um:

``

a) toroide.

Se a parte B é cuidadosamente retirada, então A e C: a) se aproximam.

b) solenoide.

b) oscilam.

c) condutor reto.

c) se desmagnetizam.

d) imã cilíndrico.

d) se afastam.

Solução: B

e) permanecem em repouso.

O solenoide é o único desses dispositivos que pode apresentar campo uniforme.

1. (UEL) No Equador geográfico da Terra, o campo magnético terrestre tem sentido do:

4. (Fuvest) A figura representa quatro bússolas apontando inicialmente para o Polo Norte terrestre. Pelo ponto O, perpendicularmente ao plano do papel, coloca-se um fio condutor retilíneo e longo. Ao se fazer passar pelo condutor uma corrente elétrica contínua e intensa no sentido do plano do papel para a vista do leitor, permanece(m) praticamente inalterada(s) somente a(s) posição(ões):

a) centro da Terra para o espaço exterior. b) Norte para o Sul geográfico. c) Sul para o Norte geográfico. d) Oeste para o Leste. e) Leste para o Oeste. 2. (Unificado) Quatro bússolas estão colocadas no tampo de uma mesa de madeira nas posições ilustradas na figura ao lado. Elas se orientam conforme é mostrado, sob a ação do forte campo magnético de uma barra imantada colocada em uma das cinco posições numeradas. O campo magnético terrestre é desprezível. A partir da orientação das bússolas, pode-se concluir que o ímã está na posição:

a) das bússolas A e V. b) das bússolas B e D. c) das bússolas A, C e D. d) da bússola C. e) da bússola D. 5. (Unificado) Aproximando-se uma barra imantada de uma pequena bilha de aço, observa-se que a bilha:

a) 1

b) é atraída pelo polo sul e repelida pelo polo norte.

b) 2

c) é atraída por qualquer dos polos.

c) 3

d) é repelida por qualquer dos polos.

d) 4

e) é repelida pela parte mediana da barra.

e) 5 3. (Cesgranrio) Uma barra imantada, apoiada numa superfície perfeitamente lisa e horizontal, é dividida habilidosamente em três pedaços (A, B e C):

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6. (UERJ) A figura representa três barras metálicas imantadas, AB, CD e EF:

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a) é atraída pelo polo norte e repelida pelo polo sul.

7.

Nessas barras verifica-se que a extremidade A atrai a extremidade C e repele a extremidade F. Pode-se concluir que: a) B atrai E e repele D.

Sobre as linhas do campo magnético é correto afirmar que: a) elas são paralelas ao Equador.

b) B atrai C e repele F. c) B e E atraem D.

c) elas saem do polo Norte magnético e entram no polo Sul magnético.

d) B e E repelem D.

d) campo magnético é mais intenso no Equador.

e) B atrai D e E repele.

e) polo Sul magnético está próximo ao Sul geográfico.

(UFF) Assinale a opção em que as linhas de indução do campo magnético de um ímã estão mais bem representadas.

b) elas são radiais ao centro da Terra.

9. (Med-FESo-RJ) Uma agulha magnética de uma bússola tende a: a) mover-se segundo a perpendicular às linhas de força do campo magnético local. b) orientar-se segundo a direção das linhas de força do campo magnético local.

a)

c) efetuar uma rotação que tem por eixo o campo magnético local. d) formar ângulos de 45o com a direção do campo magnético local.

b)

e) formar ângulos, não-nulos, de inclinação e de declinação com a direção do campo magnético local. 10. (UFU) A figura representa o chão de uma sala, sendo AB a direção NS da Terra. Um fio reto é colocado verticalmente nessa sala, conduzindo, uma corrente i, dirigida para cima, de intensidade muito elevada.

c)

Uma pequena agulha magnética é colocada no ponto P indicado na figura. A orientação final da agulha magnética é:

d)

e) 8. (UFRRJ) Abaixo, mostramos a figura da Terra onde N’ e S’ são polos Norte e Sul geográficos e N e S são os polos Norte e Sul magnéticos.

a) b) c) d)

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e) 11. (UEL) Um fio retilíneo, longo, é percorrido por uma corrente elétrica contínua i, no sentido indicado pela figura abaixo.

