Enviando MATEMÁTICA NOVO ENSINO MÉDIO

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SERIE NOVO ENSINO MEDIO

SERIE 5,1 3 NOVO 'D ENSINO MEDIO ;5'

385 exercicios resolvidos 880 exercicios propostos •

ESPECIAL Provas do ENEM

'I 00 Questoes de Vestibular

De acordo corn as Diretrizes Curriculares Nacionais pars o Ensino Medic)

Corn Manual do Professor no final do livro

eQ

editora &tea

Carlos Alberto Marcondes dos Santos Professor adjunto de Matematica da Universidade Mackenzie

Nelson Gentil Doutor em Matematica pela Universidade Mackenzie Ex-professor da Universidade Mackenzie e da Universidade Sao Francisco

Sergio Emilio Greco Diretor de escola da rede estadual de ensino de Sao Paulo; professor do Colegio Mackenzie Nosso especial agradecimento a Antonio Carlos Greco e Antonio Belloto Filho Co-autores da colecao Matematica para o 2° grau, em tres volumes, pela autorizacao de use de originals que juntos escrevemos.

Editor: Joao Guizzo Coordenacao da edicao: Carmen Silvia Rela Matricardi Edicao de texto: Henrique Silveira Neves Lidia Angela La Marck Nelson Arbach Pesquisa iconografica: Etoile Shaw Silvio Kligin Revisao: Celia da Silva Carvalho Heha de Jesus Gonsaga (coord.) Marise Simbes Leal Nanci Ricci Projeto grafico e edicao de arte: Margarete Gomes Rivera Editoragao eletronica: Wander Camargo da Silva Capa: Homem de Melo & Troia Design impressao e acabamento W. Roth - (011) 6436-3000

ISBN 85 08 07381 X

or

ABDR tern° EDITOR& AFILIADA

2000

Todos os direitos reservados pela Editora Atica Rua Bare° de Iguape, 110 —CEP 01507-900 Caixa Postal 2937 — CEP 01065-970 Sao Paulo —SP Tel.: OXX 11 3346-3000 — Fax: OXX 11 3277-4146 Internet: http://www.atica.com.br e-mail: [email protected]

Apresentacdo A crescente velocidade das mudancas tecnologicas e o conseqiiente surgimento de novas exigencias no mercado de trabalho tem levado os profissionais da Educacilo a redimensionar o contegdo programitico de suas obras e reestruturar suas formas de apresentacao. Este livro a resultado de criteriosas pesquisas efetuadas ao longo de muitos anos de trabalho no ensino medio e permite ao professor desenvolver o maior numero de temas possivel dentro da carga hordria destinada ao ensino de Matemdtica. Alem disco, a divisiio do conteado em modulos – nos quaffs os assuntos sao tratados corn o aprofundamento adequado ao ensino medio e a linguagem é clara e direta – fadlita o planOmento do professor e dd condicdes ao aluno de organizar melhor seus estudos e pesquisas. 0 volume unico é outra vantagem indiscutivel, nab so do ponto de vista economic°, mas sobretudo do ponto de vista diddtico-pedagogico, pois possibility ao professor adotar a ordem dos assuntos que julgar conveniente ao melhor aproveitamento de seus alunos. Quanto a nova filosof a do ensino no pals, que dd enfase ao entendimento dos conceitos apresentados e sua contextualizacao, procuramos segui-la em todos os aspectos possIveis. A contextualizacdo visa retirar o aluno da condicdo de espectador passivo, estabelecendo relaciio entre o que ele aprende na escola e a sua vida (seu corpo, seu cotidiano, as prdticas politicas, culturais e de comunicavlo da sociedade em que vine, etc). Nesse sentido, fizemos constar dente livro doze secoes intituladas Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade, para fazer o aluno "ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade", propiciando-lhe uma leitura global do mundo, em que as disciplinas e os conhecim'entos se inter-relacionam. Essas doze secoes silo as seguintes: • 0 ultimo Teorema de Fermat; • Entenda na prdtica o conceito de funceio composta; • Os graficos na Economia — Antecipando a nociio de Geometria analltica; • Tres exemplos de aplicacdo prdtica da funcao exponencial — As tdbuas de logaritmos; • Logaritmos e terremotos; • Sete exemplos de aplicaCdo prdtica das progressdes; • Saiba como calcular o estoque de uma rede de livrarias — Saiba como calcular suas medics; • Matrizes, sistemas lineares, eletricidade e livros; • Os grdficos e o nosso dia-a-dia; • A EstatIstica nos jornais; • Geometria analitica e Economia; • Aprenda a generalizar. Finalmente, queremos agradecer a todos aqueles que, corn suas valiosas criticas e sugestoes, colaboraram para que esta obra se tornasse realidade. Os Autores

Sumario Parte I MODULO 1 MODULO 2 MODULO 3 MODULO 4 MODULO 5

MODULO 6 MODULO .7 MODULO 8 MODULO 9 MODULO 10 MODULO 11 MODULO 12 MODULO 13 MODULO 14 MODULO 15 MODULO 16 MODULO 17 MODULO 18 MODULO 19 MODULO 20 MODULO 21 MODULO 22 MODULO 23

MODULO 24 MODULO 25 MODULO 26

MODULO 27 MODULO 28 MODULO 29 MODULO 30 MODULO 31 MODULO 32 MODULO 33 MODULO 34 MODULO 35 MODULO 36 MODULO 37 MODULO 38

Revisao: Produtos notaveis e fatoracao Revisao: Equagao do P grau Revisao: Sistemas de equacOes do P grau corn duas variaveis Revisao: Equacao do 2 2 grau Revisao: Sistemas de equacOes do 2Q grau corn duas variaveis e equacito irrational Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ 0 ultimo Teorema de Fermat Conjuntos Operacees corn conjuntos Numero de elementos da uniao de conjuntos Conjuntos numericos Conjuntos: Intervalos Sistema cartesiano ortogonal Produto cartesiano RelagOes FuncOes: Definicao FuncOes: Notacao e valor numerico Dominio, imagem e contradominio de uma funcao Grafico de uma funcao Reconhecimento de uma funcao atraves do grafico Yuma° crescente e funcao decrescente Funcao composta Tipos de uma funcao (I) Tipos de uma funcao (II) Funcao inversa Contextos, aplicacoes, interdisciplimuidade ■ Entenda na pratica o conceito de funcao composta Funcao constante e funcao polinomial do IQ grau Coeficientes da funcao polinomial do 1 grau Estudo do sinal da funcao polinomial do IQ grau Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ Os graficos na Economia ■Antecipando a noca,"o de Geometria analitica Inequaca,o-produto do 1Q grau Inequacao-quociente do 1Q grau Puma() quadratica (I) Funcao quadratica (II) Funcao quadratica (III) Sinal da funcao quadratica Inequacao do 2Q grau Inequacao-produto e inequacao-quociente do 2 9 grau Funcao definida por varias sentencas Modulo e equacOes modulares InequacOes modulares e funcao modular Revisao de potenciacao e radiciacao

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 65 66 68 70 74 76 78 80 82 84 86 88 90

Sumario

MODULO 39 MODULO 40

MODULO 41 MODULO 42 MODULO 43 MODULO 44 MODULO 48

MODULO 46 MODULO 47 MODULO 48 MODULO 49 MODULO 50 MODULO 51 MODULO 52 MODULO 53 MODULO 54 MODULO 55

MODULO 86 MODULO 57

5

Equageo exponencial A11100 exponencial Contextos, aplicapoes, interdisciplinaridade ■ Tres exemplos de aplicagao pratica da fungao exponencial ■ As tabuas de logaritmos Inequaga° exponencial Logaritmos: Definigeo. Logaritmos: Consecaencias da definigao Propriedades dos logaritmos Logaritmos: Mudanga de base Contextos, aplicagoes, interdisciplinaridade ■ Logaritmos e terremotos Fungao logaritmica Equagees logaritmicas Inequagees logaritmicas Sequencia — Progressao aritmetica (I) Progressao aritmetica (II) Progressao aritmetica (III) Progressao geometrica (I) Progressao geometrica (II) Progressao geometrica (III) Progressao geometrica (IV) Contextos, aplicapoes, interdisciplinaridade • Sete exemplos de aplicageo pratica das progressOes Matematica financeira: Porcentagem e juros simples Matematica financeira: Juros compostos

130 132 134

RelagOes metricas no triangulo retangulo Razoes trigonometricas no triangulo retangulo (I) Razbes trigonometricas no triangulo retangulo (II) Arcos e angulos (I) Arcos e angulos (II) Circunferencia trigonometrica Amos trigonometricos e arcos congruos Fungoes trigonometricas: Seno de urn arco Fungoes trigonometricas: Grafico da fungeo seno (y = sen x) FungOes trigonometricas: Cosseno de urn arco FungOes trigonometricas: Gratin() da fungal° cosseno (y = cos x) Fungoes trigonometricas: Tangente de urn arco Fungoes trigonometricas: Fungao tangente FungOes trigonometricas: Grano° da fungaz tangente Fungdes trigonometricas: Cotangente de um arco Fungdes trigonometricas: Fungao cotangente Fungees trigonometricas: Grefico da fungeo cotangente Fungdes trigonometricas: Fungao secante e lunge° cossecante RelagOes trigonometricas fundamentals Relagees trigonometricas: Reduce° ao lg quadrante Fungoes trigonometricas: Fungao par e fungeo impar Arcos trigonometricos: Soma e diferenga (I) Arcos trigonometricos: Soma e diferenga (II) Arcos trigonometricos: Arco duplo Arcos trigonometricos: Transformageo em produto

136 138 140 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186

92 94 96 97 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128

Parte II MODULO 58 MODULO 89 MODULO 60 MODULO 61 MODULO 62 MODULO 63 MODULO 64 MODULO 65 MODULO 66 MODULO 67 MODULO 68 MODULO 69 MODULO 70 MODULO 71 MODULO 72 MODULO 73 MODULO 74 MODULO 75 MODULO 76 MODULO 77 MODULO 78 MODULO 79 MODULO 80 MODULO 81 MODULO 82

-

6

Sumbrio

MODULO 83 MODULO 84 MODULO 85 MODULO 86 MODULO 87 MODULO 88 MODULO 89 MODULO 90 MODULO 91 MODULO 92 MODULO 93 MODULO 94

MODULO 95 MODULO 96 MODULO 97 MODULO 98 MODULO 99 MODULO 100 MODULO 101

MODULO 102 MODULO 103 MODULO 104 MODULO 105 MODULO 106 MODULO 107 MODULO 108 MODULO 109 MODULO 110 &MODULO 111 litmoDULO 112

ODULO 113 MODULO 114 WMODULO 115 MODULO 116

'MODULO 117 MODULO MODULO MODULO MODULO

118 119 120 121

'r 'MODULO 122 MODULO 123 &MODULO 124 MODULO 125 oDULO 126

EquagOes trigonometricas fundamentals (I) EquagOes trigonometricas fundamentals (II) EquagOes trigonometricas redutiveis ao 2g grau InequagOes trigonometricas Resolucao de triangulos quaisquer Teorema da area de urn triangulo Matrizes: Introdugao e notagao geral Tipos de matrizes Igualdade de matrizes e operagOes Multiplicagao de um mimero real por uma matriz Multiplicacao de matrizes Matriz inversa Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ Saiba como calcular o estoque de uma rede de livrarias • Saiba como calcular suas medias Determinantes Determinantes: Regra de Sarrus Sistemas lineares Sistemas lineares: Resolugao de sistemas normais Classificagao e discussao de urn sistema linear Sistemas lineares: Equivalentes e escalonados Sistemas lineares: Escalonamento Contextos, aplicacties, interdisciplinaridade ■ Matrizes, sistemas lineares, eletricidade e livros Analise combinatOria: Fatorial e principio fundamental da contagem Analise combinatoria: Arranjo simples, permutagao simples e combinagao simples Niimeros binomials: Definigao Niimeros binomials: Triangulo de Pascal BinOmio de Newton (I) BIM:1mi° de Newton (II) Probabilidade: Espago amostral Probabilidade: Definigao Probabilidade da uniao de eventos Multiplicagac de probabilidades Estatistica Contextos, aplicagoes, interdisciplinaridade ■ Os graficos e o nosso dia-a-dia Estatistica: Grafico de barras e grafico de setores Estatistica: Distribuigao de frequencias Estatistica: Media aritmetica Estatistica: Mediana e moda Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ A Estatistica nos jornais Area de figuras planas Area do circulo e de suas partes Poligonos regulares Geometria espacial de posigao: Conceitos primitivos e axiomas Geometria espacial de posigao: PosigOes relativas de duas retas e determinagao de urn piano Geometria espacial de posigao: PosigOes relativas de reta e piano Geometria espacial de posigao: Posigoes relativas de dois planes Geometria espacial de posigao: Projegao ortogonal, distancias e angulos Geometria espacial metrica: Poliedros Geometria espacial metrica: Prismas

188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 208 210 212 213 214 216 218 220 222 224 228 230 232 234 238 240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260 264 266 268 270 272 274 276 278 280 282 284 286 290

Sumario

MODULO 127 MODULO 128 MODULO 129 MODULO 130 MODULO 131 MODULO 132

Geometria espacial metrica: Geometria espacial metrica: Geometria espacial metrica: Geometria espacial marina: Geometria espacial metrica: Geometria espacial marina:

Paralelepipedo Cubo Cilindro Cones Piramides Esfera

7

lllll

iVi 296 298 302 306 310

Parte III MODULO 133 MODULO 134 MODULO 135 MODULO 136 MODULO 137 MODULO 138 MODULO 139 MODULO 140 MODULO 141 MODULO 142

MODULO 143 MODULO 144 MODULO 145 MODULO 146 MODULO 147 MODULO 148 MODULO 149 MODULO 150 MODULO 151 MODULO 152 MODULO 153 MODULO 154 MODULO 155 MODULO 156 MODULO 157 MODULO 158 MODULO 159 MODULO 160

MODULO 161 MODULO 162 MODULO 163 MODULO 164 MODULO 165 MODULO 166 MODULO 167 MODULO 168 MODULO 169

Geometria analitica: Introducdo Geometria analitica: Distancia entre dois pontos Geometria analitica: Raze° de seccao Geometria analitica: Baricentro de urn triangulo Geometria analitica: Condicao de alinhamento de tres pontos Geometria analitica: EquacOes da reta (I) Geometria analitica: Equacoes da reta (II) Geometria analitica: Coeficiente angular Geometria analitica: Representacao grafica e interseccan de retas Geometria analitica: Posicees relativas entre retas Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ Geometria analitica e Economia Geometria analitica: Perpendicularismo Geometria analitica: Angulo entre duas retas (I) Geometria analitica: Angulo entre duas retas (II) Geometria analitica: Distancia entre ponto e reta Geometria analitica: Area de urn triangulo Geometria analitica: Bissetrizes Geometria analitica: Inequacees (I) Geometria analitica: Inequacees (II) Geometria analitica: Equacao reduzida da circunferencia Geometria analitica: Equaca,"o geral da circunferencia Geometria analitica: Posicao de um ponto em relagao a uma circunferencia Geometria analitica: Posiceo de uma reta em relagao a uma circunferencia Geometria analitica: Condicoes de tangencia entre reta e circunferencia Numeros complexos: Introduce°, adicao e subtragao Niuneros complexos: Multiplicacao e divisao Niuneros complexos: Potencias de i e representacao grafica de urn numero complexo Forma trigonometrica ou polar de urn niimero complexo Conceito e formas de polinOmio Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade ■ Aprenda a generalizar Valor numeric° de urn polinemio Divisao de polinemios Divisao de polinemios por binemios do 1 4 grau (I) Divistin de polinemios por binomios do 1 4 grau (II) Divisao de polinOmios por bintunios do 1 4 grau (III) Equacees polinomiais: Introduce° Equagees polinomiais: Raizes (I) Equagees polinomiais: Raizes (II) EquacOes polinomiais: RelacOes entre coeficientes e raizes Provas do ENEM — Exams Nacional do Ensino Medio 100 Questoes de Vestibular Respostas Bibliografia Significado das siglas

312 314 316 318 320 322 324 326 330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350 352 354 356 358 360 362 364 366 368 370 372 374 376 378 380 382 386 388 390 392 395 399 407 424 424

Parte I MoDULO

1

Revisao: Produtos notaveis e fatoracao

Os modulos de 1 a 5 apresentam uma revisdo de alguns topicos estudados no ensino fundamental e que s'do muito importantes para o desenvolvimento do conteudo programatico do ensino medio (leia na pdgina 18 sobre a historia do ultimo Teorema de Fermat).

Produtos notAveis Sao produtos que aparecem corn muita freqUencia na resolucao de equacOes ou no desenvolvimento de expressOes. Vejamos alguns casos: a) (a + b) 2 = (a(a + b) = a 2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

c) (a + b)(a - b)

2 a= _ ab- + jys _ b2 = a 2 b 2

Ent-do, resumidamente:

= a2

a) (a 4.

2ab + b2

b) (a - b)2 = a' - 2ab + b2

c) (a + b)(a - b) = a 2 - b2

Fatoracao Fatorar uma expressao algebrica e transforms-la em produto. Vejamos alguns casos: lg CASO Fator comum em evidencia:

6x2 + 12x3z

-

10x4a = 2x2(3 + 6xz - 5x2a)

CASO Agrupamento:

xy + xz + ay + az = x(y + z) + a(y + z) = (y + z)(x + a)

3° CASO Diferenca de dois quadrados: x2 - y2 = (x + y)(x - y) 4° CASO Trinomio quadrado perfeito:

a) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

b) x2 _ 2xy + y2 =

y)2

LAs. 2•x•y

-2 • x • y

CASO Trinornio do 2° grau:

Sao expressOes da forma x 2 + Sx + P, em que S e P representam, respectivamente, a soma e o produto de dois numeros a e b tal que se pode escrever:

x2 + Sx + P = (x +

aXx + b)

-

-

MOdulo 1 ■ Revisal): Produtos notaveis e fatoracao

a) x2 + 7x + 12 = + 3)(x + 4)

S

b) x2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) S

P

:1144111111kii„:„.„

NOMMINNINV

9

c) x2 + 2x - =(x - 2)(x + 4)

P

S

_Exelialaifidaisolvidos

1. Desenvolva corn auxilio dos produtos notaveis: a) (2 + x)2

)2

b) (x -

c) (2E +

-

t)

2

Solucao: a) (2 + x)2 = 4 + 2 •2x+x2 =4+4x+ x2 1 b) (x - 7 c

2

)2 = x2 - 2x •

)(3+ 2

) (

3

1+(

T

= x2 - x

1 +T

41 (1) - ( ) = 2

2

2. Simplifique:

a)

x2 - 6x + 9 2 x -9

b)

x2 - 5x + 6 x2 - 6x + 9

Solucao:

a)

(x - 3)2

x2 -6x + 9

2 x -9

(x + 3)(x - 3)

-

x-3 x+3

b)

x2 - 5x + 6

(x - 2)(x - 3)

x-2

x2 - 6x + 9

(x - 3)2

x-3

Exercicios propostos 1. Desenvolva e simplifique:

f) x2 - 3x - 4 g) a4b2 - c4d2

a) (x - 3)2 b) (2x - 1)2

h) a3b + 2a2b2 + ab3 i) a2x2 - 2a2xy + a2y2

c) (x2a2

y2b2)(x2a2 - y2b2)

d) (2x + 3y)2 - (2x + 3y)(2x - 3y)

j) x2 - 6x + 9 1 4

I) y2 + y + —

e) (a + b)2 - (a + b)(a - b) f) (x - y)(x + y)(x2 + y2) 9) (x + y)2 - (x - y)2

3. Simplifique: a)

x2 - 8x + 16 x2 -16

2. Fatore: a) 12x3a3 + 18xa + 24x4a4 b) x4-y4

b)

1 c) x2 - x + — 4

c)

d) x2 - 16 e) x2 + x - 12

x2 - 6x + 9 x2 - 4x + 3 xa2 - xb 2 x2a + x2b

d)

xa + xb xa + xb - ya - yb

P

MODULI

Revisao: Equacao do 1 2 grau E toda equagdo do tipo ax + b = 0, corn a E R* e b E R. Para determinar o conjunto solugao (S) de uma equagao do lg grau, procedemos assim: ax + b = 0

ax = - b

Logo, S = {- 3 1.

1. Resolva as equacoes: a) (x + 1)(x - 1) - 2(x - 1) = (x b)

c)

x-1 4 2

5

x-9

1 -

3(x + 1), para U = R

2x - 1 x , para U = R 3 = 12 4

3

x2 - 6x + 9 2x2 - 18

Para U = R -{-3, 3}

Soluctio: a) (x + 1)(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1) 2 - 3(x + 1) 3x=-3

3x= 1 -3 + 1-2

x2

- + 2 =

- + 1 - 3x - 3

3 x=-- =-1 3

Como -1 E R, entao S = }-1}.

b)

x-1 4

2x - 1 - x --. 3 12

mmc(4, 3, 12) = 12 3(x - 1) - 4(2x - 1)

12 -6x = -1

x - 12

6x.= 1

3(x - 1) - 4(2x - 1) = x x=

1 6

1 1 Como — E R, entao S =- 1. 6 6 c)

5 2 x-9

4

x2 - 6x + 9

-

3

2x2 - 18

3x - 3 - 8x + 4 = x

3x - 8x - x = 3 - 4

MOdulo 2 ■ Revisao: Equacao do 1 2 grau

11

Determinando o mmc dos denominadores, temos: x2 - 9 = (x + 3)(x - 3) x2 - 6x + 9 = (x - 3) 2 2x2 - 18 = 2(x2 - 9) = 2(x + 3)(x - 3) mmc(x2 - 9, x2 - 6x + 9, 2x2 - 18) = 2(x + 3)(x - 3) 2 Asim: 5 • 2(x - 3) - 4 • 2( x + 3) 2(x + 3)(x - 3) 2

3(x - 3)

2(x + 3)(x - 3) 2

10x - 30 - 8x - 24 = 3x - 9

10(x - 3) - 8(x + 3) = 3(x - 3)

10x - 8x - 3x = -9 + 24 + 30

-x = 45

x = -45 E U = R - 1-3, 3 }

S = 1-451 2. Urn taxi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taximetro. Sabendo que cada quilometro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou ern R$ 52,00, calcule quantos quilOmetros foram percorridos. Solucao: Chamando de x o numero de quilometros percorridos, temos: 4 + 3x = 52 = 3x = 52 - 4 = 48 x = 16 Foram percorridos 16 km. 3. Se hoje urn rapaz tern 24 anos e seu pai 42, ha quantos anos a idade do pai foi o triplo da do filho? Solucao: Representando por x o numero de anos passados, temos: • idade do filho: 24 - x • idade do pai: 42 - x 42 - x = 3(24 - x) 42 - x = 72 - 3x 3x - x = 72 - 42 A idade do pai foi o triplo da de seu filho ha 15 anos.

2x = 30

x = 15

Exercicios propostos 1. Resolva, ern R, as seguintes equagoes:

a) 5(3x - 1) - 4(2 - 4x) = 2(x - 4)

2. Determine o numero cujo dobro subtraido de 20 unidades a igual a sua metade adicionada de 10 unidades.

b) 2x2 + x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 2(x + 1) 2 ,x x x —— — = 2(x - 1) 3 2 4 d) 1 4 e)

2x-1 2

2x - 3 3

3. Determine, em graus, as medidas dos angulos internos de um triangulo, sabendo que essas medidas sao representadas por numeros inteiros e consecutivos. (Lembrar que a soma das medidas dos angulos internos de urn triangulo é 180°.)

x+2 3

4x - 1 2

1 -x 4

5 1 4-x -x f) — + =0 x2 + x xx+1 ( x -1 ex 0) 5 _ 2x g) x - 1 x+1 x 6 ( x -1 ex 0)

x2 6x2 + 6x

4. Determine as dimens6es de urn retangulo, sabendo que seu perimetro mede 90 m e que a medida de urn lado e o dobro da nnedida do outro. (Lembrar que o perimetro de urn pollgono é a soma das medidas dos seus lados.)

M 6 ro u L o

Revisao: Sistemas de equagOes do P- 1 grau coin duas variaveis

3

Exercicios resolvidos 1. Resolva o sistema a seguir: 2x + 3y = 8 13x + 2y = 7 Solucao: Para resolver esse sistema usamos o metodo da adicao, procedendo da seguinte maneira: Inicialmente multiplicamos a primeira equacao por 3 (3 é o coeficiente de x na segunda equacao) e a segunda equacao por -2 (-2 é o coeficiente de x na primeira equacao corn sinal trocado): 2x + 3y = 8 [. 3] 3x + 2y = 7 [- (-2)]

f 6x + 9y = 24 1 -6x-4y=-14

Ern seguida, adicionamos membro a membro as equacoes do sistema: erX + 9y = 24 -ex - 4y = -14 10 5y = 10 y= — y = 2 5 Substituimos y = 2 ern uma das equacties: 2x + 3y = 8

2x + 3 • 2 = 8

2x + 6 = 8

2x = 2

x=1

Logo, S = {(1, 2)}.

Observago: 0 conjunto solucao de um sistema do 1 2 grau corn duas variaveis sera sempre representado pelos valores de x e y da seguinte maneira: S= {(x, y)1. 2. Urn retangulo tern 36 m de perimetro. Sabendo que a diferenca entre as medidas da base e da altura é 2 m, calcule a area desse retangulo. Solucao: x y

y x

2x + 2y = 36

x + y = 18

Se a diferenca entre as medidas da base e da altura a igual a 2 m, entao: x-y=2 Assim: fx+y= 18

Jx+y= 18 0

hc-y= 2

1x-y= 2 2x = 20

x = 10

Modulo 3 ■ Revisao: Sistemas de equagOes do 1 2 grau corn duas variaveis

13

Sex + y = 18 e x = 10, entao: 10 + y = 18

y=8

Lembrando que a area do retangulo e o produto da medida da base pela medida da altura, temos: A = 10 • 8 = 80 Portanto, a area desse retangulo mede 80 m 2 .

Exercicios propostos 1. Resolva os sistemas a seguir para x E R e y E R:

a)

b)

2x - y 1

3. Dividindo R$ 400,00 entre duas pessoas de modo que a primeira receba o triplo da segunda, quanto deve receber cada uma?

{ x + 3y = 11 4. Em um triangulo retangulo a diferenga das medidas dos angulos agudos e 20°. Calcule as medidas dos angulos desse triangulo.

x y —+—=1 2 3 2x + 1 =

+ 1-) 3

c) x-yx+y

— = =2 2

co1 T 2

.

5. Um comerciante trocou uma nota de R$ 100,00 por notas de R$ 5,00 e R$ 10,00, num total de 12 notas. Quantas notas de cada valor recebeu o comerciante?

3 — y ,parax*Oey*0

x-y.4

6. Calcule as medidas dos lados do triangulo ABC representado abaixo, sabendo que o perimetro mede 28 m e AC - BC = 2 m.

e) x+1

11. = f) 3 + 4 2 x-y=-1 +1 =3 9)

x . 4 y+1 3

x+1 y+2 h) 1 3 + 4 x+y= 4 i)

3x - 4y = 0 2x - y = 5

2. A quantia de R$ 200,00 sera repartida entre dois irmaos. Sabendo que o irmao mais veiho deve receber R$ 40,00 a mais que o outro, quanto deve receber cada urn?

7. Determine dois nUmeros cuja soma é 8 e a diferenga de seus quadrados é 16. 8. Determine dois nOrneros tal que sua soma seja 5 e o dobro de um somado ao triplo do outro seja 13. 9. Determine dois numeros tal que sua diferenga seja 1 e o dobro de um deles menos o triplo do outro tambern valha 1.

-

-

Pa rte I

Revisan: Equagao do 2 2 grau toda equacao do tipo axe + bx + c = 0, coma E R*, b ERec E R. , corn A = b2 - 4ac

Raizes: A=0

raizes reais iguais

A > 0 = raizes reais diferentes A < 0 = nao possui raizes reais

Exercicios resolviclos 1. Resolva, em R, as equageies abaixo: a)

(x - 1)2

x(x + 1)

2

3

1 x-4 -4 b) - x-3 x2 -9

1 2 1

Solucao: a)

(x - 1) 2

x(x + 1)

2

3

1 - 2

x2 - 2x + 1 2

1 2

x2 + x 3

mmc(2, 3) = 6 3(x2 - 2x + 1) - 2(x2 +

3 6

6

3x2 - 6x + 3 - 2x2 - 2x - 3 = 0

x2 - 8x = 0

Assim, a = 1, b = -8 e c = 0. Como c = 0, dizemos que a equacao do 2g grau a incompleta. A solucao pode ser obtida corn aux[lio da fOrmula ou da seguinte maneira: x=0 oux-8 = 0

x(x-8)=0

x2 -8x=0

x=8

Como 0 e 8 sao reais, entao S = {0, 81.

b)

x - 4= x2 -9

1 x-3

1

x-4 (x + 3)(x - 3)

=

1

1

x-3

1

mmc[(x + 3)(x - 3), x - 3] = (x + 3)(x - 3) x-4 x + 3 - (x + 3)(x - 3) _ (x +3)(x - 3) (x + 3)(x - 3) x2 - 4 - 3 - 9 = 0

x2 - 16 = 0

Assim, a= 1, b = 0 e c = -16.

x - 4 = x + 3 - (x2 - 9)

-4 = 3 - x2 + 9

15

MOdulo 4 ■ Revisao: Equacao do 2 2 grau

Como b = 0, trata-se de uma equagao do 2 2 grau incompleta. A solugao pode ser obtida por meio da formula ou deste modo: x2 - 16 = 0

x2 = 16

= ± N/16

x = +4 ou x = -4

Como esses valores pertencem ao conjunto dos numeros reais e nao anulam o denominador, S = {-4, 4}. 2. A area de urn retangulo é igual a 440 m 2 . Sabendo que a medida da base e a da altura desse retangulo sao

numeros pares e consecutivos, determine seus valores. Solugao:

x

A = x(x + 2)

x+2 440 = x2 + 2x = x2 + 2x - 440 = 0 A = b2 - 4ac = 2 2 - 4 1(-440) = 1764 x=

-b ± A 2a

-2 ± N/1764

2

-2 ± 42 2

x = 20 ou x = -22 (nao convern, porque x > 0)

Portanto, a base mede 22 m e a altura, 20 m.

Exercicios propostos 1. Resolva, em R, as seguintes equacOes:

secutivos, cuja soma dos inversos seja

a) x2 + 2x - 3 = 0 b) (x + 1) 2 = 2(x + 1)

d) 8x2 - x = 0

f)

g)

x

14

2

x-1

x2 -1

x+1

3 1 1 + - — 4 - x 8 x 6

x-3

72

x + 3 x2 - 9

1

H) - 1 h) X-1

i)

j)

I)

2 1 - X2

x

2x

x+1

x-1

3

x - 12

5x

x-1

2x2 - 2

x+1

x2 - 9

x-3

•

4. A area de urn triangulo é igual a 24 cm 2 . Sabendo que as medidas da base e da altura desse triangulo sao respectivamente numeros pares consecu° = bh tivos, determine seus valores. 2 5. A figura abaixo representa uma quadra retangular de futebol de salao. A area da quadra é de 117 m 2 e suas dimensOes estao indicadas na figura. Desejase cerca-la corn urn alambrado que custa R$ 12,00 o metro linear. Qual o custo do cercado?

X

2x

8

7

12

3. Uma escola doou 600 livros de sua biblioteca para que fossem distribuidos igualmente entre certo numero de alunos. No dia da distribuicao, faltaram 5 dos alunos convocados. Entao, cada aluno que compareceu recebeu 20 livros a mais. Determine o ntimero inicial de alunos.

c) 5x2 + 4x + 1 =0

e)

2. Determine dois numeros inteiros, positivos e con-

x+3

x+4

Revisaio: Sistemas de equagOes do 2 2 grau com duas variaveis e equagao irracional

Sistemas de equagaes de 2 2 grau corn duas variaveis

Irmatusemew,,--4.,..-„,:-AvEkoicturaciaresolvido 1. Resolva o sistema

x+y=6 x2 + y2 = 20

Solugao:

Para resolver esse sistema, usamos o metodo da substituigao: x= 6-y x+y= 6 x2 + y2 = 20 (II)

(I)

Substituindo x = 6 - y na equagdo (II), temos: - =0 36 - 12y 4 . y2 + y 20

(6 - y)2 + y2 = 20

2y2 - 12y + 16 = 0

y2 - 6y + 8 = 0

A=4

y-

2

y=4ouy=2

Substituindo o valor de y na equagao (I): y=4

x=6-4

x=2

y=2

x=6-2

x=4

Logo, o conjunto solugdo é S = {(2, 4), (4, 2)).

Equagao irracional E toda equacao que possui radicais corn incognita no radicando. A solugao é obtida elevando-se os dois membros da equagdo a uma mesma potencia que seja conveniente, de forma a eliminar os radicais. E necessario fazer a verificacao das raizes, pois a elevagdo de ambos os membros a uma potencia pode gerar uma equagdo nao equivalente a dada. 0 conjunto solucao é formado apenas pelas raizes que verificam a equagdo irracional dada.

Modulo 5 ■ Revisao: Sistemas de equageies do

grau corn duas varieveis e equacao irracional

17

Exercicio resolvido 2. Resolva as equacties em R: a) V x - 1 + 3 = x b) V4-2x-1=0 Solucao: a) Vx-1 +3=x = Nix -1 =x-3

(Vx-1) 2 = (x-3)2

x-1 =x2 - 6x+ 9

x2 - 7x + 10 = 0

A = (-7)2 - 4 • 1 • 10 = 49 - 40 = 9 x=

7t

7t3 2

x = 5 ou x = 2

2

Fazendo a verificacao: x=5

V5 - 1 + 3 = 5

x=2

+3= 2

V4 + 3 = 5 1+3=2

2+3=5

5 = 5 (V)

4 = 2 (F)

Logo, S = {5 {.

b) V4 - 2x - 1 = 0

V4 - 2x =1

(V4 - 2x)= 1 4

4 - 2x = 1

-2x = 1 - 4 = -2x = -3

=3 2

2x = 3 Verificacao: x=

4\14 - 2 •

-1=0

V4 - 3 - 1 = 0

-1=0

1-1=0M

3 . Logo, S =2

Exercicios propostosionnommainimummins 1. Resolva os sistemas a seguir: Ix2 +3xy=0 a) y - x = -2 b)x - = 2 { x2 + y2 = 34

3. A soma das areas de dois quadrados é 25 m 2 e a soma dos seus perimetros 28 m. Calcule as dimensoes desses quadrados. 4. Resolva as equacaes irracionais em R: a) x + 1 = 5x - 1

c)

x+y=7 1 17 = x y 10

d)

x+y -3 x-y x2 + y2 = 5

2. Sabendo que a area de um retangulo e de 60 m 2 e seu perimetro 32 m, calcule as dimensOes desse retangulo.

b) Vx-3 =x-3 c) 4 + 3-\/ = x + 6 d) Vx + 2 - x - 3 =1 e) V 1 - 3x = -1 f)

+Vx+1 =3

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade Do mOdulo 1 ao mOdulo 5, os assuntos tratados constitufram uma retrospectiva daquilo que e a base da Matematica do nosso ensino fundamental: as equaedes de 1 9 e 29 graus, cujo conhecimento e indispenscivel para o que sera visto daqui para a frente. As equaeoes foram a paixdo de um brilhante matemdtico do seculo XVII, Pierre de Fermat (1601-1665), que entretanto raramente publicava seus trabalhos. Talvez por isso tenha perdido para Descartes (1596-1650) a gloria de ser considerado o criador da Geometria Analitica. As equaeoes da reta e da circunferencia foram uma descoberta de Fermat, que numa carta dirigida a Roberval em 1636, antes portanto da publicadlo, em 1637, de La Geometrie, de Descartes, faz referenda a elas.

E desse maternOtico amador, que se dedicava d Matematica apenas nas horas de lazer, uma outra proeza: a de ter feito uma afirmadio que so seria demonstrada como verdadeira mais de 300 anos depois, bem recentemente, cerca de cinco anos arras. A afirmactio era: "Ndo existe soluedo para a equaedo + yn = zn, com x, y, e z ntimeros inteiros e n > 2, n E IN", conhecida como o ultimo Teorerna de Fermat. Vamos conhecer urn pouco da histOria desse teorema. Pierre de Fermat nasceu em 20 de agosto de 1601 em Beaumont-de-Lomagne, sudoeste da Franca. Filho de Dominique Fermat, rico mer cador de peles, Pierre recebeu educacao privilegiada no monasterio franciscano de Grandselre e estudou na Universidade de Toulouse. Fermat apresentou varias contribuicOes em diversas areas da Matematica, tais como Geometria Analitica, Teoria dos Numeros e Probabilidade e Calculo Diferencial e Integral. Uma anotacao feita a margem de um de seus livros tornou-se um dos maiores desafios matematicos dos Ciltimos tres seculos:

"E

impossivel

para um cubo ser a soma de dois cubos, ou uma quarta potencia ser a soma de duas quartas potencias, ou, em geral, qualquer numero maior que 2 ser escrito como a soma de duas potencias Pierre de Fermat (1601-1665)

semelhantes".

••_ -••-•- .• •

Contextos, aplicapbes, interdisciplinaridade

Era essa maravilhosa e ousada afirmacao que Fermat acreditava poder provar. A afirmacao x" + y" = zn a verdadeira para n = 2, ja que, neste caso, temos a expressao x2 y2 y = z2, corn infinitas soluciies inteiras, por exemplo: 32 + 42 = 52 , ou 52 + (-12) 2 = 13 2 , e assim por diante. Porem nao encontramos solucao natural para x, y e z se n > 2, como, por exemplo, n = 3 ou n = 4. As equacOes x3 + y3 = z3 4 + = z4 nao tem solucries inteiras. oux Depois de algumas anotacOes Fermat afirmou que tinha uma demonstracao para sua pro_ posicao, que entretanto "nao cabia naquela estreita margem de livro...". Muitas geracties de matematicos tentaram de_ monstrar a afirmacao, que ficou conhecida como o ultimo Teorema de Fermat. Em 9 de janeiro de 1665 Fermat assinou seu testamento, vindo a falecer tres dias depois. Nao fosse seu filho mais velho, Clement Samuel, as descobertas de Fermat teriam ficado perdidas. 0 Ultimo teorema teria morrido corn seu descobridor, ja que o maternatico amador (trabalhava apenas nas horas de Iazer) Fermat raramente publicava seus trabalhos. Clement passou cinco anos reunindo cartas de seu pai. Fermat apresentara uma boa sugespara a demonstracao de seu ultimo grande teorema, aplicando-a para n = 4. 0 grande matematico Leonhard Euler (1707-1783) adaptou a solucao de Fermat para x 3 + y 3 = z3 em carta de 1753 ao matematico prussiano Christian Goldbach (1690-1764). Caminhemos ate nosso seculo. Andrew Wiles iniciou pos-graduacao em 1975 na Universidade de Cambridge. "Desde que vi o ultimo Teorema de Fermat pela primeira vez, ele se tornou mi-

19

nha grande paixao", relembra Wiles, falando sobre seus dez anos de idade. "Passei minha vida tentando demonstra-lo." Em 26 de outubro de 1993, Wiles apresentou -7-

a demonstracao na Universidade de Cambridge, no Instituto Isaac Newton. Mas, como ja acontecera outras vezes corn outros matematicos, Wiles, apOs ser chamado de o mais brilhante maternatico do mundo, enfrentaria crfticas, quando, em novembro de 1993, e descoberta uma falha em sua demonstracao. Wiles entao retoma o teorema que estudara a vida toda. Corn a ajuda de Richard Taylor, sao publicados em 25 de outubro de 1994 dois novos manuscritos, urn de autoria de Wiles e outro de Wiles e Richard Taylor, que encerram a polemica. Estava demonstrado o ultimo Teorema de Fermat. Os dois trabalhos, de 130 paginas ao todo, foram publicados no Annals of Mathematics de maio de 1995. Alguns matematicos disseram a Wiles que a resolucao do ultimo Teorema de Fermat deixara um vazio, como se houvesse urn sentimento de perda. Mas, ao mesmo tempo, uma grande sensack de liberdade. "Agora posso descansar minha mente", disse Wiles. Uma das grandes dificuldades em provar o Teorema de Fermat é que os numeros x, y e z devem ser inteiros. Podemos encontrar solucOes para a proposicao se trabalharmos corn numeros nao inteiros, como, por exemplo, /7 ,1 = (6/528 )6. Tente encontrar mais algumas solucCies para a equacao x" + y" = z", corn x, y e z sendo nao inteiros.

Sugestao de leitura: Singh, Simon, 0 ultimo Teorema de Fermat, Rio de Janeiro, Record, 1999.

DuL

o

Conjuntos Introducao Nos modulos de 6 a 10 faremos uma breve revisdo de conjuntos para recordarmos alguns conceitos essenciais Lembremos que conjunto, elemento e relacdo de pertinencia sao considerados conceitos primitivos, isto e, nao aceitam definigao. Intuitivamente, sabemos que conjunto é uma lista, colegao ou classe de objetos, pessoas, numeros, etc.

Representagao Representamos conjunto por uma letra mainscula do nosso alfabeto. Seus integrantes, que chamaremos elementos, sdo colocados entre chaves separados por virgulas. Assim, por exemplo, podemos dizer que a sucessao de numeros 0, 1, 2, 3, 4, ... forma urn conjunto denominado conjunto dos numeros naturais, que representamos por IN = 10, 1, 2, 3, 4, 5,

Relagao de pertinencia • Se urn elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que: x pertence ao conjunto A e escrevemos x • Se um elemento

EA

y nao faz parte de urn conjunto A, dizemos que: y nao pertence ao conjunto A e escrevemos y 0 A

Exemplos: a) 5 E IN

2 b) — 0 IN 3

c) 0 E IN

d) —2 0

IN

Conjunto universo Para resolver uma equagao, urn problema ou desenvolver detenninado tema em Matematica, devemos retirar os elementos de que necessitamos de urn conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é representado pela letra U. Exemplos: a) No conjunto A = {x E IN I x2 — 3x + 2 = 0}, x so pode assumir valores que pertencem ao conjunto IN, conjunto dos numeros naturais; portanto, U = IN = {0, 1, 2, 3, . }. b) Em B = fx E 71 I x2 + 5x + 6 = 01, x s6 pode assumir valores que pertencem ao conjunto Z , conjunto dos numeros inteiros; portanto, U = 71 = { ..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,

Diagrama de Venn 0 diagrama de Venn representa conjuntos da seguinte maneira:

MOdulo 6

r

■

Conjuntos

b)

a) U - IN

21

U =71

A —2 —3

2

•

•

Relagao de inclusao — Subconjunto Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A esta contido em B ou que A e subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A tambem for elemento de B. Representamos isso assim: A C B. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = 1-1, 0, 1, 2}, notamos que: • todos os elementos de A tambem sao elementos de B, logo A esta contido em B e escrevemos A C B. • nem todos os elementos de C sao elementos de B ( 1 E C e -1 E B), logo C nao esta contido em B e escrevemos C (4 B. Vejamos a ilustracao desse exemplo no diagrama de Venn: -

ACB e C(4B

Exercicio resolvido Sendo A = Ix E Z I (x - 3)(x + 4)(x - 5)(2x - 4) = 01 e B = {x E IN I x 2 - 5x + 6 = 01, substitua o • corretaC, mente pelos simbolos E, b) 4 1111 B A a) 2 Solucao: Determinando os elementos de

c) B IN A

d) A • IN

A, teremos:

(x-3)(x+4)(x-5)(2x-4)=0x-3=0oux+4=0oux-5.0ou2x-4=0 Logo, x = 3 ou x = -4 ou x = 5 ou 2x = 4 x = 2. Assim, A = {-4, 2, 3, 5}. Determinando os elementos de

B, teremos:

x2 - 5x + 6 = 0 onde A = 1 x=5±1 2

Ix = 2 ou x = 3

Assim, B = {2, 3}. Colocando corretamente os simbolos, teremos: a) 2 E A

b) 4 t; B

d) A ,Z IN

c) B c A

Exercicio proposto Sendo A = Ix E I (3x + 9)(2x + 4)x(x - 1) = Ole B = {x E IN I x2 - 7x = -12}, substitua o • corretamente pelos simbolos E, C,

Z.

a) 0•A b) 0

B

c) 3•A

d) 3

B

e) B • Z f) A

IN

OperagOes corn conjuntos Unik Chamamos de AU Bo conjunto formado por todos os elementos de A ou de B: AUB=Ix xEAoux EB1 Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4}e B = 10, 2, 4, 51, entao A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

AUB

Intersecgao Chamamos de Ail Bo conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B:

A B t

AexEBI

Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4}e B = {2, 3, 8}, entao A 1-1 B = {2, 3}

AnB

Diferenga Chamamos de A — B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e nao pertencem a B:

A — B = xEAexeSt Exemplo: Se A = {1, 3, 5, 7} e B =11, 31, entao A— B ={5, 7} e B —A =

A—B=15,71

B-A=0

Modulo 7 ■ OperagOes corn conjuntos

23

Complementar Dados os conjuntos A e B, em que A C B, chamamos de complementar de A em B (CAB ) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e nao pertencem a A: ACB

=B-A

Exemplo: A = {1, 2, 3}e B = {1, 2, 3, 4, 5}, entao CB = B - A = {4, 5}

CA

Exercicios resolvidos 1. Se A ={1, 2, 3, 4, 5}, B ={2, 3, 7} e C = {2, 4, 6}, determine:

a) A U B

b) A n B

c) (A U B) n (B U C)

Solucao: a) A U B = 11, 2, 3, 4, 51 U {2, 3, 7}=11, 2, 3, 4, 5, 71 b) A n B = {1, 2, 3, 4, 5} n {2, 3, 7}= {2, 3} c) (A u B) n (B u C) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7} B u C = {2, 3, 7} U {2, 4, 6}= {2, 3, 4, 6, 7} (AU B) n (B U C) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} n {2, 3, 4, 6, 7}= {2, 3, 4, 7}

2. Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6}e C = {1, 2, 4}, encontre: a) B - C

b) Cc,

Solucao: a) B-C = {2, 3, 6}-11, 2, 41=13, 61

b)

C CA = A - C = {1, 2, 3, 4, 5}-11, 2, 41=13, 51

Exercicios propostos 1. SeA=1-1,0,1,21,B=Ixellx 2 =11e

C= {x I x e numero par entre 1 e 9}, determine: a) A U B b) A U C c) (A u B) n C

d) AnBnC

2. SeA=1x E Z I xeimpare1--c.x7le B= Ix e z I x2 - 6x + 5 = 01, determine: a) A - B b) B - A c) CB„

Parte I

Numero de elementos da uniao de conjuntos Sendo n(A) o nitmero de elementos do conjunto A e n(B) o numero de elementos do conjunto

B, temos: n(A U = n(A) + n(B) - n(A (1 B) Exemplos:

n(A) = 5 n(B) = 5 n(A B) = 2

Sendo n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A B), entao n(A U B) = 5 + 5 - 2. Logo n(A U B) = 8.

b) B .4 .5

.2

.6

n(A) = 3 n(B) = 4 A fl B = 0 n(A B) = 0

Sendo n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B), entab n(A U B) = 3 + 4 - 0. Logo n(A U B) = 7.

Exercicios resolvidos 1. Determine n(D U M) sendo D ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e M = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}. Soluck):

n(D) = 8 n(M) = 8 n(D fl M) = 4

n(D U M) = 8 + 8 - 4 = 12

Modulo 8 ■ NOmero de elementos da unio de conjuntos

25

2. Em uma universidade, 80% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno le pelo

menos urn dos jornais, qual o porcentual de alunos que leem ambos os jornais? Solucao: Como todos os alunos leem pelo menos um jornal, n(A U B) = 100%. Entao: n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A

n B) = 100% = 80% + 60% - n(A n B) = n(A n B) = 40%

Exercicios propostos 1. Calcule o numero de elementos do conjunto A U B, sabendo que A, B e A n B sao conjuntos corn 90,

50 e 30 elementos, respectivamente. 2. Considerando o diagrama a seguir, determine:

a) n(A n B)

c) n(A U B)

b) n(A - B)

d) n(U)

4. (FGV-SP) Urn levantamento efetuado entre 600

filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convenio corn duas empresas particulares de assistencia medica, A e B, conforme o quadro: Convenio corn A

Convenio corn B

Filiados somente ao INSS

430

160

60

O numero de filiados simultaneamente as empresas A e B é: a) 30.

b) 90.

c) 40.

d) 25.

e) 50.

5. (Fatec-SP) 0 conjunto A tern 20 elementos, A n B tem 12 elementos e A U B tern 60 elementos. 0 numero de elementos do conjunto B é: 3. Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A)

e) n(A n C)

b) n(B)

f) n(A - B)

c) n(C)

g) n[(A u B) - C]

d) n(A n B)

a) 28.

b) 36.

c) 40.

d) 48.

e) 52.

6. Considerando o diagrama abaixo, determine: a) n(A 11 B) b) n(A

n B n C)

c) n(A U B) d) n(U)

MO DUL0

9

Conjuntos numericos

No ensino fundamental voce estudou os conjuntos numericos. Agora, voce ira recorda-los, fazendo uma rapida revisao.

Conjunto dos numeros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Conjunto dos numeros inteiros

z =I..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ...I Representagao geornetrica de Z 8

1

2

Consideremos alguns subconjuntos de Z: • Conjunto dos numeros inteiros nao-negativos:

= {0, 1, 2, 3, 4, ...}

• Conjunto dos numeros inteiros nao-positivos: Z_ = {..., —4, —3, —2, —1, 0}

Conjunto dos numeros racionais 0 conjunto dos numeros racionais (0) e formado por todos os numeros que podem ser escritos na forma de fracao, corn denominador nao-nulo. Como entre dois numeros racionais quaisquer existern infinitos numeros racionais, nao é possivel nomear todos os elementos de G. Assim, representamos esse conjunto por meio de uma caracteristica comum a todos os elementos: x=-T,pEZegEr}

Vejamos alguns subconjuntos de a • Conjunto dos numeros racionais nao-negativos: 0, = { x Ix E 0 e x 0} • Conjunto dos numeros racionais nao-positivos: 0_ ={x Ix E Q e x Lc- 0}

Conjunto dos numeros reais Existem numeros que na forma decimal nao sao periodicos, nem tem urn numero finito de casas, como it, V, e muitos outros. A esses numeros chamamos irracionais, e eles compOem o conjunto dos numeros irracionais (0) (C al = 0). A unido dos numeros racionais corn os irracionais forma o conjunto dos numeros reais (01). R= U8

27

MOdulo 9 ■ Conjuntos nurnericos

Representagao geometrica de Ell A cada ponto de uma reta podemos associar urn unico numero real, e a cada numero real podemos associar urn Alnico ponto na reta. Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois numeros reais existem infinitos numeros reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois numeros reais, existem infinitos pontos). Veja a representacao na reta de R: -3 4

3 0,5

•

•

2 ,

3

....

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

4

5

6

7

8

Observe que, ao representar geometricamente a8 tambem estamos representando os numeros naturals, os inteiros, os racionais e os irracionais. Vejamos os conjuntos IN 7L 0, C oR e l em um diagrama de Venn: ,

,

INCZCGCR

Observagao: Para eliminar o zero de urn conjunto, colocamos urn asterisco (*). Vejamos alguns exemplos: IN* = {1, 2, 3, ...1, 1* = {..., -2, -1, 1, 2, 3, ...}, R* = R -101.

Exercicio resolvido Complete corretamente com os simbolos E, C e Z.

b)

a) -%/' ____

—20 --__ IN* 4

c)

____R

d) {-1, 2, 4}

Z

e)

____R•

Solugao: a)

16 20

b)

—

4 c)

E

(porque 16 = 4

E

20 E IN* (porque — = 5 E IN*) 4 E R (porque nenhum numero real elevado ao quadrado resulta em -4)

d) {-1, 2, 4} C 7L (porque todos os elementos do conjunto sao numeros inteiros) e) ao2

R* (porque 0 E e 0 E R*)

Exercicio proposto Substitua o • corretamente pelos simbolos e, c e (4: a) 0,757575... • 0

c) 1_ •

b) IN NI 1*

d) gyp* _

R

e)

R*

f) V-16 • R

g) }VT,

h)

3

N/1 •

2, -\/1 •

R

MoDULO

10

Conjuntos: Intervalos

Em tambem podemos estabelecer outros subconjuntos denominados intervalos. Considere dois numeros reais a e b (a < b), localizados na reta.

Intervalo aberto Chamamos de intervalo aberto o conjunto de numeros reais entre a e b, excluindo estes dois extremos. Veja a notacao e a representacao geometrica desse conjunto: ]a,b[={xERIa0

p 0) ou decrescente (a < 0). 0 coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo Oy. Veja:

= -2x - 1 a = 2 > 0: funcao crescente b=1

a = -2 < 0: funcao decrescente b = -1

Exercicios resolvidos 1. Determine os valores de m de modo que a funcao real f(x) = (2 - m)x + 7 seja crescente. Solucao: f(x) = (2 - m)x + 7 2-m>0 -m > -2 A funcao sera crescente para a > 0 Logo, f(x) é crescente se, e somente se, m < 2, m E R.

m 0 • f(x) • g(x) 0 • f(x) • g(x) 0 • f(x) • g(x) < 0 Observack: A forma da inequagao pode ser estendida para mais de dual fungbes. Exemplos: • (x –1)(2x – 3)x(x + 1) < 0 • (x – 2)(-2x + 1)(4 x) 0 –

Para resolver inequacOes-produto, primeiro estudamos o sinal de cada funcao que compeie o produto e, entao, determinamos o sinal do produto. Acompanhe o procedimento nos exercicios resolvidos.

Exercicios resolvidos 1.

Resolva em fE8 a inequacao (x - 1)(2x - 3)

0.

Solugdo:

f(x) = x

Quadro-produto:

1 e g(x) = 2x – 3 f(x) = 0 x–1=0 x = 1 (zero da funeao) Como a = 1 > 0, vem:

3 2

–

x

g(x) = 0

2x – 3 = 0

3 x= — 2

2x = 3

Como a = 2 > 0, vem: Logo : S=IxERIx 1 oux?, — 3 2

2. Resolva em R a inequacao (x – 2)(-2x – 4)(x – 4) < 0. Como a = –2 < 0, vem:

Solugao: f(x) = x – 2, g(x) = –2x – 4 e h(x) = x – 4 x = 2 (zero da funedo) f(x) = 0 x–2=0 Como a = 1 > 0, vem: x

2x = –4 g(x) = 0 –2x – 4 = 0 x = –2 (zero da funedo)

h(x) = 0 x–4=0 Como a = 1 > 0, vem:

x = 4 (zero da funeao)

MOdulo 27 ■ Ineguacao-produto do 1 2 grau

67

Quadro-produto:

-2

4

2

f(x)

-

-

g(x)

+

_

_

_

h(x)

-

-

-

+

f(x) • g(x) • h(x)

+

-

+

_

+ 1.1.I.-

•

•

......--...

Logo: S = Ix E R1-2 x .5. 2 ou x 4 }

3. Calcule o dominio da funcao real f(x) = J(1 - x)(2x - 8). Solugao:

Para que f seja real devemos ter: (1 - x)(2x - 8) 0 Resolvendo a inequacao, temos: f(x) = 1 - x g(x) = 2x - 8 f(x) = 0 1-x=0 x=1 Como a = - 1 < 0, temos:

Quadro-produto: 1

•

g(x) = 0

Logo, D(f) = Ix E R11

2x - 8 = 0 = x = 4

x

4 }.

Como a = 2 > 0, temos: X

Exercicios propostos 1. Resolva as inequaceies em R: a) (x - 1)(2x + 1) > 0 b) (3 - 2x)(x - 4) -5 0 c) x(x - 3) > 0 1 d) (-x + 1)3x(-x - — ) > 0 2 2. Calcule o dominio das funcoes reais a seguir:

3. Resolva em 68 a inequacao x2 - 9 < 0. (Sugestao: x2 - 9 = (x + 3)(x - 3).) 4. (MACK-SP) 0 conjunto solucao da inequacao (x + 3)(x - 2) 5, 0 é: a) Ix ERIx 31. b) Ix E

I 2 x 31.

c)1xERIx2oux.-.31.

a) y = V2x(3x - 1) b) f(x) = V(3 - 2x)(2x + 3)

d) [x ER

-3 .5.. x 21.

e) Ix e R1-2 x 31.

MoDITLO

28

Inequacao-quociente do 1-Q grau

Dadas as funcOes f(x) e g(x), chamamos de inequaccio-quocientetoda inequacao que pode assumir uma das seguintes formas: f(x) f(x) • goo > 0, corn g(x) # 0 • - 0 • 0, vem:

3

•

g(x) = 0 x-3=0 x = 3 (zero da funcao) g(x) é denominador da inequacao-quociente; g(x) 0. Como g(x) é do tipo ax + b e a = 1 > 0, vem: Logo: = Ix ER11--..5.x 3}

Exercicios propostos 3. (Vunesp-SP) Assinale a alternativa que indica o do-

1. Resolva as inequagoes em R:

a)

x-3 ...5. 0 x

c)

13-10x Lc. 0 3(x - 1)

minio da fUnedo real f(x) =

b)

2x-4 -4 x-2

d)

-3x - 2 2x + 3

a) Ix e IF81-1 0 a=0

an

aE nao é definido para -P--5 0

nem sempre é real se n for par

an = VW' se n for impar

Todas as propriedades da potenciacao corn expoente inteiro sao validas tambern para a potenciacao corn expoente racional.

Exercicios resolvidos 1. Calcule: a) 23 (g

c)

b) VT'

J213

( 4

Solucao: a)

23(g =23• (2-1 )2=,• 2-2=23-2=

6 b) ,12; =

■/-2

=

2' = 2

■

= 71

c) (:)3 =‘;= 2. Efetue:

a)■&

■/3 •

b) ;F' •

Solucao:

a)

&=

21 = 22 = 4

-13 = _°/F2 = V210. 22 = i = 5.s i47 b) VF4 . VF1

= 22

= 4V7t

■

c) V3 • /-7 9 = /-3(-9) = 3 27 = 3 3 3 = 3

Exercicios propostos 1. Aplicando as propriedades da potenciagao, calcule: 5 a) 23(121 [ 2 b) (1) 2 .196

4. Se 102'5 = a, entao 103,5 vale: a) a. c) 10a. d) 100a. b) 5a. 5. Indique a alternativa errada. 89 a) (23) 2(21 ) 1

c) 3° + (-3)2 - 32 d)

(-2)3 - (-2)2

e) 1 000a.

=

1 c)

—

3

b) V32 +42 =5

2 Calcule . (2-1 + 21-2 . 6. (Fuvest-SP) a) Qual a metade de 222? 3. Calcule o valor de VV256 64 • 1 024 .

b) Calcule 8 3 + 9°5 .

Mo D UL O

39

Equacao exponencial

Uma equacao é exponencial quando a incognita esta no expoente. Assim, 2x = 32 ou 3' -2 = 27 sao exemplos de equacao exponencial. Para resolver equacOes desse tipo, devemos transforms-las numa igualdade. A partir de bases iguais, devemos igualar os expoentes e, entao, determinar o valor da variavel: a' -=a 14(.) a

f(x) = g(x) , corn a E Or e a # 1

Exercicios resolvidos 1. Resolva as equacoes exponenciais a seguir: a) 2x = 128

b) 3x =

c) 8x + 1 = 4x -' 2

81

Solugao:

a) 2x =

128

2x = 2 7

x=7

S ={7} 1 b)

1

3x 3

=

T4

a( =3-4

x= -4

S={-4} c) 8x + 1 = 4x + 2 =

23x+3 = 22x+4

(23Y +1 = (2 2Y +2

11 I

3x + 3 = 2x +

4

x=1

S

em E as equacOes exponenciais: a) 2x-1 + 2x + 2x+1 _2x+2 + 2x+3= 120

2. Resolva

b) 22x -3 - 3 2x -1 + 4 = 0 Solucao: a) 2x-1 + 2x + 2x+, _2x+2 + 2x+3= 120 Recordando as propriedades de potencias de mesma base, podemos escrever a equacao da seguinte maneira: 2x . 2-1 _F. 2x + 2x • 21 _2x.22 + 2).23 = 120 Fazendo 2x = y, temos: —+ y + 2y - 4y + 8y = 120 2 Como 2x = y, vem: 2x = 16 x = 4

S ={4}

— + 7y = 120 2

y + 14y 240 2

2

y = 240 = 16 15

N./16dpi° 39 ■ Equaceo exponencial

93

22x23_3.2).21 • +4=0

b) 22x -3 - 3 • 2x -1 + 4 = 0 Fazendo 2x = y, vem: (2x)2 = y2

22x = y2

Entao: y2 3 - T y+ 4 = 0 y2 - 12y+ 32 = 0

-6--

que é uma equacao do 2 2 grau, cujas raizes sao 4 e 8. Sendo 2* = y, vem: jpara y = 4 2x = 4 = 22 x=2 1para y = 8 2x = 8 = 2 3 = x = 3 S= {2, 3}

Exercicios propostos c) 32x - 10 • 3x + 3 = 0

1. Resolva em R as equactles exponenciais:

a) 5* = 125

d)

e) (2 = 2,25 3

Ix

2

b) 4x -1 = 1

f) 273- x = ( 2 ) 3x. + 1

c) 42 = 0,25

6. (UFPA) A raiz da equacao

1 81x

(7x - 2 -F10)(7* + 2 F10) = 9 é um numero: a) b) c) d) e)

= 1

3

d) 8x -9 = (1 2

4x + 4 = 2* 5

I-1) 100x = 0,001

irracional negativo. irracional positivo. par. inteiro negativo. inteiro positivo.

2. Resolva em R as seguintes equaceies:

a) (2x)x -1 = 4 b) 52)(2- 3x 2

=

7. (UFV-MG) 0 valor de x que torna verdadeira a

d) 5* = 5 22 1

e) 81x + 1 = ( 1 )x2

equacao 2x • 4x + 1 8x" 2 = 16x 3 e: 3

f) (2x)x -2 = ( 1 )x 2 4

3. Resolva em R as equacties:

1 4/ a) , - = v 27 3,,

c) 3

b)1 V-L17 =

x 3\ 15 d) (0,16) =

V7V7" = 1

E

R em cada uma das

a) 2x-3 + 2x - 4 = 2x - 2 2x - 1 +

b) 3x- 1. 32 + 1 + 3x + 2 = 3x + 306 5. Resolva as equacoes em R:

b) 42 - 6 2 2 + 8 = 0

c) 0.

d) 1.

e) -1.

81 3x + 1 + - = 36 sao: a) -1 e 2.

c) 0 e 1.

b) 1 e -2.

d) 1 e 2.

e) 0 e 2.

9. (PUC-RS) Se 3x - 3 2- x = 23 , entao 15 - x2 vale:

a) 16.

b) 15.

c) 14.

10• (UFSE) Resolva a equacao 2

d) 11.

e) 6.

" 3 ( 1 )3 2 = -

2

11. (MACK-SP) Se (0,1)x -5 = 10, entao x vale: a) -5.

a) 22x + 2x+1 = 80

b) 2.

8. (UFV-MG) As solucOes da equacao exponencial

c) 822- * = 4x+1

4. Determine o valor de x equacties:

a) -2.

b) 0.

c) 4.

d) 6.

e) 10.

12. (PUC-PR) A soma das solucoes da equacao exponencial 2* + 4 • 2 -x = 5 é: a) 5.

b) 2.

c) -5.

d), 4.

e) -6.

Parte I

Funcao exponencial Dado urn numero real a, tal que 1 # a > 0, a funcao f: D ER, definida por f(x) = ax, é chamada funcao exponencial de base a: f(x) ax , com a E 111: e a # 1 Alguns exemplos: a) f(x) = 2X b) f(x) = (-\/)x c) f(x) = (-1 )x d) f(x) = (0,34)x 2 Entre as varias aplicacOes praticas da funcao exponencial, podem-se citar os calculos de juros compostos, do crescimento populacional e da depreciacdo de um bem. Leia sobre essas aplicacOes na pagina 96.

Grafico da funcao exponencial 1J Como exemplo vamos construir os graficos das funcOes f(x) = 2x e f(x) = ( . 2 a) f(x) = 2X 8

–1 0 1

2-1 2° 21 22 23

2

3

b) f(x) = (4) x

D(f) = R Im(f) = R:

IN

2-2

I

–2

-4

2-3

-4 1 00

–3

4

1 2 4 8

2

x (4) (i)'

8

–2

`212

4

–1

1211

2

–3

0

61 y

1

1

4)1

4

2

4)2

+

3

W3

1

D(f)= P !m(f) = R:

x

MOdulo 40 ■ Funcao exponencial

95

De modo geral, podemos representar graficamente uma funcao exponencial f(x) = ax (a > 0 e a # 1) das seguintes maneiras: 10 a > 1 20 0 < a < 1

0 Funcao crescente

Fungdo decrescente

Observando esses graficos, podemos tirar algumas concluseles: • D(f) = • Im(f) = ER • f(0) = 1, ou seja, (0, 1) e ponto do grafico

Exercicio resolvido Classifique as funcoes a seguir em crescentes ou decrescentes: x ( 1 )x c) y a) f(x) = b) y = ()x 3 Nri Solucao:

1

a) f(x) = (1 3 1 1 a= e 0< — < 1 3 3

a funcao é decrescente.

b) y = (d)x = 1,4 > 1 = a funcao é crescente.

a=

c) y = (*)x

a=

1

a' 0,57 e 0 < — < 1

=

V3

a funcao a decrescente.

3

3

Exercicios propostos 1. Classifique as funciies em crescentes ou decrescentes: a) y = (1 1 2 b) y =

c)y= ( 1

2 )x

-x

2 e) y= 3

2. Construa o grafico, determinando o conjunto imagem de cada fungdo real.

b) f(x) = d)f(x=4

c) f(x) =12 x -

a) f(x) = 3x -1 2

d) f(x) = -3x

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade No modulo 40, voce foi apresentado a uma funcao cuja varidvel e urn expoente, a chamada fungi() exponencial. Os expoentes foram o tema dos tres ultimos madulos (equacao, funcao e inequactlo exponencial) e vao ser tratados tambem nos madulos 42 a 48, em que voce vai conhecer os logaritmos. Lidar corn os expoentes desafiou pensadores de todas as epocas, desde Arquimedes, na Grecia Antiga. Do seculo XIV ao seculo XVII, muitos outros matemciticos se defrontaram corn eles: Oresme, Chuquet, Stevin, Bombelli, Girard, Marriot, Descartes, Pascal, Wallis e Newton. Mas para chegar as funcOes exponenciais, foi preciso desenvolver o conceito de funcao, no que foram muito importantes os trabalhos de matematicos do seculo XVII como Euler, D'Alembert, Lagrange e Fourier. Para que voce tenha uma nociio da importancia da oplicactio do conceito de funcao exponencial na vida prcitica, vamos dar tres exemplos dela: 1. ccilculo de juros compostos; 2. calculo do crescimento populacional; 3. ccilculo da depreciacclo de urn automOvel. TRES EXEMPLOS DE APLICACAO PRATICPO DA FUN* EXPONENCIAL

R$ 105,00 • 1,05 = R$ 100,00 • 1,05 • 1,05 = = R$ 100,00(1,05) 2 = R$ 110,25

1) Calculo de juros compostos Consideremos que voce faca uma aplicacao de R$ 100,00 a juros de 5% ao mes. No final do 1 2 mes, seu rendimento sera de:

No final do 3 2 mes: R$ 110,25 • 1,05 = R$ 100,00 • (1,05) 2 • 1,05 = = R$ 100,00 • (1,05)3 Dessa forma, ao final de cinco meses voce

5% de R$ 100,00 = 0 10R$ 100,00 =

tera R$ 100,00(1,05) 5. E, ao final de n meses, R$ 100,00(1,05)".

