Matematyka 3 - zbiór zadań __

SAVE OFFLINE

Zakres rozszerzony

Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Projekt okładki Stefan Drewiczewski, FPstudio Rysunki i łamanie Eryk Krawczyński Redaktor Jan Baranowski

© Copyright by Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Sp. Warszawa 2014 r.

Druk i oprawa DRUK-SERWIS Sp. z o.o. ul. Tysiąclecia 8 b, 06-400 Ciechanów

W ydanie III, W arszawa 2016 r.

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Sp. z o.o. ul. Kościańska 4, 01-695 Warszawa www.pazdro.com.pl e-mail: [email protected]

ISBN 978-83-7594-081-7

S p is treści 1

Funkcja w ykładnicza i funkcja logarytm iczna Potęga o wykładniku rzeczywistym - p o w tó rz e n ie .....................................................7 Funkcja wykładnicza i jej w ła sn o śc i.............................................. ................ ................ 10 Przekształcenia w ykresu funkcji wykładniczej. Rozwiązywanie zadań z zastosow aniem w ykresów funkcji w ykładniczych................................. .... 12 Równania w y k ła d n icze ................................................................................................ . . . 15 Nierówności w ykład n icze.................................................................................................. 19 Zastosow anie równań i nierówności wykładniczych w rozw iązyw aniu z a d a ń .................................................................................................... 22 Logarytm - powtórzenie w ia d o m o ści............................................................., ........... 23 Funkcja logarytmiczna i jej w ła s n o ś c i................................................... .......................26 Rozwiązywanie równań, nierówności oraz układów równań z zastosowaniem wykresu funkcji logarytmicznej ................................................... 28 Równania logarytmiczne................................................................................................... 31 Nierówności lo g arytm iczn e............................................................................................ 34 Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe......................... 36 Zastosowanie równań i nierówności logarytmicznych w rozwiązywaniu z a d a ń ................................................................................................... 37 Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do rozwiązywania zadań umieszczonych w kontekście praktycznym ........................39 Test sprawdzający do rozdziału 1.................................................................................... 40 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1........................................................................ 43

2.

Analiza m atem atyczna Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o granicach c ią g ó w ...............................46 Granica funkcji w punkcie..................................................................................................47 Obliczanie granicy funkcji w punkcie.............................................................................49 Granice jednostronne funkcji w punkcie....... ..............................................................50 Granica funkcji w nieskończoności.................................................0

1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna

1.76.

Dane są f u n k c je / ^ ) = S2* + 22x o ra z/ 2(x) = 5x -4 + 2X+2 określone w zbiorze

liczb rzeczyw istych. Rozwiąż nieró w no ść/2(x + 2)

©

1 .7 7 . Dane są funkcje f x(x) = 4 X+3 - 7 ■3X+2 o ra z/ 2(x) = 3 3x+2 - 5 • 43x określone w zbiorze liczb rzeczyw istych. Rozwiąż n ie ró w n o ś ć /^ - 2) > / 2^ * j •

1 .7 8 . Rozwiąż nierówności, jeśli wiadomo, że x e /V+: a) 0 ,7 2+4+6+ - +2x £ ( 0 ,7 )12 b) 4 ,5 3+6+9+~+3x< 1 2 c)

21 • 26 • 211 • ... • 2(5x“ 4>£ 85 (3x-l)

1.79. Rozwiąż nierówności z niewiadomą x: ^ ( 0,1 f ” *

a) i +±+±+ ... b) 5* 3 9 8

c)

3"

> 125

1

.1 ■+•—1 + .—i ,+ —1 1

^4

16

|x+l|—|x| •

64

> 1“ 81

27 2 4

d)

21

8

16

© r rir

1.80. Rozwiąż nierówności: a)

2X + 2X- Ł + 2X_2 + ... < 2 • >/3-2x + 4

b)

0, 5X + 0 ,5 X+1 + 0 ,5 x+2 + ... > 2 ./ - +2

c)

2 2X + 4X + 8X + ... ^

+1

22

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

Zastosowanie równań i nierówności wykładni­ czych w rozwiązywaniu zadań Wyznacz wartość parametru m (m e /?), dla której liczby 2m, 22m- 47, 2m+18

1 .8 1 .

są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a„).

Dla wyznaczonej wartości parametru m podaj wyraz ogólny tego ciągu. 32x + 71 Dla pewnej wartości x liczby: 3X+ 2,---------- , 3 ^ - 5 4 s ą trz e m a k o le jn y m i

1.82.

3 *-l p oczątko w ym i w yrazam i niesko ńczo neg o ciągu a ry tm e ty c z n e g o . W y z n a c z x o ra z su m ę d zie sięciu p oczątko w ych w y ra zó w tego ciągu .

1

83

Dla p ew n e j w arto śc i x liczb y: — 7 -—

K

4 +11

,2 * -1 ,1 6 * - 13

są k o le jn y m i p o czątk o -

w y m i w yrazam i nieskończonego ciągu g e o m e tryczn e g o ( o j . a) W yzn acz x . b) Napisz w yraz ogólny ciągu [an).

1.84. W yznacz te w arto śc i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h lic z b y : 4 • (2m+ 1), 1 0 . 2m- 2, 9(2m + 1 ) są k o le jn ym i p o cz ą tk o w ym i w y ra z a m i n ie sk o ń czo n e g o ciągu g eo m etrycznego ( o j . O blicz su m ę d zie się ciu p o cz ą tk o w y ch w y r a z ó w te g o cią g u .

1.85. W yznacz w szystkie w a rto śc i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h ró w n a n ie |x2+ 4x| =

1 . 86 .

m a d w a ro zw iązan ia u je m n e .

Dla ja k ich w a rto śc i p a ra m e tru m (m e

R)

ró w n a n ie

x +6 x +3

=(j)

- gd2ie

x * - 3 , m a w ię ce j ro zw iązań u je m n ych niż d o d a tn ic h ?

1.87. W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h r ó w n a n ie x2—(2m—l ) x —3 • (4 m_1- 2m~2) = 0 m a d w a ro zw ią za n ia rz e c z y w is te ró żn y c h zn ak ó w . 1.88. W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h r ó w n a n ie 4X+ (m - 2 ) • 2*+ 4 = 0 m a d w a ró żn e ro zw ią za n ia .

W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru

m(m e R), d la

32* -2 (m - 1 ) • 3X + m + 5 = 0 m a je d n o ro z w ią z a n ie .

k tó ry c h r ó w n a n ie

23

1. Funkcja wykładnicza I fu n kcja logarytm iczna

1.90. W yznacz wszystkie

wartości param etru m (m e R), dla których rów nanie

(m + 1 ) • 49x + 2(m - 3) • 7X + m - 1 = 0 nie ma rozwiązań.

1.91. W yznacz wszystkie wartości parametru m (m e R), dla których rów nanie 2x + 2x~1 + 2x_2 + ..,= 22x_1 + m ma jedno rozwiązanie. 1.92.

Dla jakich wartości parametru m (m e R) równanie

4* + ąx- i + ąx- 2 +

1.93. a)

-j m _ i

. ą,2x nje ma rozwiązań?

Rozwiąż równanie:

21+2coi2* +

16slnix = 9 w zbiorze

n)

«fi* ¡¿ i .. ( -3n 3xc^ f —7t 7c1 b) 4ł^x = 80-2cosx wzbiorze I —

1.94. Rozwiąż nierówność: 1

a) 4 -3»"«- 9 < 3Cijs2x w zbiorze R

b) 3.4 V2cosx _ 2*«x /327^3

b)

l o g ^ 9>/3

f) logi 16ł/2 2

C)

lo g jS ^ S

d)

lo g j 3 6 ^ 6

5

6

g) logs125>/5

h) log37i8 1 ^

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

1.97. Oblicz: a) >°83 i Z . ^243

»

d) I0g52^

„

5 « .§

H i 25

1.98. Oblicz wartość wyrażenia: a) log24 8 -lo g23

b) log3ł +log36 3 d) (log516-log580)2

c) 2\og1 y/l + logi 5 2 2 e) log24 -2 lo g 23

f) lo g^ 5 0 -lo g ^2 5

g) logj 4 + logj 6 - logj 8 i

i

h) 2log18 -3 lo g ^ 9 4

i

1.99. Oblicz w artość w yrażenia: log54 • l°g 230 - log56

a) 3 1 0 ^ 2 - logo 43 • log3125

b)

c) log49 • log3128

d) log , 3 • log37 • log7625

1.100. Oblicz: a) 3 ^

b) 1001+k* 5

e) ł * ' *

f)

1.101.

c)

I 6lo^ ^ +0'25

g)

8^ = - i

d) 4 _1+log2 3

e l l j

h)

W yznacz x, je śli:

a) log28 + x - lo g ^ 3 = log 1 b) (2 x - 3) • log416 = log218 - log29 c) log 3_ Ł - x • log ^ 4 = (x + 1 ) • log 100 27 d) (x + 2 )

log 3 - + lo g 321

= log44 x_1

e) log 332x_1- 3 l o g ^ i = x - ^

8

■ f) 2x • logs25 - (3x + 2) • log20,5 = log34 8 - 2 lo g 34

r v9y

1

25

1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna

1 .1 0 2 . W ykaż, że liczba: a)

c)

—

log 2 6

+ —

b)

log 3 6

log1253 • lo g ^ 36 • log95

V l 0 2+0'sl° * 16

d) log tg ^ • log tg j

• log tg ^

je s t liczbą n atu raln ą.

1 .1 0 3 . Wykaż, że liczby m i n są równe, jeśli: m = log 5log5 s p i

1 .1 0 4 .

i n = \og2\og2y[ ^ .

Wykaż, że liczby k i l są równe, jeśli: 3'og936 . j q 1- log2 j I - glog4ł/9 . 2Qlog2 +log5

1 .1 0 5 . W ykaż, że: a)

1 - ,° g23 (lo g 2 3 + log 3 2 + 1 ) • log 2

C)

( lof c 7 + lo ^ 2 + 2 )'- IO- g l i = iog 7l 4 log 7 2 + l

= log23

b)

8 + lo g 2 5

d)

1

|;L

log5 1 6+ lo g 2 5 - 2

log 2 2

log 2 2 - l ) l o g 2 5 2 ------------ ---------- = log — log 2 5 + lo g s 2 + 2 5

1 .1 0 6 . W ied ząc, że: a) log32 = a , oblicz log213,5

b) log25 = b, oblicz log2400

4 c) log37 = o, oblicz log75 —

d) log32 = a , oblicz loge16

1 .1 0 7 . W ied ząc, że: a) logs2 = o i log57 = b, oblicz log12528 c) log32 = o i log65 = b, oblicz log216225

b) log62 = a i log65 = b, oblicz log 360,8 d) log23 = a i log35 = b, oblicz log27200

* 1 .1 0 8 . W ied ząc, że: a) log142 = a i log145 = b, oblicz log750 c) log213 = o i log215 = b, oblicz log71125

d) log230 = a i log236 = b, oblicz log 9

b) log320 = a i log315 = b, oblicz log2360

26

Matematyka. Zbiór zadari. Klasa 3.

Funkcja logarytmiczna I jej własności 1.109. Naszkicuj wykres funkcji/(x) = log3x i omów jej własności. a) Oblicz wartość funkcji/dla argumentu V W 9 . b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji wynosi - 0 ,5 .

1.110.

Naszkicuj wykres funkcji f{x) = logj x i omów jej własności. 4

a) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów wartości fu n kcji/są większe od 0,5. b) Sprawdź, czy do wykresu funkcji / należy punkt

a [(3

- 2-72) • (3 + 2-72),

o).

Liczba rzeczywista p należy do przedziału (Ar, Ar + 1 ), gdzie k jest liczbą całko­

1 .1 1 1 .

witą. Wyznacz k, jeśli: a)

p = log35

b) p = lo g 1 3

c) p = log157

d) p = l o g i 4

g) p = log750

h) p = logi 19

; 3

2

f) p = logi 5

e) p = log621

-i

8

1.112.

Określ, czy podana liczba jest dodatnia, ujemna czy równa zero, jeśli: logi 3+ logs 5 log27

b )"

2

: . I~ —

logi 15

logi 3 + logą 8 5

k

logi 1 1 -lo g i 17

i Ti

log2 V 3 + lo g 0ł8-^-

log57 2 -lo g 56 d)

io g 8 7 n - i o g i 7 5

1.113. Liczby a i b należą do zbioru R+- {1}. Porównaj liczby a i b, jeśli wiadomo, że poniższe nierówności są prawdziwe: a)

log05 > log65

b) log0ł a< logbł

2

c) log„72 logb0,75

1.114. Rozwiąż nierówność liniową. Wskaż dwie liczby całkowite, które zbioru rozwiązań tej nierówności. a)

( 3 - lo g 25 )x > 2

b) xlog23 < 2 - x lo g 45

c)

x l o g i 4 < l + 3log32 x

d) x lo g i 5 > - x - 3

I

2

należą do

1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna

1 .1 1 5.

27

W y zn a c z d zie d z in ę f u n k c ji/ , je ś li:

a ) f(x ) = lo g i (3 - 2x)

b) f(x ) = log 2——— 1 —x

I c)

/ ( x ) = lo g v ? (x 2 + 5 x + 4 )

d) / ( x ) = log 5(x 4 - x 2)

e)

/ ( x ) = lo g ! (x 2 - 4 x + 4 )

f) / ( x ) = lo g 2 (4 ^ - 8 ^ )

1 .1 1 6 . W y zn a c z d zie d zin ę fu n k c ji/ , je ś li: a ) f(x ) = logx+1(4 - x 2)

b j f(x ) = logx, (3 - x )

c ) / ( x ) = logx 2 l (x 2 - 2 x - 3 )

d ) / ( x ) = logx(2 x —16>/2)

e)

f(x ) = logx+3- x .

f) / ( x ) = log^_ u fx 3 - x 2 + 3 x - 3)

x+ l

1 .1 1 7 . W yzn a c z zb ió r w szystkic h w a rto ś c i p ara m e tru m {m e R), dla k tó rych d zie ­ d zin ą f u n k c ji/ je s t zb ió r w szystkic h liczb rze czyw istych , je ś li: b) / ( x ) = log 2 (x2 + mx + 1) I

a ) / ( x ) = logai* 2 + 3 x - 2m ) c) f(x ) = log (mx2 + 4 mx + m + 3 )

1.118.

d) / ( x ) = lo g [(m 2 + m - 6 JX2 + (m - 2 ) x + 1]

W yzn acz zb iór w szystkich w a rto ści p aram etru m [m e R), dla któ rych fu n k cja :

a ) f(x ) = log 2m_ 3X je s t ro sn ąca

b) f(x ) = log m2 x je s t m a le ją c a

c) f(x ) = log)4_ m,x je s t ro sn ąca

d ) f(x ) = log2ff| m2x je s t m a le ją c a .

