Livro - Matemática para negócios

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS

autor

LUIZ ALBERTO GRAVINA BELMIRO

1ª edição SESES rio de janeiro  2015

Conselho editorial  solange moura; roberto paes; gladis linhares Autor do original  luiz alberto gravina belmiro Projeto editorial  roberto paes Coordenação de produção  gladis linhares Projeto gráfico  paulo vitor bastos Diagramação  bfs media Revisão de conteúdo  luiz alberto gravina belmiro Imagem de capa  adam radosavljevic | dreamstime.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) B451m Belmiro, Luis Alberto Gravina

Matemática pra Negócios / Luis Alberto Gravina Belmiro



Rio de Janeiro : SESES, 2015.



208 p



isbn: 978-85-5548-117-8



1. Matemática. 2. Economia. 3. Finanças. I. SESES. II. Estácio. cdd 658.15

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário Prefácio 7 1. Revisão de Funções e Gráficos

9

Objetivos 10 1.1 Conceito 11 1.2 Domínio 12 1.3  Funções lineares e não lineares 13 1.3.1  Função quadrática e representação gráfica 14 1.3.1.1 Introdução 14 1.3.2  A função de segundo grau: definição e exemplos 16 1.4  Funções crescentes e decrescentes 17 1.5  Pontos de máximo e mínimo 21 1.5.1  Gráfico da função de segundo grau: a parábola 21 1.6  Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações 22 1.6.1 Intercepto 22 1.6.2  Vértice da parábola 23 1.6.3  Exemplos de gráficos 23

2. Limites 27 Objetivos 28 2.1  Introdução ao Limite 29 2.1.1  O conceito intuitivo de limite 29 2.1.2  Funções contínuas 29 2.2  Análise Gráfica de Limite 33 2.2.1  Funções descontínuas 33 2.3  Como Calcular Limites 35

3. Derivada de uma função

37

Objetivos 38 3.1  Introdução à Derivada 39 3.2  O coeficiente angular 40 3.3  Interpretação gráfica da derivada 43 3.3.1  Derivada pela definição 43 3.3.2  Interpretação gráfica da derivada 44

4. Regras de Derivação

55

Objetivos 56 4.1  Regras de Derivação 57 4.2  Derivada de função 57 n 57 4.2.1  Derivada da função x 4.2.2  Derivada de k· f(x) 61 4.2.3  Derivada de f(x) = k 65 4.3  Derivada de uma soma (ou subtração) de funções 65 4.4  Derivada do produto de duas funções: a regra do produto 67 4.5  Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente 71 Referências bibliográficas 74 4.6  Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos – Problema de Otimização 75

5. Aplicações Matemáticas em Economia

77

Objetivos 78 5.1  Maximização do lucro de uma empresa 79 5.1.1  Maximização do lucro 79 5.2  Receita, Custo e Lucro Marginais 82 5.3  Ponto de Equilíbrio 85 5.3.1  Equilíbrio de firma (break-even-point) 86 5.3.1.1  Custo total 87 5.3.1.2  Receita total ou faturamento 87

5.3.1.3  Ponto de equlíbrio 5.4  Elasticidade – preço da demanda

6. Aplicações Matemáticas em Marketing

88 91

93

Objetivos 94 6.1  Previsão e mensuração da demanda em marketing 95 6.2  Pesquisa de marketing 98 6.3  Mensuração do valor da marca 101 6.4  Gerenciamento de preços 105 6.5  PROMOÇÃO DE VENDAS/ DESCONTOS 109 6.6  Propaganda/ dispêndio de marketing 112 6.7  Orçamento de marketing 114

7. Aplicações Matemáticas em Produção

121

Objetivos 122 7.1  Medida da produtividade 123 7.2  Projeto e medida do trabalho 127 7.3  Medida da capacidade 130 7.4  Avaliação de alternativas de localização 135

8. Aplicações Matemáticas em Logística

139

Objetivos 140 8.1  Operações de armazenagem 141 8.2  Controle de estoque 146 8.3  Operações de transporte 150 8.4  Operações de movimentação e embalagem 153 8.5  Otimização de sistemas de transporte 154

9. Aplicações Matemáticas em Finanças

157

Objetivos 158 9.1  Risco sistemático e beta de carteira de investimentos 159 9.2  CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros) 161 9.3  WACC (Custo de capital médio ponderado) /Obtenção de capital 165 9.4  Modelo de dividendos 170 9.5  Análise de investimentos 175 9.6  Alavancagem financeira 183 9.7  Medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro 187

10. Matemática Aplicada a Negócios

193

Objetivos 194 10.1  Plano de Negócios 195

Prefácio Prezados(as) alunos(as), Nos dias atuais, presenciamos avanços tecnológicos inimagináveis há alguns anos. Isso ocorre em todas as áreas e facilita, de forma significativa, a obtenção de informações a respeito dos fenômenos que nos cercam. E, se pararmos para prestar atenção, veremos a presença da Matemática em praticamente todos os acontecimentos relacionados com tais fenômenos. Essa evolução gera um grande volume de informações e também a necessidade crescente de resolução de diversos tipos de problemas. Isso, certamente, aumenta a importância do conhecimento matemático. Compreender e aplicar os conceitos, métodos e algoritmos matemáticos tem fundamental importância aos profissionais de diversas áreas do conhecimento. E não é somente no campo profissional que a Matemática é importante. Em nosso dia a dia, cada vez mais, vemos a necessidade da utilização do raciocínio matemático. Participante, há muito tempo, da evolução humana, a Matemática desenvolveu-se (e desenvolve-se) a partir da necessidade do homem em resolver seus problemas. E não é muito diferente nos dias atuais. Nosso aprimoramento profissional passa pelo conhecimento, superficial ou abrangente, dessa ciência. Não permita que eventuais dificuldades de compreensão dos conceitos matemáticos diminuam sua capacidade de ação profissional. Dedique-se aos estudos e procure sempre construir, gradativamente, o conhecimento e o raciocínio lógico que lhe ajudarão a compreender melhor os fenômenos que o cercam. Veremos aqui a aplicação de conceitos matemáticos na resolução de diversos tipos de problemas, desenvolvendo assim o raciocínio lógico e analítico, habilidade fundamental para a tomada de boas decisões, mesmo em momentos que não envolvam a matemática propriamente dita, pois o raciocínio lógico auxilia na análise de vários tipos de situações encontradas no cotidiano de uma organização. Este livro está dividido em cinco capítulos. Começaremos, no Capítulo 1, pelo estudo dos conjuntos e suas operações com ênfase na resolução de problemas envolvendo tais conceitos. No Capítulo 2, estudaremos as equações do 1º grau, razões, proporções e suas aplicações na resolução de problemas envolvendo porcentagens. A função linear, seu comportamento e características serão apresentados no Capítulo 3. Nele também serão apresentadas aplicações

7

importantes desse tipo de função: funções custo, receita e demanda, além do ponto de equilíbrio. O Capítulo 4 apresenta a função quadrática e sua aplicações, com ênfase no estudo da receita, do lucro e da maximização do lucro. O estudo da taxa de variação de funções matemáticas é abordado no Capítulo 5, através da apresentação dos limites e derivadas de funções. Mesmo considerando que apenas uma pequena parte das aplicações da Matemática será aqui apresentada, estamos certos de que será de grande valia para sua vida, tanto particular como profissional. Bons estudos!

1 Revisão de Funções e Gráficos

OBJETIVOS •  Compreender o que é uma função matemática; •  Reconhecer uma função do primeiro grau; •  Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto; •  Esboçar e interpretar gráficos de funções do primeiro grau; •  Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.

10 •

capítulo 1

1.1  Conceito Em nosso cotidiano, mesmo sem perceber, estamos envolvidos por diversos tipos de funções. A relação existente, por exemplo, entre o consumo de água em nossa casa e o valor que iremos pagar, o tempo para cumprir um trajeto e a velocidade desenvolvida, a quantidade de açúcar para adoçar certa quantidade de suco, a quantidade de itens comprados e o valor a ser pago, entre tantas outras situações em que há a relação entre duas (ou mais) grandezas, que chamaremos de variáveis. Para muitos profissionais, determinadas variáveis necessitam ser analisadas com certa precisão. Considere, por exemplo, a quantidade de itens produzidos que determina o custo total envolvido nessa produção; a receita total obtida com a venda de uma utilidade que depende da quantidade vendida; o lucro com a venda de certa utilidade que, entre outras coisas, depende também da quantidade vendida; o volume de vendas (demanda) tem relação com o preço praticado; a quantidade ofertada de certo produto, no mercado, relaciona-se com o preço desse produto. É lógico que tais relações não são exclusivas. Por exemplo, a quantidade ofertada de certo produto, no mercado, tem relação com o preço que está sendo praticado, mas também depende de outras variáveis tais como a taxa de juros vigente, a quantidade de parcelas praticado nos financiamentos para aquisição desse produto, os preços dos produtos similares concorrentes, entre tantas outras. No entanto, conhecer individualmente cada uma das relações entre a variável de interesse volume de vendas e as variáveis que, de certa forma, provocam alteração de seus valores é imprescindível para se ter informações importantes sobre a variável de interesse.

CONEXÃO Um vídeo interessante sobre aplicações de funções está disponível no endereço:. Ele apresenta a experiência de uma professora do ensino fundamental que trabalhou com seus alunos aplicações de um tipo específico de função: a função afim. Vale a pena conferir, pois nele são apresentados alguns procedimentos que faremos no estudo de funções.

capítulo 1

• 11

Neste capítulo estudaremos um tipo de função que conhecemos por função do primeiro grau. É uma das formas mais elementares de função que existe, mas que possui uma infinidade de aplicações.

1.2  Domínio Uma ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “máquina” que produz um valor y quando nela inserimos um valor x. Há uma “transformação” da variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórmula matemática que relaciona valores de dois conjuntos. Considere dois conjuntos A e B. Uma função matemática entre A e B, nessa ordem, é uma relação que associa a cada um dos elementos de A um único elemento de B. Há uma infinidade de tipos de função. Neste capítulo, estudaremos a função de primeiro grau, que é aquela que pode ser escrita na forma: y = ax + b ou f ( x ) = ax + b

em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0. A letra a é denominada de coeficiente angular (ou de inclinação) da função. Como o gráfico da função de primeiro grau é sempre uma reta, então o valor de a determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). A letra b é o coeficiente angular (ou intercepto) da função e determina o ponto no qual a reta (gráfico da função de primeiro grau) cruza com o eixo vertical (que é também conhecido por eixo y). O conjunto de valores x numa função é denominado domínio da função e denotado por D(f). Já os valores de y que são relacionados aos valores do domínio constituem um conjunto denominado imagem da função, denotado por Im(f).

O coeficiente da variável x numa função de primeiro grau não pode assumir valor zero porque, se isso acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma função constante (aquela cujo valor não varia mesmo quando alteramos o valor de x).

12 •

capítulo 1

É comum utilizarmos as letras x e y para representar as variáveis em uma função matemática. No entanto, podemos utilizar as letras que quisermos. Quando, por exemplo, relacionamos o custo de produção de determinada utilidade com a sua quantidade produzida, utilizamos as letras C e q para representar tais variáveis. Vamos ver, inicialmente, dois exemplos de funções do primeiro grau, calculando alguns de seus valores e construindo seus gráficos. Mais adiante, veremos algumas aplicações.

1.3  Funções lineares e não lineares EXEMPLO Considere a função f ( x ) = 2x + 3 . Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3. •  Se x = –2, então f ( −2 ) = 2 ⋅ ( −2 ) + 3 = −4 + 3 = −1. •  Se x = –1, então f ( −1) = 2 ⋅ ( −1) + 3 = −2 + 3 = 1. •  Se x = 0, então f ( 0 ) = 2 ⋅ 0 + 3 = 0 + 3 = 3. •  Se x = 1, então f (1) = 2 ⋅1+ 3 = 2 + 3 = 5 .

•  Se x = 2, então f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7. •  Se x = 3, então f ( 3) = 2 ⋅ 3 + 3 = 6 + 3 = 9 . Podemos apresentar os resultados numa tabela:

X

F(X)

–2

–1

–1

1

0

3

1

5

2

7

3

9

Tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3.

capítulo 1

• 13

Note que os valores de x que escolhemos estão variando de uma em uma unidade. Já os valores calculados de y variam de duas em duas. Isso já era esperado, pois o coeficiente angular (a) da função dada é igual a 2. Ele determina qual será a variação de y cada vez que x aumenta uma unidade. Os valores da tabela representam apenas alguns pontos da função f(x) = 2x + 3 (ou y = 2x + 3). Existem outros infinitos, mas eles já são suficientes para que possamos verificar o comportamento do gráfico dessa função. Na verdade, como o gráfico de uma função é uma reta, apenas dois dos pontos acima seriam suficientes. É comum indicar os pontos de uma função através de pares ordenados (x, y). No caso dos valores calculados para a função desse exemplo (tabela 1.3), temos os seguintes pares ordenados: (–2, –1), (–1,1), (0,3), (1,5), (2,7) e (3,9).

1.3.1  Função quadrática e representação gráfica 1.3.1.1  Introdução Vamos iniciar nosso estudo sobre função do segundo grau mostrando uma situação que exemplifica bem o surgimento desse tipo de função, a partir de uma função de primeiro grau em que a variável independente x é função de outra variável.

EXEMPLO O proprietário de um restaurante que comercializa somente pratos executivos, todos com o mesmo preço, resolveu realizar um estudo sobre a receita diária do estabelecimento e como o volume de vendas varia em função do preço praticado. Para isso, realizou, durante longo período, um levantamento comparando a quantidade x de pratos vendidos diariamente e o preço p cobrado por unidade. Chegou, assim, ao seguinte modelo: x = 100 – 2p Notou, então, que, para cada real aumentado no preço da refeição, há uma redução de 2 unidades na quantidade vendida (pois o coeficiente angular da função é –2). Esse modelo obtido permite também outras conclusões. Veja como ele pode influenciar a receita diária do restaurante.

14 •

capítulo 1

Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita total y de uma utilidade em relação à quantidade comercializada x tem a forma: y = p · 2p em que p é o preço unitário de venda. Se o preço p for fixo, a função receita total é considerada de primeiro grau e seu valor cresce indefinidamente à medida que a quantidade x aumenta. No entanto, no caso desse restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada com o preço unitário através da relação: x = 100 – 2p Da mesma forma que podemos escrever x em função de p, podemos fazer o inverso: escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x = 100 – 2p:

x = 100 − 2p 2p = 100 − x 100 − x p= 2 p = 50 − 0, 5x

Substituindo a expressão p = 50 – 0,5 x na função receita total, temos: p   y = ( 50 − 0, 5x ) ⋅ x

Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever: y = 50 x – 0,5 x2 Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as funções de primeiro grau. Temos, agora, uma função de segundo grau (pois a variável independente aparece elevada à potência 2). Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor recebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exemplo.

capítulo 1

• 15

Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, retomaremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para que a receita seja a maior possível”.

1.3.2  A função de segundo grau: definição e exemplos Toda função que relaciona elementos de A e B (x ∈ A e y ∈ B), nessa ordem, é uma função de A em B se puder ser escrita na forma: y = f(x) = ax2 + bx + c em que a, b e c são valores reais, com a ≠ 0.

EXEMPLO São exemplos de funções do segundo grau: a)

f (x) = x2 – 6 x + 5, em que a = 1, b = – 6, c = 5;

b)

g (x) = – x2 + 4x – 3, em que a = – 1, b = 4, c = – 3;

c)

y = – 5x2 + 2x, em que a = – 5, b = 2, c = 0;

d)

h (x) = x2 + 7, em que a = 1, b = 0, c = 7;

e)

f (x) = 2 – 5 x + 3x2, em que a = 3, b = – 5, c = 2;

f)

y + 2x2 + x = 9, que pode ser escrita na forma y = – 2x2 – x + 9, em que a = – 2,

b = –1, c = 9.

16 •

capítulo 1

1.4  Funções crescentes e decrescentes Associando cada valor de x a seu respectivo valor y (da tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3), no gráfico, temos: 10 9

(3, 9)

8 7

(2, 7)

6 5

(1, 5)

4 3

(0, 3)

2 1

(–1, 1)

0 –3

–2 (–2 –)1

–1

–1

0

1

2

3

4

–2

Figura 1 – Localização dos pontos da tabela 1.3.

Na figura, apenas os pontos que calculamos é que foram inseridos no gráfico. Apenas para facilitar os cálculos e a localização dos pontos, escolhemos valores inteiros para a variável x. Contudo, o domínio de uma função do primeiro grau compreende todos os números reais. Se escolhermos, por exemplo, mais valores de x entre 1 e 2, tais como: 1,1; 1,2; 1,3 etc., ou refinando ainda mais: 1,01; 1,02; 1,03 etc, iremos preenchendo o espaço entre os pontos (1,5) e (2,7).

capítulo 1

• 17

O mesmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do domínio da função. Por isso, após localizarmos os pontos calculados, podemos ligá-los através de segmentos de reta. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –3

–2

–1

0 –1

0

1

2

3

4

–2 Figura 2 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.3.

Note que, no gráfico, a reta é crescente (à medida que x cresce, y também cresce) e a taxa de crescimento é de 2 unidades em y para cada unidade em x. Essa taxa de crescimento é determinada pelo coeficiente angular (ou de inclinação) da função. Outro ponto notável é o intercepto (ou coeficiente linear), que no caso da função abordada é o 3. Ele determina onde o gráfico irá interceptar o eixo y.

18 •

capítulo 1

Embora a representação do gráfico da função f(x) = 2x + 3 da figura 2 limitese ao domínio (valor de x) de –2 a 3, poderíamos expandi-la infinitamente tanto para valores maiores quanto para valores menores que os considerados na tabela 1.3. Representamos a função de forma finita, mas não podemos esquecer que ela é infinita. Vejamos, agora, um exemplo em que o coeficiente angular é negativo.

EXEMPLO Considere, agora, a função f(x) = – 2x + 3. Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3. •  Se x = –2, então f(–2) = – 2 · (–2) + 3 = 4 + 3 = 7. •  Se x = –1, então f(–1) = – 2 · (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5. •  Se x = 0, então f(0) = – 2 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3. •  Se x = 1, então f(1) = – 2 · 1 + 3 = – 2 + 3 = 1. •  Se x = 2, então f(2) = – 2 · 2 + 3 = – 4 + 3 – 1. •  Se x = 3, então f(3) = – 2 · 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3. Resumindo os resultados numa tabela, temos:

X

F(X)

–2

7

–1

5

0

3

1

1

2

–1

3

–3

Tabela 1.4 – Valores da função f(x) = –2x + 3.

capítulo 1

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Nesse caso também, os valores de x escolhidos estão aumentando de uma em uma unidade, mas os valores calculados de y, ao contrário do exemplo anterior, estão diminuindo de duas em duas. Isso porque o coeficiente angular (a) da função considerada é igual a –2. O intercepto, por sua vez, é o mesmo. A partir dos valores calculados, podemos construir o gráfico da função:

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –3

–2

–1

–1

0

1

2

3

4

–2 –3 –4 Figura 3 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.4.

Nos dois exemplos dados, é possível perceber que, quando a > 0, a função é crescente e quando a < 0, a função é decrescente.

20 •

capítulo 1

1.5  Pontos de máximo e mínimo 1.5.1  Gráfico da função de segundo grau: a parábola O gráfico de qualquer função de segundo grau tem o formato de uma parábola, com concavidade que pode estar voltada para cima ou para baixo, conforme o sinal do coeficiente da variável x2. Veja:

Vértice

Vértice Se a > 0, a concavidade é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.

Figura 4 – Concavidade e vértice da parábola.

Portanto, dada a função, já podemos prever sua concavidade. No entanto, é preciso ter mais informações para poder esboçar seu gráfico. O vértice da parábola é o seu ponto mais baixo (quando a concavidade é voltada para cima) ou o ponto mais alto (quando a concavidade é voltada para baixo). Outra informação importante é a simetria que a parábola possui com relação ao eixo vertical que passa sobre seu vértice. Veja a figura.

Vértice Figura 5 – Simetria da parábola.

capítulo 1

• 21

Se traçarmos uma linha horizontal que cruze a parábola em dois pontos, o segmento determinado por um desses pontos e a intersecção dessa linha com o eixo vertical têm a mesma medida que o segmento determinado por essa interseção e o outro ponto de cruzamento da linha horizontal com a parábola. Para compreender melhor, considere que o eixo vertical da figura 5 é uma dobra que você pode realizar. As linhas que determinam os dois lados da mesma parábola vão coincidir após a dobra. Já temos algumas informações interessantes que nos auxiliarão no gráfico da função de segundo grau. Mas, ainda, há pontos importantes que devem ser determinados através de cálculos: as raízes, o intercepto e o próprio vértice. Assim como acontece com a função do primeiro grau, para calcularmos as raízes da função de segundo grau (se elas existirem), devemos igualar a função y a zero e resolver a equação resultante. Contudo, essa resolução não é, geralmente, tão simples como ocorre com as funções lineares. Só para relembrar, as raízes (soluções) de uma equação de segundo grau, da forma ax2 + bx + c = 0 podem ser dadas pela fórmula de Bhaskara: x=

−b ± raiz de b2 − 4ac 2a

em que Δ = b2 – 4ac.

1.6  Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações 1.6.1  Intercepto O intercepto de uma função y = f(x) é sempre o valor que y assume quando a variável x é igual a zero. No caso geral da função de segundo grau, quando x = 0, temos: f(0) = a · 02 + b · 0 + c f(0) = 0 + 0 + c f(0) = c Portanto, o intercepto de uma função de segundo grau é sempre (0,c).

22 •

capítulo 1

1.6.2  Vértice da parábola Como já vimos, o vértice está no eixo de simetria da parábola. Então, sua coordenada x pode ser obtida calculando-se a média entre as raízes (se elas existirem). Mas há casos em que elas não existem e temos que recorrer a outro tipo de cálculo. Portanto, para facilitar, podemos utilizar as fórmulas abaixo para determinar as coordenadas x e y do vértice, que denotaremos, respectivamente, por xv e yv: b 2a ∆ yv = − 4a

xv = −

A coordenada yv representa o valor máximo ou mínimo da função, conforme a concavidade seja voltada, respectivamente, para baixo ou para cima. Consequentemente, a coordenada xv é o valor que atribuímos à variável independente x para que obtenhamos o valor máximo ou mínimo da função.

CONEXÃO No endereço:, você irá encontrar um aplicativo que realiza uma simulação interativa com gráficos de funções do primeiro e do segundo grau. Vale a pena conferir, pois através desse aplicativo, você poderá compreender melhor o papel de cada coeficiente nesses tipos de função.

1.6.3  Exemplos de gráficos Agora vamos aplicar as fórmulas vistas na construção de alguns exemplos de gráficos de funções quadráticas.

capítulo 1

• 23

EXERCÍCIO RESOLVIDO Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x – 5 , identificando (e calculando) as raízes (se existirem), o intercepto e o vértice. Resolução Temos a = 1, b = –4 e c = –5. Como a > 0, então concluímos que a parábola tem concavidade voltada para cima. O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0,–5). As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante:

y = 0 ⇒ x2 − 4 x − 5 = 0 Temos:

∆ = b2 − 4ac ∆ = ( −4 ) − 4 ⋅1⋅ ( −5) 2

∆ = 16 + 20 ∆ = 36 Como o valor do discriminante ∆ é positivo, então concluímos que a função possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara: −b ± ∆ 2a − ( −4 ) ± 36 x= 2 ⋅1 10 x1 = =5 2 4±6 x= 2 −2 = −1 x3 = 2 x=

Portanto, as raízes são 5 e –1.

Quando obtemos as raízes de uma função quadrática, como no exemplo em que elas são –1 e 5, significa que determinamos os pontos (–1,0) e (5,0), e não o ponto (–1,5). Não se esqueça de que, para obtê-las, igualamos a função (y) a zero e elas indicam onde ocorrem as interseções do gráfico com o eixo x. Portanto, de forma geral, considerando que uma função tenha as raízes x1 e x2, os pontos por elas determinados são (x1,0) e (x2,0).

24 •

capítulo 1

As coordenadas do vértice são:

xv = −

b −4 −4 =− =− = −( −2) = 2 2 ⋅1 2 2a e

yv = −

∆ 36 36 =− =− = −9 4 ⋅1 4 4a

Logo, o vértice é o ponto (2,–9). Com essas informações, podemos construir o gráfico.

–3

–2

8 7 6 5 4 3 2 1 0

–1–1 0

x 1

2

3

4

5

6

7

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

capítulo 1

• 25

26 •

capítulo 1

2 Limites

OBJETIVOS Um dos objetivos deste capítulo é introduzir o conceito e cálculo do limite de uma função. Ao ler este capítulo e resolver todos os exercícios, o aluno terá compreendido o conceito de limite e estará pronto para adentrar a segunda parte deste capítulo, que tratará da função derivada. O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de conhecê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada. A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – y). Como a próxima unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente angular, então devemos, agora, conhecer mais de perto o limite de funções. Ao final deste capítulo, depois da leitura e da resolução dos exercícios (resolvidos e propostos), o aluno terá aprendido: •  a noção e o conceito de limite de uma função; •  a calcular o valor do limite de uma função num ponto qualquer; •  a diferença conceitual entre o valor da função e o valor do limite num ponto.

28 •

capítulo 2

2.1  Introdução ao Limite 2.1.1  O conceito intuitivo de limite O limite de uma função num determinado valor de x, isto é, o lim x → x f(x) é 0 definido como aquele valor que a função assume nas vizinhanças de x = x0. Note que o lim x → x f(x) está relacionado aos valores que a função assume 0 nas vizinhanças de x0, mas não necessariamente em x0. A função pode até não ser definida em x = x0 (x0 fora do domínio da função), mas o limite poderá existir. Separemos, pois, os dois principais casos de cálculo do limite: o de funções contínuas e o de descontínuas, conforme segue.

2.1.2  Funções contínuas O valor do limite de uma função, quando x tende para um valor x0 confunde-se com o valor da função f(x0)) no ponto x = x0, se a função f(x) for contínua no ponto x = x0, isto é, se f(x) for definida neste ponto. Desta forma, se f(x) é contínua em x = x0, então: lim x → x f(x0) 0

EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontrar o limx → 2(3x – 1). Resolução Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2. As duas próximas tabelas apresentam resultados suficientes para que possamos verificar o comportamento da função f(x) nas vizinhanças de x = 2.

X

Y = 3X – 1

X

Y = 3X – 1

–1 0 1 1,5 1,6 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

–4,00000 –1,00000 2,00000 3,50000 3,80000 4,70000 4,97000 4,99700 4,99970 4,99997

5 4 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

14,00000 11,00000 8,00000 6,50000 5,60000 5,30000 5,03000 5,00300 5,00030 5,00003

capítulo 2

• 29

Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à esquerda de x = 2. Tomemos, agora, as vizinhanças à direita de x = 2. Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à direita de x = 2. Podemos dizer, então, que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 5, isto é, limx → 2(3x – 1) = 5. Nesse caso, o valor do limite da função quando x tende para 2 se confunde com o valor da função. Eles são iguais, pois a função é contínua em x = 2. Desta forma: limx → 2(3x – 1) = f(2) = 5.

Para que exista o limite de uma função com x tendendo a certo valor x0, é necessário que esta função esteja tendendo ao mesmo valor conforme x se aproxima de x0, tanto pela esquerda como pela direita (tanto por valores menores que x0 como por valores maiores que x0).

EXERCÍCIO RESOLVIDO Vamos calcular os limites a seguir, apenas efetuando a substituição do valor mencionado para x. Até o item (q), é possível determinar os valores dos limites dessa forma, pois todas as funções apresentadas são contínuas para x = x0. No entanto, no item (r) isso não ocorre. Vejamos: a)

limx → 1 (3x – 4) limx → 1 (3x – 4) = f(1) = –1

b)

limx → –2 (3x – 4) limx → –2 (3x – 4) = f(–2) = –10

c)

limx → 0 (3x – 4) limx → 0 (3x – 4) = f(0) = – 4

30 •

capítulo 2

d)

limx → 10 (x) limx → 10 (x) = f(10) = 10

e)

limx → –4 (–x – 4) limx → –4 (–x – 4) = f(– 4) = 0

f)

limx → 2 (5) limx → 2 (5) = f(2) = 5

g)

limx → –3 (10) limx → –3 (10) = f(–3) = 10

h)

lim

lim

i)

x→

x→

1 2

1 2

( x2 )  1

1

( x2 ) = f  2  = 4 



limx → 1 (x3 – 1) limx → 1 (x3 – 1) = f(1) = 0

j)

limx → –1 (x3 – 1) limx → –1 (x3 – 1) = f(–1) = –2

k)

limx → 0 (x2 – 3x + 4) limx → 0 (x2 – 3x + 4) = f(0) = 4

l)

limx → –1 (x4 + 1) limx → –1 (x4 + 1) = f(–1) = 2

m)

1  lim x →1  + 2 x  x  

1  lim x →1  + 2 x  = f (1) = 3 x  

capítulo 2

• 31

 4  lim x → 2  3x − +1 x  

n)

 4  lim x → 2  3x − +1 = f ( 2 ) = 8 x  

o)

4 x + 13

limx → 3

limx → 3 4 x + 13 = f(3) =5 p)

2   limx → 2  3x − 4x  a

 

2x − 1

 

 3x2 − 4x  limx → 2    2x − 1   

q)

18 − x

2 limx → 3  x − 4 

   x −2 

2 limx → 3  x − 4  = f(3) = 5

   x −2 

r)

2 limx → 2  x − 4 

   x −2 

2 limx → 2  x − 4  = f(2) = ?

   x −2 

No item (s), observamos que a função no ponto x = 2 não existe, mas o limite existe? Quanto vale? Vimos, até aqui, que, se a função é contínua no ponto em que estamos querendo calcular o limite, então o limite se confunde com o próprio valor da função neste ponto. Como a função (item s acima) não é contínua no ponto x = 2, então sabemos que não existe o valor da função nesse ponto, mas o limite existe? Como calculá-lo? Veremos que

32 •

capítulo 2

o limite existe, sim, nesse caso (item s acima), apesar de não existir o valor da função no ponto x = 2. Temos que recorrer ao conceito original do limite de vizinhança. O limite é definido pela tendência da função em torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele exatamente, isto é, precisamos descobrir o comportamento da função em torno do ponto x = 2, mas não nele. Continuaremos com esta discussão.

