Matematica 2020

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Números reais: operações, múltiplos e divisores, resolução de problemas; ............................ 1 Conjunto dos números inteiros: operações e problemas; ............................................................. 7 Conjunto dos números racionais: operações, representação decimal; .................................... 14 Sistemas de medidas: sistema métrico decimal, unidades de comprimento, área, volume e massa, unidades usuais de tempo; ........................................................................................................ 22 Geométrica, grandezas direta e inversamente proporcionais, ................................................... 30 Regra de três simples e composta, ................................................................................................... 37 Porcentagem, ......................................................................................................................................... 51 Juros simples e compostos;................................................................................................................ 58 Cálculos algébricos: expressões algébricas, operações, ............................................................ 67 Produtos notáveis, ................................................................................................................................ 70 Fatoração, ............................................................................................................................................... 72 Frações algébricas,............................................................................................................................... 76 Cálculos com potências e radicais, expoentes fracionários e negativos, ................................ 79 Equações do primeiro e segundo grau, ........................................................................................... 91 Resolução de problemas. .................................................................................................................. 105

Números reais: operações, múltiplos e divisores, resolução de problemas;

O conjunto dos números reais1 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Assim temos: R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa).

Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo:

O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: - Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} - Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} - Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} - Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} - Conjunto dos números reais negativos: R* - = {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais

Ordenação dos números reais A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, a≤b↔b–a≥0 Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 5+15≥0 Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. Em termos gerais temos: - A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: > ;< ou ] ; [ 1

IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções

1

- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: ≥ ; ≤ ou [ ; ] Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos.

Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal. Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. Operações com números relativos 1) Adição e subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do maior numeral. Exemplos: 3+5=8 4-8=-4 -6-4=-10 2+7=5 2) Multiplicação e divisão de números relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. Exemplos: - 3 x 8 = - 24 - 20 (-4)=+5 - 6 x (-7) = + 42 28 2=14 Questões 1. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a

2

(A) 4. (B) 5. (C) 7. (D) 8. (E) 10. 2. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: I- (20 – m) é um número menor que 20. II- (20 m) é um número maior que 20. III- (20 m) é um número menor que 20. É correto afirmar que: (A) I, II e III são verdadeiras. (B) apenas I e II são verdadeiras. (C) I, II e III são falsas. (D) apenas II e III são falsas. 3.

(Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto que melhor representa a diferença 34 − 12 na reta dos números reais é:

(A) P. (B) Q. (C) R. (D) S. 4. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas. (A) 36. (B) 57. (C) 78. (D) 92. 5.

(MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, Zeca percorre uma distância igual a 34 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente.

Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 75 de um quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a (A)

23

(B)

34

(C) (D) (E)

12 45 35

6. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 3

(A) 1,111. (B) 2,003. (C) 2,893. (D) 1,003. (E) 2,561. 7. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 8. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: (A) 145. (B) 133. (C) 127. (D) 118. 9. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a (A) 87. (B) 59. (C) 28. (D) 65. (E) 63. 10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu (A) R$ 74.000,00. (B) R$ 93.000,00. (C) R$ 98.000,00. (D) R$ 102.000,00. (E) R$ 106.000,00.

Comentários 01. Alternativa: D. Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 2.x = 1903 + 15 4

x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2.x – 15 2.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 02. Alternativa: C. I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 03. Alternativa: A. 3

4

1

−

3−2

=

2

1

=

4

4

= 0,25

04. Alternativa: D. Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 5. Alternativa: E. Ida + volta = 7/5 . 1 34.

=75

+

5.3 + 20 =7.4 20

15 + 20 = 28 35 = 28

=

28

(: 7/7)

35

=

4

(volta)

5

Ida: 3 4

. 4 5

=

3 5

06. Alternativa: C. 1 a 9 = 9 algarismos = 0,001 9 = 0,009 ml De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 99–10+1=90. OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 90 números de 2 algarismos: 0,002 90 = 0,18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números

5

900 0,003 = 2,7 ml 1000 = 0,004ml Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 7. Alternativa: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 2 semana:13 ∙ 38 = 18 1ª e 2ª semana:38

+ 18

= 48

= 12

Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1

2 +

=2 1

3 =2

1

=6

08. Alternativa: B. Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: D = d.Q + R Sabemos que o R = 5 O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 9. Alternativa: B. * número 40: é par. 40 /2+17=20+17=37 * número 35: é ímpar. Seu maior divisor é 35. 35 /35–15=1–15=–14 * número 66: é par. 66 /2+17=33+17=50 * número 27: é ímpar. Seu maior divisor é 27. 27 /27–15=1–15=–14 * Por fim, vamos somar os resultados: 37 –14+50–14=87–28=59

10. Alternativa: B. * Breno: .

.

.

=

=

x = 62000 . 6 x = R$ 372000,00 * Carlos: .

=

$

,

6

Conjunto dos números inteiros: operações e problemas;

Definimos o conjunto dos números inteiros2 como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão).

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Z+ , Z_ , Z*). - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Z*=Z–{0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z + = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

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Operações entre Números Inteiros Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 4+5=9 4–5=-1 Considere as seguintes situações: 1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. Ex.: 10 – (10+5) = 10 – (+15) = 10–15= -5

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Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Divisão de Números Inteiros

- Divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20) : (+ 5) = q



(+ 5) . q = (– 20)



q = (– 4)

Logo (– 20) : (+ 5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. - Não existe divisão por zero. - Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão → Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. → Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. Potenciação de Números Inteiros A potência xn do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é denominado a base e o número n é o expoente. xn = x . x . x . x ... x, x é multiplicado por x, n vezes.

Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (–8)2 = (–8) . (–8) = +64

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- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 - Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número x. O número n é o índice da raiz enquanto que o número x é o radicando (que fica sob o sinal do radical). =b √

bn = x A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número x. Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número x. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: (a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8 (b) 3 (c) 3 (d)

3

− 8 = –2, pois (–2)³ = -8 27 = 3, pois 3³ = 27 − 27 = –3, pois (–3)³ = -27

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

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Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a, b e c ∈

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) Comutativa da adição: a + b = b + a Elemento neutro da adição: a + 0 = a Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 Associativa da multiplicação: (a.b).c = a.(b.c) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac

Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Questões 1. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi (A) 50. (B) 45. (C) 42. (D) 36. (E) 32. 2. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562,00 DVD: R$ 399,00 Micro-ondas: R$ 429,00 Geladeira: R$ 1.213,00 Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco recebido será de: (A) R$ 84,00 (B) R$ 74,00 (C) R$ 36,00 (D) R$ 26,00 (E) R$ 16,00 3. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será (A) - 72 (B) - 63 (C) - 56 (D) - 49 (E) – 42

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4. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados:

Ao término dessas quatro partidas, (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. (D) Carla e Mateus empataram. 5. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: (A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 6. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em cada cidade.

O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 7. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, em ºC será de: (A) 10 (B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 8. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15

12

9. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura de 3cm, o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 (C) 11 (D) 15 (E) 19 Comentários 01. Resposta: A 50-20=30 atitudes negativas 20.4=80 30.(-1)=-30 80-30=50 02. Resposta: D Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03. Resposta: D Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. Portanto: 7 (- 7) = - 49 04. Resposta: C Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 5. Resposta: B Moto: 2 rodas Carro: 4 12.2=24 12424=100 100/4=25 carros 06. Resposta: D 240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 7. Resposta: E 45 –(-10)=55 8. Resposta: D 420: 35 = 12 meses 13

09. Resposta: D São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 10. Resposta: E 8+13=21 21–15=6 25–6=19

Conjunto dos números racionais: operações, representação decimal;

Um número racional3 é o que pode ser escrito na forma

m n , onde m e n são números inteiros, sendo

que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q={

m n : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). -

Q* = conjunto dos racionais não nulos; Q+ = conjunto dos racionais não negativos; Q*+ = conjunto dos racionais positivos; Q _ = conjunto dos racionais não positivos; Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

p Tomemos um número racional q , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

3

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14

Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica especial:

Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: a) Seja a dízima 0, 333... Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) repetir no numerador o período.

