F5 - lista 11 - Razão entre áreas

SAVE OFFLINE

No paralelogramo AB CD de área 1, os pontos P , Q e R, nesta ordem, dividem a diagonal AC em quat ro partes iguais. Qual é a F5 – LISTA 11: RAZÃO ENTRE área do triângulo D P Q?

ÁREAS

No triângulo ABC de área 1, as medianas B M e CN cortam-se Prof. Marcão

em G. Qual é a área do triângulo GM 2N ? 2

C(0, 0), A e B, o valor de x o deve ser igual a:

1. Na figura a seguir, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 e 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶. O segmento DE divide 3

3

2 Na figura a seguir, ADpartes: = 23um ABtriângulo e AE de = área o triângulo em duas S eO umsegmento trapézio de D E 3 AC.

1

divideárea o triângulo em duas um triângulo de área S1 e um S2. Qual destas duas partes: áreas é maior? trapézio de área S2 . Qual destas duas áreas é maior?

(Fuvest 1992) Na a seguir, o lado de cada quadrado da malhaAB é Na2.figura a seguir, asfigura retas r e s são paralelas e o segmento DE perpendicular a ambas. Os segmentos AD eCalcule B C cortam-se quadriculada mede 1 unidade de comprimento. a razão em P . BC

a) 2  2 d) 5  2

b) 3  2 e) 6  2

c) 4  2

5. (Fuvest 1988) Num triângulo ABC, sejam P e Q pontos sobre BA e BC, respectivamente, de modo que a reta PQ seja paralela à reta AC e a área do trapézio APQC seja o triplo da área do triângulo PQB. a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos ABC e PQB ? b) Determine a razão AB/PB. 6. (OBM 1999) Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo retângulo em A, e com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o terreno em duas partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaixo. Assinale a opção que contém o valor mais aproximado do segmento BM. B

✐ N

M

✐

A ✐ ✐

a) 4 2

b) 4

c) 3 3

3

 3 e) 7 2

B) 57m

C) 59m

D) 61m

E) 63m

7. A figura abaixo mostra um triângulo de altura 1 dividido por duas retas paralelas à sua base em três partes de mesma área. Qual é a altura do trapézio central?

3. (Fuvest 1997) No papel quadriculado da figura a seguir, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é

 3 d) 8

A) 55m

C

50

CAP. 2: ÁREAS

8. Na AB figura seguir, pelo 16) (Mackenzie Em qualquer1996) triângulo C, a most re que suaponto área éO, foram traçadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos 1 e 9. Então a área do triângulo ABC é: assinalados com áreas S 1, = 4 AB · AC · senA.

.

2

4. Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(x o ,0), sendo 0  x o  2.

17) Com os dados da figura abaixo, calcule a razão entre as áreas A e B.

a) 25.

b) 36.

c) 49.

d) 64.

e) 81.

18) A let ra “N” da figura abaixo foi construída a partir de um retângulo de base 10 e altura 12. Calcule sua área.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices

1

9. (Suécia 1996) A triangle area T is divided into six regions by lines drawn through a point inside the triangle parallel to the sides. The three triangular regions have areas T1, T2, T3. Show that

17. ( ITA 1989) Num triângulo ABC, D é um ponto médio do segmento AC, e E é um ponto do segmento AB. Sabendo-se que AB = 3 AE, determine a razão entre a área do quadrilátero BCDE e a do triângulo ADE.

T  T1  T2  T3 .

19) Seja AB CD um quadrado de lado 1 e sejam M e N os pontos dos lados B C e CD respectivamente. os médios seg18. médios Seja ABCD um quadrado de,lado 1 e sejam M e Traçando N os pontos mentos AM , AN e N B , calcule as áreas das cinco partes em queAM, dos lados BC e CD, respectivamente. Traçando os segmentos o quadrado ficou dividido.

10. (IME 2009) Seja G o ponto de interseção das medianas de um triângulo ABC com área S. Considere os pontos A’, B’ e C’ obtidos por uma rotação de 180º dos pontos A, B e C, respectivamente, em torno de G. Determine, em função de S, a área formada pela união as regiões delimitadas pelos triângulos ABC e A’B’C’.

AN e NB, calcule as áreas das cinco partes em que o quadrado ficou dividido

̅̅̅̅ de um triangulo ABC . 𝑫𝑬 ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ 11. Seja D um ponto da base 𝑩𝑪 𝑫𝑭 são desenhados paralelos aos lados ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 e ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 respectivamente, encontrando ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 e em E e ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 em F . Se a área do triangulo EDC é quatro vezes a área do triangulo BFD, calcule a razão entre a área do triangulo AFE e a área do triangulo ABC.

