TRIGONOMETRÍA LUMBRERAS · versión 1

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ndice Breve historia de la Trigonometría

R azo n es tr ig o n o m é tr ic a s d e u n á n g u lo e n p o sic ió n n o rm a l

La Trigonometría............................................................ 13 Desarrollo de la Trigonometría................................... 13 Aportes durante el Esciavismo...................................... 13 Aportes durante el Feudalismo ................................... 17 Aportes durante el Capitalismo .................................... 19

Introducción a las desigualdades............................134

Sistemas de medición angular y longitud de arco

-

Recta num érica.................................................

-

Definición ..................................................

134 136

-

Intervalos .........................................................

140

-

Valor absoluto ..................................

148

-

Distancia entre dos puntos en la recta numérica ........................................................ 155

Á ngulo trigonom étrico ............................................... 26 - Ángulos positivos y ángulos negativos................... 26 Sistemas de medidas angulares ............... 28 - Sistema sexagesimal ........:..................................... 28 - Sistema centesimal ........................................ ..28 - Sistema radial radial, circular o internacional .........29 - Ángulos coterm inales............................................... 35 Longitud de arco de una circunferencia ................. 41 . - Cálculo de la longitud de un arco de circunferencia............................................ 41 - Cálculo de! área de un sector circular..................... 42 - Ángulo girado o barrido por una rueda.................... 43 - Número de vueltas.................................................... 44 - Pc’e a 5 y engranajes............................................ 46 - Mr dición de la distancia entre dos puntos sobre la Tierra ............................... 50 Problemas resueltos ..................................................... 53 Problemas propuestos.................. 67

-

Segmento dirigido....................................................155

Problemas resueltos .................................................. 157 Sistema de coordenadas re c ta n g u la re s................ 163 -

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano...........................................

-

División de un segmento por un punto en una razón dada ..................................................167

*

Área de una región triangular................................ 168

-

Ángulo trigonométrico en posición normal (estándar o regular)....................................170

D efinición de razones trigonom étricas ..... -

172

Signos de las razones trigonométricas en los cuadrantes.........................

-

174

Ángulos coterm inales............................................. 175

Problemas resueltos ...........................................

Razones trigonométricas de un ángulo agudo D efinición de razón trigonom étrica ..........................79 - Propiedad fundamental de las razones trigonométricas...........................................80 - Razonestrigonométricas de ángulos agudos (notables) en un triángulo rectángulo..................... 82 - Propiedades de tas razones trigonométricas .........87 - Razones trigonométricas de ángulos complementarios......................................................87 R esolución de triángulos rectángulos .................... 90 - Dadas las longitudes de dos la d o s ..........................90 - Dados un ángulo agudo y la longitud de un lado .................. 91 Problemas resueltos % Á ngulos verticales y horizontales ..........................106 - Ángulos verticales .................................................. 106 - Ángulos horizontales.............................................. 108 Problemas resueltos...................... 109 Problemas propuestos....................................... 119

166

Radio vector (r) ....................................................... 166

179

Problemas propuestos .................................................185 .

Circunferencia trigonométrica Circunferencia trig o n o m é tric a .................................200 -

Nociones previas.............

-

Arcos dirigidos en posición norm al........................203

-

200

Representación de los números reales en la circunferencia trigonométrica .................................206

-

Representaciones del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de un

-

arco en la circunferencia trigonométrica............... 213 -

Representaciones auxiliares..................................223

Problemas resueltos.....................................................225 Problemas propuestos..................................................260

^gB5?«s!eeesaummss

Identidades trigonométricas

F u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s

identidades trigonom étricas fundamentales ........279 -

Identidades reciprocas......................................... 279

-

Identidades por cociente ....................................... 279

-

Identidades pitagóricas ......................................... 280

-

Tipos de problemas sobre identidades fundamentales ....................................................... 281

-

Demostración de identidades................................ 281 Cálculo de razones trigonométricas en función de otras razones trigonométricas..........................285

Problemas resueltos ................................................... 288 Identidades de la suma o diferencia de dos arcos {dos ángulos) .............................................................300 Problemas resueltos ................................................... 307 Identidades de reducción al primer cuadrante .... 317 -

Para ángulos positivos menores que una vuelta (primer c a s o )...........................................................318

-

Para ángulos mayores que una vue’ta (segundo caso) ...................................................... 319

-

Para el arco (-0)(tercer caso) ............................... 321

-

325

.

Identidades para el arco doble, mitad y triple

Identidades para el arco doble............................... 325

-

Identidades para el ángulo mitad (x/2).................. 330

-

Identidades para el ángulo triple (3x).................... 333

Problemas resueltos ....................

336

Identidades de transformaciones trig o n o m é trica s..........................................................350 -

De sumas y diferencias de senes y cosenos en producto..............................................350

-

De producto de senos y/o cosenos a suma o diferencia................................................... 352

Problemas resueltos ................................................... 361 Problemas propuestos ..........................................

377

R elacio n es f u n d a m e n ta le s e n el triá n g u lo o b lic u á n g u lo Teoremas trigonom étricos .....................................402 -

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Noción de fu n c ió n ......................................................449 - Regla de correspondencia ..................................... 450 - Gráficas de funciones .............................................452 - Función par ............................................................ 464 - . Función impar ..........................................................464 - Función creciente.................................................... 466 - Función decreciente................................................466 - Funciones periódicas ..............................................467 - Continuidad de una función en un punto ...............470 Análisis de las gráficas de las funciones trigonom étricas elementales ...................................471 * Función seno ...........................................................471 - Función coseno........................................................ 472 - Función tangente............' ......................................472 - Función cotangente............................................. 473 - Función secante....... ?............................................ 474 - Función cosecante .................................................. 475 - Gráfca de la función que tiene por regia de correspondencia f{x)-A sert{Bx+C)+D ...................477 - Estudio de las funciones de !a forma y -F t{B x ) .... 479 - Adición y multiplicación de funciones.....................486 - Ejemplos de funciones con dos variables............. 489 Problemas resueltos..................................................... 4S1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Noción de la función inversa ....................................518 - Función inyectiva..................................................... 518 - Función sobreyectiva ..............................................522 * Función biyectiva .................................................... 522 - Definición de función inversa .................................523 Funciones trigonom étricas inversas....................... 524 - Función arco se no .................. 525 * Función arco coseno...............................................526 - Función arco tangente.............................................526 - Función arco cotangente............................ 526 - Función arco secante............................................... 526 - Función arco cosecante...........................................527 - Propiedad fundamental............................................528 - Teoremas y propiedades de las funciones trigonométricas inversas......................................... 533 - Propiedad de¡ seno inverso......................................534 - Propiedad del coseno inverso................................. 535 - Propiedad del tangente inverso............................... 535 - Propiedad dei cotangente inverso........................... 536 - Propiedad del secante inverso.................................536 - Propiedad de! cosecante inverso............................ 536 Problemas resueltos..................................................... 546 Problemas propuestos.................................................. 566

Teorema de senos................................................... 402

-

Teorema de cosenos............................................... 406

-

Teorema de tangentes

-

Teorema de proyecciones.......................

..........................................407 408

Ecuaciones trigonométricas

Razones trigonom étricas de los semiángulos de un triángulo en función del semiperímetro y lados .......................................................................409 -

Área de una región triangular................................ 414

-

Área de una región cuadrangular..........................417

Problemas resueltos ...................................................421 Problemas propuestos ................................................441

Ecuación trigonom étrica ...........................................594 Ecuación trigonom étrica elemental ........................ 595 Desigualdades trigonom étricas de una sola incógnita .............................................................605 Sistemas de ecuaciones trigonom étricas ............. 610 Problemas resueltos .................................................... 612 Problemas propuestos ...............................................^631

Números complejos en el análisis trigonométrico D efinición de un número compiejo ........................642 - Representación geométrica ...'............................... 642 - Forma poiar o trigonométrica ................................ 644 - Argumento principa! de un número complejo .......645 - Forma exponencial................................................. 646 - Números complejos conjugados ........................... 648 - Inverso aditivo de un número com plejo................ 648 - Propiedades del módulo de un número complejo ............................... 650 - Fórmula de D( M o ivre ............................................. 652 - La exponencial com pleja........................................654 - Relación entre la fórmula de D' Moivre y el binomio de N ew ton............................................. 655 - Lugar geométrico y regiones................................. 657 Problemas resueltos ................................................... 663 Problemas propuestos ................................................ 692

Elementos de cálculo: Límites y derivadas Noción intuitiva del límite ......... .............................710 - Definición ................................................................. 712 - Definición formal del límite de una fu n ció n ...........713 - Definición (continuidad en un punto) .................... 714 - Definición (continuidad latera!) .............................. 714 - Definición (continuidad en un intervalo cerrado) ..716 - Definición (continuidad en un intervalo abierto) ... 717 - Teorema de -a función intermedia o d e e s írrc ió n ............................................................ 718 Lím ites trigonom étricos n o ta b le s ........................... 719 - El r uñero e ............................................................. 724 Problemas resueltos ....................................................725 Noción intuitiva de ia derivada de una fu n ció n .........734 - La recta tangente y la derivada ............................. 734 Derivadas de las funciones trigonométricas.............. 738 - Notación de Leibniz para ia regla de la cadena ... 740 - Regla de la cadena y funciones trigonométricas.. 741 - Diferenciación implícita .......................................... 743 - Derivadas sucesivas o de orden superior............. 743 - Diferenciación de funciones trigonométricas inversas ........................................ 744 - La diferencial........................................................... 747 - Teoremas sobre las funciones derivables ............ 748 - Teorema de L'Hospital............................................ 751 - Aplicaciones de la primera y segunda derivada .. 752 - Funciones crecientes y decrecientes.................... 753 - Máximos y mínimos de una función.......................754 - Concavidad de puntos de inflexión de una función.............................................................. 756 - Convexidad.............................................................. 756 - Puntos de inflexión.................... %.......................... 757 - Criterio de la segunda derivada para máximo y mínimos..................................................................760 - Método de Newton Raphson...................................762 Problemas resueltos.....................................................764 Problemas propuestos..................................................774

lar

Traslación y rotación de ejes

Determinación gráfica de las secciones cónicas ........................................................................790 Secciones cónicas .......................................... 791 -

Definición de parábola ...........................................791

-

Definición de elipse

..............................................792

- Definición de la hipérbola...................................... 793 • Ecuación general de una sección cónica ............ 794 Traslación de ejes ........................................ 795 Rotación de ejes ....................................................... 798 -

Eliminación del término xy ..................................... 802

-

Uso del discrim inante............................................804

Problemas resueltos ................

805

Problemas propuestos................................

811

E B jB F ’

Trigonometría esférica

Elementos fundam entales en una esfera ..............818 -

Circunferencia máxima ..........................................818 Circunferencia mínima ...........................................818

-

Polos ...................

818

- Ángulo esférico .......................................................818 Triángulo e s fé ric o ....................................................**¡,819 - Propiedades de los triángulos esféricos............... 819 -

Exceso esférico........................................................820 Área de un triángulo esférico................................. 821 Triángulo polar o suplementación..........................822

-

Triángulo esférico rectángulo .........

-

Reglas de N e p e r.................................................... 824 Triángulo cuadrantal ..........*................................. 825

-

Triángulo esférico oblicuángulo.............................826 • Ley de senos .......................................................826 • Ley de cosenos para lados ................... .......■.... 827

823

• Ley de cosenos para ángulos ............................827 Aplicaciones de la trigonom etría esférica en astronomía y navegación .....

828

-

Sistema de coordenadas geográficas................... 829

-

Latitud ......................................................................829 Longitud ...................................................................829

-

Distancia entre dos puntos de la superficie de la Tierra..................:........................................... 829

- Rumbo ............ 830 Problemas resueltos ................................................... 832 Problemas propuestos ......... 839

• •

Tabla de símbolos Bibliografía

Breve historia----------- 1 ------------ -/de la Trigonometría LA TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos. Actualmente la Trigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para determinar distandas inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta disdplina se ha ido enriqueaendo progresivamente. Así, abarca también el estudio tanto de las fundones circulares -y su aplicaaón en la vida cotidiana, en las telecomunicadones, la mecánica, la astronomía, etc.- como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicadón de fenómenos naturales como las ondas o vibradones.

Trigonometría plana

Trigonometría esférica

DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA La Trigonometría es una de las disaplinas matemáticas más antiguas. Al igual que otras ramas de la matemática, la Trigonometría no es fruto de la inteligenaa de un solo hombre, ni aun de una sola rivilizadón, sino es producto de la experienda y síntesis teórica de diversas sodedades como Egipto, Babilonia y Greda. Ya en el papiro de Ahmes (1550 a.n.e.) se encuentran alusiones a características de un ángulo análogas a nuestras razones trigonométricas actuales. En Babilonia, China y otras- civilizaciones antiguas se realizaban, entre uno y dos milenios antes de nuestra era, cálculos con triángulos en muchos casos en conexión con problemas de agrim ensura y astronomía. APORTES DURANTE EL ESCLAVISMO Las. condiciones económicas y políticas de la sociedad esclavista permitieron un nuevo impulso del conocimiento científico. El desarrollo agrícola y ganadero generó una mayor disponibilidad de tiempo para la investigadón y observación sistemática de la naturaleza. Asimismo, ante el surgimiento de la propiedad privada y del Estado esclavista se hizo necesario optimizar los mecanismos para delimitar la propiedad territorial y controlar tanto la ptpducdón como los impuestos que debía pagar el pueblo. Es así como surge la necesidad de un mayor desarrollo del conocimiento matemático y, en particular, de la Trigonometría. 13

Trigonom etría

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IV m ilen io a.n.e En la Mesopotamia antigua los prim eros signos de matemática aparecieron como respuesta a necesidades prácticas. Así, fueron utilizados para contabilizar las cabezas de ganados o los sacos de cereales, calcular distancias, etc. Parece que la numeración caldeo-asiría ha tenido doble origen: una numeración sexagesimal y otra decimal de origen semítico. En efecto, en documentos que se remontan al tercer milenio antes de nuestra era, aparece completamente desarrollado el sistem a sexagesimal. Las unidades principales de las diferentes órdenes eran 1,60,3 600 (el sar), 216 000 (el gran sar), los dos últimos corresponden respectivamente al cuadrado y al cubo de 60 posiblemente; el origen de la numeración sexagesimal debe buscarse en observaciones astronómicas. El mes sideral sumerjo de 30 días y el año de 360 días son bastante significativos. Tres instrumentos de importancia permitieron a los caldeos elaborar su Astronomía: la clepsidra, el gnomon y el polos. La primera era un reloj de agua, el segundo consistía en un instrumento que representaba el cuadrante solar; iba previsto de una varilla que proyectaba su sombra sobre éste según la posición del sol, el cual marcaba las horas del día, los solsticios y los equinoccios. El denominado polos era una semíesfera que representaba, invertida, la bóveda celeste. Sobre aquello, en el centro, se colgaba una bola, y la sombra que proyectaba en la semiesfera mostraba, de forma invertida, el movimiento solar en los cielos. Los b ab ilo n io s Luego de la decadencia de Sumeria, B ab ilo n ia, q u e te n ía u n a n o ta b le im p o rta n cia e stra té g ica com ercial y cultural, logra su independencia e inicia su extraordinaria ascención hacia los años 1830 antes de nuestra era. La mayor aten ció n que ten ían los hom bres de cien c ia en B abilonia e ra h ac ia la astronom ía, ciencia que les daba datos ca d a vez m ás p reciso s p a ra u n conocimiento de la astrología, a la cual le daban importancia porque pensaban equivocadamente en la influencia de los a s tro s en la v id a del h o m b re. Es realmente digno de adm irar el desarrollo que alcanzó su astronom ía, desarrollo lo g rad o a p a r tir de u n im p o rta n te conocimiento trigonométrico.

Babilonia, capital de un vasto territorio, fue centro cultura! de oriente a p artir del siglo

XVII (a.n.e)-

Resulta déstacable el aporte de los babilonios en matemática,

en especia! en la Trigonometría.

Los egipcios El problema 56 del papiro Rhind, presenta un interés especial porque contiene lo que podríamos llam ar uno de los rudim entos de Trigonom etría y de una teoría de triángulos sem ejantes. En la construcción de las pirámides, un problema esencial era el de mantener una pendiente uniforme en las cuatro caras, por ende puede haber sido este problema el que llevó a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de la cotangente de un ángulo. 14

Breve historia de la Trigonom etría

La mayor parte de nuestro conocimiento acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de Ahmes o de Rhind, el documento más extenso que se tiene del antiguo Egipto. Una relación matemática contenida en el papiro es: la razón del perímetro-de la base es a la altura de la pirámide de Keops como 44/7 (ciertamente muy próxima), que es el doble de 22/7, aproximación de ji muy usada modernamente, pero hay que recordar 1 i que el valor que se deduce de n de los cálculos de Ahmes es algo menor que 3 t y no 3 - . 6

7

III u

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Papiro egipcio. Evidencia del aporte, de este pueblo al conocimiento matemático.

Los griegos En plena crisis de su sistema esclavista, Grecia inicia al siglo IV (a.n.e), su expansión sobre el este (Persia). Este proceso de expansión, que fue liderado por Alejandro Magno, trajo como consecuencia el Helenismo (contacto cultural occidente - oriente) representado por la dudad de Alejandría en Egipto, ciudad que se convertiría pronto en la punta de lanza de la investigadón dentífica y en sede de los mejores pensadores. E ratóstenes (275-194 a.n.e.) Matemático griego, educado en Atenas y Alejandría, llamado tam bién el medidor de la Tierra, ya que fue el primero en hacer mediciones de la circunferencia de nuestro planeta. En Alejandría los rayos solares con la vertical forman un ángulo de 7,2° y es igual al ángulo que se forma en el centro de la Tierra con la prolonga :ión de los rayos de Siene como 7,2° es 1/50 de 360°, la distancia A lejandría-Siene 5 000 estadios (1 estadio=0,1575 km) es 1/50 de la circunferencia de la Tierra por lo que al multiplicar por 50 a dicha distancia obtenemos la longitud de la circunferencia de la Tierra, así como podemos deducir su diámetro. Sus resultados aproximados fueron 250 000 estadios (o sea, 39 375 km) para la circunferencia de la Tierra. Los cálculos fueron impresionantemente certeros, si tenem os en cuenta el nivel técnico de la época; hoy se calcula en 40 008 km. H iparco de Nicea (aprox. 190 a 125 a.n.e.) La Trigonometría aparece como necesidad de la Aátronomía, a fin de resolver problemas de la esfera celeste. Hiparco de Nicea es justamente considerado la autoridad máxima entre los astrónomos griegos, y el astrónomo más grande de la antigüedad (tuvo un observatorio astronómico en Rodas entre los años 128-127 a.n.e.) A partir de observaciones sistemáticas, hechas con los recursos disponibles en esa época, solo era posible deducir racionalmente que la Tierra era el centro del universo, e Hiparco cometió ese error, difundido posteriormente por Ptolomeo. Hiparco fue el primero en determinar con precisión el aparecer y el ocaso de varias estrellas, usando para ello una tabla de cuerdas por él calculada. El resultado fue una obra de doce volúmenes. Según Teón de Alejandría, ese tratado contenía una teoría general de la Trigonometría y algunas tablas. Estas tomaban como base la división del círculo en 360° y daban grado por grado el valor de las cuerdas de los diversos arcos. 15

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T rigonom etría

En cuanto a la Trigonometría rectilínea se refiere, conoció la fórmula que, con nuestra notación, sería sen2cc+cos2a = l .

Los matemáticos griegos no usaban el seno de un ángulo sino usaban la cuerda del arco duplo AB. También consideraban el radio OA con longitud 60 y dividían e l círculo en 360 partes iguales.

M enelao de A lejandría (100 a.n.e.) Compone un trabajo en seis libros sobre los cálculos de cordones de arcos (presentado como Geometría esférica). Menelao dem uestra teoremas sobre los triángulos esféricos; probó, por ejemplo, que si dos triángulos esféricos tienen ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son iguales o congruentes. Introdujo un teorema, que lleva su nombre, a fin de probar el resultado correspondiente para triángulos esféricos. Teorema de Menelao. Si el triángulo ABC es cortado por una recta que interseca sus tres lados en Plt P2 y P3 entonces PA -PC -P B

j ------- 2-------3 _ = 1

P B -PA -P C

Claudio Ptolomeo (180 d.n.e.) Hizo progresar la Trigonometría y la enriquece con nuevas fórmulas no conocidas por Hiparco. Los trabajos de Ptolomeo están contenidos en su obra inmortal denominada por los árabes Magiste (El mayor). De ese vocablo, al cual se le agregó el artículo Al, surgió el nombre Almagesto (Al-magiste) con el que hoy conocemos la obra, que significa sintaxis matemática. El Almagesto describe m atem áticam ente el funcionamiento del sistema solar. Señalaba que la Tierra era el centjo del sistema solar, es decir defendía la teoría geocéntrica. Posteriormente, dicha teoría fue sustituida en el siglo XV por Nicolás Copémico (1473-1543) quien propone que era el Sol y no la Tierra el verdadero centro (teoría heliocéntrica). En un segundo libro Ptolomeo difunde una tabla de cuerdas y conceptos rudimentarios de Trigonometría esférica. En Geometría dem uestra el teorem a que hoy lleva su nombre: El producto de las diagonales de un- cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. 16

E¡ interés de Ptolomeo por la cstroromíc im pu lsó e l d e s a rro llo de la Trigonometría. En la imagen. Ptolomeo observando las estrellas.

Breve historia de la Trig o n o m e tría

Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las identidades trigonom étricas de seno y coseno de la suma y diferencia de dos arcos. seií(a ± (3) = sena cos|3 ± cosa senP Aportes de China El prim er texto que aparece sobre m atem ática fue gracias a los aportes de Chou Pei Suan Ching (400 a.n.e. a p ro x im ad am en te ). En e s ta o b ra en c o n tram o s las propiedades de los triángulos rectángulos así como una demostración geom étrica del Teorema de Pitágoras. Es preciso indicar que el matem ático chino Tsu Chung Chi (hacia el año 450) había conseguido idear, por el método del perímetro, la siguiente desigualdad: 3,1415926 < r. < 3,1415927 Obser/atorio chino de un grabado de historia desvoyoges, 1747.

APORTES DURANTE EL FEUDALISMO En Europa occidental, el conocimiento científico y por tanto matemático, no logra un desarrollo considerable. Esto se debió al predominio de la escolástica, que priorizaba el estudio de la biblia antes que el uso de la experiencia y la razón para interpretar la realidad. Además por la organización económica del feudalismo (autarquía), escaso comercio, no había incentivos para desarrollar el conocimiento científico. Sin embargo, en Oriente los árabes, herederos de la ciencia oriental, conocedores de las obras griegas, y en contacte con el Imperio Bizantino y la India, fueron los que más aportaron al progreso y difusión de la ciencia. La an tig u a In d ia En los siglos V - XII d.n.e. tenemos eminentes científicos indios, matemáticos y astrónomos: Aryabhata (finales del siglo V), Brahm agupta (nace en el año 598); Mahavira (siglo IX), Braskara Akaria (nace en el año 1114). De Aryabhata, que vivió en el noreste de la India, quedaron sus obras en versos de contenido matemático y astronómico. En ellas están formuladas las reglas de la matemática elemental: la Aritmética, la Geometría y la Trigonometría. La matemática Hindú avanzó considerablemente, en método y precisión, más allá de la Trigonom etría griega, dando una tabla de senos calculada para cada 3,75° de arco hasta 90°. Es innegable al aporte de los hindúes en funciones trigonométricas: seno, coseno, senoverso (versa = l - c o s a ) . Los árabes A la edad media del mundo occidental corresponde la edad de oro del mundo musulmán que desde el siglo VII al XII se extendió desde la India hasta España. Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de la matemática. Los matemáticos árabes conservaron el patrim onio m atem ático de los griegos, divulgaron los conocimientos matem áticos de la India, asimilaron am bas culturas e hicieron avanzar tanto la Trigonometría como el Álgebra. 17

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Trigonom etría

Abu Al-W afa (940-997) De origen iraní, fue un destacado astrónomo y matemático. Entre sus aportes en Trigonometría tenem os el cálculo del segmento AM como la tan 9 en un círculo unitario. Asimismo, logra estudiar las identidades trigonométricas.

CSC0 =

sec0 =

1

sen0

sen0 ’ cos0 COS0 cos0 ’ sen0

= tan0

= cot0

Al B attani (A lbatenus 858—929) Tiene el mérito de haber empleado por primera vez, después de ios hindúes, los senos-en vez de las cuerdas. Además, en la traducción latina de sus obras hace su a b e prim era aparición sinus (senos). El Teorema de los s e n o s -------= —= ------sen A senB senC aparece aplicado por Al Eattani; y años más tarde, por el persa Abn-Nasr. Al Battani tenía una motivación especial para el estudio de la astronomía, demostró que la distancia más lejana del Sol de la Tierra varía y, consecuentemente, los eclipses del Sol son posibles así como los eclipses totales.

Al

B a tta n i

a p lica

conocimientos propios de Trigonometría para sus estudios astronómicos.

A I-B iruni (Irá n 973-1048) Filósofo, astrónomo y matemático. Su contribución más grande a la matemática probablemente está en Trigonometría (once libros) donde, tomando y corrigiendo los resultados de Ptolomeo, establece tablas muy precisas: los cálculos de medio cordón (los senos futuros). Aplica a la Astronomía los métodos geodésicos de triangulación (los cálculos de distancias y áreas). N asir A l-T u sí (Irán 1201 —1274) Gentífico, matemático, astrónomo. Escribe diversos tratados sobre asuntos variados de Álgebra, Aritmética, Geometría, Trigonometría, Lógica, Medicina, etc. Construye un observatorio en Meragha, incluso utilizó el Astrolabio e introdujo una tabla muy exacta de los movimientos planetarios. Aportó a la Trigonometría esférica, aporte que induye seis fórmulas fundamentales para la soludón de triángulos esféricos. A I-K a sh a n i (Irá n 1350-143.9) Uno de los matemáticos más grandes de aquellos tiempos. Desarrolla el uso del sistema de numeración en base 60, que fue utilizado por los astrónomos babilonios. Se debe a Al-Kashani la generalización del Teorema de Pitágoras, posteriorm ente expresado por Vieta bajo la forma a2 = b2 + c2- 2 b c eos A Si la m < A = 90° se recupera la fórmula de Pitágoras a2 = b2 + c2 18

Breve historia de la Trigo no m etría

APORTES DURANTE EL CAPITALISMO - Será durante el Capitalismo, el periodo en que la m atem ática, las ciencias naturales y la ciencia en general alcanza el mayor desarrollo. Esto se explica porque ya predomina una nueva forma de ver el mundo que nos rodea, desarrollada por la emergente burguesia. La lógica imperante consistía en sacar el mayor provecho de la naturaleza, producto' de ver en toda ella una fuente de mercancía. El Humanismo, que sostenía el conocimiento basado en la razón y el estudio de la cultura greco-latina, sirve de base para lograr nuevos conocimientos, no solo en Matemática, sino en todos los campos del saber. Se avanza no solo en la observación sino en la preparación de herramientas (telescopio) y en la experimentación. Georg Von P eurbach (1423-1461) Astrónomo austríaco, fundador de la astronom ía alemana y profesor en la Universidad de Viena, se ocupó de la teoría del movimiento de los planetas. Enseñó durante algunos años en Italia. Entre sus alumnos se encontró el famoso Johann Müller. Admirador de Ptolomeo. Abandonando el cartabón del maestro, dejó de considerarlas cuerdas y compuso una tabla de valores del seno. Tradujo el Almagesto de Ptolomeo directam ente del griego. Jo h an M üller (1435- 1476) Astrónomo y matemático alemán, naddo en Konigsberg y fallecido en Roma, conocido por Regiomontano, presentó en 1454 una obra titulada Trianguíis omnimondis libre quinqué, primer libro tratado de Trigonometría plana y esférica escrito por un europeo. Esta obra además es interesante desde el punto de vista matemático pues en ella se expusieron sistemáticamente los métodos de •esoludón de triángulos. Los aportes de Peurbach y Regiomontano no pasarían inadvertidos a un joven que estudiaba en la Universidad Jagiellonsky de Cracc ría: se trata de Nicolás Copémico. Regiomontano, considerado padre de la Trigonometría moderna, desarrolla a la Trigonometría como una rama independiente de la Astronomía. Entre los problem as que p lanteó Regiomontano se puede citar ¿a qué distancia debe ubicarse un observador para que una estatua situada en un pedestal le parezca lo mayor posible?

I\ V

M üiier cpcrta significativamente a la Trigonometría, en especial a través de una teoría sistemática sobre métodos de resolución de triángulos.

Jorge Jo a q u ín Réíico (1314- 1367)

Astrónomo y matemático av siríaco. Es conocido por la publicación de cálculo de tablas de los valores del seno, de la tangente y de la secante; para tal efecto empleó las identidades siguientes sen raa = a sen (m -.1) a . eos a - senfm - 2) a eos ma — a eos (ro - 1) a . eos a - cos(m - 2) a El texto que muc-stra las tablas de funciones trigonométricas fue completado y publicado en 1596.

Ludolph Van Ceulcn (1540-1610) Matemático holandés que introduce las identidades para un arco mitad, a saber a se n -; 2

1 -c o sa 2

a eos - = o

1 + co sa

19

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Francisco Vieta (1540-1610) Matemático francés. Publica su primer trabajo de matemática en París en 1571 (Canónigo Mathematicus). Sistematiza la Trigonometría y presenta las tablas trigonométricas; es el primer autor de las fórmulas analíticas que sirven para la resolución de los triángulos, expone reglas para la construcción de los senos, de las tangentes y de las secantes. Para sus tablas aplica las fórmulas cos2a = r 2 - s e n 2cc o

2a

r - c o s a = 2sen — 2

4senj^ —■— j = (sen a - sen(3)2 + (cos(3 - c o sa )2 Los trabajos de Vieta permitieron

Para el cálculo de los valores de las tangentes y secantes emplea las fórmulas

ampliar y profundizar los estudios trigonométricos.

í a\ ( a .) tan 45° + — = 2 ta n a + ta n a; 4 5 ° - — 1 2 I 1 2 i seca = - tan 2

a) 1 45° + — !+ - t a n 45°

1

J

Para la resolución de triángulos evita hacer trazos como el de una altura y aplica la ley de los senos a

b

c

senA

senB

senC

Presenta la ley de tangentes a+b a~b

tan | ta n |

a

+ b 'i

2 i A -B") 2

V

J

Para la resolución de los triángulos oblicuángulos en que se conocen los tres lados, Vieta descompone el triángulo dado en dos triángulos rectangulares y para el cálculo del ángulo aplica la ley de los cosenos,' que él presenta en la forma 2a _ 1 a2 + b2 - c 2

sen (90°- c )

Asimismo, Vieta sistematiza la trigonometría esférica que hasta entonces era un conjunto de fórmulas inconexas, y dem uestra que D _ fa +f n f a - P A s e n a -s e n B = 2cos ----- - e o s ;---- -

{

2

J

{

2 J

También dedujo fórmulas para sen(n0) y cos(n9). Durante el gobierno del rey de Francia Enrique IV, específicamente en 1593 el matemático belga Adriano Roonen propone un problema de ecuación de grado 45. x45- 45x43 + 945x41 - ... —3795x3 + 45x =K 20

Breve historia de la Trigo n o m e tría

Para entonces el embajador de los Países bajos hizo el desafio a Enrique IV que la calidad de los matemáticos franceses era pobre y que ningún francés podrá resolver el problema de Roonen. Enrique IV, que era amigo de Vieta convocó a este que lo percibió y resolvió rápidamente la ecuación dada indicando que es el desarrollo de sen450 en térm inos de sen0 con K= sen450 y x = 2 s e n 0 . Vieta sabía que la ecuación podía ser descompuesta en una de grado 5 y dos de grado 3 por lo que él las resolvió, para sorpresa de todos. Tycho B rahe (1546-1601) Astrónomo danés. Considerado el observador más grande del periodo anterior a la invención del telescopio. Construye instrum entos cada vez mayores y más precisos. El rey de Dinamarca Federico I cede a Brahe en 1576 la pequeña isla de Hven (hoy territorio sueco). Aquí Tycho Brahe hizo construir el observatorio más grande de la época al que llamó Uraniborg, “ciudad del cielo”; construyó cuadrantes, sextantes, esferas amulares, escuadras y gnómones con gigantescas escalas graduadas. Más adelante estos datos recopilados fueron utilizados por Kepler (1571 - 1630). Tilom as Fincfe (1561-1656) De origen danés. En el libro 14 de su Geometría Rotundi introduce las palabras tangente y secante, que fueron adoptadas prontam ente por el inglés. Quizás fue el primero que usó las abreviaturas para la razones trigonométricas. E dm undo G unter (1581-1626) Aparece la expresión co-sinu, abreviación de complemento del seno; la palabra cotangente cuyo origen es análogo al del coseno; y finalmente la palabra cosecante, probablemente por complemento de secante. B arto lo m é P itiscus (1561-1613) Mat m ¿tico alemán. El término trigonometría aparece por primera vez como título de su obra Trigonometría, publicada en Heidelberg en 1595. La misma que consistía de 5 libros sobre trigonometría plana y esférica. Ih o n N ap ie ro Neper (1550-1617) Matemático escocés. Usó la expresión del seno en un círculo; elabora fórmulas simplificadas para cálculos trigonom étricos en Astronomía. Neper inventa los logaritmos. Destaca por definir el logaritmo de seno (para seno entre 0 y 1). Neper es más conocido en Trigonometría porque presentó 10 fórmulas prácticas para la resolución de triángulos esféricos rectángulos, conocidas como Reglas de Neper, las cuales se obtienen a partir del siguiente esquema

90°-Bjr" 90°-c

jb 90°-A

H enry Briggs (1561-1631) Matemático inglés, amigo de J. Napiers. Se unieron para la construcción de uná tabla logarítmicotrigonométrica, publicada por Henry Gellibrand (1597 - 1637), en su obra Trigonometría Británica. Un primer ejemplo de grado centesima] se halla en un manuscrito del año 1446. La subdivisión centesimal fue usada por Briggs. En tiempo de la Revolución Francesa se intentó implantar el sistema centesimal para la m edida de los ángulos. Y trabajaron en ello los grandes m atemáticos franceses Lagrange y Callet. 21

Trigonom etría

Lumbreras Editores

L eonardo Euler (1707- 1783) Suizo, aportó en la Astronomía (las órbitas globales, trayectorias de los cometas), en las ciencias físicas (los campos de naturaleza magnética, aerodinámica, óptica, ondulatoria de luz, etc.) y en la matemática. En esta última, contribuyó en todas las ramas de la Aritmética, en la Geometría del diferencial, análisis numérico y funcional. Realiza im portantísim os trabajos en Trigonom etría, investiga la trigonom etría esférica, aunque tam bién tuvo aportes en trigonometría rectilínea. Considera el radio del círculo trigonométrico igual a 1, define las seis razones trigonométricas como fundones del ángulo y las designa en forma en que aparece como una dependenda fúndonal. Sólo con este matemático comienza a tenerse una idea exacta de la variadón de las fundones seno, coseno. Utilizó Al para el aíro tangente en Scientia síve del mofas Mechanica. En 1770, Euler publica en alem án una introducción completa del Álgebra, donde explica plenamente los núm eros negativos y realiza un estudio definitivo del número real. A Euler se le debe la notación de jt, i para v - 1 ó r í = - l (desde 1727, el tenía sólo 20 años). La fórmula de Euler, que establece el lazo entre la Trigonometría, el exponencial y el análisis complejo, es

Resulta innegable la contribución de Euler al desarrollo dé la matemática. Sus estudios sobre trigonom etría esférica y rectilínea son fundamentales.

e“ = cosx -r ísenx El famoso número e, también conoddo como número de Euler tal que Lne=1, se establece también en la serie =l + x + -

x

x

3!

n!

Vincenzo Riccati (1707 - 1775) Introdujo las funciones hiperbólicas, utilizó sh y ch para el seno y el coseno hiperbólico. También se y cc para las funciones circulares. George S im ón Klügen (1739-1812) Matemático alemán. Introduce la denom inadón de funciones trigonométricas y posteriorm ente se usa la expresión fundones circulares. A braham de Moivre (1667-1754) De origen francés, pero nadonalizado inglés. Era miembro de la Soaedad Real desde 1697. Publica los trabajos en el libro Cálculo de las probabilidades. Era el introductorio de la trigonometría de las cantidades imaginarias. En 1730 introduce los números imaginarios en Trigonometría y establece la fórmula de De Moivre (cosB + isenS)" = cosn0 + isennQ Otro importante avance del análisis fue el estudio desarrollado por Joseph Fourier (1768-1830). Fourier en 1812 presenta las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Estas se conocen hoy como series de Fourier y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Durante los siglos XVI, XVII y XVIII la Trigonometría se configura prácticamente como es hoy. Por otra parte, el desarrollo de los estudios astronómicos, geodésicos, etc. y sus aplicaciones en la navegación y la técnica la convierten en una m ateria de alto interés práctico. 22

\

I

CAPÍTULO

Sistemas de medición anguiar y longitud de arco

I ..

■ ■ .... ..............I

Sector 1

; Sector 1 en cilindro 1

Ptato.,3

Pista 1

/

Pista 0

TRIGONOMETRÍA

l

.....

..........

..

■

—

'

"

“

”

*

................

“

—

~

\

Tecnología en discos duros El diseño de los discos que almacenan información está compuesto p o r uno o más platos, hechos de aluminio recubiertos poruña sustancia magnética por am bascarasy un radio aproximado de 4 cm. Cadadisco se encuentra dividido ¡ en 8 sectores circulares de igual área, por lo que a cada sector le corresponde un ángulo central de k/ 4 rad (sistema radial). La información será registrada en ‘ las llamadas pistas, las cuales son anillos circulares concéntricos.

MÉTODOS ANTIGUOS DE MEDIR LÍNEAS Y ÁNGULOSEN U N A CIRCUNFERENCIA

Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para m edir los ángulos determinados por varias estrellas. En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso papiro en el que se evidencia que los egipcios conocían, entré otras muchas cosas, que la circunferencia de un círculo es un núm ero fijo de veces su propio diámetro. Es un núm ero inconm ensurable que desde el siglo XVII es designado con la letra griega n . La medida de los ángulos que hoy nos es común, se rem o nta a f tiem p o de la Escuela de A lejandría en los p rin c ip io s de nuestra era . Los m atem áticos griegos de dicha escuela dividieron la circunferencia en 360 partes iguales, posiblemente copiando a los babilonios, llam ando a cada una de dichas partes una m oira. Esta palabra griega se tradujo en latín m edioevo como de gradas, "u n grado o paso a partir de". Así pues, nuestra palobro "grado" significa el Representación de Euclides quien, bajo el reinado prim er paso para determ inar la medida de un giro o de Tolomeo I, fundó la Escuela de Alejandría hacia revolución completa, es decir ^ de una revolución. el año 300 antes de nuestra era. 360 La siguiente etapa fue d iv id ir cada grado en sesenta partes ¡guales, a cada una de las cuales se le dio el nom bre de pars m inuta p rim a , 'p r im e r a p a rte m e n o r". De d ich o nom bre se deduce nuestra palabra "m inuto" (a b re v ia d a ) con un s ig n ific a d o d o b le de " p r im e r a p a rte m e n o r de u n g ra d o " o "p rim e ra parte m enor de una hora". Dicha pars m inuta prim a se dividió nuevamente en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibió el nom bre de pars m in uta secunda, "se gu nda parte m e n o r". De ahí se deriva nuestra palabra "segundo", (abreviada) con un doble significado de "segunda parte m enor de un gra do " o "segunda parte m enor de una h o ra ". Sexagesim us es la p a la b ra la tin a , correspondiente a sesentavo, po r tal razón e sta m e d id a a n g u la r se c o n o c e c o m o sexagesimal. En la práctica, se toma por unidad Las bases de 200 metros de las pirámides eran exactas de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la hasta una o dos pulgadas. Los hombres que supervisaban 360va. parte de la circunferencia o grado. Desde las operaciones de la construcción lograban esta exactitud luego los ángulos pueden tam bién medirse de usando estaquillas y lienzas para calcular un ángulo recto dos maneras: en ángulos rectos o fracciones de preciso. Logrado esto se clavan postes en la tierra para ángulos rectos, o en grados, minutos y segundos, señalar el área del lugar de la construcción. pudiendo fácilmente pasarse de una a otra de estas medidas. *

]

j ! j

í

Sistemas de medición.— : ---- 7— -/angular y longitud de arco OBJETIVOS

• • • •

Diferenciar el ángulo com o figura geom étrica y el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice), todo ello en un mismo plano. Conocer las principales unidades de m edición angular. Aplicar la m edida en radianes de un ángulo para calcular la longitud de un arco y el área de un sector circular. Establecer una relación para el núm ero de vueltas y el ángulo girado por una rueda, disco, polea, engranaje, etc.

INTRODUCCION

En la v id a c o tid ia n a , es c o m ú n ver el m ovim iento de las m anecillas de un reloj, el radio de la rueda de una bicicleta, la hélice de un helicóptero, etc., los cuales nos dan la idea de ángulo generado que presenta características dinám icas. Dicho concepto será aplicado en capítulos posteriores, com o por ejemplo, en la representación de ángulos en posición normal, arc o s en la circ u n fe re n cia trig o n o m étrica y rotación de ejes. Sin em bargo, para indicar la m edida de un ángulo, es n ecesario asignarle ciertas unidades, ya sea grados o radianes. Los grados tienen utilidad diversa en la resolución de triángulos, topografía, coordenadas geográficas, etc.; p ero en física, m a te m á tic a su p e rio r e Figura l . l ingeniería, es insuficiente tener ángulos en grados, de allí la im portancia de expresarlos en radianes. Instrumentos náuticos. De arriba hada abajo: un compás, reglas paralelas La lectura de ía página 24 explicaaquello y a la vez paro trazar líneas direccionales sobre la carta, compás de división, nos invita a formularnos preguntas tales como ¿Qué transportador para medir ángulos y sextante. es un sector circular?, ¿qué es un ángulo central?, ¿qué es sistema radial?, etc. Para averiguar la respuesta a estas y otras interrogantes le invitamos a que nos acom pañe en el desarrollo del presente capítulo.

Trigonom etría

Lumbreras Editores

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO______________________ ' ____________ __________ _______ Con la finalidad de estudiar el ángulo trigonométrico es necesario conocer el concepto de rayo. El rayo es un a parte de la recta limitada de un extrem o por un punto llamado origen e ilimitada en el otro extrem o. A continuación sugerimos que observe la figura 1.2. Notación: OA O

A

(1° cual usted leerá com o rayo OA)

Figura 1 3

v

Es conveniente indicar el ángulo trigonométrico, tom ando en cuenta su am plitud y orientación. El ángulo trigonométrico es generado por la rotación de un rayo en un plano alrededor de un punto fijo, denom inado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) a una posición final (lado final). En la figura 1.3 el rayo OA gira hasta la p o sició n OA' e n el se n tid o m o strad o generando así el ángulo trigonométrico a , no debe olvidar que esta rotación de giro se realiza en el plano P La letra P que se halla en la parte inferior izquierda indica que la región som breada representa a un plano de nom bre P.

Ángulos Positivos y Ángulos N egativos Por convención se generan ángulos positivos cuando el rayo gira en sentido contrario del movimiento d e las manecillas del reloj (sentido antihorario); el giro del rayo en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj (sentido horario) generará ángulos negativos. En la figura 1.4 se gráfica lo mencionado. b ) Giro H orario

a ) Giro Antihorario

Figura 1

La m agnitud tom ada en c u a lq u ie r d irec ció n d e rotación del rayo q u e g e n e ra un ángulo trigonométrico, asum e cualquier valor num érico puesto que dicho rayo p u ed e ser rotado en sentido positivo o negativo tal como se quiera. 26

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

C A P ÍTU LO I

Antes de hacer girar un rayo, la m edida del ángulo e s cero, a m edida que éste gira en sentido antihorario (figura 1.5) se generan ángulos cada vez mayores. Para entender aquello, observe con detalle la secu en cia de cuánto ha rotado cada ángulo, notando que va en aum ento al pasar de a a ¡3, de p a 0 y finalmente d e 0 a y , aunque esto p u ede seguir aum entando.

Figura 1.5 Luego de observar estas gráficas p odem os entender ahora la siguiente desigualdad: O c o «-

|1

Observación

'■

.

■

____

_____________

___

Com o el ángulo trigonométrico se genera por la rotación d e un rayo, entonces d esd e este punto de vista, el ángulo d e una vuelta ( “ - = 6-6666 © ^ =>

20s

3

g

m

144° + 0,3°+0,0097°

s20

*

= 68 + 6 6 m + 67s

144°18'35" = 144,3097°

208

— = 6866m67s

«)

(2,003)8 = 2,00 30 = 28 + 0m + 3 0 ’ g m

s

lra d = lra d M = ^ '

^tirad J

(2,003)s = 2 830s

iii) (1,974)* = ^ , 9740 = l s + 9 7 m + 4 0 s g

m

s

(1,974)8 = l 897m 40s

**

n

Considerando n = 3 ,14159 se tiene 1 rad = 57,296° Ahora 1 rad en grados, minutos y segu n d os sex a g esim a les (usando calculadora) sería 1 rad = 57°17‘44,8" con error menor d e una centésima de segundo.

33

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Ejemplo 7

Observadón

Exprese el ángulo 1,5 rad a grados (notación decim al)

• Cuando dos ángulos trigonométricos tienen la m ism a

ám plitud

de

rotación

pero

orientaciones contrarias, e n to n c e s estos

Resolución

ángulos tienen diferente signo.

1,5 rad = 1,5(1 rad) = 1,5(57,296°) = 85,944° .-.1,5 rad=85,944°

Ejemplo

Ejemplo 8 Elxprese el ángulo 3 rad a grados, m inutos y segundos sexagesim ales. (a)

Resolución 3 rad = 3(1 rad) = 3(57°17'44,8")

(b)

•

3 rad =3(57°+17'+44,8') = 171°+ 5r+ 134,4" 120' + 14.4"

3 rad = 171°+53' +14,4" 3 rad = 171°53'14,4"

Ejemplo 9 Figura 1.14

E x p rese a e n g ra d o s m in u to s y s e g u n d o s sexagesim ales, siendo a = 9 Í — )rad

• En Geom etría e x isten p rop ied ad es para ángulos, entonces para aplicar cualquiera de

Resolución

esta s

Convirtiendo 1° a grados centesim ales

trigonom étricos, e sto s deberán tener en

a =9

r v ( 10s

p ro p ied a d es

a

los

ángulos

primer lugar una misma orientación (o un mismo sentido de rotación).

rad=10 rad

Ejemplo 10 a = 10(57°17'44,8") = 10(57° + 17'+44,8")

De la figura 1.15, ¿qué alternativa es correcta?

a = 570°+ 170; + 448',' 120 +50 '

420 - + 28 "

a = 570° + 2° + 50'+ 7’ + 28" = 572° + 57’+ 28"

a = 572°57'28"

34

a.

a + p = 90°

b.

a - P = 90°

c.

p - a = 90°

d.

- a - P = 90°

e.

P = -2 a

Sistemas de m edición angular y longitud d e arco

C A P ÍTU L O I

R esolución

Ejemplo 11

Cambiando a (3 a su respectivo sentido opuesto

a.

Convierta 800 mil a grados sexagesim ales.

(ver figura 1.16), en ton ces, en dicha figura se

b.

Convierta 400° a mil.

c.

„ . . 37trad Convierta — -— a mu.

a p r e c ia q u e lo s á n g u lo s tr ig o n o m é tr ic o s a,~P y 90°

tie n e n

la

m ism a

o r ie n ta c ió n

(antihorario), por lo que p od em os plantear que

Resolución G + ( - p) = 90°

a -p = 9 0 °

a.

C om o 1600 mil = 90° 90°

=> 800 mil = 800 x ——-— - = 45° 1600 mil b.

400° = 400° x

1600 mil 90°

400° = ^ m i l = 7 1 1 1 , l l mil

Nota Historna Rara usos militares se utiliza una unidad angular que fue adoptada debido a que permite un cálculo fácil, rápido y preciso de distancias relativamente grandes, com o es el caso de blancos para tiro de artillería Tal unidad es la llamada milésima o mil (símbolo: mil) que se consideró ser el ángulo central que subtiende un arco circular de una unidad lineal de longitud a una distancia de 1000 unidades lineales. Tal medida corresponde a lrev=2 jt 1000 unidades de esta clase, pero 1rev=6283,18 . . . . no es un valor numérico simple ni fácil de utilizar. De modo que se eligió 6400. En consecuencia:

c.

3itrad 4

3ítrad 3200 mil . . . . .. = — - — x -------- — = 2400 mil 4 n rad

Ángulos Cotorm inalos Es im portante observar q u e hay m u c h o s án gu los diferen tes q u e tien en e l m ism o lado inicial, lado terminal y m ism o vértice. A cualquier par d e e s t o s á n g u lo s s e le s lla m a á n g u lo s coterm inales.

1 mil = —— de revolución 6400 Por lo tanto 6400 mil= 2rt; 3200 mil=rt ; 1600 m il= ^ La artillería del ejército suizo empezó a utilizar la milésima en 1864. Francia la adoptó en 1879, y el ejército de ios Estados Unidos en 1900. El uso militar de esta unidad es para dirigir el fuego de artillería, determinar el alcance y efectuar correcciones de tiro. Los observadores em plean a m enudo binoculares con escalas interconstruidas para medir milésimas entre objetos situados en el campo visual.

35

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Trig o n o m e tría

Los infinitos ángulos coterm inales a 0 se obtienen con la expresión 360°K+ 0 , donde K e s un

n ú m ero

(K = 0, ±L ± 2 ,...) .

en te r o

c u a lq u ie r a * 30 grados sexagesimales

Por ejem plo, e n la figura

(b)

1.17(a), (3 e s coterm inal con 0 y se o b tien e cuando K=2. Es decir {3 = 36O°x2 + 0

Figura 1.18

Así análogam ente los infinitos ángulos a

Teorema

coterm inales a -120° se obtienen por la expresión siguiente 360°K+(-120°); K=0, ±1, ± 2 , ± 3 , . . . Por ejem plo 240° es coterminal con (-120°) y se obtiene cuando K=1 (figura 1.17(b))

Aplicación La palabra radián se co m p ren d e au n si n o

En la figura 1.19 se m uestra un ángulo trigonométrico a , tal que sus medidas en los tres sistemas estudiados son S°, Cs y Rrad, las cuales, al representar la medida de un mismo ángulo, resultan ser equivalentes. Entonces se verifica la siguiente fórmula:

_S__ JL = J1

aparece escrita. No es el caso con la m edida en

180

grados; su unidad siem pre se d e b e incluir. El siguiente ejem plo enfatiza la diferencia entre estas

200

ji

De la fórmula anterior se deducé que

d os m edidas angulares.

S = C^ . J ^ = J3 . _C^ = _R ?

10 ’ 180

n ’ 200

Tí

Ejemplo Compare el ángulo de 30 (o 30 rad) co n el d e 30° (considere n = 3 , 1 4 )

donde S: número de grados sexagesimales de a. C: número de grados centesimales de a. R: número de radianes de a.

