Apostila - Estatística Experimental - UFRRJ
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁREA DE ESTATÍSTICA DISCIPLINAS: IC 283 – BIOESTATÍSTICA E IC 284 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Professores: Celso Guimarães Barbosa e Elizabeth Bernardo Ballesteiro Pereira
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Teste do χ2 (qui-quadrado) ..................................................................................................................... 2 Teste t de Student .................................................................................................................................. 5 Delineamento inteiramente ao acaso ..................................................................................................... 8 Delineamento em blocos ao acaso....................................................................................................... 10 Ensaios fatoriais ................................................................................................................................... 13 Regressão e correlação linear simples................................................................................................. 14 Regressão na análise de variância....................................................................................................... 16 Respostas – teste do χ2 (qui-quadrado) ............................................................................................... 18 Respostas – teste t de Student............................................................................................................. 22 Respostas – delineamento inteiramente ao acaso............................................................................... 25 Respostas – delineamento em blocos ao acaso .................................................................................. 27 Respostas – ensaios fatoriais.............................................................................................................. 29 Respostas – regressão e correlação linear simples ............................................................................. 32 Respostas – regressão na análise de variância ................................................................................... 36
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
TESTE DO χ2 (QUI-QUADRADO)
1) a) b) c)
Para uma distribuição de χ2 com 12 graus de liberdade, determinar o valor de χ2 de modo que: A área à direita de χ2 seja igual a 0,05. A área à esquerda de χ2 seja igual a 0,99. A área à direita de χ2 seja igual a 0,025.
2) Verificou-se em uma amostra casual de 100 casos de câncer pulmonar que 64 eram de homens e 36 de mulheres. Ao nível de 5% de significância, pode-se aceitar a hipótese de que a ocorrência deste tipo de câncer é a mesma para homens e mulheres?
3) Na mandioca, da autofecundação de uma planta de raízes marrons foram obtidos 132 descendentes com raízes marrons e 48 com raízes brancas. Verificar pela aplicação do teste de χ2 se é indicada a aceitação da hipótese genética 3:1 com α = 5%.
4) Um touro vermelho e branco é acasalado com 120 vacas de igual genótipo e nasceram 20 animais vermelhos, 70 vermelhos e brancos e 30 brancos. Testar com α = 5%, se pode aceitar a proporção de 1:2:1.
5) Num acasalamento entre indivíduos cujos pares de genes eram Aa e Bb, determinaram na F2 (2ª geração), os seguintes fenótipos e suas freqüências: Fenótipos
AB
Ab
aB
ab
Freqüência
87
30
35
8
Testar se é aceito a hipótese genética da dominância para dois pares de genes (proporção 9:3:3:1). Use α = 5%.
6) Do cruzamento entre uma variedade de mandioca de raízes marrons e folhas de lobos estreitos e outra de raízes brancas e folhas de lobos largos, obteve-se um F1 homogêneo com raízes marrons e folhas de lobos estreitos e um F2 assim distribuído: Fenótipos
Raízes marrons e folhas de lobos estreitos
Raízes marrons e folhas de lobos largos
Raízes brancas e folhas de lobos estreitos
Raízes brancas e folhas de lobos largos
Freqüência
97
38
33
16
2
Verificar pela aplicação do χ se é indicada a aceitação da hipótese genética 9:3:3:1 com α = 1%.
7) Na descendência de um determinado cruzamento, esperava-se uma segregação fenotípica de 3:1. Examinando-se 100 indivíduos providos deste cruzamento, encontrou-se 80 indivíduos com fenótipo de característica de genes dominantes. Com base nos resultados acima, aceita-se ou não a hipótese de segregação 3:1, com α = 5%? 2
BARBOSA & PEREIRA
8) Uma amostra aleatória de 650 nascimentos de uma espécie animal revelou a ocorrência de 100, 120, 300 e 130 nascimentos no outono, inverno, primavera e verão, respectivamente. Em anos anteriores, as proporções obtidas foram de 22%, 25%, 30% e 23% para estas quatro estações, respectivamente. Verificar se existem evidências de que a distribuição dos nascimentos desta espécie animal tenha mudado atualmente. Use α=5%.
9) Verificar a influência de duas diferentes épocas na utilização de um defensivo agrícola natural, sobre a cultura da beterraba. Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. Condição Apresentou sintomas Não apresentou sintomas
Época 1 18 22
Época 2 27 13
Total 45 35
Total
40
40
80
10) Pesquisando-se a incidência de intoxicação por produtos agrícolas em uma comunidade, amostrou-se 5000 participantes de ambos os sexos, obtendo-se os seguintes resultados.
1200 950
Não contaminados 1000 1850
2200 2800
2150
2850
5000
Sexo do participante
Contaminados
Masculino Feminino Total
Total
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
11) Uma amostra de 800 soros para a pesquisa de toxoplasmose levando-se em conta a característica local, revelou os seguintes resultados: Localidade Zona urbana Zona rural
Positivos 70 40
Negativos 380 310
Total 450 350
Total
110
690
800
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
12) Com o objetivo de determinar a eficiência de certo produto sobre o desenvolvimento de manchas em tomateiros, um pesquisador contaminou 80 plantas de tomate com a doença causadora de manchas e em seguida dividiu-as em dois grupos que foram cultivadas em estufas isoladas, administrando o produto em somente um dos grupos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Situação Receberam o produto Não receberam o produto
Sem sintomas 28 20
Com sintomas 12 20
Total 40 40
Total
32
48
80
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
3
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
13) Os valores a seguir referem-se aos resultados de um levantamento de 260 fazendas de trigo, com o objetivo de determinar a influência da lagarta sobre a produção deste cereal. As fazendas foram classificadas em quatro tipos de acordo com a intensidade da infestação e registradas em cada uma o resultado da colheita: satisfatórias e não-satisfatórias. Infestação pela lagarta Leve Moderada Alta Muito alta
Colheita satisfatória (nº de granjas) 94 62 31 15
Colheita não-satisfatória (nº de granjas) 15 15 17 11
Total
202
58
Total 109 77 48 26 260
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
14) Em face da alta inflacionária, o Governo está considerando impor um controle de preços. Um pesquisador interessado em verificar o relacionamento entre a ocupação do indivíduo e a atitude a tomar em relação ao controle de preços, coletou os seguintes dados: Ocupação Trabalhadores Negociantes Profissionais
Atitude a favor 90 100 110
Atitude contra 60 150 90
Total 150 250 200
Total
300
300
600
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
15) Em uma pesquisa sobre relação entre grupos sangüíneos e doenças do estômago, foram tomadas amostras de pacientes com úlcera péptica e câncer gástrico e de indivíduos normais (controles). Classificaramse, todos eles, pelos grupos sangüíneos do sistema ABO, obtendo-se: Grupo sangüíneo* O A B
Úlcera péptica 983 679 134
Câncer gástrico 383 416 84
Controle 2892 2625 570
Total 1796 883 6087 * Pessoas do grupo AB foram omitidas em face do número ser reduzido.
Total 4258 3720 788 8766
Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
16) Um levantamento foi realizado para verificar uma possível associação entre a freqüência de cistos férteis e inférteis de certo parasito nos diversos lobos do fígado de ovinos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Localização Lobo lateral esquerdo Lobo central esquerdo Lobo central direito Lobo lateral direito Total
Cistos férteis 138 101 119 86 444
2
Cistos inférteis 104 86 67 69
Total 242 187 186 155
326
770
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. 4
BARBOSA & PEREIRA
TESTE T DE STUDENT 1) Um pecuarista desejando vender seu rebanho, com 3.000 animais, solicitou ao técnico da Cooperativa que fizesse uma avaliação, com nível de 95% de confiança, dos pesos máximo e mínimo do seu rebanho. Para responder ao pecuarista, o técnico obteve uma amostra casualizada de 25 animais, cuja média foi de 18 arrobas e desvio padrão de 8 kg. Nas condições dadas, qual foi a resposta do técnico?
2) Após os testes de fábrica, uma indústria de motobombas para irrigação divulgou que seu equipamento tem uma vazão média de 20 l/s. Um produtor de arroz irrigado, antes de comprar o equipamento citado, pediu ao agrônomo que testasse a afirmativa da fábrica. Para tanto o agrônomo, determinou as vazões de 9 motobombas da mesma especificação e nas mesmas condições, obtendo os seguintes resultados: 18
22
21
28
32
25
25
20
25
em l/s
Formule H0 e H1 e aplique o teste recomendado para o caso. Use 5% de nível de significância.
3) Sabe-se que uma certa linhagem de ratos alimentados por uma ração padrão, tem aumento de peso igual a 64 g durante os 3 primeiros meses. Um lote de 12 ratos desta linhagem foi submetido a dieta com nova ração, mantendo-se as condições ambientais padronizadas. Os aumentos de peso observados por rato foram: 55, 62, 54, 58, 65, 64, 60, 62, 59, 67, 62 e 61 gramas. A nova ração tem a mesma eficiência alimentar que a padrão? Use α igual a 5%. ΣXi = 729 g ΣX2i = 44.449 g2
4) O limite de tolerância para o chumbo foi estabelecido em 0,20 mg/m3 em ambientes fechados. Com o intuito de saber se em determinada indústria a concentração média de chumbo era superior ao limite tolerável, uma amostra de 10 determinações foi tomada, encontrando-se os seguintes valores, em mg/m3: 0,18
0,22
ΣXi = 2,14 mg/m
3
0,14 2
0,20
ΣX i = 0,4724 mg/m
0,17
0,26
0,24
0,25
0,25
0,23
3
Qual a conclusão que podemos tirar a respeito do teor de chumbo na indústria? Use um nível de significância de 1%. Supondo-se que a concentração média de chumbo fosse desconhecida, construir um intervalo de confiança a 99% baseada nesta amostra, para a média populacional.
5) Para que os pacientes sejam tratados adequadamente, os remédios receitados pelos médicos devem ter seus efeitos corretamente definidos. Conseqüentemente, o efeito médio dos remédios deve estar especificado nas bulas de todos os recipientes. Um fabricante de remédios afirma que seu produto tem um efeito médio de 5 mg/ml. Uma amostra aleatória retirada de 4 recipientes indicou: 4,94; 5,09; 5,03 e 4,90 mg/ml. ΣXi = 19,96 mg/ml
ΣX2i = 99,6226 (mg/ml)2
a) Os dados têm evidência suficiente para indicar que o efeito médio desse remédio é diferente de 5 mg/ml? b) Para uma amostra de 61 recipientes de remédios, onde se obteve uma média de 5,04 mg/ml e variância de 0,0063 (mg/ml)2, qual a conclusão obtida? Use em ambos os itens um nível de significância de 1%.
