7) Matemática Financeira - TTI

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Matemática Financeira

280 1ª edição

Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico Equipe Técnico-Pedagógica do Instituto Monitor Monitor Editorial Ltda. Av. Rangel Pestana, 1105 – Brás São Paulo/SP – CEP 03001-000 Tel.: (11) 3555-1000 / Fax: (11) 3555-1020 www.institutomonitor.com.br Em caso de dúvidas referentes ao conteúdo, consulte o professor desta disciplina no Portal do Aluno: www.institutomonitor.com.br/alunos Todos os direitos reservados Lei nº 9.610 de 19/02/98 Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos etc., bem como a memorização e/ou recuperação total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prévia autorização escrita da editora. Os infratores estão sujeitos às penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis pela produção de cópias. 1ª Edição - Fevereiro/2017 I.C.E. Monitor

Sumário Apresentação................................................................................................................................... 5

Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo Introdução.................................................................................................................................. 6 1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro........................................................ 6 2. Conceitos Financeiros.................................................................................................... 8 3. Tipos de Juros....................................................................................................................... 8 3.1 Juros Simples.............................................................................................................. 8 3.1.1 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de Investimento Iguais................................... 11 3.1.2 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de Investimento Diferentes........................ 12 3.1.3 Capitalização e Desconto a Juros Simples: Cálculo do Price Principal e do Montante................................... 14 3.1.4 Equivalência de Capitais a Juros Simples...................................... 15 3.2 Juros Compostos...................................................................................................... 17 3.2.1 Equivalência de Capitais a Juros Compostos............................... 21 3.2.2 Cálculo com Prazos Fracionários...................................................... 23 4. Taxas Nominais de Juros............................................................................................... 24 4.1 Cálculo do Montante a Juros Nominais...................................................... 25 5. Taxas Efetivas de Juros.................................................................................................... 25 5.1 Taxa Proporcional (Taxa Linear)..................................................................... 26 5.2 Equivalência entre Taxas de Juros Efetivas............................................. 27 Exercícios Propostos............................................................................................................ 29

Lição 2 - Equivalência de Taxas e de Capitais Introdução.................................................................................................................................. 31 1. Equivalência de Taxas de Juros Simples............................................................... 31 2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos....................................................... 32 3. Equivalência de Capitais Envolvendo Valor Presente e Valor Futuro.................................................................................... 32 4. Série Uniforme de Pagamento e Recebimento............................................... 35 4.1 Características das Séries Uniformes.......................................................... 35 4.2 Valor Presente de Séries Periódicas Uniformes.................................. 36 Exercícios Propostos............................................................................................................ 37

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Lição 3 - Sistemas de Amortização de Empréstimos Introdução.................................................................................................................................. 39 1. Conceito de Amortização.............................................................................................. 39 2. Tipos de Sistemas de Amortização de Empréstimo..................................... 40 3. Sistema de Amortização Constante (SAC).......................................................... 41 4. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)............................................. 42 Exercícios Propostos............................................................................................................ 44 Encerramento.................................................................................................................................... 46 Referências Bibliográficas........................................................................................................... 47

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Apresentação Suponhamos que um jovem receba uma herança de 10 milhões de reais e resolva aplicá-la no mercado financeiro. Um banco paga, na aplicação desse dinheiro, juros de 5% ao ano. Assim, esse jovem vive a vida sem ter de se preocupar com trabalho, já que recebe por ano o valor de 500 mil reais. O banqueiro, por sua vez, recebe esse dinheiro e o empresta a juros de 10% ao ano a uma empresa que ganha, na produção, 15% ao ano. Parece tudo muito simples, já que todos lucram. Mas, e se todas as pessoas que dispõem de recursos resolvessem parar de produzir e viver de juros? Se isso acontecesse, o banqueiro teria muita oferta de dinheiro, e passaria a pagar cada vez menos por ele. Nesse caso, as aplicações deixariam de ser interessantes, e as pessoas tenderiam a voltar ao mercado produtivo. Sabendo que os capitais existentes no país podem estar na área financeira ou no setor produtivo, vale ressaltar que é importante manter equilíbrio no direcionamento desses capitais, já que o setor produtivo é o responsável pela geração de riquezas e, consequentemente, de empregos e melhor qualidade de vida para a maior parcela da população. Essa situação serve para ilustrar o funcionamento do mercado de juros, que pode variar muito em decorrência de fatores internos e externos de qualquer sistema econômico. A Matemática Financeira nos ensina a calcular os ganhos de uma aplicação do nosso dinheiro, seja no mercado financeiro, seja em uma empresa. Ela também ajuda a verificar os custos de um financiamento: tanto em uma loja (compras a prazo) quanto em um banco (empréstimo de dinheiro). Matemática Financeira é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados para a análise e operacionalização de transações financeiras. Seu objetivo é avaliar as taxas de juros nas aplicações e nos empréstimos, já que, para fazermos uma aplicação, o melhor é procurar a mais alta taxa de juros disponível e, para um empréstimo, o ideal é procurar a taxa mais baixa de juros. Para chegar a isso, é necessário conhecer conceitos matemáticos como os de taxa, capital, saber calcular juros, período ideal de aplicação etc. Assim, é possível perceber que a disciplina de Matemática Financeira é importante para a gestão de uma empresa e no processo de tomada de decisão financeira, pois estimar o desgaste do dinheiro no tempo é fundamental para avaliar os custos financeiros de uma empresa. Bom estudo!

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Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo Nesta lição você verá que o valor do dinheiro muda ao longo do tempo. Entenderá os vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro. A matemática nos ajuda a calcular essa transformação e nos dá suporte para a tomada de decisões, tanto em uma empresa quanto em nossos assuntos pessoais do cotidiano. Ao término desta lição, você será capaz de: a) entender o valor do dinheiro no tempo; b) efetuar cálculos de juros, de capital e do montante de uma operação financeira; c) compreender o funcionamento do valor aplicado e/ou cobrado nas respectivas transações.

1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro Podemos afirmar que R$1,00 hoje jamais será igual a R$ 1,00 em qualquer outro momento. R$ 1,00 Hoje

≠

R$ 1,00 tempo 30 dias depois

Atenção! Obviamente, as mercadorias e produtos não têm seus preços alterados diariamente, mas, periodicamente, sofrem reajustes de preços que visam repor as perdas verificadas em todo o período em que não sofreram aumento.

Isso ocorre porque o dinheiro perde valor ao longo do tempo. O que compramos com R$ 100,00 hoje, dificilmente poderá ser comprado daqui a dois anos pelos mesmos R$ 100,00. Isso significa que o dinheiro perde poder aquisitivo. Existem vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro, como a inflação, por exemplo.

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A inflação é um evento tipicamente monetário que consiste em um aumento generalizado de preços, decorrência da perda do poder aquisitivo pela moeda. Mas, é importante saber que nem sempre ela é a principal causadora da perda do poder aquisitivo do dinheiro. Então, por que ocorre a inflação? Ela pode iniciar devido ao aumento de custos ou de demanda (procura), ou, ainda, pela combinação dos dois fatores. Uma vez iniciada a inflação, ocorre um fenômeno denominado espiral de preços, em que todos os “atores” da economia (empresas, empregados, governo, entre outros) praticam aumentos sistemáticos de preços. Se o dinheiro necessariamente perde seu valor, o maior desafio para quem guarda parte de sua renda e possui dinheiro poupado é manter o valor dessa economia ou poupança, impedindo que o dinheiro perca valor com o passar do tempo. Por outro lado, quem não tem poupança e precisa de dinheiro emprestado terá que compensar aquele que o empresta, pois o pagamento do empréstimo naturalmente será efetuado em data futura. Para todas essas questões, a Matemática Financeira fornece métodos e técnicas que permitem o cálculo das perdas e dos ganhos do dinheiro ao longo do tempo. Como o dinheiro desvaloriza com o tempo, o primeiro fato a ser considerado é o de que o valor do dinheiro hoje é diferente do valor do dinheiro em qualquer data futura. Sendo assim, o dinheiro tem um valor presente e um valor futuro. Ponto-chave Valor presente é aquele que, na escala do tempo, está localizado no momento atual (ou na data de hoje), também chamado de data-zero. Valor futuro é aquele que se encontra em qualquer data após a data-zero. Pode ser aquele de um dia depois, um mês depois, um ano depois, dez anos depois etc.