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plano de representação. O ponto O, onde o condutor fura esse plano, encontra-se:





Os campos magnéticos BA e BB, gerados por essa corrente nos pontos A e B, são mais bem representados em: a) à esquerda de P1, com a corrente entrando no plano. b) à direita de P2 com a corrente entrando no plano.

a)

c) à esquerda de P1, com a corrente saindo do plano. d) à direita de P2 com a corrente saindo do plano. e) entre P1 e P2, com a corrente entrando no plano. 14. (UFRN) Na figura abaixo estão representados dois fios metálicos longos, perpendiculares ao plano da página, percorridos por correntes i e 2i de sentidos iguais. O campo magnético resultante é nulo no ponto P se:

b)

c)

a) d)

y = 0,25 x

b) y = 0,50 x

e)

12. (UFSCar) Um fio condutor é dividido em dois, que logo se juntam novamente, formando uma espira circular de raio r, conforme a figura. Se uma corrente i circula pelo fio, o módulo do campo magnético B, no centro da espira é:

c)

y = 0,75 x

d)

y =2 x

e)

y =4 x

15. (UMC) Faz-se passar uma corrente elétrica, de intensidade constante, por um fio retilíneo e longo. Nessas condições, a intensidade da indução magnética num ponto situado a 10cm do eixo do condutor é B. Se considerarmos outro ponto, situado a 20cm do eixo do mesmo condutor, a intensidade da indução será:

a) proporcional à corrente i.

b) B/4

b) zero.

c) B/8

c) proporcional a i/R.

d) 4B

d) proporcional a 1/R.

e) 2B

e) proporcional a

i

.

R 13. (FEI) Na figura estão representados, em escala, os campos de indução magnética criados nos pontos P1 e P2 por um condutor reto muito longo, perpendicular ao

12

16. Um fio longo e horizontal é percorrido por uma corrente de 5A. Calcule a intensidade do campo magnético em um ponto situado a 40cm do fio, sendo a permeabilidade Tm magnética igual a 4 . 10-7 A

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a) B/2

17. Calculea intensidade e represente o vetor indução magnética B , no centro da espira da figura abaixo, sendo o seu raio igual a 4pcm e a intensidade de corrente elétrica igual a 3,0A. Considere a permeabilidade magnética igual a 4p . 10-7 Tm A

O módulo do campo magnético resultante, gerado pelas correntes nos dois fios, pode ser nulo somente em pontos dos quadrantes: a) I e II. b) I e III. c) I e IV. d) II e III. e) II e IV.

18. (UFRGS) A histórica experiência de Oersted, que unificou a eletricidade e o magnetismo, pode ser realizada por qualquer pessoa, bastando para tal que ela disponha de uma pilha comum de lanterna, de um fio elétrico e de:

21. (UFMG) Nesta figura, estão representados dois fios, percorridos por correntes elétricas de mesma intensidade e de sentidos contrários, e dois pontos, K e L: Os fios e os pontos estão no mesmo plano. O ponto L é equidistante dos dois fios e o ponto K está à esquerda deles.

a) um reostato. b) um eletroscópio. c) um capacitor. d) uma lâmpada. e) uma bússola. 19. (Unirio) Assinale a opção que apresenta a afirmativa correta, a respeito de fenômenos eletromagnéticos. a) É possível isolar os polos de um ímã. b) Imantar um corpo é fornecer elétrons a um de seus polos e prótons ao outro. c) Ao redor de qualquer carga elétrica, existe um campo elétrico e um campo magnético. d) Cargas elétricas em movimento geram um campo magné­tico. e) As propriedades magnéticas de um ímã de aço aumentam com a temperatura. 20. (UEL) Dois fios longos e retilíneos são dispostos perpendicularmente entre si e percorridos por correntes elétricas de intensidades i1 e i2 como mostra a figura a seguir.

Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o campo magnético: a) em K é nulo e, em L, está entrando no papel. b) em K, está entrando no papel e, em L está saindo dele. c) em K, está saindo do papel e, em L, é nulo. d) em K, está saindo do papel e, em L, está entrando nele. 22. (FEI)Um fio condutor retilíneo muito longo, imerso em um meio cuja permeabilidade magnética é µ0= 6p . 107 Tm/A, é percorrido por uma corrente i. A uma distância 1m do fio sabe-se que o módulo do campo magnético é 10-6T. Qual é a corrente elétrica i que percorre o fio? a) 3,33A b) 6 A c) 10A d) 1A

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e) 6A 23. (Osec) Uma espira circular de raio p cm é percorrida por uma corrente de intensidade de 2,0A, no sentido antihorário, como mostra a figura. O vetor campo magnético no centro da espira é perpendicular ao plano da figura, de intensidade:

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13

a)

a) 4 . 10-7T orientado para fora.

b)

b) 4 . 10-7T orientado para dentro. c) 2 . 10-4T orientado para fora. d) 2 . 10-4T orientado para dentro.

c)

e) 4 . 10-5T orientado para fora. 24. (UFBA) Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 e R2, sendo R1 = 2R2/5, são percorridas respectivamente pelas correntes i1 e i2; o campo magnético resultante no centro da espira é nulo. A razão entre as correntes i1 e i2 é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0

d)

e) 2. (Cesgranrio) Você faz uma bússola que descreve lentamente uma circunferência sobre uma mesa horizontal, no laboratório do seu colégio. Não há materiais magnéticos nas proximidades. Qual das figuras propostas representa corretamente as posições sucessivas da agulha da bússola no decorrer do deslocamento?

d) 2,5 e) 4,0 25. Calcular a intensidade de corrente, que deve atravessar uma bobina chata formada de 40 espiras, de raio igual a 2pcm de modo que a intensidade do vetor indução magnética, no centro, seja igual a: 8 . 10-4T.

a)

Tm

Dado: µ = 4 . 10-7 A

b) 1. (Unificado )

c)

14

d) 3. (Unirio) Três barras de ferro de mesma forma são idênticas pelas letras A, B e C. Suas extremidades são idênticas por A1 e A2, B1 e B2 e C1 e C2. Quando estas barras são aproximadas, vemos que as extremidades A1 e B1 sofrem atração, as extremidades A1 e C2 sofrem

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Na figura, a agulha de uma bússola é colocada num ponto M, a uma distância l de uma barra imantada situada na posição (1). A seguir uma segunda barra, idêntica à primeira, é colocada na posição (2), também a uma distância  de M, e numa direção ortogonal a direção da primeira barra. (Essa segunda barra mostrada em tracejado na figura e tem o seu polo norte voltado para a esquerda). Qual das opções abaixo melhor representa a orientação de equilíbrio estável da agulha magnética quando em presença das duas cargas?

c) nas posições 1 e 5.

repulsão, as extremidades A1 e C1 sofrem atração. Assim, podemos afirmar, em relação a estas barras, que é(são) ímã(s) permanentes(s): a) só A.

d) nas posições 1, 3 e 5. e) nas posições 2 e 4. 6. (UERJ) Uma carga elétrica +Q está em repouso nas proximidades do polo norte de um ímã, como mostra a figura.

b) só B. c) só C. d) A e B.

+Q + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++

e) A e C. 4. (Unificado) O prego de ferro AB inicialmente não-imantado é aproximado do polo norte N de um ímã, como mostra a figura. A respeito dessa situação são feitas três afirmações: S

N

S

Podemos afirmar que: a) a carga será repelida pelo ímã, porque polo norte repele carga positiva.

B

A

N

b) a carga será atraída pelo ímã, porque polo norte atrai carga positiva.

I. O campo magnético do ímã magnetiza o prego.

c) a carga será atraída pelo polo sul e repelida pelo polo norte, porque polo sul atrai carga positiva e polo norte repele carga positiva.

II. Em A se forma o polo norte e em B um polo sul. III. O ímã atrai o prego. Dessa(s) afirmação(ões), está(ão) correta(s): a) apenas I.

d) a carga será repelida pelo polo sul e atraída pelo polo norte, porque polo sul repele carga positiva e polo norte atrai carga positiva.

b) apenas I e II.

e) a carga não será atraída nem repelida, porque o ímã não interage com a carga na situação descrita.

c) I, II e III. d) apenas II.