2.2  Análise Gráfica de Limite 2.2.1  Funções descontínuas Para encontrarmos o limite de funções em pontos de descontinuidades, devemos calcular os valores da função nas vizinhanças do ponto em questão. Mesmo que a função não esteja definida no ponto x0 (descontínuo), o limite poderá existir, pois o conceito de limite está ligado ao comportamento da função nas proximidades de x0 (ponto de descontinuidade). Retomemos o caso do item (s) do exemplo anterior.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre o valor-limite:

 x2 − 4  lim x →2    x −2 

Resolução Vamos calcular os valores que f(x) assume nas vizinhanças de x = 2.

X

 x2 −4 y =   x−2 

–1

1,00000

0

2,00000

1

3,00000

1,5

3,50000

1,6

3,60000

capítulo 2

• 33

X

 x2 −4 y =   x−2 

1,9

3,90000

1,99

3,99000

1,999

3,99900

1,9999

3,99990

1,99999

3,99999

Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas vizinhanças à esquerda de x = 2. Tomemos, agora, as vizinhanças à direita:

X

 x2 −4 y =   x−2 

5

7,00000

4

6,00000

3

5,00000

2,5

4,50000

2,2

4,20000

2,1

4,10000

2,01

4,01000

2,001

4,00100

2,0001

4,00010

2,00001

4,00001

Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas vizinhanças à direita de x = 2. Podemos dizer, então, que o limite de f(x), quando x tende a 2, é igual a 4, isto é:

 x2 − 4  lim x →2    x −2 

Neste caso, f(2) nem existe, ou seja, a função não está definida em x = 2 (f(x) é descontínua em x = 2), mas o limite existe e vale 4. Vimos que obter o valor do limite num ponto (x), em que a função não é contínua, não é

34 •

capítulo 2

uma operação difícil, mas sim trabalhosa. Porém, nos casos em que podemos fatorar a função, a obtenção do limite é menos trabalhosa, conforme apresentado a seguir. Outra forma de se obter o valor do limite da função no ponto x0 (descontínuo) passa pela utilização do método da fatoração. Com a fatoração, podemos encontrar outra função (g(x)) que seja contínua em x0 e que tenha exatamente o mesmo comportamento da função original (f(x)) do nosso problema (que é descontínua no ponto x0). Se esta segunda função (g(x)) apresentar o mesmo comportamento que a função original (f(x)), então os limites das duas funções terão o mesmo valor, ainda que f(x) seja descontínua em x = x0, e o limite será o próprio valor da função g(x) em x0. O segredo está no fato de que devemos lembrar que o valor do limite depende única e exclusivamente do comportamento da função nas vizinhanças do ponto x0, e não necessariamente sobre ele. Assim, como as duas funções f(x) e g(x) têm o mesmo comportamento em todos os pontos, então os limites das duas funções são os mesmos e assumem o valor de g(x0). Vejamos o exemplo seguinte (ainda o caso do item s do exemplo 1 anterior).

2.3  Como Calcular Limites EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre o valor-limite:

 x2 − 4  lim x →2    x −2 

Resolução Já sabemos que a função não é definida em x = 2. Vamos, então, fatorá-la. Fatorando a expressão do denominador (parte superior da fração), obtemos:

 x2 − 4   ( x − 2 ) ( x + 2 )   =  = x+2 x −2  x −2   

capítulo 2

• 35

Temos, então, duas funções: (I) A função original de nosso problema que não é definida (descontínua) em x = 2, que é:

f(x) =

 x2 − 4   x−2   

(II) A função obtida pela fatoração de f(x), que é: g(x) = x – 2 Como os comportamentos destas duas funções são exatamente os mesmos para todo e qualquer valor de x, exceto em x = 2, em que a função f(x) não é contínua, e lembrando que, para o cálculo do limite, só precisamos conhecer o comportamento da função nas vizinhanças do ponto em questão (x = 2, no caso), mas não necessariamente nele, então:

 x2 − 4  limx →2   ≡ limx →2 ( x + 2) = 4  x −2 

36 •

capítulo 2

3 Derivada de uma função

O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de conhecê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada. A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – y). Esta unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente angular.

OBJETIVOS •  Relembrar o conceito e o cálculo do coeficiente angular como medida de variação no valor da função (y) e como um impacto; •  na variação da variável independente (x); •  No conceito da função derivada como uma taxa “pontual” de variação da função; •  No cálculo da função derivada num ponto qualquer; •  No cálculo da função derivada analiticamente por meio de sua definição, utilizando o cálculo do limite.

38 •

capítulo 3

3.1  Introdução à Derivada A derivada de uma função é outra função que tem a característica poderosa de nos mostrar o comportamento da função original. A derivada de uma função nos mostra a forma de seu crescimento/decrescimento. Ela apresenta a taxa de variação (crescimento/decrescimento) da função, isto é, o quanto a função (y) cresceria ou decresceria se incrementássemos “um pouco” a variável independente (x). Na natureza, temos alguns exemplos de derivadas. A velocidade (função velocidade) é a derivada do espaço no estudo da cinemática, pois é a velocidade que nos “mostra” como os espaços estão sendo percorridos em relação ao tempo por um veículo. Se este veículo está imprimindo grande aceleração, então, com o passar do tempo, a função espaço vai aumentando e a cada segundo o aumento é maior, isto é, a taxa de aumento do espaço percorrido por segundo, por exemplo, vai aumentando. Se, em contrapartida, o espaço percorrido aumenta, mas sempre numa mesma taxa – por exemplo, 5 metros a cada segundo –, é porque a sua velocidade (taxa de variação) é constante. O exemplo mais comum na Administração Geral é o do custo marginal. O custo marginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzida de bens ou serviços. Sabemos que, para produzir certa quantidade Q de produto final, precisamos gastar cQ com matérias-primas, energia, capital, mão de obra, transporte etc. Desta forma, para cada nível de produção Q, é conhecida a quantia monetária para a sua obtenção, isto é, o custo. O custo marginal, por ser a derivada do custo, apresenta-nos o quanto a empresa terá de gastar a mais (aumento no custo) para conseguir produzir “um pouco” mais de produto final. Assim, o custo marginal mostra a taxa de variação do custo quando se altera o nível de produção de uma empresa ou de uma linha de produção. Vamos começar revendo um conceito que nos será de bastante utilidade: o coeficiente angular.

capítulo 3

• 39

3.2  O coeficiente angular O coeficiente angular nos apresenta a variação no valor da função (y) como decorrência de uma variação na variável x (independente), isto é, ele nos mostra o impacto provocado na função (y) pela variação em x. Se a função é crescente, isto é, se um aumento em x provoca um aumento no valor da função (y), então o coeficiente angular irá mostrar o quanto (Δy) a função cresce provocada pelo aumento na variável x (Δx).

A forma utilizada para se determinar uma função derivada, que será abordada neste capítulo, não é a mais prática nem a mais ágil, mas é necessária para que se compreenda o conceito de derivada. Na próxima unidade, veremos formas bem mais práticas de obter tais funções.

Em contrapartida, se a função é decrescente, isto é, se um aumento em x provoca uma diminuição no valor da função, então o coeficiente angular irá mostrar o quanto (Δy) a função diminui de valor como decorrência do aumento na variável x (Δx). O coeficiente angular, que denotaremos por m, entre dois pontos, P1(x1, y1) e P2(x2 , y2), é dado pela expressão abaixo:

m=

∆y y 2 − y 1 = ∆x x 2 − x1

Ele é numericamente igual à tangente do ângulo α, formado pelo prolongamento do segmento de reta P1P2 e pelo eixo x (eixo das abscissas ou eixo horizontal), conforme mostrado na figura 14 a seguir:

40 •

capítulo 3

y

P2

y2

∆y

P1

y1

α

∆x

x x1

x2

Figura. 6 – Esquema para a obtenção do coeficiente angular

Nos exemplos seguintes, veremos como calcular o coeficiente angular entre dois pontos. Note que uma das funções apresentadas é do primeiro grau e a outra é do segundo. Procure notar a diferença entre os resultados.

A utilização da letra grega delta maiúscula (D) seguida de uma variável (x, por exemplo) indica a variação ocorrida nessa variável, isto é, Dx é uma forma de indicar um intervalo da variável x.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = 3x + 1: a)

b)

x1 = 0 e x2 = 1

m=

∆y y2 − y1 4 − 1 = =3 = ∆x x2 − x1 1− 0

m=

∆y y2 − y1 7 − 4 = =3 = ∆x x2 − x1 2 − 1

x1 = 1 e x2 = 2

capítulo 3

• 41

c)

d)

e)

x1 = 2 e x2 = 3

m=

∆y y2 − y1 10 − 7 = =3 = ∆x x2 − x1 3 − 2

m=

∆x y2 − y1 34 − 31 = =3 = ∆y x2 − x1 11− 10

x1 = 10 e x2 = 11

x1 = 0 e x2 = 10

∆y y2 − y1 31− 1 =3 = = ∆x x2 − x1 10 − 0

m=

f)

x1 = 1 e x2 = 101

m=

∆y y2 − y1 304 − 4 = =3 = ∆x x2 − x1 101− 1

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = x2. a)

b)

c)

x1 = 0 e x2 = 1

m=

∆y y2 − y1 1− 0 = =1 = ∆x x2 − x1 1− 0

m=

∆y y2 − y1 4 − 1 = =3 = ∆x x2 − x1 2 − 1

m=

∆y y2 − y1 9 − 4 = =5 = ∆x x2 − x1 3 − 2

x1 = 1 e x2 = 2

x1 = 2 e x2 = 3

42 •

capítulo 3

d)

x1 = 10 e x2 = 11

m=

e)

∆y y2 − y1 121− 100 = = 21 = ∆x x2 − x1 11− 10

x1 = 0 e x2 = 10

m=

f)

∆y y2 − y1 100 − 0 = = 10 = ∆x x2 − x1 10 − 0

x1 = 1 e x2 = 101

m=

∆y y2 − y1 10 ⋅ 201− 1 = = 102 = ∆x x2 − x1 101− 1

3.3  Interpretação gráfica da derivada 3.3.1  Derivada pela definição A definição matemática da derivada vem da ideia do coeficiente angular, porém é muito mais refinada, apurada. O coeficiente angular mede ou calcula a variação que ocorre na função (y) ao provocarmos uma variação na variável independente (x). Graficamente, o coeficiente angular de uma reta é um número que representa a inclinação da reta em seu gráfico num determinado ponto, como vimos nos exemplos anteriores, em que x variava de 0 até 1 ou de 1 até 2 ou, ainda, de 0 a 10. A derivada, entretanto, mostra-nos a variação da função quando provocada por uma mudança (aumento/diminuição) muito pequena (infinitesimal) na variável x. Assim, a derivada é capaz de medir “a tendência de variação da função num Δx muito pequeno, tendendo a zero”. A derivada mostra, por assim dizer, a variação da função não mais entre dois pontos (coeficiente angular), mas sim “a tendência de variação da função num ponto” (já que Δx → 0). A derivada da função no ponto x0 pode ser entendida como sendo a taxa de variação pontual, no ponto x0.

capítulo 3

• 43

A notação de derivada pode ser encontrada, entre vários autores, como sendo: y’; f’(x); dy ; ∆xy dx Todas estas notações dizem respeito à mesma função matemática: “a derivada de y em relação a x”. Voltando à definição de derivada, podemos dizer que ela é a mesma do coeficiente angular entre dois pontos, porém com a única e importante diferença de que o acréscimo na variável x, a partir de x0, é muito pequeno, tendendo a zero (Δx → 0), conforme expressão abaixo: y = lim ∆x →0

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x

3.3.2  Interpretação gráfica da derivada Já sabemos que a derivada de uma função nos apresenta sua “tendência de variação em cada ponto” e que, desta forma, há pequena diferença em relação ao coeficiente angular, no sentido de que este último torna uma variação finita (grande) em variável independente (x). É por isso que precisamos de 2 pontos para calcular o coeficiente angular, sendo representado graficamente pelo ângulo α, formado entre o segmento de reta entre os dois pontos P1P2 e a abscissa, conforme podemos observar pela figura 7, a seguir. A interpretação gráfica da derivada também se baseia na ideia de um ângulo, o θ da figura 6. No entanto, este ângulo é formado pela tangente à curva que passa pelo ponto x0, não necessitando de outro ponto para defini-la, como ocorre com o coeficiente angular. Assim, podemos dizer que a derivada de uma função é dada pela tangente do ângulo θ da tangente à curva em cada ponto x. Embora estejamos falando em tangente de ângulo, não precisaremos utilizar os conceitos da trigonometria para trabalhar com derivadas.

44 •

capítulo 3

f(x) P2

f(x0 + ∆x)

P1

f(x0)

α

Reta tangente a f(x) pelo ponto x0

θ (x0) + ∆x

(x0)

Figura 7 – Representações gráficas do coeficiente angular e das derivadas (respectivamente as tangentes dos ângulos α e θ)

EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = 3x + 1: a) y’(x0 = 1) ou y(1), que representam a derivada da função no ponto x0 = 1; b) y’(2); c) y’(0); d) y’(x).

Para representarmos a derivada de uma função y em um ponto x0 específico, podemos escrever y’(x0).

Resolução a)

y (1) Vamos

determinar,

inicialmente,

as

expressões

que

representam

f(x0)

e f(x0 + Dx):

 f ( x0 ) = f (1) = 3 ⋅1+ 1 = 4   f ( x0 + ∆x ) = f (1+ ∆x ) = 3(1+ ∆x ) + 1 = 3 + 3∆x + 1 = 4 + 3∆x

capítulo 3

• 45

Agora, basta substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

y ’(1) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x f (1+ ∆x ) − f(1) = lim∆x →0 ∆x 4 + 3∆x − 4 = lim∆x →0 ∆x 3∆x = lim∆x →0 ∆x = lim∆x →0 ( 3) =3

CONEXÃO No endereço:, você encontrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “función derivada”, que mostra o conceito de taxa de variação média e sua interpretação geométrica, de taxa de variação instantânea, a função derivada e a derivada de função composta. Também apresenta exemplos e exercícios que poderão auxiliar sua aprendizagem. O texto é apresentado em espanhol.

b)

y’(2) Novamente vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) e

f(x0 + Dx):  f ( x0 ) = f (2) = 3 ⋅ 2 + 1 = 7   f ( x0 + ∆x ) = f (2 + ∆x ) = 3(2 + ∆x ) + 1 = 6 + 3∆x + 1 = 7 + 3∆x Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

46 •

capítulo 3

y ’(2) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x f (2 + ∆x ) − f(2) = lim∆x →0 ∆x 7 + 3∆x − 7 = lim∆x →0 ∆x

3∆x ∆x = lim∆x →0 ( 3) = lim∆x →0 =3 c)

y’(0) Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:

 f ( x0 ) = f ( 0) = 3 ⋅ 0 + 1 = 1   f ( x0 + ∆x ) = f ( 0 + ∆x ) = 3( 0 + ∆x ) + 1 = 3∆x + 1 = 1+ 3∆x Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

y ’( 0) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x f ( 0 + ∆x ) − f ( 0) = lim∆x →0 ∆x 1+ 3∆x − 1 = lim∆x →0 ∆x 3∆x = lim∆x →0 ∆x = lim∆x →0 ( 3) =3

CONEXÃO No endereço:, você encontrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “limits”, que calcula limites de funções.

capítulo 3

• 47

d)

y’(x) Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:

 f ( x0 ) = f ( x ) = 3x + 1   f ( x0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 3( x + ∆x ) + 1 = 3x + 3∆x + 1 Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

y ’( x ) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x →0 ∆x 3x + 3∆x + 1− ( 3x + 1) = lim∆x →0 ∆x 3x + 3∆x + 1− 3x − 1 = lim∆x →0 ∆x 3∆x = lim∆x →0 ∆x = lim m∆x→0 ( 3) =3

EXEMPLO Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = x2 – 2x + 1: a)

y’(2);

b)

y’(x). Resolução a) y’(2) Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos determinar, inicialmente, as expres-

sões que representam f(x0) e f(x0 + Dx):

 f ( x0 ) = f (2) = 22 − 2 ⋅ 2 + 1 = 4 − 4 + 1 = 1  2  f ( x0 + ∆x ) = f (2 + ∆x ) = (2 + ∆x ) − 2(2 + ∆x ) + 1  = 4 + 4∆x + ( ∆x )2 − 4 − 2∆x + 1   = ( ∆x )2 + 2∆x + 1 

48 •

capítulo 3

Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

y ’(2) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x + 2∆x + 1− 1 = lim∆x →0 ∆x ( ∆x )2 + 2∆x = lim∆x →0 ∆x ( ∆x )2

∆x( ∆x + 2) ∆x = lim∆x →0 ( ∆x + 2) = lim∆x →0 =0+2 =2 b) y’(x) Nesse caso, para determinar as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx), devemos substituir x0 por x e proceder ao cálculo do limite que define a derivada.  f ( x 0 ) = f ( x ) = x2 − 2x + 1  2  f ( x0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) − 2( x + ∆x ) + 1  = x2 + 2x∆x + ( ∆x )2 − 2x − 2∆x + 1 

Agora, basta substituir as expressões equivalentes a (x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:

y ’(2) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x x2 + 2x∆x + ( ∆x )2 − 2x − 2∆x + 1− ( x2 − 2x + 1) = lim∆x →0 ∆x x2 + 2x∆x + ( ∆x )2 − 2x − 2∆x + 1− x2 + 2x − 1 = lim∆x →0 ∆x 2x∆x + ( ∆x )2 − 2∆x = lim∆x →0 ∆x ∆x(2x + ∆x − 2) = lim∆x →0 ∆x = lim∆x →0 (2x + ∆x − 2)

= 2x + 0 − 2 = 2x − 2

capítulo 3

• 49

EXEMPLO Encontre, pela definição, a derivada de: a)

y = 4x + 3;

b)

y = 1 – 5x;

c)

4 y= ; x

d)

y = x2 Resolução Note que não está sendo especificado nenhum valor para x0. Dessa forma, iremos consi-

derar um valor genérico x0 = x. No mais, o procedimento é semelhante ao que já realizamos nos exemplos anteriores. a)

y = 4x + 3 Temos:

 f ( x 0 ) = f ( x ) = 4x + 3   f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 4( x + ∆x ) + 3  = 4 x + 4 ∆x + 3 

Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a derivada, temos: f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x 4 x + 4∆x + 3 − (4 x + 3) = lim ∆x →0 ∆x 4 x + 4∆x + 3 − 4 x − 3 = lim ∆x →0 ∆x 4∆x = lim ∆x →0 ∆x = lim ∆x →0 (4)

y '( x ) = lim ∆x →0

=4

50 •

capítulo 3

b)

y = 1 – 5x; Temos:

 f ( x0 ) = f ( x ) = 1− 5x   f ( x0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 1− 5( x + ∆x )  = 1− 5x − 5∆x  Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a derivada, temos:

y ’( x ) = lim∆x →0

f( x0 + ∆x ) − f( x0 )

∆x 1− 5x − 5∆x − (1− 5x ) = lim∆x →0 ∆x

1− 5x − 5∆x − 1+ 5x ∆x −5∆x = lim∆x →0 ∆x = lim∆x →0 ( −5) = lim∆x →0

= −5 c)

4 y= ; x Temos:

4   f ( x0 ) = f( x ) = x   f ( x + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 4 0  x + ∆x Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) e no limite que define a derivada, temos:

capítulo 3

• 51

y ’( x ) = lim∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

∆x 4 4 − = lim∆x →0 x + ∆x x ∆x 4x − 4( x + ∆x ) x( x + ∆x ) = lim∆x →0 ∆x 4x − 4x − 4∆x x( x + ∆x ) = lim∆x →0 ∆x −4∆x x( x + ∆x ) = lim∆x →0 ∆x 1 −4∆x = lim∆x →0 ⋅ x( x + ∆x ) ∆x −4 = lim∆x →0 x( x + ∆x ) −4 = x( x + 0) −4 = 2 x

CONEXÃO No exemplo anterior, item (c), o mínimo múltiplo comum (mmc) de x e (x + ∆x) é igual a x(x + ∆x).

d)

y = x2 Temos:

 f ( x0 ) = f ( x ) = x2  2 2 2  f ( x0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) = x + 2x∆x + ( ∆x )

52 •

capítulo 3

Substituindo as expressões equivalentes a e no limite que define a derivada, temos:

y ’( x ) = lim ∆x → 0 = lim ∆x → 0

f( x + ∆x ) − f( x ) 0 0 ∆x x2 + 2x∆x + ( ∆x )2 − x2

∆x 2x∆x + ( ∆x )2 = lim ∆x → 0 ∆x ∆x(2x + ∆x ) = lim ∆x → 0 ∆x (2x + ∆x ) = lim ∆x → 0 = 2x + 0 = 2x

capítulo 3

• 53

54 •

capítulo 3

4 Regras de Derivação

OBJETIVOS Depois de ler e resolver os exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido as regras de diferenciação de funções e saberá rapidamente obter a derivada: •  de uma função potência f(x) = x n; •  de uma função multiplicada por uma constante k: k · f(x); •  de uma função constante f(x) = k; •  da soma (ou subtração) de duas funções: f(x) ± g(x); •  do produto de duas funções: f(x) · g(x); •  da divisão de duas funções:

56 •

capítulo 4

f (x) . g(x)

4.1  Regras de Derivação Vimos, no capítulo 3, como calcular a derivada originalmente, isto é, pela sua definição. Porém, a todo momento precisamos calcular derivadas e levaremos bastante tempo resolvendo-as “pela definição” (usando o cálculo do limite). Este tema traz, então, uma série de regras de diferenciação (derivação) para que o processo de obtenção do cálculo seja bastante prático. O aluno aprenderá, neste capítulo, as principais regras de diferenciação (ou derivação) de funções. São regras bastante simples que permitirão ao aluno obter rapidamente a forma mais simples da derivada de uma função sem ter que recorrer ao cálculo do limite (derivada pela definição).

4.2  Derivada de função 4.2.1  Derivada da função xn Seja uma função do tipo y = xn, então a sua derivada é: y’ = nx(n – 1), ∀ n ∈ R Demonstração utilizando a definição de limite As demonstrações destas regras (apresentadas a seguir) podem ser obtidas através da definição de derivada, utilizando-se o limite. Para efeito de curiosidade, vamos demonstrar apenas o primeiro caso (função potência). Não vamos nos prender a demonstrações, já que não é o objetivo deste curso. O importante aqui é a utilização correta das regras para encontrarmos as derivadas das funções e as utilizarmos em aplicações importantes no curso de Administração.

capítulo 4

• 57

Vamos então considerar y = xn. Daí, temos:

 f (x0 ) = f (x) = xn  n  f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x )  = x n + nx n −1 ∆x + nx n −2 ( ∆x )2 +  +… + nx 2 ∆x n −2 + nx∆x n −1 + ( ∆x )n 

Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a derivada, temos:

y ( x ) = lim ∆x →0

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )

∆x x n + nx n −1 ∆x + nx n −2 ( ∆x )2 + … + nx 2 ( ∆x )n −2 + nx( ∆x )n −1 + ( ∆x )n − x n = lim ∆x →0 ∆x nx n −1 ∆x + nx n −2 ( ∆x )2 + … + nx 2 ( ∆x )n −2 + nx( ∆x )n −1 + ( ∆x )n = lim ∆x →0 ∆x ∆x[nx n −1 + nx n −2 ∆x + … + nx 2 ( ∆x )n −3 + nx( ∆x )n −2 + ( ∆x )n −1 ] = lim ∆x →0 ∆x = lim ∆x →0 [nx n −1 + nx n −2 ∆x + … + nx 2 ( ∆x )n −3 + nx( ∆x )n −2 + ( ∆x )n −1 ]

= nx n −1 + nx n −2 ⋅ 0 + … + nx 2 ⋅ 0n −3 + nx ⋅ 0n −2 + 0n −1 = nx n −1

EXEMPLO Se y = x3, então y’ = 3x3–1 ⇒ y’ = 3x2.

Como não está sendo pedida a derivada em determinado ponto, consideremos x0 = x.

58 •

capítulo 4

EXEMPLO Encontre a derivada de cada uma das funções apresentadas a seguir, utilizando a regra da derivada da função y = xn. a)

y = x2

b)

8

y=x

c)

y = x10

d)

y = x100

e)

y=x 1 y= 3 x

f) g) h)

y=

1 x

y=

i)

y= x

j)

y = x3

k)

y = x5

l)

y=3x

m)

y = 7 x4

1 x10

Resolução a) y = x2 Se y = x2, então y’ = 2x2–1 ⇒ y’ = 2x. b) y = x8 Se y = x8, então y’ = 8x8–1 ⇒ y’ = 8x7. c) y = x10 Se y = x10, então y’ = 10x10–1 ⇒ y’ = 10x9. d) y = x100 Se y = x100, então y’ = 100x100–1 ⇒ y’ = 100x99. e) y = x Se y = x, então y’ = 1x1–1 ⇒ y’ = x0 ⇒ y’ = 1. f)

y=

1 x3

Se y = 1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–3 Então: x3

y ’ = −3x −3−1 ⇒ y ’ = −3x −4 ⇒ y ’ = −

3 , x ≠ 0. x4

capítulo 4

• 59

g) Se

y= y=

1 x

1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–1. Então: x

y ’ = −1x −1−1 ⇒ y ’ = − x −2 ⇒ y ’ = −

h)

y=

1 , x ≠ 0. x2

1 x10

Se y = 1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–10. Então: 10

x

y ’ = −10x −10 −1 ⇒ y ’ = −10x −11 ⇒ y ’ = −

10 , x ≠ 0. x11

y= x

i)

1

Se y = x , podemos escrever, de forma equivalente, y = x 2 . Então:

y’ =

1 21 −1 1 −1 1 1 x ⇒ y’ = x 2 ⇒ y’ = − 1 ⇒ y’ = − , x > 0. 2 2 2 x 2 2x

j)

y = x3 3

Se y = x3 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x 2 . Então:

y’ =

3 32 −1 3 1 3 x x ⇒ y ’ = x2 ⇒ y ’ = , x ≥ 0. 2 2 2

k)

y = x5 5

Se y = x5 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x 2 . Então:

60 •

capítulo 4

l)

y=3x 1

Se y = 3 x , podemos escrever, de forma equivalente, y = x 3 . Então: m) y = 7 x4 4

Se y = 7 x4 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x 7 . Então:

y’ =

4 47 −1 4 −3 4 4 x ⇒ y ’ = x 7 ⇒ y ’ = 3 ⇒ y ’ = 7 , x > 0. 7 7 7 x3 7x 7

4.2.2  Derivada de k· f(x) Seja uma função do tipo y = k · f(x), em que: •  k é uma constante (∀ k ∈ R); •  f(x) é uma função qualquer, cuja derivada é f ’(x). Então, sua derivada será: y’ = k · f ’(x)

EXEMPLO Encontre as derivadas das funções seguintes, utilizando as regras de derivação que você conhece: a)

y = 3x2

e)

y = 100x100

b)

y=

x8 10

f)

y=

c)

y = 100x3

g)

y=−

d)

y=

h)

y =2 x

x10 10

5 x

6 x3

capítulo 4

• 61

25x3 3

i)

y=

j)

y = 20 3x5

3

k)

y=

l)

y=3

8x2 2

Quando encontramos, numa função, uma constante (k) que esteja multiplicando ou dividindo outra função, então, se queremos aplicar a derivação, devemos nos preocupar somente com a parte funcional (parte que apresenta o x), mantendo a constante intacta, ou seja, da forma (multiplicando ou dividindo) como se apresenta na função original, antes de começar a derivação.

Resolução a) y = 3x2 Se y = 3x2, então: y’ (x) = 3 · (2)x(2 – 1) = 6x1 = 6x

y=

b)

Se y =

y’ =

x8 10

1 8 x8 x . Então: , podemos escrever, de forma equivalente, y = 10 10

1 8 x7 1 ⋅ 8 x8 −1 ⇒ y ’ = ⋅ 8 x7 ⇒ y ’ = . 10 10 10

c) y = 100x3 Se y = 100x3, então: y’ = 100 · (3)x3 – 1 = 300x2 d)

y=

Se y =

x10 10

x10 x10 (10 −1) , podemos escrever, de forma equivalente, y = . Então: 10 x10 = x9 10 10

e) y = 100x100 Se y = 100x100, então: y’= 100 · (100)x100 – 1 = 10.000 · x99

62 •

capítulo 4

y=

f)

Se y =

g)

5 x

1 5 , podemos escrever, de forma equivalente, y = 5 = 5 ⋅ x −1. Então: x x

y=−

Se y = −

y = −6

6 x3

6 , podemos escrever, de forma equivalente, x3

1 = −6 ⋅ x −3 . Então: x3

y ’ = −6 ⋅ ( −3) x−3−1 ⇒ y ’ = 18 x−4 ⇒ y ’ =

h)

18 . x4

y =2 x

1

Se y = 2 x , podemos escrever, de forma equivalente, y = 2x 2 . 1 − 1 1 −1 1 1 y ’ = 2 ⋅ ⋅ x2 ⇒ y ’ = x 2 ⇒ y ’ = 1 ⇒ y ’ = . 2 x x2

25x3 3

y=

i)

3 Se y = 25x , podemos escrever, de forma equivalente, 3

3

25 ⋅ x3 5 ⋅ x 2 5 23 Então: y= = = ⋅x 3 3 3

y = 20 ⋅ 3 y’

1 2

⋅x

5

2

1 −1 5 −1 = 20 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2

y ’ = 20 ⋅

1 1 3 2

⋅x

3

2

1

y ’ = 20 ⋅

3 2 32 ⋅x 3

20 12 3 2 ⋅3 ⋅x 3 1 20 ⋅ ( 3 ⋅ x3 ) 2 y’ = 3 y’ =

capítulo 4

• 63

y = 20 3x5

j)

Se y = 20 3x5 , podemos escrever, de forma equivalente, y = 20 · 3½ · x5/2 Então: y = 20 ⋅ 3

1 2

⋅x

5

2

1 −1

5 −1

y ’ = 20 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 3 1 y ’ = 20 ⋅ 1 ⋅ x 2 3 2 1

y ’ = 20 ⋅

3 2 32 ⋅x 3

20 12 3 2 ⋅3 ⋅x 3 1 20 ⋅ ( 3 ⋅ x3 ) 2 y’ = 3 y’ =

k)

y=

3

8x2 2

3 2 Se y = 8x , podemos escrever, de forma equivalente,

2

y=

y= y· =

l)

2

3

8 3 x2 2 3 x2 ⇒y= ⇒ y = x 3 . Então: 2 2

3

8 3 x2 2 3 x2 ⇒y= ⇒ y = x 3 . Então: 2 2

2

2

1

2 3 −1 2 − 2 2 x ⇒ y· = x 3 ⇒ y· = 1 ⇒ y· = 3 . 3 3 3 x 3x 3 y=3

Como y = 3 é uma função constante, podemos escrevê-la na forma y = 3x0. E, aplicando as mesmas regras que aplicamos nos itens anteriores, temos: y’ = 3 · 0 · x0–1 = 0 Em situações como essas (de funções constantes), não é necessário que apliquemos tais regras, pois, na próxima seção, definiremos uma regra para derivadas de funções constantes. Podemos dizer que a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.