* 1 .1 1 9 . W yk a ż, na p o d sta w ie d e fin icji, że f u n k c ja / o k r e ś lo n a w z o re m : a ) / ( x ) = log jX je s t ro sn ąca w zb io rze ( 0, +oo) b) f(x ) = lo g 2 x je s t m a le ją c a w zb io rze ( 0, +oo) 3 c) f( x ) = log22x je s t ro sn ąca w zb io rze ( 1 , + /2 x -3 = log 3 0 - 1 d) log4>/^ + j » o g 4(x + 4 ) = |

*1 .1 4 8 . Rozwiąż rów n an ia: a) log2X2- 2 = 2log2(x + l) c) log 2(x 2 - 2) - ^ log2(x - 3 )2 = 1

*1 .1 4 9 . Rozw iąż ró w n an ia: a) log(7x - 9)2 + log(3x - 4 )2 = 2 c) log2(x + l)2 + log2|x + l| = 6

b)

log 3(x 2 + 1 0 x + 2 5) = 2log3(3 - x ) + 4

d)

log 4(x 2 - 1 ) - ^ log4(x - 4 )2 = 1 j

b)

2log3(x - 2) + log3(x - 4 )2 = 0

d) lo g (x - 5 )2 + lo g (x + 6)2 = 2

1. F u n k c ja w y k ła d n icz a i fu n k c ja lo g a ry tm icz n a

1 .150. Rozwiąż równania: a)

= _ i

b)

log(x+l) C)

log(9-x3) - r - i—--- - =3 log(3-x)

log*2 = 1 log(6x-5) log(2x -19) - log(3x - 20) = 1

d)

logx

1 .151 . Rozwiąż równania log22x - 6log2X + 5 = 0

log32x + 2log3x - 8 = 0 2 c) (log2x - 3 )log2x + - (log2x + 1 ) = 0 3 log43x + 2log4x + 3 = 0 a)

log53x + 2log52x - log5x - 2 = 0 log24(x —1) + 3log22( x - 1 ) - 4 = 0

1.152 . Rozwiąż równania: a) c)

— -— = log x + 1 lo g x -l

5-logx

l+logx

l+log(x—1) t 1 =1 1 —log2(x—1) l- lo g (x - l)

log2x + log x + 1 = — -— lo g x -l

1.153. Rozwiąż równania: a)

logxV5 + log,(5x)-2,25 = (log^Ts)2

logx10 + 2log10x10 - 3log100x10 = 0

c)

logr2 ■log2,2 = loglte2

2logx3 lo g 3x3 = log9>/i3

e)

logsx+ log^ x+log1x = 5

l°gx8 —log4x8 = loggie

25

log4x + log4y = 1 +log49 x + y -20 = 0

b)

l°gy x = logxy 2log2x+log2y = 3

d)

flogx + logy = 3 [logx-logy = l log2 1 + - l= 2 -log 2y J°g 4(xy) = i

33

34

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

Nierówności logarytmiczne 1 .1 5 5 . R o zw iąż n ie ró w n o ści: a) log2(x - 1 ) > 2

b) log3( 2 - x ) £ l

c) logi (2x + 5) > -3 2

d) logi (3x —4) < -2

e) log^j (3x +1) £ 4

f)

lOg^j (3 —x) £ —2 T

5

1 .1 5 6. Rozwiąż nierówności: a) log2| x - 3 | > l

b)

d) log4|x - 7| £ 0

e) log3 |X— 1| > 1

1 .157.

c) logi |x + 5| £ -3 2

logi |x + 2| > -2

f)

logs|x + 2| £ 2

R ozw iąż n ie ró w n o ści:

a) lo g ^ ( x 2 - 5 x + 6 ) < 2

b) log^ ( 5 + 4x - x 2) > - 3 2

c)

lo g ! (x* + 2 x + 1 ) ^ 0

d) log 3(x 2- 4 x + 3 ) < 1

1.158. Rozw iąż n ie ró w n o ści: a) *060,25

> -l

b)

2- x

^ ^ ^ < 0 I x 1

c) log 8^ Ż l = > l

x

1

1.159. Rozw iąż n ie ró w n o ści: a) l o g i X - 2 l o g ! X - 3 < 0 2

c)

b) - 2 log42x + 3log 4x - l > 0

2

log23x - 7 l o g 22x + 1 4 lo g 2 X - 8 > 0

d)

log^ x - 3 log* x - lo g iX + 3 < 0

5

3

3

1.160. R ozw iąż n ie ró w n o ści: a)

1

2

5 - lo g x

lo g x + l

log 2 x - 4

log2 x

log 2 5 5

>0

2

5

3

i 16

35

1. Fu n kcja w ykładnicza I fu n k cja logarytm iczna

1.162.

Rozwiąż nierów ności:

a) logi [log4(x2 - 5 ) ] > 0

b) logi ilo g 2

I C) logi

2\

log 8

x 2 - 2x

o 1+* /

lo g ^ lO fc il+ iiO

x -3

X44

1.163. Rozwiąż nierówności: a) logi x > log^-2,5

b) log2(x - 1 ) - log2(x + 1 ) + log x + 12 > 0 x -l

log 2 * 4 c) logx 8 4 logx 8 < 2

1.164. a)

4

d) logx2 • log2x2 • log24x > 1

log2 x 2 - 4

Rozwiąż nierówności: b) log3x+4x2 < l

logx_ j 0,3 > 0 x+5

c)

2x 2 -

.

I°g x2_ x (x + 3 ) < 1

d) logM —

.

x

>1

1.165.

Rozwiąż nierówności: a) log3x + log32x 4 log33x + ... < 1 b) log! (x 4 1 ) 4 logj (x 4 1 ) 4 logi (x + 1 )4 2

2

1 I

2

c) loggX 4 log82X 4 l0g83x 4 ... < ^ d) (1 - log x )2 + (1 - log x )3 4 ( 1 - log x )4 + ... < 3log X - 1

1.166.

Wyznacz dziedzinę funkcji/, jeśli:

a) /(x) = logx+5(x2-

ł)4 V6 - 2x

c) f(x) = log2[ l - log i (X2 -r 5 x 4 6 )]

1.167.

V lo g (9 - x 2)

b) f(x) =

d )/(x )=

2X - 4 logi x -1

W yznacz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja

f{x) = logi ( 2 x 4 1) przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja g(x) = logj (16 - x 2) 4 1 . 5

*1.168.

'

4 T

Dla jakich argum entów wartości funkcji f{x) = log2(100x) - log2(10x) są

mniejsze od wartości funkcji g(x) = 9 - log x ?

36

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

1.169.

Dla jakich argumentów wartości funkcji f[x) = logjX + lo g ^ x + log2 x są

mniejsze od 6?

2

1.170. Dla jakich argumentów funkcja f[x) = log4(x + 7) przyjmuje wartości większe niż funkcja g(x) = log2(x +1)?

Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe 1.171. Rozwiąż równania: a) c)

log2(4x + 4) = log2(2x+1 + 3) log2( 1 2 - 2 x) = 5 - x

b) log3(3x + 8) = 2 - x d) log(102x+ 9) = x + 1

1.172. Rozwiąż równania: a) log2(9 *-1+ 7 ) = 2 + log2(3x- 1 + l ) b) log2(9 - 2 * ) = 25logsy^~^ c) log2(25x+3 - 1 ) = 2 + log2(5x+3 + 1 ) d) lo g g ^ + i j - l o g g ^ - ^ + g j = log62 - 1

1.173. Rozwiąż nierówności: y i xiog^^-ax+i)

/ n \ i°6i (x2~Sx+8) a)

-

Is J ,

c)

0 3

4

b)

ś 2 '5

"

UJ

5

^s,nx ( ! + cos x) —2 d) logcosx(sinx) + logsinx(cosx) = 2

2

1.190. a)

Rozwiąż nierówności w przedziale /2x +8 x-»4

d)

lim V ( l - x ) ( 4 - 2 x )

,.m ( 4 x - 5 ) ( 2 - x )

f)

( 5 x - 1 2 )2

2x 2 + 5 x - 9 lim ó (7 x —6) ( x —12 )

2.12. O b licz g ran ice : a)

c)

e)

x 2- 4 lim - — x->2 2 - X lim

b)

x2

x 3 +8

d)

-2x - 4

lim

- x 2+ 1 0 x - 2 4 lim — ; --------------

x 4 - 8x 2 - 9

f)

-2 x -2 4

125- x 3

lim ,2 *-*5 4 x -1 0 0 lim

*->-3 x + 3 x

x 4- 5 x 2+ 4 x + 2x - 8

2.13. O blicz g ran ice:

1 1 a)

Ul b)

lim - — — x—>3 3 - x

.• * +4 lim - — r X— >-4 1 1 —+ — x

c)

e)

lim x->2

x -2

x -2

d)

lim x->-2 x 4 - 1 6

f)

lim X->1

x -2

lim J —

X->1 x - l

_ ł_ l- x

4

x +8

x + 2 x-3 x 2+ 4 x + 6

x (x + l )

2

x4- l

x 4- l .

2.14. O b licz g ran ice : V 2 X + 9 -3 a)

c)

e)

lim x-*o lim x-»0

b)

V3X + 1 - 2 lim X->1

d)

lim x-*ol

f)

3 x-6 lim xX-*2 -+2 V 7 x + 2 - V 5 x + 6

5x

3 - y j9 + X X

x-4 lim x->4 V 2 X + 1 - 3

50

Matematyka. Zbiór zadań. Klaso 3.

*2.15. Oblicz granice: .

..

f c - l - l

tfl-3 x + 2

a) lim---------

b) lim

x —1

x->l

2.16.

*-»3

x-3

Korzystając z twierdzenia otrzech funkcjach, oblicz granice:

a) lim I x 2s in -

b) lim x 4sin

c) lim 7 xsin -rr

d) lim -3 x s in

Wyznacz parametr a, wiedząc, że:

2 .1 7 . a)

,im ł t * £ = i

b)

________ lim ^

±

I = -2

2 .1 8 .0 funkcji ciągłej/wiemy, że/(x) > 0, jeśli x> 5 ,/(x) < 0, jeśli x < 5. Oblicz lim /(x ).

Granice jednostronne funkcji w punkcie 2 .1 9 . Oblicz granice jednostronne fu n k cji/w punkcie x 0i na tej podstawie ustal, czy istnieje lim / (x ), a następnie naszkicuj wykres fun kcji/, je śli: x->x0

a) / M = £ - A *¿ = 1 |x - l| . c)

11 i f

l g

r

\*\

d) / W = l - 3 ) ' +2' X»= 3

I m i |2+*l3 e) /(x) = ---- ; — 1, x0 = -2 x+2

2.20. Oblicz granice jednostronne: a)

Jimi ^2+Vl6-x2J

c) lim

*—

”« j g e)

.

. x 3- 2 x f(x)= ’ - ,x0=0

b)

lim 5x V x 2- 9

HI aj

I!«, ----V5x + 1 2 -2 urn ■ ------x->-6+ x + 4

f

lim x+2

f)

lim - i^ *-*1+X - l

2. Analiza matematyczna

51

2 . 2 1 . Zb ad aj, czy istn ie je granica f u n k c ji/ w p unkcie x 0. Jeśli ta k , to oblicz tę g ran icę . a) f M - {

f - 3 x + 5 , je ś li

x> l

| 2x ,

je ś li

x< l

f x +6

.

x 0= 1

0

---------, jeśli x >2

x 0= 2

b) / ( x ) = < 3 x - 2 x 2- l ,

x -3 x 0= - 3 x< -3

x > —1

je ś li

yj6 - 3 x , je ś li x < - l

f x 2- 1 6 f 5 . i— e) f[x )= \ 4 - x

j eśl i

x> 4

3 x-4,

je ś li

x< 4

> /2 x+ 9 -3

f)

/W

.

*o = 4

je ś li

x >0

je ś li

x 1

je ś li

x e ( - 2, 2 )

je ś li

x e ( - o o ,- 2 )

Xn=l

V 2x - 1 - 1

,

x - l 9 x2+ 20x + 4

,

4 -x:

b) / ( x ) =

x„ = -2 ,

x 2+ 3x+ 2 3x2-1 6 x + 2 1

,

je ś li

x< 3

je ś li

x >3

3 x-9 c) / ( x ) = V x+ 6 -3 V x + l- 2 , x

2+ x -2

je ś li

x< -4

. , je ś li

x> -4

| 2x + 6 | d) / ( x ) x 2 + 1 3 x + 36 x+ 4

52

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

Granica funkcji w nieskończoności 2.23. Oblicz granice:

l-6x b) Hm777“ x->-«l+3x 7x+6

. , 4x-5 lim -----*->+®2x+7

a)

c)

lim

2x+5

d)

*-++« 3 x - 2

-5 e) lim *-++®6-7x

lim — -

x_> -« 7 - x

f) lim

12x-9

X-+-» 4x+l

2.24. Oblicz granice:

6x+5 x->+oo_ x2+2x +l

2x2+7x -1

b) lim

a) lim *-++«6x-4x+5

8

l-3x+x2 c) lim x-»-co2x -4x-9

d)

lim

x-»-»4x2-7 x +15 2

.,-(3 x + l) f) lim V ® -----h x-»+*x -(4x+2)

(2x-l)2 e) lim -------| x->+«(l-3x)

Oblicz granice: . .. -x2+6x-7 a lim , ~ — r

2.25.

b) lim

x->-«o

*-> + « > 2 x-9 x+ 2

8x 3 - 10 x 2 +

x

i-8x-10x 3

'

( 2x + l )

c) lim

X->+' x->+»

e) lim

x4 —x3+ 6x2*t 7x

d) lim ^"®(l-2x) x

(5x-2)3 « -• (3 -7 x! )(5+ x! )

x->+«o (2+3x! )(2-3 x! )

2.26.

Oblicz granice:

a) lim

x->-«o

c) lim

X-+-00

e) lim

X->-00

m

5+ 3x

b)

-X

x+5 2x2+7 3-4 x2 x -5

3x-5

x+5

x->+oo

d) lim X->+oo

2x+7

(3x+l)2 3x2-7

lim 3x--

f)

lim X — >+oo

x +2x

V

( x2 x+5

1-X3 I ---

x - 11,

(x+ l)3 x3- l W

x2 +1

¿ )ú

2. A nalizą matematyczna

2.27.

Oblicz granice:

a)

\lx2 + x + 5 l i m --------------X-M-ao 2 x -l

b)

V x2+ x + 5 l i m ---------- — x->-oo 2 x - l

c)

lim x->+oo

d)

V4x 2- 2 x + 7 lim ----------------x— >-00 9 -3 x

e)

lim |3 x - 2 ' x->+°0 X - 1

f)

|3 x -2 | lim J-------X-+-» x - l

2.28.

9 -3 x

Oblicz granice:

Ü

y / 2 -A x - y ll^ X

a)

VX + 1 -V 2 X + 5 lim --------------------X—►♦oo ^

b)

l i m --------- j = ------X-»-® V -X

c)

lim ( V x 2 + 5 x + l - V x 2 + l ) x-+-oo\ 1

d)

lim N x 2+ 7 - V x->+«\

e)

lim ( | x + 5 | - | 6 - x | ) X->-oo 7

f)

lim ( | 7 - x | - | 3 + x | ) X->+00 '

2.29.

a)

x2-:

Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, wykaż, że:

b) l m 4 £ ü . - 0

x->+oo X + 1

x-*-aoV x + 5

G ranica niew łaściwa funkcji 2.30.

