Apostila LaTeX - Nível Básico - PET Matemática - UNESP Rio Claro
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Apostila básica de LATEX (v. 0.1)
PET Matemática - UNESP Rio Claro 4 de novembro de 2019
Sumário 1 Preliminares 1.1 A Linguagem LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Como instalar o LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3
2 Escrita no LATEX 2.1 O preâmbulo . . . . . . . 2.2 Escrevendo um texto . . . 2.2.1 Fontes . . . . . . . 2.2.2 Cores . . . . . . . 2.3 Organização do texto . . . 2.3.1 Margens . . . . . . 2.3.2 Capa . . . . . . . . 2.3.3 Capítulos e seções 2.3.4 Bibliografia . . . .
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4 4 5 6 7 7 7 7 8 8
3 Ambientes e teoremas 3.1 Ambientes matemáticos . . . . 3.1.1 equation . . . . . . . . 3.1.2 align . . . . . . . . . . 3.1.3 cases . . . . . . . . . . 3.1.4 array . . . . . . . . . . 3.1.5 Modo matemático inline 3.1.6 Comandos matemáticos 3.2 Teoremas . . . . . . . . . . . .
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10 10 10 11 12 12 13 13 16
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20 20 23 25 27
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4 Matrizes, tabelas, figuras e diagramas 4.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . .
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Agradecemos ao Prof. Dr. João Peres Vieira pela ajuda especial na seção de diagramas e ao Prof. Dr. Thiago de Melo pela ajuda em aspectos gerais de formatação e por viabilizar uma apostila mais esteticamente agradável.
Capítulo 1
Preliminares 1.1
A Linguagem LATEX
Antes de saber o que é o LATEX é preciso conhecer o TEX. O TEX é um programa criado por Donald Knuth na década de 70 com a finalidade de aumentar a qualidade de impressão com base nas impressoras da época e é utilizado para processar textos e fórmulas matemáticas. LATEX é um programa que reúne comandos que utilizam o TEX como base de processamento e foi criado por Leslie Lamport na década de 80 com o objetivo de facilitar o uso do TEX através de comandos para diferentes funções. É uma linguagem especialmente voltada para textos científicos contendo comandos para montar as mais diversas fórmulas. Produz textos de alta qualidade tipográfica (espaçamento entre palavras, combinação de letras, etc. . . ) além de ser muito bom para fazer textos grandes, como livros.
1.2
Como instalar o LATEX
Para começarmos a utilizar o LATEX, precisamos fazer o download de alguns componentes: Compilador: Para o compilador, vamos fazer o download do mais comum para o sistema Windows que é o MikTEX. Podemos encontrá-lo diretamente pelo site https://miktex.org/download. Atente-se ao seu tipo de sistema operacional (32 ou 64 bits) para realizar o download corretamente. Assim que o download for concluído, instale os pacotes seguindo as instruções contidas no instalador. Editor: No editor, podemos escrever os arquivos e visualizar sua construção. Existem vários editores de LATEX, os dois principais e gratuitos sendo: TEXmaker: http://www.xm1math.net/texmaker/download.html TEXstudio: https://www.texstudio.org Novamente, basta realizar o download e seguir as instruções de instalação.
3
Capítulo 2
Escrita no LATEX Atenção Qualquer linha de código que se inicie com o símbolo de porcentagem % é tratada como uma linha de comentário no arquivo .tex, ou seja, não é compilada e portanto não afeta o documento. Portanto, quando quiser temporariamente eliminar alguma linha de código, basta fazer: %
2.1
O preâmbulo
O preâmbulo de um arquivo TEX é o local onde dizemos ao programa quais serão os moldes do arquivo, quais pacotes utilizaremos, quais os tipos de comandos serão utilizados, etc. É muito importante saber o que é inserido no preâmbulo, pois um único comando pode mudar toda a estrutura do seu arquivo. Portanto, vamos realizar a primeira construção de modo bem simples, com apenas os elementos necessários para esta aula. Quando precisarmos de algo novo, voltaremos ao preâmbulo e acrescentaremos o comando. O primeiro preâmbulo que utilizaremos será o seguinte: \documentclass[a4paper,oneside,11pt]{〈classe〉} \usepackage[〈idioma〉]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} Vejamos o que cada um destes comandos faz: \documentclass[〈opções da classe〉]{〈classe〉} Este comando diz qual será a classe do arquivo que faremos: artigo, livro, apresentação em slides, etc. Nas opções, que ficam entre colchetes, dizemos o tamanho da fonte, do papel (A4, por exemplo), ou ainda se a formatação deve ser diferente em páginas pares ou ímpares, muito utilizada para criar documentos que serão impressos em apenas um lado da folha ou em ambos. Sempre que utilizarmos o comando \usepackage{〈pacote〉} estamos buscando por algum pacote na biblioteca que fizemos o download anteriormente.
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\usepackage[〈idioma〉]{babel} Neste caso, estamos utilizando o pacote que traduz várias partes do documento para o idioma especificado em 〈idioma〉. \usepackage[utf8]{inputenc} Este pacote permite a inserção de caracteres não ASCII, como por exemplo ç é ò ä. Neste comando específico precisamos tomar um certo cuidado. A opção deve ser compatível com a codificação do arquivo .tex em uso. No caso, estamos utilizando a opção [utf8] pois nosso editor está configurado com codificação UTF-8. Caso não esteja desta forma, você pode alterar nas opções do editor. Outra possibilidade, seria a opção latin1 para arquivos com codificação ISO.
2.2
Escrevendo um texto
Antes de mais nada, precisamos dizer ao programa que terminamos a parte do preâmbulo e que vamos começar o texto. Para isso, usamos o ambiente document. Começando o texto \begin{document}...\end{document} Atenção Apenas o conteúdo dentro do ambiente document será produzido no documento final. O que estiver após não será compilado. Para digitar um texto simples no LATEX, fazemos como em um editor de texto. Precisamos apenas nos atentar que para adicionar um parágrafo, basta deixar uma linha em branco no código, como por exemplo: Exemplo de parágrafos Vamos escrever dois parágrafos utilizando os recursos do \LaTeX\, veja que enquanto digitamos o texto em uma linha, ele se mantém em um parágrafo, mas se pularmos uma linha, o parágrafo também muda. Dessa forma, utilizando as linhas puladas, criamos parágrafos. Vamos escrever dois parágrafos utilizando os recursos do LATEX, veja que enquanto digitamos o texto em uma linha, ele se mantém em um parágrafo, mas se pularmos uma linha, o parágrafo também muda. Dessa forma, utilizando as linhas puladas, criamos parágrafos. Vamos agora listar alguns comandos importantes para digitar textos no LATEX: Negrito Este texto está em negrito
\textbf{Este texto está em negrito}
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Itálico Este texto está em itálico
\textit{Este texto está em itálico} Sublinhado
Este texto está sublinhado
\underline{Este texto está sublinhado} Fonte pequena (tiny) \begin{tiny}Este texto está pequeno\end{tiny}
Este texto está pequeno
Fonte grande (Huge)
Este texto está grande
\begin{Huge}Este texto está grande\end{Huge} Alinhamento à esquerda
\begin{flushleft}Este texto está alinhado à esquerda\end{flushleft} Este texto está alinhado à esquerda
(margem direita) → |
Alinhamento à direita \begin{flushright}Este texto está alinhado à direita\end{flushright} Este texto está alinhado à direita
| ← (margem esquerda)
Centralizado \begin{center}Este texto está centralizado\end{center} | ← (margem esquerda)
2.2.1
Este texto está centralizado
(margem direita) → |
Fontes
Para alterar a fonte do texto, existem diversos pacotes, utilizados no preâmbulo do arquivo. Por exemplo, para uma fonte equivalente à Times New Roman, carregamos \usepackage{newtxtext} Seguem alguns exemplos de pacotes para fontes: Nome da fonte Palatino Bookman Latin Modern Courier Concrete
Pacote palatino bookman lmodern courier concrete
Uma família de fontes possui subfamílias, como por exemplo, uma versão sem serifas, ou uma versão mono espaçada. Por exemplo, com o pacote newtxtext, os comandos \textsf{ABC} \texttt{ABC} produzem: 6
ABC ABC 2.2.2
Cores
Podemos também alterar as cores de frases e palavras. Para isso, vamos utilizar o pacote xcolor no preâmbulo do arquivo, \usepackage{xcolor} O comando responsável por colocar cor no texto é o \textcolor{〈cor 〉}{〈texto〉}. Atenção, pois é necessário escrever o nome da cor em inglês para que funcione corretamente. Usando cores Vamos aplicar as cores neste exemplo: se quisermos, podemos escrever em \textcolor{blue}{azul}, \textcolor{yellow}{amarelo}, \textcolor{red}{vermelho}, \textcolor{green}{verde}, \textcolor{pink}{rosa}, entre muitas outras cores. Vamos aplicar as cores neste exemplo: se quisermos, podemos escrever em azul, amarelo, vermelho, verde, rosa, entre muitas outras cores.
2.3 2.3.1
Organização do texto Margens
Para alterar as margens do documento, vamos utilizar o pacote geometry no preâmbulo. \usepackage[〈opções〉]{geometry} Assim como em vários outros pacotes, podemos usar as opções para configurar as margens, como por exemplo: Configurando as margens \usepackage[top=2cm, bottom=3cm, left=1.7cm, right=1.3cm]{geometry} Caso queira as quatro margens iguais, basta usar margin=2cm, por exemplo.
2.3.2
Capa
Existem algumas maneiras de construir uma capa no LATEX. Vamos mostrar uma das maneiras mais simples e práticas de fazê-la. Primeiramente, precisamos indicar quais dados estarão na capa. Faremos isso utilizando os seguintes comandos no preâmbulo: \title{〈título〉} \author{〈nome do autor 〉} \date{〈data〉} Com os dados devidamente inseridos, basta utilizarmos o comando \maketitle logo após a abertura do documento.
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2.3.3
Capítulos e seções
Queremos agora dividir nosso texto em capítulos, seções e subseções. Para isso, basta utilizar os comandos: Capítulo e Seções \chapter{〈título do capítulo〉} \section{〈título da seção〉} \subsection{〈título da subseção〉} Utilizando estes comandos, podemos organizar melhor o texto e pedir para que o LATEX crie um sumário automático, que irá se atualizando a cada novo capítulo ou seção adicionados. Observação Devido às convenções de formatação estadunidenses, o primeiro parágrafo de cada nova seção não possui recuo. Sendo assim, o LATEX não inclui esse recuo por padrão. Para obtê-lo, basta ir ao preâmbulo e incluir o pacote indentfirst. \usepackage{indentfirst}
Quando utilizamos os comandos acima, os capítulos e seções são numerados e vinculados ao sumário. Caso queira que um capítulo ou seção não seja numerado, basta utilizar sua versão estrelada, ou seja: Capítulo e Seções não numerados \chapter*{〈título do capítulo〉} \section*{〈título da seção〉} \subsection*{〈título da subseção〉} Este recurso poderá ser utilizado em diversos comandos. Vamos relembrá-lo quando for conveniente. Para gerar um sumário a partir das seções e capítulos, basta utilizar o comando: Sumário \tableofcontents Para um exemplo do resultado do comando \tableofcontents, veja por exemplo o sumário desta apostila, na página 1.
