ALGUNOS EJERCICIOS EXPLICADOS Y RESUELTOS DE LA UNIDAD N°8 SUBESPACIOS

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MATEMÁTICA I

TRABAJO PRÁCTICO No 8 SUBESPACIOS DE Rn 1. Determine si cada conjunto S de…nido es un subespacio del espacio Rn indicado: Para determinar si un conjunto S es un subespacio debemos probar las siguientes condiciones: 0 2 S: Si u y v son vectores de S entonces u + v es un vector de S: Si u es un vector de S y k un escalar entonces ku es un vector que S: a) S =

x 2 R2 =x y

2y = 0 , en R2 :

Observemos que como x

2y = 0 entonces x = 2y: Luego, 2y =y2R ; y

S=

es el conjunto de todos los vectores de R2 tales que la primer componente es el doble de la segunda. Ahora veri…camos las tres condiciones: 0 Para veri…car si 2 S deberiamos ver que la primer componente es el doble de la segunda, 0 0 2:0 es decir = 2S 0 0 Sean u y v vectores de S, entonces u=

2y y

yv=

2t t

con y; t 2 R

Es decir, son vectores tal que la primer componente es el doble de la segunda componente. Ahora veamos si u + v 2 S; u+v = Luego u + v =

2y 2t 2y + 2t 2 (y + t) + = = y t y+t (y + t)

2 (y + t) (y + t)

con (y + t) 2 R

2 S porque la primer componente es el doble de la segunda

componente. Sea u es un vector de S y k un escalar, entonces u=

2y y

con y 2 R

Es decir, es un vector tal que la primer componente es el doble de la segunda componente. Ahora veamos si ku 2 S; ku = k Luego ku =

2y k (2y) 2 (ky) = = y ky (ky)

con (ky) 2 R

2 (ky) 2 S porque la primer componente es el doble de la segunda componente. (ky)

Por lo tanto hemos probado que S es subespacio de R2 : 82 9 3 2a > > > > 4 3a5 > > > : ; a 1

MATEMÁTICA I 8 < x

1 = 4t y=t , t 2 R, en R3 : : z+2= t Observemos que no es subespacio porque es una recta que no contiene al origen de coordenadas. Si suponemos x = y = z = 0 entonces, 8 1 = 4t < 0=t : : 0+2= t 2 3 0 es un sistema de ecuaciones incompatible. Por lo tanto, no existe t tal que 405 sea un elemento 0 de la recta. Luego como el vector nulo no pertenece a S; S no es subespacio de R3 :

c) S es la recta en R3 , de ecuación

d) S es el plano de ecuación x

2y = 3z, en R3 .

Como S es el plano de ecuación x

pero, como x

2y = 3z podemos representar a S de la siguiente manera 82 3 9 < x = S = 4y 5 2 R3 = x 2y = 3z : ; z

2y = 3z es lo mismo que x = 2y + 3z; luego 9 82 3 = < 2y + 3z S = 4 y 5 = y; z 2 R ; : z

es el conjunto de todos los vectores de R3 tales que la primer componente es la suma del doble de la segunda y el triple de la tercera. Ahora veri…quemos si S es subespacio, 2 3 0 Para veri…car si 405 2 S, debemos ver si la primer componente es la suma del doble de la 0 3 2 3 2 2:0 + 3:0 0 52S 0 segunda y el triple de la tercera, es decir 405 = 4 0 0 Sean u y v vectores de S, entonces 2 3 2 3 2y1 + 3z1 2y2 + 3z2 5 yv=4 5 con y1 ; y2 ; z1 ; z2 2 R y1 y2 u=4 z1 z2

Es decir, son vectores tal que la primer componente es la suma del doble de la segunda y el triple de la tercer componente. Ahora veamos si u + v 2 S; 2 3 2 3 2 3 2y1 + 3z1 2y2 + 3z2 (2y1 + 3z1 ) + (2y2 + 3z2 ) 5+4 5=4 5 y1 y2 (y1 + y2 ) u+v = 4 z1 z2 (z1 + z2 ) 2 3 2 3 (2y1 + 2y2 ) + (3z1 + 3z2 ) 2 (y1 + y2 ) + 3 (z1 + z2 ) 5=4 5 con (y1 + y2 ) , (z1 + z2 ) 2 R (y1 + y2 ) (y1 + y2 ) = 4 (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) 2 3 2 (y1 + y2 ) + 3 (z1 + z2 ) 5 2 S porque la primer componente es la suma del (y1 + y2 ) Luego u + v = 4 (z1 + z2 ) doble de la segunda y el triple de la tercer componente 2

MATEMÁTICA I

Sea u es un vector de S y k un escalar, entonces 2 3 2y + 3z u = 4 y 5 con y; z 2 R z

Es decir, es un vector tal que la primer componente es el doble de la segunda componente. Ahora veamos si ku 2 S; 2 3 2 3 2 3 2 3 2y + 3z k (2y + 3z) k (2y) + k (3z) 2 (ky) + 3 (kz) 5=4 5=4 5 con ky; kz 2 R ky ky ky ku = k 4 y 5 = 4 z kz kz kz 2 3 2 (ky) + 3 (kz) 5 2 S porque la primer componente es la suma del doble de la ky Luego ku = 4 kz segunda y el triple de la tercer componente Por lo tanto hemos probado que S es subespacio de R3 : e) S es el plano de ecuación 2x + y + 3

z = 0, en R3 .

f ) S es el conjunto solución del sistema de ecuaciones Como

1 2

1 1

0 no es solución del sistema de ecuaciones entonces 0

x 2 = : y 4

0 2 = S y por lo tanto S no es subespacio. 0

Observemos que no fue necesario encontrar el conjunto solución del sistema, bastó con mostrar que el vector nulo no estaba en S: 2. Justi…que por qué cada conjunto S no es subespacio de Rn indicado. 82 3 2 3 2 39 2 = 1 < 0 a) S = 405 ; 425 ; 4 1 5 , en R3 . ; : 1 3 0

No es subespacio por que no se veri…can la segunda ni la tercera condición. Por ejemplo, refutemos la 2 3 1 tercer implicación. Sea u = 425 2 S y k = 2 2 R y 3 2 3 2 3 1 2 =S ku = 2 425 = 4 45 2 3 6

b) S =

x 2 R2 = x y

y , en R2 .