5
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
6) Objetivando-se estudar o efeito de dois tipos de rações sobre a produção de ovos, um aviário realizou o seguinte teste: durante 30 dias seis conjuntos foram tratados com a ração A, efetuando-se o controle da postura de cada conjunto. Outros seis conjuntos foram tratados com a ração B. Cada conjunto de aves era constituído de 10 animais. Os resultados encontrados em média por ave, foram os seguintes: (produção de ovos/ave/30 dias) ΣXi Ração A
28
32
30
29
31
30
180
Ração B
24
24
25
22
28
27
150
Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%.
7) Foram os seguintes os pesos (em kg) obtidos em duas amostras de frangos de duas raças de corte: Médias Raça A
1,3
1,4
1,1
1,4
-
-
1,3
Raça B
1,8
1,8
1,7
1,9
1,8
1,8
1,8
Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%.
8) O efeito da ingestão do álcool sobre o corpo humano parece ser bem maior em localidades mais elevadas do que nas que estão ao nível do mar. Para se testar esta tese, um cientista selecionou, aleatoriamente, 12 pessoas e dividiu-as, aleatoriamente em 2 grupos de 6. Um grupo foi transportado para uma localidade situada a 4000 m de altitude e o outro ficou em uma cidade situada ao nível do mar. Cada pessoa ingeriu uma bebida que continha 100 ml de álcool. Depois de 2 horas, o cientista mediu o conteúdo de álcool no sangue de cada uma dessas pessoas (em g/ml), obtendo-se os dados a seguir. Esses dados evidenciam, com suficiência, uma prova de que esta tese é correta? Teste, considerando α = 5%. ΣX2i ΣXi Ao nível do mar
0,07
0,10
0,09
0,12
0,09
0,13
0,60
0,0624
A 4.000 m
0,13
0,17
0,15
0,14
0,10
0,14
0,83
0,1175
9) Um estudo foi conduzido para se comparar o teor de gordura em leite integral pasteurizado (g%) de dois fabricantes. Utilize os testes F e t de Student, ao nível de significância de 5% e conclua com base nos dados seguintes: ΣX2i ΣXi Fabr. A
4,2
3,8
3,6
3,8
4,0
3,9
3,8
4,0
31,1
121,13
Fabr. B
3,8
3,5
3,6
3,8
3,7
3,7
3,6
-
25,7
94,43
10) Um pesquisador decidiu testar, entre outras, a hipótese de que recém-nascidos de peso normal (≥2500g) têm perímetro cefálico em média maior do que recém-nascidos de baixo peso ( χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, a freqüência de câncer pulmonar é maior nos homens. 18
BARBOSA & PEREIRA
3) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas não condizem com a hipótese genética 3:1)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(132 − 135 )2 135
+
(48 − 45 )2 45
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84
= 0,27
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1. 4) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1) H1: f.o. ≠ f.e. ( ... não condizem com a proporção 1:2:1) χ2 =
(f .o. − f .e.)2
∑
f .e.
=
(20 − 30 )2 30
+
(70 − 60 )2
+
60
(30 − 30 )2 30
χ2 tabelado com G.L.=2 e α = 5% Î 5,99
= 5,00
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1, respectivamente. 5) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas dos fenótipos AB, Ab, aB e ab condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas dos fenótipos AB, Ab, aB e ab não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(87 − 90 )2 90
+
(30 − 30 )2 30
+
(35 − 30 )2
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81
30
+
(8 − 10 )2 10
= 1,33
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 6) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência de F2 condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência de F2 não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(97 − 103,5)2 + (38 − 34,5)2 + (33 − 34,5)2 + (16 − 11,5)2 103,5
34,5
34,5
11,5
= 2,59
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 1% Î 11,34 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 7) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento não condizem com a hipótese genética 3:1)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
2
=
(80 − 75 )2 75
+
(20 − 25 )2 25
= 1,33
2
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84
Conclusão: Como χ calculado < χ tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1.
19
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
8) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de nascimentos não diferem em relação às obtidas em anos anteriores) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2
=
(100 − 143)2 + (120 − 162,5)2 + (300 − 195)2 + (130 − 149,5)2
143 f .e. 2 χ tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81
162,5
195
149,5
= 83,13
Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores, ou seja, pode-se dizer que houve aumento dos nascimentos na primavera. 9) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas independe da época de utilização do defensivo) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo) χ2 =
(18 − 23 )2 23
+
(27 − 23 )2 23
+
(22 − 18 )2 18
+
(13 − 18 )2 18
= 4,11
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior na época 2 (67,5%) que na época 1 (45,0 %). 10) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a intoxicação por produtos agrícolas independe do sexo) H1: f.o. ≠ f.e. (a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo) χ2 =
(1200 − 946 )2 946
+
(1000 − 1254 )2 1254
+
(950 − 1204 )2 1204
+
(1850 − 1596 )2 1596
= 213 ,66
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 1% Î 6,63 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior nos homens (54,5%) que nas mulheres (33,9 %). 11) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a reação à toxoplasmose é dependente da localidade de moradia dos indivíduos) χ2 =
(70 − 62 )2 62
+
(380 − 388 )2 388
+
(40 − 48 )2 48
+
(310 − 302 )2 302
= 2,83
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos, ou seja, as proporções de positivos na zona urbana (15,6%) e na zona rural (11,4%) não diferem significativamente entre si. 12) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas no tomateiro está relacionada com a utilização ou não do produto) χ2 =
(28 − 24 )2 24
+
(12 − 16 )2 16
+
(20 − 24 )2 24
+
(20 − 16 )2 16
= 3,33
2
χ tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto, ou seja, as proporções de plantas com sintomas que receberam ou não o produto (30,0% 20
BARBOSA & PEREIRA
e 50,0%), respectivamente, não diferem significativamente entre si. 13) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a colheita satisfatória do trigo independe da intensidade da infestação pela lagarta) H1: f.o. ≠ f.e. (a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta)
(94 − 85 )2
χ2 =
85
+
(15 − 24 )2 24
+
(62 − 60 )2 60
+
(15 − 17 )2 17
+
(31 − 37 )2 37
+
(17 − 11)2 11
+
(15 − 20 )2 20
+
(11 − 6 )2 6
= 15,71
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta, ou seja, quanto maior a infestação menos favorável é a colheita. 14) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as opiniões – contra ou a favor – sobre o controle de preços independem da ocupação dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a ocupação dos indivíduos influencia a atitude sobre o controle de preços) χ2 =
(90 − 75 )2 75
+
(60 − 75 )2 75
+
(100 − 125 )2 125
+
(150 − 125 )2 125
+
(110 − 100 )2 100
+
(90 − 100 )2 100
= 18,00
χ2 tabelado com G.L. = 2 e α = 1% Î 9,21 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a atitude contra ou a favor, em relação ao controle de preços pelo Governo, é dependente da ocupação do indivíduo. Entre os negociantes predomina a atitude contra e entre os trabalhadores, a atitude a favor. 15) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a úlcera péptica e o câncer gástrico acometem as pessoas independentemente do grupo sangüíneo do sistema ABO ao qual elas pertencem) H1: f.o. ≠ f.e. (as doenças referidas ocorrem com maior freqüência em indivíduos pertencentes a um dos grupos sangüíneos do sistema ABO) ( 983 − 872 )2 (383 − 429 )2 (2892 − 2957 )2 (679 − 762 )2 (416 − 375 )2 (2625 − 2583 )2 (134 − 161)2 (84 − 79 )2 (570 − 547 )2 2 χ = + + + + + + + + = 40,54 872
429
2957
762
375
2583
161
79
547
χ2 tabelado com G.L. = 4 e α = 1% Î 13,28 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0. Verifica-se um excesso de indivíduos do grupo O com úlcera gástrica quando comparados com os indivíduos controles, assim como menos intensamente, um excesso de pessoas do grupo A com câncer gástrico, conforme a tabela seguinte: Grupo sangüíneo Úlcera péptica (%) Câncer gástrico (%) Controle (%) O 54,7 43,4 47,5 A 37,8 47,1 43,1 B 7,5 9,5 9,4 16) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos) H1: f.o. ≠ f.e. (a viabilidade dos cistos do parasito está relacionada com a sua localização no fígado dos ovinos) (138 − 140 )2 + (104 − 102 )2 + (101 − 108 )2 + (86 − 79 )2 + (119 − 107 )2 + (67 − 79 )2 + (86 − 89 )2 + (69 − 66 )2 = 4,40 χ2 = 140
102
108
79
107
79
89
66
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo-se que a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos.
21
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
RESPOSTAS – TESTE T DE STUDENT
1) Intervalo de confiança para μ Î
x ± ttab. x s/√n Î (18 x 15) ± 2,06 x 8/√25 = 270 ± 3, ou seja, entre 267 a 273 kg.
1 arroba Ù 15 kg
2)
Hipóteses H0: a média das vazões das motobombas é significativamente igual a 20 l/s (μ = 20 l/s) H1: a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s (μ ≠ 20 l/s) Média ( x ): 24 l/s Variância (s2): 18,5 (l/s)2 Desvio padrão (s): 4,30 l/s
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,79 GL = 8 Valor de t tabelado: 2,31
Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 24 ± 2,31 x 4,30/√9 = 24 ± 3,3, ou seja, entre 20,7 a 27,3 l/s.
3)
Hipóteses H0: a média dos pesos com a nova ração é significativamente igual a 64 g (μ = 64 g) H1: a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g (μ ≠ 64 g) Média ( x ): 60,75 g Variância (s2): 14,75g2 Desvio padrão (s): 3,84 g
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,93 GL = 11 Valor de t tabelado: 2,20
Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 60,75 ± 2,20 x 3,84/√12 = 60,8 ± 2,4, ou seja, entre 58,4 a 63,2 kg. 4)
Hipóteses H0: a média da concentração de Pb obtida na indústria é tolerável (μ < 0,20 mg/m3) H1: a média da concentração de Pb obtida na indústria está acima do tolerável (μ ≥ 0,20 mg/m3) Média ( x ): 0,214 mg/m3 Variância (s2): 0,0016 (mg/m3)2 Desvio padrão (s): 0,0401 mg/m3
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 1,10 GL = 9 Valor de t tabelado: 2,82
Conclusão: Como |tc||tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das diferenças de tempo para operação com as máquinas A e B difere significativamente de zero Î a máquina B é mais rápida para a tarefa.