Oblicz granice: b)

a)

lim-^x-»0x ¿

r c)

2x + 5 lim ------- r# 1 x_> _4 (x+ 4 )

d)

\ .. l - 4 x e) lim -------x->3 | x - 3 |

2.31. a) c) e)

I

Ijm — -— 7 * - 2.( x _ 2)2 B 3 x -8 lim 1------jx + 1 | l,m '3 - 5x|

x-*7 |7 —X|

Oblicz granice:

lim ( x 3 - 5 x->++oo^

lim ( x 4 + 7x 3 - 8x 2 - 1 0

>

54

M a tem a tyka . Z b ió r zadań. K la sa 3.

2 . 3 2 . O b licz g ranice:

a) ,!lT » [(1- >f)z(x+ 3)]

b)

c) ,1 t I ( * - - 3)3(2 - 3 * ) 2]

d)

e)

f)

lim r-3x(2-x)(2+ x)"| *->-00L . V lim £ ( 5 -

x)

( 3 - x )2( x + 2 )J

lim f ( 9 - 2 x ) 3( 7 - x ) 3l x-*-a>Lv J #

2 . 3 3 . O b licz granice: . a)

c)

x 2 + 8 x + 10 hm ---------------*->+« 2x+ 3 lim

4 x 2 - 7 x + 15

X -» + < *-++oo

e)

lim

b)

d)

2 -x

x

lim

2x+ 3 4x2-7 x + 1 5

*->-00 7

2 -X

5x4 + x 3 + x 2 - 5

5x4 + x 3 + x 2 - 5

*->+«>

x + 8x+10

lim

X -> -< *->-oo

f)

- 2x + 8

lim *->-oo

x -2 x+ 8

2 . 3 4 . Oblicz granice: a)

b)

lim V x 2 + 7 x + 1 5

c)

d)

lim ( x V x 2 + 2 x + 1 0 ) V /

x2+ 2x+ 10

lim | X —> “ 00

*-> + 0 0

e)

lim X—>—'00

X -> + C X )

2x V x 2 - x + 3 lim -----------------*-> + o o 4 -5 x

f)

x+3

lim ■ X —> - 0 0

2 . 3 5 . Oblicz granice: a)

lim *->o+

.. d)

u 22" x - 2

x

x +3

b)

lim *->o-

e)

-X r+ 1 lim *u>-3+ x + 3

2x

lim *->2+ x - 2

f)

lim *-> -3'

x

2 . 3 6 . Oblicz granice: ,

a)

S - 3 x - n l i m ----------- ;— «-5*

. c)

e)

i x -3 x -1 2 b) lim --------- irr(5 -x )

( S - X )2

..

4x+21

4x+21 lim ---------7 *->-2+( x + 2 )

d) lim ------- -

x2- 2 lim — — - r

x2-2 f) lim —— ^7

x->1+ ( x — l )4

-3

c)

* - - 2‘ ( x + 2 )

-x ^ + l x +3

S

55 2. A naliza m atematyczno

2.37. Oblicz granice: v

lt

x2- x -1 2

x2- x -1 2

a) lim -------- rx-» 4+

t

.

c)

(x - 4 )

b)

*->4

d)

lim

x 2- x - 2

x2- x -2

lim ------- —

x->-1+ ( x + l )

e)

(— x - 47 J? ~

x -ł-l

(x + l) x 2 - 2 x ;- 2 4

x2- 2 x - 2 4 lim x“*6+ - 3 ( x - 6 )

f)

lim _ 3 (x - 6 )3

2.38. Oblicz granice: % 3x + 5 a) lim - f ----------x->r x + 4 x - 5 V

c) .

e)

b)

4x+ 7

.. 4x+7 lim — 5------- x-»-r - x - x + 6 ..

3x+5 lim x -4 i" x 2 + 4 x - 5

d)

lim

2

x -* -3 " - X 2 —X + 6

x-1 0

*-10

f)

lim - r — --------x-*T x 2 - 2 x - 3 5

lim x->7_ x 2 - 2

x

-3 5

2.39. Oblicz granice: x+ l lim _ -» ^ 2 X— x - f-r x - 2x + l

b)

x+l lim x-*-i- x 4 - 2x 2 H

c)

_____ 3 3 -- 2 x lim 5 ? x 3 - 8x 2 + 2 0 x - 1 6

d)

3 -2 x lim x ^ r x 3 - 8x 2 + 20x - 1 6

e)

8 - 2x lim x— >4+x 3 - 12x 2 + 4 8x - 64

f)

lim

C ią g ło ść funkcji w punkcie 2.40. Zbadaj ciągłość fu n k c ji/w a) M

b)

f(x )=

x e (-o o /- 2 )

W, _

| 2x + 7 / jeśli

x e ( - 2 /+oo)

°

[ - x 2 + 2,

jeśli

14 - 3x ,

jeśli. x ę ( l , + 00)

x+7 c) /(x ) =

punkcie x0: | J

jeśli

fx + 5 ,

x e ( - o o ,l )

jeśli

x e ( - o o /2)

2 - 3x - x 2, jeśli

x e ( 2,+oo)

x -3 '

8 - 2x

x->4* x 3 - 1 2 x + 4 8 x - 6 4

56

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

I \/9—4x,

jeśli xe(-o o ,0 )

^+5x-, 2+ x

jeśli xe(0,+oo)

xn = 0

d) /(x) =

e) /(x)

2x2- 2 x - 2 4 ,

jeśli x e (-o o ,-3 )

x0 — 3

3x2+10x+3, jeśli xe(-3,+ oo ) x3- 2 x 2+ 5 x - l, m

f)

4x2+ 10x-2,

jeśli x e ( - 00, - 1 )

x0 — 1

jeśli x e (-l,+ o o )

2 .4 1 . Zbadaj ciągłość funkcji / w punkcie x0: f2x2- 5 x - 3

. ... 'eśh

a) 7,

3x3 +7x2 +5x-łrl . ... -------------- jeśli x ^ j- l x+l : m \ p

1

2x2- l l x + 5 . ... ------------1 jeśli x * 5 C) /(X)=| x2 -10 x + 2 5 (9, jeśli X = 5

-5

[ x2 - x - 2 0 .... I a r , jeśli x * - 4 d) / ( x ) J i x 2 +5 x + 4 a [3, jeśli x = -4

e) /(x)M

*0

X ■S i-»

p

1

*?5 ' i/y.

b) /(x) f i

x0 = 3

jeśli x=3

fV 9+ 12x2 - 3 . „. X2 ■ )ei"

X0 = 5

x0 = - 4

x# = 0

[2, jeśli x = 0

f) f ( x ) = i

[V i2 + 4 x 2 - 4 . „. Wm ---------------- , jeśli x * l P . X —1 Xq = 1( [1, jeśli x = l

2.42. Zb ad aj, czy istn ieje taka liczba o, dla której fun kcja [ x2 - 9

-------- , / lx )= i |x |- 3

je śli

x

* 3 a x # -1

la, je śli x = 3 v x = s - 3

je s t ciągła w p unktach - 3 i 3.

2 .4 3 . Zbadaj, czy funkcja / ( x ) = lim - nx+ * t gdZje x e ^ j est ciągła w punktach -% 0 , 1. n->°° n x +2

2

2 .4 4 . Zbadaj, czy funkcja f(x ) = lim ---- —, gdzie x e R , jest ciągła w punktach - 1 , 0 , 1. '- ► « l+ x 2 .4 5 .

W ykaż, że fu n k c ja /n ie je st ciągła w punkcie x 0: [ x2 -4

V

*/

X

«) / M H

J

------- je śli

x -2

[3 ,

b)

jeśli

X *2

P * 8 ' , je śli /(x ) = j x - 8 ll,

jeśli

x 0= 2

x =2 x *8

x 0= 8

x =8

2 . 4 6 . Dana je st funkcja f(x ) -

x + 3 x, 18,

jeśli

jeśli

xeC w

acz te |jczby całkow ite,

x£C

w których funkcja / je s t ciągła.

C ią g ło ść funkcji w zbiorze 2 .4 7 .

io 2x + o , jeśli x e ( - 00, 3) W yznacz p aram etr a tak, aby funkcja f( x ) = { * , x była

[5ox-15, jeśli X € (3,+ oo)

ciągła w zbiorze R.

x2 + ox, jeśli x e (-oo, -2 ) 2 .4 8 .

W yznacz p aram etry o, b, dla których funkcja / ( x ) b, = jeśli x € (-2 ,5 )

je st ciągła w zbiorze R.

2 x -3 , jeśli x e(5,+oo)

3 x + l , je śli x € ( - oo,- 3 ) 2 .4 9 .

W yznacz p aram etry o, b tak, aby funkcja /(x)= < ax+b, je śli x e (- 3 ,5 > )

była ciągła w zbiorze R.

- 6x + 6 , je śli xe(5,+oo)

2 .5 0 .

W yznacz param etry er,

b ta, aby funkcja

. . . . , była ciągła w zbiorze R.

*• ' a,

2 .5 1 .

W yznacz o,

b tak,

gła w przedziale (—2, 2).

\ax2 -ł-b, jeśli x e (j—oo,—¿'j /(x) = 1 x - a, jeśli x e ( - 2 ,3 ) 1—+ b, Vx jeśli 4 —x 2

jeśli

xe(3,-v-ao\ x ’

x = —2

aby funkcja f(x) = f -- ' jeśli \ B —V x + 7 Ib , jeśli x = 2

x e ( - 2 ,2 '\ była cią. ■

* 2 . 5 2 . D ziedziną i zbiorem w artości funkcji ciągłej y = f ( x ) jest przedział 0 dla każdej liczby x e R.

B. Jeśli fu n k cja /je st ciągła i rosnąca w zbiorze /?, to jest różniczkowalna w zbiorze R i f'(x) > 0 dla każdej liczby x € R. C. Jeśli fu n k c ja / je s t różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R, to /'(x) > 0 dla każdej liczby x e R. D. Jeśli funkcja / jest różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R, to /'(x) > 0 dla każdej liczby x e R.

1 2 . Dana jest funkcja f[x) =

gdzie x e R - {-2, 2}. x -4

A. Funkcja / nie ma ekstremów lokalnych wtedy i tylko wtedy, gdy b = 2a. B. Jeśli o = 0 i b > 0, C. Jeśli a = 0 i b > 0, D. Jeśli o * 0 i b = 0,

to funkcja / matylko jedno ekstremum lokalne - maksimum. to funkcja / m a tylko jedno ekstremum lokalne - minimum. to funkcja / m a dwa ekstrema lokalne.

I B . Dziedziną funkcji ciąg łej/jest przedział otwarty. Zatem: A. zbiorem wartości funkcji/m oże być przedział domknięty B. zbiorem wartości funkcji/m oże być suma dwóch przedziałów rozłącznych C. zbiór wartości fun kcji/jest zawsze przedziałem otwartym D. funkcja/zaw sze przyjmuje wartość najmniejszą i największą. 1 4 . Na rysunku obok dany jest wykres pewnej funkcji kwa­ dratowej/. Wśród czterech wykresów poniżej jest jeden, który przedstawia wykres pochodnej funkcji/. Wskaż ten wykres.

74

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

15. Dziedziną funkcji ciągłej/jest zbiór R. A. Jeśli funkcja / jest różniczkowalna i f'( x 0) = 0, to w punkcie x0 jest ekstremum lokalne funkcji/. B. Jeśli w punkcie x0jest ekstremum lokalne funkcji /, to/'(> -l

X

f)

lim

X2 + X - 6

x^2 x 2 - 4

-1

x

+4

2.131. Wyznacz granice jednostronne: v

3x2 - 2 x - l

a) lim — x -> i*

c) lim

"-fr-.—r., j

b)

\ X2 - 4

x2- 3 x - 4

X2 + 4 x - 2 1

x-+3+

x

x2- 2 x - 4

lim

x->2" X 2 + 3 x —1 0

d)

- x - 6

lim x-> -r - x 2 - 2 x - l

f)

lim x->- 2+xr + 4 x + 4

lim

x 2-1 0 x+ 2 4

x-*4+ x 2i- 8 x + 1 6

2.132. Wyznacz granice: a) lim f—2(1 - 2x)(x +3)(1 - 3x)l X->+oOL

J

,

- 3 x 3+ 2x2+ x + l c) lim ---------=--------- =— x - > + * ( l - 2x z) ( l+ 2x 2)

,

2 .1 3 3 .

Temperaturę

T wrzenia

b)

lim xt > - o°

d)

2x 2 + 4 x + 5 3 (1 - 2 x )(x - 1 ) 4x3 - 3 x2 + 5x

lim — *rn----- r — (4 x -l)2

wody (w °C) w zależności od wysokości h (w me­

trach) nad poziomem morza (n.p.m.) opisuje w przybliżeniu funkcja

T{h) = 103,79 - 0 , 1 8 9 5 + 4 0 0 , gdzie h e /6], v = [ 2 ,0 ]

a)

c) u = [7 , - 1 ] , v = [- 2 , 2]

3.17. a)

d) w = [1 2 ,- 5 ], v = [ 6 ,8 ]

O blicz co sin u s kąta a utworzonego przez w ekto ry u i v, je śli:

u = [2 y j2 , 1], v = [0, - 5 ]

b) u = [- V 5 , 2], tf = [>/5, 0]

c) u = [- 4 , 8 ], v = [1, 2]

3.18. W yzn acz

d) u = [V 6 ,3 > /2 ],ł/= [2 > /2 ,4 ]

m iarę kąta a utworzonego przez w ektory u i v, je śli:

a) u = [ 1 ,2 ] , v = [4, - 2 ] c)

u i v, je śli:

b) u = [ - 3 ,4 ] , v = [0 ,5 ]

b) u = [- 3 ,3 ] , v = [2 ,0 ]

o= [-V5,l],?=[l,0]

3.19.

d)

u = [ - ^ ,- l] ,v = [ 2 V 3 ,- 2 ]

Oblicz długości boków oraz miary kątówtrójkąta ABC, jeśli:

a) A(—7 , 1), 8 (1 , - 1 ) , C ( - 2 ,4) b) A ( - 4, —2>/3),

8(2, - i j s ) , c(-4,4Vi)

c) A(>/3, >/b ), S (3 , >/3), C (3 + > /3 ,3 -ł- %/b ) d) /\(0, 3 ), 8(3>/3, 6 ), c(-3 > /3 , 6)

3.20. Dane są wektory u i v. Wskaż pary wektorów równoległych oraz pary wekto­ rów prostopadłych, jeśli: a) u = [2, 5 ], v = [>/28, 5 - Ji ] b) u = [2 V 3 , - 9 ], v = [9, V l2 ] c) u = [3o, - 2 o ], v =

a

a

, a e R - { 0}

1 ~ 0 d) u = 2 a, - , V= — / 5 , a e R - { 0 } 2 5_

3.21.