No es subespacio por que no veri…ca la tercera condición. Refutación: 2 2 S porque 2 1

1y

2 2 R sin embargo 2

c) S =

x 2 R2 = xy y

2 = 1

4 2 = S porque 1

4

1:

0 , en R2 :

No es subespacio por que no veri…ca la segunda condición. Refutación: 3

MATEMÁTICA I

2 2 S porque 2:1 1

1 2 S porque ( 1) : ( 2) 2

0y

2 + 1 2

1 3. Dada la matriz A = 4 2 0

1 = 2

0 sin embargo

1 2 = S porque 1 ( 1) 1

0:

3 0 15, 4

a) Determine el valor de n de forma tal que las siguientes sean proposiciones verdaderas i:col(A) Rn ; i:n = 3;

ii.f il(A) ii.n = 2;

Rn ;

iii.nul(A) iii.n = 2:

Rn :

b) Proponga un vector v no nulo tal que v 2 col(A) y un vector w no nulo tal que w 2 f il(A): Buscaremos un vector v no nulo tal que v 2 col(A)

Sabemos que col(A) es el espacio generado por las columnas de A por lo tanto para proponer un vector v 2 col(A) podemos tomar cualquier combinación lineal de las columnas de A: Por ejemplo 2 3 2 3 2 3 0 1 1 v = 4 25 + 415 = 4 15 4 4 0

c) Determine la veracidad de las siguientes proposiciones: 2 3 2 i. 4 35 2 col(A): 7 0 ii. 2 nul(A): 1 0 pertenece 1 a dicho conjunto solución, es decir, si es una solución del sistema AX = 0: Veri…quemos si 0 A = 0, 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 0 0 1 0 1 0 4 2 15 0 = 0 4 25 1 415 = 4 15 6= 405 1 4 0 0 4 0 4

Como nul(A) es el conjunto solución del sistema AX = 0; debemos veri…car si

Por lo tanto

0 no es solución del sistema homogeneo AX = 0; y en consecuencia 1

0 1

2 = nul(A): 2 iii. 2 f il(A): 1 Como f il(A):es el espacio generado por los vectores …las de la matriz A; debemos veri…car si 2 2 gen 1 Es decir, si el vector

1 ; 0

2 0 ; 1 4

2 1 es combinación lineal de los vectores …las de A; ; 1 0

4

2 0 y : 1 4

MATEMÁTICA I

En de…nitiva, lo que debemos probar es si existen escalares c1 ; c2 y c3 tales que 2 1 = c1 + c2 1 0

2 0 + c3 1 4

Realizando los calculos entre vectores e igualando componente a componente ambos miembros de la igualdad tenemos que la ecuación anterior se veri…ca si y sólo si c1 2c2 = 2 c2 + 4c3 = 1 tiene solución. Si resolvemos el sistema obtenemos que el conjunto solución es 82 9 3 < 4 8t = S = 41 4t5 ; t 2 R : ; t

Luego tomando cualquier valor de t; por ejemplo t = 0; tenemos que c1 = 4; c2 = 1 y c3 = 0 veri…can 2 1 2 0 =4 +1 +0 : 1 0 1 4 Por lo tanto, el vector

2 es combinación lineal de los vectores …las de A y en consecuencia 1

2 2 f il(A): 1 d) Encuentre col(A); f il(A) y nul(A). Encontremos f il (A) f il(A):es el espacio generado por los vectores …las de la matriz A; es decir, 1 ; 0

f il (A) = gen Por lo tanto, son todos los vectores de R2 ,

2 0 ; 1 4

a tales que veri…can que existen escalares c1 ; c2 b

y c3 tales que a 1 = c1 + c2 b 0 Es decir, son todos los vectores de R2 , 1 0

2 0 + c3 1 4

a tales que el sistema b 2 3 c 2 0 4 15 a c2 = 1 4 b c3

1 2 0 1 Por lo tanto, escribimos la matriz ampliada y escalonamos es compatible. O lo que es lo mismo tales que r

1 0

2 1

0 4

=r

1 0

2 1

0 a 4 b

:

0 a 4 b

Como ya está escalonada podemos ver que para cualquier valor de a y b los rangos coinciden. Es decir, f il (A) = R2 5

MATEMÁTICA I

Encontremos nul (A) Como nul(A) es el conjunto solución del sistema AX = 0; basta encontrar el conjunto solución de 2 3 2 3 1 0 0 x 4 2 15 = 405 y 0 4 0 Para resolver por el método de 2 1 4 2 0

Gauss, escribimos 3 2 0 0 1 0 1 05 40 1 4 0 0 4

Luego reconstituyendo el sistema tenemos

la matriz 3 2 0 1 05 40 0 0

ampliada y ecalonamos 3 0 0 1 05 0 0

x=0 e y=0 Por lo tanto, nul(A) =

0 0

:

4. Para cada una de las siguientes matrices determine el espacio columna, el espacio renglón y el espacio nulo. a) A =

0 0

2 4

7 : 0

Espacio columna de A:

col (A)

0 2 7 ; ; 0 4 0

= gen =

a 0 2 7 = c1 + c2 + c3 =c1 ; c2 ; c3 2 R b 0 4 0

=

a 2 7 = c2 + c3 =c2 ; c3 2 R b 4 0

El espacio columna de A son todos los vetores

a tal que sus componentes veri…can que el b

sistemas de ecuaciones c2 + c3 = a 4c2 = b es compatible, es decir, que el rango de la matriz de coe…cientes y la ampliada coinciden. Por lo tanto, escribimos la matriz ampliada y escalonamos 2 4 Luego, r

2 4

7 0

=r

2 4

7 a 0 b

7 a 0 b

2 0

7 a 14 b 2a

= 2 para todo a y b reales. Es decir col (A) = R2

6

MATEMÁTICA I

Espacio …la de A 02 3 2 31 0 0 f il (A) = gen @425 ; 445A 7 0 82 3 9 2 3 2 3 0 0 < a = 4 b 5 = c1 425 + c2 445 =c1 ; c2 2 R = : ; c 7 0 2 3 a El espacio …la de A son todos los vetores 4 b 5 tal que el sistemas de ecuaciones, c 2 3 2 3 0 0 a 42 45 c1 = 4 b 5 c2 7 0 c 2 3 a es compatible, es decir, son todos los vetores 4 b 5 tales que el rango de la matriz de coe…cientes c y de la ampliada coinciden. Por lo tanto, escribimos la matriz ampliada y escalonamos 3 3 2 3 2 2 7 0 c 7 0 c 0 0 a 42 4 b 5 42 4 b 5 40 4 b 2 c5 7 0 0 a 7 0 c 0 0 a

