EJE TEMÁTICO 5 - INTEGRALES - REGLAS DE INTEGRACIÓN

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EJE TEMÁTICO 5 INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN: CONCEPTO Y PROPIEDADES. INTEGRAL INDEFINIDA: REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Y RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA.

Lic. Daniel a Vivas Bioing. Luciano Schiaffino Prof. Mel isa Fernández Cra. Rom ina Mol ina Prof. Natalí Medina

EJE TEMÁTICO 5

INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

El cálculo diferencial tiene que ver con el problema de determinar la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra. Ahora comenzaremos con el estudio de la otra rama del cálculo conocida como cálculo integral. Aquí el interés radica precisamente en el problema opuesto: ¿si conocemos la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra, puede determinarse la relación entre las dos cantidades? La principal herramienta empleada en el estudio del cálculo integral es la antiderivada de una función y para ello se desarrollan reglas para la integración, como se le llama al proceso de determinar la antiderivada.

Definición: Una función F (x) es una antiderivada de f (x) sobre el intervalo I si F ´(x)  f ( x) para toda x en I. En otras palabras: Una antiderivada de f (x) es una función F (x) tal que: F ´(x)  f ( x)

Por ejemplo: F ( x)  x 2 es una antiderivada de f ( x)  2 x porque F ´(x)  2 x  f ( x) . Pero no es la única antiderivada de f ( x)  2 x ya que: F1 ( x)  x 2  1 , F2 ( x)  x 2 

1 , F3 ( x)  x 2  5 , 2

etc… también son antiderivadas de f ( x)  2 x . Esto se debe a que la derivada de una constante es cero, por lo tanto, F ( x)  x 2  C también es una antidervada, para cualquier constante C. Esto nos lleva a expresar que existe un número infinito de antiderivadas las cuales difieren en una constante. Entonces, como F ( x)  x 2  C describe a todas las antiderivadas de f ( x)  2 x , nos podemos referir a ella como la antiderivada más general, la cual se simboliza así:

 2 x.dx  x El símbolo



2

C

se llama símbolo de integración, 2 x es el integrando, C la constante de integración y

dx se llama diferencial de x e indica cuál es la variable de integración, en este caso la x.

Definición: La integral indefinida de cualquier función f (x) con respecto a x se escribe

 f ( x)dx

y hace referencia

a la antiderivada más general. Como todas las antiderivadas difieren en una constante, podemos decir:

1

EJE TEMÁTICO 5

INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Si F (x) es cualquier antiderivada de f (x) y C es una constante, entonces:

 f ( x)dx  F ( x)  C

si y sólo si F ´(x)  f ( x)

Reglas básicas de integración La siguiente tarea es desarrollar algunas reglas para determinar la integral indefinida de una función f (x) dada.

Regla 1: La integral de una constante

Sea K una constante, entonces:

 Kdx  K .x  C

Ejemplos: Encuentre: 1.  2dx  2.x  C 2.   2 dx   2 .x  C

Regla 2: La integral de una potencia x n 1 C Sea n  1, entonces:  x dx  n 1 n

Ejemplos: Encuentre x 31 1  C  x4  C 1.  x dx  3 1 4 3

2.



3



3

x 2 dx Reescribimos la función con potencias fraccionarias. 2 3

x 2 dx   x dx 

2 1 3

5 3

x x 3 C   C  . 3 x5  C 2 5 5 1 3 3

2

EJE TEMÁTICO 5

3.



2



x

1

dx

dx  

x

INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Reescribimos la función con potencias fraccionarias.

1 x

1 2



1 2

dx   .x dx 

x

1  1 2

1  1 2

C 

1 2

x  C  2. x  C 1 2

Regla 3: La integral de la función f ( x)  x 1 Esta función constituye el único caso excepcional en la integración de la función de potencia f ( x)  x n Cuando n  1

x

1

1 dx   dx  ln x  C x

Regla 4: La integral de una constante por una función

Sea c una constante, entonces:  c. f ( x)dx  c. f ( x)dx

Ejemplos: Encuentre x 31 1 1  C  2. x 4  C  x 4  C 1.  2 x dx  2. x dx  2. 3 1 4 2 3

2.  

