Livro Matematica_Financeira

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Matemática Financeira Disciplina na modalidade a distância

6ª edição revista e atualizada

Palhoça UnisulVirtual 2009

Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Avenida dos Lagos, 41 - Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça – SC - 88137-100 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 E-mail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Máximo Pró-Reitor Acadêmico Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitor de Administração Fabian Martins de Castro Campus Sul Diretora: Milene Pacheco Kindermann Campus Norte Diretor: Hércules Nunes de Araújo Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora Adjunta: Jucimara Roesler

Equipe UnisulVirtual Gerência Acadêmica Márcia Luz de Oliveira Gerência Administrativa Renato André Luz (Gerente) Marcelo Fraiberg Machado Naiara Jeremias da Rocha Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Moacir Heerdt Clarissa Carneiro Mussi Gerência Financeira Fabiano Ceretta Gerência de Produção e Logística Arthur Emmanuel F. Silveira Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico James Marcel Silva Ribeiro Avaliação Institucional Dênia Falcão de Bittencourt Biblioteca Soraya Arruda Waltrick (Coordenadora) Maria Fernanda Caminha de Souza

Capacitação e Assessoria ao Docente Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Adriana Silveira Caroline Batista Cláudia Behr Valente Elaine Surian Patrícia Meneghel Simone Perroni da Silva Zigunovas Coordenação dos Cursos Adriana Ramme Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Bernardino José da Silva Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Eduardo Aquino Hübler Fabiana Lange Patrício (auxiliar) Fabiano Ceretta Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janete Elza Felisbino João Kiyoshi Otuki Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos Noronha de Oliveira Jucimara Roesler Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marciel Evangelista Catâneo Maria da Graça Poyer Maria de Fátima Martins (auxiliar) Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Moacir Heerdt Nazareno Marcineiro Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Raulino Jacó Brüning Rose Clér Estivalete Beche Rodrigo Nunes Lunardelli Criação e Reconhecimento de Cursos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Desenho Educacional Carolina Hoeller da Silva Boeing (Coordenadora)

Design Instrucional

Ana Cláudia Taú Carmen Maria Cipriani Pandini Cristina Klipp de Oliveira Daniela Erani Monteiro Will Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Lucésia Pereira Luiz Henrique Milani Queriquelli Márcia Loch Marcelo Mendes de Souza Marina Cabeda Egger Moellwald Michele Correa Nagila Cristina Hinckel

Silvana Souza da Cruz Viviane Bastos

Acessibilidade

Vanessa de Andrade Manoel

Avaliação da Aprendizagem

Márcia Loch (Coordenadora) Eloísa Machado Seemann Gabriella Araújo Souza Esteves Lis Airê Fogolari Simone Soares Haas Carminatti Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Alice Demaria Silva Anne Cristyne Pereira Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Elusa Cristina Sousa Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Vilson Martins Filho

Multimídia

Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Fernando Gustav Soares Lima

Portal

Rafael Pessi Disciplinas a Distância Enzo de Oliveira Moreira (Coordenador) Franciele Arruda Rampelotti (auxiliar) Luiz Fernando Meneghel Gestão Documental Lamuniê Souza (Coordenadora) Janaina Stuart da Costa Josiane Leal Juliana Dias Ângelo Roberta Melo Platt Logística de Encontros Presenciais Graciele Marinês Lindenmayr (Coordenadora) Aracelli Araldi Hackbarth Daiana Cristina Bortolotti Douglas Fabiani da Cruz Edésio Medeiros Martins Filho Fabiana Pereira Fernando Steimbach Letícia Cristina Barbosa Marcelo Faria Marcelo Jair Ramos Rodrigo Lino da Silva

Formatura e Eventos

Jackson Schuelter Wiggers Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Carlos Eduardo Damiani da Silva Geanluca Uliana

Guilherme Lentz Luiz Felipe Buchmann Figueiredo José Carlos Teixeira Rubens Amorim Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (Coordenador) Andréia Drewes Anderson da Silveira Bruno Augusto Zunino Claudia Noemi Nascimento Cristiano Dalazen Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto Fernanda Farias Jonatas Collaço de Souza Karla Fernanda W. Desengrini Maria Eugênia Ferreira Celeghin Maria Isabel Aragon Maria Lina Moratelli Prado Mayara de Oliveira Bastos Poliana Morgana Simão Priscila Machado Priscilla Geovana Pagani Tatiane Silva Produção Industrial Francisco Asp (coordenador) Ana Paula Pereira Marcelo Bittencourt Relacionamento com o Mercado Walter Félix Cardoso Júnior Secretaria de Ensino a Distância Karine Augusta Zanoni Albuquerque (Secretária de ensino) Andréa Luci Mandira Andrei Rodrigues Djeime Sammer Bortolotti Fylippy Margino dos Santos Jenniffer Camargo Liana Pamplona Luana Tarsila Hellmann Marcelo José Soares Micheli Maria Lino de Medeiros Rafael Back Rosângela Mara Siegel Silvana Henrique Silva Vanilda Liordina Heerdt Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tenille Nunes Catarina (Recepção) Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador) André Luis Leal Cardoso Júnior Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira José Olímpio Schmidt Marcelo Neri da Silva Phelipe Luiz Winter da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão

Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Matemática Financeira. O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autônoma. Com este objetivo, aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar-lhe o estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre-se de que sua caminhada nesta disciplina será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. A indicação ‘a distância’ caracteriza tão-somente a modalidade de ensino por que você optou para a sua formação. E, nesta relação de aprendizagem, professores e instituição estarão continuamente em conexão com você. Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. Você tem à sua disposição diversas ferramentas e canais de acesso, tais como telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem, este que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual.

Maurici José Dutra

Matemática Financeira Livro didático Design instrucional Daniela Erani Monteiro Will Leandro Kingeski Pacheco

6ª edição revista e atualizada

Palhoça UnisulVirtual 2009

Copyright © UnisulVirtual 2009 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.

Edição – Livro Didático Professor Conteudista Maurici José Dutra Design Instrucional Daniela Erani Monteiro Will Leandro Kingeski Pacheco Carolina Hoeller da Silva Boeing (4ª edição revista e atualizada) Assistente Pedagógico Silvana Souza da Cruz (5ª edição revista e atualizada) Michele Antunes Corrêa (6ª edição revista) ISBN 978-85-7817-110-0 Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Adriana Ferreira dos Santos Diogo Rafael da Silva (5ª edição revista e atualizada) Adriana Ferreira dos Santos (6ª edição revista e atualizada) Revisão de conteúdo Orlando da Silva Filho Revisão ortográfica e gramatical B2B 513.93 D97 Dutra, Maurici José Matemática financeira : livro didático / Maurici José Dutra ; design instrucional Daniela Erani Monteiro Will, Leandro Kingeski Pacheco, [Carolina Hoeller da Silva Boeing ; assistente pedagógico Silvana Souza da Cruz, Michele Antunes Corrêa]. – 6. ed. rev. – Palhoça : UnisulVirtual, 2009. 215 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-110-0

1. Matemática financeira. I. Will, Daniela Erani Monteiro. II. Pacheco, Leandro Kingeski. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Cruz, Silvana Souza da. V. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Sumário Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE

1 – Fundamentos de matemática financeira. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 – Juros simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 – Descontos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 – Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5 – Taxas de juros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6 – Descontos compostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7 – Equivalência de capitais a juros compostos . . . . . . . . . . . . . 95 8 – Sequência de capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9 – Depreciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10 – Amortização de empréstimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11 – Inflação e correção monetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 12 – Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Sobre o professor conteudista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 193

Palavras do professor Caro aluno (a), Gostaria de parabenizá-lo(a) pela sua escolha em fazer este curso. Certamente você terá condições de aprender tudo o que for necessário para o melhor aprimoramento em sua vida profissional. A disciplina Matemática Financeira, na modalidade a distância, foi desenvolvida especialmente para você, levando em consideração os aspectos particulares da formação a distância. O material didático apresenta aspectos teóricos e cálculos financeiros dentre os quais destacamos: regimes de capitalização, descontos, depreciação, inflação e correção monetária e as diversas modalidades de empréstimos que são ferramentas fundamentais na gestão financeira de qualquer empresa ou pessoa. Quanto ao seu rendimento e produtividade, sugerimos que antes de iniciar seus estudos, elabore um cronograma pessoal para que não se perca no tempo que irá despender com esta matéria. Lembramos que você não está sozinho nesta caminhada, pois estaremos sempre à disposição para ajudá-lo. Desejamos êxito na disciplina. Bom estudo! Professor Maurici José Dutra

Plano de estudo O plano de estudo visa a orientá-lo(a) no desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: „„ „„

„„

„„

o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial.

Ementa Juros simples e compostos. Descontos simples e compostos. Equivalência de capitais. Taxa: nominal, efetiva e equivalente. Empréstimos de curto e de longo prazo. Sistemas de dívidas. Correção monetária, amortização e depreciação. Equivalência de fluxo de caixa.

Carga horária 4 créditos - 60 horas

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Objetivos da disciplina Desenvolver os conceitos fundamentais e práticos da Matemática Financeira, fornecendo aos alunos um embasamento que servirá como pré-requisito para as futuras disciplinas nesta área.

Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação.

Agenda de atividades/ Cronograma „„

„„

„„

12

Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina.

Matemática Financeira

Atividades obrigatórias

Demais atividades (registro pessoal)

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unidade 1

Fundamentos de matemática financeira Objetivos de aprendizagem n

Compreender os conceitos fundamentais de matemática financeira.

n

Classificar e identificar os regimes de capitalização.

Seções de estudo Seção 1 O que é porcentagem? Seção 2 Regimes de formação dos juros Seção 3 Fluxo de caixa

1

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Para início de estudo Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, é necessário que você fique familiarizado com o significado de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!

SEÇÃO 1 - O que é porcentagem? Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros.

Porcentagem (percentagem) A expressão por cento é usada para indicar uma fração cujo denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é substituir o denominador 100 pelo símbolo %. 30 = 30 % (Trinta por cento). 100 5 2. = 5 % (Cinco por cento). 100 1.

3. Transformação da forma porcentual para a forma unitária.

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Matemática Financeira

Forma porcentual

Transformação

Forma unitária

30%

30 100

0,30

5%

5 100

0,05

12,2%

122 100

0,122

Como se calcula a porcentagem de uma quantia? Quando estamos resolvendo um problema que envolva porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de proporção. 1. Qual é o valor de 35% de 70?

35 x = 100 70 x=

(Aqui usando a forma porcentual)

35.70 = 24, 5 100

2. Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à quantia de R$ 40,00?

160 1 = 40 x x=

(Agora usando a forma unitária)

40 = 0, 25 = 25% 160

3. Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais escrevendo a proporção)

x = 0, 65 . 1600 x = 1040 meninos

Unidade 1

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Termos importantes usados na matemática financeira Observe estes termos próprios da matemática financeira, abaixo, e a utilização destes, na sequência. Capital (C)

Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma determinada data.

Juros (J)

Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo.

Prazo (n)

Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado.

Montante (M)

Soma do capital aplicado mais os juros. M = C + J

Taxa de juros (i)

É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.

i=

J C

Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a taxa de juros do período?

J = 4500 C = 60000 n = 2 meses 4.500 i= = 0, 075 = 7, 5% a. p. ou 7, 5% a.b. 60.000

Atenção! Comparações simples de operações aritméticas com quantias que estejam em datas diferentes ficam inviáveis, quando estudamos matemática financeira.

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Matemática Financeira

SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa preestabelecida por período, este capital se transformará em um valor chamado montante de acordo com duas convenções: „„

Regime de juros simples.

„„

Regime de juros compostos.

Regime de juros simples No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos levando sempre em conta somente o capital inicial (principal).

Regime de juros compostos Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados ao capital inicial, formando um novo capital que participará da geração de juros no próximo período. Atenção! Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o regime de juros compostos passa a denominar-se regime de capitalização composta.

Unidade 1

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Exemplo Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, obtemos os seguintes resultados: Período

Juros Simples

Juros Compostos

Juros

Montante

Juros

Montante

0

-

3.000,00

-

3.000,00

1

360,00

3.360,00

360,00

3.360,00

2

360,00

3.720,00

403,20

3.763,20

3

360,00

4.080,00

451,58

4.214,78

4

360,00

4.440,00

505,77

4.720,56

SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma operação financeira é representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um instante inicial (origem). As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo. Modelo Simplificado (+) entrada 0 (-) saída

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tempo (n)

Matemática Financeira

Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. Apresente o fluxo de caixa na visão do aplicador e do captador. Visão do aplicador 33.200 0

6 30.000

Visão do captador

Atividades de autoavaliação Agora que você já estudou toda a unidade 1, realize as atividades de autoavaliação propostas. 1) Converta para a forma porcentual: 0,36 - ................... 1,25 - ...................

2) Converta para a forma unitária: 12% - .................... 212% - ..................

Unidade 1

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3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na forma porcentual?

4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta.

Período

Juros Simples Juros

Montante

Juros Compostos Juros

Montante

0 1 2 3 4

5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o fluxo de caixa na ótica do investidor e do captador.

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Matemática Financeira

Síntese Ao finalizar esta unidade, você deve ter compreendido os conceitos e regras apresentados, pois serão muito úteis na continuação da disciplina. Você aprendeu alguns fundamentos da matemática financeira, como a porcentagem e certos termos importantes como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros; o regime de formação de juros (juros simples e juros compostos); e o fluxo de caixa e sua representação gráfica. Na próxima unidade você estudará mais profundamente cada regime de capitalização. Até lá!

Unidade 1

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Saiba mais Para você aprimorar ainda mais seus conhecimentos acerca dos temas estudados nesta unidade, consulte os seguintes livros: „„

„„

„„

„„

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CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.

unidade 2

Juros simples Objetivos de aprendizagem n

Resolver problemas envolvendo juros simples e montante.

n

Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros exatos e comerciais).

n

Converter taxas de juros.

n

Entender o conceito de valor atual e valor nominal e calculá-los.

Seções de estudo Seção 1 Juros simples Seção 2 Montante Seção 3 Taxas proporcionais Seção 4 Juros simples exatos e comerciais ou bancários

Seção 5 Valor nominal e valor atual Seção 6 Equivalência de capitais a juros simples

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Uma vez que você já se habituou aos termos básicos desta disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você está pronto para aprofundá-los. Nesta unidade, você desenvolverá um estudo simplificado do regime de juro simples, considerando um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, montante e valor atual e nominal.

SEÇÃO 1 - Juros simples Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros simples, ficou estabelecido que: „„

„„

O juro é produzido unicamente pelo capital inicial (principal). O juro é igual em todos os períodos (constantes).

Conheça, agora, como se calcula os juros simples.

Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples

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Matemática Financeira

1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 2,4% a.m. Qual o juro auferido?

C = 15000 i = 2, 4% = 0, 024 a.m n = 10 meses J = C .i .n J = 15000 . 0, 024 . 10 = R$3600, 00 2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?

C = 50000 i = 6% = 0, 06 a.t. n = 3 anos = 12 trimestres J = C .i .n J = 50000 . 0, 06 . 12 = R$36.000, 00 3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, sabendo-se que o rendimento obtido na operação será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato é de 2% a.m. durante 2 anos.

C =? J = 2400 i = 2% = 0, 02 a.m n = 2 anos = 24 meses J = C .i .n J C= i.n 2400 C= = R$5000, 00 0, 022 . 24

Unidade 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Atenção! „„ Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja

colocada na forma unitária.

„„ A taxa de juros e o número de períodos (n) devem

estar sempre na mesma unidade de tempo.

„„ Quando a taxa e o prazo estão em unidades de

tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre o prazo.

„„ Nada muda na forma de calcular os juros simples

quando o período for fracionário.

SEÇÃO 2 - Montante Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos juros.

Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de juros simples M =C+J como : J = C .i .n ent„o : M = C +C .i .n M = C (1 + i . n )

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Matemática Financeira

1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o montante adquirido?

2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à taxa de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 7.000,00. Determine o prazo da aplicação.

Unidade 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Observe como podemos resolver este problema por outra forma:

SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais Em certas literaturas especializadas utiliza-se a nomenclatura taxas proporcionais ou equivalentes a juros simples.

Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais. Você sabe quando duas taxas são proporcionais? Atenção! Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples quando

1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 24% a.a.?

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Matemática Financeira

2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 2% a.m.?

ia 12 = 2% 1 ia = 2% . 12 = 24% a.a

SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou bancários Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros simples comerciais ou bancários.

Juros simples exatos Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes características: „„

o prazo é contado em dias.

„„

mês = número real de dias conforme calendário.

„„

ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto). Você sabe como se deve contar os dias entre duas datas? Para determinarmos o número de dias entre duas datas, devemos subtrair o número de dias correspondente à data posterior do número de dias da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando o final do mês de fevereiro estiver envolvido no prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, comentaremos se o ano for bissexto.