Luego,el rango de la matriz de coe…cientes es dos y para que el rango de la ampliada sea dos a debe ser 0:Por lo tanto 9 82 3 = < 0 f il (A) = 4 b 5 =b; c 2 R : ; : c

Espacio nulo de A El espacio nulo de la matriz A es el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogeneo AX = 0; 2 3 x 0 0 2 7 4 5 y = : 0 0 4 0 z

Para encontrar el conjunto solución resolvemos el sistema por el método de Gauss. 0 0

2 4

7 0

0 0

0 2 0 0

7 0 14 0

La primer columna es libre y las otras dos pivotales por lo tanto la variable x es libre y las variables y y z son pivotales. Sea x = t 2 R; reconstruimos el sistema y resolvemos 2y + 7z = 0 14z = 0 Por lo tanto, z = 0 e y = 0: Luego, el conjunto solución del sistema AX = 0 y por lo tanto el espacio nulo de A; es 82 3 9 < t = nul (A) = 405 =t 2 R : ; 0

b) B = I4 .

7

MATEMÁTICA I 2

3 0 6 17 7 c) D = 6 4 1 5: 0

d) N3

3;

tal que hN iij = 0 para todo i; j:

2 0 N = 40 0

0 0 0

3 0 05 0

Espacio …la y espacio columna de A Como A = AT el espacio …la y columna coinciden por lo tanto 02 3 2 3 2 31 0 0 0 f il (A) = col (A) = gen @405 ; 405 ; 405A 0 0 0 82 39 < 0 = 405 = : ; 0

Espacio nulo de A El espacio nulo de la matriz A es el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogeneo AX = 0; 32 3 2 3 2 0 0 0 0 x 40 0 05 4y 5 = 405 : z 0 0 0 0 2 3 x Observemos que 4y 5 puede ser cualquier vector de R3 ; es decir el conjunto solución del sistema z es R3 y por lo tanto nul (A) = R3 :

5. Diga por qué los siguientes conjuntos no son base del espacio Rn indicado: a)

3 ; 5

2 0 ; 1 3

en R2

No es base de R2 porque como son tres vectores de R2 por propiedad sabemos que es un conjunto de vectores linealmente dependiente. b)

3 2

en R2 .

No es base de R2 porque no genera R2 ; en efecto gen

3 2

=

una recta de R2 . 8es 2 3 2 39 2 = < 3 c) 4 0 5 ; 4 15 en R3 . : ; 1 1 82 3 2 3 2 39 1 0 = < 1 d) 4 15 ; 415 ; 4 25 en R3 . : ; 0 1 1 8

x =t y

3 = 2

3t 2t

MATEMÁTICA I 2

3 0 No es base porque es un conjunto linealmente dependiente ya que el vector 4 25 es combinación 1 2 3 2 3 1 1 lineal de los vectores 4 15 ; 415 : Pues 0 1 2 3 2 3 2 3 0 1 1 4 25 = 4 15 415 1 0 1

6. Halle una base y la dimension para los siguientes subespacios: 82 3 9 x > > > > > > > : ; w

Debemos encontrar una base del subespacio dado, es decir, un conjunto de vectores que genere a S y que sea linealmente independiente. Comenzaremos buscando un conjunto generador y luego veri…caremos que sea linealmente independiente. Notemos que 9 82 3 3y > > > > = > > > ; : z Por lo tanto si u es cualquier vector de S; u puede expresarse de la siguiente manera, 2 3 3y 6y7 7 u=6 4 z 5 con z; y 2 R z

Este vector lo podemos pensar como la suma de dos vectores uno que solo tenga la variable z y otro la variable y; es decir 2 3 2 3 0 3y 6 y 7 607 7 6 7 u = 6 4 0 5 + 4z 5 con z; y 2 R z 0 2 3 2 3 3 0 617 607 7 6 7 = y6 405 + z 415 con z; y 2 R 0 1 2 3 2 3 3 0 617 607 7 6 7 Es decir, todo vector u 2 S se puede expresar como combinación lineal de 6 405 y 415 : 0 1

Por lo tanto, proponemos como base el conjunto 82 3 2 39 3 0 > > > = 1 7 ; 607 B= 6 405 415> > > > : ; 0 1 9

MATEMÁTICA I

En efecto B es una base de S pues genera a S; ya que, 8 2 3 9 82 3 9 2 3 3 0 3s > > > > > > > > < 6 7 = > > t > > > > : ; > : ; 0 1 t

Además el conjunto es linealmente independiente porque son dos vectores no paralelos de R4: Por lo tano, B es base de S: b) Plano en R3 de ecuación Ayuda: El plano de ecuación

x + y + 2z = 0. x + y + 2z = 0 lo podemos representar como el conjunto 82 3 9 < x = 4y 5 2 R3 = x + y + 2z = 0: S = : ; z 82 9 3 < y + 2z = 4 y 5 2 R3 = : ; z

y procedemos de manera similar al item a para hallar una base. c) Recta en R3 de ecuación x = 0; y = Ayuda: La recta de ecuación x = 0; y = S

t; z = 2t, t 2 R

t; z = 2t, t 2 R la podemos representar como el conjunto 9 82 3 2 3 0 = < x 4y 5 = t 4 15 ; t 2 R: = ; : 2 z 82 3 9 < 0 = 4 t5 2 R 3 = : ; 2t

y procedemos de manera similar al item a para hallar una base. 82 3 2 3 2 39 5 2 = < 1 d) El espacio generado por 4 15 ; 4 1 5 ; 4 0 5 : : ; 1 2 1

Ayuda: Buscar el espacio generado y luego encontrar una base como se hizo en el item a):

7. Halle, de ser posible, una base para los espacios columna, …la y nulo de las matrices del item a) y c) del ejercicio 4. a) Encuentre la dimensión de estos espacios. b) Para cada una de las matrices veri…que el teorema del rango. Sea A =

0 0

2 4

7 la matriz del ejercicio 4 item a): 0

col (A) = R2 Podemos tomar la base canónica de R2 B=

1 0 ; 0 1

Para veri…car que es base de R2 ; debemos probar que gen (B) = R2 y que es un conjunto linealmente independiente. 10