= 0,05 • R$ 100,00 = R$ 5,00 Logo, no final do 1 2 mes voce tera: R$ 100,00 + R$ 5,00 = = R$ 100,00 + 0,05 • R$ 100,00 = = R$ 100,00(1 + 0,05) = R$ 100,00 • 1,05 Em outras palavras, se os juros sac) de 5% ao mes, basta multiplicar o valor da aplicacao por 1,05 para obter o valor que voce tera no final do mes. Se os juros forem de, por exemplo, 12%, entao multiplicamos R$ 100,00 por 1,12. Se forem de 1,2%, multiplicamos por 1,012. No final do 22 mes, voce tera:

Observe os seguintes exemplos para ter uma idela clara da aplicacao da funcao exponencial no calculo de juros compostos: • Se o capital for de R$ 200,00, apOs 8 meses de aplicacao, a juros de 3% ao mes, o montante final (capital + juros) sera de R$ 200,00(1,03) 8. • Se o capital for de R$ 130,00, apOs 6 meses de aplicacao, a juros de 1,5% ao mes, o montante final (capital + juros) sera de R$ 200,00(1,015) 6 . • Se o capital for c, apOs x meses de aplicacao, a juros de 3% ao mes, o montante final (capital

r.:771

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade

+ juros) sera de c(1,03) x. Se tomarmos 1,03 = a, teremos a funcao exponencial f(x) = c • ax. 2) Calculo do crescimento populacional A populacao de um pals apresenta crescimento exponencial dado pela funcao f(x) = 30(1,2)x milhOes, em que x representa o n6mero de anos decorridos apOs o inicio da pesquisa. Assim:

97

Assim apOs x anos, o valor depreciado do carro sera de R$ 20 000,00(0,8)x. Em urn caso geral, se a for o preco inicial de urn carro entao o valor depreciado apOs x anos sera de f(x) = c • ax, corn a = 0,8. Usando a funcao exponencial f(x) = c • ax, temos:

a) a populacao atual do pals é obtida para x = 0. Logo: f(0) = 30(1,2)° = 30 milhoes

c = 10 240 = 20 000(0,8)x = (0,8)x = 10 240 20 000 = 0,512 = (0,8) 3

b) a populacao apOs 2 anos e obtida para x = 2, ou seja:

Da mesma forma resolvemos o problema de uma maquina corn valor atual de R$ 15 000,00, corn depreciacao de 30% ao ano. Ap6s 4 anos de uso, seu valor sera de R$ 15 000,00(0,7) 4 = = R$ 3 061,50. Uma editora vende 25 000 000 de livros num ano. Diminuindo a propaganda, as vendas decrescem exponencialmente corn lei de formacao V = Vo(0,8)t, em que V o = 25 000 000 et éo n6mero de anos. ApOs quantos anos a venda sera menor que 16 000 000 de livros? Devemos ter 16 000 000 > 25 000 000(0,8)t. Note que usamos f(x) = c • at, corn 0,8 indicando que as vendas cairam 20% ao ano (1 — 0,20 = 0,80 16 ou 0,8). Entao 16 > 25(0,8)t ou (0,8)` < — 25 . Como

f(2) = 30(1,2) 2 = 30 • 1,44 = 43,2 milhoes Podem-se tambern fazer projecOes sobre qual sera a populacao do pals usando-se a funcao inversa da funcao inicial. No modulo 46 vamos aprender a funcao logaritmica, e corn o uso dela seremos capazes de responder a seguinte questao: daqui a quantos anos a populacao do pals sera de 62,208 milhOes de pessoas? 3) Calculo da depreciacao de urn automOvel 0 valor de um carro diminui 20% ao ano. Se R$ 20 000,00 e o valor atual do carro, em quantos anos valera R$ 10 400,00? Como, a cada ano, o valor do carro diminui 20%, entao seu valor sera, apOs o 1 9 ano, de (1 — 0,2)R$ 20 000,00 = 0,8 • R$ 20 000,00 = = R$ 16 000,00. Logo, apOs 2 anos, seu valor sera de R$ 16 000,00 • 0,8 = R$ 20 000,00 • 0,8 • 0,8 = = R$ 20 000,00(0,8) 2 .

UAS DE L No modulo 42 voce vai aprender que certas equacoes exponenciais nao podem ser resolvidas aplicando-se apenas as propriedades de potenciacao, como se fez nesta secao. Para determinar o valor da incognita x, vai ser preciso introduzir urn novo conceito: o de logaritmos. Os logaritmos foram descobertos por Napier

Logo, x = 3, ou seja, 3 anos.

16 — = (4 ± ) = (0,8) 2 , entao t > 2 (Note que a base 5 25 da inequacao exponencial e urn numero entre 0 e 1). Portanto, as vendas sera() menores que 16 000 000 de livros apOs dois anos.

: ern 1614 e, em 1617, Briggs criou a tabua de logaritmos decimais. Pois bem: voce sabia que ate cerca de 40 anos atras as tabuas de logaritmos ainda eram urn instrumento indispensavel no ensino da Matematica? Hoje, corn o avanco tecnolOgico das calculadoras, elas se transformaram em curiosidade histOrica.

'

MoDULO

41

Inequagao exponencial

Uma inequacao e exponencial quando a incognita esta no expoente. Por exemplo: > 23 ; ( 1 5

<

52x + 1 ; 32x -1

9.

Para resolver uma inequacao desse tipo, devemos escreve-la em potencias de mesma base, procedendo da seguinte maneira: • se a > 1, a"x ) > ag(x)

f(x) > g(x), com f(x) 0 e g(x) 0

Quando a base e maior que 1, a relacao de desigualdade se mantem para os expoentes. • se 0 < a < 1, af(x) > ag(x)

f(x) < g(x), com f(x) 0 e g(x) 0

Quando a base esta compreendida entre 0 e 1, a relacao de desigualdade se inverte para os expoentes. Acompanhe os exercicios resolvidos.

Exercicios resolvidos 1. Resolva as seguintes inequageles em 1 c) 2x < — 2

a) 2x > 2 3

b)

(

1 1 > ( 1 )3 2 2

d) (0,1)2x -1

(0,1)4x +3

Solucao: a) 2x > 2 3 = x > 3 (a = 2 > 1) S = ]3, -Foci

1

b) ( --2-

)x

>

(1

3

x bx = a , corn a > 0, b > 0 e b # 1 Exemplos: • log2 8 ... pois 23 = 8

• log5 25

• log ic, 100 72, pois 10 2 = 100

• log 9 =

pois 5(y2 2 = 25 i pois

=9

Observack Quando a base é 10, por convencao, omitimos a base, ou seja, log o x = log x. Para que logs a = x tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b 1 e a > 0. A essas restrigOes chamamos condicdes de existencia dos logaritmos:

1 *b > 0

bx > 0

a>0

Assim, nao existem, por exemplo: • log2 (-8), pois nao existe x tal que 2x = -8 • logi 3, pois nao existe x tal que lx = 3 • lok2) 8, pois nao existe x tal que (-2)x = 8 Na igualdade logs a = x, a e o logaritmando ou antilogaritmo de x (a = antilog s x), b, a base e x, o logaritmo. Veja: logaritmando (antilog 2 4) log, 16 = 4 base

--i

logaritmo

Modulo 42 ■ Logaritmos: Definicao

101

Exercicios resolvidos 1. Calcule os valores de x para que existam os logaritmos: a) log (x - 3)

b) log (2x -1) VT

lOg x (1 -

3

Solucao: a) log (x - 3) Como a base é 10 e 1 * 10 > 0, basta determinar a condicao de existencia para o logaritmando: x>3

x-3>0

LogoS=IxeRix> 31.

b) bgpx -1) Como o logaritmando é

Nri e Vi > 0, basta determinar a condicao de existencia para a base:

2x - 1 > 0 = 2x > 1 = x> I 2 { base* 1 2x - 1 * 1 2x *2 = x 1 1 Logo S = Ix ERix> 2 — e x 11. base > 0

c) logx (1 Condicao de existencia do logaritmando: x 1-— >0 3

x — > -1 -3

x0

n

3

(1)

Condicao de existencia da base: S = (1)

(1)

(2)

(2) (2)

3

Logo: S=IxERI0 0. Calculo das rafzes e estudo do sinal: 4± 22 Logo: x=

x=1 oux= 3

D = (-00, 1[ U ]3, +00)

Exercicios propostos 1. Determine o valor de x para que existam os logaritmos: a) log, (4x - 1)

c) log (2x) (x + 1)

b) log -(2x -1) 2

d) log (4 _ (x - 3)

2. Determine o dominio das funcoes a seguir: a) y = log (x2 + 3) b) Y = log

X2 — 5x

c) y = log i

- x2)

d) y = log x 3 x+1

Parte I arnirrIPERIE

Logaritmos: Conseqiiencias da definigao Da definicao e das condicOes de existencia do logaritmo, podemos concluir: a) logo 1 = 0 , pois b° = 1; por exemplo: logio 1 = 0

10° = 1

b) logo b = 1 , pois b' = b; por exemplo: 1og8 8 = 1 = 8 1 = 8 c) logo bra = m , pois bm = bm; por exemplo: logs 54 = 4 d)

54 =

= a , pois, sendo logs a = x, bx = a; por exemplo:

b'°gb a

2log2 8 = 8 (log2 8 = 3

23 = 8)

Exercicios resolvidos 1. Calcule, aplicando a definicao de logaritmo: a) log3 81

b) log2 0,25

c) log, 3

Solucao: a) log3 81 =y

3Y = 81 = 34 = y = 4

Entao, log 3 81 = 4. b)

log2 0,25 =

25

2y = 1 =

1°g2 — 1 (— )0 . =1°g2 1 =

1

22

=

2

_2

y = -2

Entao, log 2 0,25 = -2. 2

2

y

( 1 )Y = 3 Y = 2-3- = () 3

c) log, -3\/Tt . =y 2

Portanto, log 3V = — 2

.

3

2

2. Calcule as bases dos logaritmos a seguir: b) log s 3\/ =

a) log o 5 = -1

c) log,

Solucao: a) Pela definicao de logaritmo, temos: loge 5 = -1

a-1 = 5

8= 5 = a=

1 5

=

MOdulo

43

■ Logaritmos: Consegiiencias da definicao

103

Como a condicao de existencia de urn logaritmo e 1 # a > 0, o valor encontrado é combative!. Logo: 1 a=— 5 2

b) logs Nr4 =

2

a3 = V7 1. = (2) 3

a=2

Como a condicao de existencia de um logaritmo é 1 * a > 0, vem: a=2 2 1 I 12 1 1 c) logx Nri = — x2 = V2 = 1)( 2 1 = 12 3 / = x = 23 2 Como a condicao de existencia e 1 * x > 0, vem:

3

22 =

FLIT

x = 3V7 1 3. Calcule o valor de cada expressao:

b) 21 + 1092 5

a) 5 10 g 5 27 Solugdo:

a) 5 1095 27 = 27, pois, pela definicao, abga b = b. consequencia da definicao

b) 2 1 + 1°92 5 = 2' 2 1°g2 5 = 2 5 = 10

Exercicios propostos 1. Calcule, aplicando a definicao de logaritmo:

f) log s \F16

a) log, 1

5. 0 logaritmo de urn numero na base 8 é — 5 . Deter-

3

mine esse niimero.

2

b) log25 625

g) log, 3\,/

6. Em que base o logaritmo de 2 vrié igual a 3?

3

c) logo 01 10

h) logo V-2-

d) log4

i) log 100 50

e) log 5 27

j) 1098 3V:16

■

7. Calcule, pela definicao, o valor de x:

a) log3 log2 x = 0 b) logx

(E) = 8

3

8. Calcule o valor de cada expressao:

2. Calcule o valor da expressao

a) 31093 15

log2 8VY - 2 • log2 (log3 81). b) 23 ' 1°92 5

3. Determine x: a) log4 x = 1

b) log 3 x = -2 2

4. Determine as bases dos logaritmos:

c) 6' 1096 2 d) 3-2+1093 18 e)

5 -109,

f) 4

_ 1 + 2 • log2 5

a) logx 16 = 2 b) logx

16

9. Calcule x em cada caso a seguir:

=4

c) logx 5 = -1

a) log(3x _ 2) 4 = 2 b) log(2 _ 0) 8 = 3

Parte I

Propriedades dos logaritmos Logaritmo do produto Sendo a, b e c numeros reais positivos, a # 1, temos: log, (b • c •.= log. b + logs c

Veja a demonstracao. Sejam x, y e z numeros reais tal que: logs b = x ax = b (1) logs c = y Substituindo (1) e (2) em (3), temos: az = ax • aY

az = ax

aY = c (2)

loga (b • c) = z

z=x+y = loga (b • c) = loga b + loga

az = bc (3)

c

Exemplos: • log3 (81 • 9) = log3 81 + log3 9 = 4 + 2 = 6 • log2 ■/ + log2 Vi3 = log2 (Nr1 • Vi3 = log2 16 = log2 4 = 2

Logaritmo do quociente Sendo a, b e c numeros reais positivos, a

temos:

log. (7E ) log. b -

-

log, c

Vamos demonstrar.

x, y e z numeros reais tal que:

Sejam

logs b = x ax = b (1) logs c = y Substituindo (1) e (2) em (3), temos: ax a' = —

a Exemplos:

az = ax :

e

az = ax - Y

l ogs (7b ) = z = az = — b (3)

aY = c (2)

log. () = loga b - log. c

z=x- y

• log3 27 = log3 27 - log3 81 = 3 - 4 = -1 81 • log3 15 - log3 5 = log3

= log3 3 = 1

Logaritmo da potOncia Sendo a e b numeros reais positivos, a 1, e m urn numero real, temos: logs bin a m • log, b

Vejamos a demonstracao. Sejam x e y numeros reais tal que: logy b = x ax = b (1) logy bm = y = e

=

bin (2)

105

MOdulo 44 ■ Propriedades dos logaritmos

Substituindo (1) em (2), temos: = y = mx logs bm = m • toga b a yamx= Exemplos: • 3 • log2 2 = log2 23 = log2 8 = 3 • log2 32 = log2 25 = 5 • log2 2 = 5 • 1 = 5

ay = (a.).

-

Exercicios resolvidos 1. Usando as propriedades operatOrias, calcule log 2 (64 • 128). Solucao: loge (64 • 128) = log2 64 + log2 128 = log2 26 + log 2 27 = 6 • log2 2 + 2. Send° log x = 2, log y = 3 e log z = 5, calcule log

7 • log2 2 = 6 + 7 = 13

x3z4

Y

2

Solucao: log

4.

log (x3z4) - log y2 = log x3 + log z4 - log y2 = 3 • log x + 4 • log z - 2 log y = 3 • 2 + 4 • 5 - 2 • 3 =20

3. Sendo log 2 = x, calcule log 50. Solucao: Na forma fatorada, 50 = 2 • 5 2 . Dal, podemos escrever: log 50 = log (2 5 2) = log 2 + log 52 = log 2 + 2 • log 5 0 Como 5 = — , vem: 2 10 log 50 = log 2 + 2 • log (- = log 2 + 2 (log 10 -

2

Como

log 2)

log 2 = x e log 10 = 1, temos:

log 50 = x + 2(1 - x) = x + 2 - 2x = 2 - x Outra forma de resolver seria:

100

log 50 = log (- = log 100 - log 2 = log 102 - log 2 = 2 • log 10 - log 2 = 2 • 1 - x = 2 - x 2

Exercicios propostos 1. Usando as propriedades operat6rias dos logaritmos, calcule: 81 a) log, (125 • 625) c) log3

3VT

b) log2 16

1 d) log2 — J 32

2. Sendo log (a +

b) = m e a - b = 100, calcule log (a2 - b2) em funcao de m.

3. Sabendo que log 2 = a, calcule: a) log 16 b) log 40 c) log 25,6 4. Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule, em funcao de a e b: a) log 54 b) log 150 c) log 3 12 d) log 2,56

5. (UECE) Se log e (p2q2) = 5, entao log q p é igual a: a)

1 4

b)

2

, 3

C)

d) 4.

6. Se a soma dos logaritmos de dois numeros na

ba-

se 9 é 1, determine o produto desses dois nu2 meros. 7. Sabendo que a + b = 8 e log 2 (a - b) = m, calcule log2 (a2 - b2) em funcao de m. 27 8. Sendo log (- = k, ache log 3. 10

.Psreartry L 0

45

Logaritmos: Mudanca de base

Ao estudar as propriedades operatorias dos logaritmos, verificamos que elas so sdo validas se aplicadas a logaritmos de mesma base. Vejamos como transformar o logaritmo de um niimero positivo de uma base em outra. Sendo a > 0, b > b 1, c > 0, c 1, temos:

log, a -

loo. a b

Vejamos a demonstracao. Sejam x, y e z numeros reais tal que: bx = a} logo a = x logc a = y = cY--- a loge b = z

bx = cY (1)

cz = b (2)

Substituindo (2) em (1), temos: (c9x = cY

czx = cY

zx = y

x= 7

log, a -

loge a logc b

Exemplos: log2 5 • loge 5 =

log2 3

log 8 • logy 8 = , 0 g7 Do exposto, obedecidas as condigOes de existencia, temos algumas conseqiiencias: a) log„ a -

1

logs b

Exemplo: log2 5 -

1 log_ 2

b) logs b • log, a =

b

Exemplos: • log2 6 • log3 2 = log3 6 • log3 5 • log4 3 • log5 2 = log4 5 • log5 2 = log4 2 =

1 2

MOdulo 45 ■ Logaritmos: Mudanca de base

107

Exercicios resolvidos 1. Dado log 2 = x, calcule log2 20. Solugao: Mudando para a base 10, temos: loge 20 = log 20 log 2

log (2 10)

log 2 + log 10

log 2

log 2

x+ 1

2. Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule log 2 72. Solucao: Mudando para a base 10, vem: loge 72 =

log 72

log (2 3 • 32)

3 • log 2 + 2 • log 3

log 2

log 2

log 2

3a + 2b

-

a

3. Simplifique a expressao (log 4 9)(log 81 16)(log27 8)(log 8 3). Solucao: Mudando para a base 4 e aplicando as propriedades dos logaritmos, temos: log4 16

I

2 Jog. _4- log4 2

log4 3 =

113g4

=

1

9

log4 81

log4 27 jog-4-8"

• logo 22 = 1 — 3

Igg,-T-3-

A-log-3- 3 ilsxl-ra

_

2

• log4 2 =

3

1 3

•2 log4 2 =

1 log4 4 = — 3•1=1

3

Exercicios propostos 1. Classifique as expressOes em verdadeiras ou falsas: a) log5 9 = b) log5 9 =

log 9 log 5 1

4. Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcule: a) log2 432

d) log 3 540

b) log4 20

e) log 2 72

c) log2 500

f) log is 45

logs 5 5. Para log 5 2 = k e log 5 3 = /, calcule, em funcao de k e /:

1 c) log43 2 = — 3 • log4 2

a) log 45 b) log 240

2. (MACK-SP) 0 valor de log 3 5 log25 27 é: 2 a) — 3 •

b)

23

•

c) 2.

d) 3.

e) 1.

3. (Fuvest-SP) 0 niknero x > 1 tal que log x 2 = log4 x é: a)

2

.

2

b) 2 \ 2

.

c) d) 2 -\/.

e) 4 \ 2

.

6. Simplifique as expressOes: a) log2 16 • log4 3 • log25 2 • log 3 5 b) log3 9

log3 16

log3 8

log3 4

log3 81

log3 27

c) log4 9 • log 5 2 log8 125 • log27 8

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade Nos mOdulos 42 a 45, voce aprendeu o que sao logaritmos e que eles servem para resolver equa0es exponenciais. Na prcitica, entretanto, a utilizaccio desse conceito materncitico e muito ampla. A forca de urn terremoto, por exemplo, e determinada por uma funcao logarftmica que relaciona a amplitude das ondas sismologicas corn o tempo. Richter foi o inventor dessa funcao. Ela constitui o que hoje se conhece como escala Richter, que serve para medir a forca dos terremotos.

Ondas sismicas sao vibracOes provocadas por terremotos que acontecem na Terra. SismOgrafos sao aparelhos que gravam tail vibracOes usando tracos em ziguezague que mostram a variacao de amplitude dos terremotos. A duracao, a localizacao e a magnitude de cada terremoto podem ser determinadas por estes aparelhos, instalados em estacOes sismolOgicas em todo o mundo. A escala Richter foi desenvolvida por Charles F. Richter, em 1935, no Instituto de Tecnologia da CalifOrnia, USA, para comparar dados e efeitos de terremotos. A magnitude de urn terremoto e determinada por uma funcao logaritmica da amplitude das ondas sismolOgicas gravadas em urn sismOgrafo. Ajustes sao feitos para incluir dados como a distancia entre a estacao sismolOgica e o epicentro do terremoto (e o ponto da superficie da Terra localizado diretamente sobre o foco do terremoto) e o intervalo entre duas ondas. Richter usou a fOrmula abaixo para determinar uma escala para medicao da forca dos terremotos: M = logio A(mm) + 3 logic, [8 At(s)] — 2,92, •

•

em que M é a magnitude do terremoto (o que originou a tabela Richter), A(mm) é a amplitude (em milimetros) do terremoto medida em urn sism6grafo e Ate o intervalo (em segundos) entre as ondas S (superficial) e P (pressao maxima), tambern medidas no sismOgrafo. 0 diagrama abaixo mostra como usar a escala original de Richter para os dados de uma estacao sismografica do sul da California.

Contextos, aplicacbes, interdisciplinaridade

No exemplo dado, temos At = 24s e A = 23 mm. Usando a fOrmula da pagina anterior, temos: M = logio 23 + 3 • logio (8 • 24) — 2,92 = 1,36 + 3 • 2,28 — 2,92 = 5,28 Pode-se elaborar a tabela abaixo corn base nos efeitos dos terremotos e na medicao de sua magnitude: Magnitude Richter

Efeitos

Menor que 3,5

Geralmente nao sentido, mas gravado.

Entre 3,5 e 5,4

As vezes sentido, mas raramente causa danos.

Entre 5,5 e 6,0

No maximo causa pequenos danos a predios bem construidos, mas pode danificar seriamente casas mal construidas em regides prOximas.

Entre 6,1 e 6,9

Pode ser destrutivo em areas em tomb de ate 100 quilOmetros do epicentro.

Entre 7,0 e 7,9

Grande terremoto, pode causar serios danos nu ma grande faixa de area.

8,0 ou mais

Enorme terremoto, pode causar grandes danos em muitas areas mesmo que estejam a centenas de quilOrnetros.

Terremoto mata mais de 2 mil na Turquia Urn dos mais fortes terremotos das ultimas decadas atingiu a Turquia na madrugada de ontem, causando a morte de pelo menos 2 mil pessoas e ferimentos em outras 10 mil, segundo calculos iniciais. "Milhares estao soterrados, que Ala nos proteja", disse o primeiro-ministro, Bulent Ecevit, indicando que o raimero de mortes podera aumentar. 0 tremor, 7,8 graus na escala Richter, de acordo corn o registro nos EUA, foi sentido em varias cidades, entre elas Istambul, onde 20 edificios desabaram e 150 pessoas morreram. Em panico, a populacao da capital turca, de 7,7 milhoes de pessoas, foi para as ruas. Cerca de 250 pequenos abalos se seguiram ao primeiro e mais intenso, que durou 45 segundos. Numa base naval morreram cerca de 300 marinheiros. Centenas de feridos aguardavam atendimento nas ruas. Pontes ruiram e fendas no asfalto dificultavam a chegada de socorro. Boa parte do pals ficou sem agua e energia. Tambern as comunicacOes foram cortadas. A ONU, EUA, Alemanha, Franca e Italia ofereceram ajuda a Turquia.

Tremor atingiu 7,8 graus da escala Richter; milhares de pessoas continuam soterradas e o socorro e lento.

Extraido de: 0 Estado de S. Paulo, 18 de agosto de 1999.

M O D ULO

46

Funcao logaritmica

Definicao e representagao grafica Chamamos de funcao logaritmica de base a (1 a > 0) a funcao que associa a cada elemento x positivo o seu logaritmo nessa base: f(x) = logs x definida de 01: em

corn 1 # a > 0

Ao estudar a funcao exponencial, vimos que ela, definida de DI em Er, e bijetora e, portanto, admite tuned° inversa, que e a tuned° logaritmica: f(x) = ax definida de 01 em f-1 (x) = logy x definida de R: em IlR Do estudo das funeOes inversas, sabemos que, no piano cartesiano, seus graficos sao simetricos em relacao a bissetriz do 1 0 e 3Q quadrantes. Assim, para as funcOes exponencial e logaritmica, de base a > 0 e a # 1, temos: a>1

0 < a 1

0Toga x1

conserve o sinal da desigualdade

V x, E

l e V x,

E

> x., =

log. xz

< IOga x.,

inverte o sinal da desigualdade

MOdulo 46 ■ Funcao logaritmica

111

Exerciclo resolvido Construa, num mesmo piano cartesiano, os graficos das fungOes dadas: a) y1 = log2 x e sua inversa y2 = 2x, corn x E [FR: 1 )x, com x E D b) y3 = log i x e sua inversa y4 = ( 7 2 SOIU950:

Como as funcOes sao inversas, basta construir o grafico de uma delas e, depois, permutar as coordenadas dos pontos desse grafico para obter as do outro. a)

x

y1

1 log2 T

-2

-1

IN

1-

loge x

1 log2 2

1

loge 1

0

2

loge 2

1

4

loge 4

2 y1 = log2 x

a = 2 (a > 1) b

x

logs x i

1 logs 7 `+ IN

1-

logs

1

log s 1

fungi-5es crescentes

y3

2

1

1

Z 4 0

2

2

logs 2

-

4

log s 4

-2

1

2

1 a = — (0 < a < 1)

funcoes decrescentes

Exercicios propostos 1. Construa os graficos das funcoes f: b) f(x) = log s x a) f(x) = log 3 x 2. Construa, num mesmo piano cartesiano, os graficos das funcoes reais y 1 = log 2 x e y2 = -log2 x.

3. Determine o dominio das seguintes funcoes: a) f(x) = log (x 2 - 4x + 3) b) f(x) = log, (x2 - 2x + 1) c) f(x) = log (x 2 - x + 1)

741017VLO

47

EquacOes logaritmicas

Equaceles corn logaritmos, ern que as variaveis podem aparecer no logaritmando ou na base, sao chamadas equacoes logaritmicas. Para resolve-las, aplicamos a definicao, as condicOes de existencia e as propriedades dos logaritmos.

Resolva as equagoes em R: a) logx (2x + 15) = 2 b) log 1 (x2 - 4x + 4) = 0 3

c) 2 • log2 x4 = 1 + log2 x3 Solucao: a) logx (2x + 15) = 2 Pela definicao de logaritmo, temos: x2 = 2x + 15 = x2 - 2x - 15 = 0 = x = 5 ou x = -3 Comparando os resultados obtidos corn as condicoes de existencia dos logaritmos, temos: • para o logaritmando: 2x + 15 > 0

x>-

15 2

• para a base: 1 # x > 0 •

Verificamos, entao, que -3 é incompativel. Logo: s=f51 b) log 1 (x2 - 4x + 4) = 0 3-

Pela definicao de logaritmo, temos: 1 x2 - 4x + 4 = (- 1 3 x2 - 4x + 4 = 1

x2 - 4x + 4 = 1 (1) x2 - 4x + 3 = 0, cujas rafzes sao x = 3 ou x = 1.

Comparando as raizes corn a condicao de existencia dos logaritmos, temos, para o logaritmando: x2 - 4x + 4 > 0 Condicao que já foi satisfeita ao resolvermos a pr6pria equacao (1). Entao, as duas raizes sac) compativeis: SO, 31

MOdulo 47 ■ Equacoes logaritmicas

113

c) 2 • log2 x4 = 1 + log 2 x3 Aplicando a propriedade do logaritmo da potencia, temos: 2 • 4 • log2 x = 1 + 3 • log 2 x

8 • log2 x = 1 + 3 • log2 x

Fazendo log2 x = y, temos: 8y = 1 + 3y

5y = 1

y=

1

1 Como log2 x = y = — 5 , pela definicao de logaritmo, vem: x = 25 = Comparando o resultado obtido corn a condicao de existencia do logaritmando (x > 0), verificamos que compativel: S=IVTI

Exercicios propostos a) log, 4 = 2

11 c) log3 x + log9 x + log 27 x = — 6

b) log2 (2x + 3) = log 2 x2

d) log2 x + log vi x + log1 x = 8

1. Resolva as equacties em R:

c) log (x2 + 2x - 3) = log (x - 3) d) log(X _ i) (x2 - 4x + 7) = 2

e) log3 (x - 2) - log 9 (x - 2) = 1

e) log( ,_, ) 4 = 2

f) (log9 x)2 = log3 x

2. Dadas as equacoes a seguir, resolva-as em R:

5. Se x e y sao numeros reais tal que

a) log (3x - 1) + log vi x = 2 b) log3 (x2 - x - 6) = log 3 4 + log3 (x - 3)

log x + log y = 1 {

log x - 3 log y = -7

c) log2 (x + 3) = 2 + log 2 (x - 5)

entao:

d) loge x + log2 2x + loge 4x = 6

x a) — = 10-3 .

d) x > y.

b) x+y=100.

e) x y < 0.

e)

2 - log x -3=0 1 - log x

f) log (x - 9) + 2 • log J2x -1 = 2 3. Determine o valor de x nas equacoes:

a) 2 • log2 x - 5 log x + 2 = 0

c) x = -99. 6. (FEI-SP) A equacao log 3 x = 1 + log x 9 tem duas

raizes reais. 0 produto dessas raizes é: a) 0.

b) (log2 x)2 - 6 = log 2 x b)

c) 3 • log29 x + 3 = log, xl° d) (log x)2 = 2(-2 + log x2) 4. Calcule o valor de x em cada uma das equacties:

a) log s x +.1og 4 x + log2 x = 7 b) log s (x + 2) + log 3 (2x - 1) = 0

1 —.

3

e) 3.

c) 9. d) 6.

7. (FAAP-SP) 0 conjunto solucao da equacao logarit-

mica log4 (x2 + x) =

é:

a) 1-1, 2 1.

c) 1-2 1.

b) 1-2, 1 }.

d) 11 1.

e) 0.

746DITLO

48

InequacOes logaritmicas

InequacOes corn logaritmos, em que as variaveis podem aparecer no logaritmando ou na base, sao chamadas de inequacaes logaritmicas. Na resolucao, sendo f(x) > 0 e g(x) > 0, e respeitadas as condicOes de existencia dos logaritmos, temos: • quando a > 1, a relacao de desigualdade entre f(x) e g(x) se mantOrn log. f(x) > log. g(x)

f(x) > g(x)

• quando 0 < a < 1, a relacao de desigualdade entre f(x) e g(x) se inverte log. f(x) > log. g(x)

f(x) < g(x)

Acompanhe a resolucao dos exercicios.

ExerriClOs resolvidos 1. Resolve as inequacOes em R: a) log, (2x - 1) < log 2 5 b) (log x)2 - log x - 6 0 Solucao: a) loge (2x - 1) < log 2 5 Como a base 2 é major que 1, vem: 2x-10

1 x> 2 —

(2)

Logo, de (1) fl (2), temos:

x

(1)

pp-

(2) (1) fl (2) 2 S={xER1-12- 0), temos: D=

e R1 0 < x 41

Exercicios propostos 1. Classifique as sentengas abaixo em verdadeiras ou falsas:

3. Determine em R o conjunto solugdo das inequagoes:

a) log3 9 < log3 12

a) log2 x + 1

b) log 1 3 < log 1 5 7

b) log2 4(x - 1) + log 2 (x - 1) - 2 5 2 • log 2 3 1 2 c) log4 (3x + 1) + log4 x > —

c) log 2 5 > log 2 3 1

log i d) log 2 7 3 2 1 e) log2 — < 0 2

log2 (x2 - 1)

9

2

2. Resolva as inequagOes em R:

-9-

4. Resolvendo a inequagdo 1 5 log (x - 1) < 2, com

x > 1, obtemos: a) 10 x 100.

99. d) 9x599.

b) 10 < x < 100.

e) 9 < x < 99.

c) 11

x

101.

a) -1 + log 1 (x - 1) > 0 5. 0 dominio da fungao real f(x) = j log x é:

1 — < log (2x) b) 2 21 c) log 1 (10 - x2) 5 0 3

a) kERIx> 01.

d)

b)

e) kER1x> 11.

c)

0}. E R10 < x 11.

Pa rte I

Seqiiencia Progressao aritmetica (I) Sequel-Ida ou sucessao Todo conjunto de elementos, numericos ou nao, colocados numa determinada ordem é chamado de sequencia ou sucesseio. Em uma secliencia, o primeiro elemento e indicado por a l , o segundo por a2, o enesimo elemento por an e assim sucessivamente: ( a,,

a 2,

a 3'

...)

eriesimo termo 32 termo 22 termo 1 2 termo

Progressao aritmetica Uma sequencia de numeros reais é chamada de progressao aritmetica(PA) quando cada um de seus termos, a partir do segundo, e igual a soma do anterior corn uma constante r, chamada razdo da PA: (a1 , a2, a3,

a., ...) é PA

II = an

_

,cornn?.-2enEN1

Entao: • a 1 é o 19- termo • a2 = al ÷ r • a3 = a 2 + r •• a 4 = a 3 + r • ... • an = an- 1 + r • • • •

a2 a3 a4 ...

termo geral da PA

Desse modo, em uma PA, subtraindo de cada termo o seu anterior resulta a razdo r: a2 — a l = r = al + r + r a3 — a2 = r = a2 as, — a 3 = r = a3 + r

• an = an 1 + r =an — an - 1 = r Logo

= a3 — a 2 = a4 — a 3 = = an — a

Veja alguns exemplos:

• (2, 5, 8, 11, ...) é uma PA de raid() r = 3 • (4, 2, 0, —2, —4, ...) é uma PA de raid.° r = —2

MOdulo 49 ■ SeqUencia - Progresso aritmetica (I)

117

Podemos relacionar entre si termos nao-consecutivos de uma PA. Vamos estabelecer uma relacao entre a3 e a7 . a 7 = a 6 +r=a 5 +r+r=a 4 +r+r+r=a 3 +r+r+r+r a6 a5 a, Entao, a7 = a3 + 4r. Da mesma forma, a 8 = a5 + 3r ou a10 = a4 + 6r. Tambem podemos relacionar tres termos consecutivos: o termo do meio é a media aritmetica ap _ 1 , ap , ap ..., an) uma PA, temos: entre os outros dois. Assim, sendo (a 1 , a2, a3 ,

Veja na pagina 130 tres exemplos de aplicacao pratica do modelo matematico de progressao aritmetica.

XercIcios resolvidos 1. Verifique se cada uma das seqiiencias abaixo é PA e, em caso afirmativo, determine a razao.

a) (-2, 1, 4, 7)

b)(

1_1, 2) 3 6 3

Solucao: a) A seqUencia é PA se, subtraindo de cada termo o seu anterior, o resultado for constante e igual a razao r, ou seja, se a4 - = a, - a, = a2 -a1 = r. Como: 7 - 4 = 3, 4 - 1 = 3, 1 - (-2) = 3, a sequencia é PA de razao r = 3. b) Devemos ter a3 - a2 = a2 - a1 = r. 1 _ 1 e _ 1 1 Como: - 1 - - - - - = -I, a sequencia é PA de razao r = 3 6 2 6 3 2

2

2. Determine x na PA (x, -3 - 2-)• 2 3 Solucao: Como numa PA o termo medio é a media aritmetica dos outros dois, temos: 2 X -a l + a3 3 = 3 2 11 = a2 x- -2 =3 x=3+-= 2 2 2 3 3 3

Exercicios propostos 1. Verifique se cada uma das seguintes sucessties é

PA e, em caso afirmativo, determine a razao. a) (5, 5, 5, ...) b) (6, 2, -2, -6, -10) c) (1; 0,7; 0,4; 0,1) d) (x, 2x, 3x, 4x, ...) e) (-1, 0, 1, 2, 4, 5) 2. Classifique as sentencas abaixo em verdadeiras

ou falsas: a) A sequencia (5, 9, 13, 17, 21) é uma PA.

b) A razao da PA (VT,

4Nri, 6jY) é 2.

c) Na PA (1, 7, 13, 19, ...), a 1 = 1 e r = 5. 3. Calcule os valores de a, b e c de modo que a sequencia (-8, a, b, c, -6) nessa ordem seja PA. 4. Sabendo que 1, 3 + x e 17 - 4x sao termos consecutivos de uma PA, ache o valor de x. 5. Encontre o valor de x em cada PA: 1 2 a) (x, - , -2 5

b)

x,3 2

iertrYT:11111

50

Progressao aritmetica (II)

Classificagao Dependendo da razdo r, uma PA pode ser: a) crescente, quando r > 0 Por exemplo, a PA (4, 7, 10, 13, ...): a2 — a, = r 7—4=3>0 Logo, a PA é crescente.

c) constante, quando r = 0 Por exemplo, a PA (3, 3, 3, 3, ...): a2 al = r 3—3=0 Logo, a PA é constante. -

b) decrescente, quando r < 0 Por exemplo, a PA (15, 10, 5, 0, —5, ...): a 2 a l =r = 10 — 15 = —5 < 0 Logo, a PA e decrescente. -

Representagao Para representar uma PA de razdo r e termos desconhecidos, podemos proceder de varias maneiras, por exemplo: a) considerando a l = y: (y, y + r, y + 2r, ...) b) considerando a l = y — r: (y — r, y, y + r, ...)

Formula do termo geral Uma PA de razao r pode ser escrita assim: (a l , a2, a3, a4, a5,

a n 1, an)

Aplicando a definicao de PA, podemos escreve-la de outra forma: a3 a4 as an a2 (a l , ai + r, ai + 2r, ai + 3r, a i + 4r, ..., a i + (n — 1)r) Portanto, o termo geral da PA sera: , para n E

Exercicios resolviclos 1. Determine o 199 termo da PA (3, 9, 15, ...). SOiKa0:

Como al = 3 e r = 6, temos: a19 =a1 + 18r= 3 + 18 • 6 = 111

Modulo 50 ■ Progresso aritmetica (II)

119

2. Numa PA, o produto de seus fres termos é igual a 15 e a sua soma é 9. Escreva essa PA. So!Kat): (a1 , a2 , a3) = (x - r, x, x + r) x-r+x+x+r= 9 (x - r)x(x + r) = 15

3x=9

x=3

(3 - r)3(3 + r) = 15

9 - r2 = 5 = r2 = 4

r = ±2

x = 3 e r = 2 — ■ (1, 3, 5) x = 3 e r = -2

(5, 3, 1)

3. Escreva a PA de razao 3 e a22 = 52. Solucao: + 21r = 52 = + 21 •3 = a 1 =52-63=-11 a22 A PA e (-11, -8, -5, -2, 1, ...). 4. Sabendo que, numa PA, a 3 = 13 e a12 = 49, escreva essa PA. Solucao: a12 = a, + 9r 49 = 13 + 9r = 9r = 36 r=4 a, = + 2r

13 = + 8

a1 =5

A PA e (5, 9, 13, 17, ...). 5. Interpole sete meios aritmeticos entre -2 e 22. Solucao: Interpolar sete meios aritmeticos entre -2 e 22 significa colocar sete nUmeros reais entre -2 e 22 de modo que, juntamente corn esses numeros, formem uma PA. Assim, temos: 1

(-2 ,

„

22)

a1 = -2 a9

=

22

a, = + 8r 22 = -2 + 8r 8r = 24 = r = 3 Entao, a PA é (-2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22).

Exercicios propostos 1. Calcule a razao de uma PA, ern que a1 = 4 e a10 = 67.

8. Numa PA de razao 5, o 1 2 termo é 6. Que lugar ocupa o termo cujo valor é 56?

2. Determine a20 na PA ern que a 1 = -3 e r = 5. 3. Ache o 602 numero natural Impar. 4. Urn corpo, em queda livre, percorre 4,9 m durante o 1 2 segundo. Depois disso, em cada segundo percorre sempre 9,8 m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o corpo percorrera em 8 segundos?

9. Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1 000? 10. Determine a razao de uma PA corn dez termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois Oltimos é 53. 11. Interpole oito meios aritmeticos entre -5 e 40.

5. Qual é o 1 2 termo da PA de razao 3 cujo 7 2 termo é 21? 6. Dada a PA (a + b, 5a - b, ...), determine seu 4 2 termo. 7. Numa PA crescente de cinco termos, a 5 e a, sao, respectivamente, as razes da equagao x2 - 12x - 64 = 0. Calcule a razao dessa PA.

12. Inscrevendo nove meios aritmeticos entre 15 e 45, qual e o 62 termo da PA? 13. Quantos meios aritmeticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razao da PA obtida 1 seja — ?

2

M O DUL 0

51

Progressan aritmetica (III)

Soma dos n termos de uma PA Considerando-se a PA (a 1 , a2 , a3 , ..., an 2, an _ 1 , an), a soma S. de todos os termos dessa progressao pode ser escrita assim: • Sn = a l + a2 + a3 +

+ an _ 2 + an _ 1 + an

• Sn = a i + (a i + + (a i + 2r) +

+ (an - + an (1) ou

• Sn = an + (an - + (an - 2r) +

+ (a i + + a l (2)

Somando (1) corn (2) membro a membro, obtemos: 2S = (a l + an) + (a 1 + an) +

+ (a i + an) = (a 1 + a Jr'

n parcelas (a 1 + an) Assim, essa e a expressao que nos dd a soma dos n termos de uma PA.

Exercicios resolviclos 1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA (-4, -2, 0, 2, 4, 6, ...). Solucao: a, = -4 n = 30 r = a2 - = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2 S20 = ? Para determinar a soma de n termos de uma PA, é necessario conhecer o seu enesimo termo. Assim: an = + (n - 1)r (a, + a30 )30 S

—

a30 = -4 + (30 - 1)2 = -4 + 58 = 54 (-4 + 54)30

2

2

—

750

2. Calcule o nUmero de termos da PA (7, 9, 11, 13, ...), sabendo que a soma deles é 160. Solucao: al = 7 r = a2 - = 9 - 7 = 2 Sn = 160 n=?

Mbdulo 51

■ Progressao aritmetica (III)

121

Aplicando a formula da soma dos termos da PA, encontramos: (a, + an)n (7 + an)n Sn = 160 = 7n + ann = 320 (1) (equacao do 1 2 grau corn duas incognitas) 2 2 Recorrendo a fOrmula do termo geral, temos: an = + (n - 1)r = 7 + (n - 1)2 = 7 + 2n - 2 = 5 + 2n (2) Substituindo (2) em (1), vem: 7n + (5 + 2n)n = 320

2n2 + 12n - 320 = 0

n2 + 6n - 160 = 0

n=

-6 +

2 676

n = 10 ou 2 n = -16 (este valor nao a conveniente, pois nao podemos considerar uma PA corn nOmero negativo de termos) Logo, a PA tem 10 termos. 3. Determine a soma de todos os mUltiplos positivos de 5 formados por dois algarismos. Solucao: 0 primeiro multiplo de 5 corn dois algarismos e 10 (a, = 10). 0 Ultimo é 95 (a n = 95). Como essa PA sera formada apenas por mUltiplos de 5, é facil perceber que a diferenca entre cada termo e seu anterior tambem sera 5 (r = 5). Observe: (10, 15, 20, ..., 95) Pela fOrmula do termo geral, temos: = + (n - 1)r 95 = 10 + (n - 1)5 = 85 = 5n - 5

5n = 90

n = 18

Pela formula da soma dos termos, vem: (a, + an)n Sn

2

(10 + 95)18 S 18

2

- 105 - 9 = 945

Exercicios propostos 1. Calcule a soma dos numeros naturais de 1 a 300. 2. Determine a soma dos termos da PA (a, 3a, 5a, ..., 25a). 3. Resolva a equacao x + 2x + 3x + + 40x = 1 640.

10. Ao efetuar a soma de cinquenta parcelas da PA (202, 206, 210, ...), por distracao nao foi somada a 35a parcela. Qual foi a soma encontrada? 11. Numa PA de doze termos, a soma do 1 2 termo com o ultimo é 10. Calcule a soma dos termos dessa PA.

4. Numa PA de 100 termos, a50 + a51 = 10. Calcule S100• 5. Calcule a soma dos dez primeiros termos de uma PA de razao 8 em que o 1 2 termo vale 5. 6. Determine a soma dos cem primeiros nOrneros impares positivos. 7. Encontre a soma dos 22 termos de uma PA em que = 7 e a22 = 70. 8. Calcule a soma dos dez primeiros termos de uma PA de dez termos, sendo a, = 2 e r = 7. 9. Qual o valor de a na soma a + 2a + 3a + + 39a + 40a = 4100?

12. Uma PA tern vinte elementos. Seu 1 2 termo é 1 e a soma de seus termos é 590. Determine o 15 2 elmnto. 13. Urn professor de Educacao Fisica, utilizando 1 540 alunos, quer alinha-los de modo que a figura formada seja urn triangulo. Se na primeira fila for colocado um aluno, na segunda 2, na terceira 3 e assim por diante, quantas filas sera° formadas? 14. Em janeiro depositei R$ 100,00 no banco, em fevereiro R$ 200,00, em marco R$ 300,00 e assim sucessivamente, aumentando R$ 100,00 a cada mes nos depOsitos, sem falhar em nenhum deles. Quanto terei depositado apOs quatro anos se mantiver esse mesmo procedimento?

Parte I M 6 DU

52

Progressao geometrica (I)

Uma seqiiencia de numeros reais nao-nulos a chamada de progressao geometrica (PG) quando cada urn de seus termos, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q, chamada razao da PG. a2, a3, ..., an, ...) e PG ,comn% 2 enEIN

• • • • • •

Entao: a1 éol.Q termo da PG a2 = al • q a3 = a 2 • q a4 = a3 q an = an 1 q

termo geral da PG

Veja alguns exemplos: • (3, 9, 27, 81, ...) e uma PG de razao q = 3 • (2, -4, 8, -16, ...) e uma PG de razao q = -2 .

1 • (9, 3, 1, 3- , ...) é uma PG de razao q = 1 Podemos relacionar tres termos consecutivos da PG da seguinte forma: o termo do meio é a media geometrica dos outros dois. Assim, sendo (a 1 , a2, ap _ 1 , ap, ap+i, ..., an ...) uma PG, entao: ap ap + 1 aa P- 1 ,

Veja na pagina 131 dois exemplos de aplicagdo pratica do modelo matematico de progressao geometrica.

Classificagao Dependendo da razao q, uma PG pode ser: a) crescente, quando: • q > 1 e seus termos sao positivos; exemplo: (1, 3, 9, 27, ...) • 0 < q < 1 e seus termos sao negativos; exemplo: (-81, -27, -9, -3, ...) b) decrescente, quando: • q > 1 e seus termos sao negativos; exemplo: (-1, -3, -9, -27, ...) 2 2 2 • 0 < q < 1 e seus termos sao positivos; exemplo: (2, _ , _ , _ , .. ) 3 9 27 c) alternante, quando q < 0; exemplo: (5 ; -50, 500, -5 000, ...) d) constante, quando q = 1; exemplo: (9, 9, 9, 9, ...)

MOdulo 52 ■ Progressao geometrica (I)

123

Representagao Podemos representar uma PG de razao q e termos desconhecidos de algumas maneiras, por exemplo: • considerando a 1 = y: (y, yq, yq2 • considerando a 1 = 4 ()1 :

l

q

,

...)

y, yq, ...)

Exercicios resolvidos 1. Dada a PG (5, 10, 20, 40, 80), determine sua razao. Solugao:

Pela definigao de PG: an = an _ • q

q-

an

Assim: 10 20 40 80 q = 5 = 10 - 20 - 40

2

2. Verifique se a sequencia (4, 12, 36, 45, 108) é uma PG. Solugao: Essa sequencia sera uma PG se: a2 a3 a4 a = 5 =q = a1 a2 a3 a4 Entao: a2 = 2 =3 a3 = 36 = 3 a4 = 45= 5 = — e 4 a2 12 a3 36 4 a1

=

og

Portanto, a sequencia nao é uma PG. 3. (MACK-SP) Sabendo que (x, x + 9, x + 45) a uma PG, determine o valor de x. Solugao:

Sabendo que o termo do meio é a media geometrica entre os outros dois, temos: x2 + 18x + 81 = x2 + 45x -27x = -81 = x = 3 18x - 45x = -81 (x + 9)2 = x(x + 45)

Exercicios propostos 1. Classifique as sentengas abaixo em verdadeiras ou falsas:

3. Qual o nOmero que se deve somar a 1, 3 e 4 para que se tenha, nessa ordem, uma PG?

a) A sequencia (6, 18, 54, 162) é uma PG. b) Na PG (-2, -6, -18, -54, ...) a razao é 3. c) A razao da PG (x, x 2 , x3 , x4 , ...) e q = x. d) A sequencia (15, 15, 15, ...) a uma PG de razao zero. e) 0 52 termo da PG (-81, -27, -9, ...) é a 5 = -2. 2. Determine o valor de x em cada PG:

a) (x, 6, 9)

b)

, x, 6)

4. (UFRS) A cada balango uma firma tern apresentado urn aumento de 10% ern seu capital. A razao de progressao formada pelos capitais nos balangos é: a) 10. •q)

9 10

M O DIIL 0

53

Progressao geometrica (II)

FOrmula do termo geral Numa PG (a l , a2 , a3, ..., a., ...) de razdo q, pela definicao, temos: • a2 = al • q • a3 = a2 • q= (a 1 • q)q = a l • q2 • a4 = a3 • q= (a1 q2)q = a l q3 Assim, podemos verificar que a10 = a l • q9 ou a40 = a l • q39. Portanto: , corn nENIen ? 2 - -

em que e o termo geral, a l , o 19- termo, n, o numero de termos e q, a razdo da PG.

Exercicios resolvidos 1.

1 1 1 Determine o 89- termo da PG 1 — , — , — , .... 8 1 27 9

solucao:

7

q

=— a11 81 1 V

1

= 3

81 •

81 a8 = 9' Pela formula do termo geral: a88

2.

a11 -1 q8 -1

7 = I 37 = 1

81

34 =33

a8 = 27

Determine quantos termos tem a PG (6, 18, ..., 1 458). Solucao: a1 = 6

q=

18

T

=

3

an = 1 458 n=? an =

qn -1

1 458 = 6 3" -1

3n-1 =

1 4 58 _ 6

243 = 35

n-1=5

n=6

Modulo 53 ® Progress8o geometrica [II]

125

3. Determine uma PG oscilante de nove termos, sabendo que o 4 2 termo é 3 e o 8 2 é 48.

Solucao: a4 = 3 a, • q 3 = 3 a„ = 48 a , q7 = 48

(1) (2)

Dividindo membro a membro (1) e (2): q3 3 1 1 _ —= — q° = 16 48 q4 16 q7

q = ± V16 = -±2

Como a PG é oscilante, q = -2. Entao:

a4 = 3

a, .

A PG sera (-8

= 3

4

a, =

8

(-2)3

2 , 3, -6, 12, -24, 48, -96).

4. Interpole quatro meios geometricos entre 2 e 486.

Solucao: Interpolar quatro meios geometricos entre 2 e 486 significa formar uma PG corn seis termos: quatro meios geometricos

(2, _ , _ „ 486) Para isso, basta calcular a razao q: an = a ,

q" - '486 = 2 • q 6-1

5

=

486 = 243 = 35 2

q=3

Dal: a2 = a, q = 2 3 = 6 a3 = a2 • q = 6 3 = 18 a4 = a, • q = 18 3 = 54 a5 =a4 q = 54 • 3 = 162 Logo, a PG sera (2, 6, 18, 54, 162, 486).

Exercicios propostos 1. Determine o 31 2 termo da PG (4, 6, 9, ...). 2. Numa PG de doze termos, o 1 2 é igual a 5 e a razao é q = 2. Determine seu Ultimo termo. 3. Calcule o 1 2 termo de uma PG, sabendo que a9 = 1 280 e q = 2. 4. Numa PG de sete termos, a razao é 2 e o 1 2 termo é 5. Determine o ultimo termo.

7. Calcule o 1342 termo da sequencia (-3, 5, -6, 10, -12, 20, ...). 8. Faca a interpolacao de cinco meios geometricos entre 4 e 2 916. 9. Quantos termos tern uma PG, se o 1 2 termo é 3, a razao é 2 e o ultimo termo é 48? 10. Numa PG, o 52 termo é igual a 243. Calcule o seu 1 2 termo, sabendo que ele é igual a razao.

5. Sabendo que, numa PG de cinco termos, o 1 2 termo é 4 e o ultimo é 324, determine a razao dessa PG.

11. Escreva a PG em que sao validas as relacties a, + a6 = 160 e a, + a, = 1 280.

6. (Cesgranrio-RJ) A soma de tres numeros em PG crescente é 26 e o termo do meio é 6. Qual o maior desses numeros?

12. Quantos meios geometricos devemos inserir entre 2 e 1 024 de modo que a razao de interpolacao seja 2?

Pa rte I oDULO

54

Progressao geometrica (III)

Soma dos termos de uma PG limitada Dada a PG (a l , a2 , a3 , expressa por: Sn =a l +a 2 + a3 +

an _ 1 , a.) de raid() q # 0 e q # 1, a soma S. de seus n termos pode ser

+ a.-1 + an

(1)

Multiplicando ambos os membros por q, temos: q • S.= (a i + a2 + a3 +

+

+ an)q

q • S. = a l • q + a2 • q + a3 • q + a2

q • S. = a2 + a3 + a4 +

+ a. + a. • q

a3

+ a n-1

a,

an

(2)

Subtraindo (1) de (2): + q • S. = -F` 4 + S. = a l +`•ii2 +`a+... +

+ a. • q an •q - al

q • S. - S. = an • q - a l

S.(q - 1) = a n • q - a l

Sn

—

(q # 1)

q- 1

Substituindo a n = al • qn -1 , temos:

al Sn

qn - 1

—

q-

q 1

al • qn - al S

n

ai(qn -1 Sq-1 )

q-1

n

# 1)

Soma dos termos de uma PG limitada e constante Como a PG é constante, q = 1. Entao: = + al + al +

+a1

S. = n • al

n parcelas iguais a a,

Exercicios resolvidos 1. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (-3, 6, -12, 24, ...). Solucao: a, = -3 6 = -2 q= n = 10 =? Sn —

a (q" - 1) 1 q-

1

(-3)[(-2) 10 -1] 0—

-2-1

-

3(1 024 -3

-

1)

— 1 023

•

q + a. • q

Modulo 54 • Progressao geornetrica (III)

127

2. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PG (-4, -4, -4, ...). Solucao: a 1 = -4

-4 =1 q n = 30 Sn = S30 = ? Como a PG é constante (q = 1): Sn = a1 • n

S30 = -4 • 30 = -120

3. Qual o numero de termos da PG em que a 3 = 9, q = 3 e Sn = 1 093? Solucao: a3 = 9 q= 3 Sn = 1 093 n=? Como a3 = a1 q 2 , temos: 9 = al • 32 = 9 = 9a1

a=1

Entao: S = al(q 1) q-1

(^ - ) 1 093 = 13 1 3-1

1 093 =

3" -1

2

2 186 = 3" - 1

3" = 2 187

3" = 37

n=7

A PG tem 7 termos.

Exercicios propostos 1. Calcule a soma dos doze primeiros termos da PG (1, 3, ...).

8. Um vazamento em um tanque de gasolina provocou a perda de 2 L no 1 2 dia. Como o orificio responsavel pelas perdas foi aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, quantos litros de gasolina foram desperdicados no total, apOs o 102 dia?

2. Determine a soma dos quinze primeiros termos da PG (-3, 6, ...). 1 3. Sabendo que, numa PG, a1 = 2 e que a razao vale 0 2, calcule a soma dos oito primeiros termos.

9. Calcule a soma dos dez primeiros termos de uma PG onde = 8 e a, = 1.

4. Considere uma PG em que o 32 termo é 40 e o 62 é-320.Sabendoqurzégativ,de-

5. (PUCC-SP) 0 72 termo de uma PG é 8 e a razao é -2. Determine a soma dos Wes primeiros termos dessa progressao.

10. (FAAP-SP) E dado um quadrado de 4 m de lado. Intemamente, unindo-se os pontos medios dos seus lados, constrOi-se um segundo quadrado e assim sucessivamente. Incluindo o quadrado de 4 m de lado, calcule a soma das areas dos vinte primeiros quadrados.

6. Qual o numero de termos da PG em que al = 3,q= 2 eSn = 381?

11. Qual o primeiro termo de uma PG de 7 termos, razao 2 e soma dos termos 508?

7. Considere a PG (3, 12, ...). Se somarmos os n primeiros termos dessa PG, encontraremos 4 095. Determine n.

12. Resolva em IR a equacao 511 x x — + — + + 32x = 2 8 4

mine a soma dos oito primeiros termos.

Progressao geometrica (IV) Soma dos termos de uma PG infinita Dada a PG infinita (a 1 , a2 , a3, ...) de razdo q, q # 0, para determinar a soma S dos seus infinitos termos, temos: a) se q < -1 ou q > 1 (14 > 1), S tende a -co ou +cm (o que significa que e impossivel determinar S); b) se -1 < q < 1 (lq < 1), S converge para urn valor finito. a1 (qn- 1) , temos que, q-1 quando n tende a +co, qn tende a zero, portanto, a formula para calcular S, corn a l # 0 e Iq < 1, e: A partir da formula da soma dos n primeiros termos de uma PG, S.

S=

a 1 (0 - 1) q-1

-a, q-1

S

a

l 1-q

Exercicios r-esolvidos 1 1 1 1. Calcule a soma dos infinitos termos da serie 1 + — +-1 + — + 3 9 27

Solugao: As parcelas dessa serie formam uma PG infinita, pois: 1 1 1 39 _ 27 1 — = — (constante) 1 1 - 1 3 3 9 Assim: a, = 1 1 q= 3 Aplicando a formula da soma dos termos, vem: 3 3 1 1 -1 S2 _1 2 2 1-q 3 3 8 2. (Fuvest-SP) A soma dos termos de ordem impar de uma PG infinita é — e a soma dos termos de ordem 3 par é iL . Calcule o 1 2 termo dessa PG. 3 Solucao: Soma dos termos de ordem impar (raid() q 2): 8 3a, = 8 - 8q 2 (1) 3a, = 8(1 - q 2) S = al 1 -q2 3

MOdulo 55 ■ Progresseo geornetrica (IV)

129

Soma dos termos de ordem par (raid° q 2): a2 = 4— —4 = al • q 4(1 - q 2) = 3a, • q (2) P 1— q2 3 3 1 - q2 Montando urn sistema corn as duas equacoes, podemos dividi-las membro a membro: S=

3a1

8(1 - q 2)

,3a;

3a, • q

4(1 - q 2)

,3a; • q

1

=2

q=1 — 2

Substituindo o valor de q na equacao (1), vem: 3a 1 = 8[1 - 2 )2 = 8 •3=6 4

=2

Logo, o 1 2 termo é 2. 3. Calcule a geratriz da dfzima periodica 0,353535...

Soluctio: Podemos escrever uma dfzima periOdica por meio de uma soma de nOmeros ou fracoes decimals: 35 35 35 0,353535... = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + = — — + + 0 10 000 10+ 1 000 000 Dessa maneira, temos uma soma de infinitos termos de uma PG decrescente, em que: 35 a= ' 100 35 q—

10 000 = 1

35 100

100

Assim: 35 100 S= 1- q =1 1

100

35 100 99 100

35 99

A soma das infinitas fracoes decimals que constituem uma dfzima periOdica é a fracdo geratriz dessa dfzima. 35 Logo, a geratriz 6 — . 99

Exercicios propostos 1. Calcule a soma dos termos de cada progressao

4. (UnB) 0 valor de x na equacao

geornetrica: a) (12, -6, 3, ...) b) ( 2, 1,

2

, 4,...) ...)

1 , _ 6 1 , ...\ 4 16 4 )

d) (1, 2x, 4x2 , ...)

2. Determine a geratriz de cada dfzima peri6dica:

a) 0,3333... b) 0,31313...

+5

0 11, ___ 1 ,

c) 9,444... d) 0,12444...

a) 1.

217 é: + 5 +...= 7

b) 5

4 c) — . 3

5 d) — . 2

45 e) — . 8

5. (FEI-SP) Determine o limite da soma dos termos 1 VT (1 da PG ,-— V 2 2 ,4

3. Calcule a soma da sone infinita

2 2 2 —+—+—+... 3 9 27

6. Sendo 3 = 1 + x + x2 + x3 + ..., determine o valor de x.

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade As progress5es aritmeticas e geometricas estudadas nos mOdulos 49 a 55 scio modelos matemciticos cujas aplica0es nos ajudarcio a en tender muitos fenomenos em diversos ramos da atividade humana. Os problemas a seguir mostram aplicacoes de PA e PG no cotidiano, na linha de producao de uma fcibrica, na area financeira, no saneamento bcisico de uma regitio. Veja tambem um exemplo muito interessante: explicacao do economista ingles Malthus para a fome no mundo.

III

SETE EXEMPLOS DE APLICACAO PRATICA DAS PROGRESSOES

1) Taximetro Os valores marcados pelo taximetro de urn carro numa corrida de 6 minutos corn bandeirada de R$ 3,20 e quilometro rodado a R$ 0,80 formam a PA (3,20; 4,00; 4,80; 5,60; 6,40; 7,20; 8,00). Temos que a 1 = 3,20, r = 0,80 e a, = 8,00, sendo a, o preco da corrida, valores estes em reais. 2) Audiencia de radio Se uma emissora de radio tern 13 000 ouvintes as 14 horas e se sua audiencia aumenta ate as 20 horas de 2 000 ouvintes por hora, diminuindo ate as 24 horas de 1 000 ouvintes por hora, temos entao duas progressties aritmeticas: a) Das 14 as 20 horas (13 000, 15 000, 17 000, 19 000, 21 000, 23 000, 25 000). Poderfamos obter a audiencia as 20 horas fazendo: a 7 = a l + 6r = 13 000 + 6 • 2 000 =25 000 b) Das 20 as 24 horas temos a PA (25 000, 24 000, 23 000, 22 000, 21 000) Tambem aqui podemos escrever: a 5 = a 1 + 4r = 25 000 + 4(-1000) = 21 000 3) Fabrica de liquidificadores Uma fabrica de liquidificadores teve uma certa producao no 1 2 trimestre e a cada trimestre

seguinte ocorreu urn aumento constante de 300 unidades em relacao ao trimestre anterior. Se a producao anual foi de 4 600 unidades, quantas unidades foram produzidas no 1 2 trimestre? Vamos indicar as producbes trimestrais por, respectivamente, x, x + 300, x + 600, x + 900. Logo, temos: x + x + 300 + x + 600 + x + 900 = 4 600 4x + 1 800 = 4 600 4x = 2 800 x = 700 Foram produzidas, portanto, 700 unidades no 1 2 trimestre. 4) Assinantes de celulares No jornal 0 Estado de S. Paulo de 22 de setembro de 1999 foi apresentado o grafico abaixo, no qual se fornece uma previsao do numero de assinantes de telefones celulares em todo o mundo para os anos de 1999 a 2003.

Mudanca no ar Demanda de dados Projecao de assinantes de servicos de transmissao de dados sem tio em todo o mundo (escala da esquerda em milhoes) e assinantes desses servicos como porcentagem do total de usudrios de comunicacao sem fio (barras/escala da direita) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

—0— Assinantes de celular —0— Assinantes de transmissao de dados sem Ho

•

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

•

•

isilM11 ■■∎ ■ • ME ME ■■ . Er. 1999

2000

2001

2002

2003

Contextos, aplicapOes, interdisciplinaridade

Podemos montar uma tabela aproximada usando o grafico anterior:

Ano

Assinantes de celular (em milhoes)

1999

360

2000

430

2001

500

Podemos considerar uma PG em que 1 a 1 = 300 000 000 e q = T . ApOs 20 dias, temos: a21 = a 1 q2° = 300 000 000(1)2° = 300 000 000 --- 268,10. 1 048 576 Como a margem de erro e de 10%, temos uma nova PG (b 1 , b2, b3), em que o termo do meio

a) 0 numero de assinantes correspondentes aos anos 1999, 2000 e 2001, nessa ordem, formam uma PA?

de 286,10, o termo b 1 a obtido dividindo-se b2 3 a obtido multiplicando-se b 2por1,etmb por1,.EntabemsPG(260,9;81

b) 0 numero de assinantes correspondentes aos anos 1999, 2000, 2001, 2002 e 2003, nessa ordem, formam uma PA?

314,71). Logo, o numero de pernilongos, considerada a margem de erro, esta entre 260,09 e 314,71, sendo portanto inferior a 5 000. Podemos entao considerar que o processo para extincao do pernilongo foi eficiente.

5) Pou pa nca Admita que uma pessoa economize R$ 0,01 no 1 2 dia do mes e dobre essa economia a cada dia. Quanto tern no 30 2 dia do mes? 0 calculo envolve uma PG com a 1 = R$ 0,01 e q = 2, em que, no 30 2 dia, a pessoa tern o valor dado pelo 30 2 termo dessa PG, ou seja, a 30 = a 1 q29. Logo:

7) Fome no mundo 0 economista ingles Thomas Robert Malthus (1766-1834), celebre por seu Ensaio sobre o prindpio da populapo (1798), afirmou, corn base em dados da epoca, que a producao de alimentos cresce em progressao aritmetica, enquanto a populacao tern a tendencia de crescer em progressao geometrica. A consequencia inevitavel dessa desproporOo é a pobreza crescente e a fome. QuestOes:

a 30 = 0,01 • 229 = 0,01(536870912) = = R$ 5 368 709,12 6) Combate ao pernilongo Estima-se que o numero de pernilongos de um determinado tipo em certa regiao esteja em torno de 300 milhaes. Corn o trabalho de cornbate dos Departamentos de Saude dos municipios dessa regiao, num espaco de 20 dias, espera-se que o numero de pernilongos se reduza pela metade a cada dia de pulverizacao de um produto apropriado e que o pernilongo estars sendo considerado extinto se o numero restante for inferior a 5000, com uma margem final de erro de 10%. Verifiquemos a eficiencia do p rocesso.