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Valor presente

Valor futuro Tempo

Data de hoje

Data futura

2. Conceitos Financeiros Para quem estuda Matemática Financeira, o conhecimento de alguns conceitos é imprescindível. São eles:

• Capital ou Principal: é o valor aplicado em uma determinada

operação, seja ela de aplicação ou empréstimo. É conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês, Present Value (PV).

• Juros: é a remuneração do Capital ou Principal empregado em alguma atividade produtiva.

• Montante: é o valor composto pelo Principal acrescido de Juros. • Taxa de Juros: é a remuneração do Capital expressa em porcentagem (%) por unidade ou período de tempo. Pode ser mensal, trimestral, anual etc.

• Período de Capitalização: refere-se ao período de tempo (mês,

ano etc.) em que os Juros são efetivamente calculados e somados a aplicação ou dívida.

3. Tipos de Juros 3.1 Juros Simples Os juros simples são calculados pelo chamado regime de capitalização simples, o que significa dizer que não há incidência de juros sobre juros, ou seja, o juro é o resultado da taxa de juros por período (mês, ano etc.) multiplicado somente pelo principal. Vejamos um exemplo: O Sr. Carlos aplicou R$ 1.000,00 em um banco pelo período de três meses. Ao final do trimestre, ele receberá do banco os R$ 1.000,00 que aplicou, além de, ao final de cada mês, receber 2% de juros simples, que correspondem à remuneração do investimento feito. Ao final de cada mês, o banco terá de pagar ao Sr. Carlos: 1 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00 2 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00 3 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00

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Depois de 3 meses, o banco deve pagar ao Sr. Carlos R$ 60,00 de juros, além de devolver os R$ 1.000,00 referentes ao principal do investimento. Assim, podemos representar os juros da seguinte forma: J=C.i.n Em que: J  = juros C  = capital i  = taxa n = número de períodos de investimento ou aplicação Para Refletir Ao aplicar um capital durante determinado período, ao fim do prazo obtemos o valor (montante). Montante: é a soma do capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante (M) e o capital (C) é denominada remuneração (J) ou rendimento do capital.

Rendimento = montante – capital O rendimento em uma aplicação financeira é o produto entre a taxa de juros (i) e o capital (C) ou principal e o tempo: J=C.i.n J =i.n C J=M-C Igualando as duas expressões, obtemos: M–C=C.i.n M=C.i.n+C M = C (i . n + 1) ou M = C (1 + i . n) Assim, na aplicação do Sr. Carlos, obtemos o seguinte produto: J=C.i.n J = 1.000 . 0,02 . 3 = R$ 60,00 M = 1.000 (1 + 0,02 . 3) = R$ 1.060,00 Se representarmos graficamente, através dos fluxos de caixa da operação, a aplicação financeira realizada, teremos:

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R$ 20,00 1º mês

R$ 20,00

2º mês

R$ 1.000,00 + R$ 20,00

3º mês tempo

R$ 1.000,00 O eixo horizontal representa o tempo dividido em períodos (cada período equivale a um mês). A seta apontada para baixo representa a saída de recursos e as setas apontadas para cima representam as entradas de recursos. Atenção! A taxa de juros percentual deve ser apresentada na forma fracionária para realização dos cálculos correspondentes. Por exemplo: Forma Percentual

Fracionária

25%

25/100 = 0,25

15%

15/100 = 0,15

2%

2/100 = 0,02

0,4%

0,4/100 = 0,004

Ponto-chave Juros comerciais: consideram-se 360 dias. Juros exatos: consideram-se 365 dias. Convenção para a taxa de juros: a.a. = taxa ao ano a.m. = taxa ao mês a.s. = taxa ao semestre a.d. = taxa ao dia a.t. = taxa ao trimestre

Exemplo 1 O Sr. Manoel aplicou R$ 10.000,00 pelo período de um ano, e a remuneração anual dessa aplicação financeira é de 30%. Vejamos como calcular os juros e o montante, e como apresentar os fluxos de caixa. J = C . i . n J = 10.000 . 0,3 . 1 J = R$ 3.000,00

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M = C (1 + i . n) M = 10.000 (1 + 0,3 . 1) M = R$ 13.000,00

R$ 13.000,00 1 ano

tempo

R$ 10.000,00

Exemplo 2 Um investidor aplicou R$ 100.000,00 durante seis meses a uma remuneração de 4% a.m., paga ao final de cada mês. Quanto ele recebeu de juros? Qual é o montante da operação? J = C . i . n J = 100.000 . 0,04 . 6 J = R$ 24.000,00

R$ 100.000,00 + R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00

R$ 4.000,00

1º mês

M = C (1 + i . n) M = 100.000 (1 + 0,04 . 6) M = R$ 124.000,00

2º mês

3º mês

4º mês

5º mês

6º mês

R$ 100.000,00

Pode-se dizer que o montante é a soma do capital com os juros.

►►3.1.1 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de Investimento Iguais

Ao resolver um problema de Matemática Financeira, deve-se atentar para o tempo da aplicação e da taxa dos juros. Para sua melhor compreensão, a seguir encontram-se alguns exercícios resolvidos com os respectivos tempos destacados. Exercícios Resolvidos 1. Calcule os juros obtidos por R$ 3.000,00 aplicados por um ano, a uma taxa de juros simples de 25% a.a. Dados: C = R$ 3.000,00 i = 25% a.a. = 25 = 0,25 a.a. 100 n=1 J=? J=C.i.n J = 3000 . 0,25 . 1 = R$ 750,00

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2. Qual será o montante de R$ 1.600,00 aplicados por um ano, a uma taxa de juros simples de 50% a.a.? Dados: C = R$ 1.600,00 i = 50% = 50 = 0,5 a.a. 100 n=1 J=? J=C.i.n J = 1.600 . 0,5 . 1 = R$ 800,00 M = C + J= 1.600,00 + 800,00 = R$ 2.400,00 3. Qual é a taxa de juros simples que transforma R$ 4.500,00 em um montante de R$ 8.100,00 em um ano? C = R$ 4.500,00 M = R$ 8.100,00 n=1 i = ? a.a. J=M–C J = 8.100 – 4.500 = R$ 3.600,00 J=C.i.n i= J (C . n) assim: i = 3.600,00 = 0,8 = 80% a.a. (4.500,00 . 1)



►►3.1.2 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de Investimento Diferentes

O período de investimento pode ser expresso por uma fração correspondente ao perío­do expresso na taxa de juros. Sempre que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento forem diferentes, é preciso realizar um ajuste na taxa. Ponto-chave Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias: i . n (juro comercial) J=C. 30 Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses: i . n (juro comercial) J=C. 12 Se a taxa de juros for anual e o prazo da aplicação referir-se a dias: i . n (juro comercial) J=C. 360 J=C.

