El plano cartesiano - Parte 1

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CLASE 11: LOS EJES CARTESIANOS. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. PUNTO EN EL PLANO. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

- HOLA A TODOS! – Hasta ahora, aunque ustedes no lo crean, sólo hemos abordado temas relacionados con la operatoria básica de la ciencia matemática. Llegó el momento de empezar a construir. ........................alumnos buscando el libro..................................

EL PLANO CARTESIANO El número, como ente primitivo, nos sirve para describir cuantitativamente. ¿Cuánto tengo, debo, vendí,...? Pero no nos permite ubicarnos en el entorno físico, ni describir figuras o cuerpos.... Hace falta más... En esta unidad comenzaremos a “describir” nuestro entorno, simplificándolo en un plano. Ahora bien, ¿cuántos datos debemos dar para la ubicación de un punto cualquiera de una habitación, por ejemplo?

Supongamos que están parados en la esquina de un parque, donde está la entrada principal, y les decimos que los esperamos 3 cuadras parque adentro. Lo primero que preguntarían sería, ¿tres cuadras “derecho”?, y ¿“derecho, en qué dirección”?

Un único dato no alcanza para encontrarnos en ese “plano” (parque). Pero podríamos decirles: caminen 1 cuadra en una dirección, y 2 cuadras en otra... ¿Sería suficiente? Definitivamente el encuentro se postergaría hasta obtener más datos, datos que indiquen por ejemplo: caminen 1 cuadra hacia el norte y 2 hacia el este...( ¿no les había pedido para esta clase que traigan la brújula...?)

Como la matemática todo lo modeliza y lo simplifica, ubica los puntos del plano (el parque) en una cuadrícula, tomando dos ejes perpendiculares “principales” llamados ejes coordenados ( ejes cartesianos), que se cortan en un “centro” llamado ORIGEN (el monumento a San Martín, seguro), de modo que inmediatamente quedan ubicados todos los puntos del plano, siguiendo las direcciones que marcan esos ejes.

En general, se los ubica con orientaciones vertical (sur-norte) y horizontal (oesteeste), de modo que si queremos decirles en qué punto del parque nos encontramos, bastará decir cuánto caminar en cada dirección a partir del monumento “origen”.

Simplificando aún más: el sur y el oeste son negativos y el norte y el este, positivos. Otra simplificación: primero decimos lo que caminamos en horizontal, y luego, lo que caminamos en vertical. (1)

De modo que caminar –2 cuadras y luego 3 cuadras, es caminar desde el monumento: hacia el oeste 2 cuadras y luego 3 hacia el norte. - POR FIN NOS ENCONTRAMOS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ¿Cómo que no me querían ver? -

IMPORTANTE: Respetar el código de signos y el ORDEN, especificado en (1), es lo que les permite llegar al punto de encuentro.

Prueben caminar primero –2 cuadras en vertical y 3 en horizontal, a ver si nos ven.

Seguimos simplificando la cosa: al eje horizontal (primera dirección a nombrar) lo llamaremos “eje x”, mundialmente conocido también como eje de abscisas. El eje vertical (segunda dirección a nombrar), se llama “eje y” o eje de ordenadas.

Para establecer el orden que permite hallar un punto del plano, lo que caminamos sobre el eje x (a partir de ahora “el valor de x”) y lo que caminamos sobre el eje y (a partir de ahora “el valor de y”), se anotan “ordenadamente” en un nuevo elemento matemático llamado “par ordenado”. Cada par ordenado designa un único punto de nuestro plano.

NOTACIÓN: (a, b) : desde el origen seguimos a unidades en la dirección del eje x, y luego b unidades en la dirección del eje y, obteniendo un punto P del plano. Por supuesto llegamos al mismo punto si voy primero b unidades en el eje “y”, y luego a unidades en x, pero al ordenar el par se cuántas unidades debo moverme en cada dirección. a y b son las “componentes” o “coordenadas” del par ordenado.

GRAFICANDO EN EL PLANO Dada una recta, podemos marcar en ella puntos, segmentos y semirrectas. Dado el plano, podemos pintar LA MONA LISA. (Estamos totalmente influenciados por El Código Da Vinci, si no lo leyeron, ya tienen lectura de vacaciones…) Las posibilidades se incrementan notablemente... Vamos a graficar conjuntos: 1. P(-3,4) , punto del plano.

2. A = {x  R / x= 2} ¿Qué estamos graficando? Los números reales que son solución de la

ecuación:

x=2.

O sea, en la recta numérica, 2 y -2.