3

3 dx x2

Reescribimos la función de potencia

3 x 21  3 1 3 2 2 dx   3 x dx   3 . x dx   3 . C  ..x  C   C 2    2 1 1 x x

 3.





2 x

2 x

dx

dx  

Reescribimos la función con potencias fraccionarias. 2



1 2



1 2

dx   2.x dx  2. x dx  2. 1

x2

x 

1  1 2

1 1 2

1

C 

2 2 .x  C  4. x  C 1 2

3

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Regla 5: La integral de una suma o de una diferencia

 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx Ejemplos: Encuentre x 21 x 11 1 1 1  2.  C  x 3  2. x 2  C  x 3  x 2  C 1.  ( x  2 x)dx   x dx  2. xdx  2 1 11 3 2 3 2

2

2.  (2.5 x 4  7 x 6 )dx

Reescribimos la función con potencias fraccionarias 4 5

4 6 6 5  (2. x  7 x )dx  2. x dx  7. x dx  2.

3.





x3 1 dx x2

4 1 5

x x 61 2 x7 10  7.  C  x 5  7.  C  . 5 x 9  x 7  C 4 9 6 1 7 9 1 5 5 9

Reescribimos la función

x3  1 x11 x 21 1 1 1 3 2 2 2 dx  ( x  1 ). x dx  ( x  x ) dx  x dx  x dx    C  x 2  x 1  C  x 2   C 2     x 11  2 1 2 2 x

4.

2   y .  y 

2 2 2 2 2 y 31 2 y 21 1 2 3 3  .  C  y4  y3  C dy   ( y  y )dy   y dy   y dy  3 3 3 3 1 3 2 1 4 9

Regla 6: La integral de una función exponencial

e

x

dx  e x  C

Ejemplos: Encuentre

1.  (3e x  x 2 )dx  3 e x dx   x 2 dx  3e x 

x 21 1  C  3e x  x 3  C 2 1 3

4

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

2 2.  (e x  )dx  (1)  e x dx  2 x 1 dx  e x  2 ln x  C x

Método de sustitución para integrales indefinidas La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x . Lo más importante en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada.

Pasos para integrar por cambio de variable o sustitución: 1. Llamamos u  g (x) , donde g (x) es parte del integrando y es normalmente la “función interna” de la función compuesta. 2. Determinamos du  g´(x)dx y despejamos dx 3.Utilizamos la sustitución u  g (x) y dx para convertir la integral inicial en una que involucre solamente u 4. Calculamos la integral resultante 5. Reemplazamos u por g (x) para obtener la solución final como una función de x

Ejemplos: Encuentre 1.  ( x  1) 20 dx Sustituyo, derivo y despejo: u  x  1 Reemplazamos u y dx en la integral :

du = dx

 ( x  1)

20

dx =

Resolvemos y expresamos en función de la variable x : Por lo tanto:  ( x  1) 20 dx =

u

20

du

u 21 1 21  u du  21  C  21 ( x  1)  C 20

1 ( x  1) 21  C 21

2.  3x 2 ( x 3  1) 3 dx Sustituyo, derivo y despejo: u  x 3  1

du  3x 2. dx 

du  dx 3x 2

5

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Reemplazamos u y dx en la integral :

 3x

2

( x 3  1) 3 dx   3 x 2 .u 3

Resolvemos y expresamos en función de la variable x : Por lo tanto:

 3x

2

( x 3  1) 3 dx 

3  u du 

du  3x 2

u

3

du

u4 1  C  ( x 3  1) 4  C 4 4

1 3 ( x  1) 4  C 4 1

3. Encuentre

2 2  x. x  5dx   x.(x  5x) 2 dx

u  x2  5

Sustituyo, derivo y despejo:

1

Reemplazamos u y dx en la integral :

du  dx 2x

du  2 x.dx 

2  x. x  5dx   x .u 2

1

du 1 2   u du 2x 2 3

1 u2 2 1 2 Resolvemos y expresamos en función de la variable x : u du  C  ( x 2  5)3  C  3 2 3 2 2 Por lo tanto:  x. x 2  5dx  ( x 2  5) 3  C 3

4.  2 xe x dx 2

u  x2

Sustituyo, derivo y despejo:

Reemplazamos u y dx en la integral:

du  2 x.dx 

 2 xe

x2

dx   2 x .eu

Resolvemos y expresamos en función de la variable x : Por lo tanto: 5.

x

e

du  dx 2x

du  2x u

e

u

du

du  e u  C  e x  C 2

x x  2 xe dx  e  C 2

2

2x dx 1

2

Sustituyo, derivo y despejo:

u  x2 1

Reemplazamos u y dx en la integral:

x

du  2 x.dx  2x 2 x du dx    u 2x 1

2

du  dx 2x

1

 u du 6

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Resolvemos y expresamos en función de la variable x : Por lo tanto:

x

1

 u du 

ln u  C  ln x 2  1  C

2x dx  ln x 2  1  C 1

2

Integrales Definidas . El teorema fundamental del cálculo Este teorema, descubierto de forma independiente por Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra y Gottfied Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania, se llama el Teorema fundamental del cálculo.

Sea f (x) continua en el intervalo [a; b] :



b

a

f ( x)dx  F ( x)

b a

 F (b)  F (a)

donde F (x) es cualquier antiderivada de f (x) , es decir, F ´(x)  f ( x)

El número a es el límite inferior de integración, y el número b es el límite superior de integración. Geométricamente, el valor absoluto de la integral definida es igual al área comprendida debajo de la curva y  f (x) entre a y b.

Observar que: en la evaluación de la integral definida, la constante de integración "se anula". En general esto es verdad, si F ( x)  C simboliza una antiderivada de alguna función f (x) , entonces :

F ( x)  C a  [ F (b)  C ]  [ F (a)  C ]  F (b)  C  F (a)  C  F (b)  F (a) b

Ejemplos: Encuentre

 x3  1.  ( x  1) dx    x   3  1 2

2

2

1

 23   (1) 3  8 1    2     (1)    2   1  6 3  3   3  3

 x3  2.  (3 x  e ) dx   3.  e x   3  1 3

2

2

3.

1

1

(x  x 1

ln 2 

3

2



 



 33  e 3  13  e  27  e 3  1  e  26  e 3  e  43,37

x

1

1 2

2

1 x 1 1 1  ) dx   (  x 2 )dx  ln x    ln x    ln 2   ln 1  1  ln 2   0  1  x (1) 1  x 2 2 1 2

1

1  0,193 (Recordar que: ln 1  0 ) 2 7

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Método de sustitución para integrales definidas Veremos cómo evaluamos una integral definida utilizando el método de sustitución. Para ello haremos lo siguiente: 1. Determinar la integral indefinida asociada 2. Realizar la sustitución correspondiente y resolver la integral 3. Utilizar el resultado para evaluar la integral definida. Ejemplos:

4

1.

 x.

9  x 2 dx

0

La integral indefinida asociada es: Sustituyo, derivo y despejo:

 x.