131

a) Qual é a principal ideia proposta no texto aci ma?

•

b) Como voce poderia apresentar um exemplo utilizando dados numericos para justificar a tese exposta no texto acima? c) Discuta corn seus professores de Biologia e de Geografia as conseqiiencias desse tipo de anJlise para a compreensao dos dados que voce usou na resposta b.

M oDUL 0

56

Matematica financeira: Porcentagem e juros simples

Porcentagem Vamos conceituar porcentagem pelo exemplo abaixo: Uma loja esta promovendo uma liquidacao oferecendo 10% de desconto em todas as mercadorias. Qual o valor do desconto em reais de uma mercadoria que custa R$ 150,00? • 0 valor R$ 150,00 e chamado de principal (P).

10 • 10% =100 — é a taxa percentual (i). • A porcentagem sera o valor do desconto (p). Assim, p equivale a 10% de R$ 150,00. Entao: p = (10%)150

10

00 • 150 p= 1—

p

5°0 100

P 15

Logo, o valor do desconto (porcentagem) é R$ 15,00. Dessa forma, sendo i a taxa percentual, P o principal e p a porcentagem, temos:

Juros simples Chamamos de juros simples o valor acrescentado a urn capital ao termino de determinado periodo. Vejamos o exemplo: Ao aplicar urn capital de R$ 1 000,00, durante 3 meses, a taxa de 2% ao mes, a juros simples, temos: capital aplicado (C): R$ 1 000,00 tempo (t) de aplicacao: 3 meses taxa (1): 2% = 0,02 Calculo mes a mes: • 1Q mes: R$ 1 000,00 • 0,02 = R$ 20,00 de juros ao final do 1Q mes • 2Q mes: R$ 20,00 + R$ 20,00 = R$ 40,00 de juros ao final do 2Q mes (o calculo se repete) • 3Q mes: R$ 40,00 + R$ 20,00 = R$ 60,00 de juros ao final do 3Q mes Entao, ao final de tr'es meses, sera resgatado urn capital total de: R$ 1 000,00 + R$ 60,00 = R$ 1 060,00 Entao, de forma geral, apps cada periodo de tempo, temos: • 1Q periodo, juros simples de Ci • 2Q periodo, juros simples de Ci + Ci = 2Ci

MOdulo 56 ■ Maternatica financeira: Porcentagem e juros simples

133

• 3Q periodo, juros simples de Ci + Ci + Ci = 3Ci + Ci = Cit • t periodos, juros simples de Ci + Ci + Ci + t vezes Logo: j = Cit, onde j sao os juros. 0 capital final, chamado montante (M), e igual a: M = C + j ou M = C + Cit

M = C(1 + it)

Exercicios resolvidos 1. Urn cliente recebeu R$ 240,00 de juros simples ap6s 12 meses, a taxa de 2% ao mes. Qual o valor aplicado? Solucao: j = R$ 240,00 t = 12 meses i = 2% = 0,02 C=? j = Cit

R$ 240,00 = C • 0,02 • 12

C=

R$ 240,00

0,02 • 12

= R$ 1 000,00

2. Uma pessoa aplicou R$ 300,00 a juros simples, tendo recebido urn montante de R$ 372,00, a taxa de 3% ao mes. Calcule o tempo de aplicacao. Solucao: C = AS 300,00 i = 3% = 0,03 M = R$ 372,00 t=? M = C + Cit

R$ 372,00 = R$ 300,00 + R$ 300,00 • 0,03 • t

t= R$ 72,00 = 8 meses

AS 9,00

Exercicios propostos 1. Calcule os juros simples produzidos em cada caso:

a) C= R$ 120,00, i = 4%, t = 8 meses b) C = R$ 200,00, t = 9 meses, i = 5% ao mes c) C = AS 1 000,00, t = 5 meses, i = 18% ao ano 2. Determine o tempo necessario para que, em cada

caso, o capital aplicado, a juros simples, produza, a taxa dada, os juros apresentados.

4. Um carro é vendido em 12 prestacaes de

AS 1 500,00. Se o seu pre90 a vista é R$ 15 000,00, qual a taxa de juros simples cobrada? 5. (FGV-SP) Uma pessoa, ao engordar 12 kg, passou a

ter 40% a mais em seu peso. Qual é o seu peso atual? e) 60 kg a) 30 kg c) 24 kg d) mais de 50 kg b) 42 kg

a) i = 2% ao mes, C = R$ 100,00, j = R$ 14,00 b) i = 4% ao mes, C = R$ 300,00, j = R$ 60,00 3. Calcule a taxa anual para produzir, a juros sim-

ples, durante 5 anos, corn urn capital aplicado de R$ 400,00, juros de R$ 80,00.

6. (Fuvest-SP) Certa mercadoria, que custava R$ 12,50,

teve urn aumento, passando a custar AS 13,50. A majoracao sobre o preco antigo é de: e) 10,8%. c) 12,5%. a) 1%. d) 8%. b) 10%.

MoD ULO

57

Matematica financeira: Juros compostos

Em vendas a prazo, emprestimos e aplicacOes, o sistema mais usado e o de juros compostos, em que os juros sdo calculados sempre sobre cada novo montante. Vejamos o exemplo de uma aplicacdo de R$ 200,00 a juros compostos de 3% ao mes. Temos: • ao final do 1Q mes: j = R$ 200,00 • 0,03 = R$ 6,00 Entdo, o montante é: M = R$ 200,00 + R$ 6,00 = R$ 206,00 • ao final do 2Q Ines: j = R$ 206,00 • 0,03 = R$ 6,18 O montante é: M = R$ 206,00 + R$ 6,18 = R$ 212,18 • ao final do y mes: = R$ 212,18 • 0,03 = R$ 6,36 O montante M = R$ 212,18 + R$ 6,36 = R$ 218,54 Assim, de forma geral, para urn capital C aplicado a uma taxa i durante urn tempo t, temos: • ao final do 1Q periodo: M, = C + Ci = C(1 + i) • ao final do 2Q periodo: M2 =M1 +M1 •i=M1 (1+i) = C(1+i)(1+i) = C(1+ i) 2 • ao final do 3Q periodo M3 =M2 +M2 •i=M2(1+i)=C(1+i)2(1+i)=C(1+ i)3 Observando esses tres montantes, concluimos que eles formam uma progressdo geometrica, cujo 1Q termo é a 1 = C e a razdo q = 1 + i. Sendo a n = Mn ou at = M„ temos: • • M 5 = C(1 + i)5 • M4 = C(1 + Logo: = C(1 + , em que t é o numero de periodos.

Exercicios resolviclos 1. Calcule o montante produzido por um capital inicial de R$ 1 200,00, a 2% ao mes, durante 5 meses, a juros compostos. Solucao: C = R$ 1 200,00 i = 0,02 t=5 M1 = C(1 + i) t = R$ 1 200,00(1 + 0,02)5 = R$ 1 200,00 • 1,02 5 = R$ 1 200,00 • 1,104 = R$ 1 324,80

Observagao: 1,025 = 1,104 pode ser obtido corn o use de calculadoras.

Modulo 57 ■ Matematica financeira: Juros compostos

135

2. Urn capital de R$ 1 800,00 é aplicado a juros compostos durante 6 meses a uma determinada taxa, resultando num montante de R$ 2 026,80. Calcule a taxa. Solugao: C = R$ 1 800,00 t = 6 meses M = AS 2 026,80 i=? M1 = C(1 + i)1

AS 2 026,80 = R$ 1 800,00(1 + 1) 6

(1 + i) 6 = 1,126

1+i=

1 + i = 1,02 (pela calculadora) = i = 0,02 Logo, a taxa é de 2% ao mes.

3. Urn cliente, ao procurar por uma aplicacao, encontrou duas opgaes: a) i = 3%, t = 12, M, = R$ 17 109,13 b) i = 3,5%, t = 6, M 1 = R$ 15 365,69 Qual delas exige menor capital inicial? Solugao: a) M 1 = C(1 + C=

R$ 17 109,13 = C(1 + 0,03) 12

R$ 17 109,13 1,4257

b) M, = C(1 + i)t

R$ 17 109,13 = C . 1,03 12

R$ 12 000,00

R$ 15 365,69 = C(1 + 0,035) 6

= C = R$ 15 365,69 1,0356

R$ 12 500,00

Portanto, a opgao a exige menor capital inicial.

Exercicios propostos 1. Qual o montante produzido por urn capital inicial de R$ 1 300,00, durante 5 meses a taxa de 2% ao mes, a juros compostos? 2. Calcule o prego pago por urn produto, usando-se urn capital inicial de R$ 1 500,00 aplicado a juros compostos durante 4 meses, a taxa mensal de 2,8%. 3. Um capital de R$ 1 000,00 rendeu urn montante de R$ 1 200,00 apos ser aplicado por 4 meses. Qual a taxa mensal a juros compostos? 4. Que capital produzira urn montante de R$ 18 500,00, a juros compostos, durante 8 meses, a 3% ao mes? 5. Urn cliente aplicou o capital inicial de R$ 100,00 numa caderneta de poupanga, obtendo juros de

1,2%, 1,4% e 0,9%, sucessivamente, durante 3 meses. Calcule o capital final. 6. Urn produto teve tres aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final? 7. Urn cliente aplicou o capital de R$ 10 000,00, durante 2 meses, obtendo taxas de 1,2% no primeiro mes e 1,4% no segundo mos. Ao final dos dois meses, aplicou o capital obtido a taxa fixa de 2% ao mes durante 4 meses. Qual o montante final? 8. (FGV-SP) 0 valor de (20%) 2 é: a) 400%. b) 4%. c) 200%. d) 0,2%. e) 2 000%.

Parte H MODULO

58

Relacees metricas no triangulo retangulo

Neste modulo faremos uma breve recordacao das relacOes metricas nos triangulos retangulos. Embora o aluno ja tenha estudado esse assunto em anos anteriores, ele e muito importante para o desenvolvimento de varios temas em Matematica e Fisica.

Elementos de urn triangulo retangulo Observe a figura:

a Nesse triangulo ABC, retangulo em A, temos os seguintes elementos: • os angulos

A, 2 e

e sao angulos internos cujas medidas representamos por A, B e C. Assim: A + B + C = 180° (A = 90°)

• o lado BC é a hipotenusa (oposto ao angulo reto); • os lados AC e AB sao os catetos (opostos aos angulos agudos); • a altura AH é a altura relativa a hipotenusa; • os segmentos BH e HC sao as projecOes dos catetos sobre a hipotenusa. As medidas desses segmentos serao representadas por letras minusculas do nosso alfabeto da seguinte maneira: • BC = a

• AB = c

• BH = m

• AC = b

• AH = h

• HC = n

As relagOes entre essas medidas sao chamadas de relagOes metricas nos triangulos retangulos. As principais sao: a) h2 b) b2 *

an

o d) ha e) a2 „. b2 4. c 22 (Essa relacao expressa o Teorema de Pitagoras: "Em todo triangulo retangulo, o quadrado da medida da hipotenusa e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos".)

Modulo 58 ■ Relacties metr cas no triangulo retangulo

137

Exercicio resolvido Num triangulo ABC, retangulo em A, sabe-se que os catetos, c e b, medem respectivamente 6 cm e 8 cm. Calcule o valor das medidas: a) da hipotenusa; c) das projegOes dos catetos sobre a hipotenusa; e) da area. b) da altura relativa a hipotenusa; d) do perimetro;

Solugdo:

n

mH a

a) Calculo de a b=8 c=6

d) Calculo do perimetro (2p = a + b + c) 2p = a + b + c = 10 + 8 + 6 = 24

a2 = b2 c2 = 82 + 62

Entao, 2p = 24 cm. a = \1 00

Como a > 0, a = 10 cm. b) Calculo de h ha = bc

h • 10 = 8 • 6 = h= 48 =48 , 10 Logo, h = 4,8 cm.

e) Calculo da area do triangulo base • altura = c • b = 6 • 8 S= _24 2 2 2 Logo, S = 24 cm 2 .

c) Calculo de m e n c2 = am

62 = 10m

m= 10 =3,6 10 m + n = a = 3,6 + n = 10 = n = 6,4 Assim, m = 3,6 cm e n = 6,4 cm.

Exercicios propostos 1. Calcule a diagonal de urn retangulo de lados iguais a 4 m e 3 m. 2. As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m. Calcule a medida do lado desse losango.

7. Num trapezio isosceles, a base menor é igual a 1

da base maior, que mede 60 cm. Determine 5 as medidas dos lados nao-paralelos desse trapezia sabendo que a altura mede 18 cm.

3. Urn triangulo retangulo e isosceles tem catetos que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa.

8. Num losango de 4 \ 5 m de lado, a diagonal

4. Os catetos de urn triangulo retangulo medem 15 m e 20 m. Qual o maior segmento que a altura relativa a hipotenusa determina sobre ela?

9. Calcule o perimetro de urn triangulo retangulo e

major é o dobro da menor. Calcule as medidas dessas diagonais.

isosceles cuja hipotenusa mede 3 \ri cm.

5. Calcule o perimetro de urn retangulo, sabendo que sua diagonal mede 18 cm e urn dos lados mede 10 cm.

10. Determine as medidas dos catetos de urn trian-

6. Dado um triangulo retangulo cujos catetos medem 16 cm e 12 cm, calcule as medidas da hipotenusa, da altura relativa a hipotenusa e das projecOes dos catetos sobre a hipotenusa.

11. A altura relativa a base de urn triangulo isosceles é

gulo retangulo cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa a hipotenusa mede 2 f cm.

2

da base. Determine a medida dessa altura, 3 sabendo que os lados congruentes medem 12 cm.

AtoDUL

1 _

59H,

RazOes trigonometricas no triangulo retangulo (I)

Dado o triangulo ABC, retangulo em

podemos estabelecer entre a hipotenusa e os catetos as seguintes rathes trigonometricas: • seno de urn Angulo agudo e o quociente entre a medida do cateto oposto ao Angulo e a medida da

hipotenusa: sen C = • cosseno de urn Angulo agudo e o quociente entre a medida do cateto adjacente ao Angulo e a medi-

da da hipotenusa:

cos B

a

• tangente de um Angulo agudo e o quociente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adja-

cente ao Angulo: tg C= b

Corn base nas definicOes apresentadas, temos: b,

b2

b3

sen a = — = — = — = • • • a, a2 a3 C,

C2

C3

cos a = — = — = — = a, a2 a3

b,

b3

tg a = = — = — = C2 C3

C, C3

Observamos que sen a, cos a e tg a sao constantes que dependem somente da medida do Angulo a.

Modulo 59 ■ Razbes trigonornetricas no triangulo retangulo (I)

139

Exercicios resolvidos 1. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do angulo B no triangulo ABC, retangulo em e b = 8 cm.

A, sabendo que a = 10 cm

C

A

Solucao: c2 + b2 = a2 • sen B=

c2 = a2 - b2 = 102 - 82 = 100 - 64 = 36 b=8 a 10 = 4

• cos D =

c a

=

6 10

c = 6 cm = 3

5

• tg

=

b

8 4

= —6- = —3-

4 3 4 Entao, sen B = — , cos B = — e tg B = — . 5 5 3 2. Uma escada de 10 m 6 apoiada em urn muro, formando com o chao um angulo de 20°, como mostra a figura. Calcule a altura do muro, sabendo que sen 20° = 0,34.

Solucao: h sen 20° = — 10

h= 10 • sen 20° = 10 • 0,34 = 3,4

A altura do muro 6 3,4 m.

Exercicios propostos 1. (USF-SP) De acordo corn a figura, a altura do predio e, aproximadamente: a) 51 m. c) 47 m. e) 43 m. d) 45 m. b) 49 m. I

I

b) 9

O A "7

15

I II

3. Num triangulo retangulo, os catetos medem 2 m e 3 m. Sendo a o menor angulo desse triangulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de a.

90 m

2. Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos angulos agudos assinalados nos triangulos a seguir:

4. (PUC-SP) Urn dos angulos de um triangulo retangulo 6 a. Se tg a = 2,4, os lados desse triangulo sao proporcionais a: d) 50, 120, 130. a) 30, 40, 50. e) 61, 60, 11. b) 80, 150, 170. c) 120, 350, 370.

-N

U L 071w

Razties trigonometricas no triangulo retangulo (II)

Calculo do seno, cosseno e tangente de 45° Sabemos, pela Geometria plana, que os angulos internos do triangulo retangulo e isosceles medem 45°, 45° e 90°. Assim, vamos considerar o triangulo retangulo e isosceles a seguir, corn catetos que medem /, e determinar: a) a medida x da hipotenusa em funcao de / Pelo Teorema de Pitagoras: x 2 = /2 + /2 2/2 x /VT b) sen 45° Como B = C = 45°, tanto faz calcular sen 45° em relagao a B ou a C. Assim: sen B =

cateto oposto a hipotenusa

sen 45° =

1 NTZ r2 v 2

/ \FT

c) cos 45° cos B -

cateto adjacente a hipotenusa

cos 45° -

lv

V-2- 1 r2 v2v2

d) tg 45° tg B -

cateto oposto a B

/ g 45° = —

cateto adjacente a B

tg

45° =

Calculo do seno, cosseno e tangente de 30° e 60° Pela Geometria plana sabemos que, num triangulo equilatero: • as medidas dos angulos internos sao iguais a 60°; • a bissetriz de urn angulo interno qualquer coincide corn a mediana e a altura relativas ao lado oposto a esse angulo. Assim, observando o triangulo eqiiilatero ABC, de lado /, da figura a seguir, temos:

e,

Se CH é bissetriz de entao CH e mediana relativas ao lado AB.

e

altura (h)

Modulo SO ■ RazOes trigonornetricas no tribngulo rettingulo (II)

a) Calculo de h No AAHC, retangulo em H, temos, pelo Teorema de Pitagoras: )2 h2 =LZ h2 412 =12 +4h2 4h2 = 312 h= 3 2 4 12= (i 4

-41

b) sen 30° No AAHC, sen 30°

h_ I \F32

el = 30°, portanto:

- cateto oposto a C 1 hipotenusa

trilfrwylf,

2 /

21

c) cos 30 cateto adjacente a e, °= hipotenusa cateto oposto a e, d) tg 30° = = cateto adjacente a C i

2 1

21

cos 30° u,NHad^iPilildl ^lddl^ loidlh^bi/NiV^^r^'O^iubhhIhlhW^lJ put

1

2

21

EN/ 3

21-NiT

1

-v 3

2 e) sen 60° No AAHC, A = 60°, portanto: sen 60 ° =

cateto oposto a A hipotenusa

2

f) cos 6130 -

cateto adjacente a A hipotenusa

2

g) tg 60° =

cateto oposto a A cateto adjacente a A

2 1 2

sen 60° = — 2

cos 60° =

2/,/ 21

1

2

tg. 600

Assim, com esses calculos, podemos montar o seguinte quadro-resumo: seno

(1 1'

45° 60°

tangente

2

3

I

30°

cosseno

-,/

N/7

2

2

VT

1

2

2

1

-\/-3-

Aos angulos de 30°, 45° e 60° damos o nome de eingulos noteweis.

141

142

Parte II

Exercicios resolvidos 1. Calcule o perimetro de urn triangulo retangulo cuja hipotenusa mede 10 m, sendo urn dos angulos agudos igual a 30°. Soluck): C 60°

Se A = 30°, entao C = 60°. 1 BC sen 30° = BC = 10 • = 5 m 0 AB = 10 2 = 5-\/ m

sen 60° = AB 0 A

perimetro = AB + BC + AC = 5V -3- + 5 + 10 = 5V-3 + 15

3O0

Portanto, o perimetro e (5VT + 15) m. 2. Uma pessoa esta a 30 m de urn edificio e ye o ponto mais alto desse predio sob urn angulo de 60°. Sem levar em conta a altura do observador, calcule a altura do edificio. Solugao: Sendo 0 o observador, A o ponto mais alto do edificio e h sua altura, podemos construir a figura abaixo: A

00 00 0 0

O predio forma corn o solo urn angulo reto. Entao, o AOAS é retangulo em S, e OS = 30 m e h sao catetos. Dal: tg 60° =

h = 30V-5- m 30 30 Logo, a altura do edificio e de 30VT m.

A60 ° 0 30 m

3. Dada a figura, determine a medida de PQ.

Solucao: No AABC, temos: AB cos 30° = — 10

AB = 10 • cos 30° = 10

2

= 5/5-

AQ = AB + BQ = 5 VT + 2 No AAQP: tg 30° = ± )13 AQ

PQ = AQ - tg 30° = (5N,/ + 2)

Portanto PQ vale 5 + 2 V3 • 3

VT = 5 + 2 VT 3

3

MOdulo

60

■ Razoes trigonornetricas no triangulo retangulo (II)

143

Exercicios propostos 1. Calcule as medidas dos angulos agudos nos triangulos: a)

5. Calcule o perimetro de urn triangulo retangulo cuja hipotenusa mede 10 m, sendo urn dos angulos agudos igual a 30°. 6. Qual a medida da diagonal de urn quadrado de 3 m de lado? 7. Num triangulo retangulo ern A, a hipotenusa mede 10 m e o cateto b, 8 m. Calcule: a) sen B; c) cos B; e) tg B; b) sen C; f) tg C. d) cos C;

b) 8. Dado o AABC, retangulo em A, calcule a altura relativa a hipotenusa, sabendo que a = 50 cm e B = 30°. 9. (FGV-SP) No AABC da figura, A = 90°, B = 60° e AB = 50 cm. Calcule o comprimento de AC. C

2. Uma pessoa de 1,80 m de altura esta a 30 m de urn edificio e ye o ponto mais alto desse predio sob urn angulo de 60°. Calcule a altura do edificio, corn aproximacao de 0,01. 3. (UGF-RJ) A medida de ED, indicada na figura, é: a) 5 s cm. d) 10 cm. b) 6 cm. e) 10 \ 3 cm. c) 8 cm.

10. Urn navio avista a torre de um farol segundo urn angulo de 30°. Sabendo que a altura do farol e de 72 m, determine a distancia do navio ao farol. (Despreze a altura do navio.) 11. Num AABC, retangulo em A, sabe-se que sen B = 0,8 e que a altura relativa a hipotenusa mede 4,8 cm. Determine o perimetro desse triangulo.

4. Quando o angulo de elevacao do Sol é de 34°, a sombra de urn muro é de 3 m (figura). Calcule a altura do muro. (Dado: tg 34° = 0,67.)

12. Em um triangulo retangulo, a hipotenusa mede 10 m e um dos angulos agudos mede 30°. Calcule o perimetro e a area desse triangulo. 13. Calcule o lado obliquo de urn trapezio retangulo, sabendo que a altura mede 8 cm, a base menor mede 6 cm e a base maior mede 10 cm. 14. Determine a altura de um trapezio isosceles, sabendo que os angulos congruentes medem 60° e a base maior é o dobro da base menor, que mede 10 dm.

Parte H

Arcos e angulos (I) Arcos de circunferencia Arco de circunferencia e cada uma das duas partes em que uma circunferencia fica dividida por dois de seus pontos. Assim, sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferencia, eles a dividem em duas partes: A

A

5' 5' •

0

• arco de circunferencia AB

A=B

0

• arco de circunferencia BA

• arco nulo (ponto) • arco de uma volta (circunferencia)

Medida de urn arco

Grau Grau é o arco unitdrio equivalente a

360

da circunferencia que o contem.

AB)

Radiano Radiano é o arco cujo comprimento e igual ao comprimento do raio da circunferencia que o contem.

m

Se m(AB) = 1 rad, entdo comp(AM) = ir.

Medulo 61

■

Arcos e angulos (I)

145

Em relacao a circunferencia, observe:

A•

B 2nr

A=B

Se comp(AB) = 21tr, entao m(AB) = 21t rad. Observack: 0 raio da circunferencia 6 utilizado como unidade de medida, por isso seu comprimento nao deve ser levado em considerach. Nessas condigOes, o raio é denominado raio unitario.

Lembrando que qualquer circunferencia tern 360°, temos que: 360° corresponde a 27c rad ou 180 ° corresponde a 7t rad

Assim, podemos converter grau para radiano (e vice-versa), estabelecendo uma regra de tres. )XerCICIOS ITS ,01ViaOs 1. Determine, em radianos, a medida do arco 60°. Solugao:

180° —

x=

60° — x

60°

IC

_

180°

rc 3

rad

2. Calcule, em graus, a medida de cada arco a seguir: 3n a) — rad 4

b) 1 rad

Solugao:

a) x -

3n 3 • 480 180° - 135° 4

b) n rad — 180°

7r

T.

1 rad — x Fazendo

it -2--:-

180°

nx = 180°

x

x-

180° 71

3,14, temos x = 57°19'29".

Logo, 1 rad equivale a 57°19'29".

Exercicios propostos 1. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos. e) 330° a) 30° c) 240° f) 72° d) 300° b) 45°

3. Determine, em graus, as medidas dos arcos.

n — rad a) 6

2n e) — rad 3

2. (ITA-SP) Transformando 12° em radianos, obtemos:

ic rad b) 4 —

e) 12 rad.

7c rad c) 3 —

57c rad f) — 6 7n g) — rad 6 4n h) — rad 3

a) 15 b)

15

rad.

c) ico- rad.

rad.

d)

15

rad.

d) 2 rad

Arcos e angulos (II) Angulo central Angulo central de uma circunferencia é o angulo que tern o vertice no centro dessa circunferencia.

& é angulo central

Comprimento de urn arco Considere a figura a seguir: B

angulo central 1l

(AB): arco da circunferencia determinado por dois pontos, medido em radianos

1:

comprimento de AB (l = comp(AB)) r: raio da circunferencia

A

Sendo a a medida ern radianos de 6t, temos: a = —= l = Considerando o raio como unidade de medida: l = a • 1 1= Assim, o angulo central de uma circunferencia tern medida igual a do arco delimitado por ele.

Circunferencia orientada Uma circunferencia pode ser percorrida em dois sentidos: • hordrio: sentido do movimento dos ponteiros de urn relOgio;

por convenedo, esse sentido e negativo; • anti-bordrio: sentido contrario ao do movimento dos pontei-

ros do relOgio; por convened°, esse sentido é positivo. Dizemos que uma circunferencia esta orientada quando levamos em consideracao esses sentidos. Todo arco contido numa circunferencia orientada recebe o nome de arco orientado. Na circunferencia orientada da figura a seguir, os pontos A e B determinam quatro arcos orientados. Veja: 120° sentido anti-horario m(A13) = 120° m(BA) = 240° sentido horario m(A13) = —240° m(BA) = —120° 240°

MOdulo 62 ■ Arcos e angulos (II)

147

Exercicios resolvidos 1. Calcule o comprimento de uma pista circular de 30 m de raio que descreve urn arco de meia volta (7r rad).

Dado:

it =

3,14.

Solucao: Como a = in rad, temos: = ar = 3,14 • 30 = 94,20 Logo, C = 94,20 m.

2. Determine o comprimento L do arco AB da figura. Dado: it =="" 3,14.

Solucao: 180°

It

a =

80°

80° • n _ 4n

-

180°

4 • 3 14 - ar - 4it .5= ' 9 9 Logo, i = 6,98 cm.

9

rad

5 = 6,98

3. Calcule o menor angulo formado pelos ponteiros de urn relOgio que marca 9h 25min.

Solucao: Observando o angulo a entre os ponteiros do relOgio ao lado, podemos escrever: a = 4 • 30° + x (Cada divisao do relOgio equivale a urn arco de 30°.) x equivale ao arco que o ponteiro menor descreveu quando o ponteiro major se deslocou da posicao A para a posicao B. Assim, temos a regra de tits: Ponteiro major

Ponteiro menor

Minutos

Graus

60

30°

25

x

x=

30° • 25

60°

25 2 y x (-

12°30'

Logo, a = 4 • 30° + x = 120° + 12°30'. Entao, a = 132°30'.

Exercicios propostos 1. Uma circunferencia de 3 cm de raio tern urn arco de circunferencia que mede 9,42 cm. Calcule, em radianos, a medida do angulo central correspondente a esse arco. 2. Em uma circunferencia de 5 cm de raio, urn arco de circunferencia mede primento desse arco.

3

rad. Determine o corn-

3. Urn arco de circunferencia de 6 cm de comprimento esta contido numa circunferencia de 2 cm de raio. Qual a medida desse arco ern radianos? 4. Calcule o menor angulo formado pelos ponteiros de urn relOgio quando este marca: a) 2h 30min b) 12h 15min

MoDULO

63

Circunferencia trigonometrica

Uma circunferencia orientada, de raio unitario (r = 1), sobre a qual um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contidos, e uma circunferencia trigonometrica. Vamos considerar uma circunferencia trigonometrica cujo centro coincide corn a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que e origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir: Y n 90° ou — rad B 2

A 360° ou 2n rad

270° ou 3n rad 2

Os eixos Ox e Oy do piano cartesiano dividem a circunferencia em quatro arcos de mesma rad), numerados no sentido anti-horario, como vemos na figura. Esses eixos di2 videm o piano em quatro regiOes, denominadas quadrantes, tambem numeradas no sentido antihorario. medida (90° ou

Exercicio resolvido Represente na circunferencia trigonometrica e na reta real os seguintes numeros reais: 71

6

, 1,

/C,

n -- , 2, 21c e 2

3

Solugao: Para localizar urn numero real na circunferencia trigonometrica, devemos lembrar que todo numero real x ocupa urn ponto dessa circunferencia, localizado no extremo do arco trigonometric° igual a x rad.

0

MOdulo 63 ■ Circunferencia trigonometrica

149

Assim: • —rt

6

esta localizado no extremo do arco AB tal que m(AB) =

6

rad;

• 1 esta localizado no extremo do arco AC tal que m(AC) = 1 rad

57°);

e assim sucessivamente. Portanto, temos:

Para localizar um numero real na reta, devemos observar o seguinte: 3 614 6

n -= 0,52, logo 0 < — < 1

it 3,14 -1,04, logo -2 0

b) ponto P no 2Q quadrante

cotg AP = BT < 0

cotg AP = BT > 0

d) ponto P no 4Q quadrante

=R

Modulo 73 ■ FungOes trigonornetricas: Funcao cotangente

169

Resumidamente, a vanacao do sinal de f(x) = cotg x 6:

Exercicios resolvidos 1. Determine o sinal de: a) cotg 30°

b) cotg 150°

c) cotg

Solucao: Observando as figuras abaixo, temos: b)

a)

c)

3 cotg 150° < 0

cotg 30° > 0

57c = cotg 300° < 0 cotg — 3

2. Determine o dominio da funcao y = 4 • cotg (3x + it). Solucao: y= 4 • cotg (3x + 3x+

kit = 3x

+ k7t

I + X#—L

3

3

Logo,D=IxERIx*-1--+-11 c- ke 3 3 '

Exercicios propostos 2. Determine o dominio das funcoes:

1. Determine o sinal de: a) cotg 70° b) cotg 220°

57c c) cotg — 6 d) cotg 330°

a) y = cotg 3x b) f(x) = cotg

c) y = 2 • cotg (2x -

rirre"

M

4

Fungees trigonometricas: Grafico da funcao cotangente

Corn base nas relacOes trigonometricas nos triangulos retangulos, podemos obter os seguintes valores:

6 cotg 6

-

cos cotg 4 =

IC

4 T

sen L 4

cotg

cos

TC

-

3

sen

rt

1

3

72'

1

VI

\/ 3-

3

3

Assim, para os valores de x tal que 0 s x 2n, temos:

x

cotg x

0

0

y

K

ID

.N/ 1

KI D

1

i

1-33

gl ,N

0

TC

0

37C 2

0

27t

A

0

3 0

It

3n 2

IL Lc 6 4 3 2

11 Q

24 Q

39 Q

2n

49 Q

Modulo 74 ■ FuncOes trigonornetricas: Grafico da funcao cotangente

171

Period() da fungao cotangente Observando o grafico anterior, verificamos que o comportamento da funcao f(x) = cotg (x) no 1° e 2° quadrantes é o mesmo que no 3° e 4° quadrantes. Ou seja, cotg x = cotg (x + TC) = cotg (x + 2n) = = = cotg (x + kir), k E Z. Logo, a funcao é periodica, pois seus valores se repetem a cada meia volta, de TC em n e na mesma ordem. Portanto, o periodo é: ,

p(cotg x

Exercicio resolvido Construa o grafico de f(x) = cotg 2x, 0 5 x < rc, determinando a imagem e o period() da funcao. Solucao:

2x

x

cotg 2,1

0

0

S

KI N

gI'r

0

It

KEN

S

3n 2

3n 4

0

2n

71

A

p(cotg 2x) =

2

Im(cotg 2x) = De urn modo geral, as funcoes y = cotg mx, m E R*, tern period() p = MI Assim, para f(x) = cotg 2x, por exemplo, temos: m=2

P=

2

Exercicios propostos 1. Construa o grafico e de o periodo de cada uma das funcoes para 0 s x 2n. a) y = cotg 2x

b) y = cotg 2

2. Sendo cotg 45° = 1, calcule o valor de: a) cotg 225° b) cotg (-45°)

MoDULO

75

FuncOes trigonometricas: Funcao secante e fungaio cossecante

Funcao secante Chamamos de funceio secante a fungdo f(x) = sec x - 1

cos x

definida para cos x # 0, isto 6,

x# — 7c + kit, k e Z. 2 Decorre da definicao que: • D(sec x)= Ix E R 1 x*--1+ krc,k E Z1 • 0 sinal da fungdo secante é o mesmo da fungdo cosseno, isto 6:

positivo no 12 e 4Q quadrantes e negativo no 2 2 e y quadrantes

Funcao cossecante Chamamos de funcao cossecante a funcao f(x) = cossec x -

1 sen

x

definida para sen x # 0, isto

6, x # kit, k E Z. Decorre da definicao que: • D(cossec x) =Ix E R lx# kit, k E 11 • 0 sinal da fungdo cossecante e o mesmo da funcao seno, isto 6:

positivo no V e 2Q quadrantes e negativo no y e 4Q quadrantes

MOdulo 75

Funpties trigonornetricas Funcao secante e func5o cossecante

Exercicios resolvidos 1. Determine o valor de: 5m b) cossec — 2

a) sec 420° Solugao: a) 420° I 360° 60° 1 Logo, sec 420° = sec 60° =

1 1 2

cos

- 2.

Portanto, sec 420° = 2. n b) cossec 5 = cossec (2it + 2 2

=

cossec

7C

2

=

1 1 - - 1 7C 1 sen — 2

5n Portanto, cossec — = 1. 2

2. Determine o dominio das funceies: a) y = 4 • sec (2x -

b) y = cossec (2x -

3

Solucao: 7C

a) y= 4 • sec (2x - — ) 2 7C

2x -

7C

7C

7C

2x — + — +kit = 2x +kn = x — 7t + k • 2 2 2 2

— + 2

Logo: D={xERIx#i+k•i,kEZ} b) y = cossec (2x - LE ) 3 2x-

3

# IKTE

2x

x

+

3

6

km -I- —

2

Logo:

D=

km

XERI X# -7c -I--

6

2'

kEZ

Exercicios propostos 2. Determine o dominio das funcOes:

1. Determine os valores de: a) sec 30°

e) sec

b) cossec 30°

f) cossec 45°

b) f(x) = 5 • cossec 2x

c) sec 2m

g) sec —

c) f(x) = 2 + 3 • sec 2x

d) cossec 27c

h) cossec

a) y = 4 • sec

4

3

d) f(x) = 3 + 2 • cossec (x +

2

173

Min M

Relageies trigonometricas fundamentals Vamos considerar a circunferencia trigonometrica de centro 0 e o arco AP:

0 triangulo OMP é retangulo em M, portanto, pelo Teorema de Pitagoras, temos: MP2 0M2 = OP2 Como MP = OPi = sen x, OM = cos x e OP = 1 (raio unitario), podemos escrever:

sen2 x + cos2 x A essa relacao, valida para todo x real, damos o nome de relacao trigonometrica fundamental. A partir dela podemos estabelecer outras relacOes: • dividindo ambos os membros por cos 2 x (cos x 0), temos: sen2 x cos2 x 1 tg2 x+ 1= sec' x 2 2 cos x COS x COS 2 x

+ tg2 x = see x

E FR, x

+ kit, k E 2 • dividindo ambos os membros por sen2 x (sen x 0), temos: 1 sen2 x cos 2 x 1 + cotg 2 x = cossec2 x (x E FR, x kit, k E 1) sen 2 x sen 2 x sen2 x

Exercicios resolvidos 4 1. Sendo sen x = — e -Lc < x < calcule: 5 2 a) cos x b) cotg x c) sec x Solucao: a) cos x sent x + cos2 x = 1 cos

X

=

9 25

(4 2 + cost x = 1 5)

16 9 cos2 x = 1 - — = — 25 25

3 5

3 Como x pertence ao 2 2 quadrante, o cosseno é negativo. Entao, cos x = - — . 5

175

Modulo 76 ■ Relegbes trigonometricas fundamentais

3 3 4

b) cotg x = cos x = 5 sen x 4 5 11 c) sec x = cos x 3 5

5 3

3n < x < —, calcule sec x. 2

2. Sendo tg x =

Solucao: 1 + tg2 x = sec2 x

\2

1+ (N/ 2 ) = sec2 x = 3 = sec2 x = sec x = ±-\/

Como x pertence ao 3 2 quadrante, a secante a negativa. Portanto, sec x = cossec x - sen x

3. Sendo tg x = 1 , calcule o valor de y = 3 sec x - cos x Solugao: 1 1 - sen 2 x sen x cossec x -senx _ sen x sen x Y 1 = 1- cos' x sec x- cos x cos x c os x cos x 1 1 cos3 x - cotg x = sen3 x tg3 x 11 r k) Portanto, y = 27.

cos2 x 1 - sen 2 x sen x

cos x . cos2 x 1- cos2 x sen x sen2 x

cos x

sen2 x

.

1 = 27 1 27

4. Determine os valores de k para que se tenha, simultaneamente, sec x = k

e tg x = Jk - 4. 31

Solucio: Utilizando uma relacao trigonometrica entre as funcoes tangente e secante, temos: 2 - 2k + 1 k 1\ 2 1+ k 4 - k 9 + 9k - 36 = k2 - 2k + 1 1 + (Vk - 4) 2 = ( , 1 + tg2 x = sec2 x 9 3 / k2 - 11k + 28 = 0 = k = 4 ou k = 7 Feita a verificagdo, notamos que k = 4 ou k = 7 sao solucoes para o problema.

Exercicios propostos 12 7t , calcule sen x, 1. Sabendo que cos x = 3 0 < x < — 2 1 —' tg x e sec x. 4, 2. Sabendo que tg x = 2

it < x <

arc

4

, calcule tg x, para x pertencente

ao quadrante. 4. Sabendo que cotg x -

3 \rf

7 32 quadrante, calcule sec x.

5. (FGV-SP) A expressao lente a:

c) tg3 x.

b) sen2 x.

d)

e)

1 1 - tg2 x

1 . tg x

, calcule as de-

mais funcoes trigonometricas do arco x. 3. Dado sec x =

a) sec3 x.

e que x pertence ao

sec x - cos x e equivacossec x - sen x

6. (UGF-RJ) Determine a de forma que se tenha simul+1 1 a taneamente sen x= e cos x =

7. Sendo tg x = a + 1 e cotg x = a + 1, determine o valor de a. 8. Determine k para que se tenha ao mesmo tempo tgx=k+1esecx=1-k. 9. (Ufscar-SP) 0 valor da expressao 2 - sen 2 x

cos2 x a) -1.

tg2 x e: b) -2.

c) 2.

d) 1.

e) 0.

ivf 6 If u

77

Relaceies trigonometricas: Reducao ao 1 g quadrante

Em uma circunferencia trigonometrica, se urn arco tiver sua extremidade no 2°, 3° ou 4° quadrante, sempre existird urn arco corn extremidade no 1° quadrante e cujas funcOes trigonometricas terao, em modulo, o mesmo valor das do arco considerado. Vamos considerar no ciclo trigonometrico os arcos AA I , AA2 , AA3 e AA4 , de forma que: ® m(AA1 ) = x

dab. mom A

• al(AA2 ) = IC — x

7r - X

• M(AA3) = it + x

0

TC X

A

• m(AA4) = 2IC — X

=IP

0=2n

2n - x 4

Tais medidas ocorrem devido a simetria dos pontos A1 , A2 , A3 e A4 em relacab aos eixos x e y e em relacao a origem. Entao:

sen (IC — = sen x sen (TC + = —sen x sen (27c — x) = —sen x

cos (/C — = —cos x cos (IC + = —COS X cos (2IC — = cos x

Exemplos: a)

x

sen 120° = sen 60° sen 240° = —sen 60° sen 300° = —sen 60° cos 120° = —cos 60° cos 240° = —cos 60° cos 300° = cos 60°

77 •

MOdulo

b) cotg 300 ° -

Relaccies trigonornetricas: Redupao ao 1 2 quadrante

cos 300° cos 60° - - cotg 60°- = sen 300° -sen 60 °

177

3

Exercicio resolvido Reduza ao 1 2 quadrante: a) sec 2 305°

b) sen

4n

4-

Solucao: a) sec 2 305° Como 2 305° ultrapassa uma volta, antes de reduzir o arco ao 1 2 quadrante, devemos eliminar as voltas inteiras: 2 305° I 360° 145° 6 voltas - 2 305° e urn arco congruo ao arco 145°

180° -

P 35° sec 2 305° = sec 145° =

1 1 - sec 35° cos 145° -cos 35°

-10n ou 5 voltas b) sen

45n 5 - sen (10- )7C 4 4

=

5 5n 5n sen (10 + — )n = sen(10n + — ) = sen — 4 4 4

5n 0 arco — tern extremidade no 32 quadrante. 4 Entao: 5n sen — = sen + 4 4

=

71

Nri

-sen — = 4 2

Exercicios propostos 1. Reduza ao 1 2 quadrante e determine o valor de: 93n e) sen c) sen 3 270° a) sen 240° 5 2n 77 f) tg — b) cos 315° d) cos 3 3n

g) cotg

2.

h) sec 2 760°

0

Simplifique y = cos 200° • cos 340° sen 160° • sen 380°

7C 4 54n

oDUL0

78

FungOes trigonometricas: Funcao par e funcao impar

Ja vimos que uma funcao f: A — ■ B é: • par se, e somente se, para todo x E A, f(—x) = f(x); • impar se, e somente se, para todo x E A, f(—x) = —f(x).

Aplicando esses conceitos as funceies trigonometricas, temos: a) funcao seno: y = sen x y

sen (—x) = —a sen ( x) = sen x sen x = a Portanto, a funcao seno é impar. —

—

Exemplo:

1 sen (-30°) = —sen 30° = — — 2

b) funcao cosseno: y = cos x y

X X

-X

Exemplo:

cos (-300) = cos 30° =

2

{cos (—x) = a cos ( x) = cos x cos x = a Portanto, a funcao cosseno e par. —

MOdulo 78 ■ FuncOes trigonometricas: Furica'o par e funcao impar

179

Assim, respeitadas as condigOes de existencia das fungOes a seguir, temos: c) funcao tangente: y = tg x tg (-x) -

sen (-x) cos (-x)

-sen x - -tg x cos x

tg( x) = -

-

tg x

Portanto, a fungdo tangente e impar. E, de maneira analoga: d) cotg (-x) = -cotg x e) sec (-x) = sec x

a funcao cotangente e impar a funcao secante é par

cossec (-x) = -cossec x

a fungdo cossecante é impar

Exemplos: • tg (-30°) --tg 30° = - 3 • sec (-180°) = sec 180° = -1 • cossec (-45°) = -cossec 45° =

Exercicio resolvido Simplifique y =

cos (10n — sen (47c - x)

Solugao: Ao subtrairmos 2kir, k E Z, de urn arco trigonometrico, suas fungoes trigonometricas nao sofrem alteracoes, pois estamos retirando urn numero inteiro de voltas. Assim: -10n ou 5 voltas cos (10n - x) = cos (-x) = cos x funcao par -4n ou 2 voltas sen (4n - x) = sen (-x) = -sen x tuna° impar Logo, y =

cos

x= -cotg x. -sen x

Exercicios propostos 1. Simplifique: sen (18/c - x) a) y cos (10n - x) b) y -

tg (20n - x) cotg (2n + x)

c)

y - sen (-20°) cos 380°

2. Calcule o valor de y =

s en (-390°) • sen (-405°) cos (-45°) cos (-750°)

wi to VAT v

79

1 ,

Arcos trigonometricos: Soma e diferenga (I)

Considerando dois arcos quaisquer de uma circunferencia trigonometrica, cujas medidas sao a e b, podemos escrever as seguintes relaceies: Seno da soma: sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a Seno da diferenca: sen (a — b) = sen a • cos b — sen b • cos a Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a • cos b — sen a • sen b Cosseno da diferenca: cos (a — b) = cos a • cos b + sen a • sen b Acompanhe a aplicacao dessas relaceles nos exercicios resolvidos.

Exercicios resolvidos

1111111111111111111111k 1. Calcule o valor de: a) sen 105°

b) sen 15°

c) cos 75°

d) sen 255°

e) sec 15°

Solucao: a) sen 105° = sen (60° + 45°) = sen 60° • cos 45° + sen 45° • cos 60° = =

V-2- VT 1 2 2 2

2

V 6 + NiT 4

b) sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° • cos 30° - sen 30° • cos 45° = =

VT V3 1 2 2 2

\FT

VT-VT

2

4

c) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° • cos 45° - sen 30° • sen 45° =

Nri

=

VT- VT

2 2 2 2 4 Observe que sen 15° = cos 75°, pois 15° + 75° = 90°. d) sen 255° Reduzindo ao 1 2 quadrante, temos sen 255° = -sen (255° - 180°) = -sen 75°. -sen 75° = -sen (30° + 45°) = -(sen 30° • cos 45° + sen 45° • cos 30°) = - — (1 - — + 2 2

Nri+ 4 1 cos 15°

e) sec 15° -

cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° • cos 30° + sen 45° • sen 30° = VT 2

2

NIT 1 = 2 2

4

4

V-6-+ 4

--i- --T =

MOdulo 79 ■ Arcos trigonometricos Soma e diferenca (I)

181

Logo: 1

4

N/+ VT

VT+ VT

sec 15°

4 Racionalizando o denominador, vem:

4

sec 15° -

(VT-

) = 4 ( V-6--

0(( VT-- VT )

=

VT

6-2

)

(V 6 + N/)

)

2. Demonstre que para qualquer x real sen ( rc - x = cos x. )

2

Solucao: sen

- x) = sen 7 • cos x - sen x • cos 7 = 1 • cos x + sen x • 0 = cos x 1

0

Portanto, sen ( 1 - x) = cos x. 2

3. Determine sen (a + b) sabendo que sen a =5

sen b =

5

e

2

<

a, b 2n (nao convern)

n 7n Logo, S = { .-, --6-I.

Exercicios propostos 1. Resolva as equacoes em R: a) cos x = 0 b) cos x = c) cos 5x = d) sec x = 1

VT 2

VT 2

e) tg 3x = tg x f) tg 5x = tg 2x g) tg x = 1 h) cotg x = VT 2. Sendo x E [0, 2n], resolva as equacoes:

a) sec x = 1 b) tg x = 1

191

-

Parte II EquacOes trigonometricas redutiveis ao 29 grau Algumas equacOes podem ser reduzidas a equacOes do 2Q grau e depois resolvidas. Em outras, devemos aplicar as formulas de transformacao em produto. Acompanhe os exercicios resolvidos.

Exercicios resolvidos 1. Resolva em a equacao sent x - sen x - 2 = 0. Solucao: A equacao sent x - sen x - 2 = 0 é do 2Q sen x =

grau,

de incognita sen x, a = 1, b = -1 e c = -2. Assim:

-b ± J b2 - 4ac

1 ± V1 - 4 1(-2)

1±3

2a

2•1

2

sen x = 2 ou sen x = -1

sen x = 2 nao tem solucao em pois -1 < sen x 1 3n x = — + 2kn. 2

3n sen x = -1 = sen x = sen — 2 Logo, S = Ix E

Ix=

37c —

2

+ 2kn, k E Z

2. Dada a equacao 2 • cos x = 1 + sec x, resolva-a

para

x E [0, 27c].

Solugdo: 1 2•cosx=1+e

cos x =

1---1-7

2 • cos x = 1 +

1 ± V1 - 4 • 2(-1)

-

1±3

4 2n cos x = cos 0 ou cos x = cos — 3 2•2

1 cos x

2 • cos2 x - cos x - 1 = 0

1 = cos x = 1 ou cos x = -2 x = 2kn ou x = ± 2n + 2kn 3

Observe que esses valores satisfazem a condicao cos x 0, isto é, x # — 2

Como x E [0,

devemos atribuir valores inteiros para k.

Assim: • x = 2kn para k = 0

x=0

para k = 1

x = 2n

2n • x= — + 2kn 3 para k = 0 para k = 1

x= 2n — 3 2n 8n x = — + 2n = — > 2n (tido convern) 3 3

k

E Z.

Modulo 85 ■ Eguagbes trigonometricas redutiveis ao 2 2 grau

2n • x = -3

2kn

para k = 0

2n x = -- < 0 (nao convem) 3

para k = 1

2n x = -3

Logo, S = {0,

193

2n 4 n 3 3

4n 2n x= — 3

2n}.

3. Resolva em U a equacao sen 3x + sen x + cos x = 0. Soluck): Aplicando a formula sen p + sen q = 2 • sen (

sen 3x + sen x = 2 • sen

(3x + x)

cos ( 3x

2

p2

2x

) cos (

2

para sen 3x + sen x, temos:

- 2 sen 2x • cos x

Entao: sen 3x + sen x + cos x = 0

2 • sen 2x • cos x + cos x = 0 cos x • (2•sen 2x + 1) = 0

cos x = 0 ou 2 • sen 2x + 1 =0 Assim: cos X = cos — 7c

• cos X = 0

2

x = + kn 2 n sen 2x = sen (-6

1 • 2 • sen 2x + 1 = 0 = sen 2x = - — 2 2x = n - (-

6

+ 2kn

x=-

12

2x = -

6

+ 2kn ou

7Tc + ICTE OU X = — + krc

12

7 rc

Igc . It + knoux.-lc + kit OU X = — +,kEZ Logo,S= i xERIx=— 12 2 12

Exercicios propostos 1. Resolva em [0, 2n] as equacoes:

4. Dadas as equacaes a seguir, resolva-as em R. a) sen 6x - sen 4x = 0

a) 2 • sen x - 3 = -cossec x b) sen2 x - 2 • sen x + 1 = 0

5. (MACK-SP) No intervalo [0, 2n], o numero de so-

c) cos2 x - 3 • cos x + 2 = 0 d) tg2 x -

b) cos 2x + cos x = 0

luceies distintas da equacdo sent x =

tg x = 0 a) 0.

b) 1.

c) 2.

1 + c os x e: 2

d) 3.

e) 4.

e) sen x + cos x = 1

2. Resolva a equacao cost x =

em R.

3. Em ]0, n[, resolva a equacao 2 tg2 x + sec2 x = 2.

6. (MACK-SP) No intervalo [0, o numero de valores de x tal que 2 • sen 2 x + cos 2x = 1 é: a) 0.

c) 2.

b) 1.

d) 3.

e) maior do que 3.

Parte H

InequacOes trigonometricas Vamos ver agora como resolver inequaceies trigonometricas. Acompanhe os exercicios.

a

a a

1. Resolva em [0, 27c] as inequacties: a) 2 • sen x - 1 0 b) 2 • cos x +

0

Solugao: a) 2 • sen x - 1 0

2 • sen x 1

1

sen x

2

Na circunferencia trigonometrica, sua representacao é:

E na reta real:

7c Assim, — 6

2n

5n

0 it 6

6

5Tc —

6

b) 2 • cos x + VT .?.-• 0

Logo, S = ix E R I .7c 6—

2 • cos x

X

5 it — 6

cos x -

5 7c ]. =L6' — 6 VT 2

Modulo 86 ■ Inequagoes trigonombtricas

195

Na circunferencia trigonometrica, sua representacao é:

y

2n

E na reta real: 0

3n 4

5n 4

Assim, 0 = [0,

4

3 t-- 1U 4

4

2n

5/c ou — 4

37t 2n. Logo, S= )(ERIC) x — ou 4 4

x 2n =

, 2n].

2. Resolva em R, Itg x I < 1.

Solucao: Itg x I < 1 = -1 < tg x < 1 Na circunfer8ncia trigonometrica, para x

rc Assim, na 1 2 volta, 0 x < 4 — ou S=

Ix

4

E

[0, 24 sua representacao é:

5rc < x 2m. Em R, a solucao geral é < x < — ou 4 4

57c + 34 < x < — + k Z1. 4

R

Exercicios propostos 1. Resolva em [0, 27r] as inequacoes: 0

d) cos x

b) cos x > 0 1

e) cos x

a) sen x

c) sen x > — 2

f)

2. Resolva em FR as inequavies: 1 -2 -1

sen x I > 1

a) sen x >

VT 2

b) tg x

0

3. Resolva a inequacao tg 2 x - tg x > 0 para XE

[0, 24

Parte II

Resolucao de tria'ngulos quaisquer Para triangulos quaisquer (retangulos, obtusangulos ou acutangulos), podemos estabelecer as seguintes relacOes: a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Lei dos senos Considere a figura a seguir:

a -2R sen A sen B sen C A essa relacao damos o nome de lei dos senos.

Lei dos cossenos Considere o triangulo ABC. A

b2 + c2 - 2bc cos A 2

2 4. c2

+ b2 H

n

m

c cos B -

2ab cos C

A essas tres relacOes damos o nome de lei dos cossenos.

a

Exercicios resolvido 1. Num AABC, calcule a medida do angulo B sabendo que: a) a = 2 cm, b = 4 cm e A = 30°

b) a = 2, b =

ec=

-1

Solugao:

a) Pela lei dos senos, temos: a 2 4 sen A sen B sen 30° sen B

2 — 1 — 2

4 sen B

2 • sen B = 2

sen B = 1

B < 180°, B = 90°. b) Pela lei dos cossenos, temos: 2=4+ b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B 4( -\/- 1) • cos B = 6 - 2,[5

1)2 - 2 • 2(Ni- 1) • cos B

cos B - 2(3 - -\/) 4(-\/- 1)

B = 30° (0° < B < 180°) 2

MOdulo 87 ■ Resolucao de triangulos quaisquer

197

2. Num AABC, a = 2, b = 4 e C = 60°. Calcule o lado c. Solugao: Pela lei dos cossenos, temos: c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C

c2 = 4 + 16 - 2 • 2 • 4 • cos 60°

1 c2 = 20 - 16 • — = 12 2

c=t V12 = c = 2V 3 ou c = -2 V 3 (nao serve) 3. Determine a intensidade da resultante de duas forcas, F 1 e F2 , sabendo que valem, respectivamente, 10 N e 20 N e sao aplicadas a uma mesma particula, formando entre si um angulo a = 60°. Solucao: Na Fisica, dadas duas forcas concorrentes, F1 e F2 , que formam entre si urn angulo a, graficamente a resultante dessas forcas é a diagonal R do paralelogramo ABCD: D

Aplicando a lei dos cossenos ao AABC, temos: R2 = F21 + F22 - 2 • F i • F2 • cos (180° - a) Como cos (180° - a) = -cos a: R2 = + F2 - 2F 1 F2 (-cos a) F2

R2 = + + 2F,F2 cos

a

expressao que nos fornece a intensidade da resultante R .

No exercicio, como F1 = 10 N, F2 = 20 N e a = 60°, temos: 1:12 =

+ F; + 2F1 F2 • cos a=

= 102 + 202 + 2 10 • 20 • cos 60° = 10 N

= 100 + 400 + 400 • 0,5 = 700 R = V700 = 28,6 20 N

Logo, R = 28,6 N.

Exercicios propostos 1. Nunn AABC temos a = 2 cm, A = 30° e B = 45°. Calcule os lados b e c.

7. Calcule x e y com base nos dados da figura:

2. Calcule o raio do circulo no qual esta inscrito urn AABC de lado a = 12 cm e angulo A = 30°. 3. Determine a medida do lado a de urn triangulo inscrito em urn circulo cujo diametro mede 60 cm, sabendo que A = 60°. 4. Num AABC, a = 7 cm, b = 5 cm e c = 3 cm. Calcule a medida do angulo A. 5. Sendo a = 1 cm, b = 2 cm e C = 60°, calcule o lado c do AABC. 6. Determine a resultante entre duas forcas, F, e F2 , cujas intensidades sao, respectivamente, iguais a 15 N e 30 N, aplicadas a uma particula formando entre si urn angulo a = 45° (aproximacao de 0,01).

8. (FEI-SP) Se em urn triangulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o angulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, entao 0 lado AC mede: a) V37 cm.

c) 2V13 cm.

b) V13 cm.

d) 3V3 cm.

e) 2V2 cm.

Parte H

88

Teorema da area de urn triangulo

Dado urn AABC qualquer, acutangulo, retangulo ou obtusangulo, a sua area S e igual a metade do produto de dois de seus lados pelo seno do angulo compreendido entre esses lados. Triangulo obtusangulo Triangulo retangulo Triangulo acutangulo A

A

ou

OU

Exercicios resolvidos 1. urn AABC tern lados a = 6 e b = 4. Sendo C = 45°, calcule a area do triangulo.

Solucao: 1 1 1 S = 7 • ab sen C = • 6 • 4 sen 45° = 7 6 4

= 6 VT

2. Determine c em urn triangulo de lad& a = b = 1 e area S =

Solucao: S=

1

•

ab • sen C

=

•1•1•

sen C

sen C =

sabendo que o angulo C é agudo. 4 N/T

2

Como C é agudo, C = 45°. Pela lei dos cossenos: c2 = a2 + b2 - 2 • a • b • cos C = 1 2 + 1 2 - 2 • 1 • 1 • cos 45° = 2 - 2 J2 2

=2-

c = ■12 -

3. Determine a area de urn pentagono regular inscrito em uma circunferencia de 10 cm de raio corn aproximacao de 0,01, utilizando a tabela trigonometrica da pagina 394. Solucao:

MOdulo 88 ■ Teorema da area de urn truangulo

199

Os triangulos formados corn o vertice no centro do poligono sao todos congruentes. Assim, suas areas sao iguais. Representando a area do AOCD por AL , temos:

AA _

cd • sen a 2

Mas: m(a) =

60° - 72° 5

c = d = 10 Logo: A = 10 10 - sen 72° A 2

A = 50 • 0,95

A = 47,5

Representando a area do pentagon° por An , temos: An = 5AA

An = 5 • 47,5

Ao = 237,5

Portanto, a area do pentagon° a igual a 237,5 m 2 , aproximadamente.

Exercicios propostos 1. Calcule a area do AABC, sabendo que a = 3 cm, b = 2 cm e C = 45°.

c)

2. Sendo a = (1 + Nri) cm, b = 2 cm e C = 30°, calcule a area do AABC. 3. Calcule a area de urn paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8 cm e formam urn angulo de 150°. 4. Calcule a area do AABC ern cada caso: a)

1

4

7

5. A area do paralelogramo ABCD, cujos lados medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm formando urn Angulo de 150°, é, em centimetros quadrados, igual a: d) 80. e) 100. b) 50. c) 40. a) 20. 6. (FGV-SP) A area do triangulo abaixo é:

b) d) 2(/ +1) e)

+1

moDuLo

89

Matrizes: Introducao e notacac geral

Introducao A teoria das matrizes tern cada vez mais aplicacOes em areas como Economia, Engenharia, Matematica, Fisica, dentre outras. Vejamos urn exemplo de matriz. A tabela a seguir representa as notas de tres alunos em uma etapa: Quitnica Ingres Literatura Espanhol

A

8

7

9

8

B

6

6

7

6

C

4

8

5

9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o numero que Pica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Urn exemplo de aplicacao pratica da teoria das matrizes pode ser visto na pagina 212. La voce vai aprender como calcular o estoque de uma rede de livrarias. Vamos agora considerar uma tabela de nnmeros dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parenteses ou colchetes: linha

(18 7 9 8i 6 676 4 859

ou

[ 8 7 9 81 6 6 7 6 4 8 5 9 coluna

Em tabelas assim dispostas, os nnmeros sao os elementos. As linhas sao enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para a direita: 1§ linha

—

1

4

7

2a linha

2

-3

31 linha

0

5 coluna

2a coluna 1 a coluna

Tabelas corn m linhas e n colunas (m e n numeros naturais diferentes de 0) sao denominadas matrizes m X n. Na tabela acima temos uma matriz 3 X 3. Veja mais alguns exemplos: •

[2 3

-11 uma e' matriz do tipo 2 X 3 30 -3 17

•

2 -5 1 1 2 3

e uma matriz do tipo 2 X 2

Modulo 89 ■ Matrizes: Introducao e notacao geral

201

Notagao geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiiisculas e sews elementos por letras minitsculas, acompanhadas por dois indices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m X n e representada por: a ll a 12 a 13 ain a 21 a 22 a23 a 2n A = a 31 a 32 a 33 a 3n . . amn a ml amt a in3 •

.

. .

.

ou, abreviadamente, A =(a. i)mx n em que I e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da linha e da coluna. ,

Na matriz A =

[2 -1 1 4 2

5 r

_

,

temos:

= 2, a12 = -1 e a 13 = 5 1 = 4, a22 = T e a23 = 1./T

Ou na matriz B = [ 1 0 2 5], temos: a ll = -1,

= 0, al3 = 2 e a, 4 = 5.

-

1. Determine a matriz A =\a( 1 iji2 x 2 tal que a Solugao:

2i + j.

-- coluna 1 x 2, a matriz associada 6 da forma: [SendoAtip2 a a L linha

Como au = 2i + j, temos: all = 2 • 1 + 1 = 3 (pois i = 1 e j = 1) a 12 = 2 • 1 + 2 = 4 Logo, A = [

all

a12

21

a22

a,,, = 2 • 2 + 1 = 5 a22 =

2 •2 +2 =6

3 4] . 56

2. Dada a matriz A =

=

x tal que

A ',se i + j

par determine a32 + a42 . 2ij, se i + j Impar

Sokigio: a32 = 2 • 3 • 2 = 12 a42 = 42 = 16 -

Logo,

-

+ a42 = 12 - 16

a32 + a„, = -4.

Exercicios propostos 1. Determine as seguintes matrizes:

d) D = 003 x , tal que d i, =

a) A = (,a1p2 x 2 tal que ai, = (i + j)2

i2 - j2 , se i + j 6 par

b) B =

12

(b, j ), x 2 tal que 131, = (i - j)3

c) C = (c11)2 „ tal que c1 =

2, se i = j i + j, se i j

j se I + j e Impar

2. Dada a matriz A = (a,j),x 3 tal que a, calcule a12 + a31 .

= 12

+ 2j - 5,

Porte H Tipos de matrizes Algumas matrizes, por suas caracteristicas, recebem denominacOes especiais. • Matriz linha: matriz do tipo 1 X n, ou seja, corn uma unica linha. Por exemplo, a matriz A = [4 7 —3 1], do tipo 1 X 4. • Matriz coluna: matriz do tipo m X 1, ou seja, corn uma unica coluna. Por exemplo,

1 B = ( 2 ), do tipo 3 x 1. —

1

• Matriz quadrada: matriz do tipo n X n, ou seja, corn o mesmo numero de linhas e colunas; dizemos que a matriz e de ordem n. Por exemplo, a matriz C = [ 2 7 ] e do tipo 2 X 2, isto quadra-

41

da de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principale a diagonal secundaria. A principal e formada pelos elementos a 3j tal que i = j. Na secundaria, temos i + j = n + 1. Observe a matriz a seguir:

ordem da matriz

L

L

diagonal principal

diagonal secundaria

a., 1 = —1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 a 31 = 5 e elemento da diagonal secundaria, pois i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1) • Matriz nula: matriz em que todos os elementos sao nulos; e representada por O m x Por exemplo, 02 x 3 =

[0 0 0 0 0 0]'

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal sao iguais a 1 e os demais sao nulos; e representada por I n sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: ,

a) I, = [ 0i. 10

1

1 0 01 b) I3 = 0 A 1 0 001

Assim, para uma matriz identidade In = (ail), ali =

{1, se i = j 0, se i j

MOdulo 90 ■ Tipos de matrizes

203

• Matriz oposta: matriz A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por -

exemplo, se A =

3

4 -1

-3

, entao -A =

-4 1

• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por

colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: 2 -1 Se A = 2 3 ° I entdo A' = 3 -2 -1 -2 1 01 _

LI

t Desse modo, se a matriz A é do tipo m X n, At e do tipo n X m. Note que a 1 4 linha de A corresponde a coluna de At e a 24 linha de A corresponde a 2a coluna de At . • Matriz simetrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A'. Por exemplo,

,5 6 A = [3 5',‘2 )"4

e simetrica, pois a 12 = a21 = 5, a 13 =

= 6,

a23 = a 32 =

4, ou seja, temos sempre a. i = an.

6A4N

Exercicio resolvi(lo Classifique as matrizes dadas quanto ao tipo e a ordem.

1 a) A=[ 1 3 1 0 1

b) B = [1 4 5]

c) C =

1 00 d) D = 0 1 0 0 0 1

2 -1

Solugao: a) A=r 3 1 0 1

b) B = [1 4 5]

matriz quadrada de ordem 2

matriz linha do tipo 1 x 3

1 c) C = [ 2 -1

-. matriz coluna do tipo 3 x 1

1 00 d) D = 0 1 0 0 0 1

matriz identidade de ordem 3 (13 )

Exercicios propostos 1. Determine o tipo e indique a denominagdo de cada matriz. [0 0 01 [1 3] e) c) [1 3 4] a) 0 0 Gj 2 4

b)

4 3 1

d)

100 010 001 O00

0 0 0 1

2. Dada a matriz A =

[1 2] , determine a transpos-1 -4

to de A. [2 3 c 3. Sendo a matriz A= 3 4 y simetrica, determine 0 2 3 c e y.