MATEMÁTICA I

gen (B) =

a 1 0 = c1 + c2 ; c 1 ; c2 2 R b 0 1

= R2

El conjunto es linealmente independiente porque son dos vectores no paralelos de R2 Como la base tiene dos elementos dim (col (A)) = 2: 82 3 9 < 0 = f il (A) == 4 b 5 =b; c 2 R : ; c Para encontrar una base de f il (A) ; observamos que si u 2 f il (A) ; entonces u es de la forma, 2 3 2 3 2 3 0 0 0 u = 4 b 5 = 4 b 5 + 405 c 0 c 2 3 2 3 0 0 = b 415 + c 405 ; b; c 2 R 0 1 Proponemos,

82 3 2 39 0 = < 0 B = 415 ; 405 ; : 1 0

como base de f il (A), en efecto es una base de f il (B) porque es un conjunto linealmente inpedendiente porque son dos vectores no paralelos de R3 y 9 9 82 3 8 2 3 2 3 0 = = < 0 < 0 gen (B) = b 415 + c 405 ; b; c 2 R = 4 b 5 ; b; c 2 R = f il (A) : ; ; : : 1 0 c Como la base tiene dos elementos dim (f il (A)) = 2 82 3 9 < t = nul (A) = 405 =t 2 R : ; 0 Para encontrar una base de nul (A) ; observamos que si u 2 nul (A) entonces u es de la forma, 2 3 2 3 1 t u = 405 = t 405 0 0 Proponemos como base al conjunto

82 39 < 1 = B = 405 : : ; 0

En efecto B es base de nul (A) porque es un conjunto linealmente inpedendiente porque tiene un único vector no nulo de R3 y 8 2 3 9 82 3 9 < 1 = < t = gen (B) = t 405 ; t 2 R = 405 ; t 2 R = nul (A) : : ; : ; 0 0

Como la base tiene un elemento, dim (nul (A)) = 1: Respuesta de b) Como r (A) = dim (col (A)) = 2 y nulidad (A) = dim (nul (A)) = 1 y la matriz tiene 3 columnas, tenemos r (A) + nulidad (A) = 2 + 1 = 3 = n de columnas de A: 11

MATEMÁTICA I

8. Sean A y B matrices. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. a) Siendo A una matriz de tamaño m

n, si col(A) = Rm entonces nul(A) = f0g.FALSO

b) Siendo A una matriz de tamaño m n, es su…ciente que nul(A) = f0g para que col(A) = Rm .FALSO c) Es necesario que A sea equivalente por …las a B para que nul(A) = nul(B). FALSO d) Si A es equivalente por …las a B entonces nul(A) = nul(B).VERDADERO e) Es su…ciente que nul(A) sea un subespacio trivial de R3 para que A sea inversible. FALSO f ) A es una matriz simétrica sólo si col(A) = col(AT ).VERDADERO g) Si col(A) = nul(A) entonces A es cuadrada.VERDADERO 02 3 2 3 2 31 0 1 3 9. Suponga que T = gen @4 1 5 ; 405 ; 4 25A es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones 2 0 4 lineales AX = O. a) Pruebe que T es un subespacio y describa geométricamente.

2

3 2 3 2 3 0 1 3 Antes de probar que T es subespacio busquemos el espacio generado por 4 1 5 ; 405 ; 4 25 ; 2 0 4 02 3 2 3 2 31 3 1 0 T = gen @4 1 5 ; 405 ; 4 25A 4 0 2 9 82 3 2 3 2 3 2 3 3 1 0 = < a 4 b 5 = c1 4 1 5 + c2 405 + c3 4 25 ; c1 ; c2 ; c3 2 R = ; : 4 0 2 c

2 3 a T es el conjunto de todos los vectores 4 b 5 tales que sus componenentes veri…can que el sistema c de ecuaciones, 8 < c2 + c3 = a c1 2c3 = b : 2c2 + 4c3 = c es compatible, es decir, el rango de la matriz de coe…cientes y el de la matriz ampliada del sistema coinciden.

Escalonamos la matriz ampliada, 2 3 0 1 3 a 41 0 2 b5 2 0 4 c

2

1 40 2

0 1 0

3 2 b 3 a5 4 c

2 1 0 40 1 0 0

3 2 b 3 a 5 0 c + 2b

Para que los rangos coincidan, los escalares b y c deben veri…car que c + 2b = 0 y por lo tanto c = 2b: Luego 82 9 3 < a = T = 4 b 5 ; a; b 2 R : : ; 2b Ahora mostramos que es subespacio

12

MATEMÁTICA I 2 3 0 Para veri…car si 405 2 T deberiamos ver que 0 2 3 2 3 0 0 la segunda, es decir 405 = 4 0 5 2 T 0 2:0 Sean u y v son vectores de T , entonces 2 3 2 a u=4 b 5 yv=4 2b

la tercer componente es el opuesto del doble de

3 t s 5 2s

con a; b; s; t 2 R

Es decir, son vectores tal que la tercer componente es el opuesto del doble de la segunda componente. Ahora veamos si u + v 2 T; 2 3 2 3 2 3 2 3 a t a+t (a + t) 5 = 4 (b + s) 5 con (a + t) ; (b + s) 2 R b+s u+v =4 b 5+4 s 5=4 2b 2s 2b + ( 2s) 2 (b + s) 2

3 (a + t) Luego u + v = 4 (b + s) 5 2 T porque la tercer componente es el opuesto del doble de la 2 (b + s) segunda componente. Sea u es un vector de T y k un escalar, entonces 3 2 a u = 4 b 5 con a; b 2 R 2b

Es decir, es un vector tal que la tercer componente es el opuesto del doble de la segunda componente. Ahora veamos si ku 2 T; 3 3 2 3 2 2 ka ka a ku = k 4 b 5 = 4 kb 5 = 4 kb 5 con ka; kb 2 R 2 (kb) k ( 2b) 2b 3 2 ka Luego ku = 4 kb 5 2 T porque la tercer componente es el opuesto del doble de la segunda 2 (kb) componente.