15

➔

então vamos colocar um 9 no denominador e

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração

3 9 .

b) Seja a dízima 5, 1717... O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a parte inteira, logo ele vem na frente: 17

5

512

→

çã

,→ (5.99 + 17) = 512,

∶

99

99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração

512

99 .

Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. c) Seja a dízima 1, 23434... O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 0 (um zero).

232 1

990

1222 →

çã

,− → (1.990 + 232) = 1222,

Simplificando por 2, obtemos x =

495

611

∶

990

, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplos: 1) Módulo de –

2) Módulo de +

3

2

3

2

é

é

3

3

2 . Indica-se − 2

3

3

2 . Indica-se + 2

=

3 2

=

3 2

3 2 e 2 são números racionais opostos ou simétricos e cada 3 3 um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 2 e 2 ao ponto zero da reta são iguais. Números Opostos: Dizemos que –

3

16

Inverso de um Número Racional −

(

)

,≠=(

)

,≠

Representação geométrica dos Números Racionais

Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais

a

b

c

e d , da mesma forma que a soma de frações, através de:

Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o

c

a

oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p = b e q = d .

Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais

b

a

c

e d , da mesma forma que o produto de frações, através de:

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Divisão (Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 :

=

17

.

Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos:

Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

5) Toda potência com expoente par é um número positivo.

6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número.

18

1)

Exemplos: 1

1

9

3

Representa o produto

Indica-se

.

1 3

1 ou

3

2

.Logo,

1

é a raiz quadrada de

3

1

.

9

1 1 = 9 3

2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3

0,216 = 0,6.

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais.

Por exemplo, o número −

100

9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto − 100 elevados ao quadrado, dão 9.

10

3 como +

10

3 , quando

Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. E o número dê

2

2

3 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado

3. Questões

1. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/4 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 2. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10. 3. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou (A) R$ 810,81. (B) R$ 821,31. (C) R$ 838,51. (D) R$ 841,91. (E) R$ 870,31.

19

4. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 1,3333…+32 1,5+43

Obtém-se (A) ½. (B) 1. (C) 3/2. (D) 2. (E) 3. 5. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência (A) −4; −1; √16; √25; 143 (B) −1; −4; √16; 143 ; √25 (C) (D)

−1; −4; 14 3 ; √16; √25 −4; −1; √16; 14 3 ; √25

(E)−4; −1;

143 ;

√16; √25

6. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a (A) 52/25. (B) 13/6. (C) 7/3. (D) 5/2. (E) 47/23. 7. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes (A) R$ 62,20. (B) R$ 52,20. (C) R$ 50,20. (D) R$ 56,20. (E) R$ 66,20. 8. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 9. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 20

Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (B) 35 anos. (C) 45 anos. (D) 30 anos. (E) 42 anos. Comentários 01. Alternativa: B. Somando português e matemática: 1

9

+

4

1

−10=10

5+9

=

20

=

20

7

14

20

7

=

10

3

2. Alternativa: C. Mmc(3,5,9)=45 25+29+13

18+10+15 = 43 45

45

O restante estuda alemão: 2/45 180∙452=8

03. Alternativa: D. ℎ ê

á

: 617,16 + 185,15 = 802,31 : 8,5 ∙ 8 = 68 : 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91

Salário foi R$ 841,91. 4. Alternativa: B. 1,3333...= 12/9 = 4/3 1,5 = 15/10 = 3/2 4

3

+

3

17

2

6

= 3

+

2

=1

4

17

3

6

5. Alternativa: D. √16=4 √25=5 14

3

= 4,67

A ordem crescente é: −4; −1; √16;

143 ; √25

06. Alternativa: B.

Lá vem o tal do “x” né, mas analise o seguinte, temos a fração

23,

aí ele disse o seguinte: Somando-se

certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração, logo devemos somar “x” no 2 e subtrair “x” de 3, ficando: 2+x

3−x

Isso é igual a 5, assim teremos formada nossa equação com números racionais! 2+x3−x = 5, para

resolver devemos multiplicar em cruz (como não tem ninguém no denominador do 5, devemos colocar o 1).

21

1.(2 + x) = 5.(3 – x) Aplicando a propriedade distributiva: 2 + x = 15 – 5x Letra para um lado e número para o outro, não esquecendo que quando troca de lado inverte o número. x + 5x = 15 – 2 6x = 13 Portanto a alternativa correta é a “B”. x = 136

07. Alternativa: A. 1 1

: 120 ∙ 4 = 30

: 1 3 ∙ 120 = 40

50

25 10

: 25 ∙ 120 = 48

: 120 − 118

=2

30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20

Mariana totalizou R$ 62,20. 08. Alternativa: A. Este problema é clássico na utilização de frações, primeiro vamos calcular a quantidade de homens e mulheres abordadas: Total: 800 Homens:

34 sendo

assim devemos encontrar 34

800 = 3 800 = 2400, 2400 ∶ 4 = 600

Se temos 600 homens, significa que 200 são as mulheres, pois o total é 800, agora vamos calcular os detidos! Homens detidos:

15 de

600, logo 600 x 1 = 600 e 600 : 5 = 120, portanto 120 homens detidos.

Mulheres detidas: 18 de 200, logo 200 x 1 = 200 e 200 : 8 = 25, portanto 25 mulheres detidas.

O enunciado pede o total de pessoas detidas nessa operação policial, logo 120 + 25 = 145, o que nos remete a alternativa “A”. 09. Alternativa: C. 9 75

675

5 ∙3 =15 =45

Sistemas de medidas: sistema métrico decimal, unidades de comprimento, área, volume e massa, unidades usuais de tempo;

Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.

22

Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. Por isso, o sistema é chamado decimal. E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro. As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (há): 1 hm 2 = 1 ha. No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102. Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 1 polegada = 25 milímetros 1 milha = 1 609 metros 1 légua = 5 555 metros 1 pé = 30 centímetros

A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km 3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m 3) e o centímetro cúbico(cm 3). Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.

A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.

O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama(g).

23

Nomenclatura: Kg – Quilograma hg – hectograma dag – decagrama g – grama dg – decigrama cg – centigrama mg – miligrama Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t). Medidas Especiais: 1 Tonelada(t) = 1000 Kg 1 Arroba = 15 Kg 1 Quilate = 0,2 g

Relações entre unidades

Temos que: 1 kg = 1l = 1 dm3 1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 1 m3 = 1000 l Questões 1. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de (A) 7,5 mg. (B) 9,0 mg. (C) 4,5 mg. (D) 6,0 mg. 2.

(MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra preenchia 34 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra

passou a preencher 15 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco adicionada foi igual, em mililitros, a

(A) 580. (B) 720. (C) 900. (D) 660. (E) 840. 3. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 24

que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do dia, corresponde a uma porcentagem de (A) 60%. (B) 55%. (C) 50%. (D) 45%. (E) 40%. 4. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais próximo do obtido. (A) 108 toneladas (B) 107 toneladas (C) 106 toneladas (D) 105 toneladas (E) 104 toneladas 5. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m 2 de área será totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm 2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm 2 de área cada um, será: (A) 52000. (B) 5200. (C) 520. (D) 52. (E) 5,2. 6. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas peças desse tecido é possível serem confeccionadas: (A) 10 camisas (B) 20 camisas (C) 40 camisas (D) 80 camisas 07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: (A) 50 caixas (B) 100 caixas (C) 500 caixas (D) 1000 caixas 8. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 37 do total a ser reparado e, por motivos técnicos, 25 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. O número total de metros que a empresa A ainda ter á que reparar é

(A) 1920. (B) 1980. (C) 2070. (D) 2150. (E) 2230.

