DEZEMBRO 201 MATEMATICA 20

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NOME: ____________________________________________________ TURMA: 201 ESCOLA BÁSICA ESTADUAL ÉRICO VERÍSSIMO MATEMÁTICA - PROFESSORA: LUCÉLIA - GOOGLE SALA DE AULA

AULAS REMOTAS – DEZEMBRO/JAN – 2020/21 – ENTREGA 04/01/2021 GEOMETRIA ANALÍTICA O PONTO: Plano cartesiano A localização de um ponto P(Xp, Yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada) Bissetriz do quadrante divide o ângulo de 90° em dois ângulos de 45°. Bissetrizes dos quadrantes

Todo o ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3° quadrantes) apresenta abscissa igual à ordenada. Observe os pontos M(-3,-3), O (0,0) e R(2,2). ABSCISSA = ORDENADA

Todo ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes) apresenta abscissa igual ao oposto da ordenada. Observe os pontos N(1,-1), O (0,0) e S(-4,4) ABSCISSA = - ORDENADA

EXEMPLO 1: Localizar os pontos no plano cartesiano: A(1,2), B(-1,3), C(-2,-2), D(3,-3), O(0,0), E(4,4), F(-1,1). Quais desses pontos pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares? E dos quadrantes pares? Pontos pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares: O(0,0), C(-2,-2) e E(4,4). Pontos pertencem à bissetriz dos quadrantes pares: O(0,0), D(3,-3) e F(-1,1).

Distância entre dois pontos Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento da reta que tem os dois pontos por extremidades. 1 MATEMÁTICA – PROF: LUCÉLIA

Indicaremos a distância entre A e B por dAB. 1°caso: O segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 é paralelo ao eixo X.

A distância entre A e B é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas de A e B, isto é: dAB = |XA − XB | 2°caso: O segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 é paralelo ao eixo Y. A distância entre A e B é dada pelo módulo da diferença entre as ordenadas de A e B, isto é: dAB = |YA − YB | 3°caso: O segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados. Observe que: dAP = |XA − X B | dBP = |YA − YB | Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo APB, vem: (𝑑𝐴𝐵 )2 = (𝑑𝐴𝑃 )2 + (𝑑𝐵𝑃 )2 (𝑑𝐴𝐵 )2 = (|𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 |)2 + (|𝑌𝐴 −𝑌𝐵 |)2 Como para todo 𝑎 ∈ 𝑅, |𝑎|2 = 𝑎2 , podemos escrever: (𝑑𝐴𝐵 )2 = (𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 )2 + (𝑌𝐴 −𝑌𝐵 )2 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 )2 + (𝑌𝐴 − 𝑌𝐵 )2 EXEMPLO 5: Mostrar que o triângulo de vértices A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12) é retângulo e isósceles. Em seguida determinar seu perímetro. É preciso mostrar que as medidas de seus lados satisfazem o teorema de Pitágoras.

EXEMPLO 2: A distância entre os pontos P(-2,4) e Q(3,4):

dPQ = |−2 − 3| = 5 EXEMPLO 3: A distância entre os pontos R(3,-2) e S(3,2): dRS = |2 − (−2)| = 4

EXEMPLO 4: Vamos calcular a distância entre os pontos A(2,3) e B(5,1).

𝑑𝐴𝐵 = √(𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 )2 + (𝑌𝐴 − 𝑌𝐵 )2 𝑑𝐴𝐵 = √(2 − 5)2 + (3 − 1)2 𝑑𝐴𝐵 = √(−3)2 + (2)2 𝑑𝐴𝐵 = √9 + 4 𝑑𝐴𝐵 = √13 𝐴𝐵 = 𝑑𝐴𝐵 = √(−4 − 2)2 + (2 − (−6))2 = √(−6)2 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 𝐴𝐶 = 𝑑𝐴𝐶 = √(2 − 4)2 + (2 − (−12))2 = √(−2)2 + 142 = √4 + 196 = √200 = √22 . 2. 52 = 2.5. √2 = 10√2 𝐵𝐶 = 𝑑𝐵𝐶 = √(−4 − 4)2 + (−6 − (−12))2 = √(−8)2 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10