. 19. No triangulo ABC , AB=7, AC=9. Em ̅̅̅̅ 𝑨𝑩, ponto D e tomado tal que ̅̅̅̅ e desenhado cortando ̅̅̅̅ BD=3. 𝑫𝑬 𝑨𝑪 em E de modo que o

12. (ESPANHA 1999) Seja P um ponto do lado BC de um triângulo ABC. A reta paralela ao lado AB traçada por P corta o lado AC no ponto Q e a reta paralela ao lado AC traçada por P corta o lado AB no ponto R. A razão entre as áreas dos triângulos RBP e QPC é K2. Determine a razão entre as áreas dos triângulos ARQ e ABC.

20) O triângulo AB C da figura a seguir tem área igual a 1. Cada um 𝟓 quadrilatero tenhaemdatrês área do triangulo ABC. Encontre CE. de seus ladosBCED foi dividido partes iguais. Calcule a área do 𝟕 triângulo sombreado.

20. Um triangulo isósceles tem a base com medida 4 , e lados medindo 3. Um linha que corta a base e um dos lados (mas não passa pelo vértice ), divide tanto o perímetro como a área pela metade. Ache a medida dos segmentos que essa linha define na base.

13. (Unicamp 2019) No triângulo ABC exibido na figura a seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC. ✐

✐

̅̅̅̅ , enquanto F é o ponto 21. No triangulo ABC, E é o ponto medio de 𝑩𝑪 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ médio de 𝑨𝑬, e 𝑩𝑭 encontra 𝑨𝑪 em D. Se [𝑨𝑩𝑪] = 𝟒𝟖 , encontre a área de AFD. 22. No triangulo ABC, D é o ponto médio do lado ̅̅̅̅ 𝑩𝑪 , E é o ponto medio ̅̅̅̅, e G é o ponto medio de ̅̅̅̅ de ̅̅̅̅ 𝑨𝑫 , F é o ponto médio de 𝑩𝑬 𝑭𝑪 . Calcule a razão entre as áreas do triangulo EFG e ABC 23. (AIME 1985 / IME 1990) Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a área do triângulo ABC.

Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC é igual a a) 3t.

b) 2 3t.

c) 4t.

d) 3 2t.

14. A área de um triângulo ABC é igual a 7200 cm2 . Seja D um ponto do lado AB tal que DB=2AD e seja E um ponto do lado AC tal que 2.AE=3.EC . Determine a área do quadrilátero DECB. 15. Um triângulo ABC tem área 400 cm2. Tomemos um ponto D em BC tal que 2.BD=3.DC e um ponto E em AC tal que AE=EC. Seja P o ponto de intersecção de AD e BE. Calcule a área do quadrilátero PDCE. ̅̅̅̅, 24. Em um quadrado ABCD tomam-se os pontos N e M em ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ = respectivamente, tal que 𝐴𝑁 = 𝑁𝐵, 𝐴𝑀 = 3. 𝑀𝐷, ̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀 ∩ 𝐴𝐶 {𝑃} 𝑒 ̅̅̅̅̅ 𝑁𝑀 ∩ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = {𝑄} . Se a área da região quadrada é 560 cm2 , indique a soma das áreas dos triângulos BCP e NPQ.

16. ( ITA 2005) Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(AB) = 8 cm, m(AC) = 10 cm, m(AD) = 4 cm e m(AE) = 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é a) 1/2. b) 3/5. c) 3/8. d) 3/10. e) 3/4.

2

25. (Fuvest 2017)

31. Em um triangulo cujos lados medem 5, 6 e 7, um ponto P dista 2 do lado de medida 5 e dista 3 do lado de medida 6. Calcule a distancia de P ao lado de medida 7.

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de

comprimento AB  4 e BC  2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.

32. Em um triangulo ABC traçam-se as cevianas interiores AM e CN, que ̅̅̅̅̅ ∥ 𝐿𝐵 ̅̅̅̅ . Se se interceptam em E. Prolonga-se ̅̅̅̅ 𝐶𝑁 até L, tal que 𝑁𝑀 𝐴𝑁 = 2. 𝑁𝐵, 3. 𝐿𝑁 = 2. 𝑁𝐶 e a área da região triangular NME é 30, determine a área da região ANE. DESAFIOS 33. Na figura , 𝐶1 𝑒 𝐶2 são duas circunferencais ortogonais. Se A e B são pontos de tangencia , determine a área da região AMNB.

A área do triângulo AEF é igual a 24 29 61 16 a) b) c) d) 25 30 60 15

e)

23 20

26. (Fgv ) Considere um ponto P situado no interior da região triangular determinada por um triângulo equilátero com lado de medida m. Sejam h1, h2 e h3 as distâncias de P a cada um dos lados. Mostre que h1 + h2 + h3 é constante para qualquer posição de P e determine essa constante em função de m.

34. Na figura, ABCD é um quadrado. Se P é um ponto de tangencia , a medida do arco PL é de 30o e AB=2 , calcule a área da região sombreada.