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i . n (juro exato) 365

Exercícios Resolvidos 1. Qual é o rendimento de R$ 10.000,00 aplicados por um mês, a uma taxa de juros simples de 36% a.a.? C = R$ 10.000,00 n = 1 mês i = 36% = 0,36 a.a. J=? J = C. i. n J = 10.000 . 0,36 . 1 = R$ 300,00 12 2. Determine a taxa de juros simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% a.m. n = 22 dias i = 3,05% = 0,0305 a.m. i22 dias = 0,0305 . 22 = 0,0224 = 2,24% 30 3.  Calcule o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m. C = R$ 23.000,00 i = 2,5% = 0,025 a.m. n = 14 dias J=? J=C.i.n J = 23.000 . 0,025 . 14 30 J = R$ 268,33 4. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu R$ 360,00. Determine a valor do capital. C=? i = 4% = 0,04 a.m. J = R$ 360,00 J=C.i.n 360 = C . 0,04 . 3 360 = C . 0,12 C = 360 = R$ 3.000,00 0,12 13

►► 3.1.3 Capitalização e Desconto a Juros Simples: Cálculo do Principal e do Montante

Já vimos que o montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital inicialmente investido (principal) acrescido de sua remuneração decorrido o período de aplicação (juros obtidos). Como: M = C (1 + i . n) Pode-se dizer que o cálculo do principal a partir do montante segue o processo inverso: C=

M 1+i.n

Veja a seguir o diagrama de fluxo de caixa utilizado para representar graficamente as transações financeiras em determinado período. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes na análise. Por convenção, as entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos, por setas verticais apontadas para baixo. Representação do processo de capitalização e o desconto de capitais no regime de juros simples capitalização 0 P = S (1 + i . n)-1

S = P (1 + i . n) n

tempo

desconto

O processo de capitalização consiste no cálculo do montante ou no valor futuro de um capital. S = P (1 + in) O processo de desconto consiste em calcular o valor atual de um montante futuro. Um é o inverso do outro. P=

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S (1 + i . n)1

ou P = S (1 + i . n)-1

►►3.1.4 Equivalência de Capitais a Juros Simples Dois ou mais capitais são equivalentes quando, transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data valores iguais. Exercícios Resolvidos 1. Qual é o valor de resgate de R$ 500,00 aplicados por 16 meses a uma taxa de juros simples de 12% a.t.? C = R$ 500,00 n = 16 meses i = 12% a.t. M=? M = C (1 + i . n) M = 500,00 1 + 0,12 . 16 = R$ 820,00 3 2. Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% a.m., em três meses resulta em R$ 8.000,00? Dados: C=? M = R$ 8.000,00 n = 3 meses i = 20% = 0,20 a.m. C=

M 8.000 = = R$ 5.000,00 (1 + i . n) (1 + 0,20 . 3)

3. Em dois meses, R$ 5.050,00 transformaram-se em R$ 5.600,00. Qual foi a taxa de juros simples anual obtida? Dados: C = R$ 5.050,00 M = R$ 5.600,00 n = 2 meses i = ? a.a. M = C (1 + i . n) 5.600 = 5.050 1 + i . 2 12 5.600 = 1 + i . 2 5.050 12

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1,11 = 1 + 2i 12 1,11 - 1 = i 6 0,11 = i 6 0,11 x 6 = i 0,66 = i i = 66% a.a. 4. Em quantos meses um capital de R$ 400,00 rende R$ 80,00 a juros simples de 60% a.a.? Dados: C = R$ 400,00 J = R$ 80,00 M = C + J = 400,00 + 80,00 = R$ 480,00 i = 60% = 0,60 n=? M = C (1 + i . n) 480 = 400 1 + 0,60 . n 12 480 = 1 + 0,60 . n 400 12 480 - 1 = 0,60 . n 400 12 1,2 - 1 = 0,60 . n 12 0,2 = 0,60 . n 12 0,2 . 12 = 0,60. n 2,4 = 0,60. n 2,4 = n 0,60 n = 4 meses

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3.2 Juros Compostos Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização composta, o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse total incidem novos juros no período seguinte e assim sucessivamente. O cálculo do montante de uma aplicação com juros composto é dado por: M = C (1 + i)n

e

J=M-C

Isolando C, temos: C=

M (1 + i )n

ou

C=M

S (1 + i . n)1

A taxa de juros deve sempre referir-se à mesma unidade de tempo do período financeiro. Ponto-chave O fator (1 + i) n é chamado de fator de capitalização do valor futuro, e permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação. Capitaliza um principal levando-o a uma data posterior. O fator (1 + i) -n permite encontrar o valor principal de determinado montante, ou seja, desconta um valor futuro trazendo-o a uma data anterior.

Exemplo 1 O Sr. José investiu, pelo período de três meses, R$ 10.000,00 numa aplicação financeira que oferece juros de 1% ao mês. Como ele não retirará os juros ao final de cada mês, o banco depositará os devidos valores no final do trimestre, juntamente com a devolução do principal. Assim, o investimento do Sr. José será acrescido de juros a cada mês: 1 º mês = R$ 10.000,00 . 1,01 = R$ 10.100,00 2 º mês = R$ 10.100,00 . 1,01 = R$ 10.201,00 3 º mês = R$ 10.201,00 . 1,01 = R$ 10.303,01 De outra forma: 10.000,00 . 1,01 . 1,01 . 1,01 = R$ 10.303,01 Ou seja: M = C(1 + i)n M = 10.000 (1 + 0,01)3 M = R$ 10.303,01 17

Assim, os juros recebidos pelo Sr. José ao final do trimestre serão de: J=M–C J = 10.303,01 – 10.000 J = R$ 303,01 Para o investidor, os fluxos de caixa serão de: R$ 10.303,01 1º mês

2º mês

3º mês

R$ 10.000,00

Exemplo 2 Supondo que a caderneta de poupança remunere os seus investidores com juros de 6% a.a., e capitalize 0,5% de juros ao mês. Calcule o montante e os juros de um investimento de R$ 4.000,00 aplicado por um ano, sem qualquer retirada durante esse período. M = C (1 + i)n M = 4.000 (1 + 0,005)12 M = 4.000 (1,005)12 M = 4.000(1,061678) M = R$ 4.246,71 J=M–C J = 4.246,71 – 4.000 J = R$ 246,71 Para o investidor, os fluxos de caixa serão: R$ 4.246,71 meses R$ 4.000,00

Observe que nos juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo, uma vez que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. No regime de juros simples, o montante cresce linearmente, pois os juros de determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

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Exemplo 3 Ao aplicarmos R$ 1.000,00 durante três anos, a uma taxa de 20% a.a., teremos os seguintes rendimentos e montantes no regime de juros simples e no regime de juros compostos. Juros Simples

Juros Compostos

Rendimento

Montante

Rendimento

Montante

1º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 200,00

R$ 1.200,00

1º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 200,00

R$ 1.200,00

2º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 200,00

R$ 1.400,00

2º mês - R$ 1.200,00 . 0,2 = R$ 240,00

R$ 1.440,00

3º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 200,00

R$ 1.600,00

3º mês - R$ 1.440,00 . 0,2 = R$ 288,00

R$ 1.728,00

Para Refletir Caso necessite, faça uma revisão de PG (Progressão Geométrica). O livro Matemática vol. único, de Carlos Alberto Marcondes dos Santos, da Editora Ática pode auxiliá-lo.