2.3.4
Bibliografia
Para fazer a bibliografia, utilizamos um ambiente próprio para isso.
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Bibliografia \begin{thebibliography}{99} \bibitem{〈rótulo da referência〉} 〈referência bibliográfica segundo ABNT 〉 \end{thebibliography} O ambiente thebibliography é utilizado exclusivamente para comportar os itens da referência bibliográfica. Cada novo item adicionado deve ser feito com o comando \bibitem{〈label 〉}, que insere este item numerado e associa a ele o 〈label 〉, que é utilizado em qualquer parte do texto por meio do comando \cite{〈label 〉}. Obviamente, cada item deve receber um 〈label 〉 diferente, pois a citação poderá ficar comprometida caso haja dois itens com mesmo 〈label 〉. Exercício 2.3.1. Escreva o seguinte texto com as edições: “Amanhã faz um mês que a Senhora está longe de casa. Primeiros dias, para dizer a verdade, não senti falta, bom chegar tarde, esquecido na conversa de esquina. Não foi ausência por uma semana: o batom ainda no lenço, o prato na mesa por engano, a imagem de relance no espelho.”
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Capítulo 3
Ambientes e teoremas 3.1
Ambientes matemáticos
Neste capítulo vamos trabalhar os ambientes matemáticos que podem ser explorados no LATEX. É muito importante ter pleno domínio de cada um deles, visto que, em um texto matemático, normalmente utilizamos todos os ambientes. Para utilizarmos com eficiência os ambientes, vamos inserir no preâmbulo alguns pacotes importantes: \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} Os três pacotes acima são pacotes da American Mathematical Society–AMS e fornecem vários recursos para criação de conteúdos matemáticos, como por exemplo, fontes diferenciadas, símbolos diversos e novos ambientes.
3.1.1
equation
Este é o primeiro e mais importante ambiente matemático, utilizado para escrever e enumerar uma equação. Ao utilizá-lo, este ambiente centraliza horizontalmente a equação na página do documento e a formata com uma fonte diferenciada, especialmente designada para objetos matemáticos. Para utilizá-lo, escrevemos a seguinte sintaxe: Ambiente de equação \begin{equation}...\end{equation} Vejamos um exemplo simples do equation: Exemplo equation \begin{equation} xˆ2+3x=7 \end{equation}
x2 + 3x = 7
(3.1)
Perceba que na margem direita da página aparece automaticamente o número dessa equação, que poderá ser citada futuramente. Faremos algumas configurações com relação a essa numeração mais adiante. Por hora, veja que ela faz referência ao capítulo em questão, ou seja, como foi inserida no capítulo 3 e é a primeira equação deste capítulo, sua numeração é (3.1). É possível substituir a numeração por outra coisa, utilizando o comando \tag{〈nome da equação〉}:
10
Exemplo de equation com tag \begin{equation} xˆ2+3x=7 \tag{Equação} \end{equation}
x2 + 3x = 7
(Equação)
Para citarmos uma equação, precisamos dar um nome a ela, ou seja, colocar um rótulo na equação. Para isso, usando o comando \label{〈rótulo〉}. Para referenciarmos a equação, usamos o comando \eqref{〈rótulo〉} no texto, da seguinte forma Exemplo equation com referência \begin{equation} ax+b = c \label{eq.linear} \end{equation} Segundo a equação \eqref{eq.linear}, segue o resultado.
ax + b = c
(3.2)
Segundo a equação (3.2), segue o resultado.
Caso deseje que a equação não seja numerada, utilizamos novamente o recurso com o asterisco, ou seja: Exemplo equation sem numeração \begin{equation* } ax+b = c \end{equation* }
ax + b = c
Outra opção, mais rápida, seria utilizar o modo matemático em destaque: Exemplo de equação com barra-colchete \[ ax+b = c \]
3.1.2
ax + b = c
align
O comando align serve para alinhar expressões com relação a um determinado símbolo, que deve ser precedido pelo caractere &. Veja o exemplo abaixo, onde as equações estão alinhadas com relação aos símbolos =. Vale ressaltar que o sistema ficará centralizado horizontalmente no documento. Exemplo align \begin{align} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \end{align}
x2 + y 2 = 1 p y = 1 − x2
(3.3) (3.4)
Obviamente, align* produz o mesmo efeito, com exceção da numeração, que é omitida em todas as linhas do ambiente, como podemos ver no exemplo abaixo. Exemplo align* sem numeração \begin{align*} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \end{align*}
x2 + y 2 = 1 p y = 1 − x2
11
Perceba que, logo após a primeira equação ter sido escrita, temos duas barras (\\), que servem para iniciar uma nova linha no bloco de equações. E se desejarmos numerar apenas algumas das equações dentro do ambiente align, usamos a versão sem o * e retiramos a numeração das equações desejadas com o comando \nonumber. As equações que permaneceram numeradas podem ser rotuladas e referenciadas da mesma forma que descrevemos anteriormente, com os comandos \label{〈rótulo〉} e \eqref{〈rótulo〉}, respectivamente. Exemplo align com \nonumber \begin{align} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \label{eq.1} \\ yˆ2 &= 1 - xˆ2 \nonumber\\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \label{eq.2} \end{align} Como \eqref{eq.1} é válida, podemos deduzir \eqref{eq.2}.
3.1.3
(3.5)
x2 + y 2 = 1 2
2
y =1−x p y = 1 − x2
(3.6)
Como (3.5) é válida, podemos deduzir (3.6).
cases
Em geral, para escrever um bloco de casos, como por exemplo, um sistema de equações, ou até mesmo uma função definida por partes, usamos o ambiente cases, fornecido pelo pacote amsmath. As condições em cada caso são separadas pelo & e as linhas, por \\. Exemplo cases \begin{equation} f(x) = \begin{cases} 2x-1, & \text{se $x>0$,} \\ 2x+1, & \text{se $x 0, f (x) = 2x + 1, se x < 0.
(3.7)
Note que o ambiente cases produz por padrão, o conteúdo com alinhamento à esquerda. Se desejamos, por exemplo, alinhar um sistema de equações pelo sinal =, usamos o ambiente aligned dentro de um ambiente cases, como em: Exemplo cases alinhado \begin{equation} \begin{cases} \begin{aligned} ax+by+cz &= 0, \\ dy+ez &= 0, \\ fz &= 0. \end{aligned} \end{cases} \end{equation}
3.1.4
ax + by + cz = 0, dy + ez = 0, f z = 0.
(3.8)
array
Como o nome já diz, o ambiente array cria uma espécie de tabela, com várias linhas e colunas, com alinhamentos específicos. Mas não é uma tabela! 12
Deve ser utilizado em modo matemático, por exemplo, dentro de um equation ou \[ \]. A quantia de colunas é especificada pela sequência de letras que indicam o alinhamento destas colunas. São 3 as possibilidades: lcr, para left, center ou right. Para separar o conteúdo de cada coluna, em uma mesma linha, utilizamos &. Exemplo array \begin{equation* } \begin{array}{rl} 2x-1 = y, & \text{linear}\\ 2xˆ2-2x+1 = z, & \text{quadrática}\\ 3xˆ3-1 = u, & \text{cúbica} \end{array*} \end{equation* }
2x2
2x − 1 = y, − 2x + 1 = z, 3x3 − 1 = u,
linear quadrática cúbica
Observe que são duas colunas, a primeira alinhada à direta e a segunda, à esquerda, devido ao uso de {rl}. Observe também que, por ser um array dentro de um ambiente equation* , não se pode inserir texto diretamente, pois se trata de um modo matemático. Por isso, utiliza-se o comando \text, fornecido pelo pacote amsmath.
3.1.5
Modo matemático inline
Para inserir conteúdo matemático não destacado, ou seja, na mesma linha que os textos que o cercam, fazemos uso do caractere $. Mais precisamente, abrimos e fechamos o modo matemática com tal símbolo, ou seja, digitamos $...$. Exemplo com $ Podemos calcular a expressão $axˆ2 + bx + c = 0$ e determinar as raízes desta equação.
3.1.6
Podemos calcular a expressão ax2 + bx + c = 0 e determinar as raízes desta equação.
Comandos matemáticos
Conhecendo os principais ambientes matemáticos, podemos agora explorar algumas outros comandos. Fração:
Fração simples:
Expoente:
Índice:
Fração:
$\dfrac{ax + b}{cˆ2}$
ax + b c2
Fração simples:
$\frac{f(x)}{x-1}$
f (x) x−1
Expoente: a2
$aˆ2$
Índice: b1
$b_1$
Ordem: $a>b$, $c b, c < d, e ≤ f , g ≥ h Diferença: i 6= j
13
Contido: $A\subset B$ Contém: $A\supset B$
Contido: A ⊂ B Contém: A ⊃ B
União: $C\cup D$ Interseção: $C\cap D$
União: C ∪ D Interseção: C ∩ D
Somatórios: $\sum_{n=0}ˆ{\infty} a_n$ ou $\sum\limits_{n=0}ˆ{\infty} a_n$
Somatórios:
P∞
n=0 an ou
∞ P
an
n=0
Limite:
Limite: \[\lim\limits_{t\to t_0}f(t)\]
lim f (t)
t→t0
Integral/Integral Dupla/Integral Tripla:
Integral: \[\int_{a}ˆ{b}f(x)\] Integral Dupla: \[\iint_{D}f(x,y)\] Integral Tripla: \[\iiint_{B}f(x,y,z)\]
Z
b
ZZZ
ZZ D
Conjuntos numéricos: $\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{H}$
Conjuntos numéricos: N Z Q I R C H
Flechas: $\rightarrow$ ou $\to$ $\leftarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\mapsto$ $\longmapsto$
Flechas: → ← ⇒ ⇐ ⇔ −→ ←− =⇒ ⇐= ⇐⇒ 7 → 7−→
14
f (x, y, z)
f (x, y)
f (x) a
B
Letras gregas: $\phi$ $\varphi$ $\epsilion$ $\varepsilion$ $\delta$ $\psi$
Letras gregas: φ ϕ ε δ ψ Deilimitadores: 3 2 Z dx
Delimitadores: \[\left(\int \limits_{0}ˆ{3}dx\right)ˆ2\] \[1+\left[\sum\limits_{n=0}ˆ{\infty} a_n\right]\] \[S=\left\{\dfrac{3}{4}\right\}\]
0
" 1+
∞ X
# an
n=0
3 S= 4 O LATEX possui alguns comandos para funções trigonométricas, como por exemplo, \sin ou \tan. Porém, o resultado exibe a versão em inglês de tais funções, ou seja, sin e tan. Felizmente, mais um recurso do pacote amsmath nos permite definirmos novos comandos para nomes de funções. Formalmente, definimos no preâmbulo novos operadores matemáticos. \DeclareMathOperator{〈comando〉}{〈definição〉} O código acima cria o comando \〈comando〉 que produzirá 〈definição〉. Por exemplo, para usarmos corretamente \sen ou \tg, definimos \DeclareMathOperator{\sen}{sen} ou \DeclareMathOperator{\tg}{tg}. Agora, podemos utilizar as funções trigonométricas (observe que \cos já é definida): sen(x), cos(x), tg(x)
$\sen(x)$, $\cos(x)$, $\tg(x)$
Exercício 3.1.1. Escreva o seguinte exercício com solução: João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui? ( 2c + 3g = 17 c−g =1 Desenvolvendo o sistema chegamos que c = 4 e g = 3. Portanto João possui três gatos e quatro cachorros.