25

Comentários 01. Resposta: D Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será de: 0,5 . 12 = 6,0mg 02. Resposta: B. Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 34.

34.

−495=15.

− 15.

=495

5.3. − 4. =20.495 20

15x – 4x = 9900 11x = 9900 x = 9900 / 11 x = 900 mL (capacidade total) Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 03. Resposta: B. 4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) Utilizaremos uma regra de três simples: ml % 4000 ------- 100 2200 ------- x 4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 04. Resposta: D. 4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t

5. Resposta: C. 1,3 m2 = 13000 cm2 13000 / 25 = 520 pedaços 06. Resposta: C. Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 = 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 600/15 = 40 camisas. 07. Resposta: C. Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg Cada caixa pesa 4kg

➔

2000 kg/ 4kg = 500 caixas.

08. Resposta: A. Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) Faltam 77 −

37 = 47

do total, ou seja,

47

5600 = 4.56007 = 3200

A empresa B vai reparar Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 2

2.3 20 0

3200 =

5

= 1280

5

26

SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO) Antigamente, para saber o melhor momento de caçar e plantar, entre outras atividades, as civilizações observavam a natureza, ou seja, utilizavam-se de fenômenos naturais periódicos. A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre dois eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do nascer do Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações (primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro anos, as horas extras acumuladas são reunidas no dia 29 de fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 dias. Temos uma maneira prática de verificar se um ano é bissexto: - Se o número que indica o ano é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível por 400. - Se o número que indica o ano não é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível por 4. Exemplo: O ano de 2000, por exemplo, foi bissexto porque 2000 termina em 00 e é divisível por 400. Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar (calendário solar) para contagem do tempo. Eles ainda podem definir outras unidades de tempo, como a semana, para o propósito de planejar atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses ou anos. O Ano é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e cada semana, em 7 dias. O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses a um trimestre e o de 6 meses, a um semestre. Concluindo: - 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; - 1 ano está dividido em 12 meses; - 1 mês tem de 30 a 31 dias; - 1 dia tem 24 horas Para medirmos o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital.

Em geral, os relógios marcam as HORAS, os MINUTOS e os SEGUNDOS. - 1 dia tem 24 horas. - 1 hora tem 60 minutos. - 1 minuto tem 60 segundos. Observe-se que não é correto escrever 3,20 horas como forma de representar 3h20min, pois o sistema de medida de tempo não é decimal. O 0,20h representa 12 minutos, pois 0,20.60 min = 12, logo 3,20h = 3horas 12 minutos. - Adição e Subtração de Medida de tempo Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos os exemplos:

27

A) 1 h 50 min + 30 min

Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos:

Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. B) 2 h 20 min – 1 h 30 min

Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 para a coluna minutos.

Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80:

Logo o valor encontrado é de 50 min. Questões 1. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem deve administrar 250 ml de soro fisiológico em um paciente durante 90 minutos. Para obter a vazão correta do soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por minuto dever ser de, aproximadamente, (A) 28. (B) 42. 28

(C) 56. (D) 70. 2. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? (A) 67 minutos. (B) 75 minutos. (C) 88 minutos. (D) 91 minutos. (E) 94 minutos. 3. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática.

O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou.

O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi (A) 4h e 48min. (B) 5h e 12min. (C) 5h e 28min. (D) 5h e 42min. (E) 6h e 08min. 4. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser aplicada a partir das 15h 40min.” Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís iniciou o serviço? (A) 12h 25 min (B) 12h 35 min (C) 12h 45 min (D) 13h 15 min (E) 13h 25 min

29

Comentários 01. Resposta: C. Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. Logo, 250 : 4,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 02. Resposta: C.

Como 1h tem 60 minutos. Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 03. Resposta: D. T=8.4+10.6+15.10+20.5= = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 4. Resposta: B. 15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min

Geométrica, grandezas direta e inversamente proporcionais,

RAZÃO Razão4 é o quociente (divisão) entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). : ,≠0

Onde:

Você tem que ficar atento ao fato da frase que estiver o contexto, pois depende da ordem em que for expressa. Exemplos 1. Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de ú

150

= ú

1

= 3600

24

Lemos a fração como: Um vinte e quatro avos ( pronuncia-se “ávos”). 2. Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: − Alana resolveu 11 testes e acertou 5 − Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 − Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 4

IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://educacao.globo.com

30

− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 − Edson resolveu 21 testes e acertou 9 O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: : 115 = 0,45

: 146 = 0,42 : 157 = 0,46

: 178 = 0,47 : 219 = 0,42

Daniel teve o melhor desempenho pois 0,47 foi o maior número. - Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma unidade. Razões Especiais Escala Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). =

Velocidade Média É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, m/s, entre outras. =

â

Densidade É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre outras. =

PROPORÇÃO É uma igualdade entre duas razões. Dada as razões e , à setença de igualdade Onde:

=

chama-se proporção5.

Exemplo 1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 5

IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://educacao.globo.com

31

Distância percorrida (em km)

2

4

6

8

...

Tempo gasto (em min)

1

2

3

4

...

Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 2

4

6

=2; 1

=2;

8

=2;

2

=2

3

4

Então: 2

4

6

= 1

= 2

8

= 3

4

Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (1,2,3,3, 4, ...). Propriedades da Proporção 1 - Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c Exemplo Na proporção 45 = 9 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 30 6

2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). +

=

→

+

+

+

=

=

Exemplo 2

3

6

=

9

2+3 6+ 9 5

2

→

6

=

15

2

→

6

=

2+3 6+ 9 5

3

= 30

9

=

3

→

15

9

=

= 45

3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). −

=

−

→

−

−

=

=

Exemplo 2

3

6

=

9

2−3 6− 9 −1 − 3

→

2

6

=

2

→

6

=

2−3 6− 9 −1 − 3

3

= −6

9

=

→

3

=

9

= −9

4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. +

=

→

+

=

=

+

+

Exemplo 2

3

6

=

9

2+6

→

3+9

2

=

3

8 2

→

12

=

3

2+6

= 24

3+9

6

=

9

8 6

12

→

=

9

= 72

5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

32

− =

→

−

− =

=

−

Exemplo 6

9

2

=

3

6−2

6

9−3

→

=

9

4

→

6

6

=

9

6−2

= 36

9−3

2

=

3

4

→

6

2

=

3

= 12

Problemas envolvendo razão e proporção 1. Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, o número de usuários atendidos foi: A) 84 B) 100 C) 217 D) 280 E) 350 Resolução: Usuários internos: i Usuários externos: e Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → e = 140 , usando o produto dos meios pelos extremos temos =

+

3

=

5

+140

5i = 3(i + 140) → 5i = 3i + 420 → 5i – 3i = 420 → 2i = 420 → i = i + e = 210 + 140 = 350 Resposta “E”

420

→ i = 210

2

2. Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: A) 2/3 B) 3/5 C) 5/10 D) 2/7 E) 6/7 Resolução:

Resposta “B” 3. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa ordem, foi de: A) 2:3 B) 1:3 C) 1:6 D) 3:4 E) 2:5 Resolução: Se 25 chegaram atrasados 1 − 25 = 35 ℎ

ℎ á

33

25∙14=101

30 1

30mi n ã =

= 10

ã

= 101 ∙ 53 = 16

3

5 1: 6

Resposta “C” Questões 1. (Pref. de Cerquilho/SP – Professor de Ensino Fundamental I – Metro Capital Soluções/2018) Durante um campeonato de tiro ao alvo, José disparou 12 vezes. Sabendo que a razão do número de acertos para o total de disparos foi de 3/4 (três quartos), quantos disparos José acertou? (A) 7. (B) 10. (C) 4. (D) 7. (E) 9. 2. (Colégio Pedro II – Professor – Colégio Pedro II/2018) O trabalho infantil é um dos mais graves problemas do país. De acordo com a Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNAD 2015), mais de 2,7 milhões de crianças e adolescentes, de 5 a 17 anos, estão em situação de trabalho no Brasil – no mundo, são 152 milhões que estão no trabalho precoce.

