LISTA DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA

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LISTA DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA Profª Ma. Mariana Ribeiro

FÓRMULAS Juros simples

𝐽 =𝐶⋅𝑖⋅𝑛 𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛) 𝑗

Série de Juros Simples

𝐶=∑ 𝑗=1

Juros compostos

𝑀𝑗 1 + 𝑖𝑛𝑗

𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 𝑗

Série de juros compostos

𝐶=∑ 𝑗=1

Taxa equivalente em juros compostos

𝑀 (1 + 𝑖)𝑛

𝑖𝑒𝑞 = (1 + 𝑖)

𝑝⁄ 𝑎

−1

1- Transforme as taxas de juros simples: a) 2% ao mês em taxa anual b) 24% ao ano em taxa mensal 2- Eliane emprestou um determinado valor de seu irmão comprometendo-se a pagar daqui 4 meses, com uma taxa de 15% a.a. no regime de juros simples. A taxa está equivalente com o período? Qual seria a taxa ideal? 3- Aline emprestou R$ 1500,00 de seu irmão comprometendo-se a pagar daqui 4 meses, com uma taxa de 2% a. m. no regime de juros simples. Quanto Aline pagará de juros? 4- Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 10 500,00, pelo tempo de 12 meses, à taxa simples de 12% a. a? 5- Durante quanto tempo, um capital de R$ 1 500,00, aplicados à taxa de juros simples de 2,5% a.m para produzir um montante de R$ 1725,00? 6- Qual o juros simples referentes ao capital de R$ 950,00, aplicados à taxa de 24% a.a pelo prazo de 36 meses?

7- Lucas deseja comprar um produto em 2 vezes mensais e iguais, sabendo que o preço à vista é R$ 740,00. O parcelamento será realizado sob a taxa de juros simples de 4% a.m. Determine o valor das parcelas. 8- Um produto está com sua venda anunciada em duas parcelas iguais a R$ 400,00, vencendo em dois meses, com entrada de R$ 200,00. Tendo conhecimento que esses valores foram obtidos sob taxa de juros simples de 60% a.a., determine o valor à vista do produto. 9- Ricardo tomou emprestado um determinado valor a uma taxa de juros compostos de 14% a.a. para pagar em 12 meses. Determine a taxa equivalente. 10- Lilian tomou emprestado R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. (ao mês), para pagar após dois meses. Determine o valor a ser pago pelo empréstimo. 11- Luís realizou uma compra que foi financiada em três parcelas mensais e iguais a R$500,00, o financiamento foi realizado sob a taxa de juros compostos de 56% a.a. Determine o valor da compra feita por Luis.

FÓRMULAS Desconto bancário

𝑉𝐵 = 𝑁(1 − 𝑑𝑛) 𝑉𝐵 = 𝑁[1 − (𝑑 + 𝐼𝑂𝐹)𝑛]

Desconto bancário com IOF

Conversão de taxa nominal em efetiva

𝑑 = [(𝑖𝑒𝑓 + 1) 𝑗

∑ Negociação de juros compostos para juros compostos

𝑗=1

1⁄ 𝑓

− 1] 𝑛

𝑀𝑗𝐴 (1 + 𝑖𝐴 )𝑛𝑗𝐴 𝑗

=∑ 𝑗=1

𝑀𝑗𝐵 (1 + 𝑖𝐵 )𝑛𝑗𝐵

12- Renata está a três dias de receber a segunda parcela de seu 13º salário, que é R$ 1.800,00, mas decide antecipar o seu recebimento para

presentear sua mãe. A instituição lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7% a.d. Calcule o valor a ser resgatado. 13- Uma microempresa necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o recebimento das seguintes duplicatas: - Duplicata R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias. - Duplicata R$ 700,00 vencendo em 16 dias. - Duplicata R$ 1.560 vencendo em 5 dias. A instituição que fará a antecipação das duplicatas cobra uma taxa nominal administrativa de 17,1% a.m. Calcule o valor resgatado pelas duplicatas. 14- João necessita adquirir um maquinário, e para isso fará a antecipação de dois títulos de valores nominais de R$ 23.650,00 e R$ 15.740,00 que vencerão em 17 e 23 dias, respectivamente, numa instituição financeira que cobra pela transação uma taxa nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Determine o valor total resgatado. 15- Um contrato de financiamento em regime de juros compostos apresentou taxa nominal de 32% a.a. Apresente a taxa de trabalho desse financiamento ao ano. 16- Um contrato de financiamento em regime de juros simples, porque o parcelamento é a curto prazo, apresentou taxa efetiva de 27% a.a. Apresente a taxa de trabalho desse financiamento ao ano e ao mês. 17- Um produto tem sua venda anunciada em duas parcelas mensais e iguais a R$ 600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m. Um comprador interessado no produto propõe pagá-lo nas seguintes condições: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob taxa e regime de juros compostos de 2,0% a.m. Determine o valor das parcelas propostas.