7.

e) apenas II e III. 5. (Fuvest) Apoiado sobre uma mesa, observa-se o trecho de um fio longo, ligado a uma bateria. Cinco bússolas são colocadas próximas ao fio, na horizontal, nas seguintes posições: 1 e 5 sobre a mesa; 2, 3 e 4 a alguns centímetros acima da mesa. As agulhas das bússolas só podem mover-se no plano horizontal. Quantos não há corrente no fio, todas as agulhas das bússolas permanecem paralelas ao fio. Se passar corrente no fio, será observada deflexão, no plano horizontal, das agulhas das bússolas colocadas somente:

(Unificado) Investiga-se o campo magnético em torno de um ímã fixo, usando-se uma bússola. Qual das figuras abaixo pode determinar as posições corretas da bússola em torno do ímã? a)

b)

c) 2

3

1

4 5

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d)

a) na posição 3. b) nas posições 2, 3 e 4.

e)

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15

8. (UFMG) Fazendo uma experiência com dois ímãs em forma de barra, Júlia colocou-os sob uma folha de papel e espalhou limalhas de ferro sobre essa folha. Ela colocou os ímãs em duas diferentes orientações e obteve os resultados mostrados nas figuras I e II:

predominar sobre outro. Suponha que esse pesquisador obtenha três amostras das águas de lagos, de diferentes regiões da Terra, contendo essas bactérias. Na amostra A, predominam as bactérias que se orientam para o polo norte magnético; na amostra B, predominam as bactérias que se orientam para o polo sul magnético e na amostra C, há quantidades iguais de ambos os grupos. a) A partir dessas informações, copie e preencha o quadro abaixo, na folha de respostas, assinalando a origem de cada amostra em relação à localização dos lagos de onde vieram.

Nessas figuras, os ímãs estão representados pelos retângulos. Com base nessas informações, é correto afirmar que as extremidades dos ímãs voltadas para a região entre eles correspondem aos polos: a) norte e norte na figura I e sul e norte na figura II.

Lagos próximos

Lagos próxi-

ao Polo Norte

mos ao Polo Sul

Lagos próximos ao

geográfico (Polo

geográfico (Polo

Equador

Sul magnético)

Norte magnético)

Amostra:______

Amostra:______

Amostra:______

b) Baseando-se na configuração do campo magnético terrestre, justifique as associações que você fez. 11. (ITA) Um pedaço de ferro é posto nas proximidades de um ímã, conforme a figura a seguir.

b) norte e norte na figura I e sul e sul na figura II. c) norte e sul na figura I e sul e norte na figura II. d) norte e sul na figura I e sul e sul na figura II. 9. (UFV) Cada uma das figuras I e II, abaixo mostra uma carga puntual, mantida fixa entre e equidistante de dois ímãs. (I)

N

S

+Q +

N

S

( II )

N

S

-Q +

N

S

É correto então afirmar que, após serem abandonadas com velocidades iniciais nulas na ausência do campo gravitacional: a) a carga positiva será atraída pelo polo sul do ímã à esquerda e a carga negativa será atraída pelo polo norte do ímã à direita. b) a carga positiva será atraída pelo polo norte do ímã à direita e a carga negativa será atraída pelo polo sul do ímã à esquerda. c) cada carga permanecerá em sua posição original.

ferro imã

Qual a afirmação correta: a) é o ímã que atrai o ferro. b) é o ferro que atrai o ímã. c) a atração do ferro pelo ímã é mais intensa. d) a atração do ímã é mais intensa. e) o ímã e o ferro atraem-se com a mesma intensidade. 12. (UFU) A figura mostra dois fios condutores e infinitos, percorridos por correntes iguais e opostas. A meio caminho entre os fios abandona-se um elétron. A força magnética resultante sobre ele é mais bem representada pelo vetor:

d) ambas as cargas são atraídas pelo polo norte do ímã à direita. e) ambas as cargas serão atraídas pelo polo sul do ímã à esquerda.

16

i

a) b) nulo. c) d) saindo do papel. e) entrando no papel.

