Cálculo I - Lista 2

SAVE OFFLINE

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS CAMPUS NEPOMUCENO

-

Lista 2 – Cálculo I Limites e Continuidade Profa. Msa. Camila Libanori Bernardino

1.

Explique qual é a ideia do cálculo do limite de uma função 𝑓(𝑥) em torno de um ponto 𝑥 = 𝑎. O que se busca descobrir/responder com este estudo?

2.

Seja 𝑓(𝑥) uma função. É possível que tenhamos, ao mesmo tempo, lim𝑥→2 𝑓(𝑥) = 8 e 𝑓 (2) = 3? Explique sua resposta.

3.

Defina, informalmente, o limite de uma função 𝑓(𝑥) num ponto 𝑥 = 𝑎.

4.

Use o gráfico da função abaixo para determinar os seguintes limites: a. b. c. d. e.

5.

Use o gráfico da função abaixo para determinar os seguintes limites: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.

6.

lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→1 𝑓(𝑥) lim𝑥→5 𝑓(𝑥) 𝑓(5)

lim𝑥→−2− 𝑓(𝑥) lim𝑥→−2+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→−2 𝑓(𝑥) 𝑓(−2) lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→2 𝑓(𝑥) 𝑓(2) lim𝑥→4+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→4− 𝑓(𝑥) 𝑓(0) lim𝑥→0 𝑓(𝑥)

Os gráficos de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são dados abaixo. Use-os para determinar, caso existam, os seguintes limites: a. lim𝑥→2 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥)] b. lim𝑥→1 [𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )] c. lim𝑥→0 [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )] 𝑓(𝑥)

d. lim𝑥→−1 𝑔(𝑥) e. lim𝑥→2 𝑥 3 𝑓(𝑥) f. lim𝑥→1 √3 + 𝑓(𝑥)

1

7.

Calcule os limites abaixo e indique, a cada passo, as propriedades (de limites) utilizadas: a. lim𝑥→2 (3𝑥 4 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 1)

3

1+3𝑥

c. lim𝑥→1 (1+4𝑥2 +3𝑥4 )

b. lim𝑥→3 (𝑥 2 − 4)(𝑥 3 + 5𝑥 − 1) 8.

Resolva os limites abaixo, caso existam: a. lim𝑥→4 𝑒 𝑥 + 4𝑥 b. lim𝑥→√2 c. lim𝑥→2

k. lim𝑥→7

√𝑥+2−3 𝑥−7

2𝑥 2 −𝑥 3𝑥

l.

1 1 + 4 𝑥

lim𝑥→−4 4+𝑥

𝑥√𝑥−√2 3𝑥−4

m. lim𝑥→9

𝑥 2 −81 √𝑥−3

d. lim𝑥→𝜋/2 2sen𝑥 − cos 𝑥 + cotg 𝑥 e. lim𝑥→2 f. lim𝑥→2

n. lim𝑡→0 (𝑡

𝑥 2 +𝑥−6 𝑥−2

1

√

3

√𝑥−1 √𝑥−1

o. lim𝑥→1 4

𝑥 2 −𝑥+6 𝑥−2

p. lim𝑥→𝑎

𝑡 2 −9

𝑥 2 +(1−𝑎)𝑥−𝑎 𝑥−𝑎

g. lim𝑡→−3 2𝑡 2 +7𝑡+3 h. limℎ→0 i.

limℎ→0

q. limℎ→1

(4+ℎ)2 −16 ℎ

√ℎ−1 ℎ−1 1

−1

𝑥 r. lim𝑥→1 𝑥−1

(1+ℎ)4 −1 ℎ

1

j. 9.

−

1

s. lim𝑥→0 𝑥−1 𝑥 𝑥+1

9−𝑡

lim𝑡→9 3−

√𝑡

Determine os limites laterais, se existirem. Caso não existam, justifique a resposta. a. lim𝑥→−4|𝑥 + 4|

10.

1

− 𝑡) 1+𝑡

b. lim𝑥→2

|𝑥−2| 𝑥−2

A função sinal, sgn(𝑥), é definida por: −1 se 𝑥 < 0 sgn(𝑥 ) = { 0 se 𝑥 = 0 1 se 𝑥 > 0

a. Esboce o gráfico de sgn(𝑥). b. Calcule, caso exista, os limites:  lim𝑥→0+ sgn(𝑥)  lim𝑥→0− sgn(𝑥)  lim𝑥→0 sgn(𝑥)  lim𝑥→0+ |𝑠𝑔𝑛(𝑥)|

2

1

1

c. lim𝑥→0− (𝑥 − |𝑥|)

11.

Considere a função 𝑓(𝑥) abaixo: 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥2 − 1 |𝑥 − 1|

a. Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥). b. Calcule, caso exista, os limites:  lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥)  lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) c. lim𝑥→1 𝑓(𝑥) existe? 12.

Se √5 − 2𝑥 2 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ √5 − 𝑥 2 para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, determine lim𝑥→0 𝑓(𝑥):

13.

Se 1 ≤ 𝑔(𝑥 ) ≤ 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 então determine lim𝑥→−1 𝑔(𝑥).

14.

Calcule lim𝑥→0 𝑥 2 |sen (𝑥)|.

15.

Mostre, usando a definição formal de limite, que lim𝑥→3(3𝑥 − 7) = 2.

16.

Mostre, usando a definição formal de limite, que lim𝑥→−3

17.

Calcule lim𝑥→−1(−3𝑥 − 2) e depois determine um número 𝛿 > 0 de modo que para todo 𝑥 e 𝜀 = 0.03 se tenha: 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⇒ |𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀

18.

