GUÍA N°3-POTENCIAS, RAICES Y LOGARITMOS.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA PROF: LUISA MUÑOZ / DANIELA VÁSQUEZ PROF Practicante: M° FRANCISCA ÁVILA SÁNCHEZ CUARTO AÑO DE ENSEÑANZA MEDIA

GUÍA DE APRENDIZAJE N°3 “POTENCIA, RAICES Y LOGARITMOS” NOMBRE: __________________________CURSO:4° MEDIO

FECHA: Semana del 10 de mayo.

UNIDAD 1: NUMEROS. OBJETIVOS: OA 1 NM2: Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales.

HABILIDAD: Aplicar. Resolver.

Inicio: Estimado estudiante, la siguiente guía, te permitirá aplicar procedimientos fundamentales para la resolución de ejercicios con números reales y resolver operaciones básicas recordando el orden y la prioridad en estas operaciones en ejercicios rutinarios y no rutinarios. Conocimientos previos

POTENCIAS Una potencia de exponente entero y positivo (natural) corresponde a la multiplicación de n veces un número a, escrita de forma abreviada como a n  b donde a es la base, n es el exponente y b es el resultado. Por ejemplo, 34  3  3  3  3  81 . Una potencia de 10 permite escribir números con muchos ceros como potencias de base 10, ya sea números enteros o decimales. Para los números enteros, el exponente es positivo e indica la cantidad de ceros que tiene el número, por ejemplo 1.000.000  106 y 7.000  7 1.000  7 10 3 . Para los números decimales, el exponente es negativo e indica la cantidad de posiciones decimales que tiene el número, 4 2 por ejemplo 0, 0001  10 y 0,06  6  0,01  6 10 .

o

SIGNOS DE LAS POTENCIAS

()

par

,

()

impar

 ,

()

par

,

()

impar



LAS PROPIEDADES QUE CUMPLEN LAS POTENCIAS  MULTIPLICACIÓN Y DIVICIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Para multiplicar (dividir) potencias de igual base, se suman (restan) los exponentes y se conserva la base. m n

a a a a :a  a m

n

m



n

mn

POTENCIAS DE EXPONENTE CERO

0 Toda potencia de exponente cero es igual a 1, con excepción de 0 , la cual no está definida.

a0  1 

POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

Se invierte con el denominador y el exponente cambia de signo.

1 a ( ) a n

n

1 5

, POR EJEMPLO: 53  ( )3 

1 1 1 1  5 5 5 125

 POTENCIA DE UNA POTENCIA Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

a m  a mn n

 MULTIPLICACIÓN /DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE Se multiplican/dividen las bases y se conserva el exponente.

MULTIPLICACIÓN : a  b  (ab) m

m

a ( a ) DIVISIÓN : bm b

m

m

m

¿SE PODRÍA TENER UNA POTENCIA CON FRACCIÓN COMO EXPONENTE? SI, SE LLAMAN RAICES.

RAICES Las raíces son potencias con exponente fraccionaria, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado. De la forma:

a

m n

na

m

Con a como base de la potencia, n índice de la potencia.

PROPIEDADES QUE CUMPLEN LAS RAICES  Suma y resta de raíces. Solamente pueden sumarse (o restarse) dos o más raíces cuando son raíces semejantes; es decir, si son raíces con el mismo índice e igual cantidad subradical. Por ejemplo 3√2 + 5√2.  Multiplicación/división de raíces del mismo índice. Se multiplican/dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice n



Multiplicación/división de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se multiplican/dividen. Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y resolver de este modo. n



a  n b  n a  b, n a : n b  n a : b

a  m b  nm a  b , n a : m b  nm a : b m

n

m

n

Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

a  n m a

n m

¿CÓMO PODRÍAMOS RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

2

2 x 1

3

x 1

?

PARA RESOLVER INCOGNITAS EN LAS EXPONENCIALES, SE PUEDEN APLICAR LOS LOGARIMOS.

LOGARITMOS PROPIEDADES QUE CUMPLEN LOS LOGARITMOS

b

x

 c , para calcular el valor de x necesitamos saber el exponente al que se debe elevar la base b

para obtener c.

b  c /  log log b  log c x  log c x

b

x

b

b

b

con b>0 y distinto de 1. 

Logaritmo de 1. Cuando la base del logaritmo es igual al argumento del logaritmo, el resultado es 1.

log b  1 b



Logaritmo del producto de dos números. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log a  log b  log (a  b) c



c

c

Logaritmo del cociente de dos números. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

a

log a  log b  log ( b ) c



c

Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

log a c



c

n

 n  log a c

Logaritmo de una raíz. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

log a n

c

m

 log

c

a

m n



m  log a c n

Actividad práctica independiente A continuación, se presentan 20 ejercicios y 5 de desafío, se sugiere realizar el máximo posible y si tienen dudas, consultarlas. 1.

1

3 4 5 5

1



a. 12 b. c. d. e.

35 35 12 7 5 5 7 5 12

2. ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41? i. 24  52 ii. 6  7  60  70 iii. 7 2  23 a. b. c. d. e.

Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II, III Ninguna de ellas

3. El orden de los números: M  4,51106 ; N  45,1105 y P  451 10 7 , de menor a mayor es: a. M,N,P b. P,M,N c. N,M,P d. P,N,M e. M,P,N 4. En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triangulo equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado de triangulo que se obtiene es a. 1000

12 b. 1000 6( ) 2 c. 1000

2

6

d. 1000

6 e. 1000

2

5

5. 26  26  26  26  162  a. 416 b. 4 6

c. 4 2 d. 216 e. 0 6. Si 3n  p y 8b  q , con m y b números enteros, ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a m 1 b 1 1 ?

(3

)

8

a. b. c. d. e.

1 pq  1 1 24 pq 24 pq 24 pq ( pq  2)

7. Se tiene un círculo de área

64cm2 . Si el radio del círculo se duplica cada 2 minutos, entonces

el área del circulo obtenido a los 50 minutos será: 2 50 a.  64cm

2

26450cm c. 26425cm d. 2  64cm e. 6425cm b.

2

2

2

25

2

8.

3 es aproximadamente 1,7320, entonces a. b. c. d. e.

0, 27 aproximado por redondeo a la centésima

0,50 0,51 0,52 0,05 Ninguna de las anteriores

9. La expresión (6  6)2 es a. Un número irracional positivo b. Un número racional positivo c. Un número racional negativo d. Un número irracional negativo e. Cero 10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son verdaderas? 2 i.

( 3  4)

ii. iii. a. b. c. d. e.

5 1 

 19

5 1  2

2 50  4 18  11 8

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II, III

11. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene un valor diferente a 2 5 ?

a.

5 5

b.

20

c.

55

d. e.

500 5 10

5 12. (4) 2  a. 8 b.



c.

1 4

1 4

d. -4 e. 4 13. ¿Cuál de los siguientes números es un número irracional? a. 3

12 b. ( 3  2)( 3  2) c. ( 2  18)2 d.

2 3 4  12

e. Ninguno de los anteriores. 14. Si p  20 , q  5 4 , r  3 8 , s  8 2 , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? a. p