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Como (𝑑𝐴𝐶 )2 = (𝑑𝐴𝐵 )2 + (𝑑𝐵𝐶 )2 (10√2)2 = 102 + 102 100.2 = 100+ 100 200 = 200 Concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B e seus catetos ̅̅̅̅ AB e ̅̅̅̅ BC possuem a mesma medida. Assim o triângulo ABC é isósceles, e seu perímetro é: 10+ 10 + 10√2 = 20 + 10√2 = 10( 2 + √2) Ponto médio de um segmento Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (XA,YA) e B(XB,YB) . Temos na figura abaixo que M é o ponto médio do X +X Y +Y segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , assim:M = ( A 2 B , A 2 B) 1 −2+3

−1 + 6 5 1 5 2 XM = = = × = 2 2 2 2 4 −2 + (−4) −6 YM = = = −3 2 2 5 M = ( , −3) 4

EXEMPLO 6: Dados os pontos A(3,-2) e 1 𝐵 (− 2 , −4), vamos calcular as coordenadas do ponto médio do segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . MEDIANA E BARICENTRO Chamamos mediana de um triângulo o segmento cujas extremidades são um dos vértices desse triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Um triângulo possui três medianas. EXEMPLO 7: Seja ABC o triângulo a seguir, de vértice A(1,1), B(-1,3) e C(6,4). Vamos determinar a medida a medida da ̅̅̅̅ : mediana relativa ao lado 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ :é dado por: O ponto médio (M) de 𝐵𝐶 Por meio de um procedimento análogo, podemos determinar o comprimento das medianas ̅̅̅̅ 𝐵𝑁 e ̅̅̅̅ 𝐶𝑃. As três medianas interceptam-se no ponto G, indicado na figura acima. O ponto de encontro das três medianas de um triângulo é chamado baricentro do triângulo. Assim as coordenadas do baricentro de um triângulo são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices do triângulo. XA +XB + XC YA +YB + YC G= ( , ) 3 3

XB +XC YB +YC −1 + 6 3 + 4 5 7 M=( , )=( , )=( , ) 2 2 2 2 2 2 ̅̅̅̅̅ é obtido O comprimento da mediana 𝐴𝑀 calculando-se a distância entre A e M: dAM

5 2 7 2 3 2 5 2 √ √ = (1 − ) + (1 − ) = (− ) + (− ) 2 2 2 2 9 25 34 √34 =√ + =√ = 4 4 4 2

EXEMPLO 8: Calculando o baricentro do triângulo ABC acima: XA +XB +XC 1 + (−1) + 6 6 XG = = = =2 3 3 3 YA +YB +YC 1 + 3 + 4 8 8 YG = = = G = (2, ) 3 3 3 3

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Condição de alinhamento de três pontos Três pontos A (XA,YA), B(XB,YB) e C(XC,YC) estarão alinhados, ou seja, pertencerão à mesma reta r se, e somente se, o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos for nulo. X A YA 1 D = |X B YB 1| = 0 X C YC 1 EXEMPLO 9: Dados os pontos A(3,1), B(0,3) e C(-3,5), vamos verificar se pertencem a mesma reta, calculando valor do determinante:

3 1 1 31 𝐷 = | 0 3 1| 0 3 −3 5 1 −35 = 3.3.1 + 1.1. −3 + 1.0.5 − (−3.3.1 + 5.1.3 + 1.01) = 9 − 3 + 0 + 9 − 15 + 0 = 0

A RETA Observe abaixo a reta r, que passa por vários pontos cujas coordenadas são conhecidas. EXEMPLO 1: Um ponto P(x,y) qualquer pertencerá a r quando estiver alinhado a dois pontos quaisquer de r, por exemplo A e B: A, B e P colineares  D = 0 4 7 1 | 3 5 1| = 0 𝑥 𝑦 1 20 + 7x + 3y – 5x – 4y – 21 =0  2x – y – 1 = 0

Equação geral da reta A todo reta r do plano cartesiano está associada pelo menos uma equação do tipo ax + by + c = 0, em que a, b e c são n[úmeros reais, com a e b não nulos simultaneamente, e x e y são as coordenadas de um ponto P(x, y) genérico de r. Costuma-se escrever r: ax + by + c = 0. EXEMPLO 2: Seja r a reta que passa pelos b) Sejam M e N os pontos de interseção pontos (1,2) e (-2,5). de r com os eixos x e y, Determinar: a) a equação geral da reta; b) os respectivamente. pontos de intersecção de r com os eixos coordenados. O ponto M deve determinar o ponto de r cuja a) Seja P(x,y) um ponto genérico de r. ordenada é nula. Na equação da reta r, temos: temos: - x – 0 + 3 = 0  x = 3; M (3, 0) 𝑥 𝑦 1 O ponto N deve determinar o ponto de r cuja | 1 2 1| = 0  2x – 2y + 5 +4 – 5x – y =0 abscissa é nula. Na equação da reta r, temos: −2 5 1 0 – y + 3 = 0  y = 3; N(0, 3) – 3x – 3y +9 =0 Ou dividindo por 3 seu coeficientes, r: – x – y + 3 = 0 (.-1) R: X + Y – 3 = 0 Equação segmentária da reta Seja r uma reta que intercepta os eixos coordenados nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com P e Q 𝑥 𝑦 distintos. 𝑝 + 𝑞 = 1 4 MATEMÁTICA – PROF: LUCÉLIA

