lista 1 - GABARITO

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EP 01 – 2015 –2 – Gabarito – Polinômios

Pré-Cálculo

CEDERJ Gabarito EP 01 Pré-Cálculo ________________________________________________________________________ Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. Solução: Sejam x e z , tais que x Mas, x

10

z

x

2

10 x

10

(10 x) 2

21

4

0

x

2

7 ou

z2

x2

58

x

x2

e

z2

58 .

10 x .

10 x em x 2

Substituindo z Mas, x 2

z

10

z

58 , obtemos: x 2

100

20 x

x2

58 .

2 x 2 20 x

58

( 10 ) 2 4 1 21 21

10

(10 x) 2

10

42

100 84 21

0

10

16 2

x 3.

Então, dividimos 10 em duas partes, tal que:

10

7

3

e

72

32

49

9

58 .

_______________________________________________________________________ Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo, deixando um volume de 196 cm3 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. Solução: Seja x IR , tal que o lado do cubo mede x cm. Se uma fatia de 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base quadrada de lado medindo x cm. Altura medindo x 3 cm O volume desse paralelepípedo é x x ( x Resolvendo a equação x 2 ( x x2 (x

3)

196

x3

3)

3)

x2 (x

3)

196 cm3 .

196 :

3x 2 196

0

Como 𝑥 é medida, 𝑥 é positivo. Os divisores positivos do termo independente são 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196. Testando se são raízes: 1 de 8

EP 01 – 2015 –2 – Gabarito – Polinômios

Pré-Cálculo

13 − 3 ∙ 12 − 196 = −194 ≠ 0.

Logo, 𝑥 = 1 não é solução da equação dada.. x 2 não é solução da equação dada. . Logo, 2 3 2 196 200 0 43 − 3 ∙ 42 − 196 = −180 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 4 não é solução da equação dada.. 3 2 7 3 7 196 0 . Logo, x 7 é solução da equação dada. 3 2 Dividindo x 3x 196 por x 7 obtemos x 2 4 x 28 . Mas, para esse trinômio do segundo grau, x 2 4 x 28 , temos b 2 4 a c 4 2 4 1 28 16 112 0 . Portanto, x 2 4 x 28 não tem raízes reais. Assim, a única raiz solução real da equação x 3 3x 2 196 0 é x 7 . 3

2

Logo, o comprimento do lado do cubo original é x 7 cm. _______________________________________________________________________ Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: a) p ( x )

2 x

d) s ( x ) 2 x

4

1 3 x x 2 2

5

x

3

x

1

3

b)

t ( x) 5

e)

r( x)

c)

q( x) x

1 3

3x

1 2

5

4 x5 x2 3 . x3 5

Solução: a)

É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais.

b)

É um polinômio constante, grau zero.

c) e d)

Não são polinômios, pois há expoentes da variável x que não são números inteiros, maiores ou iguais a 0.

e)

Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios.

________________________________________________________________________ Exercício 4: Determine os valores de a , b , c , números reais, que tornam os polinômios p ( x ) e q ( x) iguais:

p ( x ) a x ( x 1) b x ( x 1) c ( x 1) ( x 1)

e

q ( x ) 3 x2 5 .

Solução: Os polinômios p ( x ) e q ( x ) são iguais se os seus coeficientes ai da i ésima potência x i , i 0 , 1, 2 , são iguais.

Como, p ( x ) a x ( x 1) b x ( x 1) c ( x 1) ( x 1)

p ( x ) ( a b c ) x2 ( a b ) x

a x2

a x b x 2 b x c ( x 2 1)

c .

Então, para que os polinômios p ( x ) e q ( x) sejam iguais, é preciso que:

a b c 3 2a 5 3 a b 1 e c 5 a b 0 a b c 5 c 5 ________________________________________________________________________ Exercício 5: Faça as operações indicadas: 2 de 8

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a)

Pré-Cálculo

(4 x 1) 3 2 ( 4 x 1) 2

b)

( x h )4

x4 .

Solução: a)

(4 x 1) 3 2 ( 4 x 1) 2

( ( 4 x ) 3 3 ( 4 x ) 2 1 3 4 x 12 13 )

64 x 3 48 x 2 12 x 1 32 x 2 16 x 2

2 (16 x 2 8 x 1)

64 x 3 80 x 2 28 x 3 .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) ( x h ) 4 x 4 x 4

4 x3 h

6 x2 h2 4 x h 3 h4

x4

4 x3 h

6 x2 h2 4 x h 3 h4 .

________________________________________________________________________ Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios p ( x ) e s ( x) nos seguintes casos: a) p ( x ) 3 x 5 b) p ( x )

x4 2 x3

x5 3 x4 4 x3

4x 3

s( x)

x3

x 2 11 x 12

s( x)

x2 ( x2 4 x 5) .