Resolución Del ángulo 30 ó 30 rad (figura 1.18 (a)) se obtiene cu a tr o r e v o lu c io n e s c o n se c u tiv a s d e l la d o terminad más 4,88 adicionales. Luego el ángulo d e 30 ó 30 rad e s coterminal con el ángulo de 4,88 ó 4,88 rad. 30 rad = 30 = 4 (2 n )+ 4 ,8 8 y el ángulo de 30° aparece en la figura 1.18( b) 4,88 rad

Demostración C om o S°=CS = R rad Dividiendo por la m < IV S° Cs R rad => ---------=----------=--------m 0 = g en radianes. En la figura 1.27, ! representa la longitud recorrida por la punta del péndulo en un segundo. Así, por fórmula

El término círculo y área de sector, es frecuente en elem entos de máquina. En la figura 1.29 se observa una m esa divisora circular, que en un torno determina el avance y la velocidad de corte.

( = 0r => C= - x 2 0 cm 8*

*

O TI

(= — cm

Considerando Jt = 3,14 se tiene que C= 7,85cm 42

Figura 1.29 Mesa Divisora Circular

C A P ÍTU L O 1

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

Ejemplo 1 Calcule el área de la región que determ ina el borde inferior de una puerta de “va y ven” al girar un ángulo de 135°, sabiendo que dicho borde m ide 112 cm (considere Jt = 3,14)

Ángulo Girado ó Barrido por una Rueda ¿Cuál es el núm ero de vueltas qu e d a una rueda de la bicicleta?

Resolución En la figura 1.30 se ha graficado la puerta en giro. Datos del sector circular r = 112 cm 3 n rad Orad = 135°= Aplicando la fórmula

(a)

Supóngase qu e una rueda d e radio r gira una tray ecto ria re c ta co m o en la figura 1.33(b). Entonces el centro de la rueda tam bién se mueve en línea recta.

S= ^ 6 r2 2

Sustituyendo datos U 3k ;(112)2 2( 4 \ ( 3x3,14 (112)2 S= 2

A i •(= flr

Efectuando S = 14 770,56 cm 2 Ejemplo 2 Exprese el área de un trapecio circular en función de la longitud de sus áreas y el ángulo central. Resolución Considerando 0 (en radianes) com o el ángulo central de los arcos f, y , (ver figura 1.31), tenemos

Figura 1.31

Se deja para el lector, la dem ostración del área d e un trapecio en función de sus lados. De la figura 1.32 se cumple s= [ ! ± i

Figura 1.32

B ,

(b) A m edida que la rueda gira, un radio genera un ángulo 0. Cuando el ángulo generado es d e 27t, la rueda ta m b ié n se m u ev e u n a d ista n c ia igual a su perím etro, es decir í = 2nr.

Figura 1.33

Entonces observam os que cuando el centro de la rueda avanza un a longitud igual a 27tr, la rueda ha dado u na vuelta (ver figura 1.33 (c)). Luego para saber el número (n) de vueltas que dará la rueda de radio r, en una pista horizontal, cuando su centro se desplaza u n a longitud (, aplicamos una regla de tres simple; así 1 puerta _ nycueltas 27tr P

De donde n = - — 2nr 43

Trigonom etría

Lumbreras Editores •

v •

!>■ —...Observación —---------- :_

posición

posición

(1)

(2)

posición posición

posición

(3) (4) ' (5) ----- 2rrr -

posición

(6)

figura 1.34

En la figura 1.34 se tiene una rueda que se desplaza sobre una pista horizontal, la curva entrecortada es la trayectoria que sigue el punto A de la rueda, que en la posición (1) toca el piso. A medida que la rueda avanza sin resbalar, ésta gira distintos ángulos, así: • De la posición (1) a la posición (2) la rueda gira un ángulo a . • De la posición (1) a la posición (3) la rueda gira un ángulo p . • De la posición (1) a la posición (4) la rueda gira un ángulo 180°. • De la posición (1) a la posición (5) la rueda gira un ángulo e . • De la posición (1) a la posición (6) la rueda gira un ángulo de 360°. En la posición (4) el punto A alcanza su máxima altura (en esta posición (4) la rueda ha dado media vuelta con respecto a la posición (1)). En la posición (6) el punto A vuelve a tocar el piso otra vez; entonces de la posición (1) a la posición (6) la rueda ha dado una vuelta (porque el ángulo girado por la rueda es 360°).

La cicloide La cicloide es la curva g e n e ra d a por el m o v im iento de un p u n to d a d o e n u n a circunferencia cuando ésta gira sin deslizarse sobre el eje x. Por ejemplo se pone un pequeño foco en el borde de una llanta de bicicleta, entonces la curva descrita por la luz del foco cuando la bicicleta va desplazándose es la cicloide.

Como la posición del punto P depende del ángulo girado e y la constante r (radio de la rueda), en to n ces las e c u a c io n e s p aram étricas de la cicloide serán: x= r(0-sen0)

; y = r(l-co s0 )

Número de Vueltas En forma general, el núm ero de vueltas que da una rueda sobre cualquier terreno se calcula m ediante la siguiente fórmula

44

C A P ÍTU L O I

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

Donde: •_ nv : • •

núm ero de vueltas que da la rueda al desplazarse, desde A hacia B. 'c : longitud recorrida por el centro de la rueda. r : radio de la rueda.

jjS ^ -

La distancia recorrida por cualquier punto en la rueda nos da la longitud del arco recorrido por dicho punto, el cual adem ás es igual a la longitud recorrida por el centro de la rueda. Imaginemos que una cuerda está enrollada alrededor de la rueda y que se desenrrolla a m edida que la rueda se desplaza. De la figura 1.37 se observa Ce = 1Im = 1100 cm => r= 2 5 cm Por la fórmula h. 1100 firú nv= ^ ™------------••• n v = 7 2m 2x — x25prn 7 Ejemplo 2

O b s e r v a c ió n

También podem os plantear qiie la longitud reco rrid a por el ce n tro de la ru e d a Cc al desplazarse de A hacia B (véase figura 1.36) es cc = egr

Donde 6g es el ángulo girado por la rueda y r es el radio de dicha rueda. En consec renda, para cálculo del ángulo girado 6g por una rueda de radio r tendremos las fórmulas: 0g= — ó 9g= nv x27i (En ambas fórmulas 6g está expresado en radianes)

La figura 1 .38(a) m u e s tra un tra b a ja d o r tran sp o rtan d o u n barril de pintura que d eb e desplazarse sin resbalar por la pista desde A hasta C. Si O, y 0 2 son centros de las pistas circulares, calcule el núm ero de vueltas que da el barril en el trayecto d e A hasta C.

Ejemplo í Calcule el núm ero de vueltas que recorre una de las ruedas de un auto, en una pista horizontal, a! desplazarse 11 m. Además el radio de una de las ruedas es 25 crn. Considere t: =

22

Figura 1.37

45

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Cuando el barril se desplaza sobre la pista AC; se generan sectores circulares con centro en O, y 0 2 de radios 15r y 25r, respectivam ente; luego la longitud (Ce) que describe el centro de la rueda de .radio r es Cc = ^(15r) + |( 2 5 r ) Cálculo del núm ero de vueltas

- -?£v 2nr I(1 5 r) + Í(2 5 r) n ..= 2______ 2____ 2jtr 5(40r)

Así Ce = CS En el sector circular AOB de la figura 1.3 9 (b \ tenemos . ^

20 ji = ~3~ m

2jt 20 ti = — x 10 m = ---- m = 3

3

Cálculo del ángulo girado 20n — t -r-n i 0 = — = —2----- :

n. _= 2_

2rtr

r

/. nv=10

2 0 0 ji

0,3 m

lo cual indica que el ángulo girado es

Ejemplo 3

200n rad ó 4000° ~9 Poleas y Engranajes En los engranajes se d en o m in an ru ed a s motrices o conductoras a las que transm iten la fuerza, en tanto qu e las otras se d en o m in an ruedas impulsadas o conducidas.

En la figura 1.39 (a) se m uestra un ciclista que se desplaza por una autopista de ancho 6 m, desde A hasta B. Si el c ic lista re c o rre so b re lo s s e g m e n to s direccionales de la autopista, calcule el ángulo girado por la rueda delantera si la longitud de su radio es 30 cm. Motriz R esolu ción

Si sólo analizam os para la ru ed a delantera la gráfica correspondiente en la autopista. Ahora considerando que la rueda es perpendicular a la pista en todo el recorrido (véase figura 1,39(b)), se cumplirá que la longitud recorrida por el centro d e la rueda será igual a la longitud del arco AB.

46

Figura 1.40

Conducida

Dos ruedas dentadas como Ay B (figura 1.40) que tienen el mismo núm ero de dientes giran con la misma rapidez. Supongamos que A es la rueda motriz y B la conducida. Si A gira en el sentido de las agujas del reloj, esto es en la d irecció n indicada por la flecha; B girará en sentido opuesto.

C A P ÍTU LO I

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

Supongam os que cada rueda tiene 20 dientes. Cuando gira A, cada uno de sus dientes pasa por el punto C y engrana con un diente de B. Cuando A ha dado una vuelta com pleta, esto es, cuando sus 20 dientes han pasado por el punto C éstos habrán engranado con 20 dientes de B y éste habrá dado tam bién una vuelta com pleta

Cum pliéndose => 0, r = 02R =* w ,r = vv2R(W] y w 2:velocidades angulares) => n,r = n 2R(n, y n2:número de vueltas) Si A y B fu ero n en g ra n a je s, se te n d rá q u e : (n ú m e ro d e d ie n te s d e A) w , = (n ú m e ro d e dientes de B)w2. A: Rueda m enor

B: Rueda mayor

Ejemplo 1 Dos ruedas que engranan tienen 40 y 60 dientes, respectivam ente. Si la rapidez d e la rueda m ás pequeña es d e 120rpm (revoluciones por minuto) ¿Cuál será la rapidez d e la rueda mayor?

Resolución Pero si A tiene 20 dientes y B tiene 40 (figura 1.41); en una vuelta com pleta de A sus 20 dientes habrán p asado por C y habrán engranado con 20 dientes d e B. Pero com o B tiene 40 dientes, A tendrá qu e dar dos vueltas com pletas para que B de una. Con este caso se dice que la relación de . velocidades es de 1 a 2; esto es, una revolución de B corresponde a 2 revoluciones de A. Si A tuviera 20 dientes y B tuviera 60, A efectuaría 3 revoluciones m ientras B realizaría una, las ruedas tendrían una relación de velocidades de 3 a 1 en cada caso la rueda m ás pequeña es la que gira con mayor rapidez y la mayor es la m ás lenta. Entre las velocidades de las ruedas dentadas y el núm ero de dientes hay una proporcionalidad inversa, e sto es, la velocidad de u n a ru e d a disminuye al aum entar el núm ero d e dientes. En la figura 1.42 se tie n e dos p o le as en contacto; si la polea A gira un ángulo 0, entonces B girará 02 .

Datos: W, = 120rpm d e rapidez de la rueda m enor N° de dientes de la rueda menor: 40 N° d e dientes d e la rueda mayor: 60 por fórmula: » d e dientes d e la rueda m enor

(40)

= # d e dientes d e la rueda m ayor

»('»>

(60)

w2

*(W¿)

.-. W2 = 80rpm

Ejemplo 2 En la figura 1.43 (a) s e tiene dos poleas d e radios r = 30 cm y R=50 cm , adem ás dichas poleas están unidas por una correa (o faja). Si la polea m enor gira 30°, e n el sen tid o indicado e n la figura, entonces calcule a. La longitud recorrida por los puntos P, Q y T. b. El ángulo girado por la polea mayor.

47

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Resolución

nRxR = ríx r nRx50= 35x30 nR =21. Esto significa que cuando la p o lea m enor gira 35 vueltas la mayor girará solo 21 vueltas. Ejemplo 4 En la figura 1.44 se tiene dos ru ed as de radios r = 15 cm v R=35 cm, dichas ruedas se encuentran u n id a s po r un eje. C alcu le las lo n g itu d es recorridas por los puntos P y Q cuando

La longitud recorrida por P, Q y T es la misma; si dicha longitud es ( (vea la figura 1.43 (b)) y com o el ángulo girado por la polea menor es 0. = 3 0 °= ^ 6 y suponiendo que el ángulo girado por la polea mayor fuese 02 , tendrem os que: •

En la polea m enor: l = 0,r

•

En la polea mayor: v = Q2R

En consecuencia: 0ir=02R Reem plazando datos: —x30 = 02x5O ángulo girado en radianes j por la polea mayor j

La longitud recorrida por P ó Q será: (= 0,x r= ^ x30 cm = 5jicm o

También se puede calcular como: { = 02R ¿ =— i n x50 cm =5!t cm Ejemplo 3 De la figura 1.43 (a) calcule el núm ero de vueltas que da la polea mayor(n„) cuando la polea m enor d a 35 vueltas(R=50 cm ; r=30 cm). Resolución Sea n el número de vueltas que da la polea menor. En este caso se cumple 48

a. La rueda m enor gira 120° b. La rueda mayor gira 510° c. Las ruedas giran 10 vueltas Resolución En el caso de la figura 1.44 se debe tener presente que los ángulos girados por las ruedas resultan ser iguales, así si la rueda m enor gira 120° la rueda mayor también girará 120°. También el número de vueltas que dan las ruedas es la misma. [ longitud W m edida en radianes a i recorrida por P ¡ ^ ^ ej < gjracjo por la rueda { longitud

^

120°x—í —|15cm 180° J

Í recorrida por P j ( longitud i recorrida por Pj

lOncm = 31,4 cm

Análogamente, (Longitud recorrida por Q )= í I20.°x—— 135 cm ( 180°j 70 (Longitud recorrida por Q )= — Ttcm=73.3 cm

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

C A P ÍTU L O I

b. (Longitud recorrida por P)= ^ 510o x

j15 cm

(Longitud recorrida por P) = 135,45 cm (Longi tud recorrida por Q )= I 510o x —— ¡35 cm ^ 180° J

Ejemplo En el siguiente esquem a, ¿cuál es la velocidad del eje de la m áquina “si la velocidad del m otor es 1740 RPM? RPM (revoluciones por minuto)

(Longitud recorrida por Q) = 311,38 cm c. Si la ru eda gira 10 vueltas, la mayor también 10 vueltas así: (Longitud recorrida por P) = (10x2 n )x(15) cm (Longitud recorrida por P) = 300 rt cm (Longitud recorrida por P) = 9,42,48 cm (Longitud recorrida po r Q) = (10x2 ti )x(35) cm (Longitud recorrida por Q )= 720 « cm (Longitud recorrida por Q )= 2199,11 cm Ángulo Girado en Elementos de Máquina En m ecánica, se observa a m enudo diversos movim ientos que ejercen las m áquinas com o un torno, fresadora, cepilladora, taladro, etc, cuyo objetivo puede ser generar una pieza que sirva de repuesto a otra máquina. Estas m áquinas en su interior p o se en un conjunto de elem entos, com o poleas, fajas de transmisión, engranajes y ejes. En éste capítulo se analizan las relaciones e n tre su s áng u lo s de giro (revoluciones por m inuto). En el siguiente esq u em a se m uestra parte del funcionamiento de un tom o automático.

Resolución • Para las poleas a y b, tenem os n ara = rV b

=>nb = n a ^ .. .( l ) Como los elem entos b y c, están unidos por un eje, se tiene: n,.=nb ...(2) •

Para los engranajes c y d; tenem os: ncrc nd= n c .5L...(3) «d

Reem plazando (1) y (2) en (3)

Sustituyendo datos Figura 1.45 ( I ) m otor. (2 ) ca ja de cam bio, (3) fa ja de transmisión. (4) barra o eje. La velocidad o ángulo de giro depende de los elementos anteriores.

nd = 1 7 4 0 x -x — d 9 10 nd=406 RPM 49

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Trigonom etría

M ed ició n de la D is ta n c ia e n tre Dos 'Puntos Sobre la Tierra S ean d os p u n to s A y B so b re la T ierra (ver figura 1.47 (a)). La longitud AB se mide so b re la circ u n fe re n cia m áxim a (su ce n tro co in cid e con el ce n tro d e la Tierra O). Se considera que el radio de la Tierra es igual a 6371 km, aproxim adam ente.

Cálculo del ángulo central, por regla de tres simple 2iirad ----- -> 24 horas 6rad ------ > 2 horas Luego 0 rad x 24 horas =2r. rad x 2 horas

En el sector circular AOB ( = ^x6371 km 6 C= 3335,85 km

i ;» ^

O b s e r v a c ió n

Si el ángulo central es relativamente pequeño, se puede tomar la longitud del arco como un valor aproxim ado de la longitud d e la cu erd a correspondiente. Así en el sector circular AOB tenemos {= AB

Si el ángulo central 0 está en radianes se tiene: C= 0.r Com o ejem plo podem os calcular la distancia entre dos ciudades ubicadas en la línea ecuatorial, cuya diferencia horaria es de 2 horas (vea la figura 1-47 (b)).

Ejemplo Desde el ojo de un guardabosque, un árbol que se halla a 400 m subtiende un ángulo de 2°, ¿cuál es la altura aproximada del árbol? Resolución

(b) Figura i.48 Figura 1.47

Nota

„

________

■

La Tierra gira alre d ed o r de su eje 2 ti rad aproximadamente en 24 horas.

50

Tirad como el ángulo 9Ó~ dado es muy pequeño. Entonces la altura del árbol es aproximadamente a ta longitud del arco ?. 4071 n = ( — x400m n=— m 90 9 Del gráfico, tenemos 2° =

C A P ÍTU LO I

;:L

'

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

LOS H U S O S H O R A R IO S D e bid o a la m oderna fa cilid a d de com unicaciones se ha acordado u n ifica r las horas en todo el m undo. A tal fin se ha d ivid id o el g lo b o te rrá q u e o en 24 zonas, llam adas husos horarios. Cada huso tiene 15° de a m p litu d (lo ng itud geográfica). Este cálculo de 15o de lo ng itud geográfica lo podem os ob tene r a p a rtir de la siguiente aproxim ación: Considerem os que la Tierra realiza su m ovim ien to de rotación sobre su pro pio eje (1 vez: una vuelta com pleta) en 24 horas, entonces sobre la linea ecu atorial se tendría la siguiente relación Sobre la línea

Tiem po

ecu atorial 1 vuelto f e : "J

360°

-------- >

24 horas

-------- > 2 4 horas

fcSSSfr "í.-l1^-BgSraW

.

.

.

.

*• Lumbreras Editores

T rig o n o m e tría

E

jercicios

I.

Un círculo tiene un radio de 6 m, entonces el ángulo central que subtiende un arco para cad a uno de los siguientes casos será: 3 ji a) — m b) Tim c) 6 m d) 8 m

II.

Un círculo tiene un radio de 3 pies. Halle la longitud del arco subtendido por un ángulo central de a)

30°

b) 120°

4n c)y ra d

d) 5rad

VII. Un péndulo está'sujeto a un hilo de 40 cm de longitud y describe un arco de 54°. ¿Cuál es la longitud del arco descrito por el punto medio del hilo? VIII. Para un círculo de 6 cm de radio, el área de un sector circular es de 9 cm 2. Obtenga en radianes, el ángulo central de! sector. IX. Una polea con un diámetro de 36 cm, com o se muestra en la figura, se utiliza para levantar un bloque.

III. O btenga el radio del círculo en el cual un ángulo central de 210° subtiende un arco de a)

10 m

b) 4 m

c) 2itm

d) ^ m O

IV. Una cuerda esta enrollada alrededor de un cilindro de 4 pulgadas de radio. La cuerda com pleta 4,25 de circunferencia. i.Cuál es la longitud de la cuerda? V.

Dos poleas de 20 cm y 60 cm de diámetro, re sp e c tiv a m e n te , e s tá n u n id a s p o r u n a correa, com o se observa en la figura. Calcule la velocidad, en revoluciones por minuto, de la p o le a m ayor c u a n d o la m á s pequ eñ a gira a 240 re v o lu c io n e s po r minuto.

VI. El m in u tero d e un reloj tie n e 15 cm de longitud. ¿Cuál es la longitud que recorre su extrem o entre las 7:35 am y las 8:00 a.m.?

En los ejercicios II y IV se utilizan unidades de longitud, a veces no muy familiares para el lector. Por este motivo m o stram o s las siguientes equivalencias, que le permitirán tener una mejor aproximación. ¿A cuánto equivale una pulgada o un pie? 1 pulgada < > 2,54 cm 1 pie < > 0,3048 m 1 pie < > 12 pulgadas

R espuestas n rad I- a ) g H. a) f

nrad 6

6S b) 2ti pies

60 m IH.a) -

52

b)

b)

24 m 7n

c) 1 rad c) 4rcpies , 12m

c) y

4 rad d )3 d) 15 pies lm d) y

IV.

34 7t pulgadas

V.

VI.

(12,5) ítem

VII. 6 7tcm

VIII. 0,5 rad IX. a) 42ncm

b)

3rt cm —

80 rpm

Problemas Resueltos Problema 1

Problema 2

En la figura 1.49(a), se m u e stra los áng u lo s trigonométricos x, (3 y 0. Halle x en térm inos d e

De la figura, determ ine el valor d e (x-3y)

yPResolución

Resolución En la figura del problem a los ángulos (3y x tienen el m ism o se n tid o , m ien tras tie n e s e n tid o opuesto a estos. Entonces antes e operar sum as o restas p ara estos ángulos, es necesario que tengan el m ism o sentido, así cuando cam bia de sentido se obtiene -ó según la figura 1.49 (b).

O rdenando los sentidos de los ángulos se tiene

De la figura 1.50 (b), tenem os 90° + (-y8) + (18a:)' = 360° r-y8 + (18x)’ = 270° Figura 1.49

convirtiendo a grados

Como x, P y -ó tienen el mismo sentido, entonces entre ellos p odem os sum ar y restar, así x =

AOB + P .... (1)

360° = m ¿ AOB + (-ó).... (2) Restando (1) a (2) x - 360° = p - ( 4 ) .-. * = P + ó + 360°

cancelando los grados 3

3 = 270 10 10 -9y + 3x = 2700 -3y + x = 900 .-. x - 3y = 900 53

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Trigonom etría

Problema 3

Problema 5

Si un grado equis (l*) equivale a la 480ava. parte de una vuelta, ¿a cuántos grados equis equivale 5/4 d e radián?

El núm ero de grados sexagesim ales de un ángulo con el núm ero de grados centesim ales de otro ángulo están en la relación de 11 a 9, si adem ás el suplem ento de la sum a de dichos ángulos es 8,1°. Calcule la m edida del ángulo mayor en el sistem a circulen.

Resolución C ondición m < lv = 480* C om o

p id en

en

g rad os

e q u is

5 /4

rad,

consideram os

Resolución Sean los ángulos

< 1 vuelta = 2it rad así. 2 Tirad = 480* => 1 rad =

480*

2tt“

Finalmente

5

rad

5 ,,

5Í 480*1 300*

—

J ~ r 5rad 4

. .

300 Tt

■

,

.-. -----equivale a -— grados equis. Figura 1.51

Problema 4 Los ángulos internos de uiT pentágono son: 6x°,

m edidos en grados sexagesim ales y centesim ales respectivamente.

10x®, 7rra 180°-(a° + bs ) = — ; m ultiplicando por 10

+ 30° + 1508 = 540°

4 H o m o g e n iz a n d o u n id a d e s (to d o a g r a d o s sexagesim ales)

am b os miembros y h om ogen izan d o unidades, tendrem os

6x° + 10x!í — l+ írad( — l+30°+150sf -^1=540° l 10s J 4 l road J l 10s J

1800o - 1 0 a ° - 1 0 b s x

6x°+9xo+ 4 5 o+ 3 0 °+ 1 3 5 °= 5 4 0 °

„

15x = 330 .-. x = 22 54

rr;

=> 1 8 0 0 ° -8 1 ° = 10a° + 9b°

15x°+ 210°= 540° 15x°=330°

í 9o

1 7 1 9 = 10a + 9b ...(2) de (1)

Sistemas de medición angular y longitud de arco

CAPÍTULO I En (2)

Como

U b'

1719 = 10

+9b

•9

=> 1719 =

= x sym => x 8y m = 13850m

110b + 81b Se deduce que 191b

1719 =

x = 13, y = 50 >b =81

Finalmente, reem plazando en E

De (1) E=

a=99 Luego

m < AOB = 99°

5 0 -3 7 \

13

=» E = 1 - 1

m < A'0'B'=81S

E= 0

Como 99° = 99° x f 151 ] = 1108

Problema7

=>

Si la s

m m

K

2

3(9k)+5(1 Ok)=308 => k= 4 R = ^ ,e n t o n c e s 8 =

~

luego S ,=9k=9(4) .-. S,=36 Reem plazando en (2) ••• S2=54

luego r =

2ncm

n/20

.-. r = 4 0 cm

Problema22 Calcule el penm etro d e la región som breada. Si AOB e s un cuadrante, adem ás A y B so n centros

Por lo tanto, los ángulos serán 36° y 54°.

de los arcos OM y ON, respectivam ente. Dato: OA = 12 cm

Problema 21 S abiendo q u e el ángulo central de un se cto r circular (para sus núm eros convencionales) se relaciona d e la siguiente form a

Calcule la m edida del radio de dicho sector, si la longitud del arco que sostiene es 2rtcm. 61

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Trigonom etría

Resolución

Resolución Considerando AO=r => OD=2r

Sea x el perím etro de la región som breada => x = ( _ + ( _ + ON

NM

OM

.... (I)

Los A AOM y A BON son equiláteros de lado igual al radio del cuadrante (12 cm ). •

CD

(rt-0 )r= (2 + 2 0 )r jt-

0 = 2 + 20

i:- 2 = 30

En el sector circular NOM ,. 0 = ^ 3

En el sector circular MAO

Problema 24

(— = —x 12 cm = 4n cm

De la figura 1.56 (a) calcule la longitud recorrida por el extremo P de la cuerda AP, si ésta tiene una longitud exacta para envolver al trapecio sólo hasta el punto medio del lado DC. Datos: AB=DC=2BC=20cm

OM

3

Luego en 1 x = 4it cm + 27i cm + 4it cm .-. x = 10n cm

Problema 23 En la figura 1.55 (a) se m uestran los sectores circulares AOB y COD de perímetros equivalentes, calcule 0.

62

AB

r + i + (rr-0 )r = 2r + 2r + 0.2r

= —x l2 c m = 47tcm 3

C_ = - x l 2 c m = 2n cm nm 6 *

AO + OB + (_ = OD + OC + ( -

En el sector circular OBN on

*

Condición del problem a Perímetro del Perím etro del sector AOB sector COD

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

C A P ITU LO I

R esolución

R esolución

De la condición del problema: Figura 1.56

h - h - s \ s >B 5 s' 5 3 • j S2 = 3S,

De la figura 1.64 )a longitud recorrida por el punto P será:

Considerando, el ángulo central 0 (en radianes), luego

^TOTAL _ {PQ + CQÑ +

-(1 )

Condición del problem a AB = 2BC = DC = 20 cm => AB = 20 cm ; BC = 10 cm ; DC = 20 cm Luego del gráfico CM = Í0 cm ; BN = 20 cm ; AQ = 40 cm En (1) «total = " (4 0 c m )+ ^ ( 2 0 c m ) + ^ ( 1 0 cm ) 10

V u = 177lcm

4S

1

0r 0r = —— =» S, = —i 2

1

8

0 r; 0r3 9S, = => S, = —i 1 2 1 18

Problema 25

Igualando (1), (2) y (3)

De la figura 1.57(a) AOB, COD y EOF son sectores

0 r2 — 0rf2 _ 0 r;3 2 8 18 r 2 r2 =* r2 = r2 _ r 3 i 4 9

(2 )

(3) ;

i

s , S. p circulares. A dem ás -r- = = S(. D d ^ {_ ' í_ ' Calcule K = j a - - a . t_ C_ EF

AB

=>. ri =

r2 2

_ r3 3 63

Lumbreras Editores

Evaluando en K K

%

Trigo no m etría

Resolución

_

o K = 5/3 0r, 0r •i -3 ‘ 13 A partir de este problem a podem os -concluir la siguiente relación de áreas

Figura 1.58

Sea ON = r De la figura í 71 - a "1. r 2 Í 2 i

l^as áreas son proporcionales a los números impares. Y d e igual forma se puede verificar

'COD - S BOM S2 = l(ct)(3 r)2- l ( a ) ( 2 r ) 2 c _ Reemplazando S, y S2 en la condición S,I _ 1

L as á r e a s so n p ro p o rc io n a le s a los c u b o s consecutivos.

freMema26 Del gráfico m ostrado, AOB e s un cu a d ran te , determ ine el valor de a sabiendo que las áreas d e las regiones som breadas se relacionan de la siguiente m anera

64

— => 2S.i =S„2 s„2 2 2.1 fí-a )r2 =l(a)r2 => 2U .J 2

n

2

-

=2

resolviendo esta última ecuación obtenem os: rt a= — 7

Problema27 De la figura 1.59(a), calcule el área del sector circular AOB cuando la longitud del arco AB tom a su mínimo valor entero. A dem ás x e Z+ .

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

C A P ÍTU L O 1

R esolución De la figura 1.59(a); expresando el ángulo en radianes frtra d W m a d I 180° J 180

_ jrnrad 180

R esolución Considerando SA0B —S, entonces —2S, S^qp —3S Además sea .el ángulo central 0 (en radianes) y la longitud del arco CD se a x obtenem os

A Ve

Figura 1.60

Figura 1.59 Además

Aplicando la fórmula del área de un sector circular, en términos del arco y el ángulo central f2/20 . En el sector circular EOF 3S = —

=* S = i ........ ( 0

f = " 2 Ü L Y x— v 180 J U j 180 x 2 = 180 f (c o m o x e Z" y 5 es mínimo y entero

En sector circular COD 2S = — ........ (2)

=> x = 30 y 5 =5

Sustituyendo (1) en (2) 2

Luego, sea SA0B el área del sector circular AOB. S °AOB C AOB

-'

7t

71

20

0

x2

=> x2 = 4, de donde x = 2 v x = -2 , pero c o m o r es una longitud (d eb e ser positiva). x=2 u

_75 2 n U

Problema 28 En la fig u ra 1 .60(a) se tie n e a rc o s d e circunferencia AB, CD y EF con centro com ún en O, donde el área de los sectores circulares cumple SAOB= 5 cod _ ^EOF 2 3 Calcule la longitud del circo CD, si la del circo EF es \¡6 u. p

Problema29 De la figura, las ru ed a s d e radios r, y r2 giran alrededor d e la ru ed a d e radio r3 (rueda fija), en sentidos o p u esto s y con la m ism a velocidad. Calcule la relación del núm ero de vueltas entre dichas ruedas (r, y ,r2) hasta chocar por primera vez; sabiendo ad em ás que r, = lu ; r2 = 2u ; r3 = 3u. (Las ruedas r, y r2 no resbalan).

65

Lumbreras Editores

Trigonom etría

(b)

Figura 1.61

Figura 1.62

Entonces de la figura f = 8, r

De la figura 1.61 piden

A.

46 2nr, "i . 2tiQ) t2 5a 2jtr„ 2tt(2)

A = M ...(1) n„ 5a

Además, por condición las ruedas r, y r2 tienen la m ism a velocidad y, para un m ism o tiem po t, am bas ruedas han recorrido los m ism os espacios relativo a sus centros, es decir C, =«2 => ct(5) = 6(4) a

4

donde 8, es el ángulo girado por la rueda de radio r, cuando el disco de radio r3 gira 63 = 2n (dato) y c o m o los d is c o s d e ra d io s r2 y r3 e s tá n conectados por u na cadena, se cum ple 82 r2 = 83 r3 02 = e3 ~ .(2) r2 donde 62 es el ángulo girado por el disco de radio r2. Como la rueda d e radios r, y el disco d e radio r2 están conectados por un m ism o eje, se cumple 6, = 62 .... (3) (3) en (2)

Reem plazando (2) en (1)

6, = 83 h ....(4)

n' - 8Í 5 1 n 5\ 4 J

r2 (4) en (1) , 8, J — 3

2

3

r,1

Problema 30 En la figura 1.62(a) se m uestra el esquem a de la cad en a de transmisión de una bicicleta. ¿Qué longitud horizontal en m etros recorre la bicicleta por una revolución del disco de radio? 66

Reem plazando datos . „ ( lO cm ) f = 2n ------- 40 cm 4cm ) £ = 200rrcm = 628cm

Problemas propuestos 1.

Del gráfico, halle x en radianes.

A)

-< * -P -y

B )-a + P -y

d

O n 7 ir D) a - p - —

5.

„ 7n E )a + P --jr

Los án gu los internos de un heptágono se encuentran en progresión aritmética. Se sabe

D) — rad 90 2.

E ) ^ í rad 90

que su ángulo intermedio (en la progresión) e s equivalente a a sPmós . Calcule p + -a,

Del siguiente gráfico

aproxim adam ente. A ) -1 6

B) -1 5

D) 17 6. A) -28° D) -26°

B) -22°

O -20° E) -25°

E ) 14

Del 'gráfico, halle el valor de a, cuando P tom a su m ínim o valor entero.

A)

116°

B) 122°

D) 119° 7. 4.

Halle x, en términos d e a y P ; a partir del siguiente gráfico

C) 16

, ,

..

^H 18° E) 121°

Se tiene d o s ángulos donde la sum a en el sistem a sexagesim al es 81° y su diferencia en el sistem a centesim al e s 3O3. Calcule dichos ángulos en el sistem a radial.

A)

7t 3rt

12’ IT

D) - • — 5 ’ 10

rr . jt

3n

k

B) Tó’ ¥ c) T- lo 20 ’ To 67

Lumbreras Editores

8.

Si se id e a un nuevo sistem a de m e d id a angular d onde una vuelta equivale a 300 grados de dicho sistema y a su vez cada grado posee 20 minutos y cada minuto 20 segundos, ¿a cu á n to s seg u n d o s del nuevo siste m a equivale un segundo centesimal? _3_ 100 D)

9.

T rigonom etría

100

i

B) 100 E) «

1

com etido un error de 0,0092 nrad al escribir a' en lugar de a™?. B) 2,14®

A) 120 D) 160 k 81

sum a e s 180° y su diferencia e s d e ia forma

kjr

— rad ; k e Z. Calcule a + b , com prendido entre 190 y 200.

B) 142

C)150 E) 130

L 250

a d e m á s k r e p re s e n ta los n ú m e ro s d e segundos sexagesimales y L los núm eros de seg u n d o s c e n te sim a le s p a ra u n m ism o ángulo. Calcule L, si la m edida del ángulo es de

’fe) 195

1 E ) 4-9

14 Si — = ----

10 . a° y b* son las m edidas d e dos ánguíos cuya

A) 192

1 C) 32

13. ¿A cuántos minutos centesim ales equivalen 81 minutos sexagesimales?

C) 3,12*

^E>2,1*

D) 2,163

1 B) 88

40

¿Cuánto m ide un ángulo en el cual s e ha

A) 3,1®

1 A) 8! 1 °> 7l

50

x ÍCt , XQ*3

12. El número de grudos equis d e cierto ángulo es igual cMasemidiferencia entre n veces su n ú m e ro de grad o s s e x a g e s im a le s y el c u á d ru p le d e su n ú m e ro d e ra d ia n e s. Entonces halle un grado equis en radianes.

A TJ 25

C) 196

D) 198

A) 1 200 D ÍA 000

E) 199

B) 3 200

C) 4 500 E) 2 700

11. Se m ide un ángulo trigonom étrico e n e l sentido horario y se observa lo siguiente: el

15. Dada la igualdad

cocien te entre la diferencia y la su m a del

n +m _R 2

núm ero

n -m

de

g rad os

s e x a g e s im a le s

y

cen tesim a les e s igual al c o cie n te entre el número d e radianes y 5 n . Encuentre el valor del ángulo en sexagesim ales.

23

1

donde m, n y R representan el núm ero de minutos sexagesim ales, núm ero d e minutos centesim ales y núm ero de radianes de un m ism o ángulo, respectivam ente. Calcule el

O O

§s A) ~

19 400° 17ji

68

800°

400°

B) “ T tíT

C) ~"Í9n 900°

E) - T

dT

m enor ángulo en radianes que cum ple dicha condición.

A )-12 D) - 8

B) -14

c)-io E )-6

C A P ÍTU LO I

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

16. Siendo S y C ios núm eros que expresan la m edida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimales y centesim al que cum ple S C , C S -------< 7< — + — 2 3 2 3 Halle N=RmSi Rm y R„, son los núm eros de radianes del mayor y m enor ángulo respectivam ente que satisfacen la relación anterior y ad em ás S y C son núm eros enteros.

A)

3n 10

20. Un estu d ian te observó qu e el núm ero d e g rad o s se x a g e sim a le s S y el n ú m e ro d e g ra d o s c e n te s im a le s C d el án g u lo q u e form aban las agujas d e un reloj (horario y m inutero) estab an expresados por S = ( x + y f - 2 x y , C = (x+y)(x-y). Entonces la hora que indicaba el reloj podría ser A ) 4:15p.m . B) 2:100/11 p.m. C) 4:30 p.m. D) 3:180/11 p.m. E) 1:00 p.m. 21. En el gráfico adjunto, AOB y ROP son sectores

17. Al m edir un ángulo generado en el sentido antihorario, se observó que los núm eros que rep resen tan sus m edid as en los sistem as convencionales se relacionan e n la forma siguiente: el doble del m enor núm ero m ás el triple del núm ero intermedio es 1912. Calcule la m edida de dicho ángulo en radianes. (Dato: re =22/7) A) 118 rad D) 52 rad

B) 11 rad

C) 48 rad E) 64 rad

18. S y C son lo convencional. Además S"*" 1= 3_;> * Calcule M = VC+10

Vs^9v

A) 3 D) 7/2

-V C + 6

B) 4

circulares. Halle el área de la región sombreada si las longitudes de los arcos QS y TB son com o 2 es a 3, adem ás O y Q son centros; OQ = 2 cm.

fF~.iv ’w S-*-7 ’L

C) 5 E) 8

19. S y C son ló convencional y son núm eros enteros, adem ás se cum ple

22. Calcule el núm ero de vueltas realizada p o rta ru ed a ideal de radio r ; (r = 1); al recorrer por p r im e ra v ez el p e rím e tro d e la re g ió n som breada, siendo dicho perím etro igual a 5 ir m. A) 1/2 B) 3/2

V lO -S

n/ C

-9

] p ) 5/2

Calcule k= C s-9 - Sc_1° A) 9 D) 0

B) -1

D) 7/2 C)1 E) 2

E) 9/2 O

B

69

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría 71 -

23. Halle la m edida del ángulo central de un ' sector circular, sabiendo que la longitud de arco de dicho sector es igual al perím etro de la circunferencia inscrita en dicho sector. A) 5 rad 3

B) 5 rad 2

D) n rad

C)

6

4

r

7T

D)

16

•>

r

71

B)

8

o r

2

C)

2

E)

*

TI • ~ r

6

71 ----- j

20

rad 28.

E) Z í rad

Siendo O centro de ios sectores circulares x AOB y COD. Halle — , si § expresa área

y

6

24. Dos ciudades M y N s e encuentran situadas sobre la línea ecuatorial. Cuando en M son las 9:00 am; en N son las 10:12 am. Calcule la distancia entre dichas ciudades (asum ir radio terrestre 6 300 km) A) 6307t km D) 90rckm

B) 3l5 n km C) 210n km E) 540nkm

25. Se tie n e u n se cto r circular d e radio R y perím etro 15R/7, ¿cuánto hay que aum entar el ángulo central de dicho sector, para que su perím etro no varíe, si su radio disminuye en la m itad del anterior7 A)

rad 7 „ 10 D) y rad

B) - rad 7

C) — rad 7 y f ra d

26. Los radios de las ruedas de una bicicleta son: ( x + l)m y (x -l)m . Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la m enor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas? A) 1 vuelta D) 7 vueltas

^ 3 vueltas

29.

Si AOB y la rueda de centro O' están en un mismo plano. Determine el ángulo girado por este último tal que recorra internam ente el perímetro de AOB por primera vez. (Dato: R=3r=3)

C) 5 vueltas E) 9 vueltas

27. De la figura ca lcu le el á re a s o m b re a d a (AOB: sector circular); siendo MN=4. A ’

¡ x

/ 1 \

\

D) 1 rad

E )K /3+2-H rad

C A P ÍTU LO I

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

30. Se tiene el sector circular AOB, con centro en O, internam ente se traza el sector CBD con centro en B (D en OB y C en AB), tal que OD = DB y ígg +

=

. Determine la

m edida del radio del sector AOB si su área

34. En el sistema de poleas m ostrado, calcule el ángulo girado por la p o lea A (en grados sexagesim ales) si la persona desenrrolla un m etro de cuerda. Datos: r, =30 cm r2= 4 0 cm r3= 2 0 c m

e s | l + 4 a r c s e n ^ ju 2

A) i u 2

B) lu

D)

C )3u E) 2u

31. Si los ra d io s de las ru e d a s d e la n te ra y posterior de una bicicleta m iden 30 cm y 40 cm respectivam ente. Calcule la distancia en m etros que deberá recorrer la bicicleta para que la rueda delantera dé 10 vueltas más q ue la posterior. A)24nm D) 18 itm

B)24m

C)12nm E) 15 nm

32. C onsiderando los datos d e la bicicleta del prob'erna anterior, halle el ángulo girado por la rueda posterior, teniendo en cuenta que la rueda delantera de la bicicleta gira 5000°. A) 3 750° D) 2 500° 33.

B) 4 000°

C) 2 750° E) 2 740°

Calcule en térm inos de r la altura a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando ésta gire un ángulo de 1305°, desplazándose sobre una pista horizontal (ver figura)

A) 20: 9 D) 20 rad

e í—

n

E) 22 rad

35. En la figura se tiene una ru ed a d e tranvía de un juego de m ontaña rusa de radio 6 u, que sube sobre un nivel en form a d e sem icir­ cunferencia de diámetro 2148 u. Si la ru ed a sube desde A y sobre la sem icircunferencia da 60 vueltas, calcule la altura en la que se encontrará la rueda luego de las 60 vueltas que da con respecto a la recta horizontal L.

L

/[¥> m 372 D) — r

B) 272i

C) 2 r

E)

2v'2 22

r

A) (54073 +6)u B) 540 V2u

C) 540 73 u

D) (54072 + 6)u

E) 540 u 71

Trigonom etría

Lumbreras Editores

36. En el gráfico se m uestra la trayectoria que genera el punto P perteneciente a la rueda al rodar sin resbalar, si P' es la posición final del punto P. Halle el área m áxim a de la región triangular APP'.

Dato: H =

3

R73

A /. \

Y' r

‘ -' Y /

Y

' -

p A) TtR2

B)

ti73R2

D) = R2

í p1

C) 27tR2

E)

ti72R:

A)

37. Del g ráfico halle el á r e a d e la re g ió n so m b rea d a, siendo AOB y POQ se c to re s

2nR

B) — R 3

D) 2rtRV3

C) * R 4 e ) 4n R

circulares. Además OM = 0 ,Q y 6 = n /6 • A

A) w *

B) ^ 7 3

39.

Del gráfico m ostrado halle el perím etro de la región som breada.

C) ^ 7 § A) (1071+673 +18)m

D) ~ 4

E) 2 m 2

38. En el gráfico se m uestra el recorrido q u e describe la esferita al ser soltada en el punto A que p asa por B y se detiene en C. Halle la longitud que recorre la esferita si la trayectoria AB es mínimo.

72

B) (571+373 + 9)m C) (4jt+373)m D) (7n+2T3)m E) (8ti+ 73 + 2)m

C A P ÍTU LO I

Sistemas de m edición angular y longitud de arco

40. Dos ciudades, A y B, están a 42° de latitud norte. Las longitudes de Ay B son 110°oeste y 160° oeste. ¿Cuál es la distancia entre A y B a lo largo de la circunferencia de 42° de latitud norte? Suponga que el radio de la tierra m ide 3960 millas. A) 2450 millas C) 2564 millas D) 2400 millas

B) 2568 millas E) 2600 millas

1 ,2

10 3 ® 3 +í

3 15 ° 5 +l

D) 7

0 7+;

43. D etermine el núm ero de vueltas qu e da la r u e d a al ir d e u n la d o á o tro ro d a n d o alrededor del sistem a m ostrado sin resbalar.

41. En el gráfico se m uestra la trayectoria que describe el punto P perteneciente a la rueda, al com pletar el circuito en una pista circular R de radio R. Halle | — ) si r es radio de la rueda. á___ □__ / ^ '

/ °

í '' 'V

y

r

W * ' Jj

. . 7^3 + n A) 3*

. \

B) 3

7 S + 2n

B)

3n

7\¡3 + n }

A) 2 D) 8

y

3

w 'C ) 5

M 7V3 + 2* E) 3

E) 10

42. Calcule el núm ero de vueltas que da la rueda ideal al recorrer el perím etro de la región so m b re a d a (r = 6), sie n d o T p u n to de tangencia. (O: centro)

44. Un tren se m ueve a razón de 6336 pies/hora por un a vía curvilínea de 300 pies de radio. ¿Qué ángulo recorre en 1 minuto? A) 15,30° D) 20,16°

B) 16,16°

C) 18,42° E) 21,34°

45. Un punto del borde de una rueda hidráulica de 10 pies d e diám etro se m ueve con una velocidad lineal de 45 pies/s. Encuentre la velocidad angular de la rueda en rev/s. A) 9 rev/s B) 2,3 rev/s ~C) 1,43 rev/s D) 2,1 rev/s E) 1,42 rev/s 73

CAPITULO

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

TRIGONOMETRIA

Pistón

Mecánica y razones trigonom étricas En

el motor adjunto, la distancia x (en metros) del centro de la biela a la

cabeza del émbolo esta dada p o r . x =(cosQ + 'Jl6+0,5cos2Q ). Donde 9 es el ángulo entre el brazo del cigüeñal y la trayectoria de la cabeza del émbolo. Por ejemplo, si 6 fuese 30°, entoncesxmediría 4,895 m.

\ .......... .. ................................ .. ..... ....................................................... .................J

S U R G IM IE N T O DE LOS T É R M IN O S S EN O Y TA N G E N TE O rigen del té rm in o seno Por el año 500, después de n.e., los matemáticos de la India empezaron a considerar el movimiento de una recta que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y a medir las longitudes de las semicuerdas o perpendiculares trazadas desde el extremo de la recta (en diversas posiciones de su movimiento) a la posición inicial de ella. (Véase la primera figura). Esa recta se conoce hoy en día como radio vector o “radio movimiento” (del latín: vector, “ portador", de vehor, “ muevo"; compárese con “vehículo”). Por esta razón la longitud de la semicuerda se asoció a un ángulo, el ángulo determinado por el giro de la recta. Los indios dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La palabra pasó al árabe como ¡iba y más tarde se confundió con la palabra árabe jgib debido probablemente a que las palabras en árabe se escribían frecuentemente sin vocales y por ser iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de la semicuerda ya que significa la abertura en el cuello de una prenda de vestir. Pese a ello, los árabes tomaron la costumbre de designar a la semicuerda por medio de dicha palabra jaib sin sentido, que hacía referencia a un “ doblez” o “ curva". Por ese tiempo, los matemáticos europeos se familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron jaib por la palabra slnus que significa “ doblez" o “curva” . Dicho erro r se ha perpetuado en nuestra palabra sen o. Así pues, originalmente el seno de un ángulo representaba la longitud de la semicuerda de una circunferencia de un radio uno. En nuestros días, como pronto veremos, cuando hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de una longitud. O rigen del té rm in o tan gen te Como se ha visto, en la mente de los antiguos ya existía la idea de la relación entre la altura de un poste y la longitud de su sombra. Para rnedir el paso de! tiempo inventaron el reloj de sol de dos tipos: uno con la varilla vertical de modo que su sombra se proyectara sobre una superficie horizontal; el otro tipo con su varilla inclinada y sujeta a una pared vertical, de modo que su sombra se proyectaba sobre la pared. No obstante que la relación existente entre la altura de un poste y su sombra se estudió desde los tiempos más remotos, no fue sino hasta el siglo X d.n.e. cuando los árabes empezaron a estudiar longitudes análogas relacionadas con el radio de una circunferencia. Tuvieron que pasar otros cinco siglos para que la palabra tangente se le asignara a una recta tal como la indicada por TN en la segunda figura. La tangente a una circunferencia es la recta que la toca en un solo punto (del latín: tango, “ toco"). Una mejor definición que abarca otras curvas, además de la circunferencia, es: “ Una tangente es la posición límite de una secante” . Sin embargo, como aquí sólo estamos considerando tangentes a circunferencias, por el m omento será suficiente la primera definición. Supongamos que T N es parte déla tangente a la circunferencia; ON el radio y OT la prolongación de una recta en movimiento o radio vector. En el siglo XVI los matemáticos empezaron a designar a TN como la tangente del ángulo TON.

|' j l i

i i I I f 1■

1

á

3,

1 *

If •

J

Razones trigonométricas__ -------- —

/

de un ángulo agudo

OBJETIVOS

• • •

Analizar y com prender la definición de las razones trigonométricas d e ángulos agudos. Deducir y familiarizarse con los valores de las razones trigonométricas de ángulos notables. Aplicar, a casos de la vida práctica, los conceptos sobre razones trigonométricas.

INTRODUCCION En la construcción de carreteras, puentes, canales y edificaciones, observem os que los topógrafos m anipulan instrum entos com o el teodolito, el m etro y las reglas graduadas con el objeto de m edir ángulos y d.stancias generalm ente en triángulos, ya que la triangulación es muy em pleada para trábajos de topografía que son indispensables en la preparación y ejecución de proyectos de ingeniería. En el presente capítulo analizarem os los triángulos rectángulos. Las propiedades que se exponen tendrán su utilidad en los ejercicios de ángulos verticales y horizontales. Como una de las aplicaciones, podem os indicar el cálculo del diám etro de la Tierra y la distancia del Sol a la Tierra. Además se sabe que, en sus inicios, la Trigonometría se basa en la Astronomía que en la antigüedad desarrolla Hiparco y que, posteriorm ente, Galileo Galilei utiliza para analizar el desplazam iento de los planetas. Al calcular la m edida del diámetro de la Tierra desde un satélite se observa que la bisectriz del ángulo así determ inada señala al centro de la Tierra. (El punto P se halla en la superficie). El uso de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo generado nos permite %. Calcular el diámetro de la Tierra ha sido un afán del hombre obtener desde tiempos remotos. Los sofisticados instrumentos actuales 2h d=permiten que dicho cálculo sea exacto. cscx-1

77

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Considerem os un triángulo rectángulo ABC, tom ando a B com o vértice del C T ángulo recto y dos ángulos agudos en A y C. Designando a al ángulo cuyo vértice es A, así tenem os que c es la longitud del lado adyacente a a , a es la longitud del lado opuesto a a y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (90°), siendo su longitud b . Es necesario resaltar algunas propiedades del triángulo rectángulo. • La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y m enor que la sum a de ellos. Figura 2.2 • La sum a de los ángulos agudos es 90°; es decir, dichos ángulos son com plem entarios(A+C=90°) • Al mayor ángulo se opone el mayor lado y así recíprocam ente. • El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la sum a de los cuadrados de las longitudes de los catetos. De la figura 2.2 establecem os la relación: a 2 + c 2= b 2........ llamado Teorem a de Pitágoras. La demostración de la escuela de Pitágoras puede muy bien haber sido la que ilustran las siguientes figuras: b a b

a a

b (a)

(b) Figura 2.3

Del cuadrado que tiene a + b com o lado, retiramos 4 triángulos iguales al dado. Si hacem os esto com o en la figura de la izquierda, obtenem os un cuadrado de lado c. Pero si la m isma operación se hace com o en la figura de la derecha, quedarán dos cuadrados, de áreas a 2 y b 2 respectivamente, luego, el área del cuadrado de lado c es la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados m iden a y b.

