ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO_UA04

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Tecnologia em Processos Gerenciais

Estatística Aplicada à Gestão

medidas de ordenamento

4 estatística aplicada à gestão medidas de ordenamento

Objetivos da Unidade de aprendizagem Calcular e compreender as informações contidas nos quartis, decis e percentis.

Competências Separar um conjunto de números (dados) ordenados em várias partes com quantidade igual de elementos.

Habilidades Extrair informações das medidas de ordenamento.

Apresentação Nesta UA serão apresentadas medidas separatrizes. Será enfatizado como calcular e compreender as informações contidas nos quartis, decis e percentis.

Para Começar É comum no nosso dia a dia dividirmos. Dividi-se o lucro da empresa ou divide-se a conta do restaurante. O número de divisão varia conforme a necessidade e situação, isto é, se a empresa tem dois sócios com a mesma participação, o lucro pode ser dividido em dois. Se quatro pessoas comem num restaurante e, concordaram em dividir a conta, cada um deve pagar um quarto da conta. Outro exemplo muito comum de divisão é o corte da pizza em vários pedaços iguais. Figura 1.  Pizza dividida em vários pedaços aproximadamente iguais.

Quando dividimos um conjunto de números (dados) ordenados em várias partes e, com quantidade igual de elementos tem-se as medidas de ordenamento. A quantidade a ser dividida depende da informação que é desejada na análise e, normalmente, divide-se em duas partes (cada parte com 50% dos dados), quatro partes (cada parte com 25% dos dados), dez partes

(cada parte com 10% dos dados) ou em cem partes (cada parte com 1% dos dados). As medidas que fazem a divisão de um conjunto de dados ordenados em duas partes, em quatro partes, em dez partes e em cem partes são chamados de mediana, quartil, decil e percentil, respectivamente.

Atenção “As medidas de ordenamento têm por objetivo mostrar os valores que dividem um conjunto de dados ordenados em várias partes e a porcentagem de dados associada a elas.”

Fundamentos Quartil Um conjunto de números (dados) ordenados pode ser dividido em quatro partes iguais e as medidas que fazem essa divisão são chamados de primeiro quartil (Q1), segundo quartil (Q2) e terceiro quartil (Q3). Cada parte deve conter 25% dos dados; o segundo quartil, não é costumeiramente utilizado uma vez que coincide com a mediana, isto é, ele divide o conjunto ordenado de dados ao meio, conforme a ilustração a seguir.

Figura 2.  Dados ordenados.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

9

10

12

14

16

17

17

19

20

23

Q1 = 12

Q2 = Md = 16,5

25% dos dados

25% dos dados

Q3 = 19 25% dos dados

25% dos dados

50% dos dados 75% dos dados

Do exemplo anterior temos as seguintes informações:

→→

Primeiro quartil é igual a 12 (Q1 = 12), isto é, 25% dos dados são menores ou iguais a 12 e, consequentemente 75% são maiores ou iguais a 12; →→ Segundo quartil (mediana) é igual a 16,5, isto é, 50% dos dados são menores ou iguais a 16,5 e, 50% são maiores ou iguais a 16,5;

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

4

→→

Terceiro quartil é igual a 19 (Q3 = 19), isto é, 75% dos dados são menores ou iguais a 19 e, 25% são maiores ou iguais a 19.

No cálculo do quartil, deve-se primeiramente calcular a posição onde ele se encontra e, depois calculá-lo através de uma média ponderada de dois valores, caso seja necessário. O quartil pode ser obtida através de: Qi  = x

i×n

(

1

+

4

)

2

Com i = 1, 2 e 3 para se obter Q1, Q2 e Q3 para um conjunto com n dados. O uso da média ponderada de dois valores é aplicado quando o resultado da posição i×n

(

4

1

+

) não é inteiro.

2

O procedimento será demonstrado através de quatro exemplos com dados já ordenados.

exemplo 1 Para um conjunto com n = 10: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

9

10

12

14

16

17

17

19

20

22

O primeiro quartil e o terceiro quartil são: Q1  = x

(

1 × 10 4

  = x(3)  = 12 )

1

+

2

e Q3  = x

(

3 × 10 4

+

1 2

  = x(8)  = 19

)

Como as posições do primeiro quartil e terceiro quartil deram números inteiros, os quartis são associados à posição no conjunto ordenado de dados.

