SL Lab13 2015 Filtros Analógicos Ativos

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Filtros Analógicos Ativos

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PRÁTICA

FILTROS ANALÓGICOS ATIVOS 1. Introdução 1.1 Filtros Filtros são dispositivos (ou softwares, se digitais) normalmente usados para modificar o espectro de frequências de um sinal, e portanto, são especificados no domínio da frequência. Os filtros geralmente são classificados com base em três aspectos: • Quanto à função executada: passam baixas, passam altas, passa faixa, rejeita faixa, passa tudo (equalização de fase), rejeita frequência (notch),... • Quanto à tecnologia de processamento do sinal: analógico (componentes passivos ou ativos) ou digital. • Quanto à resposta ao impulso do filtro: finita (não recursivo) ou infinita (recursivo). 1.2 Filtros Analógicos Ativos Os filtros analógicos ativos podem apresentar ganho maior que um, amplificando as componentes do sinal de entrada que estiverem na banda passante do filtro. A realização de um filtro analógico ativo pode se feita com diversas topologias de rede (formatos de circuitos) e neste laboratório vamos conhecer a topologia Sallen-Key que possui função de transferência de 2ª ordem, conforme mostrado na figura seguinte. Nessa configuração se duas das impedâncias forem reativas (capacitivas), então se tem: filtro passam baixas (Z1 e Z2) ou filtro passam altas (Z3 e Z4): A topologia Sallen–Key é uma variação da fonte de tensão controlada por tensão (VCVS) que usa um amplificador de ganho unitário (amplificador do tipo buffer1, 0 dB de ganho). Essa topologia foi proposta por R. P. Sallen e E. L. Key, ambos do Laboratorio Lincoln do MIT em 1955. Dedução da função de transferência do filtro com a topologia em questão. Inicialmente representa-se o ciruito no domínio da frequência complexa (plano s). Em seguida aplica-se a Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC) nos nós 1 e 2 (ver figura ao lado). Soma das correntes no Nó 1:

2 Vi

1 Vo 3

Topologia Sallen-key

Vi − V 1 V 1 − V 2 V 1 − Vo − − =0 Z1 Z2 Z4

A soma das correntes no Nó 2, considerando que a corrente drenada pelo Amp-Op é mínima na entrada não inversora (praticamente nula):

V1 − V 2 V 2 − =0 Z2 Z3 1

Fonte "ideal" de tensão , ou de corrente.

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Para o Nó 3, considerando o curto virtual das entradas inversora e não inversora, teremos:

V 2 V 2 − Vo − =0 Z5 Z6

O passo seguinte consiste em relacionar essas equações para calcular a função de transferência do circuito: H(s) = Vo(s) / Vi(s). O algebrismo necessário ao cálculo das variáveis Vo(s) e Vi(s) pode ser feito no Matlab (ver script mostrado a seguir), do qual obtemos: Vo=(Vi*Z3*Z4*(Z5+Z6))/(Z1*(Z2*Z5-Z3*Z6+Z4*Z5)+Z2*Z4*Z5+Z3*Z4*Z5) Para calcular a função de transferência do filtro passam baixas (capacitores em Z1 e Z2) usando a topologia Sallen-Key é preciso ajustar as impedâncias do circuito adequadamente: Z3 = R1; Z4 = R2; Z5 = R3; Z6 = R4; Z3 =1/(s*C1); Z4 =1/(s*C2); Assim, o script Matlab nos dará como resultado: Função de Transferência do fpb Sallen-Key: R3 + R4 ------------------------------------------------------------(C1.C2.R1.R2.R3).s^2 + (C1.R1.R3 + C1.R2.R3 - C2.R1.R4).s + R3 A mesma topologia pode produzir um filtro passam altas se as impedâncias Z1 e Z2 forem trocadas de posição com as impedâncias Z3 e Z4, ou seja, onde estão os resistores R1 e R2 devem ficar os capacitores C1 e C2, e vice-versa.

