Algebra liniowa - Macierze 1

SAVE OFFLINE

2. Rachunek macierzowy. 2.1. Macierze 2.1.1. Określenie macierzy. Działania elementarne na macierzach. I. Oznaczmy przez M skończony zbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych: M={1,2,...,m}, a przez N zbiór : N= {1,2,...,n}. Iloczynem kartezjańskim MN jest zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru M, a drugi do zbioru N. Definicja.2.d.1. Macierzą prostokątną A o m wierszach i n kolumnach oraz elementach z niepustego zbioru P nazywamy każdą funkcję A : ( M  N )  P . Najczęściej zbiór P jest zbiorem liczbowym i tylko takie macierze będą przedmiotem naszych rozważań. Zamiast A(i, j) będziemy pisali aij. Zatem A = [aij]

i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n.

Najwygodniejszą postacią zapisu macierzy jest tablica prostokątna z wypisanymi wszystkimi wartościami, np. M = {1,2,3}, N = {1,2,3,4}, P= Z – zbiór liczb całkowitych.

1  1 2 1  A  3 2 5  4 tutaj np. a12  1, a 23  5 . 0 1  3 7  W każdej macierzy wyróżniamy wiersze i kolumny. Liczby: 3 2 5 4 tworzą drugi 1 wiersz, natomiast liczby 5 trzecią kolumnę.

3 Liczby, z których zbudowana jest macierz nazywamy jej elementami. Element aij znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy. W powyższej macierzy A, element 3 znajduje się w trzecim wierszu i trzeciej kolumnie, zatem a33  3 . Wymiarem macierzy nazywamy iloczyn liczby jej wierszy i kolumn, przy czym mnożenia nie wykonuje się. Macierz A jest więc wymiaru 34 (czyta się: trzy na cztery, a nie:12), a macierz podana w definicji jest wymiaru mn. Macierze będziemy zazwyczaj oznaczali dużymi literami alfabetu łacińskiego: A , B , C ,... Z powyższych rozważań wynika, że sposób ogólny zapisywania macierzy :

 

A  aij

i 1,..., m ; j 1,..., n

1

 a11 a12 a a 22 można zastąpić postacią: A   21  ... ...   am am2 Będziemy używać obu postaci.

... a1n  ... a 2 n  . ... ...  ... a mn 

Dwie macierze są równe, jeśli mają równe wszystkie odpowiednie elementy

a 

ij i 1,..., m ; j 1,..., n

 

 bij

i 1,..., m ; j 1,..., n

  i  1,..., m; j  1,..., n : aij  bij

II. Klasyfikacja macierzy. a) Macierzą wierszową lub wektorem wierszowym nazywamy macierz składającą się tylko z jednego wiersza. Macierzą kolumnową, lub wektorem kolumnowym nazywamy macierz składającą się tylko z jednej kolumny.

 

b) Macierz A  aij

i 1,..., m ; j 1,..., n

nazywamy kwadratową, gdy n = m, np.

1 2  1  3 5  1 .   4 3  2 Przekątną główną macierzy kwadratowej nazywamy ciąg kolejnych elementów postaci aii, i=1.2,...,n . W powyższej macierzy przekątną główną tworzą elementy : 2 5 2.

 

c) Macierz kwadratową A  aij

i , j 1,..., n

nazywamy symetryczną, gdy

aij  a ji np.

 1 1 3  1  1 2   3 2 0 Uwaga. W macierzy symetrycznej główna przekątna jest osią symetrii elementów macierzy.

 

d) Macierz kwadratową A  aij

i , j 1,..., n

nazywamy antysymetryczną, lub ukośnie

1  3  0  symetryczną gdy aij   a ji np.  1 0 2 .   3  2 0 Uwaga.2.u.1. W macierzy antysymetrycznej główna przekątna składa się z samych zer.