W ykaż, że przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Następnie oblicz pole

czw o ro kąta, je ś li: a) A(-A, 1), 6 (- 2 , 3 ), C (-4 , 5), D (-6 , 3) b) A (- 8 ,0 ) , 8 ( - l , 1), C(4, 6), 0 (- 3 , 5) c) >4(-8, 3 ), 8 (- 3 , 2), C ( 0 ,11), D (-9 , 8) d) A(—7, - 7 ) , 8 (7 , - 7 ) , C(4 ,4 ) , D (-4 , 4)

3 . 2 2 . W y zn a c z w s z y s tk ie w a rto ś c i p a ra m e tru a (a e R), d la k tó ry c h w e k to r y

u = [a, —2] i v = [—4 - a, o j są ró w n o le g łe . 3 . 2 3 . W y zn a c z w s z y s tk ie w a rto ś c i p a ra m e tru o (o e R), dla k tó ry c h w e k t o r y

u = [o —2, 3 ] i v m [o - 2 , o 2 + 2 o + 4 ] są ró w n o le g łe . 3 . 2 4 . D a n e są w e k to r y u = [1 , 2], v - [3 , - 6 ] , p = m e tru o , je ś li w ia d o m o , źe w e k t o r y

- j J . W y z n a c z w a rt o ś ć para­

(o + 1 ) • u + v i p, są p ro sto p a d łe .

3 . 2 5 . D a n e s ą w e k t o r y u = [3 , - 1 ] , v = [ - 2 , 5 ] , p = [1 , - 2 J . W y k a ż , że je ś li w e k t o r y p

i~r= a • u —b • y, są p ro sto p a d łe , to 1 2 b + Sa = 0 .

R ó w n a n ie k ie r u n k o w e p r o s t e j 3 .2 6 . W y z n a c z w s p ó łc z y n n ik k ie r u n k o w y p ro s te j p rz e c h o d z ą c e j p rz e z p u n k ty 4 i B, jeśli: a ) >4(2, - 3 ) , ß ( 6 , 7 )

b ) 4 ( - 4 , 1 ), 8 ( 2 , 7 ) d) 4 M , 1 -

,8

3 .2 7 . Prosta / p rz e c h o d z i p rz e z p u n k t 4 , a j e j w s p ó łc z y n n ik k ie r u n k o w y je s t rów­ n y m . W y z n a c z r ó w n a n ie k ie r u n k o w e p ro s t e j /, je ś li: a) m = - 3 ,4 ( 5 , 6)

b) m = 2 , 4 ( - 1 0 ,12)

c)

d) m =

m = - , 4 ( —1 , - 9 ) 3

4 (2 4 , - 3 6 ) 4

3 .2 8 . Napisz r ó w n a n ie k ie r u n k o w e p r o s t e j p r z e c h o d z ą c e j p rz e z p u n k t y 4 i B, je ś li: a)

4 ( —1 0 , 5 8 ) , 8 ( 2 , 2 2 )

c ) 4 ( —1 0 , 7 ), 8 ( 5 , - 3 )

b) 4 ( - 8 , - 9 5 ), 8 (4 , 2 5 ) d ) 4 ( - 6 , - 2 ) , 8 ( 2 4 ,4 )

3 .2 9 . Prosta przechodzi przez punkty 4 i 8 . Podaj (z dokładnością do jednego stop­ nia) miarę kąta nachylenia prostej do osi OX, jeśli; a) 4 (-4 , 2), 8(1, 8) b) 4(5, 6 ), 8(9, -4 ) c) 4(12, -3 ), 8 (6,15) d) 4 (2 , -3 ), 8 ( - l , -1 9 )

83

3. Geom etria analityczna

3 .3 0 . Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi

OX, jeśli: a) k : y - x - l d)

k: y = - x + 2

b) k : y = >/3x + >/2

c) f c :y = l- > / 3 x

e) k : y = - ^ - x + ~ 3 2

f) k : y = - ^ ■

6

3 .3 1 . W yznacz równanie kierunkowe prostej k przechodzącej przez punkt P i na­ chylonej do osi OX pod kątem a, jeśli: a)

P ( 0 ,0), a = 135°

b) P (0,6), a = 30°

c) P (4 ,0), a = 120°

d)

P (3 ,-4 ), a = 4 5°

e) P (-2yfs, 5), a = 60°

f) P(4Ś, yjs), a = 150°

3 .3 2 . W yznacz równanie prostej / przechodzącej przez punkt A, która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta, jaki tworzy z tą osią prosta k, jeśli: a)

fc:y = 3 x + l , 4 ( 1 6 , - l )

b)

k: y = 0,5x + 3, A(6, - 8)

3 .3 3 . Dany jest trójkąt o wierzchołkach: ¿ ( - 4 ,3 ) , 6(4, -5 ) i C(8, 1). Wyznacz: a) długość środkowej AS b) równanie kierunkowe prostej zawierającej środkową AS c) współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC. 3 .3 4 . W trójkącie

ABC dany jest

wierzchołek /3 x + y + l = 0 f) y - y

= o

3 . 4 7 . O b licz p o le tró jk ą ta ograniczonego osiam i układu w spółrzędnych oraz p rostą

k p ro sto p ad łą do w e k to ra u = [3 , - 1 ] i p rzechodzącą przez punkt P(4 ,2 ) . 3 . 4 8 . W p ro sto k ącie ABCD d ane są : w ierzch o łek C(2, 4) i w e k to r AŚ = [4, 4 ]. W y­ znacz ró w n a n ie ogólne p ro stej zaw ie rające j p rzekątną AC tego p rostokąta, je śli w ia ­ d om o, że w ie rz ch o łe k A n ależy do prostej k : x - y - 4 = 0. 3 . 4 9 . W tró jk ą c ie ró w n o ram ie n n ym ABC (pAC| = 18C|) dane są: w ierzch ołek C(—6, 2) oraz w e k to ry CD = [ - 6 ,4 ] i AB - [- 4 , —6 ], gdzie CD je st w ysokością tró jkąta popro­ w ad zo n ą z w ie rzch o łk a C. W yznacz rów nania ogólne prostych, w których zaw ierają się boki tego tró jk ą ta .

K ą t m ięd zy prostym i 3 .5 0 .

Dane są rów n an ia ogólne prostych k i /. Czy proste k i / są rów noległe? Odpo­

w ie d ź u zasad nij. a) /c: 2 x - 3 y + 6 = 0

/ :- x + l - y - 2 = 0

b) k: 3 x —4 = 0 c) k: 7x + 21y - 3 = 0

/ :2 y + 5 = 0 / :x - 3 y - l = 0

d) k :2 x + 7 = 0

1:3 x - 5 = 0

3 .5 1 .

N apisz rów n an ie ogólne prostej / równoległej do prostej:

a) X: 3 x - 2 y + V 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1 ,1 ) b) k: 4 x + 9 y = 0 i p rzecinającej oś OK w punkcie P ( 0 ,5) c) k: 2 x - 1 1 = 0 i p rzecinającej oś OX w punkcie P ( - 4 ,0) d) k: y - 5 = 0 i przechodzącej przez punkt P(7, >/2) 3 .5 2 .

Dane są rów nania ogólne prostych k i /. Czy proste k i / są do siebie prosto­

p adłe? O d p ow iedź uzasadnij. a) X: 5 x + 3 y - 2 = 0 / :- 1 5 x + 25y + 1 0 = 0 b) X: 5 x + 7 = 0 c) X : 4 x - 2 0 y + 30 = 0 d) k:

3 .5 3 .

2 3 „ - x -----y + 1 = 0 3 4

/ :3 y - 2 = 0 ¿15 x-3 y-2 = 0 /: l , 5 x - l —y + 2 — 3 5

Napisz rów n an ie ogólne prostej / prostopadłej do prostej:

a) k: 5 x - y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P ( - l , 2)

86

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

b) k: y + 4 = O i przechod zącej przez p unkt P(—J 7 , y fl) c) k\ 1 0 x - 7 = 01 przechodzącej przez p unkt P(3 ,8 ) d) k: - 3 x + 2 y = 0 i p rzecin ającej oś OY w punkcie P(0 , - 2 )

3 .5 4 .

O blicz b raku jące w spółczynniki w rów naniu ogólnym pro stej /, w ie d zą c, że:

a ) pro sta l:A x - 2 y + C = 0 je st rów noległa do prostej k: 5 x + 1 4y - i = 0 i przechodzi p rzez p un kt P( 1 , 0) b) p rosta /: x + By + C = 0 je st równoległa do prostej k: - 3 x + 4 y - 5 = 0 1 przechodzi przez punkt P( 1, - 3 ) c) pro sta /: 3 x + By + C = 0 je st prostopadła do prostej k: - 2 0 x + 1 5 y - 7 = 0 hprzechodzi przez początek układu współrzędnych d) prosta l:A x+ y + C = 0 je st prostopadła do prostej k: 2 x + 4 y - 1 3 = 0 i przechodzi

3 . 5 5 . W yznacz liczbę m, dla której proste k oraz / są rów noległe, je ś li:

k :((m m -- l) + (m {m + l)y m = =0 a) k: l)x + l ) y -- 55m b) k: 3 m x + 4 y - 8 = 0

1:3 x - 2 y + 4 = 0 /: (m + 3 )x + 2 y - 9 = 0

3.56. W yznacz liczbę a, dla której proste Ar i / są prostopadłe, je ś li: a) k : - x + ( 2 o - l ) y - 1 0 = 0 7: (o + 7 )x + 2 y + 8 = 0 b) k: -ax + (3 - a)y + 6 = 0 /: (a + l ) x + y + 2 = 0 3 .5 7 . Na podstaw ie danych z rysunku poniżej w yznacz w spółczynniki A, B w rów­ naniu ogólnym prostej I:

87

3. Geometría analityczna

3 .5 8 . W y z n a c z ró w n a n ie o g ó ln e s y m e tra ln e j o d cin ka 4 8 , je ś li: a ) 4 ( - 4 , 5 ), 6 ( 6 ,1 )

b) >4(0,7), 6 (0 , - 3 )

c) 4 ( - l , - 2 ) , 6 (3 , 2)

d) 4 ( - l , 8 ), 6 (- 5 , 8)

3 .5 9 . D a n e są p u n k ty 4 ( 1 , 0 ) o raz 6 (5 , 2 ). Na p ro stej k ró w n o le g łe j do p ro ste j AB i p rz e c h o d zą ce j p rzez p u n k t P(4 ,4 ) w yzn acz w sp ó łrzę d n e p unktu C, k tó ry je s t ró w n o o d le g ły od p u n k tó w A i 6 . W y k a ż, że tró jk ą t >46Cjest pro stokątny.

3 .6 0 . P u n k ty >4(1, - 1 ) , 6 ( 3 ,5 ) i C (- 7 ,1 1 ) są w ie rzch o łk am i tró jk ą ta . W yzn acz w s p ó ł­ rzę d n e śro d ka o k ręg u o p isan e g o na tym tró jk ą c ie .

3 .6 1 . O b licz o d le g ło ść śro d ka okręg u op isanego na tró jką c ie o w ie rz ch o łk a ch : > 4(1,7), 8 ( - 5 , 1 ), C (7 , - 5 ) , od środ ka ciężkości tego tró jk ą ta .

3 .6 2 . W yzn a c z w s p ó łrzę d n e p un ktu Q sym etryczn eg o do punktu P (- 1, - 4 ) w zg lę ­ d e m p ro ste j k: 5 x + 4 y - 2 0 = 0 .

3 .6 3 . D w a boki ró w n o le g ło b o k u z a w ie ra ją się w prostych k: 5 x - 2 y - 11 = 0 je s t śro d kiem sym e trii tego ró w n o leg ło b o ku . W yzn a c z ró w n a n ia og óln e p ro stych , w których zaw ie ra ją się d w a pozostałe boki teg o cz w o ro k ą ta .

3 .6 4 . P u n k ty >4(—2 , - 1 ) oraz D ( 2 ,2 ) są w ie rzch o łkam i rom b u , którego p rzekątn a AC je s t za w a rta w p ro ste j o ró w n an iu x - 3 y - 1 = 0 . W yzn acz w sp ó łrzę d n e p ozostałych w ie rz c h o łk ó w teg o ro m b u .

3 .6 5 . Je d n a z p rzek ątn ych kw ad ratu ABCD zaw ie ra się w p rostej k :2 x - y = 0. W ie ­ d ząc, że 4 ( 1 , - 3 ) , w y zn a cz w sp ó łrzę d n e w ie rzch o łka C i oblicz pole tego k w a d ra tu .

3 .6 6 . W tró jk ą c ie ABC d an e są: 4 (2 , 1), 4 6 = [7 , 3] oraz

= [- 6 , 1 ]. W yzn acz

ró w n a n ie p ro ste j, w któ re j zaw ie ra się w yso ko ść tró jkąta poprow ad zona z w ie rz ­ ch o łka C.

3 .6 7 . D w ie w yso k o ści tró jk ą ta ABC zaw ie ra ją się w prostych /r: 5 x - 3 y + 5 = 0 o raz I: x + y - 1 = 0 . W ie d zą c p on adto, że 4 ( - 2 , 1 ), w yzn acz ró w n an ia ogólne p ro stych , w k tó rych za w ie ra ją się boki tego tró jk ą ta .

3 .6 8 . P u n k ty 4 ( - 4 , 4 ), 6 (4 , 0 ) są w ie rzch o łk am i tró jką ta ABC, a p un kt M ( 3 , 4 ) je s t p u n k te m p rze cię cia w yso k o ści tego tró jk ą ta (o rto c e n tru m ). W yzn acz w sp ó łrzę d n e w ie rz ch o łk a C.

88

Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.

3 .6 9 . Punkty A(2, -3 ) i 8 (5 ,1 ) są wierzchołkami trójkąta ABC. Bok BC zawiera się w prostej k: x + 2 y - 7 = 0, zaś środkowa AM zawiera się w prostej m: 5 x - y - 13 = 0. Wyznacz równanie ogólne prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta poprowa­ dzona z wierzchołka C. 3 .7 0 . Punkty A(0, -5 ) oraz D(-3, -1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równo­ ramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta o równaniu x + 2y = 0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków oraz długość odcinka łączącego środki ra­ mion tego trapezu. 3 .7 1 . Wyznacz miarę kąta ostrego, jaki tworzą dwie proste k i l o równaniach: a) fr:x - 8 = 0 o r a z / :x - y -2 0 0 = 0 b) k: y = x - 1 0 oraz /: y = (2 - > /!)*+ 15 3 .7 2 . Wyznacz miarę kąta rozwartego, jaki tworzą dwie proste ki l o równaniach: a) k :y = 3x + 5 o ra z / :y = -2 x + 4 b) k: > / 3 x - 3 y - 3 = 0oraz/:>/3x + 3 y - 6 = 0 3 .7 3 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współ­ rzędnych, które tworzą z prostą k: 2x - y + 5 = 0 kąt o mierze 45°. 3 .7 4 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt A (-2 , 4), które two­ rzą z prostą k: -3 x + 2y + 1 = 0 kąt o mierze 45°. 3 .7 5 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współ­ rzędnych, które tworzą z prostą k: y/3x - y + 2 = 0 kąt o mierze 60°. 3 .7 6 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt >4(1, h 1), które two­ rzą z prostą k : x - y + 1 = 0 kąt o mierze 30°. * 3 .7 7 . Trójkąt ABC jest równoramienny, w którym \AC\ = |BC|. Podstawa AB zawiera się w prostej k: 3x - 7 y +35 = 0, zaś ramię BC zawiera się w prostej 1:5x - 2y - 1 9 = 0. Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok AC tego trójkąta, jeśli wiadomo, że punkt P(-2 , 0) należy do boku AC.

