EQUAÇÃO E SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1ºGRAU

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Ana Paula de Freitas Sena Ferreira Professora Equações do 1º grau Equação é toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Exemplo: 3x − 8 = 14 • Variável ou incógnita: x •

1º membro:

3x − 8

2x = 30 X = 15 Jairo = 30 (15 + 15) Erick = 28 (13 + 15) 30 + 28 = 58

• 2º membro: 14 É denominada de 1º grau porque o maior expoente da incógnita é 1.

c) Três livros custam o mesmo que 8 cadernos. Um livro custa R$ 2 5 , 0 0 a mais do que o caderno. Qual é o preço de um livro? 8c = 3.l l = c + 25 = 40reais

Raiz de uma equação É o número que torna a sentença matemática (equação) verdadeira. Observe: x + 8 = 18  10 + 8 = 18 , assim sendo, o número 1 0 é a raiz da equação. Observação: O conjunto solução (S) de uma equação depende do co n ju nt o universo (U).

8c = 3(c + 25) 8c = 3c + 75 8c – 3c = 75 5c = 75 c = 15

Exemplos: Determine o conjunto solução das equações: a) 3x − 5 + 7 x

= 4 − 2 x + 15, sendo U = Z sendo U = Z x+ 2 5− x 2x −1 c) − = 1+ , sendo U = Q 2 2 3 b) 5 y + 8 = 2 y,

8.15 = 3.40 120 = 120 Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Existem problemas físicos e matemáticos que envolvem duas equações, cada uma apresentando duas incógnitas. Estas duas e qu açõ es formam um sistema. Veja:

x + y = 5  x − y = 1

Problemas do 1º grau

• • • •

Resolver um problema é traduzi-lo para a linguagem matemática. Procedimentos para resolução de um problema: Representar a variável do problema por uma letra; Armar a equação; Resolver a equação; Verificar se a solução satisfaz as condições do problema.

Exemplos: a) Um número é formado por três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das dezenas é o triplo do algarismo das unidades e o algarismo das centenas é o dobro do algarismo das unidades. Qual é esse número? Número de três algarismos: xyz Soma dos algarismos: x + y + z = 18 y = 3z (3.3=9) x = 2z (2.3 = 6) Substituindo em: x + y + z = 18 2z + 3z + z = 18 6z = 18 z =18/6 z =3 Logo o número é: 693 b) Jairo tem 15 anos e Erik tem 13 anos. Daqui a quantos a no s a so ma d e suas idades será 58 anos? Tempo que passa: x (15+x) + (13+x) = 58 15 + x + 13 + x = 58 28 + 2x = 58 2x = 58 – 28

Resolver um sistema é encontrar um par ordenado (x, y) o n d e o valor de x e o valor de y satisfazem as duas equações simu lt a ne ame n te . Vários são os procedimentos práticos que permitem a obtenção da solu ção de um sistema, dos quais destacam-se três: Processo da Substituição Consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema, recaindo-se numa equação do 1º grau. Exemplo: Resolva o sistema

− 2 x + y = 1  2 x + 3 y = 2 Processo da adição Consiste em deixar os coeficientes de uma mesma incógnita opostos. Desta forma, somam-se membro a membro as duas equações recaindo-se em uma equação com uma incógnita. Exemplo: Resolva o sistema

2 x + 3 y = 8  5 x − 2 y = 1 Processo da comparação Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações e comparar os resultados, obtendo-se desta forma uma equação do 1º grau. Exemplo: Resolva o sistema

x − y = 3  2 x + 2 y = 14

10)(UMC-SP) Deseja-se cortar uma tira de couro de 120 cm de comprimento em duas partes tais que o comprimento de uma se ja ig u al ao triplo do outro. A parte maior mede: a)75 cm c)90 cm e) 85 cm b)80 cm d)95 cm EXERCICIOS PROPOSTOS – EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

1) O par (x, y) é a solução do sistema é igual a: a) 4 b) 3

c) 2

d) 1

x − 3 y = 1  2 x + 3 y = 2

= 0 b) S = 2 e) S = 3

= − 2 d) S =  

1 1 ;  2 4  1  b)  − ; 1  2  1  e)  ; 0  2 

x+2 =2 x

em

R  , é:

12)(Covest) Numa corrida de fórmula1, os três primeiros colocados consomem um total de 640 l de gasolina. O segundo colocado gasta

c) S

3)(PUC-SP) A solução do sistema

a) 

x+ y

e) 0

2)(MACK-SP) O conjunto solução da equação a) S

então

11)(Covest) Certo comerciante de verduras na CEASA, num dia ve nd eu 22 caixas de tomate e 15 de repolho, recebendo um total de R$ 3.100,00. No dia seguinte, vendeu pelos mesmos preços da véspera, 15 caixas d e tomate e 30 de repolho, obtendo um total de R$ 3.300,00. Assinale o preço de cada caixa de repolho: a) R$ 48,00 c) R$ 30,00 e) R$ 45,00 b) R$ 60,00 d) R$ 50,00

3 x + y = 1 é o par ordenado:  2 x + 2 y = 1

1   4  1 1 d)  ;  4 4 c)  0; −

4)(CESCEA-SP) Se x e y são tais que: a expressão xy − 2 é igual a: a) 32 b) 30 c) 12 d) 10

x − y = 4   x + y = 12 e) 5

5)(UF-SE) Numa caixa há bolas brancas e pretas num total de 360. S e o número de brancas é o quádruplo do de pretas, então o número de bola s brancas é: a) 72 b) 120 c) 240 d) 288 e) 302 6)(UF-GO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha, o b t êm -se o s

3 5

de sua idade. A idade de minha filha, em anos é:

a) 10 7) Os

b) 15

2 3

c) 12

d) 18

e) 20

7 8 do que consome o primeiro e o terceiro utiliza 5 8 da quantidade de combustível usada pelo primeiro. Assinale a alternativa ce rt a p a ra o consumo do segundo colocado. a) 256 l c) 224 l e) 400 l b) 160 l d) 250 l 13)(Covest) Um feirante comprou 150 abacaxis e 200 laranjas por R$ 16.500,00. Se um abacaxi e uma laranja custam juntos R$ 100,00, ent ão o preço de cada abacaxi foi de: a)R$ 30,00 c)R$ 45,00 e)R$ 80,00 b)R$ 70,00 d)R$ 75,00 14)(Covest)Quatro irmãos herdaram um total de R$ 45.000,00. Para q u e os quatro recebessem a mesma quantia seria necessário: reduzir e m R$ 2.000,00 à parte do primeiro, aumentar em R$ 2.000,00 a d o se g u nd o, duplicar a do terceiro e reduzir à metade a do quarto irmã o. Podemos então afirmar que os quatro irmãos herdaram, respectivamente, em milhares de reais: a) 14, 10, 6 e 20 d) 14, 10, 6 e 24 b) 12, 8, 5 e 28 e) 13, 9, 5 e 18 c) 12, 8, 5 e 20 15)(Covest) Davi e Roberto possuem juntos 24 figurinhas. Roberto e João, juntos, possuem 20 figurinhas. Davi e João, jun to s, p ossu em 2 2 figurinhas. Quem possui mais figurinhas e quantas possui? a) Davi – 13 b) João – 14 c) Roberto – 15 d) João – 10 e) Davi - 14 16)(Covest)Uma empresa de exportação de gasolina comunicou a ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. 3

de um número mais uma dúzia totaliza 21. Determine o

número. 8)(FTI-Lorena) As idades de Paulo, Carlos e Jorge somadas resultam 3 8 anos. Sabe-se que Paulo tem o dobro da idade de Carlos e que Jorge tem três anos a mais que a metade da idade de Carlos. Então , a so ma d as idades de Paulo e Jorge resultará: a)13 anos; b)18 anos; c) 28 anos; d) 32 anos; e) n.d.a. 9) Um pai dividiu R$ 800.000,00 entre seus filhos de modo que o segundo recebeu R$ 100.000,00 a mais que o primeiro e o terceiro o dobro do primeiro mais R$ 300.000,00. O valor recebido pelo primeiro e o te rce iro juntos foi: a)R$ 500.000,00 d)R$ 600.000,00 b)R$ 525.000,00 e)R$ 650.000,00 c)R$ 700.000,00

Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32 m , quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? a) 205 d) 220 b) 210 e) 225 c) 215