64 •

capítulo 4

4.2.3  Derivada de f(x) = k Seja uma função constante, isto é, y = k, em que k é uma constante (k ∈ R). Então, sua derivada será: y’ = 0

EXEMPLO Encontre as derivadas das funções seguintes: a) y = 3

d)

b) y = 10 400 c) y = 1 10

f)

y= 5 e) y = p y = 53

Resolução Todas as funções apresentadas nos itens de (a) a (f) são funções constantes. Portanto, para todos esses casos, temos: y’ = 0

4.3  Derivada de uma soma (ou subtração) de funções Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), em que: •  f(x) é uma função cuja derivada é f’(x); •  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x).

É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a função varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).

Então, sua derivada será: y’(x) = f ’(x) ± g’(x)

capítulo 4

• 65

EXEMPLO Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação: a) y = 3x2 + 2x – 10 b) y = 3x2 + 4x – 5 c)

y=

x8 − 3x 10

d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10 Resolução: a) y = 3x2 + 2x – 10 Se y = 3x2 + 2x – 10, então:

y · = 3 ⋅ 2x2 −1 + 2x1−1 − 0 ⇒ y · = 6x + 2. b) y = 3x2 + 4x – 5

Se y = 3x2 + 4x – 5, então: y · = 3 ⋅ 2x2 −1 + 4x1−1 − 0 ⇒ y · = 6x + 4. c)

y=

x8 − 3x 10

8 Se y = x − 3x , então:

10

4 x7 8x8 −1 y· = − 3x1−1 ⇒ y · = − 3. 10 5

d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10 Se y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10, então:

y ’ = 100 ⋅ 3x3−1 − 4 ⋅ 2x2 −1 + 3x1−1 − 0 ⇒ y ’ = 300x2 − 8x + 3. Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a função varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x)

66 •

capítulo 4

4.4  Derivada do produto de duas funções: a regra do produto Seja uma função do tipo y = f(x) · g(x), em que: •  f(x) é uma função cuja derivada é f ’(x); •  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x). Então, sua derivada será: y’(x) = f ’(x) · g(x) + g’(x) · f(x) Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a função varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).

EXEMPLO Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções seguintes: a) y = x3 · (4x + 2) b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3) c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20) d)

y=

5x ( 25x 2 − 4x + 2) 2

Resolução a) y = x3 · (4x + 2) Podemos observar que a função y é o produto de duas funções, que denotaremos, respectivamente, por f(x) e g(x). Portanto: y = f(x) · g(x)

capítulo 4

• 67

em que

 f ( x ) = x3 ,  g( x ) = 4x + 2 e suas derivadas são

 f'( x ) = 3x2  g ’( x ) = 4 Para simplificar a notação, vamos denotar as funções f(x), g(x), f´(x) e g´(x) por f, g, f´ e g´. Além disso, podemos suprimir o uso do sinal da multiplicação “·”, quando esta operação estiver evidente. Aplicando a regra do produto, temos:

y ’ = f' g + g ’ f y ’ = 3x2 (4x + 2) + 4( x3 )

A expressão y ’ = 3x2 (4x + 2) + 4( x3 ) já é a derivada que queríamos determinar. No entanto, podemos continuar a desenvolvê-la e simplificá-la (sempre que possível). Portanto:

y ’ = 3x2 (4x + 2) + 4( x3 ) y ’ = 12x3 + 6x2 + 4x3 y ’ = 16x3 + 6x2

A regra do produto de duas funções não é tão intuitiva quanto a regra da soma (ou subtração). Agora, a derivada de uma multiplicação não é simplesmente a multiplicação das derivadas.

68 •

capítulo 4

b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3) Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos: y = f · g, em que

 f = 2x3 + 3x +1 ,  g = x − 3 e suas derivadas são

 f' = 6x2 + 3  g’ = 1 Aplicando a regra do produto, temos:

y ’ = f' g + g ’ f y ’ = (6x2 + 3)( x − 3) + 1(2x3 + 3x + 1) y ’ = 6x3 − 18x2 + 3x − 9 + 2x3 + 3x + 1 y ’ = 8x3 − 18x2 + 6x − 8 c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20) Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos: y = f · g, em que

 5x f = , 2  g = 25x2 − 4x + 2  e suas derivadas são 5   f' = . 2  g ’ = 50x − 4 Aplicando a regra do produto, temos:

y ’ = f' g + g ’ f y ’ = ( 300x2 − 8x )( 3x − 20) + 3(100x3 − 4x2 ) y ’ = 900x3 − 600x2 − 24x2 + 160x + 300x3 − 12x2 y ’ = 1200x3 − 636x2 + 160x

capítulo 4

• 69

d)

y=

5x (25x2 − 4x + 2) 2

Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos escrever a função y como o produto de duas funções f e g: y = f · g, em que

5x  f = , 2  g = 25x2 − 4x + 2  e suas derivadas são 5   f' = . 2  g ’ = 50x − 4

Aplicando a regra do produto, temos:

y ’ = f' g + g ’ f 5 5x y ’ = (25x2 − 4x + 2) + (50x − 4) 2 2 125x2 − 10x + 5 + 125x2 − 10x y’ = 2 375x2 y’ = − 20x + 5 2 Note que, em cada um dos casos resolvidos anteriormente, poderíamos ter obtido a derivada sem aplicar a regra do produto. Bastaria, para isso, multiplicar as expressões (utilizando a propriedade distributiva), transformando cada uma das funções em polinômios (sem utilização da forma de multiplicação). No entanto, haverá casos em que esse tipo de recurso não será possível. Por isso, é imprescindível que se saiba aplicar a regra do produto.

CONEXÃO No endereço:, você irá encontrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do produto” (“the product rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. Você

70 •

capítulo 4

mesmo insere a função produto que deseja derivar (a partir de algumas funções já predefinidas) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma representação gráfica da função produto e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.

4.5  Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente Seja uma função do tipo em que:

y=

f (x) g(x)

•  f(x) é uma função cuja derivada é f ’(x), •  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x). Então, sua derivada será:

y =

f' ( x ) ⋅ g ( x ) − g ( x ) ⋅ f ( x ) . [g ( x )]2

Utilizando uma notação mais simplificada, podemos escrever: y' =

f'g − g ' f g2

EXEMPLO Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes: 4 a) y = 5x 3x2 b)

y=

5x2 + 8x − 1 2x − 3

c)

y=

x4 + 25 x 3 − 4 x2

capítulo 4

• 71

Resolução a)

y=

5x4 3x2

Note que essa função pode ser simplificada antes de ser derivada. Podemos escrever:

= y

5x2 5 2 = ou y x , 3 3

e, em seguida, derivá-la:

10x 5 y ’ = 2x2 −1 ⇒ y ’ = 3 3

Apenas para ilustrar e mostrar que, pela aplicação da regra do quociente. a derivada obtida será a mesma, vamos determinar y´ dessa forma. Vamos, inicialmente, escrever a função y como o quociente de duas funções, f e g:

y=

f , g

em que 4  f = 5x ,  2 g = 3x

e suas derivadas são

 f' = 20x3 .  g ’ = 6x

Aplicando a regra do quociente, temos: y ’ = b)

y=

20 2 10 2 ⋅ x ⇒ y’ = ⋅x 6 3

5x2 + 8x − 1 2x − 3

Escrevendo a função y como o quociente de duas funções f e g, temos:

y=

72 •

capítulo 4

f , g

em que

 f = 5x2 + 8x − 1 ,  g = 2x − 3

e suas derivadas são

 f' = 10x + 8 .  g’ = 2

Aplicando a regra do quociente, temos:

c)

y=

y’ =

f' g − g ’ f g2

y’ =

(10x + 8)(2x − 3) − 2(5x2 + 8x − 1) (2x − 3)2

y’ =

20x2 − 30x + 16x − 24 − 10x2 − 16x + 2 (2x − 3)2

y’ =

10x2 − 30x − 22 (2x − 3)2

x4 + 25 x 3 − 4 x2

Escrevendo a função y como o quociente de duas funções, f e g, temos:

y=

f , g

em que 4 f = x + 25  3 2 g = x − 4x

e suas derivadas são 3  f' = 4x .  2 g ’ = 3x − 8x

capítulo 4

• 73

Aplicando a regra do quociente, temos:

y’ =

f' g − g ’ f g2

y’ =

4x3 ( x3 − 4x2 ) − ( 3x2 − 8x )( x4 + 25) ( x 3 − 4 x 2 )2

y’ =

4x6 − 16x5 − 3x6 − 75x2 + 8x5 + 200x ( x 3 − 4 x 2 )2

y’ =

x6 − 8x5 − 75x2 + 200x ( x 3 − 4 x 2 )2

CONEXÃO No endereço: , você irá encontrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do quociente” (“the quotiente rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. Você mesmo insere a função quociente que deseja derivar (a partir de algumas funções já predefinidas) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma representação gráfica da função quociente e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHIANG, A. Matemática para economistas. Edusp/McGraw-Hill, 1982. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada à economia, administração e ciências contábeis. Bookman, 1999. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997. LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001. SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, H. M. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1997. TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. Pioneira Thomson Learning, 2001. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988.

74 •

capítulo 4

4.6  Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos – Problema de Otimização O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma precisa, a função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressão de duas variáveis, mas, usando as condições adicionais do problema, esta expressão pode ser reescrita como uma função de uma variável derivável e, assim, poderemos aplicar os teoremas.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Aplicação de regra de derivação O custo para produzir certo produto é dado por C(x) = x3/3 − 6 x2 + 30 x + 25. Determine o lucro máximo se o preço do produto for R$ 10,00. O lucro é dado por L(x) = R(x) − C(x), em que a receita é R(x) = 10 x; logo;

1 L( x ) = −x 3 + 18x 2 − 60 x − 75 3 Derivando e igualando a zero: − 3 x2 + 36 x − 60 = 0 =⇒ x = 2 e x = 10. Derivando novamente:

L `` (x) = 1/3 . [36 – 6x] Logo: L’’ (2) = 8 e x = 2 é ponto de mínimo; L’’ (10) = −8 e x = 10 é ponto de máximo. L(10) = R$ 41,66. Note que o ganho da empresa é

100

devido ao fato de que o custo é C(10) = R$ 58,33 e a receita é

50

R(10) = R$ 100,00. 2

4

6

8

10

12

Disponível em: . Acesso em: 02 mai. 2015. Adaptado.

capítulo 4

• 75

76 •

capítulo 4

5 Aplicações Matemáticas em Economia

OBJETIVOS Ao final desse capítulo, o aluno deverá estar apto a: •  Entender porque as empresas precisam de funções que maximizem seus lucros; •  Aplicar seus conhecimentos a situações em que a tomada de decisão visa a elevar lucros, sem descuidar do cumprimento de outras restrições próprias do ambiente de negócios; •  Calcular o ponto de equilíbrio de uma operação; •  Compreender a elasticidade - preço da demanda.

78 •

capítulo 5

5.1  Maximização do lucro de uma empresa 5.1.1  Maximização do lucro Quando uma firma está em condição de monopólio, só ela produz e vende o produto no mercado. Assim, recai sobre ela toda a demanda. O preço não é mais constante como em concorrência, quando a empresa não tem controle sobre quanto cobrar pelo produto. Em concorrência, o preço é estabelecido pelo mercado. Em monopólio, a empresa tem poder de mercado e, portanto, ela pode decidir o quanto irá produzir e qual o preço que colocará no produto, conhecendo a função de demanda que relaciona o preço e a quantidade demandada. No exemplo a seguir, veremos uma situação em que há esse tipo de relação entre preço e demanda (ou quantidade demandada) e como essa relação influencia o comportamento das funções receita total e lucro total.

EXEMPLO Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores, respectivamente, que a empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto, de forma a maximizar seu lucro, sabendo-se que a empresa apresenta custo fixo de R$ 1.000,00 e custo unitário de produção de R$ 4,00. A empresa conhece a função (curva) de demanda de seu produto (Q = 120 – p ou p = 120 – Q). Encontre também o lucro máximo. Sugestão: obtenha as funções CT e RT e faça um gráfico. Resolução Custo total: CT = CF + CV = 1.000 + 4Q Receita total: RT = pQ = (120 – Q)Q = 120Q – Q2 Note agora que a função receita total será uma parábola (função do segundo grau). Lucro da empresa: L = RT – CT = 120Q – Q2 – 1.000 – 4Q, que simplificando resulta em L = – Q2 + 116Q – 1.000 O valor máximo do lucro (Lucro máximo: Lmáx) ocorre no vértice da parábola:

 −b − ∆   −116 −9.456  ;  ; =  = ( 58; 2.364 ) −4   2a 4a   −2 Produzindo uma quantidade de 58 unidades do produto (conforme podemos observar pelo gráfico abaixo), a empresa obterá o maior lucro possível, que será de R$ 2.364,00, já

capítulo 5

• 79

que o preço seria, segundo a função da demanda, anterior: p = 120 – Q = 120 – 58 = 62,00 reais. Para compreender melhor, devemos raciocinar que a empresa colocaria o preço em R$ 62,00 e, assim, as pessoas estariam interessadas em comprar 58 unidades do produto, gerando, então, um lucro total (máximo) de R$ 2.364,00 para a empresa. Este é o ponto de operação da empresa monopolista. O gráfico a seguir representa as funções envolvidas nesse exemplo. 4.000 $ Lmáx. = 2.364

3.000

LT

RT

2.000 1.000 CT

Q

0 0 –1.000

20

40 60 80 Qótima = 58

100

120

–2.000

EXEMPLO Dadas as funções receita total RT(Q) = –Q2 + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade: a) determine a quantidade para a qual essa utilidade proporciona receita máxima; b) obtenha a função lucro total para essa utilidade; c) determine a quantidade para a qual o lucro proporcionado por essa utilidade é máximo; d) esboce os gráficos das funções custo total, receita total e lucro total dessa utilidade. Resolução a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo (receita máxima) ocorre no vértice dessa parábola. Portanto, a quantidade que proporciona receita máxima é dada pela fórmula:

80 •

capítulo 5

Qv =

−b 2a

Note que, na fórmula mostrada, o valor que será obtido é referente à coordenada x do vértice (xv). Na função RT(Q) = –Q2 + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coordenada Qv é:

Qv =

−b −200 −200 = = 100 = 2a 2( −1) −2

O resultado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida (e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, basta substituir Q por 100 na função RT(Q) = –Q2 + 200Q e calcular o valor de RT. Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, a receita começará a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade aumentando, se o preço cair, o valor de receita poderá diminuir. b) A função lucro total LT pode ser obtida pela diferença entre as funções receita total RT e custo total CT. Portanto: LT(Q) = RT(Q) – CT(Q) LT(Q) = – Q2 + 200Q – (4.000 + 30 Q) LT(Q) = – Q2 + 200Q – 4.000 – 30 Q LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000 c) Assim como ocorreu com a função receita, quando determinamos a quantidade para a qual ela era máxima, vamos aqui proceder da mesma forma para determinar a quantidade que gera lucro máximo, ou seja, que maximiza a função lucro total. Na função LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000, que é do segundo grau, temos a = –1, b = 170 e c = –4000. Portanto, a coordenada Qv é dada por:

Qv =

−b −170 −170 = = 85 = 2a 2( −1) −2

capítulo 5

• 81

d) Os gráficos das funções lucro total, receita total e custo total são apresentados a seguir. As linhas pontilhadas indicam o comportamento das funções apresentadas, mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades. 12000 10000 8000

Custo Receita

6000

Lucro

4000 2000

Quantidade

0 2000

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 220 240

4000 6000 8000 10000 12000

5.2  Receita, Custo e Lucro Marginais RMg(x) = R′(x). A receita marginal RMg(x) é a receita aproximada da venda x+1 após ter vendido x unidades. O lucro marginal de um bem é o lucro aproximado ao vender uma unidade adicional do bem.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Interpretação de dados em uma tabela – aplicação de custo fixo, variável, total, médio e marginal.

82 •

capítulo 5

01. Dada a tabela a seguir de custos de uma operação de produção de um bem, calcule e/ ou descreva: a) o custo adicional (marginal) para a produção da nona unidade; b) o lucro obtido para a venda das 9 (nove) unidades, ao preço unitário de R$ 10,00; c) o lucro obtido com a venda de 10 (dez) unidades, ou seja, uma unidade adicional do bem; d) em quantas unidades produzidas se dá a maximização de lucro dessa empresa na operação de produção analisada; e) o que ocorre com os custos fixos, variáveis e totais médios de produção; f)

o que a empresa deve fazer em relação à tomada de decisão da produção da décima unidade, caso a sua estratégia seja de aumento de participação de mercado.

PRODUÇÃO CUSTO FIXO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00

CUSTO VARIÁVEL

CUSTO TOTAL

0 7,50 12,00 15,00 16,50 18,00 24,00 30,00 37,50 46,50 57,00 69,00

15,00 22,50 27,00 30,00 31,50 33,00 39,00 45,00 52,50 61,50 72,00 84,00

CUSTO CUSTO FIXO VARIÁVEL MÉDIO MÉDIO 15,00 7,50 5,00 3,75 3,00 2,50 2,14 1,88 1,67 1,50 1,36

7,50 6,00 5,00 4,13 3,60 4,00 4,29 4,69 5,17 5,70 6,27

CUSTO MÉDIO

CUSTO MARGINAL

22,50 13,50 10,00 7,88 6,60 6,50 6,43 6,56 6,83 7,20 7,64

7,50 4,50 3,00 1,50 1,50 6,00 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00

Resolução a)

Conceito de custo marginal: observe-se que, quando se adiciona uma unidade ao

volume produzido, pode-se calcular quanto custa produzir esta unidade adicional (Marginal). Assim, para o nível de produção de 8 (oito) unidades, o custo total foi de R$ 52,50 e, ao mudar o volume de produção para 9 (nove) unidades, o custo total passa a ser de R$ 61,50. Desta forma, ao se subtraírem esses dois valores, chega-se à conclusão de que a nona unidade produzida custou R$ 9,00. O uso do custo marginal é relevante, pois serve para calcular o ponto ótimo de produção. b)

Lucro obtido: supondo que o preço de mercado de venda para o seu produto seja

de R$ 10,00 por unidade e, se esta empresa estiver produzindo 9 (nove) unidades, a sua receita será de 9 X R$ 10,00 = R$ 90,00 Por outro lado, seu custo total será de R$ 61,50, como informa a tabela do exercício.

capítulo 5

• 83

Por conseguinte, o lucro obtido será igual a receita – custo total = R$ 90,00 – R$ 61,50 = R$ 28,50 c)

Se os gestores decidirem aumentar o nível de produção para 10 (dez) unidades, e

não mais 9 (nove) unidades, o custo total observado na tabela passará de R$ 61,50 para R$ 72,00. Admitindo-se, naturalmente, que haja comprador para esta unidade adicional, a receita passará dos R$ 90,00 anteriores para R$ 100,00. Logo, obterá um lucro de R$ 28,00. d)

Conceito de maximização de lucro: percebe-se que, apesar do esforço produti-

vo adicional, o lucro apurado ao final do movimento de incremento da produção foi menor (R$ 28,00 < R$ 28,50), o que faz pensar que, na estratégia de maximização de lucro, nenhuma unidade adicional será produzida se seu custo marginal for inferior ao preço de mercado de venda do bem ou serviço. e)

Pode-se observar na tabela que, quanto maiores forem os valores da coluna de

produção, menores serão os custos fixos médios. Da mesma forma, visualiza-se uma redução inicial nos custos variáveis médios que, em seguida, inicia uma trajetória de crescimento, mostrando um esgotamento da relação eficiente entre os fatores de produção fixos e variáveis. Também, pode-se observar que o mesmo ocorre com os custos médios (totais médios) só que em patamares produtivos mais altos. Outra explicação que se pode dar para o comportamento desta variação nos custos médios diz respeito ao aumento de procura dos fatores de produção variáveis e que podem vir a sofrer aumentos de seu preço devido ao aumento de sua demanda. f)

Genericamente, pode-se estabelecer:

Receita marginal > custo marginal No entanto, percebe-se ainda que o custo médio para produzir 10 (dez) unidades foi de R$ 7,20, que é inferior ao preço de venda, indicando claramente que ainda estamos na faixa de lucratividade, mas não na de maximização de lucro. Entretanto, caso a organização tenha por estratégia o aumento de sua participação no mercado e não de maximização de lucro, ela deverá aumentar a sua produção. Assim, fica demonstrada uma visão econômica dos custos, que inclui as variáveis microeconômicas e o ambiente externo do mercado. Disponível em: : . Acesso em: 02 mai. 2015.

84 •

capítulo 5

5.3  Ponto de Equilíbrio Para operar na produção de bens ou serviços, toda e qualquer empresa necessita empregar uma série de recursos, conhecidos como fatores de produção. Os fatores de produção são utilizados com o objetivo de se conseguir produzir certa quantidade de produtos ou serviços para oferecer à sociedade. Os mais comuns são mão de obra, matéria-prima, energia (elétrica e/ou outras), transportes, capital investido (financeiro ou imobilizado). O conhecimento da função custo é muito importante para o administrador no sentido de que lhe permite saber o quanto está gastando (com os fatores de produção) para produzir certa quantidade de produtos (ou serviços). A função custo pode ser dividida ou classificada em custo fixo e custo variável, dependendo de como varia, conforme a empresa queira produzir mais produtos. Assim, o custo fixo, como o próprio nome diz, independe da quantidade produzida, isto é, é um custo constante ao longo do tempo ao qual a empresa incorre, independentemente de quanto está produzindo, pois é decorrente da decisão que a empresa toma sobre construir suas instalações prediais e adquirir equipamentos, veículos, maquinários etc. Mesmo que a empresa não esteja produzindo nada, ela tem de arcar com o pagamento ou a imobilização destes ativos (fixos) todos. Os custos com mão de obra, matéria-prima, energia (por exemplo) são ditos variáveis porque dependem da quantidade produzida (de produtos ou serviços) pela empresa. Conhecer e administrar estas funções custos é muito importante para o administrador nos dias de hoje, em que é crescente o nível de concorrência entre as empresas. O administrador tem de planejar e controlar suas operações da forma mais enxuta e econômica possível, buscando, assim, a minimização de seus custos e mantendo, é claro, o nível de qualidade de seu produto ou serviço. Outra função muito importante na avaliação do desempenho das empresas é a função receita (ou faturamento), que mostra o volume de recursos financeiros obtidos pela empresa com as vendas de seus produtos ou serviços. Por fim, a função lucro, que a empresa obterá, é a diferença entre a receita e os custos. O lucro representa a quantidade de recursos financeiros que realmente pertencem à empresa, isto é, representa o saldo para a empresa proveniente das vendas (receita) depois de pagos os fatores de produção envolvidos (custos). Assim, ao final da leitura e com a execução dos exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido:

capítulo 5

• 85

•  a valorizar o estudo de funções matemáticas para o administrador empregá-las como um ferramental de gestão, que o auxilie a medir e a avaliar o desempenho da empresa de várias maneiras; •  a criar aplicações de funções matemáticas aplicadas à administração; •  a obter (ou calcular) funções custo, como custo fixo e custo variável; •  a obter a função receita da empresa, proveniente das vendas de produtos ou serviços; •  a calcular o lucro da empresa, empregando as funções receita e custo; •  a obter pontos de equilíbrio (break-even-point) em que a empresa começa a ter lucro; •  a obter o ponto de operação de empresas, em que a empresa maximiza seu lucro.

5.3.1  Equilíbrio de firma (break-even-point) O ponto de equilíbrio de uma empresa é aquele em que a receita total iguala-se ao custo total (lucro nulo). A partir deste ponto, isto é, se a empresa produzir e vender uma quantidade superior à quantidade de equilíbrio (Qe), ela terá lucro. $

RT CT CF CV Q Qe

Figura 8: Representação gráfica das funções custo e receita e da quantidade de equilíbrio de uma empresa inserida num mercado de concorrência.

A seguir, apresentaremos as funções custo e receita e as variáveis que são utilizadas nos estudos envolvendo tais funções. Alguns cálculos também serão abordados com a finalidade de descrever procedimentos para se determinar o equilíbrio da firma (break-even-point).

86 •

capítulo 5

5.3.1.1  Custo total A função que fornece o custo total referente à produção de uma utilidade é dada por:

CT = CF + CV = CF + cQ em que: •  Q é a quantidade produzida do produto; •  CT é o custo total de produção; •  CF é o custo fixo (investimentos em construções, instalações, equipamentos etc.). O custo fixo independe da quantidade (Q) produzida; •  CV é o custo variável da produção e depende da quantidade (Q) produzida (gastos com mão de obra, matéria-prima, energia etc.); •  c é o custo unitário (variável) de produção, isto é, é o custo para se produzir uma unidade do produto.

5.3.1.2  Receita total ou faturamento A função que fornece a receita total (ou faturamento) referente à venda de Q unidades de uma utilidade, vendida a um preço unitário igual a p, é dada por: RT = pQ em que: p é o preço do produto no mercado; RT é a receita ou faturamento obtido com o total da venda das Q unidades do produto.

capítulo 5

• 87

5.3.1.3  Ponto de equlíbrio Para determiná-lo, basta igualar as funções receita e custo total e calcular o valor de Q na equação resultante para saber qual é a quantidade que deve ser produzida e vendida para que o produto não dê nem lucro nem prejuízo. Em seguida, você pode determinar o valor da receita e/ou do custo (pois eles serão iguais) do ponto de equilíbrio substituindo em qualquer uma das funções (custo ou receita) o valor de Q pela quantidade de equilíbrio obtida. (Qe) ⇒ RT = CT pQe = CF + cQe então: Qe =



CF

p−c

Quando definimos, na prática, uma função custo total, precisamos determinar para que quantidades ela é válida, pois sabemos que, à medida que a produção aumenta, o custo por unidade pode diminuir, em razão da possibilidade da negociação de compra de um volume maior de matéria-prima, por exemplo.

EXEMPLO Uma empresa de refrigerantes apresenta custo fixo de $100.000, custo unitário de $ 0,60 e preço de mercado de $ 2,00. Sendo assim, monte as funções do custo total da receita total e encontre o ponto de equilíbrio (Qe).

88 •

capítulo 5

Resolução Temos: CF = 100.000 c = 0,60 p = 2,00 A função custo total é dada por: CT = 100.000 + 0,60Q. Dado o preço unitário p, podemos definir a função receita total como RT = 2Q. Para obter o Qe (quantidade do ponto de equilíbrio), podemos resolver a equação:

R T = CT 2Qe = 100.000 + 0, 60Qe 100.000 2 − 0, 60 100.000 Qe = 140 , Qe = 71.428, 57 reais Qe =

ou calcular diretamente por meio da fórmula:

CF p−c 100.000 Qe = 2 − 0, 60 100.000 Qe = 140 , Qe = 71.428, 57 reais Qe =

A receita obtida com a venda de determinado produto não é o mesmo que o lucro obtido. Lucro é o valor da receita subtraído o custo desse produto.

A seguir, você tem o gráfico que representa as funções e o ponto de equilíbrio do exemplo trabalhado.

capítulo 5

• 89

200.000

$ RT

180.000 160.000 CT

140.000 120.000

CF

100.000 80.000 60.000 CV

40.000 20.000 0

Q 0

10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000 100.00

Qe

Você dispõe também, logo abaixo, de uma tabela com alguns valores das funções apresentadas nesse exemplo.

Q

CF = 100.000

CV = 0,6 * Q

CT = CF +CV

RT = 2,00 * Q

0

100.000

0

100.000

0

10.000

100.000

6.000

106.000

20.000

20.000

100.000

12.000

112.000

40.000

30.000

100.000

18.000

118.000

60.000

40.000

100.000

24.000

124.000

80.000

50.000

100.000

30.000

130.000

100.000

60.000

100.000

36.000

136.000

120.000

70.000

100.000

42.000

142.000

140.000

80.000

100.000

48.000

148.000

160.000

90.000

100.000

54.000

154.000

180.000

100.000

100.000

60.000

160.000

200.000

O conhecimento do ponto de equilíbrio referente a uma utilidade é muito importante para que se estabeleça uma meta de produção e venda que proporcione lucro. Produzir e vender a quantidade de equilíbrio significa não ter prejuízo; no entanto, também significa não ter lucro. Portanto, essa meta tem que ser superior à quantidade de equilíbrio.