Disponível em: http://www.chegadetrabalhoinfantil.org.br. Acesso em: 30 jul. 2018

De acordo com os dados apresentados, a fração que representa o número de meninas em situação de trabalho infantil no Brasil é: (A) 2/3 (B) 5/10 (C) 9/27 (D) 94/100 3. (FUNCABES – Escriturário – PROMUN/2018) Em um concurso público em que participaram 3000 candidatos, 1800 foram aprovados. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: (A) 2/3 (B) 3/5 (C) 5/10 (D) 2/7

34

4. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de livros doados para a biblioteca de física será (A) 16. (B) 22. (C) 20. (D) 24. (E)18. 5. (EBSERH/HUPA – Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? (A) 71 km/h (B) 76 km/h (C) 78 km/h (D) 81 km/h (E) 86 km/h. 6. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou (A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. (B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. (C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. (D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. (E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 7. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a régua menor é quantos por cento da régua maior? (A) 90% (B) 75% (C) 80% (D) 85% 8. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, é (A) 119 km. (B) 121 km. (C) 123 km. (D) 125 km. (E) 127 km.

9. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? (A) 75 (B) 125 (C) 175

35

(D) 375 (E) 675 10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a (A) 588. (B) 350. (C) 454. (D) 476. (E) 382. Comentários 01. Resposta: E da seguinte forma:

A razão do número de acertos para o total é de

34 e

o total de disparos foi 12, assim a proporção fica

3 4

= 12

4x = 3.12 4x = 36 x=9 x = 364

02. Resposta: C Vamos resolver este pela forma mais simples, nos dados apresentados temos que 2 em cada 3 crianças em situação de trabalho infantil são do sexo masculino, assim sobra apenas 1 em cada 3 para o sexo feminino, em fração seria 13, mas não temos esta resposta, porém temos 279 que nada mais é que 13 porém não está simplificado, assim 13 = 279.

03. Resposta: B De acordo com a ordem que foi expressa devemos ter 1800 no numerador e 3000 será o denominador, ficando assim: 18003000,

simplificando:

18 30

=5

3

4. Resposta: E X = total de livros Matemática = ¾ x, restou ¼ de x Física = 13 . 14 = 1/12

Química = 36 livros Logo o número de livros é:

3

4

+

1

+ 36 = x

12

Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 Logo: 9 + 1 + 432 = 12

12

432

→ 10 + 432 = 12 → 12 − 10 = 432 → 2 = 432 → =

2

Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 121 .

216 = 21612 = 18

05. Resposta: C 5h30min = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 4305,5 =

78,18

/ℎ

36

→ =216

06. Resposta: C O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras ervas. Podemos escrever em forma de razão , logo: 2

5

2

5

. 150 = 60 ∴ 150 − 60 = 90

07. Resposta: C Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100 = 80% 08. Resposta: A A razão da cidade A será: 51

120

A da cidade B será:

280

Como seguem a mesma proporção teremos a seguinte proporção: 12051 = 280

120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 09. Resposta: A Como temos duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca a fração ficará 23temos ainda que ela utilizou 450ml de tinta vermelha, então vamos encontrar o quanto ela utilizou de tinta branca e depois descobrir o quanto sobrou do total (750ml) 23 = 450

2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca foram utilizadas. Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 10. Resposta: A Chamando de C o comprimento e de L a largura, teremos a seguinte proporção Como no comprimento foram utilizados 28 ladrilhos, teremos C = 28 e substituindo na proporção, ficará: = 43

28= 43

4L=28.3 L = 21 ladrilhos Como teremos 28 ladrilhos no comprimento e 21 na largura, a quantidade total será dada pela área dessa região retangular, ou seja, o produto do comprimento pela largura. Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588. L=844

Regra de três simples e composta,

REGRA DE TRÊS SIMPLES Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples6.

6

MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013.

37

Vejamos a tabela abaixo:

Exemplos 1. Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km? O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:

Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 180

15

=

180:

→180 21030,

30

:

15

=

210

210:

38

30

180 6 210

=

15

→

(

) → 6 = 7.15

7

105

6 =105→ =

6

=

,

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 2. Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:

Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 7

80

=

7

,→

80

50

35

8

=

→7.5=8. → = 50

→ = 4,375 ℎ 8

5

Como 0,375hora corresponde a 22 minutos aproximadamente (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 3. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores da grandeza tempo (20 s e x s). Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente proporcionais aos números 20 e x. Daí temos: 3600

180.20 = 300.

→ 300 = 3600 →

= 300 →

39

= 12

Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para realizar o percurso. Questões 1. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas.

De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, de (A) 70%. (B) 65%. (C) 60%. (D) 55%. (E) 50%. 2. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total desse título era de (A) R$ 345,00. (B) R$ 346,50. (C) R$ 350,00. (D) R$ 358,50. (E) R$ 360,00. 3. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? (A) R$24.300,00 (B) R$29.700,00 (C) R$30.000,00 (D)R$33.000,00 (E) R$36.000,00 4. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: (A) 180 quilômetros. (B) 1.800 metros. (C) 18 quilômetros. (D) 180 metros. 5. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24.

40

Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, aproximadamente, (A) 29% (B) 36% (C) 40% (D) 56% (E) 80% 6. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá que vender cada bala restante na caixa por: (A) R$ 0,50. (B) R$ 0,55. (C) R$ 0,60. (D) R$ 0,65. (E) R$ 0,70. 7. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, em metros cúbicos por segundo (m 3/s):

De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: (A) 5,4. (B) 5,8. (C) 6,3. (D) 6,6. (E) 6,9. 8. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é (A) R$ 1.285,00. (B) R$ 1.300,00. (C) R$ 1.315,00. (D) R$ 1.387,00. (E) R$ 1.400,00. 9. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal (IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi (A) 2500. (B) 1600.

41

(C) 2200. (D) 3200. (E) 1800. 10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida que ele já viveu é (A) (B) (C) (D) (E)

47 56 45 34 23

11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é (A) 100. (B) 1000. (C) 10000. (D) 100000. (E) 1000000.

12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. Disponível em: . Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado).

De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em milhões de toneladas, em: (A) 1,46 (B) 1,37 (C) 1,32 (D) 1,22 13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? (A) 3 h 12 min (B) 5 h (C) 5 h 30 min (D) 6 h (E) 6 h 15 min 14. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar necessária para fazer 224 bolachas é (A) 14,4 quilogramas. (B) 1,8 quilogramas. (C) 1,44 quilogramas. (D) 1,88 quilogramas. (E) 0,9 quilogramas. 15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 42

(A) 6,8L. (B) 6,6L. (C) 10,8L. (D) 7,8L. (E) 7,2L. Comentários 01. Resposta: E Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: ano % 11442 ------- 100 17136 ------- x 11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 149,8% – 100% = 49,8% Aproximando o valor, teremos 50% 02. Resposta: C Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: $ % 315 ------- 90 x ------- 100 90.x = 315. 100

x = 31500 / 90 = R$ 350,00

03. Resposta: C Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total, regra de três simples diretamente proporcional. Valor % 27000 ------ 90 X ------- 100 9 2700 0

=

9

0

10

1

0

→

0

2700 0

=

→ 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000.