3. B = [-1, 7] , otra vez la recta numérica, debemos graficar el intervalo. Resaltando el segmento que va del –1 al 7, con los extremos incluidos. ¿Qué estamos graficando? A ver qué les parece: - 1  x  7, o sea x  1  x  7.

O sea que el segmento representa el conjunto solución de un sistema de inecuaciones (sistema porque no es una inecuación, sino la combinación de dos), por supuesto, con una incógnita.

TODA GRÁFICA SOBRE LA RECTA, REPRESENTA EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE ALGUNA ECUACIÓN O INECUACIÓN “DE UNA INCÓGNITA” (O DE UN SISTEMA DEL MISMO TIPO).

Observemos los siguientes conjuntos:

4. A = {(x, y)/ x R  y  R  x2 + y2 = 0}

¿Podemos graficar en la recta el conjunto A? Como queremos el conjunto de pares ordenados, debemos ubicarlos en su lugar de existencia: EL PLANO. ¿Cuáles son los puntos que verifican la condición? A = {(0, 0)} El conjunto A tiene un único elemento. El par ordenado (0, 0) , o sea que en nuestra gráfica se resaltará el origen. Acabamos de dibujar la solución de la ecuación x2 + y2 =0, ecuación con dos incógnitas. NOTA: Así como la recta numérica se identifica con R, conjunto de reales, el plano, conjunto de pares ordenados, se identifica con

R 2 y se lee R dos o R cuadrado.

5. B = {(x, y)  R2 / x < 2  y = 5}

YA ESTÁN DIBUJANDO....

A ver, debo graficar el plano, y buscar los pares (x, y) que tengan ordenada 5 y abscisa menor que 2.

La semirrecta es “abierta” en B. O sea que haremos círculo blanco para marcar dicho punto o bien un paréntesis.

6.

Observar que se pide graficar puntos del plano, aunque no hay condición (restricción) para y. O sea que y puede ser cualquiera, entonces…

La banda oscura representa todos los puntos del plano cuya abscisa está entre -3 y 3, mientras y puede tomas cualquier valor. Los bordes punteados por ser menor estricto, si fuera menor o igual serían rectas “llenas”.

Del mismo modo, pueden identificar esas ecuaciones, inecuaciones y sistemas en los ejemplos del libro: Precálculo: de la pág. 121: ejemplos 2, 3 y 4. Alg…: pag. 169, ej. 2, 3 y 4.

Ya que están ahí sin hacer nada, grafiquen: C = {(x, y) / x  Z, y  Z  x < 2 , y = 5} ¿Coincide el gráfico con la semirrecta del conjunto B del principio?

.......................................................

¿Por qué?

......................................................... ESO!!!!!!!!!!!!!! Ahora la gráfica es un conjunto de infinitos puntos, pero distanciados en una unidad: están el (1, 5), el (0, 5), el (-1, 5), etc., y no están aquellos cuya abscisa no es un número entero.

Concluyendo....

TODA GRÁFICA EN EL PLANO, REPRESENTA EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN O INECUACIÓN CON 2 INCÓGNITAS (O UN SISTEMA DE ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS)

Ahora al texto, que es fácil y dice todo lo que hay que decir… Precálculo: pag. 127: distancia entre dos puntos, ecuación de la circunferencia y fórmula del punto medio. Alg…:pag. 170: distancia y punto medio. Pag. 174 y 175. Circunferencia. Por favor: donde dice círculo ustedes leen circunferencia. (el círculo es, para nosotros el conjunto de puntos interiores a la circunferencia!!!)

Bueno, no creo que tengamos más que Zill para decirles de distancia entre 2 puntos, punto medio de un segmento o ecuación de la CIRCUNFERENCIA. La circunferencia se define mediante una ecuación: “es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante” (ver deducción en el texto, a partir de la distancia de los puntos al centro): (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , circunferencia de centro C(a, b) y radio r (la constante mencionada en la definición). Esta expresión, que en texto se denomina estándar y nosotros llamamos canónica, no es la única forma de expresar una circunferencia. Si en dicha expresión desarrollamos los cuadrados indicados y asociamos todo lo que es “numérico”, obtenemos algo así:

x 2  2ax  a 2  y 2 2by  b 2  r 2  x 2  y 2  Ax  By  C  0 Reemplazamos -2a = A (puede que a sea positivo o negativo, pero -2a es un número real), también -2b = B , y luego pasamos restando el radio al cuadrado y asociamos bajo el nombre de C a todo lo numérico. Es la llamada forma general de la circunferencia.