90 •

capítulo 5

5.4  Elasticidade – preço da demanda A curva de demanda nos mostra o estabelecimento do nível de preço (p) no mercado frente à quantidade (Q) de demanda do produto pela sociedade. A lei da demanda e da oferta é fundamental em economia e administração. Aqui, aplicamos o lado da demanda (procura). O nível de preço influencia negativamente a quantidade procurada de produtos, isto é, há uma tendência de as pessoas ficarem menos propensas a comprar (ou comprarem menores quantidades) o produto quando seu preço aumenta.

EXEMPLO Plotar as funções demandas pelos produtos A e B a seguir e observar a relação negativa entre o nível de preço e a quantidade de demanda de produtos. A: Q A = 50 −

p pA e B: QB = 80 − S 4 2

em que: •  pA é o nível de preço do produto A; •  pB é o nível de preço do produto B; •  QA é a quantidade de demanda do produto A; •  QB é a quantidade de demanda do produto B. Resolução A tabela seguinte apresenta alguns valores calculados para as duas funções.

DEMANDAS PA

QA

PB

QB

0

50

0

80

40

40

20

70

80

30

40

60

120

20

60

50

160

10

80

40

200

0

100

30

120

20

140

10

160

0

capítulo 5

• 91

De acordo com os valores apresentados na tabela anterior, podemos esboçar o gráfico a seguir: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Q Demanda do produto B

Demanda do produto A

0

20

40

60

80 100 120 140 160 180 200 p (preço)

CONEXÃO Nas aplicações que você irá realizar das funções, é importante realizar a representação gráfica destas para melhor análise. Portanto, uma sugestão interessante e útil é que você realize o download e instale em seu computador um aplicativo que, com certeza, será de grande utilidade. Trata-se do “Plotfunção”, disponível no endereço: .

92 •

capítulo 5

6 Aplicações Matemáticas em Marketing

OBJETIVOS Após a leitura deste capítulo o aluno deverá lograr entender a relação entre a matemática e o (a): •  previsão e mensuração de demanda; •  pesquisa de marketing; •  mensuração do valor da marca; •  gerenciamento de preços; •  promoção de vendas/descontos; •  propaganda/dispêndio de marketing; •  orçamento de marketing.

94 •

capítul6 1

6.1  Previsão e mensuração da demanda em marketing Uso de proporção e percentagem – aplicação de potencial de mercado

Pode–se usar percentagem ou porcentagem para calcular a demanda (potencial de mercado) de uma utilidade para uma população.

Definições 1. Proporção de uma quantidade ou grandeza em relação a uma outra avaliada sobre a centena [símb.: %]; percentual. 2. Fração da centena que equivale a uma determinada fração de outro número e é usada no lugar desta; p.ex., 50/100 (ou 50 %) equivale a 600/1200, a 70/140, a 4/8 etc. [Tem a vantagem de permitir a comparação de grandezas diferentes e de tornar mais fácil a manipulação de cifras muito grandes ou muito pequenas em quadros, gráficos, tabelas etc.]. Os exercícios comentados a seguir servem para esclarecer como mensurar a demanda em marketing.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. A demanda de carne depende da magnitude com que é consumida e do número de pessoas que possam consumi–la. Assim, se uma pessoa alimenta–se em média de 0,5 kg de carne por semana, ela estará comendo 2 kg de carne por mês (de 4 semanas). Se uma cidade tiver uma população de 900.000 habitantes, consumindo esse produto, qual a demanda da empresa fornecedora, supondo–se que sua participação de mercado seja de 13%?

capítulo 6

• 95

01. Gabarito 13% de 900.000 habitantes = 117.000 habitantes 117.000 habitantes X 2 kg de carne/mês = 234.000 kg de carne ou 234 T

02. Na cidade de Ribeirão Preto, a empresa XZT tem demanda de 400.000 unidades do produto P 1 e seu potencial de mercado é de 14,5%. Considerando estes dados, pode–se afirmar que seu potencial de vendas de: 02. Gabarito 14,5% de 400.000 unidades = 58.000 unidades

Uso de média móvel Pode–se usar a média móvel para prever e, posteriormente, verificar a existência de ten-

dência de uma série histórica de demanda em marketing. Posteriormente, pode–se verificar de forma gráfica, se a previsão não está discordando muito da realidade (com erro muito significativo). Média móvel Definições da Web Média aritmética de um certo número (n) das observações mais recentes. Na medida em que se realizam novas observações, abandona–se as observações mais antigas. ... . 03. Utilizar, primeiramente, a média móvel. Se a demanda de um produto nos últimos 8 meses teve o comportamento em unidades, como segue, prever a demanda para o 9º mês empregando a média móvel com 4 períodos:

03. Gabarito Mm4 = 27+41+34+37 = 34,75

96 •

capítul6 1

4

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

28 40 25 32 27 41 34 37

Admitindo que a demanda do 9º mês foi de 40 unidades, fazer a previsão da demanda para o 10º mês. 03. Resolução Mm4 = 41+34+37+40 = 38

4

04. Em sequencia ao exercício 3, identificar de forma gráfica a existência de tendência na série histórica da demanda Uso de regressão linear Calculam–se os coeficientes angular (β) e linear (α), de acordo com as fórmulas a seguir, para depois calcular a função de 1º grau Y = α + β X 04. Gabarito

MÊS (X)

DEMANDA (Y)

∑X

∑X2

XY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 40 25 32 27 41 34 37 40 38

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

1 5 14 30 55 91 140 204 285 385

28 80 75 128 135 246 238 296 360 380

TOTAL

342

1966

Usar as fórmulas

= (10 X 1966 – 55 X 342)/(10 X 385 –55 X 55) = 1,030303

capítulo 6

• 97

= (342 – 1,030303 X 55)/10 = 28,5333335 Y = 28, 5333335 + 1,030303 X

MÊS (X)

DEMANDA (Y)

PREVISÃO DA DEMANDA (Y)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 40 25 32 27 41 34 37 40 38

29,56 30,59 31,62 32,65 33,68 34,71 35,74 36,77 37,56 38,83

6.2  Pesquisa de marketing Aplicação de conjuntos e de tamanho de amostra

98 •

capítul6 1

Pretende–se saber quantos elementos ou quantas observações da variável de interesse deve–se tomar da população ou universo amostrado. Este número chama–se tamanho da amostra.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uma população consome três marcas de refrigerantes: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram– se os resultados tabelados abaixo.

MARCA

NÚMERO DE CONSUMIDORES DE REFRIGERANTES

A

97

B

172

AeB

15

BeC

30

AeC

25

A, B e C

07

Nenhuma das três marcas

110

Determine o número de pessoas consultadas. 01. Gabarito

 • 99

capítulo 6

50 pessoas consomem somente A. 120 pessoas consomem somente B. 90 pessoas consomem somente C. 15 pessoas consomem A e B. 25 pessoas consomem A e C. 30 pessoas consomem B e C. 07 pessoas consomem A, B e C. 110 pessoas não consomem nenhuma das três marcas. O total de pessoas entrevistadas foi: 50 + 120 + 90 + 15 + 25 + 30 + 07 + 110 = 447.  02. Aplicação de tamanho de amostra João conduziu uma pesquisa de mercado com estudantes do colégio onde estuda, querendo entender como avaliam a qualidade do ensino prestado pela escola. Para tal, conseguiu entrevistar 120 alunos entre os 212 existentes no colégio. Pergunta–se: a) O que representam, respectivamente, 212 e 120 alunos no enunciado acima? b) Considere agora outra hipótese: João ouviu 30 alunos em sua pesquisa. O critério para escolhê–los foi a facilidade de acesso, por serem colegas de sua turma ou alunos (as) do seu convívio pessoal. Como é classificada esta amostra? 02. Gabarito a) 212 universo e 120 amostra b) Amostra não probabilística por conveniência. 03. Uso de probabilidade O jornal Diário publicou na edição da segunda–feira pesquisa realizada pelo Instituto XPTO medindo a intenção de voto para a eleição do segundo turno ao cargo de prefeito do município. Segundo a pesquisa, a intenção de voto dos dois candidatos é a seguinte: Murilo: 56% das intenções de voto e Brito: 44% das intenções de voto. A consulta foi feita com 800 eleitores. Considerando um coeficiente de confiança de 95,0% e a margem de erro de 3 pontos percentuais, qual dos resultados abaixo não pode ser considerado: a) Murilo: 53%; Brito: 47% b) Murilo: 59%; Brito: 41% c) Murilo: 57%; Brito: 43% d) Murilo: 55%; Brito: 45% e) Murilo: 51%; Brito: 49%

100 •

capítul6 1

03. Gabarito Para Murilo: 51% está fora da margem de erro de 3% (que vai de 59% = 56% + 3% até 53% = 56% – 3%) Para Brito: 49% está fora da margem de erro de 3% (que vai de 47% = 44% + 3% até 41% = 44% – 3%)

6.3  Mensuração do valor da marca Alguns analistas veem as marcas como prolongadoras dos produtos e das instalações de uma empresa. Acreditam que as marcas representam o principal ativo permanente de uma empresa. Todavia, qualquer marca poderosa representa um conjunto de consumidores leais. Avaliação da empresa Petrobras Com base no modelo de Avaliação Patrimonial Contábil, o qual está baseado na diferença entre os ativos e os passivos exigíveis resultando no Patrimônio Líquido da empresa de acordo com os princípios contábeis tradicionais, a empresa Petrobras, tem seus valores de Patrimônio Líquido descritos na tabela 1. TABELA 1 – VALOR PATRIMONIAL CONTÁBIL DA EMPRESA PETROBRAS ANO

PATRIMÔNIO LÍQUIDO (EM MIL R$)

1999

17.564.122

2000

24.945.639

2001

28.966.503

2002

34.324.906

2003

49.367.329

2004

62.130.169

2005

78.785.236

2006

97.530.648

2007

113.854.127

2008

138.365.282

2009

159.464.599

2010 (estimativa)

130.430.000

capítulo 6

• 101

Realizando uma regressão linear com esses valores descritos no quadro 2, pode–se realizar uma estimativa do valor contábil da empresa para o ano de 2010 com base nos valores do Patrimônio Líquido dos 11 anos anteriores. A regressão linear resultou na equação demonstrada na figura 2, sendo que a escala encontra–se em bilhões de Reais.

Figura 2 – Regressão linear do valor de Patrimônio Líquido da empresa Petrobras. Elaborado pelos autores

Salienta–se que a regressão linear utilizada no gráfico 1 é um método para se estimar o valor esperado de uma variável “y”, dados os valores de algumas outras variáveis “x”. A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado. Por meio dessa análise, foi possível incrementar o modelo de avaliação por meio do Patrimônio Líquido, já que inicialmente tinha–se apenas os dados dos anos de 1999 a 2009. Sendo assim, para o ano de 2010, o valor esperado de Patrimônio Líquido é de aproximadamente R$ 130 bilhões.

102 •

capítul6 1

Com base no modelo 1 – Modelo de Avaliação Patrimonial – a Petrobras possui um valor de mercado de R$ 130 bilhões. Esse modelo não considera as condições de mercado para a valorização dos ativos e amortização das dívidas, bem como esse método não leva em consideração as necessidades de investimento em capital de giro e imobilização para manutenção da capacidade competitiva para o próximo período. Utilizando–se da análise por meio dos valores dos dividendos pagos aos acionistas, o valor de uma empresa pode oscilar com base no fluxo futuro de dividendos. A tabela 2 expõe os valores pagos anualmente, do ano 2001 ao ano de 2009, aos acionistas da Petrobras. TABELA 2 – EVOLUÇÃO DOS VALORES DE DIVIDENDOS PAGOS AOS ACIONISTAS ANO

DIVIDENDOS PAGOS (EM BILHÕES R$)

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

3,66 2,81 5,65 5,04 7,02 7,9 7,58 6,21 15,44 2010

TAXA DE CRESCIMENTO (ANO BASE = 2001)

100% 76,78% 154,37% 137,70% 191,80% 215,85% 207,10% 169,67% 421,86% 12,1486 (estimativa)

Conforme se observa na tabela 2, o valor apontado no ano de 2010 é uma estimativa com base numa regressão linear realizada com os dados dos 9 anos anteriores. Demonstra–se também o crescimento percentual dos anos posteriores tomando como base o ano de 2001. Pode–se perceber que, na maioria dos anos, houve aumento na distribuição dos dividendos. Duas das exceções são relativas à queda dos dividendos nos ano de 2007 e 2008, muito provavelmente devido à crise econômica que ocorreu nos Estados Unidos e que abalou também a economia do Brasil nesse período. A figura 3 mostra a regressão linear dos dividendos da empresa Petrobras.

capítulo 6

• 103

Figura 3 – Crescimento dos dividendos pagos aos acionistas. Elaborado pelos autores

Destaca–se em relação a figura 3, que o valor dos dividendos não é o valor da empresa, porém é porém é utilizado como forma de analisar a variação do retorno da empresa para os acionistas por meio da precificação das ações. De maneira indireta, este valor interfere no valor de mercado final obtido pelo modelo 3 – Valor Presente dos Dividendos, apresentado no referencial teórico. Com base nesse modelo o valor da ação de uma empresa pode ser calculado com base no fluxo futuro de dividendos. Iberoamerican Journal of Industrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 5, n. 9, p. 275–295, 2013. 290. Acesso em: 19 abr. 2015.

RESUMO É importante notar que o valor da marca está inserido no valor patrimonial de mercado e não deve ser adicionado ao mesmo.

Quando se estima a avaliação da empresa (valuation), o valor da marca já está incluído.

104 •

capítul6 1

O valor de mercado estimado da Petrobras de R$ 130 bilhões, em 2010, já embute o valor citado (da marca) e, também, os riscos estimados. O valor de uma marca é o valor presente dos fluxos de caixa estimados exclusivamente por ela, excluídos os riscos envolvidos para os próximos anos. O valor da estimação é feita por meio de cálculo indireto por consultorias. Estas desenvolveram diversas metodologias para calcular o valor da marca. Uma delas é estimar o lucro gerado por uma empresa forte e compará–lo ao de uma empresa fraca. A diferença será a estimativa do valor da marca. Outra forma é estimar uma taxa do royalty que a empresa não precisa pagar, por ser ela mesma a detentora da marca, posto que não precisa licenciá–la. Há, no entanto, discordâncias das estimações, conforme acima exposto, como por exemplo, que o valor da marca seja resultado da estimação dos seus fluxos de caixa. A empresa pode estar em um momento de criação de base de clientes, assumindo prejuízos devido ao seu investimento, para então em um segundo momento, explorar financeiramente essa base.

6.4  Gerenciamento de preços Apesar da influência maior dos fatores relacionados ao preço no marketing moderno, o preço continua sendo um elemento vital do mix de marketing.

Uso de taxa de marcação (markup) aplicada sobre o preço de custo, descontado o icms e acrescido de frete.

Usar a fórmula

{TM = 100% – [IMPOSTOS + TAXAS + DESPESAS GERAIS DE ADMINISTRAÇÃO + DESPESAS GERAIS DE VENDAS + COMISSÕES + LUCRO DESEJADO]}

capítulo 6

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Preços na indústria, comércio ou serviços são calculados, mas contém diversos componentes intangíveis. Tentará se demonstrar que preço não pode ser estabelecido puramente no nível operacional (do supervisor de loja no comércio), pois diversas vertentes estratégicas estão sempre incorporadas na visão do preço ideal. Estas vertentes são: a) base de cálculo científica; b) posicionamento estratégico; c) cadeia de valor; d) redirecionador de custo; e) produtos substitutos; f) ciclo de vida do produto; g) matriz de portfólio; h) elasticidade da demanda. A base de cálculo científica é assim designada pela empresa quando esta adotar uma metodologia que resulta em uma taxa de marcação: {TM = 100% – [IMPOSTOS + TAXAS + DESPESAS GERAIS DE ADMINISTRAÇÃO + DESPESAS GERAIS DE VENDAS + COMISSÕES + LUCRO DESEJADO]} aplicada sobre o preço de custo, descontado o ICMS e acrescido do frete. Normalmente, por não fazer esses cálculos o comerciante, principalmente adota um fator (constante) de multiplicação ao preço de custo para atingir o preço de venda. Esse fator usualmente está compreendido no intervalo entre 2 e 3. O posicionamento estratégico (Porter, 1980) nos informa que a empresa pode escolher em ser líder: ou por redução de custos, ou por lançamento de produtos. Muitas vezes, uma promoção (desconto) pode estar enterrando a noção estratégica de a empresa escolher ser líder em custos. Promoções no lançamento do produto estão relacionadas ao retorno sobre o investimento. Preços são estabelecidos (cientificamente) um pouco mais elevados na introdução (pelo modelo de ciclo de vida de produto), mas inicialmente são deixados um pouco abaixo da concorrência; este tipo de promoção (desconto) que diminui preço tem por objetivo a introdução do produto no mercado e o dispêndio com marketing deve ser atribuído em parte ao investimento inicial, por se tratar de estratégia verificada pelo longo prazo do retorno das ações.

106 •

capítul6 1

A cadeia de valor trabalha para a qualidade das relações desde o produtor, atacadista e distribuidor, comerciante varejista, cliente, mas não se limita a estes, visto que credores, clientes internos (funcionários), acionistas são também grupos de interesse envolvidos nos relacionamentos da empresa. Não se atinge o preço adequado sem levar em conta a cadeia de valor (que agrega valor pela qualidade das relações) em cada transação dentro e fora da empresa envolvendo determinado produto, porquanto todos os interesses acima mencionados devem ficar harmonizados. E o preço é a peça-chave para que a receita viabilize ao menos o ponto de equilíbrio e, finalmente, o lucro da empresa. Redirecionadores de custo se deslocam de volume e escala para qualidade (foco no cliente). Logo, os preços devem ser compatíveis mais com qualidade percebida pelo cliente do que com escala de produção (foco no produto). Os produtos substitutos (uma das forças descritas por Porter) tornam difícil o cálculo da participação de mercado para cada produto. Assim sendo, os preços devem levar em conta essa dificuldade, visto que um ou mais concorrentes podem nem mesmo ser do ramo de produtos em que a empresa opera. Como a participação de mercado é determinante da rentabilidade da empresa (Profit Impact of Market Strategy – PIMS), pode–se imaginar o quanto é importante a determinação de preço que transpõe esta dificuldade. O ciclo de vida de produto abordado anteriormente com as suas fases (introdução, crescimento, maturidade, declínio e rejuvenescimento) tomadas em conjunto com a matriz de portfólio delimitam quem são: “ralos” de caixa, geradores de caixa, autossustentados, e tomadores de caixa. Os preços são decorrentes da análise de onde se encontram os produtos considerando o ciclo e a matriz citada. A elasticidade da demanda derruba qualquer hipótese de que o preço é operacional e não estratégico. Sem uma profunda análise da elasticidade pode se estar estabelecendo nível de preço mais alto ou mais baixo sem o devido proveito. O pior que pode acontecer é utilizar a curva de elasticidade erradamente, isto é, considerar o preço (porque não é possível prover todas as informações de mercado) mais elástico, sendo o produto mais inelástico e vice-versa. Todas as considerações abordadas são insuficientes para determinar qual preço é mais adequado para os produtos; aqui não foram considerados aspectos como tecnologia, oportunidade, cenários econômicos, forças da sociedade, dentre uma infinidade de outros critérios. capítulo 6

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EXERCÍCIO RESOLVIDO 04. Suponhamos que você pague hoje R$ 1,00 (custo) no kg de tecido, o ICMS é de 17%, PIS e Cofins 4%, comissão do vendedor 1,5%, despesas administrativas 4% e o lucro desejado ante o imposto seja de 15%.

 ESTRUTURA: 

 

Preço de venda (PV) ICMS na venda PIS e Cofins Comissões Despesas administrativas Lucro antes dos impostos Total (CTV) – Custo total venda

= 100,00% = 17,00% = 4,0% = 1,50% = 6,00% = 15,00% = 43,5%

MKD = (PV – CTV)/100 MKD = (100 – 43, 5)/100 MKD = 56,5/100 MKD = 0,565 Ao utilizamos o índice Markup Divisor (MKD) o custo seria de R$ 1,00 /0,565 = R$ 1,77. Assim, o preço do quilo de tecido garantir o pagamento de todos os custos, impostos e gerar um lucro de 15%. Fórmula markup multiplicador:

MKM = 1/MKD

MKM = 1/0,565

MKM = 1,7699115 ou 1,77 Se utilizarmos este índice Markup multiplicador (MKM) o custo seria R$ 1,00 X 1,77 = R$ 1,77 o quilo, ou seja, chegamos também no mesmo valor usando esta formula. Confirme na tabela abaixo a estrutura onde foi aplicado o Markup de 1,77 que é suficiente para gerar lucro de 15% sobre a venda.

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capítul6 1

DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO:

 

 

Preço de venda (PV)  (–) Custos aquisição chapa (–) Icms (–) PIS e cofins (–) Comissões (–) Despesa adm

R$ 1,77 (R$ 1,00) (R$ 0,30) (R$ 0,07) (R$ 0,03) (R$ 0,10)

100% (56,5%) (17%) (4,0%) (1,5%) (6 %)

= Lucro

R$ 0,27

(15 %)

Lucro de 15% sobre o preço de venda de R$ 1,77, igual a R$ 0,27. Esse valor representa 27% sobre o preço de custo e não 102% sobre a venda.

6.5  PROMOÇÃO DE VENDAS/ DESCONTOS Promoção de vendas refere–se ao conjunto de ferramentas para aceleração das vendas de produtos/ serviço e é um dos quatro aspectos do promocional mix. Reside num conjunto diversificado de incentivo a curto prazo que visa estimular a compra ou venda de um produto ou serviço: Com o auxílio de duas reportagens, dos sites http://www.industriahoje.com. br/ e http://carros.uol.com.br/, pretende–se desenvolver um raciocínio sobre o que fizeram as indústrias brasileiras para promover produtos e resgatar vendas, quando houve o realinhamento do Imposto sobre Produtos Industrializados (que havia sido reduzido). O cálculo do IPI é demonstrado, inicialmente, pois é de importância fundamental na negociação de compra e venda de produtos industrializados.

capítulo 6

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EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso de percentagem Como calcular o valor do ipi na compra de um produto? A formula para o cálculo do IPI sobre um produto é bastante simples, mas requer muita atenção, pois pode variar de produto para produto. O que é o IPI? O IPI significa Imposto Sobre Produtos Industrializados. Exemplo de Alíquotas de IPI IPI sobre Aço = Geralmente é taxado em 5% Como fazer o cálculo do IPI? – Chapa de Aço = R$ 3.000,00 a Telada com ICMS, PIS e COFINS já inclusos, IPI de 5% a Incluir. Adquirimos 15.500 kg de Chapa de Aço, como o preço está sendo negociado por telada na NF o peso sairá como 15,5 T. – Calculando: 15,5 x 3.000,00 = R$ 46.500,00 O valor de R$ 46.500,00 corresponde então ao valor total do material (15,5 T ou 15.500 kg) já com ICMS, PIS e Confins inclusos, falta agora calcular o IPI, que para este produto é de 5%. – Calculando: Valor do Produto + IPI = Valor Total NF – Cálculo direto na calculadora: R$ 46.500,00 x 1,05 = R$ 48.825,00 (1,05 é o mesmo que + 5%) Note que fizemos o calculo direto multiplicando o valor por 1.05. Se o IPI fosse de 10%, bastaria multiplicar por 1.10, ou até mesmo de 25% por 1.25 e assim por diante. Para saber o valor liquido somente do IPI que está embutido no seu produto basta calcular da seguinte forma na Calculadora. R$ 48.825,00 x 5 + Tecla % = R$ 2441,25 IPI (Para somar aperte a tecla + na calculadora) A redução do IPI nos preços dos automóveis foi fator decisivo para aumentar a venda dos veículos nos anos de 2012 e 2013, porém geraram prejuízos finais para as contas do governo. Por exemplo, o aumento do IPI para veículos fez com que as fábricas retivessem os automóveis nos pátios, para desovar de uma vez em grandes promoções como, por exemplo, a Black Friday de novembro de 2014. Baseado em Post de: Fábio Alves em: 17, ago, 2012. Acesso em: 19 abr. 2015. Disponível em:

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Lojas se preparam para novo ipi e carro 1.0 pode ficar R$ 1.300 mais caro Por Leonardo Feli. Colaboração para o UOL, em São Paulo (SP) 21/11/201414h53. [...] “As fábricas tendem até a reter a produção de dezembro, para desovar de uma vez o que estiver nas concessionárias e faturar as últimas unidades produzidas já com o imposto novo”, declarou uma vendedora da Fiat. Não à toa, pelo menos três das quatro representantes do quarteto de ferro (Chevrolet, Ford e Volks) anunciam em rádio, jornais e TV que FARÃO PROMOÇÕES FORTES PARA ESTE FIM DE SEMANA –– o mote é as ofertas só durarão até domingo. A GM foi além, e já confirmou participação no Black Friday 2014, marcado para a próxima sexta–feira (28). Para o especialista em mercado automotivo e blogueiro de UOL Carros, Joel Leite, as fabricantes devem diluir o reajuste em doses “homeopáticas” no primeiro trimestre de 2015. “Fizeram o mesmo no ano passado, quando entrou em vigor a obrigatoriedade de ABS e airbags, e o IPI também subiu um ponto”, lembrou. De fato, naquela ocasião os preços subiram apenas 1,4% em janeiro, mas depois tiveram altas respectivas de 2,4% e 1,6% em fevereiro e março, segundo dados da AUTOINFORME. 

Pátio da fábrica da Volkswagen em Taubaté (SP): marcas esperam decisão do governo para faturar produção do fim do ano A partir de abril, entretanto, o que se viu foi uma queda gradual nos valores, interrompida só em julho. “O que é preciso ver é se o consumidor está disposto a pagar por esse aumento. Parte da queda nas vendas este ano está atrelada ao aumento dos preços nos primeiros meses. Ao perceberem isso, as montadoras começaram a trabalhar com promoções e bônus, e o cenário passou a ser, quase sistematicamente, de ligeira queda nos preços reais mês a mês. Pode ocorrer fenômeno parecido em 2015”, previu. Disponível em:. Acesso em: 19 abr. 2015.

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Conclusão sobre os textos apresentados anteriormente O uso artificial de redução do IPI resultou, quando do realinhamento (retorno gradual do IPI), em uma queda nas vendas, em parte compensada por promoções de vendas. 02. Em uma promoção numa concessionária de veículos, está sendo dado um desconto de 5% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 34.000,00, então qual será o preço para pagamento à vista desse bem? Gabarito R$ 34.000 X 5% = R$ 1.700 R$ 34.000 – R$ 1.700 = R$ 32.300,00

03. Um bem durável teve seu preço acrescido de 8%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 8%. Sendo Pi o preço inicial e Pf o preço final do bem, qual a relação entre Pf e Pi? Gabarito P f = 99,36% de Pi P f = Pi X 1,08 = 1,08 Pi Cálculo do desconto: 1,08 Pi X 8% = 0,0864 Pi Relação dos preços: 1,08 Pi – 0,0864 Pi = 0,9936 Pi ou 99,36% Pi

6.6  Propaganda/ dispêndio de marketing Mídias digitais Mídia digital refere–se a conteúdo de áudio, vídeo e foto que foi codificado (compactado digitalmente). A codificação de conteúdo envolve converter entrada de áudio e vídeo em arquivo de mídia digital. Exemplo de uma campanha de branding Vamos supor o seguinte investimento em branding: O colégio MKZ, gostaria de fortalecer a sua marca para um público adolescente, na faixa de 10 a 14 anos e consequentemente conquistar algumas matrículas.

112 •

capítul6 1

A fim de atingir este objetivo, solicita a uma agência uma campanha de branding. O orçamento para esta campanha é de R$ 10.000,00 para ser investido no site Y com CPM de R$ 10,00 (custo por mil impressões). Com este investimento, pode–se comprar 1.000.000 visualizações. Ao final da campanha, a agência de Marketing envia o seguinte relatório: Impressões: 1.000.000 (1.000 visualizações x R$ 10.000/10) Cliques: 250 CTR (taxa de cliques): 0,025% (cliques/impressões = 250/1.000.000) calculando o cpc (custo por clique) temos: CPC: R$ 40,00 (R$ 10.000,00/250 cliques) Podemos observar também que de todos os cliques, poucos foram convertidos em matrículas. Supondo a seguinte conversão, vem: Conversões: 3 (Qtd de matrículas efetivas no colégio, após clicarem no banner) Calculando o percentual de Conversões/Cliques, temos: Taxa de Conversão: 1,2% (3 Conversões/250 Cliques) Assim, podemos nos perguntar: Qual o custo por aquisição (CPA), recurso financeiro que investimos para trazer as 3 matrículas para o colégio? CPA (Custo/Conversões): R$ 10.000/3 = R$ 3333,33 Ou seja, para cada reserva feita no colégio, precisamos desembolsar R$ 3333,33 em marketing. Supondo que o valor médio da matrícula do colégio é de R$ 800,00, obtemos o seguinte retorno financeiro: Receita: R$ 2400,00 (R$ 800,00 x 3 Conversões) Bom, vamos agora ao cálculo do ROI. Calculo do retorno investimento Como calcular o retorno sobre o investimento (ROI) desta campanha? Valeu a pena investir nesta mídia? O ROI pode ser calculado da seguinte forma: ROI = (receita – custo)/custo Substituindo os valores da campanha, temos: ROI = (2.400 – 10.000)/10.000 ROI = – 0,76 ROI = – 76% O que este número quer dizer? Quer dizer que, para cada R$ 1,00 investido

capítulo 6

• 113

perdeu-se ainda R$ 0,76, demostrando que a campanha de marketing foi um fracasso. Exemplo de uma campanha de PPC Para o caso de se investir os mesmos R$ 10.000,00 em outra mídia, por exemplo, PPC (pay per click), em que se poderia ter um pouco mais de controle sobre os resultados e o cenário poderia ser mais satisfatório, vejamos: Impressões: 250.000 Cliques: 10.500 CTR (taxa de cliques): 4,2% (cliques/impressões) CPC médio: R$ 0,95 (R$ 10.000,00/10.500 cliques) Conversões: 18 Receita: R$ 14.400 = 18 conversões x R$ 800,00 (preço da reserva de hospedagem) Custo: R$ 10.000 (investimento no Google AdWords) Calculando o retorno sobre o investimento, temos: ROI = (Receita – Custo)/Custo ROI = (R$ 14.400 – R$ 10.000 )/R$ 10.000 ROI = 0,44 ROI = 44% O que quer dizer que para cada R$ 1,00 investido, ganhou-se R$ 1,44. Pode–se dizer que a campanha foi bem sucedida, contudo deve–se conhecer os custos operacionais e variáveis, para saber se haverá lucro liquido.