Observe que nos juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. No regime de juros simples, o montante cresce linearmente, pois os juros de determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Exemplo 1 Luciana pediu emprestados em um banco R$ 2.000,00. O pagamento total será feito depois de dois meses. Se o banco cobra juros de 5% ao mês, qual será o montante dessa dívida? Quanto ela pagará de juros por esse empréstimo? M = C (1 + i)n M = 2.000 (1 + 0,05)2 M = 2.000 (1,1025) M = R$ 2.205,00

J=M–C J = 2.205,00 – 2.000,00 J= R$ 205,00

Os fluxos de caixa, serão: R$ 2.000,00 1º mês

2º mês

R$ 2.205,00

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Exercícios Resolvidos 1. A juros compostos de 20% a.a., qual será o montante de um capital de R$ 3.500,00 em oito anos? Dados: M=? i = 20% = 0,20 a.a. C = R$ 3.500,00 n = 8 anos M = C (1 + i)n M = 3.500 (1 + 0,20)8 M = 3.500 . 4,30 = R$ 15.050,00 2. Qual é o capital que em seis anos, à taxa de juros composta de 15% a.a., resulta R$ 14.000,00? Dados: C=? n = 6 anos i = 15% = 0,15 a.a. M = R$ 14.000,00 C = M (1 + i)-n C = 14.000 (1 + 0,15)-6 C = 14.000 (1,15)-6 C = 14.000 (0,432327595) C = R$ 6.052,59 3. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros compostos de 2% a.m.? Dados: J=? C = R$ 4.000,00 i = 2% = 0,02 a.m. n = 10 meses Juros = Montante – Capital Juros = C (1 + i)n – C Juros = 4.000 (1 + 0,02)10 – 4.000 Juros = 4.000 (1,21899442) – 4.000 Juros = 4.875,97768 – 4.000 Juros = R$ 875,98

20

►►3.2.1 Equivalência de Capitais a Juros Compostos Dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Exercícios Resolvidos 1. Calcule o valor presente do conjunto de capitais apresentado a seguir e verifique se, a juros compostos de 10% a.m., eles são equivalentes. Capital

Mês de vencimento

R$ 2.000,00

1

R$ 2.200,00

2

R$ 2.420,00

3

R$ 2.662,00

4

2.662 . (1,10)-4 = 1.818,18 2.420 . (1,10)-3 = 1.818,18 2.200 . (1,10)-2 = 1.818,18

ou 2.000 = 2.2002 = 2.4203 = 2.6624 = R$ 1.818,18 (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)

2.000 . (1,10)-1 = 1.818,18 2. Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis meses equivalem a qual valor hoje? VF = R$ 1.000,00 i = 6% = 0,06 a.m. VP = ? VP = 1.000 (1 + 0,01)-6 VP = 1.000 (0,942045) VP = R$ 942,05 De outro modo: VP =

1.000 (1 + 0,01)6

VP =

1.000 (1,061520)

VP = R$ 942,05 Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000,00 (locado seis meses adiante) para a data-zero ou momento atual. 21

3. A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem a quanto daqui a três meses? Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 i = 3% = 0,03 a.m. Valor Futuro (VF) = ? VF = 1.000 (1 + 0,03)3 VF = R$ 1.092,73 Portanto, R$ 1.000,00 hoje, equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, considerando-se uma atualização mensal de 3%. 4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 3.000,00 com vencimento em dois anos e uma dívida de R$ 4.500,00 com vencimento em seis anos. Pretende quitar os seus débitos por meio de um pagamento único, realizado ao final de quatro anos. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% a.a., determine o valor do pagamento único que liquida a dívida. 0

2

4 (1,10)

R$ 3.000,00

6

2

mês R$ 4.500,00

(1,10)-2

x

3.000 . (1,10)2 = 3.630 4.500 . (1,10)-2 = 3.719 x = 3.630 + 3.719 x = R$ 7.349,00 5. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 1.000,00 que vence em dez meses e propõe-se a pagá-la em três parcelas: R$ 350,00 daqui a três meses, R$ 300,00 daqui a sete meses, e uma parcela final no vencimento da dívida. Sendo os juros compostos de 4% a.m., determine o valor da parcela final que liquida a dívida. 0

3

7

350

300

10

mês

(1,04)3 x

(1,04)7

Por equivalência de capitais, no décimo mês, o valor da dívida deve ser igual ao valor das três parcelas atualizadas para aquela data. Assim: 350. (1,04)7 + 300. (1,04)3 + x = 1.000 350. 1,32 + 300. 1,12 + x = 1.000 462 + 336 + x = 1.000 22

798 + x = 1.000 x = 1.000 – 798 x = R$ 202,00

►►3.2.2 Cálculo com Prazos Fracionários Muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos aos quais se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. Quando isso acontece, são usadas as seguintes opções de cálculo:

• Convenção Linear: os juros compostos são usados para a parte inteira do prazo e, os juros simples, para a parte fracionária do prazo.

• Convenção Exponencial: os juros compostos são usados tanto para a parte inteira do prazo quanto para a parte fracionária do prazo.

Exemplo 1 Para um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 77 dias, a juros de 5% a.m., calcule o montante utilizando as convenções linear e exponencial. Atenção! Fique atento aos cálculos! Será utilizada a parte inteira e a parte fracionária.

Convenção Linear: C = R$ 25.000,00 i = 5% a.m. = 0,05 a.m. n = 77 dias (2 meses e 17 dias) M=? M = 25.000,00 . (1+0,05)2 . 1 + 0,05 . 17 = R$ 28.343,44 30 Convenção Exponencial: 77

M = 25.000,00 . (1+0,05)

30

= R$ 28.335,17

Exemplo 2 Um capital de R$ 27.000,00, aplicado a juros de 6% a.m., rendeu R$ 5.654,80. Determine o prazo da aplicação em meses. M = soma do capital + rendimento M = 27.000 + 5.654,80 = 32.654,80 C = 27.000 i = 6% a.m. = 0,06 a.m. n=?

23

Convenção Exponencial: M = C (1 + i)n 32.654,80 = 27.000 (1 + 0,06)n 32.654,80 = (1,06)n 27.000 1,2094370 = (1,06)n Dica de Leitura Vale a pena ler e pesquisar sobre as Propriedades dos Logarítimos. O livro Matemática Completa, de José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjarno, da Editora FTD, poderá auxiliálo a aprofundar seus conhecimentos.

Como queremos encontrar “n”, e este é um expoente, é preciso aplicar a regra dos logaritmos: logb an. Dessa forma, teremos: log1,2094370 = log(1,06)n log1,2094370 = n . log1,06 log1,2094370 = n log1,06 n = 3,2634 meses

4. Taxas Nominais de Juros São as taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com os períodos informados. Como exemplo, podemos citar os Títulos Públicos. Vamos supor que uma pessoa compre um título pelo valor de R$ 2.000,00 e, no final do ano, esse título será reembolsado pelo valor de R$ 2.500,00. O cálculo da taxa nominal de juros será feito da seguinte forma: Juros Pagos – Valor Nominal do Empréstimo 2.500 – 2.000 = 500 A taxa nominal de juros é calculada da seguinte forma: 500 = 0,25 . 100 = 25% a.m. 2.000 São exemplos de taxas nominais: 18% ao ano capitalizado mensalmente, 8% ao semestre capitalizado mensalmente etc.

24

4.1 Cálculo do Montante a Juros Nominais Considerando um capital aplicado a uma taxa nominal de juros efetiva ao ano, na qual os juros são capitalizados uma única vez ao ano, o montante ao término do primeiro ano de aplicação será: M = C (1 + i) Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (duas vezes por ano), o montante ao final de um ano será: M=C 1+ j 2

2.1

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (12 vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será: M=C 1+ j 12

12 . 3

Em geral, podemos expressar o montante de um capital aplicado pelo prazo “m”, a uma taxa nominal “j”, com juros capitalizados “k” vezes durante o período referencial da taxa nominal, do seguinte modo: M=C 1+ j Z

k.m

Em que: j = taxa de juros nominal k = número de vezes em que os juros são capitalizados no período ao qual a taxa nominal se refere m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal C = principal ou capital

5. Taxas Efetivas de Juros São as taxas de juros cujos períodos de capitalização são idênticos aos períodos informados. Os juros são capitalizados (incorporados ao capital) e coincidem com aquele ao qual a taxa está referida. Como exemplos, podemos mencionar: 14% ao mês com capitalização mensal, 25% ao ano com capitalização anual etc. Supondo que um banco ofereça empréstimo a uma taxa mensal de juros de 3,5%, com capitalização (pagamento de juros) também mensal. Vimos, anteriormente, que se a caderneta de poupança oferecer um rendimento anual 25

de 6%, esta será a taxa nominal da aplicação financeira. Mas como os juros são capitalizados mensalmente? Qual seria a taxa efetiva anual de remuneração da cadernerta de poupança? A taxa efetiva é dada por: iefe = [ (1 + i)n – 1], assim: iefe = [ (1 + 0,005)12 – 1 ] = 0,0617 No exemplo dado, a taxa efetiva de remuneração da caderneta de poupança é de 6,17% ao ano, ou seja, multiplicamos (0,0617 por 100). Vamos supor que um empréstimo de R$ 30.000,00 será quitado por meio de um único pagamento de R$ 38.000,00, no prazo de um mês. No ato da contratação foi paga uma tarifa de serviço bancário de 5% cobrada sobre o valor do empréstimo. A taxa nominal é a razão entre os juros pagos e o valor nominal do empréstimo: juros pagos = empréstimo nominal R$ 38.000,00 - R$ 30.000,00 = 26,67% a.m. R$ 30.000,00 Taxa nominal =