El círculo es la figura plana cuya “frontera” es una circunferencia y se define mediante una inecuación: “es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es menor o igual que una constante”: (x – a)2 + (y – b)2  r2 .

Bueno, pasemos a algunos ejemplos:

Para empezar, algunos son para hacer solos con algunas pistas, otros con nosotros: 1. Investigar si el triángulo de vértices A(0,2), B(-3,-1) y C(-4,3) es isósceles. Pista: Si es isósceles, qué relación hay entre sus lados? 2. Encontrar un punto que esté sobre el eje y, que equidiste de los puntos (5,-5) y (1,1). Pista: Si el punto (llamémoslo P), está sobre el eje y, ¿qué forma tiene el par ordenado que lo representa?: P(0,y). Observen que hay una sola incógnita para averiguar. ¿Qué significa que equidista de (5,-5) y de (1,1)? D[P,(5,-5)]=D[P,(1,1)] 

(5  0) 2  (5  y ) 2  (1  0) 2  (1  y ) 2

Todos saben resolver esta ecuación de modo que siguen solos. NOTA IMPORTANTE: en este ejercicio viene muy bien leer en el apéndice de consulta: mediatriz de un segmento (créannos, viene muy bien al caso, y les da otra forma de encarar este ejercicio, que por otro lado ya usaremos…) 3. Determinar la ecuación de una circunferencia si un diámetro tiene por extremos P(-1,3) y Q(7,-5). Pistas: ¿Dónde está ubicado el centro? ¿Cómo puede obtenerse el radio? Siempre que puedan grafiquen, el gráfico ayuda a imaginar…

4. Obtener si es posible la forma canónica: 16x2 + 16y2 + 8x + 32y + 1 = 0

Debemos encontrar en esta expresión, los rastros de la suma de dos binomios al cuadrado, para llegar a la forma: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, que desarrollando es: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 (2) Dado que tanto el polinomio en x como el de y tienen coeficiente principal 1, sería bueno dividir todo por 16 y asociar los términos en x, y los términos en y:

Observar que, para que realmente la ecuación sea la de la circunferencia, la suma de cuadrados debe igualarse a un número, que es el radio al cuadrado, y por lo tanto positivo (en este caso: 1). Si no lo fuera, no es una circunferencia, pues no hay puntos que verifiquen que la suma de cuadrados reales sea negativa.

5. ¿Bajo qué condiciones de a, b, c , d y e la ecuación

ax 2  by 2  cx  dy  e  0 (1) representa una circunferencia? Observar que, para empezar, la resolución anterior fue posible porque al dividir por 16, quedó coeficiente principal 1 en el polinomio en x, quedando también 1 en el de y; caso contrario, no hubiéramos podido seguir adelante, o sea que para empezar, debemos pedir que el coeficiente principal en ambas incógnitas, sea el mismo, o sea : a = b. (En unidades posteriores, veremos qué se obtiene si esto no sucede). Como a = b, dividimos todo por a y obtenemos:

x2  y2 

c d e x  y   0  x 2  y 2  Cx  Dy  E  0 a a a

Sólo poniendo un nombre a cada cociente que, después de todo no deja de ser un número real. Ahora debiéramos completar cuadrados, y armar los binomios, si lo hacen llegan a: 2

2

C  D C 2 D2  , donde la expresión de la derecha debe ser   x     y    E  2  2 4 4  mayor que cero, pues: el resultado de la suma de los binomios al cuadrado no puede ser 0, pues nos remitiríamos a un punto (verificarlo resolviendo la ecuación: (x +1)2 + (y-3)2 = 0), y tampoco puede ser negativo, porque la suma de cuadrados es siempre mayor o igual que 0... 6. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (1,-2) que pasa por el punto (2, 1). Como el centro es un dato, conviene expresar la circunferencia en forma canónica, que es aquélla en que el centro está a la vista. La circunferencia buscada tendrá la forma:

( x  1) 2  ( y  2) 2  r 2 , donde la única incógnita es el radio. Pero, si pasa por (2,1), entonces al reemplazar x por 2 e y por 1, la ecuación debe verificarse, y así obtendremos r2 , que es lo que necesitamos.

- BUENO, SE VIENE EL CAFECITO... -

SI NO HAY DUDAS NO HAY ESTUDIO.

Y como hace mucho que no les dejábamos un mensaje de despedida...:

“Prefiero que mi mente se abra movida por la curiosidad, a que se cierre movida por la convicción”. Spence

- HASTA LA PRÓXIMA.