Unidade 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas

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JAN

FEV

MAR

ABR

MAI

JUN

JUL

AGO

SET

OUT

NOV

DEZ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212

213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243

244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273

274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304

305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334

335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365

Matemática Financeira

1. Ache os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril de 2003 à 1ª de julho de 2003. Usando a tabela temos: JAN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

FEV 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

MAR 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

ABR 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

MAI 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

JUN 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

JUL 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212

AGO 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243

SET 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273

OUT 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304

NOV 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334

DEZ 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365

n = 182 − 110 n = 72 J = C .i .n J e = 15000 . 0,16 .

72 365

J e = R$473, 42

Unidade 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina

2. Determine o juro simples exato obtido em uma aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 9% a.a.

J = C .i .n J e = 13300 . 0, 09 .

146 365

J e = R$478, 80

Juros simples comercial Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes características: „„

mês = 30 dias.

„„

ano civil = 360 dias. Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, usaremos os juros comerciais.

1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação de R$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% a.m?

C = 66000 i = 2, 2% a.m = 0, 022 a.m n = 1 ano e 2 meses = 14 meses J = C .i .n J = 66000 . 0, 022 . 14 J = R$20328, 00

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Matemática Financeira

2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00?

J = 900 i = 3% a.m = 0, 03 a.m. n = 1 ano e 3 meses = 15 meses J = C .i .n J C= i.n 900 C= 0, 03 . 15 C = R$2000, 00

SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um compromisso financeiro.

Valor nominal O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do compromisso financeiro na data de seu vencimento.

Valor atual O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso financeiro em uma data anterior a de seu vencimento.

Fluxo de caixa O seguinte gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor nominal e o valor atual.

Unidade 2

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N V 0

n

Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual no regime de juros simples N =V + J N = V +V . i . n N = V (1 + i . n ) V=

N 1+ i . n

1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor atual nas seguintes datas: a) hoje; b) 2 meses antes do vencimento; c) daqui a 3 meses. a) Hoje

48000 V=?

0

10 N 1+ i . n 48000 V= 1 + 0, 02 . 10 V=

V=

36

48000 = R$40000, 00 1, 2

Matemática Financeira

b) Dois meses antes do vencimento

V=?

8

48000 10

N 1+ i . n 48000 V= = R$46153, 85 1 + 0, 02 . 2 V=

c) Daqui a 3 meses

V=?

3

48000 10

N 1+ i . n 48000 V= = R$42105, 26 1 + 0, 02 . 7 V=

2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de rentabilidade do aplicador?

N = 18000 N = 18000 V = 16000 V = 16000 n = 6 meses n = 6 meses N = V (1 + i . n ) N = V (1 + i . n ) 18000 = 16000 (1 + i . 6 ) 18000 = 16000 (1 + i . 6 ) 18000 1 + i . 6 = 18000 1 + i . 6 = 16000 16000 1 + 6i = 1,125 1 + 6i = 1,125 6i = 1,125 − 1 6i = 1,125 − 1 6i = 0,125 6i = 0,125 0,125 i = 0,125 = 0, 0208 = 2, 08% a.m i = 6 = 0, 0208 = 2, 08% a.m 6

Unidade 2

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SEÇÃO 6 - Equivalência de capitais a juros simples Sejam os seguintes conjuntos de capitais e . Dizemos que dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros simples numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, quando apresentam valores atuais iguais. Fluxo de caixa

Atenção! Se mudarmos a data focal, a equivalência dos conjuntos de capitais não será mantida.

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Matemática Financeira

1) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: „„

R$ 3.000,00 daqui a 4 meses

„„

R$ 5.000,00 daqui a 8 meses

„„

R$ 12.000,00 daqui a 12 meses

O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular o valor de cada pagamento. Fluxo de caixa

Unidade 2

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Atividades de autoavaliação A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades programadas para a sua autoavaliação. 1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos?

2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 6.728,00?

3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. durante 24 meses?

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4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa mensal obtida na aplicação?

5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação financeira no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e comerciais da operação?

6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições: • R$ 6.000,00 aplicados por 180 dias a 12% a.a. • R$ 5.200,00 aplicados por 230 dias a 15% a.a.

Unidade 2

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7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros simples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata?

8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com uma taxa de 16% a.a.?

9) Hoje um comerciante tem duas dívidas: uma de R$ 6.000,00 com vencimento para daqui a 35 dias e outra de R$ 10.000,00 que vence em 48 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais com prazo de 60 e 120 dias, respectivamente. Considerando juros simples de 12% a.a e a data focal de (120° dia), calcule o valor de cada pagamento.

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Matemática Financeira

10) Uma empresa deve a uma instituição financeira as seguintes quantias: ƒƒ R$ 6.500,00 daqui a 3 meses ƒƒ R$ 8.000,00 daqui a 8 meses Calcule o valor dessas dívidas considerando a taxa de juros simples de 18% a.a. e a data focal (180° dia).

Síntese Nesta unidade, você estudou com profundidade os diversos tipos de juros simples, os juros simples exatos e comerciais, bem como montante, equivalência de taxas além de valor atual e valor nominal. Você também aprendeu a calcular juros simples, exatos e comerciais, e a converter taxas de juros. Você ainda estudou a distinção entre valor atual e valor nominal e como calculá-los. Na unidade seguinte, você estudará os diversos tipos de descontos simples. Bom estudo!

Unidade 2

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Saiba mais Para você aprofundar-se ainda mais nos temas estudados na unidade, consulte as bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

44

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.

unidade 3

Descontos simples Objetivos de aprendizagem n

Compreender o conceito de desconto simples.

n

Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples (comercial e racional).

n

Relacionar os tipos de descontos simples.

n

Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros simples.

Seções de estudo Seção 1 Descontos Seção 2 Relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial)

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Para início de estudo Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de desconto simples, a relação entre os descontos simples racional e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de desconto simples e de juros simples.

SEÇÃO 1 - Descontos Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário ou comercial (por fora).

Descontos Simples Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do vencimento). Nas operações financeiras serão utilizados títulos de créditos tais como: „„ Nota promissória „„ Duplicata „„ Letra de câmbio

d = N −V onde: d = Desconto

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N = Valor nominal (no vencimento)



V = Valor atual (antes do vencimento)

Matemática Financeira

Desconto simples racional (por dentro) O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro simples gerado pelo valor atual.

O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula: dr = V . i . n como : N = V (1 + i . n )

V=

N 1+ i . n

dr = N − V dr = N −

N 1+ i . n

⎛ 1 ⎞ d r = N ⎜1 − ⎟ ⎝ 1+ i . n ⎠ N .i .n dr = 1+ i . n

1. Qual o valor do desconto racional simples de uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 30% a.a.?

N = 24000 i = 30% a.a. = 0, 3 a.a 120 1 n = 120 dias = = do ano 360 3 dr =

dr =

N .i .n (1 + i . n ) 24000 . 0, 3 . 1 + 0, 3 .

1 3

1 3 = R$2181, 82

Unidade 3

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2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco?

N = 12000 V = 11214, 95 n = 2 meses N = V (1 + i . n ) 1+ i . n = i.n =

N −1 V

N −1 V

N −1 i= V n 12000 −1 11214, 95 i= 2 i = 0, 035 = 3, 5% a.m

Desconto simples bancário ou comercial (por fora) O desconto simples bancário ou comercial (db) é o desconto mais utilizado pelos bancos na remuneração do capital. Atenção! O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro simples calculado sobre o valor nominal.

48

Matemática Financeira

Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário ou comercial: db = N . ib . n

Onde: N = valor nominal ib = taxa de desconto simples bancário n = prazo

1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o desconto simples bancário da operação?

N = 15000 ic = 2, 5% a.m. = 0, 025 a.m n = 85 dias =

85 meses 30

db = N . ib . n db = 15000 . 0, 025 .

85 30

db = R$1062, 50

E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate: db = N − V V = N − db = N − N . ib . n V = N (1 − ib . n )

Unidade 3

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1. Uma empresa descontou um título com valor de face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancário simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu líquido na operação?

V =? N = 14500 ib = 2, 4% a.m = 0, 024 a.m. n = 3 meses e 15 dias = 3, 5 meses V = N . (1 − ib . n ) V = 14500 (1 − 0, 024 . 3, 5 ) V = R$13282, 00

A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) é assim representada: dr = V . i . n N .i .n 1+ i . n db = N . i . n dr =

N .i .n dr 1 + i . n = db N . i . n dr 1 = db 1 + i . n db = d r (1 + i . n )

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Matemática Financeira

1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituição financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 3,2% a.m.. Determine: a) O valor do desconto simples bancário b) O valor do desconto simples racional a)

N = 48000 i = 3, 2% a.m = 0, 032 a.m n=6 db = 48000 . 0, 032 . 6 db = R$9216, 00

b)

db 1+ i . n 9216 dr = 1 + 0, 032 . 6 d r = R$7731, 54

dr =

SEÇÃO 2 - Relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples.

A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples é formulada do seguinte modo:

Unidade 3

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iB = taxa de desconto simples i = taxa de Juros Simples J = N −V V . i . n = N −V N −V i.n = V N i . n = −1 V N i.n = −1 N − db i.n =

N − ( N − db ) N − db

Como : db = N . ib .n ent„o : i . n = i=

N .ib . n N − N . ib . n

ib 1 − ib . n

1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo de vencimento em 3 meses foi descontada em um banco que trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco?

N = 25500 ib = 3, 2% a.m = 0, 032 a.m. n = 3 meses V = N (1 − ib . n ) V = 25500 (1 − 0, 032 . 3) V = 23052, 00 i=

ib 1 − ib . n

0, 032 1 − 0, 032 . 3 i = 0, 0354 = 3, 54% a.m. i=

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Matemática Financeira

2. Se uma empresa desconta uma duplicata com vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de desconto simples bancário utilizada?

i

3,4% a.m. = 0,034 a.m.

n

3 meses

i=

ib 1 − ib . n

0, 034 =

ib 1 − ib . 3

0, 034 (1 − ib . 3) = ib 0, 034 − 0,102 . ib = ib ib + 0,102 ib = 0, 034 1,102 . ib = 0, 034 0, 034 1,102 ib = 0, 03085 a.m = 3, 085% a.m. ib =

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Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade. 1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido?

2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada?

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Matemática Financeira

3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, qual seria o valor deste desconto?

4) Uma loja desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples de 6% a.m. Qual é o valor do desconto simples racional e comercial da operação?

5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de desconto simples bancário equivalente utilizada?

Unidade 3

55

Universidade do Sul de Santa Catarina

Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de desconto simples, seus diversos tipos e comparações. Relacionou as taxas de juros simples e de descontos simples bancário ou comercial. Na próxima unidade, você começará a estudar o regime de juros compostos. Continue em frente!

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente o assunto desconto simples, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

56

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos. São Paulo: Atlas, 2003. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.

unidade 4

Juros compostos Objetivos de aprendizagem n

Conhecer os conceitos sobre juros compostos.

n

Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.

n

Usar corretamente as convenções exponencial e linear.

n

Calcular valor nominal e valor atual.

Seções de estudo Seção 1 Juros compostos Seção 2 Convenção exponencial e linear Seção 3 Valor nominal e valor atual

4

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao regime de juros simples. Neste capítulo você estudará o regime de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações comerciais e financeiras.

SEÇÃO 1 - Juros compostos Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo capital para o período seguinte. A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do montante, juros, capital, taxa e prazo:

Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos:

58

Matemática Financeira

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M =C+J J = M −C n

J = C (1 + i ) − C n J = C ⎡(1 + i ) − 1⎤ ⎣ ⎦

Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: M = C (1 + i ) C=

n

M

(1 + i )

n

Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: M = C (1 + i )

(1 + i )

n

=

n

M C

⎛M ⎞ 1+ i = ⎜ ⎟ ⎝C ⎠

1

n

1

⎛M ⎞ n i = ⎜ ⎟ −1 ⎝C ⎠

Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: M = C (1 + i )

(1 + i )

n

=

n

M C

n ⎛N⎞ ln (1 + i ) = ln ⎜ ⎟ ⎝C⎠ ⎛M ⎞ n . ln (1 + i ) = ln ⎜ ⎟ ⎝C ⎠ ⎛M ⎞ ln ⎜ ⎟ C n= ⎝ ⎠ ln (1 + i )

Unidade 4

59

Universidade do Sul de Santa Catarina

Atenção! n

1. O fator (1+ i ) é chamado fator de acumulação de capital. 2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma unidade de tempo.

1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m.?

C = 4500 i = 3, 5%a.m = 0, 035a.m n = 9 meses M = C (1 + i )n M = 4500 (1 + 0, 035 ) M = 4500 (1, 035 )

9

9

M = 4500 . 1, 362897 M = R$6133, 04 2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule os juros auferidos na aplicação.

C = 12000 i = 2% a.m = 0, 02a.m n = 6 meses n J = C ⎡(1 + i ) − 1⎤ ⎣ ⎦ 6 J = 12000 ⎡(1 + 0, 02 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ 6 J = 12000 ⎡(1, 02 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ J = 12000 (1,126162 − 1)

J = 12000 . 0,126162 J = R$1513, 95

60

Matemática Financeira

3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”.

M = 19500 i = 3, 5%a.m = 0, 035a.m n = 1 ano e 3 meses = 15 meses C= C=

C=

M

(1 + i )

n

19500 15

(1 + 0, 035) 19500 15

(1, 035)

19500 1, 675349 C = R$11639, 37 C=

4. A que taxa mensal de juros compostos, um capital de R$ 12.500,00 pode transformar-se em R$ 15.373,42, no período de 7 meses?

C = 12500 M = 15373, 42 n = 7 meses 1

⎛M ⎞ n i = ⎜ ⎟ −1 ⎝C ⎠ 1

⎛ 15373, 42 ⎞ 7 i=⎜ ⎟ −1 ⎝ 12500 ⎠ 1

i = (1, 229874 ) 7 − 1 i = 1, 03 − 1 i = 0, 03 = 3% a.m

Unidade 4

61

Universidade do Sul de Santa Catarina

5. Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$ 47.900,00, se a taxa de juros compostos cobrada for de 4% a.m.?

M = 47900 C = 35000 i = 4% a.m = 0, 04 a.m ⎛M ⎞ ln ⎜ ⎟ C n= ⎝ ⎠ ln (1 + i ) ⎛ 47900 ⎞ ln ⎜ ⎟ 35000 ⎠ n= ⎝ ln (1 + 0, 04 ) n=

ln (1, 368571) ln (1, 04 )

0, 313767 0, 039221 n = 8 meses

n=

SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear Nesta seção, você estudará a convenção exponencial e linear. Tais convenções são usadas quando os períodos não são inteiros.

Convenção exponencial No caso da convenção exponencial, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária).

62

Matemática Financeira

A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção exponencial é a seguinte: M = C (1 + i )

n+ p

q

n = perÌodo int eiro p = perÌodo fracion· rio q

Convenção linear No caso da convenção linear, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário.

A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção linear é a seguinte: p ⎞ n ⎛ M = C (1 + i ) . ⎜1 + . i ⎟ ⎝ q ⎠ 1. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções exponencial e linear? Pela convenção exponencial:

C = 2000 i = 6%a.m = 0, 06 a.m n = 4 meses e 15 dias = 4 +

M = C (1 + i )

n+ p

15 1 meses = 4 + meses = 4, 5 meses 30 2

q

M = 2000 (1 + 0, 06 ) M = 2000 (1, 06 )

4 ,5

4 ,5

M = R$2000 . 1, 2998 M = 2599, 60

Unidade 4

63

Universidade do Sul de Santa Catarina

Pela convenção linear:

p ⎞ n ⎛ M = C (1 + i ) . ⎜1 + . i ⎟ ⎝ q ⎠ M = 2000 (1 + 0, 06 ) . (1 + 0, 5 . 0, 06 ) 4

M = 2000 (1, 06 ) . (1 + 0, 03) 4

M = 2000 . 1, 262477 . 1, 03 M = R$2600, 70

2. Calcule o montante pelas convenções exponencial e linear do capital de R$ 14.700,00 aplicado à taxa de juros compostos de 10% a.a. durante 5 anos e 3 meses. Pela convenção exponencial:

C = 14700 i = 10%a.a = 0,1 a.a n = 5 anos e 3 meses = 5 +

M = C (1 + i )

n+ p

21 3 1 meses = 5 + meses = meses 4 4 12

q

M = 14700 (1 + 0,1) M = 14700 (1,1)

21

21

4

4

M = 14700 . 1, 649345 M = R$24245, 37

Pela convenção linear:

p ⎞ n ⎛ M = C (1 + i ) . ⎜1 + . i ⎟ ⎝ q ⎠ 1 5 ⎛ ⎞ M = 14700 (1 + 0,1) . ⎜1 + . 0,1⎟ ⎝ 4 ⎠ M = 14700 (1, 61051) . (1, 025 ) M = R$24266, 36

64

Matemática Financeira

SEÇÃO 3 - Valor nominal e valor atual Nesta seção, você estudará novamente o valor atual e o valor nominal, só que agora na perspectiva de juros compostos. Observe que os conceitos dados em juros simples para valor atual e valor nominal são análogos para juros compostos. Veja:

Fluxo de caixa Este gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor atual e o valor nominal.