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

5

Exemplo 2 Para um conjunto com n = 11 tem-se: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

9

10

12

14

16

17

17

19

20

22

24

Q1  =  x(3,25)

Q3  =  x(8,75)

O primeiro quartil é: Q1  = x

(

1 × 11 4

+

1 2

  = x(3,25)

)

Nesse caso, a “posição” 3,25 (número não inteiro) indica que o primeiro quartil está entre o terceiro e o quarto valor e, as casas decimais, 0,25, são interpretadas como proximidade maior ao terceiro do que o quarto elemento, conforme a ilustração a linha pontilhada. As casas decimais também serão utilizadas como peso no cálculo do Q1 e, quanto maior a proximidade maior será o peso para o cálculo de Q1. A média ponderada entre x3 e x4 tem pesos iguais a (1-0,25) para x3e (0,25) para o x4, respectivamente. O primeiro quartil será: Q1  = x

(

1 × 11 4

+

1 2

  = x(3,25)  =  ( 1 − 0,25 )  × x3  + ( 0,25 )  × x4

)

=  ( 1 − 0,25 )  × 12 +  ( 0,25 )  × 14  = 12,5 Usando o mesmo procedimento para o terceiro quartil, tem-se: Q3  = x

(

3 × 11 4

+

1 2

  = x(8,75)

)

Nesse caso, o terceiro quartil está entre o oitavo e o nono valor e a casa decimal (0,75), indica que está mais próximo do nono elemento. O terceiro quartil é: Q3  = x

(

3 × 11 4

+

1 2

  = x(8,75)  =  ( 1 − 0,75 )  × x8  + ( 0,75 )  × x9

)

=  ( 1 − 0,75 )  × 19 +  ( 0,75 )  × 20  = 19,75

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

6

O procedimento para a obtenção dos quartis é inicialmente calcular: Qi  = x

(

i×n

+

4

1 2

  = x( j , d )

)

Representando o resultado por x(j,d) com j o número inteiro e d a casa decimal da expressão, o quartil é dado por: Qi  = x

(

i×n

+

4

1 2

  = x( j , d )  =  ( 1 − d )  × x( j )  +  ( d )  × x( j + 1 )

)

Para i =1, 2 e 3.

Exemplo 3 Para um conjunto com n = 12 tem-se: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

9

10

12

14

16

17

17

19

20

22

24

27

Q1  =  x(3,5)

Q3  =  x(9,5)

O primeiro quartil será: Q1  = x

(

1 × 12 4

+

1 2

  = x(3,5)

)

O resultado da “posição” 3,5 (número não inteiro) indica que o quartil está no meio do terceiro e do quarto valor. Os quartis serão: Q1  = x

(

1 × 12 4

+

1 2

  = x(3,5)  =

)

( 1 − 0,5 )  × x3 + ( 0,5 )  × x4 

=  ( 1 − 0,5 )  × 12 + ( 0,5 )  × 14  = 13

Q3  = x

(

3 × 12 4

+

1 2

)

  = x(9,5)  = ( 1 − 0,5 )  × x9 + ( 0,5 )  × x10  =  ( 1 − 0,5 )  × 20 + ( 0,5 )  × 22  = 21

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7

exemplo 4 Para um conjunto com n = 13 tem-se: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

9

10

12

14

16

17

17

19

20

22

24

27

30

Q1  =  x(3,75)

Q3  =  x(10,25)

Os quartis serão: Q1  = x

(

1 × 13

+

4

1

= x(3,75)  =  ( 1 − 0,75 )  × x3  + ( 0,75 )  × x4

) 

2

=  ( 1 − 0,75 )  × 12 +  ( 0,75 )  × 14  = 13,5

Q3  = x

(

3 × 13 4

  = x(10,25)  =  ( 1 − 0,25 )  × x10  + ( 0,25 )  × x11

1

+

)

2

  = 22,5

Decil Quando um conjunto de números (dados) é dividido em dez partes iguais, isto é, cada parte contendo 10% dos dados, tem-se as medidas chamadas de decis. As nove medidas que fazem essa divisão são chamados de primeiro decil, segundo decil até o nono decil. Essas medidas são representadas por D1, D2, ...., D9 e, a expressão para o cálculo dos decis num conjunto ordenado de dados é: Di  = x

(

i×n 10

+

1 2

)

Com i = 1, 2,...e 9. O procedimento para o cálculo é igual ao cálculo dos quartis, isto é, substitui-se um determinado i (de 1 a 9) na expressão anterior e o resultado pode ser representado por x(j, d) , com j a parte inteira e d a parte das casas decimais.