15
Exercício 3.1.2. Escreva a seguinte definição: Definição 3.1.3. A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é: ρ
Dv = ∇ · P + ρf . Dt
Em particular, para fluidos Newtonianos, vale a seguinte hipótese: ∂vj 2 ∂vi + − δij ∇ · v . pij = −pδij + µ ∂xj ∂xi 3
3.2
Teoremas
Primeiramente, para podermos utilizar os ambientes de teoremas, precisaremos do seguinte pacote no preâmbulo: \usepackage{amsthm} Com isso, podemos criar os comandos que chamam os ambientes para teorema. Com o pacote adicionado, o LATEX já possui ambientes em inglês para escrevermos os teoremas e demonstrações, mas como queremos utilizá-los em português, faremos a seguinte adição ao preâmbulo: Criando ambientes de teorema \newtheorem{〈nome do ambiente〉}{〈título〉}[〈contador 〉] Como o próprio nome do comando diz, estamos criando um novo ambiente do tipo teorema, por meio do pacote amsthm. Em 〈nome do ambiente〉, obviamente, inserimos o nome do ambiente (sem acentos), como por exemplo, teorema, corolario, prop, proposicao, etc. Em 〈título〉, normalmente colocamos o mesmo que no nome do ambiente, porém com a primeira letra maiúscula e com os acentos corretamente, já que será dessa forma que o programa irá escrever no PDF. Em outras palavras, 〈título〉 é o nome visível do ambiente criado, como por exemplo, ‘Teorema’, ‘Definição’, etc... Agora, para a parte da numeração, é necessária uma atenção especial, pois podemos fazê-la de várias formas. Este campo (que é opcional) deve ser preenchido com o nome de um contador, ou seja, uma variável que o LATEX atualiza sequencialmente a cada uso. Exemplos de contadores são section para seção, chapter para capítulo, etc. No exemplo acima, a opção [〈contador 〉] está ao final do comando, e portanto o ambiente 〈nome do ambiente〉 recém definido usará um contador subordinado ao 〈contador 〉, ou seja, será reiniciado toda vez que 〈contador 〉 o for. Pare que um ambiente do tipo teorema utilize o mesmo contador que algum outro previamente definido, basta mover a opção [〈contador 〉] para ficar entre os dois argumentos obrigatórios, como por exemplo, \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} Acima, foi definido o ambiente proposicao, usado com \begin{proposicao}...\end{proposicao}, e que possui o título ‘Proposição’ e será numerado de acordo com o contador teorema. Por exemplo, se o valor atual do contador teorema for 4, então um ambiente proposicao, quando inserido, receberá a numeração 5. Para criar um ambiente com um contador totalmente independente, simplesmente omita a opção, como por exemplo, 16
\newtheorem{atencao}{Atenção} A seguir, incluiremos uma lista de comandos usualmente presentes no preâmbulo com relação a teoremas: Criando ambientes de teorema \newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário} \newtheorem{lema}[teorema]{Lema} \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} \newtheorem{definicao}[teorema]{Definição} Para utilizarmos um destes novos ambientes criados, faremos como antes: Exemplo de teorema \begin{teorema}[Nome do teorema] Descrição do teorema. \end{teorema}
Teorema 3.2.1 (Nome do teorema). Descrição do teorema.
Veja que a numeração do teorema está ligada ao capítulo no qual este exemplo está contido, ou seja, capítulo 3, seção 2, e é o primeiro teorema declarado. Note também que todos os ambientes declarados dessa forma terão a mesma formatação no documento. Se quisermos criar ambientes com formatação diferente, usamos o comando \theoremstyle{〈estilo〉}. Todo ambiente definido após esse comando terá a formatação declarada. Criando ambientes de teorema com diferentes formatações \newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário} \newtheorem{lema}[teorema]{Lema} \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} \newtheorem{definicao}[teorema]{Definição} \theoremstyle{remark} \newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo} \newtheorem{exercicio}[teorema]{Exercício}
No documento, um desses novos ambientes teria a seguinte aparência: Exemplo de exercício \begin{exercicio} Enunciado do exercício. \end{exercicio}
Exercício 3.2.2. Enunciado do exercício.
Para cada um dos exemplos dados anteriormente, o processo de abrir o ambiente é análogo, apenas alterando o nome para o declarado no preâmbulo. Para um bloco de ‘Demonstração’, o pacote amsthm já possui um ambiente pré-definido que, juntamente com pacote babel e opção brazil, tem seu título escrito em português. Basta chamarmos o ambiente proof, como no exemplo abaixo:
17
Exemplo de Demonstração \begin{proof} Descrição da demonstração. \end{proof}
Demonstração. Descrição da demonstração.
Observe que ao final do ambiente proof, um símbolo é inserido, indicando que a Demonstração terminou. O símbolo padrão é (\square), definido no comando \qedsymbol. Portanto, redefinindo \qedsymbol podese utilizar qualquer outro símbolo para indiciar o final da Demonstração, e.g., $\blacksquare$ ()
18
Exercício 3.2.3. Escreva a seguinte definição: Definição 3.2.4. Dado um conjunto limitado B ⊆ R3 e uma função f : B −→ R, tomamos o valor ∆ = max{∆xi , ∆yj , ∆zk }. Sendo ∆xi , ∆yj , ∆zk os comprimentos envolvidos na partição P de um paralelepípedo A que contém B. A integral tripla de f sobre B é dada pelo limite (caso exista) lim
∆→0
p n X m X X
f (Xijk )∆xi ∆yj ∆zk ,
i=1 j=1 k=1
e denotada por ZZZ f (x, y, z)dxdydz. B
Exercício 3.2.5. Escreva o seguinte lema e sua demonstração: Lema 3.2.6. Uma função y = y(t); y : I → R é solução do P.V.I. ( y 0 (t) = f (t, y) y(t0 ) = y0 se, e somente se, for solução da equação integral: Z t y(t) = y0 + f (s, y(s))ds.
(3.9)
(3.10)
t0
Demonstração: Note que f (t, y(t)) é contínua, portanto é integrável em qualquer intervalo fechado. (⇒) Supondo y = y(t) como solução do P.V.I.: t
Z y(t) − y0 = y(t) − y(t0 ) =
0
Z
t
y (s)ds = t0
ou seja, Z
f (s, y(s))ds t0
t
y(t) = y0 +
f (s, y(s))ds. t0
(⇐) Se y(t) satisfaz (3.10), então Z
t0
y(t0 ) = y0 +
f (s, y(s))ds = y0 + 0. t0
Assim, y(t0 ) = y0 . Derivando ambos os membros de (3.10) obtemos, pelo T.F.C.: y 0 (t) = 0 + f (t, y(t)) = f (t, y(t)). Portanto, y(t) satisfaz as duas condições de (3.9), ou seja, é uma solução do P.V.I.
19
Capítulo 4
Matrizes, tabelas, figuras e diagramas 4.1
Matrizes
As matrizes podem ser feitas de várias formas, como listaremos abaixo. Atenção, pois tudo o que fizermos a seguir deve estar em um ambiente matemático, ou seja, os comandos que serão citados devem estar no interior de um equation (ou sua versão com *) ou \[ \]. Falemos de alguns detalhes antes de montarmos as matrizes. A mudança de colunas é feita pelo caractere &, já a de linhas acontece usando o símbolo das duas barras invertidas. Para matrizes com parênteses usamos o ambiente pmatrix. Veja o exemplo abaixo: Matrizes com parênteses \begin{equation* } A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{pmatrix} \end{equation* }
A=
2 3 4 9
Para matrizes com colchetes usamos o ambiente bmatrix. Veja abaixo: Matrizes com colchetes \begin{equation* } B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5\\ 4 & 9 & 25 \end{bmatrix} \end{equation* }
2 3 5 B= 4 9 25
Podemos fazer matrizes com uma barra vertical usando o ambiente vmatrix. Veja um exemplo: Matrizes com delimitadores verticais \begin{equation* } C = \begin{vmatrix} 80 & 564\\ 159 & 27 \end{vmatrix} \end{equation* }
80 564 D= 159 27
20
Podemos usar uma matriz com chaves ao invés de parênteses ou colchetes, para isso usamos o ambiente Bmatrix, como abaixo: Matrizes com chaves \begin{equation* } D= \begin{Bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{Bmatrix} \end{equation* }
D=
1 1 1 1
Também conseguimos escrever uma matriz com duas barras verticais. Utilizamos o ambiente Vmatrix, como abaixo: Matrizes com delimitadores verticais duplos \begin{equation* } E= \begin{Vmatrix} 40 & 4\\ 159 & 47 \end{Vmatrix} \end{equation* }
40 4
E= 159 47
Exercício 4.1.1. Faça o seguinte desenvolvimento utilizando os conceitos dados nesta aula: Verifique se a propriedade comutativa é valida para multiplicação de matrizes. Ou seja, se a igualdade A · B = B · A, para A, B ∈ M2×2 , é verdadeira. Tome A, B ∈ M2×2 tais que 1 2 4 −1 , A= eB= 5 0 0 1 donde segue que 14 −1 1 2 4 −1 1 × 4 + 2 × 5 1 × (−1) + 2 × 0 = = , · A·B = 5 0 0 1 5 0 0 × 4 + 1 × 5 0 × (−1) + 1 × 0 14 −1 . 5 0 Vejamos agora o produto B · A: 4 −1 1 2 4 × 1 + (−1) × 0 4 × 2 + (−1) × 1 4 7 B·A= · = = , 5 0 0 1 5×1+0×0 5×2+0×1 5 10 4 7 ou seja, B · A = . 5 10 Com isso, concluímos que A · B 6= B · A. Ou seja, a comutativa não é válida para multiplicação de matrizes. ou seja, A · B =
21
Exercício 4.1.2. Reproduza o seguinte exemplo: Exemplo 4.1.3. Resolva o sistema:
0 x1 0 1 x1 = . x02 −1 2 x2
A forma desse sistema como EDO de segunda ordem é y 00 + 2y 0 + y = 0. Disso tiramos y1 (t) = e−t e y2 (t) = te−t , assim: −t e te−t 1 2 x (t) = ; x (t) = . −e−t (1 − t)e−t Verifiquemos se x1 e x2 são L.I. Em t = 0, por exemplo, temos: 1 0 1 2 x (0) = ; x (0) = −1 1 que, evidentemente, são vetores L.I. em R2 . Portanto toda solução x(t) é da forma: −t e te−t (c1 + c2 t)e−t x(t) = c1 + c2 = . −e−t (1 − t)e−t (c2 − c1 − c2 t)e−t Exercício 4.1.4. Reproduza o seguinte exemplo: Exemplo 4.1.5. Considere a superfície (x, y, z) = σ(u, v) com v ∈ [−1, 1] e u ∈ [0, 2π], a qual pode ser representada da seguinte forma: para cada u fixo, (x, y, z) descreve o segmento de comprimento 2 centrado em (cos u, sen u, 1), localizado num plano π determinado pelo eixo z e pelo ponto (cos u, sen u, 0), formando com o eixo z um angulo de u2 . A parametrização dessa superfície é dada por: u cos (u) x = 1 + v sen 2 u sen (u) y = 1 + v sen (4.1) 2 u z = 1 + v cos 2 com v ∈ [−1, 1] e u ∈ [0, 2π]. A superfície parametrizada é a Faixa de Möbius.
