7.2 Diapositivas FRACCIONES ALGEBRAICAS

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FRACCIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

Profesor: Luis Jiménez Bartesaghi

DEFINICIÓN O Una fracción algebraica racional es la división indicada de

dos polinomios. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

𝑥3 + 1 𝑥2 − 7

𝑥 2 + 3𝑥 − 6 𝑥 2 + 2𝑥 − 1

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2𝑥 + 3𝑦 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2

CLASES DE FRACCIONES

RACIONALES

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1. FRACCIÓN PROPIA O Es aquella donde el grado del denominador es mayor que el

grado del numerador. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

5

𝑥 2 − 2𝑥 + 1

2 𝑥+2

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2𝑥 + 3

𝑥 2 + 𝑥 + 10

2. FRACCIÓN IMPROPIA O Es aquella donde el grado del denominador es menor o igual

al grado del numerador. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 𝑥2 − 2

𝑥3 + 2

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥 +7

𝑥 − 19

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3. FRACCIONES HOMOGÉNEAS O Son aquellas fracciones que tienen igual denominador.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 𝐴= 𝑥2 − 2

3𝑥 2 + 1 B= 2 𝑥 −2

𝑨 𝒚 𝑩 𝒔𝒆𝒓á𝒏 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂𝒔

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4. FRACCIONES HETEROGÉNEAS O Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 𝐴= 2 𝑥 + 2𝑥 − 1

B=

𝑥2 + 1 𝑥 +2

𝑨 𝒚 𝑩 𝒔𝒆𝒓á𝒏 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒉𝒆𝒕𝒆𝒓𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂𝒔

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5. FRACCIÓN IRREDUTIBLE O Son aquellas fracciones en las cuales el numerador y el

denominador no poseen factores comunes; es decir no pueden ser simplificados. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

M=

𝑥3 + 8 𝑥 −2

𝑴 𝒔𝒆𝒓á𝒏 𝒊𝒓𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆, 𝒑𝒖𝒆𝒔 𝒙𝟑 + 𝟖 , 𝒚 𝒙 − 𝟐 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆𝒏 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏𝒆𝒔.

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OPERACIONES CON FRACCIONES

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1. ADICIÓN O SUSTRACCIÓN 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑃 𝑥 . 𝑇 𝑥 ± 𝑆 𝑥 . 𝑄(𝑥) ± = 𝑄(𝑥) 𝑇(𝑥) 𝑄 𝑥 . 𝑇(𝑥) 𝑃 𝑆 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑚𝑐𝑚 𝑄, 𝑇 . 𝑄 ± 𝑚𝑐𝑚 𝑄, 𝑇 . 𝑇 ± = 𝑄(𝑥) 𝑇(𝑥) 𝑚𝑐𝑚(𝑄, 𝑇)

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SOLO PARA 2 FRACCIONES

GENERAL

2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑃 𝑥 . 𝑆 𝑥 . = 𝑄(𝑥) 𝑇(𝑥) 𝑄 𝑥 . 𝑇(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑃 𝑥 . 𝑇 𝑥 / = 𝑄(𝑥) 𝑇(𝑥) 𝑄 𝑥 . 𝑆(𝑥)

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FRACCIONES PARCIALES O Para descomponer una fracción en fracciones parciales, se

tiene que cumplir las siguientes condiciones: Tiene que ser una fracción propia 2. Denominador factorizable 1.

O El número de fracciones parciales será menor o igual que

la suma de las multiplicidades de los factores primos del denominador.

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a) CASO #1 𝑁 𝐵 𝐴 + = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) (𝑥 + 𝑏) (𝑥 + 𝑎)

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b) CASO #2 𝑁 𝐴 𝐶 𝐵 + = + 3 2 (𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑎)3 (𝑥 + 𝑎)

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c) CASO #3 𝐴𝑥 + 𝑏 𝑁 = 2 2 2 (𝑥 +𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑥 +𝑎𝑥 + 𝑏

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𝐶𝑥 + 𝐷 + (𝑥 2 +𝑎𝑥 + 𝑏)2

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:  𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 3𝑥 − 4 𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

𝐴 𝐵 3𝑥 − 4 + = (𝑥 − 3) (𝑥 + 2) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵(𝑥 − 3) 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

3𝑥 − 4 𝑥=3 𝑥 = −2

1 2 + = (𝑥 − 3) (𝑥 + 2)

= 𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵(𝑥 − 3)

3 3 − 4 = 𝐴 3 + 2 + 𝐵(3 − 3) 3 −2 − 4 = 𝐴 −2 + 2 + 𝐵(−2 − 3)

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𝐴=1 𝐵=2

CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA O Cuando la fracción toma la forma indeterminada

0 0

ó

𝑎 0

,

para un valor especifico de “x”, (x=a), entonces, se tiene que eliminar dicho factor que está generando esa indeterminación (x-a) y volver a remplazar en la expresión el valor (x=a). Este valor numérico resultante se llama limite o valor real de la fracción algebraica. #QuédateEnCasa

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:  ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥2 − 4 𝐹 𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 𝑥 −2 𝑥 2 − 22 𝐹 𝑥 = 𝑥 −2 𝐹 𝑥 =𝑥+2

𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟

(𝑥 − 2)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥 −2

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2

𝐹 2 =4

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𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:  ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥2 − 4 𝐹 𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 𝑥 −2 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

2𝑥 1 − 0 (𝑥 2 −4)´ = = 2𝑥 𝐹 𝑥 = 1𝑥 0 − 0 (𝑥 −2)´ 𝐹 𝑥 = 2𝑥

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2

𝐹 2 =4

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AHORA RESOLVAMOS LOS EJERCICIOS #QuédateEnCasa