24
BARBOSA & PEREIRA
12)
Hipóteses
H0: Δ = 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B não difere significativamente de zero) H1: Δ ≠ 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B difere significativamente de zero) Média ( xd ou
d ): 0,243 kg/m2
2
Teste t: t = ( xd –Δ)/(sd/√n) = 2,15
2 2
GL = 6 Valor de t tabelado: 2,45
Variância (s d): 0,0895 (kg/m ) Desvio padrão (sd): 0,299 kg/m2
Conclusão: Como |tc||tt|, ao nível de 5% de significância, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a utilização da vitamina PP reduziu significativamente as concentrações de hemoglobina dos suínos. Já ao nível de 1% de significância, aceitaria-se H0, ou seja, não se encontraria diferença significativa na concentração de hemoglobina com a utilização da vitamina PP.
RESPOSTAS – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO
1) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 1 8 9 23,6%
Teste t de Student s2A = 1,5 tc = 2,24
S. Q. 10 16 26
Q. M. 10 2
Fc 5,00 n.s.
Ft (α =5%) 5,32
s2B = 2,5
s2p = 2,0 t2c = 5,00
Fc = 1,67
Populações homocedásticas
S. Q. 666 426 1092
Q. M. 222 53,25
2) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 8 11 25,2%
25
Fc 4,17*
Ft (α =5%) 4,07
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D
4,53 Médias 28 40 29 19
d. m. s. = Contraste ab a ab b
19,09
G. L. 3 12 15 11,0%
S. Q. 3675 142 3817
q= Tratamentos 0 kg/ha 30 kg/ha 60 kg/ha 90 kg/ha
4,20 Médias 10 25 40 50
d. m. s. = Contraste d c b a
7,22
G. L. 2 27 29 10,3%
S. Q. 9,546 2,986 12,532
Q. M. 4,773 0,110593
Fc 43,16*
q= Tratamentos A B C
3,51 Médias 2,48 3,41 3,83
d. m. s. = Contraste c b a
G. L. 4 13 17 7,0%
S. Q. 86,54 25,45 111,98
3) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
Q. M. 1225 11,83
Fc 103,52*
Ft (α =5%) 3,49
4) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
Ft (α =5%) 3,35
0,37
5) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
q= Tratamentos Rival Fedria Dekama Patrones Regente
4,46 Médias 22,00 21,68 21,13 17,88 16,47 26
Q. M. 21,63 1,96
Fc 11,05*
Ft (α =5%) 3,18
d. m. s.´ 3,60 3 repet. Contraste a a ab bc c
d. m. s.´´ 3,12 4 repet.
d. m. s.´´´ 3,37 3 e 4 repet.
BARBOSA & PEREIRA
6) F. V. Localidades Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 15 18 3,5%
Teste de Tukey
S. Q. 7,7138 0,6115 8,3253
q= Tratamentos B A D C
4,08 Médias 6,42 6,08 6,02 4,78
Q. M. 2,5713 0,040767
Fc 63,07*
Ft (α =5%) 3,29
d. m. s.´ d. m. s.´´ 0,37 0,39 5 repet. 4 e 5 repet. Contraste a ab b c
RESPOSTAS – DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO
1) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 5 3 15 23 25,1%
S. Q. 214,5000 4,5000 99,5000 318,5000
q= Tratamentos A B C D E F
4,59 Médias 10,75 13,75 8,50 13,00 10,75 4,75
Q. M. 42,9000 1,5000 6,6333
d. m. s. = Contraste a a ab a a b
Fc 6,47* 0,23 n.s.
Ft (α =5%) 2,90 3,29
5,91
2) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 12 19 17,3%
S. Q. 0,7970 0,5920 0,0830 1,4720
27
Q. M. 0,1993 0,1973 0,0069
Fc 28,81* 28,53*
Ft (α =5%) 3,26 3,49
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,51 Médias 0,53 0,68 0,30 0,70 0,20
d. m. s. = Contraste a a b a b
0,19
G. L. 4 2 8 14 2,7%
S. Q. 0,7324 0,0971 0,3495 1,1790
Q. M. 0,1831 0,0486 0,0437
Fc 4,19* 1,11 n.s.
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,89 Médias 7,85 8,05 7,74 7,51 7,45
d. m. s. = Contraste ab a ab ab b
0,59
F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 3 5 15 23 7,7%
S. Q. 2.143,1250 1.553,7083 318,1250 4.014,9583
Q. M. 714,3750 310,7417 21,2083
Fc 33,68* 14,65*
q= Tratamentos T1 T2 T3 T4
4,08 Médias 67,83 70,83 48,83 52,67
3) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
Ft (α =5%) 3,84 4,46
4)
d. m. s. = Contraste a a b b
Ft (α =5%) 3,29 2,90
7,67
5) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 2 3 6 11 2,3%
S. Q. 524.177,1667 173.415,0000 6.089,5000 703.681,6667
q= Tratamentos A B C
4,34 Médias 1165,25 1402,50 1676,75
Q. M. 262.088,5833 57.805,0000 1.014,9167
d. m. s. = Contraste c b a 28
Fc 258,24* 56,96*
69,13
Ft (α =5%) 5,14 4,76
BARBOSA & PEREIRA
6) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 4 12 19 14,0%
S. Q. 67,6000 10,0000 46,4000 124,0000
q= Tratamentos A B C D
4,20 Médias 17,00 13,60 12,00 13,40
G. L. 4 2 8 14 1,5%
S. Q. 146,7333 1,0293 1,8107 149,5733
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,89 Médias 27,63 30,17 31,10 34,20 36,57
F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 2 5 10 17 8,1%
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C
Teste de Tukey
Q. M. 22,5333 2,5000 3,8667
d. m. s. = Contraste a ab b ab
Fc 5,83* 0,65 n.s.
Ft (α =5%) 3,49 3,26
3,69
7) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
Q. M. 36,6833 0,5147 0,2263
d. m. s. = Contraste d c c b a
Fc 162,08* 2,27 n.s.
Ft (α =5%) 3,84 4,46
1,34
8) S. Q. Q. M. 27,1111 13,5556 14.617,7778 2.923,5556 728,8889 72,8889 15.373,7778
3,88 Médias 106,67 105,00 103,67
d. m. s. = Contraste a a a
Fc 0,19 n.s. 40,11*
13,52
RESPOSTAS – ENSAIOS FATORIAIS
29
Ft (α =5%) 4,10 3,33
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
1) F. V. Tratamentos Fibra bruta (A) Prot. bruta (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey Fator A
Teste de Tukey Fator B
G. L. 5 1 2 2 18 23 3,9%
S. Q. 1,14888 0,40042 0,73903 0,00943 0,05790 1,20678
Q. M. 0,22978 0,40042 0,36952 0,00472 0,00322
q=
2,97 Médias 1,5950 1,3367
d. m. s. = Contraste a b
0,0486
q= Proteína 14% 16% 18%
3,61 Médias 1,2650 1,4400 1,6925
d. m. s. = Contraste c b a
0,0724
Fibra 12% 15%
Fc 71,43* 124,48* 114,88* 1,47 n.s.
Ft (α =5%) 2,77 4,41 3,55 3,55
2) F. V. Blocos Tratamentos Variedades (A) Espaçamentos (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 1 1 1 12 19 10,6%
S. Q. 184 150 5 20 125 54 388
Q. M. 46 50 5 20 125 4,5
Teste de Tukey q= Varied./Espaç. b0 Variedades a0 a1
3,08 Médias 16 22
d. m. s. = Contraste b a
Varied./Espaç. b1 Variedades a0 a1
Médias 23 19
Contraste a b
S. Q. 210 18 48 144 106 316
Q. M. 42 18 24 72 8,8333
Fc 10,22* 11,11* 1,11 n.s. 4,44 n.s. 27,78*
Ft (α =5%) 3,26 3,49 4,75 4,75 4,75
2,92
3) F. V. Tratamentos Sexos (A) Fontes de prot. (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 5 1 2 2 12 17 37,2%
30
Fc 4,75* 2,04 n.s 2,72 n.s. 8,15*
Ft (α =5%) 3,11 4,75 3,89 3,89
BARBOSA & PEREIRA
Teste de Tukey Sexos/Fonte I
q= Sexos Machos Fêmeas
3,08 Médias 5 11
d. m. s. = Contraste b a
Sexos/Fonte II
Machos Fêmeas
7 13
b a
Sexos/Fonte III
Machos Fêmeas
9 3
b a
Fontes/Machos
Fontes I II III
3,77 Médias 5 7 9
Fontes/Fêmeas
I II III
11 13 3
a a b
Q. M. 35,3111 15,27223 0,0889 32,9556 14,0222 2,9111
Fc 12,13* 5,25* 0,03 n.s. 11,32* 4,82*
q=
d. m. s. = Contraste a a a
5,29
6,47
4) Ft (α =5%) 2,67 2,24 3,29 3,29 2,67
F. V. Blocos Tratamentos Variedades (A) Nº de plantas (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 8 2 2 4 32 44 14,0%
S. Q. 141,2444 122,1778 0,1778 65,9111 56,0889 93,1556
Teste de Tukey Fator A
q= Nº de plantas C1 C2 C3
3,49 Médias 10,47 13,00 13,07
d. m. s. = Contraste b a a
q= Variedades V1 V2 V3
3,49 Médias 11,00 11,60 8,80
d. m. s. = 2,65 Contraste Nº plantas/V1 Nº de plantas ab C1 a C2 b C3
Variedades/C1
1,53
Médias 11,00 13,80 11,60
Contraste b a ab
Variedades/C2
V1 V2 V3
13,80 12,00 13,20
a a a
Nº plantas/V2
C1 C2 C3
11,60 12,00 12,80
a a a
Variedades/C3
V1 V2 V3
11,60 12,80 14,80
b ab a
Nº plantas/V3
C1 C2 C3
8,80 13,20 14,80
b a a
31
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
RESPOSTAS – REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
1.a) Reta dos mínimos quadrados (melhor ajuste): Y = a + bx
Σx.Σy 9 x 72 97 n = = 4,1667 e a = y - bx = 8 – 4,1667 . 1 = 3,8333 b= 9 2 2 ( ) x Σ 9 Σx 2 15 9 n Σxy -
DIAGRAMA DE DISPERSÃO DOS PONTOS E RETA DE MELHOR AJUSTE (yx = 0 = 3,83333 e yx = 2 = 12,1667) kg 12 10 8
y = 3,8333 + 4,1667x 2 R = 0,8401 r = 0,9157
6 4 2 0
Dose 0
0,5
1
1,5
2
2,5
1.b) Intervalo de confiança para o coeficiente de regressão paramétrico (β) b – tt SQx = Σx 2 − (Σx ) n
2
= 15 − (9 ) = 6 9 2
Σx.Σy ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ Σxy n ⎠ SQregressão linear = ⎝ (Σx )2 Σx 2 n
sy.x SQx
SQtotal = SQy = Σy 2 −
2
sy.x
< β < b + tt
SQx
(Σy )2 n
= 700 − (72) 9
2
= 124
2
9 ⋅ 72 ⎞ ⎛ ⎜ 97 ⎟ 25 2 9 ⎝ ⎠ = = = 104,1667 6 92 15 9 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333 QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 104,16667 104,1667 36,76* 5,59 Desvios da regressão linear 7 19,8333 2,8333 Total 8 124
s 2y . x = QMdesvios da regressão = 2,8332 sy..x =
s 2y . x = 1,6832 (desvio padrão de y para um valor fixo de x) Pr.(4,1667 – 2,36 .