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal no regime de juros compostos: N = Valor No min al V = Valor Atual N = V (1 + i ) V=

n

N

(1 + i )

n

Unidade 4

65

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Uma empresa desconta uma promissória de R$ 50.000,00 em um banco com vencimento para daqui a 6 meses, sendo que o banco cobra uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da promissória nas seguintes datas: a) hoje b) 3 meses antes do vencimento c) daqui a 4 meses a) Hoje

N = 50000 i = 1, 5%a.m = 0, 015a.m. n=6 V= V=

N

(1 + i )

n

50000

(1 + 0, 015)

6

=

50000 1, 093443

V = R$45727,12 b) 3 meses antes do vencimento

V=

50000

(1 + 0, 015)

3

=

50000 1, 045678

=

50000 1, 030225

V = R$47815, 87 c) Daqui a 4 meses

V=

50000

(1 + 0, 015)

2

V = R$48533, 09

66

Matemática Financeira

2. Um certo capital é aplicado a 12% a.a. a juros compostos, produzindo um montante de R$ 1.320,00 após 3 anos. Qual o valor atual deste capital?

N = 1320 i = 12%a.a. = 0,12a.a. n = 3 anos V= V= V=

N

(1 + i )

n

1320

(1 + 0,12 ) 1320

(1,12 )

3

=

3

1320 1, 404928

V = R$939, 55

Atividades de autoavaliação Caro aluno, considere as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade e responda as questões a seguir. 1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 26.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses.

Unidade 4

67

Universidade do Sul de Santa Catarina

2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 4.200,00 aplicado a uma taxa de 3% a.m. durante 10 meses.

3) Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mensal da operação?

4) Em que prazo uma aplicação a juros compostos de R$ 24.000,00 produzirá um montante de R$ 61.519,30 à taxa de 4% a.m.?

68

Matemática Financeira

5) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 15% a.a. Pergunta-se: a) Qual o montante pela convenção exponencial? b) Qual o montante pela convenção linear?

6) Quanto Paulo deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma instituição financeira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 38.000,00 que vence daqui a 3 meses?

7) Determine os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. durante 10 meses.

Unidade 4

69

Universidade do Sul de Santa Catarina

Síntese Nesta unidade, você aprendeu o regime de capitalização composto, isto é, determinou montante, capital, juros e taxas na perspectiva dos juros compostos. Nesta mesma perspectiva, você também aprendeu as convenções exponencial e linear assim como calculou o valor atual e o valor nominal. Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros.

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente a capitalização composta, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

„„

70

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. CESAR, Benjamin. Matemática financeira. 5ª ed. Rio de Janeiro: Impetus, 2004.

unidade 5

Taxas de juros Objetivos de aprendizagem n

Compreender e calcular taxas equivalentes.

n

Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas.

n

Aplicar as taxas em problemas financeiros.

Seções de estudo Seção 1 Taxas equivalentes Seção 2 Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva

5

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as taxas e os prazos dados sempre estavam na mesma unidade de tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.

SEÇÃO 1 - Taxas equivalentes Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição, duas taxas são ditas equivalentes a juros compostos quando aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e produzem o mesmo montante.

Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes: n

M 1 = C (1 + i1 ) 1 n

M 2 = C (1 + i2 ) 2 Como : M 1 = M 2 Temos : n

n

C (1 + i1 ) 1 = C (1 + i2 ) 2 1 + i1 = (1 + i2 ) i1 = (1 + i2 )

n2

n2

n1

n1

−1

n2

−1

ou i2 = (1 + i1 )

72

n1

Matemática Financeira

1. No regime de juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

i1 = Taxa anual n1 = 1 ano i2 = 4% a.m = 0, 04 a.m. n2 = 12 meses i1 = (1 + i2 )

n2

n1

−1 12

i1 = (1 + 0, 04 )

1

−1

i1 = (1, 04 ) − 1 12

i1 = 0, 6010 a..a = 60,10% a.a 2. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de juros compostos de 8% a.a.

i1 = 8% a.a = 0, 08 a.a n1 = 1 ano i2 = taxa quadrimestral n2 = 3 quadrimestres i2 = (1 + i1 )

n1

n2

−1 1

i2 = (1 + 0, 08 ) 3 − 1 i2 = 0, 0259 = 2, 60% a.q

Unidade 5

73

Universidade do Sul de Santa Catarina

SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva Nesta seção, você estudará a taxa nominal ou aparente e a taxa efetiva.

Taxa nominal ou aparente Por definição, a taxa é nominal ou aparente quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa. Atenção! Geralmente a taxa nominal é anual.

Taxa efetiva A taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas transações financeiras.

Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetiva: i = Taxa No min al i f = Taxa Efetiva K = n˙ mero de capitalizaÁı es para um perÌodo da taxa no min al iK = Taxa por perÌodo de capitalizaÁ„o iK =

i K

1 + i f = (1 + iK )

K

1 + i f = (1 + iK )

K

K

i f = (1 + iK ) − 1 K

i ⎞ ⎛ i f = ⎜1 + ⎟ − 1 ⎝ K⎠

74

Matemática Financeira

1. Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.

= Taxa efetiva trimestral

2. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 12.500,00 durante 2 anos a uma taxa nominal de 48% a.a. com capitalização mensal de juros?

= Taxa efetiva mensal

Unidade 5

75

Universidade do Sul de Santa Catarina

3. Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 42.000,00 por 3 anos a uma taxa de 24% a.a. com capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e qual o montante recebido?

4. Qual das taxas abaixo será a melhor para um investimento? a) 20% a.a. capitalizados ao dia; b) 20,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente; c) 22% a.a. capitalizados anualmente. a)

iK =

0, 2 = 0, 000556 360

i f = (1 + 0, 000556 )

360

−1

i f = 1, 221530 − 1 = 0, 221530 = 22,15% a.a b)

iK =

0, 205 = 0, 068333 3

i f = (1 + 0, 068333) − 1 3

i f = 1, 219326 − 1 = 0, 219326 = 21, 93% a.a

76

Matemática Financeira

c)

i f = 22% a.a Resposta: a melhor alternativa é a taxa de 22,15% a.a. (item a).

Atividades de autoavaliação Caro aluno, leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas já apresentadas. 1) Qual a taxa anual de juros compostos equivalentes as seguintes taxas: a) 2,6% a.m.. b) 4,2% a.b. c) 4,8% a.t. d) 12% a.s.

Unidade 5

77

Universidade do Sul de Santa Catarina

2) Um banco paga juros compostos a uma taxa de 24% a.a. capitalizados bimestralmente. Qual a sua taxa efetiva anual?

3) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente durante 24 meses.

4) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado em uma instituição financeira a uma taxa nominal de 108% a.a., capitalizados mensalmente, durante 8 meses. Qual é o montante?

78

Matemática Financeira

5) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00 por 1 ano à taxa de 45% a.a. com capitalização: a) mensal b) diária (considere o ano com 360 dias)

Síntese Nesta unidade, você aprendeu os diversos tipos de taxas, as equivalentes, a nominal ou aparente e a efetiva. Você também aprendeu a aplicar estas taxas a problemas financeiros. Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de descontos compostos.

Unidade 5

79

Universidade do Sul de Santa Catarina

Saiba mais Se você deseja estudar mais profundamente os diversos tipos de taxas, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

„„

80

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.

unidade 6

Descontos compostos Objetivos de aprendizagem n

Entender e calcular desconto composto.

n

Diferenciar e calcular os descontos compostos, o racional e o comercial ou bancário.

n Classificar

e calcular os tipos de taxas de descontos.

Seções de estudo Seção 1 Descontos compostos e suas classificações Seção 2 Taxas de descontos

6

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Caro aluno, nesta unidade, você estudará dois tipos de descontos compostos, o desconto racional ou por dentro além do desconto bancário ou comercial ou por fora. Você também estudará as taxas de desconto. Bom estudo!

SEÇÃO 1 - Descontos compostos e suas classificações Nesta seção, você estudará os descontos compostos, especificamente o desconto composto racional ou por dentro e o desconto comercial ou bancário ou por fora.

Desconto composto O desconto composto é o abatimento obtido na quitação ou na venda de um título em data anterior ao seu vencimento observando os critérios de capitalização composta. Os tipos de descontos compostos são: „„

Desconto composto racional ou por dentro

„„

Desconto composto comercial (bancário) ou por fora

Desconto composto racional ou por dentro O desconto composto racional ou por dentro é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do vencimento.

82

Matemática Financeira

Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto racional ou por dentro: Dr = N − V V=

N

(1 + i )

Dr = N −

n

N

(1 + i )

n

⎡ 1 ⎤ Dr = N ⎢1 − n ⎥ ⎢⎣ (1 + i ) ⎥⎦ −n Dr = N ⎡1 − (1 + i ) ⎤ ⎣ ⎦

1. Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um título de R$ 15.600,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto composto racional é de 4% a.m.

N = 15600 i = 4% a.m. = 0, 04 a.m. n = 5 meses −n Dr = N ⎡1 − (1 + i ) ⎤ ⎣ ⎦ −5 Dr = 15600 ⎡1 − (1 + 0, 04 ) ⎤ ⎣ ⎦ −5

Dr = 15600 ⎡1 − (1, 04 ) ⎤ ⎣ ⎦ Dr = 15600 (1 − 0, 821927 ) Dr = 15600 . 0,178073 Dr = 2777, 94 V = N − Dr V = 15600 − 2777, 94 V = R$12822, 06

Unidade 6

83

Universidade do Sul de Santa Catarina

2. Um título de valor nominal igual a R$ 60.200,00 foi pago 4 meses antes do vencimento. Se a taxa de desconto composto racional era de 8% a.m., qual o valor líquido deste título?

N = 60200 i = 8% a.m = 0, 08 a.m n = 4 meses −n Dr = N ⎡1 − (1 + i ) ⎤ ⎣ ⎦ −4 Dr = 60200 ⎡1 − (1 + 0, 08 ) ⎤ ⎣ ⎦ −4

Dr = 60200 ⎡1 − (1, 08 ) ⎤ ⎣ ⎦ Dr = 60200 (1 − 0, 735030 ) Dr = 60200 . 0, 264970 Dr = 15951, 20 V = N − Dr V = 60200 − 15951, 20 V = R$44248, 80 Observe outra maneira de resolver o mesmo problema:

N = V (1 + i ) V= V= V=

n

N

(1 + i )

n

60200

(1 + 0, 08)

4

60200

(1, 08)

4

60200 1, 360489 V = R$44248, 80 V=

84

Matemática Financeira

Desconto composto comercial (bancário) ou por fora O desconto composto comercial (bancário) ou por fora é a soma dos descontos comerciais simples, calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título.

Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto comercial (bancário) ou por fora: Dc = N − V Dc = N − N (1 − i )

n

n Dc = N ⎡1 − (1 − i ) ⎤ ⎣ ⎦

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: V1 = N − d1

V2 = V1 − d 2

d1 = N . i

d 2 = V1 . i

ent„o : V1 = N − N . i

ent„o : V2 = V1 . (1 − i )

V1 = N (1 − i )

V2 = N (1 − i ) . (1 − i ) V2 = N (1 − i )

2

ent„o : V = N (1 − i )

n

Cálculo da taxa de desconto comercial composto:

Cálculo do prazo:

Unidade 6

85

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 é descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento. Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco é de 8% a.m., qual é o valor do desconto?

N = 15000 i = 8% a.m = 0, 08 a.m n = 3 meses n Dc = N ⎡1 − (1 − i ) ⎤ ⎣ ⎦ 3 Dc = 15000 ⎡1 − (1 − 0, 08 ) ⎤ ⎣ ⎦

Dc = 15000 ⎡1 − ( 0, 92 ) ⎤ ⎣ ⎦ Dc = 15000 (1 − 0, 778688 ) 3

Dc = 15000 . 0, 221312 Dc = R$3319, 68 Observe outra maneira de resolver este mesmo problema:

V = N (1 − i )

n

V = 15000 (1 − 0, 08 ) V = 15000 ( 0, 92 )

3

3

V = 15000 . 0, 778688 V = 11680, 32 Dc = N − V Dc = 15000 − 11680, 32 Dc = R$3319, 68

86

Matemática Financeira

2. Um cliente vai a um banco descontar uma duplicata que vence daqui a 6 meses com valor de face de R$ 7.500,00. Considerando que o banco trabalha com uma taxa de desconto composto comercial de 3,5% a.m., qual o valor do desconto?

N = 7500 i = 3, 5% a.m = 0, 035 a.m n = 6 meses n Dc = N ⎡1 − (1 − i ) ⎤ ⎣ ⎦ 6 Dc = 7500 ⎡1 − (1 − 0, 035 ) ⎤ ⎣ ⎦

Dc = 7500 ⎡1 − ( 0, 965 ) ⎤ ⎣ ⎦ Dc = 7500 (1 − 0, 807540 ) 6

Dc = 7500 . 0,192460 Dc = R$1443, 45

SEÇÃO 2 - Taxas de descontos Nesta seção, você estudará taxas de descontos. Basicamente, há a taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto.

Taxa de desconto composto comercial ou por fora A taxa de desconto composto comercial ou por fora ( ic ) é a taxa que é utilizada para calcular este desconto.

Taxa efetiva de desconto A taxa efetiva de desconto ( i f ) é a taxa de desconto composto racional que é aplicada sobre o valor atual no período, gerando um montante igual ao valor nominal. Unidade 6

87

Universidade do Sul de Santa Catarina

Atenção! No desconto composto racional ir = i f Considerando que

ir = Taxa de desconto composto racional i f = taxa efetiva

Esta é fórmula para o cálculo da relação entre a taxa efetiva de desconto e a taxa de desconto composto comercial: V = N (1 − ic )

n

V = N (1 + i f

−n

(1 + i )

−n

f

1

(1 + i )

n

)

= (1 − ic ) = (1 − ic )

n

n

f

n

(1 − ic ) . (1 + i f )

n

=1

ent„o :

(1 − ic ) . (1 + i f ) = 1 i + if =

88

1 1 − ic

if =

1 −1 1 − ic

if =

− (1 − ic ) 1− 1 − ic

if =

1 − 1 + ic 1 − ic

if =

ic 1 − ic

Matemática Financeira

1. Qual a taxa de desconto composto comercial equivalente a 5% a.a. do desconto composto racional?

i f = 5% a.a = 0, 05 a.a if =

ic 1 − ic

0, 05 =

ic 1 − ic

ic = 0, 05 − 0, 05 . ic ic + 0, 05ic = 0, 05 1, 05 . ic = 0, 05 0, 05 1, 05 ic = 0, 0476 = 4, 76% a.a ic =

2. Qual a taxa efetiva de desconto composto racional equivalente a 18% a.a. do desconto composto comercial?

if =

ic 1 − ic

0,18 1 − 0,18 0,18 if = 0, 82 i f = 0, 2195 = 21, 95% a.a if =

Unidade 6

89

Universidade do Sul de Santa Catarina

Atividades de autoavaliação Caro aluno, é hora de você colocar em prática a teoria estudada. Considere as definições e as fórmulas apresentadas nesta unidade e responda as questões a seguir. 1) Determine o valor do desconto composto racional de um título de valor nominal de R$ 8.300,00 descontado 6 meses antes de seu vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4,2% a.m.

2) O valor de face de uma promissória de um cliente é de R$ 300.000,00. Ele deseja trocá-la em um banco que trabalha com uma taxa de desconto composto racional de 20% a.a. O vencimento da duplicata é para daqui a 162 dias. Qual o valor de desconto?

3) Determine a taxa mensal de desconto composto racional de um título com valor de face de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, gerando um valor líquido de R$ 5.348,00.

90

Matemática Financeira

4) Qual o desconto composto comercial de um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 com vencimento para daqui a 3 anos a uma taxa de desconto de 20% a.a.?

5) Qual a taxa de desconto comercial equivalente a 3,5% a.a. do desconto racional?

6) Qual a taxa de desconto composto racional equivalente a 15,3% a.a. do desconto composto comercial?

Unidade 6

91

Universidade do Sul de Santa Catarina

7) Calcule a taxa mensal de desconto composto comercial de um título de valor nominal igual a R$ 15.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento e resgatado por R$ 12.103,72.

8) Um título de R$ 30.000,00 foi descontado em uma instituição financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 6,4% a.m. e o valor líquido recebido era de R$ 20.173,27. Quantos meses antes do vencimento foi descontado este título?

Síntese Caro aluno, nesta unidade você aprendeu o desconto composto e como calculá-lo em seus dois tipos: o desconto composto racional ou por dentro e o desconto composto comercial ou bancário ou por fora. Você também aprendeu a taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto, além do relacionamento entre as taxas de desconto. Parabéns por sua caminhada até aqui. Na próxima unidade, você estudará equivalência de capitais. 92

Matemática Financeira

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente os diversos tipos de descontos compostos e de suas taxas, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

„„

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática financeira: com HP12C e Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas 2003.

Unidade 6

93

unidade 7

Equivalência de capitais a juros compostos Objetivos de aprendizagem n

Identificar o conceito de equivalência de capitais a juros compostos.

n

Transformar o valor de um capital em uma data determinada em outro valor equivalente em uma data diferente.

n Determinar

o valor atual e analisar alternativas de um conjunto de capitais.