Por lo tanto hemos probado que T es subespacio de R3 : Interpretación geométrica El conjunto T representa un plano de R3 ; que contiene al origen y tiene la siguiente ecuación vectorial 2 3 2 3 2 3 x 1 0 4y 5 = a 405 + b 4 1 5 ; a; b 2 R: z 0 2 b) Responda: i. ¿Cuántas columnas tiene A? ¿Hay una única respuesta? A tiene 3 columnas. La respuesta es única porque como el conjunto solución esta formado por vectores de R3 , el sistema AX = 0 tiene 3 variables y por lo tanto la matriz A tres columnas. ii. ¿Cuántas …las tiene A? ¿Hay una única respuesta? 13

MATEMÁTICA I

A tiene al menos una …la, porque como T es el conjunto solución de AX = 0 y la dimensión de T es dos tenemos que nulidad (A) = 2 y por el teorema del rango r (A) = 1; por lo que la matriz debe tener al menos una …la no nula. c) Diga por qué si o por qué no una matriz cuadrada A en las condiciones del enunciado es también una matriz no inversible. No es posible, porque como el r (A) = 1 < n de columnas, la forma escalonada reducida por …las de la matriz no es la identidad y por el teorema de las matrices inversibles sabemos que A no puede ser inversible. 10. Encuentre, de ser posible, una matriz cuyo espacio nulo sea: En todos los items se pide que el espacio nulo sea un subconjunto de R3 ; por lo tanto, la matriz A tiene que tener 3 columnas para que nul (A) R3 : i. Un conjunto unitario de R3 . Para que el espacio nulo sea un conjunto unitario de R3 dicho conjunto tiene que ser el formado por el nulo de R3 , es decir, nul (A) = f0 2 R3 g: Por lo tanto, nulidad (A) = 0; lo que implica, por el teorema del rango nulidad (A) + r (A) = 3 (cantidad de columnas) que el r (A) sea tres. Podemos ejemplo: 2 1 40 0

proponer cualquier matriz con 3 columnas y rango 3. Por 1 1 0

3 0 25 ; 1

2 1 0 60 1 6 40 0 0 0

3 0 07 7 15 0

ii. Una recta de R3 . Para que nul (A) sea una recta de R3 ; nulidad (A) = 1; y por el teorema del rango, r (A) tiene que ser dos. Podemos proponer cualquier matriz con 3 columnas y rango 2. Por ejemplo: 3 2 1 1 0 1 0 0 40 1 05 ; 0 1 0 0 0 0 iii. Un plano de R3 . Para que nul (A) sea un plano de R3 ; nulidad (A) = 2; y por el teorema del rango, r (A) tiene que ser uno. Podemos proponer cualquier matriz con 3 columnas y rango 1. Por ejemplo: 2 3 1 0 2 1 0 0 40 0 05 1 0 1 ; 0 0 0 0 0 0

iv. Todo R3 . Para que nul (A)=R3 ; nulidad (A) = 3; y por el teorema del rango, r (A) tiene que ser cero. Podemos proponer cualquier matriz con 3 columnas y rango 0, por lo que la matriz tiene que ser una matriz nula de 3 columnas. Por ejemplo 2 3 0 0 0 0 0 0 40 0 05 ; 0 0 0 0 0 0

b) Encuentre, de ser posible, una matriz cuyo espacio columna sea:

14

MATEMÁTICA I

En todos los items se pide que el espacio columna sea un subconjunto de R3 ; por lo tanto, la matriz A tiene que tener 3 …las para que col (A) R3 : i. Un conjunto unitario de R3 . Para que el espacio columna sea un conjunto unitario de R3 dicho conjunto tiene que ser el formado por el nulo de R3 , es decir, col (A) = f0 2 R3 g: Por lo tanto, r (A) = 0; lo que implica podemos proponer cualquier matriz con 3 …las y rango 0, por lo que la matriz tiene que ser una matriz nula de 3 columnas. Por ejemplo 2 3 2 3 0 0 0 0 0 40 0 05 ; 40 05 0 0 0 0 0 ii. Una recta de R3 . Para que col (A) sea una recta de R3 ; r (A) = 1; por lo tanto podemos proponer cualquier matriz con 3 …las y rango 1. Por ejemplo: 2 3 2 3 2 3 0 2 1 1 0 2 40 05 405 ; 40 0 05 0 0 0 0 0 0

iii. Un plano de R3 : Para que col (A) sea un plano de R3 ; r (A) = 2; por lo tanto podemos proponer cualquier matriz con 3 …las y rango 2. Por ejemplo: 3 3 2 2 1 0 2 1 2 40 40 1 15 15 ; 0 0 0 0 0

iv. Todo R3 . Para que col (A) = R3 ; r (A) = 3; por lo tanto podemos proponer cualquier matriz con 3 …las y rango 3. Por ejemplo: 3 2 3 2 1 0 2 1 1 1 0 40 40 2 0 15 ; 1 15 0 0 0 0 0 0 1 82 3 9 < a = 11. Sea el conjunto T = 4 2a 5 ; a 2 R . Complete cada ítem justi…cando: : ; a a) Demuestre que T es un subespacio de R3 . b) Encuentre una base para T . Para proponer una base para T; tomamos u 2 T; entonces 2 3 2 a u = 4 2a 5 = a 4 a Proponemos

u es de la forma, 3 1 2 5: 1

82 39 < 1 = B= 425 : ; 1

como base. B; en efecto dicho conjunto es una base para T porque es linealmente independiente pues es un conjunto unitario formado por un único vector no nulo y además 8 2 3 9 82 3 9 1 = < t = < gen (B) = t 4 2 5 ; t 2 R = 4 2t 5 ; t 2 R = T ; : ; : 1 t 15

MATEMÁTICA I

c) Proponga una matriz cuadrada C, tal que f il(C) = T: Como f il(C) es el espacio generado por los vectores …las de C y debe ser igual al conjunto T , se tiene que f il(C) R3 . Entonces C debe tener 3 columnas y tambien 3 …las (porque tiene que ser cuadrada), con r(C) = dim(f il(C)) = dim(T ) = 1. Podemos podemos construir la matriz C de forma tal que sus 3 vectores …las sean el vector de B y dos vectores múltiplos de él. Por ejemplo, 2 3 1 2 1 C = 4 0 0 05 0 0 0 Veri…quemos que f il (C)=T:

02

3 2 31 02 31 1 0 1 f il (C) = gen @4 2 5 ; 405A = gen @4 2 5A = gen (B) = T 1 0 1 d) Proponga una matriz A de modo que nul(A) = T y que el sistema de ecuaciones AX = B sea incompatible para algún B. Para que nul(A) = T la matriz A debe tener 3 columnas y nulidad (A) = dim (T ) = 1 y por lo tanto, por el teorema de la dimensión r (A) = 3 1 = 2: Esto implica que es posible construir una matriz A tomando una matriz con dos …las como mínimo y tres columnas tal que nul(A) = T: 82 3 9 2 3 2 3 0 x < a = Para que nul(A) = 4 2a 5 ; a 2 R ; el sistema A 4y 5 = 405 veri…ca que z = a es variable : ; a 0 z x+z =0 libre y y = 2z y x = z: Por lo tanto T es conjunto solución del sistema : Luego y 2z = 0 podemos proponer la matriz, 3 2 1 0 1 25 A = 40 1 0 0 0 Veri…camos que nul (A) = T : Como A ya está en forma escalonada podemos observar que z es variable libre, z = a 2 R y reconstruyendo el sistema tenemos x+z =0!x= a y 2z = 0 ! y = 2a Luego nul (A) = T:

2 3 1 Ademas, el sistema AX = B; con B = 415 es incompatible pues 2 = r (A) 6= r (AB) = 3 1 2 3 1 2 a 1 b 5 , indique en cada caso si es posible encontrar los escalares a; b y c de 12. Dada la matriz A = 42 4 1 c forma tal que se cumplan las condiciones requeridas en cada ítem. Si su respuesta es a…rmativa muestre a; b y c y sus cálculos. De lo contrario dé una razón. a) El conjunto formado por los vectores columna de A es linealmente independiente. 2 3 2 3 1 2 Primero observemos que los vectores columna 425 y 4 15 son linealmente independiente por ser 4 1 dos vectores no paralelos de R3 : Además como es un subconjunto de R3 es posible encontrar otro

16

MATEMÁTICA I 2 3 a vector 4 b 5 tal que el conjunto sea linealmente independiente. Basta encontrar un vector que no sea c 2 3 2 3 2 3 1 2 0 combinación lineal de 425 y 4 15 ; por ejemplo 415 : Debemos demostrar que no es combinación 4 1 82 03 2 3 2 39 2 0 = < 1 lineal de los vectores dados para asegurar que 425 ; 4 15 ; 415 es linealmente independiente. : ; 4 1 0 Sean c1 y c2 escalares 2 3 2 3 2 3 0 1 2 415 = c1 425 + c2 4 15 0 4 1 De esta ecuación vectorial se deduce el siguiente sistema de ecuaciones 2 3 2 3 1 2 0 c 42 15 1 = 415 c2 4 1 0 Que es incompatible pues, 2 1 42 4

2 1 1

3 0 15 0

2 1 40 0

2 3 9

3 0 15 0

2 1 40 0

2 3 0

3 0 1 5 3

el rango de la matriz de coe…cientes y el de la ampliada no coinciden. 82 3 2 3 2 39 2 0 = < 1 Por lo tanto, el conjunto 425 ; 4 15 ; 415 es linealmente independiente. : ; 4 1 0 2 3 3 b) El sistema A:X = 4 35 tiene solución. 3

Es posible encontrar los escalares, teniendo en cuenta la matriz propuesta en el item anterior, 3 2 1 2 0 42 1 15 4 1 0

tiene los vectores columnas linealmente independietes y es cuadrada, por lo tanto por el teorema fundamental 2 la3matriz es inversible y el sistema AX = B es compatible para todo B; en particular 3 para B = 4 35 3

c) col(A) es el plano de ecuación general 2x

3y + z = 0.

3

d) f il(A) es una recta de R . No es posible pues la matriz tiene dos columas linealmente independiente y por lo tanto el rango de la matriz es al menos dos y esto implica que dim (f il (A)) 2 y no puede ser una recta de R3 ; pues si lo fuera, debe ser dim (f il (A)) = 1: 13. Proponga, de ser posible, una matriz A que veri…que que nul(A) sea un subespacio propio de R3 y además veri…que la condición indicada en cada caso. Incluya sus cálculos auxiliares, y en el caso de no ser posible, justi…que. 17

MATEMÁTICA I

Observemos que como nul(A) es un subespacio de R3 ; la matriz A tiene 3 columnas y, además como es un subespacio propio, nul (A) es distinto del subespacio nulo y de R3 . Por lo tanto la nulidad de A deberia ser uno o dos. No es posible / Justi…cación /Cálculos Es posible 82 3 9 < t = 1 2 1 i) f il (A) = 42t5 2 R3 Es posible A= 0 0 0 : ; t Como nul (A) es un subespacio propio la nulidad de A no es cero, y por el El sistema AT X = B sea compatible teorema del rango, el rango de A no es tres. ii) No es posible para todo B 2 R3 . Por lo tanto r AT < 3 por lo que puede existir B 2 R3 ; tal que r (A) 6= r (AB) 1 0 0 iii) col (A) = R2 Es posible A= 0 1 0 Como nul (A) es subespacio propio es distinto del espacio nulo, esto implica que Los vectores columnas de A el sistema AX = 0 no tiene sólo la solución iv) No es posible. forman una base del col(A) trivial. Por lo tanto las columnas de A son linealmente dependiente y por consiguiente no puede formar una base. Justi…caciones: i) Es posible encontrar una matriz que veri…que ambas condiciones porque sabemos que la matriz A tiene tres columnas por lo tanto el f il (A) R3 : Ademas la dimensión del espacio …la dado es 1, porque 82 39 < 1 = B = 425 ; : 1

es una base del f il (A) ; y por el teorema del rango la nulidad (A) sería 2igual 3 a dos (es decir nul (A) 1 seria un espacio propio de R3 ): Como f il (A) está generado por el vector 425 ; podemos proponer este 1 vector como una …la de la matriz y, en caso de querer más …las, podemos agregar vectores múltiplos de ese vector …la, por ejemplo 1 2 1 A= 0 0 0 Cálculos: Para justi…car debemos encontrar el espacio …la y nulo de A: 9 02 3 2 31 82 3 2 3 2 3 1 0 1 0 < a = f il (A) = gen @425 ; 405A = 4 b 5 = c1 425 + c2 405 ; c1 ; c2 2 R : ; 1 0 c 1 0 82 3 9 < t = 42t5 ; t 2 R = : ; t

El espacio nulo es el conjunto solución del sistema AX = 0: Resolvemos el sistema de ecuaciones por Gauss. Como la matriz ampliada del sistema ya está en forma escalonada, 1 0 18

2 1 0 0

0 ; 0

MATEMÁTICA I

observamos que tiene dos variables libres y y z y una variable pivotal. Por lo tanto reconstituyendo el sistema x + 2y + z = 0 y despejando la variable pivotal, x =

2y z, tenemos que el conjunto solución del sistema es 82 9 3 < 2y z = 5 ; y; z 2 R : y S= 4 : ; z

Por lo tanto nul (A) = S es un subespacio propio de R3 porque dim (S) = 2:

14. Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales compatible para todo B de Rm . Responda “SIEMPRE”, o “NUNCA”, o “A VECES” una matriz A de tamaño m n en las condiciones del enunciado tiene además la característica indicada en cada renglón. Si su respuesta es “SIEMPRE”, o “NUNCA”de una razón y si su respuesta es “A VECES”, proporcione ejemplos adecuados que justi…quen su elección. Como el sistema es compatible para todo B; r (A) = r (AB) = m: a) nul(AT ) es un subespacio trivial de Rm . SIEMPRE: Como el sistema es compatible para todo B; r (A) = m y por lo tanto r AT = m: Por consiguiente, como r AT = r AT 0 = m; con m cantidad de columnas de AT ; el sistema AT X = 0 es compatible determinado, lo que implica que el conjunto solución es f0 2 Rm g. Luego nul(AT ) = f0 2 Rm g:

b) Las columnas de A conforman una base para Rm . A VECES:

Ejemplo de una matriz que tiene las caracteristicas indicadas: A=

1 0

0 1

Los vectores columnas son la base canónica de R2 : Ejemplo de una matriz que no tiene las caracteristicas indicadas: 1 0

0 1

0 0

Los vectores columnas forman un conjunto de vectores linealmente dependiente, pues contiene al vector nulo, y por lo tanto no es base de R2 . Ambos ejemplos veri…can que r (A) = m y por lo tanto, los correspondientes sistemas AX = B son compatibles para todo B: c) Las …las de A conforman un conjunto de vectores linealmente dependiente. NUNCA: Los vectores …las de A; son los vectores columnas de AT : Por teorema sabemos que los vectores columna de AT forman un conjunto linealmente independiente si y sólo si el sistema AT X = 0 tiene sólo la solución trivial y en el item a) probamos eso. Por lo tanto los vectores columnas de AT son linealmente independiente y, por consiguiente los vectores …las A también lo son. d) AT X = B es incompatible para algún B. 15. Sea A una matriz de tamaño m n tal que AX = B un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado para algún B. Diga por qué si o por qué no la información suministrada es su…ciente para a…rmar que: Notemos que un sistemas de ecuaciones lineales es compatible determinado para algún B si r (A) = r (AB) = n 19

MATEMÁTICA I

a) El número de …las es mayor o igual al número de columnas. Si es su…ciente, porque como AX = B es compatible determinado r (A) = n y por lo tanto la matriz A debe tener n …las no nulas en su forma escalonada, es decir debe tener por lo menos n …las y por lo tanto m n: b) Las …las de A conforman un conjunto de vectores linealmente dependiente. No es su…ciente, contraejemplo: A=

1 0

0 1 ; B= 1 0

Refutación: El sistema AX = B es compatible determinado porque r (A) = r (AB) = 2: y el 1 0 conjunto formado por los vectores …las ; es linealmente independiente porque son dos 0 1 vectores no paralelor de R2 : c) Las columnas de A conforman una base para el col(A). Si es su…ciente, para que los vectores columnas de A formen una base del col (A) deben generar col (A) y ser linealmente independiente. Por de…nición de espacio columna, sabemos que los vectores columnas generan col (A) : Los vectores columnas son linealmente independientes si y sólo si el sistema AX = 0 tiene sólo la solución trivial. Pero como el sistema es homogeneo siempre es compatible y además sabemos que r (A) = n; por lo tanto AX = 0 es un sistema compatible determinado lo que implica que los vectores columna son linealmente independientes. d) nul(A) = f0g.

Es su…ciente, pues nul (A) es el conjunto solución del sistema homogéneo AX = 0 y, como se explicó en el ítem anterior, un sistema homogéneo siempre es compatible. Además, sabemos que r (A) = n; por lo tanto AX = 0 es un sistema compatible determinado, esto implica que el conjunto solución es f0g y, por lo tanto, nul(A) = f0g.

16. Encuentre el vector de coordenadas del vector u respecto a la base B ([u]B ) del subespacio S indicado en cada caso: 2 3 2 a) u = 4 15 ; B = fe1 ; e2 ; e3 g ; S = R3 : 4 El vector de coordenadas del vector u respecto a la base B ([u]B ), es el vector cuyas componentes son los escalares c1 ; c2 y c3 tales que 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 0 0 4 15 = c1 405 + c2 415 + c3 405 4 0 0 1 2 3 c1 = 4c2 5 c3 Por lo tanto, c1 = 2; c2 =

1; c3 = 4: Es decir, 22 33 2 3 2 2 44 155 = 4 15 4 4 B

82 3 2 3 2 39 3 2 1 1 = < 1 b) u = 4 15 ; B = 405 ; 4 15 ; 415 ; S = R3 : : ; 4 0 0 1 2

20

MATEMÁTICA I

El vector de coordenadas del vector u respecto a la base B ([u]B ), es el vector cuyas componentes son los escalares c1 ; c2 y c3 tales que 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 4 15 = c1 405 + c2 4 15 + c3 415 : 4 0 0 1 Para hallar dichos esalares, resolvemos el sistema de ecuaciones, 2 32 3 2 3 1 1 1 c1 2 40 1 15 4c2 5 = 4 15 ; 0 0 1 c3 4

Que como esta en forma escalonada la matriz de coe…cientes simplemente resolvemos por sustitución hacia atras 8 < c1 + c2 + c3 = 2 ! c1 = 7 c2 + c3 = 1 ! c2 = 5 : c3 = 4 Por lo tanto,

c) u =

1 ;B= 4

22

2 ; 2

1 1

33 2 3 2 7 44 155 = 4 5 5 4 4 B

; S = R2 :