1,6832 6
< β < 4,1667 + 2,36 .
1,6832 6
) = 95%
4,1667 – 2,36 . 0,6872 < β < 4,1667 + 2,36 . 0,6872 Ù 2,5450 < β < 5,7884
1.c)
H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y) 32
BARBOSA & PEREIRA
t =
b−β s SQ
1.d) 1.e)
2.a)
Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 7 e α = 5%) Î 2,36 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a dose do adubo nitrogenado esperaˆ = 3,8333 + 4,1667x. se um aumento da produção dada pela função y
= 4 ,1667 − 0 = 6,06 1,6832
6
x
O aumento esperado é b = 4,1667. H0: β = 0 O coeficiente de regressão (b) é igual a zero, não há regressão linear. O significado em relação à hipótese nula é que a reta é paralela ao eixo x.)
b=
Σx.Σy = 1,647712 n 2 (Σx ) Σx 2 n Σxy -
yˆ = 53,895 + 1,6477x
a = y - bx = 53,89459
Yx=14 = 76,9626 e
yx=24 = 93,4397
Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste y
100 90 80
y = 53,895 + 1,6477x 2 R = 0,0904 r = 0,3007
70 60 50 13
2.b)
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
x
H0: σ2regressão linear = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: σ2regressão linear > 0 (existe regressão linear significativa entre x e y)
SQtotal = SQy = Σy 2 −
(Σy )2
= 70064 −
n
(824)2 10
= 2166,4 2
173x824 ⎞ ⎛ ⎜14374 ⎟ (118,8)2 = 195,7481 10 = ⎝ ⎠ = 72,10 173 2 3065 10 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333
Σx.Σy ⎞ ⎛ ⎜ Σxy ⎟ SQregressão linear = ⎝ n ⎠ (Σx )2 Σx 2 n
2
QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES FV GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 195,7481 195,7481 0,7947 n.s. 5,32 Desvios da regressão 8 1970,652 246,3315 Total 9 2166,4 Como Fc < Ft, aceitamos H0, então podemos dizer que não há regressão linear significativa ao nível de 5% de probabilidade. 2.c)
H0: σ2regressão linear = 0, foi aceita, significa que os dados não estão aderidos à reta de melhor ajuste, isto é a correlação entre X e Y é baixa.
33
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
∑ xy -
3.a) b = ∑
n
2 (∑ x ) x -
y - bx
3.b) a =
∑ x∑ y
435 -
=
2
(15)(125) 5
=6
(15)2 55 -
É o valor da variável dependente (y) número de colônias, quando a variável independente (x) número de horas for igual a zero. (Ou a cota da reta no eixo de y, em x =0).
5
n = 25 – 6 . 3 = 7
O coeficiente de regressão linear (b) ou coeficiente angular da reta é o acréscimo (porque b é positivo) que sofre (y) número de colônias, quando se aumenta uma unidade de variação em x, ou seja, em 1 hora.
3.c) Foi utilizado o método dos mínimos quadrados para ajustar a linha teórica ou de melhor ajuste ao conjunto de pontos. A reta obtida tem as seguintes características: a) A soma dos desvios verticais aos pontos em relação à reta é zero (li ^ N (0;σ2). b) A soma dos quadrados desses desvios é mínima. Obs: A reta ajustada tem a propriedades de passar sempre pelos pontos x e y (observar no gráfico). Yx=0 = 13
Y = a + bx
e
yx=3 = 37
Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste, segundo as coordenadas (13;37) y
y = 7 + 6x R2 = 0,72 r = 0,8485
50
40
30
20
10 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x
3.d) yx=6 = 43 colônias
∑ xy -
4.a) b = ∑
∑ x∑ y n
2 2 (∑ x ) x -
3450 -
(18)(1620)
=
n
42 -
12 (18)2
=
1020 = 68 e a = y - bx = 135 – 68 . 1,5 = 33 15
yˆ = 33 + 68x
12
H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y)
t =
b−β s SQ
=
68 − 0 = 15,36 17 ,1464
onde
s=
SQerro n−2
=
2940 = 17,1464 12 − 2
15
x
SQerro = SQ y − b.SPxy = (291000 – 16202/12) – 68 . 1020
= 2940
Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 10 e α = 5%) Î 2,23 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a ˆ = 33 + 68x. concentração do carrapaticida espera-se um aumento do número de carrapatos mortos dada pela função y 4.b) b – tt
sy.x SQx
< β < b + tt
sy.x SQx
Ù 68 – 2,23x 17,1464 |rt| Î rejeita-se H0, ou seja, existe correlação linear positiva significativa entre x e y. Em outras palavras, cães com valores baixos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores baixos do nº de eritrócitos e cães com valores altos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores altos do nº de eritrócitos.
RESPOSTAS – REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1) F. V. Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 12 15 11,0%
S. Q. 3675 3645 25 5 142 3817
Q. M. 1225 3645 25 5 11,83
R2 Ft (α =5%) 3,49 99,18% 4,75 0,68% 4,75 0,14% 4,75
Fc 103,52* 308,03* 2,11 n.s. 0,42 n.s.
Produção (kg/parcela)
60 50 40 y = 11 + 0,45x
30 20 10 0 0
20
40 60 Doses de nitrogênio
80
100
2)
Ganho médio mensal (kg/cabeça)
F. V. Lotação Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 20 23 20,6%
S. Q. 117,2600 116,8213 0,0067 0,4320 57,6533 174,9133
Q. M. 39,0867 116,8213 0,0067 0,4320 2,8827
Fc 13,56* 40,52* 0,00 n.s. 0,15 n.s.
R2 Ft (α =5%) 3,10 99,626% 4,35 0,006% 4,35 0,368% 4,35
20 y = 13,17 - 3,95x
15 10 5 0 0
0,5
1
1,5
Lotação (animal por hectare)
36
2
BARBOSA & PEREIRA
3) F. V. Blocos Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Demais efeitos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 2 4 1 1 2 8 14 2,7%
S. Q. 0,0971 0,7324 0,5387 0,0440 0,1497 0,3495 1,1790
Q. M. 0,0486 0,1831 0,5387 0,0440 0,0748 0,0437
Índice de resistência
8,2
R2 Ft (α =5%) 4,46 3,84 73,55% 5,32 6,01% 5,32 20,44% 4,46
Fc 1,11 n.s. 4,19* 12,33* 1,01 n.s. 1,71 n.s.
y = 7,99 - 0,00536 x
8,0 7,8 7,6 7,4 7,2 7,0 0
20
40
60
80
100
kg de potássio/ha
4)
Produção (kg/parcela)
F. V. Blocos Doses Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 5 3 1 1 1 15 23 11,6%
S. Q. 3410,71 395,12 23,41 35,04 336,67 846,13 4651,96
Q. M. 682,14 131,71 23,41 35,04 336,67 56,41
R2 Ft (α =5%) 2,90 3,29 5,92% 4,54 8,87% 4,54 85,21% 4,54
Fc 12,09* 2,34 n.s. 0,41 n.s. 0,62 n.s. 5,97*
3
y = 131,33 - 2,0033 x + 0,0172 x2 - 0,00004 x
100 80 60 40 20 0 0
50
100 kg de N/hectare
37
150
200
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
5) F. V. Blocos Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 1 1 1 12 19 4,6%
Q. M. 248,68 744,67 1568,16 0,20 665,64 8,375
Fc 29,69* 88,92* 187,24* 0,02 n.s. 79,48*
2
100 Produção (kg/parcela)
S. Q. 994,70 2234,00 1568,16 0,20 665,64 100,50 2229,20
Ft (α =5%) R2 3,26 3,49 70,2% 4,75 0,0% 4,75 29,8% 4,75
3
y = 3493,2 - 2373,7x + 537,22x - 39,815x
80 60 40 20 0 3,0
3,6
4,2
4,8
5,4
3
m de água/hectare
6) F. V. Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 16 19 8,6%
S. Q. 28,0135 8,4681 19,0125 0,5329 14,6440 42,6575
Q. M. 9,3378 8,4681 19,0125 0,5329 0,91525
Fc 10,20* 9,25* 20,77* 0,58 n.s.
Ft (α =5%) R2 3,24 30,2% 4,49 67,9% 4,49 1,9% 4,49
Proteína bruta (%)
14,0 12,0 10,0 2
y = 4,845 + 0,1819x - 0,0011x
8,0 6,0 4,0 30
60
Dias
38
90
120
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Teste do χ2 (qui-quadrado) ..................................................................................................................... 2 Teste t de Student .................................................................................................................................. 5 Delineamento inteiramente ao acaso ..................................................................................................... 8 Delineamento em blocos ao acaso....................................................................................................... 10 Ensaios fatoriais ................................................................................................................................... 13 Regressão e correlação linear simples................................................................................................. 14 Regressão na análise de variância....................................................................................................... 16 Respostas – teste do χ2 (qui-quadrado) ............................................................................................... 18 Respostas – teste t de Student............................................................................................................. 22 Respostas – delineamento inteiramente ao acaso............................................................................... 25 Respostas – delineamento em blocos ao acaso .................................................................................. 27 Respostas – ensaios fatoriais.............................................................................................................. 29 Respostas – regressão e correlação linear simples ............................................................................. 32 Respostas – regressão na análise de variância ................................................................................... 36
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
TESTE DO χ2 (QUI-QUADRADO)
1) a) b) c)
Para uma distribuição de χ2 com 12 graus de liberdade, determinar o valor de χ2 de modo que: A área à direita de χ2 seja igual a 0,05. A área à esquerda de χ2 seja igual a 0,99. A área à direita de χ2 seja igual a 0,025.
2) Verificou-se em uma amostra casual de 100 casos de câncer pulmonar que 64 eram de homens e 36 de mulheres. Ao nível de 5% de significância, pode-se aceitar a hipótese de que a ocorrência deste tipo de câncer é a mesma para homens e mulheres?