9

10

04. Resposta: C 1:

15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho real. Assim, faremos uma regra de três simples diretamente proporcional:

mapa real 1 --------- 150000 12 --------- x 1.x = 12. 150000

x = 1.800.000 cm = 18 km

05. Resposta: A Faremos uma regra de três simples: cobre % 280 --------- 100 80 ---------x 280.x = 80. 100 x = 8000 / 280

x = 28,57%

06. Resposta: A Vamos utilizar uma regra de três simples: Balas $ 1 ----------- 0,45 90 ---------- x 1.x = 0,45. 90 x = R$ 40,50 (total)

43

* 90 – 9 = 81 balas Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: Balas $ 81 ----------- 40,50 1 ------------ y 81.y = 1 . 40,50 y = 40,50 / 81 y = R$ 0,50 (cada bala) 07. Resposta: D Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: seg m3 33 ------- 1 5 ------- x 5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 08. Resposta: B Utilizaremos uma regra de três simples: $ % 1170 ------- 90 x ------- 100 90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 09. Resposta: E O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) Utilizaremos uma regra de três simples: Restante: atendimentos % 588 ------------ 14 x ------------ 100 14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) Total: atendimentos % 4200 ------------ 70 x ------------ 30 70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 10. Resposta: C Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: idade fração 75 ------------ 1 60 ------------ x 75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 11. Resposta: D Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). Assim, utilizaremos uma regra de três simples: livros capacidade 10 ------------ 0,0001 x ------------ 1 0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 12. Resposta: C Toneladas% 13,32 ----------- 111 x ------------- 11 111 . x = 13,32 . 11 x = 146,52 / 111 x = 1,32 44

13. Resposta: B Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais horas demorará para transportar a carga: caminhões horas 15 ---------------- 4 (15 – 3) ------------- x 12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 14. Resposta: C Bolachas açúcar 35----------------225 224----------------x = 224.22535 = 1440= 1,44

15. Resposta: E 18L----200m² x-------120 x=10,8L Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 18-10,8=7,2L REGRA DE TRÊS COMPOSTA O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta7. Exemplos 1. Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças? Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:

Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (se aumentar o número de máquinas precisaremos de menos dias). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:

7

MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013.

45

Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é razões, obtidas segundo a orientação das flechas

6

x , com o produto das outras

160

:

.

8

4

300

Simplificando as proporções obtemos: 4

2

=

4.5

→2 =4.5→ =

→ =10

5

2

Resposta: Em 10 dias. 2. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”:

As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”:

Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. Questões 1. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de (A) 8 horas e 15 minutos. (B) 9 horas. (C) 7 horas e 45 minutos. (D) 7 horas e 30 minutos. (E) 5 horas e 30 minutos.

46

2. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma área igual a: (A) 4500 m² (B) 5000 m² (C) 5200 m² (D) 6000 m² (E) 6200 m² 3. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será: (A) 29. (B) 30. (C) 33. (D) 28. (E) 31. 4. (TRF/3ª Região – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de (A) 15 minutos. (B) 3 minutos e 45 segundos. (C) 7 minutos e 30 segundos. (D) 4 minutos e 50 segundos. (E) 7 minutos. 5. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a (A) 40. (B) 16. (C) 80. (D) 20. (E) 32. 6. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 24

7. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? (A) 10 (B) 16 (C) 20

47

(D) 32 (E) 40 8. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho ficará concluído? Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. (A) 10 dias (B) 11 dias (C) 12 dias (D) 13 dias (E) 14 dias 9. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 45 clientes é de: (A) 45 minutos; (B) 30 minutos; (C) 20 minutos; (D) 15 minutos; (E) 10 minutos.

Comentários 01. Resposta: D Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. m² varredores horas 6000 --------------18-------------5 7500 --------------15--------------x

5

6000 15 = 7500 ∙ 18

6000∙15∙

90000 = 675000 = 7,5 ℎ

=5∙7500∙18

Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 02. Resposta: D Operários horas dias área 20----------------- 8------------- 60------- 4800 15---------------- 10------------ 80-------- x Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 4800 = 2015 ∙ 108 ∙ 6080 20∙8∙60∙

9600 = 57600000 = 6000 ²

=4800∙15∙10∙80

03. Resposta: B Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamentos esse número passou para 8. Se eles trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta condições temos:

48

Funcionários horas dias 10--------------- 8-------------- 27 8---------------- 9-------------- x Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 27

8

=

9

∙

10

→ x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias.

8

04. Resposta: C Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha mesma posição) Máquina cópias tempo 80----------75 segundos 1---------------7-------------3360----------- x 75

=7∙

80

1

→ x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos

3360

Transformando 1minuto----- 60segundos 450 x------------x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 05. Resposta: A Vamos utilizar a Regra de Três Composta: Operários horas dias 128 ----------- 6 -------------- 42 x ------------- 8 -------------- 24 Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 6

=

42

∙

128

8

24

1

=

42

∙

128

8

4

1

21

= 128

∙ 8

2

16 = 128 ∙ 21 =8∙21=168

168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 06. Resposta: E Fichas Assistentes dias horas 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 10 = 10002000 ∙ 1016 . 86

10 = 19200080000

80.

= 192.10

49

= 192080 = 24

07. Resposta: C Faremos uma regra de três composta: Pessoas Kg dias 4 ------------ 13 ------------ 5 5 ------------ 65 ------------ x Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas inversamente proporcionais). Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 5

= 5 .

13

4

5

65

65

= 260

65.x = 5 . 260 x = 1300 / 65 x = 20 dias 08. Resposta: C Faremos uma regra de três composta: Trabalhadores Hectares h / dia dias 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais). Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais). 6 = 2015 . 210480 . 67

6 = 2520050400

25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 09. Resposta: B caixas clientes minutos 2 ----------------- 6 ----------- 10 5 ----------------- 45 ----------- x Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 10

=

5

∙

2

30. = 90.10

6

10

30

=

45

90

=

900 30

= 30

50

Porcentagem,

Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou simplesmente de porcentagem8. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando. Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). %=

Exemplos: 1. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 02/02/2013 e 02/02/2014.

Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50

500 ,

,

400 ,

,

50

; .

Quem obteve melhor rentabilidade? Resolução: Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), para isso, vamos simplificar as frações acima: 50

10

⇒ 500 = 100,= 10%

50

12,5

⇒ 400 = 100 , = 12,5%

Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco

B. Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 50 ⇒ 500 = 0,10 = 10%

50

⇒ 400 = 0,125 = 12,5%

2. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes na classe?

8

IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://www.porcentagem.org http://www.infoescola.com

51

Resolução: A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 1830 . Devemos expressar essa razão na forma centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que:

18 E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 30 =100 ⟹

=60

18

30 = 0,60(.

100% ) = 60%

Lucro e Prejuízo É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). Podemos ainda escrever: C + L = V ou L = V - C P = C – V ou V = C - P A forma percentual é:

Exemplos: 1. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 )

. 100% ≅

33,33%

)

ç

. 100% =

25%

ç

2. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: A) R$ 25,00 B) R$ 70,50 C) R$ 75,00 D) R$ 80,00 E) R$ 125,00 Resolução:

. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC).

C+L=V→C+0,25.C=V→1,25.C=100→C=80,00 Resposta D Aumento e Desconto Percentuais A)

Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por ( + ).V .