Pa rte H

Igualdade de matrizes e operagOes Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m X n, sdo iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posicao sao iguais: A=B a ll =b paratodol 20 [ 2 c] Se A = [1 b B=[ eA=B,entabc=0eb=3. [ -1 3

Operagbes envolvendo matrizes

Adicao Dadas as matrizes A = x tal que c is =

C=

,eB=

x n , chamamos de soma dessas matrizes a matriz

+ bii , para todo 1 i m e todo 1 j Lc. n: A+BC

Exemplo: 3+1 0 + 1 1 = [5 4 11 12 3 0 1 + 13 1 11 = [2 + 3 0 + 1 1 + (-1) -1 + 2 j [1 0 1 j [0 1 -1] [1 -1 2 j Observack A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Subtragao Dadas as matrizes A = (a ii)in xn eB=

chamamos de diferenca entre essas matrizes a soma

de A corn a matriz oposta de B:

A-BA

(-43)

Observe: 0+(-2)1 = 12 -21 13 01 [1 21_[3 01+[-1 4+0 0 -2 j [4 -7 j [ 0 2 ] - [34+01) -7+2 j [4 -5j [4 -7 -B

Exercicios resolvidos 1. Calcule x, y e z tal que Solugio: Da igualdade vem:

0 x2 1 I_ 0 y2 -4 [

[ 0 0 11 1] { 0 0 zi

MOdulo 91

x2 - 1 = 0 x=1 y2 -4=0 z=1

■ Igualdade de matrizes e operacOes

205

x = 1 ou x = -1 (nao convem) y = 2 ouy =-2

Logo, x = 1, y = ±2 e z = 1.

43] e B = { -32 -41 1 calcule:

2. Sendo A =

b) A - B

a) A + B

c) At + Bt

d) (A + B)t

Solugao: a) A+ B=

[12 31 + 13 -11 12+3 3-1] = [ 5 2] 4 ] 1-2 4 ] 11 - 2 4 + 4 -1 8

b) A - B = A + (-B) = c) At + Bt 1 3]

=

A=

[2 4 Assim: At+Bt=

[2 3H 3 -1 1 4 -2 4 [ 32

[2 .4-3 1112-3 3+11-1 =1 41 1 43] 2 -4_ ] 11 + 2 4-4 ] 3 0]

41]

B=

B t = [-31 -42 ]

12 11 + 13 -21 = 12+3 1-21 = 15 -11 13 4 ] 1-1 4 ] 13 - 1 4 + 4 ] 12 8 ]

d) (A + B)t Como A + B = [

5 -1 5 2 1 entao (A + By = [ -1 8 28

Comparando os itens c e d, podemos notar que: (A+B)t=At+Bt

Exercicios propostos a2

1

6. Sendo A =

1. Determine a, b e c tal que b I= 2.

c

9

a) A + B

2. Determine x, y, z e w nas matrizes A=1

_1 3 1, B =

eB=

[3 0 1 ]

4 2 -1

1 = 15

0

7 11 5x + 2y

2x zi_ 11 71 = 13 2z] . x-y1] 7 40

8. Sendo A = (a 1i)3 x 2 , com aij = 2i - j, e B = (1)11)3 x jj = i2 j, calcule:

a) A - B 4. Calcule o valor de x tal que [ )(2 4- 3x = X

comb

b) B - A

2

x 2 tal que a i = i + j, determine x, y

234 eB=[ 9. Dadas as matrizes A = [2 0 3 7]' 0 -1 -4 determine o valor de:

e z tal que A = 2 y -

c) B - A

b) A - B

[

3. Determine x e y tal que: 2x+3y 0

, calcule:

7. Calcule x, y e z tal que

x y 12 3 1 e C = [ z w ], tal que

A = B = C.

5. Sendo A =

[ 1 02 4 1 3

a) At + Bt

b) (A + BY

M

O

D II L 0

92

Multiplicacao de urn numero real por uma matriz

Dados urn numero real x e uma matriz A do tipo m X n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicacao de cada elemento de A por x, ou seja, b.. = xa n : B xA

Observe o seguinte exemplo: 3 . 2 7 1_

3 •2 L 3 • (-1)

L -1 0

6 211 3 •7 3 • 0 1 = L -3 0

Exercicios resolvidos

1 1

.4 -1 1. Dadas as matrizes A = 1 0 23 e B = 0 2 , determine: 1 a)

1 A 3

c) 2A - 3B

b) -3B

Solugao: 1

[1 21 . a) lA = 1 303 3

b) -3B — 3

3 1 .0 3

=3 2_ 1 . 3 3

=

1

2

3

3

0

-3 • 4 -3(-1) 1 = [-102 3 i [04 -] 2 = [-3 • 0 -3 • 2 -6

1 21c) 2A-3B =2[0 3

3 F. [-1 0 7] 4 -1]=210 1 1 + (-440 -1] 2 .= 2 41+1-12 [0 -6 0 0 3[0 2 3 1_ 6] I_

2. Determine a matriz X, tal que X + A = 3B, Para A = [ Solugao:

Aplicando as propriedades das matrizes, temos: X = 3B - A Logo: _4-01

[-03 06 ]_ [20 41 = [-05 -54] ] 02]-[011

01

eB=

1 0 21.

Modulo 92 ■ Multiplicacao de urn nOmero real por uma matriz

207

2 -1 3. Sendo A = 3 e B = 0 , determine as matrizes X e Y tal que 3X - Y = 2A -BeX+Y=A- B. [0 2

1

3X - = 2A - B X+)f=A-B 1 3 X= —(3A - 2B) = — 4 4

4X= 3A - 2B

1 -2 —•B =

•

3 2 9 4 0

2 9 4 -1

1 2 0 -1

De X + Y = A - B, vem: -2 1 _9 Y=A-B-X= + 0+ 4 0 -2 1 2

4. Se A =

1

3 4 -1

ra 1 e B = [ 4 2 1 , determine a, b e c sabendo que 2A = (313) t. {3 c 01

Solugao: 2a = 12 2A = (3B)t

2 [a 131 = ( 3 14 21

3 c]

{0 1]

[2a {6

2bi

61 -1 { 0 2c] 3]

[2a 2b1 = [12 0] { 6 2c] { 6 3

a=6

2b=0

b=0 3 2c = 3 = c= — 2

3 Logo, a = 6, b = 0 e c =-2-.

Exercicios propostos 1. Dadas as matrizes A = [ 2 3 4 1e B = [ -3 2 1 1, -1 0 2

142

calcule: a) 5A

b) 7B

c) 3A - 4B

2. Dadas as matrizes A = [

3 d) - — A 2

2 3 0 4 IB=[ ]e 01 32

6. Sendo A = ,aio2 ( 1 x 2, em que a1i = 2i - j, e B = (b)2 X 2' em que b i = j - i, determine X tal que 3A + 2X = 3B .

15 141 , calcule: 0 18 a) 3(A - B) + 3(B - C) + 3(C - A) b) 2(A + B) - 3(B - C) - 3C

C=[

7. Sendo A =

10 -1 0 3. Dadas as matrizes A=[ 3 2 e B = 12 {1 3 4 1 54 calcule X = 2A - 3Bt.

4. Dadas as matrizes A = B = (b02 x 2 , corn =

corn aij = 1 calcule + Bt.

(a ii)2 x 2 ,

[-1 2 3 0 1 0 e B = -2A, determine a ma2 1 1 1 triz X tal que 2X - 3A = B.

5. Sendo A =

j2 , e

[2 32

B=

zes X e Y no sistema

8. Se A = [

0 -4 1 , calcule as matri-3 6

12X + Y = B 3X + 2Y = A

xy ] e B = [ 3 10 1, determine os valores 5z 2 -1

de x, y e z sabendo que 2A = Bt.

Multiplicagao de matrizes O produto de uma matriz por outra nob e determinado por mein do produto dos seus respectivos elementos. O produto das matrizes A=(a. ^ )mxp eB= (b1 )p x n é a matriz C=(clj)mem que cada elemento o por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-esima linha de A c. btido pelos elementos da j-esima coluna de B. 12 —1 3 Vamos multiplicar a matriz A = { 3 4 ] e B = [ para entender como se obtem cada 4 2] • 14 linha e la coluna 1 C 11 1 —1 1 • (-1) + 2 • 4 32411 4 [1 • 14 linha e 24- coluna 1

C 12

31 42

1 • 3 + 2 • 21

—41

!1=[

7

• 24 linha e 1 4 coluna 1 12 1_ 3 4 _1

—

4

1

1

ft[

7 3 • (-1) + 4 4

7

C 21

• 2a linha e 24 coluna =

7 13

4 21

13 41

7 3 • 3+ 4 .2

1

C 22

Assim, A • B = [173

7 -1 17

Observe que: BA=

41 1[1. 111

-

(-1)• 1 + 3 3 4•1 +2•3

(-1) • 2 + 3 • 14 • 2 + 2 • 4

_

8 10 I 10 16

Portanto, A • B # B • A, ou seja, para a multiplicacao de matrizes nab vale a propriedade comutativa. [2 3 1 2 1 Vejamos outro exemplo com as matrizes A = 0 1 e B = [ 1_ —20_1* 4 —1 4 2 • 1 3(-2) 2•2+3•0 2•3+ 3•4 —4 4 18 2 3 1 2 3 = 0 • 1 +1(-2) 0.2+1.0 O. 3+ 1.4 = —2 0 4 A•B= 0 1 —2 0 4 —9 —2 13 —1 • 1 +4(-2) —1.2+4.0 —1.3+4.4 -1 41

1

Modulo 93 ■ Multiplicapao de matrizes

209

Da definicao, temos que a matriz produto A • B so existe se o numero de colunas de A for igual ao numero de linhas de B: B .xn An, = (A • B)

T -Q_gx

A matriz produto tera o numero de linhas de A (m) e o numero de colunas de B (n): • se A3x B mx 5 , entao (A • 13)3 x 5 •• se A4 x me B(D x 3 entao nao existe o produto ,

I

I

I

IIIIIMMININIMMINERNOraCkaS- -re$Q114dOS

IIMENM

1. Calcule o produto de [5 2 -3 ] •

14 0

1 0 , se existir. 5

Solucao: Inicialmente, devemos verificar se é possivel multiplicar as matrizes. A 1 8 matriz é do tipo 2 x 3 e a 2 8, do tipo 3 x 1. Como o numero de colunas da 1§ é igual ao numero de linhas da 2§, o produto é possivel e a matriz resultante é do tipo 2 x 1: [5 2 -3] • 1 4 0

5 • 1 + 2 - 0 + (-3)5 5 0 - 1 •1 +4 •0 +0•5

-10 ] [ 1

2. Determine a matriz X tal que X • A = B, sendo A = [

1 42 eB= . 2 0 60

Iqr-

v U40

Solucao: Como a matriz X e fator de urn produto, e necessario, inicialmente, determinar o seu tipo. 1 1 1 14 21 ab ab . Dal Assim, se X • A2 x 2 = B2 x 2 , entao X é do tipo 2 x 2. Logo, X = : [c d ] • [2 0 j = [6 o [c d 1 la + 2b al = 14 21 [c +2d c ] [6 0 ] j 2b = 4 (I) j a=2 e a+ Da igualdade de matrizes, temos c + 2d = 6 (II) c=0 b = 1 e 0 + 2d = 6 d=3 Substituindo a = 2 em (I) e c = 0 em (II), vem: 2 + 2b = 4 Logo, X = [ 2 03 3. Dada a matriz A = [ 2 -1 ], calcule A2 - 2A. 01 Solucao: [2 -1 . 12 -1 1_ 212 -1 = 14 -31 _14 -21 = 10 -1 A2 -2A = [0 1 j [0 1 j [0 2 j [0 -1 j 0 1 j [0 1 j

Exercicios propostos 1. Dadas as matrizes A = [

2 -1 4 1 calcule: 1eB =[ 25 0 37

a) A • B

c) A2

b) B • A

d) B2 - 3B

1 3. Dadas as matrizes A = [-2 1 0 ] e B = -2 , calcule: 4 b) B A a) A • B 4. Sendo A = [

2. Sendo A = [ 1 3 2 -1 I triz X tal que A • X = B.

2 0 determine a maeB=[ [ 4 -7 I,

2 2 ] calcule A2 + 4A - 51 2 . 1 2 ,

5. (Vunesp-SP) Seja A = (a o) a matriz 2 x 2 real, defi= 1, se i j; ao = -1, se i > j. Calcule A2. nida por

Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, A' e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por Acompanhe o procedimento para determinar uma matriz inversa.

tal que

A • A' = A' • A = I n , entdo

Exercicios resolvidos 1. Sendo A =

11, determine sua inversa, se existir. -12 - -2

Solucao: Existindo, a matriz inversa é da mesma ordem de

A.

Como, para que exista inversa, é necessario que A A' = A' • A = I,,, vamos trabalhar em duas etapas: 1!) Impomos a condicao de que A A' = I n e determinamos [ 1 21 ja b1 = 11 01 [ -2 1

cd

A':

a+ 2c b+2d1 . 11 01

I_ 0 1

-2a + c -2b + d

I_ 0 1 _I

Da igualdade de matrizes, temos: a + 2c = 1 -2a + c = 0

lb + 2d = 0 [-2b + d = 1

Resolvendo os sistemas pelo metodo da adicao, vem: a + 2c = 1 -2a + c = 0

2a + 4c = 2 {-2a + c=0 5c = 2

2 c= — 5

Substituindo o valor obtido para c em uma das equacaes do sistema, temos: a + 2c = 1

2 a+2—=1

b + 2d = 0 [-2b + d = 1

4 a + 5 — =1

4 a =1- 5 —

a= 1 — 5

2b + 4d = 0 -2h + d = 1 5d = 1

d= I 5 Substituindo o valor obtido para d em uma das equacties do sistema, temos: 1 2 In+9 • — =0 b = -b + 2d = 0 5 5 Assim: a b

A' = cd

1

2

5

5

2

1

5

5

-

Modulo 94 ■ Matriz inverse

211

20) Verificamos se A' • A = 12 : 1

5

A' • A=

5

=

-

2

1

5

5 -5

1

5-

5 0

5 0

2

1

• 1 +(- 2 )(-2)

.

2 — . 1+ 1 —(-2) 5 5

[1

0

0

1

2 + (- 2 )-1

2 1 — •2+ — •1 5 5

1 + 4_ _ 5 5 = 22 _

22 _ 4 +_ 1 _ 5 5

= 12

=

Portanto, temos uma matriz A' tal que A • A' = A' • A = 1 2 . Assim, A' é a inversa de A e pode ser representada por:

A-1 =

1 5 2 5

_2 5 1 5

2. Determine, se existir, a inversa da matriz A = [2 2 11].

Solugao: Se A• A' = A' • A= 1 2 , entao A' = A-1 . Vamos verificar se A • A' = 1 2 :

Fazendo A' =

[a b 1 , vem: c

[ 12 121[ ca db]1 01 101

a + 2c 2bb++ 2d ] [1 01 I_12a + c d 01

Da igualdade de matrizes, temos: 1 { 2a + 2c = 1 a + c = — (I) 2 a+c=0 a + c = 0 (II) Comparando as igualdades (I) e (II), observamos que é impossivel obter simultaneamente a + c =

1 e 2

a + c = 0. Logo, o sistema rid° tern soluceb e a matriz A nao é inversivel.

Exercicios propostos 1. Calcule, se existir, A-1 em cada caso. a) A =

[1 2 1 34j

b) A =

[011 -2 3 j

4. (UECE) 0 produto da inversa da matriz A =

pela matriz 1 =

[1 01

e igual a:

01 calcule o produto A • A. 2. Dada a matriz A = -2 [ 4 11 = [ -2 4, calcule o elemento a12 da ma3. Sendo A 62 triz A-1 .

0 [ -2 1 1. a) [ 121 11.

I. 1 -I j

2 -1 [1 -I ].

2 - 11 d) [ -1 1

b)

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade Do mOdulo 89 ao mOdulo 94, voce estudou matrizes e deve estar se perguntando para que etas servem. As matrizes sempre chamaram a aten 010 do homem, desde os tempos do quadrado mcigico da China antiga: 4 9 8

6

Quern JO noo ouviu falar dele? Um quadrado cuja soma dos elementos de qualquer linha, coluna ou diagonal vale sempre o mesmo numero: 15, por exemplo. Matrizes, determinantes e sistemas de equacOes lineares (estes doffs ultimos t6picos voce vai ver logo adiante, do mOdulo 95 ao mOdulo 101) fazem parte de uma mesma teoria que ha seculos vem ajudando a humanidade a resolver problemas, dos scibios chineses e hindus da Antiguidade, passando pelos matemOticos japoneses e europeus dos seculos XVII, XVIII e XIX — Seki Kowa, Leibnitz, Vandermonde, Lagrange, Gauss, Cauchy, Bezout, Cramer, Cayley, Pierce, Hamilton, Sylvester e muitos outros — ate chegar aos cientistas de nosso seculo. 0 desenvolvimento dos cornputadores e uma prova irrefutovel disso. Como exemplos, sao apresentados a seguir doffs problemas simples com aplicacao de matrizes: o estoque de uma rede de livrarias e o de medias escolares.

Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias o estoque de seus Iivros didaticos de Matematica M 1 , M2 e M3 e o seguinte: M1

M2

M3

A

10

120

80

B C D

20 5 15

15 40 10

48 30 54

Livraria

Esse estoque (E pode ser representado por uma matriz em que: cada linha e formada pelos estoques dos Iivros de Matematica de uma determinada livraria; e cada coluna e formada pelos estoques de urn determinado livro de Matern5tica em cada livraria.

10 120 80 20 15 48 5 40 30 15 10 54 Dessa forma, o elemento a 12 = 120, por exemplo, representa o numero de exemplares que a livraria A possui do livro de Matematica M2. Suponha agora que foi feita uma entrega para essas livrarias corn as seguintes quantidades de cada urn dos livros de Matematica: Livraria

M1

M2

M3

A B C

30 10 15 20

0 35 40 70

10 12 20 16

D

Contextos, aplicapoes, interdisciplinaridade

■ -----

Essa entrega pode ser representada pela matriz F:

F

30 0 10 10 35 12 15 40 20 20 70 16

Materias

estoque atualizado da rede de livrarias depois da entrega pode ser representado pela matriz A, tal que A = E + F, isto e:

10 120 80 A= 20 15 48 5 40 30 15 10 54

30 0 10 10 35 12 15 40 20 20 70 16

40 120 90 30 50 60 20 80 50 35 80 70 Sea tabela de precos desses livros informar que M, custa R$ 40,00, M 2 custa R$ 50,00 e M3 custa R$ 60,00, entao estes precos tambern podem ser representados por uma matriz, a matriz P: 40 5 P =0 60 0 valor do estoque nas quatro lojas pode ser representado pela matriz V e ser obtido da seguinte maneira: V = AP. Assim:

40

•

•

•

•

.

Portugues Matematica Fisica Quimica Estudos Sociais

1? etapa 6 4 4 8 10

Notas 2? etapa 8 7 8 7 8

3? etapa 9 5 9 6 9

As notas desse boletim podem ser representadas por uma matriz cujas linhas sao as materias — Portugues, Matematica, Fisica, Quimica e Estudos Sociais — e as colunas as tres etapas do curso — 1a etapa, 2a etapa e 3g etapa. Assim, temos: 6 8 9 5 4 7 8 9 4 8 7 6 10 8 9 onde, por exemplo, a 23 = 5 (2g linha e 3a coluna), ou seja, 5 é a nota de Matematica desse aluno na 3a etapa. Se nessa escola a media das notas é ponderada e os pesos forem 1 na 1g etapa, 2 na 2a etapa e 3 na 3§ etapa, esses pesos poderao ser representados por uma matriz coluna, onde as linhas sao os pesos nas respectivas etapas.

1 P= 2

3 A media ponderada de cada materia nas tres etapas pode ser calculada pelo produto N P. 9 1 6 8 7 5 4 2 8 9 N P= 4 •

40 120 90 30 50 60 V = A P= 20 80 50 35 80 70 40 30 20 35

Tome como exemplo o boletim de urn aluno corn as seguintes notas:

40 + 120 40 + 50 40 + 80 40 + 80

•

•

•

•

•

•

60 50 0=

7 6 3 8 9 49 6 • + 8 •2 + 9 • 3 33 4• +7 .2 +5•3 47 4 + 8 •2 + 9 • 3 40 8• +7 .2 +6•3 53 10 • + 8 • 2 + 9 • 3 Isto é, as notas finais do aluno sera° 49 em Portugues, 33 em Matematica, 47 em Fisica, 40 em Quimica e 53 em Estudos Sociais. 8

10

50 + 90 50 + 60 50 + 50 50 + 70

•

•

•

•

60 60 60 60

13 000 7 300 7 800 9 600

Dessa forma, podemos afirmar que a loja A tern um estoque no valor de R$ 13 000,00, a loja B no valor de R$ 7 300,00, etc.

MoDULO

Determinantes Como vimos, matriz quadrada é a que tern o mesmo niimero de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n X n). A toda matriz quadrada esti associado urn niimero ao qual damos o nome de determinante. Dentre as varias aplicacOes dos determinantes na Matematica, temos: • resolugao de alguns tipos de sistemas de equacOes lineares; • calculo da area de urn triangulo situado no piano cartesiano, quando sao conhecidas as coordenadas dos seus vertices.

Determinante de 1 2 ordem Dada uma matriz quadrada de la ordem M = [a n ], o seu determinante e o numero real a 11'• det M = all = all Observagao: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que nao tem o significado de modulo.

Por exemplo: • m = [5]

• M = [-3]

det M = ou 1 5 1 = 5

det M = —3 ou 1 -3 1 = —3

Determinante de 2 2 ordem

I

a a Dada a matriz M = a ll a 12 , de ordem 2, por definicao o determinante associado a M, determi21 22 nante de 22 ordem, e dado por: det M =

a ll a 21

a 12 = a 11 a 22 - a 12 a 21 a 22

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 e dado pela diferenca entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaria. Veja o exemplo a seguir. 23 Sendo M = ,temos: 45 det M =

2 3 = 2 • 5 — 4 • 3 = 10 — 12 4 5

det M = —2

MOdulo 95 ■ Determinantes

215

Exercicios resolvidos 1. Calcule o valor dos determinantes: 1 1 2 3 6 4

a)

b)

10 -22 1

0,4

Solucao: a)

1

1

2

3 4

6 b)

10

-

1

1 1 = -- • 4 - 6 • — = -2 - 2 = -4 2 3

22

= 10 • 0,4 - (-2 2)1 = 4 + 4 = 8

0,4

2. Calcule o valor de x real na igualdade

3x 3 4x+3

=0

Soluc ao: 3x 3 4x+3

3x(x + 3) - 4 • 3 = 0

=0

x2 + 3x - 4 = 0

3x2 + 9x - 12 = 0

-3 ±5 2

x=

x = --4 ou x = 1

Exercicios propostos 1. Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes: a) A=

a)

1] 24

N,F6-

d) D =

5

b)

b)

-1

8

loge 8 3 4

-1

9

E

R nas igualdades: c)

=0

81

tg — 3 c) log3 d)

1

V-27

-12 cos 2n 3°

1

tg x 3 1

x +1

=0

3

2

cos x 4

d)

=0

loge x 16

24

4 [a 3

2 ] = [1 y

b] x4

B = At, entao det (A • B) vale: c) 2. b) 4. a) 8.

2. Calcule o valor dos seguintes determinantes: 3

3

4. (MACK-SP) Se

14 1 1 12 L-3 4 1 L2 -3]

n sen — 4

1

2

1 -2 -2 -4 3 2 1 - [3 l a 2

c) C =

x-1

18

VT 2

b) B =

a)

3. Calcule o valor de x

, A = { a b]

d) -2.

=0

128

e

xY

e) -4.

5. (MACK-SP) 0 conjunto solucao de 1x 11 11 11 x 1 e: x1 a) 1xERIx*11.

c) 11 1.

b) 10, 1 }.

d) 1-1 }.

c) 101.

Determinantes: Regra de Sarrus 0 calculo do determinante de 32 ordem pode ser feito por meio de urn dispositivo pratico, denominado regra de Sarrus. a ll a 12 a 13 Acompanhe como aplicamos essa regra para D = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 12 passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: a ll a 12 a ll a 12 a 13 a 21 a 31

a 22 a 23 a 32 a 33

a 21 a 22 a 31 a 32

2° passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da

diagonal principal corn os dois produtos obtidos pela multiplicacao dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): a ll a 12 a13 ;a ll a 12 a 21 a 22 23 a 21 , a 22 a 31 a32 Ia 3 1 a32

(alia22a33 ai2a23a3i + a i3a2i a32)

paralelas diagonal principal

3° passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundariacorn os dois produtos obtidos pela multiplicacdo dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

a ll

a l/ 'a11 a 21 a 22 a 23 'a21 a 22 a31i a32 a 33 a 31 a32 1

diagonal secundaria

— (a13a22a31 ai l a23a32

ai2a2ia33)

paralelas

Assim: (4-

1

D

a21

ar2 aC3 1 aiv a-12 I a22

a23

a 21 a22

a 31 a32 a33 1a31 a32

= — 132231 (aaa

a 11a23a32

ai2a2ia33) + (a11a22a33

ai2a23a31 + a13a 21 a32)

Modulo 96 ■ Determinantes: Regra de Sarrus

217

ios resolvidos 1. Calcule o valor do determinante

2 4

3 -1 1 2

-3

2

1

Solucao:

V2 N C 0 • se P é exterior a AB , entdo r p < 0

-

-

Mbdulo 135 ■ Geometria analitica: Razao de seccao

• se P = A, entao rp = 0

317

(rP = PB = AB)

• se P = B, entao nao existe r p (PB = 0) • se P e ponto medio de AB , entao r1, = 1, AP = PB,

AP

= 1 e p XA + Xs YA +Ys)

2

2

Exercicios resolvidos 1. Dados os pontos A(0, 1), B(3, 4), C(1, 2) e D(5, 6), calcule a raid() em que os pontos C e D dividem AB e de a posicao de cada ponto em relacao ao segmento. Solucio: AC r e CB

x, - x, )43 - x,

1 -0 1 3-1 2

Como rD > 0, C é interno a AB. Temos, ainda: AD xD - xA 5 _ 0 rD = = DB x, - x, 3-5

5 2

Como r0 < 0, D é externo a AB. 2. Determine as coordenadas do ponto P(x, y), que divide AB na raid° r p = 1, sendo A(1, 3) e B(5, 7), e de a posicao do ponto P em relacao a AB.

Solugao: -

AP PB

-

xp - xA

YP YA

xB - xp

YB YP

Entao: 1=

xi, - 1 5 - xp -3 1=yP 7 - yp

5 - xp = - 1

xP =3

7 _ yp = yp - 3

yp = 5

AP Logo, P(3, 5) é ponto medio de AB, pois - = 1 e AP = PB. BP

Exercicios propostos 1. Com base na figura, calcule a raid° em que os pontos C, D, E, F e G dividem AB.

4. Determine as coordenadas de M, ponto medio de AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2). 5. Sendo A(6, -3) e B(1, 7), determine as coordenadas do ponto P que divide AB na razao r =

2. Sendo A(1, 0) e B(5, 4), calcule a razdo em que o ponto C(4, 3) divide: a) AB.

b) BA.

3. Considerando A(2, -1) e B(8, 2), determine os pontos C e D que dividem AB em tits partes de mesmo comprimento.

3

6. Observe a figura:

• A(3, 4)

B

C(5, 6)

D(xD , y0)

Sendo AB = BC = CD, determine D(x D, yD ). 7. Calcule a distancia entre os pontos A e M, sabendo que A(5, 1), B(1, 3) e M é ponto medio de AB.

TKODITL6

Geometria analitica: Baricentro de um triangulo

136

Observe o triangulo da figura a seguir, em que M, N e P sao os pontos medios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Portanto, AN BP e CM sao as medianas desse triangulo: A

C

N

Chamamos de baricentro (6) o ponto de interseccao das medianas de urn triangulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vertice ate o baricentro tern o dobro da medida da que vai do baricentro ate o ponto medio do lado. Veja: A G AG

1=2u= 2

CG 2v ,) GM = 1v = BG 2 w =2 = GP 1 w

Calculo das coordenadas do baricentro Sendo A(xA , yA), B(xB , y/3) e C(xc, yc) vertices de urn triangulo, se N é ponto medio de BC, temos: Y

XN X 13 +

N(

YN yB

+ yc

2 2

Mas:

AG 2 u r= G GN 1 u

2

3xG = xB + xC + xA

xG — XA XN — XG

xG —

xG — XA — 2xN — 2xG XA + X B + X C

3

XG + 2XG —

+ xA 3xG -

XB XC + X A

MOdulo 136 ■ Geometria analitica: Baricentro de urn triangulo

Analogamente, determinamos y G

—

319

YA + Y0 + Y c . Assim:

3

( xA + + xc yA + yB + yc G

3

3

Exercicios resolvidos 1. Ache as coordenadas do baricentro do triangulo de vertices A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 6). Solugao:

As coordenadas do baricentro de urn triangulo sao dadas pela media aritmetica das respectivas abscissas e ordenadas dos vertices. Assim: =

YG =

0 +6 +0 3 0 +0 +6

3

-

2

—2

Entao, G(2, 2). 2. 0 triangulo ABC tern vertices A(5, 5) e B(5, 0) e baricentro G(4, 3). Determine o vertice C.

Solucao: xA x3—

+ XC

3

YA YB

YG

3 Entao, C(2, 4).

Yc

4= 3—

5 + 5 + x0 3 5 + 0 + yc 3

12 = 10 + xc = xc = 2 9 = 5 + yc

yc = 4

Exercicios propostos 1. 0 triangulo ABC tern vertices A(2, 2), B(5, 2) e C(2, 5).

Determine as coordenadas de seu baricentro.

4. 0 triangulo da figura tern baricentro G(2, 2). Determine as coordenadas dos vertices B e C.

2. No triangulo ABC, B(2, 4) é urn dos vertices, G(3, 3) C(0, Yc)

é o baricentro e M(3, 4), o ponto medio de BC. Calcule as coordenadas dos vertices A e C. 3. 0 triangulo ABC tern vertices A(4, 1), B(5, 4) e C(3, 4). Considerando o triangulo MNP, em que M, N e P sao pontos medios dos lados AB, BC e CA, determine: a) o baricentro G, do triangulo ABC; b) o baricentro G2 do triangulo MNP.

A

B(x B , 0)

5. (MACK-SP) No triangulo ABC, A(1, 1) é urn dos

vertices, N(5, 4) é o ponto medio de BC e M(4, 2) e o ponto medio de AB. Calcule as coordenadas dos vertices B e C e o baricentro do triangulo.

137

Geometria analitica: Condicao de alinhamento de tiles pontos X

Tres pontos A(xA , yA), 13(x13, yi3) e C(xc , yc), estao alinhados se, e somente se,

A X B X c

yA 1 y3 1 = 0. yc 1

Exercicios resolvidos 1. Verifique se A(1, 2), B(3, 4) e C(4, 6) estao alinhados. Solucao: 1 2 1 Se 3 4 1= 0, entao A, B e C estao alinhados. 4 6 1 Resolvendo o determinante, temos: 1, 211 ,2 3 N4'1 3' 4 4/6X1 4N6 r/zN N

-16 -6 -6 4 + 8+18=2=0 Logo, A, B e C nao estao alinhados. 2. Determine m E F8, sabendo que A(2, m), B(4, 1) e C(m, -4) estao alinhados. Solucao: Se A, B e C estao alinhados, entao: 2 m 1 4 1 1 =0 m -4 1

2 + m 2 - 16 - m + 8 - 4m = 0

m2 - 5m - 6 = 0 = m = 6 ou m = -1

3. Determine m E para que os pontos A(3, 1), B(m, m) e C(1, m + 1) sejam vertices de urn triangulo. Solucao: Se A, B e C sao vertices de urn triangulo, entao nao devem estar alinhados, ou seja: 1 3 1 3m + 1 + m(m + 1) - m - 3(m + 1) - m 0 m m 1 =0 1m+11 m=2 em=-1 3m+1 +m2 +m-m-3m- 3 -rn=0 = m 2 -m-2 =0 4. Determine o ponto C, sabendo que ele pertence ao eixo Oy e esta alinhado corn A(3, 2) e B(5, 4). Solucao: Como C pertence ao eixo Oy, temos C(0, y). Se A, B e C estao alinhados, entao: 3 2 1 5 4 1 =0 0 y 1 Logo, C(0, -1).

12 + 5y-3y-10=0 = y=-1

Modulo 137 ■ Geometria analitica: Condicao de alinhamento de tres pontos

321

5. Determine a interseccao dos eixos Ox e Oy com a reta que passa por A(2, -1) e B(-1, 2). Solucao: Atraves da representagao grafica, verificamos que a reta AB intercepta o eixo Ox no ponto P(x, 0).

Como A, B e P sao alinhados, pois fazem parte de uma mesma reta, entao: 2 -1 x

-1 1 2 1 0 1

=0

4 - x - 2x - 1 = 0

x=1

Logo, P(1, 0). A reta AB intercepta o eixo Oy no ponto Q(0, y). Como A, B e Q sao alinhados, entao: 2 -1 0

-1 1 2 1 y 1

=0

4 - y - 2y - 1 =0

y=1

Logo, Q(0, 1).

Exercicios propostos 1. Verifique se os pontos A, B e C sao colineares nos seguintes casos: a) A(0, 2), B(1, 3) e C(-1, 1) b) A(-1, 2), 13(2, c) d) e) f)

e C(3, -3) 2 A(2, 1), B(3, 2) e C(0, -1) A(0, 0), B(1, 1) e C(2, -2) A(a, 1), B(a + 1, 2) e C(a + 3, 3), a E [FR A(m, 2), B(m + 1, 3) e C(m - 1, 1), m e [I;R

b) 3 o triangulo ABC, V a. c) 3 o triangulo ABC para a = 0. d) o triangulo ABC, V a. e) 3 o triangulo ABC para a # 0. 7. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, -1) e C(x, -16) pertencem a uma mesma reta se x é igual a: d) -4. e) -2. a) -5. b) -1. c) -3.

4. Encontre o ponto em que a reta que passa por A(1, 3) e B(2, 4) intercepta o eixo Oy.

8. (MACK-SP) Dados os pontos A(1, 4), B(5, 2) e C(4, 7), sabemos que: • M e ponto medio de AB; • o ponto N divide AC na razao 2; • M, N e P sao pontos alinhados, sendo P um ponto do eixo Ox. Entao, as coordenadas de P sao: c) (3, 0). e) (5, 0). a) (1, 0). b) (2, 0). d) (4, 0).

5. Para que valores de m os pontos A(0, 4), B(-m, 2) e C(2, 6) sao vertices de um triangulo?

9. (FAAP-SP) Se os pontos A(2, -1), B(x, 4) e C(4, 9) pertencem a uma mesma reta, determine x.

6. (UFES) Dados os pontos A(5, a), B(-1, 3a) e C(3, 2a), podemos afirmar que: a) A, B e C sao colineares para a # 0.

10. (Fatec-SP) Os pontos A(1, 2), B e C(5, -2) estao numa mesma reta. Determine o ponto B, sabendo que ele e do eixo Ox.

2. Determine o ponto P(x, y) colinear com A(1, 2) e B(2, 3) e com C(1, 0) e D(2, -1). 3. Obtenha o ponto em que a reta que passa por A(4, 2) e B(3, 1) intercepta o eixo Ox.

Geometria analitica. EquagOes da reta (I) Equagao geral Podemos estabelecer a equacao geral de uma reta a partir da condicao de alinhamento de tres pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, e B(xB , yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x, y) urn ponto generic°, tambem de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: 1 xA yA 1 =0 —xByA — xyB — yxA + xyA + yxB + xAyB = 0 xB yB 1 (YA YOx (cB xit)Y (xAYB xBYA) = ° Fazendo yA yB = a ,

XA = b e

YI3

como a e b nao sao simultaneamente nulos

(A.# B), temos:

ax+ by + c = 0

(equacao geral da reta r)

Essa equacao relaciona x e y para qualquer ponto P generic° da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P ponto da reta; • se am + bn + c * 0, Pnaoe ponto da reta. Acompanhe os exemplos. • Vamos determinar a equacao geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando urn ponto P(x, y) da reta, temos: xy1 1 3 1 =0 241

3x + 2y + 4 — 6 — 4x — y = 0 = x — y + 2 = 0

• Vamos verificar se os pontos P(-3, —1) e Q(1, 2) pertencem a reta r do exemplo acima. Substituindo as coordenadas de P em x — y + 2 = 0, temos: —3 + 1 + 2 = 0 —3 — (-1) + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, entao P E r. Substituindo as coordenadas de Q em x — y + 2 = 0, obtemos: 1—2+2#0 Como a igualdade nao é verdadeira, entao Q E r.

Exercicios resolvidos 1 Verifique se os pontos A(1, 2), B(0, 4) e C(3,

-

1) pertencem a reta r: 3x + 2y - 8 = 0.

Solucao: Substituindo as coordenadas dos pontos na equacao dada, temos: Air A(1, 2): 3 • 1 + 2 • 2 - 8 = 3 + 4 - 8 = -1 0

MOdulo 138 ■ Geometria analitica: Equacbes da reta [I]

B(0, 4): 3 0 +2 • 4-8=0 +8-8=0

323

BEr

C(3, -1): 3 • 3 + 2(-1) - 8 = 9 - 2 - 8 = -1 0

C r

2. Quais os pontos de interseccao da reta 2x - 3y - 6 = 0 corn os eixos Ox e Oy? SOIL100:

A reta intercepta o eixo Ox quando y = 0. Logo: 2x - 3 0 - 6 = 0 2x = 6 x=3 Entao, o ponto de interseccao corn o eixo Ox é P(3, 0). A reta intercepta o eixo Oy quando x = 0. Logo: 2 • 0 - 3y - 6 = 0 3y = -6 y = -2 Entao, o ponto de interseccao corn o eixo Oy é Q(0, -2). 3. Determine a equacao geral da reta r representada graficamente:

Solucao: Observando o grafico vemos que a reta passa pelos pontos (1, 1) e (0, 2). Logo: x y 1 1 1 1 =0x+0+2-0-y-2x= 0 -x-y+2 =Ox+y-2 =0 0 2 1 Entao, a equacao geral da reta réx+y-2= 0.

Exercicios propostos 5. Determine a equacao da reta representada no grafico:

1. Verifique se P(1, 2) pertence a reta r: x y 1 2 3 1 =0. 3 4 1 2. Sabendo que o ponto M(a, a2 + 3) pertence a reta r: x + y - 5 = 0, determine a. 3. (Vunesp-SP) A reta que passa pelos pontos (2, +)

6. (PUC-RS) A reta determinada pelos pontos A(2, -3) e B(-1, 2) intercepta o eixo Ox no ponto:

e (0, 1) tern equacao: a) x = y. b) x-y= 1. c) 2x + 2y - 5 = 0.

d) x+y= 1. e) x - y - 2 = 0.

c) (5, 0).

e) (-

T

1 0). '

d) (0, 5). 4. (Unifor-CE) Dentre os pontos abaixo, assinale o 1 que pertence reta y = 3x - 7 . a) (2, 2 I

b) (0, 2

c) (1, 1)

d) (-1, 2)

7. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, -1) e C(x, -16) pertencem a mesma reta se x for igual a: e) -2. c) -3. d) -4. b) -1. a) -5.

NIIPPRIVErb

39,„

Geometria analitica: EquacOes da reta (II)

Equagao segmentaria Considere a reta r ndo paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com p # 0 e q # 0:

A equacdo geral de r é dada por: xy1 p 0 1 =0 -qx - py + pq = 0 = qx + py - pq = 0 0 q 1 Dividindo essa equacao por pq (pq # 0), temos:

+ piy _ pci =0 p9/ Ffq .lam

x y + -1 =0 P q

q = 1 (equacao segmentaria da reta r)

Como exemplo, vamos determinar a equacdo segmentaria da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o grdfico: p= 3 q=2 x y — +— =1 3 2

Equacties na forma parametrica Sdo equacOes equivalentes a equacdo geral da reta, da forma x = f(t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parametro t. Assim, por exemplo,

lx=t +2 ,t E sdo equacOes parametricas de uma reta r. = -t + 1

Para obter a equagdo geral dessa reta a partir das parametricas, basta eliminar o parametro t das duas equacOes: x=t+2 t=x-2 Substituindo esse valor em y = -t + 1, temos: x + y - 3 = 0 (equagdo geral de r) y = -(x - 2) + 1 = -x + 3

Medulo 139 ■ Geometria analitica: Equacbes da reta (II)

325

Equagao reduzida Considere uma reta r nao paralela ao eixo Oy: y

Isolando y na equacao geral ax + by + c = 0, temos by = -ax - c Fazendo -

y = - ba • x -

= m e -c = q vem:

b

,

y inx + q

chamada equacao reduzida da reta, em que m = - --a- fornece a inclinacao da reta em relacao ao eixo Ox. Assim, por exemplo, se a equacao geral da reta r e 8x - 4y + 12 = 0, temos: 8x 12 -4y = -8x - 12 4y = 8x + 12 y= + y = 2x + 3, que e a equacdo 8x - 4y + 12 = 0 reduzida da reta r. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, nao existe a equacao na forma reduzida.

Exercicio resolvido Determine a equacao segmentaria e a equacao reduzida da reta r, cujas equacoes parametricas sao x = 2t - 1 e y = 4t + 1. Solucao: Sendo x = 2t -1 e y = 4t + 1, temos: t= x + 1 2t - 1 =x 2t = x + 1 x = 2t - 1 2 + , entao: Mas y= 4t + 1 e t 21 x 1 y = 2x + 2 + 1 y = 2x + 3 y=4( +1 y = 2(x + 1) + 1 2 Logo, y = 2x + 3 é a equa9ao reduzida de r. Para determinar a equacao segmentaria, procedemos assim: -2x + y = 3 y - 2x = 3 y = 2x + 3

_ 2x 3

Dividindo ambos os membros por 3, temos: x y y = 3 +— = 3 3 3 3

_2

Logo,

3

+ — = 1 é a equacao segmentaria da reta r. 3

2

Exercicios propostos 1. Determine a equacao geral da reta r, de equa96es parametricas x = 3t - 1 e y = -t + 1. 2. Determine a equacao segmentaria da reta r, de equa9Oes parametricas x = 2t e y = 3t + 1. 3. Determine a equacao reduzida das seguintes retas:

a) r

IVI o D UL 0

140

Geometria analitica: Coeficiente angular

Consideremos o angulo formado no sentido anti-horario a partir do semi-eixo positivo Ox ate uma reta qualquer. Exemplos: a)

b)

Os = 45°

Or = 120°

Obseniack Terms sempre 0 5 0 < 180°.

Coeficiente angular Sendo 0 o Angulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta o numero real m tal que: 111 ,2,

tg , 090°

Assim: a) 0 < 0 < 90° (0 e agudo)

c) 90° < 0 < 180° (0 e obtuso)

m = tg 0 < 0 m 0 m>0

b) 0 = 90° (0 e reto)

d) 0 = 0°

m = tg 0 tg 0° = 0 m=0

0 = 0°

tg 90°, logo m x 0

Modulo 140 ■ Geometria analitica: Coeficiente angular

327

Determinagao do coeficiente angular (m) Vamos considerar tres casos: 1. 0 angulo 0 é conhecido. y

13= 45°

m = tg 45° = 1

0 = 45°

0 = 120° m = tg 120° =

-

J

2. As coordenadas de dois pontos distintos da reta selo conhecidas: A(xA, yA ) e B(xB , YB). y

CB YB YA AC — — XA mas 0 = 0„ logo: a

tg u

'

tg 0 —

m-

YB

YA

XB — XA

' enta-o:

YA X B - XA

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é: 8 - 2 (-3) m - YB YA 5 -(-3) xB - xA - -2-2 - -4 3. A equacdo geral da reta é conhecida. Se uma reta passa por dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB , yB), temos: x y 1

YA

1

3(13 YB

1

XA

=0

Aplicando a Regra de Sarrus, vem: yAx + xAyB + xBy - xByA - yBx - xAy = 0

(YA - YOx

- xA)Y

xAY, - xBYA = 0

Da equacao geral da reta, temos: YA YB = a X II — XA = b

YB YA -a

Substituindo esses valores em m =

YB YA XB — XA

, temos:

b Como exemplo, vamos determinar o coeficiente angular da reta r: 4x - y + 3 = 0. Vemos que a equacao da reta esta na forma geral ax + by + c = 0. Assim, a = 4 e b = -1. Logo: a — =4 = - b= - 41 m Observagao: Isolando y na eguagao geral da reta ax + by + c = 0, tambern calculamos m: b

m

I b) q

y = mx + q , equacao reduzida da reta

328

Parte III

Assim:

• m= - -ab -■

coeficiente angular

• q = - c — ► coeficiente linear (valor que a reta intercepta o eixo Oy) b

Equagao de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e urn ponto de r Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(x 0, yo), P E r, e Q(x, y) urn ponto qualquer de r (Q # P), podemos escrever:

yo

x - xo

y - yo= It

Como exemplo, vamos determinar a equacao geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m = 3. Assim, temos x0 = 1 e yo = 2. Logo: y - yo = m(x - xo) = y - 2 = 3(x - 1) = y - 2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que e a equacao geral de r.

ExercIcios resolvidos 1. Calcule os coeficientes angulares das retas representadas no grafico: y

Solucao: O coeficiente angular de r pode ser determinado atraves de 8: mr = tg 45° = 1 O coeficiente angular de t pode ser calculado atraves dos pontos A(1, 0) e B(0, 2), pertencentes a reta t: m

0 =-2 0-1

YB YA

2-

x8 - x,

O coeficiente angular de s deve ser calculado atraves de a, mas a nao é conhecido. Entretanto, a é angulo externo ao triangulo CDE, e todo angulo externo é igual a soma dos angulos internos nao-adjacentes. Assim: a = E + C = 90° + 45° = 135° Dal: ms = tg 135° = -1 2. Determine o coeficiente angular das retas:

a) AB sendo A(4, 1) e B(1, 4).

b) r, cuja equagao geral e 3x - 4y - 7 = 0.

Solucao: a) m -

YB xB

-

YA XA

m=

4-1 1 4 -

3 m=-— 3

b) (r) 3x - 4y - 7 = 0, logo a = 3 e b = -4. 3 a m = - 4 m= 3 Sendo m = - — 4

m = -1

Modulo 140 ■ Geometria analitica: Coeficiente angular

329

3. Determine os coeficientes angular e linear da reta r, de equacties parametricas x = 3t - 1 e y = t + 2. Solucao: Vamos determinar a equacao reduzida da reta a partir de suas equacties parametricas. Devemos, inicialmente, isolar o parametro t em x = 3t -1 e substituir o valor encontrado em y = t + 2: t- x + 1 x = 3t - 1 3 x 1 x 7 y = t + 2 = x3 1 + z = — + — + z y=—+ 3 3 3 3 3 Da equacdo reduzida, obtemos os coeficientes angular (m) e linear (q): 1 m= (coeficiente angular) 3 7 q= — (coeficiente linear) 3 4. Determine a equacao geral da reta r da figura:

x 0

2

Solucao: m = tg 0, logo m = tg 45° m=1 Mas (r) y - yo = m(x onde m = 1 e P(2, 3) E r Logo, y - 3 = 1(x - 2) = y - 3 = x - 2 -x + y - 3 + 2 = 0 = -x + y - 1 =0 Logo, a equacao geral da reta r é -x + y -1 = 0.

Exercicios propostos 1. Calcule os coeficientes angulares das retas que passam pelos pontos: a) A(1, 2) e B(2, 4) b) C(1, 3) e D(7, 7) c) G(-1, -3) e H(4, -

2

5. (FCC) 0 coeficiente angular da reta de equacties x = 2t - 1 e y = t + 2, t E IR, 6: 1 d) e) 2. b) -1. c) - 1 a) -2.

)

2. Calcule os coeficientes angulares das retas, conhecidas as equacties: x y d) + =1 a) 3x - y + 1 =0 b) y = 3x + 2

ix = 2t ei

= -t + 1

c) y = -2x + 1 3. Sendo m e m$ os coeficientes angulares das retas r e s da figura, calcule m r + m s. ,

4. A soma dos coeficientes angular e linear da reta r que passa pelos pontos A(0, 4) e B(4, 0) 6: d) 1. e) 0. b) 3. c) 2. a) 4.

6. (UnB) 0 coeficiente angular da reta 3y - 5- 3 6: 5x - 5

3 a) — . 5

b) 1.

c) 3.

d) 5.

e) 15.

7. (PUC-SP) A equacao da reta com coeficiente angu4 lar m = - — que passa pelo ponto P(2, -5) 6: 5 d) 4x + 5y + 17 = O. a) 4x + 5y + 12 = O. e) nda. b) 4x + 5y + 14 = O. c) 4x + 5y + 15 = O.

8. A equacao geral da reta que passa por P(1, 2) e tem coeficiente angular m = tg 135° 6: d) x+y-3 = O. a) x+y+ 3=0. e) x-y+ 3=0. b) x-y= O. c) x+y= 0.

Geometria analitica: Representagao grafica e interseccao de retas Representagao grafica de retas Para representar graficamente as retas de equacao ax + by + c = 0 (b # 0), isolamos a vadavel y e atribuimos valores a x, obtendo pares ordenados que sao pontos da reta. Assim, e mais conveniente usar a equacao na forma reduzida, ja que ela apresenta o y isolado. Acompanhe o exercicio resolvido.

Exercido resolvido

7.i

1. Represente graficamente as retas: a) 2x+y-4=0 c) 2y - 5 = 0 d) 4x - 7 = 0 b) 3x - 5y = 0 Solugdo: a) 2x+y-4=0 = y=-2x+4

x

-2x

+

4

y

0

-2•0+4

2

-2.2+4

b) 3x - 5y = 0

x 0 5

3 5

0

y=

x

y

• 0

0

3 5- • 5

3

— •

3

3

•x

3x - 5y = 0

Como c = 0, a reta passa pela origem dos eixos cartesianos. c) 2y - 5 = 0

y=

Como a = 0, o valor de y é constante e independe de x. Assim, todos os pontos tern a mesma ordenada e o 5 grafico, neste caso, é uma reta que passa por y = — 2' paralela ao eixo Ox.

5 Y ►

4

2

2y - 5 = 0

Modulo 141 ■ Geometria analitica: Representacao grafica e interseccao de retas

d) 4x - 7 = 0

331

7 x=— 4

Neste caso, como nao temos a variavel y (b = 0), a equacao nao pode ser colocada na forma reduzida. Assim, isolamos x. Como o valor de x é independente de y, todos os pontos tern a 7 mesma abscissa e o grafico é uma reta que passa por x = — , para4 lela ao eixo Oy.

y 4x — 7 = 0

0

-1

1 7 2 4

Coordenadas do ponto de interseccao de retas A interseccao das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solugdo do sistema formado pelas equacOes das duas retas.

Exercicio resolvido 2. Determine o ponto de interseccao das retas r: 2x + y - 4 = 0 e s: x

-

y + 1 = 0.

Solugao:

{

2x + y - 4 = 0 {2x +,y= 4 x - y + 1 =0 x -1

3x = 3 x=1 Substituindo esse valor em x - y = -1, temos: 1 - y = -1 y=2 Logo, P(1, 2) e o ponto de interseccao das retas r e s. Graficamente, temos:

Exercicios propostos s: x + y - 2 = 0 e determine, se houver, o ponto de

1. Represente graficamente as seguintes retas: a) x = 3 b) y = 2 c) x - y = 0

interseccao.

d) x+y-2=0 e) 2x - y - 3 = 0 x y f) 3 — +— 4 =1

4. (Vunesp-SP) Determine o ponto de interseccao das retas8x+y-9=0ex-y=9.

2. Construa o grafico da reta cujas equacoes parametricas sao x = 2t e y = t - 1.

3. Represente graficamente as retas r: 2x + 3y

-

5 = 0,

5. Determine a interseccao das retas dadas por x y 1 0 0 1 =Oex+y-5=0. 2 3 1

Geometria analitica: Posicoes relativas entre retas Paralelismo Duas retas, r e s, distintas e nao-verticais, sao paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais

Acompanhe a demonstracdo. tg 0 = tg a a m r = ms

r // s 0 = Logo:

r // s rnr = m Sendo r: a 1 x+b y +c l =

s: a 2 X

b 2y + c 2

=

0, m = a2 b2

M

a b Entao, r//s se a 2 =

D2

`'.2

r

a b c c Se a 2 = 1 =1 2 b2 -2

a

a2

bi

b2

a

e r // s, temos:

b22

entao r e s representam a mesma reta(r = s).

Veja o exemplo das retas r: 3x – 2y + 1 = 0 e s: 6x – 4y + 3 = 0. Elas sao paralelas e distintas, pois:

m=

–

3

–2

3 em=– 6 =— 3 . Entao, na, = m = — 3 (r // s) =— , ' 2 2 –4 2

a, b, Como =' a2 ' b

2

^

c, 3 -2 ' pois — 6 = 4- # I,3 entao r e s sao distintas.

C '

Concorrancia Dadas as retas r: a i x + b1y + c1 = 0 e s: a 2x + b2y + c2 = 0, elas serao concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes: a mr m, –al _ 2 r e s sao concorrentes bl b2 Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x – 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 sao concorrentes: m=–

3 3 em= = –2 2

—

—

6 = 4

– —

3 – —

2

. Entao, m

r es sao concorrentes.

MOdulo 142 ■ Geometria analitica: PosicOes relativas entre retas

333

Exercicios resolvidos 1. Verifique as posigoes relativas das retas:

a) r: 3x +y- 5 =0 es: 6x+ 2y- 1 =0 b) t: 3x + 5y - 1 = 0 e u: 5x + 7y + 2 = 0 Solucao: a) r: 3x +y- 5 =0 es: 6x + 2y- 1 = 0 3 6 Entao m = - — = -3 e ms = - = -3. 1 2 Logo, m r = ms e r // s. b) t: 3x + 5y - 1 = 0 e u: 5x + 7y + 2 = 0 3 5 Entao mt = - e m u = - T . Logo, mt # mu

t e u sao retas concorrentes.

2. Obtenha a equagao geral da reta r que passa por P(-3, 5) e é paralela a reta s: 3x + y -1 = 0. Solucao: a 3 ms = - T L , = - T = -3. Se r // s, entao m r = ms = -3. Como P E r, entao xo = -3 e yo = 5. Substituindo esses valores em y - yo = mr(x - x0), vem: y - 5 = -3[x - (-3)] = y - 5 = -3(x + 3)

y - 5 = -3x - 9

3x + y + 4 = 0

3. Encontre a equagao reduzida da reta r que passa por A(-2, 4) e é paralela a reta que passa por P(1, 2) e Q(2, 4). Solucao: Como r é paralela a reta PQ, entao m r = mP0. Assim: YQ Yp 4-2 m = = =2 mr = 2 - xp 2-1 Sendo A(-2, 4), temos x o = -2 e yo = 4. Substituindo esses valores em y - y o = mr(x - x0), temos: y - 4 = 2[x - (-2)]

y - 4 = 2(x + 2)

y - 4 = 2x + 4 = y = 2x + 8

Exercicios propostos 1. (PUC-RS) A equagao da reta que passa pelo ponto

P(2, 5) e é paralela a reta de equagao x - y + 2 = 0 é: a) 3x - 2y + 4 = O. b) 2x - 3y + 11 =0. c) x - y + 7 = 0.

d) x-y+ 3 =O. e) x - y - 3 = 0.

2. (UnB) A reta 7x + 4y -15 = 0 é paralela a:

4. Determine k para que as retas r: 3x + y - 3 = 0 e

s: lo( + y + 5 = 0 sejam paralelas. 5. Encontre m para que as retas r: 2x + my - 2 = 0 e

s: x + y + 7 = 0 sejam: a) concorrentes; b) paralelas.

d) 21x + 12y + 5 = O. x y e) T + = 1.

6. Determine m e k para que as retas r: mx + y - 3 = 0

3. Determine as equacOes das retas que passam pela origem e sao paralelas as retas dadas, em cada caso. b) x - 4y + 5 = 0 a) 2x - 3y + 7 = 0

7. (FAAP-SP) Calcule m para que sejam paralelas as

a) 7x + 15y - 4 = 0. b)\ x + 4y - 15 = 0. c) 4x . c) y = T

e s: 3x + y + k = 0 sejam: a) concorrentes; b) paralelas; c) coincidentes.

retas r: (1 - m)x - 10y + 3 = 0 {x = 11 - 4t (t e e s: y = (m + 2)t - 1 .0

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade

Como vimos no mOdulo 133, a Geometria analitica (assunto que

e tratado

ate o mOdulo 155) permite que relacoes algebricas possam ser representadas graficamente e representap-es grgicas possam ser expressos algebricamente. Algebrica ou graficamente, a Economia

e uma das ciencias que mais

utiliza a Geometria analitica na representaccio de seus fenomenos, os fenomenos econ6micos, o que torna mais fficil a cornpreensao de questOes como: Por que a demanda de sal

e dita inelostica? Que prep deveremos

adotar para vender urn determinado namero de camisas? Como representar o aumento da demanda de acucar a partir de uma campanha publicittiria? 0 aumento do prep do pao afeta o consumo de manteiga? Essas perguntas sera() respondidas no texto a seguir.

Curva de demanda de sal

E amplo o use da Geometria analitica na Economia. Apresentamos a seguir quatro exemplos que envolvem produtos variados, retas paralelas, interseccao de retas, etc. 1) Demanda de sal Por ser urn produto que praticamente nAo tern concorrente e por ter preco baixo, a influencia da elevacao desse preco no orcamento familiar é praticamente insensivel. Ou seja, o aumento de preco do sal nao interfere no consumo. Consideramos dois precos: R$ 0,50 ou R$ 1,00. Para os dois precos, o consumo manteve-se o mesmo: 1 000 kg/mes. Veja no grafico: o prey) varia de R$ 0,50 para R$ 1,00 e a demanda fica constante. Tal fato se expressa matematicamente por meio de uma reta em que x = 1 000 e 0,50 y 1,00. Dizemos entao que a curva de demanda de sal é ineljstica.

Preto (R$/kg)

1,00

0,75

0,50

0,25 Quantidade (kg/mes)

•

0 1 .000

20 . 00

2) Demanda elastica Elasticidade do preco de demanda é uma expressao que os economistas usam para medir o grau de sensibilidade da demanda de urn produto devido a alteracOes no seu preco. Veja o exemplo de vendas de camisas: a R$ 6,00 cada, sao vendidas 25 camisas; e a R$ 4,00 sao vendidas 65.

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade

grafico a seguir mostra a perda de receita de R$ 50,00 pela mudanca de R$ 6,00 para R$ 4,00 no preco unitario (R$ 2,00 • 25 = R$ 50,00). Mostra tambem o aumento de R$ 160,00 de receita por se venderem 40 camisas a mais (de 25 para 65, ou seja, 40 • R$ 4,00 = R$ 160,00) quando o preco a R$ 4,00. A reta que caracteriza a demanda desse produto (elastica) passa pelos pontos (25, 6) e (65, 4), e nela x representa o numero de camisas e y o valor de cada camisa. Em y - y o = m(x - x0), temos: 4-6 -1 m= 65 - 25 20 1 Logo, y - 6 = - (x - 25). Assim, a equacao 20 geral da reta e x + 20y - 145 = 0. Segundo essa reta, para vender 40 camisas (x = 40), devemos cobrar: 40+20y-145=0 20y = 105 y = 5,25 Entao cada camisa custa R$ 5,25.

da reta r e x + 50 000y - 30 000 = 0 e a equacao geral da reta s é x + 50 000y - 40 000 = 0. Como as retas r e s tern o mesmo coeficiente elas sao paralelas. -1 50 o oo )' Da reta r para a reta s e apresentado no grafico urn aumento na demanda de ackar. Note que ao preco de R$ 0,50 o quilograma (ponto A) passa-se de 5 000 para 15 000 unidades (ponto B) e ao preco de R$ 0,40 o quilograma passa-se de 10 000 para 20 000 unidades (do ponto C para o ponto E). Corn a publicidade, os precos foram mantidos e houve aumento de demanda. angular ( m =

Campanha favoravel ao acucar provoca aumento da demanda. Preco (R$/kg)

A

0,50 0,40 0,30

Preco (R$) 0,20 10,00 0,10

9,00

Quantidade

(acucar/kg)

8,00 -

0 perda de receita

5000 10000 15000 20000 25000 30000

7,00 6,00 5,00

F

aumento de receita

4) Dimmincao da demanda de manteiga 50,00

Este caso mostra uma diminuicao da demanda (da reta s para a reta r). Diminuiu a demanda de manteiga (mesmo sendo mantido o seu preco) devido a urn aumento no preco do pao.

4,00 3,00 2,00

160,00

100,00

Quantidade

1,00 25

65

0

10

20

30

40

50

60

(camisas)

Demanda de manteiga devido a aumento no preco do pao

A Preco (R$/kg)

70

3) Aumento da demanda corn a publicidade 0 grafico a seguir representa o efeito de uma campanha publicitaria favoravel ao consumo de acucar. A reta r (de consumo de acucar antes da campanha publicitaria) passa pelos pontos (5 000; 0,5) e (10 000; 0,40) e a reta s (de consumo de acucar depois da campanha) passa pelos pontos (15 000; 0,50) e (20 000; 0,40). A equacao geral

2,00 1,50 1,00 0,50

•

Quantidade

(kg/rnes) 0 3

4

5

6

Parte HI Geometria analitica: Perpendicularismo Se r e s sao duas retas nclo-verticais, entao r e perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.

Acompanhe a demonstracao. Se r 1 s, entao: teorema do angulo externo

cos 0

a = 90° + 0 = tg a = tg(90° + 0) ms

mr

tg a • tg = -1

tg a =

sen(90° +0) cos(90° +0) -sen 0

tg a = -cotg 0 tg a = -

1 tg 0

rnstn,

Se msmr = -1, vem: tg 0 • tg a = -1

tg = -

1 = -cotg a = -tg (90° - a) = tg [490° - a)] = tg (a - 90°) tg a < 180°. Entao: 0 = - 90°

Mas, 0 0 < 180° e 0

0 + 90° = a

Como a é angulo externo, entao o angulo formado pelas retas r e s é 90°. Portanto, r 1 s. De m m = -1, concluimos que m = - — . s m Assim, se duas retas nao-verticais sao perpendiculares, o coeficiente angular de uma é igual ao inverso do coeficiente angular da outra, corn o sinal trocado. Por exemplo, as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 2x + 3y + 5 = 0 sao perpendiculares, pois: 2= m m = a, = 3 r s -2 3) b b)

L

L

23 . = 2 é o inverso, corn o sinal trocado, de ms = - — Note que mr

Exercicios resolvidos 1. Verifique se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 2x + 3y - 2 = 0 sao perpendiculares. Solucao: 3 = — 3 mr r -2 2 2 ms = 3 2 Como mr ms = (-2--) • 3 = -1, entao r 1 s, ou seja, r é perpendicular a s. )

Modulo 143 ■ Geometria analitica: Perpendicularismo

337

2. Determine a equacao da reta r que passa por A(-2, 2) e é perpendicular a s: x + 3y - 5 = 0. Solucao: as 111 =

bs

Como=

e s 1. r, entao m r = 3 (inverso de m$ com o sinal trocado).

3

Temos: A(-2, 2) = A(x 0, y0) Substituindo em y - yi0 = mr(x - x0), vem: y - 2 = 3(x + 2)

y - 2 = 3x + 6

Logo, a equacao de r, na forma geral, a 3x - y + 8 = 0. 3. Determine a equagao geral da mediatriz de AB, se A(0, 0) e B(2, 2). Solucao: A mediatriz do segmento AB é perpendicular a AB pelo seu ponto medic M. Se M ponto medio de AB, entao x m -

YM =

YA YB

2

Ym =

+2

0 2

xA + 2

xm =

0+2 -1 e 2

= 1. Logo, M(1, 1).

A

mediatriz

2-0 - 1 , entao o coeficiente angular da reta mediatriz é m = -1. 2 -0 Logo, sua equagao y - y 0 = m(x - x0) ou y - 1 = -1(x - 1) y - 1 = -x + 1 = x + y - 2 = 0

Como mAB =

Exercicios propostos 1. Verifique se sao perpendiculares os seguintes pares de retas: a) 3x-y+ 3 =Oex+ 3y+ 1 =0 b) 2x - y + 3 = 0 e 3x + 2y - 5 = 0 c) x-3 =Oey+ 2 =0 d) y=x+7ey= -x + 1 e) 4x + 3y - 1 = 0 e 6x - 8y + 5 = 0 2. Determine m de modo que as retas r: mx + y - 3 = 0 e s: x- y+ 1= 0 sejam perpendiculares. 3. Encontre a equagao da reta r perpendicular a s: 3x + 2y - 5 = 0 e que passa por P(1, -1).

4. A reta perpendicular a 2x + 5y + 7 = 0 e que passa por (-2, 4) é 5x - 2y + c = 0. Qual é o valor de c? 5. (Fuvest-SP) No piano cartesiano, sao dados os pontos A(-1, 2), B(1, 3) e C(2, -1). Determine a equagao da reta que passa por C e é perpendicular a AB. d) x + 2y - 3 = 0 a) 2x+y-3 = 0 e) x - 2y - 3 = 0 b) 2x-y-3 = 0 c) 2x-y-7 = 0 6. (UFPR) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equagao da reta que passa pelo ponto A(3, 4) e é perpendicular a reta 3x + 2y - 5 = 0 é: d) 2x + 3y + 6 = O. a) y= 2x+ 2. e) 5x - 3y + 8 = O. b) -3x+ 5y+ 6=0. c) 2x - 3y + 6 = O.

7. (FGV-SP) Dadas as retas a: x - 2y + 3 = 0 e b: y =1, a reta perpendicular a a e que passa pela interseccao de a e b é: d) 2y+x+ 3 =O. a) y + 2x + 1 =0. e) x+y-2 = O. b) y-2x+ 3= O. 2y x + 1 =0. c) 8. (UFPA) A equacao da mediatriz de AB, sendo A(1, -2) e B(3, 5), é: d) 2x - 7y + 11 = 0. a) 14x + 4y - 29 = 0. e) 4x - 14y + 25 = 0. b) 4x + 14y - 29 = 0. c) 7x + 2y - 25 = 0. 9. (PUC-RS) Os pontos (2, 3) e (6, 7) sao os extremos da diagonal de urn quadrado. A reta-suporte da outra diagonal é: d) x + y - 9 = 0. a) x - y + 9 = 0. e) x - y + 1 =0. b) x + y + 9 = O. c) x - y - 9 = 0. 10. (PUC-MG) A equacao da reta que passa pelo ponto A(-1, -3) e é perpendicular a reta x- y- 3= 0 é: a) -x-y+ 3 = O. b) x+y-4 =O. c) x+y+ 3=0. d) x+y+ 4 = 0. e) x+y-1 = O.