6.7  Orçamento de marketing Tem por objetivo examinar os aspectos fundamentais do processo de estruturação do orçamento de despesas de marketing, sugerir métodos de planejamento, operacionalização e controle do orçamento, e colocar o orçamento de despesas de marketing em sua perspectiva de importância adequada.

114 •

capítul6 1

Aplicações de orçamento de despesas de marketing

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Estamos contratando um grupo musical para uma festa. O grupo tem três opções de cobrança para o evento. •  Plano 1: CF = R$ 500 + CV = R$ 2 por pessoa presente. •  Plano 2: CV = R$ 5 por pessoa. •  Plano 3: CF = R$ 1.000 a) Calcule o custo total para os três planos, c/ frequência de 100, 500 e 1.000 pessoas. b) Analise o risco e o retorno para os três planos, sob o ponto de vista do empresário que contrata o conjunto. Resolução a)

PESSOAS

PLANO 1

PLANO 2

PLANO 3

100 500 1.000

R$ 500 + R$ 2 X 100 = R$ 700 R$ 500 + R$ 2 X 500 = R$ 1.500 R$ 500 + R$ 2 X 1.000 = R$ 2.500

R$ 5 X 100 = R$ 500 R$ 5 X 500 = R$ 2.500 R$ 5 X 1.000 = R$ 5.000

R$ 1.000 R$ 1.000 R$ 1.000

b) O risco será o do número de pessoas pagantes resultar em custo superior ao da receita atingida. 02. Um programa de TV apresenta as seguintes premissas: Horário 22:00 horas. Duração do Programa: 3 meses. Verba disponível = R$ 10.000.000, distribuída: 50%, 25% e 25%. Custos variáveis = R$ 3.000.000, R$ 2.500.000, R$ 2.500.000. Custo fixo = R$ 500.000 por mês. Gastos gerais = R$ 120.000, R$ 100.000, R$ 100.000. a) Previsão de gastos do programa.

GASTOS

1

2

CV CF Gastos Gerais Total

R$ 3.000.000  R$ 500.000  R$ 120.000  R$ 3.620.000 

R$ 2.500.000   R$ 500.000  R$ 100.000  R$ 3.100.000  

3

TOTAL

R$ 2.500.000    R$ 500.000  R$ 100.000  R$ 3.100.000  

R$ 8.000.000   R$ 1.500.000  R$ 320.000  R$ 9.820.000 

capítulo 6

• 115

b) Previsão de fluxo de caixa para o programa.

DISCRIMINAÇÃO

1

Verba Gastos Saldo do mês Saldo acumulado

R$ 5.000.000   R$ 3.620.000  R$ 1.380.000   R$ 1.380.000 

2

3

R$ 2.500.000    R$ 3.100.000   R$ 780.000  R$ 2.160.000 

TOTAL

R$ 2.500.000    R$ 3.100.000   R$ 180.000   R$ 2.340.000 

R$ 10.000.000  R$ 9.820.000  R$ 180.000    R$ 2.340.000 

c) Os gastos reais durante o programa: 1o mês R$ 3.454.000

2º mês R$ 2.250.000

3º mês R$ 4.385.000

1

2

3

TOTAL

ORÇADO

R$ 3.620.000

R$ 3.100.000

R$ 3.100.000 

R$ 9.820.000 

REAL DIFERENÇA

R$ 3.454.000 

R$ 2.250.000  

R$ 4.385.000  

R$ 10.089.000

R$ 166.000 

R$ 850.000 

(R$ 1.285.000) 

(R$ 269.000) 

REAL X ORÇADO

Conclusão: Entre o orçado e o realizado houve uma diferença para menos de R$ 269.000. 03. Elabore o orçamento de mídia, utilizando as seguintes premissas: •  Valor da verba R$ 40.000.000,00 divididos em 12 meses •  Duração do programa 12 meses •  Custos fixos serão de R$ 1.000.000 por mês •  Gastos gerais não devem ultrapassar R$ 1.000.000,00 por mês •  O programa será exibido de segunda a sexta das 18h00min às 19h00min •  Encargos trabalhistas: 28% da remuneração Gastos – Engenharia básica de externa: 3 operadores de áudio: R$ 3.000,00 cada operador por mês + encargos. 2 câmeras: R$ 2.500,00 cada por mês + encargos. 2 auxiliares de câmera: R$ 2.000,00 cada por mês + encargos. 2 operadores de vídeo: R$ 2.500,00 cada por mês + encargos. 1 geradorista com três auxiliares: R$ R$ 6.000,00 + encargos.

116 •

capítul6 1

– Engenharia de estúdio: 4 Câmeras: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos. 2 Operadores de áudio: R$ 3.000,00 Cada operador por mês + encargos 1 Operador de cabo: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos. 4 Assistentes de iluminação: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos. 1 Eletricista: R$ 1.000,00 + Encargos. 1 Operador de equipamento de suporte: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos. 1 Operador de sistema: R$ 3.000,00 + Encargos. 1 Supervisor: R$ 5.800,00 + Por mês + encargos. 1 Operador de vídeo – R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos. 1 Operador de vt – R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos. 1 Assistente de estúdio (produção): R$ 3.000,00 Por mês + encargos 1 Diretor de corte (produção): R$ 10.000,00 Por mês + encargos – Produção direta: 1 Assistente de base (produção): R$ 3.000,00 Por mês + encargos 1 Coordenador: R$ 7.000,00 Por mês + encargos 3 Assistentes de produção: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos 1 Auxiliar de produção: R$ 2.000,00 Por mês + encargos 1 Gerente de produção: R$ 10.000,00 Por mês + encargos 1 Diretor de produção: R$ 12.000,00 Por mês + encargos – Produção de arte: 1 Produtor de arte: R$ 5.000,00 Por mês + encargos 3 Assistentes: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos 2 Contrarregra de cena: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos – Cenografia: 1 Cenógrafo: R$ 5.000,00 Por mês + encargos 2 Assistentes – R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos – Figurino: 1 Figurinista: R$ 2.000,00 + Encargos. 2 Assistentes: R$ 1.000,00 Cada por mês + encargos

capítulo 6

• 117

– Continuidade (produção): 2 Continuístas: R$ 500,00 cada por mês + encargos – Efeitos especiais (pós/mecânico): 1 Supervisor: R$ 4.800,00 3 Produtores de efeitos gráficos: R$ 3.000,00 Cada por mês + encargos – Atores: 36 personagens 18 Atrizes: R$ 360.000,00 Por mês 18 Atores: R$ 540.000,00 Por mês – Encargos trabalhistas 28% ao ano. – Os cenários econômicos para o período foram: Inflação zero e aumento dos cf p/segundo semestre de 8%. Inflação de 3% mês e aumento dos cf p/segundo semestre de 8%. Inflação de 5% mês e aumento dos cf p/segundo semestre de 8%, com aplicação do saldo em conta corrente utilizando a taxa selic de 2% mês.   Pede–se: Faça o orçamento utilizando os três cenários, ajustando os gastos gerais durante a execução do programa. Faça também o acompanhamento dos gastos reais x orçados, concluindo no final da produção se o programa terá uma sobra de caixa ou necessidade de aporte de capital para os três cenários econômicos. 04. Considere os seguintes dados para um programa de 4 meses: Verba liberada p/mês: 1o R$ 6.000.000, 2O R$ 6.000.000, 3O R$ 3.000.000, 4O R$ 3.000.000 Durante os 4 meses de programa. Engenharia externa: R$ 98.500, R$ 84.000, R$ 85.000, R$ 85.000 Engenharia de estúdio: R$ 95.500, R$ 82.000, R$ 88.000, R$ 88.000. Produção direta: R$ 64.000, R$ 52.000, R$ 98.000, R$ 98.000. Produção de arte: R$ 25.000, R$ 18.000, R$ 20.000, R$ 20.000. Cenografia: R$ 15.500, R$ 12.000, R$ 16.000, R$ 16.000. Figurino: R$ 8.500, R$ 8.500, R$ 9.500, R$ 9.500. Atores: R$ 2.843.000, R$ 2.443.500, R$ 3.733.500, R$ 3.733.500. Outros gastos durante o programa: Custos fixos: R$ 500.000 Nos três primeiros meses, R$ 200.000 No último mês.

118 •

capítul6 1

Gastos gerais extraordinários: R$ 200.000, R$ 600.000, R$ 600.000 E R$ 200.000. Gastos reais: R$ 4.250.000, R$ 3.900.000, R$ 5.250.000, R$ 4.750.000.

GASTOS VARIÁVEIS ENGENHARIA EXTERNA ENGENHARIA DE ESTÚDIO PRODUÇÃO DIRETA PRODUÇÃO DE ARTE CENOGRAFIA FIGURINO ELENCO DE ATORES TOTAL

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TOTAL

Com os dados acima, elabore: a) Previsão de gastos para os 4 meses de programação. b) Previsão do fluxo de caixa para os 4 meses de programação. Indique o valor do saldo de caixa previsto para o fim do programa. Indique o valor da Margem Bruta prevista para o fim do programa. c) Faça o quadro comparativo real x orçado e comente o resultado obtido: a) Previsão de Gastos para os 4 meses de programação.

DISCRIMINAÇÃO

1

2

3

4

TOTAL

CUSTOS VARIÁVEIS

 

 

 

 

ENGENHARIA EXTERNA

 

 

 

 

ENGENHARIA ESTÚDIO

 

 

 

 

PRODUÇÃO DIRETA

 

 

 

 

PRODUÇÃO DE ARTE

 

 

 

 

CENOGRAFIA

 

 

 

 

FIGURINO

 

 

 

 

             

ELENCO DE ATORES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CUSTOS FIXOS

 

 

 

 

GASTOS GERAIS

 

 

 

 

TOTAL

 

 

 

 

       

capítulo 6

• 119

b) Previsão do Fluxo de caixa para os 4 meses de programação.

DISCRIMINAÇÃO VERBA CUSTOS VARIÁVEIS MARGEM BRUTA CUSTOS FIXOS GASTOS GERAIS SALDO SALDO ACUMULADO

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indique o valor do saldo de caixa no final do programa: Indique o valor da Margem disponível para os Custos Fixos e Gastos gerais.

120 •

capítul6 1

TOTAL              

7 Aplicações Matemáticas em Produção

OBJETIVOS Ao final desse capítulo, o aluno deverá ser capaz de compreender as aplicações matemáticas em: •  medida da Produtividade; •  projeto e Medida do Trabalho; •  medida da Capacidade; •  avaliação de alternativas de localização.

122 •

capítulo 7

7.1  Medida da produtividade Basicamente, têm-se dois tipos de medição: O simples ou direto também conhecido como produtividade de fator único, que será calculado pela seguinte fórmula:

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS INPUTS

O mais complexo e amplo também conhecido como produtividade mutifatores ou produtividade de fatores totais. PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS INPUTS + CAPITAL + ENERGIA + DIVERSOS

Para entender melhor esta diferença, vamos fazer alguns exercícios para melhor compreensão do que vimos em relação à aplicação desta medição da produtividade.

EXEMPLO Uma loja de fast food, dentro de um shopping, possui uma máquina de fazer sorvetes que produz um total de 1.200 casquinhas de sorvete por dia. Considerando que a loja fique aberta por 11 horas, diariamente, qual será a produtividade desta máquina por hora? Basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS 1.200 casquinhas = = 109 casquinhas / hora INPUTS 11horas

EXEMPLO Uma refinaria produz em seu processo diário de refino do petróleo vários tipos de derivados e, dentre eles: 250.900 litros de gasolina aditivada; 12.000 litros de querosene de aviação;

capítulo 7

• 123

120.000 litros de óleo combustível; 1.000 kg de asfalto. Qual é a sua produtividade por hora em relação ao refino da gasolina? Basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja: PRODUTIVIDADE NO REFINO DA GASOLINA =

OUTPUTS 250.900 = 10.454 litros/hora = INPUTS 24 horas

PRODUTIVIDADE NO REFINO DO QUEROSENE =

OUTPUTS 12.000 = 500 litros/hora = INPUTS 24 horas

PRODUTIVIDADE NO REFINO DO COMBUST = VEL

OUTPUTS 12.000 = = 5.000 litros/hora INPUTS 24 horas

PRODUTIVIDADE NO REFINO DO ASFALTO FABRICADO =

OUTPUTS 1.000 == = 417 , kg/hora INPUTS 24 horas

EXEMPLO Uma pequena confecção possui quatro funcionárias: Sílvia, com salário de R$ 1.790,00; Sandra, com salário de R$ 1.250,00; Renata, com salário de R$ 1.140,00 e Rosane, com salário de R$ 1.030,00. Juntas, produzem 61.600 blusas por mês. A gerente deseja saber qual a produtividade diária e também a produtividade por cada real pago de salário. Por essa razão, contatou você como cronoanalista, para desempenhar a atividade de medir tempos de fabricação e, em consequência, mensurar produtividades.

124 •

capítulo 7

Para a primeira pergunta, basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja: PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS 61.600 blusas = = 2.053 blusas/dia INPUTS 30 dias

Para a segunda pergunta, basta utilizar a fórmula de produtividade multifatores, ou seja: PRODUTIVIDADE =

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS INPUTS + CAPITAL + ENERGIA + DIVERSOS

61.600 blusas R$ 1.790,00 + R$ 1.250,00 + R$ 1.140,00 + R$ 1.030,00

PRODUTIVIDADE = 11,82 blusas por real pago de salário.

EXEMPLO Uma pequena indústria de marcenaria possui três vendedores, Jorge, Silvia e Sérgio. Em janeiro, eles venderam um total de R$250.000,00 e, em fevereiro, um total de R$ 301.000,00, sendo os produtos comercializados janelas e portas, cujos clientes são lojas de material de construção. Os resultados das vendas foram os seguintes:

capítulo 7

• 125

JANEIRO

FEVEREIRO

TOTAL DAS VENDAS

VENDEDOR

JANELAS R$

R$

TOTAL DAS VENDAS R$

R$

R$

R$

JORGE SÍLVIA SÉRGIO TOTAIS

39.910,00

50.089,20

89.999,20

52.000,00

51.012,00

103.012,00

35.000,00

54.910,80

89.910,80

43.090,29

71.988,00

115.078,29

PORTAS

JANELAS

PORTAS

30.090,00

40.000,00

70.090,00

34.909,71

48.000,00

82.909,71

105.000,00

145.000,00

250.000,00

130.000,00

171.000,00

301.000,00

Se a empresa quiser saber a produtividade diária do vendedor Jorge no mês de janeiro, basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS R$89.999,20 = = R$ 2.903,20/dia INPUTS 31 dias

Se a empresa quiser saber a produtividade diária da vendedora Sílvia no mês de fevereiro na venda de portas, basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS R$71.988,00 = = R$ 2.571,00/dia INPUTS 31 dias

Se a empresa quiser saber a produtividade diária do vendedor Sérgio na venda de janelas, nos meses de janeiro e fevereiro, basta utilizar a fórmula de produtividade de multifatores, ou seja:

PRODUTIVIDADE =

OUTPUTS INPUTS + CAPITAL + ENERGIA + DIVERSOS

PRODUTIVIDADE =

PRODUTIVIDADE =

126 •

capítulo 7

R$ 30.090,00 + R$ 34.909,71 31 dias + 28 dias

R$ 64.909,71 = R$ 1.101,69/dia 59 dias

Disponível em: . Acesso em: 20 abr. 2015.

7.2  Projeto e medida do trabalho Medir o trabalho é determinar quanto tempo uma operação leva para ser realizada. Pode-se definir um tempo-padrão, obtido após considerações sobre o ritmo de trabalho do operador e sobre seu método de trabalho. O tempo-padrão para se realizar uma tarefa serve para estudos a fim de determinar o custo de um produto e medir os parâmetros que levam trabalhadores a receber premiações pelo trabalho realizado. Como é uma medição da variável tempo (selecionada dentre outras), deve ser repetida periodicamente, pois as condições dos operadores, das máquinas e dos processos se alteram com o tempo. Relaciona-se, na operação, com: 1. 2. 3. 4.

estudo de tempos com cronômetros; tempos históricos; dados-padrão predeterminados; amostragem do trabalho.

A interpretação comum do significado das porcentagens de tolerância é que elas permitem certo percentual do tempo total disponível. Assim, pode-se calcular o tempo-padrão de uma tarefa pelo uso de percentagem.

capítulo 7

• 127

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso de percentagem Calcular o tempo-padrão de uma tarefa da qual foram medidos 20 ciclos, obtendo-se 1,55 minutos como média. A operadora foi avaliada com tendo uma eficiência de 75%. A tolerância habitual da empresa para fadiga e tempo pessoal (margem) é de 20% sobre o dia de trabalho. Gabarito Tempo normal: 1,55 minutos X 0,75 (ou 75% de ritmo ou eficiência da operadora) = 1,16 minuto , Tempo padrão: 116

minuto ×

100 100 = 1 ,16 minuto × = 145 , minuto 100 − m arg em 100 − 20

02. Qual o número de medidas a serem realizadas para uma operação de produção de parafusos, sabendo que uma amostra inicial de medidas forneceu a média de 7,35 minutos e um desvio-padrão de 1,90 minuto. A precisão desejada é de 10% com um grau de confiança de 95%. Usar a fórmula a seguir 2

∑ ⋅σ  n =  α /2  E  

Onde

n : número de indivíduos na amostra

∑ α/2 : valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado



σ : desvio-padrão populacional da variável estudada E : margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferença máxima



entre a média amostral (x) e a verdadeira média populacional. n = 1,96 X 1,90 = 3,724 10% X 7,35

128 •

capítulo 7

0,735

= 5 medições

03. Um cronoanalista anotou os tempos no formulário a seguir e calculou os respectivos desvios-padrão para os três elementos constituintes de uma tarefa:

ELEMENTO A B C

TEMPO (MINUTOS)

DESVIO-PADRÃO (MINUTOS)

7,05

1,50

3,47

0,84

5,85

0,72

a) Qual o elemento que deve ser tomado como base para o cálculo do número de ciclos a medir? b) Quantos ciclos deverão ser medidos para uma precisão de 5% com um grau de confiança de 99%? Gabarito c) O valor da média que está mais próximo da mediana é o ideal; valores muito altos e muito baixos são expurgados nessa situação. Portanto, o valor ideal é o da média de tempo igual a 5,85 minutos e desvio-padrão igual a 0,72 minutos d) Usar a fórmula seguinte: 2

∑ ⋅σ  n =  α /2  E   2

 2, 58 ⋅ 0, 72  n=  = 40  5% ⋅ 5, 85 

04. Calcular o número dos ciclos necessários para que os tempos medidos atinjam margem de erro estatística de 10% e confiança estatística de 95%.

ELEMENTO A B

TEMPO (MINUTOS)

DESVIO-PADRÃO (MINUTOS)

7,05

1,50

3,47

0,84

Gabarito Elemento A = 18 ciclos Elemento B = 23 ciclos

capítulo 7

• 129

7.3  Medida da capacidade Capacidade é a quantidade máxima de produtos e serviços que uma empresa pode produzir durante um período de trabalho predeterminado, muitas vezes medido por dia, mês ou ano. É função de duas variáveis: volume ou quantidade e tempo. Exemplos •  Uma rede de lojas de revenda de roupas mede a capacidade como vendas anuais por unidade de negócio. •  Um cinema mede a capacidade como o número de assentos disponíveis. •  Um torneiro mecânico mede a capacidade como a utilização por hora/ máquina. •  Uma manicure mede a capacidade como a quantidade de clientes atendidos por dia. •  Uma empresa de jardinagem mede a capacidade como o rendimento por metro quadrado de grama cortado. Capacidade de projeto = capacidade efetiva + perdas

TAXA DE UTILIZAÇÃO =

ÍNDICE DE PRODUÇÃO MÉDIA × PERDAS CAPACIDADE MÁXIMA

Slack et al., 1997 Limite de capacidade Em todas as produções, existem atividades que são realizadas em paralelo ou em sequência. Uma determinada atividade será responsável por um limite em relação às demais. Esse limite é conhecido como gargalo ou restrição da capacidade da operação de produção.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Em uma fábrica, a capacidade máxima da uma sopradora para moldar garrafas PET é de 15.000 unidades por dia (10 horas), sendo que, destas, 12.000 garrafas são envasadas com granel líquido. Qual a taxa de utilização dessa máquina?

130 •

capítulo 7

Resolução Aplicação de percentagem UTILIZAÇÃO =

12.000 × 100 = 80% 15.000

02. Outra fábrica produz tampas que servirão para completar as garrafas citadas anteriormente. A capacidade máxima da injetora de tampas é de 120.000 unidades por dia (10 horas), sendo que são envasadas com granel líquido 12.000 garrafas que necessitam ser tampadas pela rosqueadora. a) Qual a taxa de utilização dessa máquina? b) Essa máquina ficará parada quantas horas por dia?

capítulo 7

• 131

Resolução Aplicação de percentagem a)

UTILIZAÇÃO =

12.000 × 100 = 10% 120.000

b) A injetora ficará parada 9 horas, pois sua produção horária é de 12.000 tampas, ou seja, 120.000 / 10 horas. Assim, em 1 hora por dia a máquina atende toda a demanda de tampas. 03. Uma empresa que faz travessia por ferry boat possui uma frota com dois barcos, realizando 15 travessias diárias, cada uma com 90 carros e 650 pessoas. Sabendo-se que a média de um mês fora da alta estação (fora das férias escolares, por exemplo) é de 1.400 carros e 11.000 pessoas por dia, qual é a taxa de utilização diária dessa empresa para transporte naquela época do ano: a) de carros? b) de pessoas?

Resolução a) Capacidade para carros = 2 barcos x 15 travessias diárias x 90 carros/travessia = = 2.700 Carros

Taxa de utilização para carros = 1.400 X 100 / 2.700 = 51,85% b) Capacidade para pessoas = 2 barcos x 15 travessias diárias x 650 pessoas = = 19.500 Pessoas



Taxa de utilização para pessoas = 11.000 X 100 / 19.500 = 56,41%

132 •

capítulo 7

04. Para se produzir uma garrafa de óleo lubrificante, temos descritas algumas atividades principais: a) produção da garrafa, b) fabricação da tampa, c) colagem do rótulo e d) enchimento da garrafa com o óleo lubrificante. Considere que para a produção de uma garrafa levem-se 4 minutos; para uma tampa, a produção é feita em 2 minutos; para a colagem de um rótulo, a tarefa gasta 5 minutos; e, por último, para o enchimento da garrafa são necessários 30 segundos. Fica fácil entender que o gargalo é a colagem do rótulo, pois não adianta produzir mais tampas ou disponibilizar mais garrafas, se serão gastos 5 minutos na colagem. Se, agora, dobrarmos a capacidade da máquina que cola o rótulo (rotuladora), baixando o tempo pela metade, qual será novo gargalo dessa linha de produção? Resolução Uso de fração e comparação entre quantidades Se dobrarmos a produção da rotuladora, ela passará a colar o rótulo em: 5 minutos / 2 = 2,5 minutos. Na comparação com os outros tempos (4 minutos para a fabricação de uma garrafa, 2 minutos para a produção de uma tampa e 0,5 minuto para o enchimento da garrafa), verifica-se que o novo gargalo é o que tem o maior tempo, ou seja, a fabricação de uma garrafa, passa a ser o novo gargalo. 05. Uso de operações aritméticas e expressões. Capacidade de projeto O sistema é considerado ideal, como se não existissem perdas. Para a medição desta capacidade não são consideradas atividades tais como setups, manutenções programadas, transporte entre os setores e limitações relacionadas ao fluxo produtivo. Capacidade efetiva São levadas em consideração as necessidades ou as perdas do sistema. Nesta análise, consideram-se as necessidades de processo (perdas programadas), mas sem considerar questões relativas ao fluxo fabril e ao tamanho dos lotes.

capítulo 7

• 133

Uma empresa de calçados funciona 24 horas por dia, todos os dias do mês, incluindo domingos e feriados. Analisando a operação de costurar cabedal, obtiveram-se os seguintes tempos: Mudanças de produtos (setups): 58 horas; Calcule as capacidades de projeto e efetivação da operação (mensal) sabendo que a capacidade do projeto do sistema é de 1.500 pares/hora. Manutenção preventiva regular: 19 horas; Amostragens de qualidade: 6 horas; Tempos de troca de turnos: 43 horas; Paradas para manutenção corretiva: 14 horas; Investigação de falhas de qualidade: 25 horas; Falta de estoque de material de cobertura: 12 horas Resolução Mudanças de produtos (setups): 58 horas; Manutenção preventiva regular: 19 horas; Perdas planejadas = 126 horas

Amostragens de qualidade: 6 horas; Tempos de troca de turnos: 43 horas;

Paradas para manutenção corretiva: 14 horas;

Perdas não planejadas = 51 horas

Investigação de falhas de qualidade: 25 horas; Falta de material de cobertura: 12 horas; Capacidade projeto =24 x 30 x 1.500 = 1.080 Milhões de pares de calçados por mês. (100%) Capacidade efetiva =((24 x 30) – 126) x 1.500 = 891 Mil pares de calçados por mês. (82,5%) Taxa de utilização = (((24 x 30) – 126) – 51) x 1.500= 814,5 Mil pares de calçados por mês (75,4%, Resultado de 814.500 X 100 / 1.080.000)

134 •

capítulo 7

7.4  Avaliação de alternativas de localização Entre os fatores que influem na localização de uma empresa industrial, destacam-se por sua importância os fatores de pessoal, quanto à disponibilidade de pessoal qualificado e quanto à atitude sindical. De mesma importância, são a localização dos mercados consumidores, a localização dos principais fornecedores e a qualidade da rede de transportes. De grande relevância, também, são as facilidades oferecidas, como isenção de taxas e impostos e a oferta de serviços específicos existentes no local, como água tratada, estação coletiva para tratamento de esgotos industriais, energia elétrica, linhas digitais para telecomunicação, escolas técnicas especializadas, hospitais, entre outros. Outros fatores importantes são a qualidade de vida, os aspectos culturais da região, o clima, a proximidade de empresas do mesmo tipo, o terreno, o construção, os regulamentos ambientais e as atitudes da comunidade.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso de função de primeiro grau Aplicação de custos Uma empresa reduziu a provável localização de sua nova fábrica a três localidades: A, B e C. Com os dados de custos fixos e de custos variáveis, determinar a melhor localização, considerando que a capacidade da fábrica é de 20.000 unidades por ano.

LOCALIDADE

CUSTOS FIXOS POR ANO

CUSTO VARIÁVEL UNITÁRIO

A B C

R$ 420.000 R$ 800.000 R$ 1.200.000

R$ 150,00 R$ 100,00 R$ 80,00

Qual o custo total para a capacidade estimada de 20.000 unidades por ano? Localidade A Custo total = r$ 420.000 + 20.000 Unidades x r$ 150,00 = r$ 3.420.000 Localidade B Custo total = r$ 800.000 + 20.000 Unidades x r$ 100,00= r$ 2.800.000 Localidade C Custo total = r$ 1.200.000 + 20.000 Unidades x r$ 80,00= r$ 2.800.000

capítulo 7

• 135

O resultado foi um empate entra as localidades B e C, como as que tiveram menor custo total. Há necessidade de ponderar por outros meios. 02. Uso de média ponderada Uso de operações aritméticas e expressões Essa empresa vai ponderar os fatores qualitativos das três localidades citadas anteriormente como candidatas para sediar sua nova unidade. A empresa inicialmente definiu os fatores a serem considerados e atribuiu a cada um deles um peso, sendo que o total dos pesos soma 100. Posteriormente, pediu a seus principais executivos que atribuíssem a cada uma das localidades uma nota, entre 0 (pior condição) e 10 (melhor condição), para cada um dos fatores. Para cada localidade, tomou-se a nota média e a tabela para a decisão final apresentou os resultados que seguem. Que localidade deve ser escolhida?