17. Suponga que A es una matriz CUADRADA de tamaño m n. Complete con alguna de las expresiones “es necesario y su…ciente”, “es necesario pero no su…ciente”, “es su…ciente pero no necesario”, “no es su…ciente ni necesario” a modo de obtener una proposición verdadera. (MAL ENUNCIADO, SACAR CUADRADA) a) col(A) es un plano de R3 . . . .no es su…ciente ni necesario. . . . nul(A) es una recta de R3 . b) AX = B es compatible para todo B de Rm . . . no es su…ciente ni necesario. . . . . . . para que las columnas de A forman una base del col(A). c) Que A sea una matriz inversible ....su…ciente pero no necesario. . . . . . .. para que las columnas de A formen una base del col(A). d) Que rango(A) = m . . . su…ciente y necesario. . . . . . . para que todo vector B de Rm pertenezca al col(A). 18. Las siguientes proposiciones son verdaderas. Proporcione para cada una de ellas una demostración. a) Si S es un subespacio de Rn y B = fv1 ; v2 ; :::; vk g es una base de S, entonces todo vector de S se puede expresar de una única forma como combinación lineal de los vectores de S. b) Es su…ciente que nul(A) = col(A) para a…rmar que la matriz A es cuadrada de orden par. Supongamos que A es una matriz de tamaño m n; entonces nul (A) Rn y col (A) Rm pero como nul(A) = col(A) deben estar incluidos en el mismo subespacio, por lo tanto m = n: Eso demuestra que A es una matriz cuadrada. ¨ Para probar que A es de orden par usaremos el teorema del rango nulidad (A) + r (A) = n pero como nul(A) = col(A) entonces dim (nul (A)) = dim (col (A)) ; es decir nulidad (A) = r (A) ; por lo tanto r (A) + r (A) 2r (A)

= n = n

esto implica que n es un número par lo que demuestra la implicación. 21

MATEMÁTICA I

c) Si u; v; w son vectores de Rn ; gen(u; v; w) es un subespacio de Rn . Por de…nición gen(u; v; w) es el conjunto de las combinaciones lineales de u; v y w; es decir, gen(u; v; w) = fq 2 Rn = q = c1 u + c2 v + c3 w; c1 ; c2 ; c3 2 Rg Para probar que es un subespacio de Rn ; debemos veri…car las 3 condiciones de subespacio:. El vector nulo 0 pertenece a gen(u; v; w) pues 0 = 0u + 0v + 0w es decir, el vector nulo es combinación lineal de u; v y w: Sean q y p vectores de gen(u; v; w); entonces p q

= c1 u + c2 v + c3 w; con c1 ; c2 ; c3 2 R = k1 u + k2 v + k3 w; con k1 ; k2 ; k3 2 R

es decir, son vectores combinación lineal de u; v y w: Veamos que p + q 2 gen(u; v; w): p+q

= (c1 u + c2 v + c3 w) + (k1 u + k2 v + k3 w) = (c1 u + k1 u) + (c2 v + k2 v) + (c3 w + k3 w) = (c1 + k1 ) u + (c2 + k2 ) v + (c3 + k3 ) w

con (c1 + k1 ) ; (c2 + k2 ) ; (c3 + k3 ) 2 R: Es decir, p + q es combinación lineal de u; v y w y por lo tanto p + q 2 gen(u; v; w): Sea p un vector de gen(u; v; w) y k un escalar, p = c1 u + c2 v + c3 w; con c1 ; c2 ; c3 2 R Veamos que kp 2 gen(u; v; w): kp

= k (c1 u + c2 v + c3 w) = k (c1 u) + k (c2 v) + k (c3 w) = (kc1 ) u + (kc2 ) v + (kc3 ) w;

con kc1 ; kc2 ; kc3 2 R

Es decir,kp es combinación lineal de los vectores u; v y w: Por lo tanto, kp 2 gen(u; v; w): Luego probadas las tres condiciones podemos asegurar que gen(u; v; w) es subespacio de Rn : d) V1 \ V2 es un subespacio de Rn si V1 y V2 son subespacios de Rn .

Debemos probar que: Si V1 y V2 son subespacios de Rn entonces V1 \ V2 es un subespacio de Rn

Recordemos que V1 \ V2 = fv= v 2 V1 ^ v 2 V2 g :

Probemos que 0 2 V1 \ V2 : Como V1 y V2 son subespacios de Rn contienen al vector nulo por lo tanto 0 2 V1 ^ 0 2 V2 ; es decir, 0 2 V1 \ V2 : Sean u y v vectores de V1 \ V2 , entonces u v

2 V1 ^ u 2 V2 2 V 1 ^ v 2 V2

Probemos que u + v 2 V1 \ V2 : Como u 2 V1 ^ v 2 V1 y V1 es subespacio entonces u + v 2 V1 : Como u 2 V2 ^ v 2 V2 y V2 es subespacio entonces u + v 2 V2 : Esto implica que u + v 2 V1 ^ u + v 2 V2 ; es decir u + v 2 V1 \ V2 : 22

MATEMÁTICA I

Sean u vector de V1 \ V2 y k escalar, entonces u 2 V1 ^ u 2 V2 Probemos que ku 2 V1 \ V2 : Como u 2 V1 ^ k 2 R y V1 es subespacio entonces ku 2 V1 : Como u 2 V2 ^ k 2 R y V2 es subespacio entonces ku 2 V2 : Esto implica que ku 2 V1 ^ ku 2 V2 ; es decir ku 2 V1 \ V2 : Luego V1 \ V2 es subespacio. 19. Las siguientes proposiciones son falsas. Refútelas: a) Es su…ciente que el rango de una matriz A sea igual a la nulidad de A para que A sea cuadrada. Contraejemplo: 1 0 0 0 A= 0 1 0 0 Refutación: El rango de la matriz A es dos y por el teorema del rango, nulidad (A) + r (A) = n de columnas tenemos que la nulidad es dos. Por lo tanto nulidad(A) = r (A) y A no es cuadrada porque es de tamaño 2 4: b) Si las columnas de una matriz Am p son linealmente dependientes, entonces col(A) 6= Rm . Contraejemplo 1 0 0 A= 0 1 0 Refutación: Los vectores columna de la matriz B forman un conjunto linealmente dependiente porque contiene al nulo y col(A)

=

a

1 0 0 +b +c ; a; b; c 2 R 0 1 0

a ; a; b 2 R b

=

= R2

c) Si v1 ; v2 ; :::; vn son las columnas de una matriz A, es necesario que AX = B sea compatible para que el conjunto fv1 ; v2 ; :::; vn ; Bg sea linealmente dependiente. Debemos refutar la implicación: :Si el conjunto fv1 ; v2 ; :::; vn ; Bg es linealmente dependiente entonces AX = B es compatible. Si v1 ; v2 ; :::; vn son las columnas de una matriz A: Contraejemplo: 1 0 0 A= ; B= 0 0 1 1 0 0 ; ; es linealmente dependiente porque contiene al vector nulo 0 0 1 y el sistema AX = B es incompatiple porque

Refutación: El conjunto

r (A) = r

1 0

0 0

=1

y r (AB) = r

1 0

0 0

0 1

=2

Es decir, r (A) 6= r (AB) : d) Si A y B son matrices equivalentes por …las entonces col(A) = col(B).

23