Seções de estudo Seção 1 Equivalência de capitais a juros compostos Seção 2 Valor atual de um conjunto de capitais Seção 3 Equivalência de dois conjuntos de capitais a juros compostos

7

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Nesta unidade, você estudará como efetuar pagamentos ou recebimentos que se encontram em datas de vencimentos distintas em pagamentos ou recebimentos equivalentes, porém, numa mesma data.

SEÇÃO 1 - Equivalência de capitais a juros compostos Nesta seção você estudará a equivalência de capitais a juros compostos. A equivalência de capitais a juros compostos é a maneira de transformar pagamentos (recebimentos), que apresentam datas de vencimentos distintas, em pagamentos (recebimentos) equivalentes, todos avaliados numa data comum.

Esta é a fórmula para o cálculo de equivalência de dois capitais a juros compostos Sejam dois capitais separados por períodos de tempo. y2 = y1 . (1 + i ) y1 =

y2

(1 + i )

n

n

y1 = Valor Atual (data desejada ) y2 = Valor No min al (data n) 1. Um correntista deve a um banco um título de valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento para daqui a 6 meses e deseja pagar esta dívida daqui a 2 meses. Sabendo-se que o banco trabalha com uma taxa de 4,5% a.m., calcule o valor deste pagamento. Fluxo de Caixa

y2 = 15000 y1 = ? i = 4, 5% a.m = 0, 045 a.m n = 4 meses

96

Matemática Financeira

y1 = y1 = y1 =

y2

(1 + i )

n

15000

(1 + 0, 045)

4

15000

(1, 045)

4

15000 1,192519 y1 = R$12578, 42

y1 =

SEÇÃO 2 - Valor atual de um conjunto de capitais Nesta seção, você estudará o valor atual de um conjunto de capitais. Sejam os capitais: y0 , y1 , ........., yn , nas datas respectivamente 0, 1, 2, ........., n.

Dada esta respectiva representação do fluxo de caixa:

Fluxo de caixa

Unidade 7

97

Universidade do Sul de Santa Catarina

Evidencia-se que

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de um conjunto de capitais: V = y0 +

yn y1 y2 + + ........ + n 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 1. Uma empresa tem que efetuar os seguintes pagamentos: a)

R$ 220.000,00 daqui a 3 meses;

b) R$ 120.000,00 daqui a 1 ano e 2 meses; c)

R$ 140.000,00 daqui a 2 anos.

Quanto deverá aplicar, hoje, a juros compostos a uma taxa de 2,4% a.m. para fazer frente a estes compromissos?

V= V=

220000

(1 + 0, 024 ) 220000

(1, 024 )

3

+

3

+

120000 14

(1 + 0, 024 )

120000 14

(1, 024 )

+

+

140000

(1 + 0, 024 )

24

140000

(1, 024 )

24

220000 120000 140000 + + 1, 073742 1, 393797 1, 766847 V = 204890, 93 + 86095, 75 + 79237,19 V = R$370223, 87 V=

2. Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o seguinte plano de pagamento a prazo: „„ entrada de R$ 5.000,00; „„ mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00.

Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento a prazo?

98

Matemática Financeira

SEÇÃO 3 - Equivalência de dois conjuntos de capitais a juros compostos Sejam os conjuntos de capitais e . Dizemos que os dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros compostos, quando avaliados numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, apresentam valores atuais iguais. Fluxo de caixa

Unidade 7

99

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Pedro deve pagar R$ 3.500,00 daqui a 2 meses e R$ 5.300,00 daqui a 12 meses. Deseja substituir esses pagamentos por outros distribuídos da seguinte forma: ƒƒ R$ 2.500,00 daqui a 4 meses e; ƒƒ O restante daqui a 8 meses. Determinar o valor desse pagamento, considerando a data focal daqui a 5 meses e a taxa de juros compostos de 3% a.m. Fluxo de caixa

100

Matemática Financeira

2. Um terreno é vendido pelos seguintes planos: „„ Plano A: um único pagamento de R$ 60.000,00

daqui a 2 anos „„ Plano B: uma entrada de R$ 15.000,00 + 1 parcela para daqui a 15 meses Se a taxa de juros compostos de mercado é de 1,5% a.m., qual o valor da parcela do Plano B para que os mesmos sejam equivalentes? Plano A:

VA = VA =

60000

(1 + 0, 015)

24

60000

(1, 015)

24

60000 1, 429503 VA = R$41972, 63 VA =

Plano B:

VB = 15000 + VB = 15000 +

x

(1 + 0, 015)

15

x

(1, 015)

15

Como VA = VB temos:

41972, 63 = 15000 +

x 15

(1, 015) 15 x = ( 41972, 63 − 15000 ) . (1, 015 ) x = 26972, 63 . 1, 250232 x = R$33722, 05

Atenção! A melhor alternativa de pagamento é a que oferece o menor valor atual. A melhor alternativa de investimento é aquela que oferece valor atual maior do que o valor investido.

Unidade 7

101

Universidade do Sul de Santa Catarina

3. Um proprietário recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa: Proposta A) Entrada de R$ 100.000,00 + R$ 50.000,00 em 6 meses + R$ 60.000,00 em 1 ano. Proposta B) Entrada de R$ 80.000,00 + R$ 60.000,00 em 5 meses + R$ 70.000,00 em 10 meses. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 3% a.m., qual a melhor proposta para o vendedor? Proposta A)

VA = 100000 + VA = 100000 +

50000

(1 + 0, 03) 50000

(1, 03)

6

+

6

+

60000 12

(1 + 0, 03)

60000 12

(1, 03)

50000 60000 + 1,194052 1, 425761 VA = 100000 + 41874, 22 + 42082, 79 VA = 100000 +

VA = R$183957, 01 Proposta B)

VB = 80000 + Vb = 80000 +

60000

(1 + 0, 03) 60000

(1, 03)

5

+

5

+

70000 10

(1 + 0, 03)

70000 10

(1, 03)

60000 70000 + 1,159274 1, 343916 VB = 80000 + 51756, 53 + 52086, 59 VB = 80000 +

VB = R$183843,12 Resposta: a melhor proposta é a A.

102

Matemática Financeira

Atividades de autoavaliação Chegou a hora de mais algumas atividades de autoavaliação. Mantenha-se atento aos enunciados e reporte-se às definições e às fórmulas abordadas nesta unidade para resolver os seguintes problemas: 1) Uma empresa tem as seguintes duplicatas para pagar: „„ Duplicata A: Valor de R$ 80.000,00. Vencimento 4 meses. „„ Duplicata B: Valor de R$ 150.000,00. Vencimento 10 meses. „„ Duplicata C: Valor de R$ 200.000,00. Vencimento 15 meses.

Se a taxa de juros compostos é de 2,3% a.m., quanto a empresa deve aplicar hoje para fazer frente a estes compromissos?

2) Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a prazo com o seguinte plano de pagamento: „„ 20% de entrada. „„ Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira

3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da primeira.

Unidade 7

103

Universidade do Sul de Santa Catarina

Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?

3) Uma pessoa deve R$ 10.000,00 com vencimento em 1 ano e R$ 30.000 com vencimento em 3 anos. A mesma faz um acordo para pagar R$ 20.000,00 hoje e o restante daqui a 2 anos. Quanto esta pessoa deve pagar daqui a 2 anos, se a taxa de juros compostos é de 5% a.s.?

104

Matemática Financeira

4) Qual das alternativas de pagamento é a melhor para uma taxa de juros compostos de 7,5% a.m.? „„ Alternativa A: Pagamento de R$ 150.000,00 à vista. „„ Alternativa B: Entrada de R$ 50.000,00 + R$ 80.000,00 em 90 dias + R$

60.000,00 em 140 dias.

5) Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de R$ 3.000,00 e R$ 6.000,00 vencíveis respectivamente em 4 meses e 8 meses. Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidação dos títulos, qual o valor a pagar, considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 2,3% a.m.?

Unidade 7

105

Universidade do Sul de Santa Catarina

Síntese Caro aluno, nesta unidade, você aprendeu a equivalência de capitais a juros compostos, determinou o valor atual de um conjunto de capitais e fez um estudo das alternativas pelo valor atual. Na próxima unidade, você estudará sequência de capitais.

Saiba mais Caro aluno, se você quiser estudar mais profundamente a equivalência de capitais, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

106

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva. 1999. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003. SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuário do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.

unidade 8

Sequência de capitais Objetivos de aprendizagem n

Identificar o conceito de sequência uniforme de capitais.

n

Distinguir e trabalhar sequências uniformes de termos postecipados e antecipados e sequências diferidas.

n Calcular

o valor atual, o montante e a prestação de sequências uniformes postecipadas, antecipadas, diferidas e com parcelas adicionais.

Seções de estudo Seção 1 Sequência uniforme de capitais Seção 2 Sequência uniforme de termos postecipados

Seção 3 Sequência uniforme de termos antecipados Seção 4 Montante de uma sequência uniforme Seção 5 Sequência uniforme diferida Seção 6 Sequência uniforme com parcelas adicionais

8

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Nesta unidade, você estudará as sequências uniformes de capitais que apresentam uma gama de aplicações que fazem parte do dia-a-dia das pessoas. Você estudará a sequência uniforme de capitais, de termos postecipados, de termos antecipados, diferida, com parcelas adicionais além do montante de uma sequência uniforme. Bom estudo!

SEÇÃO 1 - Sequência uniforme de capitais

Nesta seção, será apresentado para você o conceito de sequência uniforme de capitais. A sequência uniforme de capitais é uma sequência de capitais y1 , y2 , ........., yn respectivamente nas datas onde: : y1 = y2 = ......... = yn = R (1, 2, .........., n )( mÍ s, trimestre, semestre, ano, etc ) ,onde trimestre, semestre, ano, etc ) onde : y1 = y2 = ......... = yn = R . Atenção! O regime de capitalização que usaremos para trabalhar com a sequência uniforme de capitais é o composto.

SEÇÃO 2 - Sequência uniforme de termos postecipados Nesta seção você estudará a sequência uniforme de termos postecipados. A sequência uniforme de termos postecipados é uma sequência uniforme onde y0 = 0 ( sem entrada ) . Podemos representar graficamente o fluxo de caixa da sequência uniforme de termos postecipados do seguinte modo:

108

Matemática Financeira

Fluxo de caixa

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de termos postecipados: V=

R R R + + ............ + 2 n 1 + i (1 + i ) (1 + i )

⎡ 1 1 1 ⎤ V = R⎢ + + ........ + 2 n ⎥ (1 + i ) ⎥⎦ ⎢⎣1 + i (1 + i )

Onde a soma entre colchetes representa a soma de uma P.G. tal que o primeiro termo: a = 1 e a razão: q = 1 . Sabemos 1 1+ i 1+ i que: ⎡ q n − 1⎤ s = a1 ⎢ ⎥ ⎣ q −1 ⎦ ⎡ ⎛ 1 ⎞n ⎤ − 1⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎜⎝ 1 + i ⎟⎠ ⎥ s= ⎥ 1+ i ⎢ ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎜ 1+ i ⎟ −1 ⎥ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎤ ⎡ 1 ⎢ 1 + i n − 1⎥ ( ) ⎥ s=⎢ ⎥ ⎢ −i ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ s=

1 − (1 + i )

n

n

(1 + i ) . − i n 1 + i ) −1 ( s= n (1 + i ) . i ⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ V = R .⎢ ⎥ n ⎢⎣ (1 + i ) . i ⎥⎦

Unidade 8

109

Universidade do Sul de Santa Catarina

n

(1 + i ) − 1 O fator é chamado de n (1 + i ) . i

an ¬ i ( a, n cantoneira i ) então:

V = R . an ¬ i 1. Uma televisão de 29 polegadas é vendida em 5 prestações mensais de R$ 350,00 cada uma. Sendo a 1ª prestação paga 1 mês após a compra, a taxa de juros cobrada pela loja é de 2,5% a.m., qual é o preço à vista da televisão?

R = 350 n=5 i = 2, 5% a.m. = 0, 025 a.m

(1 + 0, 025) − 1 a5 ¬ 2,5 = 5 (1 + 0, 025) . 0, 025 5

a5 ¬ 2,5 = 4, 645828 V = R an ¬ i V = 350 . 4, 645828 V = R$1626, 04 2. Um automóvel é vendido em uma loja por R$ 32.000,00. A loja propõe as seguintes condições para financiamento: Proposta A: 12 prestações mensais iguais postecipados. Proposta B: 24 prestações mensais iguais postecipados. Proposta C: 36 prestações mensais iguais postecipados. A taxa de juros usada é de 3,2% a.m. Qual o valor de cada prestação nas 3 modalidades de financiamento?

V = 32000 n = 12 i = 3, 2% a.m = 0, 032 a.m

110

Matemática Financeira

Proposta A:

(1 + 0, 032 ) − 1 a12 ¬3,2 = 12 (1 + 0, 032 ) . 0, 032 12

a12 ¬3,2 = 9, 836204 V = R an ¬ i 32000 = R . 9, 836204 32000 R= 9, 836204 R = R$3253, 29

Proposta B:

(1 + 0, 032 ) − 1 a24 ¬3,2 = 24 (1 + 0, 032 ) . 0, 032 24

a12 ¬3,2 = 16, 576379 V = R . an ¬ i 32000 = R . 16, 576379 32000 R= 16, 576379 R = R$1930, 46 Proposta C:

(1 + 0, 032 ) − 1 a36 ¬3,2 = 36 (1 + 0, 032 ) . 0, 032 36

a36 ¬3,2 = 21,195027 V = R . an ¬ i 32000 = R . 21,195027 32000 R= 21,195027 R = R$1509, 79

Unidade 8

111

Universidade do Sul de Santa Catarina

SEÇÃO 3 - Sequência uniforme de termos antecipados Nesta seção, você estudará a sequência uniforme de termos antecipados. Uma sequência uniforme de termos antecipados é uma sequência uniforme onde = (com entrada). O fluxo de caixa de uma sequência uniforme de termos antecipados pode ser representado graficamente do seguinte modo:

Fluxo de caixa

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de termos antecipados: V = R + R an −1 ¬ i

1. Um aparelho eletrônico é vendido em 5 pagamentos iguais de R$ 200,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 3% a.m. e que o 1º pagamento é dado como entrada, qual o preço à vista do eletrodoméstico?

R = 200 i = 3%a.m. = 0, 03a.m n=5 n −1 = 4 4

(1 + 0, 03) − 1 a4 ¬3 = 4 (1 + 0, 03) . 0, 03 4 1, 03) − 1 ( a4 ¬3 = 4 (1, 03) . 0, 03 a4 ¬3 = 3, 717098 V = R + R . an −1 ¬ i 112

V = 200 + 200 . 3, 717098 V = 200 + 743, 42 V = R$943, 42

4

(1 + 0, 03) − 1 a4 ¬3 = 4 (1 + 0, 03) . 0, 03 4 1, 03) − 1 ( a4 ¬3 = 4 (1, 03) . 0, 03

Matemática Financeira

a4 ¬3 = 3, 717098 V = R + R . an −1 ¬ i V = 200 + 200 . 3, 717098 V = 200 + 743, 42 V = R$943, 42 2. Uma casa, cujo valor à vista é R$ 49.244,56, é vendida em prestações mensais e iguais de R$ 2.500,00, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento é de 1,8% a.m., determine o número de prestações pagas no financiamento.