89

3. Geometria analityczna

Odległość punktu od prostej. Odległość między dwiema prostymi równoległymi 3 .7 8 .

O b lic z o d le g ło ść p u n k tu P ( - 2 , 3) od p ro stej k, je ś li:

a)

k :x - 7 = 0

b) k : y + 1 = 0

c)

fc: 7 x - y + 1 7 = 0

d) f r :3 x + 4 y + 5 = 0

3 .7 9 .

O b licz o d le g ło ść m ię d zy p ro stym i rów n oległym i k i /, je ś li:

a ) k :x + y + 2 = 0

l:x + y - 4 = 0

b) k :x + 6 = 0

/: 5 x - 1 0 = 0

c) k : 2 x - y + 3 = 0

/ :- 3 x + l , 5 y - 2 = 0

d ) fc: 5 y + 7 = 0

/ :3 y - 2 0 = 0

3 . 8 0 . W y k a ż, że p ro sta k : 2 x - y - l - 0 je s t ró w n o oddalona od prostych n r. 2 x - y + 9 = 0 o ra z n : 2 x - y - 1 1 = 0 . 3 . 8 1 . F ig u ra F je s t s u m ą d w ó ch p ro stych o ró w n an iach : 3 x - 4 y + 1 4 = 0 oraz 3 x - 4 y - 2 = 0 . S p ra w d ź , czy p od ana prosta je s t osią sym etrii tej figury, je śli: a) f c : 3 x - 4 y + 6 = 0

b) m :4 x + 3 y + 5 = 0

c) n :3 x - 4 y + 14 = 0

d) p :2 x + y - l = 0

3 . 8 2 . D an a je s t p ro sta k: 4 x - 3 y + C = 0 oraz punkt P ( - l , 1). W yznacz liczbę C, dla k tó re j o d le g ło ść p u n k tu P od p ro stej k je s t rów n a: a) 1

b) 15

c) 0

d) yfl

3 . 8 3 . D an a je s t p ro sta k: 8 x - 1 5y +. 7 = 0 . W yznacz liczbę o, dla której odległość p u n k tu P (a , 3 ) od p ro ste j k je s t ró w n a: a) 2

b) 0

c) 13

d) 10

3 . 8 4 . D an a je s t p ro sta k: -2 x + y+ 3 = 0 . W yznacz liczbę o, dla której punkt P leży w o d le g ło ści 2y/5 od p ro ste j k, je ś li: a) P ( l , o )

b) P (3 o , 4 )

c) P(o, 2o)

d) P(o + 2 , o - l )

3 . 8 5 . D an y je s t tró jk ą t ABC, gdzie A (- 2, 3), 0 ( - 2 ,2), C(2 ,0 ) . W yznacz: a ) ró w n a n ia o g ó ln e p ro stych zaw ierających boki tego tró jkąta b) d ług ości w yso k o ści teg o tró jkąta. 3 . 8 6 . D an y je s t tra p e z ABCD, gdzie A( 3 , - 2 ) , 0 (3 , 3 ), C(0 ,4 ) , D (- 1 5 ,4). a) K tó re boki tra p e zu są ró w n o le g łe ? O dpow iedź uzasadnij, b) O b licz d ług o ść w yso k o ści tego trap ezu .

90

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

3.87.

N a o si OX w y z n a c z p u n k t P, k tó ry je s t ró w n o o d le g ły od p ro sty c h

/ r : x - y + 3 = 0 o r a z m : 7x + y - i * s 0 .

3.88.

N a o si OY w y z n a c z p u n k t P, k tó ry je s t ró w n o o d le g ły od p ro sty c h k : 2 x + y - 1 = 0 o ra z m: l l x - 2 y + l = 0 .

3.89.

W y z n a c z ró w n a n ie p ro ste j, d o k tó re j n a le ż y p u n k t P[ 1, - 1 ) i t a k ie j, że o d le ­

g ło ś ć p u n k tu Q (8 , - 2 ) od te j p ro ste j w y n o s i 5.

3.90.

W y z n a c z r ó w n a n ie p ro ste j, do k tó re j n a le ży p u n k t P (- 6 ,1 5 ) i t a k ie j, że o d le ­

g ło ś ć p u n k tu Q (4 , - 5 ) od t e j p ro ste j w y n o s i 1 0 .

3.91.

W y z n a c z ró w n a n ia p ro sty c h , w k tó ryc h z a w ie ra ją s ię d w u s ie c z n e k ą tó w , pod

ja k im i p rz e c in a ją s ię p ro ste k: 4 x + 2 y + 1 = 0 i m : l l x - 2 y + 7 = 0 .

3.92.

W y zn a c z ró w n a n ie p ro ste j, z a w ie ra ją c e j d w u s ie c z n ą te g o k ą ta , u tw o rzo n e g o

p rz e z p ro ste k : x + 3 y - l = 0 o raz m: 6 x - 2 y + l j j g 0 , d o o b sza ru k tó re g o n a le ż y p unkt

P( 3 , 1 ) .

Pole trójkąta. Pole wielokąta 3.93.

O b licz p o le tró jk ą ta o w ie rz c h o łk a c h A [ 1 ,1 ) , 5 ( 3 ,5 ) , C ( - l , 3 ).

3.94.

B o ki tró jk ą ta z a w ie ra ją s ię w p ro sty c h o ró w n a n ia c h :

3 x - y - 9 = 0 ,2 x + y - l = 0 , x + y - 3 = 0 . O b lic z p o le te g o tró jk ą t a .

3.95. W

ró w n o le g ło b o k u ABCD d a n e są w ie rz c h o łk i: A (2 , 4 ), 5 ( 6 ,3 ) , C (4 , - 1 ) , O blicz:

a ) p o le teg o ró w n o le g ło b o k u b ) w s p ó łrzę d n e w ie rz c h o łk a D c) m ia rę kąta a u tw o rz o n e g o p rzez w e k t o r y A K i A l , g d z ie K — ś r o d e k b o ku BC, L - ś ro d e k boku CD.

3.96.

P ro sta k : 3 x - y - 3 = 0 p rz e c in a p a ra b o lę o r ó w n a n iu y = - x 2 - 2 x + 3 w punk­

ta c h A i 5 . a ) O b licz w s p ó łrzę d n e p u n k tó w A i 5 . b ) O b licz p o le tró jk ą ta ABW, g dzie W je s t w ie rz c h o łk ie m p a ra b o li. c ) O b lic z o d le g ło ść p u n k tu W od p ro ste j k.

91

3. Geometria analityczna

3 . 9 7 . N a p ła s z c z y ź n ie d a n e są p u n k ty : 4 ( 1 ,2 ) , 0 ( 5 ,4 ) , C (3 ,6 ) , 0 ( 0 ,8 ) . Przez p un kt D p o p ro w a d z o n o p ro stą k p ro sto p a d łą do p ro stej 4 8 . W yzn acz na p ro stej k taki p u n k t E, a b y p o la t r ó jk ą t ó w ABC i ABE b yły ró w n e .

3 .9 8 . P u n k ty 4 ( 6 , 2 ) i C ( - 4 , - 4 ) są w ie rz ch o łk a m i tró jką ta ró w n o ram ie n n eg o ABC, w k tó ry m |4C | = |8 C |. W y s o k o ś ć p o p ro w ad zo n a z w ie rzch o łk a C z a w ie ra się w p ro stej

k : x - y = 0. O b lic z : w s p ó łrz ę d n e w ie rz c h o łk a B

a)

b) pole tró jką ta ABC.

3 .9 9 . Na o si OY w y z n a c z ta k i p u n k t C, ab y pole tró jkąta ABC, gdzie 4 ( - 2 , - 4 ) , 0 (8 , - 1 ) , b yło ró w n e 3 2 .

3 .1 0 0 . Na o si OX w y z n a c z ta k i p u n k t 8 , ab y p ole tró jką ta ABC, gdzie 4 (2 , - 3 ) , C ( 6 ,3 ), b yło ró w n e 1 2 .

3 .1 0 1 . N a p ro ste j k o ró w n a n iu x - 3 y - 3 = 0 w yzn acz punkt B t a k , ab y pole tró jkąta ABC, g dzie 4 ( - 4 , 1 ), C (4 , 8 ) b yło ró w n e 3 5 . 3 .1 0 2 . W ro m b ie ABCD, któ re g o pole je s t ró w n e 10, d an e są przeciw leg łe w ie rz ­ ch o łk i 4 ( 1 , 1 ) i C (3 , 5 ). W y zn a c z w sp ó łrzę d n e pozostałych w ie rzch o łkó w rom b u.

3 .1 0 3 . W t ró jk ą c ie p ro sto k ą tn ym ABC (|< 4 8 C | = 9 0 °) dw a w ie rzch o łki m ają w sp ó ł­ rzę d n e 4 ( 4 , - 5 ) i C ( - 8 , 5 ). W yzn a c z w sp ó łrzę d n e w ierzch ołka 8 , w ie d zą c, że pole tró jk ą ta 4 B C je s t ró w n e 6 1 .

Równanie okręgu. Nierówność opisująca koło 3 . 1 0 4 . N ap isz p o sta ć k an o n iczn ą ró w n an ia okręgu o środku S (xs, ys) i pro m ien iu r, je ś li: a)

S ( 0 , 0 ), r = 4

b) S ( 0 , 4 ) , r - V 2

c)

S ( - l,0 ) ,r = l

d) S ( - l , 2 ), r =

e)

S (4 , - 3 ) , r =

i

f)

S (-> /2 ,

n/3

-V I), r = 8

3 . 1 0 5 . P o n iższe ró w n a n ia o p isu ją okrąg o środku w p unkcie S(xs, y5) i pro m ieniu r (r > 0 ). Po d aj w s p ó łrzę d n e śro d ka okręgu i jego p ro m ień , je ś li: a) x 2 + y2 = l

b) ( x —l ) 2 + y2 = 2 ,2 5

c)

d) ( - x - 3 ) 2*f ( ~ l~ y ) 2 = 81

(1 + x ) 2 + (2 - y )2 = 25

3 .1 0 6 .

W y z n a c z w s p ó łrz ę d n e śro d ka i p ro m ie ń o k ręg u o p is a n e g o ró w n a n ie m :

a) x 2 + y2- 2 x - 4 y - 4 = 0

b) x 2 + y 2 + 1 0 x + 2 4 = 0

c)

d) x 2 + y 2 + 4 x + 8 y + 16 = 0

e)

x 2 + y 2 + 6 x + 10y + 33 = 0 x 2 + y2- x - 0 ,5 y -

59 =

0

f)

x 2+ y2- 2 > / 3 y - 6 = 0

16

3 .1 0 7 .

Dane jest równanie okręgu w postaci zredukowanej: x2+ y2+ a x + b y + c = 0

( a gdzie a2 + b2 > 4c. Wykaż, że środek tego okręgu ma współrzędne 51 —

b) r jl,

:2 ^ 2 a długość promienia tego okręgu można obliczyć ze wzoru: r2 = — + ----- c. 4

3 .1 0 8 .

4

K o rzy sta ją c z w ła s n o ś c i o m ó w io n e j w zad an iu 3 .1 0 7 ., w y z n a c z w sp ó łrzę d n e

ś ro d k a i d łu g o ść p ro m ie n ia o k rę g u : a) x 2 + y2- 8 x + 7 = 0

b) x 2 + y 2 - 2 > / 2 y - 6 = 0

c)

d ) x 2 + y 2 - 3 x + y - 1 ,5 = 0

x 2 + y2 + x - - y - — = 0

3 .1 0 9 . S p ra w d ź , k tó re z p o n iższych ró w n a ń o p isu ją o krąg . a)

x 2+ y2- 2 x - 6 y + 9 = 0

c) x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 1 0 = 0

b) x 2 + y 2 + 4 y - 5 = 0 d) x 2 + y 2 + 1 0 x + 2 y + 25 = 0

3 .1 1 0. U d o w o d n ij, że r ó w n a n ie x2 + y2- a x + 2 b y - 0 ,7 5 a2 + 2ab = 0 o p is u je okrąg dla d o w o ln ych różnych liczb rze czy w isty ch a i b. Po d aj w s p ó łrz ę d n e śro d ka i długość p ro m ie n ia o kręg u .

3 .1 1 1.

N apisz ró w n a n ie o kręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k t A, o śro d ku w punk­

cie S , je ś li: a ) A( 3 ,4 ) , S ( 0 ,0 )

b) A( 4 , 2 ), S ( 2 , 1)

c) 4 ( 3 ,1 0 ) , S(—3, 2)

d) 4 ( 4 , 7 ), S ( - 2 , 1)

3 .1 1 2 . N apisz ró w n a n ie okręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k ty 4 , B, C, je ś li: a)

4 ( —1 ,0 ) , 8 ( 7 ,0 ) , C ( 0 ,1)

b) 4 ( 1 , 3 ), 8 ( 5 ,1 ) , C (4 ,4 )

c)

4 ( 1 , 5 ), 8 (8 , - 2 ) , C(9 ,1 )

d) 4 ( - 1 4 , - 1 ) , 8 ( 3 ,1 6 ) , C ( l l , 4 )

3 .1 1 3 . N apisz ró w n an ie okręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k ty 4 i 8 , któ re g o środek zn a jd u je się na p ro stej k, je ś li: a)

k :y = - 2 x - 2 ; 4 ( 5 ,1 0 ) , 8 ( 3 ,1 2 )

b) k: y = i x - l i ; 4 ( 6 , 4 ), 8 ( - l , 3)

c)

k :y = 2x + 4 ; 4 ( 3 ,0 ) , 8 ( 4 ,1 )

d ) k :y = x - 5 ; 4 ( 7 ,4 ) , 8 ( - 5 , ^ 12)

93

3. Geometria analityczna

3 .1 1 4 . D a n y je s t o k rą g o : x 2 + y2 - 4 x + 6 y - 3 = 0 . W yznacz ró w n an ie okręgu o1 b ę d ą c e g o o b ra z e m o k ręg u o w s y m e trii śro d ko w e j w zg lęd em p un ktu : a) 0 ( 0 ,0 )

b) 4 ( - 4 ,6 )

c) fl(5 ,1 )

d) C ( 3 ,- 2 )

3 .1 1 5 . D a n y je s t o k rą g o : (x - 3 )2 + (y + 1 )2 = 7 . W yznacz ró w n an ie okręgu o1 będą­ ceg o o b ra z e m o k rę g u o w s y m e trii o sio w e j w zg lęd em prostej k, je ś li: a) k :x - 4 = 0 b ) k :y + 2 = 0 c) k :y = x - 2 d) fr:2 x + y - l = 0 3 .1 1 6 . N a p isz ró w n a n ie okręg u sym e tryczn e g o do okręgu o :x 2+ y 2+ 6 x - 2 y - 1 5 = 0 w zg lę d e m p ro ste j k: x - 3 y - 4 = 0 , a n astęp n ie oblicz pole tró jkąta, którego w ie rz­ ch o łk a m i s ą ś ro d k i ty c h o k rę g ó w i p o czątek układu w spółrzędnych.