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Logo: VA= (

+

).V

Exemplos: 1.

Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: (1 + 10020).V = (1+0,20).V = 1,20.V

2.

Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: (1 + 200100).V = (1+2).V = 3.V

3. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo é aumentada de: (A)35% (B)30% (C)3,5% (D)3,8% (E) 38% Resolução: Área inicial: a.b Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. Logo, alternativa E. B)

Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por ( − ).V. Logo:

VD = (

−

).V

Exemplos: 1.

Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: (1 − 10020). V = (1-0,20). V = 0, 80.V

2.

Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: (1 − 10040). V = (1-0,40). V = 0, 60.V

3. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. V = (1 − 100). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 D

O valor antes do desconto é de R$ 125,00. A esse valor final de ( + ) ou ( − ), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto. Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação:

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Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. Vejamos alguns exemplos: 1. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? Utilizando VA = (1 + 100).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único

aumento de 21%. Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 2. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: Utilizando VD = (1 − 100).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo:

100% - 64% = 36% Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 3. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? ).V, temos: VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo em uma única equação: 5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 Utilizando VA = (1 +

).V para o aumento e VD = (1 −

100

100

Questões 1. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do mês? (A) R$ 1.510,00 (B) R$ 1.920,00 (C) R$ 960,00 (D) R$ 1.440,00 (E) R$ 480,00 2. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana pagou à vista o tal vestido. Quanto ela pagou? (A) 120,00 reais; (B) 112,50 reais (C) 127,50 reais. (D) 97,50 reais. (E) 95,00 reais. 3. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em

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(A) 20%. (B) 12%. (C) 10%. (D) 15%. (E) 22%. 4. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de (A) R$ 45,13 (B) R$ 48,20 (C) R$ 48,30 (D) R$ 50,14 5. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e organizou os resultados na seguinte tabela:

A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a (A) 60%. (B) 40%. (C) 50%. (D) 33%. (E) 66%. 6. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. Quantas geladeiras o comerciante vendeu? (A) 15 (B) 45 (C) 75 (D) 105 (E) 150 7. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: (A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. (B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. (C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. (D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 8. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%. Qual o preço do televisor na liquidação? (A) R$ 1.300,00 (B) R$ 1.315,00 (C) R$ 1.330,00 (D) R$ 1.345,00 (E) R$ 1.365,00

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9. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra? (A) 67%. (B) 61%. (C) 65%. (D) 63%. (E) 69%. 10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a seguinte promoção: Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda embalagem.

Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33,60 (B) R$ 28,60 (C) R$ 26,40 (D) R$ 40,80 (E) R$ 43,20 11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do valor, que possuía é de: (A) 58% (B) 68% (C) 65% (D) 77,5% Comentários 01. Resposta: D Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 02. Resposta: D Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 03. Resposta: C Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 18 x 2.200 = 39.600. Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 36000 ---- 100 39600 ---- x 36000x = 39600 . 100 36000x = 3960000 Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% x = 396000036000 = 110

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04. Resposta: C Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 51,2 ---- 106 x ---- 100 106x = 51,2 . 100 106x = 5120 x

= 5120106 = 48,30 aproximadamente.

05. Resposta: B Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 = 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 funcionários. Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 1025 = 0,40 = 40%

06. Resposta: D O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta encontrar 16% de 1550. 0,16 x 1550 = 248 Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 26040

248

= 105

Vendeu 105 geladeiras no total. 07. Resposta: B Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: Cartão de crédito: 10010 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017,00

Boleto:

8.

(750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 100

08. Resposta: E Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 9. Resposta: A Preço de venda: V Preço de compra: C V – 0,16V = 1,4C 0,84V = 1,4C 1,4

=

= 1,67 0,84

O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 10. Resposta: A Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 2,40 . 12 = 28,80 Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% = 75%): 57

28,80. 0,75 = 21,60 O total que ele gastou foi de 28,80 + 21,60 = 50,40 Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 3,50 x 24 = 84,00 O lucro então foi de: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 11. Resposta: B De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 85% - 17% = 68%.

Juros simples e compostos;

JUROS SIMPLES9 Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre outros. No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. - Os juros são representados pela letra J. - O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. - O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* - A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros. *Varia de acordo com a literatura estudada. Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Exemplo 1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? Resposta - Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 - Tempo de aplicação (t): 5 meses - Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) Fazendo o cálculo, mês a mês: - No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 - No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 - No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 9

MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013.

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- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 - No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período: - No final do 1º período, os juros serão: i.C - No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C - No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C -------------------------------------------------------------------------- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C Portanto, temos: J=C.i.t 1) O capital cresce linearmente com o tempo; 2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor. M = C + J → M = C.(1+i.t) Exemplo A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) C = R$ 25.000,00 t = 3 anos j = R$ 45.000,00 i = ? (ao ano) j = C.i.t 100 45 000 = 25000 .i.3 100 45 000 = 750 . i i = 45.000 750 i = 60 Resposta: 60% ao ano. Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente.

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Questões 1. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 150,00, foi de (A) 8,70%. (B) 7,50%. (C) 6,25%. (D) 5,10%. 2. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira e finanças, julgue o item seguinte. Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante ao final do período será inferior a R$ 10.140. ( )Certo ( )Errado 3. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: (A) R$ 3.096,00; (B) R$ 3.144,00; (C) R$ 3.192,00; (D) R$ 3.200,00; (E) R$ 3.252,00. 4. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: (A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial (B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. (C) Os juros são pagos durante o período de capitalização (D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização (E) Todas as alternativas acima estão erradas 5. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? (A) 1,5% ao mês. (B) 4% ao trimestre. (C) 20% ao ano. (D) 2,5% ao bimestre. (E) 12% ao semestre. 6. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa transação foi de: (A) 9% a.a. (B) 10,8% a.a. (C) 12,5% a.a. (D) 15% a.a. 7. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? (A) R$ 45.600,00 (B) R$ 36.600,00 (C) R$ 55.600,00 (D) R$ 60.600,00

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8. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de (A) 10,8%. (B) 9,6%. (C) 11,2%. (D) 12,0%. (E) 11,7%. Comentários 01. Resposta: C O capital será de: 400,00 2 trimestres: 2.3 = 6 meses J = 150 reais. Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos:

j = C.i.t 100 150 . 100 = 400 . i . 6 i=

150002400 =

6,25% ao mês

02. Resposta: Errado Pela fórmula de juros simples teremos j =

C.i.t

100 Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. i = 12% ao ano = 1% ao mês t = 45 dias = 1,5 meses C = 10000 Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. Vamos lá! j = C.i.t 100 j = 10000 . 1 . 1, 5 = 15000 = 150 reais, que é s uperior à 140 r eais c onform e di to no enunciado. 100

100

03. Resposta: A Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia

j = C.i.t 100 j = 3000 . 0,4 . 8 = 960 0 = 96 re ais 100

100

Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 04. Resposta: A Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está correta.

61

5. Resposta: E C = 1.000.000,00 M = 1.240.000,00 t = 12 meses i=? M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a taxa mensal: Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 06. Resposta: B Pelo enunciado temos: C=670 i=? n = 16 meses M = 766,48 Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 10,8% a.a. 7. Resposta: C C=? n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses i = 1,3% a.m = 0,013 M = 68610,40 Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 08. Resposta: C j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) j=15.000*0,025 j=375,00 Montante 15.000+375,00= 15.375,00 Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. j=c.i.t 290,5=10.375,00*i*0,025 290,5=2.593,75*i i= 290,5/2.593,75 i= 0,112 i=0,112*100=11,2% JUROS COMPOSTOS O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber: Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada período. Também conhecido como "juros sobre juros".