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10. (Unesp) Num laboratório de biofísica, um pesquisador realiza uma experiência, com “bactérias magnéticas”, bactérias, que têm pequenos ímãs no seu interior. Com auxílio desses ímãs, essas bactérias se orientam para atingir o fundo dos lagos, onde há maior quantidade de alimento. Dessa forma, devido ao campo magnético terrestre e à localização desses lagos, há regiões em que um tipo de bactéria se alimenta melhor e, por isso, pode

i

13. (Fatec) Dois condutores retos, paralelos e longos, separados pela distância de 10cm, são percorridos por correntes opostas, de intensidade 5,0A e 10,0A. Como são dirigidos os campos de indução que eles produzem nos pontos A, B e C?

i1 = 3,0A

P

i2 = 4,0A

a) 5,0 . 10-6T, perpendicular ao plano da figura, para fora. b) 5,0 . 10-6T, perpendicular ao plano da figura, para dentro. c) 1,0 . 10-6T perpendicular ao plano da figura para fora. d) 1,0 . 10-6T perpendicular ao plano da figura para dentro.

a)

e) nula. 16. (Unip) Considere dois condutores retilíneos muito longos, percorridos por correntes elétricas de intensidades constantes, dispostas perpendicularmente ao plano do papel com os sentidos de corrente indicados na figura.

b)

c)

d

d

3d

3d B

B

d)

A

A

2d

2d

e) 14. (Med-S. Casa–SP) Dois fios dispostos, como indica a figura, determinam as quatro regiões do plano. As correntes elétricas i1 e i2, pelos condutores, podem produzir campos de intensidade nula: (II)

i1

b) 3B1

(I)

c) 2B1

i2 (III)

d) 4B1

(IV)

e) B1

a) Somente em (I). b) Somente em (II). c) Somente em (III). d) Em (II) e em (IV). e) Em (II) e em (III).

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O condutor percorrido pela corrente elétrica i1 produz em A um campo magnético cujo vetor indução magnética tem intensidade B1. O campo magnético resultante em A, pela ação de i1 e i2, é nulo. O campo magnético resultante em B, pela ação de i1 e i2, tem um vetor indução magnética de intensidade: a) zero

15. (Osec) Dois fios longos são percorridos por correntes de intensidades 3,0A e 4,0A nos sentidos indicados na figura ao lado. O vetor campo de indução magnética no ponto P, que dista 2,0cm de i1 e 4,0cm de i2 é, no vácuo:

a)

17. (UFU) Considerando o elétron, em um átomo de hidrogênio, como sendo uma massa pontual, girando no plano da folha, em uma órbita circular, como mostra a figura, o vetor campo magnético criado no centro do círculo por esse elétron é representado por: Obs.: lembre que o sentido convencional da corrente elétrica é oposto ao do movimento dos elétrons.

b)

c)

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d)

e)17

b) c)

b)

c)

d)

a)

b) b)

c)

d)

e)

b)

c) c)

c) d)

d)

d) d)

e)

e)

e)

e)

e) 18. (Med-S. Casa–SP) O campo magnético, produzido no centro de uma espira circular de raio R por uma corrente elétrica de intensidade i, é diretamente proporcional a:

21. (Fuvest) Uma espira condutora circular, de raio R, é percorrida por uma corrente de intensidade i, no sentido horário. Uma outra espira circular de raio R/2 é concêntrica com a precedente e situada no mesmo plano que ela. Qual deve ser o sentido e qual o valor da intensidade de uma corrente que, percorrendo essa segunda espira, anula o campo magnético resultante no centro O? Justifique sua resposta. 22. (PUC Minas) Dois fios condutores retilíneos cruzam-se perpendicularmente. A corrente no condutor X tem intensidade i e, no condutor Y, a corrente é 3i. Seja B o módulo do campo magnético criado pela corrente de X, no ponto P. O módulo do campo resultante em P é:

a) i . R d

i b) R R c) i

P

d

i

3i

1 R.i i e) R d)

Y

X

a) zero.