A taxa efetiva é a razão entre os valores efetivamente pagos e o valor do empréstimo efetivamente liberado: Taxa efetiva = valores efetivamente pagos = empréstimo efetivo (R$ 38.000,00 - R$ 30.000,00) + 0,05 . R$ 30.000,00 = 33,33%a.m. R$ 30.000,00 - 0,05 . R$ 30.000,00

5.1 Taxa Proporcional (Taxa Linear) É determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o número de vezes que ocorrem juros (quantidade de períodos de capitalização). Exemplo: a taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% a.a., capitalizados mensalmente, é de 1,5% a.m. Taxa proporcional =

j = 18% a.a = 1,5% a.m. k 12

Nesse caso, o percentual de juros que incidirá sobre o capital, a cada mês, será 1,5%.

26

Exercícios Resolvidos 1. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 15% a.a., capitalizada diariamente. Dados: i = 15% = 0,15 k = 360 ia = 1 + 0,15 360

360

– 1 = 16,18% a.a.

2. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 15,5% a.a., capitalizada trimestralmente. j = 15,5% = 0,155 k=4 ia = 1 + 0,155 4

4

– 1 = 16,42% a.a.

Lembrete k = 4 porque temos 4 trimestres em 1 ano.

5.2 Equivalência entre Taxas de Juros Efetivas Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. Assim, 2% a.t. é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% a.a., pois 2% . 4 = 8%. Toda taxa de juros pode ser convertida em outro prazo qualquer, sem alterar seu valor. Considerando-se o ano comercial (360 dias), temos a seguinte identidade que permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas: (1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360 Em que: ia = taxa efetiva anual is = taxa efetiva semestral it = taxa efetiva trimestral im = taxa efetiva mensal id = taxa efetiva diária Saiba Mais Embora não presente na fórmula, também temos ib , que representa taxa efetiva bimestral.

27

Para passar de uma unidade de tempo menor para uma maior (como de mês para ano, por exemplo) deve-se elevar a taxa de juros pelo número de períodos correspondentes. No sentido contrário, de ano para mês, por exemplo, deve-se elevar ao inverso do período. Veja no quadro a seguir as conversões necessárias. De a.m. para a.a. a ia = (1+ i m ) 12 - 1

De a.d. para a.m. a im = (1+ i d ) 30 - 1

De a.d. para a.a. a ia = (1+ i d ) 360 - 1

De a.a. para a.m. a im = (1+ i a ) 1/12 - 1

De a.m. para a.d. a id = (1+ i m ) 1/30 - 1

De a.a. para a.d. a id = (1+ i a ) 1/360 - 1

Exercícios Resolvidos 1. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente. ia = ? j = 24% a.a. = 0,24 a.a. k = 12 (1 + ia) = 1 + j k

k.m

a ia = 1 + 0,24 12

12 . 1

– 1 = 26,82% a.a.

2. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 48% a.s., capitalizada mensalmente. ia = ? j = 48% a.s = 0,48 a.s. k=6 (1 + ia) = 1 + j k

k.m

a ia = 1 + 0,48 6

6.1

– 1 = 151,82% a.a.

3. Calcule a taxa efetiva anual ia, equivalente à taxa nominal de 60% a.t., capitalizada diariamente. ia = ? j = 60% a.t. = 0,60 a.t. k = 90 (1 + ia) = 1 + j k

28

k.m

a ia = 1 + 0,60 90

90 . 4

– 1 = 993,57% a.a.

4. Resolva os exercícios a seguir: Capitalização

Montante: M=C 1+ j k

Anual (k = 1)

k.m

0,1 R$ 100,00 . 1 + 1

Semestral (k = 2)

0,1 R$ 100,00 . 1 + 2

Mensal (k = 12)

R$ 100,00 . 1 + 0,1 12

Diária (k = 360)

R$ 100,00 . 1 + 0,1 360

Taxa efetiva ao ano:

1.2

= 121 2.2

12 . 2

ia = 1 + j k 1 + 0,1 1 1 + 0,1 2

1

= 121,55 = 122,04

1 + 0,1 12

12

360 . 2

= 122,14

1 + 0,1 360

1

k

-1

- 1 = 0,1

- 1 = 0,1025 - 1 = 0,1047

360

- 1 = 0,1052

Exercícios Propostos 1. Qual o valor dos juros correspondente a uma aplicação de R$ 3.270,00 durante 5 meses, com taxa de 2%, no regime de capitalização simples? ( ) a) R$ 280,00 ( ) b) R$ 327,00 ( ) c) R$ 374,00 ( ) d) R$ 429,00 ( ) e) R$ 263,00 2. Marque a opção que corresponde ao valor do montante no regime de capitalização composta de aplicação de R$ 2.400,00, com taxa de juros ao mês de 3,1% durante 4 meses: ( ) a) R$ 2.711,73 ( ) b) R$ 1.943,24 ( ) c) R$ 2.421,72 ( ) d) R$ 3.121,23 ( ) e) R$ 3.010,40 3. No regime de capitalização simples, considerando o tempo de capitalização igual a 10 meses, de uma aplicação no valor de R$ 5.800,00, com taxa de 1,2% ao mês, o valor do montante é: ( ) a) R$ 5.943,00 ( ) b) R$ 5.980,00 ( ) c) R$ 6.130,00 ( ) d) R$ 6.370,00 ( ) e) R$ 6.496,00

29

30

Respostas dos Exercícios Propostos

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

M = 2.400,00 . (1 + 0,031)4

C = 420,00 0,06 C = 7.000,00

2)

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

420,00 = 0,06 . C

J = 327,00

420,00 = C . 0,02 . 3

J = 3.270,00 . 0,02 . 5

5)

1)

M = 2.400,00 . (1,031)4 M = 2.400,00 . 1,1298859 M = 2.711,73 Portanto, a alternativa correta é a letra A. 3) M = 5.800,00 . (1 + 0,012 . 10) M = 5.800,00 . (1 + 0,12) M = 5.800,00 . 1,12 M = 6.496,00 Portanto, a alternativa correta é a letra E. 4) M = 7.400,00 . (1 + 0,021)6 M = 7.400,00 . (1,021)6 M = 7.400,00 . 1,1328029 M = 8.382,74 Portanto, a alternativa correta é a letra C.

( ( ( ( (

Determine o valor do capital: ) a) R$ 5.300,00 ) b) R$ 5.800,00 ) c) R$ 6.000,00 ) d) R$ 7.000,00 ) e) R$ 7.580,00

5. Um capital aplicado por 3 meses, a juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 420,00 de juros. 4. Aplicando R$ 7.400,00 a uma taxa de juros compostas de 2,1% ao mês, e considerando o período de aplicação de 6 meses, o valor do montante é: ( ) a) R$ 7.560,12 ( ) b) R$ 7.829,36 ( ) c) R$ 8.382,74 ( ) d) R$ 8.470,00 ( ) e) R$ 8.520,38

Lição 2 - Equivalência de Taxas e de Capitais Nesta lição, veremos como é relevante saber calcular a equivalência de taxas para tomar decisões a respeito dos mais diferentes investimentos. Com esses cálculos em mãos, também podemos calcular o valor real de uma mercadoria, que pode ter variação significativa de preço em uma ou outra loja. O cálculo da equivalência de capitais ou de taxas nos permite a comparação, e é comparando que tomamos decisões de compra, de investimento, de financiamento etc. Aprenderemos ainda como funcionam as séries de fluxos de caixa ou de capital, e que elas se referem a todo tipo de sequência de pagamentos ou recebimentos que, por algum motivo, venham a ocorrer: prestações de dívidas, retornos de investimentos etc. Por isso, a importância de saber calculá-las. Ao término desta lição, você será capaz de: a) desenvolver o cálculo da equivalência de taxas e capitais; b) descobrir o valor real de uma mercadoria; c) conhecer as características das séries de pagamento e recebimento; d) proceder no cálculo de prestações iguais.