R = 2500 i = 1, 8%a.m. = 0, 018a.m V = 49244, 56 n −1

(1 + 0, 018) − 1 an −1 ¬ i = n −1 (1 + 0, 018) . 0, 018 n −1 1, 018 ) − 1 ( an −1 ¬ i = n −1 (1, 018) . 0, 018 V = R + R . an −1 ¬ i n −1 − 11 ⎤⎤ 018)n −1 − ⎡⎡ (11,, 018 49244,, 56 56 = 2500 + 2500 ⎢⎢ = 2500 + 2500 49244 ⎥⎥ n − 1 018)n −1 .. 00,, 018 018 ⎥⎥⎦ ⎢⎣⎢⎣ (11,, 018 ⎦

⎡ (1, 018 )n −1 − 1 ⎤ 49244, 56 − 2500 = 2500 ⎢ ⎥ n −1 ⎢⎣ (1, 018 ) . 0, 018 ⎥⎦ ⎡ (1, 018 )n −1 − 1 ⎤ 46744, 56 = 2500 ⎢ ⎥ n −1 ⎢⎣ (1, 018 ) . 0, 018 ⎥⎦ n −1 46744, 56 ⎡ (1, 018 ) − 1 ⎤ =⎢ ⎥ n −1 2500 ⎢⎣ (1, 018 ) . 0, 018 ⎥⎦ ⎡ (1, 018 )n −1 − 1 ⎤ 18, 697824 = ⎢ ⎥ n −1 ⎢⎣ (1, 018 ) . 0, 018 ⎥⎦ n −1

(1, 018) − 1 = 18, 697824 . 0, 018 . (1, 018) n −1 n −1 (1, 018) − 1 = 0, 336561 . (1, 018) n −1 n −1 (1, 018) − 0, 336561 . (1, 018) = 1 n −1 0, 663439 (1, 018 ) = 1 (1, 018)

n −1

n −1

=

n −1

1 0, 663439

(1, 018) = 1, 507298 Unidade 8 n −1 ln (1, 018 ) = ln (1, 507298 )

113

⎢⎣ (1, 018 )

. 0, 018 ⎥⎦

n −1

Universidade do Sul de Santa Catarina

(1, 018) − 1 = 18, 697824 . 0, 018 . (1, 018) n −1 n −1 (1, 018) − 1 = 0, 336561 . (1, 018) n −1 n −1 (1, 018) − 0, 336561 . (1, 018) = 1 n −1 0, 663439 (1, 018 ) = 1 (1, 018)

n −1

=

n −1

1 0, 663439

n −1

(1, 018) = 1, 507298 n −1 ln (1, 018 ) = ln (1, 507298 ) ( n − 1) . ln (1, 018) = ln (1, 507298) ln (1, 507298 ) n −1 = ln (1, 018 ) 0, 410318 0, 017840 n − 1 = 23 n = 23 + 1 n = 24 n −1 =

SEÇÃO 4 - Montante de uma sequência uniforme Nesta seção, você estudará como calcular o montante de uma sequência uniforme, seja de termos postecipados, seja de termos antecipados. Montante de uma sequência uniforme de termos postecipados Podemos representar graficamente o fluxo de caixa do montante de uma sequência uniforme de termos postecipados do seguinte modo:

Fluxo de caixa

114

Matemática Financeira

Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma sequência uniforme: M = C (1 + i )

n

C = R [ an ¬ i ] M = R [ an ¬ i ] (1 + i )

n

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ n M =R⎢ ⎥ (1 + i ) n ⎢⎣ (1 + i ) . i ⎦⎥ ⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ M =R⎢ ⎥ i ⎢⎣ ⎥⎦

(1 + i )

n

−1

O fator é chamado de fator de acumulação de capitais i e representado por Sn ℜ i ( S , n, cantoneira i ) . 1. Gustavo deposita durante 8 meses em um fundo de investimento a quantia de R$ 1.350,00 por mês. Sabendo que este fundo remunera seus depósitos a uma taxa de 1,5% a.m., quanto Gustavo terá no instante do último depósito?

R = 1350 n=8 i = 1, 5% a.m. = 0, 015 a.m. M M M M M

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ =R⎢ ⎥ i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1 + 0, 015 )8 − 1 ⎤ = 1350 ⎢ ⎥ 0, 015 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1, 015 )8 − 1 ⎤ = 1350 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0, 015 ⎥⎦ = 1350 . 8, 432839 = 11384, 33

Unidade 8

115

Universidade do Sul de Santa Catarina

2. Quanto João deve depositar ao final de cada mês durante 1 ano em um banco que paga 2,4% a.m. de juros, para que, no instante do último depósito, tenha um montante de R$ 30.000,00?

M = 30000 n = 12 meses i = 2, 4% a.m = 0, 024a.m. ⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ M =R⎢ ⎥ i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1 + 0, 024 )12 − 1 ⎤ 30000 = R ⎢ ⎥ 0, 024 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1, 024 )12 − 1 ⎤ 30000 = R ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0, 024 ⎥⎦ 30000 = R . 13, 717833 30.000 R= 13, 717833 R = 2186, 93

Montante de uma sequência uniforme de termos antecipados Podemos representar graficamente o fluxo de caixa do montante de uma sequência uniforme de termos antecipados do seguinte modo:

Fluxo de caixa

116

Matemática Financeira

Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma sequência uniforme de termos antecipados: V = R + R . an −1¬ i ⎡ (1 + i )n −1 − 1 ⎤ V = R+R ⎢ ⎥ n −1 ⎢⎣ (1 + i ) . i ⎥⎦ ⎡ (1 + i )n −1 − 1 ⎤ V = R ⎢1 + ⎥ n −1 (1 + i ) . i ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡ (1 + i )n − 1⎥ ⎢ (1 + i ) ⎥ V = R ⎢⎢1 + n ⎥ 1+ i) ( ⎢ .i ⎥ ⎢⎣ (1 + i ) ⎥⎦ V V V V

⎡ (1 + i )n − (1 + i ) ⎤ = R ⎢1 + ⎥ n (1 + i ) . i ⎥⎦ ⎢⎣ ⎡ (1 + i )n . i + (1 + i )n − (1 + i ) ⎤ =R⎢ ⎥ n (1 + i ) . i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1 + i )n . (1 + i ) − (1 + i ) ⎤ =R⎢ ⎥ n (1 + i ) . i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ =R⎢ ⎥ (1 + i ) n ⎢⎣ (1 + i ) . i ⎥⎦

M = V . (1 + i )

n

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ n M =R⎢ ⎥ (1 + i ) . (1 + i ) n ⎢⎣ (1 + i ) . i ⎥⎦ ⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ M =R⎢ ⎥ . (1 + i ) i ⎢⎣ ⎥⎦

Unidade 8

117

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Uma pessoa aplica no início de cada mês a quantia de R$ 1.200,00 durante 6 meses em um fundo que paga 1,8% a.m. de juros. Qual a quantia acumulada?

R = 1200 n = 6 meses i = 1, 8% a.m = 0, 018 a.m

M M M M M

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ =R⎢ ⎥ . (1 + i ) i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1 + 0, 018 )6 − 1 ⎤ = 1200 ⎢ ⎥ . (1 + 0, 018 ) 0, 018 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1, 018 )6 − 1 ⎤ = 1200 ⎢ ⎥ . (1, 018 ) ⎢⎣ 0, 018 ⎥⎦ = 1200 . 6, 276568 . 1, 018 = R$7667, 46

2. Um aplicador necessita acumular a quantia de R$ 68.800,00 nos próximos 6 anos. Se depositar no início de todos os meses, a partir de hoje, a quantia de R$ 600,00, em um fundo que paga uma taxa de 1,2% a.m., será que o aplicador acumulará tal valor?

R = 600 n = 6 anos = 72 meses i = 1, 2% a.m. = 0, 012 a.m M M M M M

118

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ =R⎢ ⎥ . (1 + i ) i ⎥⎦ ⎢⎣ ⎡ (1 + 0, 012 )72 − 1 ⎤ = 600 ⎢ ⎥ . (1 + 0, 012 ) 0, 012 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ (1, 012 )72 − 1 ⎤ = 600 ⎢ ⎥ . (1, 012 ) ⎢⎣ 0, 012 ⎥⎦ = 600 . 113, 371782 . 1, 012 = R$68839, 35

Matemática Financeira

SEÇÃO 5 - Sequência uniforme diferida Nesta seção, você estudará a sequência uniforme diferida. A sequência uniforme diferida é uma sequência uniforme que apresenta períodos de carência (m). No período após a carência serão efetuados os pagamentos ou recebimentos. Podemos representar graficamente o fluxo de caixa de uma sequência uniforme diferida do seguinte modo:

Fluxo de caixa

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme diferida: Vm = R . an ¬ i Vm = V (1 + i )

m

m

V (1 + i ) = R . an ¬ i V=

R . an ¬ i

(1 + i )

m

1. Alfredo adquire um carro para ser pago em 10 prestações mensais e iguais de R$ 6.002,16, com 2 meses de carência. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., qual o valor do carro adquirido por Alfredo?

R = 6002,15 n = 10 m=2 i = 2, 5%a.m. = 0, 025a.m. R an ¬i V= m (1 + i ) 10

(1 + 0, 025) − 1 a10 ¬2,5 = 10 (1 + 0, 025) . 0, 025 10 1, 025 ) − 1 ( a10 ¬ 2,5 = = 8, 752064 10 Unidade 8 (1, 025) . 0, 025 V=

6002,16 . 8, 752064

119

Universidade do Sul de Santa Catarina

R = 6002,15 n = 10 m=2 i = 2, 5%a.m. = 0, 025a.m. R an ¬i V= m (1 + i ) 10

(1 + 0, 025) − 1 a10 ¬2,5 = 10 (1 + 0, 025) . 0, 025 10 1, 025 ) − 1 ( a10 ¬ 2,5 = = 8, 752064 10 (1, 025) . 0, 025 V=

6002,16 . 8, 752064

(1, 025)

2

52531, 29 1, 050625 V = R$50000, 04 V=

2. Um empréstimo de R$ 45.000,00 será pago em 10 prestações trimestrais com 2 anos de carência. Calcule o valor das prestações sabendo-se que o agente financeiro cobra uma taxa de 6,5% a.t.

V = 45000 n = 10 trimestres m = 8 trimestres i = 6, 5% a.t = 0, 065 a.t. R . an ¬ i V= m (1 + i )

(1 + 0, 065) − 1 a10 ¬ 6,5 = 10 (1 + 0, 065) . 0, 065 10 1, 065 ) − 1 ( a10 ¬6,5 = 10 (1, 065) . 0, 065 10

a10 ¬ 6,5 =

45000 = 45000 =

1, 877137 − 1 = 7,188830 1, 877137 . 0, 065 R . 7,188830 8

(1 + 0, 065)

R . 7,188830 8

(1, 065)

R . 7,188823 1, 654996 45000 . 1, 654996 R= 7,188830 R = R$10359, 80

45000 =

120

Matemática Financeira

SEÇÃO 6 - Sequência uniforme com parcelas adicionais Nesta seção, você estudará a sequência uniforme com parcelas adicionais. Esta sequência uniforme, como o próprio nome diz, caracteriza-se por apresentar parcelas adicionais. Podemos representar graficamente o fluxo de caixa de uma sequência uniforme com parcelas adicionais do seguinte modo:

Fluxo de caixa

Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme com parcelas adicionais: V = R . an ¬ i + ∑ VX onde VX é o valor atual de cada parcela

adicional.

1. Uma casa é vendida em 24 prestações mensais de R$ 3.500,00 cada, postecipadas, mais 3 prestações semestrais de R$ 7.000,00 cada, também postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento é de 1,5% a.m., qual o preço da casa?

R = 3500 n = 24 meses i = 1, 5% am. = 0, 015 a.m V = R . an ¬ i + ∑ VX

(1 + 0, 015) − 1 an ¬ i = 24 (1 + 0, 015) . 0, 015 24 1, 015 ) − 1 ( an ¬ i = = 20, 030405 24 (1, 015) . 0, 015 24

Unidade 8

121

Universidade do Sul de Santa Catarina

7000

7000

7000

∑V

X

.=

∑V

X

=

∑V

X

=

∑V

X

= 6401, 80 + 5854, 71 + 5354, 38 = 17610, 89

(1 + 0, 015) 7000

(1, 015)

6

+

6

+

(1 + 0, 015)

12

7000

(1, 015)

12

+

+

(1 + 0, 015)

18

7000

(1, 015)

18

7000 7000 7000 + + 1, 093443 1,195618 1, 307341

V = 3500 . 20, 020305 + 17610, 89 V = R$87717, 31 2. Uma máquina é vendida em 10 prestações mensais, sendo 5 prestações iniciais de R$ 5.000,00 postecipadas e 5 prestações finais de R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 5% a.m., qual é o preço da máquina?

V = 5000 . a5¬ 5i +

8000 . a5¬ 5i

(1, 05)

5

(1 + 0, 05) − 1 a5¬ 5 = 5 (1 + 0, 05) . 0, 05 5 1, 05 ) − 1 ( a5¬ 5 = = 4, 329477 5 (1, 05) . 0, 05 5

V = 5000 . 4, 329477 + V = R$48785, 44

122

8000 . 4, 329477 1, 276282

Matemática Financeira

Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade: 1) Calcule o valor da prestação mensal de um empréstimo de R$ 6.000,00 que será amortizado em 12 prestações mensais postecipadas, sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2% a.m.

2) Uma loja vende um automóvel à vista por R$ 16.500,00. Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1º pagamento será efetuado no 1º mês após a compra a uma taxa de juros de 2,1% a.m., qual o valor da prestação?

Unidade 8

123

Universidade do Sul de Santa Catarina

3) Uma mercadoria custa R$ 90.380,71 à vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$ 10.500,00 sendo a primeira prestação dada como entrada. Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 3,5% a.m., qual o número de prestações pagas?

4) Carlos depositou uma certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 2,5% a.m., obtendo um montante de R$ 250.000,00. Quanto depositou mensalmente Carlos?

124

Matemática Financeira

5) Um produto é vendido à vista por R$ 2.000,00 ou em 10 prestações mensais iguais sem entrada, com uma carência de 90 dias após a compra. Qual o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros é de 6% a.m.?

6) Uma casa é colocada à venda por R$ 60.000,00 ou em 36 prestações mensais de R$ 1.600,00 cada uma postecipada mais 3 anuais iguais postecipadas de reforço. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., qual o valor das prestações anuais?

Unidade 8

125

Universidade do Sul de Santa Catarina

7) Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$ 4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o montante no instante do último depósito?

Síntese Nesta unidade, você aprendeu sequências uniformes, postecipadas, antecipadas, diferidas e com parcelas adicionais. Você também desenvolveu a habilidade de cálculo, considerando cada uma destas sequências. Na próxima unidade você estudará depreciação.

126

Matemática Financeira

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente as sequências de capitais, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

„„

GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.

Unidade 8

127

unidade 9

Depreciação Objetivos de aprendizagem n

Identificar o conceito de depreciação.

n Distinguir,

analisar e calcular os diversos tipos de depreciação.

Seções de estudo Seção 1 Depreciação Seção 2 Método de depreciação linear Seção 3 Método de depreciação a taxa constante Seção 4 Método de depreciação de Cole

9

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Você sabe que alguns objetos por diversas razões sofrem desgaste ao longo do tempo. Nesta unidade, você estudará este fenômeno e como calculá-lo através de diversos métodos, basicamente o de depreciação linear, a taxa constante e o de Cole.

SEÇÃO 1 - Depreciação O objetivo desta seção é apresentar o conceito de depreciação. A depreciação de um bem é a perda de valor motivada pelo desgaste, envelhecimento e inovações tecnológicas. A depreciação pode ser entendida como a diferença entre o preço de compra de um bem e o seu valor residual depois de um tempo de uso. Trataremos, nesta unidade, exclusivamente da depreciação teórica, tendo em vista que a depreciação real é muito complexa e antieconômica. A depreciação teórica é uma estimativa da real.

SEÇÃO 2 - Método de depreciação linear Você estudará, nesta seção, o método de depreciação linear. O método de depreciação linear de um bem é muito simples, pois basta dividir a diferença entre o valor de compra e o valor residual pela quantidade de anos de sua vida útil.’

Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação linear: DL =

V −R n

Onde DL = Valor da depreciação Linear V = Valor de compra R = Valor residual

n = Vida útil 130

Matemática Financeira

1. Calcule o valor da depreciação de um automóvel, cujo valor de compra é de R$ 32.000,00, sabendo-se que sua vida útil é de 12 anos e valor residual é de R$ 8.000,00. Faça o plano de depreciação linear.

V = 32000 R = 8000 n = 12 anos V −R DL = n 32000 − 8000 DL = 12 24000 DL = 12 DL = 20000 Plano de depreciação n

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

Residual 32.000,00

1

2000,00

2.000,00

30.000,00

2

2000,00

4.000,00

28.000,00

3

2000,00

6.000,00

26.000,00

4

2000,00

8.000,00

24.000,00

5

2000,00

10.000,00

22.000,00

6

2000,00

12.000,00

20.000,00

7

2000,00

14.000,00

18.000,00

8

2000,00

16.000,00

16.000,00

9

2000,00

18.000,00

14.000,00

10

2000,00

20.000,00

12.000,00

11

2000,00

22.000,00

10.000,00

12

2000,00

24.000,00

8.000,00

Unidade 9

131

Universidade do Sul de Santa Catarina

2. Uma máquina comprada por R$ 168.000,00 após 10 anos de uso terá um valor residual de R$ 48.000,00. Faça o plano de depreciação linear da máquina.

V = 168000 R = 48000 n = 10 anos V −R DL = n 168000 − 48000 DL = 10 120000 DL = 10 DL = 12000 Plano de depreciação n

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

132

Residual 168.000,00

1

12000,00

12.000,00

156.000,00

2

12000,00

24.000,00

144.000,00

3

12000,00

36.000,00

132.000,00

4

12000,00

48.000,00

120.000,00

5

12000,00

60.000,00

108.000,00

6

12000,00

72.000,00

96.000,00

7

12000,00

84.000,00

84.000,00

8

12000,00

96.000,00

72.000,00

9

12000,00

108.000,00

60.000,00

10

12000,00

120.000,00

48.000,00

Matemática Financeira

SEÇÃO 3 - Método de depreciação a taxa constante Nesta seção, você estudará o método de taxa constante. O método de taxa constante é o método que estabelece uma taxa de desconto composto comercial constante para depreciar o valor de um bem ao final de cada período (mês, ano, etc.).

Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação pelo método da taxa constante: R = V (1 − i )

n

Onde V = Valor de Compra R = Valor Residual



n = Vida útil



i = Taxa Constante 1. Elabore um plano de depreciação de um bem pelo método da taxa constante, sabendo que o mesmo foi adquirido por R$ 35.000,00 com vida útil de 6 anos e valor residual de R$ 5.000,00.