Parte HI witrommragi

144

Geometria analitica: Angulo entre duas retas (I)

Sendo r e s duas retas nao-verticais e nao-popendiculares entre si, pelo teorema do angulo externo (13 = a + 0), temos: 0 # 90° 13 = 0 + tg

0=(3-a tg 13 - tg a 1 + tg 13 • tg a

tg0=tg((3- a)

Como tg R = mr e tg a = ms , vem: tg 0

Mr - ms 1 + mrms

Dependendo da posicao das duas retas no piano, o angulo 0 pode ser agudo ou obtuso. Logo: tg

0-

Mr

1

"- MS

+ MMS

Essa relacao nos fornece o angulo agudo 0 entre r e s, pois tg 0 0. 0 Angulo obtuso 0' sera o suplemento de 0. = 2, Vejamos urn exemplo. Sendo r: 3x + y - 3 = 0, s: 2x - y + 4 = 0, m r = - = -3 e rn, = temos: tg 0=

MS

1 + mr ms

-3-2 1 + (-3)2

-5 -5

- 1

Como tg 0 = 1 e 0 LC 0 < 180°, temos 0 = 45° (angulo agudo). 0 angulo obtuso 0' entre r e s e dado por: 0' = 180° - 0 = 180° - 45° = 135°

Exercicios resolvidos 1. Determine o Angulo entre as retas r: 2x + y - 5 = 0 e s: 3x - y + 5 = 0. Solucao: r: 2x+y- 5 =Oes:3x-y+ 5 =0 mr = -2 e = 3 Aplicando a fOrmula do Angulo entre duas retas, vem: tg 0 _

mr

ms

1 + mrms

-2-3 1 + (-2)3

-5 -5

tg 0 = 1

0 angulo obtuso entre reséo suplemento de 0, ou seja: 0' = 180° - 45° = 135°

0 = 45° (Angulo agudo)

Modulo 144 ■ Geometria analitica: Angulo entre duas retas (I)

339

Ix = 2t 2. Ache o Angulo agudo entre as retas r: y e s: — x -I = 1. =t- 1 2 3 Solucao: r: Ix = 2t y=t- 1 t=y+ 1 Substituindo esse valor em x = 2t, vem x = 2(y + 1)

x- 2y-2 =O.

1 Dal, obtemos mr = 7. Temos, tambern: s:

3x 6 2y

=1 z 3

6 6

3x - 2y - 6 = 0

3 Dal, vem m = — . Assim: 2 3 1 2 2 tg e= M r - M S 1 + cor ms 3 1 1+ — . — 2 2

-1 7 4

4 - 7

Desse modo, 0 6 o angulo cuja tangente vale 42- (0 = arctg 41). 7 7

3. Determine a equacao da reta r que passa por P(2, -1) e forma um Angulo de 60° com a reta s: N/Tx + y - 7 = 0. Solucao: Como ms = -VT, temos: tg 60° -

mr +

Mr

- MS

mr+

1 + mrms = -1-311 -

±

mr +

-

=

ou

1-'m r mr)

- 3mr ou mr + VT =

mr +

-VT

3mr = 4mr = 0

ou 2m r = 2 VT m r = 0 ou = Substituindo os valores de m r e de P(2, -1) = P(x 0, y0) em y - yo = m(x - x0), temos: para m r = 0: y - (-1) = 0(x - 2) Ipara =

y + 1 = VT(x - 2)

y + 1 =0 N/Tx - y - (2-\/T + 1) =,0

Exercicios propostos respectivamente. Obtenha o Angulo agudo entre r e s (k # -1).

1. Determine o angulo entre as retas r e s: a) r:3x-y+ 5 =Oes: 3x+y- 1 =0 b) rx-y+ 1 =Oes: 2x-y+ 1 =0 c) r:x+y- 2 =Oes:3x-y+ 5=0 2. Calcule o Angulo formado pelas retas AB e CD, sabendo que A(6, 7), B(1, -2), C(4, 3) e D(-3, 1). 3. As retas r e s tern coeficientes angulares k e

k-1 k + 1'

4. Determine as equagoes das retas que passam pela origem e formam um angulo de 45° com a reta r: y = VTx. 5. Os vertices de um triangulo sao A(3, 3), B(1, -3) e C(-1, 2). Calcule o valor do Angulo agudo formado pela mediana CM corn o lado AC.

Parte HI

Geometria analitica: Angulo entre duas retas (II) Casos particulares • Uma das retas é vertical

= 90° - a

0 + a = 90°

tg 0 = tg (90° - a) = cotg a = tg a

1 Como, pela figura, tg a = m r, temos tg 0 = tg a

1 mr

Para que 0 seja agudo, devemos ter Por exemplo, sendo s: x - 2 = 0, r: 3x - Vy +1 = 0 e mr - a- V 3 , o3,__angulo agudo entre

r e s e dado por: tg 0 -

1 3

1 m

Ni3 3

0

• As retas seio perpendiculares entre si • y

0

Nesse caso, nao convem aplicar a formula da tangente, pois tg 90° nao é definida. Basta, entao, 1 saber que =, ou seja, mrms = -1 e, portanto, 0 = 90°.

"Is 1 Exemplo: Sendo r: 3x - y + 1 = 0, s: x + 3y = 0, mr = 3 e m = , temos: 3— 1 = -1 mm s= 3 r 1 s 0=90° • As retas seio da forma ax + c = 0 a Sendo r: a ix + c 1 = 0 e s: a 2x + c2 = 0, como m = -- e b1 = b2 = 0, entdo nao existe m r. nem ms . ,

Nesse caso, r e s sdo paralelas entre si e ao eixo Oy e 0 = 0°:

MOdulo 145 ■ Geometria analitica: Angulo entre dugs retas (II)

c, a,

0

• As retas sao da forma by + c

341

_Ea a2

=0

Sendo r: b ly + c i = 0 e s: b2y + c2 = 0, como m = -

e al = a2 = 0, entao m = m, = 0.

Nesse caso, r e s sao paralelas entre si e ao eixo Ox e 0 = 0°: AY

•S

_z

b2 4— c

►

r

b1 0

Se b1 = b2 e c1 = c2, entao as retas sao coincidentes e 0 = 0°.

Exercicio resolvido Determine o Angulo entre as retas r e s nos seguintes casos:

b) r:x

a) r: x + 2y - 1 = 0 e s: 2x - y + 3 = 0

-

Solucao: a) r: x + 2y - 1 = 0 e s: 2x - y + 3 = 0 1 m = 2 e m =2 r 8 1 Como mr = , entao r 1 s e 0 = 90°.

y+ 1 =Oes:x- 3 =0

c) r: x - 3 = 0 a uma reta da forma ax + c = 0 (vertical) e s: y - 2 = 0 é uma reta da forma by + c = 0 (horizontal). x=3 y=2

b) r:x-y+ 1 =Oes:x- 3 =0 mr = 1 e ms Logo, tg e =

1 mr

1 1

c) r: x - 3 = 0 e s: y - 2 = 0

• 2

1 0= 45° (angulo agudo).

O angulo obtuso entre re s é o suplemento de 0, ou seja: 0' = 180° - 45° = 135°.

0

Logo, r 1 s e = 90°. Portanto, seria inviavel usar a fOrmula da tangente.

Exercicios propostos 1. Calcule o angulo agudo formado entre as retas em

cada caso. a) r: x - 2 = 0 e s: x - y = 0 b) r: x + 3 = 0 e s: x + 3y - 5 = 0 c) r: x - 5 = 0 e s: y + 3 = 0 d) r: 4x + 3y - 1 = 0 e s: 3x - 4y + 3 = 0 2. (Vunesp-SP) Calcule o angulo agudo formado pe-

las retas y=2ex-y-l= 0.

3. Calcule o angulo agudo formado pelas retas em Ca-

da caso. a) y=2 ey=x b) y=1ex+y=0 4. Uma reta tem coeficiente angular

2

Calcule o

Angulo agudo que ela forma com os eixos Ox e Oy.

owD U L 0

Geometria analitica: Distancia entre ponto e reta

146

Dados urn ponto P(x1 , y1 ) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distancia entre eles (d pi.) e dada por: y

r: ax + by + c = 0

axi

bYi

Va2 b2

P(x,, yi )

0

Vamos calcular a distancia, por exemplo, do ponto Temos

P( 1, 2) = -

P(x 1 , y1), a = 1, b = -2 e c = ax1 + bY + e 1 Va2 b2

d =

1.

P( 1, 2) -

a reta r: x - 2y + 1 = 0.

Assim:

1(-1) + (-2)2 + 11

-

V1 2 + (-2)2

4 V5

4 -\/

5

Exercicios resolvidos 1. Calcule a distancia da origem a reta r: 4x + 3y - 5 = 0. Solucao: Sendo 0(0, 0) = 0(x 1 , y1 ) e a = 4, b = 3 e c = -5 (da reta r), podemos escrever: laxi+by, d

-

14.0+3.0-51

1-51

\/42 + 32

V 25

\/a2 + b2

=

5

= 1

5

2. Determine a distancia entre as retas paralelas r: 4x - 3y + 1 = 0 e s: 4x - 3y + 11 = 0. Solucao: A distancia entre duas retas paralelas é igual a distancia entre urn ponto P de uma delas e a outra:

Para determinar urn ponto P de r, atribuimos urn valor qualquer a uma das variaveis (por exemplo, x = 2) e substituimos em r, obtendo o valor da outra variavel: 4• 2

-

3y + 1 =0

y=3

343

MOdulo 146 ■ Geometria analitica: Distancia entre ponto e reta

Assim, P(2, 3) = P(x i , y1 ). Como drs = d ps, vem: d =

laxi +by1 +cl

14 • 2 -3 3 +111

J ag b2

V42 + (-3)2

-

10 5

_2

3. Determine a equagao da reta s paralela a r: x + y + 3 = 0, sendo VT a distancia do ponto P(1, -1) a reta s. Solucao: Se r//s, entaos: x + y + c= 0 (ar = as, br = bs e cr cs). Determinacao de cs: I ;x i + bsy, + Como d ps = Nr2 e P(1, -1) = P(x 1 , y1 ), substituindo em d ps -

, temos: has + b:

1 + 1(-1) +

=

2

c=±2

1cl =2

/1 2 + 1 2 Logo, temos duas solucties possiveis para s: x+y+2=0ex+y-2= 0. s,

Exercicios propostos c) x - y - 2 = 0. d) x-y + 1 =0.

1. Calcule a distancia entre ponto e reta, em cada caso.

e) x-y+ 2 = O.

a) r: 15x - 8y - 5 = 0 e P(2, 1) 4. Dados A(2, 2), B(6, 2) e C(4, 5), qual a medida da altura relativa ao vertice C do triangulo ABC?

b) r:x+y+ 1=0 eP(3, 4) c) r: eixo Oy e P(7, 4) d) r: eixo Ox e P(3, 2)

5. A reta r: x - ky - 1 = 0 dista 1 do ponto P(-1, 1). Determine k.

2. Determine a distancia entre as retas paralelas r: 12x + 5y + 10 = 0 es: 12x + 5y- 16 = 0.

6. A area de um quadrado de lado AB na reta rx+y+ 1=OeladoCD naretas:x+y+ 3=0 e:

3. (MACK-SP) A equacao da reta paralela a y = x com distancia /do ponto P(1, 2) e que passa pelo 2 2

a) quadrnteé:

a) x - y + 3 = 0.

b) x - y - 1 =0.

b) 2.

c) 2 VT.

d) 4.

e) 4VT.

7. Obtenha a equacao da reta que passa por A(0, 0) e que dista 1 de P(1, 2).

Parte HI

147

Geometria analitica: Area de urn triangulo

A area de urn triangulo de vertices A(x,, y A), B(xB, yB) e C(xc, yc) e dada por: AY

Yc YA

1 2

xA yA 1

— • IDI sendo D = xB yB 1

YB

0

Exerdcios resolvidos 1. Calcule a area do triangulo de vertices A(0, 0), B(2, 2) e C(4, 1). Solucao: 0 0 1 D= 2 2 1 = -6 4 1 1

Y

AT = + • 1D1 = + • 1-81 = 2 =3 Logo, a area é igual a 3 u 2 .

2. Calcule a area do quadrilatero de vertices A(1, 0), B(5, 0), C(4, 2) e D(0, 3). Solucao: A area do quadrilatero ABCD é igual a soma das areas dos triangulos ABC (I) e ACD (II). Y

1 0 1 D1 = 5 0 1 4 2 1

1 0 1 =8 e D2 = 4 2 1 =11 03 1

B 5

Entao =

+

1 =7

• IN + 71 • 1D2 1= 71 • 8 + 71 • 11

A=

19 T u2 .

xc yc 1

Modulo 147 ■ Geometria analitica:

Area de urn triangulo

345

3. 0 triangulo de vertices A(1, 3), B(x, 2) e C(4, 1) tern 2 cm 2 de area. Determine x. Solugao: XA yA 1 1 Temos AT =T • ID1, sendo D = xB yB 1 x c yc 1 Calculando D, obtemos: 131 D= x 2 1 =2 +x+ 12 - 8 - 1-3x=-2x+ 5 411 Assim: 1, 1 , 2= • 1-2x +51 I-2x+ 51=4 Ar = T •ID1 Dal, temos: -2x + 5 = 4 ou -2x + 5 = -4

2x = 9

1 x =— 2 cm

2x = 1 x=

-2x+ 5 =±4

2

cm.

4. Calcule a area do triangulo limitado pelas retas x - y = 0, x+ y-2=0 e o eixo Ox. Solugao: As interseccoes das retas dao os pontos do triangulo. Assim: x-y=0 A(0, 0) y = 0 (eixo Ox) Y=0 B(2, 0) x+y-2 =0 x-y=0 C(1, 1) x+y-2 = 0 0 0 1 DABC = 2 0 1 =2 11 1 Logo, a area do triangulo ABC é: 1 AABC = 7 'IDABG1 = -2- • 2= 1 u2

Exercicios propostos 1. Calcule as areas dos triangulos de vertices: a) A(0, 0), B(4, 0) e C(4, 2) b) A(0, 0), B(0, 6) e C(3, 3) c) A(-3, 2), B(2, 3) e C(5, -2) 2. Calcule a area do quadrilatero de vertices A(3, -3), B(7, 5), C(1, 2) e D(-3, 4). 3. Dois dos vertices de urn triangulo sao (3, -5) e (-1, -1). A ordenada do terceiro vertice e 5. Qual a sua abscissa se o triangulo tern area 16? 4. (UA-AM) A area do pentagono de vertices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (1, 3) e (0, 2) vale: e) 1. d) 2. c) 3. b) 4. a) 5. 5. Determine as areas dos triangulos limitados pelas retas:

a) x-y= 0,x+y= 0 ey= 3 b) x-y= 0,x+y= 0 ex= 4 6. (FMU-SP) Dados os pontos A(-1, 1), B(1, -1), C(2, 1) e D(1, 2), a area do quadrilatero ABCD é igual a: a) 12.

b) 10.

c) 8.

d)

2.

e) 4.

7. Dados os pontos A(0, 0), B(10, 0) e C(0, 4), qual a area do triangulo MNP, em que M, N e P sao pontos medios dos lados do triangulo ABC? 8. (PUC-SP) As retas y = 2x, y = nam urn triangulo cuja area é: c) 12. b) 10. a) 8.

e x = 4 determi-

d) 16.

e) 18.

DIILO

148

Geometria analitica: Bissetrizes

Dacus as retas concorrentes r: aix + bix + cl = 0 e S: a2x + b2y + c2 = 0, que se interceptam em um ponto Q se P(x, y) e urn ponto qualquer de uma das bissetrizes, P Q, entao P eqUidista de r e s:

dps

I aix + brY cr I ja2 + b2 Y1

a ix + b1y + ci

azx b2Y c21

Va22 b22

a2x + b y + c 2

Jai + b1

,

2

+ b22

Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra. Vejamos o exemplo. Se r: 3x + 2y — 7 = 0 e s: 2x — 3y + 1 = 0, entao suas bissetrizes Sao: 3x + 2y — 7 _ + 2x — 3y + 1 ...132,4.--22--.

_312.2.411

1 bit : 3x + 2y — 7 = 2x — 3y + 1

x + 5y — 8 = 0

b2: 3X + 2y — 7 = —2x + 3y — 1 = 5x — y — 6 = 0

Posicao relative das bissetrizes de duas retas concorrentes As bissetrizes b 1 e b2 de duas retas concorrentes sao sempre perpendiculares entre si. Sendo 0 o angulo agudo entre as retas r e s, o Angulo obtuso é 0' = 180° — 0. Assim, o Angulo entre b1 e b2 é: b2

2

+7•0

,

+ 7 (180° — 0) = 7 + 90° - # =90°

+ = 90°

2 2

Modulo 148 ■ Geometria analitica: Bissetrizes

347

Exercicios resolvidos 1. Determine as bissetrizes dos angulos formados pelas retas r: x + 2y - 3 = 0 e s: 2x + y + 1 = 0. Soluck): A equacao das bissetrizes de duas retas é dada por: a,x+ b l y +

- ±

a2x +

Va; +

+ c2

x + 2y - 3

- ±

+ ID;

2x + y + 1 2

bl :x+ 2y-3 =2x+y+ 1 = x-y+ 4 =0 b2: x + 2y - 3 = -(2x + y + 1) = 3x + 3y - 2 = 0 2. Uma das bissetrizes dos angulos formados pelas retas r e s é 13 1 : 3x + y - 5 = 0. Determine a outra bissetriz, sabendo que ela passa por P(1, 2). Solucao: Se ID, 1 b2 , entao: m=

1

-—= 1

1

M b2

1 mb3 .= — 2

Assim, b2 pode ser expressa por: 1 y - 2 = — (x - 1) 3y - 6 = x - 1 3 Logo, b2: x - 3y + 5 = 0. 3. Determine as bissetrizes dos angulos formados pelas retas x + y = 0 e x - y = 0. Solucao:

As retas x + y = 0 (y = -x) e x - y = 0 (y = x) sao as bissetrizes dos quadrantes pares e Impares. Logo, suas bissetrizes sao os eixos x e y, ou seja, as retas y = 0 e x = 0.

Exercicios propostos 1. Determine as equagOes das bissetrizes dos angulos entre as retas r: 3x + 4y - 1 = 0 e s: 4x + 3y + 1 = 0. 2. (MACK-SP) A equacao da bissetriz de um dos angulos formados pelas retas r: x - y + 2 = 0 e s: x + y - 2 = 0 é: e) y = 0. c) x = 2. a) x = y. d) y = 2. b) x = -y. 3. (PUC-SP) As equacoes das retas que contem os lados de urn triangulo ABC sao AB: x + y - 5 = 0,

BC: x + 7y - 7 = 0 e CA: 7x + y + 14 = 0. A equacao da bissetriz do angulo interno em B a) b) c) d) e)

3x + 6y - 4 = 0. 3x + 6y - 10 = 0. 3x + 6y - 16 = 0. 3x + 6y - 18 = 0. 3x + 6y - 20 = 0.

4. Uma das bissetrizes dos angulos formados pelas

retas r e s tem equacao 4x - y + 1 = 0. Qual a equacao da outra bissetriz, sabendo que ela passa por P(0, 0)?

Geometria analitica: InequacOes (I) Toda reta contida em urn piano divide esse piano em duas regiOes chamadas semiplanos. Vejamos neste modulo os semiplanos determinados por retas horizontals e verticais. A reta x = a, a E R, divide o piano nos semiplanos x>a e x < a: x=a

x;a

Y

Y

x>a

xb

1Y

y=

-ow y -

0

y mx + q é representado apenas pelos pontos acima da reta: AY

y mx + q

y > mx + q /c1 it

0

Se, em ax + by + c > 0, tivermos b < 0, entao by > —ax — c c a = m e -= q, temos: Sendo --

y<

_a •x _c .

ymx+q

Desse modo, os pontos P(x, y) que verificam essa inequacao estao abaixo da reta ou na propria reta y = mx + q:

MOdulo 150 ■ Geometria analitica: InequagOes (II)

351

Analogamente, o semiplano y < mx + q é determinado apenas pelos pontos abaixo da reta: AY

y = mx + q

x

0 y 0

a) x - y + 1 > 0

x+y-1-.c-0 d) Ix - y + 2 0 x+y-2>0

b) x + y - 1 0 Solucao: a) x-y+1>0

y0

ty < x + 1

co fx-y+2...-0

(y-x+2 y>2-x

lx+y-2>0

Exercicios propostos 1. Represente graficamente os pontos do piano tal que: c) y - 2x 0 a) y - x 0 d) 2y + x - 2 > 0 b)

2. Represente graficamente os pontos do piano que sao solucOes dos sistemas das inequagOes: ly > x + 2 Ix - y 0 Ix + y - 3 < 0 c) b) x - y - 3 > 0 y -x + 3 a) x + y > 0

Par to III st-6- Witt-t-O

151

Geometria analitica: Equagdo reduzida da circunferencia

Circunferencia é o conjunto de todos os pontos de urn piano equidistantes de urn ponto fixo, desse mesmo piano, denominado centro da circunferencia. Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) urn ponto qualquer da circunferencia, a distancia de C a P e o raio dessa circunferencia.

dCP = J(XP

xc)2 (Yp yc) 2

V(x — a) 2 + (y — b) 2 = r — a)2 + (y — b) 2 = r2 x a

0

Portanto, (x — a) 2 + (y — b)2 = r2 é a equagdo reduzida da circunferencia e permite determinar os elementos essenciais para a construed° da circunferencia: as coordenadas do centro e o raio. Observagao: Quando o centro da circunferencia estiver na origem, C(0, 0), a eguacao da circunferencia sera

x2 + y2 = r2 .

Exercicios resolvidos 1. Determine o centro e o raio de cada circunferencia: a) (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9

b) (x + 1)2 +

y2 = 4

Solucao: a) Comparando a equagdo reduzida da circunferencia (x - a) 2 + (y - b)2 = r2 corn (x - 2)2 + (y a=2 b= 3 r2 = 9 r= 3 Logo, C(2, 3) e r = 3. b) Podemos escrever (x + 1) 2 +

y2 = 4 de outra forma:

[x - (-1)] 2 + (y - 0)2 = 4 (x + 1)2 + y2 = 4 Assim: a = -1 b=0 r2 = 4 r= 2 Logo, C(-1, 0) e r = 2.

2. Determine a equagao da circunferencia de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(-3, 2) e r = 4

7 e r = VT b) CIO, 1 )

-

3)2 = 9, temos:

Modulo 151

■ Geometria analitica: Equageo reduzida da circunferencia

353

Solucao: a)

C(-3, 2) a = -3, b = 2 r=4 r2 = 16 (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 [x - (-3)] 2 + (y - 2) 2 = 16 =

b

(x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 16

CI O, —1) a = 0, b = —122 r=

5

r2 = 5

X - a)2 + (y - b) 2 = r2

(x - 0) 2 + (y -4) 2 = 5

1 2

x2 + (y - -2- = 5

3. Determine a equacao reduzida da circunferencia cujo diametro 6 AB, sendo A(4, -3) e B(-2, -5). Solucao: 0 ponto medio do diametro AB é o centro da circunferencia: A + x, - 4 + (-2) xM _ x -1 2 2 Ym

-

YA + YB ..._ -3 + (-5) - -4

2

2

Portanto, C(1, -4) e a = 1, b = -4. 0 raio da circunferencia é a metade da distancia de A a B, ou a distancia do centro a uma das extremidades do diametro. Assim: d 5 + 3)2 + (-2 - 4) 2 V40 2 \F I0 r= 2 = r = N5) r2 = 10 2 2 2

V(-

Logo, a equacao reduzida da circunferencia é (x - 1)2 + (y + 4) 2 = 10. 4. Determine a equagao reduzida da circunferencia que passa pela origem e tem centro no ponto (2, 4). Solucao: Como a circunferencia tem centro C(2, 4), podemos escrever a sua equacao reduzida: (x _ 2)2 + 4)2 = r2 A origem pertence a circunferencia, portanto o ponto (0, 0) satisfaz a equacao da circunferencia. Entao: (0 - 2) 2 + (0 - 4)2 = r2 4 + 16 = r2 = r2 = 20 Assim, a equacao reduzida da circunferencia é (x - 2) 2 + (y - 4)2 = 20.

Exercicios propostos 1. Determine o centro C e o raio r de cada uma das

a)

b)

circunferencias: a) (x - 3) 2 + (y - 2) 2 = 16 b) x2 + y2 = 25 c) (x + 1) 2 + y2 = 9 d) (x + :124 + (y + 5)2 = 5 e) x2 + (y + 1) 2 = 25

2. Determine a equacao da circunferencia de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(-3, 5) e r = 4

c) C(0, -1) e r =

b) C(2, 0) e r = 2

d) C(2, -3) e r = 2\ri-

3. Determine as equacOes das circunferencias representadas graficamente:

4. Em cada caso, determine a equacao reduzida da circunferencia que tem centro no ponto (1, 1) e passa pelo ponto: a) P(0, 0)

b) P(-1, 2)

5. Determine a equacao reduzida da circunferencia cujo diametro é AB, sendo A(5, -2) e B(1, 4).

wi 6

DUL0

Geometria analitica: Equacao geral da circunferencia

152

Desenvolvendo a equacao reduzida, obtemos a equacao geral da circunferencia: ÷ = r2 x2 _ 2ax + a2 + y2 2by + b2 = r2 x2 + y2 - 2ax - 2by + 132 - r2 = 0

Determinagao do centro e do raio da circunferencia dada a equagao geral Para determinar o centro e o raio de uma circunferencia, conhecendo sua equacao geral, basta compara-la com a equacao geral da circunferencia em sua forma generica. Vejamos como proceder nos exercicios resolvidos.

Exercicios resolvidos 1. Determine o centro e o raio de cada circunferencia: c) 4x2 + 4y2 - 12x + 4y + 6 = 0

b) x2 + y2 - 8x + 7 = 0

a) x2 + y2 - 6x + 4y - 3 = 0 Solucao:

2_ r2 = 0 x2 + y2 2ax - 2by + a2+ b a) x2 +y2 - 6x + 4 y-3 = 0 Assim, temos: • -2a = -6

a=3

• -2b = 4

b = -2 32 + (-2) 2 - r2 = -3 = 9 + 4 - r2 = -3

• a2 + b2 - r2 = -3

-r2 = -16

r2 = 16 = r = ±4

Mas r > 0, entao r = 4. Logo, C(3, -2) e r = 4. b) x2 + y2

-

x2 + y2

8x + -

7 = 0 ou x2 + y2 8x + Oy + 7 = 0 -

2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

x2 + y2 - 8 x + 0 y + 7 = 0 Assim, temos: • -2a = -8 • -2b = 0

a=4 b=0

• a2 + b2 - r2 = 7

42 + 02 - r2 = 7

-r2 = 7 - 16

-r2 = -9 = r2 = 9 = r = ±3

Mas r > 0, entao r = 3. Logo, C(4, 0) e r = 3. c) 4x2 + 4y2 - 12x + 4y + 6 = 0 Neste caso devemos dividir ambos os membros da equacao por 4 para que os coeficientes de x2 e fiquem iguais a 1. Entao

4x2 + 4y2 - 12x + 4y + 6 _ 0 4 4

x2 + y2_ 3x + y + = O.

y2

Modulo 152 ■ Geometria analitica: EquagOo geral da circunferencia

355

Assim, temos: x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2_ r2 = 0

a =0 x2 + y2,7 8';x + y + — 2

3 a=— 2

• -2a = -3 • -2b = 1

1

b=

• a2 + b2 - r2 =

r2 = 1

2

2

- r2 = 3

(41

2

9 1 3 4 + 4 — r2 2

3 - 10 -r2 = — 2 4

-r2 = -1

r = ±1

Mas r > 0, entao r = 1. Logo,

, - 1) 2- e r = 1.

2. Verifique se a equacao 2x2 + 2y2 - 4x + 12y + 22 = 0 representa uma circunferencia. Solucao: 2x2 + 2y2 - 4x + 12y + 22 = 0 (: 2) = x 2 + y2 - 2x + 6y + 11 = O. Assim:

1

x2 + -y 2 _ 2ax - 2by + a2+b2 _ r2 = 0 x2 + y2 - 2x + 6y + 11 =0

Logo: • -2a = -2

a=1

• -2b = 6

b = -3

• a2 + b2 - r2 = 11

1 2 + (-3)2 - r2 = 11

10 - r2 = 11 = -r2 = 1 = r2 = -1 =r=± V-1 E R

Nao existe valor real para o raio, portanto a equacao nao representa circunferencia. 3. Determine m para que a equacao x 2 + y2 - 2x + 6y + m = 0 represente uma circunferencia. Solucao: x2 + y2 - 2ax - 2by + a2+ b2_ r2 = 0 X2 +

y2 - 2x + 6y + m = 0

• -2a = -2

a=1

• -2b = 6 = b = -3

• a2 b2 r2 = m Mas r2 > 0

12 + (-3)2 r2 = m

-m + 10 > 0

-m > -10

_r2 = M - 10

r2 = -m + 10

m < 10

Logo, para representar uma circunferencia, m < 10.

Exercicios propostos 1. Determine A, B e C nas equacaes para que etas

representem uma circunferencia: a) Ax2 + y2 - Bxy - x - 6y + 1 =0 b) Ax2 + y2 + Bxy - 2x - 6y - C = 0

3. Obtenha o centro C(a, b) e o raio r em cada uma

das circunferencias: a) x2 + y2 - 4x + 8y + 14 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0 4. Determine m para que a equacao

2. Determine k de modo que x2 + y2 - 6x + 4y + k = 0 represente uma circunferencia.

x2 + y2 + mx - 2y - 3 = 0 represente uma circunferencia com centro no eixo das ordenadas.

Parte III

153

Geometria analitica. POSica,0 de um ponto em relagao a uma circunferencia

Em relacdo a circunferencia de equacdo (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 , o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posicOes: a) P é exterior a circunferencia V(xp - xc)2 + (yp - yc)2 > r CP > r \km _ ay + _ by > r _ ay ± _ by > r2 (m - a)2 + (n - b)2 - > 0 b) P pertence a circunferencia y P(m, n)

CP = r (m - a) 2 + (n - b)2 = r2 (m - a) 2 + (n - b) 2 - 1-2 = 0 x

0 c) P é interior a circunferencia y

- a) 2 + (n - b)2 < r2 CP < r (m - a) 2 + (n - b) 2 - r2 0, entdo P e exterior a circunferencia; • se (m - a) 2 + (n - b)2 - r2 = 0, entdo P pertence a circunferencia; • se (m - a) 2 + (n - b)2 - r2 < 0, entao P e interior a circunferencia.

Exercicios resolvidos 1. Determine, em relacao a circunferencia de equacdo (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4, a posicao de cada ponto: b) B(-1, 2) c) C(0, 3) a) A(2, 3) Solucao: Substituindo as coordenadas de cada um dos pontos na expressao (x - 2) 2 + (y - 3)2 - 4, temos: a) para A(2, 3): (2 - 2) 2 + (3 - 3)2 - 4 = 0 + 0 - 4 = -4 < 0 Logo, A(2, 3) é interior a circunferencia. b) para B(-1, 2): (-1 - 2) 2 + (2 - 3) 2 - 4 = 9 + 1 - 4 = 6 > 0 Logo, B(-1, 2) é exterior a circunferencia.

MOdulo 153 ■ Geometria anelitica: Posic8o de urn ponto em relaga'o a uma circunferencia

c) para C(0, 3): (0 - 2)2 +(3 - 3)2 - 4 = 4 + 0 - 4 = 0 Logo, C(0, 3) pertence a circunferencia. 2. Represente graficamente os seguintes conjuntos: a) A = 1(x, y)ER x1111x 2 +y2 < 41 b) B = {(x, y) GRxR1 (x - 1) 2 + (y - 2)2 161 c) C = {(x, y) E

x [I;R I (x + 2)2 + y2

9}

Solucao: a) x2 + y2 = 4 representa uma circunfer8ncia de centro C(0, 0) e raio r = 2. Entao,

Ay •

•

A ={(x,y)ERxR1x2 +y2 r

s é tangente a a

dCs < r

s

e secante a a

Exercicios resolvidos 1. Determine a posicao relativa de s: 3x + 4y - 1 = 0 em relacao a circunferencia a: (x - 1) 2 + (y - 2)2 = 4. Solugao:

Vamos calcular a distancia do centro de a ate s e compara-la com o raio de a: d =

lAa+Bb+CI

13• 1 +4.2-11

N/A2 + 132

V32 + 42

Como dcs = 2 = r, a reta s é tangente a a.

10 -—=2 5

Modulo 154 ■ Geometria analitica: Posic6o de uma reta em relacao a uma circunferOncia

359

2. Determine a posicao relativa de s: x + y - 4 = 0 em relacao a circunferencia a: x 2 + y2 = 1. Soluck):

Vamos calcular a distancia do centro de a ate s e compara-la com o raio de a. Como C(0, 0) e r = 1, vem: lAa + Bb + C1 10 + 0 - 414 4 r2= -2V2 d Cs V12 + 12 \/2 2 VA2 + B2 Como dcs = 2 j--2- > r = 1, a reta s é exterior a a. 3. Obtenha a interseccao entre a reta r: x + y = 2 e a circunferencia a: x 2 + y2 = 4. Solucio: Para obter r fl a, substituimos na equacao da circunferencia o valor de uma variavel isolada na equacao da reta: x+y= 2 y= 2 -x x2 + (2 - x) 2 = 4 x2 + 4 - 4x + x2 = 4 2x2 - 4x = 0 2x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 x=0y=2-0=2 x=2y=2-2=0 {

Entao, (0, 2) e (2, 0) sao os pontos de interseccao de r e a. Veja a representacao grafica:

Exercicios propostos 1. Determine a posicao relativa da reta s: 3x + 2y - 5 = 0 em relagao a circunferencia de equacao x2 + y2 + 4x + 2y - 8 = 0.

6. Obtenha o valor de m para que a reta 3x + 4y + m = 0 seja tangente a circunferencia a: (x - 1)2 + (y - 2) 2 = 4.

2. Obtenha a interseccao entre a reta s: x + y = 3 e a circunferencia de equacao x 2 + y2 = 9.

7. (MACK-SP) Em relacao a circunferencia (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 169, a reta 5x + 12y - 198 = 0 A: a) secante. b) tangente. c) externa. d) coincidente com a reta que contem o diametro. e) nda.

3. Calcule o comprimento da corda que a reta y = 2x - 1 determina na circunferencia de equacao x2 + y2 + 5x - 7y - 2 = 0. 4. Determine a posicao relativa das retas s: 3x + 4y - 3 = 0 e u: 3x + 4y + 5 = 0 em relacao a circunferencia a: (x - 1) 2 + (y - 2)2 = 4. 5. Determine a posicao relativa da reta s: x + y - 2 = 0 em relacao as circunferencias a: x 2 + y2 = 1 e 0: x 2 + y2 = 4.

155

Geometria analitica: CondicOes de tangencia entre reta e circunferencia

Dados uma circunferencia a e urn ponto P(x, y) do piano, temos: a) se P pertence a circunferencia, entao existe uma unica reta tangente a circunferencia por P

s é solucao unica

b) se P é exterior a circunferencia, entao existem duas retas tangentes a ela por P

r e t sao soluceles

c) se P é interior a circunferencia, entao nao existe reta tangente a circunferencia que passe pelo ponto P

d„ < r

Exercicios resolvidos 1. Determine a equagao da reta que passa pelo ponto P(-1, 7) e é tangente a circunferencia (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25. Solugao: Vamos, inicialmente, localizar o ponto P em relagao a circunferencia, substituindo as coordenadas (-1, 7) do ponto na expressao (x - 2) 2 + (y - 3) 2 - 25: (-1 - 2) 2 + (7 - 3)2 - 25 = (-3)2 + 42 - 25 = 9 + 16 - 25 = 0

Mbdulo 155 ■ Geometria analitica: Condicbes de tangencia entre reta e circunferencia

361

Como P pertence a circunferencia, a solucao é Unica. Logo, P é ponto de tangencia e r 1 CP. Temos:

7-3

m—

CP- -1-

Como m = 1 _4 3

4 m— Cr . --

2

1 , entao: m CP — 3 m=— r 4

A reta r procurada passa por P(- 1, 7) e tern coeficiente angular m r = 3 Assim, podemos calcular sua equacao aplicando a formula y - yo = m(x - x 0): 3 r: y - 7 = — (x + 1)

4y - 28 = 3x + 3

3x - 4y + 31 =0

2. Determine a equacao da reta que passa pelo ponto P(5, 2) e e tangente a circunferencia de equacao (x - 4) 2 + (y - 1) 2 = 8. Solucao: Substituindo P(5, 2) na expressao (x - 4) 2 + (y - 1) 2 - 8, temos: (5 - 4) 2 + (2 - 1) 2 - 8 = -6 < 0 Logo, o ponto P é interior a circunferencia e, portanto, nao existe solucao. 3. Encontre a equacao da circunferencia de centro (0, 0) e tangente a reta s: y - 3x - 20 = 0. Solugao: Para determinar a equacao da circunferencia, devemos calcular o seu raio r: r=d c, =

lAa + Bb + Cl

1-3 • 0 + 1 • 0 - 201

20

JA2 + B2

V(-3)2 + 12

NI 1 0

20 V 10 = 10

2 V10

Assim, a equacao da circunferencia é: (x - 0)2 + (y - 0) 2 = (2 V 10 )

x2 + y2 = 40

Exercicios propostos 1. Determine as equacoes das retas tangentes as circunferencias, passando pelos pontos indicados, nos seguintes casos: a) x2 + y2 - 4x - 1 = 0, P(1, -2) b) (x + 3) 2 + (y - 1)2 = 36, P(2, 3) 2. Encontre a equacao da circunferencia tangente reta 3x - 4y - 4 = 0, cujo centro esta na interseccao das retas 5x -y+7=0 ex- 4y + 9 = 0. 3. Determine a equacao da circunferencia tangente

a r: 4x - 3y + 5 = 0, corn raio 5 e centro em s: 2x + y = 0. 4. Encontre a equacao da circunferencia concentrica circunferencia de equacao x 2 + y2 - 6x + 2y - 39 = 0 e tangente a reta t: 8x - 15y - 5 = 0. 5. Calcule o raio da circunferencia de centro C(1, 2) e tangente a reta 2x + y + 1 = 0. 6. A reta x+y+k=06 tangente a circunferencia de equacao x2 + y2 = 2. Determine k.

1111111111■1

156

Numeros complexos: Introdugao, adicao e subtracao

Introducao Sabemos que IN CZCOC R, sendo o conjunto R o mais amplo que conhecemos ate agora. Nele nao podemos resolver equacOes do 2 9 grau em que A < 0, como x2 + 1 = 0, x 2 + 4 = 0, x2 + 5x + 7 = 0, isto e , nao ha solucao em O para essas equacOes. Durante muitos seculos essas equacOes ficaram sem solucao ate que Raffaeli Bombeli, em 1572, publicou seu tratado de Algebra, falando sobre raizes quadradas de numeros negativos. Assim, comecava a surgir urn novo conjunto, chamado de conjunto dos numeros complexos e representado por C e no qual aquelas equacOes (A < 0) nao tinham solucao. Criou-se tambern o simbolo i (pois esses numeros eram chamados imaginarios) para ser usado no lugar de ./ -1. Vamos, entao, resolver algumas equacOes em C para exemplificar. a) x2 + 1 = 0 = x 2 = -1 = X = NI - 1 = X = +i OU X = —i = f-i,

b) x2 + 25 = 0

x2 = -25 = x = ±V-25 = ±V25 (-1) = ±5i

S = {-5i, 5i} c) x2 -2x+ 2=0

x=

2±

-8

2 ± V--4

2

2

2 + 2i 2(1 i) - 1+i 2 2

s = { 1 — 1 + i} Numeros como i , 2i, -3i, 2 + 3i, 4 - 2i sao exemplos de numeros complexos, ou seja, todo rulmero da forma z = a + bi (a, b ER e i = C=

é urn nfimero complexo: + bi, a EReb E

RI

sendo a a parte real (R) e bi a parte imaginaria (Im). Dessa forma, podemos escrever IN CZCGCRC C. Observagaes: la) i 2 =

z = a + bi a chamado forma algebrica do nOmero complexo. 3a) Se a = 0, entao z = bi, que chamamos de namero imaginario puro, ou, simplesmente, numero imaginario.

4a) Se b = 0, z = a e real.

MOdulo 156 ■ Numeros complexos: Introducao, adiceo e subtraoao

363

Igualdade de numeros complexos Dois rulmeros complexos sdo iguais se, e somente se, tern a mesma parte real e a mesma parte imaginaria: a + bi=c+di 4=>. a=ceb=d

Adicao e subtragao de nOmeros complexos Dados dois nUmeros complexos, z 1 = a + bi e z2 = c + di, temos por definicao: a) z 1 + z, = (a + c) + (b + d)i parte real parte imaginaria

b) z 1 - = (a - c) + (b - d)i parte real parte imaginaria

Veja os exemplos: • z = 3 - 5i e z 2

=

4 + 4i

• z = 2 + 3i e z 2

=

-2 + 4i

+ + (-5 4- 4)i = { z1 z2 = z i - z, = (3 - 4) + (-5 - 4)i = -1 - 9i z I + z 2 = (2 - 2) + (3 + 4)i = 7i z 1 - z 2 = (2 + 2) + (3 - 4)i = 4 - i 2z 1 - 3z2 = 2(2 + 3i) - 3(-2 + 4i) = 4 + 6i + 6 - 12i = 10 - 6i

Exercicios resolvidos 1. Determine p para que z = (2p + 7) + 3i seja imaginario puro. Solucao: Devemos ter: 7 a = 2p + 7 = 0 P -

2. Sejam os nOrneros complexos z1 = k + 3i e z2 = 3 - mi. Determine k e m para que z 1 + z2 = 2(5 + 2i). Solucao: + z2 = k + 3i + 3 - mi = (k + 3) + (3 - m)i = 2(5 + 2i) = 10 + 4i 68U rn Logo, f k + 3 = 10 3-m=4

k=7 m = -1

Exercicios propostos 1. Resolve em C as equacOes:

a) x2 + 36 = 0 b) x2 + 7x + 10 = 0 c) x2 + 2x + 2 = 0

a) x = 0. b) x# O. c) x = ±2.

d) x # ±2. e) x # 0 e x ±2.

5. Determine k e m para que z 1 - z2 = 3 + 2i, sendo 2. Encontre a de modo que z = (a2 - 4) + (a - 2)i seja

z1 = k + mi e z2 = 2 - 2i.

imaginario puro. 6. Se z1 = 2 + mi e z2 = 3 + 4i, obtenha m tal que 3. Determine os nOmeros reais m e n tal que

z2 - = - 1 - 3i.

(m + n) + (m - n)i = 4 + 2i. 7. Sendo z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - i e z3 = 4 - 2i, deter-

4. (UFPA) 0 numero complexo z = x + (x 2 - 4)i a real se, e somente se:

mine: a) z1 - 2z2 - z3

b) 2z 1 - 3(z3 - z2)

Porte HI

01. 5 7

Numeros complexos: Multiplicagao e divisao

Multiplicagao de numeros complexos Dados dois numeros complexos, z 1 = a + bi e z2 = c + di, temos por definicao: z 1 z 2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci — bd

z 1 z 2 = (ac — bd) + (ad + bc)i

Exemplos: • zi = 2 + 3i e z2 = —1 + 2i z 1 z 2 = (2 + 3i)(-1 + 2i) = —2 — 3i + 4i + 6i2 = —2 — 3i + 4i — 6 = —8 + i • z 1 =1—iez 2 = 3+4i z 1 z 2 = (1 — 0 (3 + 4i) = 3 + 4i — 3i — 4i 2 = 3 + 4i — 3i + 4 = 7 + i

Conjugado Chamamos de conjugado de z = a + bi o numero complexo, indicado por 7, tal que: = a — bi Veja: • z1 = 2 — 2i z 2 = 3 + 4i Z3 = —5 + 2i

= 2 + 2i 2 = 3 — 4i Z3 = —5 — 2i

Na pratica, para obter o conjugado de urn numero complexo, trocamos o sinal do coeficiente da parte imaginaria. Observacks. Sendo z = a + bi, temos: la) z + 6 sempre real, pois z + = a + bi + a — bi = 2a. = a + bi — (a — bi) = a + bi — a + bi = 2bi. 2') z 6 sempre imaginario puro, pois z 3') d é sempre real nao-negativo, pois zz = (a + bi)(a — bi) = a2 b2i2 = a2 b212 = a2 b2 .

Propriedades 19 Se z = a + bi, entao z = a — bi

z = a — bi = a + bi: z = z

22) 0 conjugado da soma e igual a soma dos conjugados: z 1 + z2 = zi + z2

i z2 =ZiT 390conjugadprteiloduscnjga:z 2 49 0 conjugado de uma potencia e igual a potencia do conjugado: =

(n E IN)

Divisao de numeros complexos Dados dois numeros complexos, z 1 = a + bi e z2 = c + di, para obter a forma algebrica do quo1 z # 0, multiplicamos o numerador e o denominador da fracdo por zz (conjugado do denoz2 ' 2 minador).

ciente

MOdulo

157 • NOmeros complexos: Multiplicapao e divisao

365

zi Esse procedimento, alem de nao alterar o valor de — z ' permite eliminar a parte imaginaria do 2

denominador (pois 2 2K e real), obtendo, desse modo, a forma algebrica. Observe o exemplo. Sendo z 1 = 2 + 3i e z 2 = 4 + 3i, temos: z, 2 + 3i 2 + 3i 4 - 3i 8 - 6i + 12i - 9i2 17 + 6i 17 6 + —• z 2 4 + 3i 4 + 3i 4 - 3i 16 - 9i2 16 + 9 - 25 25 i

Exercicios resolvidos 1. Determine o complexo z tal que (1 + i)z - (1 + 21)2 = 7 + 3i. Solucdo: Sendo z = a + bi, temos 2 = a - bi. Substituindo na equagdo, vem: + bi + ai - b -,d/+ bi - 2ai - 2b = 7 + 3i

(1 + i)(a + bi) - (1 + 21)(a - bi) = 7 + 3i 3b = 7 -3b + (2b - a)1= 7 + 31 2b - a = 3 Resolvendo o sistema, obtemos b = 2. Efetue: 2-i a) 1+ i

7

ea=

23

-T .

Logo, z = -

23

7 .

- -3- • 1.

3+i ,_, 1 - i b) - + 2+ 1 - 2i

Solugao: 1 2

2 - 21-1+1 2 1 - 3i a) 2 - i (2 -1)(1 - i) a) — 1 -12 2 1+i (1 +1)(1 - i) h‘

-1

3 I

2-i-2i-1 3 + 6i+i-2 _ 1-3i 3+i 1 +2i 3+i 1-i 2-i 1-i + + + . 5 4+1 1+4 1 - 21 1 + 2i -1 2 + i + 1 - 2i = 2 + i 22-i

+7i 5

4 • - 2 + 4i = 2 — 5 5 5

Exercicios propostos 1. Calcule: 3 - 2i a) -1 + i b)

. 1 d) — -•• 1. 2 2

c) 3-41 2i

2 + 3i

Ax

2 - 3i 4 - 5i

4. (UFBA) 0 quociente de z = 3 + 2i por w = 1 + i 6:

2 + 3i 4 + 5i

2. (USF-SP) Dados os numeros complexos z1 = a + bi

e z2 = 1 - 2i. Como zi z2 = 15, entdo z1 + z2 a igual a: e) 8 - 2i. c) 4 + 4i. a) 8. d) 6 + i. b) 4. _ 1 + 2i dd como resultado o nu1-i

3. (UFPA) A divisao

mero: 1 3 : a) -- - — • I . 2 2

1 3 . b) — + — • 1. 2 2

e) -1 + 3i.

a) 3 + 2i.

c) 5-i.

b) 3 -1.

d)

3 e) 7 -i.

1 5 - — • 1. 2 2

5. Se z1 = 2 + 3i e z2 = 3 + 4i, calcule:

a) z, .12 .

b) z1 z2 Zi Z2 •

c)

2

+

2

1.

6. Se zi = 3 - 21, z2 = 2 +le z3 = 1 +

za

calue •

M

6D UL 0

158

Numeros complexos: Potencias de i e representagao grafica de um nilmero complexo

Potencies de i Estudando as potencias de i (in , n E IN), temos: i6 = i412 = 1(-1) =

i° = 1

Entao, podemos escrever:

= i4i3 = 1(—i) =

1= i2 =

i8

1 — 1 1 — —1 i4 = i2i2 = _1(_1) = 1 15 = 141 = 1 •1=1

i4i4

10 = 14= 18=

1 = 1

ii = 1 5 = 19= 12 = 16 =110

i9 = 181 = 1 • 1 = 110 =1812 = 1(-1) = -1 1 11 =i 101= 1'1 = 1 -

i3 = i7 = 1 11=

-

= i4n = (14)n = in = = = 14n + 1 = 1 4ni = 1 4n + 2 = 14n12 = 1(_1) = 1 1 4n + 3 = 14n13 = 1(-0 = =

Portanto, para determinar urea potencia de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisao. Veja: • i9 914

• i82

i9 = i2 4+1 = i8 .i = 1.i = i

• i123

= i2 = _1

82 14 2 20

12

123 14 03 30 i123 =

=

Representagao grafica de urn numero complexo Para representar o ntimero complexo z = a + bi num piano (chamado de Argand-Gauss), marcamos o coeficiente da parte real no eixo Ox e o coeficiente da parte imaginaria no eixo Oy. Veja: Im b eixo real (Ox) Im eixo imaginario (Oy) imagem geometrica ou afixo do complexo z = a + hi P(a, b)

Por exemplo, se z 1 = 2 + 3i e z2 = —2 + i, P1(2, 3) é o afixo de z1 e P2(-2, 1) é o afixo de z2 . Entdo, a representacao desses nitmeros é:

A Im 3 --------- Pa , 3) ?

. I

P2(-2, 1)

I

0

-2

2

Modulo 0 modulo (I z I) de urn ntimero complexo é a distancia de seu afixo a origem do piano de Argand-Gauss. Assim, se P(a, b) e 0(0, 0), temos:

Aim 1 z 1 = do, = N./Ca

---------

b -----

—

\-t\

•

Iz=

+

Veja alguns exemplos: • z = 2 + 3i

Izi = V22 + 32 =

• z = —5i

1 z1 = V02 + (-5)2 =5

2

0)2 + (b — 0)2

-

Medulo 158 ■ NOmeros complexos: Potencies de i e representacao grafica de urn numero complexo

367

Argumento Argumento de urn numero complexo (arg(z)) é o numero 0 (0 0 < 360°) tal que:

sen 0

(z 0)

e

lz I

—

0 dngulo 0 é considerado no sentido anti-horario, a partir do eixo real (parte positiva) ate encontrar OP:

Exercicios resolvidos 1. Calcule P43 -13 1

128

SOlUca0: •

1243 = 13 =

•

j28 =

•

i13

= 1

1243

-

1

128

I(- 1)

1 13

i1 =

i2 +

_1 +

_i2 -

1

-

+

2. Represente graficamente e determine o mOdulo e o argumento dos seguintes numeros complexos:

b) w = 1 - i

a) z = 2 + 2 fi i Solucao:

• Modulo:

a) • Representacao grdfica:

Iz = V22 ± (2 Niy) =

+ 12 = 4

• Argumento:

_ 2\13 sen 0 - b 4 zI

2

i esta no 1 2 quadrante (0 < 0 < 90°),

Como 2 + 2 entao 0 = 60°.

b) • Representacdo greifica:

• Modulo:

lw I = J1 2 + (- 1)2

=

• Argumento:

Como 1 - i esta no 42 quadrante, 270° < 0 < 360°. Assim: a = cos 0 = —„ lw 1

(1, -1)

=

VT

2

2

= 315°

Exercicios propostos 1.

Calcule: a) 0 07

c)

b) rim _ poo

d) j31

2. (UFSC) A expressao

a) 1 -

i.

1100

133

112

e)

1321 118

d) i.

e) -1 - i.

3. Represente graficamente e determine o mOdulo e

I 8 + 21 119 1110

113

b) -1 + i. c) 1 +

equivalente a:

o argumento dos seguintes numeros complexos: e) z = -2i a) z = 1 + i f) z = 4 b) z = -1 +i g) z = 2 + 2i +i c) z = h) z = -1 - VTh d) z = -1 + 31

Parte III MintrIPITTRP.

159

Forma trigonometrica ou polar de urn numero complexo

Seja urn numero complexo z = a + bi, z # 0. Sendo o angulo 0 em radianos, temos: cos 0 = a a = zl• cos 0 (1) IzI sen 0=

b = Izi • sen 0 (2)

Substituindo (1) e (2) em z = a + bi, temos:

z = Izi • (cos + i • sen 13)

z = Izi • cos 0 + i • 1z1 • sen 0

que e a forma trigonome-trica ou polar de um numero complexo.

Exercicios resolvidos 1. Passe para a forma trigonometrica: a) z = 1 + i b) z = -1 + i Solucao: a) z = 1 + i é urn complexo que tern representagao grafica no le quadrante: Im

Assim: 1z1 =

+1=

cos 0 = 1az1 „

=

= 12

2

0 = it- rad (0 < < -LT ) 4 2

Entao: z = 1z1 • (cos 6 + i • sen 0) = J 2 (cos

4

+ i • sen

4

b) z = -1 + -5 item representacao grafica no 2.9 quadrante — lc rad < 0 < nrad): 2

-1 +

Modulo 159 ■ Forma trigonometrica ou polar de urn numero complexo

369

Assim:

(vd)2 = J4= 2

I z I = V(-1) 2 + cos 0 =

a 1z1

1 -2

0=

n rad( -1 < 0 < n)

2n

Entao: 2n 2n ) z = 2(cos — + sen 3 3 2.

De a forma trigonometrica de z = (1 +

solucao: (1 +

= 1 2 + 2 • 1 • i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Logo, (1 + = [(1 +1) 2]2 = (2i)2 = 4i2 = -4. Se z = (1 + = -4, entao a = -4 e b = O. Logo, sua representagao grafica 6: Im 0

-4

0

Assim, I z I = NA- 4)2 + 02 = 4 e 0 = n rad. Entao: z = Izi (cos 0 + i • sen 0) = 4(cos TC + i • sen

Exercicios propostos 4. De a forma trigonometrica de:

1. Passe para a forma trigonometrica: a) 2 - 2i

e) -2 VY- 2i

b) 2 VT+ 2 VT i

f)

2(2 + 3i)

1 - 5i g) 5i

c) d) -4

c) z -

a) z = (1 - i)2

1+ 1-i

b) z = (1 + 5. 0 mOdulo e o argumento de z = 3i valem respecti-

vamente:

2. (FEI-SP) Dado z =

4 - 3i , determine: 3 + 4i

a) seu argumento e seu modulo; b) a forma trigonometrica de Z. 3. (UFPA) 0 numero complexo VT+

i, na forma

TC 2

a) 3 e TC

d) 3 e - —

b) 9 e 2n n c) 3 e — 2

e) nda

6. Qual a forma trigonometrica de urn numero com-

plexo de mOdulo 5 e argumento 0 =

trigonometrica, 6: a) 2(cos

+ i • sen

b) 2(cos

+i•

c) 2(cos

+ i • sen

2•

7. (MACK-SP) Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, entao I u + v 6:

sen

c) V29 .

a) 5. b)

.

e) 15.

d) 7.

8. (Cesgranrio-RJ) 0 modulo do numero complexo

d) 2(cos4 + i • sen -Lc ). 4 e) 2(cos

4

+ i • sen

4

(1 + 3i)4 6: a) 256. b) 100.

c) 81. d) 64.

e) 16.

Mo

D II L 0

160

Conceito e formas de polinOmio

Conceito Dados os ninneros complexos a2, a1 , e a0, chamamos de polindmio ou funcdo polinomial na variavel x a funcao f: C C tal que: 1xn 1 + a7x2 + a x + a 0 (n E IN) a2x2 , a i x e a(, sao os termos e an , a n-1' "•' a2, ai , ao sao os coeficientes do

f(x) = anxn + a

em que anxn an -1x n polinomio. Vejamos alguns exemplos: • P(x) = 3x3 + 2x2 + 7x - 3 termos: 3x3, 2x2 , 7x, -3 coeficientes: a3 = 3, a2 = 2, al = 7, a. = -3

-

• P(x) = 2x4 + 3x2 + x + 5 termos: 2x4, 3x2, x, 5 Icoeficientes: a4 - 2, a3 - 0, a2 3, al 1 e al?, 5

Express6es cujos expoentes nao sejam numeros naturais nao sao polinOmios. Por exemplo: • x3 + x2

+ V7c = x3 + x2 + x21

e IN)

• 2x- ' + 2x-2 + x (-3 E

IN e — 2

IN)

Formas de polinomios

Grau + a2x2 + aix + ao é n se, e somente se, Grau do polinomio P(x) = anxn + an- 1xn-1 + + apxP + Indicamos por gr(P) o grau de P(x). an * 0. Veja: • A(x) = 4x4 + x' - 1: gr(A) = 4 • P(x) = 4x3 + x - 1: gr(P) = 3 • B(x) = x + 1: gr(B) = 1 • Q(x) = 7x5 + 3x2 - x: gr(Q) = 5 Leia na pagina 372 um texto sobre funcOes polinomiais em que se di enfase para a importancia do principio da generalizacao.

Polinbmio identicamente nulo 0 polinomio em que todos os coeficientes sao nulos e o polinomio identicamente nub°. Por exemplo, P(x) = ax2 + (b - 1)x + c - 2 sera identicamente nub se todos os coeficientes forem iguais a 0. Assim: c=2 b=1 • c- 2=0 • a=0 • b - 1=0

PolinOmios icrenticos + aix + a. e P2(x) = bfixn bn - ixn -1 + Dados os polinomios P i(x) = anxn + a 1x" -1 + + b1x + b0, dizemos que P 1(x) é identico a P 2(x) se, e somente se, todos os coeficientes de P 1 (x) forem ordenadamente iguais aos de P2(x):

P,(x)

P2(x) an = bn, an =

ai = e a. =

Exercicios resolvidos 1.

Determine o grau dos seguintes polindmios: b) P(x) = kx3 + mx2 + 6x + 4 a) P(x) = kx 2 + 3x + 7

c) P(x) = (a' -- 1)x 3 + (a - 1)x2 + 3x

MOdulo 160 ■ Conceito e formas de polinornio

371

Solucao: a) P(x) = kx 2 + 3x + 7 • se k * 0, gr(P) = 2 • se k = 0, P(x) = 3x + 7 e gr(P) = 1 b) P(x) = kx3 + mx2 + 6x + 4 • se k * 0, gr(P) = 3 • se k=Oem* 0, P(x) = mx 2 + 6x + 4 e gr(P) = 2 • se k=Oem= 0, P(x) = 6x + 4 e gr(P) = 1 c) P(x) = (a 2 - 1)x3 + (a - 1)x2 + 3x Analisando o coeficiente de x 3 , temos: • se a2 - 1 *0, isto 6, se a*1 e a* -1, gr(P) = 3 • se a = 1, P(x) = (1 2 - 1)x3 + (1 - 1)x2 + 3x = P(x) = 3x e gr(P) = 1 • se a = -1, P(x) = [(-1) 2 - 1[x3 + [(-1) - 1]x2 + 3x = -2x2 + 3x e gr(P) = 2 2. Determine m, n e p para que P(x) = (m + n - 3)x 2 + (m - n - 1)x + n - p seja identicamente nulo. Solucao: Igualando todos os coeficientes a zero, obtemos: m +n-3=0 m +n=3 m-n-1=0 m-n=1 n-p=0 = n=p Resolvendo o sistema, vem: [m+n=3 m-n=1 2m = 4 m = 2 Assim: m+n=3 n=3-2=1 p=1 n=p Logo, m = 2, n = 1 e p = 1.

Exercicios propostos 1. Quais das seguintes express6es representam polinomios? 1 d) x -1 + — + 3 a) 3x2 + x + 1 b) NiYx3 + x2 - f

e) x5 + 3x - 7

c) 4 N/+ x 2. Verifique se: a) para k = 2, o grau de P(x) = (k - 2)x 3 + 7x e 3; b) para m = 2, o grau de P(x) = (m 2 - 4)x2 + (m - 2)x + 3 é zero; c) para a = 1, o grau de P(x) =

- 1)x3 + (a2 - 1)x2 + (a - 1)x + 5 e 1.

3. Dado o polinonnio P(x) = ax 3 + bx2 + cx + 4, verifique para que valores de a, b e c temos: c) gr(P) = 1. b) gr(P) = 2; a) gr(P) = 3;

4. Determine a, b e c para que os polinornios abaixo sejam identicamente nulos. a) P(x) = ax3 + (a + b - 2)x 2 + (b + c)x b) Q(x) = (a - b)x2 + (b - c)x + (c - 2) c) R(x) = (a - 1)x3 + (b - 2)x - (2c - 3) d) S(x) = ax3 + (2a - b + 1)x2 + (c + 2)x 5. Verifique se existem valores para a e b tal que (a2 - 9)x3 + (b - 2)x + (a + b) = O. 6. Se P(x) = ax3 + 3x2 + bx - 4 e Q(x) = 3x3 + cx2 + 8x + d, obtenha a, b, c e d para que P(x) = Q(x). 7. (UFPA) Se F(x) = 2p + q + (p + 3)x - 2px 2 + x' é identico a P(x) = x 3 - 4x2 + 5x + 2, entao: d) p + q = 4. a) p2 p2 = b) p2 p2 = 0. e) p - q = 0. c) p = q.

L

Contextos, aplicacoes, interdisciplinaridade Uma secao para voce ligar a Matematica a realidade da vida e da sociedade A possibilidade de representar funcoes polinomiais (modulo 160) por meio de grOficos vai nos revelar agora urn importante principio da Matemcitica: o da generalizacclo. Funccio do 3 9 grau Ao construir graficos de functies polinomiais de graus sempre crescentes, voce vai chegar a uma serie de conclusiies generalizadoras. Os graficos de funcOes polinomiais nao sao nada complicados. Basta munir-se de uma calculadora cientifica e comecar a desenha-los.

R, corn Se f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, f: R a # 0, a, b, c, d ERe admitindo-se que a funcao f(x) ten ha tres raizes reais e distintas, temos dois casos a considerar, a > 0 ou a < 0. '

Funccio do 1 9 grau Se f(x) = ax + b, f: R R, a # 0, sabemos tratar-se de uma funcao do 1 9 grau cujo grafico é uma reta, crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.

Funclio do 49 grau

Funciio do 29 grau R, com a # 0, Se f(x) = ax2 + bx + c, R sabemos que o grafico de f(x) é uma parabola. Se a > 0, a concavidade da parabola a para cima e, se a < 0, a concavidade da parabola é para baixo. y

A

a>0

R, Se f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, f: R corn a # 0, a, b, c, d, e E R e admitindo-se quatro rafzes reais e distintas, ternos dois casos a considerar, a > 0 ou a < 0. Note-se que no caso da funcao do 4 9 grau, o grafico lembra o da funcao do 22 grau, mas cortando o eixo x por quatro vezes.

v a0

FurVio do 79 grau

a>0

AA A V V V

Conclusoes 1) 0 numero de vezes que o grafico corta o eixo x e igual ao numero de raizes reais e diferentes da funcao. 2) Uma funcao do 79 grau, por exemplo, podera cortar o eixo x apenas tres vezes, bastando para isso que ela tenha quatro raizes complexas.

Portanto, a partir do 3 9 grau as funcOes polinomiais de grau im par tern graficos semelhantes. Ocorre o mesmo para as funcOes polinomiais de grau par. Agora, toda funcao de grau par é semelhante as do 2 9 e 49 graus, variando apenas o numero de raizes. Funccio do 69 grau

3) Como as raizes complexas aparecem aos pares (se seus coeficientes forem reais), uma funcao polinomial de grau Impar sempre cortara o eixo x. , 4) Ja uma funcao de grau par podera nao cortar o eixo x, bastando para isso que ela tenha apenas raizes complexas. 5) 0 numero de raizes reais e iguais tambem diminui o numero de vezes que o grafico corta o eixo x. Assim, uma funcao polinomial do 7 9 grau,contesiz gua,cort eixo x, no maxim, cinco vezes. Munido da sua calculadora cientifica, voce podera chegar a muitas outras conclusOes genera. lizadoras.

M

oD

UL 0

161

Valor numeric° de um polinOmio

0 valor numeric° do polinomio P(x) = a inxn + + a2x2 + a ix + ao, para x igual a um niimero qualquer a E C, e P(a) = a nan + + a2a2 + a i a + ao. Isto e, para obter P(a), basta substituir x por a em P(x). Veja: • o valor numeric° de P(x) = x 3 + x2 — 3x + 4, para x = 2, é: P(2) = 2 3 + 22 — 3 • 2 + 4 = 8 + 4 — 6 + 4 = 10 • o valor numerico de P(x) = xi — 6x 2 + 6x — 1, para x = 1, é: P(1) = 1' — 6 • 1 + 6 • 1 — 1 = 1 — 6 + 6 — 1 =0 Observaccies: 1a) Quando P(a) = 0, a é raiz de P(x): 2 e 3 sao rafzes de P(x) = x2 — 5x + 6

{

P(2)=22-5.2+6=4-10+6=0 P(3) = 32 — 5 3 + 6 = 9 — + 6 = 0

2') Como 1'. 1, V n E IN, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x): P(x) = 5x4 + 3x3 — 2x2 — 4x + 1 = P(1)=5 , 1 4 +3 , 1 3 -2.1 2 -4. 1 + 1=3 Portanto, a soma dos coeficientes de P(x) = 3. 3a) P(0) 6 igual ao termo independente de P(x): a) P(x) = anx" + an+ + a2x2 + aix + a2 02 + a 0+a0 =0+0+...+0+0+ao =a, P(0) = a, On + an_, • no •

b) Para determinar o termo independente da expressao (x 2 — x + 1)23, basta fazer: P(x) = (x2 — x + 1) 23 = P(0) = (02 — 0 + 1)23 = 1 23 = (termo independente de P(x))

Exerdcios resolvidos 1. Determine a de modo que 2 seja raiz de P(x) = x3 + axe — 19x + a. Solucao: Se 2 e raiz do polinomio, entao P(2) = 0. P(2) = 2 3 + a • 2 2 — 19 • 2 + a = 8 + 4a — 38 + a = 5a — 30 = 0

5a = 30 = a = 6

2. Dado o polinomio P(x) = x 3 + 3x2 — 4x — 12, calcule P(1), P(2) e P(0). Solucao: • P(1) é a soma dos coeficientes de P(x): P(1)=1 3 + 3 • 1 2 -4 • 1-12 = 1 + 3-4-12 =-12 • P(2) = 2 3 + 3 • 22 — 4 • 2 — 12 = 8 + 12 — 8 — 12 = 0

Se P(2) = 0, entao 2 e raiz de P(x). • P(0) é o termo independente de P(x): P(0) = 0 3 + 3 • 02 — 4 0 — 12 = —12

MOdulo 161 ■ Valor numeric° de .urn polinernio

375

3. Determine os valores de a e b de modo que 1 e 2 sejam raizes de P(x) = x 4 - ax3 + bx2 - 4x + 4. Solugao: Se 1 é raiz de P(x), entao P(1) = 0. Logo: P(1)= 1 4 -a• 1 3 +b• 1 2 -4• 1 +4=0 1 -a+b-4+4=0 a-b= 1 (I) Se 2 6 raiz de P(x), entao P(2) = 0. Logo: P(2) = 2 4 - a • 23 + b • 2 2 - 4 • 2 + 4 = 16 - 8a + 4b - 8 + 4 = 0 = -8a+4b=-12

-2a+b=-3 (II)

Resolvendo o sistema formado pelas equacoes (I) e (II): a-b=1 -2a + b = -3 -a = -2 a=2 Substituindo o valor de a em uma das equacoes, temos: a-b=1 = 2-b=1 b=1

4. (UFPR) Sendo P(x) = (x 3 - 4x2 + x + 1)20 , a diferenca entre o termo independente de P(x) e a soma dos coeficientes de P(x) vale: a) 0.

b) 2.

c) 1.

d) -1.

e) -2.