3 .1 1 7 . N ap isz ró w n a n ie og óln e w sp ó ln e j osi sym e trii okręgów o 1: x 2 + y2 - 2 x + 4 y + l = 0 o raz o 2: x 2 + y2 + 2 x - 4 y - 4 = 0.

3 .1 1 8 . D an y je s t o k rąg o : X2 + y 2 - 2 x - 8 = 0 . W yznacz rów n an ie okręgu o2 będące­ go o b ra ze m o k ręg u o w p rzesu n ię ciu rów noległym o w ek to r u, je śli: a) u = [ - 3 ,0 ]

b) u = [0 , 2]

c) u = [ l , - 3 ]

d) i = [ - 4 ,j 5 ]

3 .1 1 9 . D an e je s t p rze k szta łce n ie P płaszczyzny określone w zorem : P ((x , y)) = ("“Xfl y + 1 )/ gdzie x , y e R. a) W y k a ż , że p rz e k szta łce n ie P je s t izo m etrią. b) W y zn a c z ró w n a n ie ob razu okręgu o: x2 + y 2 - 2y - 4 = 0 w tym przekształceniu. c) W y zn a c z ró w n a n ia osi sym e trii figury, która je st sum ą okręgu o i jego obrazu w p rz e k szta łce n iu P. 3 .1 2 0 . P rze k szta łc e n ie P o kreślo n e je s t w zorem P ((x, y)) = [y + 2, - x + 1), gdzie x ,y e f i. a ) W y k a ż , że p rze k ształce n ie P je s t izo m etrią. b) W y zn a c z ró w n a n ie ob razu okręgu o: x 2 + y 2 - 4 x + 6y + 12 = 0 w przekształce­ niu P . c) O b licz p o le tró jk ą ta , którego w ierzch ołkam i są: środek S danego okręgu, środek 5' - o b razu o kręg u w p rzekształceniu P oraz punkt 4 ( 2 ,0 ) .

3 .1 2 1 . N ap isz ró w n a n ie okręgu o2 o prom ieniu r = 4 , w spółśrodkow ego z okręgiem ox: x2 + y 2 + 2 x - 6 y + 9 = 0 . Oblicz pole P pierścienia kołowego ograniczonego okrę­ gam i

i o 2.

3 .1 2 2 . P ro sta k : x - y + 1 = 0 przecina parabolę o rów naniu y = - x 2 + 2x + 3 w punk­ ta ch A i B . N apisz ró w n a n ie okręgu o prom ieniu r = >/5, którego cięciw ą je st odci­ n e k AB.

3 .1 2 3 .

Podaj nierówność opisującą koło o środku S(x5t y5) i promieniu r (r > 0 ), jeśl b) s(-4, V 2 ), r = i

a) S ( l ,- 3 ) , r = >/2

c) 5(2, - 5 ),r = 6

3 .1 2 4 . W p ro s to k ą tn y m u k ła d zie w s p ó łrzę d n y ch z ilu s tru j z b ió r p u n k tó w , których w s p ó łr z ę d n e s p e łn ia ją p o d a n e n ie ró w n o ś c i: b)

( x - l ) 2 + y2^ l

d)

X2 + y 2 + 4 x + 2 y - 1 1 ^ 0

4 c) x2 + (y + 3)2 n > 0. n

3 .164. Na p łaszczyźn ie zaznacz d o w o ln e d w a różn e p u n k ty X oraz Xv N a stę p n ie w y zn a cz śro d e k S je d n o k ła d n o śc i J, w ie d zą c, że X1=7S*(X), g dzie: a) k = - 3

b) k = - 0 ,7 5

c ) k = - 0 ,5

d )k = 2

3.165. N arysuj d w a okręg i o^A{, 1 ,5 cm ) i o2(A2; 3 cm ) ta k , ab y \AtA2\= 6 cm . Z n ajd ź śro d ek S ta k ie j je d n o k ła d n o śc i, która przekształca okrąg o1 na okrąg o2 (p a m ię ta j, że istn ie ją d w a ro zw ią za n ia ). W yzn acz odległość punktu 5 od śro d kó w okręg ó w .

3.166. W yzn acz w sp ó łrzę d n e p unktu Av k tó ry je s t ob razem p unktu A w je d n o k ła d ­ ności J o środku w p un kcie 0 ( 0 ,0 ) i skali k, je ś li: a) A (- 2 , 4 ), k = 0 ,5

b) ¿ ( - 9 ,1 2 ) , k = - £

3.167. W yzn acz w sp ó łrzę d n e punktu Bv któ ry je s t obrazem p un ktu 6 w je d n o k ła d ­ ności J o środku w p unkcie 5 (- 4 , 5) i skali k, je ś li: a) B (—1 0, - 8 ) , k = -

b) B (5 , 7 ), k = -2

c) B ( l , 2 0 ) , k = 6

d) B (- 4 , 9 ) , k = ~ ~

3.168. O d cin ek A ^ je s t obrazem odcinka AB w je d n o kład n o ści o środ ku 0 ( 0 , 0 ) i skali k. W yzn acz w spółrzęd n e środka E odcinka Ax&jy je ś li: a) ¿ ( —2 0 , 6 ), B ( 1 0 ,4 ), k = 3 b) ¿ ( 1 3 , - 1 ) , B (5 , 7 ), k = - 2 c) ¿ ( - 8 , - 2 7 ) , B (- 1 2 , - 1 3 ) , k = 0 ,1

d) ¿ ( 2 7 ,1 0 8 ) , B ( - 2, - 3 ) , k = - 0 ,2

3.169. O d cin ek ¿ ^ je s t obrazem odcinka AB w je d n o kład n o ści J o środ ku w p un k­ cie S (- 2 , - 1 ) i skali k. W yznacz w spółrzęd ne końców odcinka A1BV je ś li: a) ¿ ( 1 0 , - 6 ) , B (—1 ,4 ) , k = - 5 b) ¿ ( 0 , 6 ), B(—4, 0 ), k = 3 c) ¿ ( - 8 , 4 ) , B (0 , 0 ), k = 0 ,5

d) ¿ ( 3 , 8 ), B ( - 5 , 1 3), k = - 0 ,3

100

M atem atyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

3.170.

D a n e s ą p u n k ty A ( 3 , 2 ) i A x(- 3 , 5 ) . W ia d o m o , ż e A 1= Jsk{A). W y z n a c z w spójj

rz ę d n e ś ro d k a

S te j je d n o k ła d n o ś c i, je ś li

a) - 2

3.171.

b)

i 3

sk a la k je s t r ó w n a : c)

5

d) - 4

P u n k ty 4 i A 1 są je d n o k ła d n e , p rzy czym ś ro d k ie m je d n o k ła d n o ś c i je s t p u n k i

0 ( 0 , 0 ) . O b lic z s k a lę k te j je d n o k ła d n o ś c i, je ś li: a ) A {- 3 , 1 ) , 4 ^ 6 , - 2 )

b ) 4 ( 5 , 5 ), 4 1( - 1 , - 1 )

c ) 4 ( - 2 , 0 ), 4 ^ 5 ,0 )

d ) 4 ( 0 , 3 ), 4 ^ 0 , - 3 )

3.172.

S p ra w d ź , cz y o d cin k i AB i CD są je d n o k ła d n e , je ś li:

a ) 4 ( 2 , - 3 ) , 8 (5 , 6 ), C (0 , - 1 ) , D ( l , 2 )

b) 4 ( - 2 , - 1 ) , 8 (4 , 2 ), C ( 2 , 1 ), 0 (1 0 , 5)

W p rzyp a d k u o d p o w ie d zi tw ie rd z ą c e j w y z n a c z śro d e k S i s k a lę jedn o kład n ości, w k tó re j o b raze m o d cin ka 4 8 je s t o d cin e k CD.

3.173.

D an y je s t tró jk ą t ABC, w k tó rym 4 ( - 5 , - 5 ) , 8 (2 , - 3 ) , C ( - 4 , - 1 ) . T ró jk ą t A & c J

je s t o b raze m tró jk ą ta ABC w je d n o k ła d n o ś c i J o śro d ku S (2 , 0 ) i s k a li k, g dzie k < 0.1 W ie d z ą c , że śro d ko w a tró jk ą ta l4 # #

i

p o p ro w a d zo n a na b o k 8 ^

m a długość 10,1

o b licz: a) sk a lę te j je d n o k ła d n o śc i b) w sp ó łrzę d n e w ie rz c h o łk ó w tró jk ą ta 4 18 1C1 c) p ole tró jk ą ta 4 18 1C1.

3.174.

D ana je s t p ro sta m o ró w n a n iu y = 2 x - 3 o ra z p u n k t 0 ( 0 , 0 ) . W yzn acz ró w -l

n a n ie p ro ste j, któ ra je s t o b raze m p ro ste j m w je d n o k ła d n o ś c i J 0k, je ś li: a) k = - 3

b) k = 2

c) k = i

d) * =

* 3 . 1 7 5 . P rosta k p rzech o d ząca p rzez p u n k t P(2 , 6 ) o g ran icza w ra z z d o d atn im i póło siam i układ u w sp ó łrzę d n ych tró jk ą t o p olu 2 5 . a ) W yzn acz ró w n a n ie p ro ste j k. b) W yzn acz ró w n a n ie p ro ste j m, k tó ra je s t o b ra ze m p ro ste j k w jednokładności o śro d ku w p u n kcie 0 ( 0, 0 ) i sk ali s = 1 c)

O b licz pole tra p e zu o g ran iczo n eg o p rzez p ro ste k i m o ra z o s ie u k ła d u współrzęd­ nych .

3.176. Wyznacz środek 5 i skalę k jednokładności J, która okrąg o1:x 2 + y2 + 1 0 x - lOy + 4 1 = 0 przekształca na okrąg o2: x 2 + y2 - Ax - 2y + A = 0.

101

3. Geometria analityczna

3 .1 7 7 W yzn acz środ ek S i skalę fc je d n o k ła d n o ś c i/ która okrąg

ox: X2 + y2 + 1 2 x + 2y + 36 = 0 przekształca na okrąg o2: x 2 + y 2- 16x - 12y + 9 6 = 0. 3 .1 7 8 .

Dana je s t fun kcja y = / (x ). W ykres funkcji g je st obrazem w ykresu fu n k c ji/

w je d n o kład n o ści o środku 0 ( 0 ,0 ) i skali k. W yznacz w zór funkcji g, je śli:

a) /(x) =-2x2, /c= - i c>

b) f ( x ) = j x 2,k = 3

f( x )= Z - l.k =

d) / (x ) =

X

N aszkicuj w y k re sy fun kcji / i g.

Z asto so w an ie analizy m atem atycznej w rozw ią­ zyw an iu zad ań z geom etrii analitycznej 3 .1 7 9 . W yznacz w spółrzędne takiego punktu A, że styczna do w ykresu f u n k c ji/ w punkcie A je s t rów noległa do prostej k, je śli: a) / (x ) = - 2 x 2 + x + 1, k: 5 x - y - 2 = 0 3 c) / (x ) = *— x4

k :1 2 x - y - 8 = 0

b) / (x ) = x+ 4

k :x -S y + Ś ± 0

3x2 d) / (x ) = — ^ , k :A x - 3 y - 2 1 = 0 2x - l

3 .1 8 0 . W yznacz w spółrzędne takiego punktu A, że styczna do w ykresu funkcji / w punkcie A je s t prostopadła do prostej k, je śli: a) / ( x ) = 3 x 2 + x - 2 ,

c)

k :x -5 y -1 0 = 0

/ ( x ) = — , f c :x + 1 0 y = 0 x

3 .1 8 1 .

b) / (x ) = l g £ , * :2 x + y - 5 = 0

d) / ( x ) g

2x2 +3x

-i ,, k : 2 x + 3 y - 3 = Q 4x+ 2

W ykaż, że styczna do paraboli o równaniu y = j X 2- 3 x - 2, poprowadzona w

punkcie P o odciętej 2, ogranicza w raz z osiam i układu w spółrzędnych tró jkąt o polu rów nym 8 .

102

Matematyka, Zbiór zadań. Klasa 3.

3 .1 8 2 .

2 x —l

Wykaż, że styczna do hiperboli o równaniu y = ----- , gdzie x * - l , poprox+ l

wadzona w punkcie P o odciętej -2, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu 2 0 ^ .

3.183.

Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzęd

n i nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = ------, która jest prostopadła do prostej , x-3 o równaniu 2 x - y - 3 = 0.

3.184.

Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzęd

2_x

nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = ------, która jest równoległa do prostej x+2 o równaniu 4x + y - 11 = 0.

3.185. Do paraboli o równaniu y - x 2 poprowadzono styczną w punkcie o odciętej ujemnej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu rów­ nym 16. Wyznacz równanie tej stycznej.

3.186. W którym punkcie wykresu funkcji f[x) = - x 3 należy poprowadzić styczną do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu

współ­

rzędnych było równe 54?

3.187.

I'I

l

W którym punkcie wykresu funkcji f(x) = f e gdzie x * 0, należy poprowax

dzić styczną do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu współrzędnych było równe 1 - ? ;

8

3.188.

P, aby styczna do P ograniczała, wraz z prostymi o równaniach:

Na paraboli o równaniu y = - x 2 + 2x wyznacz taki punkt

tej paraboli poprowadzona w punkcie

x = 0, y = 0, x = 1, trapez o najmniejszym polu.

3.189.

Wyznacz wymiary prostokąta o maksymalnym polu powierzchni, którego

dwa wierzchołki należą do osi OX, a dwa pozostałe, o rzędnych dodatnich, należą do paraboli o równaniu y = 3 - - x 2,

103

3. Geometria analityczna

3 .1 9 0 .

P ro sta k: y = ax + b, gdzie o > 0 , przechod ząca przez p un kt P (- 1, 2 ), od cin a

na o siach u k ła d u w sp ó łrzę d n ych od cin ki, któ rych sum a długości je s t n ajm n ie jsza. W y zn a c z ró w n a n ie te j p ro ste j.

3 .1 9 1 .

Na p a rab o li o ró w n a n iu y = i x 2 w yzn acz taki punkt P, którego odległość od

p u n k tu A (4 , 1) je s t n a jm n ie jsza .

g 3 .1 9 2 .

Na gałęzi h ip e rb o li o ró w n an iu y = —, gdzie x e (0 , +oo), w yzn acz taki p un kt x

P, k tó reg o o d le g ło ść od p un ktu A(2, - 2 ) je s t najm n iejsza.

3 . 1 9 3 . R o zp atru je m y o d cin ki ró w n oległe do osi OY, których je d e n koniec leży na w y k re s ie fu n k cji f(x) = - V x , zaś drugi koniec na w ykre sie fun kcji g(x) = —, gdzie

x

x e (0 , +oo). W yk aż, że n ajk ró tszy z tych od cinków ma długość

^ > ¡2 .

3 . 1 9 4 . Na h ip erb o li o ró w n an iu y = —, gdzie x * 0 , obrano p un kty 4 ( 2 ,3 ) i ß ( 6, 1).

x

W yzn acz na te j h ip erb o li taki p un kt C o u jem n ej o d ciętej, aby pole tró jkąta ABC było n a jm n ie jsze .

