Lista 7 - Circuito Capacitivo - FIS1051 - 2020.1

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Lista de Exercícios

Tema: Circuito Capacitivo Conteúdos abordados     

Diferença de Potencial de capacitores e Capacitância Capacitores de placas paralelas e esféricos Associação de capacitores em série, paralelo e misto Inserção/Remoção de dielétrico com bateria ligada e desligada Energia armazenada

*** Todas as questões desta lista são retiradas de provas antigas da PUC-RIO***

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1ª Questão: No circuito da figura, C1 = 9 μF, C2 = 12μF, C3 = 6 μF, C4 = 12 μF, C5 = 2 μF e

ε = 12 V. Determine:

a) A capacitância equivalente. b) A carga armazenada em cada um dos capacitores. c) O potencial de cada capacitor.

Respostas: a) Ceq = 6 [μF]

b) Q1 = 72 [μC]; Q2 = Q3 = 16 [μC]; Q4 = 48 [μC]; Q5 = 8 [μC]

c) V1 = 8 [V]; V2 = 4/3 [V]; V3 = 8/3 [V]; V4 = V5 = 4 [V]

2ª Questão: Um capacitor de placas paralelas cm área de 90 cm2 (0,009 m2), separadas por uma distância de 1 cm (0,01 m) e com capacitância igual a 8 x 10 -12 F, é conectado a uma fonte de 3 V. Depois de carregado, ele é desconectado e um dielétrico de mesma área, 1 cm de espessura e com constante dielétrica igual a 6, é inserido em seu interior. a) Qual o módulo do campo elétrico em seu interior? b) Qual a carga armazenada no capacitor?

Suponha agora que o dielétrico é introduzido com a fonte conectada e não desconectada como nos itens a e b. c) Qual o módulo do campo elétrico em seu interior? d) Qual a carga armazenada no capacitor?

Respostas: a) E = 50 [N/C]

b) Q = 24 x 10-12 [C]

c) E = 300 [N/C]

d) Q = 144 x 10 -12 [C]

3ª Questão: Dois capacitores, de capacitância C1 = 4 μF e C2 =1 2 μF, estão ligados em série a uma bateria de 12 V. Os capacitores são cuidadosamente desligados, sem perderem carga, e ligados em paralelo, com as placas positivas ligadas entre si e as negativas também ligadas entre si. Depois de estabelecido o equilíbrio:

a) Calcule a carga em cada capacitor. b) Calcule a diferença de potencial entre as placas.

Respostas: a) Q1 = 18 µC

Q2 = 54 µC

b) ΔV = 4,5 [V]

4ª Questão: Um capacitor é construído por duas placas condutoras paralelas quadradas de lados l e separação d. Um material de constante dielétrica k é inserido com velocidade constante, a uma distância x entre as placas do capacitor, como na figura ao lado.

Sugestão: o sistema pode ser considerado com dois capacitores em paralelo a) Ache a Capacitância do Sistema. b) Ache a energia armazenada quando a diferença de potencial é ΔV. c) Ache o módulo, direção e sentido da força exercida sobre o dielétrico. d) Explique porque, entre as placas deste capacitor, o campo elétrico tem o mesmo valor no ar e no interior do dielétrico.

Respostas: 𝜀0

a)

𝐶𝑒𝑞 =

c)

𝐹= −

𝑑

[𝑙 2 + 𝑙𝑥(𝑘 − 1)]

𝜀0 𝑉 2 2𝑑

b)

𝑈=

𝜀0 𝑉 2 2𝑑

[𝑙 2 + 𝑙𝑥(𝑘 − 1)]

[𝑙(𝑘 − 1)]

d) ΔV é igual para os dois capacitores e sendo 𝐸⃗ =

−

𝜕𝑣 𝜕𝑦

, logo E1 = E2

5ª Questão: Duas placas paralelas condutoras de área A, separadas de uma distância d pelo meio dielétrico de permissividade elétrica ε, constituem um capacitor cuja capacitância aproximada é dada por:

𝐶=

𝜀𝐴 𝑑

Baseado nisso, considere a configuração da Figura 1, constituída de uma bateria e três placas paralelas condutoras de determinada espessura não desprezível e equivalente a uma combinação de dois capacitores. As placas estão inicialmente descarregadas, têm áreas iguais a 100 cm 2 cada uma e estão separadas de 1 mm por meios dielétricos iguais, de constante dielétrica k = 8. (Nos cálculos, utilize: ε0 = 9x10-12 F/m)

Considere as seguintes fases sucessivas: Fase 1: As placas D e E são conectadas a uma bateria de fem igual a 10 V, conforme a Figura 1. Nesta situação, determine: a) As cargas elétricas, com sinais, das placas D, I e E. b) A energia total armazenada nas regiões entre as placas. Fase 2: A bateria é removida e, a seguir, os meios dielétricos entre as placas são substituídos pelo vácuo, conforme mostra a Figura 2. Nesta situação determine: c) As d.d.p. entre as placas: VD - VE, VD - VI e VI - VE; d) O trabalho externo Wexterno necessário para remover os dielétricos. Fase 3: As placas D e E são conectadas entre si durante longo tempo por um fio com resistência de 1,0 MΩ, conforme mostra a Figura 3. Nesta fase, determine. e) A energia dissipada no fio. f) A carga elétrica das placas ao final desta fase.