22
4.2
Tabelas
Existem dois ambientes principais utilizados para criação de tabelas. Um deles é o table, que funciona de modo semelhante ao ambiente figure que veremos em seguida. Ele é utilizado para reservar um espaço horizontal e permite a inserção de uma legenda, por meio do \caption{〈legenda〉}. Dentro desse ambiente, podemos inserir ‘qualquer coisa’. Nesta seção, mostraremos como inserir tabelas, por meio do ambiente tabular. Este ambiente funciona de modo semelhante ao array (ver seção 3.1.4) Observação 4.2.1. A principal diferença entre o tabular e o array é que este último deve ser usado em modo matemático, enquanto que o primeiro funciona em modo texto. Caso o conteúdo de uma célula da tabela seja algo matemático, este deverá ser inserido com $ $. O número de colunas da tabela e o alinhamento de cada uma é passado por meio do argumento principal {〈alinhamentos〉}, como por exemplo, {ccl}, para três colunas, com as duas primeiras centralizadas e a última com alinhamento à esquerda. Vejamos um exemplo completo. \begin{table}[htb] \centering \begin{tabular}{ccl} Nome & Idade & Profissão \\ José & $20$ & Piloto de avião \\ Roberta & $32$ & Dentista \\ \end{tabular} \caption{Lista de nomes} \label{Rotulo} \end{table}
Nome José Roberta
Idade 20 32
Profissão Piloto de avião Dentista
Tabela 4.1: Lista de nomes
Bordas horizontais e/ou verticais podem ser inseridas. As linhas horizontais são inseridas por meio de \hline, duplicando-o para linhas duplas, como em \hline\hline. Linhas verticais entre as colunas são colocadas antes ou após a especificação do alinhamento, como por exemplo, {|ccl|}, para linhas nas laterais, ou {cc|l}, para uma linha entre as colunas 2 e 3. Linhas verticais duplas também podem ser adicionadas usando duas barras verticais, como em {||cc|l}. Eis novamente o exemplo acima, porém com bordas. \begin{table}[htb] \centering \begin{tabular}{||cc|l} Nome & Idade & Profissão \\ \hline\hline José & $20$ & Piloto de avião \\ \hline Roberta & $32$ & Dentista \\ \end{tabular} \caption{Lista de nomes} \label{Rotulo} \end{table}
Nome José Roberta
Idade 20 32
Profissão Piloto de avião Dentista
Tabela 4.2: Lista de nomes
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Observações 1. No exemplo acima, note o uso de $ nos valores das idades, já que são números. Também, há o argumento opcional para o posicionamento do table, como em [htb], para here, top, bottom. 2. Para fazer uma linha horizontal que vai da coluna i até a coluna j, substituímos o comando \hline por \cline{i-j} entre as linhas desejadas. 3. Para inserir uma lista das tabelas presentes no documento, use o comando \listoftables
Exercício 4.2.2. Com os conceitos vistos nessa seção, reproduza a seguinte tabela: No de dígitos 50 70 100 200 300 500
No de operações 1, 4 × 1010 9, 0 × 1012 2, 3 × 1025 1, 2 × 1023 1, 5 × 1029 1, 3 × 1039
Tempo 3, 9 horas 104 dias 74 anos 3, 8 × 109 anos 4, 9 × 1015 anos 4, 2 × 1025 anos
Tabela 4.3: Eficiência do algoritmo de fatoração Exercício 4.2.3. Com os conceitos vistos nessa seção, reproduza a seguinte tabela: Expressão √ 2 2 √x + a 2 2 √a − x x2 − a2
Substituição x = a tg θ, θ ∈ 0, π2 x = a sen θ, θ ∈ 0, π2 x = a sec θ, θ ∈ 0, π2 ou π, 3π 2
Identidade = 1 + tg2 θ 2 cos θ = 1 − sen2 θ sec2 θ − 1 = tg2 θ sec2 θ
Tabela 4.4: Tabela de substituições trigonométricas para integrais
24
4.3
Figuras
Para incluir figuras no LATEX, primeiramente carregamos o pacote graphicx, colocando no preâmbulo: \usepackage{graphicx} Assim, para inserir uma figura, que ocupará um espaço reservado a ela na página, utilizamos o ambiente figure (ou figure*). \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics{unesp-logo} \caption{Logo Unesp} \label{Rotulo} \end{figure}
Figura 4.1: Logo Unesp Agora vejamos como cada parte do comando para incluir figuras funciona: \begin{figure}[htb]...\end{figure} Primeiro, para se incluir figuras no LATEX elas precisam estar em um ambiente próprio, que é o figure. Já o [htb], são as opções onde o LATEX escolhe a melhor posição para inserir a figura na página: h para here (aqui), t para top (topo) e b para bottom (base), respectivamente. Se você colocar apenas um deles, por exemplo [h], a figura poderá ficar exatamente onde você a inseriu (desde que haja espaço para isso, claro!). \centering Faz com que todo o conteúdo dentro do ambiente em questão (nesse caso, figure) fique centralizado. Para alinhar tudo à direita, utilize o ambiente flushright. Caso não seja colocado nenhum deles, a figura ficará alinhada à esquerda.
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\includegraphics{〈nome do arquivo da imagem〉} Aqui é onde se insere o nome do arquivo que contém a imagem desejada, lembrando que a figura deve (preferencialmente) estar na mesma pasta do seu arquivo .tex e o 〈nome〉 deve ser exatamente o mesmo nome do arquivo da figura salva na pasta. Observação Caso a imagem não apareça, verifique se o arquivo está presente na pasta; tente também colocar a extensão do arquivo, como por exemplo, unesp-logo.png.
\caption{〈Legenda da Imagem〉} Este comando é para se colocar uma legenda na figura. É opcional. \label{〈rótulo〉} Associa um 〈rótulo〉 (apelido) à figura, que poderá ser utilizado para fazer referência a ela em qualquer parte do texto, por meio do comando \ref{〈rótulo〉}. Observação Para inserir uma lista de figuras use o comando \listoffigures
Podemos também alterar as dimensões da imagem, isto é, seu comprimento e/ou largura. Mostraremos duas formas de fazer tal procedimento. A primeira é de uma maneira proporcional, ou seja, alteramos a escala da imagem. Veja abaixo: \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=2.0]{unesp-logo} \caption{Logo Unesp com o dobro do tamanho} \label{Rot} \end{figure} Observe que uma opção para o comando \includegraphics foi utilizada, a saber, [scale=...]. Valores decimais devem ser inseridos com . (ponto) e não , (vírgula). Por exemplo, para aumentar 50%, utilize [scale=1.5]. Agora, se quisermos mexer apenas em uma das dimensões da figura, por exemplo, o comprimento, fazemos da seguinte forma:
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Figura 4.2: Logo Unesp com o dobro do tamanho
\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[width=8.0cm]{unesp-logo} \caption{Logo Unesp com comprimento de 8cm} \label{Rot} \end{figure}
Figura 4.3: Logo Unesp com comprimento de 8cm A sutileza do código é a opção [width=8.0cm], que ajusta o comprimento (largura) para um valor específico. Note que é preciso sempre inserir uma unidade de comprimento, como por exemplo, cm (centímetros). Agora, se quisermos mexer com a altura, fazemos da mesma forma, por meio da opção height. Vale lembrar que as opções podem ser combinadas, separadas por , como em [width=3cm, height=2cm].
4.4
Diagramas
Para se montar um diagrama no LATEX precisaremos acrescentar um novo pacote em nosso preâmbulo, o qual permite o uso dos recursos necesários para as flechas e estrutura geral dos diagramas. \usepackage[all]{xy} Os diagramas nada mais são que um tipo especial de matriz, ou seja, para criá-los utilizaremos um processo semelhante ao feito anteriormente. Primeiro criamos um ambiente matemático, e dentro dele, utilizaremos o ambiente xymatrix. Um exemplo básico de como é feito um diagrama é o seguinte:
27
Exemplo de Diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[r]\ar[rd] & Y\ar[d]\\ Z\ar[u] & W \ar[l]} \end{equation* }
XO
/Y
Zo
W
Vamos explorar o código exibido acima: • Os elementos deste diagrama são X, Y, Z, W • As setas são criadas pelo comando \ar[], que vem da palavra arrow. • As letras dentro dos colchetes dão as direções das setas: right [r], left [l], up [u] e down [d]. • Para se fazer as setas na diagonal, basta colocar as duas direções, como right down [rd], lembrando que usualmente colocamos primeiro a direção horizontal e depois a vertical. Para que as setas tenham informações, vamos usar os conceitos de expoente e índice. Veja o exemplo: Exemplo diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[r]ˆf \ar[rd]ˆh & Y\ar[d]ˆg\\ Z\ar[u] & W \ar[l]_j } \end{equation* }
XO
f
/Y h
Zo
j
g
W
Neste caso, veja que • As funções f, g e h estão indicadas como expoentes para que fiquem “acima” da seta. • A função j está indicada como índice para que fique “abaixo” da seta. Os diagramas, as vezes, não possuem as mesmas quantidades de linhas e colunas. Veremos como montar um tal que essas quantidades diferem. Em LATEX, se escreve assim: Diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[rr]\ar[d] & & Y\ar[d]\\ Z\ar[r] & W \ar[r] & V} \end{equation* }
/Y
X
Z
/W
/V
A sutileza deste diagrama é que ele possui três colunas nas duas linhas, porém deixamos uma em branco. Primeiramente, o & presente duas vezes na primeira linha faz com que o programa entenda que há três colunas, mas no documento aparecem apenas duas. Além disso, para que a seta que parte de X chegue em Y , ela deve passar pela coluna em branco. Por isso a direção no comando \ar[] está duplicada, ou seja, [rr]. Por fim, os estilos das setas (traço) e as suas pontas (arrow tip) podem ser alterados, por meio dos comandos abaixo. Deve ser utilizado da seguinte forma: @{〈estilo〉}. Por exemplo:
28
Estilos de setas \ar@{->}[dir]^-{label} \ar@{-->}[dir]^-{label} \ar@{.>}[dir]^-{label} \ar@{=>}[dir]^-{label} \ar@{~>}[dir]^-{label} \ar@{-}[dir]^-{label} \ar@{--}[dir]^-{label} \ar@{.}[dir]^-{label} \ar@{=}[dir]^-{label} \ar@{~}[dir]^-{label} \ar@/^1ex/[dir]^-{label} \ar@/_1ex/[dir]^-{label}
/A
0
α
0
ξ
f
g
/ A0
0 4B
+3 C
δ
(
0
γ
β
f0
29
/B
g0
/ C0
0
Exercício 4.4.1. Construa o seguinte diagrama comutativo: φ
A
/B
ν
δ
C
Exercício 4.4.2. Construa o seguinte diagrama: A
β
γ
α
C
/B
ν
/F
δ ϕ
+D
Exercício 4.4.3. Construa o seguinte cubo utilizando o conceito de diagrama: G
F
A
B
H
E
C
D
30
PET Matemática - UNESP Rio Claro 4 de novembro de 2019
Sumário 1 Preliminares 1.1 A Linguagem LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Como instalar o LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3
2 Escrita no LATEX 2.1 O preâmbulo . . . . . . . 2.2 Escrevendo um texto . . . 2.2.1 Fontes . . . . . . . 2.2.2 Cores . . . . . . . 2.3 Organização do texto . . . 2.3.1 Margens . . . . . . 2.3.2 Capa . . . . . . . . 2.3.3 Capítulos e seções 2.3.4 Bibliografia . . . .