62

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos10 na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. Exemplo Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1) 3 ..................................................................................................... Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1) t De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante o período (t): M = C (1 + i)t Onde: M = montante, C = capital, i = taxa de juros e t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. (1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses. Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido".

- O montante no 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros compostos; - Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; - Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. Juros Compostos e Logaritmos Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. Exemplo Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

10

MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013.

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Resolução Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] Simplificando, fica: 2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil. Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses. - Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se colocar na mesma unidade de (i) ou (t). - Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). Questões 1. (UFLA – Administrador – UFLA/2018) A alternativa que apresenta o valor futuro correto de uma aplicação de R$ 100,00 à taxa de juros compostos de 10% ao ano pelo período de dois anos é: (A) R$ 121,00 (B) R$ 112,00 (C) R$ 120,00 (D) R$ 110,00 2. (BANPARÁ – Técnico Bancário – FADESP/2018) Na realização de um empréstimo de R$ 8.000,00 por três meses, havia duas possibilidades de sistema a considerar: juros simples a 5%a.m ou juros compostos a 4%a.m. Comparando os montantes obtidos nesses dois sistemas, é correto afirmar que o de juros simples é, aproximadamente, (A) inferior ao de juros compostos em R$ 300,00. (B) inferior ao de juros compostos em R$ 200,00. (C) igual ao de juros compostos. (D) superior ao de juros compostos em R$ 200,00. (E) superior ao de juros compostos em R$ 300,00. 3. (STM – Analista Judiciário – CESPE/2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$ 20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples. Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item subsequente. No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$ 100 menor que no regime de juros simples. ( )Certo ( )Errado 4. (TRANSPETRO – Engenheiro Junior – CESGRANRIO/2018) Uma empresa captou R$ 100.000 reais a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Ao cabo de seis meses no futuro, essa dívida terá um valor em reais, no presente, de (A) R$ 103.030 (B) R$ 104.060 (C) R$ 105.101 (D) R$ 106.000 (E) R$ 106.152 5. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. (A) 3,75 meses. (B) 3,5 meses. 64

(C) 2,7 meses. (D) 3 meses. (E) 4 meses. 6. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) (A) 15 (B) 12 (C) 10 (D) 9 (E) 6 7. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) = 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 8. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de Fábio, desprezando-se as casas decimais? (A) R$ 1.060 (B) R$ 1.061 (C) R$ 1.071 (D) R$ 1.029 (E) R$ 1.063 Comentários 1. Resposta: A C=100 i = 10%a.a = 0,1 t = 2 anos (taxa e tempo na mesma unidade, ok!) M=? M = 100.(1 + 0,1)² M = 100.1,21 = 121 reais 02. Resposta: D Nesta questão precisamos calcular o valor obtido no regime de juros simples e o valor obtido em juros compostos, para depois calcularmos. - Juros Simples M=? J=? C = 8000 i = 5%a.m. = 0,05 t = 3 meses J = 8000.0,05.3 = 1200 M = 8000 + 1200 = 9200 - Juros compostos M=? 65

C = 8000 i = 4% a.m. = 0,04 t = 3 meses M = 8000.(1 + 0,04)³ = 8000.1,04³ = 8998,12 Fazendo a variação entre os valores teremos 9200 – 8998,12 = 201,09, que aproximadamente será 200 reais, assim o sistema de juros simples será superior em 200 reais se compararmos com o regime de juros compostos. 03. Resposta: Certo Neste exercício devemos saber no regime de juros simples e no regime de juros compostos para então podermos compará-los. - Juros Simples C = 20000 i = 21%a.m. = 0,21 t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o tempo na unidade da taxa) t = 15/30 = ½ mês J = 20000.0,21 . 12 = 2100

- Juros Compostos C = 20000 i = 21%a.m. = 0,21 t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o tempo na unidade da taxa) t = 15/30 = ½ mês 1 M = 20000.( 1 + 0,21)

2 1

M = 20000.1,21

2

Muita atenção neste momento, pois o expoente é uma fração e para isto você deve lembrar de algumas = 1,1. 1

2

2

1 √

2

Prosseguindo, 1

M = 20000.1,21 M = 20000.√1,21 2

2

M = 20000.1,1 = 22000 Sendo de Juros = 22000 – 20000 = 2000 Portanto em juros simples = 2100 Juros compostos = 2000 Em juros simples é 100 reais maior que em juros compostos 04. Resposta: E Vamos captar as informações: M=? C = 100000 i = 1%a.m. = 0,01 t = 6meses M = 100000.(1 + 0,01)6 M = 100000.1,016 M = 100000. 1,06152 = 106152 reais

66

1,21

5. Resposta: A M=C(1+i)t 2C=C(1+0,2)t 2=1,2t Log2=log1,2t Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 6. Resposta: B M = C. (1 + i)t C = 45.000 i = 0,2 -------------------C = 135.000 i= 0,08 45. 000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 45. 000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 45. 000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 3 = (10/9)t log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t t = 0,48/0,04 → t = 12 7. Resposta: E M = C (1 + i) t 1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 1159,27 = 1000.1,03t ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03 t) 7,06 = ln1000 + ln 1,03t 7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 8. Resposta: B Juros Compostos M = 1000 .(1,02)^3 M = 1000 . 1,061208 M = 1061,20

Cálculos algébricos: expressões algébricas, operações,

Cálculo algébrico é aquele onde não se trabalha a resolução de problemas e sim onde diferenciamos, um monômio, binômio, trinômio, polinômio, e suas referidas operações elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras. Ex.: 2ax² + bx Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. Ex.: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y → 1² + 2 = 3; Portando o valor numérico da expressão é 3.

67

Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. Ex.: 4x Binômio: São as operações de adição e subtração entre dois monômios. Ex.: 4x + 5x Trinômio: São operações de adição e subtração entre três monômios. Ex.: 3x² + 3x + 4 Polinômio: É a soma ou subtração de monômios. Ex.: 4x + 2y Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis). Ex.: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z

→

são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal.

Adição e Subtração de Expressões Algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z Convém lembrar-se dos jogos de sinais. Na expressão:

Multiplicação e Divisão de Expressões Algébricas Devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 3) x (x² + y) = x³ + xy Obs.: Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplos: 1) 2)

4x² ÷ 2x = 2x (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4

3)

= Resolução:

Potenciação de monômios Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: I- (a . b)m = am . bm II- (am)n = am . n

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Veja alguns exemplos: (-5x2b6)2 aplicando a propriedade (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 = 25 . x4 . b12 = 25x4b12 Radiciação de monômios Na radiciação de monômios retiramos a raiz do coeficiente numérico e também de cada um de seus fatores, em resumo isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz. Exemplo A

raiz de √9

4 62

√9

4 6 2

→ √9. √ 4 . √ 6 . √ 2 → 3. 4:2. 6:2 . 2:2 → 3

2 3

Questões 1. (Pref. de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA) Assinalar a alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo: 2x(5x + 7y) + 9x(2y) (A) 10x + 14xy + 18yx (B) 6x² + 21xy (C) 10x² + 32xy (D) 10x² + 9y (E) 22x + 9y 2. (Pref. de Cipotânea/MG – Auxiliar Administrativo – REIS&REIS) Subtraia os polinômios abaixo: (-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) = (A) 2ab + a (B) a + b (C) ab + a (D) ab + 2a (E) -14ab 3. (Pref. de Trindade/GO – Auxiliar Administrativo – FUNRIO) Um aluno dividiu o polinômio (x − 5x + 6) pelo binômio (x − 3) e obteve, corretamente, resto igual zero e quociente (ax + b). O valor de (a − b) é igual a: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 2

4. Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5, então o valor de 2A – 3B é: (A) -7x² + 20x -9 (B) -7x² + 20x -15 (C) -9x² + 10x -9 (D) x² + 20x -9 (E) 4x² - 10x + 8 Comentários 1. Resposta: C. 2x (5x + 7y) + 9x(2y) 10x² + 14xy + 18xy 10x² + 32xy 02. Resposta: C. (-12ab + 6a) – (-13ab + 5a)

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= -12ab + 6a +13ab - 5a = ab + a 03. Resposta: D.