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8

O cálculo dos decis é dado por: Di  = x

(

i×n 10

+

  = x( j , d )  =  ( 1 − d )  × x( j )  +  ( d)  × x( j + 1 )

1

)

2

para i =1, 2, ... , 9. Os cálculos serão demonstrados através de um conjunto ordenado com 20 números ilustrados a seguir: x1

x2

9

10

x3 x4 12

14

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x20

16

17

17

19

20

22

24

27

30

31

32

34

35

37

38

39

Exemplo Como exemplo calculemos o primeiro decil, o segundo decil e o nono decil. D1  = x

(

1 × 20 10

+

1 2

  = x( 2,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 2 )  +  ( 0,5 )  × x( 3 )

)

=  ( 1 − 0,5 )  × 10 + ( 0,5 )  × 12  = 11 Interpretação: 10% dos dados são menores ou iguais a 11 ou 90% são maiores ou iguais 11. D2  = x

(

2 × 20 10

+

1 2

  = x( 4,5 )  = ( 1 − 0,5 )  × x( 4 ) + ( 0,5 )  × x( 5 )

)

=  ( 1 − 0,5 )  × 14 +  ( 0,5 )  × 16  = 15 Interpretação: 20% dos dados são menores ou iguais a 15 ou 80% são maiores ou iguais a 15. D9  = x

(

9 × 20 10

+

1 2

  = x( 18,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 18 )  +  ( 0,5 )  × x( 19 )

)

  =

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37,5

9

Interpretação: 90% dos dados são menores ou iguais a 37,5 ou 10% são maiores ou iguais a 37,5.

Percentil Quando dividimos um conjunto de dados ordenados em cem partes iguais cada parte terá 1% dos dados e, as medidas que fazem essa divisão são chamados de percentil. Representa-se por Pi com i = 1, 2, 3, ..., 99 e, lê-se Pi como o i-ésimo percentil. A mediana, o quartil e o decil são casos particulares do percentil, isto é, Q1 = P25; Q2 = Md = P50; Q3 = P75; D1 = P10; D2 = P20; …; D9= P90. O procedimento do cálculo do percentil será semelhante ao cálculo do quartil e do decil já explicados anteriormente. Pi  = x

(

i×n 100

+

1 2

)

Com i = 1, 2, ... , 99 para obter P1, P2, ... P99 num conjunto com n dados.

exemplo A demonstração dos cálculos será realizada através do exemplo a seguir e para ilustração calcularemos o P5 e P95: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

9

10

12

14

16

17

17

19

20

22

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x20

24

27

30

31

32

34

35

37

38

39

P5  = x

(

5 × 20 100

+

1 2

)

  = x( 1,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 1 )  +  ( 0,5 )  × x( 2 ) =  ( 1 − 0,5 )  × 9 + ( 0,5 )  × 10  = 9,5

Interpretação: 5% dos dados são menores ou iguais a 9,5 ou 95% são maiores ou iguais a 9,5.

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

10

P95 = x 95 × 20 ( 100 +

1 2

  = x( 19,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 1 9 )  +  ( 0,5 )  × x( 20 ) ) =  ( 1 − 0,5 )  × 38 +  ( 0,5 )  × 39  = 38,5

Interpretação: 95% dos dados são menores ou iguais a 38,5 ou 5% são maiores ou iguais a 38,5.

apliCaçãO Claudia é gerente de Marketing da empresa Calça & Moda. Ela gostaria de saber se a promoção de desconto na compra da segunda peça aumentou o gasto por cliente. Para isso, ela analisou no banco de dados o gasto de 20 clientes antes da promoção e, o gasto de 16 clientes durante a promoção. Os gastos observados são: gastos antes da promoção (em reais)

gastos durante a promoção (em reais)

141

117

129

115

108

88

110

113

69

133

96

112

90

123

86

168

63

151

125

130

104

104

59

115

158

108

90

138

131

84

102 129

79 97 140 119

A gerente gostaria de saber o valor da compra dos 10% e 25% dos menores gastos e também dos 5% e 25% dos maiores gastos por compra. Outra informação é a média dos gastos e a mediana dos gastos antes e durante a promoção. As medidas de ordenamento desejadas pela Claudia são: P10 = D1 : o valor dos 10% que menos gastam por compra; P25 = Q1 : o valor dos 25% que menos gastam por compra; P95   : o valor dos 5% que mais gastam por compra; P75= Q3 : o valor dos 25% que mais gastam por compra. Além da média e mediana de gastos antes e durante a promoção.