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4 4 5 6 7 7 7 7 8 8
3 Ambientes e teoremas 3.1 Ambientes matemáticos . . . . 3.1.1 equation . . . . . . . . 3.1.2 align . . . . . . . . . . 3.1.3 cases . . . . . . . . . . 3.1.4 array . . . . . . . . . . 3.1.5 Modo matemático inline 3.1.6 Comandos matemáticos 3.2 Teoremas . . . . . . . . . . . .
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10 10 10 11 12 12 13 13 16
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20 20 23 25 27
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4 Matrizes, tabelas, figuras e diagramas 4.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . .
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Agradecemos ao Prof. Dr. João Peres Vieira pela ajuda especial na seção de diagramas e ao Prof. Dr. Thiago de Melo pela ajuda em aspectos gerais de formatação e por viabilizar uma apostila mais esteticamente agradável.
Capítulo 1
Preliminares 1.1
A Linguagem LATEX
Antes de saber o que é o LATEX é preciso conhecer o TEX. O TEX é um programa criado por Donald Knuth na década de 70 com a finalidade de aumentar a qualidade de impressão com base nas impressoras da época e é utilizado para processar textos e fórmulas matemáticas. LATEX é um programa que reúne comandos que utilizam o TEX como base de processamento e foi criado por Leslie Lamport na década de 80 com o objetivo de facilitar o uso do TEX através de comandos para diferentes funções. É uma linguagem especialmente voltada para textos científicos contendo comandos para montar as mais diversas fórmulas. Produz textos de alta qualidade tipográfica (espaçamento entre palavras, combinação de letras, etc. . . ) além de ser muito bom para fazer textos grandes, como livros.
1.2
Como instalar o LATEX
Para começarmos a utilizar o LATEX, precisamos fazer o download de alguns componentes: Compilador: Para o compilador, vamos fazer o download do mais comum para o sistema Windows que é o MikTEX. Podemos encontrá-lo diretamente pelo site https://miktex.org/download. Atente-se ao seu tipo de sistema operacional (32 ou 64 bits) para realizar o download corretamente. Assim que o download for concluído, instale os pacotes seguindo as instruções contidas no instalador. Editor: No editor, podemos escrever os arquivos e visualizar sua construção. Existem vários editores de LATEX, os dois principais e gratuitos sendo: TEXmaker: http://www.xm1math.net/texmaker/download.html TEXstudio: https://www.texstudio.org Novamente, basta realizar o download e seguir as instruções de instalação.
3
Capítulo 2
Escrita no LATEX Atenção Qualquer linha de código que se inicie com o símbolo de porcentagem % é tratada como uma linha de comentário no arquivo .tex, ou seja, não é compilada e portanto não afeta o documento. Portanto, quando quiser temporariamente eliminar alguma linha de código, basta fazer: %
2.1
O preâmbulo
O preâmbulo de um arquivo TEX é o local onde dizemos ao programa quais serão os moldes do arquivo, quais pacotes utilizaremos, quais os tipos de comandos serão utilizados, etc. É muito importante saber o que é inserido no preâmbulo, pois um único comando pode mudar toda a estrutura do seu arquivo. Portanto, vamos realizar a primeira construção de modo bem simples, com apenas os elementos necessários para esta aula. Quando precisarmos de algo novo, voltaremos ao preâmbulo e acrescentaremos o comando. O primeiro preâmbulo que utilizaremos será o seguinte: \documentclass[a4paper,oneside,11pt]{〈classe〉} \usepackage[〈idioma〉]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} Vejamos o que cada um destes comandos faz: \documentclass[〈opções da classe〉]{〈classe〉} Este comando diz qual será a classe do arquivo que faremos: artigo, livro, apresentação em slides, etc. Nas opções, que ficam entre colchetes, dizemos o tamanho da fonte, do papel (A4, por exemplo), ou ainda se a formatação deve ser diferente em páginas pares ou ímpares, muito utilizada para criar documentos que serão impressos em apenas um lado da folha ou em ambos. Sempre que utilizarmos o comando \usepackage{〈pacote〉} estamos buscando por algum pacote na biblioteca que fizemos o download anteriormente.
4
\usepackage[〈idioma〉]{babel} Neste caso, estamos utilizando o pacote que traduz várias partes do documento para o idioma especificado em 〈idioma〉. \usepackage[utf8]{inputenc} Este pacote permite a inserção de caracteres não ASCII, como por exemplo ç é ò ä. Neste comando específico precisamos tomar um certo cuidado. A opção deve ser compatível com a codificação do arquivo .tex em uso. No caso, estamos utilizando a opção [utf8] pois nosso editor está configurado com codificação UTF-8. Caso não esteja desta forma, você pode alterar nas opções do editor. Outra possibilidade, seria a opção latin1 para arquivos com codificação ISO.
2.2
Escrevendo um texto
Antes de mais nada, precisamos dizer ao programa que terminamos a parte do preâmbulo e que vamos começar o texto. Para isso, usamos o ambiente document. Começando o texto \begin{document}...\end{document} Atenção Apenas o conteúdo dentro do ambiente document será produzido no documento final. O que estiver após não será compilado. Para digitar um texto simples no LATEX, fazemos como em um editor de texto. Precisamos apenas nos atentar que para adicionar um parágrafo, basta deixar uma linha em branco no código, como por exemplo: Exemplo de parágrafos Vamos escrever dois parágrafos utilizando os recursos do \LaTeX\, veja que enquanto digitamos o texto em uma linha, ele se mantém em um parágrafo, mas se pularmos uma linha, o parágrafo também muda. Dessa forma, utilizando as linhas puladas, criamos parágrafos. Vamos escrever dois parágrafos utilizando os recursos do LATEX, veja que enquanto digitamos o texto em uma linha, ele se mantém em um parágrafo, mas se pularmos uma linha, o parágrafo também muda. Dessa forma, utilizando as linhas puladas, criamos parágrafos. Vamos agora listar alguns comandos importantes para digitar textos no LATEX: Negrito Este texto está em negrito
\textbf{Este texto está em negrito}
5
Itálico Este texto está em itálico
\textit{Este texto está em itálico} Sublinhado
Este texto está sublinhado
\underline{Este texto está sublinhado} Fonte pequena (tiny) \begin{tiny}Este texto está pequeno\end{tiny}
Este texto está pequeno
Fonte grande (Huge)
Este texto está grande
\begin{Huge}Este texto está grande\end{Huge} Alinhamento à esquerda
\begin{flushleft}Este texto está alinhado à esquerda\end{flushleft} Este texto está alinhado à esquerda
(margem direita) → |
Alinhamento à direita \begin{flushright}Este texto está alinhado à direita\end{flushright} Este texto está alinhado à direita
| ← (margem esquerda)
Centralizado \begin{center}Este texto está centralizado\end{center} | ← (margem esquerda)
2.2.1
Este texto está centralizado
(margem direita) → |
Fontes
Para alterar a fonte do texto, existem diversos pacotes, utilizados no preâmbulo do arquivo. Por exemplo, para uma fonte equivalente à Times New Roman, carregamos \usepackage{newtxtext} Seguem alguns exemplos de pacotes para fontes: Nome da fonte Palatino Bookman Latin Modern Courier Concrete
Pacote palatino bookman lmodern courier concrete
Uma família de fontes possui subfamílias, como por exemplo, uma versão sem serifas, ou uma versão mono espaçada. Por exemplo, com o pacote newtxtext, os comandos \textsf{ABC} \texttt{ABC} produzem: 6
ABC ABC 2.2.2
Cores
Podemos também alterar as cores de frases e palavras. Para isso, vamos utilizar o pacote xcolor no preâmbulo do arquivo, \usepackage{xcolor} O comando responsável por colocar cor no texto é o \textcolor{〈cor 〉}{〈texto〉}. Atenção, pois é necessário escrever o nome da cor em inglês para que funcione corretamente. Usando cores Vamos aplicar as cores neste exemplo: se quisermos, podemos escrever em \textcolor{blue}{azul}, \textcolor{yellow}{amarelo}, \textcolor{red}{vermelho}, \textcolor{green}{verde}, \textcolor{pink}{rosa}, entre muitas outras cores. Vamos aplicar as cores neste exemplo: se quisermos, podemos escrever em azul, amarelo, vermelho, verde, rosa, entre muitas outras cores.
2.3 2.3.1
Organização do texto Margens
Para alterar as margens do documento, vamos utilizar o pacote geometry no preâmbulo. \usepackage[〈opções〉]{geometry} Assim como em vários outros pacotes, podemos usar as opções para configurar as margens, como por exemplo: Configurando as margens \usepackage[top=2cm, bottom=3cm, left=1.7cm, right=1.3cm]{geometry} Caso queira as quatro margens iguais, basta usar margin=2cm, por exemplo.
2.3.2
Capa
Existem algumas maneiras de construir uma capa no LATEX. Vamos mostrar uma das maneiras mais simples e práticas de fazê-la. Primeiramente, precisamos indicar quais dados estarão na capa. Faremos isso utilizando os seguintes comandos no preâmbulo: \title{〈título〉} \author{〈nome do autor 〉} \date{〈data〉} Com os dados devidamente inseridos, basta utilizarmos o comando \maketitle logo após a abertura do documento.
7
2.3.3
Capítulos e seções
Queremos agora dividir nosso texto em capítulos, seções e subseções. Para isso, basta utilizar os comandos: Capítulo e Seções \chapter{〈título do capítulo〉} \section{〈título da seção〉} \subsection{〈título da subseção〉} Utilizando estes comandos, podemos organizar melhor o texto e pedir para que o LATEX crie um sumário automático, que irá se atualizando a cada novo capítulo ou seção adicionados. Observação Devido às convenções de formatação estadunidenses, o primeiro parágrafo de cada nova seção não possui recuo. Sendo assim, o LATEX não inclui esse recuo por padrão. Para obtê-lo, basta ir ao preâmbulo e incluir o pacote indentfirst. \usepackage{indentfirst}
Quando utilizamos os comandos acima, os capítulos e seções são numerados e vinculados ao sumário. Caso queira que um capítulo ou seção não seja numerado, basta utilizar sua versão estrelada, ou seja: Capítulo e Seções não numerados \chapter*{〈título do capítulo〉} \section*{〈título da seção〉} \subsection*{〈título da subseção〉} Este recurso poderá ser utilizado em diversos comandos. Vamos relembrá-lo quando for conveniente. Para gerar um sumário a partir das seções e capítulos, basta utilizar o comando: Sumário \tableofcontents Para um exemplo do resultado do comando \tableofcontents, veja por exemplo o sumário desta apostila, na página 1.
2.3.4
Bibliografia
Para fazer a bibliografia, utilizamos um ambiente próprio para isso.