R = 5000 V = 35000 n = 6 anos R = V (1 − i )

n

5000 = 35000 (1 − i )

6

5000 6 = (1 − i ) 35000

(1 − i )

6

= 0,14285714

1 − i = ( 0,14285714 )

1

6

1 − i = 0, 72302003 i = 1 − 0, 72302003 i = 0, 27697997 = 27, 697997% a.a.

Unidade 9

133

Universidade do Sul de Santa Catarina

Plano de depreciação n

Taxa Constante

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

Residual 35.000,00

1

27,697997%

9.694,30

9.649,30

25.305,70

2

27,697997%

7.009,17

16.703,47

18.296,53

3

27,697997%

5.067,77

21.771,24

13.228,76

4

27,697997%

3.664,10

25.435,34

9.564,66

5

27,697997%

2.649,22

28.084,56

6.915,44

6

27,697997%

1.915,44

30.000,00

5.000,00

2. Um equipamento adquirido por R$ 50.000,00 terá um valor residual de R$ 10.000,00 após 5 anos de uso. Faça o plano de depreciação deste equipamento pelo Método da Taxa Constante.

R = 10000 V = 50000 n = 5 anos R = V (1 − i )

n

10000 = 50000 (1 − i )

(1 − i )

5

=

5

1 5 1

⎛1⎞ 5 1− i = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 1 − i = 0, 72477966 i = 0, 27522034 = 27, 522034% a.a

134

Matemática Financeira

Plano de depreciação n

Taxa Constante

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

Residual 50.000,00

1

27,522034%

13.761,02

13.761,02

36.238,98

2

27,522034%

9.973,70

23.734,72

26.265,28

3

27,522034%

7.228,74

30.963,46

19.036,54

4

27,522034%

5.239,24

36.202,70

13.797,30

5

27,522034%

3.797,30

40.000,00

10.000,00

SEÇÃO 4 - Método de depreciação Cole Nesta seção, você estudará o método de depreciação de Cole. Este método é elaborado da seguinte maneira: Divide-se o total da depreciação de um bem em frações, onde o numerador deve expressar os períodos que faltam para o final de sua vida útil e o denominador é a soma dos dígitos que representam cada um desses períodos.

Esta é a fórmula para o cálculo de depreciação pelo método de Cole: VD = V − R

Onde VD = Valor da Depreciação Total

V = Valor de Compra



R = Valor Residual

n n −1 1 , , ....................., 1 + 2 + ..... + n 1 + 2 + .... + n 1 + 2 + ...... + n



Unidade 9

135

Universidade do Sul de Santa Catarina

considerando que estas frações deverão ser multiplicadas pelo valor da depreciação total. 1. Elabore o plano de depreciação pelo Método de Cole de uma máquina adquirida por R$ 125.000,00 com um valor residual de R$ 55.000,00 após 5 anos de vida útil.

V = 125000 R = 55000 n = 5 anos VD = V − R VD = 125000 − 55000 VD = 70000 Plano de depreciação n

Fração

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

136

Residual 125.000,00

1

5 15

23.333,33

23.333,33

101.666,67

2

4 15

18.666,67

42.000,00

83.000,00

3

3 15

14.000,00

56.000,00

69.000,00

4

2 15

9.333,33

65.333,33

59.666,67

5

1 15

4.666,67

70.000,00

55.000,00

Matemática Financeira

2. Um agricultor compra um equipamento de uso rural por R$ 100.000,00 e após 6 anos de uso, o preço de revenda é estimado em R$ 35.000,00. Elabore o plano de depreciação pelo Método de Cole.

V = 100000 R = 35000 n = 6 anos VD = V − R VD = 100000 − 35000 VD = 65000 Plano de depreciação n

Fração

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

0

Residual 100.000,00

1

6 21

18.571,43

18.571,43

81.428,57

2

5 21

15.476,19

34.047,62

65.952,38

3

4 21

12.380,95

46.428,57

53.571,45

4

3 21

9.285,71

55.714,28

44.285,72

5

2 21

6.190,48

61.904,76

38.095,24

6

1 21

3.095,24

65.000,00

35.000,00

Unidade 9

137

Universidade do Sul de Santa Catarina

Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade. 1) Um automóvel que custa R$ 42.000,00 será depreciado em 4 anos pelo método de depreciação linear. O valor residual após este período é de R$ 22.000,00. Elaborar o plano de depreciação.

2) Uma máquina no valor de R$ 250.000,00 será depreciada totalmente (sem valor residual), em 10 anos, pelo método de depreciação linear. Elabore o plano de depreciação.

138

Matemática Financeira

3) Um equipamento com tecnologia avançada foi adquirido por R$ 1.250.000,00 e terá um valor residual após 5 anos de uso de R$ 650.000,00. Elabore o plano de depreciação pelo método da taxa constante.

4) Uma máquina adquirida por R$ 50.000,00 terá um valor residual de 30% do valor de compra. Sabendo que sua vida útil é de 6 anos, elabore o plano de depreciação pelo método da taxa constante.

Unidade 9

139

Universidade do Sul de Santa Catarina

5) Uma empresa adquiriu uma máquina para aumentar sua produção por R$ 60.000,00, com vida útil de 5 anos e valor residual de 40% do valor de compra. Elabore o plano de depreciação pelo método de Cole.

Síntese Nesta unidade, você aprendeu a depreciação de um bem e a calcular a depreciação utilizando o método de depreciação linear, o método de depreciação à taxa constante e o método de depreciação de Cole. Na próxima unidade, você estudará as amortizações de empréstimos.

140

Matemática Financeira

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente depreciação, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

KHUNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada e análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 1985. ZEBTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP12C. São Paulo: Atlas, 1994. SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. MOTTA, Regis da Rocha. Análise de investimentos: tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002.

Unidade 9

141

unidade 10

Amortização de empréstimos Objetivos de aprendizagem n

Identificar o conceito de sistemas de amortização de empréstimos.

n Conhecer

as diversas notações, fórmulas e planilhas nos estudos dos sistemas de amortização de empréstimos.

n

Trabalhar com os diversos tipos de amortização de empréstimos.

Seções de estudo Seção 1 Conceito de sistema de amortização de

empréstimo, notações, fórmulas e planilhas utilizadas nos sistemas de amortização de empréstimos

Seção 2 Sistema de amortização constante (SAC) Seção 3 Sistema de amortização francês (price ou SAF)

Seção 4 Sistema de amortização americano (SAA)

10

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Caro aluno, no cotidiano é fácil observar situações que são comuns a um certo número de pessoas, como, por exemplo, contrair empréstimo para aquisição da casa própria. Nesta unidade, você estudará os diversos sistemas de amortização de empréstimos, o sistema de amortização constante, o sistema de amortização francês e o sistema de amortização americano.

SEÇÃO 1 - Conceito de sistemas de amortização de empréstimo, notações, fórmulas e planilhas utilizadas nos sistemas de amortização de empréstimos Nesta seção, você estudará o conceito de sistemas de amortização de empréstimo, assim como as notações, fórmulas e planilhas utilizadas neste sistema.

Sistemas de amortização de empréstimo Por definição, os sistemas de amortização de empréstimos são as variadas formas aplicadas pelos credores para receberem o principal e os juros do devedor.

Considere as seguintes notações no estudo dos sistemas de amortização de empréstimo: St = Saldo devedor no instante t St −1 = Saldo devedor no instante anterior a t i = Taxa de juros Rt = Prestação efetivada no instante t At = Amortização no instante t J t = Juros no período que vai de t-1 a t 144

Matemática Financeira

P = Principal (valor do empréstimo) n = número de períodos

Estas são as fórmulas básicas para o estudo de sistemas de amortização de empréstimo: P = A1 + A2 + ........ + An St = St −1 + J t − Rt At = Rt − J t J t = St −1 . i J t = Rt − At St = St −1 − At

Este modelo de planilha dispõe os elementos fundamentais do sistema de amortização de empréstimo: Período (n)

Amortização ( At )

Juros ( Jt )

Prestações ( Rt )

Saldo Devedor ( St )

Total

Unidade 10

145

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Um empréstimo de R$ 30.000,00 será amortizado trimestralmente da seguinte maneira:

A1 = 5000,

A2 = 7000,

A3 = 8000,

A4 = 10000

Os juros serão também pagos trimestralmente a uma taxa de 8,3%a.t. Construa a planilha do empréstimo. Período

Amortização

Juros

Prestações

Saldo Devedor

(n)

( At )

( Jt )

( Rt )

( St )

0

-

-

-

30000

1

5000,00

2490,00

7490,00

25000

2

7000,00

2075,00

9075,00

18000

3

8000,00

1494,00

9494,00

10000

4

10000,00

830,00

10830,00

-

Total

30000,00

6889,00

36889,00

-

SEÇÃO 2 - Sistema de amortização constante (SAC) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização constante (SAC). O sistema de amortização constante apresenta as seguintes características: „„

„„

146

É o empréstimo em que o principal é amortizado com parcelas constantes (iguais) que se obtém dividindo-se o valor do principal pelo número de prestações. As prestações e os juros são decrescentes.

Matemática Financeira

Estas são as fórmulas utilizadas no sistema de amortização constante (SAC): A = A1 = A2 = A3 = ............ = An = R1 = A + J1 = A + P . i

P n

R2 = A + J 2 = A + ( P − A ) . i = A + P . i − A . i . . . Rn = A + ⎡⎣ P − ( n − 1) . A⎤⎦ . i = A + P . i − ( n − 1) A . i 1. Um banco empresta R$ 50.000,00 a um cliente que deverá ser pago em 10 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de 3,5% a.m., Faça a planilha de empréstimo.

P = 50000 n = 10 P A= n 50000 A= = 5000 10 Período

Amortização

Juros

Prestações

Saldo Devedor

(n)

( At )

( Jt )

( Rt )

( St )

0

50.000,00

1

5.000,00

1750,00

6.750,00

45.000,00

2

5.000,00

1575,00

6.575,00

40.000,00

3

5.000,00

1400,00

6.400,00

35.000,00

4

5.000,00

1225,00

6.225,00

30.000,00

5

5.000,00

1050,00

6.050,00

25.000,00

6

5.000,00

875,00

5.875,00

20.000,00

7

5.000,00

700,00

5.700,00

15.000,00

8

5.000,00

525,00

5.525,00

10.000,00

9

5.000,00

350,00

5.350,00

5.000,00

10

5.000,00

175,00

5.175,00

-

Total

50.000,00

9.625,00

59.625,00

-

Unidade 10

147

Universidade do Sul de Santa Catarina

2. Um banco empresta para uma empresa R$ 150.000,00 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas anuais, com uma carência de 2 anos (a 1ª prestação será paga no início do 3ª ano) a uma taxa de 15% a.a. Os juros serão capitalizados durante a carência. Faça a planilha do empréstimo.

C = 150000 i = 15%a.a = 0,15a.a n=6 m=2 P = C (1 + i )

m

P = 150000 (1 + 0,15 ) = 198375, 00 2

P n 198375 A= = 33062, 50 6 A=

148

Período

Amortização

Prestações

Saldo Devedor

( At )

Juros t

(n)

( Jt )

( Rt )

( St )

0

-

-

-

150.000,00

1

-

-

-

172.500,00

2

-

-

-

198.375,00

3

33.062,50

29.756,25

62.818,75

165.312,50

4

33.062,50

24.796,87

57.859,37

132.250,00

5

33.062,50

19.837,50

52.900,00

99.187,50

6

33.062,50

14.878,12

47.940,62

66.125,00

7

33.062,50

9.918,75

42.981,25

33.062,50

8

33.062,50

4.959,37

38.021,87

-

Total

198.375,00

104.146,86

302.521,86

-

Matemática Financeira

SEÇÃO 3 - Sistema de amortização francês (price ou SAF) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização de empréstimo francês ou tabela price. O sistema de amortização francês (SAF) apresenta as seguintes características: „„

„„

O principal mais os juros são devolvidos em prestações constantes e consecutivas ao final de cada período. As amortizações constituem uma sequência crescente e os juros uma sequência decrescente. Atenção! „„ A taxa de juros deve estar na mesma unidade do

período de capitalização.

„„ Quando o período da taxa não coincide com

o período de capitalização, usamos a Taxa por período de capitalização (Taxa efetiva). „„ O saldo devedor em um determinado instante é igual ao valor atual das prestações a vencer.

Esta é a fórmula utilizada no sistema de amortização francês ou tabela price P = Principal R = Prestação P = R . an ¬ i n

(1 + i ) − 1 onde: an ¬ i = n (1 + i ) . i

Unidade 10

149

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Uma instituição financeira libera um empréstimo para uma indústria no valor de R$ 600.000,00 para ser pago pelo sistema de amortização francês em 120 meses a uma taxa de 1,5% a.m. Faça a planilha até o 4º mês e calcule o saldo devedor no 100º mês.

P = 600000 n = 120 i = 1, 5% a.m = 0, 015 a.m P = R . an ¬ i

(1 + 0, 015) − 1 a120 ¬ 1,5 = 120 (1 + 0, 015) . 0, 015 120 1, 015 ) − 1 ( a120 ¬ 1,5 = = 55, 498454 120 (1, 015) .0, 015 20 1 + 0, 015 ) − 1 ( a20 ¬ 1,5 = 20 (1 + 0, 015) . 0, 015 20 1, 015 ) − 1 ( a20 ¬ 1,5 = = 17,168639 20 (1, 015) . 0, 015 120

V = R . an ¬ i 600000 = R . 55, 498454 600000 = 10811,11 R= 55, 498454 S100 = 10811,11 . 17,168639 S100 = R$185612, 04 Período

Amortização

Juros

Prestações

Saldo Devedor

(n)

( At )

( Jt )

( Rt )

( St )

-

-

600.000,00

0

150

1

1.811,11

9.000,00

10.811,11

598.188,89

2

1.838,28

8.972,83

10.811,11

596.350,61

3

1.865,85

8.945,26

10.811,11

594.484,76

4

1.893,84

8.917,27

10.811,11

592.590,92

Matemática Financeira

2. Um banco empresta R$ 200.000,00 para uma empresa, cuja devolução deverá ser feita em 12 prestações trimestrais pela tabela price. A taxa de juros cobrada é de 16% a.a. Ache o saldo devedor após pagar a 5ª prestação.

P = 200000 n = 12 16% = 4% a.t = 0, 04 a.t i= 4

(1 + 0, 04 ) − 1 a12 ¬ 4 = 12 (1 + 0, 04 ) . 0, 04 12 1, 04 ) − 1 ( a12 ¬ 4 = = 9, 385074 12 (1, 04 ) . 0, 04 12

R=

200000 = 21310, 43 9, 385074

S5 = R . a7 ¬ 4 7

(1 + 0, 04 ) − 1 a7 ¬4 = 7 (1 + 0, 04 ) . 0, 04 7 1, 04 ) − 1 ( a7 ¬ 4 = 6, 002055 7 (1, 04 ) . 0, 04 S5 = 21310, 43 . 6, 002055 = R$127906, 37

Unidade 10

151

Universidade do Sul de Santa Catarina

SEÇÃO 4 - Sistema de amortização americano (SAA) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização americano (SAA). O sistema de amortização americano apresenta as seguintes características: „„ „„

O principal do empréstimo é pago de uma só vez. Os juros podem ser pagos periodicamente ou serem capitalizados e pagos no final do vencimento do empréstimo. 1. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sistema de amortização americano. Os juros serão capitalizados. Observe a planilha. Período

Amortização

Juros

Prestações

Saldo Devedor

(n)

( At )

( Jt )

( Rt )

( St )

0

-

-

-

350.000,00

1

-

-

-

402.500,00

2

-

-

-

462.875,00

3

-

-

-

532.306,25

4

612.152,19

-

612.152,19

-

Total

612.152,19

-

612.152,19

-

2. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sistema de amortização americano. Os juros serão pagos no final de cada ano. Observe a planilha.

152

Período

Amortização

Juros

Prestações

Saldo Devedor

(n)

( At )

( Jt )

( Rt )

( St )

0

-

-

-

350.000,00

1

-

52.500,00

52.500,00

350.000,00

2

-

52.500,00

52.500,00

350.000,00

3

-

52.500,00

52.500,00

350.000,00

4

350.000,00

52.500,00

402.500,00

-

Total

350.000,00

210.000,00

560.000,00

-

Matemática Financeira

Atividades de autoavaliação A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades programadas para a sua autoavaliação. 1) Um cliente solicita a um banco um empréstimo de R$ 40.000,00 pelo sistema de amortização francês em 60 prestações mensais. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 2,8% a.m., obtenha o valor da prestação e o saldo devedor depois de pagar a 20ª prestação.

Unidade 10

153

Universidade do Sul de Santa Catarina

2) Um empréstimo de R$ 20.000,00 deverá ser pago em 5 prestações bimestrais pelo sistema de amortização constante com juros de 8% a.b. Elaborar o plano de amortização do empréstimo (planilha).