1. Equivalência de Taxas de Juros Simples Duas taxas de juros simples são consideradas equivalentes quando a diferença entre elas é devida exclusivamente ao fato de que representam períodos diferentes de tempo. Assim, uma taxa de juros simples de 5% ao mês é equivalente a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre, 30% ao semestre ou 60% ao ano. Veja, a seguir, exemplos resolvidos: Qual é a taxa anual equivalente à taxa mensal de 3% (juros simples)? ianual = (0,03 . 12 meses) = 0,36 ou 36% ao ano Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20% (juros simples)? itrimestral = (0,20 ÷ 4 trimestres) itrimestral = 0,05 ou 5% ao trimestre Nesses exemplos, percebemos que, ao aplicar determinada quantia de dinheiro por seis meses, a uma taxa de 5% ao trimestre ou de 20% ao ano, o resultado (montante) será o mesmo. 31

2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos O conceito de taxa equivalente para juros compostos é o mesmo aplicado aos juros simples, considerando-se aqui a característica da capitalização composta. Veja, a seguir, exemplos resolvidos: Uma taxa mensal de 2% equivale a qual taxa anual composta? ianual = [(1 + 0,02)12 – 1] ianual = 0,2682 ou 26,82% ao ano Uma taxa anual composta de 40% equivale a qual taxa mensal? imensal = [(1 + 0,40) – 1] imensal = 0,0284 ou 2,84% ao mês

3. Equivalência de Capitais Envolvendo Valor Presente e Valor Futuro O cálculo da equivalência entre capitais permite tomar decisões adequadas sobre compras, investimentos, financiamentos etc. A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem a quanto daqui a três meses? Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 Valor Futuro (VF) = ? VF = 1.000 (1 + 0,03)3 VF = 1.092,73 Portanto, R$ 1.000,00 hoje equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, considerando-se uma atualização mensal de 3%. Vejamos um exemplo em que desejamos calcular o valor presente de uma determinada quantia, sabendo seu valor futuro. Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis meses equivalem qual valor hoje? VF = R$ 1.000,00 VP = ? VP = 1.000 (1 + 0,01)-6 VP = 1.000 (0,942045) VP = R$ 942,05 De outro modo: VP =

32

1000 (1 + 0,01)6

VP =

1000 1,061529

VP = R$ 942,05 Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000,00 (locado seis meses adiante) para a data-zero ou momento atual. R$ 942,05

R$ 1.000,00

6 meses depois

data-zero

Veja como aplicar esse conhecimento a situações do cotidiano: Exemplo 1 Uma loja vende uma geladeira por R$ 200,00 de entrada e mais duas prestações mensais de R$ 300,00. Se a loja cobra juros de 8% ao mês, qual será o valor equivalente, à vista, dessa geladeira? Os fluxos de caixa na perspectiva do comprador: 1º mês

R$ 200,00

2º mês

R$ 300,00

R$ 300,00

Trazendo para valor presente (VP) todos os valores futuros (VF), e somando-os ao valor da entrada (VE), teremos: VP = 200 + 300 + 3002 1,08 1,08 VP = 200 + 277,78 + 257,2 VP = 734,98 Ou seja, uma entrada de R$ 200,00 e mais duas prestações mensais de R$ 300,00 equivalem a um valor à vista de R$ 734,98. Exemplo 2 O Sr. Nogueira deseja comprar um aparelho de televisão vendido em duas prestações mensais iguais de R$ 300,00 na loja A, e em 6 prestações mensais iguais de R$ 110,00 na loja B. Sabendo-se que ambas as lojas cobram juros 33

mensais de 5%, em que loja o Sr. Nogueira deve adquirir seu aparelho de televisão? Loja A

Loja B TV 21” por 6 x $ 110,00

TV 21” por 2 x $ 300,00

Na loja A, o preço à vista do aparelho será de: VP = 300 + 3002 1,05 1,05 VP = R$ 557,82

Na loja B, o preço à vista do aparelho será de: VP = 110 + 1102 + 1103 + 1104 + 1105 + 1106 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 VP = 104,76 + 99,77 + 95,02 + 90,50 + 86,19 + 82,08 VP = R$ 558,32

Transportando os dois conjuntos de prestações para a mesma data, que é a data atual (valor presente), é possível perceber que as duas ofertas não são equivalentes. Na loja A o aparelho de televisão é mais barato. Exemplo 3 A loja de automóveis RT Veículos vende um carro com entrada de R$ 6.000,00 e mais duas prestações de R$ 4.500,00. A loja de automóveis GP Veículos vende um carro idêntico em três prestações de R$ 5.210,00. Sabendo que os juros de financiamento de veículo são de 3% a.m., qual das duas lojas vende mais barato? Loja RT: VP = 6.000 + 4.500 + 4.500 1,03 1,032 VP = 6.000 + 4.368,93 + 4.241,68 VP = R$ 14.610,61 Loja GP: VP = 5.210 + 5.2102 + 5.2103 1,03 1,03 1,03 VP = 5.058,25 + 4.910,92 + 4.767,89 VP = R$ 14.737,07 A loja RT vende mais barato, pois seu preço à vista equivale a um valor menor que o preço à vista da loja GP.

34

4. Série Uniforme de Pagamento e Recebimento Veremos agora o que são séries de pagamentos antecipados, postecipados e diferidos; como fazer os cálculos das prestações do principal e do montante de séries uniformes; e como funcionam as taxas de juros das séries uniformes.

4.1 Características das Séries Uniformes Considerando somente a capitalização composta, as séries uniformes, que também são chamadas de anuidades constantes, representam apenas um tipo de série de pagamentos ou de recebimentos, ou seja, são as sequências de pagamentos que se caracterizam por serem iguais, constantes ou uniformes. Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência de diversas prestações iguais, e sucessivas em intervalos constantes, correspondendo aos períodos de capitalização. R$ tomado emprestado

1ª prestação

2ª prestação

3ª prestação

Prestação n

Observe que as prestações ocorrem ao final de cada período (postecipadas). Elas também podem ocorrer em início de período, quando são chamadas de antecipadas. As rendas certas, ou séries periódicas uniformes, podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem. Exemplo: pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista. Nas séries diferidas, o período de carência constitui um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela. Exemplo: promoções do tipo – compre hoje e comece a pagar daqui a “x” dias. Quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, temos uma série diferida antecipada; quando ocorre no final, temos uma série diferida postecipada. 35

4.2 Valor Presente de Séries Periódicas Uniformes A fórmula de cálculo para uma série de prestações iguais, pagas ao final do período é: R=

P . i . (1 + in) (1 + in - 1)

Em que: R: valor da prestação uniforme P: valor do principal i: taxa de juros n: número de períodos de capitalização Exercícios Resolvidos 1. Um comerciante quer vender, em três prestações iguais, sem entrada, bicicletas que custam à vista R$ 450,00. Cobrando juros de 4% a.m. Qual será o valor das prestações? 3 R = 450 . 0,04 (1 3+ 0,04) (1+0,04) - 1

R = 450 . 0,044995 1,124864 - 1 R = 20,247750 0,124864 R = R$ 162,16 O comerciante deve vender as bicicletas em três prestações iguais de R$ 162,16. Para o comerciante, os fluxos de caixa são: R$ 162,16