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Scripts de cálculo da função de transferência do filtro realizado por circuito Sallen-key: MATLAB % Cálculo da Função de Transferência da Topologia Sallen-key % Z4 % o------------[__]--------------o % | | % Z1 | Z2 |\ | % Vi o---[ ]---o---[ _]---o-------|+\ | % | | >--------o--o Vo % | | o--|-/ | % Z3 | | | |/ | % | o-----[__]-----o % --| Z5 % | | % | | Z6 % | Topologia Sallen-key % --% syms z1 z2 z3 z4 z5 z6 vi vo v1 v2 v3 R1 R2 R3 R4 C1 C2 s; eq1 = ((vi-v1)/z1)-((v1-v2)/z2)-((v1-vo)/z4); % Equação do Nó 1 v1 = solve(eq1, v1); % Isolando a variavel 'v1' eq2 = ((v1-v2)/z2)-(v2/z3); % Equação do Nó 2 v2 = solve(eq2, v2); % Isolando a variavel 'v2' eq3 = (v2/z5)+((v2-vo)/z6); % Equação do Nó 3 vo = solve(eq3, vo); % Isolando a variavel 'vo' vo = simple(vo); % Simplificando a eq. 'vo' Hs = factor(simple(vo/vi)); % Função de Transferência % Sustituindo as impedancias pelos componentes do circ. passa-baixas

z1 = R1; z2 = R2; z5 = R3; z6 = R4; z3 = 1/(s*C1); z4 = 1/(s*C2); clc; disp('Função de Transferência do fpb Sallen-key: ') Hs = collect(simple(subs(Hs)),s); pretty(Hs)

PYTHON # -*- coding: utf-8 -*from sympy import symbols, var, solve, sympify, simplify, factor, collect z1, z2, z3, z4, z5, z6, vi, vo, v1, v2, v3, R1, R2, R3, R4, C1, C2, s = \ symbols('z1,z2,z3,z4,z5,z6,vi,vo,v1,v2,v3,R1,R2,R3,R4,C1,C2,s') # ou: var('z1,z2,z3,z4,z5,z6,vi,vo,v1,v2,v3,R1,R2,R3,R4,C1,C2,s') eq1 = ((vi-v1)/z1)-((v1-v2)/z2)-((v1-vo)/z4); v1 = solve(eq1, v1)[0] eq2 = ((v1-v2)/z2)-(v2/z3); v2 = solve(eq2, v2)[0] eq3 = (v2/z5)+((v2-vo)/z6); vo = solve(eq3, vo)[0] Hs = factor(simplify(vo/vi)) print u'Função de Transferência do filtro Sallen-Key genérico:\n',Hs # Sustituindo as impedancias pelos componentes do circ. passam baixas # z1 = R1; z2 = R2; z5 = R3; z6 = R4; z3 = 1/(s*C1); z4 = 1/(s*C2) Hsfpb = Hs.subs({'z1':'R1','z2':'R2','z5':'R3','z6':'R4','z3':'1/(s*C1)','z4':'1/(s*C2)'}) print u'\nFunção de Transferência do fpb Sallen-key:\n',collect(simplify(Hsfpb),s) >>> sallenkey Função de Transferência do filtro Sallen-Key genérico: z3*z4*(z5 + z6)/(z1*z2*z5 - z1*z3*z6 + z1*z4*z5 + z2*z4*z5 + z3*z4*z5) Função de Transferência do fpb Sallen-key: (R3 + R4)/(C1*C2*R1*R2*R3*s**2 + R3 + s*(C1*R3*(R1 + R2) - C2*R1*R4)) >>>

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Seja a função de transferência de um fpb de ordem 2 e ganho K em 0 Hz:

H ( s) = K.

ω ω02 onde : ω0 = 2π . f c e 2α = 2ζω0 = 0 2 2 s + 2α .s + ω0 Q

O fator de qualidade Q determina a altura e a largura do pico da resposta em frequência do filtro. Quanto maior for o valor desse parâmetro menor será a largura da banda passante, afunilando na frequência de ressonância ω0. Comparando a expressão gerada pelo Matlab com a função de transferência do fpb de 2ª ordem e ganho K em 0 Hz, teremos:

FPB de 2a. ordem : H ( s ) =

ω02 ω onde ω0 = 2π . f c 2α = 2ζω0 = 0 2 2 s + 2α .s + ω0 Q

R3 + R4 (C1.C 2.R1.R 2.R 3) s + (C1.R1.R 3 + C1.R 2.R3 − C 2.R1.R 4) s + R3 R3 + R 4 C1.C 2.R1.R 2.R 3 H ( s) = (C1.R1.R 3 + C1.R 2.R 3 − C 2.R1.R 4) 1 2 s + s+ C1.C 2.R1.R 2.R 3 C1.C 2.R1.R 2 1 R3 + R 4 C1.C 2.R1.R 2 H ( s) = . (C1.R1.R3 + C1.R 2.R3 − C 2.R1.R 4) 1 R3 2 s + s+ C1.C 2.R1.R 2.R3 C1.C 2.R1.R 2

Sallen − Key :

Logo : ω0 =

H ( s) =

1 ; C1.C 2.R1.R 2

2

α=

C1.R 3.( R1 + R 2) − C 2.R1.R 4 2.R 3.ω02

e

K=

R3 + R 4 R3

1 s.C 2 R1

R2

Vi

Vo

1 s.C1

R4 R3

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Exemplo:

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Projetar um fpb analógico ativo de 2ª ordem e fc = 100 Hz:

Por terem poucos valores comerciais, é comum se escolher os valores dos capacitores e depois calcular os valores dos resistores. Adotando: C1 = C2 = 10μF e R1 = 100 Ω, teremos:

ω0 = 2π .100 =

1 1 1 10000 ⇒ R2 = . = 2 4 −6 −6 2 4π .10 10.10 10.10 .10 4π 2 C1.C 2.R1.R 2

R 2 = 253 Ω Escolhendo o valor de R3 = 1 kΩ e R4 = 500 Ω teremos um ganho na frequência zero K = 1,5. Assim, o fpb de Butterworth de 2ª ordem será:

10μF

2 −6 2 5,06.10 s + 6,06.10 −3.s + 2 395256,92 = 1,5 2 s + 1197,63.s + 395256,92 10000 = 1,5 (s + 5,988 + j 1,8356)(s + 5,988 - j 1,8356) 395256,92 H ( jω ) = 1,5 395256,92 − ω 2 + jω.1197,63 395256,92 H ( jω ) = 1,5 (395256,92 − ω 2 )2 + (ω.1197,63)2 H ( s ) = 1,5

100 Ω

253 Ω

Vo

10μF

500 Ω

1k Topologia Sallen-key

Q = ω0 / 2α = 100 /(1197,63 / 2) = 0,17

FPB Butterworth, Ativo, 2a. ordem, fc = 100 Hz

0

2

-5

1

Fase H(jw) (rad)

|H(jw)| (dB)

Magnitude da RF do FPB Butterworth, Ativo, 2a. ordem

-10 -15 -20

0 -1 -2

-25

-3

-200

-100

0 100 frequência (Hz)

200

-200

-100 0 100 frequência (Hz)

200

f = -500:500; w = 2*pi*f; H = 600000./(392256.92-w.*w+j*w*1197.63); plot(f,10*log(abs(H))), figure, plot(f,angle(H))

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2. Procedimento 1

Monte o circuito com topologia Sallen-Key do exemplo anterior, e simule o circuito usando o software Multsim.

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Alimente o circuito com um gerador de sinais ajustado onda senoidal com 2 Vpp.

3

Com a ajuda de um osciloscópio de traço duplo, monitore os sinais do gerador e da saída do filtro.

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Observe as amplitudes dos sinais de entrada e saída do filtro, tomando frequências de 10 Hz a 2 kHz em incrementos adequados para traçar a resposta em frequência do filtro.

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Obtenha a frequência de corte (medido) do referido filtro e compare-o com os valore calculado no exemplo.

3. Questões 1

Projete um filtro passa-baixas analógico, ativo, de 2ª ordem com frequência de corte em 1 kHz. Na sequência simule o circuito com topologia Sallen-key no Multsim e verifique se o circuito projetado realiza o filtro solicitado. Dica: use a opção AC Analysis do menu Simulate/Analysis.

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Projete um filtro passa-faixa analógico, ativo, de 4ª ordem com frequência de corte inferior em 1 kHz e frequência de corte superior em 10 kHz. Na sequência simule o circuito com topologia Sallen-key no Multsim e verifique se o circuito projetado realiza o filtro solicitado. Dica 1: use a opção AC Analysis do menu Simulate/Analysis. Dica 2: projete um filtro passa-baixas e outro passa-altas e coloque-os ligados serialmente para realizar o filtro passa-faixa.

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