Solucao: 0 termo independente é dado por P(0). Logo: P(0)=(03 -4.02 +0+1)20 =1 20 = 1 A soma dos coeficientes de P(x) é dada por P(1). Portanto: P(1) = (1 3 - 4 • 1 2 + 1 + 1)2° = (-1)20 = 1 Assim: P(0) - P(1) = 1 - 1 = 0 Resposta: altemativa a.

Exercicios propostos 1. Dado o polinornio P(x) = x4 + 3x3 - 2x2 + 6x - 7, calcule: a) P(0)

b) P(1)

c) P(2)

d) P(-1)

2. Verifique se 0, 1, 2, 3 e -1 sao raizes de P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1. 3. Dado o polinornio P(x) = 2x 3 - x2 + 3x - 5, calcule: c) P(-1) - P(2) a) P(0) d) P(-x) b) P(0) + 2P(1)

4. Determine a de modo que -1 seja raiz de P(x) = x3 + ax2 - ax + a. 5. Dados P(x) = ax3 + x2 + ax + c e P(0) = -7, determine a para que 1 seja raiz de P(x). 6. Sendo P(x) = (x4 - 2x2 - x + 1)31 , determine: a) o termo independente de P(x); b) a soma dos coeficientes de P(x).

7. Dado P(x) = (x3 + 2x2 + x - 2)3, calcule: a) a soma dos coeficientes de P(x); b) o termo independente de P(x). 8. Sendo P(x) = Q(x) + x 2 + 2x - 3, para qualquer x real, e sendo 1 raiz de P(x) e 0 raiz de Q(x), calcule P(0) + Q(1). 9. (FMU-SP) Se P(x) = x 3 - 5x2 + 8x - 4 e P(2) , -e Q(x) = x3 - x2 - 8x + 10, entao Q(2) igual a: a) 3.

b) 2.

c) 1.

d) 0.

e) 1

10. Se P(x) + x P(1 - x) = x 2 + x + 1, para qualquer x real, calcule P(0) e P(1). 11. (ESAN-SP) Sendo P(x) = Q(x) + x 2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e que 1 é raiz de Q(x), entao P(1) - Q(2) vale: e) 10. d) 6. c) 3. a) 0. b) 2.

162

Divisdo de polinOmios

Dados os polinomios A(x) e B(x) nao identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter os polinomios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tal que: A(x) = B(x) • Q(x) + R(x) e R(x) = 0 ou gr(R) < gr(B)

Metodo da chave Esquematicamente, temos: A(x) I B(x) R(x) Q(x) Observago: Temos sempre gr(Q) = gr(A) - gr(B).

A(x) = B(x) • Q(x) + R(x)

Como exemplo, vamos dividir A(x) = x3 + 3x2 + 4 por B(x) =

seguir. • Dividimos o termo de maior grau de A(x) pelo termo de maior grau de B(x): X3

- =x x2

X3 + 3X2 OX + 4 I + 1

X2 +

1. Acompanhe os passos a

• Somamos os termos semelhantes, obtendo o primeiro resto parcial: ,x;7+ 3x2 + ox + 4 Ix2 + 1 -x 3x2 - x + 4

• Multiplicamos o quociente x por B(x) e subtraimos o produto de A(x): x (x2 1) = x3 + x x3 + 3x2 + Ox + 4 I x2 + 1 -x3

• Repetimos esses, tees passos para o termo de maior grau do resto parcial (3x 2): AK+ 3x2 + Ox + 4 I x2 + 1

-x x+4

-x lfiet

x+3

-3

-x + 1 Como o grau do resto (-x + 1) e menor que o grau do divisor (x 2 + 1), a divisao esti encerrada, e Q(x) = x + 3 e R(x) = -x + 1. Verificamos, entao, que: x 3 + 3x2 + 4 (x2 + 1)(x + 3) + (-x + 1) e gF(R) = gr(A) - gr(B)

A(x)

-=-

B(x) • Q(x) + R(x)

1

3

2

Metodo dos coeficientes a determinar Acabamos de ver que:

A(x) = B(x) • Q(x) + R(x) gr(Q) = gr(A) — gr(B) gr(R) < gr(B) Essas relacOes podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes dos polinomios A(x) I B(x) R(x) Q(x)

em uma divisao.

Modulo 162 ■ Diviseo de polinornios

377

Vamos determinar o quociente e o resto da divisao de A(x) = x 3 + 2x2 — 3x + 2 por B(x) = x2 + x + 1: x' + 2x2 — 3x + 2 I x2 + x + 1 R(x) Q(x) 0 quociente é um polinomio do primeiro grau, pois gr(Q) = gr(A) — gr(B) = 3 — 2 = 1. Logo, Q(x) = ax + b. Como gr(R) < gr(B) e gr(B) = 2, entdo gr(R) < 2, ou seja, o resto tem, no maxim°, grau 1: R(x) = c + d. Sendo A(x) = B(x) • Q(x) + R(x), podemos escrever: x' + 2x2 — 3x + 2 (x2 + x + 1)(ax + b) + cx + d A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

axi + ax2 + ax + bx2 + bx + b + cx + d x' + 2x2 — 3x + 2 = ax3 + (b + a)x2 + (b + a + c)x + b + d Comparando ambos os membros, temos: x' = ax" a=1 b+1=2 b=1 2x2 =(b+a)x2 b+a=2 1 + 1 + c = —3 c = —5 —3x = (b + a + c)x b + a + c = —3 1+d=2 d=1 b+d=2 Logo, Q(x) = ax +b=x+le R(x) = cx + d = —5x + 1. x3 + 2x2

—

3x + 2

Exercicio resolvido Determine k de modo que x3 + kx + 3 seja divisivel por x - 1. Solucao: Para que a divisao seja exata, devemos ter R(x) = 0. Logo, A(x) = B(x) • Q(x) + 0, sendo gr(Q) = gr(A) - gr(B) = 3 - 1 = 2. Assim: x3 + kx + 3 (x - 1)(ax 2 + bx + + 0 = x3 + lo( + 3 ax3 + bx2 + cx - ax2 - bx - c A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

3

ax3 + (b - a)x2 + (c - b)x - c Por comparacao, obtemos:

x3 + kx +

a=1 b-a=0 b=a b=1 c-b=k -c = 3 c = -3 Substituindo os valores de b e c em c - b = k, vem: -3-1 =k k = -4

Exercicios propostos 1. Ache o quociente e o resto das diviseies: a) (x5 - 1) : (x - 1) b) (2x3 + 3x2 - 3x - 2) : (x - 1) c) (x4 + x2 + 1) : (x2 - 1) d) (2x3 - 9x2 - 3x + 1) : (x2 - 5x + 1) e) (x5 - 5x3 + 5x2 + 1) : (x2 + 3x + 1) f) (x3 - x2 + 5x + 6) : (x + 3) g) (2x4 - 3x3 + 16x2 + 6x - 40) : (4x2 - 8) h) (x3 - x2 + 4x - 6) : (x2 - x + 3) 2. Determine k para que A(x) = x 3 + 3x2 + x + k seja divisivel por B(x) = x - 1.

3. Encontre m para que A(x) = x3 + m seja divisivel por x - 2. 4. (Cesgranrio-RJ) Sendo o polinornio x3 + 2x2 + mx + n divisivel por x2 + x + 1, o valor de m + n é: c) 1. d) 2. e) 3. a) -3. b) -1. 5. (OSEC-SP) Os valores de m e n para que o polinomio x4 - 4x3 + mx2 + 4x + n seja divisivel por x2 - 6x + 5 sao, respectivamente: e) nda. c) 6 e 5. a) -6 e -5. d) -6 e 5. b) 6 e -5. 6. Determine m e n de modo que o resto da divisao de A(x) = x3 - 3x2 + mx + n por x2 + 1 seja x + 4.

;_MO

DULO

Divisdo de polinOmios por binOmios do 1 Q grau (I)

1 611

Divisao de 13(x) por x

—

a

Neste caso de divisao, temos de considerar dois teoremas. a) Teorema do resto: 0 resto da divisilo de P(x) por x - a é P(a). Vamos demonstra-lo. Devemos ter P(x) = (x - a)Q(x) + R(x). Como o divisor x - a é de grau 1, o resto sera de grau 0, ou seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos: P(x) = (x - a)Q(x) + r Para x = a, vem: P(a) = (a - a)Q(a) + r r = P(a). 0 Exemplos: • 0 resto da divisao de P(x) = x3 + x2 - 4x + 5 por x - 1 é: P(1) = 1 3 + 1 2 - 4 1 + 5 = 3 • 0 resto da divisao de P(x) = 5x 5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 - 7x + 1 por x + 1 é: P(-1) = 5(-1) 5 + 4-1)4 + 3(- 1)3 + 2(-1)2 - 7(-1) + 1 = -5 + 4 - 3 + 2 + 7 + 1 = 6 b) Teorema de D'Alembert: Um polinomio P(x) e divisivel por x - a se, e somente se, P(a) = 0. Vejamos a demonstracao. Se P(x) é divisivel por x - a, entao, pelo Teorema do resto, r = P(a) = 0, e, de outra forma, se P(a) = 0, como, pelo Teorema do resto, r = P(a), temos r = 0, ou seja, P(x) é divisivel por x - a. Exemplos: • P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 e divisivel por x - 1, pois P(1) = 1 - 3 + 3 - 1 =0. • P(x) = x3 + 3x2 - 8x - 4 é divisivel por x - 2, pois P(2) = 8 + 12 - 16 - 4 = 0. • P(x) = -3x4 + 8x2 - 7x + 2 e P(-2) = 0, entao P(x) é divisivel por x + 2.

Divisk de P(x) por ax + b (a # 0) Temos P(x) I ax + b . Como ax + b e de grau 1, r e de grau 0 e, portanto, uma constante. r Q(x) b Fazendo x = - — em P(x) = (ax + b) • Q(x) + r, vem: P( 4) 1 =

+131 • Q( 4 1 1) + r

= (-b + b) • Q(-

+r

13(-4)=O+r

0

Entao: 0 resto da divisao de P(x) por ax + b e r = Exemplo: • o resto da divisao de P(x) = x 3 + 5x2 - 2x - 1 por 2x - 1 é:

P(

)= (4)3 + 5(1)2 - 2(÷)- 1 = 8

+-1-1=

-2=-

r=q-4)

MOdulo

163 ■ Divis6o de polinbmios por binOrnios do 1 2 grau (I)

379

Exercicios resolvidos 1. Determine k de modo que o resto da divisdo de P(x) = x 3 + 3x2 - kx + 4 por x - 2 seja 10. So!Lica- 0: Pelo Teorema do resto, devemos ter P(2) = 10, ou seja: 23 + 3 • 22 - k • 2 + 4 = 10 8 + 12 - 2k + 4 = 10 = 24 - 2k = 10

k=7

2. (FAAP-SP) Calcule a e b de modo que os polinomios P(x) = x 2 + ax - 3b e Q(x) = -x3 + 2ax - b sejam divisiveis por x - 1. Solucao: Se P(x) é divisive' por x - 1, entao P(1) = 0, pelo Teorema de D'Alembert. Assim, 1 + a - 3b = 0 a - 3b = -1 (I). Se Q(x) é divisive! por x - 1, entao Q(1) = 0 (D'Alembert). Logo, -1 + 2a - b = 0 = 2a - b = 1 (II). Resolverndo o sistema formado por (I) e (II), temos:

a - 3b = -1 2a - b = 1

[ • (-2)]I-2a + 6b = 2 2a - b = 1

3 5b = 3 = b= — 5 Substituindo o valor encontrado para b em a - 3b = -1, vem: 4 a = -1 +3b a = -1 +3. a= 5 3. Determine k de modo que P(x) = x 3 + x2 + kx - 2 seja divisive' por 2x + 1. Solucao: 1 Devemos ter P(- 7) = 0. Logo: 1 k 2 0 +— - - = 4

)3 + (42 + k(-12-) - 2 = °

k

= 1- 2

2

=-

15 k=-— 4

15 8

Exercicios propostos 1. Determine os restos das divisOes de: a) x3 - x2 + x - 1 por x - 2 b) x3 + x2 + 2x - 1 por x - 1 3x5 + x4 2 3 por x + 1 X c) - an por x + a d) e) x2" + x - 1 por x + 1 f) x2n 1 2X 2n ± 1 por x + 1 2. Encontre k de modo que 2 seja raiz de P(x) = x3 + 3x2 + kx - 10. 3. Determine k de modo que o resto da divisdo de P(x) = x4 + kx2 + kx - 7 por x - 2 seja 21. 4. (UnB) 0 resto da divisao de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por x + 1 e 4 se p igual a: 5 e) -7 d) -10. c) -3. b) -2. a) — 3 5. Encontre os restos das divisOes de:

a) x3 + x2 + x -1 por 2x - 1

por 3x - 1

b) x3 - 3x c)

4

• x3

4

+ • x2 +

2

• x + 1 por 2x - 3

6. Determine a e b de modo que P(x) = x3 + axe - 3x + b seja divisive' por x - 1 e por x - 2. 7. Calcule k de modo que o resto da divisdo de P(x) = 8x3 + 4x2 + 2x + k por 2x - 1 seja 8. 8. A divisao de P(x) = x 3 - 3x2 + 2x - 3 por x - 2 tern resto igual a: e) 1. d) 0. c) -1. b) -2. a) -3. 9. Se P(x) = x4 + ax3 + bx2 - 2x - 1 é divisive! por x - 1 e x - 2, calcule a e b. 10. Se P(x) = x3 + 3x2 + ax + b e divisive! por 2x -1 e por x - 2, determine a e b.

Porte HI

r

trr-cr

trEf

,

Divisdo de polinOmios por binOmios do 1-Q grau (II)

1

Diviseo de 10 (x) por

-

a) Ix

-

bl, (a # bl

Temos o seguinte teorema: Se P(x) é divisivel por x - a e por x - b (a # b), entao P(x) é divisivel por (x - a)(x - b). Vejamos a demonstracdo. Se o divisor (x - a)(x - b) tem grau 2, o resto tera, no maxim°, grau 1. Logo: P(x) = (x - a)(x - b) Q(x) + mx + n resto Como queremos que o resto seja nub, basta obter mx + n = 0, ou seja, m = n = 0. Se P(x) é divisivel por x - a, entao P(a) = 0. Dal: P(a) = (a - a)(a - b) Q(a) + ma + n = 0 ma + n = 0 (I) •

•

0

Se P(x) e divisivel por x - b, entao P(b) = 0. Dai: +n=0 + n = 0 (II) P(b) =(b- a)(b - b) Q(b) + 0 Subtraindo (II) de (I), temos: ma + n - (mb + n) = 0 ma + n - mb - n = 0 m(a - b) = 0 Como a b (hipotese do teorema), entao m = 0. Substituindo m = 0 em (I), temos: ma+n=0 0+n=0 n=0 Logo, m = 0 e n = 0. Como R(x) = mx + n R(x) = Ox + 0 R(x) = 0, para todo x, e, neste caso, P(x) é divisivel por (x - a)(x •

Observagaes: la) A recfproca desse teorema 6 verdadeira, ou seja, se P(x) 6 divisive' por (x

a)(x b), entao P(x) 6 divisive' por x a e por x b. Veja: P(a) = 0 P(b) = 0

P(x) = (x - a)(x - b) Q(x) P(a) = (a - a)(a - b) Q(a)= 0 P(x) (x - a)(x - b) Q(x) P(b) = (b - a)(b - b) Q(x) = 0 Logo, P(x) a divisive' por x — a e x — b. •

•

•

•

-

2') Generalizando esse teorema, temos que, se P(x) a divisive' por (x — a,), (x — a2), divisive' por (x

-

-

—

(x an), corn a1 , a2 , ..., —

a,)(x - a2) ... (x - an). •

•

Exercicios resolvidos 1. Mostre que P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 Solucao: Basta mostrar

que P(x)

é divisivel por (x

é divisivel por x —1 (P(1) = 0)

-

e

1)(x

-

2).

por x — 2 (P(2) = 0):

-

distintos, entao P(x)

Medulo 164 ■ Divisao de polinOrnios par binamios do 1 2 grau (II)

381

IP(1)= 1 3 -6. 1 2 + 1 1 • 1 -6=0 P(2) = 2 3 - 6 22 + 1 1 • 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 Portanto, P(x) é divisivel por (x - 1)(x - 2). 2. Mostre que P(x) = x 4 - 5x2 + 4 é divisivel por x2 - 1. Solucao: x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) Portanto, basta mostrar que P(x) a divisivel por x -1 e por x + 1, isto é, que P(1) = 0 e P(-1) = 0: P(1). 1 4 -5 • 1 2 +4= 1 -5+4=0 [ P(-1) = (-1) 4 - 5(-1) 2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 Portanto, P(x) é divisivel por (x - 1)(x + 1), ou seja, por x 2 - 1. 3. Determine m e n para que P(x) = x 3 + mx2 + llx + n seja divisivel por x2 - 5x + 6. Solucao: Como x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), entao devemos ter P(2) = 0 e P(3) = 0: I P(2) = 0 [P(3) = 0

23 + m • 22 + 11 2 + n = 0 33 + m • 32 + 1 1 • 3 + n = 0

4m + n = -30 (I) 9m + n = -60 (II)

Resolvendo o sistema formado por (I) e (II), obtemos m = -6 e n = -6. 4. Urn polinornio P(x), dividido por x - 1, da resto 4; dividido por x + 1, da resto 2. Qual o resto da divisao de P(x) por (x - 1)(x + 1)? Solucao: Como Q(x) = (x - 1)(x + 1) tern grau 2, o grau do resto sera, no mkimo, 1. Entao, podemos escrever R(x) = mx + n. P(x) dividido por x - 1 da resto 4. Assim, P(1) = 4. P(x) dividido por x + 1 da resto 2. Assim, P(-1) = 2. omo P(x) = (x - 1)(x + 1) • Q(x) + mx + n, temos: CP(1) m+n=4 (I) = (1 - 1)(1 + 1) • Q(1) +m+n=4 0

P(-1) = (-1 - 1)(-1 + 1) • Q(-1) - m + n = 2

-m + n = 2 (II)

0 De (I) e (II), temos m = 1 e n = 3. Assim: R(x) = mx + n = x + 3

Exercicios propostos 1. Mostre que:

a) b) c) d)

P(x) = x3 - 7x2 + 10x é divisive! por (x - 2)(x - 5); P(x) = x4 + 5x2 - 336 6 divisivel por x2 - 16; P(x) = x2" - 1 é divisivel por x2 - 1; P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 6 divisive! por (x2 - 1)(x -2).

2. Determine m e n para que: a) P(x) = x3 + mx2 + nx - 2 seja divisivel por (x - 1)(x - 2); b) P(x) = x3 + mx2 + nx - 5 seja divisivel por x 2 -1. 3. Urn polinornio P(x), dividido por x -1, da resto 3 e, dividido por x - 2, da resto 5. Determine o resto da divisao de P(x) por (x - 1)(x - 2).

4. Urn polinornio P(x), dividido por x + 1, da resto 2 e, dividido por x - 3, da resto 6. Determine o resto da divisao de P(x) por (x + 1)(x - 3). 5. (OSEC-SP) Os valores reais de m e n para os quais o polinornio x4 - 4x3 + mx2 + 4x + n é divisivel por (x - 1)(x - 5) valem, respectivamente: a) -6 e -5.

c) 6 e 5.

b) 6 e -5.

d) -6 e 5.

e) nda.

6. Os valores de a e b para que P(x) = x3 + axe bx - 3 seja divisivel por x2 -1, sao, respectivamente: e) 2 e 1 . c) -3 e 1. a) 3 e 1 . d) 1 e 2. b) 3 e -1.

M O DUL 0

Divisdo de polinOmios por binOmios do 1 2 grau (III)

165

Dispositivo pratico de Briot-Ruffini Ao dividir o polinomio A(x) = anx" + Q(x) = bn - ixn- 1 + ... + b 1x + b0 e resto r.

an ix

n - i + ... +

aix + ao por x — a, obtemos urn quociente

Como gr(Q) = gr(A) — gr(x — a) gr(Q) = n-1e r e constante (grau zero), temos: aJr' + an - iXn -1 +... + aix + ao = (x — a)(bn _ ix" - ' + ... + b1x + b0) + r Desenvolvendo o segundo membro, obtemos, por comparacao: bn -1 = bn - 2 = • •

an abn _ i + an - 1 = aa n + an - 1 • •

• •

• •

= ab2 + a2 bo = abi + al

Uma forma pratica para obter b n _ 1 , ..., b1 , b0, coeficientes de Q(x), é o dispositivo de BriotRuffini. Acompanhe: • 10 passo: escrevemos todos os coeficientes de A(x) e, a esquerda deles, separado por tramo, o numero a (obtido isolando x em x — a = 0): a I a n a n -1 an- 2 ' • • al a0 •

passo: repetimos o primeiro coeficiente (an) abaixo dele mesmo e obtemos b n _ i = an: a an an _ I an _ 2 ... a l a0 an bn-

• y passo: multiplicamos an por a e adicionamos o proximo coeficiente bo- 2 = ana + an - 1:

an na bn - 1

obtendo

1

a n-1 an _ 2 ... al a0 an a + a n-1 bn - 2

Continuando o processo, multiplicamos b._ 2 por a e adicionamos an obtendo abn _ 2 + an _ 2, e assim por diante ate obter o Ultimo termo, que e o resto:

bn _ 3 =

a

an

a n-1

an-2

an

as n + an-1

ab n _ 2 + a n - 2

bn - 1

bn - 2

bn - 3

• • •

a2

a11

aa0

ab2 + a 2

abi + a l

abo + a o

b1

b0

r

MOdulo 165 ■ Divisao de polinamios por binOrnios do 1 4 grau (III)

Assim, temos Q(x) = b xn + b

383

+ +bx+b er=a +ao.

Xn-2

Como exemplo, vamos obter o quociente e o resto da divisao de P(x) = 3x 5 + 4x4 + 3x3 - 7x2 - 2x + 3 por x 1. Temos: -

gr(Q) = gr(A) - gr(B) = 5 - 1 = 4 • Escrevemos todos os coeficientes de P(x) e, a esquerda deles, separado por urn traco, o numero 1:

1 3 4 3 -7 -2 3 • Repetimos o pnmeiro coeficiente, obtendo o 1° termo do quociente:

3 4 3 -7 -2 3

1

3 • Multiplicamos 3 por 1 e adicionamos o produto a 4, obtendo 7 (2° termo do quociente): E® 1 1 3 4 3 -7 -2 3 37 (3 • 1) + 4 7 • Repetimos o processo para todos os coeficientes do polinomio:

3

4

3 -7

3

7

10

-

1

3

2

3 4 3 -7 -2 3

1

1

3 7 10 3 (10 • 1)

(7 1) + 3 = 10

3

4

3 -7

3

7

10

3

-2

-

7=3

4

3

1

3 7

-2

3

3

1

4

10

(1 • 1) + 3 = 4 (resto)

(3 • 1) - 2 = 1 Resumidamente, temos: 1 3 4 3 -7 -2 3 7 10 3

114

coeficientes de Q(x) Logo, Q(x) = 3x4 + 7x3 + 10x2 + 3x + 1 e r = 4.

3

1

3 -7

1

384

Parte III

Exercicios resolvidos 1. Obtenha o quociente e o resto da divisdo de P(x) = 3x 4 + x3 — 5x — 7 por x — 2.

Solucao: 2 3 1 0 —5 —7

3 1 0 —5 —7

1

1 3 7

3 7 14

(3 • 2) + 1 = 7

(7 • 2) + 0 = 14

3

1

0

—5

3

7

14

1 23

(14 • 2) — 5 = 23 Assim: 2 3 1

0

—5

—7

3

14

23

39

7

coeficientes de Q(x)

—7

(23 2) — 7 = 39

r

Logo, Q(x) = 3x 3 + 7x2 + 14x + 23 e r = 39. 2. Mostre que P(x) = 4x6 — 5x5 + x é divisive! por (x — 1) 2 . Solucio: Devemos ter P(x) = (x — 1) 2 . Q(x) = (x — 1)(x — 1) • Q(x), ou seja, dividimos inicialmente P(x) por x — 1, obtendo Q, (x)e resto zero. Se, ao dividir Q,(x) por x — 1, obtivermos resto zero novamente, teremos resolvido o exercicio:

1

4 —5

0

0

0

1

0

4 —1

—1

—1

—1

0I 0

coeficientes de Q l (x)

Assim: Qi (x) = 4x5 — x4 — x3 — x2 — x Dividimos, agora, Q i (x) por x — 1:

1

4

—1

—1

—1

—1

4

3

2

1

0

0

I0

Portanto, Q(x) = 4x4 + 3x3 + 2x2 + x e r = 0. 3. Mostre que P(x) = x 3 — 6x2 + 11x — 6 é divisivel por (x — 1)(x — 3) e obtenha o quociente final. Solucao: Dividimos inicialmente P(x) por x — 1 e, em seguida, dividimos o quociente por x — 3: 1

1 —6 11 —6

3

1 —5 6 1 —2 I 0

0

resto

resto

Logo, Q(x) = x — 2.

Observagao: Se, inicialmente, dividirmos P(x) por x — 3 e, em seguida, por x —1, o resultado sera o mesmo.

Modulo 165 ■ Diviseo de polinomios por binOrnios do 1 2 grau (III)

385

4. Mostre que P(x) = x 6 - 2x5 - x2 + 2x é divisivel por (x 2 - 1)(x - 2) e obtenha o quociente final. Solucao: (x2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2) Vamos, entao, dividir P(x) sucessivamente por x - 1, x + 1 e x - 2 (nao obrigatoriamente nessa ordem):

1

1

-2

0

0

-1

2

0

-1

1

-1

-1

-1

-2

0

0

2

1

-2

1

-2

0

0

1

0

1

0

0

resto resto

resto

Logo, Q(x) = x3 + x. 5. Obtenha o quociente e o resto da divisao de P(x) = x 3 - 3x2 + 5x - 1 por 2x - 1. Solucao: P(x)

(2x - 1) • Q(x) + r

Colocando 2 em evidencia na primeira parcela, obtemos: 1 P(x) (x - 7 ) • 2Q(x) + r Q1 (x) Como vemos, o resultado obtido ao aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini é Q(x) =

1

(x) ou seja, 2 • Q1 (x),

devemos dividir por 2 o resultado obtido:

1 2

1

-3

5

-1

1

_5 2

15 4

7 8

1 Q(x) = — • Q (x) 2 1

Daf, Q(x) = 2(x2- 5 • x +

15

15 7 1 5 ) ou Q(x) = — • x2 - — • x + — e r = — 4 2 8 8

Exercicios propostos 1. Obtenha os quocientes e os restos das seguintes divisoes: a) x3 - 3x2 + 7x - 20 por x - 3 b) x6 - 3x3 + x2 - 6 por x + 1 c) xn + an por x - a

5. Mostre que P(x) = x5 - 2x4 - x + 2 é divisivel por (x - 2)(x + 1). 6. (UFBA) Na divisao de um polinornio pelo binornio ax + b, usou-se o dispositivo pratico de Briot-Ruffini e encontrou-se:

1

p

-3

4 -5

2. Determine a e b de modo que x4 - ax + b seja divisivel por (x - 1) 2 .

-2 q -4 5

3. (UFMA) 0 valor de m de modo que a divisao de x3 - mx + 9 por x + 3 seja exata é: e) nda. c) 12. d) 18. a) 3. b) 6.

Os valores de a, b, p, q e r sao, respectivamente: d) 1, 2, 1, -4 e 4. a) 1, -2, 1, -6 e 6. e) 1, 2, -2, 1 e -6. b) 1, -2, 1, 1 e 4. c) 1, 2, -2, -2, e -6.

4. Mostre que P(x) = x 3 - 3x2 + 3x - 1 é divisive! por (x - 1) 2 .

r

7

7. Obtenha o quociente e o resto da divisao de P(x) = 2)(6 - x4 - 2x + 1 por 2x - 1.

M O D II L 0

166

EquacOes polinomiais: Introducao

Definicao Chamamos de equacdo polinomial ou algebrica toda equacao da forma P(x) = 0, em que P(x) é urn polinomio de grau a2, ai e a0 E + a2x2 + aix + a0 = 0 (an, an _ „ anxn + an- 1xn-1 + Vejamos alguns exemplos: • x3 + 3x2 + 2x — 3 = 0

• 2x4 -

x-8=0

Raiz Chamamos de zero ou raiz de uma equacao polinomial P(x) = 0 todo numero complexo a tal que P(a) = 0. Assim: • 1 e raiz de x3 — 3x2 + 3x — 1 = 0, pois P(1) = 1 3 — 3 • 1 2 + 3 • 1 — 1 = 0 • 2 e raiz de x3 — 3x2 + 4x — 4 = 0, pois P(2) = 2 3 — 3 • 22 + 4 • 2 — 4 = 0 • i e raiz de x3 + x2 + x + 1 = 0, pois P(i) = i3 + i2 + i + 1 = — 1 + i + 1 = 0

Teorema fundamental da Algebra Durante os seculos XVI e XVII, os matematicos sempre encontravam, na solugdo de equagOes polinomiais, urn numero de raizes igual ao grau da equagdo. Coube a Albert Girard (1590-1633) enunciar, no seu livro Invention nouvelle en l'algebre, em 1629, que uma equacao polinomial de grau n (n % 1) admite exatamente n raizes complexas. Entretanto, essa afirmativa so pode ser provada apps a demonstracao, por Gauss, do Teorema fundamental da Algebra, que diz: "Toda equacao polinomial de grau n (n a 1) tern pelo menos uma raiz complexa".

Decomposicao de urn polinOmio em fatores do 1 2 grau Se P(x) = 0 e de grau n (n a 1) e tern raizes a 1 , a2, ..., an, entao P(x) pode ser decomposto em n fatores do 1 4 grau: + aix + ao = an(x — a iXx — a2) • ... • (x — an) anxn + an _ ixn -1 + Por exemplo: 1 • ao fatorar o polinomio P(x) = 2x 3 — 9x2 + 10x — 3, de raizes a l = —2- , a2 = 1 e a 3 = 3, sendo an = a3 = 2, temos: P(x) = 2(x — )(x — 1)(x — 3) = 2I e a 4 = 2, sendo an = a4 = 2, temos: • para P(x) = 2x 4 — 5x3 + 5x — 2, de raizes a l = 1, a2 = —1, a3 P(x) = 2(x — 1)(x + 1)(x — )(x

MOdulo 166 ■ EquacOes polinomiais: Introducao

387

Exercicios resolvidos 1. Fatore o polinOrnio P(x) = 2x4 - 20x3 + 70x2 - 100x + 48, sabendo que suas raizes sao 1, 2, 3 e 4. Solugao: an = a4 = 2. Logo, P(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4). 2. De o conjunto solucao da equacao 4(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0. Solucao: Como o polinOrnio este na forma fatorada, temos: Ix - 1 =0 r x = 1 ou 4(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0 x+2=0 x = -2 ou x-3=0 x=3 Logo, S =1-2, 1, 31. 3. Resolva a equacao x3 - 2x2 - x + 2 = 0, sabendo que uma de suas raizes é 1. Solucao: Se 1 e raiz de P(x), podemos obter urn polinennio do 2 2 grau dividindo, por Briot-Ruffini, P(x) por x - 1: 1

1

-2

-1

1

-1

-2

I

2 0

Q(x) = x2 - x - 2 (polinornio do 2 2 grau) Dal x3 - 2x2 - x + 2 = (x - 1) Q(x). Fazendo Q(x) = 0, obtemos a equacao do 2 2 grau x2 - x - 2 = 0, cujas raizes sao x = 2 ou x = -1. Logo, S =1-1, 1, 21. 4. Resolva a equacao x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0, sabendo que 1 e 2 sao duas de suas raizes. Solucao: Sendo 1 e 2 raizes da equacao, podemos dividir P(x) por x - 1 e, ern seguida, por x - 2, obtendo Q(x), polinomio do 2 2 grau: 1

1

-3

3

-3

2

2

1

-2

1

-2

0

1

0

1

0

Q(x) = x 2 + 1 =0

x = ±V-1 = ±i

Logo, S =11, 2, i, -if.

Exercicios propostos 1. Escreva uma equacao polinomial de grau 3, raizes 1, 2 e 3, sendo a3 = 2. 2. Determine k para que 1 seja raiz da equacao x3 - kx2 + 21o( - 4 = 0. 3. De o conjunto solucao das equaciies: a) 3(x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i) = 0 b) 2(x2 - 1)(x - 2)(x2 + 1) = 0 4. Resolva as equacOes, sabendo que x = 0 é raiz de cada uma delas. b) x3 - 5x2 + 4x = 0 a) x3 - 7x2 t 10x = 0 5. Resolva as equacoes, sabendo que x = 1 é raiz de cada uma delas.

a) x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 b) x3 - 9x' + 23x - 15 = 0 c) x3 - 2)(2 - x + 2 = 0 6. (UnB) 0 numero 1 é uma das raizes da equacao x3 - 7x + 6 = 0. A soma das outras duas raizes 6: d) 1. e) 7. c) 0. b) -1. a) -7. 7. Resolva as equacOes conhecendo algumas de suas raizes. a) x4 - 10x3 + 35x2 - 50x + 24 = 0; raizes 1 e 2 b) x 5 - 3x 4 - 5x 3 + 15x 2 + 4x - 12 = 0; raizes 1, -1 e 2

Equagoes polin.omiais: Raizes (I) Rafzes multiples Considerando a equacao polinomial (x — 4)(x — 1) 2(x — 3)4(x — 2)3 = 0, vemos que o polinomio é de grau 10 (1 + 2 + 4 + 3) e, portanto, tern dez raizes: • de (x — 4), concluimos que uma das raizes é 4 (raiz simples ou de multiplicidade 1); • de (x — 1)2 , concluimos que duas das raizes sao iguais a 1 (1 e raiz dupla ou de multiplicidade 2); • de (x — 3)4, temos quatro raizes iguais a 3 (3 e raiz quadrupla ou de multiplicidade 4); • de (x — 2)3, temos tres raizes iguais a 2 (2 é raiz tripla ou de multiplicidade 3). Generalizando, podemos dizer que urn numero a e raiz de multiplicidade m da equacao polinomial P(x) = 0 se, e somente se: (Q(a) # 0) Assim, se a é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0, entao P(x) é divisivel por (x — , pois, neste caso, a multiplicidade teria de ser m + 1. divisivel por (x —

ot)"

e nao é

Rafzes complexes Se uma equacao polinomial de coeficientes reais admite o numero complexo z = a + bi como raiz, entao 7 = a — bi, conjugado de z, tambem e raiz da equacao. Veja um exemplo. Sendo P(x) = x4 — 1, temos: • z = i e raiz = P(i) = i 4 — 1 = 1 — 1 = 0 P(—i) = (-0 4 — 1 = 1 — 1 = 0 • i = tambem é raiz Observapes: la)

0 numero de raizes complexas de uma eguagao polinomial de coeficientes reais a sempre par, pois, se z e raiz, tambem 6.

2a) Uma eguagao polinomial de grau Impar e coeficientes reais tern urn numero Impar de raizes reais.

1. Mostre que 2 é raiz tripla da equacao x 4 — 7x3 + 18x2 — 20x + 8 = 0. Solucao: Entao, Q(x) = x — 1 e Q(2) = 1 # 0. Portanto, Basta provar que P(x) é divisivel por P(x) = (x — 2) 3(x — 1) e P(x) é divisivel por e nao por (x — 2) 4 : (x — 2)3 (x — e nao é divisivel por (x — 2)4. 2 1 —7 18 —20 8 2

1 —5 8

2

1 —3

2

2

1

—1

0

1

1

—4 0

0 divisivel por (x - 2)3

nao divisivel por (x - 2) 4

Modulo 167 • Equacties polinomiais: Raizes [I)

389

2. Determine a e b de modo que 1 seja raiz dupla da equacao x 4 - 3x3 + ax2 + 3x + b = 0. Soluck):

Para que 1 seja raiz dupla, é preciso que os restos de duas divisoes sucessivas por x -1 sejam nulos: 1

1

-3

1

1

-2 -2 + a a + 1

1

-1 -3 +a 12a-2

3

a

a+b+1

Assim: a + b + 1 =0 [2a - 2 = 0 a=1 Substituindo o valor de a em a + b + 1 = 0, temos: 1+b+1=0 b = -2

3. Resolva a equacao x4 + x3 - x2 + x - 2 = 0, sabendo que uma de suas razes é i.

Solucao: Como i é raiz da equacao, tambern e. Dividindo sucessivamente por x - i e x + i, temos:

1

1 +i

1

1

-2 +i -2i -2 I

Assim, Q(x) = x2 + x - 2 e P(x) = (x - i)(x + i) • Q(x) Fazendo Q(x) = 0, encontramos -2 e 1 como raizes. Logo, S =1-2, 1, i,

0

0

4. Sabendo que a equacao x4 - 4)(3 + x2 + ax + b = 0 tem uma raiz igual a 2 + i, determine a e b. Solugao:

Se 2 + i é raiz da equacao, aplicando Briot-Ruffini, temos: 2+i

1

-4

1

1

-2 + i

-4

a a - 8 - 4i I (a - 8 - 4i)(2 + i) + b

Temos: (2 + i)(a - 8 - 4i) + b = 0

2a - 16 - 8i + ai - 8i + 4 + b = 0 2a - 12 + b = 0 (I) (2a - 12 + b) + (a - 16)i = 0 e a - 16 = 0 a = 16 b = -20. Substituindo a = 16 em (I), temos 2 • 16 - 12 + b = 0

Exercicios propostos 1. Mostre que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equacao x4 - 5x3 + 9x2 - 7x + 2 = 0. 2. Qual a multiplicidade da raiz 2 na equacao (x - 2) 10(x2 - 4)20(x2 - 3x + 2) 10 = 0? 3. (USF-SP) Se -2 é raiz tripla da equacao x3 + bx2 + cx + d = 0, entao b + c + d vale: d) 10. e) -10. c) 14. a) 26. b) -2. 4. (PUC-SP) Em relacao ao polinomio P(x) = (x - 1) 2(x - 1), o que se pode afirmar sobre o numero 1? a) E raiz simples. b) E raiz dupla. c) E raiz tripla. d) E raiz quadrupla. e) Nao é raiz.

5. Qual e o menor grau possivel para uma equacao

polinomial de coeficientes reais que admite como raizes os valores 1, 2, 3, 2 + i e 3 - i? 6. Uma equacao polinomial de coeficientes reais tem

o numero 3 como raiz dupla, o numero 5 como raiz tripla e 1 + i como raiz dupla. Qual é o grau da equacao? 7. Resolva as seguintes equaceies:

a) x5 - x = 0, sendo 1 e i duas das raizes; b) x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0, sendo i uma das raizes; c) x6 + x4 x2 1 = 0, sabendo que i é raiz dupla da equacao. 8. Sabendo que -i é raiz dupla da equacao

x6 - 2x4 + ax2 + b = 0, determine: a) os valores de a e b; b) as raizes da equacao.

M O DULO

168

EquacOes polinomiais: Raizes (II)

Raizes racionais Dados a equacdo algebrica P(x) = anxn + an _ ixn -1 +

+ aix + ao = 0, de coeficientes inteiros,

corn a n # 0 e a0 # 0, e o numero racional q , corn p e q primos entre si, p E Z, q E N * , se — é raiz de P(x) = 0, entao p é divisor de a o e q é divisor de an. Veja o exemplo: Na equacao xj - 6x 2 + llx - 6 = 0, temos a n = 1 e ao = -6. Se pEZé divisor de a o , entao p E [±1, ±2, ±3, ±6I. Se q E IN * e divisor de an , entao q E {11. Dividindo todos os valores de p por todos os valores de q, obtemos o conjunto {±l, ±2, ±3, ±6}. Portanto, se existem raizes racionais, elas pertencem a esse conjunto. A verificacao e feita usando-se o dispositivo de Briot-Ruffini.

Exercicios resolvidos 1. Resolva a equagdo x 3 + 4x2 + x - 6 = 0. Solugao: Na equacao, an = 1 e ao = -6. Se p, p E Z, é divisor de a0, entao p E {±1, ±2, ±3, ±61. Se q, q E IN*, é divisor de a n, entao q E

111.

Dividindo todos os possiveis valores de p pelos de q, temos — E {±1, ±2, ±3, ±61. Se existem raizes racionais na equacao dada, elas pertencem ao conjunto acima. Verificando para -1 e 1, vem: P(-1) = (-1) 3 + 4(-1)2 + (-1) - 6 = -1 +4-1 - 6 = -4 # 0 Logo, -1 nao é raiz. PM= 1 3 +4- 1 2 + 1 -6=1 +4+1 - 6 = 0 Logo, 1 é raiz. Como temos uma equacao do 3 2 grau e conhecemos uma de suas raizes, aplicando o dispositivo pratico de Briot-Ruffini, obtemos uma equacao do 2 2 grau: 1

1

4 1

-6

1 5 6 Q(x) = x2 + 5x + 6 = 0 = x = -2 ou x = -3 Logo, S =11, -2, -31.

Waal° 168 ■ Equaqbes polinomiais: Raizes [II)

391

2. Resolva a equacao 2x4 - 5x3 - 4x2 + 15x - 6 = 0.

Solucao: Se p, p E Z, é divisor de a n = -6, entao p q Eft 21. Assim,

E {±1, ±2

'

- 2, ±3, ±

E

2'

1±1, ±2, ±3, ±61. Se q, q E IN*, é divisor de a n = 2, entao -±6}.

Por Briot-Ruffini, obtemos algumas possiveis raizes: 1 2

2 -5 -4 15 -6

I

2 -4 -6 12

0

1 Logo, — 2 é raiz.

_1 2

2 -5 -4

15

-6

2

_ 55 2

2 -6 -1 1 Logo, -- nao é raiz. 2

2 2 -5 -4 15 -6 2 -1 -6

3

I

0

Logo, 2 é raiz. 1 Conhecidas duas raizes, — 2 e 2, aplicamos Briot-Ruffini para obter uma equacao do 2 2 grau: 2

2

-5

-4

15

-6

1 2

2

-1

-6

3

0

2

0 -6

Q(x) = 2x2 - 6 = 0

I

0 x = ±N/

Logo, S = {+ , 2, ±,/ }.

Exercicios propostos 1. Resolva a equacao x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 = 0. 2. Resolva a equacao x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + a = 0, sabendo que uma de suas raizes é 1. 3. A soma das raizes racionais da equacao x 5 - x = 0 vale:

a) 1.

b) -1.

c) 0.

d) 5.

e) -5.

4. Obtenha as raizes da equacao x 3 - 7x2 + 14x - 8 = 0. 5. Resolva a equacao x4 - 4x3 + 8x2 - 16x + 16 = 0 sabendo que uma de suas raizes é urn numero inteiro 0 p 3.

"iirrWMPEIT .

169

EquacOes polin.omiais: Relagoes entre coeficientes e raizes

Relagbes de Girard As relagOes de Girard sao relaceies entre coeficientes e raizes da equaedo P(x) = 0. Assim, se a equagao do 2Q grau axe + bx + c = 0 tern raizes x l e x2 , entao:

Dada a equaedo do y grau ax3 + bx2 + cx + d = 0, de raizes x1 , x2 e x3, pelo teorema da deeomposicao, temos: ax3 + bx2 + cx + d = a(x - x1)(x - x2)(x - x3) = ax3 - a(xi + x2 + x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x - ax1x2x3 Entao: X 1 + X2 + X3 = k a —

x 1 X2

a

+ X 1 X3 + X 2 X 3 =

1 2 3= xxx

d a

Generalizando para uma equagao polinomial de grau n > 3, da forma a nXn + an - 1 Xn - 1 +...+ a ix + an = 0, temos: i x1 + x2 + x3 + ... + xn - a na (soma das raizes) n X1 X2 + X 1 X3 ÷ X2X3

=

... Xn - 1

an - 2 a n (soma dos produtos das raizes tomadas duas a duas)

Xn 2 xn- ,xn =

XiX2X3 XiX2X4

an 3

(soma dos produtos das raizes tomadas tres a tres)

an

a x1x2x3 • ... • xn = (--1) n • t (produto das •

n

raizes)

n

Exercicios resolvidos 1. Dada a equagao x3 - 3x2 + 5x - 8 = 0, de raizes x1 , x2 e x3, determine: c) x i x2x3 d) _,, 1 1 — + — +

a) x, + x2 + x3 b) x1 x2 + )y(2 + x2x3

Xi X2

Xi X3

e) (x 1 )2 + (x2)2 + (x3)2 1 X2X3

Solugao: Na equacao x 3 - 3x2 + 5x - 8 = 0, temos a = 1, b = -3, c = 5 e d = -8. Logo: a) xl + x2 +

=-

=-

b) x 1 x 2 +x 1 x 3 + x2x3 = a =

=3

1

C) X 1 X2 X 3 = —

a

-8 1

0

1

X3

=——

b =5

U)

1 Xi X2

+

1 Xi X3

+ x2x3

+

X2

+

Xi X2X3

d a

—

3

8

393

MOdulo 169 ■ Equacoes polinomiais: Relacaes entre coeficientes e raizes

e) (x1 + x2+ x3

32 =

)2 = (X1 )2 + (X2)2 + (X3)2 + 2(X 1 X2 + X i X, + X2X3)

(x 1 )2 4. (x2)2 + (x3)2 +

2•5

(-

)2 = (X 1 )2 + (X2)2 + (X3)2 +

2•

(x 1 )2 + (x2)2 + (x3)2 =

2. Resolva a equacao x 3 - 10x2 + 31x - 30 = 0, sabendo que uma raiz é igual a soma das outras duas. Solucao: xl +

X2 + X, = -

— a X3 + X 3 = -

X i + X2 = X3

-10 1

2x3 = 10

x3 = 5

Como 5 e raiz da equacao, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 5

1 -10 31 -30

Q(x) = x2 - 5x + 6 = 0

1

Logo, S = {2, 3, 5}.

-5

6 I 0

x1 =2oux2 =3

3. Resolva a equacao x 3 - 9x2 + 26x - 24 = 0, sabendo que suas raizes estao em PA. Solucao: Sendo x1 , x2 e x3 as raizes da equagao, se elas estao em PA, podemos indica-las por x 2 - r, x2 e x2 + r. Das relacOes de Girard, vem: 9 xi + x2 + x3 = x2 -,r+ x2 + x2 +,r= 3x2 = 3x2 = 9 x2 = 3 Como 3 é raiz da equacao, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 3

1 -9 26 -24 1

-6

8

I

Q(x) = x2 - 6x + 8 = 0

x = 2 ou x = 4

Logo, S =12, 3, 4}.

0

4. Resolva a equagao x3 - 14x2 + 56x - 64 = 0, sabendo que suas raizes estao em PG. Solucao: Se as raizes x1 , x2 e x3 da equacao estao em PG, podemos indica-las por

x2 e x2q.

x2 = 64, temos — . x23 = 64 x2 = ∎/ 64 = 4. G x2 • x2q = 64 Como 4 é raiz da equacao, vamos usar o dispositivo pratico de Briot-Ruffini:

Como x1 x2x3 =

4

1 -14 56 -64

Q(x) = x2 - 10x + 16 = 0

1

Logo, S ={2, 4, 8}.

-10 16

I

0

x = 2 ou x = 8

Exercicios propostos 1. Dada a equacao x3 - 3x2 + 3x - 6 = 0, de raizes x2 e x3, determine: b) x1 x2x3 a) x 1 + x 2 + x3

5. (PUC-RS) Se -3, a e b sao raizes da equagao x3 + 5x2 - 2x - 24 = 0, entao o valor de a + b é: e) 6. d) 2. b) -2. c) -1. a) -6.

2. Determine b na equacao 2x 3 - 4x2 + bx - 6 = 0, de raizes x1 , x2 e x3, sabendo que xi x2 + xi x3 + x2x3 = 5.

6. (Cesgranrio-RJ) 0 produto de duas raizes da equagao 2)(3 - 19x2 + 37x - 14 = 0 é 1. A soma das duas maiores raizes da equ'acao é: 19 e) nda. c) 9. d) a) 7. b) 8. 2

3. Sabendo que a equacao x3 + 8x2 - 6x + 4 = 0 tem 1 1 raizes xi , x2 e x3, calcule 1 + — + — . xi x2 X3 4. (UFBA) A soma de duas raizes da equacao x3 - 7x + 6 = 0 é 3. A outra raiz vale: e) -1. d) -3. b) 2. c) 3. a) 1.

7. (MACK-SP) As raizes da equacao x 3 + mx2 + nx = 0 sao todas nao-negativas e formam uma PA de razao 2. Entao, m + n vale: d) 7. e) 0. c) 3. b) 2. a) 1.

394

Parte III

Tabela trigonometrica Angulo (mils)

Seno

Cosseno

Tangente

Angulo

Seno

Cosseno

Tangente

48 49 50

0,719 731 743 755 766

0,695 682 669 656 643

1,036 1,072 1,111 1,150 1,192

(graus)

1,000

0,018

46

0,999

035

47

999 998 996

052 070 088

105 122 139 156 174

995 993 990 988 985

105 123 141 158 176

51 52 53 54 55

777 788 799 809 819

629 616 602 588 574

1,235 1,280 1,327 1,376 1,428

11 12 13 14 15

191 208 225 242 259

982 978 974 970 966

194 213 231 249 268

56 57 58 59 60

829 839 848 857 866

559 545 530 515 500

1,483 1,540 1,600 1,664 1,732

16 17 18 19 20

276 292 309 326 342

961 956 951 946 940

287 306 325 344 364

61 62 63 64 65

875 883 891 899 906

485 470 454 438 423

1,804 1,881 1,963 2,050 2,145

21 22 23 24 25

358 375 391 407 423

934 927 921 914 906

384 404 425 445 466

66 67 68 69 70

914 921 927 934 940

407 391 375 358 342

2,246 2,356 2,475 2,605 2,747

26 27 28 29 30

438 454 470 485 500

899 891 883 875 866

488 510 532 554 577

71 72 73 74 75

946 951 956 961 966

326 309 292 276 259

2,904 3,078 3,271 3,487 3,732

31 32 33 34 35

515 530 545 559 574

857 848 839 829 819

601 625 649 675 700

76 77 78 79 80

970 974 978 982 985

242 225 208 191 174

4,011 4,331 4,705 5,145 5,671

36 37 38 39 40

588 602 616 629 643

809 799 788 777 766

727 754 781 810 839

81 82 83 84 85

988 990 993 995 996

156 139 122 105 087

6,314 7,115 8,144 9,514 11,430

41 42 43 44 45

656 669 682 695 707

755 743 731 719 707

869 900 933 966 1,000

86 87 88 89 90

998 999 999 1,000 1,000

070 052 035 018 000

14,300 19,081 28,636 57,290 -

1 2 3 4 5

0,018 035 052 070 087

6 7 8 9 10

-

Provas do ENEM

1.

Exame Nacional do Ensino Medic)

A sombra de uma pessoa que tern 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, nnais tarde, a sombra do poste dinninuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm. b) 45 cm. c) 50 cm. d) 80 cm. e) 90 cm.

Urn armazem recebe sacos de acacar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. 0 tinico objeto disponivel para pesagem é uma balanca de 2 pratos, sem os pesos metalicos.

2.

3.

4.

Realizando uma Unica pesagem, é possivel montar pacotes de: a) 3 kg. b) 4 kg. c) 6 kg. d) 8 kg. e) 12 kg. Realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podenn ser feitos Sao os de: a) 3 kg e 6 kg. d) 4 kg e 8 kg. b) 3 kg, 6 kg e 12 kg. e) 4 kg, 6 kg e 8 kg. c) 6 kg, 12 kg e 18 kg. Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande Sao Paulo, no periodo 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte grafico sobre taxa de desemprego.

Em um concurso de televisao, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. 0 participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla NE. Ao desvira-las, para cada letra que esteja na posicao correta ganhara urn premio de R$ 200,00.

5.

A probabilidade de o participante nao ganhar nenhum premio é igual a: a) 0.

6.

1

—• 3

1 d) —•

1 c) —• 4

1 e) — • 6

2

A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 400,00 a igual a: 1 1 2 1 c, d) — . e) — • a) 0. b) — . c) 3 2 3 6

No quadro a seguir estao as contas de luz e agua de uma mesma residencia. Alem do valor a pagar, cada conta mostra como calcula-lo, em funcao do consumo de agua (m3) e de eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar a igual ao consumo multiplicado potum certo fator. Ja na conta de agya, existe uma tarifa minima e diferentes faixas de tarifacao.

Medias Anuais da Taxa de Desemprego Total Grande Sao Paulo 1985-1996

Companhia de Eletricidade Valor - R$

Fornecimento

16,0%

53,23

401 KWH X 0,13276000

14,0%

Companhia de Saneamento 12,0%

TARIFAS DE AGUA / M t 10,0% 8,0% 6,0% 85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

Forte: SEP, Convenio SEADE-DIEESE

Pela analise do grafico, é correto afirmar que, no period° considerado: a) a major taxa de desemprego foi de 14%. b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do period°. c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. d) no period° de 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. e) a taxa de desemprego foi crescente no periods° compreendido entre 1988 e 1991.

Faixas de consumo

Tarifa

Consumo

Valor - R$

ate 10 11 a 20 21 a 30 31 a 50 acima de 50

5,50 0,85 2,13 2,13 2,36

tarifa minima 7

5,50 5,95

Total

11,45

7.

Suponha que, no proximo mes, dobre o consumo de energia eletrica dessa residencia. 0 novo valor da conta sera de: e) R$ 22,90. c) R$ 802,00. a) R$ 55,23. d) R$ 100,00. b) R$ 106,46.

8.

Dos graficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de ague, de acordo corn o consumo, é:

396

Provas do ENEM

a) IRS

d)

R$

m3

b)

Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim empregado: m3

a) 100 bolinhas. b) 300 bolinhas.

e) f RS

R$

c) 1 000 bolinhas. r

3m

d) 2 000 bolinhas. e) 10 000 bolinhas.

R$

13. 9.

Suponha agora que dobre o consumo de agua. 0 novo valor da conta sera de: a) R$ 22,90. c) R$ 43,82. e) R$ 22,52. b) R$ 106,46. d) R$ 17,40.

Uma pesquisa de opiniao foi realizada para avaliar os niveis de audioncia de alguns canais de televisao, entre 20h e 21h, durante determinada noite. Os resultados obtidos estao representados no grafico de barras abaixo:

Vinte anos depois da formatura, cinco colegas de turma decidenn organizar uma confraternizacao. Para marcar o dia e o local da confraternizacao, precisann comunicar-se por telefone. Cada um conhece o telefone de alguns colegas e desconhece o de outros. No quadro abaixo, o nt'imero 1 indica que o colega da linha correspondente conhece o telefone do colega da coluna correspondente; o niimero 0 indica que o colega da linha nao conhece o telefone do colega da coluna. Exennplo: Beto sabe o telefone do Dino que nao conhece o telefone do Aldo.

NOmero de residencias

Aldo

100 80

Beto

Carlos

Dino

Enio

0

1

0

1

0

1

0

Aldo

1

Beto

0

1

Carlos

1

0

Dino

0

0

0

1

1

Enio

1

1

1

1

1

60 40 20

Canals de televisao

TVA

10.

TVB

TVC

TVD

Nenhum canal

O nunnero minimo de telefonemas que Aldo deve fazer para se comunicar corn Carlos é:

A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo a TVB a aproximadamente igual a: a) 15%. b) 20%. c) 22%. d) 27%. e) 30%.

11.

0 namero de residencias atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de: a) 100. b) 135. c) 150. d) 200. e) 220.

12.

Observe o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diametro nunna caixa ctibica corn 10 cm de aresta.

a) 1.

14.

c) 3.

b) 2.

d) 4.

e) 5.

Para convencer a populacao local da ineficiencia da Companhia Telefonica Vilatel na expansao da oferta de linhas, urn politico publicou no jornal local o grafico I, a seguir representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o grafico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. 0 fato a que, no period° considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefOnicas. Grafico I A

Ntimero total de linhas telef8nicas

2 200 2 150 2 100 2 050 2 000 • Jan.

Abr.

Ago.

Dez.

397

Provas do ENEM

16.

Grafico II A Wiler° total de linhas telefonicas 2 200

2 150

2 100

2 050

b) 2.

a) 1.

2 000 , Jan.

Abr.

Ago.

Dez.

17.

Analisando os graficos, podemos concluir que: a) o grafico II representa urn crescimento real maior do que o do grafico I. b) o grafico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.

18.

d) a aparente diferenca de crescimento nos dois graficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois graficos sao incomparaveis, pois usam escalas diferentes. Imagine uma eleic a - o envolvendo tres candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenacao dos tres candidatos. Os resultados sao os seguintes:

Ordenacao

Numero de votantes

ABC

10

ACB

04

BAC

02

BCA

07

CAB

03

CBA

07

Total de votantes

b) 2.

e) 5.

d) 4.

c) 3.

e) 5.

Jose e Antonio viajarao em seus carros corn as respectivas familias para a cidade de Serra Branca. Corn a intencao de seguir viagem juntos, combinam urn encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarao, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como nao querem ficar muito tempo esperando urn pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperara pelo outro, no maxim°, nneia hora; apos esse tempo, seguira viagem sozinho. Chamando de x o horario de chegada de Jose e de y o horario de chegada de Antonio, e representando os pares (x; y) em urn sistema de eixos cartesianos, a regiao OPQR indicada no grafico abaixo corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): Chegada de Antonio 1 P (13h) •

•

33

A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1 2 lugar, B em 22 lugar, C em 3 2 lugar e assim por diante. Considere o sistema de eleicao no qual cada candidato ganha 3 pontos quando e escolhido em 1 2 lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2 2 lugar e 1 ponto se é escolhido em 3 2 lugar. 0 candidato que acumular mais pontos e eleito. Nesse caso:

a) A é eleito corn 66 pontos. b) A e eleito corn 68 pontos. c) B é eleito corn 68 pontos. d) B é eleito corn 70 pontos. e) C é eleito corn 68 pontos.

d) 4.

c) 3.

Para calcular a capacidade total da garrafa do exercid° anterior, lembrando que voce pode vira-la, o numero minima de medico- es a serem realizadas é: a) 1.

c) o grafico II apresenta o crescimento real, sendo o 1 incorreto.

15.

Uma garrafa cilindrica esti fechada, contendo urn liquid() que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medico- es, voce disponha apenas de uma regua milimetrada. Para calcular o volume do liquido contido na garrafa, o numero minim° de medic6es a serem realizadas é:

O

R

0 (12h)

(13h)

Chegada de Jose

Na regiao indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "Jose e Antonio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horario" corresponde: a) a diagonal 0Q. c) ao lado PQ. e) ao lado OR. d) ao lado QR. b) a diagonal PR.

19.

Segundo o combinado, para que Jose e Antonio 1 viajem juntos, é necessario que y - x s — 2 ou que

1 x-y — 2

398

Provas do ENEM

Antonio

A razao entre a area da regiao alagada por uma represa e a potencia produzida pela usina nela instalada é uma das formas de estimar a relacao entre o dano e o beneficio trazidos por urn projeto hidroeletrico. A partir dos dados apresentados no quadro, o projeto que mais onerou o ambiente em termos de area alagada por potencia foi: e) Sobradinho. a) Tucurui. c) Itaipu. d) Ilha Solteira. b) Furnas. Jose

22. 0 numero de individuos de certa populagao é representado pelo grafico abaixo:

2 NOmero de individuos ( x 1 000)

De acordo corn o grafico e nas condicaes combinadas, as chances de Jose e Antonio viajarem juntos sac de: a) 0%. b) 25%. c) 50%. d) 75%. e) 100%.

20.

10 9 8

A obsidiana é uma pedra de origem vulcanica que, em contato corn a umidade do ar, fixa agua em sua superficie formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo corn o tempo de permanencia no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. 0 grafico abaixo mostra como varia a espessura da camada hidratada, em microns (1 micron = 1 milesimo de milimetro) em funcao da idade da obsidiana.

7 6 5 4 3 2

t (anos) 1940

1950

1960

1970

1980

1990

Ern 1975, a populacao era aproximadamente igual de: a) 1960. b) 1963. c) 1967. d) 1970. e) 1980.

23. Um sistema de radar é programado para registrar 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 120 000 140 000 ldade (em anos)

Com ba* se no grafico, podemos concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana: a) é diretamente proporcional a sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra a mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra a mais velha. e) a partir de 100 000 anos nao aumenta mais.

21.

automaticannente a velocidade de todos os veiculos que trafegam por uma avenida, onde passam ern media 300 veiculos por hors, sendo 55 km/h a maxima velocidade permitida. Urn levantamento estatistico dos registros do radar permitiu a elaboracao da distribuicao percentual de veiculos de acordo com sua velocidade aproximada. 45

40

40 35

30

5,3 30 25

3 la 20

Muitas usinas hidroeletricas estao situadas em barragens. As caracteristicas de algumas das grandes represas e usinas brasileiras estao apresentadas no quadro abaixo. Usina

Area alagada

Potencia

15

1.13 15 10 0

6

5

5

,

1111 10

20

30

40

. 50

60

70

80

90

100

Sistema hidrografico

Velocidade (km/h)

A velocidade media dos veiculos que trafegam nessa avenida é de: d) 76 km/h. a) 35 km/h. e) 85 km/h. b) 44 km/h. c) 55 km/h.

(km2)

(MW)

Tucurui

2 430

4 240

Rio Tocantins

Sobradinho

4 214

1 050

Rio Sao Francisco Rio Parana

Itaipu

1 350

12 600

Ilha Solteira

1 077

3 230

Rio Parana

Furnas

1 450

1 312

Rio Grande

100

QuestOes de Vestigirilar

Revisao — Conjuntos

—

Relacoes

o ano zero, ou seja, o ano de sua fundacao. Analisando o grafico, podemos afirmar que: a) 10 foi o unico ano em que ela foi deficitaria. b) 20 foi o ano de major lucro. c) 25 foi urn ano deficitario. d) 15 foi urn ano de lucro. e) 5 foi o ano de maior lucro no period() que vai da fundacao ate o ano 15.

1. (UFMG) 0 menor numero inteiro positivo que, ao ser dividido por qualquer urn dos numeros 2, 3, 5 ou 7, deixa resto 1, é: a) 106. b) 210. c) 211. d) 420. e) 421.

2.

2 (Unicamp-SP) Apos ter percorrido — de urn percurso 5 e, em seguida, caminhado — do mesmo percurso urn 11 atleta verificou que ainda faltavam 600 m para o final do percurso. a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? c) Quantos metros o atleta havia caminhado?

3.

4.

6.

(Vunesp-SP) Duas empreiteiras farao conjuntamente a pavimentacao de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas 2 pavimentar — da estrada e a outra os 81 km restan5 tes, a extensao dessa estrada e de:

(UFPE) Sabendo que os pontos (2, –3) e (-1, 6) pertencem ao grafico da func5o f: ticR definida por f(x) = ax + b, determine o valor de b – a.

7.

(Unaerp-SP) Se 3 - 5 – 2x --_ 7, entao: a) –1 x 1. c) –1 x 1. b) 1 x –1. d) x = 1.

a) 125 km. b) 135 km.

8.

c) 142 km. d) 145 km.

e) 160 km.

B e g:

dadas por f(x) = x 2 – x + 2 e g(x) = –6x + (UFPR) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de tres produtos designados por A, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam a pesquisa e os resultados estao indicados no quadro a seguir:

Produto A

Numero de consumidores 25

B

36

C

20

AeB AeC BeC

6 4 5

A, B e C

0

Nenhum dos produtos

5

Observacao: 0 consumidor de dois produtos esta incluido tam'Dem como consumidor de cada urn destes dois produtos. Corn base nestes dados, calcule o nUnnero total de pessoas consultadas.

Funcao

5.

(UFSC) Considere as funcoes f: 8

e) x = 0.

—

Funcao do 1 2 e 22 grau

(UFPE) 0 grafico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agricola ao longo do tempo, sendo 1969

Calcule .1( 1 ) + 2 4

9.

(FAAP-SP) "Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de taxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e R$ 2,00 por quilannetro rodado e outra empresa cobra R$ 3,00 por quilometro rodado e nao cobra bandeirada." Determine o rn:Jrnero de quilometros rodados num taxi da empresa que n'ao isenta a bandeirada, sabendo que o preco da corrida apresentado e de R$ 30,00. a) 10 km b) 18 km c) 6 km d) 14 km e) 22 km

Funcao exponencial e logaritmos

10.

(Cesgranrio-RJ) Se log in (2x – 5) = 0, entao x vale: 5 7 d) — e) — a) 5. b) 4. c) 3. 2 3

11.

(UFSC) Se os numeros reais positivos a e b sao tal que a – b = 48 , calcule o valor de a + b. log2 a – log 2 b = 2

400

100 QuestOes de Vestibular

12. (FEI-SP) Se A = log, x e B = log,

2

--, entao A - B

19.

(FAAP-SP) Nas recentes eleicoes municipais realizadas numa cidade do interior do Estado, todos os eleitores votaram: candidatos A e B, ou em branco. 0 resultado foi: 58% votaram em A, 32% em B e os 700 eleitores restantes votaram em branco. Entao, podemos afirmar que o numero de eleitores que votaram no candidato A foi: a) 4 060. b) 2 660. c) 5 500. d) 3 000. e) 5 800.

20.

(Unicamp-SP) Urn vendedor propoe a um comprador de urn determinado produto as seguintes alternativas de pagamento: a) Pagamento a vista corn 65% de desconto sobre o preco de tabela. b) Pagamento em 30 dias corn desconto de 55% sobre o preco de tabela. Qual das duas alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, corn uma aplicacao de 30 dias, urn rendimento de 25%?

igual a: a) 1. 13.

b) 2.

c) -1.

d) -2.

e) 0.

(Fuvest-SP) A figura a seguir mostra o grafico da funcao logaritmica na base b:

O valor de b é: 1 a) -. b) 2. 4

c) 3.

d) 4.

e) 10.