8
Bibliografia \begin{thebibliography}{99} \bibitem{〈rótulo da referência〉} 〈referência bibliográfica segundo ABNT 〉 \end{thebibliography} O ambiente thebibliography é utilizado exclusivamente para comportar os itens da referência bibliográfica. Cada novo item adicionado deve ser feito com o comando \bibitem{〈label 〉}, que insere este item numerado e associa a ele o 〈label 〉, que é utilizado em qualquer parte do texto por meio do comando \cite{〈label 〉}. Obviamente, cada item deve receber um 〈label 〉 diferente, pois a citação poderá ficar comprometida caso haja dois itens com mesmo 〈label 〉. Exercício 2.3.1. Escreva o seguinte texto com as edições: “Amanhã faz um mês que a Senhora está longe de casa. Primeiros dias, para dizer a verdade, não senti falta, bom chegar tarde, esquecido na conversa de esquina. Não foi ausência por uma semana: o batom ainda no lenço, o prato na mesa por engano, a imagem de relance no espelho.”
9
Capítulo 3
Ambientes e teoremas 3.1
Ambientes matemáticos
Neste capítulo vamos trabalhar os ambientes matemáticos que podem ser explorados no LATEX. É muito importante ter pleno domínio de cada um deles, visto que, em um texto matemático, normalmente utilizamos todos os ambientes. Para utilizarmos com eficiência os ambientes, vamos inserir no preâmbulo alguns pacotes importantes: \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} Os três pacotes acima são pacotes da American Mathematical Society–AMS e fornecem vários recursos para criação de conteúdos matemáticos, como por exemplo, fontes diferenciadas, símbolos diversos e novos ambientes.
3.1.1
equation
Este é o primeiro e mais importante ambiente matemático, utilizado para escrever e enumerar uma equação. Ao utilizá-lo, este ambiente centraliza horizontalmente a equação na página do documento e a formata com uma fonte diferenciada, especialmente designada para objetos matemáticos. Para utilizá-lo, escrevemos a seguinte sintaxe: Ambiente de equação \begin{equation}...\end{equation} Vejamos um exemplo simples do equation: Exemplo equation \begin{equation} xˆ2+3x=7 \end{equation}
x2 + 3x = 7
(3.1)
Perceba que na margem direita da página aparece automaticamente o número dessa equação, que poderá ser citada futuramente. Faremos algumas configurações com relação a essa numeração mais adiante. Por hora, veja que ela faz referência ao capítulo em questão, ou seja, como foi inserida no capítulo 3 e é a primeira equação deste capítulo, sua numeração é (3.1). É possível substituir a numeração por outra coisa, utilizando o comando \tag{〈nome da equação〉}:
10
Exemplo de equation com tag \begin{equation} xˆ2+3x=7 \tag{Equação} \end{equation}
x2 + 3x = 7
(Equação)
Para citarmos uma equação, precisamos dar um nome a ela, ou seja, colocar um rótulo na equação. Para isso, usando o comando \label{〈rótulo〉}. Para referenciarmos a equação, usamos o comando \eqref{〈rótulo〉} no texto, da seguinte forma Exemplo equation com referência \begin{equation} ax+b = c \label{eq.linear} \end{equation} Segundo a equação \eqref{eq.linear}, segue o resultado.
ax + b = c
(3.2)
Segundo a equação (3.2), segue o resultado.
Caso deseje que a equação não seja numerada, utilizamos novamente o recurso com o asterisco, ou seja: Exemplo equation sem numeração \begin{equation* } ax+b = c \end{equation* }
ax + b = c
Outra opção, mais rápida, seria utilizar o modo matemático em destaque: Exemplo de equação com barra-colchete \[ ax+b = c \]
3.1.2
ax + b = c
align
O comando align serve para alinhar expressões com relação a um determinado símbolo, que deve ser precedido pelo caractere &. Veja o exemplo abaixo, onde as equações estão alinhadas com relação aos símbolos =. Vale ressaltar que o sistema ficará centralizado horizontalmente no documento. Exemplo align \begin{align} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \end{align}
x2 + y 2 = 1 p y = 1 − x2
(3.3) (3.4)
Obviamente, align* produz o mesmo efeito, com exceção da numeração, que é omitida em todas as linhas do ambiente, como podemos ver no exemplo abaixo. Exemplo align* sem numeração \begin{align*} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \end{align*}
x2 + y 2 = 1 p y = 1 − x2
11
Perceba que, logo após a primeira equação ter sido escrita, temos duas barras (\\), que servem para iniciar uma nova linha no bloco de equações. E se desejarmos numerar apenas algumas das equações dentro do ambiente align, usamos a versão sem o * e retiramos a numeração das equações desejadas com o comando \nonumber. As equações que permaneceram numeradas podem ser rotuladas e referenciadas da mesma forma que descrevemos anteriormente, com os comandos \label{〈rótulo〉} e \eqref{〈rótulo〉}, respectivamente. Exemplo align com \nonumber \begin{align} xˆ2 + yˆ2 &= 1 \label{eq.1} \\ yˆ2 &= 1 - xˆ2 \nonumber\\ y &= \sqrt{1 - xˆ2} \label{eq.2} \end{align} Como \eqref{eq.1} é válida, podemos deduzir \eqref{eq.2}.
3.1.3
(3.5)
x2 + y 2 = 1 2
2
y =1−x p y = 1 − x2
(3.6)
Como (3.5) é válida, podemos deduzir (3.6).
cases
Em geral, para escrever um bloco de casos, como por exemplo, um sistema de equações, ou até mesmo uma função definida por partes, usamos o ambiente cases, fornecido pelo pacote amsmath. As condições em cada caso são separadas pelo & e as linhas, por \\. Exemplo cases \begin{equation} f(x) = \begin{cases} 2x-1, & \text{se $x>0$,} \\ 2x+1, & \text{se $x 0, f (x) = 2x + 1, se x < 0.
(3.7)
Note que o ambiente cases produz por padrão, o conteúdo com alinhamento à esquerda. Se desejamos, por exemplo, alinhar um sistema de equações pelo sinal =, usamos o ambiente aligned dentro de um ambiente cases, como em: Exemplo cases alinhado \begin{equation} \begin{cases} \begin{aligned} ax+by+cz &= 0, \\ dy+ez &= 0, \\ fz &= 0. \end{aligned} \end{cases} \end{equation}
3.1.4
ax + by + cz = 0, dy + ez = 0, f z = 0.
(3.8)
array
Como o nome já diz, o ambiente array cria uma espécie de tabela, com várias linhas e colunas, com alinhamentos específicos. Mas não é uma tabela! 12
Deve ser utilizado em modo matemático, por exemplo, dentro de um equation ou \[ \]. A quantia de colunas é especificada pela sequência de letras que indicam o alinhamento destas colunas. São 3 as possibilidades: lcr, para left, center ou right. Para separar o conteúdo de cada coluna, em uma mesma linha, utilizamos &. Exemplo array \begin{equation* } \begin{array}{rl} 2x-1 = y, & \text{linear}\\ 2xˆ2-2x+1 = z, & \text{quadrática}\\ 3xˆ3-1 = u, & \text{cúbica} \end{array*} \end{equation* }
2x2
2x − 1 = y, − 2x + 1 = z, 3x3 − 1 = u,
linear quadrática cúbica
Observe que são duas colunas, a primeira alinhada à direta e a segunda, à esquerda, devido ao uso de {rl}. Observe também que, por ser um array dentro de um ambiente equation* , não se pode inserir texto diretamente, pois se trata de um modo matemático. Por isso, utiliza-se o comando \text, fornecido pelo pacote amsmath.
3.1.5
Modo matemático inline
Para inserir conteúdo matemático não destacado, ou seja, na mesma linha que os textos que o cercam, fazemos uso do caractere $. Mais precisamente, abrimos e fechamos o modo matemática com tal símbolo, ou seja, digitamos $...$. Exemplo com $ Podemos calcular a expressão $axˆ2 + bx + c = 0$ e determinar as raízes desta equação.
3.1.6
Podemos calcular a expressão ax2 + bx + c = 0 e determinar as raízes desta equação.
Comandos matemáticos
Conhecendo os principais ambientes matemáticos, podemos agora explorar algumas outros comandos. Fração:
Fração simples:
Expoente:
Índice:
Fração:
$\dfrac{ax + b}{cˆ2}$
ax + b c2
Fração simples:
$\frac{f(x)}{x-1}$
f (x) x−1
Expoente: a2
$aˆ2$
Índice: b1
$b_1$
Ordem: $a>b$, $c b, c < d, e ≤ f , g ≥ h Diferença: i 6= j
13
Contido: $A\subset B$ Contém: $A\supset B$
Contido: A ⊂ B Contém: A ⊃ B
União: $C\cup D$ Interseção: $C\cap D$
União: C ∪ D Interseção: C ∩ D
Somatórios: $\sum_{n=0}ˆ{\infty} a_n$ ou $\sum\limits_{n=0}ˆ{\infty} a_n$
Somatórios:
P∞
n=0 an ou
∞ P
an
n=0
Limite:
Limite: \[\lim\limits_{t\to t_0}f(t)\]
lim f (t)
t→t0
Integral/Integral Dupla/Integral Tripla:
Integral: \[\int_{a}ˆ{b}f(x)\] Integral Dupla: \[\iint_{D}f(x,y)\] Integral Tripla: \[\iiint_{B}f(x,y,z)\]
Z
b
ZZZ
ZZ D
Conjuntos numéricos: $\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{H}$
Conjuntos numéricos: N Z Q I R C H
Flechas: $\rightarrow$ ou $\to$ $\leftarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\mapsto$ $\longmapsto$
Flechas: → ← ⇒ ⇐ ⇔ −→ ←− =⇒ ⇐= ⇐⇒ 7 → 7−→
14
f (x, y, z)
f (x, y)
f (x) a
B
Letras gregas: $\phi$ $\varphi$ $\epsilion$ $\varepsilion$ $\delta$ $\psi$
Letras gregas: φ ϕ ε δ ψ Deilimitadores: 3 2 Z dx
Delimitadores: \[\left(\int \limits_{0}ˆ{3}dx\right)ˆ2\] \[1+\left[\sum\limits_{n=0}ˆ{\infty} a_n\right]\] \[S=\left\{\dfrac{3}{4}\right\}\]
0
" 1+
∞ X
# an
n=0
3 S= 4 O LATEX possui alguns comandos para funções trigonométricas, como por exemplo, \sin ou \tan. Porém, o resultado exibe a versão em inglês de tais funções, ou seja, sin e tan. Felizmente, mais um recurso do pacote amsmath nos permite definirmos novos comandos para nomes de funções. Formalmente, definimos no preâmbulo novos operadores matemáticos. \DeclareMathOperator{〈comando〉}{〈definição〉} O código acima cria o comando \〈comando〉 que produzirá 〈definição〉. Por exemplo, para usarmos corretamente \sen ou \tg, definimos \DeclareMathOperator{\sen}{sen} ou \DeclareMathOperator{\tg}{tg}. Agora, podemos utilizar as funções trigonométricas (observe que \cos já é definida): sen(x), cos(x), tg(x)
$\sen(x)$, $\cos(x)$, $\tg(x)$
Exercício 3.1.1. Escreva o seguinte exercício com solução: João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui? ( 2c + 3g = 17 c−g =1 Desenvolvendo o sistema chegamos que c = 4 e g = 3. Portanto João possui três gatos e quatro cachorros.