FATORES PESO

NOTAS MÉDIAS POR FATOR

FATOR A

B

C

20

DISPONIBILIDADE DE PESSOAL

8

6

7

10 25 10 15 5

ASPECTOS SINDICAIS

9

5

8

RESTRIÇÕES AMBIENTAIS

6

8

9

15

QUALIDADE DE VIDA

10

6

10

SUPRIMENTO DE MATERIAIS

7

9

5

ISENÇÃO DE IMPOSTOS

4

7

9

DESENVOLVIMENTO REGIONAL

6

8

5

50

49

58

TOTAIS Cálculo para localidade A

(8 X 20) + (9 X 10) + (6 X 25) + (10 X 10) + (7 X 15) + (4 X 5) + (6 X 15) / (20 + 10 + 25 + 10 + 15 + 5 + 15) = 715/100 = 71,5 Cálculo para localidade B

136 •

capítulo 7

(6 X 20) + (5 X 10) + (8 X 25) + (6 X 10) + (9 X 15) + (7 X 5) + (8 X 15) / (20 + 10 + 25 + 10 + 15 + 5 + 15) = 720/100 = 72 Cálculo para localidade C (7 X 20) + (8 X 10) + (9 X 25) + (10 X 10) + (5 X 15) + (9 X 5) + (5 X 15) / (20 + 10 + 25 + 10 + 15 + 5 + 15) = 740/100 = 74 Quanto maior o valor, melhor o local. Dentro do critério apresentado, a localidade C seria a escolhida pelo critério dos fatores, após ter empatado com a localidade B no critério de custos. 03. Localização de Lojas Segundo Woiler & Mathias (1996, p. 125), em artigo publicado na Revista CEPPG – n. 23 – 2/2010 – ISSN 1517-8471 – P. 161 à 175, “o problema de encontrar a localização ótima corresponde, em termos de empresa, a achar a localização que dê a maior diferença entre receitas e custos”. De maneira sintética, as organizações procuram se estabelecer em locais em que consigam maximizar as receitas e minimizar as despesas, ampliando desta forma seus resultados finais. A seleção do local para implantação de uma loja é proporcional à dirnensão da loja (área ocupada) ( inversamente proporcional à distância que o cliente deve percorrer ate a loja (dificuldade/facilidade de chegada). Capítulo 2 – Localização – (Martins e Laugeni, 2000) Usar a fórmula a seguir:

Sj Nij = Ci × Pij

TijA n

∑ j= i

Sj

(T )

A

ij

Nij = número de clientes da região i dispostos a deslocar-se até local j Pij = probabilidade de um cliente da região i ir até a região j Ci = número total de clientes residentes na região i Sj = área da loja situada em j

capítulo 7

• 137

Tij = tempo que o cliente leva para ir de i até j A = parâmetro utilizado para refletir o efeito que o tempo de viagem causa nos hábitos de compra do cliente (normalmente A = 2) Capítulo 2 – Localização – (Martins e Laugeni, 2000) Consideremos uma situação em que há uma loja na localização 1 e uma segunda loja na localização 3. Os clientes ocorrem nas 4 zonas e realizam 3.800 viagens por dia para suas compras. Com a utilização do modelo mostrado, verificamos que a loja 1, a menor, atende 1.526 clientes (viagens) e a loja 2 atende os demais 2.274 clientes ao dia. O que ocorrerá se uma loja 3 se instalar na zona 2? Utilizando novamente o modelo, verificamos que a loja 1 atenderá 1.045 clientes, a loja 2 atenderá 1.606 clientes e a loja 3 atenderá 1.149 clientes por dia. O modelo permite, portanto, verificar o impacto que um novo negócio acarreta a uma determinada região e determinar o volume potencial desse novo negócio para que sua viabilidade possa ser convenientemente avaliada.

ZONA J

DADOS DAS ALTERNATIVAS DISTRIBUIÇÃO DAS ALTERNATIVAS CLIENTE I TEMPO DE VIAGEM

ZONA 1 LOJA 1 ZONA 2 LOJA 3 ZONA 2 LOJA 3 ZONA 3 ZONA 4 LOJA 2

TI1

TI3

LOJA

1000 FT2

1

1.000

5

15

10

1

200

2

500

10

10

5

2

400

3

1.500

10

10

15

3

400

4

800

15

5

10

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

138 •

TI2

capítulo 7

MATRIZ DE PROBABILIDADES P LOJA 1 LOJA 2

LOJA 3

0,580

0,130

0,290

0,091

0,182

0,727

0,257

0,515

0,228

0,0425

0,7665

0,191

8 Aplicações Matemáticas em Logística

OBJETIVOS O aluno, ao final desse capítulo, estará apto a compreender a aplicação da matemática em: •  operações de armazenagem •  controle de estoque •  operações de transporte •  operações de movimentação e embalagem •  otimização de sistemas de transporte

140 •

capítulo 8

8.1  Operações de armazenagem “O processo de armazenagem propriamente dito compreende a adequada transferência dos volumes da doca ou outro ponto de descarga para o local de empilhamento onde serão armazenados, devidamente protegidos de agentes humanos, físicos, químicos ou ambientais capazes de comprometer a integridade e estrutura da embalagem e seu conteúdo” (RODRIGUES, 2007, p. 24).

EXERCÍCIO RESOLVIDO Uso da regra de três simples 01. Em um armazém, 6 caminhões são descarregados por minuto. Quanto tempo leva para descarregar trinta caminhões? Resolução 6 caminhões

1 minuto

30 caminhões

x minutos

x=

30 × 1 = 5 minutos 6

02. Uso de regra de três simples Em um terminal de carga, existem 2 horas para 8 caminhões descarregarem suas cargas. Cada caminhão demora em média 20 minutos para descarregar as suas mercadorias. O terminal só pode atender 1 caminhão por vez para o descarregamento. O intervalo de chegada dos caminhões no terminal é de 15 minutos. Um caminhão só poderá ser descarregardo se o anterior já estiver com toda sua carga descarregada. Considerando a teoria das filas, podemos afirmar que o número de caminhões que ficará sem descarregar será de: Resolução 1 caminhão

20 minutos

x caminhões

120 minutos

x=

120 minutos × 1 caminhão = 6 caminhões 20 minutos

capítulo 8

• 141

Logo, 2 caminhões ficarão sem descarregar. Obs.: o tempo total não é afetado pela chegada dos caminhões, pois 1 caminhão leva 15 minutos para surgir na plataforma, que é um tempo menor que o tempo de descarga de 20 minutos. Dessa forma, mesmo se outro caminhão chegar, ainda restarão 5 minutos para o caminhão que o precedeu descarregar sua mercadoria na plataforma. 03. Uso de regra de três simples Em uma transportadora, 4 caminhões são descarregados por minuto. Quanto tempo leva para descarregar dez caminhões? Resolução caminhões

1 minuto

10 caminhões

x minutos

x=



10 caminhões × 1 minuto = 2, 5 minutos 4 caminhões

04. Uso de regra de três simples Um terminal portuário descarrega 22 contêineres/hora. Calcule o tempo que 80 contêi-neres levam para ser descarregados. Resolução 22 contêineres

1 hora

80 contêineres

x horas



x=

80 contêineres × 1 hora = 3,63 horas 22 contêineres

05. Uso de regra de três simples Em um terminal de carga, existem 4 horas para os caminhões descarregarem suas cargas. Cada caminhão demora em média 20 minutos para descarregar as suas mercadorias. O terminal pode atender 2 caminhões por vez para o descarregamento. O intervalo de chegada dos caminhões no terminal é de 30 minutos. Um caminhão só pode entrar no terminal se

142 •

capítulo 8

o anterior já estiver com toda sua carga descarregada. Existem 16 caminhões e o terminal aceita esperar todos os caminhões descarregarem suas cargas, mas com cobrança de horas extras e outras despesas necessárias se precisarem estender o horário. a) Quantos minutos demoraram o descarregamento de todos os caminhões? b) Haverá necessidade de ultrapassar as 4 horas destinadas para a descarga dos caminhões? Resolução a) Para 16 caminhões, teremos 8 operações simultâneas de descarga, já que 2 caminhões são atendidos por vez para o descarregamento. Logo, entre as 8 operações há 7 intervalos, em que os próximos caminhões deverão chegar. Como o tempo médio de descarga é de 20 minutos (para 2 caminhões) e o tempo de chegada é de 30 minutos, sempre haverá uma espera de 10 minutos de gargalo entre operações (= 30 minutos – 20 minutos). Assim, haverá 7 esperas (gargalos) de 10 minutos cada uma. O tempo de descarga será:



2 caminhões

20 minutos

16 caminhões

x minutos

x=

16 caminh es × 20 minutos = 160 minutos 2 caminh es

Os 160 minutos obtidos no cálculo anterior devem, agora, ser somados ao gargalo de 7 esperas de 10 minutos = 7 X 10 minutos = 70 minutos. Total de tempo = 160 minutos + 70 minutos = 230 minutos

capítulo 8

• 143

b) Como 230 minutos é um tempo menor que 4 horas (ou seja, 240 minutos = 4 horas X 60 minutos), o terminal não precisará estender seu horário de descarga.

06. Uso da regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Um big-bag e meio tem a sua carga de 1,5 t descarregada em 1 minuto e meio. Quanto é a carga descarregada de 1 big-bag em 1 minuto? Resolução 1,5 big-bag

1,5 t

1 big-bag

yt

y t = 1 big-bag X 1,5 t = 1 t 1,5 big-bag 1t

1,5 minuto

xt

1 minuto

x t = 1 t X 1 minuto = 1 t / 1,5 = 0,67 t 1,5 minuto 07. Uso da regra de três composta Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?

144 •

capítulo 8

Resolução Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

HORAS

CAMINHÕES

VOLUME

8 5

20 x

160 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observação Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 20 160 5 = x 125 8

termos foram invertidos (seta contrária)

Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125

x=

20

1

20

1

20 160 5 20 4 = = = x 125 8 25 5

5 ⋅ 20 = 25 4

Logo, serão necessários 25 caminhões. Disponível em: . Acesso em: 02 mai. 2015.

capítulo 8

• 145

8.2  Controle de estoque Lote econômico de compras É a quantidade ideal a ser adquirida a cada reposição de estoque, em que o custo total de aquisição, bem como os respectivos custos de estocagem, são mínimos para o período considerado. FÓRMULA LEC

2× D × Cp Cm × Pu D = demanda anual C p = custo da emissão do pedido C m = custo de manter o estoque P u = preço unitário. Número de pedidos por ano associado ao lote econômico de compra É o número de vezes que se pede uma quantidade igual ao lote econômico de compra para suprir a empresa com um determinado item N = D / LEC Ponto de ressuprimento O ponto de ressuprimento é o nível mais econômico de reposição de um item em estoque. É quando ocorre o estoque mínimo do período e temos que obrigatoriamente fazer um novo pedido, para que não ocorra a falta do material/produto. Fórmula O cálculo do ressuprimento é definido pela função: PR = (Dméd x LT) + Eseg

146 •

capítulo 8

PR = ponto de ressuprimento D méd. = demanda média diária LT = lead time ou tempo de ressuprimento em dias E seg. = estoque do segurança

Emáx

Q

ES

tempo Custo total de estoque de um item O custo total de estoque é o custo do pedido acrescido ao custo de manter em estoque a quantidade pedida. Por essa razão, é importante sempre levar em conta o lote econômico de compra que minimiza o citado custo total. Fórmulas Custo de manter estoque de um lote de compra Q de um item CME = I x Pu x Q / 2 CME = custo de manter estoque de um lote de compra q de um item; P u = preço unitário do item; Q/2 = estoque médio de um lote q comprado de um item. CP = Cu x D / Q

capítulo 8

• 147

CP = custo do pedido; C u = custo unitário do pedido; D = demanda anual do item; Q = lote de compra CT = CME + CP CT = custo total do estoque de um item; CME = custo de manter estoque de um lote de compra q de um item; CP = custo do pedido.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões Calcule o lote econômico de compra (LEC) de um produto XZT, sabendo que 20% é o custo de oportunidade (para aplicação financeira) do investimento feito em estoque, o preço unitário do produto é de R$100,00, a demanda anual é de 20.000 unidades e o custo de fazer um pedido é igual a R$133,33. Resolução LEC = 2 × 20.000 × R$133, 33 / 0, 20 × R$100, 00 = 516 unidades

02. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões A agência Y do Banco ∆ pede dinheiro a seu escritório principal para desempenhar suas transações diárias. Se a estimativa de necessidade anual de dinheiro for de R$ 15.000.000 e cada solicitação custar R$ 3.600 e o custo do dinheiro parado for de 10% ao ano, calcule a quantidade de dinheiro que a agência deve incluir em cada remessa, supondo que o dinheiro fosse pedido no sistema do lote econômico de compra (LEC)? Resolução LEC = 2 2 × R$ 1.600.000 × R$ 3.600 / 0,1 = R$ 339.411

03. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões.

148 •

capítulo 8

O comprador de uma empresa deseja calcular o LEC para um item Y. A demanda anual é de 1.000.000 unidades, cada uma custando $ 10 . O custo por pedido é de $ 80 e o custo de manutenção de estoques é de 22% a.a. Calcule o lote econômico de compra. Resolução LEC = 2 2 × 1.000.000 × R$ 80,00 / 0, 33 × R$ 510, 00 = 8.528 unidades

04. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões O consumo estimado de um item é de 120.000 toneladas ao ano. A negociação de compras resultou em um preço de R$ 50,70 / t, mantido constante ao longo do ano. É prevista uma taxa de manutenção de estoques anual de 22% para o período e custo de cada pedido de R$ 1.500,00. Determine o lote econômico de compra e o número de pedidos ao longo do ano. LEC = 2 2 × 120.000 × R$ 1.500 / 0, 22 × R$ 50, 70 = 5.681 toneladas N = 120.000 t ao ano / 5.681 t por pedido = 21 pedidos / ano

05. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões Calcular o ponto de ressuprimento, sabendo que a demanda média diária do produto MZT é 80 unidades, o tempo de espera para o atendimento pelo fornecedor é de 20 dias e o estoque de segurança é de 60 unidades. Resolução PR = (80 unidades/dia X 20 dias) + 60 dias = 1.660 dias

06. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões Calcular o custo total do estoque de um item conhecendo a taxa de manutenção de estoque de 22% ao ano, o custo unitário do pedido de R$ 12,00, o preço unitário do item de R$ 50,00 e a demanda anual do item de 15.000 unidades, para compras em lotes de 200 unidades, 1.000 unidades e 1.500 unidades.

capítulo 8

• 149

Resolução

Q = 200 UNIDADES CME = 0,22 x 50 x 200 / 2 = R$ 1.100 /ano CP = 12 x 15.000/200 = R$ 900 /ano CT = CME + CP = 1.100 + 900 = R$ 2.000 / ano

Q = 1.000 UNIDADES

Q = 1.500 UNIDADES

CME = 0,22 x 50 x 1000/2 CME = 0,22 x 50 x 1.500/2 = =R$ 5.500 / ano R$ 8.250 / ano CP = 12 x 15.000/1.000 = CP = 12 x 15.000/1.500 = R$120 R$180 /ano /ano CT = CME + CP = 5.500 CT = CME + CP = 8.250 + 120 = + 180 = R$ 5.680 / ano R$ 8.370 / ano

07. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões A empresa J consome nas suas operações, anualmente, 8.000 litros de um produto, cujo preço é de R$ 5,00 por litro. A taxa de manutenção de estoques estimada é de 13,5% ao ano e o custo de fazer um pedido é de $50,00. Determinar o LEC do material comprado e o número (N) de pedidos ao longo do ano. Gabarito

LEC = 2 2 × 8.000 × R$ 50,00 / 0,135 × R$ 5, 00 = 1.089 litros N = 8.000 litros / 1089 litros = 7,34

8.3  Operações de transporte Galvão (2003): Na área de distribuição de materiais em logística, existe um problema difícil de resolver, que é o atendimento de todos os pontos de uma área de distribuição, no menor tempo e na menor distância possíveis. [...] Seguindo esses conceitos, temos a formulação matemática simplificada para calcularmos o tempo do ciclo das entregas: Fórmula TC =

{ }

Tp 2Do D2 + + Xq Vo V2 {60}

TC = Tempo do ciclo de entregas Do = Distância percorrida do depósito até a zona de entrega

150 •

capítulo 8

Vo = Velocidade desenvolvida entre o depósito e a zona de entrega D2 = Distância percorrida dentro da zona de entrega V2 = Velocidade desenvolvida dentro da zona de entrega T p = Tempo gasto em cada parada para entrega/coleta q = Quantidade de entregas a serem executadas. A escolha do período em que as visitas se repetem vai depender basicamente de dois fatores antagônicos: de um lado, o nível de atendimento ao cliente, que se sente melhor atendido com entregas mais frequentes; de outro, o custo do transporte para o distribuidor (Novaes, 1997). Fórmulas NV =

M T M t NV = × ⇒ no caso de entregas di rias NR 7 NR

M=

N q

NV = número de veículos necessários na frota M = número de zonas de entregas em que a região deve ser dividida T = total de dias úteis / semana t = intervalo de tempo entre visitas sucessivas - no caso de entregas diárias t=1 NR = número de roteiros que cada veículo executa por dia q = número de paradas (entregas/coletas) por roteiro N = número total de paradas (entregas/coletas) executadas por dia.

capítulo 8

• 151

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões. Um caminhão faz entregas em uma zona localizada a uma distância de 60 km do centro de distribuição, utilizando velocidade média de 60 km por hora. Ao chegar à zona de entrega, ainda percorre 2 km, à velocidade de 20 km por hora, levando 30 minutos em cada ponto de entrega/coleta. Calcule o tempo do ciclo (TC) de entregas para 10 entregas executadas. Resolução TC = 2 X (60 km /60 km por hora) + (2 km/ 20 km por hora) + 0,5 hora X 10 entregas = = 2 horas + 0,1 horas + 5 horas = 7,1 horas

02. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões Sabendo que o número total de paradas nas entregas efetuadas por caminhões de uma transportadora é igual a 240, que o número de paradas (entregas/coletas) executadas por dia é 10 e considerando que o número de roteiros que cada caminhão executa por dia é 8, no caso de entregas diárias, calcule o número de veículos necessários na frota. Gabarito M = 240/10 = 24; NV = 24/8 = 3 veículos

03. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões O número total de paradas nas entregas efetuadas por caminhões de uma transportadora é igual a 420. Sabendo que o número de paradas (entregas/coletas) executadas por dia é 7 e que 10 é o número de roteiros executados por cada caminhão / dia, no caso de entregas realizadas de segunda-feira a domingo, determine o número de veículos necessários na frota. Resolução M = 420/7 = 60; NV = (60/10) = 6 veículos

152 •

capítulo 8

8.4  Operações de movimentação e embalagem Em logística, a movimentação das embalagens ocorre entre as etapas do processo, sendo que a transferência de carga do armazém ou depósito para o veículo de transporte é um problema que deve ser analisado no projeto da embalagem.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 04. Uso de percentagem A empresa MKZ vende apliques para parede com lâmpada, sendo o seu valor unitário R$ 80,00. A venda em 2014 foi de 10.000 apliques. Para o ano de 2015, estima-se um crescimento de 15% das vendas. Atualmente, a empresa utiliza a embalagem A1, que custa 1,50/unidade. Utilizando esta embalagem, a empresa teve uma perda anual de apliques de 4% na armazenagem e 5% no transporte. Tentando diminuir estes elevados índices, a empresa estuda a possibilidade de adotar uma nova embalagem, a A2, que custa 2,00/unidade e geraria uma perda anual de 3% na armazenagem e 4% no transporte. A outra opção é a embalagem A3, que custa 2,50/unidade e geraria uma perda anual de 2% na armazenagem e 3% no transporte. Desta maneira, qual embalagem eu devo utilizar em 2015: A1, A2 ou A3? Resolução Vendas 2014 = 10.000 apliques Vendas 2015 = 11.500 apliques

 

EMBALAGEM

TIPO

 

PERDA ARMAZENAGEM 

QUANTIDADE CUSTO1 PERC

A1

11.500

A2

11.500

A3

11.500

R$ 17.250 R$ 23.000 R$ 28.750

PERDA TRANSPORTE

QUANT

CUSTO2

PERC

QUANT

CUSTO3

CTotal

4%

460

R$ 690,00

5%

575

R$ 862,50 R$ 18.803

3%

345

R$ 690,00

4%

460

R$ 920,00 R$ 24.610

2%

230

R$ 575,00

3%

345

R$ 862,50 R$ 30.188

A embalagem tipo A1 é a que, ainda, vai gerar menor custo total, portanto deve ser mantida.

capítulo 8

• 153

05. Uso de percentagem A empresa XZT vende garrafas de óleo lubrificante, sendo o seu valor unitário R$ 2,50. A venda em 2014 foi de 150.000 garrafas de óleo lubrificante. Para o ano de 2015, estima-se uma redução de 20% das vendas. Atualmente, a empresa utiliza a embalagem B1, que custa 0,20/unidade. Utilizando esta embalagem, a empresa teve uma perda anual de apliques de 4% na armazenagem e 5% no transporte. Tentando diminuir estes elevados índices, a empresa estuda a possibilidade de adotar uma nova embalagem, a B2, que custa 0,60/unidade e geraria uma perda anual de 1% na armazenagem e 2% no transporte. A outra opção é a embalagem B3, que custa 0,40/unidade e geraria uma perda anual de 2% na armazenagem e 3% no transporte. Desta maneira, qual embalagem eu devo utilizar em 2015: A1, A2 ou A3? Gabarito Vendas 2014 = 150.000 garrafas para óleo lubrificante Vendas 2015 = 120.000 garrafas para óleo lubrificante

 

EMBALAGEM

TIPO

QUANT

B1

120.000

B2

120.000

B3

120.000

 

PERDA ARMAZENAGEM

PERDA TRANSPORTE

CUSTO1 PERC QUANT CUSTO2 PERC QUANT R$ 24.000 R$ 72.000 R$ 48.000

4%

4.800

1%

1.200

2%

2.400

R$ 960,00 R$ 720,00 R$ 960,00

5%

6.000

2%

2.400

3%

3.600

CUSTO3

CTOTAL

R$ 1.200,00 R$ 1.440,00 R$ 1.440,00

R$ 26.160 R$ 74.160 R$ 50.400

A embalagem tipo A1 é a que, ainda, vai gerar menor custo total, portanto deve ser mantida.

8.5  Otimização de sistemas de transporte [...] Em qualquer problema de programação linear, o analista sempre vai desejar maximizar (exemplo, lucro) ou minimizar (exemplo, custo) alguma função das variáveis de decisão. A função a ser maximizada (ou minimizada) é a função objetivo, que é uma função linear. [...] A economia obtida e a experiência adquirida pela experimentação justificam a utilização da pesquisa operacional.

154 •

capítulo 8

Fórmula Maximize: S1 x1 + S2 x2 mMaximize o lucro – esta é a “função objetivo”)

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso da fórmula Uma fábrica de tintas distribui dois tipos de produto: 1 tinta para interiores e 1 tinta para exteriores. Para isso recorre a duas transportadoras, A e B, das quais possui, respectivamente, 6 e 9 carros à disposição, disponibilidade essa que não pode ser reforçada. Para distribuir uma tonelada de tinta interior são necessários um carro de A e dois carros de B. No caso da tinta exterior, para distribuir uma tonelada são necessários um carro de A e dois carros de B. Um estudo de mercado indica que a procura de tinta interior não excede em mais de 1 tonelada a de tinta exterior. O preço de venda da tinta interior é de R$ 30,00 por kg e o da tinta exterior de R$45,00 por kg. Podemos dizer que a função objetivo do problema de pesquisa operacional descrito é: Resolução Max Z = 30x1 + 45x2, Z é o resultado esperado do lucro ou do custo, respectivamente, maximizado ou minimizado; x1é a quantidade a ser transportada da tinta interior; x2 é a quantidade da tinta exterior. Na equação, ainda segundo a fórmula, entram R$30,00/ kg, que é o preço de venda da tinta interior, e R$45,00, que é o preço de venda da tinta exterior.

02. Uso da fórmula Certa empresa distribui produtos com dois tipos de caminhões: P1 e P2. O lucro unitário da distribuição por P1 é de R$ 1.000 e o lucro unitário por P2 é de R$ 1.800. A empresa precisa de 20 litros de óleo combustível para utilizar P1 e de 30 litros de óleo combustível para utilizar P2. A quantidade disponível para isso é de 1.200 litros. A demanda esperada para a distribuição é de 40 pallets diários para P1 e 30 pallets diários para P2. Qual é a função objetivo para que a empresa maximize seu lucro nessas distribuições? Resolução Max Z = 1000x1 + 1800x2 Z é a função objetivo de maximização de lucro; x1 é a quantidade a ser distribuída de

capítulo 8

• 155

produto com lucro unitário de R$1.000 por P1 (um dos dois tipos de caminhão); x2 é a quantidade a ser distribuída de produto com lucro unitário de R$1.800 por P2 (o outro tipo de caminhão).

03. Uso da fórmula Baseado no texto a seguir informe a função objetivo que representa o modelo. Uma empresa pode distribuir dois produtos (1 e 2). Na distribuição do produto 1, a empresa gasta seis horas-homem e vinte litros de combustível. Na distribuição do produto 2, a empresa gasta uma hora-homem e trinta litros de combustível. A empresa dispõe de doze horas-homem e noventa litros de combustível para o período de distribuição. Sabe-se que os lucros líquidos da distribuição dos produtos são $1 e $3 respectivamente. Resolução Max. Z = 1 x1 + 3 x2 04. Uso da fórmula Qual a função objetivo do texto a seguir? Lucro por quilo do produto 1 = $1,00 x1= peso do produto 1 Lucro por quilo do produto 2 = $1,00 x2=peso do produto 2 Lucro por quilo do produto 3 = $ 2,00 x3 =peso do produto 3 Resolução Max. Z = x1 + x2 +2 · x3 Acesso ao WEBAULA em 02/05/2015

156 •

capítulo 8

9 Aplicações Matemáticas em Finanças

OBJETIVOS O aluno ao final desse capítulo deverá lograr conhecer as aplicações matemáticas em: •  risco sistemático e beta de carteiras de investimentos; •  CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros); •  WACC (custo de capital médio ponderado) / obtenção de capital; •  modelo de dividendos; •  análise de investimentos; •  alavancagem financeira; •  medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro.

158 •

capítulo 9

9.1  Risco sistemático e beta de carteira de investimentos

Risco da carteira Tkp

Tipos de risco •  Risco total do título = risco não diversificável + risco diversificável •  Risco diversificável: associado às causas randômicas, é atribuído a eventos específicos da empresa como greves, processos, ações regulatórias e perdas de um importante cliente. •  Risco não diversificável (ou sistemático): é atribuído a fatores de mercado que afetam todas as empresas e não pode ser eliminado por meio de diversificação. Fatores tais como guerras, inflação, incidentes internacionais e eventos políticos motivam o risco não diversificável. Esse é o único risco relevante.

Risco diversificável

Risco total

1

5

Risco não diversificável

10

15

20

25

N de títulos (ativos) na carteira o

Coeficiente beta (b): É utilizado para medir o risco não diversificável.

Retorno de mercado É o retorno da carteira de mercado de todos os títulos negociados. Ex.: Índice Bovespa

capítulo 9

• 159

Fórmula Prêmio pelo risco de uma ação = beta da ação x prêmio pelo risco de mercado

EXERCÍCIO RESOLVIDO 05. Uso de regressão linear Uso da fórmula Verificar, no gráfico, os betas das curvas dos ativos R e S e explicar qual dos dois é mais arriscado. Ativo S (2006)

35 30 25 20

(2003)

– 20 – 15 – 10 – 5 (1998) – 10

Ativo R

βS = 1,30

(2003)

15 10 5

(2005)

(2002) βR = inclinação = 0,80 10

15

20

25

30

35

– 15 – 20 – 25

Beta (β) derivado de dados de retorno

Resolução O beta mais alto do ativo S (1,30) em relação ao do ativo R (0,80) indica que o seu retorno é mais sensível à mudança dos retornos de mercado. E, portanto, o ativo S é mais arriscado que o ativo R. Prêmio pelo risco de mercado representa a remuneração adicional que os investidores esperam obter pelo fato de deterem ações ao invés de títulos de renda fixa. Esse risco de mercado está relacionado ao risco de uma carteira amplamente diversificada de ações onde não se corre riscos de problemas com uma empresa especifica, mas apenas de todo mercado.

160 •

capítulo 9

Beta da ação

•  Expressa o grau de risco de uma ação em relação a um portfólio de mercado (carteira de mercado) •  Se o retorno de uma ação flutua de forma idêntica ao retorno de mercado → beta = 1 •  Se uma ação sobe ou desce 1,5% quando o mercado sobe ou desce 1% → beta = 1,5 •  Uma ação pode subir ou descer menos que o mercado → beta < 1

06. Uso da fórmula Calcule os betas das ações, que possuem o seguinte comportamento no mercado e informe qual das duas é a mais volátil: 13. Cia. XZT → a ação sobe 0,5% quando o mercado sobe e 0,5% quando o mercado desce. 14. Cia. MKZ → a ação sobe e desce 1,5%, quando o mercado sobe e desce. Resolução A ação da Cia. MKZ é a mais volátil das duas, pois possui um beta maior (1,5) quando comparado a um beta de 0,5 da Cia. XZT.