Trigonometria

Seqiiencias - Progressao aritmetica Progressao geometrica - Matematica financeira 14. (Cesgranrio-RJ) Em uma progressao aritmetica, o termo de ordem n é a n , a s - a, = 3 e a, + a 8 = -1. Nessa progressao, a 15 vale: a) 26.

b) -22.

c) 22.

d) -13.

21.

(UFCE) Os lados de urn triangulo retangulo estao em progressao aritmetica. Determine a tangente do menor angulo agudo deste triangulo.

22.

(FAAP-SP) Considerando 0 s x s 2n, o grafico a seguir corresponde a: 4y

e) 13. 2

15. (Fuvest-SP) Os numeros inteiros positivos sac) dispostos em "quadrados" da seguinte maneira:

1 4 7

2 5 8

3 6 9

10 13 16

11 14 17

12 15 18

19

2

dos". A "linha" e a "coluna" em que o numero 500 se encontra sac), respectivamente: a) 2 e 2. b) 3 e 3. c) 2 e 3. d) 3 e 2. e) 3 e 1 . (UFSC) Assinale a Cinica proposicao correta. A soma dos midtiplos de 10, compreendidos entre 1 e 1 995, e: a) 198 000. c) 199 000. e) 19 900. b) 19 950. d) 1 991 010.

b) 4).

c) 2J.

d)

e) 30.

18. (UEL-PR) A sequencia (2x + 5, x + 1, x ...), com 2x E i8, a uma progressao geonnetrica de termos positivos. O decimo terceiro termo dessa sequencia é: b) 3_10. d) 310. e) 312. a) 2. c) 3.

(Fuvest-SP) 0 menor valor de 1 a) -. 6

24.

17. (PUC-SP) 0 terceiro e o skim° termo de uma progressao geonnetrica valem, respectivamente, 10 e 18. 0 quinto termo dessa progressao é: a) 14.

d) y = sen 2 x + cos2 x. e) y = 1 - cos x.

a) y = sen (x + 1). b) y = 1 + sen x. c) y = sen x + cos x.

23.

1 4

c)

1 3 - cos x

1 2

, corn x real, é:

d) 1.

e) 3.

(UEL-PR) 0 valor da expressao 27r 3n 5n , e: cos - + sen - + tg 3 2 a)

25.

b)

2n

art 2

It

O numero 500 se encontra em um desses "quadra-

16.

x

0

V21 23 •

1 2

b) - -

c) 0.

d)

2

e)

(UFRS) Para todo x real, o valor da expressao

1

1

1 + tg 2 x

1 + cotg2 x

igual a:

a) 1.

d) sec2 x + cossec2 x.

b) 2.

e)

c) 2 + tg2 x + cotg 2 x.

1 2 x + cossec2 x sec

3 2

401

100 Guestoes de Vestibular

26.

(Fatec-SP) Se sen 2x = 2 , entaro tg x + cotg x é igual a:

x + 2y - z = 0 a) 8.

27.

b) 6.

c) 4.

d) 2.

e) 1.

x - my - 3z = 0 x + 3y + mz = m

(Fatec-SP) 0 conjunto solucao da equacao 2 • cos2 x + cos x -1 = 0, no universo U = [0, 2n], é: 1r

a)

n

b)

C) I 28.

33. ( Fuvest-SP) Seja o sistema

5n n, T

1.

5n it, -6-1.

d) 1

a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solucao. b) Resolva o sistema, supondo m = 0.

n 2n 5n 7It) , y, rc, T , TI.

,

-3-, al.

n 2n 4n 5n T n,

e)

34.

2x - y + z = 0

TE It T, -6-, TC }.

3x + my - z = 0

1 (Vunesp-SP) 0 conjunto solucao de Icos xl < - , para 2 0 < x < 2n, é definido por:

admita solucao diferente da trivial.

35.

5n 4n 2n a) - -

2 a)k>3

c) 3

4.

d) Coeficiente angular: -1; coeficiente

41; Im(f)= R - 1+1.

rx -7=1

1.a)S=IxeRlx11 c)S=IxER I x--.0oux.?-3} b)S={xER I x-q-oux.?-41 d)S=IxERI-1 0

d)3 03kOk>3 b)4k-1>Ok>

3

coeficiente linear:

a)2k-1 — 3

7

4

(2, 0) Er -

1, —3)

c) b = 0 (reta passa pela origem) (1,1)emax+b=ya•1+0=1a=1 0 coeficiente angular é 1 e o linear é 0.

0 = 2a + b —3 = —a + b

E r

Logo: 12a + b = 0

f 2a +,1zr = 0

[—a + b = —3

ta —,lef = 3 3a = 3

—a + b = —3

+

Modulo 26

a=1 a)

b = —3 + 1 = —2

Portanto, y = x — 2. 5

x— 1 e a equacao da reta.

11

a) Coeficiente angular: 2; coeficiente linear: —9. b) Coeficiente angular:

3

2x3 5

— 02x=5x=

b) —3x + 6 = 0

y=ax+b

—3x = —6

c)-4+2x=-02x=4x=2

a =2

d)—x=0x=0

(-1,1)Er1=—a+b1=-2+bb=3 Logo, y = 2x + 3. 2 6

a)2x-5=02x=5x= 5

y=ax+b b=5 (4,1)Er1=4a+b1=4a+5 4a=-4a=-1 Logo, y = —x + 5.

7

y=-2x+b (4,0) Er0=-2• 4 +b 0=-3+bb=3

1 1 b) — —x=0x= — 2 2

5

=2

MATEMATICA

■

—x +1 = Ox =1

41

SERIE Nova ENSINO MEDIO

c) x(x — 3) 0 • f(x) = x f(x) =

d)3-

6

x=0

=018—x=-- 0x=18 • g(x) = x — 3 g(x)=0x-3=0x=3

18

MOdulo 27 Logo:

a) (x — 1)(2x + 1) > 0

0

• f(x) = x — 1 f(x)=Ox-1=0x=1

3

f(x) g(x) f(x) • g(x)

• g(x) = 2x + 1

•

Portant°, S = {xEIRIx

oux;3}.

g(x)=02x +1 =02x= —1 = x= —2 1 d)(—x + 1)3x —x — —2- > 0 • f(x) = —x + 1 f(x)=0—x+1=0x=1

Logo: 2

f(x) • g(x) = 3x g(x) = 0 3x = 0 x = 0

g(x) f(x) • g(x) 0

Portanto, S = E IR I x < —2 ou x > 1}. b) (3 — 2x)(x — 4) 0 • f(x) = 3 — 2x f(x)=03-2x=02x=3x=

• h(x) = —x —

1

T

1 h(x) = 0 —x — 1 =0= — x = —2— 1 x = -2

• g(x) = x — 4 g(x)=0x-4=0x=4 2

Logo: Logo:

2 3 2

4

0

f(x)

No-

g(x) h(x)

• Portant°, S = E IR I x

ou x 4).

f(x) • g(x) • h(x)

• a

0

1 Portanto,S4E121-- 5 tii>

4

m- 1

36 – 20

A

5 2

a) Yv – – 4a – –

4

– 4

Como a > 0, entao Im = [-4, +00).

5

1

< m<

25 – 16m+ 16 < 0 –16m 6 A = 0 [–(p – 1)12 – 4p • 0 = 0 =(p -1)2 =Opp-1=0=p=1 3 1 2 – 4(2

5

Logo,tEIRlt

A c) Yv – 4a –

7 8

e t+ 3

– 0

1

A 4a

d)Yv

3 z

4 4 4

Como a > 0, entao Im = [0, +.0) =

4

3 4

1

3 Como a > 0, entao Im = [– — +cc). 4'

5 ta. ,T.

5

3 – t+ 0 t z

a+ 0

1 16

t1 0

– 6 + 4t0

7

32 –8

7 Como a < 0, entao Im = –00 – ' 8 i•

A x v (a > 0). Entao, x > 3.

Yv

2 _ – – (4m + 1) 2( – 3)

b _ _ 2a XV

2–

4m b11 –6

_–8

Temos:

b) A funcao é decrescente para x < x v (a > 0). Entao, x < 3.

2

gym= _32

4m+ 1 =-12

4m = –13 m= – 13 — 4 Resposta: alternativa c.

b_ – 2 _ – 2 2a

(– 2) 2 – 4 • 1 • 5 A _ 4 4a –

– 4

Logo, V(1, 4). Resposta: alternativa a.

MOdulo 32 Observando o grafico, temos: • a > 0: concavidade da parabola voltada para cima • b = 0, pois as raizes sac. opostas (x 0 e –x0) • se c > 0, corn a > 0 e b = 0, naotemos raizes reais (por exemplo: x2 + 4 = 0). Logo, c < 0. Resposta: alternativa e.

46

MANUAL DO PROFESSOR

1±

a)-x2 -x+ 6=0x -

-2

a) f(x) 0, para x = -3 Logo, S = {-3}.

x = -3

b) f(x) > 0

ou x = 2

- -3

Temos: • f(x) = 0 para x = -3 ou x = 2 • f(x) > 0 para -3 < x < 2 • f(x) < 0 para x < -3 ou x > 2 b) 3x2 - 5x + 2 = 0 x -

Logo, S = 0. c) f(x) 0 para V x E IR. Logo, S = IR.

5± 6

d) f(x) < 0 Logo, S = IR - {-3}.

x = 2 ou x = 1 3

5±

IN a) x2 - 5x + 6 = 0 x=

x = 2 ou x = 3

2

+

Temos: • f(x) = 0 para x =

2

2 ou x = 1 Portanto, S = [2, 3].

• f(x) > 0 para x <

2

ou x > 1

b) 2 • f(x) < 0 para -3- < x < 1

-2x2+x+1 =0 x- -1 ±4„PT x = - — ou x = 1 2

c) -4x2 + 5x - 2 = 0 A = 25 - 32-= -7 < 0

Portanto, S =

1 -- [ U 11, +col 2

Logo,y 1

1

mum

f(x) = -x2 - 6x - 9 f(x) = 0 -x 2 - 6x - 9 = 0 x-

6 ± V36 - 36 -2

-

3

1.

d) 3x2 - 2x + 5 = 0 Como A < 0 e a > 0, temos:

• y > 0 para -1 < x < 1

MOdulo 331ammia

1

4_$,/(T 8

Portanto; S = 0.

_

4 8

1

MATEMATICA

e) x2 ,x x2 – x 0 x2 – x = n x(x – 1) = 0

■

SERIE NOVO ENSINO MEDIO

47

4 —x2 .1- 5x-6>0 X = 0 OU X = 1

–x2 + 5x – 6 = 0 x– – 5

4-

x = 2 ou x = 3 Entao:

0] U [1, -1-0.).

Portanto, S =

–2 ± .„/CT

f) –x2 +,2x – 1 = 0 x=

2

–1

Portanto, 2 < x < 3.

Resposta: alternativa b.

- 2)2 < 2x – 1 x2 – 4x + 4 – 2x + 1 0 – x2 + 2x = 0 x = 0 ou x = 2 Entao: 3

f(x) g(x) Assim, 0 < x < 2 e D(f) = JO, 2[. f(x) • g(x) d) Temos: – x2 + 9 0 – x2 + 9 = 0 x = 3 ou x = –3

Portanto, S= {x E IR

–

1 x 3}.

b, x2 – 2x + 1 . 1, a funcao a crescente.

Como 3" = y, vem:

f 3" = 9"x = 2

) f(x) = 3"

[3" = –1 (nao convem)

Entao: 15 –x2 = 15 – 2 2 = 15 – 4=11 Resposta: alternativa d. 2"

3

2

= (

1

3

+

= 2 -3

2

x= –3 –

3

2

=

-

8 7

= –3

9

-1 0

Logo, S = {–

it

Im(f) = IR

105- x = 10 (10 - ')x -5 = 10 (0,1)x -5 = 10 5 – x = 1 –x = –4 x = 4 Resposta: alternativa c.

b)f(x) =

–1

4 2'

3

12 2" + 4 2 - x=5 2"+ — =5

Fazendo 2" = y, temos: 4 y+ — =5 y2 + 4 = 5y 5y+ 4 = 0 y= 1 ouy= 4

-2 -1 0

Como 2' = y, vem: .12" = 1 = 2° max = 0 t 2" = 4 = 2 2 x = 2 Logo, a soma das solucoes e 2.

Resposta: alternativa b.

Im(f) = ]-1, +cc)

\.4:1. 42_

54

MANUAL DO PROFESSOR

c) f(x) = 12" — 21

r +1

d)

>

( )2

3x+1 0 Fazendo 3" = y, temos y 2 — 12y + 27 > 0. Logo:

— 4[. c

(4)2+ x (1) 3x-1 )2+ x ( )-6,4-2 ( 7) ( 7) 2 + x -5 —6x + 2 7x < 0

Logo, S =

1 x > — 4 b)log(2x 2

Fazendo 32" = y, temos: 3y - y -

5 3

= 3x = 5 = x =

3'>9=3">3 2 =x>2

126

C.E.:1 # 2x -1 >0=2 # 2x >1= = 27y - 9y - 3y - y 1 134 =14y--.1134=y--81 Como 32" = y, vem: 3 2"--81=3 2"--34 =2x.?-.4=x->--2 Portanto, S = {x E IR I x 2}.

1 10x> 7 c)log 2x (x+ 1)

1

EMI Y

1

x + 1 > 0 = x > -1

C.E.:

- 243

1

102x>0= —*x >0 2

1 Entao, -2-# x > 0.

- 243 > 0 = (3 -1 )" > 3 5 = > 35 =

d) log(4 _ x) (x - 3) (x - 3 > 0 = x > 3 C.E.: 104-x>0= -3 # -x> -4 =

=-x>5=x 18 3"

NM a) y= log (x 2 + 3) C.E.: x2 + 3 > 0, para V x E IR. Logo, D(f) = IR.

Fazendo 3" = y, temos:

b)y = log lx2 - 5xl C.E.: lx2 - 5xl> 0 x2 - 5x # 0 x*Ooux# 5 Logo, D(f) = IR - {0, 5}.

79 +9y> 189+9y2 > 1 8y 9y2 - 18y+9>0y 2 - 2y+ 1 >0 Logo:

c) f(x) = log 1 (x - x2) 7

C.E.:x-x2 >Ox2 -x 30

x0

Portanto, S = IR*. Resposta: alternativa c. „ 6

4 )4x +7 (7)

(

27 )2-

(( > (TOT)

)4,, +7 >

D(f)={xE11:0) (7)

3 )3(2- x)

3 -x 1 d) f(x) = log x +

( 4

4 )-6 +

x-3 C.E.: x +1

>0

4x + 7 > -6 + 3x x > -13 Logo, a menor solucao inteira da inequacio 6

• g(x) = x - 3 x-3=0=x=3

x = -12.

• h(x) = x + 1 x + 1 = 0 x = -1

Resposta: alternativa b.

56

MANUAL DO PROFESSOR

Entao:

2

log2 8..„/T - 2 • log, (log, 81) Temos:

g(x) { log 2 84 = y h(x)

1

7

2Y = 8,r2- = 2 3 . 2 2 = 2 2 may= 7 7 log, 81 = c 3' = 81 = 3 4 c=4 log 2 4 = m= 2"' = 4 = 2 2 = m = 2

g(x) h(x) Logo, D(f) = {x E IR I x < -1 ou x > 3}.

Entao: log 2 84- - 2 • log 2 (log, 81) =

Mcidulo 43

= 72 1

I a) log9 1 = y 9Y =

1

= 9 -1 y = -1

7

f a) log 4 x =

b) log2, 625 = y 25Y = 625 = 25 2 c) logo,o, 10 = y

— 2•2=-

y =

(

(0,01)Y = 10

1

)Y

b)log, x=-2

3

= (2 = 4 ) J9

4

A base x deve obedecer a C.E.: 1# x> 0. a) log„16 = 2 x2 = 16

d) logo 1

1 = y 4Y = 2

2 2 Y = 2 -1

16 b) log„ — - 4 1 2

x= ,JT

e) log jT 27 = y

Y=

27 3 2

=

= -4 oux = 4

Entao, x = 4.

1

2y =-1 y=

= 2

2

= 10

—7

X10-2y=10 -2y= 1 y=

7 x= 4 2 =

2

33

6 _ ( 2 4 x4 = 1 81 3

oux=

2 Entao, x = — 3

2 = 3 y = 6 c) log„ 5 = -1 f) log

( 1 y=

=y

Y

16

2

7r2T

2-y

= 27

3,f9 =y (k) Y

g) log .

=

-y =

y=

7

2

2

33

3-y = 37

5

5

log, a =

(2 -1 )Y =

x-1 = 5 x = 1

a = 83

5

5 = (2 3 )3 =

25

=

32

_ C.E.: a > 0 Logo, a = 32.

3-

2 3

log a 2VT = 3 a3 = 2,172- = 24

2

Y

(a 3 ) 31 h) log4 2y=

=y 4Y =

= ( 24 1)3

a = 22

a

=

C.E.: 1 #a>0

22 Y= 2 2

Portanto, a = „/T.

11 y= T

t a) log, log, x = 0 log e x = 3° = 1 x = 2 1 = x = 2 i) log loo 3 10 = y = 100Y = 3,r10 102y = 10 3

2y=

2 87 b) log„ (-

y=+ 3

=3= x3

127 x=

j) log 8 3 16 = y 8Y = 3, 16 23 Y= 2 3 =3y= 4 :y=

(2 3 )Y =

47

27

= y3

3 =

3

a) 3 1°9316 = 16

4 b) 2 3

+ 109 2 5 = 2 3

2 1092 5

=

8 • 5 = 40

•

MATEMATICA

c) 6 1 -1°94 2 d) 3 -2

=

6' :

18 = I •

9 =

e)

+2.109 2 5

f) 4 =

1 J

=4 2

2 .1

4-

•

1

1092 5 4

1 2

=

57

ENSINO MEDIO

= log (a + b) + log (a - b) = m + log 100 = m + 2 18 = 2

mis a) log 16= log 2 4 = 4 • log 2 = 4a b) log 40 = log 4 • 10 = log 2 2 + log 10 = = 2 • log 2 + log 10 = 2a + 1 c) log 25,6 = log

5

=

10 = log 28 - log 10 =

= 8 • log 2 - log 10 = 8a - 1 1

7

= 7 2

Novo

- 1 =3 1 3

(22) 2 • log2 5 =

4

SERIE

gm log (a 2 - b2) = log (a + b)(a - b) =

6:2=3

6 1094 2 =

+ log 3 18 = 3-2 3109 3

■

54 =

24 • 1092 5 =

e) log 54 = log 2 • 33 = log 2 + 3 • log 3 = a + 3b b) log 150 = log 2 3 • 5 2 = = log 2 + log 3 + 2 • log 5=

625 2

= log 2 + log 3 + 2 • log

70* a) log (3x _ 2) 4 = 2 (3x - 2) 2 = 4

10

=

= log 2 + log 3 + 2(log 10 - log 2) = = a + b + 2(1 - a) = a + b + 2 - 2a = b - a + 2

3x - 2 = 2= x = 3x - 2 = -2= x = 0

c) log 3 12

C.E.:1 3x-2>03#3x>2 '1#2(>4 4 Entao, x = -T .

_

2-x=2

d) log 2,56 = log.14 = log 256 - log 100 = = log 28 - log 102 = 8 • log 2 - 2 • log 10 = 8a - 2 log, (pq)2 = 5 log, (p2q2) = 5 5 2(log, p + log, q) = 5 1 + log, q = 7

MOdulo 44 a) log, (125 • 625) = log 5 125 + log5 625 =

log, q =

= log 5 53 + log5 54 = 3 • log 5 5 + 4 • log5 5 =

3= b) log e 1613- = log 2 16 + log2 jr 3

log2 24 + log2 27 = 4 • log2 2 +

3 3 = = 4 • 1 + — • 1 = 4 +— 2 2

34-

- log 3

= log, 81 + log 3

log, p =

Resposta: alternativa b.

=3•1+4•1=7

8 1 „a

2a + b 3

1x 0

C.E.:1 *x> 0 Entao, x' • x" = 3. Resposta: alternativa e.

Entao, x = 16. e) log 3 (x - 2) - log, (x - 2) = 1 3 (x - 2)- 1 log 3 (x - 2) - loglog3 9 log 3 (x - 2) -

log 3 (x - 2) 2

1 0 94 (x2 + x) = 2 = x2 + x = 2 -1

x2 +x- 2 =0x=-2oux= 1 C.E.:x2 +x>0x< - 1 oux> 0 Entao, S = (-2, 1}. Resposta: alternativa b.

2 • log 3 (x - 2) - log 3 (x - 2) = 2 2 = 32 =9 x--='11

log 3 (x- 2)--= 2 C.E.:x- 2 >0x> 2 Entao, x = 11.

MOdulo 48

f) (lo g9 x)2 = log3 x

(bg 3 42 4

-

(log3 x)2 (log 3 9)2

- log 3 x

log 3 x

2

a) -1 + log (x - 1) > 0 log (x - 1) > 1

I

30 = 34 =

x-1< 7

x>1

C.E.:x- 1 >0

Como log 3 x = y, vem:

1

1

T

< 3

4 =y ^ y2=4yry2-4y=0r y = ou y = 4

e) V

a) V

log (x - 1) > log

Fazendo log 3 x = y, temos:

og 3 x = 0 x = og3 x = 4 x =

d) F

c) V

b) F

a

Logo,

S = 11, 41.

1 81

lo) 1 <

log 1 (2x)

Entao, x = 1 e x = 81.

2x<

F. 2

2x

2

2

C.E.:x> 0

x<

2x< 2

„IT 4

C.E.:2x>0= x>0 I log x + log y = 1 t log x - 3 log y = -7

t-

+ leg-x-i- log y = 1 Jiagx-+ 3 • log y = 7 4 log y = 8 log y = 2=y = 10 2

Logo,

c) log 1 (10 - x2)

C.E.:

4 0

3

log 1 (10 -

Como log y = 2, entao: log x + log y = 1 log x + 2 = 1 log x=-1 x= 10 - '

S = 10,

10 Dal:

X

x2) =

log 1 1

1 -x2 +

0

9 ,5.0

ix > 0 Ly > 0

x Entao, — = 10 -3 . Resposta: alternativa a.

C.E.: 10 - x 2 > 0 satisfeita, Logo, S = 1-3, 3].

pois 10 - x 2 > 1.

62

MANUAL DO PROFESSOR

In a) loge x + 1 3 loge (x2 - 1)

Dal:

log 2 x + log2 2 log2 (x2 - 1) 1x2 -2x-1< 0 Entao: x2 - 2x - 1 = 0 x -

x=1+

2 ± 2.12-

lou

2

x = 1 - ,jr

Dal:

C.E.:

(I) 1+

C.E.:

(I)

,ff x > - -. (II)

1 3x + 1 > 0 x > 0 (III)

De (II) n (111) vem x > 0 (IV) Entio: 1 3

_2 3

> (II) 1)(2 - 1 > 0

x = -±1

x2 - 1 =

Assim:

3

1 ]0, — [ 3 .

Portanto, Logo: -

1+

2

'IT

log 10 < log (x - 1) < log 100 10 -0 Logo:

1111 0 Logo, D(f) = E IRI x 3 1). Resposta: alternativa d.

Modulo 49 am a) E PA; r = 0. b) E PA; r = -4. c) E PA; r = -0,3.

1'

d) E PA; r = x. 4

1

an a) V On Temos:

Portanto, S = ]1, 4]. c) log 4 (3x + 1) + log 4

x >

e) Mc) e PA.

1

c) F

b) F

-2c = -b + 6

-6 - c = c - b log

4

(3x + 1)x > 1

(3x + 1)x < (17 3x2 + x < 9 9x2 + 3x- 2 0

b)tg 30° = 3 b)

tg 210° = tg (210° — 180°) = tg 30° =

_

Logo tg 210° —

cotg 220° > 0

/3— 3

c)

3

Maileisaimrammasum • tg 30° —

sen 30° cos 30°

0,500

—

0,866

— 0 , 577

Logo tg 30° = 0,577. • cotg 30° —

cos 30° sen 30°

—

Logo cotg 30° = 1,732.

0 , 866 0,500

— 1 732 '

cotg

57t

= cotg 150° < 0

— 0,839

MATEMATICA

a SERIE

81

Novo ENSINO MEDIC,

d)

0

cotg 330° < 0

p

a) y = cotg 3x = 3x krt x*

IT

2

kit

b) y = cotg

3r

para 0 x 2n

kEZI. b) f(x) = cotg x

-7x

x * 3kn

x

x T

o

0

Logo D = {x EIRIx0 3kn, k E Z}.

IT

n

2-

cotg -2x

A 0

—

c) y = 2 • cotg 2x — 2x-2 x

2x +

2

2rE

2

7T

A

+ kir

2

Ix

Logo D = E

+ 2 n , k E Z}.

0

Modulo 74

p = 271

I a) y = cotg 2x para 0 x 2n

ME a)

x

2x

cotg 2x

0

0

0

IT

ir

4

2

7r 2

n

0

3n 4

3n 2

0

0

it

2n

0

577 4

5n 2

0

3n 2

3n

A

77t 4

7n 2

0

2n

4n

3

cotg 225° = cotg (225° — 180°) = cotg 45° = 1 Logo cotg 225° = 1. b)

cotg (-45°) = —cotg 45° = —1

82

MANUAL DO PROFESSOR

MOdulo 75 ammuserrri■ t a) sec 30° =

1

1

cos 30°

4-

MI a) y = 4 • sec

x*n+ 2kn D=IxE112.1x*n+ 21cn,kE7LI

-

b) f(x) = 5 • cossec 2x 2x * kn x *

2

213-

_

= 2

kn 2

k D=IxEIRIx* 2, kEZI

3

+ kn

c) f(x) = 2 + 3 • sec 2x 2x

2 ,jr 3 .

Logo sec 30° -

* 221- + tat

-1;.

kn b) cossec 30° =

- 1 1 2

sen 30°

2

1 + D=IXEIRIX* 74

Logo cossec 30° = 2. c) sec 2n =

1

1 1

-1

x+

Logo sec 2n = 1. - 1 0

sen 2n

1 4

2

_

12 cosx-— 13

-

cos T

2

2,jT _

I 11

If

2,r2-

1 1

17

2

2

,f3

1

1- 13 12 12 13

cos x

7r 7 tg x = — 24 e n j

-2 A' • A = 3

Entho:

1 1

2

- 7_

1 2 [3 4

a12

A= a21

1]

= [-1 1

a22

-2+3 -4+4

= [3 3 7-7

Logo:

1

A2 = A • A =

-

1

1 -1

1

=

0 -2

1

2

61

= 1.1 LO

3 + (-2) -

Logo, A' é inversa de A.

0]

-2 3

1 1

2

2

[0 -2

la 3c

Entao, A -1 =

•

Modulo 94 i

[1 3

a) A • A' = 12 a + 2c [3a + 4c

= [1

2][a

4 c

0

d

b)A • A' = 12

0]

[-la c+ + 3c

b + 2d i = [1 1 0 0 1 3b + 4d

01]

=1 d=0 -2a + 3c = 0 -2a + 3 • 1 = 0 3 = =

Resolvendo os sistemas pelo metodo da adigao,

-2b + 3d = 1 -2b + 3. 0 = 1 1 -2b = 1 b = 2

vem:

a + 2c = 1 f 6c = -3 3a + 4c = 0 taer+ 4c = 0 + - 2c = -3 c =

Assim: 3

2

A' = [a c

=

Substituindo esse valor em uma das equacaes,

j

temos:

2

- 2bd+ 3d] = [01

Temos:

tb + 2d = 0 f a + 2c = 1 13a + 4c = 0 e 3b + 4d = 1

a + 2c = 1 a + 2 -

0] 1

1

Da igualdade de matrizes, temos:

t

- [1 0

d

=1a+3=1

3

1

2 1

2 0

Verifiquemos se A' • A = 1 2 . A' • A=

a = -2

3

1

2 1

2 0

[01

[0

01]

3]

Logo, A' é inversa de A. b + 2d = 0 f -3 6d = 0 13b + 4d = 1 1.3+ 4d = 1 + 1 - 2d = 1 d = - — 2

3

1

T 1

Entao, AT =

-T 0

Substituindo esse valor em uma das equacCies, temos:

A•A 1 = 12

1 b+2d=0b+2(-- )=0 2 b-1=0b=1

= [01 1

[-2

4

51[a

-1 c

[-2a + 5c 4a - c

d] -2b + 4b - d

Assim: A,

[a c

d

[73.2 -2-

1

Da igualdade de matrizes, temos: i

-7

f -2a + 5c = 1 14a - c= 0

{-2b + 5d = 0 e 4b - d = 1

=1 [ 1

102

MANUAL DO PROFESSOR

Resolvendo os sistemas pelo metodo da adica- o, vem:

A.A , =12

11ra 1 2 c d

c=0 a+c 9c = 2 c=

4a-c= 0

.41-1:C"+ 10d = 0 + d=1

fb+d=0 + 2d = 1

1 9d = 1 d= — 9 Substituindo esse valor em uma das equagOes, temos:

=

1

1

A • A -1 =

18

1 18 2 9

Assim, A -1 =

2

4

-1

2 -1

-1 1

Resposta: alternative d.

5 18 . Entao: 1

Modulo 95

9

IS a) det A =

1 18 2

5

Fazendo d = 1 em b + d = 0, vem: b + 1 =0 b = -1

Como A' • A = 1 2 , temos A' = A -1 e A-1 . 1 2 = A-1 .

= 10 = 5 36

= 0 )2,--+ 2d = 1 d=1

Entao, A' = [

4b - -9- = 1 4b = 1 + — 9

10 9

Temos: f c = -1 1.„.1+ 2c = 0 c = -1 Fazendo c = -1 em a + c = 1, vem: a + (-1) = 1 a=2

1 18

4b - d = 1

[1 1 0

fa+c=1 la + 2c = 0

2 =0= 4a= 2

f-2b + 5d = 0 14b - d = 1

b + di

Lo 011

[a + 2c b + 2d = 0 1

9

Substituindo esse valor em uma das equacoes, temos:

2 a = 36

=

[1

-,4-er+ 10c = 2

-2a + 5c = 1 1.4a - c = 0

5 18 1

-5 1 2 4

= -20 - 2 = -22

01

= [1 10

= 5 IT - 2,11111- =

b) det B =

1.1

9 7

5 =56=- 6,/f =

01

[-2 4i[ 6 2 c a d] = 0 1

3 A•AC 1 =1 2

1 c) C = [-32 -2] 241 -

0] [-2a + 4c -2b + 4d1 = [1 0 1 6a + 2c 6b + 2d

= [-32 -24] Temos a'12 = b, entao: f -2b + 4d = 0 1.6b + 2d = 1

f-6,1:5+ 12d = 0 1.4.1:S+ 2d = 1 14d = 1

-3 det C = =

6b + 2 •

1 14

7

Logo, a ' 12 =

=1 1 •

6b = 1 -

3

2

1 = 2 9 2

- 3 -2 0

3

9 2

d)D = [1 214 1 = -3 4 2 -3

=1 =

6b +

0

-2

14

Substituindo esse valor em uma das equagOes, vem: 6b + 2d = 1

+ 3

1 -2 3 1 = — 2

1 _ 6 7

b= :1-

7

1 • 4 + 2 • 2 1 • 1 + 2(- 3)1 = [ 8 -5

[(-3)4 det D =

+ 4 • 2 (-3)1 + 4(-3) -4 -15

8 -5 = -120 - 20 = -140 -4 -15

MATEMATICA a SERIE

oh, a)

-1

8

Jr3 2 8 -1

log2 8 4

3 -1

3 4

sen

b)

3

4

81

tg log3

Jr -1

d)

—12 3°

cos a 1

x-1 3 18

a

3

3

-1 1

81

= 9 + 81 = 90

3.,/T

1 1

= -1 - 1 = -2

2-0-

x2 - 1 6

-2 oux= -,j13

=0 16•cosx- 8 =0

1 16 • cos x = 8 =.• cos x = — 2 =- 3 + 2kn, k

c)

Z

log 2 x 4 log2 x=

,v

a

[3

y

16 128

2 0 1 2 0 3 1 3 3 1 0 2 2 0 2

iii A = (aii)3x3, corn a ii = 2i - j. 1 0 -1 Entao, A =[ 3 2 1• 5 4 Dal:

x=

^

0

1 0 -1 3 2 1 5 4 3

3 2 5 4

= -(-10 + 4 + 0) + (6 + 0 - 12) = = -(-6) + (-6) = 6 - 6 = 0

a) D =

1

2 3 0 1 1 3

2 3 0 0 1 2 1 3 2

= -(0 + 12 + 0) + (4 + 0 + 6) = = -(12) + (10) = -12 + 10 = -2

= 0 128 log 2 x - 64 = 0

= [1 bi x 4

Jr

0

1 0 1 1 3 -3 0 4 5

1

1 3.; = 0 4

=-(0 + + 5)+(0 + + 4)= =-5+ 4=-1

a=1;b=2;x=3ey=4 b) D=

Entao: i A= [a b x y

a) det A =

=0 3•tgx- 3 =Otgx= 1

,

A = 1 2 [3 4

B = At B = 1 31 [2 4 Como det A = det B = -2(det At = det A), vem: det (A • B) = det A • det B = (-2)(-2) = 4 Resposta: alternativa b.

1 x

itiOdultiiiiimorm ■mon

det A =

x = 4- +kn kE7G

d)

-

1=1-xx=0 Logo, S = (0). Resposta: alternative e.

b) det At =

/ 1 =12 x2 = 13 x=t

tg x 3 1 3

1 1

=0

x+1 2

b) cos x 4 24 2

x

1 1

= -(0 + 12 + 0) + (4 + 6 + 0) = = -(12) + (10) = -12 + 10 = -2

1 7 x+1 2

x-1 3

1 1 x

= -3 - 12 = -15

103

ENSINO MEDIO

= 4,f2- + 3

3 -1

c)

Novo

—

T sen 22 log 1 37t cos — 2 -1 0

1 -1

2 1 = - T (- 1) = 1

1 2

1

0

-1

2-1

3o

-1 0

104

MANUAL DO PROFESSOR

in a)

2x 3x x

0 x 0

1 1 x-1

2x 3x x

0 x 0

1VIOdulo 97

= 0=

x+y+z=1

1 1 x-1

: 2x 3x x

2x + 3y + 2z = 5 x - y + 2z = -4

0: x = 0;

Temos: m= 3, n = 3 m = n (I)

-(x2 + 0 + 0)+(2x2(x- 1)+ 0 + 0)= 0 -x2 + 2x3 - 2x2 = 0 2x3 - 3x2 = 0 ^

det A =

x2(2x-3)=0= x = 0 ou x=

1 2 1

1 3 -1

1 2 2

=1= det A 0 0 (II)

De (I) e (I ), concluimos que o sistema é normal.

1 x 0

b)

1 x x

3 4 2

2x + 3y + z = 8

2x 4

•

b){ x + y - z = 0 3x+ 4y = 9

+ 0 + 3x2 - 0 - 4x -_,24C= 2x2 - 4

Temos: m = 3, n = 3 m = n (I)

4x+ 4=0 x=2

1 0 -1

c)

x 1 3

1 x 3

det C =

-x2 + 0 - 3x- 0-

2 1 3

3 1 4

1 -1 0

= 0 (II)

De (II), concluimos que o sistema nao e normal.

-x2 - 3x+ 4 Logo: a)

(k - 1)x + 4y = 2k

{ (k + 1)x - 2y = 1 +3k Temos: m = 2, n = 2 m = n

Entao, x s -4 ou x

y

Seja A = 0 4

2 2y 3

1 -1 2

2 2y 3

1 -1 2

det B * 0

1.

2*0 6k*-2 Logo, {lc E Rik * -1

y 0 4

y 0 4

2 2y 3;

= -(8y - 3y + 0) + (4y 2 - 8 + 0) = = -5y + 4y2 - 8 = 4y2 - 5y - 8 Resolvendo a equagao 110 + xl = 2, vem:

110 + xl = 2

10 +x= 2 ou

Temos: m = 3, n = 3 m = n detC0 0

1 1 1 k 2 3 *0 k2 4 9

(2 - k)(3 - 2)(3 - k) * 0

Logo: 4y2 - 5y - 8 = -8 4y 2 - 5y = 0 5

5) =0y=0 ou y= -47

Portanto, y = 0.

{x + y + z = 1 b) kx + 2y + 3z = 7 k2 x + 4y + 9z = 1

= -8

10 +x= -2= x = -12

y(4y -

*0

-2(k - 1) - 4(k + 1) 0 0 -2k + 2 - 4k - 4 * 0

Dai: det A =

k-1 4 k + 1 -2

2 - k * 0 k * 2 e 3-k#0 k0 3 Logo, lk ER1k 0 2 e k* 31.

1

•• MATEMATICA

■

105

SERIE NOVO ENSINO MEDIO

MOdulo 98 mommumpamommerma

x + 2y — 3z = 9 c) 3x — y + 4z = —5 2x+y+z = 0

a)/ 3x+Y = 5

2x-3y = —4 Temos:

Temos: m = 2, n = 2 D=

m = 3, n = 3 m = n

m= n

3 1 2 —3

= —9 — 2 = —11 D#0

(sistema normal) Logo:

3 5 2 —4

Dy =

Assim: Dx x = TD

D = —10 (sistema normal)

Logo: = —12 — 10 = —22

—

D

9 —5 0

Dx =

1 3 2

D5 =

—11

Portanto, S = {(1, 2)}.

x + y — 2z = 0 Temos: m = 3, n = 3 m = n

2 —1 1

—3 4 1

9 —5 0

= 27 — 20 + 18 + 5 = 30

=

—20 —10

D

=

10 --1 —10

D

= 30— —3 —10

x=

3

D # 0 (sistema normal) Y=

—5 1 —8 Dx = 0 1 —2 6 2 3

z=

—

2

Portanto, S = {(2, —1, —3)).

= —15 — 12 + 48 — 0 = 1

DY =

9 —5 0

Assim:

2 1 —8 D= 1 1 —2 = 6 — 16 — 2 + 8 + 8 — —3=1 Logo:

1 3 2

Dz =

-[ x+ 2y+ 3z = 6

1 2

—3 4 1

= —5 + 72 — 30 — 27 = 10

2x + y — 8z = —5

b)

2 —1 1

—9 + 15 — 36 + 10 = —20

1

= —22 —2

—

—3 4 1

= —15 + 4 = —11

—11 —11

-

2 —1 1

= —1 — 9 + 16 — 6 — 4 — 6

5 1 —4 —3

Dx =

1 3 2

D=

2 —5 —8 1 0 —2 1 6 3

2x — y — 3z = 3 —4x + 3y + 2z = 2 5y — 3z = 6

= —48 + 10 + 24 + 15 = 1 {

Dz =

2 1 —5 1 1 0 1 2 6

=12-10+5-6=1

Assim:

[2 —1 —3 Temos D =——4 3 2 0 5 —3

x =

=1

= —18 + 60 — 20 + 12= 34 Para determinarmos z, devemos calcular:

=

=1

Dz =

z =

= 1

2 —1 3 —4 3 2 0 5 6

Logo z = Portanto, S = {(1, 1, 1)).

= 36 — 60 — 20 — 24 = —68

D, — 68 — —2. D = 34

106

MANUAL DO PROFESSOR

3x — 2y + z = 0

x + 2y = 3

raN + 5y — z = 0

{

2x — y = 0 3 —2 1 5 2 —1

Temos D =

2x + 4y = m

a) Impossivel: D = 0 e D„ * 0 ou D y * 0 Entao:

1 —1 = 0

2 4

1 2

D=

=0 —1 +4 — 10 —3=-10 D, =

1 —1 0

0 —2 0 5 0 —1

b) Possivel e indeterminado: n = 2 e D = Dx = = Dy = 0 Entao:

S = 1(0, 0, 0)1

x+z=5 2x + y + 3z = —1 — 2x — 2z = 1 Temos: D=

= 0

D, =

3 2 m 4

Dy =

1 2

3

=0= m=6

=0rn-6=0m=6

Logo, m = 6.

1 2 —2

0 1 0

1 3 —2

= —2 + 2 = 0

5 —1 1

0 1 0

1 3 —2

= —10 — 1 = —11

D„

1 2 2 4

D=

MOdulo 99 I

#0= 12-2m# 0=

2m 0 12 m * 6 Logo, m * 6.

0 — 0, y= Oez=0. —1 0

=

3 2 m 4

D„ =0

Tambem Dy = 0 e Dr = 0. D„ Logo x = 1:,

=4—4=0

Via)(x — 3y = 2 x + 2y = 1 D„

0

Temos: —+ 3 = 5 D

D=

0 (sistema pos-

2

1

Se D = 0 e D„ * 0, entao o sistema é impossivel.

sivel e determinado) 2

x + y + 2z = 3 x — y = —1 2x +y + 3z = 4 Temos:

D=

1 1 2

1 —1 1

2 0 3 1 —1 1

= —3 + 2 + 4 — 3 = 0

2 —3 1 2

Dy =

1 1

2 0 3

3 —1 4

Dy =

1 1 2

3 —1 4

2 0 3

1 1 2

1 —1 1

3 —1 4

= —9 — 2 + 8 + 3 = 0

2 1

=4+3=7

= 1 — 2 = —1

Assim: x=

D, =

D, =

Dx =

Y =

D, _ 7

D

=

Portanto, S =4)1. = —3 + 8 + 4 — 9 = 0

x+y+z=0 b) x + 3y — 5z = 0 x + 2y — 3z = Temos: 1 1 1 1 3 —5 1 2 —3

= —4 — 2 + 3 + 6 + 1 — 4 = 0

D=

Se D = D„ = DY = Dr = 0, o sistema a possivel e indeterminado.

e determinado)

= —2 D * 0 (sistema possivel

MATEMATICA

D, =

0

1

1

0

3

—5

1

2

—3

1

0 0 1

1 —5 —3

Dy =

1 1

IN

SERIE

2x—y+z = = —8

D„ =

1

0

3

0

2

1

Assim: D„ x— D

y= z=

D D„ D

3x — z = 0 Temos: =6

=2

=4

6 —2

—

2

Temos: 3 2 1 5 5 3 2 3 2

{x+

2y — z = 0

[' ( - 2)]

2x + 3y + z — 7

=0 x + 2y — z = 0 71) —7y + 5z = 1-.. —y + 3z = A)--) ix + 2y— z = 0

x+y+z=3

—y+ 3z = 7

d) 2x + y + z = 3 3x + 2y + 2z = 5

—y +

1

1

2

1

1 1

3

2

2

=0

1 2

=0

3 3 5

1 1 2

=-

1

3 5

1 2 3

* 0. Logo, D = 0 e Portanto, o sistema é impossivel. mx + y = 0

4x + y = 0 0 sistema é homogeneo e para ser indeterminado necessario que D = 0. Entao: m 1 1 4

z= 0 3z= 7 —16z = —48

Da Ultima equagao, o sistema a possivel edeterminado.

1 1 2

3

[• ( - 7)1

—7y + 5z — 1 x+ 2y—

Temos:

D=

x + 2y — z = 0 F ( -3)17 e 1y +3y+ 2z —17 • z=7+ a) 32:-

—7y + 5z = 1

Como o sistema a homogeneo, D, = Dy = D, = 0. Logo, o sistema a possivel e indeterminado.

Dy =

Resposta: alternativa d

Modulo Waggigingigiiiimmingia

2x + 3y + 2z = 0

D, =

=4—9+6—1=0

= —1

3x + 2y + z = 0 c) . 5x + 5y + 3z = 0

D=

2 —1 1 1 —2 3 3 0 —1

—3

Portanto, S = {(4, —3, —1)}.

D=

=

Como o sistema a homogeneo, ele é indeterminado. Logo, possui infinitas solucoes reais.

—8 —2

2

=

0

MN x - 2y + 3z = 0

D 1 1 1

107

Novo ENSINO MEDIO

=0 m — 4 = 0 m = 4

Resposta: alternativa e.

3x+ y— z = 0-.IF\ c) {—x 2x + 2y + z = 2 —x + y + 2z = 1 (• 3) (• 2) 3x+ y— z — 0 • z= 2 2x + 2y + =1 —x + y '= 3 E. (-1)] 4y 4y + 5z = 4 {—x + y + 2z = 1 4y + 5z = 3 Oz = 1 0 sistema é impossivel. Logo, S = 0. .

108

MANUAL DO PROFESSOR

Logo o sistema a possivel e determinado. Da LlItima equacao, vem y = 0. Como o sistema a homogeneo, possivel a determinado, entao x =y =z= 0. Portanto S = {(0, 0, 0)1.

{x + y + z = 1 [• (-2)].., [• (-4)]— ED c) 2x — 3y + 2z — 2 . 4x + 9y + 4z 4.4 0 x+

x+ y+ z= 1

{

t

Ox — 5y + Oz = 0 Ox + 5y + Oz = 0

y+ z= 1 —5y = 0 5y =0

=

x+y+z = . 1 5y = 0

x — 4y = 7

—3y

x— 3

{1 —2x = —3y x — 3 = 7y — 2

I

— 3y /y x

x — 7y = 1 (.24)7 Ixx— 7y = 1 —11y = 1 —2x + 3y = —14

0 sistema esti escalonado. Logo, o sistema é possivel e determinado.

Mo dulo 101 a)

x — 4y = 7 13y = —18 401 Oy = 13

_ 1

1 —2x + 3y = —1 x — 7y = 1

{2x — 3y + z = 9 x + 2y — 2z = —5 [• ( - 2)] [• ( - 3)]-0 3x— y + 3z — 8

9

0

23y — 1

1 — 2x _ 1 1 — 2x — /L-2 _ 1

21 3 )1

L• (

13y = —18

Como m < n, o sistema esti escalonado. Logo o sistema a possivel e indeterminado.

d) {

[• (-5)] 7)

x — 4y = 7 [• (-3)] c). 3x + y = 3 5x + 3y = 34

Da Ciltima equagao, o sistema é impossivel. Portanto, S = 0. x+y+z=3 —z = 1

d) x + y + z = 3 [• (-2)] 2x + 2y + z = 7 •

=4 x+y x+y+z=3 z = —1 z = —1 0 sistema é possivel e indeterminado. Fazendo x = a, vem: x+y= 4 Ipt+y= 4 y= 4 —a Portant°, S = {(a, 4 — a, —1)}.

li

e) f

1 +x

jl 2y

—7y + 5z = 19 [• (-1)] { x + 2y — 2z = —5 —7y + 9z — 23

2y + 1

1

2x + 3

1 +x _ 2y 2y + 1 _ _ 1 2x + 3

1 + x = —2y 2y + 1 = —2x — 3 {

—7y + 5z = 19 • x + 2y — 2z = —5 4z = 4

x + 2y — 2z = —5 —7y + 5z = 19 z= 1

Logo, o sistema a possivel e determinado. Vamos, entao, resolve-lo: • —7y + 5z = 19= —7y + 5 • 1 = 19= —7y = 14 y = —2 • x + 2y — 2z = — 5 x + 2(-2) —2 • 1 = = —5 x = —5 + 4 + 2 = 1 Portanto, S = {(1, —2, 1)). x + 2y — z = 0 [• (-3)] 1 b) {3x—y+ z — 04 2x

{

x + 2y —z = 0 [• (-2)] —7y +4z = 0 2x +y —2z — 0 x+ 2y —z = 0 —7y + 4z = 0 —3y =0

+ 2y = —1 [ . ( - 2)]1 2x + 2y — 4..4

i

x + 2y = —1 —2y = —2

y =1

x + 2y = —1 x + 2 = —1 x = —3 Portanto, o sistema a possivel e determinado e S = 1(-3, 1)}. {x + 3y = 1 f) y + 2z = 0 x+z=1

= 1 ]. ( - 1)17 x + 3y y + 2z = 0 I + z 1-4

x+ 3y =1 y + 2z = 0 (• —3y + z — 04 x + 3y =1 y+ 2z = 0 + 7z = 0= z=0 y+ 2z= 0 y+ 0 =0 y=0 x+ 3y= 1 x+ 0 = 1 x=1 Logo, o sistema a possivel e determinado e S = 1(1, 0, 0)1.

MATEMATICA • SERIE NOVO ENSINO MEDIO

Modulo 102 a) 7! = 5! b)

7 • 6 ...Fr,'

• — 42

8!5! 6!9!

6 •-.5rr• 9 •Jir

Logo: —

1 54

Portanto, podem ser emplacados 175760 000 veiculos.

7 44

ne Temos:

{

2

a)

algarismos DODO 10 • 10 • 10 • 10

.1.8f • 7 • 6 •-.54: •• 12.11

7 ..ff 2 • -1-r• 11

2

letras

DOD 26 • 26 • 26

263 • 104 = 175 760 000

c) (3 + 2 • 4 — 5)! = 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 =720 10!7! d) 2 • 5!12!

Presidente: 5 candidatos Vice-presidente: 8 candidatos Secretario: 6 candidatos

Logo, pelo principio fundamental da contagem, podemos formar 5 • 8 • 6 = 240 chapas.

(n — 3)! _ (n — 3)(n — (n — 5)! Sys

— (n 3)(n — 4) 9 Temos:

(n + 3)!(n — 2)! _ b) n!(n — 1)!

S

S2 .-. 53

_ (n + 3)(n + 2)(n + 1)413----2)1 _ ,prr(n — 1103----2)t

5

(n + 4)! (n 2 + 7n + 12)n!

Modulo 103..A + 2)(n + 1 fir'

_ (n — 2)! + (n — 3)!

3

Entao, pelo PFC, temos 5 • 3 = 15 trajetos.

_ (n + 3)(n + 2)(n + 1) n—1

d)

109

7! — (7 _ 4)!

— (n + 2)(n + 1)

(n + 1)! (n — 2)!

b)A,,,,, — (9

_ (n — 2)11-1.--3)-r + (n + 1)n(n — 1).in-----211IL)-----21r lo---311-

9!

21' 9! 9!

0)1

m!

c) A, „, — (m

7 • 6 • 5 4 -2(r

—

— 840

1

m! m1 ' — m! 0_ — ! 1

m)! —

= n — 2 + n(n 2 — 1) =X— 2 + n 3 —,v(= n 3 — 2 d) Cr," = 3

(n + 1)! + n! _ (n + 1)n! + n! (n + 2)(n + 1)n! (n + 2)! 27(n+1)

1 n+ 1

f) C„„ —

Resposta: alternativa e. 4 a) (x —

2)! = 720 (x — 2)! = 6! x — 2 = 6 x = 8

Logo, S = {8}. b) 8(x + 3)! —2= (x + 4)!

8-(x-+-311-2—

(x +

= 8 = 2x+ 8 x= 0

-Prrr

1 %or!"

- 1

m

_

m! 1!(m — 1)!

e) C,,,• ,

—2"

xr(n + 1 + 1) (n + 2)(n + 1)prr

m!

0!(m — 0)!

1111 m! m!O!

m! m!(m — m)!

1

1•1

m! _ (m — 2)! _ ( m — 3)1 m! (m — 2)! (m — 3)!

jp4---str (m — 2).(co---3)r

m—2

Logo, S = (0). 5 algarismos impares

ELIDE 5 • 5 • 5 • 5

Ax, 2 = 30 Entao, 5 4 = 625 nUmeros.

6 Temos 5 maneiras para entrar e 4 maneiras para sair. Logo, sao 5 • 4 = 20 maneiras.

x! (x — 2)!

x(x —

— 30 30 = x2 — x — 30 = 0

x = 6 ou x = —5 (nao convem) Logo, S = {6}.

—1

-

110

4

MANUAL DO PROFESSOR

2C,= 19n — 36

n! 2!(n — 2)1

2•

nn ( —

2••

11111 Os niimeros nao podem comecar corn zero. Logo: DODD 4 • 5 • 5 • 5 = 500

— 19n-- 36

— 19n — 36

Logo, podemos formar 500 nUmeros.

n2 — n = 19n — 36 n 2 — 20n + 36 = 0

11

Temos:

n = 2 ou n = 18

1110111111 9•9 9 • 9 = 9° Logo, podemos formar 6 561 nUmeros.

C6 = cg

6!(n

,Frr

4!( n — 4)! r12 —

6)!

Temos: = 6!1n

=.4!(n — 4)(n —

T

0000 9 • 10 • 10 • 10 = 9000

Logo, podemos formar 9 000 nameros.

9n + 20 = 30 n= 10 oun= —1

(nao convert))

13 13 13 •■■•■•

Entao: =

8 = C10,

—

10 • 9 •,81-

10!

2 • 1 • ,Pif

— 45 (m61-

Resposta: alternativa c.

x! (x — 2)![x — (x — 2)1!

(x — 3)! —6 1 (x — 3)!

6 (x — 2)(x — 3)!2!

1 —

3 x—2

x—2=3x=5 Resposta: alternative c. 6! 4!(6 — 4)1

8! (8 — 5)!5!

6•5 2 Logo, podem-se formar 15 quadrilateros.

6 • 5 . 4!

4! 2!

30 2

al Como diagonal AB = diagonal BA, temos, para Cn, 2

n—

n! 2!(n — 2)l

n(n — 1)(1:1---2)T

n

=

8! 3!5!

15

n lados:

n— n(n — 1) — 2n 2

_ n(n — 1 — 2) _ n(n — 3) 2 2 Logo, o ncimero de diagonals de urn poligono convexo e

5! = 120

114 As comissoes sao formadas atraves da combinagao dos 8 elementos (3 diretores e 5 gerentes) 5 a 5. Assim, temos CB, 5• No entanto, como pelo menos 1 diretor deve participar de cada comissao, devemos excluir do total de combinagOes a possibilidade de apenas os 5 gerentes participarem (C5 , 5). Assim:

l A„,3 = 6 •

d=

P5 =

As letras A estao juntas em 120 anagramas.

tiplo de 15)

7 C6 4 =

0

considera 1 letra

0!5!

5! (5 — 5)!5!

_

—8 7 1 — 56 — 1 = 55

Podemos resolver esse exercicio de outra maneira: Vamos supor que compareca(m): • exatamente 1 diretor: C 3, 1 • C5, 4; • exatamente 2 diretores: C3, 2 • C5, 3; • exatamente 3 diretores: C3, 3 • C5, 2• Somando-se esses valores, obtemos: = 3 • 5 + 3 • 10 + 1 • 10 = 55 Logo, podem ser formadas 55 comissoes.

um 0 triangulo pode ter 2 vertices em uma reta e 1 vertice

n(n — 3) 2

9 Os niimeros naturais corn 3 algarismos sac.:

O 00 9 • 10 • 10 = 900 nAo pode ser

na outra reta e vice-versa. Entao: C4, 2 • C3 , 1 + C4, 1 • C3 , 2 = 6 • 3 + 4 • 3 = 30 Logo, existem 30 triangulos. Podemos resolver esse exercicio de outra maneira: C7 , 3 — C3 , 3 — C4 , 3 = 35 — 1 — 4 = 30

zero

NUmeros naturals corn 3 algarismos diferentes:

❑❑ ❑ 9 • 9 • 8 = 648 conta o zero

MOdulo 104 IP a)

()

3!(551 3)!

5 • 4 .21" „3,t21 ' — 10

nit) pode ser zero

Logo, os nameros corn algarismos repetidos sac): 900 — 648 = 252.

— 4! b) 41)1!(4 — 1)! (

4 •Alf 1 •,31•

—4

MATEMATICA

6) — 6!(8811 6)! (6) = ( 8

C) ( 5)

8 4r2 * 7. ' 14(r

■

SERIE NOVO ENSINO MEDI°

— 28

111

y=8 ou y + 8 = 20=y = 12

0\ = (20\ y) 8)

relacio de Stiefel

( 2)

d) ( 0) + (.1 ) + ( 2) = 1 + 7 + 21 = 29

Condicao de existencia: n— 2 0 n 2 Entao:

n!

1=5 (fl)

= 28

1!(n — 1)! — 5

(n2)

— 5 n = 5

n!

= 28

n(n —

Como a condicao de existencia impoe n 1, temos S = {5}.

— 28

2!(n — 2)! _

2 • 1.1,a,---2)1

28 n 2 — n = 56

n2 — n — 56 = 0 n = 8 ou n = —7 (nao serve) Resposta: alternativa b.

b) (8) + ( n.i ) = 2 1 + n = 2 n = 1

Modulo 105

Como n 1, entao S = {1}. c) ( n 1 1 ) + ( n 2 1 ) =6

"5 (0) M (3) (3) ( 45 ) ()

Aplicando a relacao de Stiefel, vem:

L5 1

n!

L6 1

(2) =6=

—6

2!(n — 2)1

n( n — 2•

— 6= n 2 —n— 12 =0

5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1

Toda linha n tern n + 1 elementos. Logo Le tern 9 elementos, L9 tern 10 elementos e L. tern p + 1 elementos.

n=4oun=-3 "I a) S = (2) () nomiais da quinta linha. Logo, S = 2 5 = 32.

Como a condicao de existencia impoe que n— 1 2, entao n 3.

+ (2) e a soma dos bi-

Logo, S = {4). b)S = (1) + (';') + (3) + + (6) e a soma dos bid) (2) + (3) — (8)

nomiais da sexta linha menos (8).

Aplicando a relacao de Stiefel no 12 membro, vem:

Logo:

x=3 = ( 8x )

S = 26 —

{ou 3+x=8=x=5

c) S = ( 7.1 ) + ( 72) + + ( 76 ) é a soma dos binomiais

Logo, S = {3, 5}. 3

4

(n — 1)!= 120 (n — 1)!= 5! I (n —

_ 3 1 )!

n—1=5

da setima linha menos

n=6

e ( 7) . Logo: S = 27 — 2 = 128 — 2 = 126

ni,o---111" _ 3 n = 3 ..(13----1-

r-

d)S = ( o n) + (7) + (2) + + (n) e a soma dos bi-

Entao:

nomials da linha n.

(n + _ ( 4\ _ 6 2 1\) — 2)

(n + 1)! n!

(8) = 64 — 1 =63

—5

Logo: = 2^

S

(n + 1)A" ,Prr

— 5 n+1=5 n=4

Entao: ,/n! + (n + 1)! = ,14! + 5! = V24 + 120 = = ,f1447 =12

e)

S = (8) +

(7) + (2) + + ( n n 1 ) é a soma dos

binomiais da linha n menos ( r111). Logo: S = 2^ — ( n ) = 2^ — 1

112

MANUAL DO PROFESSOR

= (11\ + /11\ + / 11\

k

\ 1)

0)

+ (11 ) e a soma dos

2)

5

seis primeiros elementos da linha 11. Como os seis primeiros elementos da linha 11 sao iguais aos seis ultimos elementos dessa mesma linha, entao:

MOdulo 107 a)(x+6)'= Tp ±

13 =

7ea= 6

p=2

Logo:

21 S= 2 = 2 1 ° = 1 024

1p +

4. (7) =

P •

1 = ( n )X'

T2+1 = ( 72)X 2 -2

aP

b) (3x2 — 4y3)5 n = 5 e a = —4y3 Entao:

= 27 — ( 0) — ( 1 ) = 128 — 1 — 7 = 120 T4 = 13

Resposta: altemativa c.

= 10

Modulo 106 mmimmilikamsomm 1

a) (x —

= (0 4) x4(-

io)° + ( 4,) .3( - 1) 1

+

+1

= (5 3) (3 X 2 ) 5 3 ( —11Y 3 ) 3 =

• 9x4(-64y9) = —5 760x4y9

(1 —2x)6 = n = 6 e a = —2x Entao: Tp , = ( p) 1 6

▪ (4 2) x2(_112

• 62

41)(5 • 36 = 1 476x5

T3 =

S = (2) + (3) + ( 4 7) +

n=

Entao:

P(

2X)P = ( 6 p) (—

2)PxP

( 11) x (_ 1)3 + (44) x0(_ 114 =

= 1x4 + 4x3(-1) + 6x2 • 1 + 4x(-1) + 1 1 = =X4 — 4x3 + 6x2 — 4x + 1 b)(y + 1)6 = ( (8) y 6 • 10+ ( 6) y 8 • 1 1 +

Mas: xP = x2 p = 2 Logo: T2

+1

= ( (23) (

2) 2 3E 2

T3 =

15 • 4x2 = 60 )(2

Portanto, o coeficiente numeric° de x 2 e 60.

+ (2)y 4 • 12+ (3)y 3 • 13+ (6)y2 • 14+ + ( 5) y 15 + (66) yo 16 =

(X — ) 7

x

Temos:

= y6 + by5 + 15y4 + 20y3 + 15y2 + by + 1 0 ) ( (2)4(3 y)° + ( 41 ) (x2)3(301 + c) (x2 + 3y)4 = ( 4

Tp+1 = (

7 )x 7- PI 7) 1 P P

= ( 7 )X 2- P( — X) - P =

= ( 7) x 7- P( — 1) - PX - P = (p) 1) - PX7 2p ( —

▪ (121) (x2)2(302 + ( 4 3 ) (x2), (303 + ( 4) (x2))(304 = = 1x8 1 + 4x6 • 3y +

Mas: x7-2P = x 5= 7 — 2p = 5 p = 1 Entao:

+ 6x4 • 9y2 + 4x2 • 27y3 + 1 • 1 81 = = x8 + 12x6y + 54x4y2 + 108x2y3 + 81

x) 5 (= —7x5 - 48 1-1+1 = (1)( — Log,cefinté—7.

2

(.17- - 3) 3 = (,„/T)3

a)

+ 3(jr) 2 (- +

+ 3,fi (-3) 2 + (-3)3 = =

) (2)( 3 — ).)8

- 63 + 27.1T = 34,[7- — 90 ). ( (8 p) (2x 3 ) 8- P(— 1

b) (1 + 121 4 = 1 4 + 4 • 1 3 ,/T +6. 1 2 0) 2 + + 4 • 1(,IT) 3 +

(„/)4

=

= 1 + 4,[2- + 12 + 8. + 4 = 17 + 12,1T 8

x )-p =

13 = ( 8) 28 - p x 24 - 3p( 1) - P x - P =

= (8) 2 8- pt

1) - P x 24 - 4p

( 8) 3s - P( — 2)P = (3 — 2) 8 = 1 8 = 1

▪ p=0

•

= /8 \ 28 _ px24 - 3p(

=

p

Dais

[(x - 2)2 + 4x — 3]3 = [x2 — 4x + 4 + 4x — 3] 3 = (x2 + 1) 3 = = (g) (x2)3 +

(x2 )2 1 + (2)x 2 • 1 2 + ( 3 ) 1 3 =

= 1x6 + 3x4 + 3x2 + 1 = x6 +. 3x4 + 3x2 + 1

24 — 4p=0p=. 6 Entao: Tp +1 =

6)2 8 - 6 To + = = ( 8

= 28 • 4 = 112

MATEMATICA

a

a) A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} b) B = {(1, 1)}

b) ( 1 + x 2 ) 6 Temos:

c) C = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}

Tp + 1 = (p)

1)6

-

P(X2)p = ( p 6 ) )C6 ±

px2p

d) E = 0 (evento impossivel)

= /6 )( _ 6+3p Dai: 3p- 6 = Entao: T„ = 1-2H

ItAt?

Sendo H: menino e M: menina, vem: a) A = {(M, H, H), (H, M, H), (H, H, M)} b) Podemos no ter nenhuma ou ter uma menina. Entao: B = {(H, H, H), (H, H, M), (H, M, H), (M, H, H))

3p=6 p=2

1

= (6 2)DTs = 15

c) Podemos ter duas ou tres meninas. Entao: C = {(H, M, M), (M, H, M), (M, M, H), (M, M, M)}

+ a)' Temos: Tp

+1

113

SERIE NOVO ENSINO MEDIO

Indicando cara por C e coroa por D, temos: moeda

= (p 7 )x^ - PaP = ( 7 )x 7- PaP

2R moeda

34 moeda

evento CCC

Mas: x7- P = X4 = p = 3 Entao: 13 +

1

CCD

C

CDC

C

DCC

= ( 73) x 4 a 3 = 280x4 35x4a 3 = 280 x 4

, a3 = 8

CD

2

DCD

ale (x + 1) 8 0 termo medio e T5 e, portanto, p = 4. Entao: 14 + 1

4) 3- 4 • 1 4 = (8

C

DDD

Entao: U = {(C, C, C), (C, C, D), (C, D, C), (C, D, D), (D, C, C), (D, C, D), (D, D, C), (D, D, D)}

70x 4

=

DDC

a) A = {(C, D, D), (D, C, D), (D, D, C)}

stt (2x - .) )6

b) Podemos ter uma cara, duas caras ou tres caras. Temos: Tp , = ( 6 p) (2x)° - P( - x) - P

= (6 p)

2 6- PX 6

Logo, A = {(D, D, C), (D, C, D), (C, D, D), (D, C, C), (C, D, C), (C, C, D), (C, C, C)).

P( - )PX - P =

c) A = {(C, C, D), (C, D, C), (D, C, C)} = ( 6) 26 -

P(-

1

)1.x 6

- 2P

d) Podemos ter duas caras, uma cara ou nenhuma cara. Logo, A = {(C, C, D), (C, D, C), (D, C, C), (C, D, D), (D, C, D), (D, D, C), (D, D, D)}.

Entao: x6-2 P = x2 2p = 4 p -=- 2 Logo: 6 12+1 = (2 )2 6-2 )( 2 = -r3 = 15 • 16x 2 = 240 x2

MOdulo 109 a) A = {1, 2} 1 2 P ( A) = -6- = 3-

Resposta: alternativa e - 3) 6 tern sete termos. Logo, o termo central é T. Entao: 6) 6 -3 ( 3) 3 -

T4 = ( 3 X

6! 3!3! x

b) n(U) = 8 e n(A) = 1

3 ( - 27) =

1 8 •

Entao, P(A) =

= -20 27x3 = -540x3

Resposta: alternativa a.

2

MOdulo 108 1

2

a) {5, 6} b){2, 3, 5} a) {3, 6, 9, 12, 15, 30} b){5, 10, 15, 20) c) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Evento certo: n(A) = n(U) P(A) = 1 Evento impossivel: A = e n(A) = 0 = P(A) = 0 P(A) = 1 - 0,3 = 0,7

P(A) + P(A) = 1 4

A bola retirada deve ser branca ou vermelha. Entao, n(A) = 18. Logo: P(A)

18 = 24

3 4

114

MANUAL DO PROFESSOR

Temos:

{

n(U) = 36 n(A) = 30 (seis pares tern elementos iguais: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6))

0 36

=

T

n

B) =

=4

n(U) = 36 A = 1(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)1= Soma 8 n(A) = 5 Soma 11 B = 1(5, 6), (6, 5)1 = n(B) = 2 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = 0

Entao: P(A) =

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A _ 5 1 1 3

6

Como o resultado "Wes coroas" nenhuma cara, temos n(A) = 7.

n5o apresenta

5 2 7 P(A U B) = 36 + 36 = 36

Entao, P(A) = 7 n(U) = 20 Par, A = {2, 4, 6, ..., 20} = n(A) = 10 Milltiplos de 5, B = {5, 10, 15, 20} n(B) = 4 A n B = {10, 20} n(A n B) = 2 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

7 a) Temos: A = {(5, 6), (6, 5)) n(A) = 2 Como n(U) = 36, temos: P(A) = 36

0 P(A U B) = 120 +

118

b) Temos: A = {(1, 2), (2, 1)} Logo:

5 =6

Entao: n(A) P= n(U)

-

7 36

Resposta: alternative c. n(U) = 20 + 10 + 5 + 15 = 50 n(A) = 15 n(B) = 20 n(A n B) = 5 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) 5 15 20 P(A U B) = 50 + 50 - 50

Temos:

I

20 = 12 20

n(U) = 10 A= nao sair o 7 n(A) = 9

Entao: P = n(A) _ 9 n(U) 10

20 2 P(A U B) = -50- = 5-

Resposta: alternativa d.

