Semanas 1, 2, 3 e 4 TM22x B

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Disciplina: Ano/Turma: Bimestre: Professor: Data/Semana: Conteúdo:

Matemática – Frente B 2º ano do Ensino Médio / TM221 e TM222 2° bimestre de 2020 Fábio Vinícius 21 de maio de 2020 – Semana 1 B1.P1. Permutações simples, com repetição e circulares Conteúdo teórico e exercícios resolvidos

2º bimestre – TM22x – Frente B Distribuição das semanas

Permutações Simples, com repetição e circulares Permutações simples: 𝑃𝑛 = 𝑛! 𝑎 ,𝑎2 ,…,𝑎𝑘

Permutações com repetição: 𝑃𝑛 1

=

Permutações circulares: 𝑃𝐶𝑛 = 𝑛 − 1 !

𝑛! 𝑎1 !∙𝑎2 !∙⋯∙𝑎𝑘 !

Permutações simples Exercícios resolvidos 37/01 Considera a palavra BRASIL.

a) Quantos são os seus anagramas

Cada anagrama é uma ordenação das letras da palavra BRASIL. Portanto, o número de anagramas será dado pelo número de permutações das seis letras dessa palavra: 𝑃6 = 6! = 720

Permutações simples Exercícios resolvidos 37/01 Considera a palavra BRASIL.

b) Quantos desses anagramas começam e terminam por consoantes?

Inicialmente, devemos garantir que a primeira e a última letra sejam consoantes. Como a palavra BRASIL possui quatro consoantes, teremos, para a primeira letra 4 possibilidades. Uma vez escolhida uma dessas consoantes, teremos, para a última letra, 3 possibilidades. Observe que sobraram 4 letras que podem ser permutadas nas quatro posições restantes. A resposta será então: 4 ∙ 𝑃4 ∙ 3 = 4 ∙ 24 ∙ 3 = 12 ∙ 24 = 288

Permutações simples Exercícios resolvidos 37/01 Considera a palavra BRASIL.

c) Em quantos anagramas as letras B, R e A aparecem juntas? Nesse caso, vamos considerar que 𝐵, 𝑅 e 𝐴 estejam em uma mesma caixa e que 𝑆, 𝐼 e 𝐿 estejam cada uma em sua respectiva caixa.

Permutando essas 4 caixas, encontraremos todos os anagramas em que 𝐵, 𝑅 e 𝐴 estão juntas, porém, nessa ordem. Com 𝐵, 𝑅 e 𝐴 podem ser ordenadas de 𝑃3 modos diferentes, a resposta será: 𝑃4 ∙ 𝑃3 = 4! ∙ 3! = 24 ∙ 6 = 144

Permutações simples Exercícios resolvidos 37/03 (UFMG) Uma aposentado realiza diariamente, de segunda-feira a sexta-feira, estas cinco atividades:

• Levar seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; • Pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; • Passeia com o cachorro da família;

• Pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; • Rega as plantas do jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realiza-las em uma ordem diferente.

Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, em ordem diferente, é: (a) 24

(b) 60

(c) 72

(d) 120

Essas tarefas podem ser realizadas de 𝑃5 = 5! = 120 modos. No entanto, observe que, em metade deles, buscar Pedrinho vem antes de levar Pedrinho, o que é impossível. Portanto, apenas na outra metade teremos as tarefas cumpridas de acordo com as exigências do problema. A resposta é, então,

𝑃5 2

=

5! 2

=

120 2

= 60.

Permutações com repetição Exemplo 41/01 Quantos são os anagramas da palavra APOSTA?

𝑃62

6! 720 = = = 360 2 2

Permutações com repetição Exemplo 41/02 Quantos são os anagramas da palavra ARARA?

𝑃53,2

5! 120 = = = 10 3! ∙ 2! 6 ∙ 2

Permutações com repetição Exemplo Exercícios resolvidos 42/09 Calcular o número de anagramas da palavra APOSTA que não apresentam as letas A’s juntas. O total de anagramas da palavra 6! 720 APOSTA:𝑃62 = 2! = 2 = 360 Nesse valor, estão incluídos os anagramas que têm as letras 𝐴′ 𝑠 juntas, os quais deverão ser desconsiderados.

Para calcular quantos são esses anagramas, consideremos que as letras 𝐴′ 𝑠 estejam em um mesma caixa e as demais letras cada uma em sua respectiva caixa. Vamos agora calcular o número de permutações simples que podemos formar com essas 5 caixas obtidas. Esse número é 𝑃5 = 5! = 120.

Logo, a resposta do problemas será 𝑃62 − 𝑃5 = 360 − 120 = 240

Permutações com repetição Exemplo Exercícios resolvidos 42/10 Quantos são os anagramas da palavra PARALELA que começam com vogal? Inicialmente vamos calcular os anagramas de PARALELA que começam com A e depois os anagramas que começam com E.