Explique o significado de cada uma das expressões abaixo. Pode-se falar sobre alguma característica especial do gráfico de 𝑓(𝑥)?

19.

1

𝑥+3

= −6.

a. lim𝑥→−3 𝑓(𝑥) = ∞.

c. lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 5.

b. lim𝑥→4+ 𝑓(𝑥) = −∞.

d. lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 3.

Para a função cujo gráfico é mostrado abaixo, calcule os seguintes limites: a. b. c. d. e. f.

20.

𝑥 2 −9

lim𝑥→−7 𝑓(𝑥) lim𝑥→−3 𝑓(𝑥) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) lim𝑥→6− 𝑓(𝑥) lim𝑥→6+ 𝑓(𝑥)

Para a função cujo gráfico é mostrado abaixo, calcule os seguintes limites: a. b. c. d. e. f.

lim𝑥→2 𝑓(𝑥) lim𝑥→−1− 𝑓(𝑥) lim𝑥→−1+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) A equação das assíntotas 3

21.

Resolva os limites abaixo: 6

a. lim𝑥→5+ 𝑥−5 22.

2−𝑥

𝑥−1

b. lim𝑥→1 (𝑥−1)2

c. lim𝑥→−2+ 𝑥2 (𝑥+2)

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça, simultaneamente, as condições abaixo: a. 𝑓(0) = 0, 𝑓 (1) = 1, lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 0, 𝑓(𝑥) é par. b. lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 0, lim𝑥→2 𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = −∞,

23.

Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo. Depois, esboce seus gráficos: 𝑥

𝑥3

a. 𝑦 = 𝑥+4 24.

c. ℎ(𝑥) =

b. 𝑦 = 𝑥2 +3𝑥−10

𝑥 4

√𝑥 4 +1

Calcule os limites abaixo: a. lim𝑥→∞

1 2𝑥+3

b. lim𝑥→−∞ c. lim𝑥→∞

1−𝑥−𝑥 2 2𝑥 2 −7 𝑥 3 +5𝑥

f. lim𝑥→∞(√9𝑥 2 + 𝑥 − 3𝑥) g. lim𝑥→∞(√𝑥 2 + 𝑎𝑥 − √𝑥 2 + 𝑏𝑥) h. lim𝑥→∞ √𝑥

2𝑥 3 −𝑥 2 +4

i.

lim𝑥→∞(𝑥 − √𝑥)

j.

lim𝑥→∞(𝑥 4 + 𝑥 5 )

4𝑢4 +5

d. lim𝑢→∞ (𝑢2 −2)(2𝑢2−1) e. lim𝑥→∞ 25.

lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = ∞.

√9𝑥 6 −𝑥 𝑥 3 +1

𝑥+𝑥 3 +𝑥 5

k. lim𝑥→∞ 1−𝑥2 +𝑥4

Estudos mostram que, daqui a 𝑡 anos, a população de certo país será 𝑝 = 0,2𝑡 + 1500 milhares de pessoas, e a renda bruta do país será 𝐸 milhões de dólares, onde 𝐸 (𝑡) = √9𝑡 2 + 0,5𝑡 + 179. a. Expresse a renda per capita do país 𝑅 = 𝐸/𝑝 em função do tempo 𝑡 (cuidado para não errar as unidades). b. O que acontecerá com a renda per capita em longo prazo (ou seja, para 𝑡 → ∞)?

26.

O gerente de uma empresa observa que, 𝑡 meses após começar a fabricação de um novo produto, o número de unidades fabricadas será 𝑃 milhares, onde 𝑃(𝑡) =

6𝑡 2 +5𝑡 . (1+𝑡)2

O que acontecerá com a

produção em longo prazo? 27.

Um gerente observa que o custo total para fabricar 𝑥 unidades de um produto pode ser modelado pela função 𝐶 (𝑥 ) = 7,5𝑥 + 120.000 (reais). O custo médio é 𝐴(𝑥 ) =

𝐶(𝑥) 𝑥

. Calcule

lim𝑥→∞ 𝐴(𝑥) e interprete o resultado. 28.

O organizador de um evento esportivo estima que, se começar a anunciar o evento com 𝑥 dias de antecedência, a receita obtida será de 𝑅(𝑥) mil reais, onde 𝑅(𝑥 ) = 400 + 120𝑥 − 𝑥 2 . O custo para anunciar o evento por 𝑥 dias é de 𝐶(𝑥) mil reais, onde 𝐶 (𝑥 ) = 2𝑥 2 + 300. 4

a. Determine a função lucro 𝑃(𝑥 ) = 𝑅(𝑥 ) − 𝐶(𝑥) e plote a curva associada. b. Qual é a razão 𝑄(𝑥), entre a receita e o custo? O que acontece com esta razão quando 𝑥 → 0? Interprete esses resultados. 29.

Um planejador urbano modela a população 𝑃(𝑡) (em milhares de indivíduos) de certo bairro, 40𝑡

50

daqui a 𝑡 anos, através da função 𝑃(𝑡) = 𝑡 2 +10 − 𝑡+1 + 70 . a. Qual é a população atual do bairro? b. Qual é a variação da população durante o terceiro ano? A população está aumentando ou diminuindo? c. O que acontece com a população em longo prazo (ou seja, para 𝑡 → ∞)? 30.

Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora ou fração, e R$ 2,00 por hora sucessiva ou fração, até o máximo diário de R$ 10,00. a. Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo percorrido. b. Discuta as descontinuidades da função e seu significado para alguém que use o estacionamento.

5