2x 1

Solução: a) 3 x 5

x 4 2 x3

3 x5

x3

4x 3

6 x3 3 x2

2x 1 3 x2

x 8

x 4 8 x3 3 x 2 4x 3

x4

2 x2

x

8 x 3 5 x 2 5x 8 x3

3

16 x 8

5 x2

21x 11

Neste caso, o quociente é q( x ) 3 x 2 x 8 e o resto é r ( x )

5 x2

21x 11 .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) x 5 3 x 4 4 x 3 x5

x2

x 4 4 x3

11 x 12

4 x4 5 x3

x

x4 9 x3

x 2 11 x 12

x4

5 x2

4 x3

5 x 3 4x 2

5x 2

1

11x 12

Neste caso, o quociente é q( x )

x

1 e o resto é r ( x )

5 x 3 4x 2

11x 12 .

________________________________________________________________________ Exercício 7: Determine a

IR , de modo que o polinômio

3 de 8

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p( x)

a x3

seja divisível por s ( x )

Pré-Cálculo

( 2 a 1) x 2

(3a 2) x 4 a

x 1 e em seguida, obtenha o quociente da divisão.

Solução: O polinômio p ( x ) a x 3 somente se p (1) 0 .

( 2 a 1) x 2

( 3 a 2 ) x 4 a será divisível por s ( x )

x 1 , se e

Mas, 0

p (1)

Donde, a

p( x)

a 13

( 2 a 1) 12

3 10

3 3 x 10

(3a 2) 1 4 a

a 2 a 1 3a 2

4a

10 a 3 .

e, portanto,

4 2 x 10

11 12 x . 10 10

Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir p ( x ) por s ( x )

3 10

4 10

11 10

3 10

1 10

12 10

12 10

x 1.

1

0

O quociente procurado é: q ( x)

3 2 x 10

1 x 10

12 . 10

________________________________________________________________________ Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: a) p ( x ) 2 x 2 5 x 3

b)

p ( x ) 2 x3

c) p( x) x 4 1

d)

p ( x ) 2 x 4 9x 3

f)

p ( x ) 2 x4

e) p ( x ) x 4 8 x 2 g) p ( x )

x4 1 .

15

h)

x2 5 x 3 6 x 2 11 x 6

x3 7 x 2 4 x 4

𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 1

Solução: farei a solução com detalhes, para que vocês possam entender os resultados que foram usados.

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Pré-Cálculo

5 3 x ) 2 (x 2 2 raízes do trinômio do segundo grau. a) p ( x ) 2 x 2 5 x 3 2 ( x 2

1 ) ( x 3) 2

( 2 x 1) ( x 3) . Bastou encontrar as

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) p ( x ) 2 x 3

x2 5 x 3 .

Como p ( x ) é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 3 , que são: 1, 1, 3 , 3 . Calculando p( 1) , p (1) , p ( 3) , p ( 3) , vemos que não são zero. Logo esse polinômio não tem raízes inteiras. As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente 3 , que são: 1, 1, 3 , 3 , divididos pelos divisores, diferentes de 1, 1 , do coeficiente do 1 1 termo de maior grau, que são 2 , 2 . Calculando p ( ) , vemos que p ( ) 0 . 2 2 Dividindo p (x) por

p ( x ) 2 x3

1 , obtemos; 2

x

x2 5 x 3 ( x

1 ) ( 2 x 2 2 x 6) 2 ( x 2

O trinômio do segundo grau, ( x 2 reais.

1 )( x2 2

x 3 ) ( 2 x 1) ( x 2

x 3) .

x 3 ) , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) p( x) x 4 1

( x 2 ) 2 1 ( x 2 1) ( x 2 1) ( x 1) ( x 1) ( x 2 1) .

Observe que estamos tratando o polinômio p ( x ) x 4 1 , como um trinômio do segundo grau na variável x 2 e que 1 e 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo grau, x 2 1 , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) p ( x ) 2 x 4 9 x 3 6 x 2 11 x 6 . As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 . Calculando p( 1) , vemos que p( 1) 0 .

6 , que são:

Dividindo p (x) por x 1 , obtemos; p ( x ) 2 x 4 9x 3

Como p1 ( x ) real.

6 x 2 11 x 6

( x 1) ( 2 x 3 11 x 2 17 x 6) .

2 x 3 11 x 2 17 x 6 é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz

As possíveis raízes inteiras do polinômio p1 ( x ) 2 x 3 11 x 2 17 x 6 são os divisores do termo independente 6 , que são: 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 . Calculando p1 ( 2 ) , vemos que p1 ( 2 ) 0 . Dividindo p1 ( 2 ) por

x

2 , obtemos;

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p1 ( x )

Pré-Cálculo

2 x 3 11 x 2 17 x 6

( x 2 ) ( 2 x 2 7 x 3) .