3) Na mandioca, da autofecundação de uma planta de raízes marrons foram obtidos 132 descendentes com raízes marrons e 48 com raízes brancas. Verificar pela aplicação do teste de χ2 se é indicada a aceitação da hipótese genética 3:1 com α = 5%.
4) Um touro vermelho e branco é acasalado com 120 vacas de igual genótipo e nasceram 20 animais vermelhos, 70 vermelhos e brancos e 30 brancos. Testar com α = 5%, se pode aceitar a proporção de 1:2:1.
5) Num acasalamento entre indivíduos cujos pares de genes eram Aa e Bb, determinaram na F2 (2ª geração), os seguintes fenótipos e suas freqüências: Fenótipos
AB
Ab
aB
ab
Freqüência
87
30
35
8
Testar se é aceito a hipótese genética da dominância para dois pares de genes (proporção 9:3:3:1). Use α = 5%.
6) Do cruzamento entre uma variedade de mandioca de raízes marrons e folhas de lobos estreitos e outra de raízes brancas e folhas de lobos largos, obteve-se um F1 homogêneo com raízes marrons e folhas de lobos estreitos e um F2 assim distribuído: Fenótipos
Raízes marrons e folhas de lobos estreitos
Raízes marrons e folhas de lobos largos
Raízes brancas e folhas de lobos estreitos
Raízes brancas e folhas de lobos largos
Freqüência
97
38
33
16
2
Verificar pela aplicação do χ se é indicada a aceitação da hipótese genética 9:3:3:1 com α = 1%.
7) Na descendência de um determinado cruzamento, esperava-se uma segregação fenotípica de 3:1. Examinando-se 100 indivíduos providos deste cruzamento, encontrou-se 80 indivíduos com fenótipo de característica de genes dominantes. Com base nos resultados acima, aceita-se ou não a hipótese de segregação 3:1, com α = 5%? 2
BARBOSA & PEREIRA
8) Uma amostra aleatória de 650 nascimentos de uma espécie animal revelou a ocorrência de 100, 120, 300 e 130 nascimentos no outono, inverno, primavera e verão, respectivamente. Em anos anteriores, as proporções obtidas foram de 22%, 25%, 30% e 23% para estas quatro estações, respectivamente. Verificar se existem evidências de que a distribuição dos nascimentos desta espécie animal tenha mudado atualmente. Use α=5%.
9) Verificar a influência de duas diferentes épocas na utilização de um defensivo agrícola natural, sobre a cultura da beterraba. Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. Condição Apresentou sintomas Não apresentou sintomas
Época 1 18 22
Época 2 27 13
Total 45 35
Total
40
40
80
10) Pesquisando-se a incidência de intoxicação por produtos agrícolas em uma comunidade, amostrou-se 5000 participantes de ambos os sexos, obtendo-se os seguintes resultados.
1200 950
Não contaminados 1000 1850
2200 2800
2150
2850
5000
Sexo do participante
Contaminados
Masculino Feminino Total
Total
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
11) Uma amostra de 800 soros para a pesquisa de toxoplasmose levando-se em conta a característica local, revelou os seguintes resultados: Localidade Zona urbana Zona rural
Positivos 70 40
Negativos 380 310
Total 450 350
Total
110
690
800
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
12) Com o objetivo de determinar a eficiência de certo produto sobre o desenvolvimento de manchas em tomateiros, um pesquisador contaminou 80 plantas de tomate com a doença causadora de manchas e em seguida dividiu-as em dois grupos que foram cultivadas em estufas isoladas, administrando o produto em somente um dos grupos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Situação Receberam o produto Não receberam o produto
Sem sintomas 28 20
Com sintomas 12 20
Total 40 40
Total
32
48
80
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
3
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
13) Os valores a seguir referem-se aos resultados de um levantamento de 260 fazendas de trigo, com o objetivo de determinar a influência da lagarta sobre a produção deste cereal. As fazendas foram classificadas em quatro tipos de acordo com a intensidade da infestação e registradas em cada uma o resultado da colheita: satisfatórias e não-satisfatórias. Infestação pela lagarta Leve Moderada Alta Muito alta
Colheita satisfatória (nº de granjas) 94 62 31 15
Colheita não-satisfatória (nº de granjas) 15 15 17 11
Total
202
58
Total 109 77 48 26 260
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir.
14) Em face da alta inflacionária, o Governo está considerando impor um controle de preços. Um pesquisador interessado em verificar o relacionamento entre a ocupação do indivíduo e a atitude a tomar em relação ao controle de preços, coletou os seguintes dados: Ocupação Trabalhadores Negociantes Profissionais
Atitude a favor 90 100 110
Atitude contra 60 150 90
Total 150 250 200
Total
300
300
600
2
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
15) Em uma pesquisa sobre relação entre grupos sangüíneos e doenças do estômago, foram tomadas amostras de pacientes com úlcera péptica e câncer gástrico e de indivíduos normais (controles). Classificaramse, todos eles, pelos grupos sangüíneos do sistema ABO, obtendo-se: Grupo sangüíneo* O A B
Úlcera péptica 983 679 134
Câncer gástrico 383 416 84
Controle 2892 2625 570
Total 1796 883 6087 * Pessoas do grupo AB foram omitidas em face do número ser reduzido.
Total 4258 3720 788 8766
Aplicar o teste de χ2 utilizando-se α = 1% para testar a independência dos eventos e concluir.
16) Um levantamento foi realizado para verificar uma possível associação entre a freqüência de cistos férteis e inférteis de certo parasito nos diversos lobos do fígado de ovinos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Localização Lobo lateral esquerdo Lobo central esquerdo Lobo central direito Lobo lateral direito Total
Cistos férteis 138 101 119 86 444
2
Cistos inférteis 104 86 67 69
Total 242 187 186 155
326
770
Aplicar o teste de χ utilizando-se α = 5% para testar a independência dos eventos e concluir. 4
BARBOSA & PEREIRA
TESTE T DE STUDENT 1) Um pecuarista desejando vender seu rebanho, com 3.000 animais, solicitou ao técnico da Cooperativa que fizesse uma avaliação, com nível de 95% de confiança, dos pesos máximo e mínimo do seu rebanho. Para responder ao pecuarista, o técnico obteve uma amostra casualizada de 25 animais, cuja média foi de 18 arrobas e desvio padrão de 8 kg. Nas condições dadas, qual foi a resposta do técnico?
2) Após os testes de fábrica, uma indústria de motobombas para irrigação divulgou que seu equipamento tem uma vazão média de 20 l/s. Um produtor de arroz irrigado, antes de comprar o equipamento citado, pediu ao agrônomo que testasse a afirmativa da fábrica. Para tanto o agrônomo, determinou as vazões de 9 motobombas da mesma especificação e nas mesmas condições, obtendo os seguintes resultados: 18
22
21
28
32
25
25
20
25
em l/s
Formule H0 e H1 e aplique o teste recomendado para o caso. Use 5% de nível de significância.
3) Sabe-se que uma certa linhagem de ratos alimentados por uma ração padrão, tem aumento de peso igual a 64 g durante os 3 primeiros meses. Um lote de 12 ratos desta linhagem foi submetido a dieta com nova ração, mantendo-se as condições ambientais padronizadas. Os aumentos de peso observados por rato foram: 55, 62, 54, 58, 65, 64, 60, 62, 59, 67, 62 e 61 gramas. A nova ração tem a mesma eficiência alimentar que a padrão? Use α igual a 5%. ΣXi = 729 g ΣX2i = 44.449 g2
4) O limite de tolerância para o chumbo foi estabelecido em 0,20 mg/m3 em ambientes fechados. Com o intuito de saber se em determinada indústria a concentração média de chumbo era superior ao limite tolerável, uma amostra de 10 determinações foi tomada, encontrando-se os seguintes valores, em mg/m3: 0,18
0,22
ΣXi = 2,14 mg/m
3
0,14 2
0,20
ΣX i = 0,4724 mg/m
0,17
0,26
0,24
0,25
0,25
0,23
3
Qual a conclusão que podemos tirar a respeito do teor de chumbo na indústria? Use um nível de significância de 1%. Supondo-se que a concentração média de chumbo fosse desconhecida, construir um intervalo de confiança a 99% baseada nesta amostra, para a média populacional.
5) Para que os pacientes sejam tratados adequadamente, os remédios receitados pelos médicos devem ter seus efeitos corretamente definidos. Conseqüentemente, o efeito médio dos remédios deve estar especificado nas bulas de todos os recipientes. Um fabricante de remédios afirma que seu produto tem um efeito médio de 5 mg/ml. Uma amostra aleatória retirada de 4 recipientes indicou: 4,94; 5,09; 5,03 e 4,90 mg/ml. ΣXi = 19,96 mg/ml
ΣX2i = 99,6226 (mg/ml)2
a) Os dados têm evidência suficiente para indicar que o efeito médio desse remédio é diferente de 5 mg/ml? b) Para uma amostra de 61 recipientes de remédios, onde se obteve uma média de 5,04 mg/ml e variância de 0,0063 (mg/ml)2, qual a conclusão obtida? Use em ambos os itens um nível de significância de 1%.
5
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
6) Objetivando-se estudar o efeito de dois tipos de rações sobre a produção de ovos, um aviário realizou o seguinte teste: durante 30 dias seis conjuntos foram tratados com a ração A, efetuando-se o controle da postura de cada conjunto. Outros seis conjuntos foram tratados com a ração B. Cada conjunto de aves era constituído de 10 animais. Os resultados encontrados em média por ave, foram os seguintes: (produção de ovos/ave/30 dias) ΣXi Ração A
28
32
30
29
31
30
180
Ração B
24
24
25
22
28
27
150
Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%.
7) Foram os seguintes os pesos (em kg) obtidos em duas amostras de frangos de duas raças de corte: Médias Raça A
1,3
1,4
1,1
1,4
-
-
1,3
Raça B
1,8
1,8
1,7
1,9
1,8
1,8
1,8
Proceder à comparação das variâncias (teste F) e em seguida à das médias pelo teste t de Student. Use α = 5%.