T e s t sp ra w d z a ją c y d o rozdziału 3 . 1 . T ró jk ą t ABC je s t rów nob oczny, w którym A(- 4 , 5). Punkt D (- 7 ,1 ) je s t środ kiem boku BC. Z atem ob w ód tró jkąta ABC je s t rów n y: A.

B. l o V i

C. 5

D. V ś .

2 . W e k to ry u = [3 + o , a] i v = [b + 1, b] są rów noległe w te d y i tylko w te d y, gdy: A. o = 0 i b = 0

B. o + 3 = b

C. o = 3b

_

D. 3b + q = 0. 3

3 . Pole czw o ro kąta ABCD, gdzie A (- 5, - 2 ) , 6 ( 4 ,1 ) , Ć ( - 2 , 8 ), D(~6 , 3 ), je s t ró w n e : A. 54

B. 53

C.

<

D. 51.

104

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

W tró jk ą c ie ABC dane są : A § = [1 ,3 ] i ĆA = [ - 7 2 , 2 ^ ] oraz |< 8AC| = a . Wówcza

4. A.

a

= 30°

B. a = 60°

C.

a

= 45°

D.

a

= 1 3 5 °.

4 2 O d leg ło ść p unktu K ( - 3 , 2) od p ro stej k :y = —x - 1 0 - je s t:

5.

A . liczbą n ie w y m ie rn ą

B. k w ad rate m liczb y n a tu ra ln e j

C.

liczbą p od zieln ą przez 3

D. iloczyn em d w ó ch liczb p ie rw szych .

6.

W e k to r u = [ - 2 ,7 ] je s t p ro stop ad ły do p ro stej k. Pu n kt 4 ( 3 , 8 ) n ale ży d o pro stej

Z a te m : B. k :2 x + 7 y - 6 2 = 0

A . /r: 2 x - 7 y + 5 0 = 0

k: 7 x + 2 y - 3 7 = 0

C.

D. * : 7 x - 2 y - 5 = 0 .

7 . O kręgi o ró w n an iach o{. x2 + y 2 - 2y - 3 = 0 i o2: (x - 3 )2 + (y - 3 )2 = 2 : A . są styczn e ze w n ę trzn ie

B . p rzecin ają się

C. są rozłączn e ze w n ę trzn ie

D. są rozłączn e w e w n ę trz n ie .

8 . O b razem p un ktu P(4 , - 8 ) w je d n o kła d n o śc i o śro d ku S (- 3 , - 2 ) je s t p u n k t

P j- 5-

o |- Z atem skala te j je d n o kła d n o śc i je s t ró w n a :

r

9.

S tyczn a do p arab o li o ró w n a n iu y = —x 2 + 2 x + 8 p o p ro w a d zo n a w p un kcie o od

cię te j - 2 je s t ró w n o le g ła do p ro ste j o ró w n a n iu : A . 3x + 3 y + 19 = 0

10.

B . 2 x - 2 y + 15 = 0

C .x + 2 y = 0

D . 2 y - x + 7 = 0.

K ąt o s try u tw o rz o n y p rzez p ro ste o ró w n a n ia c h

k: 3 x - 7 y - 875 = 0 i /: 5 x + 7 y - 3 5 0 = 0 m a m ia rę a t a k ą , że : A. a e

ae

n

"k n a e L-, —

6' 4

4

D. a e

3

n

n

3' 2

S tyczn a do o kręg u x 2 + y 2 = 5 m o że m ie ć ró w n a n ie :

11.

A. x = 5

12.

n

0,

B. 2 x + y - 5 = 0

C. y = - 5

D. 2 x + y = >/5.

D w a boki tró jk ą ta ABC z a w ie ra ją s ię w p ro s ty c h : /r: 4 x - 3 y

= 0 i /: 5 x -

D w u sie czn a kąta tró jk ą ta p rz y w ie rz c h o łk u 4 ( 0 , 0 ) m o że m ie ć r ó w n a n ie : A- y = x

B. y = - x

6

. C. y = - x 4

D. y = - x . 9

12y = 0

105

3. G eom etría analityczna

IB.

S y m e t ra ln a o d c in k a PR, g d zie P(4 , 7 ) i / ? ( - 2 ,1 0 ) , z a w ie ra s ię w p ro s te j, k tó re j

w s p ó łc z y n n ik k ą t o w y j e s t r ó w n y : A . - 0 ,5

B . 0 ,5

C. 2

D. - 2 .

1 4 . P u n k t K je s t ś ro d k ie m cię ż k o ś c i tró jk ą ta ABC, g dzie 4 ( 1 , - 9 ) , B( 7 , 6 ), C ( - 2 , 1 2 ) . Z a te m w e k t o r CK m a w s p ó łr z ę d n e : A . [4 ,- 9 ]

B . [ - 9 ,4 ]

C . [ 4 ,9 ]

D. M , - 9 ] .

1 5 . N a jd łu ż s z y b o k AB t ró jk ą t a ABC m a d łu g o ść y / llS o ra z Ć fl = [1 0 , - 1 0 ] i CA - [ - 3 , - 3 ] . W o b e c te g o p o le koła o p isa n e g o na tró jk ą c ie ABC w y n o s i: A . 5 4 ,5 rc

B . 109rc

D. 54 ^

C. ^ Z E 3

1 6 . P ro m ie ń o k rę g u o ró w n a n iu x 2 + y 2 - 2ax - Aby + la b + 3 b2 = 0 , g d zie a * b , m a d łu g o ś ć : A. a + b

B. a - b

C. \a + b\

D. | d —o|.

17. O b ra z e m p ro ste j k : 2 x - y - 3 = 0 w je d n o k ła d n o ś c i o śro d k u 0 (0 , 0 ) i sk a li k = - 0 ,7 5 je s t p ro sta o r ó w n a n iu : A . 8x - 4 y + 9 = 0

B. y = 2 x - 0 ,7 5

D. 8x - 4 y - 9 = 0 .

C. y = 2 x + — 4

1 8 . D a n y je s t p u n k t £ ( 0 , 2 ) i p ro sta p :y = - A . W szy stk ie p u n k ty p łaszczyzn y, k tó ry c h o d le g ło ś ć o d p u n k tu E je s t ró w n a o d le g ło ści od p ro ste j p, n a le żą d o p a ra b o li o ró w ­ n a n iu :

1

A . y = —x 2 - l ' 9

19.

B . y = — x 2- 1 15

2

C. y = — x 2 - 1 12

1

1

D. y = T x 2 - 1.

8

O d le g ło ś ć m ię d z y p u n k ta m i 4 ( 1 - m, 2 ), B( 3 , m + 1) je s t n a jm n ie js z a w te d y

i ty lk o w te d y , g d y : A. m = - l

B.

m --2

1

C. m - —

2

1

D. m = — .

2

2 0 . O b ra z e m o k rę g u o: (x - 2 )2 + y 2 = 3 , w p rz e k szta łce n iu P o k re ś lo n y m w z o re m P((x, y)) = ( 2 x - 1 , 4 - 2 y ), g d zie x , y e R, je s t o k rą g o śro d k u S i p ro m ie n iu r. Z a te m : A . S ( 3 , 4 ),/ * = 1 2

B . 5 (2 , 0 ), r = 2\[ b

C. S ( 3 ,4 ) ,r ^ V 6

D. 5 ( 3 ,4 ) , r = 2>/3.

106

Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.

Zadania powtórzeniowe do rozdziału 3. 3 . 1 9 5 . W tró jkącie ABC d w ie w ysokości zaw ie rają się w p ro stych k: x + y - 4 = 0 or* l : 2 x - y = 0. W yznacz ró w n an ia ogólne p ro stych , w któ rych zaw ie ra ją się boki te& tró jk ą ta , w ie d zą c, że 4 ( 0 ,2 ) .

3.196. Punkt 4 ( - 4 , 2) je s t w ie rzch o łkie m tró jkąta ABC, którego d w ie środkow e z* w ie ra ją się w p rostych o ró w n an iach : x = 0 o r a z x + y - 2 - 0 . W yzn acz współrzędne p ozostałych w ie rzch o łkó w tego tró jkąta. 3 . 1 9 7 . P u n k ty 4 ( 2 ,3 ) i 9 (4 , - 1 ) są d w o m a kolejnym i w ierzch o łkam i k w ad ratu 4 6 C D W yzn acz w spółrzęd n e pozostałych w ie rzch o łkó w tego kw ad ratu .

3.198. W okrąg o środku 5 (6 , 4 ) w p isan o tró jkąt rów n ob oczny ABC, którego jed­ nym z w ie rzch o łkó w je s t p un kt 4 (2 , 6 ). O blicz w spółrzęd n e pozostałych w ierzchoł­ ków tego tró jkąta.

3.199. W tró jkącie ABC w spółrzęd ne w ie rzch o łkó w w yn o szą : 4 ( - 2 , 1 ), 6 (3 , 0), I C U , 2 ). a) O blicz pole tró jkąta ABC. b) O blicz długość w ysokości tró jkąta p oprow ad zonej na bok BC. c) Napisz ró w n an ie okręgu opisanego na tró jką c ie ABC.

3.200. W rom b ie ABCD p rzekątne p rzecin ają się w p un kcie 5 (2 , - 1 ) . Dw a kolejne I w ierzch ołki rom bu m ają w spółrzęd n e A (m , - 3 ) o raz B (m + 6, m - 5 ), gdzie m e R. I W yznacz: a) w spółrzęd n e w ie rzch o łkó w rom bu b) pole rom bu c) co sinus kąta rozw artego rom bu d) ró w n an ie okręgu w pisaneg o w rom b ABCD.

3.201. Dane są p un kty 4 ( 3 ,0 ) i 6 ( - 3 , 0 ). W yzn acz ró w n a n ie lin ii u tw o rzo n e j przez te w szystkie p un kty płaszczyzny, któ rych odległo ść od p un ktu 4 je s t 2 razy większa od odległości od punktu 6 . Jaką figu rę g eo m e tryczn ą o p isu je ta lin ia ?

3 .202. W ykres fun kcji y = \x - 2| przecin a o krąg o: x2 + y 2 - 4 x - 4 = 0 w punktach 4 i 6. a ) O blicz w sp ó łrzę d n e p u n k tó w 4 i 6 . b) W yk aż, że tró jk ą t 4 6 5 , gdzie 5 je s t śro d kie m d an eg o o k ręg u , je s t prostokątny. c) O blicz pole figu ry F = F 1r>F2, je śli F ^ i f a y Y ^ e R

F2= {(x, y): x e R

a

yeR

a

y £ |x - 2 |} .

a

yeR

a

x 2 + y 2- 4x - 4 ś 0},, I

107

3. Geometria analityczna

3.2 0 3 . W y z n a c z

w s z y s t k ie w a rt o ś c i p a ra m e tr u m (m e

R), d la

k tó ry c h p ro sta o r ó w ­

n a n iu y = ( m - l ) x + m + 2 m a d o k ła d n ie d w a p u n k ty w s p ó ln e z o k rę g ie m o ś ro d k u

5(1, 2 ) i p ro m ie n iu r = 1 .

3.204 .

Po d ja k im k ą te m w id a ć o k rą g o : x 2 + y 2 - 8y + 1 1 = 0 z p u n k tu P( 1 , 1 )?

3.2 0 5 .

S ty c z n e d o o k rę g u o : x 2 + (y + 2)2 = 3 ,2 p o p ro w a d z o n e p rz e z p u n k t A (- 2 , 1)

p rz e c in a ją o ś rz ę d n y c h w p u n k ta c h B i C. a ) W y z n a c z r ó w n a n ia t y c h s ty c z n y c h . b ) O b lic z , z d o k ła d n o ś c ią d o 1 ° , m ia rę k ą ta o stre g o , ja k i w y z n a c z a ją te s ty c z n e . c ) O b lic z w s p ó łr z ę d n e p u n k tó w B i C. d ) O b lic z p o le t r ó jk ą t a ABC.

3.206 .

W z b io rz e w s z y s t k ic h o k rę g ó w s ty c zn y c h z e w n ę trz n ie d o o k rę g u o r ó w n a ­

n iu X 2 + y 2 = 2 5 i s ty c z n y c h je d n o c z e ś n ie d o p ro ste j k: 3 x - 4 y - 5 0 = 0 is tn ie je o k rą g 0 n a jm n ie js z y m p r o m ie n iu . W y z n a c z je g o r ó w n a n ie .

3.207.

W y z n a c z w s p ó łr z ę d n e p u n k tu P ró w n o o d le g łe g o od p u n k tó w A (- 9 , 2 )

1 B ( 3 , 8 ) o ra z od p ro s te j k: 2 x - y - 4 = 0 .

3.208.

W y z n a c z r ó w n a n ie o k rę g u o śro d k u S ( 3 , 1 ), k tó ry o d cin a na p ro ste j

k: x - 7 y + 2 9 = 0 c ię c iw ę o d łu g o ści 5 /l7, który odcina na osi OX cięciwę o długości 1 6 , wiedząc, że do tego okręgu należy punkt A ( - 3 , 4 ). 3 .2 1 1 . D a n e s ą o d c in k i AB o ra z CD, g d zie 4 ( 3 , 1 ) , 8 (1 , 3 ), C ( 6 , 3 ), D (3 , 6 ). W y z n a c z t a k ą je d n o k ła d n o ś ć Jsk, a b y Jsk(AB) = CD.

3 .2 1 2 . P ro s ta k o r ó w n a n iu y = ax + b, g dzie a e ( 0 ,1 ) , p rz e c h o d zą ca p rzez p u n k t P (- 3 , 2 ) p rz e c in a d o d a tn ią p ó ło ś o si OY w p u n k cie A i u je m n ą p ó ło ś o si OX w p u n k ­ c ie B. P o le t ró jk ą t a OAB, g d zie 0 ( 0 , 0 ) je s t ró w n e 1 2 ,5 . a ) W y z n a c z ró w n a n ie k ie ru n k o w e p ro ste j k. b) P ro s ta m, k tó ra je s t o b ra z e m p ro ste j k w je d n o k ła d n o ś c i o śro d k u 0 ( 0 , 0 ) i sk a li k = 6 , p rz e c in a o ś OY w p u n k c ie D, zaś o ś OX w p u n k cie C. O b lic z p o le tra p e z u ADCB.

108

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

2~% 3 .2 1 3. Do w ykre su funkcji f(x ) = ------ poprow adzono w punkcie 4 styczn ą, która x+ 4 je s t p rostopadła do prostej /: 6x - y + 4 = 0. W yznacz w sp ó łrzę d n e punktu 4 .

3.214. Do w ykre su fu n k c ji f( x ) = X2 + 2 x - 3 poprow adzono w p u n k c ie » s ty c z n ą ! która je s t rów noległa do prostej k: 2 x + y + 7 = 0. Napisz ró w n an ie k ieru n kow e pro­ stej /, która je s t prostopadła do te j stycznej i przechodzi przez punkt A

3.215. Na paraboli o rów naniu y = — —x 2 w yznacz taki punkt P, którego $§łległośq 4 od p unktu >4(12,0) je s t najm niejsza.