Respostas: a) QD = 3,6x10-9 [C], QE = -3,6x10-9 [C], QI = 0 [C]

b) UE = 1,8x10-8 [J]

c) VD - VE= 80 [V]; VD -VI = VI -VE= 40 [V]

d) W externo = 1,26 x 10-7 [J]

e) UE =1,44 x10-7[J]

f) QD = QE = 0, A placa I permanece com carga total nula

6ª Questão: Dois condutores A e B no vácuo são conectados diretamente a uma bateria cuja força eletromotriz é igual a ε, conforme mostra a figura. Uma das linhas de campo elétrico originadas pela configuração está alinhada com o eixo Y entre os pontos (0,0,0) e (0,d,0) da superfície dos condutores. Ao longo desta linha, o campo é dado pela função:

𝐸⃗ = 𝛼

𝑄 𝑦 (𝑦̂) 𝜀0

onde 𝛼 é uma constante e Q é a carga (desconhecida) do condutor positivo. Determine:

a) A carga com sinal dos condutores A e B, em função dos parâmetros da configuração (𝛼 , ε, d, εo). b) A capacitância da configuração, em função dos mesmos parâmetros. c) A energia fornecida pela bateria, em função dos mesmos parâmetros. d) Se o vácuo é substituído por um meio de constante dielétrica igual a k enquanto a conexão da bateria com os condutores é mantida, recalcule os itens a, b e c.

Respostas: a)

𝑄𝐴 =

2𝜀0 𝜀 𝛼𝑑2

𝑄𝐵 = −𝑄𝐴

b)

𝐶=

2𝜀0 𝛼𝑑2

d) Multiplicar os resultados dos itens anteriores por k.

c)

𝑈=

𝜀0 𝜀2 𝛼𝑑 2

7ª Questão: Um capacitor C de placas planas e paralelas, de capacitância C0, inicialmente descarregado, é conectado a uma fonte de tensão contínua V0. No instante t = 0 a chave S é fechada e o capacitor fica ligado por um tempo muito longo acumulando carga q0 e uma energia potencial U0 (situação de equilíbrio). Caso 1: Com a fonte de tensão ligada, um material de constante dielétrica K1 é inserido entre as placas do capacitor. Nestas condições:

a) Demonstre que

𝑈1 𝑈0

= 𝐾1 , onde U1 é a nova energia potencial após a inserção do dielétrico.

Caso 2: Partindo da situação de equilíbrio (ver acima), antes de colocar o material de constante dielétrica K1 o capacitor é desligado da fonte de tensão. Em seguida o material dielétrico K1 é então inserido no capacitor mantendo ele desconectado da fonte.

b) Demonstre que, neste caso, dielétrico.

𝑈2 𝑈0

1

= 𝐾 , onde U2 é a nova energia potencial após a inserção do 1

8ª Questão: Um capacitor esférico consiste em uma esfera condutora interna de raio R1 dentro de uma casca esférica condutora concêntrica de raio R2. O capacitor está inicialmente submetido a uma diferença de potencial V0 através de uma bateria. Desliga-se a seguir a bateria e remove-se o capacitor carregado. Lembrado que a diferença de potencial entre dois pontos A e B é definida como 𝐵 ∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫𝐴 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 , onde 𝐸⃗ é o campo elétrico:

a) Determine a capacitância C0 desse capacitor em função dos raios R1 e R2. b) Suponha que possamos, através de um dado mecanismo, modificar os raios das placas interna e externa dos condutores de modo a dobrar cada um desses raios. Sabendo que o capacitor, antes de ter as placas alteradas, já foi carregado nas condições do enunciado, determine a nova diferença de potencial V’ entre as placas em função de V0 e também a nova capacitância C’ em função de C0, após a alteração das placas. Agora introduz-se no capacitor, nas condições do item a), um isolante de constante dielétrica K, que preenche toa a separação entre as placas condutoras. c) Determine a nova capacitância C’’ em função de C0 e K. d) Determine a diferença de energias armazenadas U – U0, pelo capacitor com o dielétrico (U) e sem o dielétrico (U0), respectivamente. Respostas: 𝑅 .𝑅

′

2

d)

∆𝑈 =

1−𝐾 2𝐾

1

(

𝑅2 𝑅1

𝑅2 −𝑅1

𝑉

b) 𝑉 = 20 e 𝐶 ′ = 2𝐶0

a) 𝐶0 = 4𝜋𝜖0 𝑅 2−𝑅1

) 𝑉0 2

; a energia diminui.

c) 𝐶 ′′ = 𝐾𝐶0