L Pitágoras de Somos T Todo lo expuesto sobre Pitágoras está basado en una tradición persistente, pero no en un documento histórico conocido. Pitágoras fue una especie de profeta y de místico, nacido en Samos; una d e las islas de Dodecaneso próximo a Mileto, la patria de Thales. Alrededor del año 540 a.n.e. Pitágoras fundó una secta semireligipsa, semimatemática en Cretona, ciudad griega en el sur de Italia. Junto con los matemáticos, inculcó a sus discípulos la veneración a los números (se dice que el lema de la escuela pitagórica era : Todo es un número). Entre las enseñanzas de Pitágoras que más se recuerdan están, naturalmente, el teorema que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado del lado más largo (la hipotenusa) es igual a la suma de cuadrados de los otros dos lados más cortos (los catetos). Los babilonios habían descubierto esté teorema con mil años de anterioridad, pero se le atribuye a la escuela pitagórica por ser la primera en difundirlo.

78

Pitágoras (Grecia 580 a rt e - 500 a.n.e)

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU L O II

D E F IN IC IÓ N DE RAZÓN TRIGONOM ÉTRICA Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto d e uno de sus ángulos agudos. Es im portante observar que las razones trigonométricas son cantidades num éricas o adim ensionales (no poseen unidades). Entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se establecen 6 razones trigonométricas, a saber: Sea 0 un ángulo agudo de dicho triángulo rectángulo, entonces:

Definición

Nombre

longitud del cateto opuesto de 0 sen 0 = longitud de la hipotenusa

seno de theta coseno d e theta

longitud del cateto adyacente d e 0 longitud d e la hipotenusa

tangente de theta

longitud del cateto opuesto d e 0 longitud del cateto adyacente d e 0 cot©=

cotangente de theta

longitud del cateto adyacente d e 0 longitud del cateto opuesto d e 0

secante de theta

longitud d e la hipotenusa longitud del cateto adyacente d e 0 '

cosecante de theta

longitud de la hipotenusa longitud del cateto opuesto d e 0 C

Ejemplo Emplee el triángulo rectángulo d e la figura 2.5 y obtenga las seis-razones trigornétricas del ángulo a .

A p lican d o la d efin ició n en la figura 2.4 tenem os sen0 u

¡ cs c 6 = — a

Resolución En la figura dada, vem os que el tercer lado se

cos0 = — b

• sec0 = — ’ c

calcula por el teorem a de Pifágoras; así x2+152=172 x2=172-152=(17-15)(17+15)

tan 9 =

cot 0 = —

j t = 64

=>x = 8

79

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Luego tenem os cateto opuesto d e a : 8 cateto adyacente de a : 15 hipotenusa : 17 d e d o nde se obtienen ios siguientes valores 8 15 8 s e n a = — • eos a-= — • ta n a = — 17 ’ 17 ’ 15

„

15 8

’

. 17 15 ’

Observación

17 8

_____________ _

• Como en la figura 2.4 la hipotenusa b es mayor que los catetos a y c, entonces el se n o y coseno de un ángulo agudo son m enores que 1 pero mayores que cero, así 0 < sen8 1 y cscG > 1 • Para las razones trigonométricas tangente, y cotangente, un cateto puede ser mayor que el • otro cateto o induso iguales (caso que no se da entre un cateto y una hipotenusa), entonces tan9>0

y

3n

cot9>0

Propiedad Fundamental de las Razones Trigo n o m é tricas Cálculo de x Com o todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de m edida a son sem ejantes, los v alo re s d e las ra z o n es trig o n o m é tric a s d ep en d en únicam ente de la amplitud del ángulo a g u d o , e s d e c ir, es in d e p e n d ie n te d e las longitudes de los lados del triángulo.

x2 = (4n) 2-(3n ) 2 v7n Así por definición, tenem os Q -Jlfi -Jl . 4 /í Asjl co s 0 = ------= — , se c 6 = 7=—7 = -----4n 4 VtV 7 f Q 3 / V7 3^7 ta n 0 = - ;= - 7 x -7= = — V7yí V7 7

„ j f f{ c o t 0 = ^—73 rT

3

4/ csc0 = 3 rí Debe entender usted que encontrará diversas formas de resolver un problem a y este ejemplo no es la excepción. 80

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU L O II

La forma práctica para resolver este ejemplo es asum iendo que la constante n sea 1 , entonces

R esolución Según el enunciado se pide calcular la siguiente sum a de longitudes: h g+ h c+ h o donde hB : Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón B respecto de la superficie. hc : Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón C respecto d e la superficie. hD : Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón D respecto de la superficie.

(b)

Figura 2.7

!^

n V? COS0 = —A

; se c 0n = -4 yv/7-

, . 3^7 ta n 0 = ----7

; c o t0 = ^

y

Observado* 2 ^

La pendiente se define com o el valor de Urna, donde a e s el ángulo que hace una recta con la recta horizontal. Es decir, para el primer tramo AB el enunciado

4 3

indica que la pendiente e s 3%, por lo que a partir d e ello se p u ede plantear lo siguiente

Se deja para el lector lo siguiente ¿Cuál es el valor de sen 9 + eos 0 siendo 0 un ángulo agudo?, si tan0 = 3? La respuesta de este ejercicio es jVjj) 5

A continuación, veamos un ejemplo referido a un perfil de instalación para tuberías de desagüe. E jem plo

En la figura se m uestra el perfil de la instalación de tuberías de desagüe. Si el buzón ubicado en A se en cuentra a 1 m de la superficie, calcule la sum a d e las alturas a la que se encuentran los buzones instalados en B, C y D sabiendo que las pendientes de las tuberías AB, BC y CD son 3%, 2 % y 1% respectivam ente.

(b) Figura 2.8

tan é = 3% = ---100

=> tan(j>= — ...( 1) K es una constante positiva v

100K

Análogamente para los otros casos Para el tram o BC la pendiente es 2%, por lo que se puede plantear 2 9K tanP = 2% = —— =»tanP = — ...(2) 100

(a)

H 100K

Para el tram o CD la pendiente es 1% , entonces i 1K tan5 = l% = — =>tan5 = —— ...(3) 100

100K

Lumbreras Editores

Trigonom etría

A partir de los datos mostrados en (1), (2), (3) y del enunciado, podem os entender la figura 2 .8 ; donde se señalan los ángulos de inclinación para cada una de las tuberías AB, BC y CD. A partir del gráfico podem os plantear A'B' + B'C' + C'D' =600 m 100K+100K+100K=600m De donde resolviendo obtenem os K=2 m Pero según el gráfico: hB= 3K+1 y com o K=2 m=> hB=7 m ..... (4) hc = 5K +1 y Como K=2 m =» hc= 11 m (5) y hD= 6 K +l y com o K=2 m=> hD=13 m (6 ) Luego de las ecuaciones (4),(5) y ( 6 ) obtenem os: hB+ h c+ h D= 7 m + 1 1 m +13 m .. h B+ hc "t hjj =31 m R azones T rig o n o m étric as de Á ngulos A g ud o s (n o ta b le s ) en un T r iá n g u lo Rectángulo Los án g u lo s q u e m id e n 30°

45° ' nrad y'60°í —ad

rt rad Y 6 '’

son muy utilizados en l~ 4 ~ l 3 Trigonometría. Podemos calcular los valores de las seis razones trigonométricas de estos ángulos n o ta b le s sin n e c e s id a d d e utilizar ta b la s o calculadoras. Para encontrar los valores de las razo n es trig onom étricas del ángulo d e 45°, considerem os un cuadrado cuyo lado tiene una longitud 1, com o m uestra la figura 2.9(a) . Si trazamos su diagonal tenem os que los ángulos ag u d o s del triángulo rectángulo so m b re a d o m iden 45°. Con el teorema de Pitágoras podem os encontrar la longitud de la hipotenusa.

(b) Figura 2.9

De la figura 2.9 (a): (d)2 = ( l) 2+ ( l) 2; de tal manera d= v2 , luego de la figura 2.9 (b) ..o 1 V2 • 56043°=-= = —

1 • COt45°= 7 =1

V¿

i

*2

1 lo • cos45°= ~¡£ = ~

• sec45°= — = \/2

1 •ta n 4 5 ° = -= l

J2 • csc45°= — = v/2

Para encontrar los valores de las razones trigonom étricas de los ángulos de 30° y 60°; consideram os un triángulo equilátero AOB cuyo lado tiene longitud 2 com o lo m uestra la figura 2 . 10 (a).

(a)

(b) Figura 2.10

.

Sabem os que los tres ángulos del triángulo equilátero miden 60° cada uno. Si hacem os una bisección del ángulo en “O”, entonces CO es la bisectriz perpendicular al lado AB. A plicando el te o re m a d e Pitágoras en el triángulo rectángulo ACO (ver figura 2.10(b)) obtenem os: (CO) 2+ (l) 2 = (2)2=> (CO)2= (2) 2- ( l ) 2 82

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU LO II

De tal m anera que CO= >/3 , entonces de la figura 2.10(b) podem os obtener los siguientes valores

tan30

J _ = V3 V 3~ 3

2 ; sec30°= ^

,73 cos30°= - y

csc30°= - =2

sen30°=

JS

S ' rcot30°= ~ = S

tan60°= — = 1

&

2\¡3

3

; COt60°=-L _V3 3 &

La siguiente tabla sintetiza los valores de las razones trigonométricas de los ángulos agudos notables de 30°, 45° y 60°; los cuales son utilizados con m ucha frecuencia, siendo importante por ello su estudio.

0

(radianes)

senQ

co se

tanG

co te

71

1

V3 2

S 3

S

6

2

45°

n 4

V2

CT> O0

e (grados)

71

s

30°

3

obs” Yatió"

. . ¿ w

2

1

2&

3 i

CSC0

2

V2

V2

2

2\Í3 3

2 1

2

se c 0

■J3 ■J3

2

3

.................................................

A menudo se utilizan triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos han sido aproximados. Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (vea la figura 2.11) los ángulos Ay C han sido aproximados a 37° y 53° respectivamente, ya que estos ángulos medidos con transportador no coinciden exactamente con estas medidas. En la figura 2.11 se tiene que tan A=3/4 y haciendo uso de una calculadora científica tendremos que A=36°52'l 1,63", logrando así una mayor exactitud.

Así, co n sid eran d o la aproxim ación e n la figura 2.11 calcu lem o s los valores de las razones trigonométricas de los ángulos d e 37° y 53°, los cuales obviamente serán aproximados. 3 4 sen37°= - =cos53° ; cos37° = ^ =sen53° 3 tan37°= - =cot53° ♦

4 ; cot37° = - =tan53°

5 sec37°= ^ =csc53°

5 ; csc37° = - =sec53°

83

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

M ultiplicando

P ara u n m ejor u so de ios triá n g u lo s rectángulos cuyos ángulos son notables, se hace la siguiente presentación:

y

d iv id ie n d o

por

2 - 7 3 tenem os 1

tan 15o = • 2 + 73

2 - 73 2-73

tan!5° = 2 - v 3 •

c o tl5 ° = ~ = ^ y -

co tl5 °= 2 + 7 3

Ejemplo 2 Calcule tan(45°/2) y cot(45°/2) Resolución Graficamos el triángulo rectángulo notable d e 45° y aplicando métodos análogos al ejemplo anterior, tendremos:

Figura 2.12

E jem plo 1 Calcule ta n l5 °y cotl5°

Así en el triángulo rectángulo BAP, planteam os 1_

Resolución

72 + 1

72+1 , ~ 1

1 v 7 2 -1 72 + 1 7 2 -1

« ( f

Qbservatión Se puede utilizar también Graficamos el triángulo rectángulo notable d e 30° y 60°. Prolongando el cateto CO hasta un punto P, tal qu e la longitud OP sea igual a la hipotenusa AO. Luego se tiene que m 20°+10°= 30 + 20 =>

reduciendo P=sen40° csc40°

30° 0

= 50 =

6°

'o b serv am o s q u e las R.T. se n o ' y co se c a n te son recíprocas, j

4.

Siendo ( 2 a + 10 °) un ángulo agudo tal que verifique se n ( 2 a + 10 °) = c o s(a + 2 0 °), halle el valor de a .

y los ángulos son ¡guales. Entonces, dado lo anterior concluim os que el producto es 1

Resolución

..P = l

son co-razones trigonométricas

2.

S ea ( 0 + 3 2 °) un án g u lo a g u d o tal q u e verifique tan( 0 + 3 2 ° )= co t0 ¿Cuál es el valor de 0 ?

s e ri( 2 a + 10 °) = eos ( a + 2 0 °) Entonces los ángulos son com plem entarios por lo que planteam os la siguiente ecuación. (2 a + 10°) + ( a + 20°) = 90°

Resolución

=> 3 a + 30° = 90° 3 a = 90°-30° = 60°

son co -Razones Trigonométricas

i t-^-t tan (0 +32°)=cot0 Entonces los ángulos son complementarios, p o r lo q u e p la n tea m o s la sig u ien te ecuación: (0 + 32°)+ 0 = 90° => 29 = 90°-32° => 20 = 58° .-. 0 = 29° 3.

Siendo (2 0 -1 0 °) un ángulo agudo tal que sen(20°- 30 )csc( 20 - 1 0o) = 1 Calcule 0.

Resolución

a = 20° 5.

Siendo 2 a un ángulo agudo, halle el valor de a , si se cum ple tan2a.tan40° = l

Resolución no son recíprocos

tan 2 a

tan40° = 1

Entonces se sugiere despejar u n a d e las R.T. por ejem plo tan40°, luego tan 2 a = — *— tan 40° recíproco de la tan40°(cot40°) son co-razones trigonométricas

Son razones trigonométricas recíprocas i-^ ^ sen(2O°-30)csc(2 0 - 10°)= 1

88

tan 2 a .-. a = 25°

= cot40°

LA T R IG O N O M E T R IA Y EL E S T U D IO DE LOS M INERALES Una aplicación m uy im p ortan te para un m e jo r estudio de los m inerales es el de los Rayos X y sus efectos de difracción. Esta técnica pe rm ite establecer una estructura ordenada trid im e n sio n a lm e n te (sistema de cristalización), estructura cuyo ordenam iento puede ser explicado m ed ia nte la utilización de razones trigo no m étricas. Así del grá fico se cum ple:

n A = G E+EH, por resolución de trián gu los rectángulos: G E = d se n 0 y E H = d s e n 0

r^n A = d s e n 0

+dsen0

n A = 2 d s e n tf

Donde: n es el núm ero de planos atóm icos dond e incide el rayo, A es la lo ng itud de onda del rayo y 0 es el á n g u lo con la que inciden los Rayos X.

En el gráfico se muestra una cantera de donde se está extrayendo el mineral.

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Trigonom etría

Como usted puede verificar a partir de la lectura anterior, hay ciertas longitudes que pueden ser expresadas en términos de otras longitudes y de razones trigonométricas de ángulos agudos; esto recibe el nombre de resolución de triángulos. A continuación verem os'cóm o se hallan ciertas longitudes en triángulos donde uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo cualquiera significa d e te rm in a r la m e d id a d e los tre s án g u lo s interiores y la longitud de sus tres lados. En el caso de un triángulo rectángulo, se resuelve obteniendo los dos ángulos agudos (ya que uno m ide 90°) y las longitudes de los tres lados del triángulo rectángulo. Esto se puede hacer si se da com o dato la longitud de un lado y la m edida de un ángulo agudo o si se conocen las longitudes de dos de sus lados. Una razón trigonométrica de un ángulo agudo com prende tres cantidades: las longitudes de dos lados y la m edida d e un ángulo, en consecuencia conociendo dos elem entos de los tres podem os determ inar el tercero.

Resolución Elementos desconocidos: r , o y 0 Por el teorem a de pitágoras 132 = 52 +rx 2 => x = 12 Lueeo s e n a = — S 13 usando calculadora tendrem os: a = 2 2 , 6 ° com o a + 6 =90° => 6 = 9 0 °- a = 67,4° De esta forma los valores obtenidos son x = 12; a = 22,6° y 0 = 67,4° Ejem plo 2 Resuelva el siguiente triángulo

Dadas las Longitudes de Dos Lados Por el teorem a de Pitágoras, si se conocen dos lados se puede calcular el tercero. Luego se puede hallar cualquier razón trigonométrica de c u a lq u ie ra d e los án g u lo s d e s c o n o c id o s y consultando una tabla de valores o usando una calculadora, se hallara el valor d e dicho ángulo. Luego, una vez conocido éste ángulo agudo se puede encontrar el otro, porque la sum a d e ellos es 90° ó ^ rad Ejem plo 1 Resuelva el triángulo m ostrado

2

Figura 2.21

Resolución Elementos desconocidos: x, a y P Por el teorem a de Pitágoras 3 2

(V 3) 2=[4 J+x2="X Luego o V s/2 „ -1 sen(3 = ~ ^ - = > sen (i = -

por razones trigonométricas de ángulos notables tenem os (3 = 30° como: Figura 2 3 0

90

a = 90°-P = 60° => a = 60°

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU LO II

De igual form a que en el ejem plo anterior, los valores que se pedían son x = ~ ; P = 30° y

2.

Si m es la longitud del cateto adyacente a 9

cí = 60°

2

Dados un Ángulo Agudo y la L o n g i t u d de un Lado En los casos siguientes se resolverán los triángulos rectángulos. Para esto se da com o conocido un ángulo agudo ( e ) y la longitud de un lado (m). 1.

— = tan0=>B C =m tan0 m

Si m es la longitud de la hipotenusa Lado dato: m Lados incógnitas: BC y AB C 3.

•

— = sec0=>AC = m se c0 m

•

C = 9 0 ° -A ==> C =90°- 0

Si m es la longitud del cateto opuesto a 0 C

La idea es generar una razón trigonométrica para 0 con el lado dato y el lado incógnita, pero sugerim os que dicha R.T. lo obtenga relacionando el lado incógnita con el lado dato, esto es: Cálculo de BC (véase figura-2.22) BC m

Cateto opuesto a 9 Hipotenusa

— = ----------------------- s e n 0 luego BC — = sen0=>B C =m sen0 m

Cateto adyacente a 0 Hi pot enus a

•

— = csc0=>AC = m csc0 m

•

C=90° -A = > C = 9 O °-0

P ara la re so lu c ió n d e p ro b le m a s , se recom ienda al lector recordar los triángulos de la figura 2.25 (a), (b) y (c)

De igual forma AB m

— = cot 0 =s AB = mcot0 m

„

._

— = ------------— --------= cos0 =>AB=mcos0 cálculo de la m < C : C = 9O °^A =>C =9O °-0 Los d em ás casos se resolverán de form a análoga.

m sen 0

m cos 0 (a)

91

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Trigo no m etría

m tan 0

Ejemplo 4 Resuelva el triángulo ABC que aparece en la figura m ostrada

Resolución

Figura 2 3 5

5V3 3

^ p = tan 3 0 ° = • BC=5tan30°=

Ejemplo 3 Resuelva el triángulo ABC que se m uestra

= sec30° =>AC=5sec30"= 5| 3

•

J

3

C= 90°-A => C=60°

En forma directa c 1^

Resolución De la figura 2.26(a) •

=sen45° => BC = V6sen45°=>/3

(b)

(c) Figura 2 3 7

• .

"yg =cos45° => AB = V6cos45°=\/3 C = 9 0 °-A =>C = 45°

En forma directa

Figura 2.26 92

Ejemplo 5 De la figura 2.28, se tiene un a pared de 7 m de alto. Calcule la longitud d e la cuerda ( t ) y la distancia de P hacia la pared(d).

Figura 2.28

CAPÍTULO II

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

^R esolución Aplicando el caso de resolución de un triángulo ^ re c tá n g u lo m ostrado en la figura 2.28, tenem os

Ejemplo 7 De la figura 2.30 (a) dem uestre que la longitud de la cuerda AB es 2rsen|^ | j (O: centro de la circunferencia de radio r)

•

í = (7 m )csc37° = ( 7 m ) - = — m ó O

•

4 28 d = (7m )cot37° = (7 m )-.= — m á O

Ejemplo 6 En el triángulo OPQ mostrado, dem uestre que la longitud d e la base (x) es 2 a c o sa P a/

\a

I-----

Resolución De la figura 2.30 (b) trazamos la perpendicular OH que a su vez es bisectriz del /6 )2+ (k ) 2 24k2=216=> K=3 ...(2) Reem plazando (2) en (1) se obtiene b = 15; c= 3 .-. Perímetro^^Bc = a + b + c = 6(3 + \ÍS) u

Problema 3 De la figura, reem plazando en la condición a 2senB senC tanB = 16

u

= 16

Si A B //C D ,yadem ásC D = 2uyA B = 6u. Calcule M =csc 9 + >/2cota, siendo O centro de la semicircunferencia.

b2=16=>b =4

EnM

Además por el teorem a de Pitágoras a 2= b 2 + c 2=> a 2- c 2 = b 2 luego M= — = b

M=4

Problema 2

2

Calcule el perím etro de un triángulo rectángulo ABC(B=90°), si el cosA es igual a 0,2. Además el cateto BC es igual a 6 JE u .

------1

Resolución

A Figura 2.36

De la figura, el triángulo COD es isósceles, donde la m/2

y

Problema 5 De la figura, calcule L = co t 0 c o ta B

=3

2-J2

Reem plazando en M: M =(3)+ 72 ( ^ 2 ) M= 5

Problema 4 De la figura, si AOB es un sector circular, ad em ás MN= \¡2 u; O H =5 t/2 u . Calcule cot A Resolucióri P ro lo n g a m o s CD y d e s d e A tra z a m o s la perpendicular AH. B

Resolución Se trazan MQ _h_ AB y la NP -h. OA, luego los triángulos MQN y APN son notables de 45°. - A

ArlU r— N otable' sea AD=2n =».AH=n; HD=nV3

MAf 8. . :AB=4n;BD=2nV3

Notable

ABCD (Equilátero):BC=CD=BD=2n V3 Figura 2.38 En el APN se tiene que NP= 5-Í2 , d e donde se d e d u c e q u e: AN= 5\Í2x\Í2 = 10, a d e m á s AQ=AN-QN=> AQ=9 En el triángulo rectángulo som breado 9 co tó = Y cot(¡) = 9

96

4n 2 i\ABC= cot0=---- = => cot 0 = —j= 2nS V3 . HD+CD , 3n\Í3 „ r x C^AHC:cota=---------- => cot a = --------= 3V3 AH n ,

Luego L=| -yj |(3 n/3 )

L= 6

C A P ÍTU LO II .

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

Problema 6 De la figura

CF

AE r= — ; AF=4 y CE= 4^3 ,

calcule M = cot2a tan3|3

En la figura 2.40(c) prolongamos AF y trazamos desde C la perpendicular CM. Luego m a + (3= 15o Por condición

CF

AE i— = — = n => CF=\/2n; AE = 2n

En la figura 2.40(b) prolongamos CE y trazamos d esde A la perpendicular AH.

.\M = v/3

Problema7 D e la figu ra, AOC e s un s e c to r circular, calcule cot ó

Luego m cAEH = 2 a + 2(3= 30°. Además t\AHE notable de 30° y 60°. „ , K nV3+4v/3 En el = > cot2a = -------------n B

Resolución A

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Trigo no m etría

Problema 9

En la figura mostrada Sea OA=5K

Si y , 9 y w so n ángulos agudos, los cu ales cum plen *

=> OE=3K Lxqhb : Trazamos BH _h_ OC , luego BH=3K; OH=4K 1 t \ AOo; OD = 5 K ta n 3 7 ° = ^ A dem ás DH=OH-OD=4K-

15K

sen2 y = cos( y + )

--(1 )

3o tan — =cot(w +34°)

....(2)

se c(y + vv) = csc(2 y -16°)

....(3)

calcule K =3cot|—j-s e c (w + 28°)+csc(o+14°) => DH= — 4 K k „D H _ 4

Resolución . d e (l): 2y + y + o = 90» =» 3y + = 90° ....(4) 3o d e(2 ):^ r + w +34°=90° => 3ip + 2w = 112o ....(5 )

,c o td 4

* de(3): y+w+2y-16o=90o=s 3y+w=106°

Problemas S ie n d o o t, p y 0 á n g u lo s a g u d o s q u e se relacionan de la siguiente m anera sen^

jcscG = 1

....(6 )

de (4) y ( 6 ) se tiene que w = 16°+ sustituyendo en (5) 3 +2(16°+ ó ) = l 12°

....(1)

.

=> 0 = 16°

luego en (5) w = 32° ta n ^ “ + 10°.jcot(P-5°) = l ....(2) c o s (p -6 ° )s e c 5 0 ° = l

sustituyendo en ( 6 ) 3y + 32°= 106° = > Y = 74°/3 Luego en K

-—(3)

Calcule ' L = sen(p + 4 ° ) - c o s ( e _ 3 9 °) + ta n (a -3 7 °)

K=3co

sec(320+28°)+csc(160+14°);

Resolución Las co n d icio n e s satisfac en la p ro p ie d a d de razones trigonométricas recíprocas, entonces los ángulos en cada caso son iguales, es decir:

K =3cot37°-sec60°+csc30°

d e (l): ° y ^ = e =>a + P = 2 0

Si x e y son ángulos, los cuales cum plen sen0r+20°)sec(y+16) = l ....(1) ta n (y + 2 9 °)tan (ll°—*0=1 .—(2) Calcule el valor de

K = 3 ( | J - ( 2 ) - h( 2 )

de(3): p -6 °= 5 0 °= > p = 56°

M= cot | ~ + 4o | ■+tan(30x)

Reem plazando en las dos prim eras ecuaciones se obtiene a = 82° y . 0 = 69° Sustituyendo valores en L L=sen(56°+4°) - cos(690-39°)+ tan(820-37°)

Resolución De la condición(l) f sen(x+20°)= s e c ( v ¡ it;° j Por R.T. recíprocas

L= _sen€0“ - £os30° +tan45°

98

=4

Problema 10

de(2): | + 10 ° = P - 5 » = * P - | = 15°

L= 1

k

~

=>sen(x + 2 0 °) = cos(y + 16°)

C A P ÍTU L O II

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Como se vio en la página 87, esta igualdad es válida para ángulos com plem entarios. x+ 2 0°+ y+ 16o=90° es d ecirx+ 20°+ y+ 16°= 90o => x + y = 54° ... (3) De la ecuación (2) f Í 1| tan(y+29°)=; (an^ |0_x ^ Por R.T. recíprocas \___________ j

=> ta n (y + 29°) = cot( 11° - x ) Aquí tam bién los ángulos son com plem entarios y + 2 9 °+ l l°-x= 90° => y - x = 50° ... (4)

Problema 12 Si ABCD e s un cuadrado, calcule ta n p + c o tp

De las ecuaciones (3) y (4) x = 2 ° ; y =52° Reem plazando valores en M, se tiene ' f 52° 4 M=COt ^ + 4° + tan(30 x2°) M=cot30° + tan60” Resolución

.\M = 2 73

Del gráfico se tiene que (PQ=CD). Donde CD, lado del cuadrado.

Problema 11 BD De la figura, simplifique —

PQ = 2 sen p + 3cosp

HC,

Si O es centro de una semicircunferencia.

R esolución En la figura 2.42(b) aplicam os las propiedades de resolución d e triángulos rectángulos En t^ABD: Ent^O H C :

BD=2rsen20 CH=rsen20

Figura 2.43

Pero en el LADN AD= 4senp entonces PQ=AD => 2 sen p + 3 eos p = 4 sen p senp _ 3 . . 3 tañó = cosp ~ 2 2 .-. tanp + c o tó = 13/6

99

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema 13

Resolución

Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, d o n d e la m .AHB: A H =nsen0 BH=ncos0 Luego en el t\AHD n>/3sen0 + n co s0 n \/3 sen 0 ncos0 coDr=— ------------ ------ -= — ---------+ --------ijsen 0 n se n 0 n se n 0 cotx= V3 + cot0

De la figura u n im o s BC y tra z a m o s OH p e rp e n d ic u la r a BC (OH: a ltu ra , b ise c triz , medicina). => BH=CH=rsena Tracemos perpendicular CM a AB en el t^.CMB C M =C B sena= (2rsena)sena = 2 rsen 2a MB = CMcota = 2r sen2 a c o ta En el t\CMA: AM=CMcot0 =2r sen2acÓ te Luego AM+MB=AB =i> 2r sen2 a c o t0 + 2r se n 2a c o ta = 6r 2r sen2 a(cot 0 + cot a ) = 6r .-. sen2a(cot 0 + cot a ) = 3

Problema 15 Determine el área de la región cuadrangular ABCD, en función de sus diagonales d, y d2 (AC=d,; BD=d.¿) y el ángulo que forman dichas diagonales ( a ). Resolución

.-.c o tx - c o t0 = \¡3

Problema 14 Si COB es un sector circular con centro en O y radio r. Además AB=6r. Calcule se n 2a(co t0 + co ta)

S \ bcd : Área de la región cuadrangular ABCD. S ^c : Área de la región triangular ABC. ^ adc : Área de la región triangular ADC.

100

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU LO II

De la figura, se trazan las perpendiculares BP y DH a la diagonal AC. t\BPM: BP=BMsena t\DHM: DH=DMsena Luego ^ A B C D = ^A A B C + ^A A O C

luego, la expresión pedida sería se n 20sec20 = (cos29)sec20 = 1 se n 2 0sec 20 = 1

Problema-17 De la figura mostrada, calcule serur; si ABCD es un cuadrado. Además H y P son puntos de tangencia.

c _ d,.BP d,.DH ^ABCD _ g + 2 S abcd

= y ( B M s e n a ) + y (D M s e n a )

= -sen a (B M + D M ) 2 í Ordenando se tiene que _ i^ d,.d2 SABCD=-J2 ^ s e n a : S ABcD

Problema 16 En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se tom a interiorm ente un punto E. Si las áreas de las regiones triangulares ABE y AEC son iguales. Además 0 = m«BAE=m B

Figura 2.48

De la figura, trazamos perpendiculares desde O, y 0 2 a la prolongación d e BC, finalm ente formamos el trapecio rectángulo C^RHC^. Aderhás por Teorem a de Pitágoras

Figura 2.47

De la figura sea Sa8ae : Area de la región triangular BAE SiEAC : Área de la región triangular EAC

kMRO,:MO, =V(5)2 +(7)2 =V74

AC=m => AB=msen0 Luego

Cs.0 2HM : M02 = V(6)2 + C2)2 = 2VTÓ Luego por sum a d e áreas

• Sabae ~ S - ^ ~ ^ . s e n 9

So,MO, + ^0¡RM + S m o 2H = S o ,RH02

Saeac = S = (-AE^ m ).sen(90°-2e) • ~(2)

V74 x 2VT0 senx + Ií5 + 6x2=/7+2 2

Igualando (1) y (2) ^

— se n 2 6 =

Reduciendo sen2 0 = cos2 0

I

2

2

l

2

e o s 28 4.Vi85se n * = 52

se n * = —

185 101

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Trigo no m etría

Problema 18

B^-

En un triángulo rectángulo se dan las longitudes de la hipotenusa c y la bisectriz b del ángulo recto, halle sen; siendo á el menor ángulo que forma dicha bisectriz en la hipotenusa. Resolución Q

Designamos O al centro de la circunferencia y S al área limitado por el trapecio. Recordando la fórmula para el área de un a región limitada por un trapecio. a

P rolongando la bisectriz NS, h asta tocar la circunferencia en el punto F¡ se traza el diámetro PQ. luego m «PQ N = 0 En t\PNQ: NP=PQsenp =>NP=csen luego PS=csen ó -b OP En t^POS: senó = — PS c

Aplicando dicha fórmula en el problem a B . C B . C" r t a n - + rta n —+ rco t —-r-rcot — •2 2 2 2 S= x ( 2 r) .> j í , B B . C .C /. S = r tan —+ cot —+ tan —+ cot —

sustituyendo senp =

csen O -b O rdenando 2 c sen 2 ó - 2 bsen ó - c = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática obtenem os sen(j> =

b ± \/b 2 + 2 c 2 2c

com o serK( )> 0 b W b 2 + 2 c2 seno 2c

Problema 19 En un triángulo acutángulo ABC está inscrito la circunferencia del radio r. En paralelo con BC se h a trazado una tangente a ésta circunferencia que intersecta los lados AB y AC del triángulo en los puntos D y E respectivamente. Halle el área de la región limitada por el trapecio BCED, en términos d e r y los ángulos B y C. 102

Otro Método Resolución Sea : O: centro de la circunferencia S : área del trapecio EDBC

C A P ÍTU L O II

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

Donde

p+q

Del gráfico MT TC Pero si m 2 se n 0 = l - s e n 20 s e n 20 + 2 s e n 0 - l = O =>sen0 = — sen0 = - l ± 7 2

~ 2

s e n 0 = x /2 -l = - 7J — 72+1

luego R esolución 72 + 2 7 2 (c) Figura 2.52

reem plazando 3 - ( n/2 + 1) tana = 1 'V2 + 2 V Í 3tana

=

2-72

V2VTW2 -(7 2

+ l)"'/2ta n a = 7 2

-

1

103

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Trigonom etría

E jercicios I.

Halle el valor num érico de las siguientes expresiones 1. tan30° sen60° - cot45° 2.

4cos245° -

tan 60° eo s30°

__ 1 sec45°

cot2 30° sec 60° cot 45° 2tan230°+sec245°_ 4.

4 1 3tan230°+ - sen260°- - csc245°

5-

Vsen26 0 °-se n 245° + v'tan 15° + cot 30°

II. En cada caso calcule el m enor valor positivo d ex . 11. senx=cos(20°+x) 12.

tan3x=cotx

13.

sec2x=csc(x+30°)

14.

sen(x+8°).csc3x=l

15.

tan4x.cot60°=l

16.

eos — . sec9°20'=l

III. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B 4sen45°cos30° tan 45° tan 60° sec245° + eos 45°

en los siguientes casos, determ ine

7. S itan a =^ » [ ®< o t halle s e n a c o s a 8. 9.

17.

La hipotenusa. Si cosC =0,3 y a=12

18.

El cateto a. Si tanA=15,8 y c=10

19.

3 La hipotenusa. Si sec A= - y a =60

20.

El cateto c. Si sec A=9 y b = 6

21.

P ó rc a te to s a y b s is e n c = 0 ,8 y b = 1 6

Si c o sa = 0,4 ; halle 8tan2 a s e c a 3 Si s e n a = - , halle 3 s e c a .ta n a

10. Si c o ta = 4,5; halle 3 c o s a - 5 s e n a

R espuestas 6.

3\¡2 2

o ^ 2- T

7.

3 10

3.

8.

105

9.

63/40

1. - i 2

11. 35° 12. 22°30'

* 4

4. 1 5. ' + 2^ 2 104

10.

V85 5

17. 40

18. 158

13. 20° 19. 80 14. 4o 15. 15° 16. 46°40'

20. 2/3

21. 12,8 y 9,6

C A P ÍTU LO II

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

Antes d e em p ez ar con el desarrollo de los p roblem as resu elto s sobre ángulos verticales y horizontales, d eb e saber que los conceptos que se han vertido, tienen varias aplicaciones en nuestra \ vida cotidiana, por citar un caso en las telecom unicaciones. Para qu e tenga un m ejor panoram a sobre este ejemplo, se le sugiere proseguir con la siguiente lectura. L ;

E'

A N T E N A S P A R A B Ó L IC A S M O T O R IZ A D A S

C

T U R

A

En la instalación de antenas parabólicas, la persona que lo va a realizar debe ten er en cuenta ciertos parám etros técnicos com o son el azim ut y la elevación de la antena parabólica los cuales se explican a continuación.

Azimut.- Por azim ut se entiende la o rien ta ción real respecto al punto donde.se encuentra el observador. Se m id e en g ra d o s a b s o lu to s to m a n d o c o m o referencia el NORTE a O grados, siguiendo el sentido de las agujas del reloj hasta lle g a r al ESTE a 90 grados, el SUR a 180 grados, el OESTE a 270 grados y de nuevo el NORTE a 3 6 0 grados.

Elevación.- Por elevación entendem os la inclinación que debe poseer una línea recta im aginaria que pase p o r el bo rd e su p e rio r e in fe rio r de la p a rá b o la , resp’ecto a la vertical, cuando el foco apunta al satélite.

en tierra

105

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Trigonom etría

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES En el presente tem a estudiarem os aplicaciones d e triángulos rectángulos qu e tienen gran utilidad en la vida diaria, com o por ejem plo en la topografía, geodesia, navegación, o en el cálculo indirecto de distancias inaccesibles. Los ángulos verticales y horizontales tienen en com ún la referencia de un observador o punto de observación y el objeto observado. Antes de definir los ángulos verticales y horizontales debemos tener claro algunos conceptos importantes. Línea Vertical

La vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que m arca la plom ada en equilibrio (figura 2.53).

(a)

(b) . Figura 2.53

Línea Horizontal

Es toda perpendicular a la línea vertical Línea Visual

Es aquella línea imaginaria que une los ojos del observador con un punto al objeto, el cual se está observando. Plano Vertical

Es todo aquel plano que contiene una línea vertical. -

j

\ Nota

____

___

____

___

___

_______

_______

_______

La línea vertical apunta al centro de la Tierra (observe la figura 2.53 (b)); la vertical depende del lugar donde nos encontremos. Ángulos Verticales Son aquellos ángulos agudos contenidos en un plano vertical, el cual contiene tanto al observador com o al objeto observado. Dentro de este tipo de ángulos tenemos el ángulo de elevación y el ángulo de depresión. ■ 106

C A P ÍTU L O II 1.

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

A ngulo de Elevación

Se forma entre una línea horizontal que parte de la vista del observador y una línea visual, cuando el objeto observado se encuentra por encim a de dicha línea horizontal. Para apreciar dicho ángulo, observemos la figura 2.54

3.

2.

Á ngulo d e D ep resión

Se forma entre una línea horizontal que parte de la vista del observador y la visual, cuando el objeto observado se encuentra por debajo de dicha línea horizontal. Para poder apreciar dicho ángulo, le sugerimos observar la figura 2.55

Figura 2.54

Figura 2.55

La actividad económica de las comunidades humanas representa un elemento cultural de gran importancia, cuya función primoraial es atender a las necesidades básicas de la vida. En la imagen, cultivo de cacao en San Martín.

EJ objetivo principal de la ingeniería genética consiste en el estudio y la modificación de la estnjctura de los caracteres hereditarios de las diferentes especies animales y vegetales que pueblan el planeta y que se transmiten de una generación a la siguiente.

Á ngulos d e O b servación

Es aquel ángulo formado por dos visuales que parten desde un m ismo punto, al observar un objeto de un extrem o a otro. Así por ejemplo, en la figura 2.56 se observa a la persona bajo un ángulo 0 .

Plano Horizontal Es todo aquel plano perpendicular a la-vertical.

Figura 2.57 Figura 2.56

Bahía de Paracas

107

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Trigonom etría

Ángulos Horizontales Son aquellos ángulos que están contenidos en un plano horizontal. La r o sa náutica o com p ás marino: Es la representación esquem ática de la brújula náutica, la cual está dividida en 32 partes iguales, por lo tanto cada parte es 360-^32 = 11 ° 15'; la figura 2.58 m uestra el nom bre que se da a las diferentes direcciones. Los puntos norte, sur, este y oeste se llaman puntos cardinales y sobre el papel estas direcciones se toman generalm ente hacia arriba, hacia abajo, hacia la d erech a y hacia la izquierda, respectivamente.

ROSA NÁUTICA Angulo formado por dos direcciones principales (consecutivas)

Figura 2.59

La D irección: la dirección de un punto A con relación a un Observador P puede darse de dos formas: el punto A se encuentra del Este 60° hacia el Norte (E60°N) del punto P o A se encuentra del Norte 30° hacia el Este (N30°E) del punto P. •Análogamente, el punto B se encuentra en la dirección S40° E del punto P o B se encuentra del este 50° hacia el Sur de P y C se encuentra en la dirección 020°N del punto P, o C se encuentra del Norte 70° al Oeste del punto R Observe la figura 2.60 El Rumbo: es una dirección la cual está dada com o el ángulo

entre la línea de dirección m agnética Norte, Sur y la línea de dirección hacia el objeto. Observe la figura 2,61. Se debe tener presente para este capítulo que no toda dirección es un rum bo, pero sí todo rumbo es una dirección. 108

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU LO II

Rumbo NI I°E o Dirección E79°N (b)

(a)

(O

(d)

Figura 2.61

IC k N o ta = ______ _____ „ = ,_ _______________ Los rumbos N11°E, N65°0 y S67°0 pueden ser considerados como direcciones (ver figura 2.61); en cambio las direcciones E79°N, E49°S, 025°N y 023°S no son consideradas rumbos. I^

Observación ___________________________ _________________________________

____________________

En náutica y en aeronáutica el rumbo se mide a partir del norte y con el sentido dirigido hacia el este (ver la figura 2.62) Es decir, se mide un ángulo de 0o a 360° en sentido de las manecillas del reloj (en este caso se asigna una medida positiva al ángulo en lugar de la medida negativa a la que no está acostumbrado para rotaciones en el sentido del reloj). N

N

N

V 30\

o

£ S

R um bo 60° (a)

0 S

V

R um bo 150° (b)

°

■) E ■¿60°

/ S

R um bo 260° (c)

Figura 2.62

109

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Trigonom etría

COORDENADAS GEOGRAFICAS

|

A l hablar sobre las brújulas, se p la n te a que para trazar una dirección cualquiera, existe la necesidad de tom ar un punto de o rig e n respecto al cual se encuentran los ángulos. En top ogra fía se suelen tom ar en cuenta los siguientes puntos de origen: • El norte geográfico y verdadero. • El norte magnético. Por convención los ángulos que vam os a m edir a continuación se harán en'el sentido en que están las manecillas de! reloj a pa rtir del pu nto de origen. Según el p u n to de o rig e n que se to m e , estos ángulos son y se denom inan:

! ! S

Azimut Verdadero o Geográfico Es el ángulo form ado por una dirección cua lq uie ra y el norte geográfico. Se le representa p o r (Z)

Rumbo o Azimut Magnético Es el án gu lo form ado por una dirección cua lq uie ra y el N o rte M agnético (el que nos da la b rú ju la ). Se le representa por (R). De m anera que si tom am os un á n g u lo con la b r ú ju la , e s ta m o s f o r m a n d o u n r u m b o . Si m archam os por m edio de direcciones tom ad as por la brú ju la, estamos m archando p o r rum bos. La declinación (D) de un punto P no es más que la diferencia entre el azim ut verd ad ero y el azim ut m agnético (ver la figura) D = Z - R , de donde Z = D + R Es decir, que el azimut verdadero geográfico es la suma del rumbo más la declinación; o lo que es lo mismo, para hallar el N geográfico no hay más que agregar la declinación al N Magnético.

G eneralm ente cuando se plantean ángulos v erticales y horizontales a la vez, el g ráfico resultante es de 3 dimensiones. En la figura 2.63 se tienen ángulos verticales a y (3 y ángulos horizontales 20° y 50°. La persona observa la parte m ás alta del árbol con un ángulo d e elevación a {V / AH); en cambio desde el punto C el ángulo de elevación p (AHQ y CHQ son piemos verticales). La persona se encuentra al S20° O del árb o l, en c a m b io B y C e s tá n al su r y e s te resp ectiv am ente del árbol, tam bién p o d em o s afirmar que B se encuentra al este de A(o de la persona) y al S50°O de C. 110

Q

| 5 1

| ! 5

Problemas Resueltos Problema 1 En la figura adjunta se desea calcular la altura de una m ontaña, para lo cual se utiliza ün teodolito d e h m etros de longitud. Si en la primera posición el ángulo de elevación mide a y en la segunda posición el ángulo de elevación es p , y por último, d es la distancia en metros entre las posiciones del teodolito. D em uestre que la altura de la m ontaña es igual a j ------ --------+ h j c o tp -c o ta

c o tp - c o ta c o tp - c o ta

Problema 2 Desde un punto situado a 20 m sobre el nivel del piso, los ángulos de elevación y depresión d e la parte m ás alta y baja de una torre son 30° y 37°, respectivam ente. Calcule la altura de la torre.

Resolución En la figura adjunta, P se encuentra a 20 m sobre el nivel del piso. La longitud de la torre está dada por AC=AB+BC AC=AB+20....(I) Por resolución de triángulos rectángulos Resolución Sea x la longitud (en metros) de la altura de la m ontaña, del gráfico tendrem os

Figura 2.65

t^CBP: PB=20cot37° Figura 2.6 4

Por resolución de triángulos rectángulos C^BDC: B D = (jc-h)cota

fcsPBA: AB=PBtan30° AB= 20cot3 7°tan30° A B = (2 0 )|J

t\ADC: A D = (x -h )co tp Pero AD=AB+BD ( x - h) cot P = d + (x - h) cot a ( x - h ) ( c o tp - c o ta ) = d

En(l) AC=j t t ' i t + 20 m 9 111

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i rigonom etría

Problema 3 Un poste está pintado hasta un punto P que se encuentra a 10 m sobre el nivel de! suelo. Si el ángulo de elevación del punto P con respecto a un observador en el suelo es 30° y la parte no pintada es observada bajo un ángulo de 15° con respecto a dicho observador. Calcule la longitud del poste que falta pintar. Resolución Lo p la n te a d o en el p ro b le m a esquem atizado en la figura 2.66

se

Resolución Graficando el problema, adem ás sea S el área er. metros cuadrados del terreno.

ha

Sea x la longitud de la parte-no pintada, así jc=AB-10 ....(1) Nótese que la estatura del observador se omite ya que no ha sido dato del problema. Hallando AB b,OAP: OA=10cot30°=1073

=*BH=250V3m luego, el área del terreno será

LsOAB: notable(45°y45°) AB=OA=10V3 En (1)

jc=10 n/3

Del gráfico, el terreno acotado nos representa al trapecio rectángulo; com o nos piden su área trazamos BH -h. AD GBHA (Notable)

S=^50m+1000mjx 25oV3m - 10=7,3 ;

x = 7,3m

S = 218750 73 m 2

Problema 4

Problema 5

Calcule en metros cuadrados el área de un terreno acotado com o sigue; Se parte de un roble y se cam ina 1000 m en dirección Sur, se da vuelta hacia N0E y se cam ina 500 m. Desde este punto se cam ina 750 m en dirección Norte y se da vuelta en dirección Oeste para volver al punto de partida.

Dos ciudades A y B están separadas 50 millas una de la otra, la ciudad B está situada con respecto a la ciudad A 58° al Este del Sur. Una tercera ciudad C se ve desde A en la dirección S28°E y desde la ciudad B en la dirección 62° al O este del Sur. Calcule la distancia en millas de la ciudad B a la ciudad C.

112

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

C A P ÍTU LO II

R esolución

R esolu ción

Planteado el enunciado del problem a, tenem os el siguiente gráfico, -

Tener en cuenta que ^ (h o ra) = ^(3600 s) = 1800s Asumiendo que los autos realizan un movimiento rectilíneo uniforme, tenem os que los espacios recorridos son respectivamente e , =20 x 1800 =36000 m A e2=40 x 1800=72000 m. A partir de las condiciones del problem a tenem os el gráfico respectivo (figura 2.69). Entonces, d e dicho gráfico obtenem os

Figura 2.68

de donde L^ACB es notable (30° y 60°) => * = 25 millas

Problema E Dos autos p arte n d e un m ism o lugar, en los rum bos 70° y 190°, con velocidades 20 m /s y 40 m/s, respectivam ente. Calcule la distancia que los separa al cabo de m edia hora.

Por el teorem a de Pitágoras: ^ = ( 9 0 000)2+(18 OOOx/3 )2 x 2 =(1000)2(902 + (18\/3)2) x 2 =(1000)2x 4 2x92x7 x = 1000x4x9x%/7 x = 36000v/7 Luego, al cabo de m edia hora estarán separados •3 6000 ^7 rn

Problema 7 Una avioneta se desplaza horizontalmente a una a ltu ra H so b re el nivel d el su e lo , e n un d e te rm in a d o in stan te sufre un d e s p e rfe c to cayendo co n una depresión angular de 37°, el piloto arregla el desperfecto justo a una altura h sobre el nivel del suelo y com ienza a elevarse con un ángulo de 16o, llegando a ubicarse nuevamente a una altura H; si la velocidad de la avioneta en todo instante es de 1000/21 m/s, ¿cuánto tiempo perdió la avioneta debido al desperfecto en su vuelo normal? (Dato H -h=500 m). 113

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Trigonom etría

R esolución

Del e n u n c ia d o del p ro b lem a p la n te a m o s el gráfico siguiente V

Ahora, la' p érd id a d e tie m p o (P,) d eb id o al desperfecto lo calculam os c6m o = ((\c+ W ) “ eab P, = 55 s - 50 s Pt = 5 s

Problema 8 Sobre un plano se ha construido un edificio donde cada piso mide 2 m. Si se sabe que desde dos puntos m ás abajo sobre el plano inclinado se observa la parte superior del edificio con ángulos de elevación de 20° y 30°, ¿cuánto será el número de pisos del edificio, si los puntos de observación están distan ciad o s 100 m, a d e m á s el plano inclinado forma un ángulo de 10o con la horizontal? (Dato: senl0°= 0,l 7)

Por resolución de triángulos rectángulos kA P C :A P= (H -h)coí37° ^C N B :C N = (H -h)cotl6° Además, el recorrido hecho por la avioneta en su vuelo normal sería AB AR AB=V.tAR^ t AR= ~ luego tAB =

(H - h)cot 37° +(H - h) cot 16o R esolución

1000 21

(H -h )(c o t3 7 °+ c o tl6 °) 1000 21

500*1™ 21 ^AR — 1000 21

^

Para determinar el núm ero de pisos, necesitam os calcular*, ya que el núm ero de pisos se obtendrá , altura del edificio * , , considerando--------------------------= —;para calcular altura de cad a piso 2 x, planteamos el siguiente gráfico (figura 2.71b).

1ar“ 50 s

Pero debido al desperfecto la avioneta realiza el siguiente recorrido AC+CB AC + CB AC + CB - V (tAC + tCB)=> (ac+ ^cb - ' V (H -h )(c sc 3 7 °+ c sc l6 °) t Ar + trR — 110 500: 21 tAr + IrR " " 1000 21 114

tAp + trn —55s Figura 2.71

C A P ÍTU L O II

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

En el tx AHC: HC = ACsenlO0 HC = 200cosl0° sen 10° E n elíx D H C :

R esolu ción

Planteando, en un gráfico las condiciones del problem a tenem os

x = HCseclO0 x = 200co sl0 0se n l0 0sec10° i - ¡ x = 200senl0° x = 200(0,17)=34

34 Por lo tanto el núm ero de pisos será — = 17 2

|

Comentario Debemos saber que nuestra geografía es muy accidentada, dentro de esta gama de accidentes geográficos contam os con distintos planos inclinados como son las montañas, quebradas y otros. Para poder observar esto, se le muestra la siguiente fotografía, la cual corresponde a un paisaje natural de nuestra serranía. ' ' ■- V • -«e: Línea representativa de la subida de esta

Figura 2.72

En la figura 2.72

y S£2 son rectas horizontales.