9.2  CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros) CAPM (capital asset price model) – modelo de formação de preço de ativo de capital Fórmula E (Ri)= Rf + ßi [E(Rm) – Rf]

E (Ri) = retorno esperado sobre o ativo Rf = taxa livre de risco

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• 161

ß i = beta do ativo i E (Rm) = retorno esperado sobre a carteira de mercado. O retorno que os investidores esperam ganhar sobre um investimento patrimonial, dado o risco a ele inerente, torna-se o custo do patrimônio líquido para os gerentes da empresa.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 07. Uso da fórmula Em dezembro de 2002, a Pepsi Cola Co. possuía um beta de 1,06. A taxa das Letras do Tesouro, à época, era 3,35% a.a. Calcule o custo do patrimônio líquido, sabendo que o retorno esperado para o mercado americano é de 9,76%? Resolução E(R) = Rf + beta do patrimônio líquido (E [Rm] – Rf) E(R) = 3,35% + 1,06 (9,76% – 3,35%) = = 10,15% 08. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens Para o caso da Pepsi Cola Co. estudado no exercício 3, calcule o custo do patrimônio líquido para os diversos anos, sabendo que a estrutura a termo das Letras do Tesouro é: 1º ano = 4,00%

- 3º ano = 4,70%

2º ano = 4,40%

- 4º ano = 5,00%

Resolução: •  1º ano = 10,10% •  2º ano = 10,08% •  3º ano = 10,06% •  4º ano = 10,04% Carteira ótima com ativo livre de risco •  Ativo livre de risco, por definição, tem um retorno esperado que será sempre igual ao retorno efetivo, logo, variância zero. •  A ausência de variância (covariância = 0) implica uma correlação linear

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capítulo 9

Linha do mercado de capitais

Carteira eficiente de mercado

CAPM E SML (linha de mercado de títulos)

Aceitar (TIRprojeto > kprojeto VPL > 0) Taxa exigida de retorno (%)

Kprojeto = RF + [bprojeto x (Km – RF)]

Rejeitar (TIRprojeto < kprojeto VPL < 0)

bA bm

bB

Risco do Projeto

EXERCÍCIO RESOLVIDO 09. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens 1. Uma ação possui um beta de 1,5 com taxa livre de risco de 8% e prêmio pelo risco de mercado de 10,5%. Calcular o custo da ação ordinária. 2. Em dezembro de 2005, a MKZ possuía um beta de 1,05. A taxa das Letras Financeiras do Tesouro, à época, era 16,0% a.a. Calcule o custo do patrimônio líquido, sabendo que o retorno esperado para o mercado é de 19,0 %?

capítulo 9

• 163

3. Para o caso estudado no exercício anterior, calcule o patrimônio líquido para os diversos anos, sabendo que a estrutura a termo das Letras do Tesouro é: ano 1 = 16,25%, ano 2 = 16,5%, ano 3 = 16,75% e ano 4 = 17,0%. 4. O custo de capital próprio de uma empresa é de 11%. As ações da empresa possuem beta de 1,8 e uma taxa de mercado de 8%. Calcular a taxa livre de risco que contemple o custo de capital próprio da empresa. 5. Calcule a taxa de mercado sabendo que o custo de capital próprio de uma empresa é de 16,0%, seu beta é de 1,20 e a taxa livre de risco é de 12%. 6. O custo de capital próprio de uma empresa é de 15,5%. Calcular o beta de uma ação sendo a taxa livre de risco de 4,5% e o prêmio por risco de mercado de 8%. 7. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 17%, o coeficiente beta seja de 1,2 e a taxa de remuneração dos títulos públicos seja de 16%. Pede-se: qual o retorno esperado da ação? 8. O rendimento dos títulos públicos é de 20%, uma ação média tem no mercado uma taxa de 25% e o beta da empresa é de 1,2. Utilizando o modelo CAPM, calcule o custo da ação. 9. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 15%, o coeficiente beta seja de 0,0 e a taxa de remuneração do ativo livre de risco seja de 9%. Pede-se: qual o retorno esperado da ação? 10. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 10%, o coeficiente beta seja de –0,2 e a taxa de remuneração dos títulos públicos seja de 6%. Pede-se: qual o retorno esperado da ação? 11. Uma ação possui um beta de 1,2 com taxa livre de risco de 10% e o prêmio pelo risco de mercado seja de 12,5%. Calcular o custo da ação ordinária. 12. A taxa livre de risco fornecida pelos assessores de investimento da empresa XZT é de 7%; o beta da empresa é igual a 1,50; o retorno de mercado é igual a 11%. Calcule o custo da ação ordinária da XZT.

164 •

capítulo 9

13. Se o custo de patrimônio líquido de uma empresa é de 13%, seu beta é de 1,50 e a remuneração de títulos públicos é de 7%, qual a taxa de retorno oferecida pelo mercado? Gabarito 01. 11,75% 02. 19,15% 03. 19,13%, 19,12%, 19,11% e 19,10% 04. 4,25% 05. 15,33% 06. 3,14 07. 17,2% 08. 26% 09. 9% 10. 5,2% 11. 13% 12. 13% 13. 11%

9.3  WACC (Custo de capital médio ponderado) /Obtenção de capital Custo de capital da empresa – WACC (weighted average cost of capital) Intuitivamente: é a média ponderada dos diversos custos em que a empresa incorre para se financiar. Incluindo: custo do endividamento é o custo que o acionista busca pelo seu capital de risco. Fórmula WACC = Ke [E/(E+D)] + Kd [D/(E+D)]

capítulo 9

• 165

WACC = custo de capital médio ponderado Ke = custo do capital próprio Kd = custo do endividamento após impostos E/(E+D) = proporção em valor de mercado do patrimônio líquido em relação ao valor do mix total D/(E+D) = proporção em valor de mercado da Dívida em relação ao valor do mix total Concluindo Kb é o custo de capital de terceiros e Tc é a alíquota de Imposto de Renda. Assim, Kd = Kb X (1- Tc)

EXERCÍCIO RESOLVIDO 10. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens Qual o custo de capital médio ponderado da empresa? A empresa tem: •  custo de capital próprio = 10 % •  custo de capital de terceiros = 20% •  alíquota do IR = 40 % •  patrimônio líquido = $ 8.000.000 •  dívida = $ 10.000.000 WACC = 10% X [8.000.000/(8.000.000+10.000.000)] + + 12% X {[10.000.000/(8.000.000+10.000.000)] x (1 – 0,40) } = 4,44% + 4,00% = 8,44%

11. Aplicação de operações aritméticas e expressões – Porcentagens Calcular o custo de capital médio ponderado de uma empresa que tem a seguinte estrutura de capital: 50% de capital próprio e 50% em obrigações, sabendo que o custo de capital próprio é de 15% e o de terceiros (já descontado o IR) é de 18%. WACC = 0,5 X 15% + 0,5 X 18% = 16,5 % 12. Exercícios (para fixação) 1. Uma empresa capta 10% de seus recursos em ações preferenciais, 40% em ações ordinárias e 50% em obrigações. O custo de capital próprio é de 13%, das ações

166 •

capítulo 9

preferenciais (quase capital de terceiros) é de 8% e de capital de terceiros é de 12%. Calcule o WACC. 2. Considerando o IR de 20%, calcular o custo de capital médio ponderado com base no exercício anterior. 3. A. M. Silva possui um custo de capital médio ponderado de 20,5%. A empresa possui uma estrutura de capital composta de 15% de ações preferenciais, 40% de dívidas e obrigações e o restante de ações ordinárias. Qual deverá ser o custo das ações ordinárias, se o custo das preferenciais é de 22,5% e das obrigações após o IR é de 16%? 4. De acordo com a tabela abaixo, calcule o custo ponderado de capital considerando um IR de 35%.

AÇÕES PREFERENCIAIS AÇÕES ORDINÁRIAS OBRIGAÇÕES

COMPOSIÇÃO

CUSTO

15%

10%

60%

12%

25%

8%

5. O administrador financeiro da empresa de Vidros Transparentes determinou os vários custos de capital, de acordo com suas fontes e custos relativos, a saber:

FONTES DE CAPITAL EMPRÉSTIMO DE LONGO PRAZO AÇÕES PREFERENCIAIS AÇÕES ORDINÁRIAS

CUSTO

PARTICIPAÇÃO

17%

40%

20%

10%

22%

50%

Em vista do custo de capital e supondo-se inalterado o nível de risco, a empresa deve aceitar todos os projetos que obtenham um retorno maior ou igual a qual percentual? 6. Qual o custo de capital médio ponderado da pousada Porto Seguro, considerando o quadro abaixo?

FONTES DEBÊNTURES EMPRÉSTIMOS AÇÕES PREFERENCIAIS CAPITAL PRÓPRIO

CUSTO

PROPORÇÃO

15%

8%

12%

22%

16%

30%

20%

40%

capítulo 9

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7. A Gama Co. possui uma estrutura de capital composta de 30% de ações ordinárias, 10% de ações preferenciais e o restante em obrigações. Dado que o retorno das ações ordinárias é de 15%, das ações preferenciais é de 9%, qual deverá ser o retorno das obrigações para que o WACC seja de 16,5%? (Obs.: IR de 20%) 8. A Esperança possui uma estrutura de capital composta de 50% de ações ordinárias, 5% de ações preferenciais e o restante de obrigações emitidas. Considerando o retorno das ações ordinárias de 15%, das preferenciais de 7%, qual deverá ser o retorno das obrigações para que o WACC seja de 12,5%? 9. Uma empresa financeira tem os seguintes valores estabelecidos em seu balanço patrimonial: dívida $ 600.000 e ações $ 100.000. Calcule os pesos da estrutura de capital dessa empresa. 10. Se o custo da dívida após o imposto de renda é de 10% e o custo da ação ordinária é de 12%, calcule o custo de capital médio ponderado do exercício anterior. 11. A empresa Puro Ar compilou a informação mostrada na tabela baixo:

FONTES DE CAPITAL DÍVIDA DE LONGO PRAZO AÇÕES PREFERENCIAIS AÇÕES ORDINÁRIAS TOTAL

VALOR CONTÁBIL $

CUSTO (%)

4.100.000

6,0%

40.000

13,0%

1.060.000

17,0%

5.200.000

Calcule o custo de capital médio ponderado da empresa. 12. Com base nas seguintes informações sobre a empresa MKZ, responda qual o custo de capital médio ponderado da empresa:

a) dívidas = valor de face $ 13.000, sendo o custo da dívida de 5%



b) ações ordinárias = $ 36.000, sendo o seu custo de 25%



c) ações preferenciais = $ 21.000, sendo o seu custo de 30%

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capítulo 9

13. A empresa Stotani apresenta a seguinte estrutura mostrada na tabela a seguir:

FONTE DE CAPITAL DÍVIDA A LONGO PRAZO AÇÃO PREFERENCIAL AÇÕES ORDINÁRIAS TOTAL

VALOR DE MERCADO $

%

2.840.000

8,0

200.000

9,5

2.000.000

14,0

5.040.000

Calcule o WACC da empresa. 14. A partir das informações da empresa TATI, calcule a sua estrutura de capital:

FONTE DE CAPITAL EMPRÉSTIMOS A LONGO PRAZO AÇÕES PREFERENCIAIS AÇÕES ORDINÁRIAS

VALOR DE MERCADO $

CUSTO

350.000

20%

300.000

30%

120.000

25%

15. Calcule o WACC da empresa do exercício anterior. 16. Calcular o valor do WACC da empresa Sixel que compilou a informação mostrada na tabela abaixo:

FONTE DE CAPITAL DÍVIDA A LONGO PRAZO AÇÃO PREFERENCIAL AÇÕES ORDINÁRIAS TOTAL

VALOR DE MERCADO $

%

3.940.000

6,0

60.000

13,0

3.000.000

17

7.000.000

17. Calcular o valor do WACC da empresa do exercício anterior, considerando a alíquota de 30% de imposto de renda. 18. A Rigid Tool tem em seus livros os seguintes montantes e custos específicos (depois do imposto de renda) para cada fonte de capital:

FONTES DE CAPITAL EMPRÉSTIMOS A LONGO PRAZO AÇÕES PREFERENCIAIS AÇÕES ORDINÁRIAS

VALOR CONTÁBIL $

CUSTO ESPECÍFICO

700.000

5,3%

50.000

12,0%

650.000

16.0%

capítulo 9

• 169

Calcule o custo de capital médio ponderado, usando pesos baseados no valor contábil e explique como a empresa pode usar esse custo no processo de decisões de investimento. Gabarito 01. WACC = 10% X 8% + 40% X 13% + 50% X 12% = 12% 02. WACC = 10% X 8% (1-20%) + 40% X 13% + 50% X 12% (1-20%) = 10,64% 03. 20,5%= 5% X 22,5% + 40% X 16% + 45% X K = 1,125 + 6,4 + 45% K K = 12,475/45% = 27,72% 04. 9,475 % 05. 19,8% 06. 16,64% 07. WACC = 30% X 15% + 10% X 9% X (1-20%) + 60% X 16,5% X (1 -20%) = 13,14% 08. 50% X 15% + 5% X 7% + 45 % X K% = 12,5% K = 10,33% 09. Capital próprio = 14,28%; dívida = 85,72% 10. WACC = 10,28% 11. WACC = 8,29% 12. WACC = 22,78% 13. WACC = 10,44% 14. 45,45% de empréstimos a longo prazo; 38,96% de ações preferenciais; 15,59% de ações ordinárias 15. 45,45% X 20% + 38,96% X 30% + 15,59% X 25% = 24,67% 16. 10,77% 17. 9,71% 18. WACC = 10,5%. A empresa deve aceitar qualquer projeto que dê retorno acima de 10,5%. 1.000 Perguntas de Finanças, Cláudio Maciel e Débora Vides, IOB Thompson, 2005

9.4  Modelo de dividendos Modelo geral Quando os investidores compram ações, geralmente esperam obter dois tipos de fluxo de caixa: os dividendos durante o período em que conservam as ações e o preço esperado ao final deste período. Como este preço esperado é dado pelos dividendos futuros, o valor de uma ação é o valor presente dos

170 •

capítulo 9

dividendos até o infinito. Fórmula Valor esperado da ação: t =∞

∑

t =1

DPS

( 1 + r )t

Modelo de crescimento zero Se DPS1 representa o montante de dividendos anuais com crescimento zero, então a equação poderia se reduzir a: Fórmula:

(

)

t =∞ t P0 =DPS1 × ∑ t =1 1 / (1 + r )  = DPS1 × FJVPA r,n = DPS1 / r  

A equação mostra que, com crescimento zero, o valor da ação poderia igualar-se ao valor presente de uma perpetuidade DPS1 unidades monetárias, descontada a taxa r.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 13. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações Espera-se que os dividendos da Denham Company permaneçam constantes a $ 3 por ação indefinidamente. Se o retorno exigido sobre suas ações for de 15%, o valor das ações será: Resolução $ 20 = ($ 3/0, 15) Modelo de crescimento constante Suponha que os dividendos crescerão a uma taxa constante, g, menor que o retorno exigido r; onde DPS0 representa o dividendo mais recente. Fórmula: 1 1 2 2 ∞ ∞ P0 = DPS0 × (1+ g)  / (1+ r ) + DPS0 × (1+ g)  / (1+ r ) + ........... + DPS0 × (1+ g)  / (1+ r )      

capítulo 9

• 171

Se simplificarmos, a equação poderá ser escrita da forma a seguir, que é o modelo simplificado de Gordon. Fórmula:

P0 = DPS1/r – g Sendo DPS1 = DPS0 x (1 + g)

DPS = dividendos esperados daqui a um ano = DPS0 (1 + g) r = taxa exigida de retorno para investidores em patrimônio líquido g = taxa de crescimento perpétua dos dividendos

14. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações A Lomar Company pagou dividendos por ação cujo crescimento determinado pela série de 2009 a 2014 foi de 7%. A empresa estima que seus dividendos em 2015, DPS1, serão iguais a $ 1,50. Suponha que o retorno exigido, r, seja de 15 %. O valor da ação será: Resolução P0 = $ 1,50 / 0,15 – 0,07 = $ 18,75 por ação 15. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações A Alfa Ltda. possui uma taxa de capital próprio de 14%. A taxa de crescimento é de 8% e o valor do último dividendo pago foi de $ 4,50. Calcular o preço atual da ação. Resolução DPS0 (1+g) / r – g = P0 $ 4,50 (1+0,08) / 0,14 – 0,08 = $ 81 16. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens A empresa XZK possui ações ordinárias cotadas em $ 10; ela pagou dividendos de $ 0,50 por ação e estima crescimento dos dividendos de 3%; então, o custo da ação será:

172 •

capítulo 9

Resolução P0 =

(

) = 10 → r = 0, 0815 ou 8,15%

0, 5 1+ 0, 03 r − 0, 03

Embora o modelo de crescimento de Gordon seja uma abordagem simples e poderosa para avaliar o patrimônio líquido, seu uso é limitado a empresas que estejam crescendo a uma taxa de crescimento estável. Como se espera que a taxa de crescimento dos dividendos de uma empresa dure para sempre, também se pode esperar que as outras medições de desempenho da empresa (inclusive os lucros) cresçam à mesma taxa. Qual taxa de crescimento é razoável como uma taxa de crescimento “estável”? Não há limites inferiores, lógicos ou matemáticos. Uma taxa de crescimento estável tem que ser constante ao longo do tempo?

Taxa de crescimento decrescente

Taxa de crescimento estável

17. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens Para o caso Pepsi, calcule o valor das ações hoje, supondo que o dividendo por ação para os próximos 4 anos será: 1º ano = $ 21,00

3º ano = $ 23,00

2º ano = $ 27,00

4º ano = $ 25,00

Resolução Valor esperado da ação: [$ 21 / (1+10,15%)1 ] + [ $ 27 / (1+10,15%)2 ] + [ $ 23 / (1+10,15%)3] + + [$ 25 / (1+10,15%)4] = = $ 19,06 + $ 22,25 + $ 17,21 + $ 16,98 = $ 75,5

capítulo 9

• 173

Valor da empresa Fórmula

Valor da empresa=∑

CF da empresa

(

1+ WACC

)

t

t

t variando de 1 até ∞ CF da empresat = fluxo de caixa da empresa esperado no período t WACC = custo de capital médio ponderado

18. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens A Abaeté tinha em 2007 um patrimônio líquido contábil de R$ 6,4 milhões e o seu valor de mercado era R$ 30 milhões. O valor contábil das dívidas era R$ 9 milhões, enquanto o seu valor de mercado era R$ 8,9 milhões. Suponha que o custo de capital do patrimônio líquido era de 18,83% a.a. e o custo das dívidas antes do pagamento de impostos era de 12,28% a.a. Calcule o custo de capital ponderado considerando a ponderação pelo valor de mercado e pelo valor contábil. (a alíquota de imposto de renda é 40%) Ponderação pelo valor de mercado

PESO A VALOR DE MERCADO

CUSTO DE CAPITAL

CUSTO DE CAPITAL APÓS OS IMPOSTOS

PRODUTO

8.900

22,9%

12,28%

12,28% (1 – 0, 40) = 7,37%

1,69%

30.000

77,1%

18,83%

18,83%

14,52%

FONTE DE VALOR DE MERFINANCIAMENTO CADO EM MIL DÍVIDA PATRIMÔNIO LÍQUIDO TOTAL CUSTO DE CAPITAL PONDERADO

174 •

38.900

capítulo 9

16,21%

Ponderação pelo valor contábil

PESO A VALOR DE MERCADO

CUSTO DE CAPITAL

CUSTO DE CAPITAL APÓS OS IMPOSTOS

PRODUTO

9.000

58,4%

12,28%

12,28% (1 – 0, 40) = 7,37%

4,30%

6.400

41,6%

18,83%

18,83%

7,83%

FONTE DE VALOR DE MERFINANCIAMENTO CADO EM MIL DÍVIDA PATRIMÔNIO LÍQUIDO TOTAL CUSTO DE CAPITAL PONDERADO

15.400 12,13%

9.5  Análise de investimentos Valor presente líquido (VPL) O valor presente líquido é obtido subtraindo-se o investimento inicial (II) do valor presente das entradas de caixa (FCt), descontadas a uma taxa igual ao custo de capital da empresa (K). Fórmula: n

CFj

j=1

(1+ i)

VPL = ∑

j

− CF0

CF é o fluxo de caixa no tempo j e no tempo 0 e i é igual à taxa de juros utilizada.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 19. Uso da fórmula Seja o caso de uma empresa que possui um custo de capital de 10% e deseja aceitar um de dois projetos, cujos padrões são apresentados (graficamente) como padrão de fluxo de caixa convencional e padrão de fluxo de caixa não convencional, a seguir:

capítulo 9

• 175

- projeto (A) → anuidade - projeto (B) → série mista Componentes do fluxo de caixa Padrão convencional (anuidade)

Entradas de caixa

$ 14.000

1

0

Saídas de caixa

$ 14.000

$ 14.000

2

$ 14.000

3

$ 14.000

4

5

$ 42.000

Padrão não convencional (série mista)

Entradas de caixa operacionais

$ 28.000

1

0

$ 12.000

2

$ 10.000

3

$ 10.000

4

$ 10.000

5

$ 45.000 Investimento inicial (II)

Qual dos dois projetos (A) ou (B) deve ser aceito pela empresa e por qual razão? Resolução Cálculo dos VPLs para as alternativas de investimento: Projeto A Entrada de caixa anual

$ 14.000

X FJVPA10%,5 Valor presente das entradas de caixa

3,791

$ 53.074

- Investimento inicial 42.000 Valor presente líquido (VPL)

176 •

capítulo 9

$ 11.074

Projeto B

ANO

ENTRADA DE CAIXA

FJVP10%,5

VALOR PRESENTE

1 2 3 4 5

$ 28.000 12.000 10.000 10.000 10.000 Valor presente das entradas de caixa - investimento inicial

0,909 0,826 0,751 0,683 0,621

$ 25.452 9.912 7.510 6.830 6.210 $ 55.914 45.000 $ 10.914

Valor presente líquido (VPL)

PELA HP 12 C 45.000 CHS g Cfo

Concluindo:

28.000 g CFj

Se o VPL for maior que zero, aceita-se

12.000 g CFj

o projeto; se for menor, rejeita-se o projeto. Se for maior que zero, obterá um retor-

10.000 g CFj

no maior que seu custo de capital.

10.000 g CFj 10.000 g CFj 10

i

f NPV ≈ 10.924 Assim, o projeto (A) deve ser aceito, por possuir um VPL maior que o do projeto (B). Taxa interna de retorno (TIR) A TIR é definida como a taxa de desconto que iguala o VPL do investimento a zero (já que o valor presente das entradas de caixa é igual ao investimento inicial). Fórmula:

$0 =

n t=1

FC1

(1+TIR)

t

II, tal que: Período de payback (simplificação para anuidade)

FJVPA(TIR, n) =

II FC t

capítulo 9

• 177

20. Uso da fórmula Baseando-se no exercício 1 da empresa que tem o custo de capital de 10%, entrada de caixa anual de $ 14.000 e investimento inicial de $ 42.000, qual é taxa interna de retorno do investimento? Resolução O passo a passo para encontrar a TIR (método de tentativa e erro) é: Passo 1: dividindo-se o II de $ 42.000 pelo FCt de $ 14.000, obtém-se um período de payback de 3 anos. Passo 2: na tabela de FJVPA (TIR, n) , os fatores mais próximos de 3 para 5 anos são: 3,058 para 19% e 2,991 para 20%. Portanto, a TIR com a aproximação de 1% (aceitável) está entre 19% e 20%, estando bastante acima do custo de capital de 10% da empresa. Pela HP 12 C

Concluindo:

42.0000 CHS g CFo

Se a TIR for maior do que o custo de

14.0000 g CFj

capital. aceita-se o projeto; se for menor,

5 g Nj

rejeita-se o projeto.

f IRR Período de payback A sua principal deficiência é não se basear em fluxos de caixa descontados para verificar se eles adicionam valor à empresa. É, simplesmente, um período de tempo máximo aceitável quando o projeto alcança o seu “ponto de equilíbrio”. Falha ao deixar de considerar o valor de dinheiro no tempo. Fórmula: PB =

178 •

capítulo 9

Custos do Projeto/Investimento Entradas de caixa do per odo

21. Uso da fórmula Considerando os projetos X e Y da tabela a seguir, qual deles deve ser aceito pela empresa XZT, levando em conta somente o período de payback. Cálculo dos períodos de payback para dois projetos x e y que são alternativos

INVESTIMENTO INICIAL ANO 1 2 3 4 5

PROJETO X $ 10.000

PROJETO Y $ 10.000 ENTRADAS DE CAIXA

$ 5.000 5.000 1.000 100 100

$ 3.000 4.000 3.000 4.000 3.000

Resolução O projeto X tem investimento de $ 10.000, sendo que as entradas de caixa dos anos 1 e 2, cada uma de $ 5.000, fazem com que o payback (período em que retorna o investimento) seja de exatos dois anos. O projeto Y, com o mesmo investimento de $ 10.000, somente terá o retorno do investimento em três anos (a soma de: $ 3.000 do ano 1, $ 4.000 do ano 2 e $ 3.000 do ano 3). O projeto X seria preferível ao Y, embora a abordagem ignore as entradas de caixa de, apenas $ 1.200 de X, nos anos 3, 4 e 5, contra $ 7.000 de Y nos anos 4 e 5. 22. Os presentes exercícios tratam de valor presente líquido, taxa interna de retorno e período de payback. 1.

Utilizando a técnica do VPL, qual dentre os dois projetos A e B, a seguir, é o melhor? O projeto A retorna uma entrada de caixa anual de $ 14.000 (utilize o fator de anuidade

FJVPA10%,5 = 3,791) e tem investimento inicial de $ 42.000. O projeto B tem o mesmo investimento inicial do projeto A e retorna a seguinte série de FCt : $ 26.000, $ 10.000, $ 10.000, $ 10.000 e $ 12.000 (utilize os fatores de valor presentes FJVP10%,1 = 0,909, FJVP10%,2 = 0,826, FJVP10%,3 = 0,751, FJVP10%,4 = 0,683 e FJVP10%,5 = 0,621). 2.

(Maciel, C. e Vides, D., 1.000 Perguntas – Finanças, Rio de Janeiro, Ed. Rio; IOB Thomp-

son, 2006) Calcule o VPL para os projetos seguintes de 20 anos e comente a aceitação de cada um, presumindo que o custo de oportunidade da empresa seja de 14%:

capítulo 9

• 179

2.1. Os fluxos de entrada de caixa são de $ 2.000 por ano e o investimento inicial é de $ 10.000 (Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.) 2.2. Os fluxos de entrada de caixa são de $ 3.000 por ano e o investimento inicial é de $ 25.000 (Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.) 3.

(Maciel, C. e Vides, D., 1.000 Perguntas – Finanças, Rio de Janeiro, Ed. Rio; IOB Thomp-

son, 2006) A empresa Mel está considerando uma nova máquina para misturar fragrâncias. A máquina exige um investimento inicial de $ 24.000 e vai gerar fluxos de caixa de $ 5.000 ao ano, por 8 anos. Calcule o VPL para o custo de capital de 10%. (Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.) 4.

Calcule o VPL do exercício anterior para o custo de capital de 12%. (Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)

5.

Calcule o VPL do mesmo exercício para o custo de capital de 14%. (Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)

6.

A empresa XYZ tem um custo de capital de 10% e está avaliando, pelo VPL, se aceita

ou rejeita o projeto A, cujo investimento inicial é de $ 18.000 e os FCt , para os anos 1, 2 , 3, 4 e 5 são, respectivamente, $ 3.000, $ 4.000, $ 6.000, $ 5.000 e $ 1.000. Utilize os mesmos fatores de valor presente do exercício 1. 7.

A mesma empresa resolveu avaliar, usando a técnica de período de payback, o projeto

B, de mesmo investimento inicial ($ 18.000). Sabendo que está prevista uma entrada de caixa anual de $ 6.000 nos próximos cinco anos, a XYZ deve aceitá-lo ou rejeitá-lo? Comente sua decisão. 8.

Comente a decisão a ser tomada pela empresa XYZ, para aceitar um dos dois proje-

tos acima (A e B são mutuamente excludentes, isto é, aceitar um significa rejeitar o outro). Considere, apenas para essa questão, que as duas técnicas de avaliação empregadas sejam perfeitamente comparáveis.

180 •

capítulo 9

9.

Se houver interesse em continuar a avaliar somente o projeto B, utilizando a TIR (taxa

interna de retorno), a empresa XYZ deverá aceitá-lo ou rejeitá-lo? Sabe-se que: •  anuidades = $ 6.000 •  vida do projeto = 5 anos •  custo de capital = 10% •  fatores de anuidade FJVPA16%,5 = 3,274, FJVPA17%,5 = 3,199, FJVPA18%,5 = 3,127, FJVPA19%,5 = 3,058, FJVPA20%,5 = 2,991 Comente sua decisão, aceitando a aproximação de 1% na taxa de retorno. 10. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adaptado de: A Fitch Industries está em um processo de escolha do melhor, dentre dois projetos – M e N – de investimento mutuamente excludentes. Os fluxos de caixa relevantes para cada projeto são apresentados a seguir. O custo de capital da empresa é de 14%. Projeto M Projeto N Investimento Inicial (II)

$ 28.500

Ano (t)

Entradas de caixa (FCt)

$ 30.000

1 $ 10.000 $ 11.000 2 $ 10.000 $ 10.000 3 $ 10.000 $ 9.000 4 $ 10.000 $ 8.000

10.1. Calcule o período de payback para cada projeto. 10.2. Calcule o VPL (valor presente líquido) para cada projeto. 10.3. Calcule a TIR (taxa interna de retorno) para cada projeto. Obs.: utilize no cálculo os fatores de valor presente FJVP14%,1 = 0,877; FJVP14%,2 = 0,769; FJVP14%,3 = 0,675; FJVP14%,4 = 0,592; e os fatores de anuidade FJVPA16%,4 = 2,798; FJVPA15%,4 = 2,855; FJVPA14%,4 = 2,914; FJVPA13%,4 = 2,974; FJVPA12%,4 = 3,037 11. Faça um resumo das preferências determinadas, de acordo com cada técnica e indique qual projeto (M ou N) você recomendaria. Explique por quê. 12. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adaptado de: Calcule o valor presente líquido para os seguintes projetos, que têm vidas de vinte anos.

capítulo 9

• 181

Comente a aceitabilidade de cada um deles. Suponha que a empresa tenha um custo de oportunidade de 14%. a) Investimento inicial de $ 10.000; entradas de caixa de $ 2.000 ao ano b) Investimento inicial de $ 25.000; entradas de caixa de $ 3.000 ao ano c) Investimento inicial de $ 30.000; entradas de caixa de $ 5.000 ao ano Obs.: utilize no cálculo o fator de anuidade FJVPA14%,20 = 6,623 13. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adaptado de: A Neil Corporation tem três projetos em análise. Seus fluxos de caixa são apresentados no quadro a seguir. A empresa tem um custo de capital de 14%. Projeto A Projeto B Projeto C Investimento Inicial

$ 40.000

Ano (t)

Entradas de caixa

$ 40.000

$ 40.000

1 $ 13.000 $ 7.000 $ 19.000 2 13.000 10.000 16.000 3 13.000 13.000 13.000 4 13.000 16.000 10.000 5 13.000 19.000 7.000 a) Calcule o período de payback para cada projeto. Qual deles é o preferido de acordo com esse método? b) Calcule o valor presente líquido para cada projeto. Qual deles é o preferido de acordo com esse método? c) Comente os resultados obtidos em a e b e faça a recomendação do melhor projeto. Explique a sua escolha. Obs.: Utilize no cálculo os fatores de valor presente FJVP14%,1 = 0,877; FJVP14%,2 = 0,769; FJVP14%,3 = 0,675; FJVP14%,4 = 0,592; FJVP14%,5 = 0,519; e o fator de anuidade FJVPA14%,5 = 3.433 Resolução 01. O projeto B é o melhor. 2.1 $ 3.246. O VPL é positivo; portanto, aceita-se o projeto. Os passos para o cálculo são: 10.000 CHS g CF0; 2.000 g CFj; 20 g Nj; 14 i; f NPV. 2.2 -$ 5.130. O VPL é negativo; portanto, rejeita-se o projeto. Os passos para o cálculo

182 •

capítulo 9

são: 25.000 CHS g CF0; 3.000 g CFj; 20 g Nj; 14 i; f NPV. 02. $ 3.947. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 10 i; f NPV. 03. $ 1.920. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 12 i; f NPV. 04. $ 117. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 14 i; f NPV. 05. Rejeitar A. 06. Aceitar A. O período de payback não leva em conta os fluxos de caixa descontados. 07. O VPL é uma técnica mais confiável, pois leva em conta os fluxos de caixa descontados. 08. Aceitar B. O projeto dá retorno entre 19% e 20%, que são taxas muito maiores que o custo de capital da empresa (10%). 09. 1.1. 2,85 anos para o projeto M e 3 anos para o projeto N; 1.2. $ 640 para o projeto M e -$ 1.852 para o projeto N; 1.3. ≈15% para o projeto M e entre 12% e 13% para o projeto N. 10. Por qualquer uma das técnicas empregadas, o projeto M é o melhor.