EXEMPLO 3: Observe que r intercepta o eixo x em P(4,0) e o eixo y em Q (0,3). A equação segmentária de r é, portanto:

𝑥 𝑦 + =1 4 3

A partir da forma segmentária, podemos obter as equações geral e reduzida: Equação reduzida da reta

𝑥 𝑦 3𝑥 + 4𝑦 12 + = 1 =  4 3 12 12 3𝑥 + 4𝑦 = 12 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙) −3𝑥 + 12 𝑦= (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎) 4 Sendo que o ponto P(4,0) intercepta o eixo x é a raiz , e o ponto Q (0,3) é o coeficiente linear que intercepta o eixo y.

y = mx + n Essa expressão é chamada forma reduzida da equação da reta r, ou simplesmente equação reduzida da reta r, na qual m, n  R e:  m é o coeficiente angular de r  n é a ordenada do ponto em que r corta o eixo das ordenadas e é chamado coeficiente linear de r x e y são as coordenadas de um ponto qualquer da reta r. EXEMPLO 5: A reta s passa pelos pontos EXEMPLO 6: Se a reta r é dada por A(1,2) e B(-2,5). Vamos encontrar a 3x + 6y +7 = 0, isolando y, temos: 3𝑥 7 𝑥 7 equação reduzida de s. Mas primeiro 6𝑦 = − 3𝑥 − 7  𝑦 = − − 𝑦 = − − calculamos o coeficiente angular de s, 6 6 2 6 5−2 3 A sua forma reduzida. temos:𝑚 = −2−1 = −3 = −1 Inversamente, dada a equação de uma reta s em sua forma reduzida y = 3x – 5, colocando todos os termos em um único membro, obtemos 3x – y – 5 = 0, que é sua forma geral. Posições relativas de duas retas PARALELISMO Duas retas paralelas (r // s) se e somente se ambas forem verticais, ou se seus coeficientes A equação reduzida de s é escrita angulares forem iguais. provisoriamente como: 𝑠: 𝑦 = −1. 𝑥 + 𝑛 Como não sabemos qual é o ponto em que r // s  tg α = mr = ms s intercepta o eixo y, podemos substituir x e y pelas coordenadas de um ponto que Caso as retas r e s tenham coeficientes angulares intercepta a s (por exemplo o ponto A), a iguais (mr = ms) e coeficientes lineares iguais (nr = fim de determinar o valor de n: ns), então elas serão consideradas coincidentes. 𝑦 = −1. 𝑥 + 𝑛  2 = r = s  mr = ms e nr =ns. −1 . 1 + 𝑛  2 = −1 + 𝑛  𝑛 = 3 Assim, a equação reduzida de s é : 𝑠: 𝑦 = − 𝑥 + 3 EXEMPLO 8: Sabe-se que o ponto A(1,3) pertence à reta s, paralela a r: 5x +2y +1 =0. Determinar a equação geral da reta s. r: 5x +2y +1 =0

PERPENDICULARISMO Duas retas r e s do plano cartesiano são concorrentes quando os coeficientes angulares são diferentes . r x s  mr ≠ ms Se duas retas não verticais são perpendiculares entre si, então o produto de seus coeficientes angulares é igual a -1. s ┴ r  mr . ms = -1 5

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r:2y = - 5x – 1 𝑟: 𝑦 = − equação reduzida mr =− 5

ms = − 2

5 2

5 2

𝑥−

1

1

EXEMPLO 9. As retas r: y = 3x e s: 𝑦 = 3 𝑥 + 5

2

Logo r // s 

5

𝑠: 𝑦 = − 2 𝑥 + 𝑛

Substituindo A(1,3)

5

𝑠: 3 = − 2 . 1 + 𝑛

1

não são perpendiculares, pois mr =3 e ms = 5 e mr . ms = 1 ≠ -1. Nesse caso, r e s concorrem, mas não perpendicularmente.