2 Logo P(A U B) = -5-.

Modulo

1

10

n(U) = 6 + 5 + 9 + 10 = 30 a) P(preta ou verde) = P(preta) + P(verde) = 11 30 = 30 = 30 6 + 5 6 _ 15 _ 1 30 - 2 30

30

30

30

2-

1 2

3

1

Logo:

5 _ 15 _ 1 30 - 30 - 2

d) P(amarela ou verde ou preta) = = P(amarela) + P(verde) + P(preta) = 30

1

P(A)

P(B) = 3 _ -

c) P(vermelha ou verde) = P(vermelha) + P(verde) = _ 10 30

Modulo 111 i Sendo A: cara e B: nklimero par, temos:

b) P(amarela ou preta) = P(amarela) + P(preta) = _ 9 30

3 5

A = {(1, 2), (2, 1), (5, 1), (1, 5), (2, 4), (4, 2), (3, 3)} = n(A) = 7 n(U) = 36

c) Excluimos os pares (1, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (2, 6) e (6, 2). Entao, n(A) = 30. Logo: 30 36

2

Logo P(A U B) = 3

n(A) = 2

1 A‘ 2 PC-v = 36 = 18

P(A) =

4 20 -

OM P(R,

1 2

1 4

n R2 n R3) = P(R 1 ) • P(R 2) • P(R 3 ) =

_ 4 52

3 51

2 _ 50

1 5 525

MATEMATICA * SERIE

3

Temos:

{

MOdulo 112

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = sair o 6 = {6} n(A) = 1

a)

;Llsop"44;400104,

Unidades vendidas

1

Logo, P(A) =

115

Novo ENSINO MEDIO

24

Como se deseja o 6 nos tres dados, temos: 1 1 1 _ 1 _ 1 P= 6 6 63 216 6

18 12 6 Mes

4

Temos quatro bolas verdes e seis bolas amarelas. Logo, n(U) = 10.

F

b)

a) P = P(V, fl V2 ) = P(V1) P(V2) = _ 4 3 _ 2 9 — 10 15 b) P = P(A, fl A2)= P(A1 ) • P(A2 ) = _ 6 5 _1 9 — 3 10

A

M

Atendimento 20 16 12 8 Dias da semana

4

5

a) Temos:

5 pares verdes = 10 meias } 3 pares azuis = 6 meias 10 Pi (1 4 ser verde) = 16 P2(24 ser verde) =

p

n(U) = 16

C)

Vendas 80 70 60

9 15

50 40

Logo: P=

S

S

,Er p

•

2

-

3 •

X8

A,.

30

3 8

Anos 89

90

91

92

94

93

b) P(mesma cor) = P(verdes ou azuis) =

=

10 16

9 15

3 8

1 8

6 16

5 _ 15 —

1

2

Modulo 113 a)

c) P = P(verde, azul) + P(azul, verde) = __10 16

6 15

1 4

6 16

1 4

10 15

__

40 30 20 -

1 2

10 Produtos

6

Devemos ter 3 homens ou 3 mulheres. Entao: P = P(H) • P(H) • P(H) + P(M) • P(M) • P(M) = 1 2 1 8

1

1 2 +

1 2

1

2 1

=

1 2

1 2

1 4

Temos 8 meninos e 4 meninas n(U) = 12 Sendo M "ser menino", temos:

A

B

C

D

360° — 100% A — 30%

A=

30 • 360° 100

— 108°

360° — 100% B — 20%

B—

20 • 360° 100

— 72°

C—

40 • 360° 100

— 144°

D—

10 • 360° 100

— 36°

360° — 100%

C — 40%

P(M) = P(M 1 ) • P(M2) • P(M3) = =

8 12

7 11

6 10

14 55

360° — 100% D — 10%

116

MANUAL DO PROFESSOR

b)

a)

Freqiiencia

50 40 30 20 10

Produtos Milho

Trigo

360° — 100% milho — 20%

Arroz

Classe

Batata

20 • 360°

milho =

– 72°

100

b) 10

360° — 100% trigo — 25% 360° — 100% arroz — 45% 360° — 100% batata — 10% c)

. 25 • 360° tngo = 100

– 90°

8 6

arroz =

45 • 360°

batata =

– 162°

100

4 2

10 • 360° 100

– 36°

100 120 140 160 180 200 220 240

M a) Temos:

Area (em 1 000 000 m2)

A 20

15

Classe

Frequencia

Frequencia acumulada

0 i---- 10 101-- 20 201— 30

3 8 11 7 3

3 11 22 29 32

301— 40 401--- 50

10

Frecitiencia acumulada 40 Fazendas 30 a)

20 10

Classe 10

30

20

40

50

b) Temos: Classe b)

1001— 120 1201-140 1401--- 160 1601— 180 180 I— 200

i Frequenc a

Frequencia acumulada

3 5 10 12

3 8 18 30 38 45 50

8 7 5

200 I— 220 2201— 240

Freq0encia acumulada

Modulo 114 e 2 Considerando retangulos cuja largura representa a amplitude de classe e a altura corresponde a fre-

50 40 30

quencia da respectiva classe, temos o histograma.

20

Unindo os pontos cuja abscissa é o ponto medio do

10

intervalo e cuja ordenada é a frequencia do intervalo, obtemos o poligono de frequencias.

100

140

180

220240

MATEMATICA

MOdulo 115

■

SERIE NOVO ENSINO MEDIO

MOdulo 116

rPT,

TVL.k.d.

a) Amplitude do rol: diferenca entre o major e o menor valor Logo, 114 – 15 = 99.

i

• Mediana: media aritmetica dos dois valores intermediarios da seqiiencia: 15, 16, 23, 26, 43, 49, 58, 68, 71, 114

10

— 46

• Moda: nao existe, pois todos os valores ocorrem uma imica vez.

= 48,3

fli •

MB Media aritmetica:

Moda: valor que aparece com major freqiiencia: Mo = 40.

36 1 + 37 2 + 38 • 5 + 39 • 9 + 40 • 11 + 41 8 42 4 + 43 1

• Mediana: como sao 41 elementos, a mediana e o 212

41

elemento, em ordem crescente.

= 39,76 3

92 2

2

23 + 43 + 16 + 26 + 49 + 15 + 58 + 68 + 71 +114

483 10

Ma _

43 + 49

"

b) Media aritmetica: M. =

117

Elemento

Construlmos a tabela:

Frequencia

Notas

Ponto medio

(f)

01 - 2

fi rm

(mi)

2

1

2

2 )-- 4

5

3

15

41--6

15

5

75

61--8

12

7

84

6

9

54

81— 10 n

n

1=1 f; =

i=

Frequencia

1

2

5

9

11

Frequencia acumulada

1

3

8

17

28

Entao, o 21V elemento é o 40. Logo, Md = 40.

3

• Moda: Temos: {t o = 4

1 fi m i = 230

40

36 37 38 39 40

ho = 2

1

A l = 15 – 5 = 10 Media aritmetica:

A2

=

15 – 12 = 3

Logo: Ma =

n

rn• "

230 40

i I= f 4

Alho M

o – fo +

– 5,75

10 2 _ 10+3

– 4+

+ A2

72 52 + 20 20 – – 554 – 13 ' 13 13

=4+

Temos: • Mediana: Salarios

fi

m;

fi m i

100 i— 150

13

125

1 625

ments.

150 1-- 200

10

175

1 750

Mas:

2001— 250

8

225

1 800

2501— 300

5

275

1 375

3001— 350

3

325

975

3501-- 400

2

375

750

= 41

= 8 275

A classe mediana é a classe que contem o 202 ele-

-ed = limite inferior da classe mediana t d = 4 F an, = soma das frequencias das classes anteriores a classe mediana F=t = 2 + 5 = 7 hd = 2 h d = amplitude da classe mediana fd = frequencia da classe mediana f o = 15 {

Logo:

Entao:

Ma _

I frn, =

fi =1

8 275 – 201,83 41

Md =

ed +

60 + 26 15

(

Fart

2

hd – 4 + fa

– 136 15

= 5,73 '

20 7 15

2 –

118

MANUAL DO PROFESSOR

MOdulo 117 s, No paralelogramo destacamos o triangulo ABC:

2a + 2b = 24 ab = 32

t

B 12 cm

a + b = 12= a = 12 — b ab=32

(12 — b)b = 32 12b — b 2 = 32 b2 — 12b + 32 = 0 b= 8 oub= 4 Logo, a = 4 ou a = 8: Portanto, as dimensoes do retangulo sao 4 cm por 8 cm.

Entao: sen 30° =

h

h 12

1 • 12 = 6 cm 2

Logo: A = 15 • 6 = 90 CM 2 2m 2

Temos o losango: 6m

5m

Sendo A a area assinalada, temos A = A i + A11. Mas: D = 48 cm

(,41 = 2 • 4

Como o perimetro e 120 cm, vem: 4e = 120 = e = 30 cm No triangulo ABC, temos: 302 = 242 + (4)2

(4)2

= 5•6 Logo:

= 900 — 576 = 324

A = 2 • 4 + 5 • 6 = 38 m 2 b) Sendo p o semiperimetro, temos:

7 + 6 + 11

= 18= d = 36 cm

2

P— Logo: A=

Dd

48 • 36

2

2

— 12

Mas: — 864 cm 2

A = ✓p(p — a)(p — b)(p — c) = = V12(12 — 11)(12 — 7)(12 — 6)

No trapezia temos:

= V12 • 1 • 5. 6 = cm 2

10 cm c)

to cm

8 cm

4

102 = 8 2 + h 2 h = 6 cm Logo: A = (18 + 10)6 — 84 cm 2

1 A = — ab • sen C =

2

4

—

4.12—

Sendo a e b as dimensoes do reta'ngulo, temos:

r

,/

2

2

VT

=2

a

Mcidulo 118

L-

J

b

P a

Temos: • C = 2aR = 27r • 5 = 10:t • A = nR2 = n • 5 2 = 257t

•

4. sen 45 ° _ 2

119

MATEMATICA $R1 SERIE NOVO ENSINO MEDIO

NI a)

a)

30° =

n Como a = 30°, entao a = — rad. 6

A = R 2 (a - sen a) = R 2 2

Logo:

A-

2a

R2 • a -6-R

2

2

71"

(7r - 3)R 2

1 2)

R 2 ( IT 2l6

nR 2 12

sen

6 12

b)

b)

120° = 3a 4- rad. Como a = 135°, entao a = —

T - sen 4-) = A = • R2 ( 21T

Logo:

A=

2/r 3

R 2a. 2

3a 4

R2. 2

_ R 2 (• 3aR 2

)_ 2 )

_

2l 3

(4a - 3)R 2 12

8

Temos: 3

Temos:

• Al = aR 2 = •r(-214 R2a 2

Entao: 2A2 = 2 • 225n = 450n cm 2 Logo, 2A2 < AT . Portanto, a primeira familia come mais pizza.

_ e R Entao: A= Re 2

= 462,25n cm2

is A2 = n R2 = . 152 = 225n cm 2

15n =

6e 2

= 5n

111111 a)

4

Temos: • AI = 4 • 6 = 24

• All = 3 • 4 = 12 AOABCD = 16

= 4 cm

0 raio do circulo é A. Entao: e2 = 2e 2 = 2 . 42 = 32 AC2 = R2 = e 2

• Aw=

3• 4

— 6

• At, = n • 2 2 = 4n Logo:

Logo, a area do circulo é:

A=A +

A = nR2 = 32n cm 2

= 42 - 4rc = 2(21 - 2n)

+ A111 -

= 24 + 12 + 6 - 4n=

120

MANUAL DO PROFESSOR

b) 2P' C = 62,8 cm 62,8 =2nr r —

62,8

_

2 • 3,14

10cm

a 2

'

A area assinalada é dada pela diferenca entre a area do quadrado de lado a e a area do circulo de raio a 2 Logo: A = a 2 — lt()2 = a 2 — 2

Sendo d a diagonal da seccao quadrangular, vem: d = 2r = 20 cm Mas:

ira 2

4

4a 2 — Tra 2 _ a 2 (4 4 4

d=eJ 20=e,jT _

4 L(4 — n)

20

- 20J — 2

= 10 ,s/T cm a)

c)

Podemos considerar a area colorida como a diferenca entre as areas dos circulos de raios 2 e 1, res-

Temos:

pectivamente.

= 6c1=f,iT = 6,/f

Entao:

Logo:

A = • 22 — n • 1 2

=

—

= 3n

R

_ 3,[2—

_ d _ 2

2

Entao:

MOdulo 119

• A® = nR2

= ( 3121 2 =

n • 9 • 2 = 18n

• Ao = e2 = 62 = 36 Portanto: A = A® — AD b)

=

18n — 36 = 18(n — 2) cm 2

B

C

A

D

a) r = 4 cm _ fdT 2 b) a6 —

— 2„,/..i cm Temos:

c) A —

2

_ 3. 42 ,,/T — 24 VT cm 2 2

d) Area do circulo circunscrito de 4 cm de raio:

A = n • 42 = 16n cm2

• AD = e2 = 62 = 36 • A® = nR2

=

n• 32 = 9n

Entao: A = A0 — A® = 36 — 9n = 9(4 — n) cm2

MATEMATICA

■

SERIE

Novo

121

ENSINO MEDIO

1111111

4 e3 =

Como R = 3 cm, logo

e3 =

3,J cm.

So uma reta a reversa a t. €3 =

RJ

MAW° 122

€3 = 213- cm, entao R = 2 cm A = TrR2 A =

• 22 = A = 43T a) Falsa

Portanto a area do circulo a 425 cm 2

6 Como A=

A-

3e

-^ /T e e = 4 cm, entao: 2

3 • 42 .IT 2

- 24,5 cm 2

Resposta: alternativa b. rnet= Perct

MOdulo 120 b) Fa lsa

b) Ponto é nocao primitiva na Geometria e, portanto, nao se define.

/

e) Quatro pontos quaisquer poderao estar todos alinhados e, portanto, nao determinarao urn Cinico piano. 2 Resposta: altemativa c.

ria,3sCaetCatalquer/serit

Modulo 121 1

a) F

2

a)

b) V

c) F

d) V

111115 Nao. Se duas retas distintas forem ambas perpendiculares a um piano a, etas sera° paralelas entre si, pois sera° ortogonais as mesmas retas concorrentes. Logo, nao podem ser reversas.

3

Infinitas. Basta considerarmos um piano paralelo ao piano dado. Entao, todas as suas retas serao paralelas ao piano dado e, como sao infinitas, temos infinitas retas paralelas a urn piano.

Sao quatro retas reversas. b) 4

Infinitas. Basta considerarmos urn piano 13 perpendicular ao piano dado (seja a esse piano). Pela condicao necessaria e suficiente de perpendicularismo entre pianos, existe em 13 uma reta t perpendicular a a. Por outro lado, existern em (3 infinitas retas paralelas a t e todas resultam perpendiculares a a. Logo, existem infinitas retas per-

Sao tres retas paralelas.

pendiculares a a.

122

MANUAL DO PROFESSOR

MOdulo 123

ANNIMINION

p,

p rep 11 a = s:

i a) Falsa, pois 3

MOdulo 125 Temos: {F = 8

A = 18 Entao: V—A+F= 2 V — 18 +8 =2 V=12 Logo, o poliedro tern 12 vertices. Temos: {V = 12 12 • 5 A— 2

b) Falsa, pois, da figura, s C esiasrla= 0:

— 30

Entao: V—A+F= 2 12 —30 +F= 2 F=20 Logo, o poliedro tem 30 arestas e 20 faces.

A—

5. 4 + 6 • 5 2

— 25

Logo, o poliedro tern 25 arestas. c) Verdadeira, se a //

p,

entao V r C a r / p: 4

IF = 2 + 6 = 8 2•6+6•3 A— 2

s

4

— 15

Entao: V—A+F= 2 15 + 8 = 2 Logo, o poliedro tern 9 vertices.

Existe urn unico piano que passa por t que é perpendicular a a. Infinitos. Seja a o piano considerado e seja t uma das infinitas retas perpendicuiares a a. Entao, existem infinitos pianos que contern a reta t e, por conte-la, todos satisfarao a condicao necessaria e suficiente de perpendicularismo entre pianos, ou seja, serao perpendiculares a a. Logo, existem infinitos pianos perpendiculares a a.

Temos:

9

5 Temos: F=3+1+2=6 3. 3+ 1 • 5 + 2 • 6 A— 2

— 13

Entao: V—A+F=2V-13+6-2V=9

Considerando a base como urn dos pianos temos quatro faces perpendicuiares a base.

Logo, o poliedro tern 9 vertices. Temos:

Modulo 124

{V = 20

I) Falsa A distancia entre as projecoes ortogonais de dois pontos e sempre menor ou igual a distancia entre dois pontos.

A—

— 30

V—A+F= 2 20 —30 +F= 2 F=-12 0 poliedro regular que tern 20 vertices e 30 arestas e o dodecaedro regular.

II) Verdadeira HI) Falsa A projecao pode ser urn retangulo. Resposta: alternativa c.

20 • 3 2

7

Temos:

2

Uma esfera.

{F = 3 + 4 + 5 = 12 3. 3+ 4. 4 + 5 • 5 — 25 A= 2

3

Uma figura geornetrica contida em urn piano tern como projecao ortogonal, em urn piano paralelo, a propria figura geometrica. Resposta: alternativa d.

Logo: 25+12=2= V=15 V — A + F= 2 Resposta: alternativa c.

MATEMATICA

a

Temos: IF = 3 + 2 + 4 = 9 A-

123

SERIE NOVO ENSINO MEDIO

Temos:

3 . 4+ 2 . 3 + 4 5

- 19

2

Ent5o: V-A+F= 2 19+9=2= V= 12 Logo, esse poliedro tern 12 vertices. 9

A=V+6 Mas: V-A+F= 2 )./'-)cr- 6 +F=2 F= 8 Logo, o poliedro tern 8 faces.

a

a) AL = 6ah = 6 10 • 20 = 1 200 cm 2

b)AB =

Modulo 126

3a 2 ,5 _ 3.10 2 ,f32

..,611.1111111=111111111WO

— 150.5 cm 2

2

C) AT = AL + 2AB = 1200 + 2 • 150,5 =

Temos: • AL = 3 • 6 • 10 = 180 cm 2

• A8 - ApABC =

h

= 300(4 + -5) cm 2

6h 2

d) V = ABh = 150,5 • 20 = 3 0005 cm 3

WM Como o LABC a retangulo em B, entao: (i) 2 9 • 3 + 4)

x2 = (3,5) 2 +

3x2 =4 27= x2 =36 x= 6

10

D 10

6

Calculo de h: 0 AADC e retangulo ern D: A 2

2

Logo: A L = 6 • 6 • 10 = 360 cm 2

1111 Temos: Ent.5o: 62 = 3 2 + h 2 h2 = 36 - 9 = 27 h = 3,5

Portanto:

3R 2 ,5 _ 3. 225 2

2

—

65

• AF = Rh = 2,5 AB = 9,5 cm 2

6 • 3 '5 - 9 2

ApABC

• Ag

Logo: Area total =

= 18(10 +

Logo:

AT = 2AB + 6AF = 125 + 12,5 = 24,5

AT = AL + 2A8 = 180 + 2 • 95 = cm"

Volume = V = AB h = 9,5 • 10 = 90,5 cm 3

Resposta: alternative b. Temos: • AL = 6AF = bah = 6a • 6 = 36a

• AB —

3a 22,5

Temos:

AB =

a2.,5 4

255 =

2 ,r3-a 4

Mas: a2 = 100 a = 10

Mas: h = 3a = 3 • 10 = 30 Logo:

AT = 2AB + AL = 2 • 255 + 3 • 10 - 30 = = 505 + 900 = 50(.5 + 18) cm 2

A^

= AB= 36a=

3a 2,1T 2

te a=

24

=8,5

Logo: V = ABh -

3-

2

= 1 728/3- cm3

6 - 9 (813-)213- =

124

7

MANUAL DO PROFESSOR

Temos: A

Dd 2

10.7

• AL = 4€h Mas:

— 35

2

d = 2r

Logo: V = Ash = 35 • 6= 210 m 3 = 210 000 L

Elf = or .€ = 6

d = ,srf

Entao: = 4 • 6 • 10 = 240 cm 2

A,

We 0 volume de um prisma é dado por V = A sh. A area da base é a area do triangulo e pode ser calculada por:

• A, = €2 = 62 = 36 cm 2 Logo: AT = AL + 2A, = 240 + 2 • 36 = 312 cm 2

AB = 4/p(p — a)(p — b)(p — c) = = ,i6(6 — 3)(6 — 4)(6 — 5) = „/6 • 3. 2. 1 = = „/36 = 6 cm 2 Temos, ainda: AL =h(3+4+5)= 72= 12h= h = 6 cm Logo: V = Ash = 6 6 = 36 cm 3

15m

A piscina tem a forma de urn paralelepipedo retangulo. Logo, seu volume de agua é: V = abc = 10 . 15 • 1,5 = 225 m 3 = 225000 L

Modulo 127

Se, a cada 4500 L, adicionarmos urn pacote do produto quimico, entao o niimero de pacotes é:

Temos: a=2 b=3 c=4

n—

Entao: V = abc = 2 • 3 • 4 = 24 Logo: d p = va 2 b2 c2 = 4/22 + 32

225 000 4 500

— 50

Resposta: alternativa b.

MOdulo 128 4.

42 = :I

a)

= ,J4 + 9 + 16 = alt Temos:

a

a h=3

Temos:

j

d2 a 2 + a2 = 2a 2 d = a A/T = 5,ff cm b)

AT = 2a 2 + 4ah 80 = 2a 2 + 4a • 3= 2a 2 + 12a — 80 = 0 a 2 + 6a — 40 = 0 a = 4 ou a = —10 (nao convem) Logo, a = 4 m. Resposta: alternativa c. 3

Temos:

Temos: D2 = a2 + d2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 D = a ,s/T = 5,5 cm C)

AF = a 2 = 52 = 25 cm 2

d) AT H

°;AT =

= 6AF =

6a 2 = 6 • 25 = 150 cm 2

150= 6a 2 =150 a 2 =25 a= 5m

MATEMATICA

■

125

StRIE Novo ENSINO MtD10

Temos r=lm e h= 0,70 m. Entao: V = nr2h n • 1 2 • 0,70 = 0,7n 2,198 m 3 2198 L

3

Resposta: alternativa b. 0 volume de vinho no tonel e

1 ltr2h 2—

Mas: PC 2 = AC 2 + AP2 = 22 + 52 = 29 PC = .,/29 Do AADP, vem:

2

3r2 h - 40 = 2 3r 2 • 0,8h 1

1

1

T nr2 h - T nr2 • 0,8h = 40= T nr2 h(1 - 0,8) =

PD 2 = AD 2 + AP 2 = (2,M 2 + 5 2 = 8 + 25 1 ,= 40 — Irr 2 h =

PD = , 33

2

40 02

nr2h = 80

V = 400 L

Resposta: alternative c.

11111 Temos: AT= 54= 6a2 =54= a 2 =9= a=3 Logo: V = A' = 3' = 27 cm'

Vi Temos r = 1,6 m e V = 20 m3 . Entao: V = 3r2 h = 20 = 3(1,6)2h = h =

5

0,2

Temos:

20 = 2,48 m 2,567r

Resposta: alternativa e.

D= ,s/T a r3 = a = 1 3 1 1 2 = 16n m 8 a) V= — nr2 h = — ir • 2 ' 8 2

Logo: V = a' = 1 3 = 1 m3 Temos: V, = 3a • 3a • 3a - 2a • a • 3a = 27a 3 - 6a 3 = 21a 3 alternativa b. Respota:

MOdulo 129 r2 = 16 r=4 Entao: AL = 2n rh = 2n • 4 • 10 = 80n cm 2 AB = nr2 = 16n =nr2

• V = n r2 h = 16n • 10 = 160n cm 3 Se o cilindro 6 equilatero, temos h = 2r. Logo: • AL = 4nr2 = 4n 202 = 1600n m2

• AT 3

=

6nr2 = 6n 202 = 2400n m 2

Para o cilindro equilatero, h = 2r. Entao: V = AB h 54n = nr2 • 2r 54 = 2r-3 3 = 27 r=3 r Dai, h = 6. Logo: AL = 2nrh = 2n • 3 • 6 = 36n cm 2

4

Temos: AL = 40n 2nrh = 40n 2nr • 12 = 403 2r =

7r 3 + 6 ,s/T 2

MOdulo 130

• Temos:

2

1 )2 , 3 • 2 2 .1 2 b) V = V, + Vp = n( 7 +

40 12

an Para o cone reto, temos: R2 = 64 R=8 g2 = h 2 + R2 102 = 62 +R2 Logo: AB= nR2 = n• 82 = 643 cm 2 AL = nRg = • 8 • 10 = 80n cm 2 Para o cone reto, temos: g2 = h 2 + R2 = 12 2 + 52 = 144 + 25 = 169 g = 13 Logo: 5 • 13 = 65n cm2 AL = nRg = 1 1 V = — nR 2 h = — 7r • 5 2 • 12 = 1003 cm' 3 3

Temos: AT= nR(g + R) 90n = nR(13 + R) R2 + 13R- 90=0 90=13R+R2 R = 5 ou R = -18 (nao convem) Logo, R = 5 cm. 1-4x< Temos: g2 = h2 + R2 152 = 122 + R2 R2 = 225 - 144 = 81 R = 9 Logo: AT= nR(g + R) =

Logo: = 2 rh =

40

12 = 40 cm 2

12

7t •

9(15 + 9) = 9n • 24 = 2163 cm 2

1 V = — 3R2 h = -1-7r • 81 • 12 = 324n cm 3 3 3

-

126

MANUAL DO PROFESSOR

gm Temos: g2 = h2 + R2 62 =h 2 +42 = h2 = 20= h= ,j27 21

Entao: V = I A B h = lir • 4 2 .120 3 3

3 a=

•h=

AL = nRg 24n = n • 4g 4g = 24 g = 6 Mas:

= 16 ,--T n420 cm3

• 6,5 =

l; = h2 + ( 1) 2 = (4,/T) 2 + (*) 2 —

•a

= 48 + 27 = 75 a p = 5,„/T Entao:

Resposta: alternativa a. AT = AB ± 4AF = a 2 + 4

MOdulo 131 Ammommassamarm Temos:

2

= a 2 + 2aa p =

= (6,5) 2 +2.65 • 55 = 108 + 180 = = 288 cm2 Resposta: alternativa c. Temos:

a ,./T

• r= 5/T a • AL = 4 • a P I — a —I

a

b) AF =

a 2a = 4 P—

9

- 18 cm 2

2

=

P

260

20

= 13 132 = h 2 + 52 h2 = 144 s h= 12

a l; = h 2 + (1) 2

c) No AVHM, vem:

a=1

260 = 2 • 10a p

2

a) AB = a 2 = 42 = 16 cm 2

- 5 /

2

Logo:

a 2 = h2 + (9 2 = 92 = h2 22 = h2 = 77 2

ABH =

=

a 2 h = -31 • 102 • 12 = 400 cm 3

h = 77 cm Temos:

d) A L = 4A, = 4 • 18 = 72 cm 2 1 1 16 e) V = — A B h = — • 161-7T = — ,I77- cm 3 3 3 3

111111 Temos: A

M

1— a --I a

.r_

a,/2

_

• ar, = h 2 + ( 1)

a,,(T 2

2 2=

Mas, VM = 10 e HM = 6. • AVHM: VM 2 = HM 2 + VH 2

a = 12

102 = 62 + h 2 h = 8

82 + 62 = 100

a p r= 10

• ABHM: HB 2 = HM 2 + MB2

2 a2 = 62 + ( a )

Logo: AL _ 4

2

dd P = 2

4 • 12. 10 _ 240 cm 2

Temos:

•

• d=a,f212- = 6,5 = 3.1-

= a„1-2-

= 36

4a 2 - a 2 = 144= 3a 2 = 144 a 2 = 48 Entao:

2

6 16a=

a2

a2 - 4

_

V=3 1 AB h - 1 3 -

1 3

•

3 • 48,5 2

3a 2 ,5 2

h-

8 - 192.5 cm 3

127

MATEMATICA S SERIE Novo ENSINO MEDIO

6

ne a) Temos:

Temos V = —A h

V: volume da figura V1: volume da semi-esfera de raio r = 2 V2: volume do cilindro de raio R = 1

3r2 ,5 Mas, AB = e h = 3r. 2

{

Entao: 1 3

V-

7

Entao:

3r2 f3-

•

2

r3

• 3r -

1 4 3 3 • V, = -2- • 7 nr - 2 • 2 = 2

2

= 16n 3

• V2 = ICR2 h = a • 1 2 • 4 = 4n

Temos:

5 + 8 + 11

p=

•8

2

Logo:

- 12 (semiperimetro)

16n

V = + V2

Logo: AB = ,jp(p - a)(p - b)(p - c) =

3

+ 4n -

16n + 12n

28n

3

3

cm3

b) Temos:

= V12(12 - 5)(12 - 8)(12 - 11)

V: volume da figura V1: volume da semi-esfera de raio r = 4 V2: volume do prisma

= ,j12 • 7 • 4. 1 = 4„,ar {

Entao: 1 V= — 3

Entao:

1 Bh = • 4,121 • 15 = 20,/21 m 3

1 4 3 2 • Vi = -2•••• • yr =

Temos:

• 43 -

128n 3

• V2 = 12 • 10 • 3 = 360

volume da piramide

Logo:

1 4 — (2a) 2 h, = —a 2 h i =3 3

V = + V2

128n

V2: volume do prisma V2 = a 2 h 2

=

i

4 T h1 = h2

=

+ 360 =

128n + 1 080

401,92 + 1 080

3

3

Mas: = V2 4

3

= 493,97 m 3

Temos:

Resposta: alternativa a.

MOdulo 132.. OC = d = 3 Temos:

OA = r

A= 4n R2 = 324n = 4n R 2 R2 =81= R = 9

AC = R

Logo:

r = raio do circulo

4 L V= — TrR 3 = -ITE 3

R = raio da esfera

= 972a cm 3

Entao: A, = nr2 16n = nr2 r2 = 16 r = 4

Temos: • V, =

• V2 =

3

3

Mas: AC2 = 0,42 + oc2. R2 = r2 d2 = 42 ± 32 =

• 3 3 = 36a

= 25 R = 5 cm • 63 = 288n

Temos: AL = 4nr2

Logo: 4 324R3 =243 V = + V2 — TrR 3 =324n R = 3 3, sf-9- c m

36n = 4nr2

r2 = 9

r = 3 (cilindro)

Logo, o volume da esfera inscrita tern raio 3. '

Entao: 4 4 V= — nr 3 = — n • 3 3 = 36n cm 3 3 3

128

MANUAL DO PROFESSOR

MOdulo 133 d AB = NA5 — 5) 2

Marcando-se os vertices no piano cartesiano, temos:

+ (6

— 2) 2 = 0+16 =

= 16 = 4

y

d Bc = ,J(9 — 5) 2 + (6 — 6) 2

= ,j16

+0=

= AfiT = 4 d Ac = ,./(9 — 5) 2 + (6 — 2) 2

= ,J16

+ 16 =

= 32 = Como dAB = dBc , o triangulo é isosceles. 3 4

3

Como P e equidistante de A e B, entao: dAp = dBp

2

3

A pertence ao 22 quadrante se: • m—3 2 Logo, m < 3 e n > 2 corn m, n E IR.

— 0) 2

— 2) 2

=

+ (a

+ (a

— 0) 2

— 2) 2

=

4 + (a — 2)2

=

a2

4a+ 4 =p2f 4a =8 a=2 Temos: JP e equidistante de A e B P E Ox P(x, 0)

Temos: a—1>0a> 1 13 — a > 0 —a > —3 a < 3

Entao:

Assim:

dAP

3) 2

= dBP — 9) 2

=

= (x — 9) 2

+ (0

+

+ (0

— 1) 2

— 1) 2

=

(x — 3)2

+

1 2 0,

■ SERIE Novo

dA p = 10 + 3) 2 + (y — 6) 2 = 10 ^/36 + (y — 6) 2 = 10 36 + (y — 6)2 =

< 0 para y < O.

Logo, P E Q ou P

E 42

Q.

= 100 ou y = 14

Resposta: alternativa d.

Temos:

dAc = dBc

6 =±8 y= —2

,./(x + 1) 2 + (2 + 1)2 =

= (x — 5)2 + 81

= ,j29

+ 2x + 1 + 9 =

d 8c = ( - 11 — 6) 2 + (-3 + 2) 2 =

= )tz' — 10x + 25 + 81 12x=96= x = 8

= ,./289 + 1 = „i2c - ;;) (-3 _ 3)2 = 2 + d AC = ( - 11 — 4)

Resposta: alternativa a.

MOdulo 135

= ,j225 + 36 = Mas:

Temos:

(.,W) 2 =

= (dAc) 2 + (dAB) 2 = (.12611 ) 2 +

)2

AC

1u

CB

1u

• ro

AD DB

3u —1u

—

• rE

AE EB

4u —2u

—2

• rc

290 = 261 + 29

Logo, o triangulo ABC é retangulo. Resposta: alternativa e. Temos: dAB = .1( - 2

—

_ AG _ —2u _ _ 1

,s

— GB — 4u

d Bc = ,j(4 + 2) 2 + (— 4 — 2) 2 =,f36+j7

xc — xA _ 4 — 1 —3 AC AVAN a) rc CB — x 8 — xc 5—4

d Ac = V(4 — 3) 2 + (-4 — 1)2 =

3

_ AF _ —1u _ 1 3 FB 3u

3) 2 + (2 — 1) 2 =

= /E 1 =

../Y)

xc — x 8 _ 4 — 5 _ 1 BC 3 1—4 CA — xA — xc

rc

Mas: dAB = dAc (c180 2 (dAB) 2 + (dAc) 2

A

Logo, o triangulo e isosceles e nao-retangulo. Resposta: alternativa c.

Temos: rc

10

6)2 = 64

= ,j(x — 5)2 + (2 + 7)2 = (x + 1)2 + 9 =

d AB = ,./(6 — 4) 2 + (-2 — 3) 2 = = 4

129

ENSINO MEDIO

Temos:

1 1u AC = CB = 2u = 7

Mas: d AB = .sic,-. 4 =

A— = 2

rc

dAc = .s/(x — 5) 2 + (y — 1) 2 {

= (y — 3) 2 4y= 8

(y

YA

YB

YC

xc — xA _ 1 2 x 8 — xc

,i(x — 5) 2 + (y — 1) 2 =

= ,./(x - 5)2 -4- (y - 3)2

YC

XB XC

Entao:

8c = ../(x — 5) 2 + (y — 3) 2 cl Mas:

dAc = cl8c

Xc XA

xc — 2_ 1 2 8 — xc

2xc — 4 = 8 — xc 3xc = 12 xc = 4 yc + 1 _ 1 — Yc YA _ 1 2 2 — yc 2 Ys — Ye 2yc + 2 = 2 — y c 3yc = 0 yc = 0

1 )2=

— 2y + 1 =2/2 — 6y + 9 2

Ainda: dAB = dAc

2 = AI(x — 5) 2 + (y — 1) 2

4 = (x — 5)2 + (2 — 1) 2 4 = x2 — 10x + 25 + 1 10x+ 22 =0x= 5 ± „IT Logo, C(5 + ,JT, 2) ou C(5 — Resposta: alternativa a.

2).

Dal, C(4, 0). Analogamente: r = AD = 2u = 2 D DB lu Mas: XD — XA — YD YA r— D

X8 — xD

YB — YD

130

MANUAL DO

PROFESSOR

111111 M e ponto medio de BC. Entao:

Entao: xo — xA = 2

XD

xB — XD

8 XD

2

{3

—2

- 2 = 16 — 2x D 3x D

XD

= 18

YD YD +

YB

_ 2

YD + 1

2—

1 = 4 — 2y0 3y D = 3

YD =

1

x: A:

XA + XB

6+1

2

2

YA + YB

4 +2

2

2

AP = 2 PB 3

7 2

3

3=

YA + 311 + 4

= 9

R YA

+8

Logo, A(3, 1).

NM a) G 1 a baricentro do AABC. Entao: 1+4+4

3xp —

3

= 2 — 2xp

18

M(

y,

=

4+6 _ 5

2

2

I3 ('

Mas

- 4

2

2' 4)

N(4, 4)

1 {

3+5

Ye—

G2

YB + Yo

6—

2

e baricentro do AMNP. Entao: +4+ 7

2

3

2

-

YG

4 + xo 5 = 2

4)

2

{XG -

Entao, B(4, 5).

2

—3

Logo, G 1 (4, 3).

yp + 3 _ 2 7 Yp 3 3 Ye — YP 3y p + 9 = 14 — 2yp 5yp = 5 Logo, P(4, 1).

XB + XD

—4

b) Temos:

Yp — YA _ 2

YA Yc _

3

3 YG

2 3

xA + x c = 2

4+5+3

XG =

= 20 x, = 4 Analogamente, temos:

Yc

xA + 6 = 9

yA=1 —3

x B — xp

1 — xp

XD

+4

3=

xp — xA _ 2

xp 6

B

yc = 4

3

7 Logo Mr-2-, 3).

5

8

Mas G é baricentro. Entao:

A(6, 4) e B(1, 2)

Ym

yc + 4 =

=4

Logo, C(4, 4).

YD

Dal, D(6, 1).

XM —

)(0 + 2 = 6

2 4 + c 2y

4=

xD = 6 YD YA = 2

2 +x c

12 — —4 3

+4+ 5 —

3

xD = 6

9 — 3 3

Logo, G 2(4, 3).

5 + Yo

YD

2

= 7

Logo, D(6, 7).

Note que o baricentro e o mesmo para os dois triangulos. Temos:

M e ponto medio de AB, entao M(3, 2). Logo: dAM = ,s/(3 — 5) 2

+ (2

— 1) 2

=„

zF

1 = ,s/T

A(0, 0) B(x B , 0) {

C(0, yc)

Entho:

Mcidulo 136

4111111MMI11111111111111111111111 XG

Temos: XG =

YG

xA + x B + x c _ 2 + 5 + 2 _ 9 _ 3

3 YA ± YB + YC

Logo, G(3, 3).

3

_ 2+2+5 3

3 3 9 — — 3 3

YG

xA + x B + x c 3 xB = 6 YA + YB

Yc

3 yc = 6

Logo, B(6, 0) e C(0, 6).

2

0 + xB + 0 3

2 = 0 + 0 + yc

3

MATEMATICA

a SERIE Novo ENSINO MEDIO

131

Mtn M é ponto medio de A. Entao: + xB {4 = 1 2

• D2

X6 = 7

1 2— +yB 2

Ye = 3

Logo, C(3, 5). Dal:

Logo: x+ 1 =—x+ 1 =2x=0 x=0 e y = 1 Portanto, P(0, 1). x 0 1 4 2 1 3 1 1

=02x+4-6—x=0

2 =Ox = 2

1 +7+3 11 3 3 1 + 3 +— 59 —3 3 3

YG

=0

x + y — 1 = 0 y = —x + 1

Logo, B(7, 3). Mas N e ponto medio de C. Entao: { 5 = 7 + xc xc = 3 2 3 + yc 4— Yc = 5 2

XG

x y 1 1 0 1 2 —1 1

=0

Logo, P(2, 0).

0 y 1 1 3 1 2 4 1

3).

Logo, G(

=0 2y+ 4 —6 —y=0

2 = 0 y= 2

vammammilma

MOdulo 1 3 7 I

a) D =

0 1 —1

2 3 1

—1

b) D =

d) D =

V m E R, temos:

= 0 (sim)

0 4 1 —m 2 1 2 6 1

2 = —9 (nao)

—3

111111 D =

2 3

1 2

1 1

0

—1

1

0

0

1

1 2

1 —2

1 1

=

0 (sim)

D =

D=

5

1

—1 1 x —16 1 1

=0=-3 + 5x— 16 +x+ 48 — 5=0

= —1 (nao) Temos:

• M e ponto medio de AB: M(3, 3). • N divide AC na razao 2. 1 1 1

=

0 (sim)

XN XA

2

xc — XN

YN YA

1

2

1 1

2

3

1

y=x+ 1

XN — 1 4 — x,

2

xN — 1 =

= 8 — 2xN 3x N = 9 x N = 3

Temos: • D1 =0

3

= —4 6x = —24 Resposta: alternativa d.

f) V m E R, temos: 2 3 1

= —2a

Logo, existe o triangulo ABC para a = 0 .

= —4 (nao)

1 2 3

m m+1 m—1

a 1 5 —1 3a 1 2a 1 3

Resposta: alternativa e.

e) V a E R, temos:

a a+1 a+3

— 6m— 4 + 4m*0

*0

—2rn*-4 2m* 4 rn*2

1

2 3

c) D=

1 1 1

Logo, P(0, 2).

Yc

=0

—x + y — 1 = 0

2

yN —

4—2= YN yN — 4 = 14-2y N = 3y N = 18 = YN

yN = 6 Dai, N(3, 6).

7

132

MANUAL DO PROFESSOR

• M, N e P sac) pontos alinhados, sendo P urn ponto x

do eixo x: P(x, 0) Logo:

y 1

1 3 3 1 3 6 1 x 0 1

=

2 —1 x 4 4 9

2

2 — 2x+y= 0

1

—2x + 2y — 2 = 0 x — y + 1 =0

18 +3x— 6x— 9 =

x y 2 —3 2 —1

3x = 9 x = 3 Portanto, P(3, 0). Resposta: alternativa c. 1 1 1

=0

—1 0 1

=0 —3x—y+ 4 —3 — 2x— 2y=0

—5x — 3y + 1 = 0 5x + 3y — 1 =0 Mas a reta intersecta o eixo x quando y = 0. Dai: —4 +9x-16 — 18 +x=0

=0

5x+ 3 • 0 — 1 = 0 5x= 1 max= 1 1

Logo,

10x = 30 x = 3

0).

Resposta: alternativa a.

1 2 1 x 0 1 5 —2 1

.=010— 2x+ 2 — 2x= 0 3 5 1 1 —1 1 x —16 1

4x=12 x=3 Logo, B(3, 0).

6x = —24 x = —4 Resposta: alternativa d.

Modulo 138 PEr.=>

1 2 1 2 3 1 3 4 1

MOdulo 139 =0

Temos: f x = 3t — 1 y = —t + 1 t = 1 —y

Assim: 1 2 1 2 3 1 3 4 1

Dal: x = 3(1 — y) — 1 = 3 — 3y — 1 x + 3y — 2 = 0 =3+6+8—9—4—4=0 Temos: {x x = 2t t=

Logo, P E r

AK

3

0 a 2 +a— 2=0

Me ra+a2 + 3 — a=-2 ou a=1 x 2 0

y = 3t + 1 Dai: + 1 2y = 3x + 2 3x — 2y = —2

y=3.

y 1

7

+ 5x— 16 +x+ 48 — 5=0

=0

=0

x 7

+

5—

5x 2

2y = —2

3x 2

— 2y = 0

2

—2

5 2

x + 10 — 5x — 4y = 0 —4x — 4y + 10 = 2x + 2y — 5 = 0 Resposta: alternativa c. y = 3x — Para (2,

= 1

) x4 +

mmc(4, 3) = 12 3x+ 4y= 12 4y=-3x+ 12

1 7

3 y = — Tx + 3 vem: b)

11 = 3 • 2 — 1 2 1111 (V) 2 = 2 Resposta: alternativa a.

+

=1

11 _ _ 1 mmc(3, 2) = 6 —2x+ 3y= 6 3y= 2x+ 6 ma y=

2

x

+2

x2

2

,= 1 /

MATEMATICA

V

MOdulo 140

3Y 5 — 3

6

5x — 5

4 — 2 —2

a ) m _ YB YA

XB

SERIF Novo ENSINO MEDIO

yo —yc _ 7 — 3 — 4 _ 2

b)m=

— xc

7—1

15x— 15=3y— 5 10 3

15x— 10 = 3y y = 5x —

2— 1

XA

133

6

Logo, m = 5. Resposta: alternativa d.

-T

5 — —2

Y"

c) m

YG

XH XG

4+1

—5

1

10

7

y = mx + q = —± x + q 5 Mas P(2, —5) pertence a reta. Entao:

3

a

a) m

2

—1

=3

b) m = 3

Logo:

c) m = —2

y=

d)

+

3

4

—5 =

=1=3x+2y=6=2y=

4

= —5 +

-2+q

17 — —5—

=

5y = —4x — 17

4x + 5y + 17 = 0

Resposta: alternativa d. = 6 — 3xy= 3 —4xy= —4x+ 3 Temos: Logo, m =

3 . -7

m = tg 135° = —1 t P(1, 2)

0 1x = 2t y

Dal: y = mx + q = —x + q Mas P pertence a reta. Entao: 2= 1 + q q = 3 Logo: y = —x + 3 x + y — 3 = 0 Resposta: altemativa d.

—t + 1 t= 1 — y

Dal: x = 2t = 2(1 — y) = 2 — 2y x + 2y — 2 = 0 Logo: 1 a m = IT) = 3

—

Temos: 1m r = tg 45° = 1

MOdulo 141

1 m, = tg 135° = —1 Logo, m, + m, = 0.

I 4

a)

AY

x=3

Temos: A(0, 4) = q = 4 1B(4,0)= p = 4 Entao: =1= x + y = 4 + 2— ( + 1- =1= 4 4 q P

3

0

y = —x + 4 Logo: m + q = —1 + 4 = 3 Resposta: altemativa b. 5

Temos:

b)

= 2t — 1 ly = t+2

= y-2

Y= 2

Dal: x = 2t — 1 = 2(y — 2) — 1 = 2y — 4 — 1 x — 2y + 5 = 0 Logo: m=

a

Y

1 —2

Resposta: alternativa d.

1 2

2

0

134

MANUAL DO PROFESSOR

c)x

—

o

y= 0 y=x

x

Y

—1

—1

1

1

4x +3y 12 12 3 –12

x + _y_ = 1 4 3

4x + 3y = 12 y = ---4T x + 4

x 0

Y 4

3

0

i

d)x+y– 2=0 y=–x-i- 2

x 0

Y 2

Ix = 2tt

2

0

y=t–1

=

x 2

Entao: x y= t– 1= — – 1 2

x 0

—1

2

0

Y

e) 2x – y – 3 = 0 y = 2x – 3

x

Y

1

—1

0

–3

2 1111r 2x+3y-5=0y= --3–x + - 5

x

Y

1

1

–2

3

135

MATEMATICA Y SSIZIE NOVO ENSINO MEDI°

s: x+y- 2= 0

2

Sendo r: 7x + 4y - 15 = 0, vem: m

x

a _ _ 7 r _ -E -

0

2

2

0

7

a)m= 15

1

_

b)m =

4 4

c) m=

7 4

_4

e) m =

Resposta: alternative d.

Interseccao: j 2x + 3y - 5 = 0 x + y - 2 = 0 [• (-2)]

P(0, 0) a)

_.-27r+ 3y - 5 = 0 {

_ _ 7

21 12

d)m =

-..-..2/e= 2y + 4 = 0

xo = 0 e y o = 0 2

=

Logo:

y - 1 = 0 y = 1 yo = m(x xo)

y - 0=

- 0)

x+y- 2= 0 x+ 1 - 2=0 x=1 0 ponto de interseccao e P(1, 1). 4

,, 18x + y - 9 = 0 x-y=9

l

ma y=3x 2x - 3y = 0

{ 8x +,.y-'= 9 x -,K= 9

P(0, 0) x o = 0 e y o = 0 1 m=

2

9x= 18 Dal: x-y= 9 -y=9 Logo, P(2, -7).

b)

Logo:

y = -7

y - yo = m(x - xo )

1

ma y= — x

4

x y 1 5

0 0 1

= 0 2y - 3x =

y - 0 = (x - 0)

x-4y= 0

-3x + 2y = 0

Temos:

2 3 1

(m, = -3 lm s = -k

Entao: j -3x + 2y = 0 j -3x + 2y = 0

t x+y- 5 = 0

x+y = 5

j -3x +,2f = 0 + = -10 t -2x -5x=-10 x= 2

Mas: m r = m, -3 = -k k = 3 2* -1 -m -2 m * 2

a) mr * ms b)m = 2

Dai:

x+y=52-i-y=5y=3 Logo, P(2, 3).

Modulo 1420111111/11111111111111111111111.111111111n Temos: P(2, 5) = x o = 2 e yo = 5 x-y+ 2 = 0= m = = 1 {

Logo: y - yo = m(x - xo ) y - 5 = 1(x - 2) 5 =x- 2 x-y+ 3 = 0

Resposta: alternativa d.

- m0 -3 rn*3 11111111a)m r Orns b)m = 3 e k * -3 c) m = 3 e k = -3 • r: (1 - m)x - lOy + 3 = 0 rn, x = 11 - 4t4t = 11 mo t-

11 - x

4 y = (m + 2)t - 1 = + 2) ( 11 ,1 x _ =

-(m + 2) m' -

4

1-m 10

136

MANUAL DO PROFESSOR

Mas:

— 2y + 3 = 0

1 —m 10

mr =

—(m + 2) 4

4 — 4m = —10m — 20

ty = 1

6rn = —24

Dai: x— 2y+ 3 = 2+3= Logo, P(-1, 1).

m = —4

Modulo 143

2 • 1 + 3 --=() x=-1

Entao, para a reta procurada temos: a) m, m s =

= —1 (sim)

{P(

—

1, 1)

1 b)m, • m, = 2(-4) = —3 (nao) m.

—2

Portanto: y — 1 = —2(x + 1) y — 1 = —2x — 2 2x + y + 1 =0

c) x — 3 = 0 paralela ao eixo y e y + 2 = 0 paralela ao eixo x. Logo, sao perpendiculares. (sim)

Resposta: alternativa a.

d)m, • m, = 1(-1) = —1 (sim) Temos: e) m, • m, = — 4

•

6

= —1 (sim)

{M(2, 4)

—1 —m • 1 = —1 —m=-1= m = 1

M, • M , =

m=—

_ _ 3 —1 _ 5+2

1 mAB

3 M r • M. = -1 M r (

m, =

y—

2

3 2 7 = - — (x — 2) 7

e P(1, —1)

2x

3

14y — 21 = —4x + 8 4x + 14y — 29 = 0

y — yo = m(x — x0) y + 1 = 1-(x — 1) 3 y+ 1 = 2x

—

2

3y+ 3 = 2x— 2

2x — 3y — 5 = 0

5

Como (-2, 4) E 5x — 2y + c = 0, entao: — 8 +c= 0 c= 18 5(-2)— 2 • 4 +c=

{C(2, —1) 1

1 +1

mAB

3 2

——2

Logo: y + 1 = —2(x — 2) y + 1 = —2x + 4 2x + y — 3 = 0 Resposta: altemativa a. 6

A reta-suporte da outra diagonal é mediatriz, entao M(4, 5). Sendo A(2, 3) e C(6, 7) extremos da diagonal, temos: YA

M AC=

xc — xA

— 7 — 3 —1 6—2

{A(-1, —3) 1 =—1 1 Logo: y + 3 = —1(x+ 1)y + 3 = —x — 1 x+y+ 4 =0 Resposta: alternativa d.

A(3, 4) m r (-4) = —1 m,

9

Temos:

Temos:

{

Resposta: alternativa b.

Portanto, como a outra diagonal é perpendicular a AC, entao m = —1. Logo: y— 5 =-1(x— 4)y— 5 =—x+ 4 x+y-9=0 Resposta: alternativa d.

Temos:

m=—

4

Y — 7 = --7- + 7

Logo:

4

2 7

Logo:

3m, = 2

= -1

_

2 3

Logo: Y Yo = m(x xo)

2x y — 4 = 7-

4(x

y- 4= )

- 2= 3y —

2x — 3y + 6 = 0 Resposta: alternativa c.

3

12 = 2x — 6

Modulo 144 a) Temos:

m, = 3 t m, = —3

M SERIE Novo ENSINO MEDIC,

MATEMATICA

137

Logo: m -m r 1 + mr11;

tg 0 -

3 +3 1 -9 I

-

6

_ 3

-8

4

Logo, 0 é o angulo cuja tangente vale 3

(0 = arctg 4).

b) Temos: mr

=1

ms = 2 Logo:

Entao:

m,-ms s

tg -

-1

1 3

• s,: y - = (2- 4-)(x - 0) y = (2 - ,IT)x - 0 = - (2 + 4- ) (x - 0) y= - (2 + ..5)x

•

1 Logo, 0 o Angulo cuja tangente vale -3-

n

Temos:

(0 = arctg {

A(3, 3) B(1, -3) C(-1, 2)

c) Temos: = -1 m, = 3 Logo: g0 t

—

I

i rn — m ,r.

1 1

-

Entao:

2

2-3

—

Logo, 0 e o angulo cuja tangente vale 2 (0 = arctg 2). 2

Como M é ponto medio de AB, vem M(2, 0) e _ _ 2 mcM -

Temos: MAB

9 -2-7 5 1 6 1-3 _ 2 7 3_ 4

Logo:

-

MCD

±

53 35 53 35

7

5 1+

9

T

•

1-1 •2

0 = 45°

=1

Temos: k2 +X -A(+ 1 k+1 X+ 1 + k 2 -X k+1

k-1 k+1 k-1 1+k• k+1 k-

tg 0 =

3

tg = 1 + MACMCM

9_2

3

4

MAC MCM

Logo: tg 0 =

1

mAc - -1 - 3 - 4

11 12 10 12

_

11 10

11 Logo, 0 e o angulo cuja tangente vale Ty

(0 = arctg

).

MOdulo 145

=1 0 = 45°

a) Como r é vertical, temos:

Temos:

tg 0 =

tg 0 = tg 45° = 1

tg 0=

Logo: M,

1 + m r m,

0 = 45°

b) Como r é vertical, temos:

mr =

tg 0 -

= 1

=

1-

-

m,

1 + 13- m,

mil=

- 3

_ 3

Logo, 0 e o angulo cuja tangente vale 3 (0 = arctg 3).

138

MANUAL DO PROFESSOR

c) Como r e vertical e s, horizontal, entao 9 = 90°. d) Temos:

m=

um a) clp, r —

4

mr=

MOdulo 146

3

3 4

+ cl _ 115 • 2 — 8 • 1 — 5 1 ,I15 2 + (-8) 2

./a 2 + b 2

17 17

Mas: m r •m3 =-1= r s

0 = 90°

lax, + byi + cl _ 13 + 4 +

b) d e,, —

Temos:

.ja 2 + b 2

Arl

12

8 — =

J r: y = 2 m, = 0

s:x—y— 1 = 0= m s = 1 C)

Logo: tg 9=

3

1—0 1 + 1 .0

—

1

d P, r = 7

d) dp,, = 2

=45°

Fazendo x = 0 em r, vem: 12x + 5y + 10 = 0 5y = —10 y = —2 Logo, P(0, —2). Entao:

a) Temos:

r: y = 2 m, = 0 s: y = x m s = 1

d P,s —

Logo:

1—0

tg 9 =

=1

+1•0

1

3

Temos:

f P(1, 2) 1 r: x — y + c = 0 (paralela a y = x) Mas:

m, = 0

d =

s: x + y = 0 y = —x m s = —1 Logo: tg 9 = I 0 + 1 1—1•0

13 d12

2 + 52

= 45°

Observe que s e bissetriz dos quadrantes impares e r e paralela ao eixo Ox. Logo, 0 = 45°. b) Temos: r: y = 1

112 .0 + 5(-2)— 161 _ 26 _ 2

11 — 2 + cl

,s/Z

= lc — 11 _ /— 42

= 1 0 = 45°

Observe que s 6 bissetriz dos quadrantes pares e r é paralela ao eixo Ox. Logo, 8 = 45°.

_

(_.1)2 lc — 11 =2 c = 3 ou c = —1

Entao, r: x — y + 3 = 0 ou r: x — y — 1 =0. Como r passa pelo 22 quadrante, vem: r: x — y + 3 = 0.

Resposta: alternativa a.

rG • Eixo Ox: y = 0 m = 0 Logo:

A eguacao da reta AB e dada por:

— 2 —0 3

tg 0 =

2

1—

•0

= 2 3

Logo, 0 é o angulo cuja tangente vale = arctg

2

2

6y+ 4— 12— ?/ — 2y=0

=

6 2 1

2 3

4y — 8 — 0 y — 2 = 0 Logo:

15 — 21

,i0

dc

2 +12

3

1

3

reta vertical

=

23

3

3 Logo, 0 é o angulo cuja tangente vale — 2 3 = arctg — ) 2•

1

2 2 1

7).

• Eixo Oy: x = 0 Logo: tg 6 =

x y

d P,r = 1

1— 1 — k 11 —1

'11 2 + (- 102

1—k — 21 — 1 1 -( 2

—21=

+ k2

(k + 2)2 = 1 + k2 ,1(11 + 4k + 4 = 1 + 3 4k=-3k= -4

MATEMATICA

IR

SERIE Novo ENSINO MEDIO

Ai A distancia de um ponto PE r a reta s e o lado do quadrado. Entao: x=0y+ 1 =0y=-1 Logo, P(0, —1). Dal:

Triangulos ABC e ACD

—3 5 2

= ff A = e2 = 2 Resposta: a lternativa b.

= 36

—3 2

1 1

—3

4

1

=

Portanto:

1 1 1

1

3 D2

,12-

j1 2 + 1 2

3 7 1

D1 =

10 — 1 + 31 _ 2 —

dr, s —

139

= 16

Entao, A = = A ABC -I- A ACD

al Temos:

=

1

2

• 36 +

1 2

• 16 = 26.

Temos:

A(0, 0) d p• ,,,t,, = 1

D=

3 —1

—5 —1

x

5

P(1, 2)

1 1 1

= —3 — 5x — 5 + x — 15 — 5 =

= —4x — 28

Entao:

Mas:

y — 0 = m(x — 0) Yo = ff(x — x0) y = mx mx—y=0

AT = 1 1D1

Mas:

I m 21 —1

=1

I - 4x

(m — 2) 2 =

rr:1- 1

= m 2 + 1 712" 4m + 4 = ;:r?' + 1

16 =

2

1-4x — 28 1

— 281= 32 x = 1 ou x = —15

NRO

4m = 3 m= 3 Logo: mx — y = 0

—y0

3x — 4y = 0

MOdulo 147 a) Temos:

D =

0 0 1 4 0 1

=8

4 2 1 DABC

Logo: 1 AT = 21D= =1 T181 = 7

•

D=

DACD

0

0 2 1

0 2 3

=4

0

0 3

=2

=4

2

= —18 DADE

Logo: AT = 1

0

2 2

8=4

b) Temos: 0 0 1 0 6 1 3 3 1

0

= 21

181 = - 181

•

18 = 9

-

1 0

2

1 Logo, AABCDE = T(4 + 4 + 2) = 5

c) Temos:

Resposta: alternativa a. —3 D=

2

5

2

1

3 1 = —9 +10-4-15-6-4=-28 —2 1

• A: {

Logo:

AT = 7 1D1

al a) Temos:

=

I - 281 = -2-

x +2( = 0

+

2x=0 )(= e y=0 • 28 = 14

Logo, A(0, 0).

140

MANUAL DO PROFESSOR

Entao:

=3 x-y=0=x=3

• B:

5 0 1 D= 5 2 1 0 2 1

Logo, B(3, 3). • C:

x+y Y =3 = Ox = -3

0 1 0 D = 3 3 1 -3 3 1

Logo: AT =

Logo, C(-3, 3). Entao:

y = 2x

= 9 + 9 = 18 • A:

x=4 {y = 2xy = 8 Logo, B(4, 8).

±

• A {1 x +zy'= 0

• C:

2x=0 x= e y=0

B: x = 4 x-y = Oy = 4

4 2 1

C: x = 4 • x+y = Oy = -4 Logo, C(4, -4). Entao: 0 1 0 D= 4 4 1 4 -4 1

I -- 321 =

= -16 - 16 = -32

16

D1 =

D2 =

- 1 2 1

1 1 2

1 Resposta: alternativa d.

N(5, 2) P(0, 2)

a2//x + b 2 y + c 2

../(a1) 2 + (b1) 2

..(a2) 2 + (b2) 2 4x + 3y + 1

b 1 :3x+ 4y- 1 = 4x+ 3y+ 1 x-y+ 2 = b 2 :3x+ 4y- 1 = -(4x+ 3y+ 1) =7x+7y=O=x+y=0

1 1 = 3 1

.7. • 3 A ll = 2 • 6 + 1

a 1 x + b1 y + c1 _

3x + 4y - 1 _

ALACD

1 -1 1 = 6 1

M(5, 0)

1VIOdulo 148 Temos:

- 1 1 2

Temos:

Portanto: AT = -12-1-241 = 12 Resposta: alternativa c.

Portanto:

7

=2

0 0 1 D= 4 8 1 = 8 - 32 = -24

Logo, B(4, 4).

AO = ALABC

x=4 x y= 2

Logo, C(4, 2). Ent5o:

Logo, A(0, 0).

WS

2x = 2= x=0 e y=0

• B:

b) Temos:

2

y= 7

Logo, A(0, 0).

1 AT = — • 18 = 9 2

1 AT = -

-1 •10=5 2

Temos:

Portanto:

•

= 10 + 10 - 10 = 10

Temos: a1 x + b l y +

// )(ai 2 + (b1) 2 9 2

_

a2 x b 2y + c2

// )2 + (b2) 2 Aa2

_,_x+y- 2 x -y+2 411-4—(=T17— b i :x-y+ 2 = x+y- 2 2 = Oy = 2 4= b 2 : x - y + 2 = -(x + y - 2) 2x = Ox = 0 Resposta: alternativa d.

MATEMATICA

3

Temos:

x + y — 5 _ ÷ x + 7y — 7

x+y—5 _

,j1 2 + 7 2

V1 2 + 1 2 — + x + 7Y 7 — 5,,X

SERIE

141

Novo ENSINO MEDIO

d)3y— 4Clx>

2

b)

Y

yA 2

--o x

x 3 2

Y

x

y

1

—1

2

—2

Y

1

c)y-2x ,-5.0y2x d)

x

yA

A

2

0

y 0

1

2

Y

2

4

►

4

►

-2

+1

d)2y+x-2>Oy> e)

x

Y

y

0

1

2

0

3

y5x alaq x—y.0 x+y>0 y>—x

3

Temos: x.?-0ex —k>-13 k 0 (m — 3)2 — 4 > 0 rn 2 — 6m + 5 > 0 m < 1 ou m > 5 b)(m — 3)2 + (2 — 2) 2 — 4 < 0 (m — 3) 2 — 4 < 0 rn 2 — 6m + 5 < 0 1 0 Logo, C é exterior a circunferencia. d) D(4, 5) (4 — 4) 2 + (5 — 3) 2 — 4 = 4 — 4 = 0 Logo, D pertence a circunferencia.

x2 +

y2 16

MOdulo 154 1.

x2 + y2 + 4x + 2y — 8 = 0 x2 + 4x + — + y2 + 2y + — = 8 x2 + 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 8 + 4 + 1 (x + 2) 2 + (y + 1)2 = 13 Entao, C(-2, —1) e r = ,13 . Mas:

1Aa +

dc,

Bb +

VA 2 + B2

_

13(-2)

+ 2(-1) —51 _ v32 22

13 -

Como d c,, = r, entao a reta s e tangente a circunferencia.

MATEMATICA

■

SERIE

s:x+y= 3 y= 3 -x x2 + y2 = 9 x2 + (3 _)2 = 9

Novo

Temos: C(1, 2)

x2 + -6x + x2 =

2x2 - 6x = 0

2x(x-3)=O= x= 0 oux= 3 Para x= 0, vem y = 3 e para x = 3, vem y = 0. Logo, (0, 3) e (3, 0) sao os pontos de intersecc5o da reta corn a circunferencia. ^

lnicialmente va mos calcular os pontos de interseccao da reta corn a circunferencia: y = 2x - 1 x2 + y2 + 5x - 7y - 2 = 0 x2 + (2x - 1) 2 + 5x - 7(2x - 1) - 2 = 0 x2 + 4x2 - 4x + 1 + 5x - 14x + 7 - 2 = 0 5x2 -13x+6=0= x = 2 ou x = Para x = 2, vem y = 3 e para x =

3 5

1

3 vem y _ - -5- .

Logo, o comprimento da corda a igual a distancia entre os dois pontos: _ 3 )2 + ( 3 _

1)2 = NI 149 + 5

25

196 25

VDT _ 7 5 5 4

c, s

_

13

1 + 4 2 - 31 3 2 +42

-

8 5

r=2

Logo, s é secante a a.

_

13 • 1 +4.2+51 13 2 + 4 2

16 5

>r=2

a: C(0, 0)e r = 1 s: x + y - 2 = 0 -

+ 0 - 21 , v 12 +

-1-r

Logo, a reta s é tangente a circunferencia a. 0: C(0, 0) e r = 2 dc, -

10 + 0 - 21

Logo, s é secante a 6

MOdulo 155 a) P(1, -2) pertence a circunferencia, pois 1 + (-2) 2 - 4 - 1 = 0. Logo, existe uma unica reta tangente. x2 - 4x + 4 + y2 = 1 + 4 x2 + y2 - 4x - 1 =0 (x - 2)2 + y2 = 5

_ Ili '

0 + 2 _ 2 _ , 2-1 1

Mas: 1 1 = 2 mcp Logo, a equac5o da reta tangente é dada por:

m, = -

x + 2y + 3 = 0

b) P(2, 3) é interior a circunferencia, pois (2 + 3)2 + (3 - 1)2 < 36. Logo, n5o existe reta tangente.

- 20x +jler= 28

f 5x - y + 7 = 0 1.x - 4y + 9 = 0 Doi: 5x-y+ 7 = Logo, C(-1, 2). Mas: dc, t

x -9 -19x = 19

+ = -1

5(--1)-y+ 7=0y= 2

_rte13( - 1) - 4 • 2-41 9+16

Portanto: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

-

r

15 r = — =3 5

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 9

3 Como o centro da circunferencia esta em s, vem: -1