Por resolución de triángulos rectángulos, tenem os • En el C^DPB DP = PBtan0=3tan0 • En el t\DMC MC = MDtana= 4tana Finalmente h=CM +M A

Cultivos a orillas de la laguna

de Paca (junín).

h = CM + DP h=4tana+3tan0

Problema 9 La mayoría de los aviones llega al aeropuerto en u n a p la n e a c ió n r e c ta 0 co n re sp e c to a su horizontal. Un piloto experim enta cori una nueva té c n ic a d e a te rriz a je q u e c o n s iste en u n a planeación recta de a em pezando en un punto situado a 7 millas (horizontales) del punto de aterrizaje, luego cam bia a un planeación recta de 9 a 3 millas (horizontales) del pünto de aterrizaje. Si la planeación em pieza a una altura h. Halle h.

.-. h=(4tana+3tan0)m illas

Problema 10 Un poste de altura h se encuentra ubicado en el centro de un p arq u e de fo rm a circular. Tres perso n as situadas en la periferia del p arq u e observan la parte superior del poste con un ángulo de elev ació n a ; si d ic h a s p e rs o n a s e s tá n ubicadas a una m ism a distancia 2h una de otra, calcule tan a . 115

T rigonom etría

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Resolución

Resolución De la figura P

Para entender el gráfico planteado del enunciado del problem a, observem os los siguientes gráficos a m anera de repaso D

B

Los ángulos de elevación para las tres personáis son los mismos; entonces ha sido suficiente dibujar el ángulo de elevación para la persona ubicada en A. • O: centro • AABC;equilátero Luego M es punto medio de BC =*M C=h

Figura 2.74

fcsAMC-AM=hV3

Además, O es baricentro de la región triangular ABC =s A O =-h>/3 3 OP Luego: b.AOP: teína = — AO h ta n a = -=-----|h V 3 73 3 .\ t a n a = — 2

Entonces, en la figura 2.74(b), H representa la altura del acantilado. • ADC: Plano horizontal • ADB y CDB : Planos verticales • ABC: Plano oblicuo Del gráfico m AC2 = (H n/3)2 + (H cot 60° )2 =» AC2 = 3H2+H2 cot260° => AC2 =3H2+ | h 2 =>A C 2 = 1 0 ~

=* AC = ^ p H .. .( I )

C A P ÍTU L O II

Razones trigonom étricas de un ángulo agudo

Además AC 2 = v . t (t= 13:45—13:15= ^ hora) 1L r— luego t= 2 ; v= 200vT5m/h

En el kBPE ta n a = g

= 1| ^

...(1)

Finalmente

Como se pide E mayor valor ta n a , entonces el segm ento BP debe tom ar su mínimo valor, por lo que plantearem os una ecuación que relacione BP

AC= 200v i s .^ => AC = lOOv'ÍSm ...(II)

con el ángulo (3, para ello observe el triángulo ABP.

Reem plazando (II) en (I)

.-. H = 150v'2 m

Problema 12 Si el en trenador y el alumno, se hallan en dos extrem os opuestos sobre la piscina, adem ás luego que el alum no nadó 18 m, fue visto con ángulo d é depresión a por su entrenador. Calcule la mayor ta n a . Si la estatura del entrenador es 1,6 m

CsAPH (resolución de triángulo rectángulos) A H = 1 8 m co sP

; P H = 1 8 m sen p

txBHP (Teorema de Pitágoras) BP2= (5 0 m -1 8 m co sP )2 + (18m senP)2 Desarrollando obtenem os

Entrenador

BP2 = (5 0 m )2 + (18m cosP)2 + (18m senP)2 -2 (5 0 m )(1 8 m )co sP ....(2) Del txAPH (Teorema de Pitágoras) (18 m senP)2 +(18m cosP)2 ^ (IS m )2 ....(3) (o)

Reem plazam os (3) en (2) tenem os R esolución Del enunciado podem os concluir en el siguiente gráfico donde el alum no A se dirige hasta un punto P. (luego d e n a d a r 18 m) y en este punto es observado por el entrenador con un ángulo de elevación a .

BP2 = (50m)2 +(18m)2 -2(50m)(I8m) cosP ...(4) m ínim o

m áxim o

Pero com o en el capítulo IV veremos cosP m áxim o =1 ....(5) Reem plazam os (5) en (4) tenem os BP2 =(50 m )2+(18 m )2 - 2(50 m) (18 m ) (1) m ín im o

Reduciendo BP2=1024 m 2

=» BP=32 m ....(6)

Reem plazando (6) en (1) 1,6 m anCt(™ 0r) = 327n

]

.-. El mayor valor de la tan a es r r

117

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Trigonom etría

Problema 13 Rabio de (1 m de altura) ve a su mamá con un ángulo de elevación 0 (altura de la madre 1.5 m) a una distancia de 4 m en la dirección 037°S, luego ve a su papá con un ángulo de elevación a (altura 2 m) en la dirección E53°S yporúltimo lamadreveal padre con unángulode elevación en la dirección E8°S. Calcule cot 0 + cot a + cot 4>. Resolución Del enunciado, tenem os el siguiente esquem a

Ahora de la figura 2.76(a) tenem os el siguiente gráfico P

Figura 2.76

Datos T N =lm ; RM=1,5 m y Q P = 2 m y RT=4 m por resolución de triángulos rectángulos tenem os DN=O,5cot0 ;NH = c o ta ; MI=0,5cot De la figura t\RTQ(notable(450; 45°)) 118

Entonces TQ = 4 a =* NH =4 c o ta c o ta = 4 Finalmente

R Q = 4 \¡ 2 a

a

a

M [=4 n/2 0,5cot=4V2 cot ^

Para que una estación espacial realice sus funciones, sus partes deben acoplarse de manera estándar, porque sino su funcionamiento no serla óptimo. En el caso de los ángulos trigonométricos, para calcular sus razones trigonométricas éstos deben hallarse también en una forma adecuada, es decir deben encontrarse en posición normal (estándar).

\ __________ ______________________________ ___ _________

y

DESCARTES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

1 ■i 1

René Descartes (1596 - 1650) m atem á tico, filó sofo y físico francés, fue uno de los creadores de la G eom etría A n a lítica , disciplin a que com bina fundam entos del A lgebra y la G eom etría. Dicha ciencia ofrece un sistem a de referencia orto g o n a l, es decir dos ejes perpendiculares graduados, usados p a ra la realización de cálculos m atem áticos. La idea de asociar a los puntos del p la n o una abscisa y una ordenado, y luego tra d u cir los datos geom étricos en una ecuación, fu e sin duda muy trascendental, tan to así q ue esta concepción no ta rd ó en propagarse hacia toda la G eom etría, m ucho más a llá de lo que había im a gin ad o Descartes, qu ie n sólo veía en ella un aspecto secundario. Una aplicación del sistema de coordenadas lo encontram os en la G eología; cuando se tien e q u e representar grá ficam e nte los sitios de exploración de petróleo cercanos a la costa. Observe en la fig u ra e l pozo p e tro le ro de referencia y la ubicación del posible sitio respecto de dicha referencia.

La explotación del petróleo es, en la actualidad, una actividad económica fundamental. Los geólogos utilizan herramientas m atemáticas, como el sistema de coordenadas, para representar con mayor precisión las zonas de explotación del hidrocarburo.

I i í 1

Razones trigonom étricas de /u n ángulo en posición nom ial OBJETIVOS • • •

Estudiar el sistema de coordenadas rectangulares y sus aplicaciones en la geometría analítica. R econocer los ángulos trigonométricos en posición normal. Definir las razones trigonométricas de ángulos en posición norma!.

INTRODUCCIÓN Hasta el m om ento hem os estudiado las razones trigonométricas d e un ángulo agudo (ángulos positivos m enores que 90°). Sin em bargo, las razones trigonométricas se pueden determ inar para todo tipo de ángulo, sea positivo o negativo; por ello, en el presente capítulo trataremos sobre las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, para lo cual requerim os de un sistem a referencial (llam ado sistem a de coordenadas cartesianas) que nos perm ita definir, a partir de la ubicación del lado final de un ángulo, sus respectivas razones trigonométricas. Para entender con mayor claridad la utilidad del sistem a cartesiano en la resolución de problem as de m atem ática e ingeniería, debem os conocer previam ente lo que es una recta num érica así com o conocer el conjunto de números reales y los diversos axiomas que condicionan la existencia de dicho conjunto. Es por ello que se plantean y desarrollan diversos ejercicios de m odo que el lector pueda com prender y utilizar dichas herram ientas en los capítulos posteriores de circunferencia trigonométrica, funciones, ecuaciones, etc. Efectivamente es necesario entender que el hom bre aprendió prim ero a contar y luego representó gráficamente los números. En la actualidad sabem os que desde los primeros grados escolares sé enseña el proceso de conteo. Desde el sencillo conteo con los dedos se ha pasado a las m odernas computadoras que perm iten obtener datos num éricos con mayor rapidez y precisión que los proporcionados por el cerebro humarte. Asimismo, es muy importante ubicar los puntos en un sistem a de coordenadas rectangulares ya que tiene m uchas aplicaciones en ingeniería, astronom ía, etc. Existe tam bién otros sistemas de referencia, com o el sistem a de coordenadas polares.

133

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Trigonom etría

IN T R O D U C C IÓ N A L A S D E S IG U A L D A D E S Para com prender de m ejor m anera los capítulos siguientes es im portante familiarizarse con ias propiedades y teorem as aplicados a los núm eros reales. Para ello, m ostram os a continuación algunos alcances de gran utilidad. ‘ Un núm ero real se p uede clasificar com o racionad (Q) e irracionad (Q ') . Un núm ero racional es cualquier núm ero de la form a a/b, donde a y b son enteros y b * 0 . Los núm eros racionales com prenden I.

Los enteros (positivos, negativos y cero). Z = {...-5 ; - 4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;...}

II.

Las fracciones positivas y negativas, tales com o _3 \ 3 2 ’ 2 ’ 7

III. Los decimales conmensurables positivos y negativos, tales como -1416 157 1,57 = ; -0,01416 100 100000

Figura 3.1 El Quipu

IV. Los decim ales inconm ensurables periódicos positivos y negativos, tales Como 1 -449 0,333... = g ; -0,449449449....= - ^ -

registraba y expresaba un orden

simbólico numérico según la cantidad de cuerdas y nudos que contenía, evidenciando un a lto conocimiento matemático extendido en los Andes.

Los núm eros reales q u e no son racionades se denom inan n ú m e ro s irra cio n ale s. Estos son decim ales inconm ensurables y no periódicos; por ejemplo -V 3 = -1,732...

;

s/2 = 1,414...

;

n = 3,14159...

;

e=2,7182...

A continuación, darem os u n a interpretación geom étrica del conjunto d e núm ero reales (R), asociándolos a los puntos d e una recta llam ada eje (eje de los núm ero reales o recta num érica). Recta Num érica Para asociar los núm eros reales con los puntos de una recta, prim ero se traza la recta, se selecciona un punto sobre ella que represente al núm ero cero (0) y a este se le denom ina origen; después se elige una unidad de distancia y dos direcciones opuestas, una positiva y otra negativa con respecto al origen. Además se hace corresponder exactam ente un punto a cada núm ero, y exactam ente un núm ero a cada punto de la recta (correspondencia biuriívoca). . Com únm ente se asocia la figura d e una recta num érica con una recta horizontal, pero puede ser tam bién vertical u oblicua. Q -5

-4

-3

-2

-1

O

R

0

1 ñ 2

Figura 3 J

134

3

4

5 ...

C A P ÍTU L O 111

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Al núm ero real asociado a un punto sobre la recta num érica, se le denom ina coordenada del punto, así e n la figura 3.2 tenem os que •

La coordenada del punto Q es -2, se abrevia : Q (-2)

•

La coordenada de! puntb R es V2, se ab re v ia: R(V2)

•

La coordenada del punto O es 0, se abrevia : 0 (0 ) y'se denom ina origen de la recta numérica.

A los sistem as unidim ensionales se les puede asignar una unidad de escala arbitraria, com o se cita por ejem plo en la siguiente lectura, donde el sistem a unidim ensional tendrá com o unidad d e m edida a 1 mmHg (un milímetro de m ercurio) la cual sirve para m edir la tensión arterial (fuerza ejercida por la sangre contra cualquier área de la pared vascular). .

M E D IC IO N DE LA TEN SIO N ARTERIAL

En el ho m bre , la tensión a rte ria l se m ide ha bitu alm e nte por auscultación, observe la fig u ra . Se coloca un estetoscopio sobre la a rte ria hum eral en el codo y se in su fla un brazalete a lre d e d o r de la parte a lta del brazo, que está conectado a un m an óm e tro (que puede ser de m ercu rio, a n ero ide o electrónico).

SONIDOS 80

mJLl i l i l í

AA A

100

120

J ___ I___ 1___L X(mmHg) (espectro de los ruidos de Korotkoff) M ie ntras el m a n g u ito ejerce contra el brazo tan poca presión que la a rte ria sigue distendida p o r la sangre, no se perciben ruidos con el estetoscopio; pero cuando la presión en el m a n g u ito es lo suficientem ente elevada para colapsar la arteria durante p a rte del ciclo de la tensión a rte ria l, en el estetoscopio se percibe un ruido con cada pulsación. Estos, sonidos son los llam ados Ruidos de Korotkoff y son producidos por el flu jo tu rb u le n to de la sangre a l chocar contra el vaso parcia lm en te ocluido. Observe la dependencia de los sonidos con la m edida de la presión a rte ria l para valores entre 80 y 120 mmHg.

Entre los núm eros reales se p u eden establecer relaciones de orden com o a < b , esto se cum ple si y solo si el punto que representa al núm ero a está a la izquierda del punto que representa al n úm ero b. Por ejemplo, el núm ero 1 es m enor que el núm ero 3, ya que el punto 1 se encuentra a la izquierda del punto 3, o que es lo m ism o escribir que 3> 1 y decir q ue el punto 3 está a la derecha del punto 1.

135

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Definición

Trigo n o m e tría

5)

Siendo a, b e R se cumple i) a > b , si y solo si a es mayor que b ii) a < b , si y solo si a es m enor que b iii) a > b , s i y s o l o s i a > b o a = b iv) a < b , s i y s o l o s i a < b o a = b Un n ú m e ro x se e n c u e n tra e n tre a y b, si a b 136

se n a > SiM Teorema

Siendo a, b y c e R se cumple • a < b si y solo si ac < be ; c > 0 • a < b si y solo si ac > be ; c < 0 Ejemplo 1 Despeje sena a partir de 2 s e n a - l> 0 Sumamos (1) a ambos miembros de la desigualdad 2 s e n a - l + (l)> 0 + ( l) 2 sena> l Multiplicamos por | ^ |> com o ^ >6 El sentido de la desigualdad no se altera 2sena > 1 x Reduciendo se n a > -

C A P ÍTU L O Ili

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Ejemplo 2 Despeje ta n a a partir de 1-3 ta n a >0

Dado lo an te rio r te n d re m o s q u é a n a liz a r la siguiente posibilidad. Paso 2: 2 s e n c t-l> 0

a

c o sa > 0

Sum am os (-1) a am bos miembros De esta desigualdad se obtiene se n a > i

l-3 ta n a + ( - l) > 0 + ( - l) -3 ta n a > -1 Multiplicamos por —-

com o

1

0 cosp

De (1)

' < 7 2 cosp

De (2) y (3)

0<

......

(2)

.... (3)

' 0 2

Resolución se n a — >0 2 Süm am os | — 1 se n a — + - > - +0

Pero com o se n a + 1 es positivo, en to n ces su recíproco f ------— - | también debe ser positivo, se n a + 1J por lo que se plantea G<

1 se n a +1

- ~

Debemos m encionar que tam bién se puede presentar los siguientes casos

entonces

A partir de - 3 < c s c a < -2 halle la variación para sen a.

Resolución - 3< c sca ------------- - > — 3 e s ta 2 O bserve que el sentido de la desigualdad se cambia, es decir 1 1 — > sena > — 3 2

rebrema

Si a , b , c y d e R tal que verifican a>b c>d entonces a + c > b + d

2 3

Ejemplo 3

____

esta condición es falsa) Por lo q u e para tomar recíprocos se sugiere analizar primero los signos.

Reduciendo s e n a +1 > Tomando el recíproco obtenem os 1 2 < s e n a +1 3

-

El teorema visto anteriormente no es aplicable paira números o cantidades que tengan signos diferentes. A continuación mostramos un ejemplo, el cual ilustra el error que se puede cometer. 1 1 . Como-3 b c > d a +c > b +d

Caso 2 a > b c > d a +c > b +d

Ejemplo Siendo a y P ángulos agudos e independientes entre sí, halle una condición para se n a + cosP a partir de 1 sena > 2 .............. .... (1) cosp > i 3

................. .... (2)

Resolución 1 se n a > 2

cos|3 > 3 o entonces se n a + c o s b > -1 + -1 2 3 Reduciendo obtenem os se n a + cosp

5 6 139

t

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Trigo no m etría

Intervalos Un intervalo es un conjunto de infinitos elem entos querepresen ta a todo núm ero real com prendido entre 2 extremos. I.

Intervalos acotados

a. Intervalo abierto El conjunto de todos los núm eros x que cum plen la desigualdad continua a c x c b se denom ina

intervalo abierto y se denota por ( a ; b ) . Por tanto o—---------— o (a ;b ) = {jre R / a c x c b J

-oo

a

+oo

b Figura 3.3

La figura 3.3 ilustra el intervalo (a ;b ) (tener en cuenta que a < b).

b. Intervalo cerrado El intervalo cerrado de a a b es el intervalo abierto ( a ; b) junto con los puntos extrem os a y b y se simboliza por [a ; bj. Así,

[ a ;b ] = { x e R /a < x < b }

a

+ 0O

b Figura 3.4

La figura 3.4 ilustra el intervalo cerrado [a ; bj. i!* fiO!* ruj! También suelen presentarse intervalos semiabiertos o semicerrados: i) Un intervalo abierto (a;b) junto con e í punto extremo derecho b. Esto se representa por (a; b ] . Así cf------- --------- n

-

(a ;b ] = {jce R /a < x < b }

>

-oo

• a

b

+ 00

Figura 3.5

La figura 3.5 ilustra el intervalo (a; b] ii) Un intervalo abierto (a;b) junto con el punto extremo izquierdo a lo denotamos por [a;b). Así

\---------------- cp [ a ;b ) = {xe R /a < x < b} a La figura 3.6 ilustra el intervalo [a; b ) .

140

b Figura 3.6

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

C A P ÍTU LO III

O bservadón

________________

. ______ ____________________ 1_______

j

A los intervalos (a;b), [a;b], (a;b] y [a; b ) , se les denom ina intervalos acotados cuyos extremos o cotas son los puntos a y b. II. Intervalos infinitos o no acotados U sarem os el símbolo + °° (m ás infinito o infinito positivo) y el símbolo - °° (m enos infinito o infinito negativo); sin embargo, se d ebe tener cuidado de no confundir estos símbolos con núm eros reales, ya que no obedecen las propiedades de estos últimos. Los intervalos infinitos o no acotados se m uestran á continuación en la figura 3,7. i

■-

»

(a;+ x) = { x /x > a } -*

£.............. ’............ +x » « - - ---•

(-x ;b ) = { x /x < b} ............................ b

+3C

[a;+x> = { x /x > a } -X

c ........................ .... + x

13

su equivalente _L 13

. -

1 x tanp + 2 < 12

Como intervalo se tiene que secp+1 M

-x

_L _J± .± \

• , ¡ / ¡ ‘.’/ lí / í / if it ii/ ii. /,* ///•

3

5

+0°

(b) Figura 3.11

tanp + 2

\ 13 ’ 1

Gráficéimente se pu ed e representar m ediante la figura 3.12(a) o la figura 3.12(b). O--------------------o 1 tanp+2

Ejemplo 4 1 Halle los valores q ue tom a la expresión ta n p + 2 a partir de la siguiente condición 16 < 2tan p - 4 < 18

-■»

1/13

1/12

+*'

(a)

Resolución Sea 1 6 < 2 ta n p ^ 4 < 1 8

1 tanp+2

...( 1 )

Sum ando 4 16+(4) < 2 ta n P - 4 + ( 4 )

-

(a)

D ebe notar usted que en la condición (1) los núm eros -1 y 1 tienen signos diferentes, entonces los te o re m a s a n te s m e n c io n a d o s n o se rá n

1 se n a

1 sena

aplicables a la desigualdad -1 < sen a < 1 -00

+ CC

_1

1 C om o se pide valores de sena

(b )

ento n ces s e n a d o

Figura 3.13

Por lo que los valores de s e n a que son admisibles Com o m ás ad e la n te verem os, en u n a gran parte d e los problem as se realizan o péraciones c o n in te r v a lo s , c o m o s o n la u n ió n , r e p r e s e n ta d a p o r e l s ím b o lo u , y la intersección, re p re se n ta d a p o r el sím bolo n . Por tal motivo, p ara q u e ten g am o s un m ejor p anoram a a c e rc a d e lo p la n tea d o se m uestran los s ig u ie n te s e je m p lo s , e n los c u a le s se

1 serán para sen a -l< s e n a < 0 =*

o

-1 >

0 < sena < 1 1 >1 sen a

1 sena

su equivalente

de donde su intervalo será

1 < -l sena

1 1< sen a

1 sen a

sena

utilizará la siguiente n o tació n I,

>;-i]

: R epresenta a to d o s los elem entos del intervalo 1.

12 +oo

: R epresenta a todos los elem entos del intervalo 2.

l , n l 2 ¡ R e p r e s e n ta a to d o s los e le m e n to s (núm eros) com unes a am bos intervalos.

Luego uniendo los 2 conjuntos obtenem os 1 sen a

144

- ° ° ; - l ] u [ l ;+°=)

I ,u l 2 : R e p re se n ta a to d o s los e le m e n to s (núm eros) co m u n es y no co m u n es a am bos intervalos.

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición normal

C A P ÍTU LO 111

Ejemplo 1

I ,n l 2 = {3 ;5 ]

____lia________ U S _________

-oc -2

0

1

"Observe qu e en 3 es abierto porque '

5 +°°

pertenece a 1, pero no a I2; en la

Intersección

intersección los elem entos deb en pertenecer a am bos conjuntos.

Unión Figura 3.14

.

i , u I 2 = [ l ;+ ~ )

I , n l 2 =[0;ll I2 u l 2 =[-2;5]

Ejemplo 5 Ejemplo 2 T -

i.

T

1/2

0

T

T

1/2

1

+ *

Figura 3.15

OC

—

Jl t Intersección

Se.observa que no hay elem entos com unes, por lo que I , n l 2=(¡>

Unión Figura 3.18

I,n I2 ={V2} I, u I2 = [-1 ;4 )

- - ;0 KJ - ; 1 L 2 J L2 j

Para ver un a aplicación d e estos ejemplos le sugerim os repasar el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3 h

x.

+00

- 2 - 1 0

1

3

+*=

Intersección Unión Figura 3.16

Ejemplo 6 Halle el conjunto d e valores de la t a n a , los cuales satisfacen la siguiente desigualdad tan2 a + tan a < 6 , sabiendo adem ás que a es un ángulo agudo. Resolución A partir d e la desigualdad

I, I2 = (-2; 3] I , n l 2 =[-1; 1]

tan2a + t a n a < 6 Sum ando (-6 ) tan2 a + tan a + (-6 ) < 6 + (-6 )

Ejemplo 4

Reduciendo obtenem os tan2a + t a n a - 6 < 0 ........ ...............(1) -CO

1

+x

Intersección

v Unión Figura 3.17

Por reglas de factorización obtenem os que tan2 a + tan a - 6 = (tan a + 3) (tan a - 2)

“

Reem plazando en la desigualdad (1) obtenem os (ta n a + 3 ) ( ta n a - 2 ) < 0 ................(2)

Lumbreras Editores

Trigonometría

Por lo visto anteriorm ente en la página 135 p o d e m o s afirm ar que esto s d o s fa c to re s

Los valores de la tana serán todos los núm eros que se encuentran en la intersección d e la figura

( ta n a + 3) y ( ta n a - 2 ) tienen signos diferentes,

3.19(b). Pero notam os que p o hay intersección

por lo que se tiene que analizar los siguientes casos

alguna, por lo que afirmamos que es un conjunto

1ro.

ta n a + 3 > 0

a

ta n a -2 < 0

2do.

ta n a + 3 < 0

a

ta n a -2 > 0

vacío(,) el cual lo denotam os por

ó

ta n a = { }

A continuación se desarrollará el 1er. caso ta n a + 3 > 0 => ta n a > - 3

a

ta n a .-2 < 0

a

. . . C2 (conjunto 2)

Entonces ,tan a debe pertenecer a la unión de los dos conjuntos, esto es ta n a = ( - 3 ;2 ) u { }

ta n a < 2 ................(3)

Por lo tanto ta n a = ( - 3 ; 2}

La figura 3.19(a) ilustra los valores de la ta n a que cu m p len las desigualdades anteriores (3) Otro método que simplifica la solución de la desigualdad(2) (tan a + 3 ) (ta n a - 2 ) < 0 ,e s e ld e los puntos críticos, estos puntos se hallan al igualar cada uno de los factores (tan a + 3) y (tan a - 2 ) a cero, esto es: ta n a + 3 = 0 => ta n a = -3 Los valores de la ta n a serán todos los núm eros qu e se encuentran en la intersección, así de la figura 3.19(a) se obtiene => ta n a = (-3;2}.... C, (conjunto 1) Ahora se verá el desarrollo del 2do. caso ta n a + 3 < O

a

ta n a - 2 > 0

=> ta n a < -3 .

a

ta n a > 2 ................ (4)

ta n a - 2 = 0 => ta n a = 2 Luego los puntos críticos serán ( - 3 y 2) los cuales a continuación deberán ser ubicados sobre una recta numérica (figura 3.20). Observe que sobre losnúm eros-3y2 hayunapequeña circunferencia la cual indica que la ta n a no puede tomar los valores de - 3 y 2 sobreentendido por la desigualdad “< ”.

(+) ’ La figura 3.19(b) ilustra los valores de la ta n a que cum plen las desigualdades anteriores (4).

—oo

r -i+ r t; —3

0

2

c+) +°°

Figura 3.20

-*----------------- o I -oo.

—3

o ------ ----------- *I 0

2

+oo

(no se intersectan) fi>) Figura 3.19 (•)

146

A l conjunto vado se le puede representar com o { )• ó 0

En la figura 3.20 comenzando de la derecha se ha marcado el signo (+), luego el signo menos (-) y finalm ente el signo ( + ); ah o ra, com o (tana + 3 )(ta n a-2 ) es negativo, se escogerá la “región” marcada por (-) excluyendo los puntos - 3 y 2, entonces tana = ( -3 ; 2).

C A P ÍTU LO III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

A continuación, sugerimos prestar bastante atención a lo siguiente. Este últim o intervalo debería de q uedar com o respuesta, siem pre y cuando no haya alguna condición m ás para a, pero el problem a m enciona que a es la m edida de un ángulo agudo y com o usted recordará en el capítulo II (p ág in a 80) se d e te rm in ó q u e cualquier razón trigonom étrica de un ángulo a g u d o s ie m p re es p o sitiv a, p o r lo q u e ad icio n alm en te este intervalo (ta n a = {-3;2}) deberá cumplir la condición siguiente: ta n a > 0. Es decir ta n a = {0;+ ©o)' . Expuesto lo anterior, los valores de la ta n a serán obtenidos a partir de la intersección de los intervalos siguientes: ( - 3 ; 2) a (0; +).

Factores

(tan a +1); (tan a - 2); (tan a - 5) ta n a + l = 0 => ta n a = - l t a n a - 2 = 0 => ta n a = 2 t a n a - 5 = 0 => ta n a = 5

Luego los puntos críticos serán -1 ,2 y 5, los cuales a continuación deberán ser ubicados sobre una recta num érica (figura 3.22(a)). Observe que a co m p arac ió n del ejem plo anterior, so b re los núm eros -1 , 2, 5 hay puntos, los cuales indican q u e la ta n a p u ed e tom ar estos valores, esto queda sobreentendido por la desigualdad > dada por la condición inicial (tan a + l)(tan a - 2 )(tan a - 5) > 0 (-)

La figura 3.21 nos ilustra la intersección -00

(-)

(+ ) -

2

5

(+ ); +oo

(a)

Como (tan a +1) (tan a - 2) (tan a - 5) es positivo o cero, escogem os las regiones m arcadas con (+ ), incluyendo los puntos —1, 2 y 5.

. Intersección

Figura 3.2 i

Finalmente los valores de ta n a que verifican las condiciones del problem a serán los núm eros p e rte n e c ie n te s a la in tersecció n , es d ec ir el intervalo (0; 2). .-. ta n a = (0;2) Ejem plo 1 Siendo a un ángulo agudo, halle los valores de la t a n a , los c u a le s v e rifiq u e n la s ig u ie n te condición:

A d ic io n a lm e n te la teína d e b e v erific ar la condición d e que a es un ángulo agudo, esto es debe cum plir ta n a > 0 , es decir ta n a s (0; + ~ ) . Luego, ex p u esto lo anterior los valores d e la tangente d e a serán obtenidos a partir d e la intersección de los siguientes intervalos (H ;2 ]u [5 ;+ ° o ))n < 0 ;+ = o ) La figura 3.22(b) ilustra la intersección

(tan a + l)(ta n a - 2)(tan a - 5) > 0 R esolución Dada la desigualdad

Así p u e s o b te n e m o s el sig u ie n te co n ju n to solución ta n a s [-l;2]u[5;+°°}.

^

(tan a + l)(tan cf-2)(tan a - 5) > 0 A plicam os el m é to d o d e los p u n to s críticos (cada factor se iguala a cero y se hallan los valores de la tan a).

-o o

—1

0

2

5

Intersección

+oc

Intersección

(b) Figura 3.22

147

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Finalm ente los valores de la tangente de a que verifican la condición del problem a se rá n ios núm eros pertenecientes a la intersección, es decir los intervalos (0 ; 2 ] u [ 5 ' + °°^'

Para aplicar el método de los puntos críticos, los coeficientes de la variable elegida deberán ser necesariamente positivos (coeficiente principal).

ta n a = { 0 ;2 ]u [5 ; + °°) Ejemplo 2 Si c o t a e R (p u e d e asu m ir c u a lq u ie r valor positivo, negativo o cero). Halle los valores de la c o ta , a partir de la siguiente condición (2 - cot a)(2 cot a +1) > 0

Según lo ex p u e sto a n te rio rm e n te , la form a correcta de resolver la desigualdad (2 - cot a)(2 cot a +1) > 0 e s la siguiente: m u ltiplicando x ( - l ) am b o s miembros de la izquierda. => ( c o ta -2 ) ( 2 c o ta + l)< 0

Resolución C u id ad o co n reso lv er u tilizando los p u n to s críticos

(debe notar que los coeficientes de c o ta son positivos) Por lo que los puntos críticos correcto s serán

2 - c o t a = 0 => c o ta = 2 2 c o ta + l = 0 => c o ta = —

(-)

2 -

L uego los p u n to s crítico s s e rá n 2 y

, a

c o n tin u a c ió n se re p re s e n ta n e n u n a r e c ta num érica (figura 3.23(a))

(-)

(+ ) -

(+ ) + 00

1/2

1/2

(a)

(b)

Figura 3 3 3

Y com o hem ps explicado anteriorm ente, debido a que la desigualdad indica q u e el p roducto es negativo, escogem os las regiones m arcadas con (-), esto es

- 1 ;2 \ 2 /

Y del gráfico concluimos que

cota = ( - e o ;- i \ u ( 2 ;+ « Es fácil verificar el error, ya q u e se g ú n esta respuesta un valor de c o ta podrá ser 3, entonces el producto (2 - cot a)(2cot a +1) = (2 - 3)(2 x 3 +1) = -7 resulta negativo lo cual evidentem ente no cum ple la desigualdad (2 - cot a)(2cot a +1) > 0 148

Valor Absoluto El valor absoluto de x, denotado por |x |, se define com o 1 íx ; si x > 0 1*1 = [ - x ; si• x < 0n De lo anterior podem os plantear qu e el valor absoluto de un núm ero realx (| x )), es el mismo núm ero x, si x es mayor o igual a cero; y será igual a su opuesto aditivo - x si x es m enor a cero.

C A P ÍTU L O II!

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Para un mejor entendimiento de los siguientes ejemplos, m antenga su atención en cuál de las desigualdades se cum ple que el núm ero afectado por el operador valor absoluto | | es mayor o igual a cero o m enor a cero (> 0 ó 0 => 13 1=3

, Ixt 0

-0 0

+x

Figura 3 3 4

Para 3 - n = - ( 3 - n ) = J t - 3 = 0,1416, puesto que 3 -

•

Por consiguiente, se plantea los siguientes teoremas:

Ejemplo

j i | —2 1= —(—2)

Si x e R , halle los valores de ta n a a partir d e la desigualdad ta n a = |x |+ 2 .

Reduciendo obtenem os |- 2 | =2

Resolución

•

P ara | tan 4 5 ° | = ta n 4 5 °, p o r q u e tan45° cum ple la desigualdad tan45°> 0

Debido a que x e R . |x |> 0 .. . (1) Sum ando 2 a la desigualdad (1)

•

P ara | c o s í 2 0 ° |, c o m o m á s a d e la n te com probarem os eos 120° = - esto es cosl20°< 0

|x | +2 > 0 + 2 , reduciendo | x | +2 > 2 esta expresión es idéntica a ta n a => ta n a 2 2 y com o intervalo ta n a

|c o s l2 0 J | = -c o s l2 0 ° -x

2

+cc

Figura 3 3 5

Geométi icalnente el valor absoluto de un núm ero real a es la distancia del núm ero al origen

tan a = [2 ;+ °°)

h—I a I— I —----- 1------------- 1---------- *■ a 0 V 7 - |* | ; V xeR Ejemplo Calcule d, y d2 (distancias), e n las siguientes rectas numéricas. I— |d ,|— | ---- 1------------- H------► -3 0

I— |d2|— l ---- 1------------- 1-------► 0 fi

Resolución d, = |- 3 |= - ( - 3 ) = 3 | d2 = ¡>/2¡ = V2 Por la definición vem os que el valor absoluto de un núm ero real es un núm ero positivo o cero, es decir, es no negativo.

Ejemplo 1 •

\ ( ? = |3 | = 3

•

Vían2 45° = | tan 45°| = tan 45°

•

v se n 2a = |s e n a |

•

n/C-10)2

• •

Veos2120° = | eos 120° | = - eos 120° Si a e s u n án g u lo a g u d o , sim p lifiq u e Vtan2a - 1ta n a | , pero por ser a un ángulo agudo => ta n a > 0 , luego |ta n a | = ta n a

= |- 1 0 | = 10

.-. Vtan2a = ta n a

Lumbreras Editores

Trigonometría

Ejemplo 2 Si x e R , halle los valores de la c o ta , tal que se verifica la siguiente condición: cot a = V ? + 4 Resolución c o ta = s /? +4 Aplicando el teorem a anterior se obtiene c o ta = | x | + 4 ... ( a ) |jr |> 0 , sum ando 4 | x | + 4 > 0 + 4 , obtenem os

Figura 336

c o t a s [4 ;+)

! 2cosct + 2 s e n a I Í3 se n a -3 c o sa i

. i ___ ______________ i

Resolución Sea P _| 2 co sa + 2 s e n a Í 3 s e n a -3 c O s a

p _ |2cosa+2sena[ |3 sen a-3 co sa|

cota 4

H alle el e q u iv a le n te p a r a la sig u ie n te expresión: t

Aplicamos el teorem a anterior

c o ta > 4

-»

•

+x

Factorizando ^

|2 (se n a + c o s a ) | _ |2 | | s e n a + c o s a | |3 ( s e n a - c o s c 0 | )3 | |s e n a - c o s a | 2 1s e n a + c o s a | 3 (se n a -c o sa I

Si x . y e R entonces |xy| = |x | |y|

Ejemplo 2 Si c o s a < 0 , entonces la expresión

Ejemplo •

13(-2) | = 13 11 -2 |

•

|2 c o s a | = |2 | jc o s a j

•

|3 s e n a + 3 | = |3 ( s e n a + l) | |3 s e n a + 3 | = |3 | |s e n a + l | |3 s e n a + 3 | = 3 |s e n a + l|

|- 3 c o s a | + 3 c o s a es ig u ala Resolución Sea M la expresión en análisis => M = |- 3 c o s a |+ 3 c o s a A partir de M = |- 3 c o s a | + 3 c o s a M = |- 3 | |c o s a | + 3 c o s a M= 3 |c o s a | + 3 c o s a . . . (1)

Si x, y e R , entonces x y Ejemplo 1 •

150

|s e c a | |2 |

7t H

•

seca 2 V2

En (1) falta re d u c ir el ¡ c o s a |, p a r a ello el problem a da la información siguiente co sa c O => |c o s a | = - c o s a ...( 2 ) •porque co sa verifica la desigualdad c o s a c O Reemplazando (2) eri (1) obtenem os M = 3C -cosa) + 3cos a Reduciendo obtenem os M=0 .-. |- 3 c o s a | + 3 c o s a = 0

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición normal

C A P ÍTU L O III

' ‘ V-

Ejemplo 3

• V '3 '.nn-

T e o rem a

Siendo 0 un ángulo agudo, calcule ta n 6 ; si se verifica la siguiente condición

|x | = | - jc| ; V x e R

;sen6 + - =1 ! 2

Ejemplos

• 131= |-31=3 •

|x —y | ; vea a x-y com o un solo elem ento; por el teorem a

-

' 1x —y | = | (x-y) | = | - { x - y ) | -x +y

Resolución Como 1= 111, entonces la igualdad será

¡sen0 + - = I H

! 2 Aplicando el teorem a anterior

O rdenando obtenem os |x —y | = |y —x |

sen 0 + - = l

ó

sen0 + - = - l

sen 0 = -

ó

sen 0 = - -

2

esto es | eos a - sen a | = | sen a - c o s a |

2

De igual form a | l - t a n a | = |t a n a - l |

2

2

Para 0 agudo, se cum ple 0< s e n 0 , por lo que se

Teorema V x ;y 6 R |x | —|y | si x —y v x ~ - y

elige sen© = - , con la ayuda d e la figura 3.27 obtenem os el valor d e la tan 0 , qu e com o usted recordará tan8~ c a te t0 °P u eslo ai ángulo 6 cateto adyacente al ángulo 0

Ejemplo 1 Resuelva ¡ x - 2 | = |3[ Resolución x -? .= 3 ó x - 2 = -3 x = 5 ó x = -1 El conjunto solución es -1 y 5

Ik _ 1 J3 k 7 J

V3K . Figura 3 3 7

Ejemplo 2 Halle los valores de la ta n a sabiendo que a es un ángulo agudo que verifica la siguiente igualdad

Racionalizando se obtiene

| t a n a - 3 | = 14 1 Resolución De lo anterior se tiene t a n a - 3 = 4 ó t a n a - 3 = -4 ta n a = 7 ó ta n a = - l A p a re n te m e n te 4os v alo res de la ta n a son {-1 ;7}, pero falta que estos valores verifiquen que a es agudo, es decir ta n a >0 Por lo que el único valor de ta n a que verifica dicha desigualdad es 7. ta n a = 7

V x e R ; | x | í = |x 2| = x í Ejemplos •

| - 3 | 2= |( - 3 ) 2|= ( - 3 ) 2=9

• . |c o s 0 | 2 = cos20

|x |< a 0

151

Lumbreras Editores

T rigonom etria

Ejemplos • |x |< 2 o = > - 2 < x < 2 , . 1 1 • •

- 5 < ta n a < 5

1 --< c o sa < -

co sa < - o

1

De (2) aplicamos el teorem a obteniendo

1 2

2

Teorema |

^

;

,

-oo

-5

0

=> tan = [-5;5] Ejemplo 1 • •

,

sen a

i

2

+x

........... (6)

Expuesto lo anterior, los valores de la ta n a que verifican las dos condiciones serán aquellos que verifican o se encuentran en la intersección de los intervalos (4) y (6), los cuales respectivamente

1 1 1 < — — < se n a < 2

5

(b)

a > 0 - a < x < a

a

(5)

La figura 3.28(b) m uestra los%valores d e la ta n a para esta condición. ?— ------------T tan a

2

|t a n a |< 4 0 ........... (1) |t a n a )< 5

+=

Intersección

Ejemplo 3

,

5 J

|x |> a

a

a> 0

x < -a v x> a

Ejem plos • |x | >3 o x < - 3 v x > 3

.,.........(2)

Resolución

•

|ta n P |> 2 = > tanfl < -2 v tan P > 2

A partir d e (1) se obtiene ta n a > - 2 ........... (3)

•

| c sca | > 1 => c s c a < - l v

c sca > 1

La figura 3.28(a) muestra los valores d e la ta n a para esta condición.

|x |£ a

x < - a v x 2 a , donde a>0

tana —oo => tan a = [ - 2

452

—2

0

+®

Ejem plo 1

(a)

•

|jfj > 3 x < - 3 v x < 3

(4)

•

|cot< ()|> 4 o

cot(¡) < - 4 v co ló >4

C A P ÍTU L O III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Ejemplo 2 Si s e n a s [—l;ll, halle los valores de s e n a que verifiquen la siguiente condición. |s e n a |> -

1

2

Resolución A partir del enunciado po dem os p lantear dos condiciones s e n a s |-1;1] ........... (1) | s e n a | > | ............ (2) De (2) a p lic a m o s el te o re m a anteriorm ente, obteniéndose se n a < -- v sen a> -

2

in d ic a d o

(3)

2

R esolución Como 0 es agudo, se debe verificar que esc 0 > 1 ' (Esto se determ inó en el Capítulo II) Entonces | c s c 0 - 2 | > 2 « c s c 0 - 2 < - 2 v c s c 0 - 2 s 2 ...(1) Si a partir d e (1) reducim os obtenem os c s c 0 sO v c s c 0 > 4 ...(2) Como usted observará tenem os dos posibilidades de las cuales, com o c s c 0 > l (por ser 0 agudo), solo se podrá considerar que e s c 0 £ 4 ...(3 ) Representando esta última desigualdad en una recta num érica la cual se ilustra en la figura 3.30

La figura 3.29(a) m uestra los valores de s e n a para esta última condición (3).

CSC0 —00

o

4

+00

Figura 3 3 0

se n a

se n a -»

-1/2

.

1/>2

(a)

Expuesta lo anterior, los valores de s e n a que v erific an la s d o s c o n d ic io n e s p la n te a d a s inicialmente (1) y (2), serán aquellos valores de s e n a q ue verifican los intervalos (1) y (4) en simultáneo (intersección). La figura 3.29(b) ilustra m ejor esta deducción.

Del gráfico se obtiene csc0 = [4;+°°)

Sean a , b e R+ (constantes) x e R -{0} (variable) Entonces se establece 0

a x + —£2>/ab ; si x>0 x

¡0 a x + —< -2>/ab; si x < 0 x

Intersección Intersección (b )

Figura 3 3 9

El valor d e x que verifica la igualdad en la proposición (/) se determina por x=

Ejemplo 3 Hálle todos los valores que puede tom ar csc0 ( 6 : án g u lo ag u d o ), los c u a le s v erifiq u en la desigualdad | esc 0 - 2 1> 2

En forma análoga para la proposición (;¡) El valor de x que cumple la igualdad, se obtiene P°r x = ~

153

Trigonom etría

Lumbreras Editores

Ejemplo 1 Se quiere cercar con alambre el perím etro de un terreno de forma rectangular cuya superficie es 11 km2. Determine la m enor cantidad de alam bre a emplear.

Por la observación anterior la igualdad en (!) se verifica cuando tan0 = ,j^ => tan0 = \/3 => e = 6o°

Se puede calcular

Resolución

M = sen0 co s0

Del esquema, sea x ey las longitudes del rectángulo

M = sen 60°. eos 60° M = V3/4

Figura 3.31

i) Si a < x < b y a ; b > 0

Tenemos x y = l l ............ (I) Perímetro: E = 2x+ 2y.... (II)

=> a2< x2 < b 2

Se pide el mínimo valor de E, donde x> 0.

~ I a 1< 1jt | < 1b |

De la condición (I) y = — x

ii) Si a < x < b y a ; b < 0 =» a 2> x 2 > b 2

Reem plazando en (II) E=2x+2 => E=2x + — ........(III)

|a | > | x | > | b | iii) Si a < x < b y a < 0 ; b > 0

X

Por teorem a anterior => O S x ^

2x + — > 2^2x22

se elije el mayor entre a2 o b 2

De donde E>4VÍ1

se elije el «5- 0 < | jc | < mayor entre

La m enor cantidad de alam bre será 4 -f\ \ km

|a | o |b |

Ejemplo 2 E= 2tan0 + 6cot0 toma su mínimo valor. Considere al ángulo 0 agudo.

Resolución Como 0 e ( O ;90°) => tan0>O Luego la expresión E tom a la form a

Ejemplos i)

Si 2 e x < 5 =*• 4 < x 2 < 25

=> 0 < x 2 < 9

=> 2 < | x | < 5

=> 0 < | x | < 3

ii) Si - 3 < x < - l E = 2(tan0) + — tanO Por el teorem a E > 2^/(2)(6)

.......... (1)

iii) Si - 3 < x < 2

iv) Si - 2 S x <

* ^

Determine se n 0.eo s0 , si la expresión

=> 9 > x 2 >1

=> 0 < x 2 < 1

=> 3 > | x | > 1

=3 0 S | x | < 4

C A P ÍTU LO III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

D ista n c ia e n tr e D o s P u n to s e n la R e c ta N u m érica La distancia entre los núm eros reales x , y x 2 está d ado por el valor absoluto de la diferencia de estos. h—

Ejemplo j De las figuras 3.34(a), 3.34(b) y 3.34(c), halle las distancias d |t d2y d3 respectivamente. d, 1---------- 1-------- 1 -3

d --------1

0

--------------- .-------------------- 1--------------- ►

*1

(a)

*2 d2 1------ — !

Figura 3.32

, . . ------------------------- 1-----------1---------------►

0

De la figura 3.32 se cum ple

(b)

( d = |x i - x 2 | = |x 2- x , | ]

Ejemplo De la figura 3.33(a) y 3.33(b), calcule la distancia d , y d 2. t— —

d3 1---------— 1 -----------1--------------1--------------------------►

a

0 (c)

d , --------- 1

-2

Figura 3.34

3 (a)

.

Resolución

1--------d 2--------- 1

d, = I —3 1= —(—3) = 3

2

d 2 =:v/2: = V/2

6

d 3 = | a | = - a ; puesto que a < 0

(b)

*

Figura 3.33

Resolución Empleando la fórmula para la distancia entre dos puntos, tenem os d, = | (—2) —(3 ) J = 5 ó d, = |( 3 ) - ( - 2 ) | = 5 d2 = | (2) - C6) | = 4 ó

V2

Segm ento Dirigido Se llam a seg m en to dirigido al se g m en to orientado por un eje (recta num érica). En la figura 3.35 el segm ento AB (A e s el origen del segmento, B es el extrem o o fin)

d2 = | (6) - (2) 1= 4 A

B

l> ; Observación. Figura 3.35

La distancia de un número real x al origen está dado por |x |. La notación AB indica un segm ento dirigido. 155

Trigo no m etría

Lumbreras Editores

Un segm ento dirigido se considera positivo si su dirección coincide con la del eje, o negativo si su dirección es contraria a la del eje. AB

Al-

En general Dados A y B los puntos en la recta numérica, el valor de los segm entos dirigidos AB y BA respectivamente se obtiene así AB = B - A ; BA = A -B * En consecuencia, se cum ple AB = -BA ; ¡ÁB¡ = ¡BÁ¡

-2 (a)

Ejem plos i) Siendo x„ x2 y x3 coordenadas de los puntos A, B y C respectivamente.

AB = B - A = (3) - (-2) = 5

BA

A x,

HB

B . x2

C x3

De la recta num érica tenem os

-2

AB = B -A = x2- x (

(b )

BC = C -B = x 3-

BA = Á - B = ( - 2 ) - ( 3 ) = -5

x2

AC = C -A = x 3 - x ) AB

CB = B - C = x 2 - x3 También se tiene

(c)

AB = ¡x2- x 1j = x2- x 1

Figura 3 36

BC=\x 3- x 2lr x 3- x 2

La longitud del segm ento AB es AB = | AB¡ = ¡BA;

AC = \x3 - x ¿ = x 3¡i)

A

xi

se n a

B

=> AB = |3 - ( - 2 ) | = |- 2 - 3 | = 5 AB = | se n a | = se n a Así p ues, la porción de la re c ta e n tre los puntos A y B tiene por longitud 5. Eli segm ento dirigido AB =5 es positivo, porque sigue el sentido positivo del eje. En cambio, BA = -5 es negativo, porque sigue el sentido negativo del eje. Es evidente que al perm utar las letras en la designación de un segmento dirigido, variamos su orientación y, por ello, el segm ento cam bia de signo, conservando su valor absoluto. 156

AB = se n a iii)

p

cos9

Q

QP = |c o s9 | = -c o s0 QP = cos0 Los criterios del ejem plo ii y Ü1 se aplicarán en circunferencia trigonométrica.

Problemas Resueltos Problema 1

Com pletando cuadrados, tenem os

En la figura 3.37(a) AOD y BOC son sectores circulares con centro com ún O. Calcule el área m á x im a d e la región so m b rea d a, sie n d o su perím etro 10 m. B

25 S = - cz - 2 c | r |+ — + — 4 5 C 2

S=-

+ Y

4

..............( 3 )

En este problem a se d eb e ten er presen te que cualquier núm ero real elevado al cuadrado es positivo o cero, es decir x2>0 ; V x eR Entonces 0 de (3) ■ ir *

R esolución En la figura 3.37(b), se ha considerado la longitud del arco AD y BC com o a y b respectivam ente. A dem ás AB=c => DC=c

De (3) tenem os

H

.

=> — - S > 0 4 25 >S.

