Trabajo Práctico Función Logarítmica

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Escuela Normal Superior N°4 “Nicolás Avellaneda” MATEMÁTICA – 5° AÑO

Trabajo Práctico Tema:  Función Logarítmica Bibliografía:  Libro del Aula: Editorial Logikamente.  Funciones Logarítmicas: https://www.youtube.com/watch?v=mqf_QEKXlBk&t=9s  https://www.youtube.com/watch?v=qJCkueTMKlY

Función Logarítmica Sea 𝑎 un número positivo con 𝑎 ≠ 1. La función logarítmica con base 𝑎, denotada por 𝑙𝑜𝑔𝑎 , está definida por 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥 Por lo tanto, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base 𝑎 debe ser elevado para obtener 𝑥. Leemos 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 como “el logaritmo base 𝑎 de 𝑥 es 𝑦” Cuando usamos la definición de logaritmos para pasar entre la forma logarítmica 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 y la forma exponencial 𝑎 𝑦 = 𝑥, es útil observar que, en ambas formas, la base es la misma:

Ejemplos:  𝑙𝑜𝑔101000 = 3 porque 103 = 1000  𝑙𝑜𝑔2 32 = 5 porque 25 = 32 1  𝑙𝑜𝑔100,1 = −1 porque 10−1 = 10 = 0,1 1

 𝑙𝑜𝑔164 = 2

porque 161/2 = √16 = 4

Propiedades de logaritmos 

Logaritmo de igual base que argumento es igual a 1. 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂 = 𝟏

Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔4 4 = 1

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Logaritmo de argumento 1 es igual a 0. 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝟏 = 𝟎 Logaritmo de una potencia: el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia. 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴𝒃 = 𝒃. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝑴

Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔4 163 = 3. 𝑙𝑜𝑔4 16 = 3. 𝑙𝑜𝑔4 42 = 3.2. 𝑙𝑜𝑔4 4 = 3.2.1 = 6 

Logaritmo de un producto: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores con la misma base. 𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝑴. 𝑵) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴 + 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑵

Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔2 (4.16) = 𝑙𝑜𝑔2 4 + 𝑙𝑜𝑔2 16 = 𝑙𝑜𝑔2 22 + 𝑙𝑜𝑔2 24 = 2. 𝑙𝑜𝑔2 2 + 4. 𝑙𝑜𝑔2 2 = 2.1 + 4.1 = 2 + 4 = 6 

Logaritmo de un cociente: el logaritmo de un cociente es igual a la resta de los respectivos logaritmos. 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝑴: 𝑵) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴 − 𝒍𝒐𝒈𝒂𝑵

Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔2 (32: 2) = 𝑙𝑜𝑔2 32 − 𝑙𝑜𝑔2 2 = 𝑙𝑜𝑔2 25 − 1 = 5. 𝑙𝑜𝑔2 2 − 1 = 5.1 − 1 = 5−1=4

Cambio de base Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra a denotar omitiendo la base: 𝑙𝑜𝑔10𝑥 = log 𝑥. El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número 𝑒 ≅ 2,7182 y se denota 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = ln 𝑥. Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base. Ejemplo: Calcular 𝑙𝑜𝑔2 3 Llamaremos 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 3, entonces 2𝑥 = 3, aplicando logaritmo decimal a ambos miembros obtenemos 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3, luego aplicando una propiedad nos queda 𝑙𝑜𝑔3

𝑥. 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔3, finalmente 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 ≅ 1,5849. El procedimiento general es: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 𝑦. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 𝑦=

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

Escuela Normal Superior N°4 “Nicolás Avellaneda” MATEMÁTICA – 5° AÑO Gráficas de Funciones Logarítmicas Para graficar una función logarítmica, por ejemplo 𝑓(𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥, se debe realizar una tabla de valores, en la cual escogemos los valores de x que sean potencias de la base (en este caso potencias de 2) para que podamos fácilmente hallar sus logaritmos. Localizamos estos puntos en los ejes cartesianos y los enlazamos con una curva sin irregularidades.

Ejercicios:

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5. Use la definición de función logarítmica para hallar el valor de x. (a) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 5

(c) 𝑙𝑜𝑔10 0,1 = 𝑥

(b) 𝑙𝑜𝑔3 243 = 𝑥

(d) 𝑙𝑜𝑔𝑥 6 = 2

1

6. Trace la gráfica de la función al localizar los puntos. (a) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 (b) 𝑓 (𝑥 ) = 2. 𝑙𝑜𝑔𝑥