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

11

Os dados ordenados antes da promoção e as medidas desejadas são: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

59

63

69

84

86

90

96

104

104

113

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x20

115

115

117

129

131

133

138

141

151

168

→

D1  = x

1 × 20

(

10

+

1 2

  = x( 2,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 2 )  +  ( 0,5 )  × x( 3 )

)

=  ( 1 − 0,5 )  × 63 + ( 0,5 )  × 69  = 66

→

Q1  = x

1 × 20

(

4

+

1 2

  = x(5,5)  =  ( 1 − 0,75 )  × x5  +  ( 0,75 )  × x6 ) =  ( 1 − 0,75 )  × 86 +  ( 0,75 )  × 90  = 88

→

P95  = x

(

95 × 20 100

+

1 2

  = x( 19) ) = 151

→

x  =

59 + 63 + ... + 168 20

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

= 110,30

12

Os dados ordenados durante a promoção e as medidas desejadas são: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

79

88

90

97

102

108

108

110

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

112

119

123

125

129

130

140

158

→

D1  = x

(

1 × 16 10

+

1 2

  = x( 2,1 )  =  ( 1 − 0,1 )  × x( 2 ) + ( 0,1 )  × x( 3 )

)

=  ( 1 − 0,1 )  × 88 + 0,1 × 90  = 88,2

→

Q1  = x

(

1 × 16 4

+

1 2

  = x(4,5)  = ( 1 − 0,5 )  × x( 4 ) + ( 0,5 )  × x( 5 ) 

)

=  ( 1 − 0,5 )  × 97 + ( 0,5 )  × 102  = 99,5

→

P95  = x (

95 × 16 100

+

1 2

  = x( 15,7 )  =  ( 1 − 0,7 )  × x( 15 )  +  ( 0,3 )  × x( 16 ) ) =  ( 1 − 0,7 )  × 140 + ( 0,3 )  × 158  = 152,6

→

Q3  = x

(

3 × 16 4

+

1 2

  = x(12,5)  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 12 )  +  ( 0,5 )  × x( 13 ) ) =  ( 1 − 0,5 )  × 125 + 0,5  × 129  = 127

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

13

→ Md 

= P( 50 )  = x

(

50 × 16 100

+

1 2

  )

= x( 8,5 )  =  ( 1 − 0,5 )  × x( 8 ) + ( 0,5 )  ×  x( 9 ) =  ( 1 − 0,5 )  × 108 + ( 0,5 )  × 112  = 111

→

59 + 63 + ... + 168

x  =

16

= 113,63

Os resultados obtidos foram: antes da promoção

durante a promoção

D1

66

88,2

Q1

88

99,5

Md

114

111

Q3

132

127

P95

151

152,5

média

110,3

113,63

Percebe-se o aumento do primeiro decil e do primeiro quartil durante a promoção, isto é, houve aumento no valor da compra dos clientes que menos gastavam. O terceiro quartil e o 95° percentil não sofreram alterações significativas, isto é, a promoção não teve efeito no valor das compras dos clientes com maiores gastos nas compras. A gerente Claudia concluiu que o tipo de promoção utilizado aumentou o valor da compra dos clientes que menos gastavam, mas não teve efeito no valor das compras dos clientes que mais gastavam. O aumento na média de gastos foi influenciado principalmente pelo aumento dos gastos dos menores valores de compras.

Dados agrupados em intervalos Quando os dados já estiverem agrupados em intervalos (na forma de tabela de frequência) e os dados brutos não são disponíveis para o cálculo exato das medidas de ordenamento, devemos obter essas

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

14

medidas através de aproximações. Adotaremos um procedimento para o cálculo do percentil que valerá para o cálculo do quartil e decil, pois essas medidas são casos particulares dos percentil. Supondo o cálculo de Pi, com i = 1, 2, 3, ..., 99. O primeiro passo é calcular: (

i×n 100

)

que identifica a posição onde se encontra o percentil em questão e, depois calcular as frequências acumuladas. O primeiro valor da frei×n quência acumulada que ultrapassar ou igualar ao ( 100 ) é o intervalo que contém o Pi e, depois utilizar a fórmula de Pi dado a seguir. Essa expressão é obtida por relação de proporcionalidade (regra de três). i×n 100

Pi  =  LimInf  +  h × 

− Facumulada anterior fclasse do i

Onde:

→→ →→ →→ →→

LimInf: é o limite inferior do intervalo que contém o percentil i; h: é o tamanho do intervalo que contém o percentil i; n: é o tamanho da amostra; Facumulada anterior: é a frequência acumulada anterior ao intervalo que contém o percentil i; →→ fclasse do i : é a frequência do intervalo que contém o percentil i.