19. (UFMG) Os fios 1 e 2, mostrados na figura, são retilíneos e muito compridos, estando ambos no ar e situados no plano desta folha. Há, no fio 1, uma corrente i1 = 5,0A e uma corrente i2 no fio 2. Deseja-se que o campo magnético resultante, devido aos fios, seja nulo no ponto P (figura). fio 2 fio 1

ii1 15cm P

45cm

b) B c) 2B d) B 2 e) B 3 23. (AFA) Em um altofalante, desses utilizados em sonorização de autos, temos uma bobina imersa em um campo magnético intenso produzido por um ímã permanente, conforme o esquema abaixo. Nessas condições, podemos afirmar que: Cone de papelão Bobina móvel

Para que isso aconteça. a) Determine qual deve ser o sentido da corrente i2 no fio 2.

i

b) Calcule qual deve ser o valor de i2. 20. (UFPE) Dois longos fios paralelos transportam correntes iguais e de sentidos opostos, e estão separados por uma distância igual a 2b. Determine a relação B Q/BP entre os módulos do vetor indução magnética no ponto Q, equidistante e coplanar aos dois fios, e no ponto P, coplanar com os fios e situado a uma distância b do fio da esquerda.

b

b Q i

18

a) Os polos do ímã repelirão a bobina móvel, mantendo-a parada sobre o seu eixo. b) A bobina poderá mover-se para frente ou para trás, dependendo do sentido da corrente i. c) A bobina móvel ficará paralela às linhas do campo magnético do ímã, se a corrente i for igual a zero.

i P b

Ímã permanente

d) O campo magnético produzido pela bobina será anulado pelo campo do ímã permanente.

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a)

a) a)

24. (Fesp) Um solenoide de comprimento 5cm é construído com 1000 espiras e percorrido por uma corrente de 2A. Dado µ = 4π . 10-7T × m/A, o campo magnético no centro do solenoide vale, aproximadamente: a) 1,2 . 10-2T b) 2,5 . 10-2T c) 5,0 . 10-2T

c) 2i, para a esquerda. d) 4i, para a esquerda. 28. (Unicamp) um condutor homogêneo, de resistência 8Ω, tem a forma de uma circunferência. Uma corrente i = 4A chega por um fio retilíneo ao ponto A e sai pelo ponto B por outro fio retilíneo podem ser consideradas desprezíveis. 4A

A

d) 7,5 . 10-2T e) 12,5 . 10-2T

4A

25. (Osec) Uma bobina chata é formada de 50 espiras circulares de raio 0,1m. Sabendo que as espiras são percorridas por uma corrente de 3A, a intensidade do vetor campo magnético no seu centro será de (µ = 4π . 10-7T . m/A): a) 3π . 10-4T

B

Calcule: a) a intensidade das correntes nos dois arcos de circunferência compreendidos entre A e B; b) o valor da intensidade do campo magnético no centro O da circunferência.

b) 60π . 10-7T

29. (Unesp) A figura mostra um fio condutor reto e longo, percorrido por uma corrente I, e dois pontos M e N, próximos ao fio, todos no mesmo plano do papel.

c) 15π . 10-8T d) 19π . 10-8T e) 50π . 10-4T 26. (FEI) A intensidade do campo magnético produzido no interior de um solenoide muito comprido percorrido por corrente depende basicamente: a) só do número de espirais do solenoide. b) só da intensidade da corrente. c) do diâmetro interno do solenoide. d) do número de espiras por unidade de comprimento e da intensidade da corrente. e) do comprimento do solenoide. 27. (AFA) Os dois condutores retilíneos e compridos da figura produzem um campo magnético resultante no ponto A de intensidade 10-5T, saindo perpendicularmente do plano do papel. Se substituirmos os dois condutores por um único condutor, colocado exatamente onde se encontra o condutor 2, a intensidade de corrente e o sentido, para que o campo em A continue inalterado, serão: 1 10

A 10

2i

2 4i

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O

a) 2i, para a direita. b) 4i, para a direita.

