SL Lab11 2015 Filtros Analógicos Passivos

SAVE OFFLINE

kawacademy.com.br/universidade

Filtros Analógicos

SISTEMAS LINEARES

FILTRAGEM ANALÓGICA 1. Introdução FILTRAGEM:

alteração da das componentes frequenciais de um sinal.

1.1 Filtros Ideais São sistemas não causais que deixam passar integralmente um conjunto de frequências e rejeitam completamente as demais frequências. Tipos de Filtros Ideais: •

Passa-Baixas (FPB):

•

Passa-Altas (FPA):

•

Passa-Faixa (FPF):

•

Filtro Rejeita-Faixa (FRF):

1, H (ω ) =  0, 0, H (ω ) =  1, 1, H (ω ) =  0, 0, H (ω ) =  1,

ω < ωC ω > ωC ω < ωC ω > ωC ω1 < ω < ω 2 caso contrário

ω1 < ω < ω 2 caso contrário

onde td é uma constante e As fases destes filtros são lineares, ou seja: θH(ω) = -ω.td representa o atraso temporal imposto pelo filtro ao sinal de entrada. 1.2 Filtros Reais O circuito RC série mostrado a seguir é um exemplo de filtro analógico passivo do tipo Passa-Baixas (FPB):

R vs(t)

As equações do circuito elétrico nos dão:

Prof. Cláudio Afonso

vc(t)

C

v s (t ) = R.i (t ) + vc (t )

Mai-2015

e

i(t ) = C

dvc (t ) dt

1

kawacademy.com.br/universidade

Filtros Analógicos

Adotando como entrada do filtro, x(t), o sinal da fonte de tensão vs(t), e como sinal de saída do filtro, y(t), a tensão sobre o capacitor vc(t), então podemos reescrever a equação acima como:

x (t ) = RC

dy (t ) + y (t ) dt

Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação, podemos calcular a Resposta em Frequência do FPB-RC (o módulo de H(ω) é o ganho de tensão Av):

X (ω ) = RC . jω.Y (ω ) + Y (ω )

Módulo :

Exemplo:

H (ω ) = Av =

H (ω ) =

⇒ 1 1 + (ωRC )

2

=

1 1 1 Y (ω ) = = , ωc = X (ω ) 1 + jωRC 1 + jω / ωc RC ω Fase : ∠H (ω ) = arctg (ωRC ) = arctg    ωc 

1 1 + (ω ωc )

2

FPB analógico de primeira ordem, com fc = 100 Hz e C = 1µF: Como ωc = 1/(R.C), logo: R = 1/(100.2π.10-6) = 1,591 kΩ Resposta em Frequência do FPB:

H(ω) = 1 / (1 + j ω.1,591x10-3)

FPB – Módulo

0

FPB – Fase

0

-0.2 -10 -0.4

Fase(H(ω)) (rad)

10

20log (Av) (dB)

-20

-30

-0.6

-0.8

-1

-40 -1.2 -50 -1.4

-60

Matlab

0

500

1000 freq (Hz)

1500

2000

-1.6

0

500

1000 freq (Hz)

1500

2000

f = 0:2000; % variação de frequência linear (Hz) w = 2*pi*f; % frequência angular (rad/s) C = 1.0e-6; % C = 1 uF R = 1/(200*pi*C); % R (Ohm) H = 1./(1+j*w*R*C); % função complexa subplot(1,2,1); plot(f,20*log(abs(H))); title('FPB – Módulo') ylabel('20log_{10}(A_v) (dB)'); xlabel('freq (Hz)'); grid subplot(1,2,2); plot(f,angle(H)); title('FPB – Fase') ylabel('\teta_H(\omega) (rad)'); xlabel('freq (Hz)'); grid

Prof. Cláudio Afonso

Mai-2015

2

kawacademy.com.br/universidade

Filtros Analógicos

# coding: utf-8 from numpy import arange, pi, abs, angle, log10 from matplotlib.pylab import subplot,plot,xlabel,ylabel,title,grid f = arange(0,2000) # variação de frequência linear (Hz) # frequência angular (rad/s) w = 2*pi*f C = 1.0e-6 # C = 1 uF # R (Ohm) R = 1/(200*pi*C) H = 1./(1. + 1j*w*R*C) # função complexa subplot(1,2,1); plot(f,20*log10(abs(H))); title(u'FPB - Módulo') ylabel('$20.log_{10}(A_v)$(dB)');xlabel('freq (Hz)'); grid('on') subplot(1,2,2); plot(f,angle(H)); title('FPB - Fase') ylabel(r'$\theta_H(\omega)$ (rad)'); xlabel('freq (Hz)'); grid('on')

Python

1.3 Largura de Faixa dos Filtros (Bandwidth) •

Absoluta, WB : o FPB: o FPF: o FRF e FPA:

WB = ωc WB = ωc2 - ωc1 WB indefinido

Obs.: Um FPF é considerado faixa estreita (narrow bandwith) se W B ωM onde ωM é a frequência máxima do sinal. Para um sinal de faixa limitada, costuma-se definir ωM como sendo a largura de faixa do sinal.

2. Procedimento (simulação) Considere o filtro analógico mostrado no circuito dado a seguir. Encontre a resposta em frequência H(ω) desse filtro e classifique-o quanto à banda de passagem. Trace os gráficos da magnitude (ganho de tensão) e fase do espectro. Os componentes passivos: C = 1µF e R = 1,591 kΩ (mesmos valores do filtro usado no exemplo anterior).

C

vs(t) = x(t)

R

vR(t) = y(t)

1

Calcule a magnitude e a fase desse filtro para o ponto de meia potência (frequência de corte, fc).

2

No circuito anterior, troque o capacitor por um indutor e avalie a resposta em frequência do novo circuito. O valor da indutância não deve alterar a frequência de corte.

Prof. Cláudio Afonso

Mai-2015

4

kawacademy.com.br/universidade

Filtros Analógicos

3. Questões 1

Pesquise sobre a técnica de acesso à Internet Banda Larga denominada ADSL, e projete um filtro passivo de 2ª ordem que permita a passagem apenas do sinal de voz.

2

Qual é o principal fator de qualidade do filtro projetado no item anterior, em termos de inteligibilidade da voz? Dica: considere os seguintes fatores: decaimento (dB/década), atenuação mínima na banda de rejeição, dependência da carga.

4. Apêndice Fator de Qualidade: Q = 2π. Energia Armazenada / Energia Dissipada por ciclo Para um oscilador amortecido:

Q = f0 / ∆f

onde f0 é a freq. de ressonância e ∆f é a largura de banda do sinal (largura de faixa da resposta em frequência do oscilador). • • •

Q½ Q=½

Sistema sobreamortecido Sistema subamortecido Sistema criticamente amortecido (filtro Sallen-Key)

Filtros de segunda ordem com resposta em frequência mais plana na banda passante, como os filtros Butterworth, têm Q = 1/√2 = 0,707. E os filtros de segunda ordem com atraso de grupo mais plano, como os filtros Bessel, têm Q = 1/√3 = 0,577.

Prof. Cláudio Afonso

Mai-2015

5