9  x 2 dx

u  9  x2

du  2 x.dx 

du  dx 2x

Reemplazo y resuelvo la integral indefinida: 3 1 2

1

du 1 2 1 u2 1 2 1 2 x . 9  x dx  x . u  u du  .  C  . (9  x 2 ) 3  C  (9  x 2 ) 3  C   2x 2  3 2 2 3 3 2

Utilizo este resultado para evaluar la integral definida: 4

1 1 1   1  125 27 98 2 3  3  1 3  0 x. 9  x dx   3 (9  x )  0   3 . (9  16)    3 (9  0)    3 .125    3 .27   3  3  3 4

2

2

2.

 x.e

2 x2

dx

0

La integral indefinida asociada es: Sustituyo, derivo y despejo:

 x.e

2x 2

dx

u  2x 2

du  4 x.dx 

du  dx 4x

Reemplazo y resuelvo la integral indefinida:

 x.e

2x 2

dx   x.e u

2 du 1 u 1 1   e du  e u  C  .e 2 x  C 4x 4 4 4

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Utilizo este resultado para evaluar la integral definida: 2

2x  x.e dx  2

0

1 2 x2 e 4

2

0

2  2  1 1 1 1 1   .e 2.2    .e 2.0   .e8  .1  .(e8  1)  744,99 4 4 4  4  4

1

3.

x2 0 x 3  1 dx

La integral indefinida asociada es:

x2  x 3 1 dx

u  x3 1

Sustituyo, derivo y despejo:

du  3x 2 .dx 

du  dx 3x 2

Reemplazo y resuelvo la integral indefinida: x2 x 2 du 1 1 1 1 3 dx   x 3  1  u . 3x 2  3 . u du  3 .ln u  C  3 .ln x  1  C

Utilizo este resultado para evaluar la integral definida: 1

x2 1 1 1 1 1  1  1  1 3 3 3 0 x 3  1 dx   3 .ln x  1  0   3 ln 1  1    3 .ln 0  1   3 .ln 2  3 ln 1  3 .ln 2  3 .0  3 .ln 2 1

(Recordar que ln 1  0)

1

4.  (1  x).e 2 x x dx 2

0

La integral indefinida asociada es:  (1  x).e 2 x  x dx 2

u  2x  x 2

Sustituyo, derivo y despejo:

du  2  2 x.dx 

du  dx 2.( x  1)

Reemplazo y resuelvo la integral indefinida:

 (1  x).e

2 x x 2

dx   (1  x).e u .

2 du 1 1 1   e u du  e u  C  e 2 x  x  C 2.( x  1) 2 2 2

Utilizo este resultado para evaluar la integral definida: 1

 (1  x).e 0

1

2 x x2

2  2  2  1 1 1 1 1 1 1 1 dx   e 2 x  x    e 2.11    e 2.00   e 3  e 0  e 3  .1  .(e 3  1)  9,54 2 2 2 2 2 0 2  2  2

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN

Aplicaciones de la integral definida

La integral definida como una medida de cambio neto En las aplicaciones reales, a menudo se está interesado en el cambio neto de una cantidad sobre un período. El cambio neto en una función f (x) sobre un intervalo [a, b] está dado por: b

f (b)  f (a)   f ´( x) dx a

siempre que f ´(x) sea continua sobre [a, b].

Ejemplo 1: Suponga que P es una función que da la población P(t ) de una ciudad en un momento t. Luego, el cambio neto en la población sobre el período desde t  a t hasta t  b está dado por: P(b)  P(a) , es decir, Población en t  b menos la población en t  a

Si P tiene una derivada continua P´(t ) en [a, b], entonces se puede recurrir al teorema fundamental del cálculo al escribir: b

P(b)  P(a)   P´(t ) dt a

En consecuencia, si se conoce la tasa de cambio de la población en cualquier momento t, entonces se calcula el cambio neto en la población desde t  a hasta t  b al calcular la integral definida adecuada.

Por ejemplo: El condado de Clark en Nevada, dominado por Las Vegas, es el área metropolitana de más rápido crecimiento en Estados Unidos. Desde 1970 hasta 2000, la población ha crecido a una tasa de

R(t )  133,68t 2  178,788.t  234,633

con 0  t  3

personas por década, donde t  0 corresponde a principios de 1970. ¿Cuál fue el cambio neto en la población de la década desde 1980 hasta 1990?