R$ 162,16

R$ 450,00 (valor à vista da bicicleta)

36

R$ 162,16

2. Em uma determinada loja, um comprador foi informado de que um aparelho de som, cujo valor à vista é de R$ 900,00, pode ser adquirido em 6 prestações iguais, sem entrada. Considerando um juro composto de 3% a.m., qual será o valor de cada prestação? 6 R = 900 . 0,036 (1,03) (1,03) - 1

R = 32,239412 0,194052 R = R$ 166,14

Exercícios Propostos 1. A taxa de juros simples de 6% a.m. equivale a qual taxa anual? ( ) a) 72% ( ) b) 60% ( ) c) 58% ( ) d) 54% ( ) e) 49% 2. A taxa mensal de 3% equivale a que taxa anual composta? ( ) a) 28,3% ( ) b) 37,15% ( ) c) 42,58% ( ) d) 43,67% ( ) e) 13,28% 3. Qual será o valor à vista de uma geladeira comprada em quatro prestações iguais de R$ 450,00 sem entrada, a uma taxa de juros de 1,6%? ( ) a) R$ 1.450,23 ( ) b) R$ 1.528,40 ( ) c) R$ 1.692,60 ( ) d) R$ 1.730,24 ( ) e) R$ 1.810,28 4. Uma pessoa pretende comprar um equipamento no valor de R$ 9.600,00 em quatro parcelas. A empresa oferece pagamento com taxa de juros de 1,5% a.m. Fazendo a simulação, qual será o valor de cada parcela? ( ) a) R$ 1.970,00 ( ) b) R$ 1.986,50 ( ) c) R$ 2.150,60 ( ) d) R$ 2.428,54 ( ) e) R$ 2.507,56

37

38

Respostas dos Exercícios Propostos 1) ianual = 0,06 . 12 = 0,72 ianual = 0,72 . 100 = 72% Portanto, a alternativa correta é a letra A. 2) ianual = (1 + 0,03)12 – 1 ianual = (1,03)12 – 1 ianual = 1,4258 – 1 = 0,4258 ianual = 0,4258 . 100 = 42,58% Portanto, a alternativa correta é a letra C. 3) VP =

450 + 450 450 450 + + (1 + 0,016) (1 + 0,016)2 (1 + 0,016)3 (1 + 0,016)4

VP = 450 + 450 2 + 450 3 + 4504 1,016 1,016 1,016 1,016 450 VP = 450 + 450 + 450 + 1,016 1,032256 1,048772 1,0655523 VP = 442,91338 + 435,93837 + 429,07323 + 422,3162 VP = 1.730,24 Portanto, a alternativa correta é a letra D. 4) R = 9.600,00 . 0,015 .4(1 + 0,015) (1 + 0,015) - 1

4

. (1,015)4 R = 9.600,00 . 0,015 (1,015)4 - 1 R = 9.600,00 . 0,015 . 1,0613634 1,0613634 -1 R = 152,83632 0,0613634 R = 2.490,68 Portanto, a alternativa correta é a letra E. 5) D

5. Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência de diversas prestações iguais que se sucedem em intervalos constantes, correspondendo aos períodos de capitalização. As prestações que ocorrem ao final de cada período são chamadas de: ( ) a) antecipadas ( ) b) idênticas ( ) c) progressão ( ) d) postecipadas ( ) e) reguláveis

Lição 3 - Sistemas de Amortização de Empréstimos Quando alguém contrai um empréstimo junto a um banco, por exemplo, terá de pagar o valor principal emprestado e os juros que representam a remuneração do banco pelo dinheiro cedido. Assim, seja pagando um empréstimo de uma só vez ou em diversas prestações, o devedor terá sempre que pagar esses dois valores ao credor: principal e juros. Vamos aprender, nesta lição, o que significa amortizar o valor de um empréstimo. Ao término desta lição, você será capaz de: a) compreender o conceito de amortização e onde ele se aplica; b) calcular juros de amortização; c) calcular o valor das prestações pelo Sistema Price.

1. Conceito de Amortização A amortização é um processo financeiro através do qual uma dívida é paga em parcelas, de forma que no final do prazo determinado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: 1) a amortização ou devolução do capital emprestado; 2) os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado. Uma parcela é representada por:

Prestação

Amortização

Juros

Rt = At + Jt Em que:

• Rt = valor da prestação na data ou momento t • At = amortização (parcela do principal) no momento t • Jt = juros no momento t Os juros de uma prestação incidem sempre sobre o principal devido.

39

À medida que o devedor vai pagando as prestações, ele vai amortizando ou diminuindo o principal devido. Esse principal devido, ainda não pago, é chamado de saldo devedor e pode ser calculado segundo as fórmulas. Jt = i . S(t-1)

St = S(t-1) - At Em que:

• Jt = juros a serem pagos no momento t • i = taxa de juros conforme contrato da dívida • St = saldo devedor no momento t • S(t-1) = saldo devedor no momento (t-1), no período anterior ou no vencimento anterior da prestação

Período anterior ao momento t

(t -1)

t

Tempo

No momento t: a) Pagam-se os juros devidos do período anterior: J = i . S(t-1). b) Amortiza-se uma parte do principal, gerando novo saldo devedor: St = S(t-1) - At. Atenção! A regra para amortização de dívida depende do sistema de amortização adotada no contrato do empréstimo..

2. Tipos de Sistemas de Amortização de Empréstimo Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimo, temos o Sistema de Amortização Francês (conhecido como Tabela Price), o Sistema de Amortização Constante (SAC), o Sistema de Amortização Americano e o Sistema de Amortização Misto (SAM), também conhecido como de Amortização Crescente (Sacre).

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3. Sistema de Amortização Constante (SAC) Largamente utilizado por bancos e financeiras, o Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome diz, caracteriza-se pelo fato de que suas amortizações são constantes, e também pelo fato de suas prestações serem decrescentes. O valor da amortização em cada prestação da dívida é dado por: At = P n Em que:

• At = valor da amortização da prestação no momento t • P = principal da dívida • n = número de prestações da dívida ou de períodos de capitalização Exemplo 1 O Sr. Azevedo tomou emprestado R$ 3.000,00 em um banco, para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% a.m. e pelo SAC. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? At = P n At = 3.000 3 At = 1.000 n

Amortização At = Rt – Jt 0

Juros Jt = i . S(t-1)

0

Saldo devedor St = S(t-1) - At R$ 3.000,00

Prestação Rt

-

-

1

R$ 2.000,00

R$ 1.000,00

(R$ 3.000,00 . 0,05) = R$ 150,00

R$ 1.150,00

2

R$ 1.000,00

R$ 1.000,00

(R$ 2.000,00 . 0,05) = R$ 100,00

R$ 1.100,00

3

0

R$ 1.000,00

(R$ 1.000,00 . 0,05) = R$ 50,00

R$ 1.050,00

Os fluxos de caixa ficam assim: R$ 3.000,00 1º mês

R$ 1.150,00 (1ª prestação)

2º mês

R$ 1.100,00 (2ª prestação)

3º mês

R$ 1.050,00 (3ª prestação)

41

Exemplo 2 O Sr. Souza tomou R$ 12.000,00 emprestado em um banco para serem pagos em quatro prestações mensais, com juros de 8% a.m. e pelo SAC. Qual será o valor de cada prestação? Quanto ele pagará de juros e de amortização em cada prestação? At = P n At = 1.000 4 At = 3.000 n

Amortização At = Rt – Jt 0

Juros Jt = i . S(t-1)

0

Saldo devedor St = S(t-1) - At R$ 12.000,00

Prestação Rt

-

-

1

R$ 9.000,00

R$ 3.000,00

(R$ 12.000,00 . 0,08) = R$ 960,00

R$ 3.960,00

2

R$ 6.000,00

R$ 3.000,00

(R$ 9.000,00 . 0,08) = R$ 720,00

R$ 3.720,00

3

R$ 3.000,00

R$ 3.000,00

(R$ 6.000,00 . 0,08) = R$ 480,00

R$ 3.480,00

4

0

R$ 3.000,00

(R$ 3.000,00 . 0,08) = R$ 240,00

R$ 3.240,00

4. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) No Sistema de Tabela Price as prestações são de igual valor, o que o caracteriza como uma série uniforme. Nele, primeiramente é preciso calcular o valor da prestação. Em seguida, os juros devidos ao final do primeiro mês (i . saldo devedor). Subtraindo os juros da prestação, teremos o valor da amortização. E assim sucessivamente: Se R = J + A, então, A = R - J Saiba Mais O Sistema de Tabela Price foi inicialmente utilizado na França, no século XIX.