8) O efeito da ingestão do álcool sobre o corpo humano parece ser bem maior em localidades mais elevadas do que nas que estão ao nível do mar. Para se testar esta tese, um cientista selecionou, aleatoriamente, 12 pessoas e dividiu-as, aleatoriamente em 2 grupos de 6. Um grupo foi transportado para uma localidade situada a 4000 m de altitude e o outro ficou em uma cidade situada ao nível do mar. Cada pessoa ingeriu uma bebida que continha 100 ml de álcool. Depois de 2 horas, o cientista mediu o conteúdo de álcool no sangue de cada uma dessas pessoas (em g/ml), obtendo-se os dados a seguir. Esses dados evidenciam, com suficiência, uma prova de que esta tese é correta? Teste, considerando α = 5%. ΣX2i ΣXi Ao nível do mar
0,07
0,10
0,09
0,12
0,09
0,13
0,60
0,0624
A 4.000 m
0,13
0,17
0,15
0,14
0,10
0,14
0,83
0,1175
9) Um estudo foi conduzido para se comparar o teor de gordura em leite integral pasteurizado (g%) de dois fabricantes. Utilize os testes F e t de Student, ao nível de significância de 5% e conclua com base nos dados seguintes: ΣX2i ΣXi Fabr. A
4,2
3,8
3,6
3,8
4,0
3,9
3,8
4,0
31,1
121,13
Fabr. B
3,8
3,5
3,6
3,8
3,7
3,7
3,6
-
25,7
94,43
10) Um pesquisador decidiu testar, entre outras, a hipótese de que recém-nascidos de peso normal (≥2500g) têm perímetro cefálico em média maior do que recém-nascidos de baixo peso ( χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, a freqüência de câncer pulmonar é maior nos homens. 18
BARBOSA & PEREIRA
3) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de plantas marrons e brancas não condizem com a hipótese genética 3:1)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(132 − 135 )2 135
+
(48 − 45 )2 45
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84
= 0,27
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1. 4) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1) H1: f.o. ≠ f.e. ( ... não condizem com a proporção 1:2:1) χ2 =
(f .o. − f .e.)2
∑
f .e.
=
(20 − 30 )2 30
+
(70 − 60 )2
+
60
(30 − 30 )2 30
χ2 tabelado com G.L.=2 e α = 5% Î 5,99
= 5,00
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de animais de coloração vermelha, vermelha e branca e de branca condizem com a proporção 1:2:1, respectivamente. 5) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas dos fenótipos AB, Ab, aB e ab condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas dos fenótipos AB, Ab, aB e ab não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(87 − 90 )2 90
+
(30 − 30 )2 30
+
(35 − 30 )2
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81
30
+
(8 − 10 )2 10
= 1,33
Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 6) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência de F2 condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência de F2 não condizem com a hipótese genética 9:3:3:1) χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
=
(97 − 103,5)2 + (38 − 34,5)2 + (33 − 34,5)2 + (16 − 11,5)2 103,5
34,5
34,5
11,5
= 2,59
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 1% Î 11,34 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 9:3:3:1. 7) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento condizem com a hipótese genética 3:1) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas da descendência do cruzamento não condizem com a hipótese genética 3:1)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2 f .e.
2
=
(80 − 75 )2 75
+
(20 − 25 )2 25
= 1,33
2
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84
Conclusão: Como χ calculado < χ tabelado, aceita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas não diferem significativamente das freqüências teóricas, ou seja, pode-se aceitar a hipótese genética 3:1.
19
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
8) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as freqüências observadas de nascimentos não diferem em relação às obtidas em anos anteriores) H1: f.o. ≠ f.e. (as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores)
χ2 =
∑
(f .o. − f .e.)2
=
(100 − 143)2 + (120 − 162,5)2 + (300 − 195)2 + (130 − 149,5)2
143 f .e. 2 χ tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81
162,5
195
149,5
= 83,13
Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que as freqüências observadas de nascimentos diferem em relação às obtidas em anos anteriores, ou seja, pode-se dizer que houve aumento dos nascimentos na primavera. 9) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas independe da época de utilização do defensivo) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo) χ2 =
(18 − 23 )2 23
+
(27 − 23 )2 23
+
(22 − 18 )2 18
+
(13 − 18 )2 18
= 4,11
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas na beterraba está relacionada com a época de utilização do defensivo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior na época 2 (67,5%) que na época 1 (45,0 %). 10) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a intoxicação por produtos agrícolas independe do sexo) H1: f.o. ≠ f.e. (a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo) χ2 =
(1200 − 946 )2 946
+
(1000 − 1254 )2 1254
+
(950 − 1204 )2 1204
+
(1850 − 1596 )2 1596
= 213 ,66
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 1% Î 6,63 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a intoxicação por produtos agrícolas está relacionada com o sexo, ou seja, apresentou uma freqüência significativamente maior nos homens (54,5%) que nas mulheres (33,9 %). 11) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a reação à toxoplasmose é dependente da localidade de moradia dos indivíduos) χ2 =
(70 − 62 )2 62
+
(380 − 388 )2 388
+
(40 − 48 )2 48
+
(310 − 302 )2 302
= 2,83
χ2 tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a reação à toxoplasmose – positiva ou negativa – independe da localidade de moradia dos indivíduos, ou seja, as proporções de positivos na zona urbana (15,6%) e na zona rural (11,4%) não diferem significativamente entre si. 12) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto) H1: f.o. ≠ f.e. (a apresentação de sintomas no tomateiro está relacionada com a utilização ou não do produto) χ2 =
(28 − 24 )2 24
+
(12 − 16 )2 16
+
(20 − 24 )2 24
+
(20 − 16 )2 16
= 3,33
2
χ tabelado com G.L. = 1 e α = 5% Î 3,84 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo que a apresentação de sintomas no tomateiro independe da utilização ou não do produto, ou seja, as proporções de plantas com sintomas que receberam ou não o produto (30,0% 20
BARBOSA & PEREIRA
e 50,0%), respectivamente, não diferem significativamente entre si. 13) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a colheita satisfatória do trigo independe da intensidade da infestação pela lagarta) H1: f.o. ≠ f.e. (a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta)
(94 − 85 )2
χ2 =
85
+
(15 − 24 )2 24
+
(62 − 60 )2 60
+
(15 − 17 )2 17
+
(31 − 37 )2 37
+
(17 − 11)2 11
+
(15 − 20 )2 20
+
(11 − 6 )2 6
= 15,71
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a colheita satisfatória do trigo é dependente da intensidade da infestação pela lagarta, ou seja, quanto maior a infestação menos favorável é a colheita. 14) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (as opiniões – contra ou a favor – sobre o controle de preços independem da ocupação dos indivíduos) H1: f.o. ≠ f.e. (a ocupação dos indivíduos influencia a atitude sobre o controle de preços) χ2 =
(90 − 75 )2 75
+
(60 − 75 )2 75
+
(100 − 125 )2 125
+
(150 − 125 )2 125
+
(110 − 100 )2 100
+
(90 − 100 )2 100
= 18,00
χ2 tabelado com G.L. = 2 e α = 1% Î 9,21 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0, concluindo que a atitude contra ou a favor, em relação ao controle de preços pelo Governo, é dependente da ocupação do indivíduo. Entre os negociantes predomina a atitude contra e entre os trabalhadores, a atitude a favor. 15) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a úlcera péptica e o câncer gástrico acometem as pessoas independentemente do grupo sangüíneo do sistema ABO ao qual elas pertencem) H1: f.o. ≠ f.e. (as doenças referidas ocorrem com maior freqüência em indivíduos pertencentes a um dos grupos sangüíneos do sistema ABO) ( 983 − 872 )2 (383 − 429 )2 (2892 − 2957 )2 (679 − 762 )2 (416 − 375 )2 (2625 − 2583 )2 (134 − 161)2 (84 − 79 )2 (570 − 547 )2 2 χ = + + + + + + + + = 40,54 872
429
2957
762
375
2583
161
79
547
χ2 tabelado com G.L. = 4 e α = 1% Î 13,28 Conclusão: Como χ2calculado > χ2tabelado, rejeita-se H0. Verifica-se um excesso de indivíduos do grupo O com úlcera gástrica quando comparados com os indivíduos controles, assim como menos intensamente, um excesso de pessoas do grupo A com câncer gástrico, conforme a tabela seguinte: Grupo sangüíneo Úlcera péptica (%) Câncer gástrico (%) Controle (%) O 54,7 43,4 47,5 A 37,8 47,1 43,1 B 7,5 9,5 9,4 16) Hipóteses H0: f.o. = f. e. (a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos) H1: f.o. ≠ f.e. (a viabilidade dos cistos do parasito está relacionada com a sua localização no fígado dos ovinos) (138 − 140 )2 + (104 − 102 )2 + (101 − 108 )2 + (86 − 79 )2 + (119 − 107 )2 + (67 − 79 )2 + (86 − 89 )2 + (69 − 66 )2 = 4,40 χ2 = 140
102
108
79
107
79
89
66
χ2 tabelado com G.L. = 3 e α = 5% Î 7,81 Conclusão: Como χ2calculado < χ2tabelado, aceita-se H0, concluindo-se que a viabilidade dos cistos do parasito independe de sua localização no fígado dos ovinos.
21
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
RESPOSTAS – TESTE T DE STUDENT
1) Intervalo de confiança para μ Î
x ± ttab. x s/√n Î (18 x 15) ± 2,06 x 8/√25 = 270 ± 3, ou seja, entre 267 a 273 kg.
1 arroba Ù 15 kg
2)
Hipóteses H0: a média das vazões das motobombas é significativamente igual a 20 l/s (μ = 20 l/s) H1: a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s (μ ≠ 20 l/s) Média ( x ): 24 l/s Variância (s2): 18,5 (l/s)2 Desvio padrão (s): 4,30 l/s
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,79 GL = 8 Valor de t tabelado: 2,31
Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das vazões das motobombas é significativamente diferente de 20 l/s. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 24 ± 2,31 x 4,30/√9 = 24 ± 3,3, ou seja, entre 20,7 a 27,3 l/s.
3)
Hipóteses H0: a média dos pesos com a nova ração é significativamente igual a 64 g (μ = 64 g) H1: a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g (μ ≠ 64 g) Média ( x ): 60,75 g Variância (s2): 14,75g2 Desvio padrão (s): 3,84 g
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 2,93 GL = 11 Valor de t tabelado: 2,20
Conclusão: Como |tc|>|tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média dos pesos com a nova ração é significativamente diferente de 64 g. Cálculo do intervalo de confiança a 95% para a média populacional (μ) 60,75 ± 2,20 x 3,84/√12 = 60,8 ± 2,4, ou seja, entre 58,4 a 63,2 kg. 4)
Hipóteses H0: a média da concentração de Pb obtida na indústria é tolerável (μ < 0,20 mg/m3) H1: a média da concentração de Pb obtida na indústria está acima do tolerável (μ ≥ 0,20 mg/m3) Média ( x ): 0,214 mg/m3 Variância (s2): 0,0016 (mg/m3)2 Desvio padrão (s): 0,0401 mg/m3
Teste t: t = ( x – μ)/(s/√n) = 1,10 GL = 9 Valor de t tabelado: 2,82
Conclusão: Como |tc||tt|, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a média das diferenças de tempo para operação com as máquinas A e B difere significativamente de zero Î a máquina B é mais rápida para a tarefa.