10.1. $ 3.246; b) -$ 5.131; c) $ 3.115



10.2. projeto C; b) projeto C; c) Em ambas as técnicas, o projeto C resultou me-

lhor; esse é um caso em que o apelo intuitivo do período de payback, resultando como critério simplificado e básico de decisão, traria bons resultados como complemento a técnicas de decisão mais sofisticadas (por exemplo: o valor presente líquido).

9.6  Alavancagem financeira (de J. Gitman, Princípios de Administração Financeira, Harbra Edit.) A alavancagem financeira resulta da presença de encargos financeiros fixos no fluxo de lucros da empresa. Pode-se definir a alavancagem financeira como a capacidade da empresa para usar encargos financeiros fixos a fim de maximizar os efeitos de variações no lucro antes dos juros e impostos (LAJIR) sobre os lucros por ação (LPA) da empresa. Os dois encargos financeiros fixos que podem ser encontrados na demonstração do resultado são (1) juros sobre empréstimos e (2) dividendos de ações preferenciais. Esses encargos devem ser

capítulo 9

• 183

pagos independentemente do montante de LAJIR disponível para pagá-los. O exercício a seguir ilustra como funciona a alavancagem financeira.

Alavancagem financeira A capacidade da empresa para usar encargos financeiros fixos a fim de maximizar os efeitos de variações no lucro antes dos juros e impostos (LAJIR) sobre os lucros por ação (LPA) da empresa.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 23. Aplicação da demonstração de resultado A Chen Foods, uma pequena empresa de comida chinesa, espera lucros antes dos juros e impostos de $ 10.000 no ano corrente. Ela tem um título de dívida de $ 20.000 com uma taxa de juros anuais do cupom de 10% e 600 ações preferenciais em circulação, com $ 4 de dividendo anual por ação. Possui ainda 1.000 ações ordinárias em circulação. Os juros anuais sobre a emissão de títulos são de $ 2.000 (0,10X$ 20.000). Os dividendos anuais sobre as ações preferenciais são de $ 2.400 ($ 4,00/ação X 600 ações). O quadro 1 apresenta os lucros por ação correspondentes aos níveis de lucros antes dos juros e impostos de $ 6.000, $ 10.000 a $ 14.000, supondo que a empresa esteja na faixa de 40% de imposto de renda. Duas situações são ilustradas no quadro. Caso 1 – Um aumento de 40% no LAJIR (de R$ 10.000 para $ 14.000) resulta num acréscimo de 100% nos lucros por ação (de R$ 2,40 para $ 4,80). Caso 2 – Uma queda de 40% no LAJIR (de $ 10.000 para $ 6.000) resulta num decréscimo de 100% nos lucros por ação (de $ 2,40 para $ 0). Resolução LPA para vários níveis de LAJIR

184 •

Caso 2

Caso 1

– 40%

+40%

LAJIR

$ 6.000

Menos: juros (J)

2.000

capítulo 9

$ 10.000 2.000

$ 14.000 2.000

Lucro antes do imposto de renda

4.000

$ 8.000

$ 12.000

Menos: imposto de renda

1.600

3.200

4.800

$ 2.400

$ 4.800

$ 7.200

$ 2.400

$ 2.400

$ 2.400

$ 2.400

$ 4.800

(T=0,40) Lucro líquido depois do imposto de renda Menos: dividendos de ações preferenciais (DP)

Lucro disponível para acionistas (LAC) Lucro por ação (LPA)

$

0

$0 1.000 = 0

$

$ 2.400 1.000 = $

$ 4.800 1.000 = $ 4,80

2,40 -100%

+100%

Gitman, J – Princípios de Administração Financeira, Harbra, SP, 2007. O efeito da alavancagem financeira é tal que um aumento do LAJIR da empresa acarreta um aumento mais do que proporcional nos lucros por ação, enquanto uma queda no LAJIR da empresa resulta num decréscimo mais do que proporcional no LPA. Medição do grau de alavancagem financeira O grau de alavancagem financeira (GAF) é a medida numérica da alavancagem financeira da empresa. A seguinte equação representa uma forma alternativa de medir o GAF. Fórmula:

GAF =

Variação percentual no LPA Variação percentual no LAJIR

Sempre que a variação percentual no LPA resultante de uma dada variação no LAJIR for maior que a variação percentual no LAJIR, verifica-se a existência de alavancagem financeira. Isso significa que, sempre que o GAF for superior a 1, há alavancagem financeira.

capítulo 9

• 185

24. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens Aplicando a fórmula aos casos 1 e 2 do quadro LPA para vários níveis de LAJIR, anterior, calcule o grau de alavancagem financeira de cada caso: Resolução

Caso 1:

+100% = 2, 5 +40%

Caso 1:

−100% = 2, 5 −40%

Em ambos os casos, o quociente é maior do que 1 e existe alavancagem financeira. Quanto maior for esse quociente, maior será grau de alavancagem financeira. Uma fórmula mais direta para calcular o grau de alavancagem financeira a um determinado nível de LAJIR é dada na Equação 2, usando a notação do quadro LPA para vários níveis de LAJIR. Note que na equação abaixo o termo

1 1− T converte o dividendo da ação preferencial depois do imposto para um montante antes do imposto, a fim de se tornar compatível com os outros termos da equação. Fórmula

GAF em um determinado nível de LAJIR =

LAJIR  1  LAJIR − J − DP ×  1− T  

25. Uso da fórmula Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens Substituindo LAJIR = $ 10.000, J = $ 2.000, na fórmula GAF em um determinado nível de LAJIR, obtém-se o seguinte resultado:

186 •

capítulo 9

= $ 2.400 e a alíquota do imposto de renda (T=0,40) na GAF a $ 10.000 LAJIR

=

$ 10.000 $ 10.000 = = 2, 5  1  $ 4.000 $ 10.000 − $ 2.000 − $ 2.400 ×  1− 0,40  

Note que a fórmula de GAF em um determinado nível de LAJIR fornece um método mais direto para calcular o grau de alavancagem financeira que a abordagem apresentada anteriormente.

9.7  Medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro Liquidez É a capacidade de transformar um bem ou uma obrigação em dinheiro. Mede a capacidade de pagamento da empresa, ou seja, de saldar seus compromissos de imediato, a curto prazo e a longo prazo. Fórmulas LIQUIDEZ GERAL =

ATIVO CIRCULANTE + REALIZ`VEL A LONGO PRAZO PASSIVO CIRCULANTE + EXIG VEL A LONGO PRAZO

LIQUIDEZ CORRENTE =

LIQUIDEZ SECA =

ATIVO CIRCULANTE PASSIVO CIRCULANTE

ATIVO CIRCULANTE − ESTOQUES PASSIVO CIRCULANTE

LIQUIDEZ IMEDIATA =

DISPON VEL PASSIVO CIRCULANTE

capítulo 9

• 187

26. Uso das fórmulas – aplicação de frações A partir dos dados da empresa a seguir, calcule os quatro índices de liquidez principais. BP da empresa MKZ – Exercício findo em 31/12/2020XX

ATIVO CIRCULANTE Disponibilidade

PASSIVO CIRCULANTE

20.000

Fornecedores

Clientes

130.000

Estoques

90.000

80.000

Outras obrigações de curto prazo 70.000

Ativo realizável a longo prazo

Passivo exigível a longo prazo

Empréstimos a coligadas

Financiamentos

42.000

Ativo não circulante

85.000

Patrimonio líquido

Imobilizado

68.000

Diferido

10.000

Total do ativo

360.000

Capital e reservas

125.000

Total do passivo + pl

360.000

Resolução

LIQUIDEZ GERAL =

$ 240.000 + $ 42.000 =12 , $ 150.000 + $ 85.000

LIQUIDEZ CORRENTE =

LIQUIDEZ SECA =

$ 240.000 = 16 , $ 150.000

$ 240.000 − $ 90.000 =10 , $ 150.000

LIQUIDEZ IMEDIATA =

$ 20.000 = 0,13 $ 150.000

27. Abaixo se encontra o Balanço Patrimonial da empresa Abstrata.

ATIVO

2003

2004

PASSIVO

2003

2004

Circulante Disponível Contas a receber

549.064 57.475

675.453 60.717

Circulante Fornecedores

322.061 44.010

569.392 64.580

95.827

131.533

Contas a pagar

89.672

205.445

188 •

capítulo 9

Estoque de mercadorias Outras contas a receber

262.500

483.203

Outras obrigações

188.379

299.367

35.581

5.197

35.581

5.197

417.379

514.588

242.909

323.243

174.470

191.345

775.021

1.089.177

133.262

Realizável a longo prazo Empréstimos à coligadas

25.005

28.898

25.005

28.898

Permanente

200.952

384.826

Investimento

50.585

33.416

Imobilizado

141.852

319.333

Diferido ATIVO TOTAL

8.515 775.021

32.077 1.089.177

Exigível a longo prazo Empréstimos e financiamentos Patrimônio Líquido Capital social Lucros acumulados PASSIVO TOTAL

Com base nos dados acima calcule os índices de liquidez Imediata, Seca, Corrente e Geral. 1000 Perguntas de Finanças, Cláudio Maciel e Débora Vides, IOB Thompson, 2005 Rentabilidade Indica qual o retorno que o investimento está propiciando. Fórmulas

RENTABILIDADE DO ATIVO =

LUCRO L QUIDO ×100 ATIVO TOTAL

RENTABILIDADE DO PATRIM NIO L QUIDO =

MARGEM L QUIDA =

GIRO DO ATIVO =

LUCRO L QUIDO ×100 PATRIM NIO L QUIDO

LUCRO L QUIDO ×100 RECEITA L QUIDA

RECEITA LIQU DA ATIVO TOTAL

capítulo 9

• 189

28. Uso das fórmulas – aplicação de frações e de porcentagens Com base nos dados anteriores da empresa MKZ e sabendo que o seu lucro líquido no exercício de 20XX foi de $ 25.000 e a receita líquida no mesmo exercício foi de $ 500.000, faça a análise dos quatro principais índices de rentabilidade. Resolução

RENTABILIDADE DO ATIVO =

$ 25.000 × 100 = 6, 9% $ 360.000

RENTABILIDADE DO PATRIMÔNIO LÍQUIDO =

$ 25.000 × 100 = 20% $ 125.000

$ 25.000 × 100 = 5% $ 500.000

MARGEM LÍQUIDA =

GIRO DO ATIVO =

$ 500.000 = 1, 38 $ 360.000

Estrutura de capital Procura mostrar a política de decisões financeiras da empresa, em termos de obtenção e aplicação de recursos. Fórmulas

GRAU DE ENDIVIDAMENTO =

CAPITAL DE TERCEIROS ×100 CAPITAL PR PRIO

COMPOSI ˆ O DO ENDIVIDAMENTO =

PASSIVO CIRCULANTE ×100 CAPITAL DE TERCEIROS

IMOBILIZA ˆ O DO PATRIM NIO L QUIDO =

190 •

capítulo 9

ATIVO Nˆ O CIRCULANTE ×100 0 PATRIM NIO L QUIDO

29. Uso das fórmulas – aplicação de frações e de porcentagens Com base nos dados anteriores da empresa MKZ, faça a análise dos três índices de estrutura de capital principais. Resolução

GRAU DE ENDIVIDAMENTO =

$ 150.000 + $ 85.000 × 100 = 188% $ 125.000

COMPOSIÇÃO DO ENDIVIDAMENTO =

$ 150.000 × 100 = 63, 8% $ 150.000 + $ 85.000

IMOBILIZAÇÃO DO PATRIMÔNIO LÍQUIDO =

$ 78.000 × 100 = 62,4% $ 125.000

Giro (ou atividade) É o número que representa (expresso em prazo, dias ou giro) o quanto uma empresa demora, em média, para receber suas vendas, pagar seus fornecedores e renovar seus estoques. Fórmulas

GIRO DO ESTOQUE =

GIRO DO CONTAS A RECEBER =

CUSTOS DAS VENDAS ESTOQUE M DIO

RECEITA OPERACIONAL L QUIDA CONTAS A RECEBER

GIRO DE FORNECEDORES =

COMPRAS L QUIDAS CONTAS A PAGAR

capítulo 9

• 191

30. Uso das fórmulas – Aplicação de frações Calcule o giro do estoque, o giro do contas a receber e o giro de fornecedores da empresa XZT, cujos dados estão a seguir:

CONTAS A RECEBER ESTOQUE FORNECEDORES TOTAL DO ATIVO VENDA LÍQUIDA A PRAZO COMPRAS A PRAZO CUSTO DA MERCADORIA VENDIDA PATRIMONIO LÍQUIDO

$ 20.000 $ 15.000 $ 24.000 $ 180.000 $ 200.000 $ 180.000 $ 120.000 $ 75.000

Resolução

GIRO DO ESTOQUE=

$ 120.000 =8 $ 15.000

GIRO DO CONTAS A RECEBER=

GIRO DE FORNECEDORES =

192 •

capítulo 9

$ 200.000 = 10 $ 20.000

$ 180.000 = 7, 5 $ 24.000

10 Matemática Aplicada a Negócios

OBJETIVOS Nesse capítulo, espera-se que (após a leitura) o aluno seja capaz de entender a aplicação de matemática no plano de negócios.

194 •

capítulo 10

10.1  Plano de Negócios O plano de negócios é um meio para apresentar uma ideia de negócio, em geral, visando obter financiamento para um projeto. Trata-se de um instrumento de uso interno, possibilitando que o empreendedor avalie a viabilidade de um negócio e siga o seu desenvolvimento. Ele é composto de diversas etapas, na prática, para demonstrar tudo o que é relevante e, assim sendo, merece ser acompanhado. Composição societária

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Uso de porcentagem Considerando que Alberto e Paulo pretendem formar uma sociedade limitada, cada um com R$ 100.000,00 de capital subscrito e, posteriormente, integralizado, calcule a participação em cotas que cada um deve ter? Gabarito

NOME DO SÓCIO/COTISTA

CAPITAL SUBSCRITO E INTEGRALIZADO

Alberto

R$ 100.000,00

Paulo

R 100.000,00

TOTAL

R$ 200.000,00

CÁLCULO DA PORCENTAGEM = (100.000,00 / 200.000,00) X 100 = 50% = (100.000,00 / 200.000,00) X 100 = 50% 100%

Dívidas Uso de tabelas – Aplicação de juros 02. Em 01.01.2011, a empresa XYZ tomou emprestada junto à financiadora Cia. MKZ a quantia de $ 50.000,00, à taxa de juros de 30% ao ano e com vencimento em 31.12.2011. Um outro empréstimo foi feito junto ao Banco XZT, no valor de $ 100.000,00, com custo de 15% ao ano. Ambos os empréstimos foram feitos sem prazo de carência. Calcule o saldo devedor a ser pago a cada financiador pela empresa XYZ e o total em 31.01.20X1.

capítulo 10

• 195

Gabarito

CAPITAL DE GIRO ENCARGOS FINANCEIROS

CAPITAL

Banco XZT

30,0% ao ano 15,0% ao ano

R$ 50.000,00 R$ 100.000,00

TOTAL

-

-

CREDOR Cia. MKZ

DATA CONTRATAÇÃO

DATA VENCIMENTO

CARÊNCIA (MÊS)

 01/01/20X1

31/12/20X1

0

 01/01/20X1

31/12/20X1 

0

-

-

-

SALDO DEVEDOR R$ 50.000,00 + R$ 15.000,00 R$ 100.000,00 + R$ 15.000,00 R$ 175.000,00

Investimento 03. Uso de tabelas – Aplicação de operações aritméticas e expressões A empresa XYZ pretende financiar as suas operações a seguir: Investimento fixo: Ano atual = R$ 250.000,00; Ano 20X1 = R$ 60.000,00; Ano 20X2 = R$ 30.000,00, sendo parte com: 1.

Compra deterreno:



Ano atual = R$ 100.000,00;



Ano 20x1 = R$ 10.000,00;



Ano 20x2 = R$ 10.000,00,

2)

Obras de construção civil:



Ano atual = R$ 100.000,00;



Ano 20x1 = R$ 10.000,00;



Ano 20x2 = R$ 10.000,00,

3)

Instalação de máquinas e equipamentos nacionais:



Ano atual = R$ 50.000,00;



Ano 20x1 = R$ 40.000,00;



Ano 20x2 = R$ 10.000,00 ,

Investimento financeiro: Ano atual = R$ 22.000,00; Ano 20x1 = R$ 18.000,00; Ano 20x2 = R$ 5.000,00,

196 •

capítulo 10

Necessidade de capital de giro:

Ano atual = R$ 11.000,00;



Ano 20x1 = R$ 7.000,00;



Ano 20x2 = R$ 2.000,00 E

Juros no período pré-operacional:

Ano atual = R$ 2.000,00;



Ano 20x1 = R$ 1.000,00;



Ano 20x2 = R$ 2.000,00.

Para tanto, deve obter financiamentos conforme segue: Recursos próprios: Ano atual = R$ 235.000,00; Ano 20x1 = R$ 45.000,00; Ano 20x2 = R$ 29.000,00, Sendo parte em: 1.

Patrimônio líquido:

Ano atual = R$ 135.000,00; Ano 20xl = R$ 35.000,00; Ano 20x2 = R$ 20.000,00 E parte em: 2.

Aumento de capital:

Ano atual = R$ 100.000,00; Ano 20x1 = R$ 10.000,00; Ano 20x2 = R$ 9.000,00. Recursos de terceiros:

Ano atual = R$ 50.000,00;



Ano 20x1 = R$ 41.000,00;



Ano 20x2 = R$ 10.000,00, Sendo parte com recursos:

1. Finame:

Ano atual = R$ 45.000,00;



Ano 20x1 = R$ 36.000,00;



Ano 20x2 = R$ 6.000,00 E parte com:

capítulo 10

• 197

2.

Outros recursos:



Ano atual = R$ 5.000,00;



Ano 20x1 = R$ 5.000,00;



Ano 20x2 = R$ 4.000,00.

Preencha, a partir dos dados anteriores, a tabela de usos e fontes de recursos, inserindo os totais do projeto. Resolução

CONTAS

ATUAL

ANO 20X1

ANO 20X2

TOTAL DO PROJETO

Usos

 

 

 

 

Investimento fixo

R$ 250.000,00

R$ 60.000,00

R$ 30.000,00

R$ 340.000,00

Terreno

R$ 100.000,00

R$ 10.000,00

R$ 10.000,00

R$ 120.000,00

Construção civil

R$ 100.000,00

R$ 10.000,00

R$ 10.000,00

R$ 120.000,00

Máquinas e equipamentos nacionais

R$ 50.000,00

R$ 40.000,00

R$ 10.000,00

R$ 100.000,00

Investimento financeiro

R$ 22.000,00

R$ 18.000,00

R$ 5.000,00

R$ 45.000,00

R$ 11.000,00

R$ 7.000,00

R$ 2.000,00

R$ 20.000,00

R$ 2.000,00

R$ 1.000,00

R$ 2.000,00

R$ 5.000,00

Total

R$ 285.000,00

R$ 86.000,00

R$ 39.000,00

R$ 410.000,00

Cálculos

= 250.000 + 22.000 + 11.000 + 2.000

= 60.000 + 18.000 + 7.000 + 1.000

= 30.000 + 5.000 + 2.000 + 2.000

= 340.000 + 45.000 + 20.000 + 5.000

Contas

Atual

Ano 20X1

Ano 20X2

Total do projeto

Fontes

 

 

 

 

Recursos próprios

R$ 235.000,00

R$ 45.000,00

R$ 29.000,00

R$ 309.000,00

Patrimônio líquido

R$ 135.000,00

R$ 35.000,00

R$ 20.000,00

R$ 190.000,00

Aumento de capital

R$ 100.000,00

R$ 10.000,00

R$ 9.000,00

R$ 119.000,00

Necessidade de capital de giro Juros no período pré-operacional

198 •

capítulo 10

Recursos de terceiros

R$ 50.000,00

R$ 41.000,00

R$ 10.000,00

R$ 101.000,00

Finame

R$ 45.000,00

R$ 36.000,00

R$ 6.000,00

R$ 87.000,00

Outros

R$ 5.000,00

R$ 5.000,00

R$ 4.000,00

R$ 14.000,00

Total

R$ 285.000,00

R$ 86.000,00

R$ 39.000,00

R$ 410.000,00

Cálculos

= 235.000 + 50.000

= 45.000 + 41.000

= 29.000 + 10.000

= 309.000 + 101.000

Vendas dos últimos 03 exercícios (ano civil) 04. Uso de tabela Insira em uma tabela os dados de vendas (histórico) dos últimos 3 exercícios (ano civil) para a empresa XYZ, bem como o seu total. Sabe-se que o faturamento do ano 20X8 foi de R$ 1.000.000,00 e do ano 20X9 foi de R$ 1.100.000,00. Ainda, o faturamento do ano 20X0 foi de R$ 1.250.000,00. Resolução

ANO

ANO 20X8

ANO 20X1

ANO 20X2

TOTAL

Faturamento

R$ 1.000.000,00 

R$ 1.100.000,00 

R$ 1.250.000,00  

R$ 3.350.000,00

Capacidade de pagamento 05. Uso de tabelas – uso de porcentagem – Aplicação de operações aritméticas e expressões Faça os cálculos da receita operacional líquida (rol), da margem de contribuição, do resultado operacional e do ponto de equilíbrio, para os dados da empresa xyz da tabela a seguir. Sabe-se que o preço unitário (p u) é igual a R$ 1.000,00 No ano atual e varia 6% a cada ano até 20x4. E, que o custo variável unitário (cv u) é atualmente de R$ 600,00, mas sofrerá uma variação ano a ano de 10% até 2014.

capítulo 10

• 199

CONTAS

ATUAL

ANO 20X1

Receita operacional bruta

R$ 1.500.000 

R$ 1.600.000 

ANO 20X2

R$ R$ R$ 1.700.000  1.600.000  1.800.000 

ANO 20X3

ANO 20X4

Deduções de vendas

R$ 75.000 

R$ 80.000  

R$ 80.000   

R$ 85.000   

R$ 90.000    

R$ 600.000 R$ 640.000 R$ 640.000

R$ 680.000

R$ 720.000

R$ 240.000  R$ 256.000   R$ 256.000  

R$ 272.000

R$ 288.000

R$ 100.000  R$ 107.000  R$ 107.000  R$ 113.000

R$ 120.000

R$ 60.000  

Receita operacional líquida Cálculos Custos variáveis Custo com matérias primas Mão de obra variável Encargos sociais / trabalhistas Comissões s/ vendas

R$ 64.000  

R$ 64.000  

R$ 68.000

R$ 72.000

 R$ 30.000    R$ 32.000    R$ 32.000  

R$ 34.000

R$ 36.000

Fretes

R$ 30.000 

R$ 32.000 

R$ 32.000 

R$ 34.000

R$ 36.000

Propaganda e publicidade

R$ 55.000 

R$ 59.000 

R$ 59.000 

R$ 62.000

R$ 66.000

Despesas tributárias

R$ 80.000 

R$ 85.000 

R$ 85.000 

R$ 91.000

R$ 96.000

Outros custos variáveis

R$ 5.000

R$ 5.000

R$ 5.000

R$ 6.000

R$ 6.000

Margem de contribuição Cálculos Custos fixos Pró labore dos sócios

R$ 300.000 R$ 300.000 R$ 300.000

R$ 300.000

R$ 300.000

R$ 120.000  R$ 120.000  R$ 120.000  R$ 120.000  R$ 120.000 

Mão de obra fixa

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

Encargos sociais/ trabalhistas

R$ 15.000

R$ 15.000

R$ 15.000

R$ 15.000

R$ 15.000

Seguro do ativo fixo

R$ 30.000   

R$ 30.000   

R$ 30.000   

R$ 30.000   

R$ 30.000   

Manutenção e conservação

R$ 30.000  

R$ 30.000  

R$ 30.000  

R$ 30.000  

R$ 30.000  

Aluguéis

R$ 50.000 

R$ 50.000 

R$ 50.000 

R$ 50.000 

R$ 50.000 

200 •

capítulo 10

Serviços de terceiros

R$ 25.000  

R$ 25.000  

R$ 25.000  

R$ 25.000  

R$ 25.000  

Outros custos fixos

R$ 5.000   

R$ 5.000   

R$ 5.000   

R$ 5.000   

R$ 5.000   

Depreciação/amortização

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

Despesas financeiras

R$ 65.000

R$ 65.000

R$ 65.000

R$ 65.000

R$ 65.000

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 30.000 

R$ 30.000 

R$ 30.000 

R$ 30.000 

R$ 30.000 

Empréstimo atual

R$ 25.000

R$ 25.000

R$ 25.000

R$ 25.000

R$ 25.000

Receitas financeiras

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 0,00 

Empréstimos de curto prazo Empréstimos de longo prazo

R$ 0,00 

Resultado operacional Cálculos Ir / csll Resultado operacional líquido Depreciação/amortização Disponível no período Amortização de empréstimos Amortização do empréstimo atual Disponibilidade Necessidade de capital de giro Disponibilidade acumulada

R$ 120.000  R$ 135.000  R$ 135.000  

R$ 150.000  R$ 165.000  

R$ 315.000

R$ 355.000 R$ 355.000

R$ 395.000

R$ 435.000

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 340.000 R$ 380.000 R$ 380.000

R$ 420.000

R$ 460.000

R$ 25.000

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 25.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 10.000 

R$ 305.000 R$ 345.000 R$ 345.000

R$ 385.000

R$ 425.000

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 0,00 

R$ 305.000 R$ 650.000 R$ 995.000 R$ 1.380.000 R$ 1.805.000

Ponto de equilíbrio

Cálculos

capítulo 10

• 201

Resolução

CONTAS

ATUAL

ANO 20X1

ANO 20X2

ANO 20X3

ANO 20X4

Receita operacional líquida

R$ 1.425.000

R$ 1.520.000

R$ 1.520.000

R$ 1.615.000

R$ 1.710.000

Cálculos

= 1.500.000 – (5% X 1.500.000)

= 1.600.000 – (5% X 1.600.000)

= 1.600.000 – (5% X 1.600.000)

= 1.700.000 – (5% X 1.700.000)

= 1.800.000 – (5% X 1.800.000)

CONTAS

ATUAL

ANO 20X1

ANO 20X2

ANO 20X3

ANO 20X4

Margem de contribuição

R$ 825.000

R$ 880.000

R$ 880.000

R$ 935.000

R$ 990.000

Cálculos

 = R$ 1.425.000 – R$ 600.000

= R$ 1.520.000 – R$ 640.000

= R$ 1.520.000 – R$ 640.000

= R$ 1.615.000 – R$ 680.000

= R$ 1.710.000 – R$ 720.000

CONTAS

ATUAL

ANO 20X1

ANO 20X2

ANO 20X3

ANO 20X4

Resultado operacional

R$ 435.000

R$ 490.000

R$ 490.000

R$ 545.000

R$ 600.000

Cálculos

= R$ 825.000 – R$ 300.000 – R$ 25.000 – R$ 65.000

= R$ 880.000 – R$ 300.000 – R$ 25.000 – R$ 65.000

= R$ 880.000 – R$ 300.000 – R$ 25.000 – R$ 65.000

= R$ 935.000 – R$ 300.000 – R$ 25.000 – R$ 65.000

= R$ 990.000 – R$ 300.000 – R$ 25.000 – R$ 65.000

ATUAL

ANO 20X1

ANO 20X2

ANO 20X3

ANO 20X4

Ponto de equilíbrio

750

750

754

764

782

Cálculos

= R$ 300.000/ (R$ 1.000 – R$ 600)

= R$ 300.000/ (R$ 1.000 X 1,06 – R$ 600 X 1,10)

202 •

capítulo 10

= R$ = R$ 300.000/ = R$ 300.000/ 300.000/ (R$ (R$ 1.124 X (R$ 1.191 X 1.060 X 1,06 1,06 – R$ 726 X 1,06 – R$ 799 X – R$ 660 X 1,10) 1,10) 1,10)

capítulo 10

• 203

204 •

capítulo 10

capítulo 10

• 205

206 •

capítulo 10

capítulo 10

• 207

208 •

capítulo 10