N

M Uma partícula carregada positivamente passa, num certo instante, pelo ponto M com uma velocidade perpendicular ao plano do papel e “penetrando” nele. Uma outra partícula, também carregada positivamente, passa pelo ponto N, num outro instante, com uma velocidade que tem a mesma direção e o mesmo sentido da corrente. a) Copie a figura no caderno de respostas e represente o campo magnético B , criado pela corrente I, nos pontos M e N. b) Copie novamente a figura no caderno de respostas  e represente a força magnética F agindo sobre as partículas nos pontos M e N, nos instantes considerados Para responder os ítens a e b, utilize as representações seguintes: Vetor no plano do papel . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor “penetrando” perpendicular mente no plano do papel . . . . . . . . . . . . . . . .⊗ Vetor “saindo” perpendicular mente ao plano do papel . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O

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30. (Unicamp) A corrente elétrica contínua em uma dada linha de transmissão é de 4000A. Um escoteiro perdido, andando perto da linha de transmissão, tenta se orientar utilizando uma bússola. O campo magnético terrestre é de 5,0 . 10-5T perto da superfície da Terra. A permeabilidade magnética é µ0 = 4 π . 10-7 T. m/A. a) Se a corrente está sendo transmitida no sentido leste para oeste, qual é o sentido do campo magnético gerado pela corrente perto do chão? Justifique sua resposta.

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b) A que distância do fio o campo gerado pela corrente terá o módulo igual ao do campo magnético terrestre?

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4 10–7 . 5  . i B = 2 . 0,4 = 2,5 . 10-6T 2 d 17. A direção e o sentido são dados pela regra da mão direita, ou seja, perpendicular ao plano que contém a • espira e saindo do papel

16. No caso: B = 1. C 2. E 3. A

i

4. D

i

5. C 6. C 7.

E

8. C 9. B 10. B 11. E 12. B EM_V_FIS_027

13. A 14. D 15. A

18. E

A intensidade é dada por: B =  . i 2R –7 4 10 . 3 -5 B= B = 1,5 . 10 T. 2 . 4 . 10–2

19. D 20. B 21. D 22. A 23. E 24. A Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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25. B =

N 0i 2R

8 . 10-4 =

40 . 4 . 10-7 . 2 2 . 2 . 10-2

i = 2A.

22. C 23. B 24. C 25. A

A C E C B E E D C

26. D 27. A 28. a) Um trecho corresponde a 1/4 da resistência do fio U 4U 4R Pi U e o outro a 3/4. Logo i1 = = = = = 3R R1 3R 3R 4 4 . 3 . Ri 1 = = 1A e i2 = i – i1 = 4 – 1 = 3A. 3 . R . 16 4  b) A corrente i1 origina um campo B1 saindo do papel  . 1 3 3 dado por B1 = . = , já a corrente i2 ori8R 4 2R gina um . 3 3 1 campo entrando no papel de: B2 = . = . 8R 4 2R A soma é igual a zero.

a) As bactérias devem se orientar segundo polos de nomes contrários. A primeira é da amostra B, a segunda amostra A e a terceira amostra C. b) Uma bactéria que se orienta para um dos polos, quando colocada nesse polo tem maiores facilidades para atingir o fundo onde a alimentação é mais fácil, tendo mais condições para sobreviver. Já no equador temos igual influência dos polos, logo a amostra C é dessa região.

29.

� N BN direita: a) Aplicando a regra da mão � BBM NM N

11. E

N M

12. B

BN

� M direita, B determinamos o sentido b) Pela regra da mão  M da força magnética F

13. B 14. D 15. B

i

� BN

16. E

� FFF N

i

17. A 18. B

� BM

19. a) Aplicando a regra da mão direita, a corrente i2 é para baixo. b) Campo nulo, |B1| = |B1| simplificando:

5 i = 2 15 45

i i 20. BQ = e BP = 3 b b

 . i1 2 d1

B=

i2 = 15A.

BQ = 3. BP

 V

� V

q>0

 �F = O V M qq > >0 0





c) Em M, o vetor B é paralelo ao vetor V e formam um ângulo de 0o. Portanto, neste ponto, a força magnética é igual a zero.

 i2 e 2 d2

21. O sentido da corrente é oposto ao de i, e o seu valor: . i = 2  . i1 |B| = |B1| i1 = i . 2R 2R 2

22

� BN i i

30. a) Aplicando a regra da mão direita: do norte para o sul. i 4 . 10–7 . 4 . 103 5,0 . 10-5 = b) Aplicando: B = 2 d 2 .d e c) d = 16m.

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