3) Um empréstimo de R$ 250.000,00 vai ser amortizado em 5 prestações anuais pelo SAC com uma taxa de juros de 8,5% a.a. com carência de 2 anos. Os juros serão pagos durante a carência. Faça a planilha.

154

Matemática Financeira

4) Um empréstimo de R$ 300.000,00 será saldado em 50 prestações mensais a uma taxa de 1,5% a.m. Determine a parcela de juros relativa a 15ª prestação pelo sistema de amortização francês (price).

5) Um valor de R$ 500.000,00 é financiado a um cliente de um banco que cobra uma taxa de 7,5% a.a. para ser amortizado pelo sistema americano com 4 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha. de compra.

Unidade 10

155

Universidade do Sul de Santa Catarina

Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de sistema de amortização de empréstimos. Especificamente, você aprendeu o sistema de amortização constante, o sistema de amortização francês e o sistema de amortização americano. Na próxima unidade, você estudará inflação e correção monetária.

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente os sistemas de amortização de empréstimos, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

„„

„„

„„

„„

156

GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.

unidade 11

Inflação e correção monetária Objetivos de aprendizagem n

Distinguir os conceitos de inflação e correção monetária.

n Determinar

índice de preços, variação percentual de preços (taxa de inflação) e taxa de desvalorização da moeda.

n

Determinar a taxa de inflação acumulada, aparente e real.

n

Corrigir valores monetários.

Seções de estudo Seção 1 Conceito de inflação, índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação)

Seção 2 Taxa de desvalorização monetária Seção 3 Taxa acumulada de inflação Seção 4 Taxa aparente e taxa real Seção 5 Correção monetária

11

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Você sabe que quando o preço das mercadorias sobe num curto período de tempo, ocorre uma perda de poder aquisitivo do seu dinheiro. Nesta unidade, estudaremos esta relação em função da perspectiva da inflação. Você estudará o conceito de inflação, os índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de desvalorização da moeda, a taxa acumulada de inflação, as taxas aparente e real de juros além de correção monetária.

SEÇÃO 1 - Conceito de inflação, índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação) Nesta seção, você estudará o conceito de inflação, o índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação).

Inflação A inflação é um fenômeno que atinge a maioria das economias mundiais. Ela é caracterizada por alta persistente e generalizada dos preços de bens de consumo, capitais, produção, insumos e mão-de-obra. A inflação é calculada em diversos índices de preços em um período.

Esta é a fórmula para o cálculo do índice de preços em um período PP P(0,t)= = t t p0p0

Os índices de preços mais conhecidos no Brasil são o IPA, o IPCA, o INPC e o IGPM.

158

Matemática Financeira

Esta é a fórmula para o cálculo da variação percentual de preços (taxa de inflação): J=

Pt −1 P0 1. Em 01/06/2004, o preço de um produto era de R$ 5,50. Em 10/07/2004, o preço do mesmo era de R$ 6,20. Qual a taxa de inflação do período?

Pt = 6, 20 P0 = 5, 50 J=

Pt −1 P0

6, 20 −1 5, 50 J = 1,127273 − 1 J = 0,127273 = 12, 73% a. p J=

SEÇÃO 2 - Taxa de desvalorização monetária Nesta seção, você estudará a taxa de desvalorização monetária. A taxa de desvalorização da moeda mede a perda do poder de compra da moeda causada pela inflação. Dado que TDM = Taxa de desvalorização da Moeda J = Taxa de inflação do período

Esta é a fórmula para o cálculo da taxa de desvalorização monetária: TDM =

J 1+ J

Unidade 11

159

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Se a taxa de inflação for de 6,5% num período. Qual a taxa de desvalorização monetária correspondente?

J = 6, 5%a. p = 0, 065a. p. J 1+ J 0, 065 TDM = 1 + 0, 065 0, 065 = 0, 061 = 6,1% a. p. TDM = 1, 065

TDM =

2. Se a taxa de inflação num dado período for de 30%. Qual a queda do poder de compra ao final do período?

J = 30% a. p = 0, 30 J 1+ J 0, 30 TDM = 1 + 0, 30 0, 30 = 0, 230769 = 23, 08% a. p TDM = 1, 30

TDM =

SEÇÃO 3 - Taxa acumulada de inflação Nesta seção, você estudará a taxa acumulada de inflação.

Esta é a fórmula para o cálculo da taxa acumulada de inflação: J AC = (1 + J1 ) (1 + J 2 ) (.............) (1 + J n ) − 1

Onde, J1, J2...Jn são as taxas de inflação por períodos, e, J AC = Taxa acumulada de inflação

160

Matemática Financeira

1. Em 5 meses consecutivos, o preço de uma mercadoria aumentou 1,5%, 1,6%, 2%, 2,1% e 2,2%. Qual a taxa acumulada de inflação do período?

J AC = (1 + 0, 015 ) (1 + 0, 016 ) (1 + 0, 02 ) (1 + 0, 021) (1 + 0, 022 ) − 1 J AC = 1, 097581 − 1 = 0, 097581 = 9, 76% a. p 2. Se em 2 meses consecutivos as taxas de inflação foram respectivamente 2,2% e 2,5%. Qual a taxa de inflação acumulada no bimestre?

J AC = (1 + 0, 022 ) (1 + 0, 025 ) − 1 J AC = 1, 04755 − 1 = 0, 04755 = 4, 75% a.b 3. Se a taxa de inflação acumulada no bimestre é de 3,5%, e no 1º mês a taxa de inflação foi de 2,1%, qual a taxa de inflação do 2º mês?

J AC = (1 + J1 ) (1 + J 2 ) − 1 0, 035 = (1 + 0, 021) (1 + J 2 ) − 1 0, 035 + 1 = 1, 021 (1 + J 2 ) 1, 035 = 1, 021 (1 + J 2 ) 1, 035 1, 021 1 + J 2 = 1, 013712

1+ J2 =

J 2 = 1, 013712 − 1 = 0, 013712 = 1, 37%

SEÇÃO 4 - Taxa aparente e taxa real Nesta seção, você estudará a taxa aparente e a taxa real. A taxa aparente é a taxa que incide sobre uma operação financeira em termos nominais, incluindo-se assim os efeitos inflacionários. A taxa real se refere ao ganho obtido após haver descontado da remuneração a inflação. Vamos considerar que: r = Taxa real de juros do período

i = Taxa aparente do período

J = Taxa de inflação do período Unidade 11

161

Universidade do Sul de Santa Catarina

Sabemos que: M 1 = C (1 + i ) M 2 = C (i + J )

Assim, esta é a fórmula para o cálculo da taxa aparente e da taxa real: r=

M1 −1 M2

r +1 =

C (1 + i ) C (1 + J )

1+ i 1+ J 1+ i r= −1 1+ J r +1 =

1. Um banco em suas aplicações financeiras usa uma taxa aparente de 35% a.a. Se a taxa de inflação for de 25% a.a., qual o ganho real auferido pelo banco?

i = 35% a.a = 0, 35 a.a. J = 25% a.a. = 0, 25 a.a 1+ i −1 r= 1+ J 1 + 0, 35 r= −1 1 + 0, 25 1, 35 r= −1 1, 25 r = 1, 08 − 1 r = 0, 08 = 8% a.a.

162

Matemática Financeira

2. Durante dois semestres consecutivos, as taxas de inflação foram de 8% e 10%. Se um investidor aplicou seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros de 18%a.a., qual a sua taxa real de perda?

J1 = 8% a.s = 0, 08 a.s J 2 = 10 %a.s = 0,10 a.s i = 18% a.a J AC = (1 + 0, 08 ) (1 + 0,10 ) − 1 J AC = 1, 08 . 1,10 − 1 J AC = 1,1880 − 1 = 0,1880 1+ r =

1+ i 1 + J AC

1 + 0,18 1 + 0,1880 1,18 1+ r = 1,1880 r = 0, 993266 − 1 r = −0, 06734 = 0, 6734% de perda no perÌodo 1+ r =

SEÇÃO 5 - Correção monetária Nesta seção, você estudará a correção monetária. A correção monetária é o mecanismo utilizado para corrigir o valor da moeda corroida pela inflação. Dado que P = Principal J AC = Taxa de correção acumulada Vc = Valor corrigido

Decorre que o valor do principal ( P ) corrigido monetariamente da data zero até a data n é calculado pela seguinte fórmula: Vc = P + P . J AC = P (1 + J1 ) . (1 + J 2 ) . (..........) . (1 + J n )

Unidade 11

163

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser atualizada monetariamente por 3 meses com as seguintes taxas de correção: 1,8%, 2% e 2,2%. Qual o valor da dívida corrigida?

P = 50000 J1 = 1, 8% = 0, 018 J 2 = 2% = 0, 02 J 3 = 2, 2% = 0, 022 VC = 50000 (1 + 0, 018 ) . (1 + 0, 02 ) . (1 + 0, 022 ) VC = 53060, 20

Atividades de autoavaliação Caro aluno, considere as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade e responda as questões a seguir: 1) O preço de uma mercadoria no início do mês de abril de um determinado ano era de R$ 620,00; a mesma mercadoria no início de maio do mesmo ano custava R$ 655,00. Qual a taxa de inflação do mês?

164

Matemática Financeira

2) Por três meses consecutivos as taxas de inflação foram: 0,96%, 1,2% e 1,4% respectivamente. Qual a taxa de inflação acumulada no trimestre?

3) Se a taxa de inflação de um dado período é de 22,3%, qual a queda do poder aquisitivo ao final do período?

4) Uma instituição financeira deseja ter um ganho real de 8% a.a. nas suas operações de empréstimos. Se a taxa de inflação prevista para o ano é de 25%, qual a taxa aparente usada pela instituição?

Unidade 11

165

Universidade do Sul de Santa Catarina

5) Paulo comprou em uma loja mercadorias no valor total de R$ 22.500,00, que deveria ser pago um mês após a compra. Por motivos financeiros Paulo só efetuou o pagamento três meses depois do vencimento. As taxas de correção nos meses de atraso foram respectivamente 0,8%, 0,9% e 1,2%. Quanto Paulo pagou pela dívida, sem juros?

Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de inflação, os índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de desvalorização da moeda, a taxa acumulada de inflação, as taxas aparente e real de juros além de correção monetária. Na próxima unidade, você aprenderá a usar a calculadora HP12C nos problemas econômicos e financeiros.

166

Matemática Financeira

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente inflação e correção monetária, utilize as seguintes bibliografias: „„

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GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de Investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986.

Unidade 11

167

unidade 12

Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C Objetivos de aprendizagem n

Utilizar corretamente as funções da calculadora HP-12C.

n Operar

n

as funções básicas da calculadora HP-12C.

Resolver os problemas financeiros usando a calculadora HP-12C.

Seções de estudo Seção 1 Estudo da utilização da calculadora HP-12C Seção 2 Operações básicas utilizando a calculadora HP-12C

Seção 3 Resolver problemas financeiros utilizando a calculadora HP-12C

12

Universidade do Sul de Santa Catarina

Para início de estudo Caro aluno, nesta unidade, você estudará algumas operações práticas de matemática financeira utilizando a calculadora HP12C. Você aprenderá o manuseio básico desta calculadora, as suas operações básicas assim como a resolução de problemas financeiros mais complexos.

SEÇÃO 1 - Estudo da utilização da calculadora HP-12C Esta seção trata da utilização da calculadora HP-12C. Realizar cálculos financeiros sem uso de uma boa calculadora de qualidade é uma tarefa muito complicada. Uma calculadora muito utilizada por profissionais do mercado financeiro é a HP-12C, tendo em vista a facilidade de compreensão na realização de cálculos. A seguir, apresentaremos os procedimentos básicos necessários para o seu uso: 1. Para ligar a calculadora, pressione a tecla (ON). 2. Para apagar o que aparece no visor, pressione a tecla (CLX). 3. Para apagar todos os registros, pressione as teclas ( f ) (REG). 4. Para apagar as memórias financeiras, pressione as teclas ( f ) (FIN). 5. Para introduzir um número no visor da calculadora, basta teclar o número e pressionar a tecla (ENTER). 6. Para armazenar um número na memória, tecle o número desejado e pressione as teclas (STO) e após qualquer dígito de “0” a “9” ou “.0” a “.9”. 7. Para buscar um número na memória, tecle (RCL) e o dígito que você usou para armazená-lo. 8. Para fixar a quantidade de casas decimais, tecle ( f ) e o dígito que vai representar o número de casas decimais desejada. 170

Matemática Financeira

9. Para trocar no visor o ponto pela vírgula, deve-se desligar a calculadora e pressionar a tecla (.) juntamente com a tecla (ON) e soltar primeiramente a tecla (ON). 10. Para calcularmos o número de dias entre duas datas, limpe o visor da calculadora e digite a data inicial da seguinte maneira: dia mês e ano ( g ) (DMY) (ENTER) e digite a data final: dia mês e ano e use as teclas ( g ) ( � DYS ). 1. Calcule o número de dias entre as datas: 03/01/2004 e 23/08/2004. (f) (Reg) 03.012004 ( g ) (DMY) (ENTER) 23.082004 ( g ) ( � DYS ) --> 233 dias

SEÇÃO 2 - Operações básicas utilizando a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará algumas funções básicas da calculadora HP-12C, como operações aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural e o cálculo da porcentagem.

Operações aritméticas Para efetuar as operações aritméticas simples, introduza o primeiro número e pressione a tecla (ENTER), introduza o segundo número e a operação a ser realizada. Os números deverão ser introduzidos obedecendo às regras das operações aritméticas.

Unidade 12

171

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Calcule: a) 80 X 5 Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 80 (ENTER) 5 ( X )

400

Produto

Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 16 (ENTER) 18( CHS ) (ENTER) 6 ( ) ( + )

13

Apresenta o Resultado Final

b) 16 – 18

6

Cálculo da potência Para elevarmos um número a um expoente qualquer , basta pressionar as teclas: ( f ) (REG) ( Y ) (ENTER) ( X ) e Y X . 1. Calcule: a) 36 Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 3 (ENTER) 6 ( Y X )

729

Potência

b)

Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 1(ENTER) 3 ( ) (ENTER) 5 Y X

0,004115

Potência

Cálculo do inverso de um número Para calcular o inverso de um número basta introduzir um número X e pressionar a tecla 1 . X

172

Matemática Financeira

1. Calcule o inverso de 12: Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 12 [ 1 X ]

0,083333

Inverso

Cálculo da raiz quadrada Para calcular a raiz quadrada, utilizando a calculadora HP-12C, basta introduzir um número X > 0 e pressionar as teclas: ( g ) ( X ). 1. Calcule a raiz quadrada de 16. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 16 ( g ) X

4

Raiz quadrada

Atenção! Quando queremos calcular raiz cúbica, raiz quarta, etc. de um número X, usamos o procedimento da potenciação.

1. Calcule a raiz cúbica de 27. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 27 (ENTER) 3 ( 1 X ) ( Y X )

3

Raiz cúbica

Cálculo do logaritmo natural Para calcularmos o logaritmo natural de um número X > 0, basta introduzir na calculadora HP-12C um número e pressionar as teclas: ( g ) ( ln ). Unidade 12

173

Universidade do Sul de Santa Catarina

1. Calcule o logaritmo natural do número 5. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 5 ( g ) ( ln )

1,609438

Logaritmo natural

Cálculo de porcentagem Para calcularmos a porcentagem de um número, basta digitar o número X e pressionar a tecla (ENTER) na calculadora, introduzir a porcentagem e pressionar ( % ). 1. Calcule 25% de 200. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 200 (ENTER) 25 ( % )

50

Valor da Porcentagem

2. Se uma mercadoria é vendida por R$1.800,00 para pagamento em 30 dias. Qual o valor à vista se a loja oferece um desconto de 12 %? Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 1800 (ENTER) 12 ( % )( - )

216

1584

SEÇÃO 3 - Resolver problemas financeiros utilizando a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará como calcular, utilizando a calculadora HP-12C, o regime de capitalização simples, o regime de capitalização composta, assim como as sequências uniformes de termos postecipados e antecipados.

174

Matemática Financeira

Considere estas teclas da calculadora HP-12C como essenciais para a resolução de problemas financeiros n = prazo i = taxa de juros por período de capitalização PV = valor presente (capital inicial) PMT = valor da prestação da série uniforme FV = valor futuro (montante)

Regime de capitalização simples Para calcular os juros simples na HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. Lembre-se: a taxa deve ser anual e o prazo em dias. 1. Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa de 15% a.a. durante 210 dias. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV )

-2500

Capital

210 ( n )

210

Prazo

15 ( i )

15

Taxa

( f ) ( INT )

218,75

Juros

+

2718,75

Montante

2. Calcule os juros simples exatos e o montante de um capital de R$ 2.500,00 aplicado durante 210 dias a uma taxa de 15% a.a. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV )

-2500

Capital

210 ( n )

210

Prazo

15 ( i )

15

Taxa

215,75

Juros

2715,75

Montante

( f ) ( INT ) ( R ↓ ) ( X

> <

Y)

+

Unidade 12

175

Universidade do Sul de Santa Catarina

Regime de capitalização composta No regime de capitalização composta, usamos as teclas brancas. Para calcular o regime de capitalização composta utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. 1. Qual o montante obtido pela aplicação de um capital de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m. durante 6 meses? Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 5000 ( CHS ) ( PV )

-5000

Capital

6(n)

6

Prazo

2,5 ( i )

2,5

Taxa

(FV)

5798,47

Montante

2. Calcule os juros de um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 4,5% a.m. Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 100000 ( CHS ) ( PV )

-100000

Capital

8(n)

8

Prazo

4,5 ( i )

4,5

Taxa

(FV)

142210,06

Montante

(RCL) (PV) ( + )

42210,06

Juros

3. Se um capital de R$ 130.000,00 foi aplicado a juros compostos em um fundo que rende 1,8% a.m. e sabendo-se que o valor de resgate foi de R$ 144.687,17, qual o prazo da aplicação?