Solución: El cambio neto en la población en la década desde 1980 ( t  1 ) hasta 1990 ( t  2 ) está dada por: P(2)  P(1) , donde P expresa la población del condado en el momento t. Pero P´(t )  R(t ) , y, por lo tanto:

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN 2

 133,68 3 178,788 2  P(2)  P(1)   P´(t ) dt   R(t )   (133,68t  178,788t  234,633) dt   t  t  234,633 .t   2  3 1 1 1 1 2

2

2

2

(44,56.2 3  89,394 .2 2  234,633 .2)  (44,56.13  89,394 .12  234,633 .1)  278,371 Por lo tanto, el cambio neto es 278,371.

Ejemplo 2: La gerencia de una empresa ha determinado que la función del costo marginal diario asociada con la producción de un producto está dada por; C ´(x)  0,000006 x 2  0,006 x  4 , donde C ´(x) se mide en dólares por unidad y x denota el número de unidades producidas. La gerencia también ha determinado que el costo fijo diario en la producción de estos productos es U$100. Determine el costo total diario de la empresa al fabricar: a) las primeras 500 unidades. b) la unidad 201 hasta la unidad 400

Solución:

a) Como C ´(x) es la función del costo marginal, su antiderivada C´(x) es la función del costo total. Ya que el costo fijo diario está dado como U$S 100, obtenemos C (0)  100 . Se requiere que determinemos C (500) Calculemos C (500)  C (0) , es decir, el cambio neto en la función del costo total C(x) sobre el intervalo [0, 500]. Al utilizar el teorema fundamental del cálculo tenemos que:

500

C (500 )  C (0) 

 0

500

 0,000006 3 0,006 2  (0,000006 x  0,006 x  4)dx   x  x  4x   3 2  0 2

(0,000002 .(500 ) 3  0,003 .(500 ) 2  4.500 )  (0,000002 .0 3  0,003 .0 2  4.0)  250  750  2000  1500

Pero C (500)  C (0)  1500  C (500)  1500  C (0)  1500  100  1600

Por lo tanto, el costo total diario de la empresa al fabricar 500 productos es de U$S 1600.

b) El costo total diario para fabricar de 201 a 400 unidades del producto está dado por: 11

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INTEGRALES – REGLAS DE INTEGRACIÓN 400

 0,000006 3 0,006 2  C (400 )  C (200 )   (0,000006 x  0,006 x  4)dx   x  x  4x   3 2   200 200 400

2

(0,000002 .(400 ) 3  0,003 .(400 ) 2  4.400 )  (0,000002 .(200 ) 3  0,003 .(200 ) 2  4.200 )  1248  696  552

Por lo tanto, el costo total diario para fabricar de 201 a 400 unidades es de U$S 552.

Ejemplo 3: Un estudio de eficiencia realizado por Elektra Electronics mostró que la tasa a la que los walkietalkies Space Commander son ensamblados en t horas promedio por trabajador, después de iniciar labores a las 8 a.m. está dada por la función:

f (t )  3t 2  12t  15 con 0  t  4 Determine cuántos walkie-talkies promedio pueden ser ensamblados por trabajador en la primera hora promedio del turno matutino.

Solución: Sea N (t ) el número de walkie-talkies promedio por trabajador en t horas después de iniciar el turno matutino. Entonces, tenemos: N´(t )  f (t )  3t 2  12t  15 y el número promedio de unidades ensambladas por trabajador en la primera hora del turno matutino es: 1

  3 3 12 2  N (1)  P(0)   N´(t ) dt   f (t )   (3t  12t  15) dt   t  t  15.t   2  3 0 0 0 0 1

1

1

2

(( 1).13  6.12  15.1)  (( 1).0 3  0 2  15.0)  20

Por lo tanto, el número promedio de unidades ensambladas por trabajador en la primera hora del turno matutino es de 20 unidades

12