FÓRMULAS Valor presente Valor presente – financiamento com entrada

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑉𝑃 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴𝑉 − 𝐸 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 𝑖

Valor presente – condições

𝐴𝑉(1 + 𝑖)𝑘−1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 ] 𝑖

especiais 𝑓(𝑖𝑗 ) = Taxa de juros do valor

𝑉𝑃 −𝑛 𝑖𝑗 + (1 + 𝑖𝑗 ) − 1 𝑝𝑎𝑟𝑐

𝑓 ′(𝑖𝑗) =

presente

𝑉𝑃 −𝑛−1 − 𝑛(1 + 𝑖𝑗 ) 𝑝𝑎𝑟𝑐

𝑖𝑗+1 = 𝑖𝑗 −

𝑓(𝑖𝑗 ) 𝑓′(𝑖𝑗 )

18- Um veículo tem valor de venda à vista de R$ 65.000,00, mas a revendedora o financia a uma taxa de juros compostos de 101,22% a.a. Calcule o valor das parcelas se esse veículo for financiado em 56 parcelas mensais e iguais. 19- Uma moto cujo valor à vista é de R$ 12.000,00 está com sua venda anunciada em 18 parcelas mensais e iguais, sob o regime e taxa de juros compostos de 2% a.m. e com entrada de R$ 3.000,00. Determine o valor das parcelas. 20- Um veículo cujo valor à vista é de R$ 30.000,00 foi anunciado para venda em 42 parcelas mensais e iguais, sob regime e taxa de juros composto de 2% a.m., e também oferece o pagamento da primeira parcela após 3 meses do ato da compra. Determine o valor das parcelas do financiamento nessas condições.

FÓRMULAS Valor futuro - aplicações

Determinação da taxa de juros do valor futuro

𝑉𝐹 = 𝑑𝑒𝑝 [

𝑓(𝑖𝑗 ) =

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

𝑉𝐹 𝑛 𝑖𝑗 − (1 + 𝑖𝑗 ) + 1 𝑑𝑒𝑝

𝑓 ′(𝑖𝑗) =

𝑉𝐹 𝑛−1 − 𝑛(1 + 𝑖𝑗 ) 𝑑𝑒𝑝

𝑖𝑗+1 = 𝑖𝑗 −

𝐴𝑚 =

𝑓(𝑖𝑗 ) 𝑓′(𝑖𝑗 )

𝑉𝑃 𝑛

𝐽𝑘 = 𝐷𝑘−1 ∙ 𝑖

Amortização (SAC)

𝑃𝑘 = 𝐴𝑚 + 𝐽𝑘 𝐷𝑘+1 = 𝐷𝑘 − 𝐴𝑚

21- Diego investe numa aplicação que paga a juros compostos de 1,2% a.m., na qual deverá depositar mensalmente R$ 250,00 durante um ano. Determine o saldo da aplicação ao seu término. 22- Daqui a dois anos Laura realizará uma viagem, e nesse período fará depósitos mensais e iguais a R$ 720,00 numa aplicação que paga uma taxa de juros compostos de 18% a.a. Qual o valor que Laura terá na aplicação no período da viagem? 23- Lucas foi conferir as movimentações do cheque especial e os cálculos para determinação dos juros a serem cobrados em regime de cheque especial apresentaram: ∑ 𝑆𝐷 ∙ 𝑑 = 𝑅$35.530,00 𝑑𝑖𝑎 Sabendo que a instituição bancária cobra taxa de juros simples de 0,25% a.d. e IOF de 0,07% a.d. determine os juros a serem cobrados dessa conta.

Gabarito Resolvido 1- a) 2% . 12 = 24% a.a

b) 24% : 12 = 2% a.m

2Período = 4 meses Taxa de juros = 15% a.a Vamos transformar a taxa de juros em meses: 15 15% = = 0,15 100 0,15 𝑖𝑒𝑞 = = 0,0125 = 1,25% 𝑎. 𝑚 12

3C = 1500 n=4 2 i = 2% a.m = 100 = 0,02 J = C . i. n J = 1500 . 0,02 . 4 = 120,00 4𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖. 𝑛) 𝑀 = 10 500(1 + 0,12.1) 𝑀 = 10 500 × 1,12 𝑀 = 11 760 Logo, o montante será R$ 11 760,00.

5𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖. 𝑛) 1725 = 1 500(1 + 0,025. 𝑛) 1725 = 1 + 0,025𝑛 1500 1,15 = 1 + 0,025𝑛 1,15 − 1 = 0,025𝑛 0,15 =𝑛 → 𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 0,025 6J=? C= 950 i = 24% a.a n = 36 meses = 3 anos 𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑛 𝐽 = 950.0,24.3 𝐽 = 684 7𝑀 𝑀 + = 740 1 + 0,04 ∙ 1 1 + 0,04 ∙ 2 1 1 ( + ) 𝑀 = 740 1,04 1,08 (0,9615 + 0,9259)M = 740 1,8874𝑀 = 740 740 𝑀= = 392,07 1,8874 HP12C 740 – PV 4–i 2–n

PMT

8400 400 + 1 + 0,05 ∙ 2 1 + 0,05 ∙ 3 𝐴𝑉 = 363,64 + 347,83 + 200 𝐴𝑉 = 911,47 𝐴𝑉 − 200 =

9𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞 𝑖𝑒𝑞

= (1 + 𝑖)𝑝/𝑎 − 1 = (1 + 0,14)1/12 − 1 = (1,14)1/12 − 1 = (1,14)0,0833 − 1 = 1,011 − 1 = 0,011 𝑎. 𝑚 = 1,1% 𝑎. 𝑚

10𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 1000(1 + 0,04)2 𝑀 = 1000 ∙ 1,04² 𝑀 = 1000 ∙ 1,0816 𝑀 = 1 081,60 HP12C 1000 – PV 4–i 2–n FV 11𝑝 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 𝑖) ⁄𝑎 − 1 1 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 0,56) ⁄12 − 1 𝑖𝑒𝑞 = (1,56)0,0833 − 1 𝑖𝑒𝑞 = 1,0377 − 1 𝑖𝑒𝑞 = 0,0377 𝑖𝑒𝑞 = 3,77% 𝑎. 𝑚. 500 500 500 𝐶= + + 1 2 (1 + 0,0377) (1 + 0,0377) (1 + 0,0377)3 𝐶 = 481,83 + 464,34 + 447,47 𝐶 = 1.393,64 HP12C 500 – PMT 3,77 – i 3–n

PV

12𝑉𝐵 = 𝑁(1 − 𝑑𝑛) 𝑉𝐵 = 1800(1 − 0,007.3) 𝑉𝐵 = 1800(1 − 0,021) 𝑉𝐵 = 1800(0,979) 𝑉𝐵 = 1762,20 13Nesse caso a taxa nominal (d) 17,1% está ao mês, e trabalhamos com taxa nominal ao dia. A taxa nominal é taxa de juros simples. 0,171 𝑖𝑒𝑞 = = 0,0057 𝑎. 𝑑 = 0,57% 𝑎. 𝑑 30 Duplicata R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias. 𝑉𝐵 = 𝑁(1 − 𝑑𝑛) 𝑉𝐵 = 1100(1 − 0,0057.7) 𝑉𝐵 = 1100(1 − 0,0399) 𝑉𝐵 = 1100(0,9601) 𝑉𝐵 = 1 056,11 Duplicata R$ 700,00 vencendo em 16 dias. 𝑉𝐵 = 𝑁(1 − 𝑑𝑛) 𝑉𝐵 = 700(1 − 0,0057.16) 𝑉𝐵 = 700(1 − 0,0912) 𝑉𝐵 = 700(0,9088) 𝑉𝐵 = 636,16 Duplicata R$ 1.560,00 vencendo em 5 dias. 𝑉𝐵 = 𝑁(1 − 𝑑𝑛) 𝑉𝐵 = 1560(1 − 0,0057.5) 𝑉𝐵 = 1560(1 − 0,0285) 𝑉𝐵 = 1560(0,9715) 𝑉𝐵 = 1 515,54 O valor resgatado pelas duplicatas: Valor resgatado = 1056,11 + 636,16 + 1515,54 Valor resgatado = R$3207,81 14Para o título de R$ 23.650,00 𝑉𝐵 = 𝑁[1 − (𝑑 + 𝐼𝑂𝐹)𝑛] 𝑉𝐵 = 23.650[1 − (0,0012 + 0,00017)17] 𝑉𝐵 = 23.650[1 − (0,00137)17] 𝑉𝐵 = 23.650[1 − 0,02329] 𝑉𝐵 = 23.650 . 0,9767 𝑉𝐵 = 23 099,19 Para o título de R$ 15 740,00 𝑉𝐵 = 𝑁[1 − (𝑑 + 𝐼𝑂𝐹)𝑛] 𝑉𝐵 = 15 740[1 − (0,0012 + 0,00017)23]