4

■Í4)

Pero, com o usted com prenderá el áre a es una cantidad positiva, por io que planteam os S > 0 .......... (5) 25 De (4) y (5) obtenem os 0 < S < — 4 Los valores que tom a el área S se puede visualizar en una recta numérica. O---------------------------- 1I

s

Pero a + b + 2c= 10 ^

a +b = 5 -c ~T

0

« ( 2)

R eem plazando (2) en (1) S = ( 5 -c )c => S = 5c - c2

25/4

(c)

■

Figura 3.37

Los valores de S se ilustran en la figura 3.37(c) (tener en cuenta qu e S es positivo). Entonces el máximo valor de S es 25/4. 157

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema 2

Problema 3

Siendo (3 la m edida de un ángulo agudo, halle la variación de

y se cumple

E=

sen{3-2 sen(3 + 2

Resolución Para, resolver este problema, hacem os aparecer e n el n u m erad o r la form a del d en o m in ad o r (sum am os y restamos 2 en el num erador). „

se n p + 2 -2 -2 se n p + 2 „ se n P + 2 -4 => E = -------------senP + 2

^ s e n a - i j + ^ c o sP --^ i calcule E=

= ^ > /(ta n 8 -l)2

eo s a tan P

senB

Resolución Del dato, analizamos el segundo m iem bro

í s e n a - i j +í cos(3_ ^ Y = -l tan 0 -

D escom poniendo en fracciones parciales se n p + 2 sen P + 2

Siendo a , P y 0 las m edidas d e ángulos agudos

4 senP + 2

s e n a - i j + |^ c o s P - ^ j + |t a n 0 - l | = O

Como

. E = 1------ i*— senP+ 2

Nota El objetivo de estos artificios es analizar la variable ( senp ) sólo en el denominador.

s e n a - i j 2; 'í cosp_ *^ *

y |t a n 0 - l |

son cantidades no negativas, entonces la sum a de estas cantidades es siem pre no negativa. En el problema com o la sum a de estas cantidades es cero, entonces cad a cantidad deberá ser cero, entonces

Com o p es un ángulo agudo, se cum ple 0 < senp < 1 Sum ando 2 2< senp+ 2< 3 Invirtiendo 1 2

1 senp + 2

i 3

=$• c o s a = -

Multiplicando - 4 -2 <

-4 -4 -< senP + 2 3

Sum ando 1 <

-1 <

V6 4 senp + 2 <

E

E = / - l ; - —^ \ 3 158

3

< -i

C A P ÍTU LO III

•

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición normal

|ta n 9 - l | = 0

Resolución

=> tan0 = l

Como cot 0 =

1 .reem plazando enE tenem os tan0

E = tan 0 +

tan2 0 +1 1 => E = tan0 tan0

tan20 - E ta n 0 + l=O Por ecuación cuadrática A > 0 => (-E )2-4(1)(1)> 0 =» E2 - 4 > 0 => (E + 2 )C E -2 )> 0 Graficando el intervalo (+ )

(-)

-2

0 => E > 0

2

E>2

E = V3 Teniendo e n cu en ta este p ro b lem a p o d em o s c o m p re n d e r las c o n c lu sio n e s a p artir d e la siguiente sum a

Siendo 0 un ángulo agudo se cumple tan 0 + co t0 > 2

V 2 se n a -1 + .|c o s P - l|+ ( c o t 6 - \/ 3 ) = 0 ... (1) debido a q ue

Además, si tan0 + cot0 = 2 => tan9 = i

V 2 se n a -1 > 0 | c o s p —11> 0

A dicionalm ente, d e lo anterior se cum plen los siguientes teorem as

(c o t0 -V 3 )2 > 0 Entonces, para que dicha sum a (1) sea cero se debe cumplir 2 se n c c -l = 0 => s e n a = -

0

tan0 + c o t0 > 2 ; sitan8>0

«) tan8 + c o t0 < -2 ; si tan0 < 0

2

c o s P - l = 0 =* cos(3 = l % c o t0 -V 3 = O => cot0 = \/3 Siendo a , b e R +

Problema4

í) atan0 + bcot0>2V áb ; si tan0>O

Siendo 0 un ángulo agudo halle todos los valores d e E= tan9 + cot0

ií) atan 0 + b c o te < -2 V a b ; si tan6< 0

159

Lumbreras Editores

Problemas

Trigonom etría

Resolución

De la figura adjunta, halle el m ínim o valor de (AB+DE). Dato: AC=CE=3

B

En la figura 3.36(b), por resolución de triángulos, Resolución En la figura 3.40(b) se h a c o n s id e ra d o q u e m AC = 2tan0 + cot0 Como tan0 es positivo, entonces por teorem a tenem os 2tan0 + ------ > 272 x 1 tan0 => 2tan9 + c ó t0 > 2\¡2 =*

AC

>2^

ACmin = 2>/2 Figura 3.40

Entonces (AB + DE) = 3cot0 + 3tan9 (AB + DE) = 3 (cot9 + tan0) es > 2 Para que (AB+DE) sea mínimo (cot 0+ tan 0) deberá tom ar su mínimo valor, es decir cot 0 + tan 0 = 2. (AB + DE)min=3(2) = 6

Problema 6 De la figura mostrada, determ ine el m ínim o valor de.AC, si BH=2. * B

Problema? S iendo 0 un ángulo agudo, halle los valores de A y B, si A = sen 20 - s e n 0 ; B = J 2 -3 c o s 0 |+ 5 R esolución . i) En A, com pletam os cuadrados A = se n 20 - 2 s e n 0 x í l l + i L2 J 4

Como 0 es agudo, tenem os O < se n 0 < l =» - - < s e n 0 - - ^ < ^ 2

2

2

Por el teorem a (página 152) tenem os

=* O < ísen 0 - i - ] < 1

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

CAPÍTULO III

De lo analizado en el problem a (3) de este capítulo tenem os qu e

Sum ando — 4

3 s e r i0 - l = O y >/3-séc = 0 < se n G 1

A= ii)

4

- 4 /3 á

< A . - 3 < - 3 c o s G < 0 =* - 1 < 2 - 3

cos

p = (V3)2( 3 ) - ( 7 5 ) 2 = 9 - 5 =4 P=4

0 < 2

Por el teo rem a (página 152) =» 0 < |2 - 3 c o s 9 | < 2

Problema 9 Analice la verdad o falsedad d e las siguientes

=> 5 < |2 - 3 c o s 0 1 + 5 < 7

proposiciones, siendo 0 la m edida d e un ángulo agudo.

=>

i)

|l - s e n 0 | = 1 - sen©

ii)

| ta n 0 - 20021=2002-tan 0

5 D e R

Siendo a , 0 y 0 ángulos agudos que verifican Resolución VV5- co ta +\Jc ota-/3-secó)2 Calcule P = sec20 c s c 0 - c o t2a

Como 0 es la m edida d e un ángulo agudo, se cum ple O < se n 0 < l ; tan0> O y s e c 0 > l

Resolución

Entonces

Se define \fx > 0 ; V x > 0 Entonces d e la condición del problem a, tenem os r/5 -c o ta > 0

i)

O > -se n 0 > -l l > l - s e n 0 > O =» ¡ l - s e n 0 | = l- s e n 0

y co ta-% /5 > 0

=> yf5> cot a y c o ta > \Í5 De lo anterior se d ed u ce que c o ta = V5 es el único valor que satisface am bas desigualdades. % R eem plazando c o ta = V5 en la condición del problem a tenem os VV5-V5 + V v5->/5 = (3 sen 9 - 1)2 + (V§ - s e c ó ) 0 = ( 3 s e n 9 - l) 2 +(V3 - s e c ó ) 2

es (+ ) Se concluye que la proposición i es v e rd a d e ra ii) Como tan0> O su m a n d o -2002, tenem os t a n 0 - 2002 >-2002 o---------tanG-2002 -X

-20 0 2

0~ Figura 3.42

+ 00

Lumbreras Editores

Trigonometría

‘

El gráfico ilu stra los v alo re s neg ativ o s,

Problema 10

cero y positivos q u e to m a (tan 0 - 2002), entonces

Siendo 0 un ángulo agudo, qu e verifica

|tan0-20021=

íta n e-2 0 0 2 ; si tan 9 -2 0 0 2 > 0

l+ se c 0 4 halle el valor el máximo valor d e

[2002-tanG ; si tan0-2OO2 l = M + se c0 > 2,

e n to n c e s el signo d e (l + s e c 0 ) es positivo, por consiguiente se cumplirá

->/(0,5-sec9)2 = |O ,5 -s e c 0 | Como s e c 0 > l

ta n 0 -l> O => ta n 0 > l => - s e c 0 < - l

Com o la expresión y está en térm inos d e c o t0 , tenem os

=> O ,5 -sec0< -O ,5

ta n 0 > l obteniendo —— |O ,5 -s e c 0 | = - (O ,5 -s e c 0 ) = sec0-O ,5

—-— c o te < l tan 6

es ( - )

Pero cot0 es positivo (por ser 0 un ángulo agudo)

V (O ,5-sec0)2 = sec 0 -O ,5

=> O < c o t0 < l..................... (1) Sé co n c lu y e q u e la p ro p o sic ió n verdadera.

iii e s Reduciendo y, tenem os y = -Jcol20 - 2(cot 0 )(2 )+ (2)2 + 2 co t0

iv) Del dato D = tan 0 -c o t0

y = > /(cot0-2)2 + 2cot 0

D = tan0---- — tan0

y = |c o t 0 - 2 | + 2 c o t0 ........... (2) De (1) tenem os -2 < c o t0 -2 < -l

O rdenando tan20 - D •tan0 -1 = 0 Luego

(-Dil=:4(lX-l)>0

=> | c o t 0 - 2 | = 2 -c o tO ...........(3) es (-) (3) en (2)

y = 2 -c o t0 + 2 c o t0 y = 2 + c o t0

D2+ 4 > 0 Esto se cum ple V D e R Se c o n c lu y e q u e la p ro p o s ic ió n iv es verdadera. 162

D e ^ l)

2 < 2 + c o t0 < 3 2 < y S3

*•

^

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

C A P ÍTU LO III

SISTEM A DE COORDENADAS RECTANGULARES Sistema formado por dos rectas num éricas que se cortan perpendicularm ente en su origen (una' horizontal y otra vertical, adem ás am bas rectas tienen la m ism a unidad de distancia). A la recta horizontal se le denom ina eje de abscisas (X), m ientras que a la recta vertical se le denom ina eje de las ordenadas (50- El punto de intersección d e d ic h o s ejes (O) se denom ina origen de coordenadas, y el plano formado por los ejes se llam a plano de coordenadas o plano cartesiano, (véase en la figura 3.43). Los ejes X e Y dividen el plano cartesiano en cuatro partes llam ados cuadrantes. Y -3 Segundo Cuadrante 01C) x< 0;y> 0 .;

( -3

1 -2

1 -1

Tercer Cuadrante (III C) “2 " x< 0;y< 0 -3 -

O ü

Así p u e s , el sis te m a re c ta n g u la r d e c o o r d e n a d a s e n el p la n o e s ta b le c e la correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los puntos del plano y el conjunto d e pares de núm eros, correspondencia qu e al resolver los p ro b lem as g eo m étrico s p erm ite e m p le a r los procedim ientos algebraicos.

Primer Cuadrante 0C) x>0;y>0

' 2 ^

]

Se llama par ordenado al conjunto de dos números en el cual se indica qué número es primero y qué número es segundo. Así en el par ordenado (x; y), el primer elemento es x y el segundo esy.

1

2

3

Y

A-

Cuarto Cuadrante (IV C) x>0;y.

Las distancias de un punto Q(a;6) a los ejesX e Y son respectivamente | b | y | a | . Ejemplo En la figura 3.45(a) las distancias de Q a los ejes A e Y son respectivamente 13 1= 3 y j - vTÓ ¡= VTÓ. Análogamente las distancias d e P y R a los ejes X e Y son respectivamente

• •

La abscisa de M es 3 y la ordenada de M es 1. La abscisa de P es 2 y la ordenada de P es -3.

• •

La abscisa de Q es —J\0 y la ordenada de Q es 3. La abscisa de R es 0 y la ordenada de R es -2.

Debe entender usted que hay pares ordenados q u e representan a puntos que se en c u en tran sobre los ejes; la figura 3.45(b) ilustra al respecto.

Para P : |- 3 |= 3

y |2 |= 2

Para R : |- 2 j = 2

y | 0 |= 0

El teorem a último debe d ejar en claro que las distancias de un punto a los ejes coordenados no son necesariam ente iguales a la abscisa y ordenada de dichos puntos, sino a sus valores absolutos. Los sistem a s b id im e n sio n a le s (d o s dimensiones) son utilizados en nuestros días con b a s ta n te fre c u e n c ia d e m u c h a s form as. N orm alm ente se utilizan p ara co m p arar do.s cantidades proporcionales, de las cuales una de ellas se cuantifica (asignar una unidad arbitraria de m edida cm, m, g, atm, etc.) sobre el eje X (eje de abscisas o eje horizontal) y la otra cantidad sobre el eje Y (eje d e o rdenadas o eje vertical). La

siguiente lectura ilustra uno de estos casos, de dependencia entre la cantidad de masa ósea (calcio y minerales existentes en los huesos) que tiene una persona y la edad de la m ism a, la cual disminuye a partir de los 30 años de edad para am bos sexos, observándose que la dism inución de m asa ósea es m ás acentuada en las nmqetes a partir de la menopausia y mientras que para ta s hom bres es m enos acentuada (no dism inuye tan rápido). 164

C A P ITU LO III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

A P L IC A C IO N D E L S IS T EM A D E C O O R D E N A D A S E N M E D IC IN A

Existen dos tipo s de OP (pérdida de masa ósea en los huesoi) a) Post-m enopáusica (tipo I) o de renovación alta b) Senil (tipo II) o de renovación baja Una característica clínica de las diferentes form as de OP es el pico de masa ósea.

PICO DE MASA ÓSEA D urante la niñez, adolescencia y adultez tem pra na , p re d o m in a la form ación sobre la resorción, hasta que llega a alcanzar el pico de masa ósea a la edad de 25 a 30 años. Esta edad va a de p e n d e r de las zonas óseas y de la genética de la persona. A partir de esta edad ocurre un equilibrio entre resorción y form ación que dura 5 a 10 años. A p a rtir de esta edad, o cu rre un proceso constante de pé rd id a de masa ósea (calcio y m atriz). La pé rd id a de masa ósea es de ap roxim a da m en te 0 ,5 a 1,0% anualm ente, luego de haberse alcan zado el pico m áxim o de masa ósea en la persona joven.

Factores para el pico de masa ósea El conseguir un pico elevado de masa ósea es fu n d a m e n ta l para evitar el OP en etapas tardías de la vid a. Entre las causas más im p ortan te s están la genética (la raza negra alcor za un pico de masa ósea más elevada que las razas caucásicas o asiáticas), deficiencias gonadales, inadecuada ingesta de calcio y v ita m in a D, estilo de vida sedentario, algunas enferm edades crónicas y'h á b ito s nocivos (consumo de a lco h o l y cigarrillo).

El sistema de coordenadas es bastante útil. Así. observamos como perm ite graficar la tendencia en la pérdida de masa ósea en los huesos considerando la edad y el sexo.

165

Trigonometría

Lumbreras Editores

D istancia entre dos Puntos en el Plano Cartesiano Conociendo las coordenadas de dos puntos c u a le s q u ie ra P (jr,;y1) y Q (y 2;y2) d el p la n o cartesiano, la distancia d entre ellos se determ ina d e la siguiente forma: ■ -------d = ^ ( y , - x 2)2 + (y1- y 2f

Ejemplo Calcule la distancia entre los puntos P(-2;3) y Q(5;4). Resolución * Sea d la distancia entre los puntos P y Q, aplicando la anterior fórmula.

•s

j

A continuación dem ostrem os esta forma de calcular distancias entre dos puntos en el plano bidimensional.

d = i/G-2 - 5)2 + (3 - 4)2 . d = V50=5V2

B

O b s e r v a c ió n

*

Si uno de los puntos sea P o Q del gráfico anterior se encuentra ubicado en el origen de coordenadas, entonces a la distancia se llama radio vector. Radio Vector(r) Es la distancia del origen d e coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano. El radio vector r del punto P (a;b) se calcula por la fórmula (r>0) Demostración Conociendo que los puntos P y Q se ubican según la figura 3.46, luego trazam os las perpendiculares PB y QC, cuyas prolongaciones se cortan en un punto K. En el triángulo rectángulo PKQ aplicam os el teorem a de Pitágoras d2=(PK)2+(KQ)2 Aplicando distancia entre dos puntos d e la recta, se tiene P K = |x ,- y 2| y K Q = |y ,-y 2| Entonces d2= |y ,- y 2!2+ |yi-y2|2 d a d o q u e | a | 2= a 2 ; V a e R d2= ( y , - y 2)2+ (y ,-y 2)2 d = y j ( x , - x 2)2+ ( y , - y 2)2 166

Ejemplo En la figura 3.47, halle el radio vector de ios puntos P Q .R y S .

C A P ÍTU L O III

Razones trigonom étricas de un ángujo en posición norm al

R esolución Aplicando r = \/a 2 + h 2 en la figura 3.47, tenem os •

r, = V32 + 22 r,= V Í3

Demostración Aplicando el teorem a de Thales en la figura 3.48 se tiene x - x , MP x -x , ------ - = — => ------ - = r x 2 - x PQ x, - x Despejando x tenem os

•

r2 = V ( - 2 ) 2 + 02

x _ x, + rx 2 1 +r

r2 = V 4 = 2

De m anera sem ejante podem os com probar que •

r3 = V ( - 3 ) 2 + (->/7)2 v = yi±iZ2 i+r

r3 = '/Í6 = 4 •.

r4 =V 32 + (-4 )2 r4 = V25 = 5

División de un Segmento por un Punto en una Razón Dada

Si r0 sena

12. seca -ta n 2a > 0 13. Vseñatana 0 15. tana = [sen a]-sen a 16. ecol“ < l

a

| seca | = -seca

17. c s c a lo g ^ cosa >0

R espuestas 1.

I1IC

6.

me

11. a e IC; IIC

16. a e IIC

2.

IVC

7.

aelIIC

12. a e IC ;IVC *

17. a e IVC

3.

IVC

8.

a e IIC; IVC

13. a e IIC

18. A = 7/3

4.

IIC

9.

a e IIC

14. a e IC

19. B= -7/50

5.

IC

10. a e IIC;IIIC

15. a e IIC ; IVC

20. C = -l/5

178

p roblemas Resueltos Problema 1 Si P(-3;5) es un punto del lado final del ángulo 0 en posición norm al, calcule A= se c9 + tan0

co s0 = : r 3 e* considerando jc= —1 se obtiene r=3 Recuerde

R eso lu ció n

y 2 = r 2 - x 2 =» y 2 = 8 =» y = ± 2>/2

El radio vector d e P será r= \¡(-3)2 + 5 2 = V34 x = - 3 ;y = 5 ; r= V34

Como 0 e 1I1C, tom am os y = -2\¡2 Pór definición

Entonces de la definición tenem os ta n 0

. %/34 5 => A = ----- + — -3 -3 A=-

= Z = 1^ X

= 272

>/2

=> C O t0 = ~^~F* = —~

2 V2

-1

4

Finalmente

>/34+5

ta n 0 + cot9 = 2>/2 + — ■=— 4 4

Problema 2

-

.-. tan0 + cot0 = ^ ^

Si cos 2 0 = - y 6 e II1C, calcule ta n 0 + c o t0 9

Problema 3

R eso lu ció n

Sabiendo que c o s a = -0,96 ;

-3tt

< a < - 7t

1

Del dato cos0 = ± - . Corrió' 0 e II1C, en to n ce s 3

Calcule P = se n a (2 c o ta + 4 )

eos 9 es negativo, por lo tanto c o s 0 = - Sea P(x;y) un punto del lado final del ángulo 0, que puede se r cualquiera de los infinitos ángulos en posición normal, positivos o negativos cuyo lado terminal pasa por el punto P (figura 3.62). Las razones trigonom étricas de esto s ángulos serán iguales (por ser ángulos coterm inales).

Resolución Del dato c o s a =

-96 100

-24 25

x r

=> Tomando x = -2 4 tenem os r=25 obteniéndose y=7 a

C o m o -----•< a < - n =* a e 1IC 2

179

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

ProUena5

Se pide P = sen a (2cot a + 4) De la figura 3.63 (por definición de R.T.)

Siendo ABC un triángulo equilátero, obtenga el valor de la expresión k = tan u) - 2 tanfi

Problema4 Del gráfico, halle sen 6 eos 0, sabiendo que las c o o rd e n a d a s d e A y B so n (—10; 12) y (6;4) respectivamente. Además AB=4AM.

Resolución Observamos que los ángulos p y (1) se presentan en posición norm al, en to n ces b u sq u em o s las coordenadas de B y A respectivam ente. Resolución De la figura AB=AM+MB entonces 4AM=AM+MB =* 7 7 7 = MB

o

S ea M(x,- y), por división d e un segm ento en una razón dada (véase página 165) donde la razón es g . Tenemos que (* ,;y ,)= (-ro ,1 2 ) y (* 2 ;y 2)=(6;4)

Figura 3.65

Sea 2a la longitud del lado del AABC, luego de entonces M(-6;10)

la figura 3.65(b) B (-2 a ;y ,) y A (-a;y 2)

Como M es un punto perteneciente al lado final del ángulo 0 en posición normal, d onde el radio

tam bién y ,-y¡= aV3

vector d e M es r= V (-6 ) 2 +10 2 = 2 n/34

tanP = —7 ad em ás tanco= — - 2a -a Reemplazando en k

= * s e n 0 c o s 0 = í-i£ = Y -^ L l

-15 34

Por definición de razón trigonométrica

k J h .) - d iL - ) = y iz y i=^ (-a )

sen 0 eos 0 = —^ 34 180

k = V3

( - 2a J

a

a

C A P ÍTU L O lil

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición normal

Problema 6 Si el áre a de la región triangular ABC es 10 u2, calcule H = 3 ta n a -8 ta n 0 .

Resolución Como 0 y a se encuentran en posición norm al, lo único que falta es hallar las coordenadas d e c u a lq u ie r p u n to d e su s re s p e c tiv o s la d o s term inales (diferentes al origen).

R e so lu c ió n

De la figura 3.66, por definición tenem os n „ m tan a = — y ta n 0 = — 3 * -2 Luego reem plazando en H

H-3(sM3)'nt4m"í,) Si S e s el á re a d e la región tria n g u lar ABC, entonces, em pleando la fórmula de la página 168. => 2 S = 3 ( m + l) + (- 2 ) (- l- n )+ ( -l)( n - m ) => 2 (1 0 )= 4 m + n + 5 = > 4m + n= 15 ... (2)

En la figura 3.67(b), se h a c o n s id e ra d o q u e O P=O M =O Q =5 Asimismo, los triángulos rectángulos som breados son congruentes, entonces M = ( -4 ;3 ) y Q = ( - 3 ; - 4 )

Reem plazando (2) en (1) tenem os H= 15 Pór definición, d e R.T. se obtiene

Problema7 De la figura 3.67(a) adjunta calcule k = c o s a [ s e c 0 t a n a - 2 csc 0 ]

-3 cosa = —

5

sec0 = — -4

a

a

. -4 4 ta n a = — = -

-3 3

csc0 = 3

Reem plazando en k tenem os k=

k=-

-3 ( A l i - 4 '- 3

9 A

3

5 10 =3 3~ 3

/. k = 3 181

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema 8

Problemas

Halle la m ed id a de dos ángulos coterm inales sab ien d o q u e el m enor es a la su m a com o 3 e s a 26 y q u e la su m a es m ayor q u e 1400° p ero m enor que 1600°.

Siendo A, B y C ángulos cuadrantales diferentes, positivos y m enores o iguales á 360°, adem ás se cum ple

Resolución

V l-cosÁ -fcV cosA -1 = l+ s e n B ...(1) V cscB + 2 = ( t a n C - l | ...( 2 )

S ean a y 0 los ángulos coterm inales, adem ás a > 6 se g ú n d el e n u n c ia d o d e l p ro b lem a, planteam os -® -= A a + 0 26

. . . (1)

D etermine el valor d e A+B+C. Resolución Recordando el teorem a

1400°< a + 0 0 a > 0 Luego analizamos e n la condición (1)

De (1)

l- c o s A > 0 a = y 0 ...(3)

cosA< i

y

c o s A - l> 0

y

cosA ^l

Reem plazando (3) en (2) tenem os =* cosA = l => A = 360 °e{0 ;3 6 0 °] 23

1400°< — 0 + 0 B = 270° e{ 0 ; 360o]

Com o a y 0 son ángulos coterminales, entonces Reem plazando c s c B = -l en (2)

a - 0 =n(360°); n e Z

V -l+ 2 = |t a n C - l | => |t a n C - l | = l

23

=* ^ 6 - 0 = n(36O°) =5 0=54°n ...(5) u

Recordando el teorem a

Reem plazando (5) en (4) 1400° 0 => a = b ó a = - b Luego tanC - 1 = 1

ó

tanC - 1 = - l

tanC = 2

ó

tanC = 0

=» 1400° < 468°n< 1600° el único valor entero para n que h ace posible la desigualdad anterior es n=3. Por lo tanto, en (5): 0 = 3(54°) = 162° 23

23

Como a = ^ 6 => a = — (162°) =1242° 3 3 La m edida d e los ángulos será 162° y 1242° 182

Como A, B y C son diferentes y cuadrantales Luego tanC = 0 => C = 180° Finalm ente A + B + C = 360° + 270° +180° A + B + C = 810°

C A P ITU L O III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Problema 10

P ara p

Del gráfico mostrado, calcule E= tan a + ta n ¡3

R esolu ción

Es evidente que las razones trigonométricas para los ángulos a y P no se p u ed e n determ inar por la definición dada, porque éstas no se presentan en posición norm al. Sin em bargo, haciendo un traslado de los ángulos de tal m anera que el lado inicial coinciaa con el eje positivo de abscisas, a s í com o se m uestra en las siguientes figuras 3.68(b) y 3.68(c). P ara a

F inalm en te los p u n to s P y Q so n sim étrico s respecto al eje Y. '

„

-8

8

tan p = — = -3 3 Reem plazando en la expresión E

e-H ,.E .S 15

Problema ti En la figura 3.69(a) se m uestra un nuevo sistem a T'K'; generado por traslación y rotación d e ejes Jel sistem a convencional XY, donde el origen es 0 '(1 2 ;5 ) y el án g u lo d e ro ta c ió n 0 ; a s í las coordenadas de P' en el nuevo sistem a es (13; 13) calcule k = 22c o t a + 7509 eo sP . A dem ás tan0 = 2,4.

Se nota que los puntos M y N equidistan del origen 4 de coordenadas, entonces ta n a = -

183

ra m ífe ra s taitores-

Trig o n o m e tría

Resolución Antes d e ver la resolución del problema, veam os la relación de las coordenadas de un punto P, cuando se tiene traslación y rotación d e ejes. Dadas las coordenadas del punto P en el sistem a’ X 'Y ' generado por traslación y rotación de eje al p u n to 0 '(a ;b ) y ángulo 0 resp e ctiv am e n te, calculam os las coordenadas del punto P en el sistem a original XY.

A plicam os la fórm ula d e ta lla d a en la figura 3.69(b), para el cálculo de las coordenadas del punto P' con respecto al sistem a XY, así a)

Jr = a + x 'c o s 0 - y 's e n 0 =>

b)

jc = 5

y = b + x ’sen0 + y 'cos9

y- 5+13( I M

5 ] s í - 22

S ea P(jc,y) las coordenadas d e P'(13;13) en el sistem a X 'Y ’; entonces en el s i s t e m a ^ P(5;22). Cálculo d e cot a

=> co ta = —

De la figura 3.69(b) se obtiene

22

Cálculo de cosp x = a + ar'cos 0 -y 's e n B

Dibujando a p en posición norm al

y = b + x'senfi+ y'cosÓ

Datos: 0 '(12;5) y P'(13,13) A dem ás tan0 = 2,4 luego

12 -22

cosP = V509 Sustituyendo valores en k, se tiene

k = -17 184

Problemas propuestos 1.

Dados

5.

A = {jc/x-3< sec 2 60°} B={x/2x -7 > 3 ta n 4 5 ° }

halle la sum a de los valores enteros que se obtiene al intersectar A y B. A) 8 D) 11

B) 9

D el g rá fic o m o s tra d o , d e te r m in e la v a ria c ió n d e p e rím e tro d e l re c tá n g u lo MNPQ, si el á re a del triángulo MBN es 7 u 2 y B N = 7 u ; N C = 2u. B

C) 6 E) 12

Para el ángulo 0 agudo se cum ple A= {x/x=(2-3cos 0 ) 2 } B= {x/x= 14sen 0 - 1 1} Halle A n B A) A) [0;3>

B) [—1;2)

D) ( 0 ; 2 )

C) [0 ;2 ]

(4;+)

C) [8 ;+«>) E) (8 ;+ ~ )

E ) ( 0 ;2 ) 6.

Si a ,0 y ó son ángulos agudos que cum plen (2 sen 0 - 1) 8 + (7 5 - 3 eos )6 =

Siendo 0 un ángulo agudo, calcule la sum a d e todos los valores enteros de y = 4 se n 30 + 1 2 s e n 0 (l-s e n 0 )-2

^ t a n a - 10 + VlO —ta n a A )-2 D) 2

halle E= V 6csc0cotacsci¡) 3 A) y

3 B) y

Si cot a =

7.

C )0 E )5

Si (AP) 2 +(PB ) 2 es m ínim o, calcule cot©.. ' BC =1,A C=4

E) 2

D )i

4.

3 c ) !ó

B) -1

- tan 0 + Vtan 0 -1

halle la extensión de P = tan20 - 2^3 ta n 6 + 6

A ){3;7-2V 3]

% B )[3;6-2V 3] Q [ 3 ; 7 - S ]

D )[3 ;7 -2 v/3 ]

E) [3;7-3V 3]

185

Lumbreras Editores

8.

T rigoriometría

Halle el área m áxim a de la región som breada siendo el perím etro de dicha región 2p. AOB y COD son sectores circulares.

Dé como respuesta la sum a d e los valores que satisfacen la igualdad. 1

A) - i t

A

B) it

o

-3 — Tt

-1

-1

D) .~71

E ) 2Í

12. Halle la variación d e M= ¡3sen 6 - 2 | +1 siendo 6 un ángulo agudo. A) {2;3> A )p 2

D) (0;3)

C )Y

C) [0;3) E) [l;3)

13. Siendo 8 un ángulo agudo, halle la extensión

e)T

d )T

B) [2;3]

d e K = |2 -3 c sc 0 |+ 5

Reduzca

A) [6 ;+ » )

B) ( 6 ;+ ~ )

C) (5 ;+ ~ )

E = >/tan2 0 - 6 ta n 0 + 9 + ta n 0 D) (1;6 ) .

E) (4 ;+co)

si tan 9 e (0 ;2 ) B) 3

A) 2 2

10. Si

14. Resuelva pára ó e(0;90°)

C) 4

^ 4 tan 2 $ - 4 |t a n 0 |+ l = ta n 4 5 °-sen 3 0 °

4 « 3

señalando los valores aproxim ados d e ó . . A) 37°, 16°

e s un ángulo agudo calcule el valor de 6

D) 37°, 14°

M = | co s 0 + ^ c o s J 0 - 2 |c o s 0 |+ l |

A) 0

B) 1

3 ° ) '4

j: . n nx + s e n - = t a n 6 4

C) 14°, 30° E)53°, 16°

15. Un auto parte d e u n a estación hacia el norte,

C) 2 1

11. Resuelva

B) 14°, 53°

'

recorriendo 1 km, luego cam bia a la dirección E9S llegando a u n lugar qu e se encuentra en el rum bo N0E d e la estación. F in alm en te se d irig e h a c ia el su» deteniéndose justo al este d e la éstación. Halle en kilómetros la m áxim a distancia de la estación al lugar donde se detuvo el auto. A) 0,4 km D) 0,2 km

B) 0,5 km

C) 0,6 km E ) 0 ,8 k m

CAPÍTULO 111 16.

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Del gráfico, calcule el mínimo valor de § . . _ , K = --------------, en térm inos de R. se n a co sa

„

19. Del gráfico mostrada, calcule el m áxim o valor que p u ed e tom ar tan 6 , si BM - 2MC=0 B

Donde §: área del trapecio ABCD A y B: puntos de tangencia

D) R 17.

E) R2

Del gráfico, calcule el mínimo valor del área del sector circular AOB

20. Desde los puntos en tierra P y Q se observa la parte m ás alta d e un edificio d e altura h, co n ángulos d e elevación 6 y 90o- 6 . Desde la . base del edificio se observa la línea pintada PQ bajo un ángulo de 90°. Si la longitud de la línea pintada es 60 m, calcule el máximo valor en m etros d e h y el valor d e e qu e hace posible que h sea máximo.

Si T-g = 2 ta n 0 + l

A) 30V2 m ; 30°

B) 30VS m ; 45°

C) 60>/2 m ; 45° D) 30>/2 m ; 45° A) 2 u 2 D) 8 u 2 18.

B) 4 u 2

C) 6 u 2 E) 10 u 2

E) 30^3 m ; 30°

21. Del gráfico, determ ine el valor de c o tx + co ty de tal m anera que la sum a d e AB y 3BC sea de valor máximo. Además AC=3.

Del gráfico, calcule el máximo valor de ta n a

A) V2 D) 2V2

B)

V2

C)

V2 4

E) 4v/2

A)

4VI0+10

D) 1

4VÍ0+1 B ) — 3—

4V Í0+3 C )-^ — E) 2 187

Trigo n o m e tría

lumbreras Editores

22.

Determine los valores de |c s c x | si se verifica qu e la siguiente igualdad: a 2(l + tan 2 x ) _ 4 se n 2x + a 2 - 1 ton 2 x - 1 tan2x - 1

26. Siendo a, b, c, k constantes, x, y, z variables que cum plen la relación atanx+ btany+ ctan z= k entonces el mínimp valor de tan 2x+ton 2y + tan 2z es

presenta soluciones reales. A)

(l;

B)[1;4]-{V2]

a+b+c

C) [l;2]-{> /2}

B)

D) ( l ; 2] —{n/ 2> 23.

E) [ l; V2)

a 2 +b2 +c2

k2 ^ (a + b + c ) 2

Si se cum ple que

2 k2

m ¿ ||t a n x + l | - 3 | < n ; ta n x e ( - 2 ; 4 )

D) (a 2 + b 2 + c 2)2

halle el mínimo valor de n - m . A )3 D) 6 24.

B) 4

k2 E) 2 (a 2 + b 2 + c 2)

C) 5 E) 7

Halle el mínimo valor del áre a d e la región triangular AOB.

27.

Si se cumple 1

cot x + cot y + cot z = ------------------------tan x + tany + ta n z

determ ine el equivalente de E = ----- --------- ----- — ----cot" x + cot" y + cot" z

siendo n un núm ero impar. A )c o fx

B )1

C) cotny + co tnz D) tan2xtan"ytannz

A)

a 2+ b 2

E )-l

B) a 2 + b 2+ a b C) -2 a b

D )a 2+ b 2+ l

E) a 2+ b 2+2

28. Siendo x „ x 2,x 3, ...,xn ángulos com prendidos entre 0 y = ^ , cuya sum a es constante

25.

Siendo a y b cantidades positivas, tal que a > b halle el mínimo valor de la expresión

(x ,+ x 2 + x3 +... + xn = 0 )

a sec0 -b ta n 0

halle el m áximo valor de cosx,cosx 2cosx3 ... cosxn

Considere 0e

188

A)

a+ b

D)

-Ja - b

n .n 2

’

2,

B) .¿T+b

0

C) Va2 + b 2 E) v a ^ b 2

A) n eo s2— n D) ncos0

0

B) n e o s — n

C) e o s— n E) co$n n

CAPITULO III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición n o rm a l

29. P ara los sig u ien tes pun to s P ( - l;- 2 \/2 ) y Q(6;2), pertenecientes al lado terminal de los á n g u lo s a y 0 e n p o sic ió n n o rm a l respectivam ente, calcule a) s e c a ta n a

3 3 .'Si tan0 = - U

y ^ ^ < 0 CSC0

calcule E = c o s 0 - s e n 0

b) s e n 6 co s 0

B)

Di

V61 61

C) íW é í

8) 6 7 2 ; A

A) 672 ; - A

0

Í 1 V6 I

O -672 ; A 34. Si D) -6V2 ; - |

cos0 = —,

adem ás

| sen0 |

jé

sen 0

E) 672 ; determ ine el valor d e E = esc 2 0 - se c 2 0

3

30. Si co t0

calcule la diferencia del m enor

A )Z “ 8

B)

-81

C )Z M

11

y m ayor valor que tom a s e n 0 . D) 63

E) Z® 63

8 a) - A

73J

b)

-A

D )-^ V 3 4

C -1 Í7 3 4 e)

-A ^ Í

35. H alle

JÍ7

E = V Í7 co s0 + 2 csc0 + ^ - , d o n d e

|s e n 3 0 | = 64cos30 y 0 e 1VC, 3

31. Si ta n x = - y x e l lI C , lueg o el valor d e 4 serur+cos* es

A )0

B) y

A )-2 D)1

B )-l

C )0 E) 2

36. Del gráfico, ABCD es un rombo.

o f

Calcule M= tan a + c o ta

° T 32. Si co t 2 0 - - = O y 0 p e r te n e c e al te rc e r cuadrante, calcule el valor de M = lO cos0 + >/2csc9 _•

A )^ V ñ

D) -^JV 22

B )f^ T

C ) - f

E) - lW Í !

A) D)

-8 ^ 3 15 -28V3

-2 0 S B) T ~

C)

-28V3 15

c , -25V3 y -

189

Lumbreras Editores

37.

Trigo n o m e tría

De la figura adjunta, la distancia del punto P al origen d e coordenadas es 8 .

40.

Calcule T = c o s 0 + sec0

Siendo y un ángulo en posición estándar cuyo lado term in al p e r te n e c e al cu arto ! 214 cuadrante, adem ás | sen y - - 1= Determine el valor de L = 4 co t 2 y - 3V5 sec y *■ A) 38 B) 36 C) 35 D) 45 E) 52

41.

Siendo el ángulo | x - —J, positivo y menor que una vuelta, comprendido en el tercer cuadrante, analice la verdad o falsedad de las proposiciones

119 D) V5 38.

I.

-co s^íjcsc^2jr-^ |>0

II.

sen x

-119 E) 8 v é f

Del gráfico, calcule c o s a III.

Ln s e n ^ * - -g-1 O A)

(II)

Determine el valor d e W = sec 0 + 2\Í2 esc 0 -2

®f

D)

39.

Si V tan 0 s e n 0 < O , a n a lic e la v e rd a d o falsedad de las siguientes proposiciones, con re sp e c to a y= 5cos0sen 3 0cos6a

190

A) -1

3V2

B) 0

C)

D) - 3 43.

Si 0£ IIC a < 0

2

E) - 3 ^ 2 a

b > 0 donde

I. y es positivo II. y e s negativo

e n to n c e s halle e n té rm in o s d e a y b la

III. y e s c e r o s i a = (2n + l)^ ; n e Z

expresión E= VabtanO + vabcotB

A) V W D) FVF

A) 2a + b D )b -a

B) VFV

a s e n 0 ,+ vVcsc 2 0 = b c o s 0 + Vcsc 0

C) W F E) FFF

B)

a2 - b

C) b - 2a E) a + b

CAPÍTULO III 44.

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

Siendo a un ángulo positivo m enor que una v u e lta d ife re n te al se g u n d o c u a d ra n te ;

Halle el valor d e H = > /(sec 0 -c sc0 ) 2 +V (sec0 + csc0 ) 2

a d e m á s Ge {-360°;-180°}, s a tis f a c e n la condición siguiente:

A)

2 - 1senG

D) 2

| -> /- cos 20 = - 2 c o s a 48.

s e n (- 0 ) + 2 c o s a determ ine M= —¡=----------------V 3tana + c o s 0

A)

c) y

«y

-3 D) y

B) 3sÍ2

C) 2y¡2 E) 4\f2

Los p u n to s c o n c o o r d e n a d a s A ( - l ; 8 ), B(-10;7) y C(8 ; - 8 ), son vértices del triángulq ABC s ie n d o 0 u n á n g u lo e n p o s ic ió n e s tá n d a r cuyo lad o term in al p a s a p o r el b a ric e n tro d e d ic h o trián g u lo . C alcule

-4

-2

2 3

V2

sec 0 esc 0

E) 0

,

Si P es un punto del lado term inal del ángulo cp en posición normal, donde

49. 2)

A) 4

B)5

5

C) 9 , 41 E) 2 0

46. Siendo cp y 0 dos ángulos en posición normal positivos y m enores que una vuelta, adem ás : < 6 0 , o btenga el signo tanG + cotcp d e ----- —— — cosG -seccp

171

21

B) 29

% 58 ° ) - 2T

P ( - 9 ; 40) y (pe (0°; 180°), calcule L = 4 ta n f - l+ 5 c o t í

20

Calcule la sum a d e los ángulos coterm inales con 100 °, que estén e n el intervalo d e 198° a 1198°. A) 1 460° D )2 640°

B) 2160°

C )4 260° E ) 2 460°

50. Si a y 50° son ángulos coterm inales tal que (oc-1 0 °)e [300°;400°] calcule E = 2 s e n (a -2 0 o) + V 3tan(a + 10o) A) 0 D) 4

B) 1

C) 3 E) - 2

51. ¿Cuál es el m ayor ángulo negativo que es coterminal con el m enor cuadrantal positivo?

A) (+ ) C) No positivo D) No negativQ

B) (-) E) + ó -

47. Si 0 es un ángulo en posición canónica que cum ple las siguientes condiciones: s e c 0 |c o s 0 | - l = O ..........(i) |c s c 0 |+ 2 s e n 0 = O .......... (ii)

A )-270° D) -360°

B) -1 8 0 °

C )-6 0 ° E) -450°

.

52. Siendo a y p coterm inales y suplementarios calcule el m enor valor d e a si a e [0 ; 2 n ]. A) 90° D) 142°

B) 180°

C) 270° E) 350° 191

Lumbreras Editores

53.

Trigonom etría

Siendo a y 0 ángulos cuadrantales positivos m enores de una vuelta, adem ás s e n a + |c o s 6 | = 2 s e n ( a - 0 ) + tan 2 calcule E =

A ) - |-

cos(60° +0 )

B) -1

C )0

D) - 2 54.

D) -4 5

E) - 4

Del siguiente gráfico, determ ine el valor de

E) -4 2

57. En el gráfico ad ju n to , APB es un se cto r circular con centró en P. Además M es punto m e d io d el a rc o AB. C alcule el valor d e

p _ 1 -e sc P 1 sabiendo que HG=GF. l + sec2p

D) 2+sÍ3 58. Del 55.

Sean los puntos A(-3;4), B(4;3) y C (-4; -3 ), calcule la tangente del ángulo en posición n o rm a l a cu y o la d o final p a s e p o r el circuncentro y ortocentro del triángulo ABC.

A)

1 3

3 D)

56.

1

B) - § '

-4

4 E)

Del gráfico mostrado, los n ú m e ro s- 9 y V82 representan la abscisa y el radio vector del punto N respectivamente. Calcule K= --------------2 senacosco

192

4 C) - 3

g ráfico ,

tan ©.cota

E) AB = BC=CD

d e te rm in e

C A P ÍTU LO III

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición norm al

59. Se tiene un paralelogram o ABCD, d onde A(-2;3), B(3;5) y C (-l;9). Calcule ta n 6 s i0 es un ángulo en posición normal donde el vértice D es un punto del lado terminal.

62. En el gráfico adjunta se tiene la gráfica d e una parábola cuyo vértice es (0;—1), tam bién se tiene el ángulo 0 en posición normal. C alcu le el á re a de la región so m b re a d a • si sen0 = — .

« 4

« 4 E)-f

60. Si AM=3MB, calcule ta n a .

A) (l + 3V5) u2

B) (2 + S b 2

C) ( 3 - •>/5 ) u2 D )4 u 2

E) (3+V 5)u2

63. Siendo los valores d e cot 1 °) -3

3 E) 2

y tan

(i

las

abscisas d e los puntos A y B respectivamente, d eterm in e el valor d e w = ta n 9 -V ÍO c o s0 .

61. Del gráfico adjunto, halle el valor de E en términos de a.

Del gráfico siguiente, M es punto medio de AB.

E = sec + csc0

A) 2a D) ( l- a ) V a 2 + l a

B) - a

A, n-v 2 Va2 + l a

D ) , u f

B) — + — 1 2 3

0 - 2

- E) 4

193

Lumbreras Editores

Trigonom etría

64. Del siguiente gráfico, determ ine el valor de A = ^ 6 (c o sa + esc j3)

A)

D)

V3 2 1+ V3

« I E)

V2 + V3

65. Calcule cot a partir del gráfico adjunto (P es punto de tangencia). 67. Siendo 0 ángulo en posición normal donde R e s un p u n to p e rte n e c ie n te a su lado terminal (véase figura adjunta). Calcule tan0 sabiendo que RN= RM= MN.

O

P(—5;—1) '- Vx M ;' D) 1

E) 2 R*‘

66.

Si el punto M(-6;2) representa el origen de u n n u e v o s is te m a X 'Y ' g e n e r a d o p o r traslación, adem ás el APMQ es equilátero d e área 4 -/3 .

Q (-l;-4 )

A) 15 + 4V3

Halle C)

194

i)

Las coordenadas de P y Q respecto al sistem a XY.

ii)

2 tan 0 + \/3

’ N '> ,

D)

B)

26 + 3s/3 33

E)

15 + 4^3 33

4 S + sÍ2 3 \5 ~ a S

C A P ÍTU L O III 68.

Razones trigonom étricas de un ángulo en posición normal

Los Jad o s d e los c u a d ra d o s e s tá n en p ro p o rc ió n c o m o 6 a = 1 5 b = 2 0 c , a d e m á s a = — . Halle 0.

69. Del g rá fic o , h a lle E = ta n a + c o t a , si 4AB = 3BC , O es centro de la circunferencia y M es punto m edio d e AC. TC=AMT.

72. D) 2

E) |

Si 6 es un ángulo en posición norm al y no pertenece al IVC, halle K = b c o s 9 + a c o t0

70. De la figura, halle tan 9. G: baricentro del triángulo CVA V: vértice de la parábola C: punto de tangencia

siendo s e n 0 = — ; b < a < 0 b A) 0 D )a + b

B) 1

C) 2 E )a -b

195

0

8S _ *J

3Z

3

f ZS

0

| et-

IZ

8

f 9S

8

f zV

1 OZ

0

f SS

69

q

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81

6

o r r

J L I f O I 9" j _ n " o

o

p r

i

CAPÍTULO

Circunferencia trigonométrica

J Tecnología marítima Para detectar un submarino, la nave utiliza un dispositivo (transductor, que gira 360° (2nrad) en sentido horario, que a l em itir im pulsos determ ináis dirección y distancia d e l submarino.

v . ' .n —

TRIGONOMETRIA

IV

P L A N T IL L A U S A D A E N EL M O N T A JE D E G A F A S

T

Antes de que el oculista com ience a e la b o ra r un pa r de gafas, debe g ra d u a r la vista del

paciente, a fin de que de te rm in e el tip o y potencia de lentes q u e éste necesita, ello se hace m ediante diferentes tipos de pruebas. Un elem ento utiliza d o p o r los oculistas es la p la n tilla para m ontajes de g a fa , con ella el oculista com prueba que los ejes de cua lq uie r elem ento cilin d rico de las lentes recetadas quedan correctam ente orien ta dos en la m ontura. Un in stru m en to actual para la m edición de la vista es el o ftá lm e tro , m ed ia nte e l cual se explora por m edios electrónicos la retin a y se registra sobre un papel su potencia óptica en cada plano.

Circunferencia — / trigonométrica OBJETIVOS

•

Definir la circunferencia trigonométrica, indicando sus elem entos y obtener la ecuación de la m isma.

•

Representar y relacionar los núm eros reales y los arcos dirigidos.

•

Definir las razones trigonométricas de los núm eros reales.

•

Analizar las variaciones de las razones trigonométricas d e los núm eros reales.

INTRODUCCIÓN Para las definiciones de las razones trigonométricas, se ha seguido un proceso, partiendo del estudio de las razones de un ángulo agudo desarrollado en el Capítulo II, tam bién para ángulos trigonométricos en posición normal, explicado en el Capítulo 111. Luego nos preguntamos: ¿es posible calcular las razones trigonométricas de núm eros reales?, ¿qué diferencias hay entre se n l y sen Io?, ¿cuál es la variación de sen; ? En este capítulo resolverem os estas y otras interrogantes. En este sentido, em pezam os con el estudio de la ecuación de la circunferencia de radio 1 ; luego definim os los arcos en posición normal y los relacionam os co n el ángulo central que se genera. Posteriorm ente, ubicam os a los núm eros reales en esta circunferencia, y las coordenadas del extrem o del arco servirán de base para definir las razones trigonom étricas de los núm eros reales. Estas definiciones cum plen un papel importante en la m atem ática superior y cálculo en ingeniería. Este capítulo tam bién está ligado a funciones trigonométricas, ya en el presente capítulo se puede entender y elaborar modelos de crecimiento y decrecimiento, posteriorm ente será posible aplicarlo para m odelar fenóm enos periódicos. Cualquier fenóm eno que ocurre a intervalos regulares se denom ina periódico. El movimiento de traslación de la Tierra, el movim iento ascendente y descendente de un pistón eñ un m otor alternativo y las vibraciones dé la cuerda de u na violín son ejemplos de fenóm enos periódicos.

Lumbreras Editores

Trigonom etría --------- —^

CIRCUNFERENCIA TRIGONOM ÉTRICA Nociones Previas ' Definición de circunferencia Es el conjunto de todos los puntos en un m ism o plano equid istan tes d e u n p u n to fijo llamado centro.

W

'

d e d o n d e se o b s e rv a q u e el c e n tro d e la circunferencia es (h;k)= (-3¡J) y radio igual a 2 . (Véase la figura 4.1 (b)).

Ecuación de la circunferencia Si P(x;y) es un punto de la circunferencia con centro en C(h;k), la distancia entre P y C es el radio r. (Véase la figura 4.1 (a))

A c o n tin u a c ió n citam o s un c a so p articu lar, cuando el centro d e la circunferencia d e radio r . coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se tiene que h = 0 y k = 0 Reem plazando esta condición en la ecuación (x - h ) 2 + (y - k ) 2 = r 2 se convierte en Aplicando el teorem a d e distancia entre dos puntos tenem os * luego

( x 2 -l-y2 = r r y su gráfico lo m ostram os en la figura 4.1 (c).

V (x -h )2 + ( y - k ) 2 = r i

_

■

-------------------------- ----------------

i ( x - h )2 + ( y - k ) 2 = r2 • ■< V - v '-cr j ¿ ■-a . es la ecuación de una circunferencia, con centro : e n Ch;k) y radio r. A dem ás (x;y) es u n punto cualquiera perteneciente a la circunferencia. }

Ejeriiplo ¡ i I' Grafique ía circunferencia, cuya ecuación es *'

■'

(x+3j)2 + ( y - i ) 2 =4

Resolución Modificando a la forma general queda así (x - (-3 ) ) 2 + (y—l) 2 = 22 200

Figura 4.1

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU L O IV

Para que usted tenga una m ejor visualización sobre lo planteado le sugerimos que observe los siguientes ejem plos: Ejemplo 1 Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a 2 unidades.