EXEMPLO Utilizando a tabela de frequência a seguir calcule o P10 como exemplo. classe limite inferior

limite superior

frequência

10

⊢

15

5

15

⊢

20

12

20

⊢

25

8

25

⊢

30

3

total (n)

28

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

15

A posição onde se encontra o P10 é: 10 × 28 100

  = ( 2,8 )

Observando a frequência acumulada, o décimo percentil está contido no primeiro intervalo, 10 ⊢ 15 e, os outros componentes da fórmula estão ilustrados a seguir: LimInf = 10 classe limite inferior

limite superior

frequência

frequência acumulada

10

⊢

15

5

5

15

⊢

20

12

17

20

⊢

25

8

25

25

⊢

30

3

28

total (n)

28

h = 15 - 10 = 5

facumulada anterior = 0 intervalo do P10

 f10 percentil = 5

Nesse caso, o P10 será: i×n

Pi  =  LimInf  +  h × 

100

fclasse do i

10 × 28

= 10  + 5 × 

− Facumulada anterior

100

−0

5

= 12,8 Obs.: Se Pi está contido no primeiro intervalo a frequência acumulada anterior será igual a zero.

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16

E agora, José? Lembre-se de ordenar os valores no cálculo das medidas de ordenamento!

1. Os valores das compras de 18 clientes numa loja de calçados foram: 91 15

106

45

74

29

65

46

113

85

31

69

75

19

26

41

102

12

Obter o primeiro e terceiro quartil do valor das compras dessa loja e interprete o resultado.

2. O dono de um curso de língua estrangeira deve classificar os alunos em A, B e C conforme a nota de um exame. Para dividir os seus alunos em quantidade aproximadamente iguais ele decidiu que 35% das melhores notas vão para a sala A (P65) e 30% (D3) das piores notas vão para a sala C e, o restante deverão ficar na sala B. As notas de 25 alunos foram: 51

45

72

43

45

34

78

64

51

58

65

83

50

38

53

61

36

32

23

16

40

51

59

33

50

Utilizando a expressão do Percentil e Decil, qual a faixa das notas para o aluno ficar na sala A, B e C?

3. Os salários dos empregados de uma empresa concorrente foram informados num anúncio conforme a tabela a seguir. faixa salarial (R$)

frequência

200

⊢

300

20

300

⊢

400

25

400

⊢

500

35

faixa salarial (R$)

frequência

500

⊢

600

45

600

⊢

700

35

700

⊢

800

25

800

⊢

900

15

900

⊢

1000

10

total

210

a. Obtenha o primeiro e terceiro quartil. Interprete-o. b. Obtenha o 15° percentil e o 85° percentil. Interprete-o.

Gabarito

1. Resposta: Q1  = 29 Q3  = 85

2. Resposta: P65  = 52,5 D3  = 40

3. Resposta: a. Q1 

= 421,4 Q3 = 672

Na empresa concorrente, 25% dos empregados ganham de R$ 421,40 para baixo e 75% dos empregados ganham de R$ 672,20 para baixo (ou 25% dos empregados ganham de R$ 672,20 para cima).

b. P15 

= 346,0 P85 = 774,0 Na empresa concorrente, 15% dos empregados

ganham de R$ 346,00 para baixo e 85% dos empregados ganham de R$ 774,00 para baixo (ou 15% dos empregados ganham de R$ 774,00 para cima).

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

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Glossário Quartil: É a medida que divide um conjunto ordenado de valores em quatro iguais. Decil: É a medida que divide um conjunto

ordenado de valores em dez partes iguais. Percentil: É a medida que divide um conjunto ordenado de valores em cem partes iguais.

Referências BRUNI, A.L.  Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008. BUSSAB, W. ; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2009.

Estatística aplicada à gestão  /  UA 04  Medidas de Ordenamento

CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. MARTINS, G.A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. São Paulo, Atlas, 2006.

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