15
Exercício 3.1.2. Escreva a seguinte definição: Definição 3.1.3. A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é: ρ
Dv = ∇ · P + ρf . Dt
Em particular, para fluidos Newtonianos, vale a seguinte hipótese: ∂vj 2 ∂vi + − δij ∇ · v . pij = −pδij + µ ∂xj ∂xi 3
3.2
Teoremas
Primeiramente, para podermos utilizar os ambientes de teoremas, precisaremos do seguinte pacote no preâmbulo: \usepackage{amsthm} Com isso, podemos criar os comandos que chamam os ambientes para teorema. Com o pacote adicionado, o LATEX já possui ambientes em inglês para escrevermos os teoremas e demonstrações, mas como queremos utilizá-los em português, faremos a seguinte adição ao preâmbulo: Criando ambientes de teorema \newtheorem{〈nome do ambiente〉}{〈título〉}[〈contador 〉] Como o próprio nome do comando diz, estamos criando um novo ambiente do tipo teorema, por meio do pacote amsthm. Em 〈nome do ambiente〉, obviamente, inserimos o nome do ambiente (sem acentos), como por exemplo, teorema, corolario, prop, proposicao, etc. Em 〈título〉, normalmente colocamos o mesmo que no nome do ambiente, porém com a primeira letra maiúscula e com os acentos corretamente, já que será dessa forma que o programa irá escrever no PDF. Em outras palavras, 〈título〉 é o nome visível do ambiente criado, como por exemplo, ‘Teorema’, ‘Definição’, etc... Agora, para a parte da numeração, é necessária uma atenção especial, pois podemos fazê-la de várias formas. Este campo (que é opcional) deve ser preenchido com o nome de um contador, ou seja, uma variável que o LATEX atualiza sequencialmente a cada uso. Exemplos de contadores são section para seção, chapter para capítulo, etc. No exemplo acima, a opção [〈contador 〉] está ao final do comando, e portanto o ambiente 〈nome do ambiente〉 recém definido usará um contador subordinado ao 〈contador 〉, ou seja, será reiniciado toda vez que 〈contador 〉 o for. Pare que um ambiente do tipo teorema utilize o mesmo contador que algum outro previamente definido, basta mover a opção [〈contador 〉] para ficar entre os dois argumentos obrigatórios, como por exemplo, \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} Acima, foi definido o ambiente proposicao, usado com \begin{proposicao}...\end{proposicao}, e que possui o título ‘Proposição’ e será numerado de acordo com o contador teorema. Por exemplo, se o valor atual do contador teorema for 4, então um ambiente proposicao, quando inserido, receberá a numeração 5. Para criar um ambiente com um contador totalmente independente, simplesmente omita a opção, como por exemplo, 16
\newtheorem{atencao}{Atenção} A seguir, incluiremos uma lista de comandos usualmente presentes no preâmbulo com relação a teoremas: Criando ambientes de teorema \newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário} \newtheorem{lema}[teorema]{Lema} \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} \newtheorem{definicao}[teorema]{Definição} Para utilizarmos um destes novos ambientes criados, faremos como antes: Exemplo de teorema \begin{teorema}[Nome do teorema] Descrição do teorema. \end{teorema}
Teorema 3.2.1 (Nome do teorema). Descrição do teorema.
Veja que a numeração do teorema está ligada ao capítulo no qual este exemplo está contido, ou seja, capítulo 3, seção 2, e é o primeiro teorema declarado. Note também que todos os ambientes declarados dessa forma terão a mesma formatação no documento. Se quisermos criar ambientes com formatação diferente, usamos o comando \theoremstyle{〈estilo〉}. Todo ambiente definido após esse comando terá a formatação declarada. Criando ambientes de teorema com diferentes formatações \newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário} \newtheorem{lema}[teorema]{Lema} \newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição} \newtheorem{definicao}[teorema]{Definição} \theoremstyle{remark} \newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo} \newtheorem{exercicio}[teorema]{Exercício}
No documento, um desses novos ambientes teria a seguinte aparência: Exemplo de exercício \begin{exercicio} Enunciado do exercício. \end{exercicio}
Exercício 3.2.2. Enunciado do exercício.
Para cada um dos exemplos dados anteriormente, o processo de abrir o ambiente é análogo, apenas alterando o nome para o declarado no preâmbulo. Para um bloco de ‘Demonstração’, o pacote amsthm já possui um ambiente pré-definido que, juntamente com pacote babel e opção brazil, tem seu título escrito em português. Basta chamarmos o ambiente proof, como no exemplo abaixo:
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Exemplo de Demonstração \begin{proof} Descrição da demonstração. \end{proof}
Demonstração. Descrição da demonstração.
Observe que ao final do ambiente proof, um símbolo é inserido, indicando que a Demonstração terminou. O símbolo padrão é (\square), definido no comando \qedsymbol. Portanto, redefinindo \qedsymbol podese utilizar qualquer outro símbolo para indiciar o final da Demonstração, e.g., $\blacksquare$ ()
18
Exercício 3.2.3. Escreva a seguinte definição: Definição 3.2.4. Dado um conjunto limitado B ⊆ R3 e uma função f : B −→ R, tomamos o valor ∆ = max{∆xi , ∆yj , ∆zk }. Sendo ∆xi , ∆yj , ∆zk os comprimentos envolvidos na partição P de um paralelepípedo A que contém B. A integral tripla de f sobre B é dada pelo limite (caso exista) lim
∆→0
p n X m X X
f (Xijk )∆xi ∆yj ∆zk ,
i=1 j=1 k=1
e denotada por ZZZ f (x, y, z)dxdydz. B
Exercício 3.2.5. Escreva o seguinte lema e sua demonstração: Lema 3.2.6. Uma função y = y(t); y : I → R é solução do P.V.I. ( y 0 (t) = f (t, y) y(t0 ) = y0 se, e somente se, for solução da equação integral: Z t y(t) = y0 + f (s, y(s))ds.
(3.9)
(3.10)
t0
Demonstração: Note que f (t, y(t)) é contínua, portanto é integrável em qualquer intervalo fechado. (⇒) Supondo y = y(t) como solução do P.V.I.: t
Z y(t) − y0 = y(t) − y(t0 ) =
0
Z
t
y (s)ds = t0
ou seja, Z
f (s, y(s))ds t0
t
y(t) = y0 +
f (s, y(s))ds. t0
(⇐) Se y(t) satisfaz (3.10), então Z
t0
y(t0 ) = y0 +
f (s, y(s))ds = y0 + 0. t0
Assim, y(t0 ) = y0 . Derivando ambos os membros de (3.10) obtemos, pelo T.F.C.: y 0 (t) = 0 + f (t, y(t)) = f (t, y(t)). Portanto, y(t) satisfaz as duas condições de (3.9), ou seja, é uma solução do P.V.I.
19
Capítulo 4
Matrizes, tabelas, figuras e diagramas 4.1
Matrizes
As matrizes podem ser feitas de várias formas, como listaremos abaixo. Atenção, pois tudo o que fizermos a seguir deve estar em um ambiente matemático, ou seja, os comandos que serão citados devem estar no interior de um equation (ou sua versão com *) ou \[ \]. Falemos de alguns detalhes antes de montarmos as matrizes. A mudança de colunas é feita pelo caractere &, já a de linhas acontece usando o símbolo das duas barras invertidas. Para matrizes com parênteses usamos o ambiente pmatrix. Veja o exemplo abaixo: Matrizes com parênteses \begin{equation* } A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{pmatrix} \end{equation* }
A=
2 3 4 9
Para matrizes com colchetes usamos o ambiente bmatrix. Veja abaixo: Matrizes com colchetes \begin{equation* } B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5\\ 4 & 9 & 25 \end{bmatrix} \end{equation* }
2 3 5 B= 4 9 25
Podemos fazer matrizes com uma barra vertical usando o ambiente vmatrix. Veja um exemplo: Matrizes com delimitadores verticais \begin{equation* } C = \begin{vmatrix} 80 & 564\\ 159 & 27 \end{vmatrix} \end{equation* }
80 564 D= 159 27
20
Podemos usar uma matriz com chaves ao invés de parênteses ou colchetes, para isso usamos o ambiente Bmatrix, como abaixo: Matrizes com chaves \begin{equation* } D= \begin{Bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{Bmatrix} \end{equation* }
D=
1 1 1 1
Também conseguimos escrever uma matriz com duas barras verticais. Utilizamos o ambiente Vmatrix, como abaixo: Matrizes com delimitadores verticais duplos \begin{equation* } E= \begin{Vmatrix} 40 & 4\\ 159 & 47 \end{Vmatrix} \end{equation* }
40 4
E= 159 47
Exercício 4.1.1. Faça o seguinte desenvolvimento utilizando os conceitos dados nesta aula: Verifique se a propriedade comutativa é valida para multiplicação de matrizes. Ou seja, se a igualdade A · B = B · A, para A, B ∈ M2×2 , é verdadeira. Tome A, B ∈ M2×2 tais que 1 2 4 −1 , A= eB= 5 0 0 1 donde segue que 14 −1 1 2 4 −1 1 × 4 + 2 × 5 1 × (−1) + 2 × 0 = = , · A·B = 5 0 0 1 5 0 0 × 4 + 1 × 5 0 × (−1) + 1 × 0 14 −1 . 5 0 Vejamos agora o produto B · A: 4 −1 1 2 4 × 1 + (−1) × 0 4 × 2 + (−1) × 1 4 7 B·A= · = = , 5 0 0 1 5×1+0×0 5×2+0×1 5 10 4 7 ou seja, B · A = . 5 10 Com isso, concluímos que A · B 6= B · A. Ou seja, a comutativa não é válida para multiplicação de matrizes. ou seja, A · B =
21
Exercício 4.1.2. Reproduza o seguinte exemplo: Exemplo 4.1.3. Resolva o sistema:
0 x1 0 1 x1 = . x02 −1 2 x2
A forma desse sistema como EDO de segunda ordem é y 00 + 2y 0 + y = 0. Disso tiramos y1 (t) = e−t e y2 (t) = te−t , assim: −t e te−t 1 2 x (t) = ; x (t) = . −e−t (1 − t)e−t Verifiquemos se x1 e x2 são L.I. Em t = 0, por exemplo, temos: 1 0 1 2 x (0) = ; x (0) = −1 1 que, evidentemente, são vetores L.I. em R2 . Portanto toda solução x(t) é da forma: −t e te−t (c1 + c2 t)e−t x(t) = c1 + c2 = . −e−t (1 − t)e−t (c2 − c1 − c2 t)e−t Exercício 4.1.4. Reproduza o seguinte exemplo: Exemplo 4.1.5. Considere a superfície (x, y, z) = σ(u, v) com v ∈ [−1, 1] e u ∈ [0, 2π], a qual pode ser representada da seguinte forma: para cada u fixo, (x, y, z) descreve o segmento de comprimento 2 centrado em (cos u, sen u, 1), localizado num plano π determinado pelo eixo z e pelo ponto (cos u, sen u, 0), formando com o eixo z um angulo de u2 . A parametrização dessa superfície é dada por: u cos (u) x = 1 + v sen 2 u sen (u) y = 1 + v sen (4.1) 2 u z = 1 + v cos 2 com v ∈ [−1, 1] e u ∈ [0, 2π]. A superfície parametrizada é a Faixa de Möbius.