Luego, reem plazando (2) en (1) se obtiene \2 2 = -1 o x 2L + yL x 2 + y 2=| ^ 9 y su gráfico respectivo lo podem os visualizar en la figura 4.3

Resolución A p a rtir d el e n u n c ia d o , si el c e n tro d e la c irc u n fe re n c ia c o in c id e c o n el o rig e n d e coordenadas, entonces su ecuación será . *2 + y2 = r 2 ...( 1) También del enunciado r = 2

... (2)

Luego, reem plazando (2) en (1) se obtiene x2 + y 2 = 2 2

o

x2 + y 2 = 4

y su gráfico respectivo lo podem os visualizar en la figura 4.2

Definición de circunferencia trigonométrica o unitaria Es aquella circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas y radio igual a la unidad d e escala del sistema que lo contiene. Ecuación d e la circunferencia trigonométrica x 2 + y2 = 1 Para ap re cia r la form a d e rep resen tar a la circunferencia trigonométrica observe la figura

E jem plo 2

Halle la ecuación de la circunferencia con centro en el origen d e coordenadas, y radio igual a 0,3 unidades. Resolución Del enunciado, se indica que el centro está en el origen de coordenadas, entonces la ecuación es x 2 + y 2 = r 2 —( 1) com o observam os r es r = 0 ,3 = |

o

r =l

...( 2 )

201

Lumbreras Editores El lector d ebe entender que en los ejercid o s es usual indicar C.T, en lugar de su ecu ación . Para un m ejor entendim iento afréspecto, m ostram os el siguiente ejem plo (figura 4.5).

Trig o n o m e tría Aplicando esta última relación para cada punto obtenem os lo siguiente: •

f i Para el punto Pí —; y,

(abscisa de P)2 + (ordenada d e P ) 2 = 1 ...(1) Reemplazando los com p on en tes de P en (1) obtenem os

...G) De ( 2 ) despejando y 2 se tiene y ,2

d e donde

3 4

o

C om o p u ed e ap recia rse, a p a ren tem en te habrían dos so lu cio n es (resp u estas o dos posibilidades), pero si so m o s acuciosos nos daremos cuenta de que en el gráfico mostrado, P se halla en el primer cuadrante (P e IC ); en consecuencia, la ordenada y, tiene que ser positiva y la única posibilidad sería

Ejemplo 3 A partir del gráfico mostrado (figura 4.6), halle la abscisa jc2 del punto Q y la ordenada y, del punto R

Seguidam ente •

Para el punto Ql x 2 ;

-7 2

(abscisa de Q) 2 + (ordenada d e Q )2 = 1 \ 2-72 = 1 ( * í )2 +

2

Despejando x f- s e tiene x 2 = -

Resolución Observamos que en la figura 4.6 se presenta las in ic ia le s C.T. lo cu al in d ica q u e e s u n a drcunferencia trigonométrica, por lo que p odem os plantear su ecuación x2+ y ¿= 1. Esta ecu ación nos se ñ a la q u e tod o punto P que se h a lla e n la circunferencia debe verificarla ecuación d e la C.T. (abscisa de P) 2 + (ordenada d e P) 2 = 1

202

de donde x 2 N u evam en te p a reciera q u e h u b iera d o s soluciones, pero observamos que Q se halla en el tercer cuadrante (Q e II1C); en consecuencia, x 2 tiene que ser negativa y ia única solución que verificaría esta condición sería

C A P ÍTU LO IV______________________ ___________________ ________C ircunferencia trigonom étrica

Arcos Dirigidos en Posición Normal

n

A los arcos dirigidos u orientados generados del punto (r;0 ) en una circunferencia de ecuación se denom inan arcos en posición normal. A los arcos en p o sició n norm al g en erad os en sentido antihorario se les consideran positivos y en sentido horario se les consideran négativos.

(c) Figura 4.7

•

5 e s un arco positivo (sentido antihorario)

•

(5 e s un arco negativo (sentido horario)

Dado un ángulo a en p o sició n norm al, si describimos una circunferencia trigonométrica y llamamos t a la longitud del arco que lo subtiende, el número t se llama la medida de a en radianes.

Aplicación A sí, tenem os un arco dirigido QP en posición normal (la figura 4.7(b)) y si con sid eram os su respectivo ángulo central a m edido en radianes se tiene que su longitud d e arco G e s a .r . En c o n s e c u e n c ia ; para u n a c ir c u n fe r e n c ia trigonométrica (r= 1) se cum ple G= a . (figura 4.7(c)).

En la figura 4.8(a) los puntos P y T son los extrem os de los arcos 0 y y , respectivamente; esto s nos indicarán el cuadrante al cual p erten ecen sus arcos. Del gráfico pod em os obtener lo siguiente: • 0 = 1 , ad em ás 6 e 1C • y = - 3 , ad em ás yellIC 203

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Hasta aquí queda claro que los arcos en la

Antes de revisar c ó m o se representan los

C.T. son núm eros reales, es decir, cantidades sin

núm eros reales en la C.T., usted d eb e observar

unidades. También se les suele llamar cantidades

q u e e n las figuras 4.8(b) y 4.9(a), lo s arcos en

adim ensionales.

posición normal P , a , se encuentran resaltados

E xpuesto lo anterior, el lector d e b e tener p resen te q u e lo s arcos dirigidos en p o sició n n o rm a l n o n e c e s a r ia m e n te p e r te n e c e n a determ inado cuadrante, puede darse el c a so que dichos arcos no pertenezcan a cuadrante alguno.

d e sd e su extremó inicial hasta su extrem o final, e n adelante p ues se va a representar sólo los extrem os, finales y quedará sobreentendido que e sto s arcos se encuentran en p osición normal. Las figuras 4.9(a) y 4.9(b) aclaran al respecto.

Para un m ejor en ten d im ien to al re sp e c to se sugiere observar la figura 4.8(b)

Figura 4.8 •

a e s un arco dirigido en posición normal, cuyo extrem o e s el punto B y éste s e halla sobre el eje d e ordenadas, en ton ces se dice qué a no pertenece a cuadrante alguno.

•

é d e forma análoga, su extrem o e s el punto A' el cu a l s e en cu en tra so b re el e je d e a b sc isa s, e n to n c e s afirm am os q u e no p ertenece a cuadrante alguno.

A estos tipos d e arcos que se encuentran en posición normal y no pertenecen a cuadrante alguno se les suele llamar ángulos cuadrantales.

204-

Para los arcos a y P se sobreentiende que se encuentran en posición normal, a s IC, p e IVC

C A P ÍTU L O IV

C ircunferencia trigonom étrica Se observa que el ángulo en posición normal

Expuesto lo anterior, p odem os entender que a partir de la figura 4.9(c)

^ ra d p e r te n e c e al IIC por lo tanto p o d e m o s afirmar que 2Kn + í < - < 2 K n + tt / k e Z 2 R => (4K + l ) y < a < ( 2 K + l)nR Luego, d e p e n d ie n d o d e los valores d e R podem os indicar el cuadrante al que pertenece a . . Por ejem plo Si

•

a e lC

•

p e 1IC

R = I =» f4K + l) 5 < a < ( 2 K + l ) |

Por tanto

•

GelVC

•

e IIIC

•

^ í < a < y

; a elIIC

Si

K = 0 =» í < a < í ; a e lC 4 2

Si

K = 1 => ^ < a < y

Si

K= 2 = > — < a < — ;a e IC 4 2

Si

K = 3 => — < a < — ; aelIIC 4 2

; a e IIIC

un arco, ello e s perm itido d ad o q u e el arco representado en la C.T. coincide num éricam ente con su respectivo ángulo central expresado en radianes. ¿Qué ocurre si el circo está representado en una circunferencia d e radio diferente d e la unidad? Si

,,

,

K= 4

17ji 4

9rt 2

-----< a < — ; a e IC

Es decir a e l C v IIIC S e g u id a m e n te e stu d ia r e m o s c ó m o se representan los núm eros reales en la C.T., para posteriormente representar y calcular sus razones tr ig o n o m é tr ic a s. D e e sta m a n era p o d e m o s responder ciertas interrogantes com o por ejemplo: Figura 4.9

¿A qué cuadrante pertenece el arco 1, arco 2, arco (3,14)? . ¿Qué valor e s mayor: sen l o sen3?

205

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Representación de los Números R eales en la Circunferencia Trigonom étrica En la figura 4.10(a) se tiene una recta num érica vertical donde el origen de la recta coincide con el punto A(1 ;0) de la C.T. Considerando a esta última co m o una sección de un carrete y la recta numérica com o un hilo (espesor despreciable) en ton ces, en la figura 4.10(b) la parte positiva d e la recta se envuelve e n sentido antihorario y en la figura 4.10 (c) la parte negativa en sentido horario. ,

Figura 4.10

Este último procedim iento tiene por finalidad hacer comprender que a cad a punto de la recta numérica le corresponde un único punto d e la C.T.; pero no necesariam ente a cada punto d e la C.T. le va a corresponder un único punto d e la recta num érica. Así por ejemplo, al núm ero 1 ubicado en la C.T. lo asociam os con un punto P, en general a dicho punto P le corresponde todos los núm eros reales de la forma l+2jin ; n e Z , en la figura 4.11 (a) s e aprecia a algunos circos positivos cuyo extrem o coincide con el extrem o del circo 1, así com o se representan arcos positivos, también se p u ed en representar arcos negativos, observe la figura 4.11 (b) cuyos extrem os coinciden con el extrem o de! arco 1.

Como ya se ha enunciado, e s im portante ubicar el extremo d e un arco en la C.T. ya sea para la ubicación de su cuadrante o paira las definiciones de las funciones trigonométricas o circulares para núm eros reales; éstas se verán m ás adelante. De ahora en adelante com o usted podrá comprobar casi siempre se va a nombrar y utilizar el número real i t ; que por sus características ha sido motivo de curiosidad e investigación para muchas personas dedicadas al estudio de la m atem ática; por lo cual, le sugerimos que lea atentam ente la siguiente lectura referida a dicho núm ero n (pi). 206

f*

E L N U M E R O Pl ( n )

- + CC

-2

-1

0

1

N ú m ero trascen de nte, a p a re cid o en g e o m e tría desde la A ntig üe da d. Es la razón constante entre las longitudes de una circunferencia y de su diám e tro , cualquiera que sea la circunferencia considerada. La constancia de la razón de la circunferencia al diám e tro no es válida en geom etría no euclidiana. La razón entre la superficie de un círculo y la superficie de un cuadrado, cuyo lado es el ra d io es, igua lm en te , la constante n . O sea, desig nan do p o r R la lo ng itud del radio, p o r L la longitud de la circunferencia y p o r S la superficie del círculo, se tiene L

----=71 2R

S

—=- = 7t R2

Los griegos, posterio rm ente los hindúes y, fin a lm e n te , los chinos, calcularon el va lo r de ji

con precisión creciente. Arquím edes dem ostró que n está com prendido entre

1

10

3 + — y 3 + — t o sea aproxim a da m en te 3 ,1 4 1 2 ... A partir del Renacimiento, la conquista de los decimales de n se emprende de manera sistemática y progresa velozm ente hasta 1&74, año en el que W. Shanks halla 707 decimales. A mediados del siglo XX las m áquinas calculadoras electrónicas han perm itido grandes avances; así en 1961 D. Shanks y J.W. Wrench mediante un calculador IBM 7090 consiguieron 100265 decimales en 8 horas 43 minutos. Incluso para los cálculos de máxima precisión los físicos y los técnicos están muy lejos de necesitar tantos decimales. El valor n = 3,1416... es suficiente para numerosas aplicaciones. Más allá de quince decimales, la precisión no es más que una curiosidad sin m ayor interés. Por otra parte, en muchos casos bastan fórm ulas aproximadas: ít = V2 + \/3 , o b ie n r t =

355 113

(A. M etius)

En el universo einsteinia no (no e u d id ia n o ), n se expresa no com o una constante, sino com o una fun ción va ria b le con la estructura de l espacio o de la masa en los lím ites de la c u a l se efectúa la 'm e d ició n . Rigiendo la estructura del círculo, el núm ero n aparece en la de la esfera, de la cual la superficie es 4 n R2 y el volum en

4jtR3

Finalmente n aparece tam bién en Trigonom etría, siendo 2 n el periodo de las funciones circulares seno, coseno, secante y cosecante. Es tam bién ú til en el estudio de los movim ientos vibratorios y en numerosos capítulos de la Física. La im portancia del núm ero n se extiende, a todos los dom inios de la m atem ática, en particular de la aritm ética y del análisis infinitesimal.

207

Las fórm ulas siguientes m ue stra n a lgu nas.d e las aproxim aciones de J t: a) '

— = a rc ta n l = —+ —- —+ ...+ (-1 )n + 1 — !— + ... 4 , 1 3 5 7 ' 2 n -l

(Leibniz)

b)

2 _ 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x 8 ... n 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7 ...

(Wallis)

c)

2 = Í1 n

1 1 - +-. 2 2

y2 .

1

i2

íl i IT 1 íl J - + —. 1—+ —. V2 2 ' 2 2 ' Í 2

(Viéte)

(Brouncker)

d)

1+

-

2+

-

2+

-

2+

25 49

2+« La más im p ortan te de estas relaciones es sin duda la que liga n al nú m e ro e según la fó rm u la de Euler em = - 1 . Esta fó rm u la se puede presentar de varias m aneras: Jt Ln>/-1 1 ) i’ = e 2 = 0 ,2 0 7 8 8 ...

2>r

Evolución de Pi a través de la historia

208

Persona/pueblo

Año

Valor

Egipto

- 2 0 0 0 a.n.e.

3 ,1 6 0 5

Chino

- 1 2 0 0 a.n.e.

3

Biblia

- 5 5 0 a.n.e.

3

Arquímedes

- 3 0 0 a.n.e.

3 ,1 4 1 6 3 3 7 7 /1 2 0 = 3 ,1 4 1 6 6 ...

Ptolomeo

- 2 0 0 a.n.e.

Chung Huing

- 3 0 0 a.n.e.

Wang Fau

2 6 3 a.n.e.

1 5 7 /5 0 = 3 ,1 4

Tsu th u n g - Chi

- 5 0 0 a.n.e.

3 ,1 4 1 5 9 2 6 < Pi < 3 ,1 4 1 5 9 2 9

Aryabhata

-5 0 0

3 ,1 4 1 6

Brahmagupta

-6 0 0

ño

Fibonacci

1220

3 ,1 4 1 8 1 8

Ludolph van Ceulen

1 59 6

Machia

1 706

Lamberf

1 766

Richter

1 855

500 decimales

Lindeman

182

Nombró a Pi trascendente

Ferguson

1 947

808 decimales

Ordenador Pegasus

1597

7 8 4 0 decimales

VT0

3 5 decimales -

100 decimales Nombfó a Pi irrqcional

IBM 7 0 9 0

1961

100 0 0 0 decimales

CDC 6 6 0 0

1 967

5 0 0 0 0 0 decimales

Cray - 2 (Kanada)

1 987

T0 0 000 0 0 0 decimales

Univ. de Tokio

1 995

4 2 9 4 960 0 0 0 decimales

C A P ÍTU LO IV

Circunferencia trigonom étrica

A continuación se ubican los extremos de los arcos relacionados a ios ángulos ^ rad, it rad, "y rad y 27trad (en la circunferencia trigonom étrica); p ues estos servirán co m o referencia para ubicar aproxim adamente a otros arcos.

( 6 eIVC) fb)

Ejemplo Ubique en la C.T., ios extrem os d e los arcos (en posición r ormal) - ~ ; 6 ; 8 ; -1 5 R esolución

( 8 e IIC) (0

(-15 e II! C) (d)

Figura 4.13

209

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Nota Usualménte en la literatura matemática no se escribe radianes sino se le sobreentiende, por ejemplo se

Ejem plo Ubique en forma aproximada los extrem os de los arcos 1 ,2 ,3 ,4 ,5 y 6 sobre la C.T. (en posición normal). Visto la teoría, para poder ubicar el extrem o del arco 1 se necesita ubicar el ángulo d e 1 rad, de forma análoga para el arco 2 el ángulo 2 rad, y así sucesivam ente hasta el arco 6 . Por ello del Capítulo 1se sabe lo siguiente: 1 rad ( ) 57°17'44" (aproxim adam ente) De igual forma p odem os obtener

2 rad ■ 114°35'28" 3 rad 17Io 53'12" 4 rad ’> 229° 10' 56" 5 rad 286° 28' 40" 6 rad 343° 46' 24"

(aproxim adam ente) (aproxim adam ente) (aproxim adam ente) (aproxim adam ente) (aproxim adam ente)

A continuación se muestran los gráficos d e los arcos, pero para cuestiones de resolver problem as, el lector pu ed e representar d ich os arcos d e forma aproximada, teniendo e n cu en ta el equivalente sexagesim al para cada m edida en radianes, se le sugiere también recordar la ubicación de estos extremos d e arcos, porque en algunos problem as son utilizados.

Y

Y

2

A( 1;0)

X

(a)

210

C A P ÍTU L O IV

c

______________________________ Circunferencia trigo n o m é trica

En el siguiente gráfico, se muestran a los circos de mayor uso en este capítulo.

O bserve en la figura 4.15 la simetría existente entre los extrem os d e los arcos. Veamos en qué m edida nos facilitará en calcular las coordenadas de otros puntos, con ocid o uno de ellos. En la figura 4.15 se indican las coordenadas de los extrem os d e los aroos representados en las figuras 4.14 (e) y 4.14(0, tales coordenadas se han ob tenido ten ien d o c o m o referencia los pares o r d e n a d o s en el prim er cu ad ran te y lu e g o utilizando criterios de simetría respecto al eje de abscisas y al eje de ordenadas.

211

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Los extrem os de los arcos — y — son simétricos

6

6

respecto al eje Y, veamos: Es fácil verificar que

'V 3 .2 2

’

2

Luego obtenem os que M e s

n

■V3.lV 2

-

2

’

ti

Los extrem os de los arcos - y T - son simétricos D O respecto al eje X, veamos: Aquí la abscisa no cam bia de signo, pero sí la ordenada, e s decir, com o el punto d e referencia es P

.,

______________ __________________________ _________ __

Sea a un arco en posición normal que determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica,x:on coordenadas (x;y), entonces se cumple x = c o s a e y = se n a

Ejemplos

(a )

(b)

(c)

Figura 4.22

215

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Observation m fe, En los siguientes gráficos se muestran los ángulos cuadrantales (en radianes) y las coordenadas de los extremos de estos arcos o ángulos (K e Z ) .

Figura 4 J 3

Luego, identificamos los valores del sen o o c o se n o d e estos arcos, relacionando con las ordenadas o ab scisas d e los puntos A, B, A’y B'. •

c o s 2 Kn = l

pu esto que la ab scisa del punto A e s 1 y su ordenada e s 0.

se n 2 Kn = 0 cosO = 1 ;

Es decir

c o s 2 ji

= 1

; c o s 47t = 1

senO = 0 ; se n 2 n = 0 ; sen4it = 0

c o s ^ + 2Krt . 0

s e n ^ + 2Kn

Es décir

puesto que la ab scisa del punto B

71 eos ~ = 0 n

sen — = 1

216

;

* 5rc eos y = 0 5rc s e n - y =1

;

971 eos y 971 sen -y* =

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU LO IV

.

cos(jt + 2 Kjt) = - l 1

puesto que la abscisa dei punto A' e s -1 y su ordenada e s 0.

s e n ( jt+ 2 Krc) = 0 j Es decir

3jt

co sn = -1

; Cos3it = -1

; cos57t = -1

;

sen n = 0

; sen3rc = 0

;

sen 5 n = 0

;

+-2K.U = 0

Puesto que la abscisa del punto B' e s 0 y su ordenada e s -1 .

sen! y + 2 Kn | = -1

Es decir

3 tc y = °

;

7n eos y = 0

; eo s-y

3n T = _1

;

771 sen y = - l

;

lln

lln sen —

DEFINICIÓN III La tangente d e un arco e s la ordenada d e l punto d e intersección entre la recta tangente q u e pasa por el origen d e arcos y la prolongación del radio o diám etro q ue pasa por el extrem o d e l arco.

Ejemplos

(a)

( b)

(c)

Figura 4-24

217

T rigonom etría

Lumbreras Editores

^

Observación

A la recta

de la figura 4.25 se le su ele denom inar eje de tangentes (con origen en A).

Ejemplo Halle todos los valores de tanB, si 0 e

rt n \ .4 * 3 /

Resolución

73

En la figura 4.25 se han dibujado en la C.T., algunos extrem os de los arcos Be

tan9 1

7I_7C\

_4’ 3 / También sobre la recta Sf tangente e n el punto A se han dibujado los puntos cuyas ordenadas representan

- 0

la tan 0 . Se observa que dichas ordenadas pueden ser m ayores o iguales a 1, pero m enores qu e 7 3 , e s decir, l< t a n 0 < V 3 . Una forma d e hallar el intervalo que contiene ios valores de la tan0 , e s proyectando los p u n tos ob ten id o s en la recta §£ so b re una recta num érica paralela al eje Y.

DEFINICIÓN IV La cotangente d e un arco e s la abscisa de! punto d e intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de com plem entos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

Ejemplos

Figura 4 36

218

Circunferencia trigonom étrica

C A P ITU LO IV

Observatión A la recia Ü d e la figura 4.27 se le suele denominar eje de cotangentes (con origen en B). Ejem plo —71' Si 0 e , - 7t ; — , halle todos ios valores de la c o t e . 2 / ,

0

COt0

+ 00

R esolución En la figura 4.27 se han graficado en la C.T. algunos extrem os d e los circos 0 e ( - n ; — ; . También sobre la recta Sf se han dibujado los puntos de

in t e r s e c c ió n

r e s p e c tiv o s

cu y a s

a b s c is a s

representan la cot0 . Se observa en ton ces que dichas abscisas son positivas, es decir cot0 > 0 . Una forma de hallar el intervalo que contiene los valores de la cot 0 e s proyectando los puntos obtenidos en la recta S£ sobre una recta num érica paralela al eje X. ..

'K i, .. Teorema

i) tan as R ; V a e R -j(2 n + l) ^ j ; n e Z

ii) co ta e R ; V a s R -{ n n } ; n e Z

DEFINICION V La secan te d e un arco es la abscisa del punto d e intersección entre la recta tangente que pasa por el extrem o del arco y el eje X. Ejem plo 1

=s S y R extrem os de secantes

.=> E y D extrem os de secan tes

(a)

(b )

219

lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

M y N puntos de tangencia => P y Q extrem os d e las secantes (c)

=> L y K extrem os d e las secan tes

Figura 4.28

(d)

E je m p lo 2 Si a e

n_3jt\

halle todos los valores de s e c a .

4 ’T /

R e so lu c ió n

/

En la figura 4.29(a), en la C.T. se han dibujado algunos extrem os de los arcos a , y sobre el eje X los respectivos puntos de

in t e r s e c c ió n

cu yas

a b sc isa s

representan la s e c a . Se ob serva que los valores d e dichas abscisas son m enores a - V 2 o mayores o iguales a % /2 , e s decir s e c a < - V 2 v s e c a > V2 O tra fo rm a Analizam os co n la definición II, puesto que s e c a = 1/c o s a , de donde, obtenem os

Jo

< c o sa < —

(Vea la figura 4.29(b))

Para invertir la desigualdad, hacem os -J 2

2

< c o s a < 0 v 0 < c o sa <

V2

Luego, invirtiendo se tiene — V 2 > ---------

c o sa

V ---------->

c o sa

=» s e c a < —\/2 v s e c a > J2

220

Figura 439

C A P ÍTU LO IV_________ _________________________________________Circunferencia trigonom étrica

DEFINICIÓN VI La coseca n te de un arco es la ordenada del punto d e intersección, entre la recta tangente que pasa por e! extrem o del .arco y el eje Y.

Ejemplo 1

(P y Q punto de tangencia) => C y D extremos de cosecantes

(B y T puntos de tangencia) => B y G extremos de cosecantes

(S y R puntos de tangencia) F y E extremos de cosecantes

(b)

fe)

(a)

Figura 4.30

•

Ejemplo 2 Si a e ! 0 ; —) , halle todos los valores de c s c a . \ Ai

Resolución En la figura 4.31, e n la C.T. se han dibujado algunos extrem os d e los arcos a , y sobre el eje Y los respectivos puntos d e intersección cuyas ordenadas representan a la c s c a . Se observa que los valores de dichas ordenadas son m ayores a -J2 , es decir c s c a > \Í2 . %

Otra forma Analicem os con la definición I, veam os it \Í2 Como 0 < a < - , en ton ces 0 < se n a < — 4

2

Invirtiendo la desigualdad 3

— -— > V2 => c s c a > s/2 sen a 221

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Teorema

i)

.

s e c a < - l o s e c a > l ; V ae R - |( 2 n + l ) ^ |

ii) c sc a < -1

o c s e a > l ; V a e R -{ n n }

E jem plo 1

______

; neZ (

;'n e Z

Com o se pide los valores de a en lugar de se c a

Halle los valores admisibles de b, a partir de la con dición siguiente b = 5 csca -2 R esolu ción

escribim os -—- , esto e s 3 reemplazando ( 1) en ( 2 ) se tiene

3

Dada la expresión

> l v —

. 3

l .......(2 ) F orm arem os la expresión- 0 ) , m u ltip lican d o

Multiplicando por (3) ( 3 ) ^ j > ( l ) ( 3 ) v ( 3 ) ^ } £ (-l)(3 )

primero por 5 y luego sum ando (-2 ). R educiendo De (2)

5 csca < -5 v 5 csca > 5

5 c s c a + ( - 2 ) < - 5 + (-2 ) v 5 c s c a + (-2 )> 5 '+ (-2 ) =>

5 c s c a - 2 < -7 v 5 c s c a - 2 > 3 b < -7

b=

v

b > 3 .......(3)

l-a>3 v l-a < -3

l - a + ( - l ) > 3 + ( - l) v l - a + ( - l ) < - 3 + (- l) = )-a > 2 v -a < -4 Por(-1 ) . (-l)(-a )< (2 )(-l) v (-l)(-a )> (-4 )(-l)

; - 7 ] \ j [3 ; +~;

=> a < - 2 v a > 4

...(4)

E jem plo 2 Halle todos los valores adm isibles d e a, a partir

(Observe que cu an d o se multiplica por (-1 ) el

d e la siguiente condición

sentido de la desigualdad ha cam biado).

1- a se c a = ----3

R esolu ción

+ X

-----*------- ; -2

1- a rn seca = — ...( 1) 3 A partir del teorem a anterior obtenem os

222

representam os en la recta numérica, obtenem os — 00

Dada la expresión

se c a < -l v seca> l

Si las d e s ig u a ld a d e s o b te n id a s e n (4) las

...( 2 )

0

»

4

Figura 4.32

A partir de la figura se obtiene el intervalo para a. a = ' - ° ° ; - 2 ] u [4; +«¿)

C A P ÍTU L O IV

C ircunferencia trigonom étrica Ejemplo

Representaciones Auxiliares SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE •

El senoverso o verso de un arco 0 denotado por vers(9), se define: '■ ' " " " 1 \ j v e r s 0 = l-c o s 0 ; V 0 e R f

V.________________________________ .

•

El c o se n o v e r s o o co v erso d e u n arco 0 denotado por co v ( 0 ), se define: ' ; V 0e R

(

I cov0 = l - s e n 0

De la figura se cum ple vers0 = PA

v._________;________________________ j

•

La ex seca n te de un arco 0 d en otad o por e x s e c ( 0 ), se define:

ya que

PÁ = A - P (véase página 160) =* versQ= A - P ,

'

vers0 = l - c o s 9 e x se c 0 = s e c 0 - l; V 0e R - ( 2 n + l ) í | ; n e 2 .i

\ vers í -n>)= l - c o s - = 1 -1 ) 3 1, 2 ,) f

3n )

,

f-3 n )

l

4

.

{

J

4

)

1 2

, f {

■ '

g

Gráficamente el coverso de un arco dirigido es el segm ento dirigido en el eje Y que parte del punto Cuya coordenada es el seno de dicho aireo hacia el origen de complementos.

E jem plos •

Observación

y¡2) 2

2 + V2

)

2

E jem plo 1

*

•

e x sec(it) = s e c n - l = ( - l ) - l = - 2

Teniendo en cuenta los teorem as d e las páginas 2 1 2 y 2 2 0 se llegan a deducir las sig u ien tes

variaciones: i)

0 < vers 0 < 2

ii)

0 < cov9 < 2

iii)

e x s e c 0 < - 2 ó e x se c 0 > 0

Observaaon — -ts.

-—;

Gráficamente el verso de un arco dirigido es el % segm ento dirigido en el eje X que parte del punto cuya coordenada e s el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos.

De la figura se cum ple cov0 = QB yaque

QB = B - Q => cov9 = B - Q cov 0 = 1 - se n 0 223

Lumbreras Editores • Gráficamente la exsecante de urrarco dirigido es el segm ento dirigido en el eje X que parte del origen de arcos hacia el punto cuya coordenada e s la secante de dicho arco.

Ejemplo 2

Trigonom etría

ii)

Para un número » v e r s[--j= P A l 4j

• c o v |- 5 j = p •

exsec - l

= AT

4J

De la figura, P es punto de tangencia y s e cum ple exsecB = ÁR yaque

AR = R -A => exsecO - R - A

exsecB = se c 0 - 1

Ejemplo 4 Utilizando segm entos dirigidos, dem uestre que vers4 > vers2 > versl

Ejemplo 3 Represente el verso, coverso y exsecante.

Resolución i)

Para un número 2 •

vers2= FÁ

• cov2= EB • ex sec2 = AP

224

De la figura 4.38 se cum ple ,PA , >

QA

> ^

.-. vers4 > vers2 > versl

Problemas Resueltos Problema 1

Problema 2 8 ti

Luego de ubicar los núm eros — ; - 3 ; - V 2 en la circunferencia trigonométrica, indique los signos S7C d e las expresiones e o s — ; tan (-3) ; se n (-> /2 ) R esolución R ep resentarem os en forma aproxim ada a ios núm eros m encionados, com o arcos en posición normal. Dicha representación se h ace teniendo e n c u en ta los arcos referen cia les c o m o son: 1,57 ; 3,14 ; -3 ,1 4 y -1,57 Com o — = 2,79; en ton ces 1,57 < — < 3,14. Esta 9 9 e s la razón d e su ubicación en la C.T. D e ig u a l form a, para - 3 ,

se

tie n e

Encuentre el valor d e cada una de Iza expresiones siguientes: aj ,, b)

2n

2 jc

sen — ; eos— 3 3 5rt 5 tc sen — ; eo s— 4 4

Resolución Antes d e qu e e m p ie c e a revisar la resolución d e e s te p ro b lem a , le su g erim o s repasar los e je m p lo s c o n sim e tr ía d e sa r r o lla d o s e n la página 211 .

que

—3,14 < —3 < —1,57. F in a lm e n te ,

c o m o ‘ —n/2 = —1,41;

e n to n c e s

-1 ,5 7 < -V 2 < 0 . Para un m ejo r e n te n d im ie n to le su g e r im o s observar la figura 4.39.

P u e sto q u e

9ir — 3

s e p u e d e e x p r e sa r c o m o

rc - ^ ; u b iq u e m o s a lo s n ú m e r o s — y — 4 3 3 en la C.T. (n ó tese la simetría respecto al eje >0; luego representando a los sen o s y co sen o s con segm en tos dirigidos ten em os

- 3 e HIC => t a n ( -3 )> 0 -V 2 eIV C => s e n ( - ^ ) < 0 Loá signos, respectivam ente, so n (- ) ; ( + ) ; (- )

2 /t n \J3 sen — = s e n - = — 3 3 2 2n

7t

1

3

3

2

e o s — = - e o s - = ---

225

T rigonom etría

Lumbreras Editores

(b )'

Entonces, ordenando de m enor a mayor: cos4, cos5 y c o s 6 c)

Aquí se observa que tan20 Entonces, ordenando de m enor a mayor: tan2, tan3 y tan4

Problema 3 Ordene en forma creciente a) s e n l, sen2, sen3 b) cos4, cos5, cos 6 c) tan2, tan3, tan4 R esolución a) Para representar los senos de números reales, representam os esto s núm eros co m o arcos que se generan a partir del punto A(1;0). Luego, el gráfico aproximado será el siguiente:

Entonces, ordenando de m enor a mayor: sen3, se n l y sen2 226

Problema 4 A partir de la figura adjunta, exprese el seg m en to BK en términos de 0-.

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU LO IV R esolución Son conocidas las coordenadas de P, por ser el e x tr e m o

del

a rco

en

p o s ic ió n

Problema 5 Calcule OM, en térm inos d e 0.

n orm al:

P (co s9 ; s e n 0 ) , pero debido a qu e K y P son puntos sim étricos resp ecto al eje X, p o d em o s afirmar lo siguiente: • K y P p r e se n ta n igual a b sc isa y o rd e n a d a s opuestas por lo que la abscisa del punto K e s e o s 0 y su ordenada es ( - s e n 0 ); le sugerim os observar el gráfico.

Resolución

Figura 4.42

Puesto que ahora se c o n o cen las coordenadas d e B y K, esto es B(0;1) y K (c o s0 ; - s e n 0 ) , se p u ede aplicar la fórmula para distancia entre dos puntos BK = ^(0 - co s0 ) 2 + (1 - ( - s e n 0 ) ) 2 Efectuando BK = 7 c o s20 +1 + se n 20 + 2sen0 pero s e n 20 + c o s 20 = 1 Esta igualdad se obtiene a partir de que el radio vector del punto P e s OP y dicha longitud e s 1. Entonces

Figura 4.43

AOM - t\ AHP OM _ 1

|se n 0 | l + |c o s 0 |

Pero 0 e IIC => ¡sen 0 ¡ = se n 0 y |c o s 0 j = - c o s 0 ... ( 2 ) R eem plazando (2) en (1) ob ten em os

OP = 7(abscisa de P)2 + (ordenada de P )2 % =» 1= 7 (c o s 0)2 + (s e n 0)2 d e donde s e n 2 0 + eo s 2 0 = 1 BK = V2(l + sen 0 )

OM _ 1

sen0 l + ( - c o s 0)

R educiendo obtendrem os, finalmente OM =

sen 0 t - C O S0

227

Lumbreras Editores

Problema 6

Trig o n o m e tría R esolu ción

Del gráfico, calcule PM en función de 9 .

Figúra 4.45

Del gráfico trazamos TM tangente a la C.T. tal que t\O A 'P = C\OMT ca so (ALA)

En la figuraA'OB y A‘MP son notables con ángulo de 45°. Por tal motivo afirmamos ío siguiente: PM = A'M ... (1) MO = |c o sa | ...(2 ) A'M=l-MO ...(3 ) Reemplazando (2) en (3) ob ten em os A'M = 1 - |c o s a | ... (4) Reemplazando (4) en (1) se tiene PM = l - |c o s a | ...(5 ) Como a e llC => |c o s a |= - c o s a En (5): PM = l - ( - c o s a ) Efectuando /. PM = 1+ c o sa

Luego, PO = |s e c 6 |

Problema 8

Pero 0 elIC => |s e c 6 | = -s e c 0

Si - 7i < a < 0 < ( ) < - ^ , a v e r ig ü e la v erd a d o

A dem ás

falsedad d e las siguientes proposiciones:

PM = P O -M O PM = | sec01 -1 /. PM = - s e c 0 - l

Problema 7 Del gráfico mostrado, halle PM en términos d e a .

228

I. II.

sen(3 > sen 0 > se n a |c o s a |> |c o s 0 |> |c o s p |

R esolución

C A P ÍTU L O IV

Circunferencia trigo n o m é trica

Al hacer la representación de los sen os y cosen os, co m o segm entos dirigidos (véase figura), el orden e s evidente se n a > senO > senp tam bién eos 3 > cosO > c o sa pero en valor absoluto de los co sen o s tenem os ;c o s p ;< icosü < j c o sa | I es falso y II e s verdadero.

Problema 9

a > ----3jt => —ti > —co > —p

2

Luego d e su representación d e -co y - 3 e n el segundo cuadrante, se cum ple cot(-co) < c o t( - 3 ) I e s falso y II es falso.

Problema 10

Indique la verdad o falsedad de las proposiciones: I.

Si - < a < 0 < n = *

II.

Si 7i < c u < 3 < — =» cot(-co)> cot(~3)

2

En la condición, multiplicando por (-1 )

tana < tan0

De la figura, halle la distancia entre los puntos O y Q, en términos de 0 .

R eso lu ción De I, planteam os la figura siguiente:

R esolu ción En la figura 4 .4 8 (b ), s e h a n tra za d o la s perpendiculares NR y PW a los ejes coordenados. .Luego, d e la representación de a y 0 , se cum ple tana < tan 0 co m o tana y tan 0 son negativas, en ton ces jtana j > | tan 01 Análogamente para II, tenem os la figura siguiente:

Figura 4.48

Los triángulos rectángulos som breados NRO y PWO son congruentes, luego Figura 4.47

NR=PW ; RO=OW NR = jcos0 ; RO= sen0 229

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

El triángulo rectángulo AOQ e s se m e ja n te al

Utilizando la ecuación

triángulo rectángulo ARN.

x 2 + v 2 = 1 => (c o s 0)2 + (sen 9 ) 2 = 1 Sustituyendo el valorde co s0 se tiene

'

OQ NR OA ~ RA OQ 1

2V 2

se n 0 = ± -

|cos0|

3

l + |sen 0 |

...0 )

C om o 0 e IIC, entonces 2 V2

í |c o s 0 |= - c o s 6

senO = -

3

N ótese q u e '0 e IIIC => { |sen9|=- se n 0

Finalm ente M -

2 V2 ; 3

R eem plazando en (1) OQ _ (-c o s0 ) 1 l + (-sen ü )

r

’ 3 ,

Problema 12 En la figura, determine el área de la región sombreada

= ,0 0 =- ^ ? 1- sen 0

Factorizando (-1) en el denominador -C O S 0

OQ = -(se n 0 - l ) R educiendo obtenem os OQ =

C O S0

sen 0 - 1

Problema 11 Siendo í _ 1 1la abscisa del extremo del arco 0, l 3j

R eso lu ció n

tal que 0 e I1C, halle las coordenadas del extremo-

aso cia el par ordenado ( c o s a ; s e n a ) ; luego, el punto M e s sim étrico con P, respecto al origen de

del arco dado por ^0 + ~

coordenadas. => M ( - c o s a ; - s e n a )

Resolución Considerando a P y M extrem os de los circos 0 y TC +0

respectivam ente, obviam ente e n una

circunferencia unitaria, entonces se tiene •

P (c o s0 ; sen0) M co sf^ + 01 ; sen( ” + 0 2

)

12

= M (-seri0;cos0) pero del enunciado en P cos0 = - -

230

C om o P e s el extrem o del arco a , entonces-se le

C A P ÍTU L O IV

Circunferencia trigonom étrica

Sabem os S = - ( A - B ) 2

...0 )

c

(ORXMP)

S= “

2“

S - |sece| l-c o s e l

nc

2 g _ ( - s e c 9 )(- c o s 8 )

Problema 14 R eem plazando en (!) 1, S = - ( - e s e c t - s e n a ,+ co ta )

D eterm ine el área d e la región som breada en térm inos de a .

Ordenando S = - ( c o t a - s e n a - c s c a )

Problema 13 Del gráfico, halle el área de la región som breada, sien d o la recta rd tangente a la C.T. en el punto F.

(a)

Resolución S iendo A el área de la región som breada, del gráfico Y

Resolución. Si S nos expresa el área de la región som breada, del gráfico

Figura 4.51

^ _ [ c o t a |x ( l - |s e n a |)

231

Trigonom etría

Lumbreras Editores

Luego, el área de la región trapezoidal se expresa así

í |cota| = - c o t a Com o a elV C

S = SoAB + ^BOC + ^ODC

[ |s e n a |= - s e n a Luego A =

( - c o ta )(l + sen a )

“

S

se n 9 |c o s0 | 2

, 2

la

.-. S =

c o t a . se n a = c o sa ,

la

cual

2

+

|c o s 0 |s e n 0 2

= - + se n 0 |c o s6 |

(para poder reducir un p oco m ás, utilizaremos id en tid a d

1x 1 +

- s e n 9 c o s 0 ju 2

dem ostrarem os en el Capítulo V). A

-1 2

Problema 16 (cota + co sa )

D el gráfico, c a lc u le el. á r e a d e la reg ió n sombreada, si BOC es un sector circular.

Problema 15 Determine el área de la región som breada.

Resolución El área del trapecio circular (S), lo calcularemos c o m o una d iferen cia d e r e g io n e s e n tr e 'lo s sectores BOC y AOD.

k C D O sk O A B => OA = sen0 BA= |cos0| = - c o s 0 ; 0 e U C

Figura 4.53

=» S = Í0 (s e c 0 ) 2 - Í 0 ( l ) 2

=> S = ® (sec 20 - l ) S Figura 4.52

232

= - t a n 20 2

(usando s e c 20 -1 = tan20 )

C A P ITU LO IV

Circunferencia trigonom étrica

Problema 17

Noto

Calcule el m ínim o valor del área d e la región 5xc (A,o,ai )mln = 1 se da cuando 0 = — ,

sombreada.

es decir tan0 = cote

Problema 18 Según el gráfico qu e se muestra, BH=d. „ , sen\(/ + c o s v - l , . . , Halle f = ----- 7— en términos d e d. s J \-C O S X \l

R esolución

R esolución

Figura 4.54

Calcularemos el área total así A total = S j + S

2

l-cot 0 l t a n 0 —---------H----------2 2 = ^ (co t 0 + tan 0 ) D ebem os tener presente que si 0 e HIC, en ton ces cot 0 + tan 0 > 2 . .%

Multiplicando por

,

-

I(tan0 + cot 0 )> 1 total

(^total)m{n

^

Para r e la c io n a r e l a r c o v y la lo n g itu d d, hallarem os el área de la región som breada por la fórmula indicada en la primera parte d e esta obra. 2S = 1(1 - sent|/) + 0(seni|/ - 0) + cosi|/(0 -1 ) S=

1- sen\|/ - cosí)/

... ( 0

También se determ ina el área com o sab em os c PA.d s = -v ~ -00

233

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Cálculo de PA por distancia entre dos puntos, tenem os PA = 7(cos\|/ - 1)2 + (sen y - O)2 PA = 7 eo s V +1 - 2eosw + se n 2\it —cz 3~

Luego, de la figura anterior se ded u ce que a ' Ttl i 5n 1 0 —lu ;n 2 .6 6J “ 5 71 => a e u — : 2n L 3J L3 . Nuevamente representando a en la C.T.

PA = n/2 ,/T -cosí)/ Reem plazando en (ii) c ^ .J l - c o s u / . d S = ---------------—

—(m)

•

De (i) y (iii) l-s e n y -c o s i)/ \Í2.y¡1 -co sy .d 2 ~ 2 ^ sen\|/ + co sy -1 = -\Í2d ^1- e o s f = -V 2d

Problema 19 Siendo a un arco no negativo y no mayor de una vuelta, exprese la variación de | tana | , cuando

ossen( ! H Resolución Del enunciado tenem os 0 < a < 2ji => 0 < —< n 2

Luego, en la C.T. tenem os

234

De la figura se deduce < te ín a < y/3

0 < : tana ¡ < JZ ¡ ta n a |= [0 ; V I]

Problema 20 Si sen2x = l + tanfi, averigüe los valores d e p , si éste pertenece al segundo cuadrante.

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU LO IV

S econoceque - l< s e n x < 1 ; V x e R

Sea M(x;y) las coordenadas del punto m edio de

Elevando al cuadrado 0 < sen2* < 1

T S , entonces

Sustituyendo sen 2* por (1 + tanP ), tenem os 0 < l + ta n P < l => - l < t a n p < 0 Luego, analizando en la C.T., se tiene — < p < n 3n 4 en general — + 2rrK < p < 7t + 2jiK ; K e Z — + 2K?t ; it + 2rtK 4

K eZ

Problema 21 Del gráfico mostrado, calcule las coordenadas del

l+ se c0 * = ----------

2

tan0 y =~2" f l + sec0 tanQ2! I 2 : 2 J

Problema N* 22 Analice la verdad o falsedad de las proposiciones: !. tan6>cot6 II. sec4> csc4

punto m edio de TS en térm inos de 0. Resolución En la C.T. se ubican los extremos de los arcos 4 y 6. También se han trazado las rectas tangentes a los extrem os de los arcos

y 4 (ver figura 4.59).

Resolución

Figura 4.59

Nótese que 4 > — = 3,9 4 r, 5n 5lt 5j[ Para — se cum ple sec — = csc — = -V 2 4 4 4 Para el arco 4 se cum ple sec4cot6 I es verdadero y II es falso. \ 235

Trigonom etría

Lumbreras Editores

Problema 23 Describa los valores de K = senj^ G - ^ j , para todo 0 ; qu e está comprendido de ^ a y .

Resolución Del enunciado - < 0 < ^ Formando 0 — .tenem os 6 7t _ n 2n < 0- - < — 6 6 3

—

Figura 4.61

Luego d e representar y analizar en la C.T., (ver gráfico) tenem os

y

-1 < cosa <

1

Elevando al cuadrado 0 < cos2a < 1 Sumando 3

3 < 3 + cos2a < 4

•

P

P = [3;4]

Problema 25 Calcule la variación de E = jl - 2 c o s j^ y + í ' | : ; V |x |< l

Resolución De la condición |x | - I < l - 2 c o s 0 < 2

2

2

Luego d ando form a a ( A ) p ara en co n trar m, tenem os que Sum ando 1

=> O < |l- 2 c o s 0 |< 2 E-

/o

E = [0 ; 2,

0

^

2

Elevando al cuadrado

Problema 26 Si 0e ^

< 1+ cos0 < 1+ —

, para qué valores de m se cum ple

O < (1 +

c o s 0 )2

< ! + V2

Multiplicando por - l , 1 que sen 0 - 2cos0 = m + -

— --

2

n/ 2

< (1 +

cos0

)2 - \Í2 < m < 2

Expresando m com o intervalo se obtiene

....(A)

237

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 27

Problema 28

C alcule los valores de a 2- l si se verifica la siguiente condición:

A partir de las siguientes condiciones

, Jt'i a „ _ ^5rt s e n U + - = - r ; 2 n < ac< —6 ) & 2

sen cosl°

—(1)

cosa < sen l0. ... (2) halle a en el intervalo (0 ; 360°)

Resolución Resolución F o rm a m o s

los v alores d e

x +- , 6

lu e g o

representam os en la C.T. los arcos respectivos. Del dato „ . . 5n 13rt 7t„ 8rt 2 it< jr < — => ---- < x + —< — 2 6 6 3

Lo harem os de la siguiente m anera: de cada una de las condiciones (1) y (2) obtendrem os un intervalo para a , pero com o dichos valores deben c u m p lirse s im u ltá n e a m e n te e n las d o s condiciones, entonces nuestra respuesta será la intersección de dichos intervalos. A partir de se n a > co sí0*

...(1)

uniform izam os las R.T. (por R.T. d e ángulos com plem entarios) obtenem os se n a > sen89°

... (2)

Representam os la condición (2) en la C.T. (se sugiere observar la siguiente figura).

Figura 4.64

Según el gráfico

-2 • co se> l Sabem os V 0 e R - l< c o s 0 < l podem os afirmar que cos0 = 1 ; 0 = 2Kn también, siendo •

sec2*, = 1 =* secx, = 1 o secir, = - l

•

¡cscx2¡= l => cscx2 = l o csac2 = - l

D ell:

tan(8 + p )> sen 2x, + sen2x2 í => tan(6 + P )> l => tanC2Kn+P)>1 => ta n P > l

Y¡

Del gráfico tenernos que . 1771 = - 4 i t ---38

0

/.

0=

240

-

169ti 38

C A P ÍTU LO IV

Circunferencia trigonom étrica

En la C.T. podem os observar que fñ

- l < s e n p < ——

...(a)

Analizando P P = 2 s e n p -l + sen p + l P = 1- 2senP +1 + sen|3 P = 2 -s e n P

Al cuadrado es decir

- < l - s e n 2* < 4 4 3 2 1 => — < - s e n * < - 4 4 1

V2 1 > -s e n p >

i

Multiplicando por (-1) - < sen * < 4 4 Evaluamos la raíz cuadrada

1, 2

De ( a ) por (-1)

1 ’ ? 3 - < eos2* < 4 4

.7 3 2

73 . 2

.

1 2

Multiplicando por 2 l< 2 s e n * < 7 3 v - 7 3 < 2 s e n * < - l

Sum ando 2 Jó => 3 > 2 - s e n P > 2 + — 2 =» 2 + — < P < 3

Reem plazando 2sen* por tañe 1< tanO < 7 3 v - 73 < tan0 < -1 tan0 = [ - 7 3 ; - l ] u [ l ; 7 3 ]

Otra forma

2

1

73

De la desigualdad - í eos* < —

P = 2 + — ;3 / 2 /

obtenem os los valores de sen*; d e esta m anera

Problema 32 .

1.

. 73

Si se cum ple - < eos* < — 2 2 • adem ás 4 + tan20 = 4(cos2* + sen*tan0) determ ine los valores de tan0 .

Resolución 4

+ tan20 = 4cos2* + 4sen*tan0

4(1 - eo s2*) + tan20 - 4serurtan0 = 0 -En la condición 4sen2x + tan20 - 4senxtan0 =0 « (2 se a v -ta n 0 )2 = 0 de donde se obtiene tan0 = 2serur De la desigualdad anterior obtenem os los valores del serur, recuerde que se n 2* = l - c o s 2* . 1 . . V3 luego - < c o s * < — 2 2

1. .7 3 73 . .1 => - < sen* < — v ------< sen* < — 2

2

-

2

2

Multiplicando por 2 l< 2 s e n * < 7 3 v - 7 3 < 2 s e n * < - l 1 < tan0 < 7 3 v - 7 3 < tán0 < -1

tan0 = [ - 7 3 ; - l ] u [ l ; 7 3 ] 241

T rigonom etría

Lumbreras Editores

Problema 33 Encuentre la sum a de valores de w en el intervalo

Resolución Cálculo de x en el triángulo rectángulo OBC.

(0 ; 4«) , tal qué satisfaga la condición 1 -s e c 3 w = sen 2a Resolución Sabem os que V a e R : -1 < s e n a < 1 tam bién 0 < s e n 2a < ! C am biando según la condición 0 < 1- sec3w < 1 Despejando sec3w: 0 < sec3w < 1 Pero debem os tener en cuenta que los valores de la secante se representan en la'figura 4.70 , secante CWmmMMMUWtWh -1

Mimmmmummmui ]

0

1 (b)

Figura 4.70

Entonces sec3w = 1 3 w = 2 n ; 4 n ; 6 n ; 8 n ; lOit; 12n;... 2rt

47t

_

87:

IOti

Figura 4.71

BO = ^ V 3 = ^ + l- 2 x .

w = — ; — ; 2n ; — ; — ; 47t; ... 3 3 3 3 , pertenece a{0;4n) Luego ■ v,

^

27t

47t

87t

3

3

3

IOti

Además el punto P es , n f3 -s Í3 ( jc ; jc -1) = 1 3-sÍ3

..

3

V3 + 1

Cálculo del área S

Problema 34

S = ^ (m -n )

De la figura m ostrada calcule el área de la región som breada en función de 0.