1

1

∙ 𝑃72,2

∙ 𝑃73,2

7! 5040 = = = 1260 2! ∙ 2! 2 ∙ 2

7! 5040 840 = = = = 420 3! ∙ 2! 6 ∙ 2 2

Logo, a resposta do problemas será 𝑃72,2 + 𝑃73,2 = 1260 + 420 = 1680

Permutações circulares

Permutações circulares Conclusão Cada uma das possíveis disposições das crianças em torno da mesa é chamada de permutação circular, e o total de permutações circulares obtidas é representado por 𝑃𝐶5 . Desse modo, podemos dizer que 5! 5 ∙ 4! 𝑃𝐶5 = = = 4! = 2 5 5

De modo geral, se possuirmos 𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 e precisarmos dispô-los em torno de um círculo, teremos: 𝑛! 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ! 𝑃𝐶𝑛 = = = 𝑛−1 ! 𝑛 𝑛

Considerações Para a próxima semana . . . • Exercícios resolvidos 37/02,

• Exercícios de aprendizagem pares das páginas 38 • Exercícios de aprendizagem da página 43 e 44

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Matemática – Frente B 2º ano do Ensino Médio / TM221 e TM222 2° bimestre de 2020 Fábio Vinícius 28 de maio de 2020 – Semana 2 B1.P1. Permutações simples, com repetição e circulares Exercícios de aprendizagem

2º bimestre – TM22x – Frente B Distribuição das semanas

Permutações Exercícios resolvidos 37/02 6! − 2 ∙ 5! = 720 − 2 ∙ 120 = 720 − 240

= 480 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 38/02

4 ∙ 6! = 4 ∙ 720

= 2880 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 38/04

A. 263 ∙ 104 = 175.760.000 placas distintas B. 24 ∙ 7 = 168 placas distintas

Permutações Exercícios de aprendizagem 38/06

𝑃6 ∙ 𝑃3

= 6! ∙ 3! = 720 ∙ 6 = 4320 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 38/08

Permutações Exercícios de aprendizagem 38/10

𝑃5 ∙ 𝑃4 ∙ 𝑃3 ∙ 𝑃3

= 120 ∙ 24 ∙ 6 ∙ 6 = 103.680 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 43/21 2,2 𝑃7

7! 5040 = = 2! ∙ 2! 4

= 1.260 𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 43/22 2,3 𝑃7

7! 5040 = = 2! ∙ 3! 2 ∙ 6

= 420 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 43/23 Total de anagramas 𝑃72

7! 5040 = = = 2520 2! 2

Anagramas com as letras A’s juntas

𝑃6 = 6! = 720 2520 − 720 = 1800

Permutações Exercícios de aprendizagem 44/26

𝑃𝐶5 = 𝑃4 = 4!

= 24 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Permutações Exercícios de aprendizagem 44/27

𝑃𝐶7 = 𝑃6 = 6!

= 720 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Considerações Para a próxima semana . . . • Os exercícios propostos dentro do tema Permutação.

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Matemática – Frente B 2º ano do Ensino Médio / TM221 e TM222 2° bimestre de 2020 Fábio Vinícius 04 de junho de 2020 – Semana 3 B1.P1. Permutações simples, com repetição e circulares Exercícios propostos

2º bimestre – TM22x – Frente B Distribuição das semanas

Permutações Exercícios propostos – 45/01 (c) Texto

𝑃5 ∙ 𝑃3 = 5! ∙ 3! = 120 ∙ 6 = 720

Permutações Exercícios propostos – 45/02 (c) Texto

𝑃2 ∙ 𝑃2 ∙ 𝑃2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Permutações Exercícios propostos – 45/03 (34560 maneiras diferentes)

𝑃5 ∙ 𝑃4 ∙ 𝑃3 ∙ 𝑃2 = 5! ∙ 4! ∙ 3! ∙ 2! = 120 ∙ 24 ∙ 6 ∙ 2

34560 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Permutações Exercícios propostos – 45/04 (d)

5 ∙ 5! = 5 ∙ 120 = 600 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Permutações Exercícios propostos – 49/33 (210 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠)

𝑃7 7! = = 7∙6∙5 𝑃4 4!

210 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠

Permutações Exercícios propostos – 49/34 (a) 𝑃𝑃𝑃𝑉𝑉𝐵𝐿𝐿𝐿𝐿

10! 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4! = 3! ∙ 2! ∙ 4! 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 4! 10 ∙ 9 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 5 = 90 ∙ 140 12600 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

Permutações Exercícios propostos – 49/35 (35; 35 ∙ 264 ∙ 103 )

Texto 7! 7∙6∙5 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝑁 → = = 35 4! ∙ 3! 3∙2 35 ∙ 264 ∙ 103

Permutações Exercícios propostos – 49/36 (2025 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠)

Texto

2,8 𝐷𝑒 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 (𝐷𝐷𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆) → 𝑃10 8,2 𝐷𝑒 𝐵 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 (𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑆𝑆) → 𝑃10

10! 10! 10 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 9 ∙ = = 45 ∙ 45 2 ∙ 8! 8! ∙ 2 2∙2

2025 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠

Permutações Exercícios propostos – 49/36* (184.756 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠)

Texto

𝐷𝑒 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 10,10 𝑃20

20! = 10! ∙ 10!

184.756 caminhos

Permutações Exercícios propostos – 49/36** (182.731 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠)

Texto

𝐷𝑒 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 𝑛ã𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐵 184.756 − 2025 182.731 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠

Considerações Para a próxima semana . . . • não teremos aula pois é feriado nacional.

• para o lar: 46/05, 07, 08; • para o lar com vídeo: 46/09, 10, 11.

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