24
BARBOSA & PEREIRA
12)
Hipóteses
H0: Δ = 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B não difere significativamente de zero) H1: Δ ≠ 0 (a média das diferenças de produção das variedades A e B difere significativamente de zero) Média ( xd ou
d ): 0,243 kg/m2
2
Teste t: t = ( xd –Δ)/(sd/√n) = 2,15
2 2
GL = 6 Valor de t tabelado: 2,45
Variância (s d): 0,0895 (kg/m ) Desvio padrão (sd): 0,299 kg/m2
Conclusão: Como |tc||tt|, ao nível de 5% de significância, rejeita-se H0, concluindo que existem evidências de que a utilização da vitamina PP reduziu significativamente as concentrações de hemoglobina dos suínos. Já ao nível de 1% de significância, aceitaria-se H0, ou seja, não se encontraria diferença significativa na concentração de hemoglobina com a utilização da vitamina PP.
RESPOSTAS – DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO
1) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 1 8 9 23,6%
Teste t de Student s2A = 1,5 tc = 2,24
S. Q. 10 16 26
Q. M. 10 2
Fc 5,00 n.s.
Ft (α =5%) 5,32
s2B = 2,5
s2p = 2,0 t2c = 5,00
Fc = 1,67
Populações homocedásticas
S. Q. 666 426 1092
Q. M. 222 53,25
2) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 8 11 25,2%
25
Fc 4,17*
Ft (α =5%) 4,07
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D
4,53 Médias 28 40 29 19
d. m. s. = Contraste ab a ab b
19,09
G. L. 3 12 15 11,0%
S. Q. 3675 142 3817
q= Tratamentos 0 kg/ha 30 kg/ha 60 kg/ha 90 kg/ha
4,20 Médias 10 25 40 50
d. m. s. = Contraste d c b a
7,22
G. L. 2 27 29 10,3%
S. Q. 9,546 2,986 12,532
Q. M. 4,773 0,110593
Fc 43,16*
q= Tratamentos A B C
3,51 Médias 2,48 3,41 3,83
d. m. s. = Contraste c b a
G. L. 4 13 17 7,0%
S. Q. 86,54 25,45 111,98
3) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
Q. M. 1225 11,83
Fc 103,52*
Ft (α =5%) 3,49
4) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
Ft (α =5%) 3,35
0,37
5) F. V. Tratamentos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
q= Tratamentos Rival Fedria Dekama Patrones Regente
4,46 Médias 22,00 21,68 21,13 17,88 16,47 26
Q. M. 21,63 1,96
Fc 11,05*
Ft (α =5%) 3,18
d. m. s.´ 3,60 3 repet. Contraste a a ab bc c
d. m. s.´´ 3,12 4 repet.
d. m. s.´´´ 3,37 3 e 4 repet.
BARBOSA & PEREIRA
6) F. V. Localidades Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 15 18 3,5%
Teste de Tukey
S. Q. 7,7138 0,6115 8,3253
q= Tratamentos B A D C
4,08 Médias 6,42 6,08 6,02 4,78
Q. M. 2,5713 0,040767
Fc 63,07*
Ft (α =5%) 3,29
d. m. s.´ d. m. s.´´ 0,37 0,39 5 repet. 4 e 5 repet. Contraste a ab b c
RESPOSTAS – DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO
1) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 5 3 15 23 25,1%
S. Q. 214,5000 4,5000 99,5000 318,5000
q= Tratamentos A B C D E F
4,59 Médias 10,75 13,75 8,50 13,00 10,75 4,75
Q. M. 42,9000 1,5000 6,6333
d. m. s. = Contraste a a ab a a b
Fc 6,47* 0,23 n.s.
Ft (α =5%) 2,90 3,29
5,91
2) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 12 19 17,3%
S. Q. 0,7970 0,5920 0,0830 1,4720
27
Q. M. 0,1993 0,1973 0,0069
Fc 28,81* 28,53*
Ft (α =5%) 3,26 3,49
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,51 Médias 0,53 0,68 0,30 0,70 0,20
d. m. s. = Contraste a a b a b
0,19
G. L. 4 2 8 14 2,7%
S. Q. 0,7324 0,0971 0,3495 1,1790
Q. M. 0,1831 0,0486 0,0437
Fc 4,19* 1,11 n.s.
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,89 Médias 7,85 8,05 7,74 7,51 7,45
d. m. s. = Contraste ab a ab ab b
0,59
F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 3 5 15 23 7,7%
S. Q. 2.143,1250 1.553,7083 318,1250 4.014,9583
Q. M. 714,3750 310,7417 21,2083
Fc 33,68* 14,65*
q= Tratamentos T1 T2 T3 T4
4,08 Médias 67,83 70,83 48,83 52,67
3) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
Ft (α =5%) 3,84 4,46
4)
d. m. s. = Contraste a a b b
Ft (α =5%) 3,29 2,90
7,67
5) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey
G. L. 2 3 6 11 2,3%
S. Q. 524.177,1667 173.415,0000 6.089,5000 703.681,6667
q= Tratamentos A B C
4,34 Médias 1165,25 1402,50 1676,75
Q. M. 262.088,5833 57.805,0000 1.014,9167
d. m. s. = Contraste c b a 28
Fc 258,24* 56,96*
69,13
Ft (α =5%) 5,14 4,76
BARBOSA & PEREIRA
6) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 4 12 19 14,0%
S. Q. 67,6000 10,0000 46,4000 124,0000
q= Tratamentos A B C D
4,20 Médias 17,00 13,60 12,00 13,40
G. L. 4 2 8 14 1,5%
S. Q. 146,7333 1,0293 1,8107 149,5733
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C D E
4,89 Médias 27,63 30,17 31,10 34,20 36,57
F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 2 5 10 17 8,1%
Teste de Tukey
q= Tratamentos A B C
Teste de Tukey
Q. M. 22,5333 2,5000 3,8667
d. m. s. = Contraste a ab b ab
Fc 5,83* 0,65 n.s.
Ft (α =5%) 3,49 3,26
3,69
7) F. V. Tratamentos Blocos Erro ou resíduo Total C. V.
Q. M. 36,6833 0,5147 0,2263
d. m. s. = Contraste d c c b a
Fc 162,08* 2,27 n.s.
Ft (α =5%) 3,84 4,46
1,34
8) S. Q. Q. M. 27,1111 13,5556 14.617,7778 2.923,5556 728,8889 72,8889 15.373,7778
3,88 Médias 106,67 105,00 103,67
d. m. s. = Contraste a a a
Fc 0,19 n.s. 40,11*
13,52
RESPOSTAS – ENSAIOS FATORIAIS
29
Ft (α =5%) 4,10 3,33
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
1) F. V. Tratamentos Fibra bruta (A) Prot. bruta (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V. Teste de Tukey Fator A
Teste de Tukey Fator B
G. L. 5 1 2 2 18 23 3,9%
S. Q. 1,14888 0,40042 0,73903 0,00943 0,05790 1,20678
Q. M. 0,22978 0,40042 0,36952 0,00472 0,00322
q=
2,97 Médias 1,5950 1,3367
d. m. s. = Contraste a b
0,0486
q= Proteína 14% 16% 18%
3,61 Médias 1,2650 1,4400 1,6925
d. m. s. = Contraste c b a
0,0724
Fibra 12% 15%
Fc 71,43* 124,48* 114,88* 1,47 n.s.
Ft (α =5%) 2,77 4,41 3,55 3,55
2) F. V. Blocos Tratamentos Variedades (A) Espaçamentos (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 1 1 1 12 19 10,6%
S. Q. 184 150 5 20 125 54 388
Q. M. 46 50 5 20 125 4,5
Teste de Tukey q= Varied./Espaç. b0 Variedades a0 a1
3,08 Médias 16 22
d. m. s. = Contraste b a
Varied./Espaç. b1 Variedades a0 a1
Médias 23 19
Contraste a b
S. Q. 210 18 48 144 106 316
Q. M. 42 18 24 72 8,8333
Fc 10,22* 11,11* 1,11 n.s. 4,44 n.s. 27,78*
Ft (α =5%) 3,26 3,49 4,75 4,75 4,75
2,92
3) F. V. Tratamentos Sexos (A) Fontes de prot. (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 5 1 2 2 12 17 37,2%
30
Fc 4,75* 2,04 n.s 2,72 n.s. 8,15*
Ft (α =5%) 3,11 4,75 3,89 3,89
BARBOSA & PEREIRA
Teste de Tukey Sexos/Fonte I
q= Sexos Machos Fêmeas
3,08 Médias 5 11
d. m. s. = Contraste b a
Sexos/Fonte II
Machos Fêmeas
7 13
b a
Sexos/Fonte III
Machos Fêmeas
9 3
b a
Fontes/Machos
Fontes I II III
3,77 Médias 5 7 9
Fontes/Fêmeas
I II III
11 13 3
a a b
Q. M. 35,3111 15,27223 0,0889 32,9556 14,0222 2,9111
Fc 12,13* 5,25* 0,03 n.s. 11,32* 4,82*
q=
d. m. s. = Contraste a a a
5,29
6,47
4) Ft (α =5%) 2,67 2,24 3,29 3,29 2,67
F. V. Blocos Tratamentos Variedades (A) Nº de plantas (B) Interação A*B Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 8 2 2 4 32 44 14,0%
S. Q. 141,2444 122,1778 0,1778 65,9111 56,0889 93,1556
Teste de Tukey Fator A
q= Nº de plantas C1 C2 C3
3,49 Médias 10,47 13,00 13,07
d. m. s. = Contraste b a a
q= Variedades V1 V2 V3
3,49 Médias 11,00 11,60 8,80
d. m. s. = 2,65 Contraste Nº plantas/V1 Nº de plantas ab C1 a C2 b C3
Variedades/C1
1,53
Médias 11,00 13,80 11,60
Contraste b a ab
Variedades/C2
V1 V2 V3
13,80 12,00 13,20
a a a
Nº plantas/V2
C1 C2 C3
11,60 12,00 12,80
a a a
Variedades/C3
V1 V2 V3
11,60 12,80 14,80
b ab a
Nº plantas/V3
C1 C2 C3
8,80 13,20 14,80
b a a
31
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
RESPOSTAS – REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
1.a) Reta dos mínimos quadrados (melhor ajuste): Y = a + bx
Σx.Σy 9 x 72 97 n = = 4,1667 e a = y - bx = 8 – 4,1667 . 1 = 3,8333 b= 9 2 2 ( ) x Σ 9 Σx 2 15 9 n Σxy -
DIAGRAMA DE DISPERSÃO DOS PONTOS E RETA DE MELHOR AJUSTE (yx = 0 = 3,83333 e yx = 2 = 12,1667) kg 12 10 8
y = 3,8333 + 4,1667x 2 R = 0,8401 r = 0,9157
6 4 2 0
Dose 0
0,5
1
1,5
2
2,5
1.b) Intervalo de confiança para o coeficiente de regressão paramétrico (β) b – tt SQx = Σx 2 − (Σx ) n
2
= 15 − (9 ) = 6 9 2
Σx.Σy ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ Σxy n ⎠ SQregressão linear = ⎝ (Σx )2 Σx 2 n
sy.x SQx
SQtotal = SQy = Σy 2 −
2
sy.x
< β < b + tt
SQx
(Σy )2 n
= 700 − (72) 9
2
= 124
2
9 ⋅ 72 ⎞ ⎛ ⎜ 97 ⎟ 25 2 9 ⎝ ⎠ = = = 104,1667 6 92 15 9 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333 QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 104,16667 104,1667 36,76* 5,59 Desvios da regressão linear 7 19,8333 2,8333 Total 8 124
s 2y . x = QMdesvios da regressão = 2,8332 sy..x =
s 2y . x = 1,6832 (desvio padrão de y para um valor fixo de x) Pr.(4,1667 – 2,36 .