1

c o s 0 ^ sen0 3 -Í3 ^ \-¡ 3 _4

(¥ ) sen©

0

W

sen0 re c o s e V 4 o m

Reemplazando en (a ) s=-

2

/

s=g _

242

2^

Ll i l l

4

J

sen0 +

(sen 0

V3

V _

COS0

+

1) u 2

C A P ITU LO IV

C ircunferencia trigonom étrica

Problema 35 0 Del gráfico mostrado, determ ine el valor de tan -

c, . 8 VÍT + V3 . ' El valor ta n - = ------— se d e s c a rta p o rq u e „ 0 n . . 6 . 0 < - < - , entonces tan - > 0

2

2

2

Problema 36 Si se cum ple - 72 < sec(2jieosA) < -1 calcule los valores de M=secA Resolución Nótese qu e sec0 =

cose 1 -7 2 < < -l cos(2jtcosA) En la condición JS => - — > cos(2ncosA) > -1 Jñ -1 < cos(2ncos A) < —— P ara a v e rig u a r los v a lo re s q u e a s u m e el arco(27tcosA ), analicem os en la C.T.

Figura 4.72

En el k MOR: RO = ta n -

2

Luego, en el triángulo rectángulo PHR l 1 t. a n 0- = ----- 2— 2 ta n - + — 2tan § + >/5 _ 2. 2 2 => 2tan2- + \ / 3 t a n - - l = 0 2

2

Resolviendo la ecuación de 2do. grado tan

e _ - V 3 ± V V 3 2 -4 (2 )H )

2 ( 2)

e Vñ-Vs

tan - = ----- -----2 4

es decir ^ < 2rtcosA < — 4 4 Formando la expresión M 1 3 5 8 1 x - = , - < c° sA < - ^ - > —

8

>5

=> | < secA < | =» - < M á | 5 3 5 - 3 8. 8 Luego, M = 15 ’ 3 J 243

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 37

Problema 38

C alcule el á r e a de la región so m b re a d a en térm inos de a si PQ=QR.

De la figura, si la m e d id a d el a rc o AP es num éricam ente igual al perím etro de la región som breada m ás el área d e dicha región.

R esolución S eab = O Q Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: i) sen 6 < eos 0 ii)

| sen© j < | ©¡

iii) senj 9 ■> ¡cos¡ j j Resolución

Fig u ra 4.74

Calculem os los catetos OQ y MQ del triángulo som breado. En ts.OBR: OR = j c s c a | Luego, 2(l+ b) = I+ |c sc a l. Como a e 1IIC „„ ,, , , 1+ csca 2(1 + b) = l - c s c a => b = -------— En el Cs.MQR: MQ = ( l+ b ) ta n ( a - n ) 1 - csca MQ = tana Luego, S =

s = tana ~ íT 244

1( 1+ csca V 1 - c s c a Y 2 r '2 [ 2 1

F ig u ra 4.7 5

a

Del C \0H 02

: x2+ K

=> x = l/4

[7\

2

¿ )

2

= (l-* )2

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU L O IV

Del dato:. 0 = 27u: + roc2 e = í + iL 2 16 0

De la figura m ostrada SiMNP = Dato: tsOAM: AM = tan0 = 17jc/ 16

De la C.T. se tiene i) sen0 > co s0 i¡) ¡sen9¡ < 10 1 , dado que 0>1. iii)

s e n ' 0; > ¡ eos] 0 j | ; ; 0 = 0, puesto que e > 0 .

Finalm ente i)

F

ii) V

... (1)

kO A P: AP = cot0 Pero MP=AM+AP M P=tan0 + cot0 KOO'N: O'N = tan0 siendo O'R=1 => NR = ta n 9 -l

iii) V

Problema 39 Del gráfico m ostrado determ ine

Reem plazando en (1) c (tan0 + c o t0 )(ta n 0 -l) paMNP ~ 2 5

tan 20 + l- (ta n 0 + cot0)

/ =

%

C ■- = sec20 - (tan0 + cot0)

.-. sec20 -(ta n 0 + cot0)

5 2

Problema 40 C alcule el á re a d e la región so m b re a d a en términos de 0 .

(a)

.245

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Resolución De la figura a d ju n ta, d e te r m in a re m o s las coordenadas de los vértices del triángulo B'QM.

Problema 41 Determine la variación de la expresión f = - + cot2í - c o s a ) 3 13 ) Resolución Considerando n 3

-l< c o s a < l

ii

3

_ ji cosa< 3

hacem os P - ^ c o s a Reem plazando en f tenem os => f = - + cot2p 3 para hallar la variación de c o tp , debem os tener presente que p e

n . n - { 0} '3 ’ 3. cotp

•

P y Q so n sim étricos re sp e c to al e je X,

•

entonces Q (c o s0 ;-se n 0 ) M es p u n to m e d io de A'B, e n to n c e s

73

73

3

3

Luego calculamos el área de la región som breada, así , -COS0

isenO 2

cose ■ 1 2 ' 0

-1

,*■-senO 1 2

0 1 cose

c o tp < -^ p

,

Q— 1 s e nA0 +T-3 cos0 .2 2 2

S = -[3 c o s0 -s e n 0 + l]u 2 4

ó

c o tP > ^

ic o s e + i

2

x cos0 + r V í -co s0 + 1 sen0 j

246

De la figura, tenem os

2

'*• -1

-cos6 + isen0

s=

Figura 4.78

2

=» co t2p > - ó 3 C O t 2p > ^

C 0 t2 p + - > 1

3

f = [ ! ;+ « )

cot2P >

3

C A P ÍTU LO IV

Circunferencia trigonom étrica

Problema 42

Calculemos la variación de s e c a a partir de la

D etermine entre qué límites debe encontrarse p para que no se cum pla la relación.

figura adjunta í a * ^ I >por definición de s e c a , entonces se cum ple

p s e c - = sec - c o t 2 0 Dato:

s e c a s ( -° ° ;- V 2 ) u { \/2 ;+«>)

5rc \ T i

Por condición del problem a, n o se cum ple si ->/2 0 = — 3 253

Trigonom etría

Lumbreras Editores

Si las co o rd enadas de P son (x;y), en to n ce s x = 3cos0 ; y = 3sen9

Resolución Para resolver este problem a, d eb e m o s ten er conocim iento d e las siguientes propiedades:

Los puntos P y M son simétricos respecto al eje X, entonces M(3cos0; -3sen0) Asimismo T(3sec6;0)

Sean los puntos A(x,;y,) ; B(x2;y2) ; C(x3 ;y3) p ara los vértices de un triángulo, luego las coordenadas G(x;y) del baricentro de dicho " triángulo son ^ _ £ L+ £ 2+Jr j

3

.

- _ y , + y 2+ y 3

’ r

3

Aplicando en el triángulo TMO, con baricentro G(jr;y) 0 + 3sec0 + 3cos0 = sec0 + cos0 O + O+ (-3sen0)

-se n 9

F in a lm e n te ex p re san d o e n té rm in o s d e a ,. obtenem os G Ís e c —+ cos— ; - s e n —1 ^ 3 3 3 J.

Problema 54

(------- :----- "'t , mn n = -—— m +n \__________ Aplicando en el problem a

*

En la siguiente circunferencia trigonom étrica, determ ine la ordenada del punto P.

sen0(-cos0) sen9 + (-c c sen0cos9 cos0 - sen© 254

C APÍTULO IV

C ircunferencia trigonom étrica

Problema 55

R epresentando los valores de a en la C.T.

Determine la variación de Y en cada caso. i)

K = 2cos220-4cos20

ii)

K = 2sena + \^3 ; s iO < |a f < ^

Resolución i) C om pletando cuadrados Y = 2 ( c o s 220 - 2cos20 +1) - 2 Y = 2 (c o s2 0 -l)2- 2 Sabem os q u e si 9e R => 20e R =* -1 <

cos2

0 - 2 < c o s 2 0 - l < 0 => 0 < (cos20 - 1)2 < 4 Elevando al cuadrado

Del gráfico obtenem os V3 V3 ------< s e n a < — ; s e n a d o 2

2

C < 2 (cos2 0 -1 )2 < 8

=> -\¡3 < 2 se n a < -J3 ; 2 s e n a * 0 Multiplicando por (2) => - 2 < 2(cos29 - 1)2 - 2 < 6

=> 0 < 2 sen a + V3 < 2^3 ; 2sena + \¡3 *-j3 — f y

Y Sum ando (-2) => - 2 < Y < 6

. . y = [ - 2 ; 6] ii)

Como 0 < | a | < ^ A partir de esta desigualdad obtenem os los valores d e a . Para ello debem os recordar qu e si 0 < J a |< b => - b < a < B ; a * 0 De (1) obtenem os => - —¿

1171 t ;—

6

< X +

5)i 7n < 6 T 255

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

se n

2i

5tc^ 3 x+- ' 6 ■

=> csc2f x + ^ j > ^ => - 6 c s c 2^ x + ^ |‘< —8

=> 2 - 6 csc2|

x+ —

|< - 6

=> / < - 6

Y = { - ~ ;-6 )

Problema 57 Determine la variación de De la figura obtenem os *

1 A=eos x - cosx

1 f Sn) V3 — < s e n x+ sen2^ x + ~ j * 0

-(2 )

- cosx

Com pletando cuadrados en el denom inador 1

A=

,2

cosx! Así de ( I ) y (2) obtenem os que

1

A=-

•

, 1 1 1

-2|C osx|x- + - - -

0 < s e n 2f x + ^ j < | Sabem os que V x e R ; - l< s e n x < l => 0 £ k o s x |< l

Si

y < jc < Z A íy > 0 I

1

1

y

x

z

=» - > - >

256

Sum ando (-1/2) =» - ^ < ! c o s x | - ^ < ^ , 2

1

1 2

2

•

C A P ÍTU L O IV

Circunferencia trigonom étrica

Resolución Es n ec e sa rio indicar que el sistem a X 'Y ' es , generado por una rotación igual a a respecto al sistemaXfi.

Elevando a! cuadrado => 0 |cos(0 + a )j = -co s(0 + a) TR = - cos(0 + a )se n a PT = | sen(0 + a)( = sen(0+ a) Además m 1+ h(3 + tana) = -csc0 ... (i)

g _ -2 s e n (8 + a )c o s (8 + a ) s e n 2a

4

0

371 * + a = — => ta n a = cot9

g _ - sen(28 + 2 a ) sen 2a ••

"

4

Problema 59 De la figura, halle el área de la región som breada, en función de 0 siAM=2MO.

2

í 1_+CSC0' :..fíü [co t0 + 3 , Si S es el área de la región som breada De (i):

h =-

luego

S = ^ ( - c s c 0 - l) h ... (iil)

(0

en 0 0 y simplificando obtenem os

s_1(1+csce)2 ~2(3+cote)u2 Problema 60 / it 5n\ Si 9 e' -\ --- *7---Í7 /} calcule los valores de la siguiente \24 12/ expresión

R e so lu ció n

H=cos30+fsen2-

Resolución Para este problem a d ebem os ten er en cu en ta las siguientes identidades q u e se estu d iarán con mayor detalle en el capítulo sobre identidades de arcos múltiples. 2sen20 = l- c o s 2 8 cos30 = 4 cos30 -3 co s0 4H = 4 eos30 + 3 x 2 sen 2 -

2

4H = 4cos30 - 3cos0 + 3 ; 4H=

cos30

+3

H = - cos30 + 4 4 De la condición n . 5rc ji __ 5n — < 0 < — =* - < 3 0 < — 24 12 8 4 258

Identificando la identidad de circo triple

C A P ÍTU LO IV

Circunferencia trigonom étrica

En la circunferencia trigonométrica

Problema 62 Siendo 0 un arco positivo y m enor que una vuelta para el cual se cum ple \/vers 20 + Vcov 0 - 1 < ta n — + 2 s e n 4 6 calcule el valor dé K = cov20+vers0 Resolución De la condición

Multiplicando — y sum ando —, obtenem os

371, ti 1 ta n — = - l ; s e n - = 4 6 2 entonces Vve rs 20 + Vcov 0 - 1 < 0

2

H=

~

8

_1 . 6 + V 2W 2 2 ’ 8

de lo cual, sólo se cum ple para Vvers20 + %/cov0 - l = 0 tal que \fve ts20 = O . a Vcov8 - l = 0

Problema 61 Ordene en form a creciente covl, vers2, exsec4

Se tiene i)

Resolución Utilizando los segm entos dirigidos, tenem os

vers 20 = 0 1-

cos 20 = 0

=> cos 2 0 = l es decir

20

= 0 ; 2 n ; 47i ;...

=> 0 = 0 ; n ; 2 n ;... ii)

covO - 1 = 0 l-s e n 0 -l = O => se n 0 = 0 => 0 = 0 ; 7t; 2 tc

De (0 y (h) elegim os 0 = n , por enunciado del problema, sustituyendo este valor en k De la figura o rd e n a n d o en fo rm a c re c ie n te obtenem os: exsec4 ; covl ; vers2

k = cov 2 n+ versn k=3 259

Problemas propuestos 1.

¿Cuáles de las siguientes expresiones son negativas? 1.

tan(3;8)

II.

coslO

5.

Si el arco a en posición norm al tiene su & extremo en ei cuarto cuadrante y co sa = — ,

III. sen(-4)

2*

3

obtenga el valor de tan a + s e n a . V.

IV. s e n ( - f )

c o t(jt-l) 3

2 A) I y II D) II, IV y V 2.

B) I y IV

a) t i

C) I y III E) III y IV

C)1 3 E )7

2 « 5

Represente las figuras correspondientes en la C.T. y halle los valores de I. II.

-

De la circunferencia trigonométrica mostrada, halle PQ en térm inos de P

sen9 + cos9 + tan9 se ca - c sca . cota

siendo 0 = — y a = — 4 y 6 _ W3 3 4 n/3 C) -2; 3 W3 D) - 2 ;3

A) -1;

3.

E) -1; -22 A) 1+senfi

D e te rm in e el valor d e v e rd a d d e las proposiciones. I.

sen2 + co s2 > 0

II.

s e n 4 -c o s 4 < 0

A) FVF D) W F 4.

B) FFV

C) VFF E) V W

tan3 > sec3 > csc3

II.

ta n ( - l) < c o t( - l) < s e c ( - l)

A) FFF D )F W 260

B) FVF .

E) 1 -co sp

~ | . Determine

las coordenadas del extrem o de arco dado por 9 + n.

A) V

C)

III. tan2 > cot2 > sec2

C) 1+ cosp

En un a circu n feren cia trigonom étrica las coordenadas del extrem o de un arco 9 del segundo cuadrante son

D e te rm in e el valor d e v e rd a d d e las proposiciones. I-

D) senP + cosP 7.

III. sen5 + co s5 > 0

B) 1 -sen P

V2.-V 2 2 ’ 2

B) /

(2 -J s] 3’ 3 V

7

íV 3 .-r 2 ’2 v,

C) V W E) W F

D)

(3 [s’5 )

E)

'5 . - ^ 'j 13’ 13

J

Circunferencia trigonom étrica

C A P ÍTU LO IV

8.

Se tien e los n ú m e ro s reales x, , x2 en el

13. O rdene de mayor a m enor

re c o rrid o - i t c x, < x 2 < - ^ . ¿Cuál d e las

oc = ta n ^ -v e rs^ | ; (3 =-sen(cov2) y

siguientes proposiciones es verdadera? I.

s e n (- x ,) < s e n (- x 2)

II.

c o s x ,> c o s x 2

i)

III. | senx, j > sen*2 1 A) I D) I y II

B) II

A)

a .P .ó

B) P . a . ó

D) p . ó . a

C) III E) II y III

C) /3tanjj ;í - ^ j + 1 . . /7 jc . 3n B) \

6 ’ 2 A) (1 ; 2}

4rr E)

t

3n ’y

D) ( 2 ; V

B) (V2 ; 2}

C)

i2

E)

¡ y/2 . 3 \ 2 ’ 2/

Circunferencia trigonom étrica

CAPÍTULO IV

35. S ab ien d o q u e se cum ple se n (n c o sa )> 0, halle los valores de a en el intervalo de r0 ;2 rt . ,, rn »[0;

r 3n

A) 0 D) -2

; 2ti '

D)

o; f

E)

; re

371

2

B) 1

C) -1 E) 2

39. Calcule el valor máximo del área de la región som breada en la C.T. mostrada.

B) [ 0 ; j t ] u ( ^ l L¿ J C) [ 0 ; n ] u

38. S iendo - 2 n < x < y < 0 p ara los cu ales se cum ple covx - exsecy=2, determ ine el valor de M =sen(x+y)+cos(2x+y).

\2n¡ /

y

; 2n

2

cj {ti}

/

36. Si 7 t < ó < 2 j t , a d e m á s - — < c o s p < 2 ^ 4 4 halle la extensión de tan2. 9 A) .7 D)

B) ■ooj

15

40. Halle § ,§2 d e la C.T. m ostrada, siendo §, y §2 las áreas de las regiones som breadas. C) [15 ;oo) E) [7 ; oo)

37. EnlaC.T. m ostrada, calcule M = (2§ + 0)cot0 §: área de la región som breada. yi C.T.

A) - ( l + cos0)(l + sen 0 )u 4 4 B) ^ (l + c o s 0 )(l-s e n 0 )u 4 C) ^ ( l + s e n 0 )(N c o s0 )u 4 D) “ (l + c o s 0 )(l-s e n 0 )u 4 D)

E)f

E) - ( l~ c o s 6 ) O - s e n 0 ) u J 1 4 265

Lumbreras Editores

Trigonom etría

4 1 . Del g ráfico, h alle el á r e a d e la re g ió n . som breada.

43.

En la circunferencia trigonom étrica adjunta, A representa el área d e la región som breada. Calcule Asec0(sen0 -1 ) Nota: M es punto m edio d e OB

A) ~ cot0

B) |ta n 0

D) |c o s 0 u 2

C) ^ s e n 0 u 2 E) 72 tan0

4 2. Halle el á re a de la región so m b re a d a en térm inos de 0.

D)

44.

1

E)

4

2 .

r

D ete rm in e -el v a lo r d e p + q, sie n d o |^psena+ qcosa + - J

la

e x p re sió n

que

representa el área d e la región som breada.

-sen 0 co s0 2(1 + cos20)

-sencos , 4 4

B) rcosG - Vr2 eos2 8 + L2 + r2

E) A u B

C) reos© + \/r2 eos20 + r2 - L2 D) r eos 0 - Vr2 eos20 + L2 - r2

76. De la siguiente condición cos2x ,> c o s 2x2

( x, ; x 2 e R)

E) rse n 0 - Vr2 eos20 + L2 - r2

las proposiciones incorrectas son 78. I)

s e n :x ,e [0; 1]

II)

eos2 x 2 e [-1; 1]

S ien d o a , A, B, C, y D n ú m e ro s re a le s positivos, tal q u e se verifica la siguiente ecuación d e variable a (te n a + A )(ta n a+ B )(tana + C) = D

III) ta n x 2e R - { 0 )

cuyas soluciones son P , 0 y ó .

IV) c o tx ,e R - { 0 >

Indique la verdad o falsedad d e las siguientes proposiciones.

A) I, II y III B) II y III C) I y II D) I y III E) Todas las proposiciones 77. La m a n iv e la OA ¿véase ja gráfica) gira alred ed o r del p upto fijo O de m anera que el punto A se m ueve sobre un círculo d e radio

I. tanP + tan8 + tan(¡> > Y - - -■ " sen2/ II. tanp.tanB.taru*)>D+l+cos^a|cos2a+A cosa|) III. La sum a c o ta + cotp + cot0 tiene com o uno d e sus valores al cero. A) FFV D) W F

B) FVF

C )V W E) FFF

273

'&

©*@§6i(ñi i

b ;t

' \

iMpSCXDID©Sífe

D

16 J C

32 r c

48 ! 6

64 J A

Ife > •Vs.v*, |5~b?

2 J A

17 J D

33 r £

49 I

D

65 J A

3 J

D

18 J £

34 r A

50

rr

66 i B

! fc I fe?'

4 J

B

19 J S

35 r

D

51 I c

67 I n

5 J A

20 J

B

36 r

C

52 I B

68 J A

6 J

B

21 J

B

37 r

D

53 I s

69 I

7 .T e

22 J

C

38 r A

54 I c

70 I B

8 J A

23 J

C

39 r E

55 I c

71 J A

9 J A

24 J

C

40 f

56 I A

72 I

10 J E

25 J

B

4i r A

57 I F

73 I B

11 J A

26 J

C

42 r

D

58 I c

74 I c

f: í-1.¡

12 J A

27 J

C

43 r

D

59 I A

f&j

13 J c

28 J D

44 r

B

60 j! c

14 J

D

29 J

B

45 r

B

61 |I

15 J A

30 J

C

46 r E

31 J

D

Sb: Vb ) $£•■; «fe i í Éb ir fc

te

I

1 J

_iz_r

D

B

D

62 jI £

_ ÉLJ

B

. 75

B

D

rr

76 I £ -

77 n r 78 I £

i¡

CAPÍTULO

identidades trigonométricas

V

-\ Procesos idénticos En la fabricación de automóviles en serie se utilizan procesos idénticos. En matemática elemental y superior es usual la manipulación de expresiones y su simplifícación; es decir se transforman expresiones trigonométricas complejas en otras más simples.

...................... ...:______ ____ __________________ ______________ _______ J

U N A R T E F A C T O ELEC T R IC O Uno de los aparatos eléctricos más usados en lo mayoria de las industrias ya sean manufactureras, metalúrgicas, metalmecánicas, industria del calzado, etc., es el motor eléctrico. El motor eléctrico tiene por función transformar la energía eléctrica (corriente eléctrica) en trabajo mecánico. Puede ser útil en iluminaciones ¡nduslriales mediante grupos electrógenos, pulido para el cromado de ciertos metales, etc. Específicamente nos interesa el consumo de corriente eléctrica del motorya que esto se traduce en tarifas (pagos) que hacen los usuarios a la concesionaria (empresas eléctricas). Definimos los siguientes términos: W: Potencia activa, es la potencia utilizada por el motor, es la potencia a pagar. Se mide en kilowatts (kw). Q: Potencia reactiva, es la potencia consumida por el bobinado del m otor. Se m ide en kilovólt-amperios-reactivos (KVAR). S : Potencia aparente, se mide en kilovolt-amperios (KVA). => Q 2 = S2 eos2 0

— (1)

W =Ssen$ => W 2 = S2sen2$

. . . (2)

Sumando (I) y (2):

Q 2 + W 2 =S2(cos2+ sen2) (identidad trigonométrica)

W

1 Q 2 + W 2 =S2

=>

W=Vs2- Q 2

En la siguiente exposición de potencias de las corrientes altemos, se suponen ondas senoidales de voltaje y corriente. Esto es e—Emsenwt

L~lm senjwt-p ) donde Em e Im son los valores máximos de voItqje y corrientes y el factor de potencia (¡p) es la reloción entre h potencia activa y la aparente «■

fp = ^

= Cos*

Identidades / trigonométricas OBJETIVOS

• • • •

Conocer las identidades básicas y reconocer las formas alternativas de cada una. Conocer técnicas em pléadas en la comprobación de las diversas identidades. Com prender las identidades de la forma sen(x+ y+ .... +z), cos(x+y+...+z), etc. y sus diversas propiedades. Conocer las identidades para sen2x, sen3¿r....sen(nx), relacionando los números complejos y el desarrollo del binomio de Nevvton; también conocerem os las identidades para transformar de sum a o diferencia a producto y las diversas aplicaciones.

INTRODUCCIÓN Las ecu aciones en m atem ática cum plen un rol de m u ch a im portancia, y las identidades se encuentran dentro del marco teórico de las ecuaciones. A continuación planteam os dos ecuaciones: a^ + x

= 0 .. (1)

x*+x = x ( x + l ) ... (2)

Nótese q ue la ecuación (1) es válida sólo si x = 0 ó x = - l ya que 02+0 = 0; (—1)2+ (—1) = 0, para cualquier otro valor de x diferente de 0 ó -1, la ecuación (1) no se verificará (por ejemplo si x= 1 tenem os 12+1 =2 * 0). En cam bio, Ja ecuación (2) es válida para cualquier valor que se le asigne a x; por ejem plo six = 0 , tenem os 02+ 0 = 0 (0 + l)= 0 ó six = 5 , tenem os 52+5 = 5(5+l)= 30...etc. E ntonces u n a identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores perm itidos o adm isibles d e la variable o variables; donde la expresión valores permitidos se refiere a aquellos valores para los que está definida la ecuación dada. 1. %—| 1 Por ejem plo la ecuación — = ------ es una identidad ya que se cum ple para cualquier valor de jr^ l x + 1 x diferente a l ó -1; en este caso 1 y -1 son valores no adm isibles para dicha identidad. En Álgebra, identidades tales como: x + y = y + x , 1.x = x., x2- y 2 = (x+y)(x-y) (x+y)2 = x2+2xy+y2 son útiles p ara simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

277

Lumbreras Editores

Trigonom etría

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS U na e c u a c ió n que co n tien e o p e ra d o re s trigonométricos tales com o sen, eos, etc., y que es válida para todos los valores adm isibles de la v a ria b le o v a ria b le s, re c ib e el n o m b re d e identidad trigonométrica. Así por ejemplo, las siguientes ecuaciones: • ta n x =

senx COSX ’

• sen(x+y) = senxcosy + cosxseny • sec(27O°-0) = -c s c 0 • s e n a - s e n p = 2 s e n ^ ~ ^ j eos

'a + p

• cos2x= cos2jr-sen2jf • sen2x=

2tanx l - t a n 2x

sec20 - ta n 2O = 1 tan(n+0) = tan0 4serursen(60°- x)sen(60°+.x:)=sen3x

Ejemplo tan45° = 1 (1 e$ un valor determ inado: l e R ) En consecuencia, sí se pu ed e aplicar la identidad . . . . acó sen45° siguiente tan45° = — — cos45° Pero com o usted recordará del capítulo 11, tan90° no tiene un valor determ inado' es decir, n o tiene un valor real; en consecuencia no se pued e aplicar la identidad siguiente: sen90° tan90° = ~ ^

n. 0 sen90° . que tan90° * ---------) cos90°

. se c a + ta n a = .tan 1 -o + -« 2 4 co • cos7a +eos7(Í20°+ a) + cos7(l 20° - a) = —•eos 3a 64 . Son v erdaderas para todos los v a lo re sjie reem plazo posibles de las variables x, y, 0 ,a y p . Por lo tanto, dichas ecuaciones son identidades trigonométricas. Para tener un mejor entendim iento de lo que e s un valor adm isib le, p re ste a te n c ió n a lo siguiente: las identidades trigonométricas sólo se pueden a p lic a r c u a n d o la s ra z o n e s trigonométricas de la variable angular tienen u n . valor determ inado.

•

De otro lado csc30° = 2, com o 2 es un valor determ inado, esto es 2 e R , entonces sí se puede utilizar la siguiente 1 (esta identidad será identidad: csc30° = sen30° dem ostrada m ás adelante). c s c l8 0 ° : no tiene un valor d eterm in ad o , en consecuencia la identidad siguiente: e s c 180°=

x \ _ [l+ c o s x c o s 2 := v

(in c o rre c to , e s to significa-

i es incorrecta, esto significa senl80°

1 que cscl8 0 °^ senl80° P ara u n m e jo r e s tu d io d e to d a s las identidades trigonométricas, en la presente obra clasificamos dichas identidades en 5 partes, las cuales m encionam os a continuación: I. Identidades Trigonométricas Fundamentales. II. Identidades de la Sum a y Diferencia de Dos Arcos. III. Id e n tid a d e s d e R e d u c c ió n al P rim er Cuadrante. IV. Identidades del Arco Doble, Mitad y Triple. V. Id e n tid a d e s de T ra n sfo rm acio n es Trigonométricas. A continuacióh, el d esam Jto tit e ada parte.

Identidades trigonom étricas

C A P ÍTU L O V

ID E N T ID A D E S T R IG O N O M É T R IC A S F U N D A M E N TA L E S

Identidades recíprocas

(7) sen0csc0 = l j ¡i) cos0sec0 = 1 [/«) tan0cot0 = l

Para las Identidades Reciprocás 1.

sen0 COS0 Identidades por cociente COS0 u) cot0 = sen0

V éase q u e en el c o c ie n te e s n e c e s a rio analizar los valores adm isibles para 0 , así sen0 * 0 , es decir 0 * Krr; K e Z Luego p lan team o s q ue 0 asu m e cualquier valor real m enos los Kxc; K e Z

id) tan0 =

Identidades pitagóricas

vi) se n 26 + eos20 = 1 vii) l + tan20 = se c 20 Vii¡¡) 1+ co t20 = csc20

Las dem ostraciones de las ocho identidades m encionadas las podem os obtener a partir de las definiciones de las razones trigonométricas de un a rc o e n la c irc u n fe re n c ia trig o n o m é tric a . C onsiderando un arco cualquiera 0 en el IIIC, entonces las coordenadas del extrem o P de dicho arco son respectivam ente x -■ cos0 ; y = sen0 Veamos el siguiente gráfico

r 1 csc0 = - => csc0 = ------ =» sen0csc0 = 1 y sen0

Asimismo 1L

sec0 = —=>sec0 = —-— => cos0 sec0 = 1 x cos0 Aquí la restricción es cos0 * 0 ; e s d ecir 0 * (2 K + 1)^ ; K e Z

Luego planteam os que © asum e cualquier valor real m enos ios (2K +1) — 2 También x III.

cot 0 = —=> cot 0 = tan0cot0 = 1 y y tan0 x A quí el le c to r d e b e d e d u c ir q u e ; Ke Z

Para las Identidades por Cociente IV.

tan0 = - =i> tan0 = x cos0 Analizando para los valores adm isibles d e 0 , cos0 * 0 es decir 0 * { 2 K + 1 )^ ; K e Z

También recordem os algunas definiciones: V. sen(0rad) = —=>sen0 = — r r cos(0rad) = - => cos9 = r r X

X

csc(0rad) = —=> csc9 = — y y

También: cot 0 = —=*cot0 = y sen0 L ueg o d e c im o s q u e s e n 0 * O , e s d e c ir 0 íé Kn ; K e Z . Es decir los valores admisibles para la variable angular 0 son R-{Kn} 279

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Para tais identidades Pitagóricas VI. La e c u a c ió n trigonométrica:

de

la

c irc u n fe re n c ia

x2 + y2 = 1

VIH.Pero al dividir por se n 20 , obtenem os: se n 20* , cos20 spn20 sen20

sen 20

l + cot20 = csc20

Esta identidad permite indicar que sen0 * 0 ,

Evaluamos en el punto P (abscisa d e P )2 + (ordenada d e P)2= l

es decir 0*K n ; Ke Z

(cos0)2 + (sen0)2 = l

Ejemplo

=» sen20-fcos20 = l

sen250°+cos250°=l

Vil. Aquí no hay necesidad de restringir, luego decim os que dicha identidad es válida para

1 + tan — = sec — 10 10

todo 0 que pertenece a R . Si dividim os a esta últim a id e n tid a d por eos20 , obtenemos: sen20 _ ____ 1 eos2© 1 + tan20 = se c 20 cos20 cos20 e o s2© Aquí la identidad se restringe cos0 * 0 , es decir 0 * (2 K + 1 )~ ; K e Z

1 + cot228°=csc228° . sen 2 eos 4o tan2 = ------ ; co t4 °= - eos 2 sen 4° n n , s e n —.esc—= 1 8 8 A continuación planteam os la tabla ( n e Z )

------------ 3 Identidades trigonom étricas fundam entales

Identidades equivalentes

i)

sen 0 csc0 = 1; V 0 * n jt

sen0 = — ; csc0= — csc0 sen0

ii)

c o s0 sec 0 = 1; V 0 * (2 n + l)-7 p

„ 1 Q 1 cos0 = — r ; sec0= — r secO cos0

¡ii)

tan© cot0= 1 ;V 0 * H £ 2

tan0 = —— cot0

iv )

t a n 0 = ^ ^ ;V 0 * (2 n + l)-£ -

tanOcos0= sen0

v)

cot0 =

cot0 sen0= co s0

v i)

sen20 + cos20 = 1; V 0 s R

sen20'= 1 - c o s 20 ; cos20 = 1 - sen20

v ii )

I + tan20 = sec20; V 0 ?K2n +1)-^-

tan20 = sec20 - 1 ; sec20 - tan2© = 1

v iii)

1 + cot20. = csc20; v Q * n n

cot20 = esc2©- 1 ; csc20 - cot2© = 1

sen©

; V 0 * nit

; c o t 0 = rtan0 - |3

C A P ÍTU L O V

________________________ _______________

T ip o s de Problem as sobre identidades Fundam entales D eb id o a q u e de a h o ra e n a d e la n te se d e s a r r o lla r á n c ie rta s o p e r a c io n e s c o n identidades, se h a creído conveniente clasificar los tipos d e problem as a fin de te n er un m ejor p a n o r a m a p a r a e l u so y a p lic a c ió n d e las identidades. A continuación presentam os la m encionada clasificación: 1) D em ostraciones. 2) Problemas de simplificación o reducción de expresiones. 3) Problem as con condición. 4) P ro b lem as d e elim inación d e la variable angular. Antes d é em pezar con el desarrollo de los tipos d e problem as, se d eb e com prender que para los dos prim eros tipos, no es necesario que estem o s al tanto de los valores adm isibles de la variable angular, porque se sobreentiende que e s ta m o s realizan d o o p e ra c io n e s co n dich o s valores adm isibles, así es que las identidades se p u e d e n utilizar sin tem or a eq u ivocarnos. El sig u ie n te eje m p lo ac la ra un. p o c o m á s e s te co n c e p to ; le sugerim os q u e p re ste b a sta n te atención a las dos formas d e resolución. Ejemplo Simplifique la siguiente expresión R = se n 0 co t0

....(1) '

Resolución 1 D ada la expresión R = sen0cot0 se pensaría utilizar la identidad

....(1)

c o t 0 = ^2£® * V 0 * n n ;(n e Z) ...(2) se n 0 Reem plazando (2) en (1) se obtiene R = sen0

cosfiA sen 0 )

Luego la expresión simplificada será R = cos0 , V0*m t, (n e Z)

Identidades trigonom étricas

Resolución 2 Dada la expresión R = sen0cot0 ...(1) debido a que solo se pide simplificar pensaríam os én utilizar la identidad COS0

cot 0 = ...(3) sen 0 O bserve qu e en (3) a diferencia d e (2) e n la Resolución (1) no se ha hecho ninguna restricción p ara 0 porque se sobreentiende q u e estam o s trabajando con valores admisibles para la variable angular Reem plazando (3) en (1) se tiene R = sen0

cosO'j

vsen0 J

Luego la expresión simplificada será .-. A = cos0 De las dos formas (le resolución le sugerim os que trabaje con la segunda forrha sólo pára los dos primeros tipos de problemas, en donde se sobreentenderá que se está utilizando la identidad sólo para valores admisibles de la variable angular. A ntes d e v er alg u n o s e je m p lo s so b re dem ostración, preste atención a lo siguiente: Dem ostración de Identidades En las identidades trigonométricas se tiene q u e dos expresiones son iguales para todos ios valores adm isibles de la variable (s). Estas dos expresiones se llaman idénticas. Para verificar q u e la igualdad d ad a es una identidad, o com o suele decirse dem ostrar la identidad, d ebem os trab ajar ca d a lado de la igualdad d e m an era in d e p e n d ie n te . Es d ecir, al d e m o s tra r u n a id e n tid a d n o -se d e b e realizar las “m ism as operaciones” en am bos lados, com o cuando se re s u e lv e u n a e c u a c ió n . Por e je m p lo , si intentam os verificar una identidad, no se debe multiplicar am bos lados de la ecuación por la m is m a c a n tid a d , e sto só lo p u e d e h a c e r s e c u a n d o se su p o n e c ie rta la id e n tid a d . A continuación, la dem ostración del siguiente ejem plo lo desarrollarem os transform ando sólo el prim er m iembro. 281

Trig o n o m e tría

Lumbreras Editores

Ejemplo 1 Demuestre la identidad siguiente ' sen40 - cos40 = 1 - _2cos20 Demostración Seleccionamos la expresión m ás com plicada (1er. m iem bro) y debem os llegar a la form a del 2do. miembro, veam os por diferencia de cuadrados:

Reemplazando (4) en (3) obtenem os 1 =secOcsc© cosOsenO lo cual es equivalente a 1 1 ¡=sec0csc0 ...(5) cos0J(sen0J Pero de las identidades (I) y 0 0

(sen 20 - c o s 20)(sen20 + cos20) = l - 2cos20 entonces sen20 - eos2 0 = 1- 2cos20 Luego cam biam os a se n 20 por 1 - co s20 ; de la identidad pitagórica ( l - c o s 20) - c o s 20 = l-2 co s2 0 1 - 2 c o s 20 = l- 2 c o s 20 Esta identidad quedó dem ostrada. Ejemplo 2 D em uestre la siguiente identidad tan 6 + cotO = se c0 csc0 ) Al igual q u e en el ejem plo 1 se transform ará sólo las razones trigonométricas que se hallan en el prim er m iem bro de tal forma que se obtenga las razones que se hedían en el segundo miembro. Dado tan0+ cot0 = sec0csc0 ...(1) pensaríam os en utilizar las identidades (/o) y (o) esto es sen9 tan0 = cos0 ...(2 ) COS0 cote = sen9 Reem plazando (2) en (1) obtenem os sen0 cos0 =se c0 csc0 cos0 sen0 Efectuando la sum a de fracciones

sen© esc 0 = 1=

__1 - = CSC0 sen0

cos0sec0= 1=

1 - = sec0 COS0

... (6)

Reemplazando (6) en (5) obtenem os

í —— Y ——-I = sec0csc0 (c o s0 J(se n 0 j sec0 csc0 = secOcsc© (Esto es lo que se buscaba dem ostrar) Ejemplo 3 Demuestre la siguiente identidad |se c 20 + csc29 = aé c h e se 2©] Resolución P ara la d e m o s tr a c ió n d e e s ta id e n tid a d podem os escoger el segundo m iem bro, p ara luego de transformarlo obtener el primer miembro. A este tipo de demostración en donde se parte del segundo miembro, para obtener el primero se le suele llamar demostración de venida. A partir del dato sec?0 + csc20 = sec28 csc28 Primer miembro

Segundo miembro

Acomodando el segundo m iem bro sec20 + csc20 = (sec0csc0)2...(l) Pero en el ejemplo 2 se dem ostró sec0csc0 = tan0 + cot0 ...(2)

se n 20 + c o s20 n n ------------------= sec0csc0 ...(3) cosOsenO

Reemplazando (2) en (1) o b tenem os

Pero d e la identidad se n 20 + cos20 = 1 ...(4)

sec20 + esc20 = (tan 8+ cot sen9 = tan0cos0 cos0 „ tan0 se tiene sen0 = -----sec0 d e donde reem plazando el valor de sen0 obtenem os sen0 =

Reduciendo obtenem os cos0 = - 4 Ejemplo 3 O btenga el valor d e F d e tal m a n era q u e la expresión R sea independiente d e o R = 4 + F co sa

±tan9 4 l + tan20

De igual form a que en el caso anterior usted püede verificar las siguientes relaciones a partir d e las identidades recíprocas

Resolución Dando algunos valores reales a F se obtiene si F = 2 = * R = 4 + 2 c o s a (la expresión R depende de a ) si F = 5 =*R = 4 + 5 c o s a (la expresión R dep en d e d e a )

±Vl + tan20 csc0 =

si F = - l =>R = 4 - c o s a

±4 1+ tan29

(la expresión R depende de a ) si F = 0 =>R = 4

tan9

1_ cot0 = tan0 A continuación, siga la resolución de los ejemplos d o n d e se ve la u tilid ad de e s ta s ú ltim a s expresiones obtenidas. Ejemplo 1 Dado tan0 = 7; 0 e II1C, determ ine el valor de sen0.

A partir de las relaciones obtenidas, podem os concluir El v alo r d e F, q u e h a c e a la e x p re sió n R independiente d e a es 0, en consecuencia R=4 F=0

Resolución Como 0 e II1C, entonces sen0 l - 2 s e n a c o s a = a 2 - ( 3 )

Ejemplo 7 Elimine x, sabiendo que aserur+ tanx= 1 ....(1) b co sjf+ cotx = l ....(2) Resolución Multiplicamos en (1) por cosx aserw cosx+ serur= cosjt =s asenxco sx = co sx -setu r....(3 ) Multiplicamos en (2) por serw bsenxcosx+ cosx=senx => bserw cosx=senx - cosx ....(4)

De (2) elevado al cuadrado se obtiene

Dividiendo las ecuaciones (3) y (4)

sen 2a + cos2a + 2 sen aco sa = b 2 => 1+ 2 sen aco sa = b* ...(4)

aseruf^O sx _ co sjc-sen x b se n x p tísx serw - cosx

Sum ando (3) y (4) obtenem os 2 - 2 sen a eos a + 2 sen aco sa = a 2 + b2 => 2 = a 2+ b 2 ... (5)

a+b=0 287

p roblemas Resueltos ProMemal

•2

cot

Demuestre las siguientes identidades, a)

jc-

2 cos

.2

2

COS X

x = cot x - s e n x . — -r—

c sc x + se c x :cscx 1 + tanx

b) cot2x -co s2x = cot2xcos2x

Factorizando cot2x

. (senx+cosx)2- l 2 c) ---------------------= 2tan x

cot2x - eos2x = cot2x (l - sen2x)

cotx - senxcosx

d)

1 + sen x V 2 . , ,. — =----- = — cotx + c s c x + 1 1 -c o s x 2 c)

Resolución

1

1

1+ tanx

secx + cscx 1+ tanx

eos x +senx senxcosx eos x + senx *jfi? cosx

(senx + cosx) -1 c o tx -sen x co sx

;

Reduciendo secx + cscx =cscx 1+ tanx 2 v - „~,.2„ „„»2 „ - sen2x eos — 2 x, cot2x cos2x _= cot2x sen2x (multiplicamos y dividimos por sen2x )

2senx^eSx

£eSx(l - s e n 2x) senx

(senx + cosx)2-1 _ 2sen2x _ 2sen2x c o tx -sen x co sx l - s e n 2x cos2x

X TlM 0

(eos x + sen xX cosx) (sen x cosxXcos x + sen x)

Acomodando los términos

- - senxcosx senx

senx

secx + cscx __ C O S X s e n x . cosx 1+ tanx

b)

2

(senx+cosx)2- l _ / + 2senxcosx - / cot x - sen x eos x cosx - sen2xcosx

senx c o s x 1 senx + 1 cosx

Efectuando ' S eC X + CSCX

o

cotx - senxcosx

En los cuatro casos partiremos del primer miembro y lo transformaremos de tal manera que se obtenga el segundo miembro. a) c sc x + se c x 1 + tanx

o

(senx+cosx) -1 _ sen x + co s x + 2 se n x co sx -l

(senx + cosx) - i c o tx -sen x co sx .

2tan2x

11+senx _ jf 1+senx Y 1+ cosx) V1-cosx y (l-co sx J [l + co sx ) 11+ senx _ f(l+senx)(l+cosx) cosx \ (l-co sx )(l+ cosx)

V 1-

1- cos¿jr=sen jc 1+ senx l-co sx

í (l + senx)(l + cosx)j sen x

de la identidadxiii (véase página282),tenemos (1 +senx+cosx)2=2(l +senx)(l+cosx)

Identidades trigonométricas

C A P ÍTU L O V

Reem plazando

, , cosx( 1 -co sx ) . M= ■■ ---------- - + tanx senx

T + señx= ¿ 0 + senx + cosxO2 1 -c o sx

l

M= 1 CQS- + tanx ¡finalmente senx cosx

+ sen x _ f(l + senx+cosx)2 V 2sen2x

{1 -co sx

l + senx _ il + senx + cosx! V2isenx’

i 1-cosx

A 1+ senx + cosx! senx 2

__1 . senx . cosx O senx + senx + senx

l + sen x — -------

1 -c o sx

/l + s e n x V1 - c o s x

1 -co sx . M =---------- + tanx tanx

=ü/2 Icscx + cótx + 2

\

1 -co sx 1 -co sx , - + senx = ---------- + tan x ta n x senx c o s x R esolución Sea M el prim er m iem bro entonces M = sen x + ——c° — - ; desdoblando senxcosx 1 senxcosx 1

M= sen x -

^OS.X se n x co sx

1 '1 1 cosx >) senx

M = senx + cscx.secx -

M=

(1 + sen x + co sx )2 (senx+tanx)(cosx+cotx)

Resolución Transform ando el denom inador sin alterarlo

D em uestre la identidad

M = senx +

Problemas Simplifique la siguiente expresión

Problema 2

M = senx +

el cual es idéntico al segundo m iem bro, q u e era lo que se quería demostrar.

1

senx ; agrupando

1 + tanx + cotx se n x

M = Sen X—- + cotx + tanx senx Pero sen 2x - l = - co s2x> ,, - c o s ‘ x cosx , M = — :----- + -------- + tanx sen x senx factorizando cosx

M=

(1+senx + cosx)2

(

\ 1 senx 4 COSX cosx------ + tanx senx------ + cotx .cosx. Senx; ^ tanx J'^ cou J 2(1 + .sefíx)(l>edsx) tanxCposXÍ l)cotx(.senX+1)

Luego M = ----- -----tanxcotx

,, o “ =2

Problema 4 Simplifique la expresión siguiente L* i

se n *6 l+ c o t9

eos28 l+ ta n 0

R esolución E xpresándola ta n 8 y c o t0 en térm inos d e senos y cosenos cose cote = -----sen6

,. . se n 0 ) y tan8 = -----cose J

Lumbreras Editores

O btenem os ^ j sen 20 ~ , cosG 1+ -----sen0

Trigonom etría

Luego, reem plazando en P se obtiene eos28 , sen0 1+ -----cos0

Efectuando sen 30 se n 0 + co s0

L= 1

eos3 0 cos0 + sen 0

sen 30 + cos30 sen0 + cos0

L= 1-

p _ l+ senx+ co sx 1+ co sx senx senx p _ \+ se n x + £ e3 x - \ - jo S x senx P= 1

senx senx

Problema 6 Simplifique la expresión K, tal qu e se verifique la siguiente condición: 0 < 0 < ^

Aplicando una sum a de cubos en el num erador del segundo térm ino L = l-

( serr0-+-CQS0)(sen20 - sen 0cos0 + eos20) (senfN -eosi))

L = 1- [sen26 + eos20 - sen0cos9] = +1 - 1 + sen0cos9

Resolución Recordando la identidad sec20 + esc2 0 = sec20csc2 0 K=Vsec29csc2e[l+ v/(l-2sen0cos8)(l + 2sen0cos0) ]

L = sen0cos0

sabem os que se cum ple

Problema 5 Siendo x un arco del segundo cuadrante, reduzca la siguiente expresión p _

12 + 2senx V 1 - cosx

senx 1 - cosx

Resolución Multiplicamos por la conjugada de (1 - cosx) la cual es (1 +cosx) tal com o se indica

1 2 (1+ senx)if 1+ COSX )i. senx if l + cosx'j y 1 - cosx 1(1+cosx J 1 - cosx1^ 1+cosx ) JC1+senx+cos*)2 ' V

K = Vsec20 + esc20 [l + Vi - 4sen20 eos20 ]

>erix(l + co sx )

K=!sec0.csc0!.ri+ l( sen 9 - eos 0)2.(sen0+ eos 0)2 ^

V

(se n V c o s* 0 )2

K=| sec0 .csc0 1[l+1sen 20 - cos20 1] pero 0 < 0 < í =» sen0 < co s0 ; sec0csc0 > 0 luego sen20 - c o s 20 0, adem ás 1+ senx+ cosx> 0, entonces jl+ senx + cosxj = 1+ senx + cosx y |senx| = senx 290

K = 2sec8. eos 8 esc 8. eos 8 1 cot0 K = 2 (1) (cot0) finalmente obtenem os K=2cot0

C A P ÍT Ü lO V

Identidades trigonométricas

Problema?