6 = −5 + 2𝑛 11 2𝑛 = 5 + 6 𝑛 = 2 2 5 11 Coeficiente linear 𝑠: 𝑦 = − 2 𝑥 + 2 𝑠:

s: 2y +5x -11 =0 Equação geral de s EXEMPLO 10. Sabe-se que o ponto A(2,-1) pertence à reta s e essa é perpendicular a r: 2x +3y +9 =0. Determinar a equação geral da reta s. r: 2x +3y +9 =03y = - 2x – 9 2

𝑦 = −3𝑥 −

9 3

2

𝑦 = − 3 𝑥 − 3 Equação 2

reduzida 𝑚𝑟 = − 3 s ┴ r  mr . ms = -1 2

− 3 . 𝑚𝑠 = −1 𝑚𝑠 =

−1 2 − 3

3

3

= −1. − 2 = 2

3

Tendo 𝑚𝑠 = 2 e A(2,-1) 𝑠: 𝑦 =

3 3 𝑥 + 𝑛  − 1 = .2 + 𝑛  2 2

−1 = 3 + 𝑛𝑛 = −1 − 3  𝑛 = −4 3 3 𝑠: 𝑦 = 𝑥 − 4 𝑦 − 𝑥 + 4 = 0 2 2 𝑠:

2𝑦−3𝑥+8=0 2

s: 2y -3x+8 =0 Equação geral

Área de triângulo 1 . |𝐷| 2 EXEMPLO 12:Para achar a área do triângulo de vértices A(2,3), B(1,8) e C( - 5,2), iniciamos pelo cálculo do determinante D. 𝐴=

Intersecção de retas São duas retas concorrentes e tem um ponto em comum. EXEMPLO 11: Para achar o ponto I de interseção das retas r: 2x – y - 1 =0 e s: 4x + 3y – 17 =0, devemos 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 simplesmente resolver o sistema{ 4𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0 Isolando y na primeira equação, temos y = 2x – 1, que substituindo na segunda equação: 4𝑥 + 3(2𝑥 − 1) − 17 =0 4𝑥 + 6𝑥 − 3 − 17 = 0 10 𝑥 − 20 = 0 20 𝑥=  10 𝑥=2 Substituindo x = 2 na equação y = 2 x – 1, temos: 𝑦 = 2.2 − 1  𝑦 = 4−1 𝑦=3 Logo I(2,3) é o ponto comum a r e s. EXERCÍCIOS DE PONTO: 1) Determinar a distância entre os seguintes pares de pontos: a) A(0, -2) e B(-6, -10) b) C(-3, -1) e D(9, 4) 2) Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d. a) A(6, m),B(1, -2) e d = 13 b) C(1, -2),D(m, -2) e d = 5 3) Sabendo-se que os vértices de um triângulo ABC são A(2, -3), B (-2, 1) e C(5, 3), determinar a medida da mediana ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀. 4) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, conhecendo-se: a) A(-1, 2) e B(-2, 0) b) A(-3, 3) e B(4, 3) 6

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5)

6)

7) 2 3 1 | 1 8 1| = 16 − 15 + 2 + 40 − 4 − 3 −5 2 1 = 58 − 22 = 36 1 1 𝐴 = . |𝐷| = . |36| = 18 2 2 9) Escreva a equação da reta r, conhecendo a sua representação gráfica, nos seguintes casos: A)

8)

c) A(4, 2) e B(2, 4) Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo cujos vértices são: a) A(2, 4),B(6, 3) e C(7, -13) b) A(1, -3),B(-4, 7) e C(-6, 8) Conhecendo os ponto A, B e C, verifique, em cada item, se pertencem à mesma reta. a) A(3, -2),B(0, 1) e C(-3, 4) b) A(-3, -1),B(0, 5) e C(1, -2) Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (-2, -5). Determine: a) As coordenadas de seu baricentro. b) Os comprimentos das medianas desse triângulo. Determine o valor de m de modo que (-2, 7), (1, -2) e (m, -11) estejam alinhados.

A RETA – Exercícios 10) Encontre a forma geral da equação da reta que passa pelos pontos: a) (0, 2) e (2, 3) b) ( - 1, 2) e ( - 2, 5) 1 c) ( - 1, - 2) e (− 2 , 3) d) (0, - 3) e (3 ,2) 11) Encontre as coordenadas do ponto P indicado no gráfico abaixo.

B)

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