1,6832 6
< β < 4,1667 + 2,36 .
1,6832 6
) = 95%
4,1667 – 2,36 . 0,6872 < β < 4,1667 + 2,36 . 0,6872 Ù 2,5450 < β < 5,7884
1.c)
H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y) 32
BARBOSA & PEREIRA
t =
b−β s SQ
1.d) 1.e)
2.a)
Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 7 e α = 5%) Î 2,36 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a dose do adubo nitrogenado esperaˆ = 3,8333 + 4,1667x. se um aumento da produção dada pela função y
= 4 ,1667 − 0 = 6,06 1,6832
6
x
O aumento esperado é b = 4,1667. H0: β = 0 O coeficiente de regressão (b) é igual a zero, não há regressão linear. O significado em relação à hipótese nula é que a reta é paralela ao eixo x.)
b=
Σx.Σy = 1,647712 n 2 (Σx ) Σx 2 n Σxy -
yˆ = 53,895 + 1,6477x
a = y - bx = 53,89459
Yx=14 = 76,9626 e
yx=24 = 93,4397
Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste y
100 90 80
y = 53,895 + 1,6477x 2 R = 0,0904 r = 0,3007
70 60 50 13
2.b)
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
x
H0: σ2regressão linear = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: σ2regressão linear > 0 (existe regressão linear significativa entre x e y)
SQtotal = SQy = Σy 2 −
(Σy )2
= 70064 −
n
(824)2 10
= 2166,4 2
173x824 ⎞ ⎛ ⎜14374 ⎟ (118,8)2 = 195,7481 10 = ⎝ ⎠ = 72,10 173 2 3065 10 SQ dos desvios da regressão linear = SQtotal – SQ reg. linear = 124 – 104,1667 = 19,8333
Σx.Σy ⎞ ⎛ ⎜ Σxy ⎟ SQregressão linear = ⎝ n ⎠ (Σx )2 Σx 2 n
2
QUADRO DE ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) DA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES FV GL SQ QM Fc Ft α=5% Regressão linear 1 195,7481 195,7481 0,7947 n.s. 5,32 Desvios da regressão 8 1970,652 246,3315 Total 9 2166,4 Como Fc < Ft, aceitamos H0, então podemos dizer que não há regressão linear significativa ao nível de 5% de probabilidade. 2.c)
H0: σ2regressão linear = 0, foi aceita, significa que os dados não estão aderidos à reta de melhor ajuste, isto é a correlação entre X e Y é baixa.
33
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
∑ xy -
3.a) b = ∑
n
2 (∑ x ) x -
y - bx
3.b) a =
∑ x∑ y
435 -
=
2
(15)(125) 5
=6
(15)2 55 -
É o valor da variável dependente (y) número de colônias, quando a variável independente (x) número de horas for igual a zero. (Ou a cota da reta no eixo de y, em x =0).
5
n = 25 – 6 . 3 = 7
O coeficiente de regressão linear (b) ou coeficiente angular da reta é o acréscimo (porque b é positivo) que sofre (y) número de colônias, quando se aumenta uma unidade de variação em x, ou seja, em 1 hora.
3.c) Foi utilizado o método dos mínimos quadrados para ajustar a linha teórica ou de melhor ajuste ao conjunto de pontos. A reta obtida tem as seguintes características: a) A soma dos desvios verticais aos pontos em relação à reta é zero (li ^ N (0;σ2). b) A soma dos quadrados desses desvios é mínima. Obs: A reta ajustada tem a propriedades de passar sempre pelos pontos x e y (observar no gráfico). Yx=0 = 13
Y = a + bx
e
yx=3 = 37
Diagrama de dispersão dos pontos e a reta de melhor ajuste, segundo as coordenadas (13;37) y
y = 7 + 6x R2 = 0,72 r = 0,8485
50
40
30
20
10 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x
3.d) yx=6 = 43 colônias
∑ xy -
4.a) b = ∑
∑ x∑ y n
2 2 (∑ x ) x -
3450 -
(18)(1620)
=
n
42 -
12 (18)2
=
1020 = 68 e a = y - bx = 135 – 68 . 1,5 = 33 15
yˆ = 33 + 68x
12
H0: β = 0 (não existe regressão linear significativa entre x e y) H1: β ≠ 0 (existe regressão linear significativa entre x e y)
t =
b−β s SQ
=
68 − 0 = 15,36 17 ,1464
onde
s=
SQerro n−2
=
2940 = 17,1464 12 − 2
15
x
SQerro = SQ y − b.SPxy = (291000 – 16202/12) – 68 . 1020
= 2940
Valor crítico ou tabelado de t (G.L.= n – 2 = 10 e α = 5%) Î 2,23 Como |tcalc.| > |ttab.| rejeita-se H0, existe regressão linear significativa entre x e y, ou seja, aumentando-se a ˆ = 33 + 68x. concentração do carrapaticida espera-se um aumento do número de carrapatos mortos dada pela função y 4.b) b – tt
sy.x SQx
< β < b + tt
sy.x SQx
Ù 68 – 2,23x 17,1464 |rt| Î rejeita-se H0, ou seja, existe correlação linear positiva significativa entre x e y. Em outras palavras, cães com valores baixos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores baixos do nº de eritrócitos e cães com valores altos da concentração de hemoglobina possivelmente apresentam valores altos do nº de eritrócitos.
RESPOSTAS – REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 1) F. V. Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 12 15 11,0%
S. Q. 3675 3645 25 5 142 3817
Q. M. 1225 3645 25 5 11,83
R2 Ft (α =5%) 3,49 99,18% 4,75 0,68% 4,75 0,14% 4,75
Fc 103,52* 308,03* 2,11 n.s. 0,42 n.s.
Produção (kg/parcela)
60 50 40 y = 11 + 0,45x
30 20 10 0 0
20
40 60 Doses de nitrogênio
80
100
2)
Ganho médio mensal (kg/cabeça)
F. V. Lotação Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 20 23 20,6%
S. Q. 117,2600 116,8213 0,0067 0,4320 57,6533 174,9133
Q. M. 39,0867 116,8213 0,0067 0,4320 2,8827
Fc 13,56* 40,52* 0,00 n.s. 0,15 n.s.
R2 Ft (α =5%) 3,10 99,626% 4,35 0,006% 4,35 0,368% 4,35
20 y = 13,17 - 3,95x
15 10 5 0 0
0,5
1
1,5
Lotação (animal por hectare)
36
2
BARBOSA & PEREIRA
3) F. V. Blocos Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Demais efeitos Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 2 4 1 1 2 8 14 2,7%
S. Q. 0,0971 0,7324 0,5387 0,0440 0,1497 0,3495 1,1790
Q. M. 0,0486 0,1831 0,5387 0,0440 0,0748 0,0437
Índice de resistência
8,2
R2 Ft (α =5%) 4,46 3,84 73,55% 5,32 6,01% 5,32 20,44% 4,46
Fc 1,11 n.s. 4,19* 12,33* 1,01 n.s. 1,71 n.s.
y = 7,99 - 0,00536 x
8,0 7,8 7,6 7,4 7,2 7,0 0
20
40
60
80
100
kg de potássio/ha
4)
Produção (kg/parcela)
F. V. Blocos Doses Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 5 3 1 1 1 15 23 11,6%
S. Q. 3410,71 395,12 23,41 35,04 336,67 846,13 4651,96
Q. M. 682,14 131,71 23,41 35,04 336,67 56,41
R2 Ft (α =5%) 2,90 3,29 5,92% 4,54 8,87% 4,54 85,21% 4,54
Fc 12,09* 2,34 n.s. 0,41 n.s. 0,62 n.s. 5,97*
3
y = 131,33 - 2,0033 x + 0,0172 x2 - 0,00004 x
100 80 60 40 20 0 0
50
100 kg de N/hectare
37
150
200
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL E BIOESTATÍSTICA
5) F. V. Blocos Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 4 3 1 1 1 12 19 4,6%
Q. M. 248,68 744,67 1568,16 0,20 665,64 8,375
Fc 29,69* 88,92* 187,24* 0,02 n.s. 79,48*
2
100 Produção (kg/parcela)
S. Q. 994,70 2234,00 1568,16 0,20 665,64 100,50 2229,20
Ft (α =5%) R2 3,26 3,49 70,2% 4,75 0,0% 4,75 29,8% 4,75
3
y = 3493,2 - 2373,7x + 537,22x - 39,815x
80 60 40 20 0 3,0
3,6
4,2
4,8
5,4
3
m de água/hectare
6) F. V. Tratamentos Efeito linear Efeito quadrático Efeito cúbico Erro ou resíduo Total C. V.
G. L. 3 1 1 1 16 19 8,6%
S. Q. 28,0135 8,4681 19,0125 0,5329 14,6440 42,6575
Q. M. 9,3378 8,4681 19,0125 0,5329 0,91525
Fc 10,20* 9,25* 20,77* 0,58 n.s.
Ft (α =5%) R2 3,24 30,2% 4,49 67,9% 4,49 1,9% 4,49
Proteína bruta (%)
14,0 12,0 10,0 2
y = 4,845 + 0,1819x - 0,0011x
8,0 6,0 4,0 30
60
Dias
38
90
120
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