As principais características deste sistema de amortização são:

• pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas; • é o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio; • os juros incidem sobre o saldo devedor que decresce à medida que as prestações são pagas, ou seja, eles são decrescentes.

Exercícios Resolvidos 1. Um homem tomou R$ 3.000,00 emprestados em um banco para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% a.m. e pelo Sistema Price. Qual será o valor de cada prestação? Quanto ele pagará de juros e de amortização em cada prestação? 42

Valor da Prestação: n R = P . i (1 +n -i)1 (1 + i)

(1,05)3 R = 3.000 . 0,05 3 (1,05) - 1 R = 173,64375 0,157625 R = R$ 1.101,63 n 0

Saldo devedor St = S(t-1) - At R$ 3.000,00

Amortização At = Rt – Jt 0

Juros Jt = i . S(t-1)

Prestação Rt

-

-

1

R$ 2.048,37

R$ 951,63

(R$ 3.000,00 . 0,05) = R$ 150,00

R$ 1.101,63

2

R$ 1.049,16

R$ 999,21

(R$ 2.048,37 . 0,05) = R$ 102,42

R$ 1.101,63

3

0

R$ 1.049,16

(R$ 1.049,16 . 0,05) = R$ 52,46

R$ 1.101,63

2. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. Considerando os juros efetivos de 10% a.m., construa a planilha de amortização. Em um determinado período, os juros são calculados sobre o saldo devedor do empréstimo ao início desse período. A amortização é a diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros respectivos. O saldo devedor é igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do respectivo período. Veja:

n

Saldo devedor St = S(t-1) - At

Juros Jt = i . S(t-1) -

Prestação Rt

R$ 200.000,00

Amortização At = Rt – Jt -

0

-

1

R$ 156.906,00

R$ 43.094,00

R$ 20.000,00

R$ 63.094,00

2

R$ 109.502,60

R$ 47.403,40

R$ 15.690,60

R$ 63.094,00

3

R$ 57.358,86

R$ 52.143,74

R$ 10.950,26

R$ 63.094,00

4

-

R$ 57.358,86

R$ 5.735,89

R$ 63.094,00

a) Cálculo correspondente à prestação do t-ésimo período: Rt =

200.000 = 200.000 = R$ 63.094,00 3,16987 (1,10)4 - 1) (1,10)4 . 0,10

b) Cálculo dos juros do t-ésimo período: Jt = i . SD(t-1), por exemplo, para t = 2 J2 = i . SD1 43

J2 = 0,10 . 156.906,60 = R$ 15.690,60 c) Cálculo da amortização do t-ésimo período: At = Rt – Jt; para t = 2 A2 = R – J 2 A2 = 63.094,00 – 15.690,60 = R$ 47.403,40 d) Cálculo do saldo devedor do t-ésimo período: St = S(t-1) – At; para t = 2 S2 = S1 – A2 = 156.906,00 - 47.403,40 = R$ 109.502,60 Supondo agora um período de carência de três meses em que serão pagos os juros devidos, construa a planilha de amortização considerando prestações antecipadas. O procedimento é igual ao do exemplo anterior, com a diferença de que nos meses do período de carência a dívida não é amortizada, mas os juros devidos sobre o saldo devedor são pagos. Como as prestações são antecipadas, a primeira é a prestação paga logo ao término da carência. n

Amortização At = Rt – Jt -

Juros Jt = i . S(t-1) -

Prestação Rt

0

Saldo devedor St = S(t-1) - At R$ 200.000,00

-

1

R$ 200.000,00

-

R$ 20.000,00

R$ 20.000,00

2

R$ 200.000,00

-

R$ 20.000,00

R$ 20.000,00

3

R$ 156.906,60

R$ 43.094,00

R$ 20.000,00

R$ 63.094,00

4

R$ 109.502,60

R$ 47.403,40

R$ 15.690,00

R$ 63.094,00

5

R$ 57.358,86

R$ 52.143,74

R$ 10.950,26

R$ 63.094,00

6

-

R$ 57.358,86

R$ 5.735,89

R$ 63.094,00

Exercícios Propostos Considere o seguinte enunciado para resolver as questões 1 a 4: Um empréstimo de R$ 15.000,00, a ser pago em 10 prestações mensais, com taxa de juros de 2% a.m. 1. Pelo Sistema de Amortização Constante, o valor da amortização no oitavo mês corresponde a: ( ) a) R$ 1.500,00 ( ) b) R$ 1.600,00 ( ) c) R$ 1.700,00 ( ) d) R$ 1.750,00 ( ) e) R$ 1.800,00 44

2. Considerando o Sistema Price de Amortização, os juros referentes ao segundo mês corresponde a: ( ) a) R$ 145,20 ( ) b) R$ 189,24 ( ) c) R$ 272,60 ( ) d) R$ 284,36 ( ) e) R$ 303,27 3. Considerando o Sistema Price de Amortização, o valor da quarta prestação é de: ( ) a) R$ 1.438,98 ( ) b) R$ 1.585,99 ( ) c) R$ 1.590,70 ( ) d) R$ 1.650,60 ( ) e) R$ 1.669,90 4. Pelo Sistema Price de Amortização, o valor da amortização no terceiro mês corresponde a: ( ) a) R$ 1.425,25 ( ) b) R$ 1.418,23 ( ) c) R$ 1.378,24 ( ) d) R$ 1.356,28 ( ) e) R$ 1.289,32 5. No Sistema de Amortização Constante: ( ) a) as prestações são constantes. ( ) b) as prestações são crescentes. ( ) c) as prestações são decrescentes. ( ) d) as amortizações são variáveis. ( ) e) as amortizações são flutuantes. R = 15.000,00 . 0,02 . 1,2189941 1,2189941 - 1 . (1,02)10 R = 15.000,00 . 0,02 (1,02)10 - 1 3) 5) C

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

J = 13.630,10 . 0,02 = 272,60

1.669,90 – 244,65 = 1.425,25

2)

4)

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

A = 1.500,00

R = 1.669,90

A = 15.000,00 10 1)

R = 365,69823 0,2189941

Respostas dos Exercícios Propostos 45

Encerramento Parabéns! Você chegou ao fim do fascículo de Matemática Financeira. Com os conhecimentos obtidos, você poderá estimar o desgaste do dinheiro no tempo, direcionar recursos e analisar operações financeiras. O conteúdo estudado com certeza será muito importante se utilizado como ferramenta para a tomada de decisões no seu dia a dia, tanto na sua vida pessoal quanto na sua rotina de trabalho. É importante que você procure aprofundar seus conhecimentos sobre o assunto, além de se manter informado, pois este é um dos requisitos para se sobreviver em um mundo globalizado. Desejamos sucesso em sua vida profissional!

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Referências Bibliográficas HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atual, 1998. SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. SPINELLI, Walter; QUEIROZ, Maria Helena de Souza. Matemática Comercial e Financeira. 8. ed. São Paulo: Editora Ática, 1992. STEPHEN, A. Ross; WESTTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey F. Administração Financeira: corporate finance. São Paulo: Atlas, 1995. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas 1981.

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