3.216. Na gałęzi hiperboli o rów naniu y = —, gdzie x e H % 0 ) , w yzn acz taki punkt P, ,,J ; . ->X. j, którego odległość od punktu A( 1, - 1 ) je s t n ajm niejsza.

3.217.

Na w ykre sie funkcji określo nej w zorem y = - x 3 w yzn acz taki punkt P o od­

cię te j d odatniej, którego odległość od punktu A | 4 , - 1 ~ J je s t najm n iejsza.

3.218.

W śród prostokątów , których d w a w ierzchołki n ależą do paraboli o równaniu

y = (X + 3 )2, zaś dwa pozostałe na prostej k: y = 4 , zn ajd u je się ta k i, którego pole jest najw iększe. Oblicz w spółrzędne w ierzch ołków tego p ro stokąta i jego pole.

*3.219. Do paraboli o rów naniu y ^ ¿ x 2 - 9 poprow adzono styczn e k i /, które prze­ cin ają się w punkcie 4 ( 4 ,0 ) . W yznacz: a) rów nania stycznych k i l b) pole tró jkąta ABC, gdzie punkty B i C są punktam i stycznoścj prostych k i l i para­ boli.

*3.2 20 . Styczna do w ykresu funkcji f[x ) = 16x2 + —, gdzie x * 0 , przech od ząca przez

x

p oczątek układu w spółrzędnych ma z p arabolą o rów n an iu y = 3 x 2 + 1 2 x - 1 2 dwa p un kty w spólne A i B. Napisz rów n an ie okręgu, którego śred n icą je s t od cinek AB.

109

4

Kombinatoryka i rachunek • prawdopodobieństwa

Reguła mnożenia i reguła dodawania 4 .1 .

Na ile sposobów możem y utw orzyć parę dziewczynka - ch ło piec, je śli m am y

do dyspozycji czte ry dziew czynki: Agatkę, Beatkę, Celinkę i Dorotkę oraz trzech chłopców : Edw ina, Franka i Grześka. W ypisz w szystkie m ożliw e pary w tabeli. 4 .2 .

Poniższa tabela przedstawia w szystkie m ożliwe liczby d w u cyfrow e u tw o rzon e

w taki sposób, że cyfra dziesiątek je st cyfrą ze zbioru { 1 , 2,3 , 4 } , a cyfra jedn o ści - ze zbioru { 6, 7 , 8,9 } . Narysuj drzew o, w którym gałęzie p rzedstaw iają w szystkie u tw o ­ rzone liczby.

1

6

7

8

9

16

17

18

19

2

26

27

28

29

3

36

37

38

39

4

46

47

48

49

4 .3 . Ile je st liczb d w ucyfrow ych, w których cyfra jedności je st rów na 1 lub 2, zaś cyfra dziesiątek je st w iększa od 5? Narysuj drzewo, w którym gałęzie p rzed staw iają wszystkie utworzone liczby. 4 .4 . Ile je st liczb trzycyfro w ych, w których cyfra setek je st równa 1, 2 lub 3; cyfra dziesiątek je st liczbą podzielną przez 5, a cyfra jedności je st w iększa od 6 ? N arysuj drzewo, w którym gałęzie przedstawiają w szystkie utworzone liczby. 4 .5 . Z cyfr ze zbioru A = {1, 2, 3, 4, 5} tw orzym y w szystkie m ożliw e liczby d w u ­ cyfrow e, przy czym cyfry w liczbie mogą się pow tarzać. Zapisz w tabeli w szystkie utworzone liczby. Ile spośród utworzonych liczb ma cyfrę dziesiątek m niejszą od cyfry jedno ści? 4 .6 . z cyfr ze zbioru B = { 6, 7 , 8, 9 } tw orzym y wszystkie m ożliwe liczby d w u cyfro w e , w których cyfry nie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli w szystkie utw orzone liczby. Ile jest wśród nich liczb podzielnych przez 4?

110

M atem atyka. Zbió r zadań. K lasa 3.

Z cyfr ze zbioru X = { 0 ,1 ,2 ,3 } tworzym y wszystkie liczby trzycyfrow e, przy czy^

4 .7 .

cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać. Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedsta. w iają utw orzone liczby trzycyfrowe. Ile wśród nich je st liczb podzielnych przez 3?

4.8.

Pan M arek ma 3 marynarki, 4 krawaty i 5 koszul. Ile różnych zestaw ów (koszula(

m arynarka, krawat) może założyć do pracy?

4.9.

Ile je st różnych punktów o współrzędnych całkowitych (x, y), takich, że

x e (4, 20), y e /3 , oblicz długość przekątnej sześcianu.

6.135. Pole podstawy graniastosłupa prostego tró jkątnego je s t ró w n e P. Przez kra­ wędź podstawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciw ległą krawędź boczną i je st nachylona do płaszczyzny p od staw y pod kątem 4 5 ° . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

6.136. Podstawą graniastosłupa prostego je s t tró jkąt ró w n o ram ien n y, którego boki m ają długość 10 cm , 10 cm , 16 cm . Przez najdłuższy bok p o d staw y poprow a­ dzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą kraw ędź boczną i je s t n achylo na do płaszczyzny podstawy pod kątem 3 0°. Oblicz pole otrzym anego p rzekroju. 6.137. Wysokość ostrosłupa podzielono na cztery rów n e części i przez p un kty po­ działu poprowadzono płaszczyzny rów noległe do podstaw y. Pole p o d staw y tego ostrosłupa je st rów ne 400 cm 2. Oblicz pola otrzym anych przekrojów . 6.138. Pole przekroju równoległego do płaszczyzny p o d staw y o strosłu pa je st o 36% m niejsze od pola pow ierzchni podstawy. W jak im stosunku p rzekrój ten dzieli objętość ostrosłupa?

6. Geometria przestrzenna

6 .1 3 9 .

187

Przekrój ostrosłupa praw idłow ego czworokątnego płaszczyzną zaw ierającą

dwie przeciwległe kraw ędzie boczne ma pole rów ne P. W ied ząc, że w szystkie kra­ w ędzie ostrosłupa m ają taką sam ą długość, oblicz objętość tego ostrosłupa.

6 .1 4 0 .

Podstaw ą ostrosłupa je st rom b, którego bok ma długość 8 - , a jedn a z prze­

kątnych ma długość 13 - . Spodek w ysokości ostrosłupa je st środkiem sym etrii pod­ stawy. Przekrój tego ostrosłupa w yznaczony przez w ysokości przeciwległych ścian bocznych je s t tró jkątem równobocznym . W yznacz pole tego przekroju. 6 .1 4 1 .

Ostrosłup praw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną zaw ierającą prze­

kątną podstaw y i jednocześnie równoległą do jedn ej z kraw ędzi bocznych. Oblicz pole otrzym anego przekroju, w iedząc, że kraw ędź podstaw y ma długość o, nato­ m iast kraw ędź boczna ma długość b. 6 .1 4 2 . Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość 8 dm, a krawędź podstaw y - 4 dm . Przez środki dwóch sąsiednich kraw ędzi podsta­ w y poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do podstawy. Oblicz pole otrzym anego przekroju. 6 .1 4 3 .

Wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego je s t rów na H, a kra­

w ędź podstawy ma długość o. W yznacz pole przekroju wyznaczonego przez krótszą przekątną podstaw y i w ierzchołek ostrosłupa. 6 .1 4 4 . Ostrosłup p raw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez w ierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich kraw ędzi podstawy. Oblicz pole otrzym anego przekroju, jeżeli krawędź podstaw y ma długość 20 cm , a ściana boczna tw o rzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. 6 .1 4 5 . Ostrosłup praw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną prostopadłą do jedn ej z kraw ędzi bocznych ostrosłupa i jednocześnie zaw ierającą przekątną podsta­ w y. O trzym any przekrój je st trójkątem rozw artokątnym , którego kąt rozw arty ma m iarę 2a . W yznacz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny tego przekroju do płasz­ czyzny podstawy. * 6 . 1 4 6 . W szystkie kraw ędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają dłu­ gość o. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środ­ ki dwóch sąsiednich krawędzi podstaw y i środek w ysokości ostrosłupa. 6 .1 4 7 .

W ostrosłupie praw idłow ym trójkątnym poprowadzono przekrój płaszczy­

zną zaw ierającą krawędź podstaw y i prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej.

188

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.

W ie d ząc, że kąt m iędzy dw iem a sąsiednim i kraw ędziam i bocznymi ma m iarę 2a, gdzie a e (0 °, 4 5 °), oblicz: a) cosinus kąta (3 przy w ierzchołku przekroju należącym do kraw ędzi bocznej b) cosinus kąta y nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny p od staw y ostro­ słupa.

6.148.

Przez kraw ędź AB podstaw y ostrosłupa praw idłow ego tró jkątnego ABCD poprow adzono płaszczyznę, do której należy środek 5 kraw ędzi CD. W ied ząc, że otrzym an y przekrój tw o rzy z płaszczyzną podstaw y kąt 4 5 °, oblicz cosinus kąta ASB.

* 6.149.

W czw orościanie forem nym o kraw ędzi długości 6 cm poprow adzono prze­ krój płaszczyzną przechodzącą przez w ysokość podstaw y i środ ek kraw ędzi bocznej n ie m ającej punktów wspólnych z tą w ysokością. Oblicz odległość płaszczyzny pod­ sta w y od punktu, w którym w ysokość ostrosłupa przebija płaszczyznę przekroju.

*6 .1 5 0 . Podstawą ostrosłupa prostego ABCD je st tró jkąt pro stokątny ABC, którego przyprostokątne m ają długość: |A0| = 6 cm , |BC| = 8 cm . W ysokość ostrosłupa jest rów na 12 cm . Środki kraw ędzi AB, BC, CD i AD w yzn aczają płaszczyznę przekroju tego ostrosłupa. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny p od staw y b) pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną.

Bryły obrotowe. Pole powierzchni brył obrotowych Walec 6.151. Sto su nek pola p rzekroju osiow ego do pola p o d staw y w a lca w yn o si 4 : n. O blicz m iarę kąta m iędzy przekątnym i przekroju osio w eg o w a lca .

6.152. P o w ierzch n ia boczna w alca je s t p ro sto kąte m , którego je d e n bok p rzystający do w yso ko ści w alca m a długość 20, a przekątn a tego p ro sto kąta tw o rz y z drugim b okiem kąt 3 0 °. O blicz pole p ow ierzch n i całk o w ite j tego w a lca .

6.153. Pole p o d staw y w alca je s t ró w n e Pv a pole je g o p rzek ro ju o sio w e g o - Pr W yzn acz pole p o w ie rzch n i całk o w ite j tego w a lca .

6 .154. Boki p ro sto kąta m ają długość 4 cm i 6 cm . O b licz pole p o w ie rzc h n i c a łk o w i­ te j w a lca o trzym an e g o w w yn ik u ob ro tu teg o p ro sto kąta w o k ó ł: a ) dłuższego boku

b) kró tszeg o b oku.

6. Geometria przestrzenna

189

6.155. D an y je s t p ro sto k ąt, któ reg o długości b oków pozostają w sto su n ku 1 : 2. W w yn iku ob ro tu teg o p ro sto kąta w o k ó ł d w ó ch różnych je g o osi sy m e trii p o w stają dwa w a lce . O b licz sto su n e k pól p o w ierzch n i całk o w itych tych w a lcó w .

6.156. Przez d o w o ln y p un kt >4 okręg u g órn ej p o d staw y w alca p o p ro w ad zo n o p rze­ krój płaszczyzną z a w ie ra ją cą oś w a lc a . W d o ln e j p o d staw ie w a lca p opro w ad zo n o średnicę BC, p ro sto p ad łą do p rzekro ju o sio w e g o . W ie d zą c, że p ro m ie ń p o d staw y w alca je s t ró w n y r o raz \ 2 dla x e (-a>, - 1 )

1 .19. Ax) = 16*, Ax) £ 1 dla x e n

d )m > n

b) ujemna

c) ujem na f) ujem na

d) dodatnia

e) ujemna

a) parzysta

b) nieparzysta

e) parzysta

f) nieparzysta

c) ani parzysta, ani nieparzysta

4 ; wskazówka: Zauważ, że (3* + 3-*)2 = 9* + 9“* + 2.

d) parzysta

Odpowiedzi do zadań

1.26. 5 1.27. a) (3 ,+«o) 1.28. a) (0,2)

1.29.

b ) H v -5) b) (1,4)

, /1024 65536\ 6561 /

a)( w

♦

C) ¡2}

c)x e j - 4 , i j

c)x = -6

b) x =0

j

c )x = j

c)x =24

f)x = 3

d) x e |-1^., 1

c ) x e { l,4 }

b) x ś (-1,1}

1.52. a ) x e | ~ , 3 j

e)x= 2

2

c)x= ^

1.49. a) x e {0,17}

1.57. a) x e

d)x= -

e)x = 4,5f ) x = - |

e )x = -l,5

f)x=^-

d) x = -3t

d) równanie sprzeczne

jo, ~j

d) xte. {1,2}

c) x e {-2,2}

c )x e {- 2 ,2 }

d) x = 2

d )x e {-2 ,2 J

( d) xr=5 {>

c)x= 3 d) równanie sprzeczne

210

jfatematykg. Zbiór zadań. Klasa 3.

b) x = -1

1.62. a ) x * - -

1.63. a)

x*2

x ■1

c) | x = 0 u

fx * 3

d )|x - 4

y= 3

y*2

[y * 3

\y = 0

\y *ł

U

Nierówności wykładnicze

1.64. a)xe

jJ

^ X€ H 0*-2)

c)xe R

d)xe (-co,0)

e)xe ^-oo,-J~ j

f ) x € | - « #- l i 1.65.

a) x € (-oo, -3) u (-1, +oo) b) x e (-3,5) d) nierówność tożsamościowa

1.66. a) x e (-oo, -1)

b) x e (-oo, 4)

1.67. a) x e (-oo, -9)

b) x e |^-oo,l^

1.68. a ) x € (-oo,4)* j (5, +oo)

c) nierówność sprzeczna

c)’x e M ”, +'»j

d) x e (8, +oo)

c)x e (-7, •*»)

d) x e ( - i , +oo)

b )x e j - o o , ^ u ( l , +oo)

c ) x € (-oo,-2 ) u (4, +oo)

d ) x € < - il) . a )x e (-oo,0 )u(^+oo)

b )x 6 (-op,-3)u^O,+oo)

e) X € (-00,1) u (7, +oo) i

d )x e

f) X

\3 / 1.70. a) x € (- 00, -1)

b) x e (-oo, 0)

1.71. a) x € (-oo, -1) u (3, +oo)

i) x € ( - o o ,- 2 ) u + o o j

M

c) x e (^», 1)

b) x e (-oo, 1)

d) x e

+00) 0

c) x e i-oo, -

u K & +°oj

d) nierówność sprzeczna 1.72. a ) * s ( - » ,0 ) u / 2 ,+ o o j: b)x.f (1,- ho) ■c ) x e . ( i , + Ą y l ’>) '

1.73. a) x e {2} 1.74. a) x e (-oo,(j) e )x e f e j j 1.75. a ) x e ^ ,+ o o j 1.76. x e (-oo, 3}

c c)x €