22
4.2
Tabelas
Existem dois ambientes principais utilizados para criação de tabelas. Um deles é o table, que funciona de modo semelhante ao ambiente figure que veremos em seguida. Ele é utilizado para reservar um espaço horizontal e permite a inserção de uma legenda, por meio do \caption{〈legenda〉}. Dentro desse ambiente, podemos inserir ‘qualquer coisa’. Nesta seção, mostraremos como inserir tabelas, por meio do ambiente tabular. Este ambiente funciona de modo semelhante ao array (ver seção 3.1.4) Observação 4.2.1. A principal diferença entre o tabular e o array é que este último deve ser usado em modo matemático, enquanto que o primeiro funciona em modo texto. Caso o conteúdo de uma célula da tabela seja algo matemático, este deverá ser inserido com $ $. O número de colunas da tabela e o alinhamento de cada uma é passado por meio do argumento principal {〈alinhamentos〉}, como por exemplo, {ccl}, para três colunas, com as duas primeiras centralizadas e a última com alinhamento à esquerda. Vejamos um exemplo completo. \begin{table}[htb] \centering \begin{tabular}{ccl} Nome & Idade & Profissão \\ José & $20$ & Piloto de avião \\ Roberta & $32$ & Dentista \\ \end{tabular} \caption{Lista de nomes} \label{Rotulo} \end{table}
Nome José Roberta
Idade 20 32
Profissão Piloto de avião Dentista
Tabela 4.1: Lista de nomes
Bordas horizontais e/ou verticais podem ser inseridas. As linhas horizontais são inseridas por meio de \hline, duplicando-o para linhas duplas, como em \hline\hline. Linhas verticais entre as colunas são colocadas antes ou após a especificação do alinhamento, como por exemplo, {|ccl|}, para linhas nas laterais, ou {cc|l}, para uma linha entre as colunas 2 e 3. Linhas verticais duplas também podem ser adicionadas usando duas barras verticais, como em {||cc|l}. Eis novamente o exemplo acima, porém com bordas. \begin{table}[htb] \centering \begin{tabular}{||cc|l} Nome & Idade & Profissão \\ \hline\hline José & $20$ & Piloto de avião \\ \hline Roberta & $32$ & Dentista \\ \end{tabular} \caption{Lista de nomes} \label{Rotulo} \end{table}
Nome José Roberta
Idade 20 32
Profissão Piloto de avião Dentista
Tabela 4.2: Lista de nomes
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Observações 1. No exemplo acima, note o uso de $ nos valores das idades, já que são números. Também, há o argumento opcional para o posicionamento do table, como em [htb], para here, top, bottom. 2. Para fazer uma linha horizontal que vai da coluna i até a coluna j, substituímos o comando \hline por \cline{i-j} entre as linhas desejadas. 3. Para inserir uma lista das tabelas presentes no documento, use o comando \listoftables
Exercício 4.2.2. Com os conceitos vistos nessa seção, reproduza a seguinte tabela: No de dígitos 50 70 100 200 300 500
No de operações 1, 4 × 1010 9, 0 × 1012 2, 3 × 1025 1, 2 × 1023 1, 5 × 1029 1, 3 × 1039
Tempo 3, 9 horas 104 dias 74 anos 3, 8 × 109 anos 4, 9 × 1015 anos 4, 2 × 1025 anos
Tabela 4.3: Eficiência do algoritmo de fatoração Exercício 4.2.3. Com os conceitos vistos nessa seção, reproduza a seguinte tabela: Expressão √ 2 2 √x + a 2 2 √a − x x2 − a2
Substituição x = a tg θ, θ ∈ 0, π2 x = a sen θ, θ ∈ 0, π2 x = a sec θ, θ ∈ 0, π2 ou π, 3π 2
Identidade = 1 + tg2 θ 2 cos θ = 1 − sen2 θ sec2 θ − 1 = tg2 θ sec2 θ
Tabela 4.4: Tabela de substituições trigonométricas para integrais
24
4.3
Figuras
Para incluir figuras no LATEX, primeiramente carregamos o pacote graphicx, colocando no preâmbulo: \usepackage{graphicx} Assim, para inserir uma figura, que ocupará um espaço reservado a ela na página, utilizamos o ambiente figure (ou figure*). \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics{unesp-logo} \caption{Logo Unesp} \label{Rotulo} \end{figure}
Figura 4.1: Logo Unesp Agora vejamos como cada parte do comando para incluir figuras funciona: \begin{figure}[htb]...\end{figure} Primeiro, para se incluir figuras no LATEX elas precisam estar em um ambiente próprio, que é o figure. Já o [htb], são as opções onde o LATEX escolhe a melhor posição para inserir a figura na página: h para here (aqui), t para top (topo) e b para bottom (base), respectivamente. Se você colocar apenas um deles, por exemplo [h], a figura poderá ficar exatamente onde você a inseriu (desde que haja espaço para isso, claro!). \centering Faz com que todo o conteúdo dentro do ambiente em questão (nesse caso, figure) fique centralizado. Para alinhar tudo à direita, utilize o ambiente flushright. Caso não seja colocado nenhum deles, a figura ficará alinhada à esquerda.
25
\includegraphics{〈nome do arquivo da imagem〉} Aqui é onde se insere o nome do arquivo que contém a imagem desejada, lembrando que a figura deve (preferencialmente) estar na mesma pasta do seu arquivo .tex e o 〈nome〉 deve ser exatamente o mesmo nome do arquivo da figura salva na pasta. Observação Caso a imagem não apareça, verifique se o arquivo está presente na pasta; tente também colocar a extensão do arquivo, como por exemplo, unesp-logo.png.
\caption{〈Legenda da Imagem〉} Este comando é para se colocar uma legenda na figura. É opcional. \label{〈rótulo〉} Associa um 〈rótulo〉 (apelido) à figura, que poderá ser utilizado para fazer referência a ela em qualquer parte do texto, por meio do comando \ref{〈rótulo〉}. Observação Para inserir uma lista de figuras use o comando \listoffigures
Podemos também alterar as dimensões da imagem, isto é, seu comprimento e/ou largura. Mostraremos duas formas de fazer tal procedimento. A primeira é de uma maneira proporcional, ou seja, alteramos a escala da imagem. Veja abaixo: \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=2.0]{unesp-logo} \caption{Logo Unesp com o dobro do tamanho} \label{Rot} \end{figure} Observe que uma opção para o comando \includegraphics foi utilizada, a saber, [scale=...]. Valores decimais devem ser inseridos com . (ponto) e não , (vírgula). Por exemplo, para aumentar 50%, utilize [scale=1.5]. Agora, se quisermos mexer apenas em uma das dimensões da figura, por exemplo, o comprimento, fazemos da seguinte forma:
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Figura 4.2: Logo Unesp com o dobro do tamanho
\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[width=8.0cm]{unesp-logo} \caption{Logo Unesp com comprimento de 8cm} \label{Rot} \end{figure}
Figura 4.3: Logo Unesp com comprimento de 8cm A sutileza do código é a opção [width=8.0cm], que ajusta o comprimento (largura) para um valor específico. Note que é preciso sempre inserir uma unidade de comprimento, como por exemplo, cm (centímetros). Agora, se quisermos mexer com a altura, fazemos da mesma forma, por meio da opção height. Vale lembrar que as opções podem ser combinadas, separadas por , como em [width=3cm, height=2cm].
4.4
Diagramas
Para se montar um diagrama no LATEX precisaremos acrescentar um novo pacote em nosso preâmbulo, o qual permite o uso dos recursos necesários para as flechas e estrutura geral dos diagramas. \usepackage[all]{xy} Os diagramas nada mais são que um tipo especial de matriz, ou seja, para criá-los utilizaremos um processo semelhante ao feito anteriormente. Primeiro criamos um ambiente matemático, e dentro dele, utilizaremos o ambiente xymatrix. Um exemplo básico de como é feito um diagrama é o seguinte:
27
Exemplo de Diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[r]\ar[rd] & Y\ar[d]\\ Z\ar[u] & W \ar[l]} \end{equation* }
XO
/Y
Zo
W
Vamos explorar o código exibido acima: • Os elementos deste diagrama são X, Y, Z, W • As setas são criadas pelo comando \ar[], que vem da palavra arrow. • As letras dentro dos colchetes dão as direções das setas: right [r], left [l], up [u] e down [d]. • Para se fazer as setas na diagonal, basta colocar as duas direções, como right down [rd], lembrando que usualmente colocamos primeiro a direção horizontal e depois a vertical. Para que as setas tenham informações, vamos usar os conceitos de expoente e índice. Veja o exemplo: Exemplo diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[r]ˆf \ar[rd]ˆh & Y\ar[d]ˆg\\ Z\ar[u] & W \ar[l]_j } \end{equation* }
XO
f
/Y h
Zo
j
g
W
Neste caso, veja que • As funções f, g e h estão indicadas como expoentes para que fiquem “acima” da seta. • A função j está indicada como índice para que fique “abaixo” da seta. Os diagramas, as vezes, não possuem as mesmas quantidades de linhas e colunas. Veremos como montar um tal que essas quantidades diferem. Em LATEX, se escreve assim: Diagrama \begin{equation* } \xymatrix{ X\ar[rr]\ar[d] & & Y\ar[d]\\ Z\ar[r] & W \ar[r] & V} \end{equation* }
/Y
X
Z
/W
/V
A sutileza deste diagrama é que ele possui três colunas nas duas linhas, porém deixamos uma em branco. Primeiramente, o & presente duas vezes na primeira linha faz com que o programa entenda que há três colunas, mas no documento aparecem apenas duas. Além disso, para que a seta que parte de X chegue em Y , ela deve passar pela coluna em branco. Por isso a direção no comando \ar[] está duplicada, ou seja, [rr]. Por fim, os estilos das setas (traço) e as suas pontas (arrow tip) podem ser alterados, por meio dos comandos abaixo. Deve ser utilizado da seguinte forma: @{〈estilo〉}. Por exemplo:
28
Estilos de setas \ar@{->}[dir]^-{label} \ar@{-->}[dir]^-{label} \ar@{.>}[dir]^-{label} \ar@{=>}[dir]^-{label} \ar@{~>}[dir]^-{label} \ar@{-}[dir]^-{label} \ar@{--}[dir]^-{label} \ar@{.}[dir]^-{label} \ar@{=}[dir]^-{label} \ar@{~}[dir]^-{label} \ar@/^1ex/[dir]^-{label} \ar@/_1ex/[dir]^-{label}
/A
0
α
0
ξ
f
g
/ A0
0 4B
+3 C
δ
(
0
γ
β
f0
29
/B
g0
/ C0
0
Exercício 4.4.1. Construa o seguinte diagrama comutativo: φ
A
/B
ν
δ
C
Exercício 4.4.2. Construa o seguinte diagrama: A
β
γ
α
C
/B
ν
/F
δ ϕ
+D
Exercício 4.4.3. Construa o seguinte cubo utilizando o conceito de diagrama: G
F
A
B
H
E
C
D
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