Matematyka - Poziom podstawowy - ODPOWIEDZI

SAVE OFFLINE

Odpowiedzi:

Zadania od 1 do 25:

1. C 2. D 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D 11. D 12. B 13. C 14. B 15. C 16. B 17. B 18. A 19. A 20. A 21. B 22. B 23. C 24. C 25. B 26. Rozwiąż nierówność: xx  2  2x  2

x 2  2x  2x  4 x 2  4x  4  0   16  4 *1 * 4  16  16  0 4 x0   2 2 x  {2}

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 1

27. Rozwiąż równanie: 2 x 3  2 x 2  x  1  0

2 x 2 ( x  1)  ( x  1)  0 (2 x 2  1)( x  1)  0 2 x 2  1  0 lub x  1  0 2x 2  1 1 x2  2 2 2 x lub x   lub x  1 2 2

28. Ze zbioru cyfr losujemy dwie liczby i tworzymy liczbę dwucyfrową, cyfry mogą się powtarzać. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak utworzona liczba jest podzielna przez 3 i 12.

|  | 9 *10  90

A – zdarzenie polegające na utworzeniu liczby dwucyfrowej podzielnej przez 3 i 12 A  {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} | A | 8 8 4 P( A)   90 45

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo utworzenia liczby dwucyfrowej podzielnej przez 3 i 12 jest 4 . równe 45 29. Wykaż, że liczba 1312  1512  1313  1513 jest podzielna przez 2. 1312  1512  1313  1513  1312  1313  1512  1513   1312 (1  13)  1512 (1  15)  1312 * 14  1512 * 16   2(1312 * 7  1512 * 8)

Przekształcając dane wyrażenie dostajemy iloczyn liczby (1312 * 7  1512 * 8) i 2 co daje nam podzielność wyrażenia 1312  1512  1313  1513 , przez 2.

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 2

30. Uzasadnij, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość sin sintg  cos   tg .

sin    sin  sin   sin   cos   cos   cos 2  sin   sin  sin    cos    cos  cos  sin 2  cos2   sin   sin    cos  cos  cos 1 sin  sin  *  cos cos sin  sin   cos cos L=P Równość jest prawdziwa dla każdego kąta ostrego α. 31. Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a n  określony wzorem an  3n 2  2n  1 dla n  1.

an  0  3n 2  2n  1  0   (2) 2  4 * (3) *1  4  12  16  4 24 2 1 n1    6 6 3 24 n2   1 6

1  n  (,1)   ,  3  Ujemne wyraz ciągu to wszystkie liczby naturalne {1,2,3,4,…}.

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 3

32. Punkty A (-3, -4), B (1, -2), C (0, 4), D (-2, 2) są kolejnymi wierzchołkami czworokąta. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych tego czworokąta.

Wyznaczam równanie prostej AC:

 4  3a  b   4  0a  b b4    4  3a  4  b4   8  3a

 b  4 a  8  3 Równanie prostej: y 

8 x4 3

Wyznaczam równanie prostej BD:

2  a b  2  2a  b  2  a  b  2  2a  b 4  3a 4 a 3

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 4

4   2   b  3  4  a 3  4  a   3  2 b   3  4 2 Równanie prostej BD: y   x  3 3

Wyznaczam punkt przecięcia się prostych AC i BD:

8   y  3x4  4 2 y   x  3 3  8 4 2 x4 x 3 3 3

12 14 x 3 3 7 x 6

7  x   6  8  y 9   7 8 Współrzędne przecięcia się przekątnych czworokąta ABCD to   ,   6 9

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 5

33. Funkcja kwadratowa f określona jest dla wszystkich liczba rzeczywistych x, f ( x)  ax 2  bx  c. Największa wartość tej funkcji jest równa 8 oraz f (2)  f (6)  0. Wyznacz wzór funkcji f. Największa wartość funkcji to 8, czyli q=8 x1  2 x2  6

Wartość współrzędnej wierzchołka p możemy obliczyć: p  p

x1  x 2 2

26 2 2

Tworzymy układ równań:

 f (2)  8   f (2)  0  f (6)  0 

 8  4a  2b  c   0  4a  2b  c 0  36a  6b  c   c  8  4a  2b   0  8  4b 0  32a  4b  8  c  8  4a  2b  b2    16  32a  1  a   2   b2  c6   1 Wzór funkcji kwadratowej ma postać: f ( x)   x 2  2 x  6 2

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 6

1 34. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowita m, dla której funkcja g ( x)  (2  m 2 ) x jest 3 malejąca.

1 Funkcja g jest malejąca, gdy 0  2  m 2  1 3 1 0  2  m2 3 1  2   m2 3 2 6m

Czyli m  ( 6 , 6 ) 1 2  m2  1 3 1  m 2  1 3 m2  3 Czyli m  (, 3)  ( 3, ) Rozwiązaniem układu tych dwóch nierówności jest przedział: m  (  6 , 3 )  ( 3 , 6 ) Najmniejsza liczba całkowita m w tym zbiorze jest m = -2.

Więcej zadań maturalnych znajdziesz na: www.easymatura.pl 7