Aula 23 - Logaritmos II

SAVE OFFLINE

Professor / Matéria: Clayton – Álgebra 1

Aula 23 Logaritmos II

1. Relembrando...  Chamamos “log de 𝑎 na base 𝑏” o número:

𝑥

log 𝑏 𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎  Isto é, o log de 𝑎 na base 𝑏 é a potência de 𝑏 que é igual a 𝑎.

 Sendo 𝑎 chamado de logaritmando, 𝑏 de base e 𝑥 de logaritmo.

2. Propriedades operatórias  Além das consequências da definição, podemos definir também algumas propriedades operatórias de logaritmos, especialmente úteis quando lidamos com equações logarítmicas.  Para enunciar essas propriedades, considere 𝑎, 𝑏, 𝑐 como números reais que não ferem as condições de existência.

2. Propriedades operatórias  Log do produto: o logaritmo de uma multiplicação é o mesmo que a soma dos logaritmos.

log 𝑏 𝑎 ∙ 𝑐 = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐

2. Propriedades operatórias  Log do produto: o logaritmo de uma multiplicação é o mesmo que a soma dos logaritmos.

log 𝑏 𝑎 ∙ 𝑐 = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐  Importante: perceba que para usarmos a propriedade da direita para a esquerda, as bases precisam ser iguais!  Intuitivamente: um logaritmo é um expoente, se temos multiplicação com a mesma base, somamos os expoentes.

uma

2. Propriedades operatórias

2. Propriedades operatórias  Log do quociente: o logaritmo de uma divisão é o mesmo que a subtração dos logaritmos.

log 𝑏

𝑎 = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐 𝑐

 Intuitivamente: log é um expoente, então se dividimos valores com a mesma base, subtraímos os expoentes.

2. Propriedades operatórias

2. Propriedades operatórias  Log da potência: também chamada de regra do tombo.

log 𝑏 𝑎𝑐 = 𝑐 ∙ log 𝑏 𝑎  Intuitivamente: log é um expoente, se temos uma base com um expoente, e isso elevado a outro expoente, multiplicamos esses expoentes.  Propriedade muito utilizada para simplificar equações exponenciais!

2. Propriedades operatórias

2. Propriedades operatórias  RESUMO:

log 𝑏 𝑎 ∙ 𝑐 = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐 𝑎 log 𝑏 = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐 𝑐 log 𝑏 𝑎𝑐 = 𝑐 ∙ log 𝑏 𝑎

3. Exemplos  log 2 16

3. Exemplos simples  log 2 16 = log 2 24 = 4 ∙ log 2 2 = 4

 log 5 0,2

3. Exemplos simples  log 2 16 = log 2 24 = 4 ∙ log 2 2 = 4

 log 5 0,2 =

2 log 5 10

=

1 log 5 5

= log 5 5−1 = − log 5 5 = −1

4. Exemplos com incógnitas  Determine as soluções da equação 3 + 2 ln 𝑥 2 = 7.

4. Exemplos com incógnitas  Determine as soluções da equação 3 + 2 ln 𝑥 2 = 7.

 Primeiro, vamos isolar o log: 2 ln 𝑥 2 = 4 ⟹ ln 𝑥 2 = 2  Usando a regra do tombo: 2 ln 𝑥 = 2 ⟹ ln 𝑥 = 1

 Pela definição de log: 𝑒1 = 𝑥  Logo, 𝑆 = {𝑒}.

4. Exemplos com incógnitas  Determine as soluções da equação log 6 𝑥 + 5 + log 6 𝑥 = 2.

4. Exemplos com incógnitas  Determine as soluções da equação log 6 𝑥 + 5 + log 6 𝑥 = 2.

 Pela regra do produto: log 6 𝑥 + 5 + log 6 𝑥 = log 6 [ 𝑥 + 5 𝑥] = 2  Pela definição de log: 62 = 𝑥 + 5 𝑥 ⇒ 𝑥 2 + 5𝑥 = 36 ⇒ 𝑥 2 + 5𝑥 − 36 = 0

 Pela fórmula quadrática (verifique!): 𝑥1 = 4, 𝑥2 = −9.  Perceba que temos um termo log 6 𝑥 e que o logaritmando sempre precisa ser positivo e diferente de zero, logo, 𝑥2 = −9 não é uma solução válida.  Finalmente, 𝑆 = {4}.

4. Exemplos com incógnitas  Desafio: expanda o máximo que conseguir o termo log 4

64 𝑥+1

.