176

Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 130000 ( CHS ) ( PV )

-130000

Capital

1,8 ( i )

1,8

Taxa

144687,17 (FV)

144687,17

Montante

(n)

6

Prazo

Matemática Financeira

4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 300.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. A taxa de juros do mercado é de 23% a.a. Quanto esta pessoa deverá depositar hoje para fazer frente a este compromisso? Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 300000 ( CHS ) ( FV )

-300000

Montante

23 ( i )

23

Taxa

2 (n)

2

Prazo

( PV )

198294,66

Capital

5. Um capital de R$ 250.000,00 é emprestado a uma taxa de juros compostos de 16% a.a. pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Qual o montante pelas convenções linear e exponencial? Convenção Linear (sem a letra c no visor) Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 250000 ( CHS ) ( PV )

-250000

Capital

3,666667 ( n )

3,666667

Prazo

16 ( i )

16

Taxa

( FV )

431847,91

Montante

Convenção Exponencial (Com a letra c no visor) Para cálculos pela convenção exponencial na HP-12C é necessário introduzir no visor a letra c. Para isto, basta pressionar as teclas (STO) (EEX) Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) (STO)(EEX)

0,000000 c

Introdução da letra c

250000 (CHS) (PV)

-250000 c

Capital

3,666667 ( n )

3,666667 c

Prazo

16 ( i )

16 c

Taxa

( FV )

430810,21 c

Montante

Unidade 12

177

Universidade do Sul de Santa Catarina

Sequências uniformes As sequências uniformes de termos, postecipados e antecipados, também podem ser calculadas com a calculadora HP-12C.

Sequência uniforme de termos postecipados Para calcular a sequência uniforme de termos postecipados utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. 1. Uma loja vende uma mercadoria em 8 prestações mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga 30 dias após a compra. A taxa de juros é de 4,5% a.m. Qual o preço da mercadoria à vista? Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 300(CHS) (PMT)

-300

Prestação

8(n)

8

Prazo

4,5 ( i )

4,5

Taxa

( PV )

1978,76

Preço à vista

2. Um correntista deposita ao final de cada mês a quantia de R$ 5.000,00. Durante 10 meses, o banco remunera com uma taxa de juros compostos de 2,8% a.m. Qual o montante ao final do último depósito?

178

Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 5000 (CHS) (PMT)

-5000

Prestação

10 ( n )

10

Prazo

2,8 ( i )

2,8

Taxa

( FV )

56794,24

Montante

Matemática Financeira

3. Um correntista deposita em um fundo durante 10 meses uma certa quantia. O saldo final é de R$ 50.000,00. Sabendo que o banco remunera com uma taxa de juros compostos 1,8% a.m., pergunta-se: qual o depósito mensal do correntista? Tecla

Visor

Resultado

( f ) (REG) 50000 (CHS) (FV)

-50000,

Montante

10 ( n )

10

Prazo

1,8 ( i )

1,8

Taxa

( PMT )

4608,24

Depósito

Sequência uniforme de termos antecipados Nas sequências uniformes de termos antecipados, use as teclas ( g ) (BEG), aparecendo no visor a expressão (BEGIN). Para calcular a sequência uniforme de termos antecipados, utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimento análogo ao exemplo seguinte. 1. Uma loja vende uma mercadoria em 5 prestações mensais e iguais de R$580,00 sendo a primeira dada como entrada. A loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 1,3% a.m. Qual o preço da mercadoria à vista? Tecla

Visor

Resultado

( g ) (BEG)

0,000000 (BEGIN)

Introdução da palavra BEGIN

( f ) (REG) 580 (CHS) (PMT)

-580

Prestação

5(n)

5

Prazo

1,3 ( i )

1,3

Taxa

( PV )

2826,52

Preço à Vista

Unidade 12

179

Universidade do Sul de Santa Catarina

Atividades de autoavaliação Leia com atenção as questões propostas e resolva-as utilizando a calculadora HP-12C. 1) Resolva as expressões numéricas: a) 1 + 10 + 5 . 2 b) 5 + 729 c)

3

27 + 2 . 3 ÷ 2

d) 32 +

1 9



e) ln 2 + ln 15

180

Matemática Financeira

2) Calcule 15% de R$ 1.060,00

3) Uma mercadoria é vendida por R$ 18.000,00 para pagamento em 2 meses. À vista, a loja oferece um desconto de 25%. Qual o preço da mercadoria à vista?

4) Qual o número de dias entre as datas: 21/03/2004 e 25/09/2004?

Unidade 12

181

Universidade do Sul de Santa Catarina

5) Uma pessoa nasceu no dia 22/03/1972 e faleceu em 25/06/2004, quantos dias esta pessoa viveu?

6) Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 25.000,00 aplicado a uma taxa de 12% a.a. durante 3 meses.

7) Quais os juros simples exatos de uma aplicação de R$ 4.320,00 durante 830 dias a uma taxa de 30% a.a.

182

Matemática Financeira

8) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 22.500,00 a uma taxa de juros compostos de 3,2% a.m., durante 25 meses.

9) Calcule os juros compostos de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 2 anos e 3 meses a uma taxa de 5% a.t.

10) Maria aplicou R$ 35.500,00 em um banco que paga uma taxa de juros compostos de 26% a.a. durante 20 meses. Determine o montante recebido utilizando as convenções linear e exponencial.

Unidade 12

183

Universidade do Sul de Santa Catarina

11) Gustavo emprestou a quantia de R$ 1.545,00 a seu amigo. A taxa cobrada pelo empréstimo foi de 25%a.a. e o prazo de 3 anos e 5 meses. Calcule o valor que Gustavo obteve pelas convenções linear e exponencial.

12) Qual o montante obtido ao efetuarmos 20 depósitos de R$ 1.200,00 iguais e mensais a uma taxa de 3,1% a.m.?

13) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 12.000,00, mas a mesma pode ser financiada em 6 prestações mensais e iguais de R$ 2.400,00 cada, sendo a primeira dada como entrada. Qual a taxa mensal de juros do financiamento?

184

Matemática Financeira

Síntese Nesta unidade, você aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C para resolver os problemas financeiros, tais como operações aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural e o cálculo da porcentagem. Você também aprendeu como calcular o regime de capitalização simples, o regime de capitalização composta, assim como as sequências uniformes de termos postecipados e antecipados – utilizando a calculadora HP12C. Parabéns pelo empenho e comprometimento em sua caminhada!

Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente o uso da calculadora HP-12C, utilize as seguintes bibliografias: „„

„„

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„„

„„

„„

GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira, objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999. .SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. ZENTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP-12c. São Paulo: Atlas. 1994. Unidade 12

185

Para concluir o estudo Na disciplina Matemática Financeira, você aprendeu conceitos importantes, efetuou cálculos financeiros para determinar: juros, capitais, montantes, taxas, prazos e descontos nos regimes juros simples e compostos. Trabalhou com sequências uniformes e analisou as diversas modalidades de empréstimos, usou os diversos métodos para depreciar um bem. Entendeu a diferença entre Inflação e Correção Monetária e ainda aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C como instrumento facilitador na resolução dos problemas. Tenho certeza que você usará os conhecimentos adquiridos no seu dia-a-dia e em futuras disciplinas da área.

Professor Maurici José Dutra

Referências BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. FRANCISCO, Walter De. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 1985. GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. KUHNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira: aplicada e análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira, objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos. São Paulo: Atlas, 2003 SCHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. ZENTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1994

Sobre o professor conteudista Maurici José Dutra é mestre em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É graduado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É professor aposentado da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi membro do conselho departamental da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi coordenador de ensino do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi professor e chefe do Departamento de Matemática da Fundação Universitária de Criciúma (FUCRI) de 1973 a 1975. Foi professor da Fundação e Sistema Barddal de Ensino de 2000 a 2004. Atualmente, é professor da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). É membro do núcleo de estudo em educação Matemática (NEEM). Professor-tutor na modalidade de ensino a distância da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL).

Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Após resolver as atividades de autoavaliação, confira as respostas, desprezando as possíveis e mínimas diferenças causadas pelos arredondamentos das calculadoras.

Unidade 1 1) Converta para a forma percentual 0,36=36% 1,25=125%

2) Converta para a forma unitária 12%=0,12 212%=2,12

3)

4) Período (n)

Juros Simples

Juros Compostos

Juros

Montante

Juros

Montante

1

100,00

2.100,00

100,00

2.100,00

2

100,00

2.200,00

105,00

2.205,00

3

100,00

2.300,00

110,25

2.315,25

4

100,00

2.400,00

115,76

2.431,01

Universidade do Sul de Santa Catarina

5) Ótica do captador

Ótica do captador

Unidade 2 1)

2)

3) obs.: 24 meses = 2 anos

194

Matemática Financeira

4)

5) n=92 dias

J=C.i.n

Je = 62000.0,125.

92 = 1953,42 365

Jc = 62000.0,125.

91 = 1959,03 360

6)

7)

195

Universidade do Sul de Santa Catarina

8)

77

120,46

9)

72 ⎞ 85 ⎞ ⎛ ⎛ x (1 + 0, 01.2) + x = 6000 ⎜1 + 0, 01. ⎟ + 10000 ⎜1 + 0, 01. ⎟ ⎝ ⎝ 30 ⎠ 30 ⎠ 1, 02 x + x = 6170 + 10240 2, 02 x = 16410 x=

10)

196

16410 = 8123, 76 2, 02

Matemática Financeira

3� � x = 6500 �1 + 0,18. ÷ + � 12 �

8000 1 + 0,18.

x = 6792 + 7767, 00 = 14559,50

2 12

Unidade 3 1)

2)

3)

197

Universidade do Sul de Santa Catarina

4)

5)

Unidade 4 1)

2)

3)

198

Matemática Financeira

4)

5)

6)

7)

199

Universidade do Sul de Santa Catarina

Unidade 5 1)

2)

3)

4)

200

Matemática Financeira

5)

Unidade 6 1)

2)

201

Universidade do Sul de Santa Catarina

3)

4)

5)

6)

202

Matemática Financeira

7)

8)

Unidade 7 1)

203

Universidade do Sul de Santa Catarina

2)

3)

4) Alternativa A R$150.000 Alternativa B

A melhor alternativa é a “A”.

204

Matemática Financeira

5)

Unidade 8 1)

2)

205

Universidade do Sul de Santa Catarina

3)

4)

206

Matemática Financeira

5)

6)

7)

207

Universidade do Sul de Santa Catarina

Unidade 9 1)

DL = 5000 n

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

Residual

0

-

-

42.000,00

1

5.000,00

5.000,00

37.000,00

2

5.000,00

10.000,00

32.000,00

3

5.000,00

15.000,00

27.000,00

4

5.000,00

20.000,00

22.000,00

2)

DL = 25.000

208

n

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

Residual

0

-

-

250.000,00

1

25.000,00

25.000,00

225.000,00

2

25.000,00

50.000,00

200.000,00

3

25.000,00

75.000,00

175.000,00

4

25.000,00

100.000,00

150.000,00

5

25.000,00

125.000,00

125.000,00

6

25.000,00

150.000,00

100.000,00

7

25.000,00

175.000,00

75.000,00

8

25.000,00

200.000,00

50.000,00

9

25.000,00

225.000,00

25.000,00

10

25.000,00

250.000,00

-

Matemática Financeira

3) R = V (1 − i )

n

650000 = 1250000 (1 − i )

5

i = 0,12259386 = 12, 259386% a.a n

Taxa Constante

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

Residual

0

-

-

-

1.250.000,00

1

12,259386

153.242,32

153.242,32

1.096.757,68

2

12,259386

134.455,76

287.698,08

962.301,92

3

12,259386

117.972,31

405.670,39

844.329,61

4

12,259386

103.509,63

509.180,02

740.819,98

5

12,259386

90.819,98

600.000,00

650.000,00

4) R = V (1 − i )

n

15000 = 50000 (1 − i )

6

i = 0,18181118 = 18,181118% a.a. n

Taxa Constante

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

Residual

0

-

-

-

50.000,00

1

18,181118%

9.090,56

9.090,56

40.909,44

2

18,181118%

7.437,79

16.528,35

33.471,65

3

18,181118%

6.085,52

22.613,87

27.386,13

4

18,181118%

4.970,10

27.592,97

22.407,03

5

18,181118%

4.073,85

31.666,82

18.333,18

6

18,181118%

3.333,18

35.000,00

15.000,00

209

Universidade do Sul de Santa Catarina

5) VD = 60000 − 24000 = 36000 n

Fração

Valor da Depreciação

Depreciação Acumulada

Residual

0

-

-

-

60.000,00

1

5 15

12.000,00

12.000,00

48.000,00

2

4 15

9.600,00

21.600,00

38.400,00

3

3 15

7.200,00

28.800,00

31.200,00

4

2 15

4.800,00

33.600,00

26.400,00

5

1 15

2.400,00

36.000,00

24.000,00

Unidade 10 1)

210

Matemática Financeira

2)

A=

20000 = 4000 5

n

Amortização

Juros

Prestação

Saldo Devedor

0

-

-

-

20.000,00

1

4.000,00

1.600,00

5.600,00

16.000,00

2

4.000,00

1.280,00

5.280,00

12.000,00

3

4.000,00

960,00

4.960,00

8.000,00

4

4.000,00

640,00

4.640,00

4.000,00

5

4.000,00

320,00

4.320,00

-

Total

20.000,00

4.800,00

24.800,00

-

n

Amortização

Juros

Prestação

Saldo Devedor

0

-

-

-

250.000,00

1

-

21.250,00

21.250,00

250.000,00

2

-

21.250,00

21.250,00

250.000,00

3

50.000,00

21.250,00

71.250,00

200.000,00

4

50.000,00

17.000,000

67.000,00

150.000,00

5

50.000,00

12.750,00

62.750,00

100.000,00

6

50.000,00

8.500,00

58.500,00

50.000,00

7

50.000,00

4.250,00

54.250,00

-

Total

250.000,00

106.250,00

356.250,00

-

3)

211

Universidade do Sul de Santa Catarina

4)

5)

212

n

Amortização

Juros

Prestação

Saldo Devedor

0

-

-

-

500.000,00

1

-

37.500,00

37.500,00

500.000,00

2

-

37.500,00

37.500,00

500.000,00

3

-

37.500,00

37.500,00

500.000,00

4

500.000,00

37.500,00

537.500,00

-

Total

500.000,00

150.000,00

650.000,00

-

Matemática Financeira

Unidade 11 1)

2)

3)

4)

5)

213

Universidade do Sul de Santa Catarina

Unidade 12 1)

a) 21 = f REG 5 ENTER 2 x 10 + 1 + b) 32 = f REG 729 g

X

5 +

c) 6 = f REG 27 ENTER 3

1

X

YX

2 ENTER 3 x 2

d) 9,111111 = f REG 3 ENTER 2 Y 9 X

1

X

+

+

e) 3,401197 = f REG 2 g in 15 g in +

2) R$ 159,00 = f REG 1060 ENTER 15 % 3) R$ 13.500,00 = f REG 18000 ENTER 25 % 4) 188 dias = f REG g DMY 21 . 032004 g 25 . 092004 ENTER

5) 11.783 dias = f REG g DMY 25 . 062004 ENTER 22 . 031972 g 6) R$ 750,00 e R$ 25.750,00 = f REG 25000 ENTER CHS PV 12 i 90 n f INT > 7) J e = R$2947, 07 = f REG 4320 CHS PV 830 n 30 i f INT R ↓ x< y

8)R$ 49.450,99 = f REG 22500 CHS PV 3,2 i 25 n FV 9) R$ 5.513,28 = f REG 10000 CHS PV 9 n 5 i FV RCL PV + 10) Convenção Linear (Sem a letra c no visor)

M = R$52483, 20 = f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 n FV Convenção Exponencial (Com a letra c no visor)

214

Matemática Financeira

M = R$52181, 02 = f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 n FV

11) Convenção Linear (Sem a letra c no visor)

M = R$3331, 91 = f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 FV

n

Convenção Exponencial (Com a letra c no visor)

M = R$3311, 60 = = f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 n FV 12) M = R$32574, 45 = f REG 1200 CHS PMT 3,1 i 20 n FV 13) i = 7, 93% a.m. = f REG g BEG 12000 CHS PV 2400 PMT 6 n i

215