27. Seja P um ponto interior ao triângulo ABC. Considere as perpendiculares a , b , c baixadas de P sobre os lados a, b, c, respectivamente. Sejam ainda ha ,hb ,hc as alturas relativas aos lados a, b, c, respectivamente. Mostre que

a

ha



b

hb



c

hc

1

28. (OBM2001) Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de✐ um triângulo acutângulo ABC, considere a soma de suas distâncias ✐ aos três lados do triângulo. O valor máximo desta soma é igual A) B) C) D) E)

35. O triângulo ABC da figura a seguir tem área igual a 1. Cada um de seus lados foi dividido em três partes iguais. Calcule a área do triângulo sombreado.

à média aritmética das 3 alturas do triângulo. ao maior lado do triângulo. à maior altura do triângulo ao triplo do raio do círculo inscrito no triângulo. ao diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

52

CAP. 2: ÁREAS

29. (IME 1969) Transformou-se um triângulo ABC qualquer, com dois lados CA=8 e CB=10, em um triângulo isósceles equivalente CDE, ambos com o ângulo comum C. Calcule os lados iguais CD e CE do triângulo isósceles. 30. (IME 1989) Numa circunferência de centro O e de diâmetro AB  2R , Prolonga-se o diâmetro AB até um ponto M, tal que BM  R . Traçase um secante MNS tal que MN  NS , onde N e S são os pontos de interseção de secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS.

21) No manuscrit o de Aryabhat iya do século VI encont rou-se a seguint e

36. (IME 2021) Sejam os pontos D, E e F pertencentes, respectivamente, afirmação: “Some a 100, mult iplique 8 e 𝐵𝐷 some 000.𝐴𝐹 O reaos lados AB, BC e4AC do triangulo ABC, por tais que =62 3𝐴𝐷, = sult ado é aproximadament e a circunferência do círculo de diâmet ro 3𝐶𝐹 𝑒 𝐶𝐸 = 3. 𝐵𝐸. Sendo 𝑃 = 𝐴𝐸 ∩ 𝐶𝐷, 𝑄 = 𝐴𝐸 ∩ 𝐵𝐹 𝑒 𝑅 = [𝑃𝑄𝑅]de π que est á implícit o nest a afirmação? 20𝐵𝐹 000.” Qualcalcule é o valor ∩ 𝐶𝐷, . [𝐴𝐵𝐶}

22) Na figura a seguir, os ângulos B AD e D AC são iguais a 60o , AB = 6 e AC = 4. Quant o mede AD ?

3

37. Dado um quadrilátero convexo ABCD , em ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑒 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 tomam-se os ̅ ̅̅ ̅̅̅̅ pontos L e M respectivamente . Se 𝐿𝐷 𝑒 𝐿𝐶̅ interceptam a 𝐶𝑀 𝐴𝐿 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐴 𝑒 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 em K e N donde = , calcule a área da região 𝑀𝐷

𝐿𝐵

KMNL. Considere que [𝐴𝐷𝐾] + [𝐵𝐶𝑁] = 10 𝑐𝑚2 . 38. No gráfico, os triângulos ABM e BCN são equiláteros . Se 𝑀𝐿 = 𝐿𝐴, 𝑁𝐸 = 𝐸𝐶 𝑒 𝐿𝐸 = 𝑎 , determine a área do quadrilátero LNEA.

37. A área do quadrado ABCD é S. Sabendo que M e N são pontos médios dos lados do quadrado, calcule a área da região sombreada.

40. No trapézio ABCD, as bases são ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑒 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷., 𝐴𝐵 = 4 𝑒 𝐶𝐷 = 10. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ As diagonais 𝐴𝐶 𝑒 𝐵𝐷 são perpendiculares. As retas ⃡𝐵𝐶 𝑒 ⃡𝐴𝐷 interceptam-se no ponto Q, formando um ângulo de 450 . Calcule [𝐴𝐵𝐶𝐷]. GABARITO 1. D 2.A 3.C 5. A) 4 para 1 B) 1 para 2 6.C

7.

√6−√3 3

4.A

8.B

9. Demonstração 12-

10.

13.C

18.

13

1

1 1 1

25.D

8

26.demonstração

27. Demonstração 28.c 𝑅 2 √15

29.4√5

30.

32. 100

33.𝑅. 𝑟

38. [𝐿𝑁𝐸𝐴] =

3

20. 3 e 1 21. 8

2

7

9

15. 110 cm2

, , , ,

22. 23. 315 24.178 cm2

35.

2

20 5 5 4 10

1

1

11.

3

14.6240 cm2

16.D 17. 5 para 1 19. 𝐶𝐸 =

4𝑆

36.

4

4 13

𝑎2 √3 6

31.

12√6 7

− 4 ou

12√6 7

+4

34.[𝐵𝐷𝑃] = √12 − 6√3 37. 10 cm2 39.

9𝑆 20

40.

140 3

4