2

 

e) Macierz kwadratową A  aij

i , j 1,..., n

nazywamy górnotrójkątną, gdy aij  0 dla i  j (pod

główną przekątną znajdują się same zera) oraz dolnotrójkątną gdy aij  0 dla i  j (nad główną przekątną znajdują się same zera). Macierz kwadratową A  aij nazywamy diagonalną, gdy aij  0

 

i , j 1,..., n

dla i  j (elementy różne od zera mogą występować tylko na głównej przekątnej). Macierz diagonalną A  aij nazywamy jednostkową gdy

 

i , j 1,..., n

 i  1,2,..., n : aii  1 . Macierz jednostkową oznacza się przez E lub I (w tej książce będziemy oznaczać przez E ), lub – by zaznaczyć wymiar – E n , np E1  1 , 1 0 E2   , 0 1 

1 0 0 E3  0 1 0 . 0 0 1

 

f) Macierzą transponowaną macierzy prostokątnej A  aij

 

i 1,..., m ; j 1,..., n

nazywamy macierz

prostokątną AT  a ji , w której pierwszą kolumną jest pierwszy wiersz i 1,..., m ; j 1,..., n macierzy A, drugą kolumną – drugi wiersz macierzy A itd.

III. Działania na macierzach. a) Mnożenie macierzy przez liczbę. Mnożenie macierzy przez pewną liczbę polega na mnożeniu wszystkich elementów tej macierzy przez tę liczbę, i odbywa się według wzoru: np. p  aij  p  aij

 



i 1,..., m ; j 1,..., n



i 1,..., m ; j 1,..., n

1 1 2  6 2 2 4 3 2   . 2  1 1 0 4  2 2 0    

Mnożenie to można interpretować jako np. pomnożenie przez współczynnik liczby zatrudnionych w danej placówce w celu obliczenia wydajności całej sieci (tzw. waga). b) Dodawanie macierzy. Aby dodać dwie macierze, muszą one mieć ten sam wymiar. Dodawanie macierzy polega na dodawaniu odpowiednich elementów tych macierzy wg. wzoru aij np.  bij  aij  bij

 

i 1,..., m ; j 1,..., n

 

i 1,..., m ; j 1,..., n





i 1,..., m ; j 1,..., n

 2  1  1 3  1 2  3 1   1 2  4 3   2 3  4 1 2 4

3

c) Mnożenie macierzy przez macierz (w sensie Cauchy’ego) Warunek wykonalności mnożenia macierzy: Niech będą dane dwie macierze prostokątne A i B. Mnożenie AB jest wykonalne, jeśli liczba kolumn macierzy po lewej stronie znaku mnożenia (macierz A) jest równa liczbie wierszy macierzy po prawej stronie znaku mnożenia (macierz B). Mnożenie macierzy wykonuje się według następującej reguły:

 

A  aij

i 1,..., m ; j 1,..., n

 

, B  b jk

j 1,..., n ; k 1,..., r

A  B  C  cik i 1,...,m; k 1,...,r n

gdzie cik  ai1b1k  ai 2 b2 k  ...  ain bnk   aij b jk . inaczej – element cik jest wynikiem j 1

odpowiedniego pomnożenia i – tego wiersza macierzy A przez k – tą kolumnę macierzy B, a „odpowiedniość” polega na tym, że mnoży się pierwszy element wiersz przez pierwszy element kolumny, dodaje się iloczyn drugiego elementu wiersza i drugiego elementu kolumny itd. Przykład 2.p.1. Wykonać mnożenie macierzy.  1 3 6  1  5  0  4 0  2 1  1 0   2  2  0  0 2  1   1 2 2  1     1  4  0  1 3  2  10  2  6 9 .       0 5       1 1 0 1  2  0  3 3  1  0  6 0 8 3        1 2

Własności mnożenia macierzy: 1 Łączność (AB) C = A(BC) – oczywiście tylko wtedy, gdy można mnożyć sąsiednie macierze. 2 Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne. AB  BA Przykład. 2.p.2

 1 2 0 2 1  1 2 5  1 AB =  3 1 1  0 2 1  9 6  1     1 0 2  3 1 1 4 1 3 2 1  1  1 2 0 6 5  1 BA = 0 2 1   3 1 1  5 2 4   3 1 1  1 0 2 5 7 3 2 5  1 6 5  1 AB  BA ponieważ 9 6  1  5 2 4 .     4 1 3 5 7 3

4

Przekształceniem elementarnym macierzy nazywamy każde z następujących działań: 1 Pomnożenie wszystkich elementów wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera. 2 Zamiana wierszy (kolumn) miejscami (przestawienie wierszy (kolumn)). 3 Dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny), odpowiednio, elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną, ustaloną liczbę.

5