O Polinômio "x² -5x +6" é dividido por "x - 3" gerando o resultado de "x - 2", o termo que acompanha o "x" será o "a" e o que está sozinho será o "b", então: Se o quociente é (ax+b), temos que o quociente da nossa questão é x-2, como a questão pede (ab), que será a=1 e b= -2 --> (1 - (-2)) = 1+2 = 3 04. Resposta: A. Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5 Então, 2A = 2.( x² - 2x + 3) = 2x² - 4x + 6 3B = 3.(3x² - 8x + 5) = 9x² - 24x + 15. Assim 2A – 3B = 2x² - 4x + 6 – (9x² - 24x + 15) 2x² - 4x + 6 –9x² + 24x – 15 = -7x² + 20x -9

Produtos notáveis,

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação assim como iniciamos seu estudo nos casos de fatoração. Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis. Quadrado da Soma de Dois Termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrado da Diferença de Dois Termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. (a + b).(a – b) = a2 – ab + ab - b2 (a + b).(a – b) = a2 – b2

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Cubo da Soma de Dois Termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo da Diferença de Dois Termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. (a - b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2) (a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Quadrado da soma de três termos Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais o quadrado do terceiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais duas vezes o primeiro pelo terceiro, mais duas vezes o segundo pelo terceiro. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Questões 1. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – ZAMBINI) A forma fatorada da expressão 8y³ + 125 é: (A) (2y – 5) . (2y² + 25 – 10y) (B) (2y + 5) . (2y² + 25 – 10y) (C) (2y + 5) . (4y² – 25 + 10y) (D) (2y + 5) . (4y² + 25 – 10y) 2. (CASAL – Assistente Administrativo – COPEVE) Se x e y são números reais, então a expressão (x - y)2 é igual a (A) x2 + y2 . (B) x2 - y2 . (C) x2 + y2 + 2xy. (D) x2 + y2 - 2xy. (E) x2 - y2 - 2xy.

3. (Pref. de Canavieira/PI – Professor de Matemática – IMA) Assinale a alternativa que apresenta o valor de 12345² - 12344²: (A) 1 (B) 100 (C) 14679 (D) 24689 4. (SEE/MG – Professor de Matemática – FCC) Um aluno, ao efetuar o produto notável (a 3-8)2, obteve como resultado o trinômio a 9 - 16a3 + 64. Com base nessa resposta, está correto afirmar que esse aluno cometeu um erro no (A) sinal do 2° termo. (B) quadrado do primeiro termo. (C) quadrado do terceiro termo. (D) sinal do terceiro termo.

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5. (Cobra Tecnologia – Técnico Administrativo – Quadrix) Assinale a alternativa que contém o resultado da solução do produto notável a seguir. (5x-y)2 (A) 25x2-10xy-y2 (B) 25x2-5x2y2 +y2 (C) 25x2-5x2y2 - y2 (D) 25x2-10x2y2- y2 (E) 25x2-10xy+y2 Comentários 01. Resposta: D. Temos a soma de dois cubos. Que é dada por: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Observe que: 8=2³ 125 = 5³ Logo a = 2y e b = 5 Aplicando a fórmula temos: (2y)³ + (5)³ = (2y + 5). ((2y)² - 2y.5 + 5²) → (2y + 5).(4y² - 10y + 25) Reordenando conforme as alternativas temos: (2y + 5).(4y² + 25 - 10y) 02. Resposta: D Vamos desenvolver a expressão: (x – y)² = x² - 2xy + y² que é igual à x² + y² - 2xy 03. Resposta: D Neste caso teremos que pensar na diferença entre dois quadrados. (a – b).(a + b) = a² - b² 12345² - 12344² = (12345 + 12344).(12345 – 12344) = 24689.1 = 24689 04. Resposta: B Para resolver basta lembrar do caso do quadrado da soma. (a³ - 8)² = (a³)² - 2.a³.8 +8² = a6 – 16a³ + 64 Como ele escreveu a9 - 16a3 + 64 o que está errado foi no quadrado do primeiro termo. 05. Resposta: E Basta desenvolver o quadrado da diferença. (5x-y)2 = (5x)² - 2.5x.y + y² = 25x² - 10xy + y²

Fatoração,

Fatorar é transformar em produto, o que nos permite a simplificação de expressões algébricas na resolução de vários problemas cotidianos. Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que: - Seja equivalente à expressão dada; - Esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. Há diversas técnicas de fatoração, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis. Fator Comum Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. Observe os exemplos abaixo: 72

ax + ay = a (x + y) 12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2) Agrupamento Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe: ax + ay + bx + by = = a (x + y) +b (x + y) = = (a + b) (x + y) = Diferença de Dois Quadrados Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de dois quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas partes literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos: - Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; - Dividimos por dois os expoentes das literais; - Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. Por exemplo, a expressão a 2 – b2 seria fatorada da seguinte forma: √

2

–√

2

→ (a + b).(a – b)

Trinômio Quadrado Perfeito ou Quadrado Perfeito Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x 2 + 2)2. Trinômios quadrados perfeitos são todas as expressões da forma a 2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio do segundo grau, ax2 + bx + c (a ≠ 0), dizemos que: ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2) Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bháskara: ( , onde ∆ = b2 – 4ac) − ± √∆

=

Soma e Diferença de Cubos Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte desenvolvimento: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab + b2, obtemos a3 – b3. O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado. Exemplos a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Cubo Perfeito Dado pela fatoração abaixo: (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3

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Não podemos confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma de cubos a3 + b3. Não podemos confundir o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença entre cubos a3 - b3. Questões 1. (ENEM) Calculando 934.2872 – 934.2862 temos como resultado: (A) 1 868 573 (B) 1 975 441 (C) 2 (D) 1 (E) 10242 2. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente: (A) -1 e -1 (B) 0 e 0 (C) 1 e 1 (D) 1 e -1 (E) -1 e 1 3. (Faculdade Ibero-Americana) O valor de A real, para que se tenha (A) 2 (B) 3 (C) 30 . √3 = (2 + √3)3 − (2 − √3)3 é:

(D) (E)

√30 √20

4. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 05. (FEI) A fração (A) 0 (B) 185 (C) 932 - 922 (D) 1 (E) 185/2

2+

+

2 , qua nd o a=

93 e b= 92, é i gu al a:

3− 3

06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a: (A) a2 + 2 (B) 2a + 1 (C) a2 + 1 (D) 2a -1 (E) a2 7. (TRT 4ª Região - Analista Judiciário - FCC) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão (0,619 2 – 0,5992)x0,75 é: (A) 0,0018. (B) 0,015. (C) 0,018. (D) 0,15. (E) 0,18

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08. (Pref. Mogeiro/PB - Professor - EXAMES) Simplificando a expressão, (a² b + ab²). 13 − 13 12− 12

Obtemos: (A) a + b. (B) a² + b². (C) ab. (D) a² + ab + b². (E) b – a. 9. (TRT 24ª Região - Técnico Judiciário - FCC) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: O número de processos que arquivei é igual a 12,25 2 - 10,252. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: (A) X < 20. (B)20