𝑉𝐵 = 15 740[1 − (0,00137)23] 𝑉𝐵 = 15 740[1 − 0,0315] 𝑉𝐵 = 15 740 . 0,96849 𝑉𝐵 = 15 244,03 Valor total resgatado = 23099,19 + 15244,03 Valor total resgatado = R$38343,22 Portanto, o valor total resgatado com as antecipações será de R$ 38.343,22. 15 𝑓 𝑑 𝑖𝑒𝑓 = ( + 1) − 1 𝑛 360 0,32 𝑖𝑒𝑓 = ( + 1) − 1 360 𝑖𝑒𝑓 = (0,0009 + 1)360 − 1 𝑖𝑒𝑓 = 1,3824 − 1 𝑖𝑒𝑓 = 0,3824 𝑎. 𝑎 = 38,24% 𝑎. 𝑎

16 A taxa efetiva está ao ano, portanto f= 360 dias; a taxa nominal também será ao ano, assim n = 360 dias. 1

𝑑 = [(𝑖𝑒𝑓 + 1)𝑓 − 1]𝑛 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑

1

= [(0,27 + 1)360 − 1]360 = [(1,27)0,0028 − 1]360 = [1,0007 − 1]360 = [1,0007 − 1]360 = 0,0007.360 = 0,252 𝑎. 𝑎 = 25,2% 𝑎. 𝑎

17600 600 𝑀 𝑀 𝑀 + = + + 1 2 2 3 (1 + 0,018) (1 + 0,018) (1 + 0,02) (1 + 0,02) (1 + 0,02)5

600 600 𝑀 𝑀 𝑀 + = + + 1,018 1,0363 1,0404 1,0612 1,1041 1 1 1 589,39 + 578,98 = ( + + )𝑀 1,0404 1,0612 1,1041 1168,37 = (0,9612 + 0,9423 + 0,9057)𝑀 𝑀 = 415,91 18𝑝 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 𝑖) ⁄𝑎 − 1 1 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 1,0122) ⁄12 − 1 𝑖𝑒𝑞 = 0,06

1 − (1 + 𝑖)−𝑛 ] 𝑖 1 − (1 + 0,06)−56 65 000 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 0,06 𝑝𝑎𝑟𝑐 = 4055,20 𝑉𝑃 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [

HP12C 65000 – PV 6–i 56 – n PMT 191 − (1 + 𝑖)−𝑛 ] 𝑖 1 − (1 + 0,02)−18 12000 − 3000 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 0,02 1 − (1 + 0,02)−18 9000 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 0,02 𝑝𝑎𝑟𝑐 = 600,32 𝑉𝑃 − 𝐸 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [

HP12C 9000 – PV 2–i 18 – n PMT 201 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴𝑉(1 + 𝑖) = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 𝑖 1 − (1 + 0,02)−42 3−1 30000(1 + 0,02) = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 0,02 1 − 0,4353 30000.1,0404 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 [ ] 0,02 𝑝𝑎𝑟𝑐 = 1105,44 𝑘−1

HP12C 1º passo – Determinar o FV no final do prazo de carência. 30000 – PV 2–i 2–n FV 2º passo – Calcular parcela com novo PV 31 212 – PV 2–i 42 – n

PMT 21 -. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝑑𝑒𝑝 [ ] 𝑖 (1 + 0,012)12 − 1 𝑉𝐹 = 250 [ ] 0,012 𝑉𝐹 = 3206,14 HP12C 250 – PMT 1,2 – i 12 – n FV 22𝑝 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 𝑖) ⁄𝑎 − 1 1 𝑖𝑒𝑞 = (1 + 0,18) ⁄12 − 1 𝑖𝑒𝑞 = 0,014 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝑑𝑒𝑝 [ ] 𝑖 (1 + 0,014)24 − 1 𝑉𝐹 = 720 [ ] 0,014 𝑉𝐹 = 20 369,93 HP12C 720 – PMT 24 – n 1,4 – i FV 23 𝐽 = (𝑖 + 𝐼𝑂𝐹) ∑ 𝑆𝐷 ∙ 𝑑 𝐽 = (0,0025 + 0,0007) ∙ 35.530 𝐽 = (0,002) ∙ 18.530 𝐽 = 59,296 .