Agora é só tentar fatorar o polinômio p2 ( x) 2 x 2 7 x 3 , o que é possível e resulta em 7 3 1 p 2 ( x) 2 x 2 7 x 3 2 ( x 2 x ) 2 (x ) ( x 3) ( 2 x 1) ( x 3 ) . 2 2 2 Portanto a fatoração procurada é: p ( x ) 2 x 4 9 x 3 6 x 2 11 x 6

( x 1) ( x 2) (2 x 1) ( x 3 ) .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) p( x)

x 4 8 x 2 15

( x 2 ) 2 8 x 2 15

( x 2 3) ( x 2 5)

(x

3 )( x

3 )( x

5 )( x

5)

Observe que estamos tratando o polinômio p ( x ) x 4 8 x 2 15 , como um trinômio do segundo grau na variável x 2 e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f) p ( x )

2 x4

x3 7 x 2 4 x 4 .

As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 4 . Calculando p( 1) , vemos que p( 1) 0 . Dividindo p (x) por p ( x ) 2 x4

4 , que são:

x 1 , obtemos;

x3 7 x2 4 x 4

( x 1) ( 2 x 3

x2 8 x 4) .

Como p1 ( x) 2 x 3 x 2 8 x 4 é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. As possíveis raízes racionais do polinômio p1 ( x) 2 x 3 x 2 8 x 4 são os divisores do termo independente 4 , que são: 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 4 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, que são 1 , 1 , 2 , 2 . Logo, as possíveis raízes racionais de p1 ( x) são: 1 1 1 , 1 , 2 , 2 , 4, 4, , . Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que também 2 2 são racionais. Calculando p1 ( 1) 15 , p1 (1) 5 , p1 ( 2) 40 , p1 ( 2) 24 , p1 ( 4) 180 , 1 1 17 1 ) , p1 ( ) 0 , vemos que p1 ( ) 0 . p1 ( 4) 140 , p1 ( 2 2 2 2 Dividindo p1 ( x) por x

p1 ( x) 2 x 3 x 2 8 x 4

1 2 (x

, obtemos;

1 ) ( 2 x2 8) . 2

Como o trinômio do segundo grau, 2 x 2 8 , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais, nada mais temos a fatorar, logo,

p( x)

2 x 4 x3 7 x 2 4 x 4

( x 1) ( x

1 ) ( 2 x2 8) . 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 de 8

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Pré-Cálculo

x4 1

g) p ( x )

Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente 1 , que são: 1 , 1 . Como p ( 1) p (1) 2 0 então esse polinômio não tem fatores lineares na sua fatoração em IR correspondentes às raízes racionais, o polinômio poderá ter raízes irracionais ou não ter raízes reais. Por outro lado, 𝑥 4 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 4 = −1 , mas ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 4 ≥ 0, logo essa equação não tem solução para 𝑥 ∈ ℝ e a sua fatoração só terá fatores quadráticos irredutíveis. Podemos tentar a seguinte fatoração, onde a e b são números reais: p( x)

x4 1

( x 2 a x 1) ( x 2 b x 1)

x 4 ( a b ) x 3 ( a b 2) x 2 ( a b ) x 1 .

Da igualdade de polinômios, segue que:

a b 0 ab 2 0 a

Se a Se a

b a ab 2

a2 2 0

0

a2 2

a

2

ou

2 . 2 então b

2 .

2 então b

2 .

Portanto, a fatoração pedida é: p( x)

x4 1

( x2

2 x 1) ( x 2

2 x 1) .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------h)

𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 1

Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente−1, que são: 1, −1. 𝑝(1) = 1 − 2 + 2 − 1 = 0 , 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 𝑝(1) = 1 + 2 − 2 − 1 = 0 , −1 é raiz de 𝑝(𝑥).

Logo, 𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Devemos determinar 𝑞(𝑥) que tem grau 2. Para isso, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas.

1

−2

0

2

−1

1

1

−1

−1

1

0

−1

1

−2

1

0

𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1, determinando suas raízes, 2

𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1) .

𝑥=

Portanto

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1).

7 de 8

2±√4−4 2

= 1,

𝑥=1

é raiz dupla de 𝑞(𝑥) e

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Pré-Cálculo

_________________________________________________________________________________ Exercício 9: Será x 3 um fator do polinômio p ( x )

x7

2187 ? Justifique sua resposta.

Solução: Se x 3 for um fator do polinômio p ( x ) x 7 x

3 , será uma raiz do polinômio

p( x) x

2187 , então p ( x ) ( x

7

3 ) q ( x ) , e assim,

2187 . Basta então verificar se p ( 3 ) 0 .

Calculando: p ( 3 ) ( 3 )7

2187

2187

2187

0.

Portanto, x 3 é um fator do polinômio p ( x )

x7

2187 .

_________________________________________________________________________________ Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número racional que seja igual ao seu cubo mais um? Solução: Consideremos x um número racional. Se este número racional x , é igual ao seu cubo mais um, então podemos escrever que x x 3 1 . Mas, x x 3 1 x3 x 1 0 . Considerando o polinômio p ( x ) x 3 x 1 , sabemos que as possíveis raízes racionais desse polinômio são inteiras, pois o coeficiente do monômio de mais alto grau, x 3 , é. 1 . Essas possíveis raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1 , que são 1 e 1 . Calculando p ( 1) e p ( 1) :

p ( 1) p (1)

( 1) 3 13

1

( 1) 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 e

0.

Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.

8 de 8