Problema 8

Si la siguiente identidad

Si tan2atan20 - 1 = 0 , obtenga el valor de K = sec2a - c s c 36

— - — + - — - — = A +C (tanx)v 1 + cosx s e c x - 1 se cumple para todo x * K í • K e Z , calcule el

2

Resolución De la condición

producto ACV.

tan2 a ta n 2 0 =

Resolución R educiendo en el primer miem bro ten em os

1

1

tan a =

tan20 tan2a =cot^ 0

^

- + — r——

1+ cosx

L --1

= A+C(tanx)v s e c 2a - l = c s c 20 - l

f v éa se Identidades'l

Pitagóricas

co sx

- — + t— ? = A+C(tanx)v 1+ c o s x t - c o s x co sx 3

3cosx

1+ COSX 1-COSX

R educiendo o b ten em os s e c 2a - c s c 20 = 0 - ( e l primer m iem bro e s la . expresión pedida)

K=0

= A + C (tan x)v

Problema 9 3 - 3 p csc0 = s e c 20

S+óCtanx)-2 = A + € (tan x )v Identificando tenem os que A = 3, C= 6 V = -2 .-.ACV = -36

R eem plazando e n P tenem os P = V (sec20)2 - c o t 20 P = V (csc0)2 - c o t 20 ; pero c s c 20 - c o t 20 = l =» P = n/Í = 1

P= 1 291

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Problema 10

Problema 12

Si tan3* + tan* = secx calcule sec3x - tan* - cotx

Obtenga los valores de la expresión R, siendo tanx+ co tx -[se n 2x ( 1-sen x ) + cos2x]secxcscx tan*+cot*

Resolución De la condición, factorizando tan* tan* (tan2x + l) = secx

halle la extensión de R.

sen*.—1—.sec 2x= sec* eos*

Seguidam ente buscarem os reducir la expresión de tal form a q u e o b ten g am o s u n a expresión equivalente en la cual la variable se halle afectada de un solo operador trigonométrico, entonces en el n u m e ra d o r d e R sustituim os secx cscx por tanx+cotx. P _ tan*+coty-[sen^*(l-sen*)+cos2*](tan*+cot*) tanx+cotx

sec* =» sec3*= sec*csc* => sec3* = tan*+ cot* .v sec3x -tan x - cot*=0

Problema 11 sec* - secxsen x sen2x (l+ c o t2x)

Resolución Prim eram ente restringimos los valores de *

(tanx+ cotx) [l - [s e n 2x( 1-senx)+ eos2* ]] (tanx+cotx) Como se sabe

tan*+ cotxf 0

2

es decir (tanx+cotx) no tom a el valor de cero

cotx ; x *K t i ; K e Z se n x # 0 = » x * K 7 t; K e Z

V* *

Si unimos estas restricciones obtenem os que K e Z (arcos cuadrantales)

Reduciendo E, tenem os P_ sec*(l-sen2*) _ sec*(cos2*) ^ O O x *? íO x sen2x (l+ co t2x) sen2*(csc2*)

tanx+ cotx

-2

s e c * ; * * (2K + 1 )^ ; K e Z

(eos2*) coj x sen 2J|.j 1

La expresión E se reduce a E=cos* ' ; sabem os - l < eos* < 1; Vxe R

, entonces R qu ed a reducido a

R = 1 - [sen 2x (l - se n * )+ c o s2x ] R = 1 - (sen2* - sen?* + eos2*] = 1 - [ 1- serfx] ......... -*~1 • ^ricota = frísena cosa 2 ------- = sena => cosa = sen a sena

tomando la raíz cuadrada a ambos miembros \/(s e n x -c o s x )2

4

Efectuando isenx-cosxl = (se utilizó

.. ■( y)

-JpJ= |A|) to la

(b )

cosa = l-c o s 2a -

,

1

fies*oT

1= ----------r r ..— = s e c a-co sa cosa fiasa s e c a -c o s a = l

Problema 19 Siendo !tan x + cotxl = 3 además x e calcule E = sen3* - eos3*

295

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Tenemos senxccosx

Resolución

=> senx: - e o s x < 0

De 07) se tiene tan2x (l + ta n 2x ) = n

=> s e n x - c o s x = - ( s e n x - c o s x ) Luego en y se tiene

=» tan2x s e c 2 x = n De (i) sec2x .sec2x + ta n 2x . tan2x = m

s e r a - e o s * = --4= ....() Reemplazando (w)

a

l+ ta n 2x

() en (>.)

sec2x - l

Efectuando el primer m iem bro

H -iK E=

sec2 x + sec2x tan2x + tan2x se c 2x - tan2x = m Reduciendo

-4>/3

=> 2sec2x.tan2x + sec2x - tan2x = m n Luego 2(n) + 1 = m

Problema 20 Si yJsenx + %/cotx = %/tanx s e ra + c o a -ta n x = m Halle senx en términos de m

.-. m - 2 n = 1 (esta relación es independiente de

Resolución S ia + b -c = 0 entonces a3+ b 3 - c3 = - 3abc En el problema

Problema 22

x o tam bién se dice que la variable x se ha eliminado)

Elimine x a partir e s e x -s e n x = m secx - cosx = n ta ra - c o a = p

\Jsenx + yJcoíx-\/tarix = 0

de las siguientes condiciones: ... (V) ... (2) ... (3)

Resolución La ecuación (1) lo expresam os en térm inos de senos y cosenos

Entonces (^ señ 7 )3+ (^ c o a )3

1

= - 3 (\/s e n x )(3/c o a ) ( v ta r a ) i Es decir

- senx = m

l- s e n 2x -= m senx

luego

-= m senx asimism o de (2) todo e n térm inos de senos y cosenos.

s e ra + c o a - ta ra = -3 tysenx =* v/senx = - y Elevando al cubo se tiene que s e n x = -

m "27

Problema 21 Halle una relación independiente de x a partir de las siguientes condiciones sec4x + ta n 4x = m ... (0 tan2x + ta n 4x = n ... («') 296

= n ....(5) cosx multiplicando m iem bro a m iem bro (4) y (5) tenem os -

cosx.senx=m .n ...(a) La condición (3) elevam os al cuadrado tan2x + co t2x - 2tanxcotx =’ p2 1 tan2x + cot2x = p2 +2

identidades trigonométricas

C A P ITU L O V

Problema 24

=* tan2x+ cot2* + 2 = p 2 + 2 + 2

Dada la condición asenx + bc«s* = c adem ás a 2+ b 2 = c 2 exprese P en térm inos de a,b y c, siendo P = acos* + bsenx

(tanx+cotx)2 => (tan x + cotx)2 = p 2 +4 sec*.csc* 1 sen*, eos x

Resolución B u scarem o s el valor d e u n a d e la s razo n es trigonométricas, d e la condición tenem os asen* = c - b c o s * ....( l)

: P 2 +4 ...(P)

Sustituyendo (a ) e n (p)

Elevando til cuadrado

‘ +4 Í = p D2

í —

i, m n J

1 2 —r~ 2 ~ P = 4 m n

.

a 2 se n 2* = c 2 + b 2cos2* - 2 bccosx 1-c o s2* Ordenando la ecuación cuadrática queda

(se ha elim inado *)

Problema 23

(a 2 + b 2)c o s 2 * - 2 b c c o s* + c 2 - a 2 = 0 ....(2 )

Elimine 6 a partir d e las siguientes condiciones atan 2 0 + se n 2 0 = 1 ... (i) bsec 2 0 - esc 2 0 = 0 ... (//) Resolución De la expre sión (ir) se tiene b se c 2 0 = esc 2 0 pasando a senos y cosenos 1 1 ^ c o s 20 se n 20

,

COS?0

,

Como a 2 + b 2= c 2 => c 2- a 2= b 2 ... (3) Reem plazando (3) en (2) c 2cos 2* - 2 b cco sx + b 2= 0 Trinomio cuadrado perfecto (ccos*-b ) 2= 0 => cco sx -b = 0

•

Despejando co s* = — c Sustituyendo en (1) obtenem os

n.

b = ----- 5- => b=cot 0 se n 20

De (0 a .ta n 2 0 = l - s e n 20 => a .- 1 co t 2 0 luego

cot 20

= 1

1 l+ c o t 20

=

1-

a s e n * = c - b | — |= > a se n * = c - b 2

1 -

CSC

0

f se utilizó la identidad ' 1 CSC2 0

= 1+ cot 2 0

cam biam os a cot 20 por b

Simplificando s e n * = — Reem plazando sen* y cosx en la expresión P

p- ( c M ; p

=

2 ab

JL = , ___ ! _ b2 1+ b 2 O rdenando a (l + b 2) = b 4 — (eslá relación no depende de 0 , por lo que afirm am os que la variable se h a eliminado)

si asen* + bcosx = c

y

a 2+b 2 = c 2

. 1 sen* = — a , eos* = — b entonces se cumple:

c

c

297

Lumbreras Editores

T rigonom etría

T eniendo en cuenta esta última observación

Problema26

p od em os entender los siguientes ejem plos

Dada la siguiente ecu ación

a)

sen 4 a eo s 4 a •---- -— + —

Si 3 s e n a + 4 c o s a = 5

1

a +b

y co m o se verifica 32 + 4 2 = 52 =*s e n a = -

, b)

Entonces el valor d e se n a + c o s_ a

3 4 yc o s a = D O

Si -5 s e n a - 1 2cosa = 13 y co m o se verifica (-5 )2+ (-1 2 )2= (1 3 )2 se n a = — 13

c o sa =

v y

12

R esolución Efectuando en la condición dada a + b'i 4 ( a +b V 4 , ------ sen a + | —— Icos a = l

13 cambiando a la unidad por (s e n 2a + e o s 2 a ) 2

c)

Si s e n a - 2 c o s a = V5 y com o se verifica (i )2 + (_ 2 )2 = (TÉÍ)

1

=» s e n a = -¡= 75

y

-2

c o s a = - 7= 75

Racionalizando 75 sen a = — 5

a

-2V 5 c o s a = ------5

Problema25

=> ,sefí47x+ciD&.4a + —se n 4a + —c o s4a = a b >erf^a + c o s V + 2 s e n 2a c o s 2a Ordenando en el primer m iem bro, identificamos un trinomio cuadrado b 4 a 4 r , 2 2 a —sen a + —eo s a - 2 se n a e o s a = 0 a b f ib 2 ja 2 j a sen 2 a - y —e o s a = 0 \ t— íb" a 2 De donde J —se n 2a = A —e o s a \ a »b

Si kcosG + - s e n 0 = 77 k

además k+

sen4 a + - sen4 a + —eos4 a + eos4 a = (sen 2 a + eos2a ) 2 a b

= 3

calcule A = sen 40 + co s40

sen 4 a

eos4a =k a2 b¿ Reemplazando en ecu ación original

R esolución El dato lo elevam os al cuadrado

se n 4 a , c o s4a a .— — (• b.— =—

k2+^- +2X~ = 9 => k2+-L = 7 k2 X k2

a (k )+ b (k )= —i— a+b

C u m p le la o b se r v a c ió n an terior, e n to n c e s afirmamos que

Qk 77

.

1 k77

c o s 0 = -¡= , sen 0 = —

Nos piden A = 1 - 2 eo s 2 0sen20 Reem plazando valores 2 / j >2 = 1 - 21 A = 1- 2

k

77

A= — 49

298

k77

'

1

a +b k=

1

(á + b )2

En la incógnita / se. n 4 a \ / c o s 4a '' se n 8 a eos 8 a +b — ., =a se n 8 a

eos 8 a

: a(k ) 2 + b (k ) 2

sen a eos a . 2r , —— +— = k (a + b) a4 b sen 8 a eos 8 a 1___ (a + b) ---- 5---+ (a + b ) 4 a'' b 1 se n 8 a eos 8 a . ---- 5---+ --- “ o--(a + b ) 3

Ca p í t u l o v

Identidades trigonométricas

E jercicios I.

Demuestre las siguientes identidades

16

tan 0 - eos 0 cot 0 _ sen 0

sen 6 tan 8 + c o s 0 = s e c 8

csc0

2.

(tan 20 + l)sen 2e = tan2 0

17 . t a n x - c o t y _ - c o t y

3-

s e c 40 - t a n 4 0 = l + 2 tan 2 0

4.

c o s 4 0 - s e n 40 = l - 2s e n 20

5.

tan 2 0 - se n 20 = tan 2 0 s e n 20

1*

c o tx -ta n y

6. 7.

8.

9.

10.

s e c 0 + tan 0 1

sec6 -ta n 8 l + c o t 28 c o t 20

= l-s e n 0

2 0.

se c x s e n 2x + c sc x c o s2x sen x + co sx

s e c 20 sen x e se x

co sx se c x

tanx c o tx

2 1 . -------+ ------- + — —

22. (c o sx - serurcosx)secx+taAx)

2

1

1

se n 20

l + cos0

l- c o s 0

23.

1- c o s x c o s x -1 tan x + — ^------ + ta n x sen x cosx

se c x c sc x - tanx 24.

se c x c sc x - cotx •

25. ( l- s e n x - c o s x ) ( l + s e n x + c o s x )

sec0

I+COS0

13 ; c o t 0 + c o s 0 =

1

26.

1+ CSC0

sen0

l- c o S 0 sen 0

1

se c x „ 27. tanx + ^ ^ - ( 2 c o s 2 x - I ) sen x

( s e c 0 + tan 0 )2

%

1

c s c x - c o t x • tanx

se c 9

1+ c o s 8

l- s e n 0

e x p r e s io n e s

cosx 19. serur + tanx

sec6 = sen 0 tan 0 + c o t 0

1+ sen 6

Halle un equivalente m ás sim ple para cada

= s e c 0 + tán 0

1 2 . tan 0 - s e n 0 sen 0

15.

c o tx

u n a d e las s ig u ie n te s trigonométricas.

cos0 sec0 „ „ , 1 1 .. - — — - + -------- - = s e c 0 + c o s 0 + l 1-s e c © l-c o s 0

14.

sec0

18. (l+ s e c x -ta n x ) 2= 2 (l+ se c x )(se c x -ta n x ) II.

COS0

cot 0

eos 8

28.

(1 - sen x + co sx ) 2 (sen x + tanx)(cotx - cosx)

R espuestas

19. esex

2 1 . se c 2x

2 3 . se n x

25. - 2sen xcosx

27. c o tx

2 0 . se c x c s c x -1

2 2 . co s2x

2 4 . cot2x

26. senx

28.

2

299

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T rigonom etría

ID E N T ID A D E S DE L A S U M A Y D IF E R E N C IA D E D O S A R C O S (D O S Á N G U L O S )______ Básicam ente la utilidad de estas identidades radica en que con ellas se p u ede calcular razones trigonom étricas d e arcos o á n g u lo s d e sc o n o c id o s a partir d e arcos o á n gu los cu yas razones trigonométricas sean conocidas. Para entender un p o co m ás al respecto preste atención a lo siguiente: Del Capítulo II sabem os que se co n o cen todas las razones trigonométricas d e los ángulos 53° y 45°, pero con estos ángulos es posible general nuevos ángulos co m o son: 98°, 8 o y - 8 o m ediante operaciones de adición y sustracción, esto es: 98° se genera com o: 53° + 45° 8 o se genera com o: 53° - 45° - 8 o se genera com o: 45° - 53° Puesto que se conocen todas las razones trigonométricas de 45° y 53°, indicarem os que sí e s posible calcular todas las razones trigonométricas de esto s ángulos (98°, 8 o, - 8 o), pero para ello e s necesario co n ocer el siguiente grupo de identidades para la sum a y diferencia de arcos, las cuales se pueden expresar de la siguiente manera: se n (a + 0 ) = sen acosO + c o sa s e n 0

..0 )

diferencia de dos circos se n (a - 0 ) = sen a co sO - eos asen©

. . ( 2)

c o s(a + 0 ) = c o s a e o s 0 - señasen©

• • Í3)

diferencia de dos arcos c o s ía - 0 ) = c o sa e o s 0 + señasen©

• • Í4)

■ sen o de la sum a y

co sen o de la sum a y

tangente de la sum a y diferencia de dos arcos

__________________

, ta n a + tan 0 ta n (a + 0 ) = ----------------- 1- tan a tan 0

Í5)

, ta n a -ta n © tan(a - 0 ) = -----------------l + ta n a ta n 0

Í6 )

Las dem ostraciones de las identidades anteriores las realizaremos a partir d e la dem ostración de la siguiente identidad: c o s(a - 0 ) = eo s a eo s 0 + senasenB Para la identidad anterior, desarrollaremos la dem ostración de Cauchy, basado en el concepto de distancia entre dos puntos, considerem os dos arcos en posición normal a y 0 en una circunferencia trigonométrica co m o se muestra en la figura 5.4 (a), d onde m P Q =a - 0 . En la figura 5.4 (b) se muestra un arco AM en posición normal cuya m edida e s a - 0

300

Identidades trigonom étricas

C A P ÍTU LO V

N otem os d e las figuras anteriores que los

3.

segm entos PQ y AM tienen la m ism a longitud, es decir PQ = AM. De la figura 5.4 (a) por distancia entre dos puntos tenem os

se n (a -0 )=

s e n [ a + (-0 ) ]

s e n (a - 0 ) =

se n a c o s ( - 0 ) + c o s a s é n ( - 0 )

s e n ( a - 0) =

sen acosO + c o s a ( - s e n 0 )

efectuando obtenem os

P Q = V (co sa -co s0 ) 2 + (s e n a - sen 0 )2

s e n (a - 0 )= s e n a c o s 0 - cosctsen 0

efectuando 4. PQ=sJ2 - 2 (c o sa c o s0 + sen a sen 0

tan (a + 0 ) =

...(1)

asim ism o

ta n (« 4-0 )=

s e n (a + 0 ) c o s ( a + 0)

sen a co s0 + cosasen 0 e o s a eo s 6 - señasen©

AM = -JO - c o s ( a - 0) ) 2 + (0 - se n (a - 0 ))2

dividiendo num erador y d enom inador por

simplificando

cosacos© AM = x/ 2 - 2 c o s ( a - 0 )

...(2)

igualando ( 1) y ( 2 ) ob ten em os 2 - 2 e o s(a - 0 ) = 2 - 2 (c o s a c o s 0 + sen a sen 0 )

de donde

s e n a c o s 0 + c o sa s e n 0 ------se n a + sen ------------------------------. 0 ta n (a lO )-

co sa co sO _ c o s a cos9 c o s a c o s O -s e n a s e n O j se n a sen© co sa co sO co sa co s0

(co s(a - 0 ) = c o s a c o s 0 + senasenOj en to n ces tan(a + 0 ) = De e s ta m a n e r a q u e d a d e m o str a d a la identidad para el c o sen o d e la diferencia de dos arcos, donde e s válida para cualquier a y 0 real.

Se deja para el lector la dem ostración d e la siguiente identidad.

Utilizando la identidad dem ostrada arriba, tan(a - 0 ) =

tenem os 1.

c o s(a

tana 4 tan 0 1- ta n a tan 0 .

40) = c o s ( a - (-0 ))

ta n a -ta n 0 l + ta n a ta n 0

c o s(a + 0 ) = c o s a c o s ( - 0 ) + s e n a s e n (-9 )

V eam os algunos desarrollos

c o s (a 4*0 ) = eo s a eo s 0 + se n a ( - s e n 0 )

sen (4x-jt) = sen 4xcosx - cos4xsen x

se n ( 20 ° + 10°) = sen 20° c o s l 0 ° + c o s 200s e n l 00

luego

ícos(a + 0) = co sa c o sO - senaseno]

co s(4 5 °+ 3 7 ° )= cos45°cos37° - sen45°sen37° c o s(5 3 ° -3 0 ° )= co s53°cos30°+ sen 53°sen 30°

2. sen(a+0)=cos 5 - ( a +0) sen(a40)=eos

K H -

n ) --a sen9 sen(a40)=senacosB + cosasenO luego fsen(a 4 0) = senacosQ+cosaseno] 1í n

eos — a l O

)

tan(16°4-15°)=

ta n (30°-14°)=

ta n l 6 ° + tan l5° l- ta n l6 ° t a n l5 ° tan 30°-ta n 14° 1+ tan 30° tan 14°

sen(a 4 0+0) = se n (a +0) eos 0 + sen 0cos(a 4 P> cos(a 4 0 4 0) = c o s(a + 0) eos 9 - sen 0sen (a 4 0) ta n ( a 4 p 4 9 ) = -ta- ^ a; .f i) + t-a-n 9

l-ta n (a 4 P ).ta n 0 30t

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T rigonom etría

De igual forma, el lector tiene que estar en la capacidad de distinguir los desarrollos de las identidades anteriormente indicadas; para ello sigamos con otros ejercicios • senl(Pcos50+coslOpsen5°=sen(100+5°) =senl5° • cos3xcosx- senSxsenx = c o s ( 3 x + at) = cos4x •

sen 56cos 20 - eos 56 sen 20 = sen(56 - 20) = sen36

•

cos9°cos40+sen9°sen40 = co s(9 °- 4o) = cos5° pero también cos9°cos4° + sen90sen 4 °= co s4 0cos9° + sen4°sen9° = c o s ( 4 ° -9 ° ) =cos(-5°)= cos5° Las demostracíbnes de las identidades cos(-0) = cos0 a s e n (-0) = -sen0 se desarrollarán más adelante.

*

c o sl0 5 ° = cos(60o+ 4 5 ° ) , d e la identidad (3) ten em os e o s 105° = cos60°cos45° - sen60°sen45° 2

2

3.

2

2

V6-V2

/. e o s 105° = -

Calcule el valor aproximado de eos 16o R eso lu ció n c o S l 6 ° = cos(53°- 37°); de la identidad (4) e o s 16° =cos53°cos37°+sen53°sen37 0 ico

3 4

4 3

c o s l 6 ° = -----+ — 5 5 5 5 .-. eos 16° = 24/25

E jem p lo s d e a p lic a c ió n

1.

* ^ 2 V 3V2 ----- -— r-^

e o s 105° =

Determine el valor exacto de sen75° R e so lu ció n

La manera para resolver este ejemplo es buscar descomponer 75° como Una suma o diferencia de ángulos notables. Según lo expuesto notamos que 75°=74°+l° (no conviene porque Io no es notable) 75°=81°-6° (no conviene porque ninguno es notable) 75°=45°+30° (es conveniente porque ambos 45° y 30° son notables) luego, consideremos a 75° como la suma de los ángulos 30® y 45°, entonces sen75°= sen(45°+30°), de la identidad (1) tenemos sen75°= sen45°cos30° + cos45°sen30° sen75° .-. sen75° = 2.

2 A 2, \/6 + >/2 ;2

Determine el valor de eos 105°

4.

Determine el valor de sen-

12

R eso lu ció n It 71

71

como — - - - - , sen— = senl - - - j ;

de la identidad (2) tenemos n

jt

ji

n

n

12

3

4

3

4

sen — = sen - eos — eos —'sen ~n

y¡3 \¡2

IV 2

2 2

2 2

sen — = -------12

n S -y¡2 sen — =

12

5.

Calcule el valor aproximado de tan8° R eso lu ció n

El ángulo de 8o se puede escribir como 53°-45° tan8° = tan(53° - 45°); por la identidad (6)

R eso lu ció n

De igual forma que en el ejemplo anterior, se buscará descomponer 105° como una suma o diferencia de dos ángulos notables y la opción elegida es 105° = 60°+45°, por lo que podemos plantear lo siguiente 302

n)

ín

ji

se tiene

1 -1

tan8°-tan53° ~ tan45° = 3 1+tan53°tan45° v + ix l Efectuando tan 8o = -

7

'

C A P ÍTU LO V

6)

Identidades trigonom étricas

Determine el valor de c o i —

........i.J

Si a y b son constantes reales, con x, variable, se cumple asenx + bcosx = 7a2+ b2sen(x + 8)

R e so lu c ió n De la propiedad d e arcos com plem entarios TC

tenem os

_ 7T 5jt — 2 _ 12

tal que cos8 = , a 7a2+ b2

en ton ces cot — = ta n — = ta ñ í- + - ) 12 12 L4 6 j Por la identidad (5) . n

n

4 +6

ir ,, n s ta n -+ ta n 1+ 4 6 _

.

...... 7a2+b2

...........~

_______

Del teorema mencionado se concluye

i

-ta n - t a n ~ 1 4 6 Racionalizando el denom inador 3 + 73 (3 + v g ) x - ---¿r = 2 + 7 3 cot (3 + 7 3 ) 3 -7 3 1

sen0 =

a

- 7 a 2 +b2 < asear + bcosx 5 -Ja1+ b2 fmWrno 1 fm»xlmo Demostración asen x + b co sx = 7 a 2+ b 2 sen(x + 0) asen x + b co sx = ^ a 2+ b2(Senxcos0 + cosxsene)

' asear + bcosr = va1+bJ[ senx i ,a ■. +c o s x —- ] ( 7a*+b2 Va2+b2J Según los ejem plos desarrollados, es necesaria recordar las razones trigonométricas de 15°, 16°, y 18°; entonces formemos los siguientes triángulos

asenx+ b co sx = asen x + b co sx esto e s lo que se buscaba dem ostrar Ejemplos 1.

sen x + >/3 eos r =¡ \/l! + 7 } 1 sen(r + 0) = 2 sen(r + 0)

1

cose = 2

a

donde

1 cos6 = 2

a

73

sen8 = — 2

73 sen6= — 2

=> e= ..„ -300; 60°; 420°;...... es conveniente escoger 0 = 60° senx + 7 3 c o s x = 2 sen (x + 60°) .

2.

7K (c) Figura 5.5

s e n x -c o s x = Vi2 + (-l)2 sen(x + 0) sen x - eos x = 72 sen(x + 0) donde 1 cose = -t= a sen0= 72 72 => 6=..., -45°; 315°; 675°;...... . e s conveniente escoger 0 = -4 5 ° senx - co sx = 7 2 s e n (x -4 5 ° ) .303

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Trig o n o m e tría

Otra forma d e llegar a este tipo d e identidades

luego

s e n x + 7 3 c o s x = 2sen (x+ 60°) e s m ediante los pasos siguientes: Primero: el coeficiente del sen o tiene qu e ser uno. S egu n d o.el coeficiente del co sen o tiene que ser reem plazado por una tangente d e un ángulo notable. Tercero: exp resa rlo en térm in o s d e s e n o s y cosen os.

73 2

reduciendo M = 2sen(x - 30°) .-. T ise r a - cosx = 2sen(x - 30°)

Ejemplo 3 R = senx + cosx

Ejemplo 1

1ro.: R = se n x + 1 c o sx

R = T Ü sen x+ cosx 2do.: R = sera+ tan 45°cosx

1ro: R = V 3^ sen x + -y = c o s x j

„ _ se ra sen45° 3ro.: R = —-— + ---- — cosx 1 cos45° efectuando

2do: R = 7 3 (sen x + tan 30° c o s x ) „ D /^ ,s e n x sen 30° , 3ro: R = 7 3 (— -— + ---- — c o s x ) 1 e o s 30°

_____ sen(x+45°)______

sen(;r+30o)

p_

senxcos45 0 + sen 4 5 °co sx cos45°

r j sen x e o s 30°+ sen 30° c o sx j

v t

e o s 30°

J s.en(x + 45°) ^ R0 = ----------------

reem plazando = > R = 7 3 S.en^

73 2

72

-3?--)-

t ^ R = \Í2 sen (x + 45°)

reduciendo: R = 2sen (x+ 30°) .\s e n x + c o sx = 7 2 s e n ( x + 4 5 °)

7 3 se n x + c o sx = 2sen (x + 3 0 °)

Teniendo en cuenta e sto s últim os ejem plos,

Ejemplo 2

p o d e m o s p la n te a r e l s ig u ie n te gru p o d e

M = 7 3 senx - co sx d e igual m anera que el ejem plo anterior

Identidades Auxiliares:

i)

lro.:M = 73 s e n x — p=cosx 73

s e n x + c o s x = 7 2 s e n ( x + 4 5 °) 7 3 s e n x + c o sx = 2 sen (x + 3 0 °)

2do.: M = V 3 (sen x - tan3 0 °c o s x )

s e n x + 7 3 c o s x = 2 sen (x + 6 0 °)

sen 30° ) -3ro.: M = 7 3 f S e n x ------- r^rCOSX 1 qps30°

efectuando

ii)

______ sen(x-30°)______ ■» M = 73

304

sen x c o s 30° - s e n 30 °co s x e o s 30°

y

sen x -co sx = 7 2 se n (x -4 5 ° ) _7 3 s e n x - co sx = 2 se n (x - 30°) senx - 7 3 c o s x = 2 se n (x - 60°)

Identidades trigonométricas

C A P ÍTU LO V

A c o n tin u a c ió n , m o str a m o s e je r c ic io s aplicativos sobre estas identidades se n 2 0°+ cos20° = 42 sen (20°+ 45°) = v 2 sen65° sen 7 0 °-co s7 0 °=

sen (7 0 °-4 5 °) = y¡2 sen25°

se n l5 ° + s¡3 e o s 15° = 2sen(15°+60°) = 2sen75° sen65° - V3 cos65° = 2sen(65° - 60°) = 2sen5° V3 s e n l0 ° + c o s l0 0= 2sen (100+30°) = 2sen40°

en to n ces tan(A +B )

= ta n (n jt-C )

tanA+tanB _ Janfm - tanC 1- tan A.tanB 1+ JammrtSnC se c o n o ce tan(rrn) = 0 ; n e Z efectuando tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC

\Í3 sen40° - cos40° = 2sen (4 0 °- 30°) = 2 se n l0 °

pero tam bién p u ed e utilizar su equivalente en radianes

- c o m o tan* = —í— cotx ten em o s 1

1

cotA

cotB

1

cotC

= _ 1 _____ 1_____ 1_

cotA cotB cotC

efectuéindo cotBcotC + cotAcotC + cotAcotB = 1 Se deja para el lector la dem ostración de ii.

Si A, B y C son ángulos internos d e un triángulo no rectángulo ABC, se cumple que la suma de sus tangentes es igual al producto de los mismos. Para poder apreciar una aplicación acerca de esta observación preste atención al desarrollo del siguiente ejem plo. i) SiA +B +C = n jt; n e Z se cumple: • tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC • cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC = 1

Ejemplo 1 Halle tanB a partir del siguiente gráfico B

ii) Si A + B + C = ( 2 n + l ) — ; n e Z se cumple: • cotA+cotB+cotC = cotAcotBcotC • tanAtanB+tanAtanC+tanBtanC = 1 Dem ostración de (i) De la condición ten em os A +B = n jt-C

305

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Trigonom etría

Resolución D e acuerdo a los datos del ejem plo, p od em os com pletar la longitud del segm ento AH, esto es

B

co s(x + y ) _

co sx co sy

senxseny

senxseny

sen xsen y

senxseny

C0S(^ >,) = c o t x c o t y - 1 senxseny en la expresión E E = cotAcotB - 1 + cotAcotC - 1 + cotBcotC - 1 E = cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC - 3 ...(I) si se trata de un triángulo ABC se tiene A +B + C = 180°, luego se cum ple cotAcotB+ cotAcotC+ cotBcotC = 1 .... (II) reemplazando (II) e n (I) se tiene: E = -2 A partir del ejercicio, concluim os

aj

3 del A ABH tanA = tan37° = 7 4

b) 3 del .¡dBHC tanC= ~ pero com o: A + B + C = 180° C alcu larem os tanB ap lican d o la ob serv a ció n

serurseny

= cotxcoty - 1

co s(x—^ = c o t x c o t y + l senxseny

Ejemplo 3 Si A +B+C =

porque se cum ple que

y cotA +cotB = 3cotC,

tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC

calcule tanAtanB

- + t a n B + - = —.ta n B .4, 5 4 5

Resolución

reduciendo § +tanB = ¿

tanB

Como A +B+C = — 2 Se puede escribir co m o

27 9 luego — = — .tan B -tan B

A + B + C = ^ = (2(6) + l ) í ; 6 e Z

=> tanB = ~ JL

p i c a n d o el teorem a d e la página 303

5

20 20

11

cotAcotBcotC= co tA + co tB + cotC

Ejemplo 2 En un triángulo ABC, simplifique

cotAcotBcotC= 3cotC + cotC

g _ cos(A + B ) + cos(A +C ) + cos(B + C )

cotAcotBcotC=4cotC

senA senB

senAsénC

senBsenC

cotAcotB=4

Resolución

1

C om o c o s(x + y ) _ sen xseny

306

Reduciendo se ob tien e

cosxcosy - senxseny senxseny

1

=>----- . — — = 4 tanA tanB .-. tanA tanB =4

.

Problem as Resueltos Problema1

E = s e n l° c o s l5 ° + c o s l° s e n l5 °

Calcule el valor d e c o s (a +'8 ) ;

E = sen C P + lS * ) = s e n l 6 ° = — 25

si se n a = 5 o < a < - y c o s 0 = - - . n < 0 < ^ 4 2 3 2

Problema4

Resolución

Si tanCx+y) = 5 ; ta n ( x -y ) = 4 calcule cot2y

Aplicando las identidades

Resolución

• c o s2cx = 1 - s e n 2a =>cos2a = l -

Seax+ y = a

x - y = ¡3

a

luego 2y = a - P entonces

co sa = — 4

tan 2y = tan (a - P)

• s e n 20 = l - c o s 20 = > sen 20 '= l- ^ -

_ . tan a - t a n P _ _ 5 ^ 4 _ 1 + tan atan p 1+ 5 x 4 => tan 2y = - 1/21 v . cot 2y = - 21

se n 0 = —— 3 sabem os que c o s (a + 0 ) = co sa c o s© - señasen© en ton ces c o s(a + 0 ) = ^ ^ y j - ^ | ^ p j

Problemas Determine el valor d e k a partir d e la igualdad

,

sen 38°

c o s C a - 0 ) = 3^ - ^ -

sen 52°

3^2

siguiente

Problema2

Resoluclón

Determ ine el valor d e

Se sabe sen52°

K = 2sen50° - 4cos40°sen l0°

sen 38°

Resolución

En el problem a

C am biem os a 50° por (40° + 10°)

racionalizando

K = 2[sen(40°+10°)-2cos40°senl0°J K=2[sen40scos¡0’+co&4(fsenl0:’-2cos4Of1se nlCP] K = 2 [sen 40°cosl0°- cos40°senl0°] K= 2 sen (4 0 °-l 0 ° )= 2sen30°= 1

sen 38°

S -J 2

3 ~k

(

4

4

co s3 8 ° = r

k

3

se n 3 8 ° c o s 7 5 ° -se n 7 5 ° cos38° = sen(38"-75*)

Problemas

cos38°

’

*

=> sen (-3 7 °) = — =» -s e n 3 7 ° = — k k

Calcule el valor aproxim ado de c _ s e n l0 c o s l° V e W 2 + V6 + ^

Resolución sen 1°.(V 6 + \¡2 ) + eos l°(>/6 -y ¡2 ) Cx/6 - v/2 )CV6 +V 2 )

( f i +W { 4 J

l

4

J 307

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Trigo no m etría

Problemas Dem uestre que i) sen (x + y ) sen(x-y) = sen2x - se n V ii) cos(x+ y)cos(x-y) = co s 2x + c o s 2y - I

______________ _______________ ✓ Resolución Desarrollemos los primeros m iem bros d e cada caso: se n (x + y )se n (x -y )

= se n 2 x - s e n 2 y

(se n x c o sy + c o sx se n y )(se n x c o sy -c o sx se n y )

= se n 2 x - s e n 2 y

sen 2x eo s 2 y - co s2x sen 2 y

= se n 2 x - s e n 2 y

l-sen2y l-sen2x

* = se n 2 x - s e n 2 y

se n 2 x - sen 2 x s ^ y - sen 2 y + se p ^ x se n y

.-.sen 2 x - s e n 2y =

s e n 2x - s e n 2y

c o s(x + y ) c o s ( x - y )

= c o s2x + c o s 2 y - l

(eos x coS y - sen x s e n y )(c o s x c o s y + sen x sen y)

= c o s2x + c o s 2y - l

e o s 2 x eo s 2 y - sen 2 x

= c o s2x + c o s 2y - l

se n 2 y

l-cos2x l-cos2y eos2

- 1+ c o s 2 x + c o s 2 y - .pes^jr e o s 2 y

= c o s 2x + c o s 2y - l

,\c o s 2 x + c o s 2 y - l = c o s 2 x + c o s 2 y - l

Problema 6

Problema 7

Simplifique la expresión

Del gráfico ABCD e s un cuadrado, calcule tan a ,

3cos 2x - s e n 2x

si se sabe ad em ás que E e s el punto m edio del

sen(60° + x)sen(60° - x )

segm ento BC y que la medida del ángulo DAF es

M = -------------------------------

37°. Resolución Cambiando al denominador por la identidad (i) del problem a (5) M=

B

3(1 - se n 2x ) - se n 2x sen 260° - sen 2x

M=

M=

= 4 3^-4sóíí2x

M= 4 308

E

3 - 4sen x

C A P ÍTU LO V

Identidades trigonométricas Resolución

Resolución Considerando el lado del cuadrado igual a 4a en ton ces FD = 3a

7 4 tana = — , tanp = — y x > 0 x

Del gráfico 5.8 (b) s e tiene a = 53°- 0

x

A dem ás 0 = a + p

tana+tanP 1-ta n a. tan P

tan9 = tan(a + P) =

ta n a = ta n (5 3 °- 0 )

I +i

tan 53o- tan 0 tana = -------- -----------l + tan53°.tan0

\\x

tan0 = .X - A

x 2-2R

1

£ ) tana = i

22 =

22 4 2

29

ta n a =

+3 7

22 29

Ux

9 'jc2 —28 => 2x2-9 x -5 6 = 0 (x -8 )(2 x + 7 )= 0

(valor aproxim ado, por usar a 37° y 53°) o

=> * = 8 v

Problema 8

7

x - —

2 d e donde obtenem os: x = 8

Del gráfico, calcule x si cot 0 = 9/22

Problema 9 Calcule el valor d e la siguiente expresión

M = cos250+v/3sen25° senlO°+coslO° Resolución Para dar forma al numerador y denom inador y aplicar las identidades fundam entales h acem os lo siguiente l Co s 2 5 ° + ^ s e n 2 5 ° ¿ ---------------á__ ______J-,

-^ sen lp°+-^ coslO °

309

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

2 tc o s6 0 °co s2 5 0+sen600sen 25°]

veam os en la recta numérica

7 2 [cos45° sen 10o + sen 45°cosl 0o]

B

P

2-Y 2

M_ x /2 .co s(6 0 °- 25°) =

2 +V 2

Figura 5.10

sen (45°+ 10°) en ton ces

M =72

A < 2 - 72 =* Amáx = 2 - 7 2

Problema10

B>2 + 72 => B . = 2 + 7 2

Calcule el m áxim o valor de f = 4 c o sx -2 se n 5 + x j ; V xe R

•'•A má* + B m l o = 4

Problema12

Resolución

Calcule la variación de n

n

6

6

f = 4 c o s x - 2 sen - eo s x + e o s - sen * H = 2senx + 3cosx ; x e (0 ;

f = 4 e o s x - [eos x + 73sen x ] f = 3 c o s x - T Isenx f = ( - 7 3 )s e n x + 3 c o s x pero - > / ( - 7 3 ) 2 + 3 2

2

3

4

tanB = 3K tanC = 4K

com o A +B + C = 180° sabem os que: tanA +tanB+ tanC= tanAtanBtanC sustituyendo: 2K + 3K + 4K = 2K.3K.4K

9X = 24K / => K2 = f

O

311

Lumbreras Editores

T rigonom etría

nos piden M = s e c 2A

Notam os que a + (3 + 0 = 90° +

s e c 2B

+

s e c 2C

l+ ta n 2A + l+ ta n 2B + l+ ta n 2C M =3+tan 2A +tan 2B+tan2C

= > a + P = 9 O ° -0 => tan(a + P) = t a n ( 9 0 ° - 0) ta n a + tanP 1 — --------- = c o t 0 = - — 1-ta n a ta n p . tan 0

M =3+(2K ) 2+(3K ) 2+(4K ) 2

ordenando se tiene

M = 3 + 29K2 = 3 + 29Í 3

tanatanp + tanatanB + tanptan 0 = 1 ...( 1) del k. som breado (R+r ) 2 = (R - r)2 + (OH ) 2 '

.\M = 111/8 => OH = 2\/Rr . Observam os 2R = r + 2v/Rr ...(II)

Problema15 D el gráfico, c a lc u le ta n a , s ie n d o ABCD un cuadrado. A dem ás O y O, son centros

d a d o q u e la s r a z o n e s tr ig o n o m é tr ic a s no d ep en d en de los lados, hacem os: r = 1 sustituyendo y resolviendo en (II): R =

2+V3

definiendo en ÍS.ADO,: tan6 =

R 2R

-

V 3-1

1

r 2R -r

„Í 2 W 3 ] 2

l

-1

2 J

2

luego reem plazam os e n (I): tana R esolución Sea r : radio d e la circunferencia m enor R : radio d e la circunferencia mayor

■J3 teína 2

.-. ta n a =

+ tana| 5- s 4 5 -J3 -3

Problema16 D em uestre que tan * + tany =

sen (x+ y)

c o sx c o sy R esolu ción Llamemos: E= tan*+ tany transformando a sen o s y cosenos: g _ s e n * + se n y e o s * e o sy sen x eo s y + eo s * sen y E= eo s*eosy Recordar: se n (x + y )= se n x c o sy + c o sx se n y

(b) Figura S.13

312

s e n (x + y) E= cosxcosy

C A P ITU L O V

Identidades trigonom étricas

por consiguiente se establece

también

., . ■ . se n (x + y ) z) tanx + tany = -----------— ' cosxco sy

tan (0 + a ) - tan (0 - a )

en forma análoga obtenem os

c o s (0 + a ) c o s ( 0 - a )

m

se n (x - y) cosxcosry

dividiendo (z) y (zz)

se n 20 sen 2 a

Problema18

tí) tan* - tany = -

se n 20 _ 13 sen 2 a 4

Problema17 Del gráfico, halle

se n 2 a

9 5 = --------rri m _ 4 ^

Sabiendo que tanxtan2x + tan2xtan3x + .... + tari5xtan6x=14 calcule

tan 6 x tan x

Resolución Recordando la identidad tan(x + y) = -

ta n x + tany

1-t a n x .ta n y

'

luego tan(x+y) - tan(x+y)tanxtany = tanx+tany

R esolución

ordenando tan(x+y)tanxtany = ta n (x + y )-ta n x -ta n y ... (a ) en la condición d el problema, multiplicamos por tanx en am bos m iem bros ta n 2 x . tara:. tan* + tan3xtan2xtanx + ........ + tanfixtan5xtanx = 14tarar

(b )

Figuró 5.14

escribiendo a cad a producto de forma vertical y D efinim os

%

cam biando por la identidad (a )

9 5 tan (0 + a ) = — , tan (0 - a ) = — m m

tan 2 x.tan x.tan x

luego

tan 3 x .tan 2 x . tan x= tan 3x - tan 2x - tanx sumando

9 5 tan (0 + a ) + tan( 0 - a ) = — + — m m aplicando la identidad del problem a anterior se n 20 cosC 0 + a ) c o s ( 0 - a )

tan 6 x .tan 5 x .ta n x = tan 6x - tan 5x - tanx i 14 tan x = tan 6 x - 6 tan x 20 tanx=tan 6 x

•tan 6 x m

=tan 2x -t a n x -ta n x

tan x

=

20

313

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema19

Problema20

Halle la variación de f2 si

En un triángulo ABC se cum ple

, l + V Ita n a w /. n f = - 7=---------- ; V a s 0 ¡ ,7 V I-ta n a \ 4

cot(A + B )+ co t(B + C )+ co t(C + A ) = - V I halle el valor de la expresión

R esolución Dividiendo al numerador y denominador entre VI 1+ V Ita n a

~ V l~ V I-ta n a

f=

- 7= + tana

-co tC

l- - ! = t a n a

VI

+

-co tA

-c o tB

=S

.

= -V I

-(co tA + co tB + co tC )= - V I

t a n - + tan a , f = ------ §-----------= tanf ? + a l 6 l - t a n - .t a n a

Obteniéndose cotA +cotB +cotC = VI ... (0

6

del dato

elevando al cuadrado

^ n

a

R esolución A partir de la condición ten em os c:ot(i 80° - C) + co t(l 80° - A) cotQ 80°- B )

■

_ VI____

VI

K= tanAcotB+tanBcotC+tanCcotA

ti

ti

57t

cot 2A +cot 2B + co t 2C +2cotA cotB+

0 < a < — => —< —+ a < — 4 6 6 12

2cotBcotC+2cotCcotA= V I 2 —0 0 d ib u ja m o s e n c o n ju n to d e

( H

circunferencia trigonométrica

en

c

la Tener presente si A +B + C =180° se cumple cotA cotB+cotBcotC +cotC cotA = 1 ...(« 0 Reemplazando (ifu) en la condición 0 0 cot 2A +cot 2B + co t 2C= 1 ... Qv) De las condiciones (üt) y (iv ) p o d em o s calcular el valor de la expresión E= (cotA- cotB) 2+ (cotB-cotC ) 2 + (cotC-cotA ) 2 Obteniendo por valor cero, e s decir (cotA - cotB)2+ (cotB - cotC)2+(cotC - cotA)2=0 De donde se concluye

luego tenem os —

<

tan^+aj< 2+VI

cotA =cotB = cotC => A =B=C

f Reemplazando en K

elevando al cuadrado

K= tanAcotA + tanBco tB+ tanC+ cotC - < f 2 tan(a + P + 0)

ta n a + tanP + ta n 9 -ta n a tá n p ta n 9 D^IamertSnfí 1 - tan a tan P - tan a tan 9 - tan P tan 9 NjamertSñ]) -

Por lo tanto tan(q + P + 0) =

tan q + tan P + tan 0 - tan a tan P tan 0 1- (tan q tan P + tan q tan 0 + tan p tan 0 )

315

Lumbreras Editores

Trigonom etría

E jercicios Si

ay p so n

á n g u lo s

agu d os,

ta le s

que

3 „ 5 sena = - y senS = — 5

13

Obtenga el valor d e Ja expresión s e n ( x - y ) para los casos ' cosxcosy 13. x=45° ; y=30° 14. x=60° ; y =45° 15. x=53° ; y=37°

calcule el valor de: 1. se n (a + P )

2. c o s(a -P )

Calcule el valor de la expresión

3. tan(a+P) | [ta n (x +45°) + tan(x - 45°)]

Si a e 1IC y 0 6 IIIC, a d em á s s e sab e que para los casos siguientes

eos a = - ^ y tan0 = 4\Í3 , calcule el valor de 16. tan2x = l/3 17. tan2x = l/5 18. tan2x = 1/7

4. sen (a + 0 ) 5. co s(a + 0 ) 6. ta n (a -0 ) Exprese en términos de sen* y cosx las siguientes expresiones

>/3cosx + sen x Reducir la e x p r e s ió n ----------- — en fundón c o sx - V 3senr d e tangente, luego evaluarlo para los siguientes casos

7. >/8sen(x-45°) 8. 2cos(x + 60°)

19. x=10°

9. tan(x + 135°)

20 . x = 20 ° 2 1 . x = 8°

Determine el valor de la siguiente expresión Encuentre e l eq u ivalen te d e se n * - c o sx e n término de la razón trigonométrica sen o, luego evalúe para los casos.

E = (sena + cosP)2 + (cosa + senP)2 para los casos:

10. si a + P = 60° 11. si a + p = 150°

22. x=55° 23. x=65° 24. x=70°

12. si a + P = 225°

R espuestas 1. 56/65

7. 2 (se n - cosx)

13. 1 2 - 4 ^

19. tan70°

2 . 63/65

8. c o sx - %/3senx

14. 1 2 ^ - 1 2

2 0 . tan80°

15. 1 6 - 9

21. tan68 °

3. 56/33

tarur- 1 1 + tanx

4. 3V 3/14

10. 2+ V 3

16. 2

22. ,/ 2 s e n l 0 °

5 . 13/14

11. 3

17. 3/2

23. >/2sen20°

6. 5 V 3 /1 1

12. 2 - V 2

18. 4/2

24. V 2sen25°

316

C A P ITU LO V

Identidades trigonom étricas

ID E N T ID A D E S D E R E D U C C IO N A L P R IM ER C U A D R A N TE A la com paración entre ios valores de las r a z o n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e u n á n g u lo d e cualquier m edida con respecto a otra cuyo ángulo e s agudo, s e d en o m in a red u c c ió n al prim er cuadrante. Así por ejem plo 5n . k sen — = s e n -

6

c o s( 2n - x )

= cosx

tan( r x )

= -c o tx

ta n ( n -x )

= -ta n x

tan(ji + x )

= tanx

6

5n it e o s — ——eos — 4 4 . 4 ji n tan— = t a n 3 3

,

(3 7 1

)

l 2

J

t a n ------x

=

c o tx

= -c o tx

Adem ás estas identidades se expresan com o

tan( 2 a - x )

= -ta n x

Este capítulo lo podem os enténder e n toda una razón trigonométrica d e ^- krt + x j i donde k e s un núm ero entero cualquiera, en térm inos de una razón d e x y s e llam an id e n t id a d e s d e

su magnitud, a partir de las identidades d e arcos com puestos, esto e s se n (a + P) = se n a eo s fl + cosasen fi

reducción. Un caso particular son las identidades d e c o -r a z o n e s (r a z o n e s trig o n o m étrica s d e

s e n ( a - P ) = se n a c o sjl - co sa sen p

ángulos com plem entarios). A continuación se

c o s (a + P) = c o sa eos P - sen asen P

m en cio n a n algu n as d e e sta s id en tid a d e s de

c o s ( a - P ) = c o sa eo s P + sen a sen P

reducción al primer cuadrante.

ya q u e, si e n las id en tid a d es an terio res

sen| —+ x | = cosx

h acem os que a o P sea un ángulo cuadrantal, se

sen(7t-x)-senx

obtienen identidades m ás reducidas com o:

sen(7i+x) = -senx

• _sen(90°+P) = sen 9 0 °co sP + cos90°sen P í

'3 n

sen| — - x 1= - c o s x

=> sen (90°+ P ) = cosP

, 3rt sen] — + x l = - c o s x

• c o s(a + 180°)

s e n (2 7 t-x )

=> c o s(a + 180°) = - c o s a

ín

)

U

J

eos - + x

= -serw = -se r w

c o s (7 t-x )

=

cos ( tt+ x )

= -c o sx

(3 n

A

tan (270°-P ) =

-COSX %

e o s ------x = -se r w l 2 ,'371 cos| — + x | = serw

= c o s a c o s l8 0 ° - s e n a s e n l8 0 °

tan(270°-P ) =

0

sen (2 7 0 °-p ) co s(2 7 0 °-P ) se n 2 7 0 °c o sP -c o s2 7 0 °se n P co s2 7 0 °c o s p + sen 270°sen P ■ o • ■ -i

» tan (270°-P ) = - ^ = cotp -s e n p >tan(270°-P) = cotp 317

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Para evitar hacer los desarrollos anteriores y obtener las identidades de una forma m ás directa, se plantean a continuación reglas prácticas que 'vienen a ser los casos de reducción al primer cuadrante, las cuales mostramos a continuación:

Para su m ejor e n ten d im ien to , se g u id a m e n te citam os algunos ejem plos € 11C .

sen(90° + 0)

r

Positivo, porque el seno de un del IIC es positivo

= + COS0

Prim er C aso________________________ RT(9O°+0) =,

,coRT( 8 )

signo

R T (i80°± e) =

•

RT(e)

e IVC

coRT(9)

signo

RT(360° - 0) =

•

sec(90° - 6)

e II C •

c o t(1 80 °-e )

csc(270° - 0)

6 II C •

. el C

= + cscO

•

r

Negativo, porque ta cotangente de un del IIC es negativo

r

Negativo, porque la cosecante de un d e líll C es negativo

= - cote

= - sec0

t

co - razón de la cosecante .

sen(360° - 0)

9 0 °-0

_ Positivo, porque la secante de un del IC es positivo

¡

Y

. elIC

= - coto

co - razón de la secante.

2 do. respecto al signo: el signo + ó - que d e b e eleg irse para e l seg u n d o m iem b ro d e p e n d e del cuadrante a su m id o para el ángulo a reducir y del operador trigonométrico, para ello no olvidar que 0 se d eb e considerar ángulo agudo (ver figura 5.16) Considerando 0 un ángulo agudo:

90° + 0

Negativo, porque la tangente de un ¿L del IV C es negativo

e IC

Para el u so d e estas reglas prácticas d eb e tener en cuenta los dos aspectos siguientes • 1ro. respecto a 0 : la m edida del ángulo 0 se d e b e considerar c o m o un án gu lo agu d o, aunque no lo sea.

“

tan(270? + 0)

,RT(8 ) signo

r r

cos(180° + 0) ss - cos0

signo

R T(270°±6) = ,

Negativo, porque el coseno de un de IIC es negativo

cos( 1 80 °-6 )

r r

Negativo, porque e! seno de un ¿L de! IV C es negativo

= - senG Negativo, porque el coseno de un ¿L del IIC es negativo

= - cose

180o - 0

X

m ° ^ le lliC 270° - 0 J

2700 + 0 L . V C 3 6 0 ° -0 J

Figura 5.16

318

¿En realidad (9O °+0)eIIC ? La respuesta es no, ya que no se sabe qué valor tom a 0 , por ejem plo si 0 e s 100 ° entonces (90°+100°) e IIIC. En el ejemplo anterior, que se halla asumido que (9O °+ 0)e 11C e s sólo para determinar de una manera práctica el signo + y evitar desarrollar: sen(90°+8) = sen90°cos9 + eos 90° sen 6 = eos 6 í ' 0

C A P ITU L O V

Identidades trigonom étricas

Para que pueda com prender un p oco más el tem a sigam os con el desarrollo de los-siguientes ejercicios:

E jem plos • sen750° = se n (2 x 3 6 0 °+ 3 0 °) = sen30° = i Jo

E jem plo 1

• cos390° = cos(360°+ 30°) = cos30° == —

Calcule los valores num éricos de i) sen 150° ii) cos240° iii) cot330°

• tanl 125° = tan(3x360°+45°) = tan45° = 1 • se c l5 0 0 ° = sec(4 x 3 6 0 °+ 6 0 °) = sec60° = 2 En ca so se presentasen razones trigonométricas afectando a múltiplos de ji , co m o son

R esolu ción i) sen 150° = sen (180° - 30°) = sen30° =

n iT t)

777*0

.

7 ll7 * t)

sen[ T j ' col - r J ’taV r J >etc-ii) cos240° = cos(1 8 0 °+ 6 0 °) = - cos60° = - iii)

cot330° = cot(270°+ 60°) = - tan60° = S

le sugerim os que proceda de la forma siguiente: quitarle todos los múltiplos de 2 tc que tiene dicho múltiplo; para ello divida el num erador entre el

E jem plo 2

doble del denom inador, esto es: para ,

Calcule y = se n (* + x )c o s| - + r | - senl — + x jc o s (* - x )

11

s e n ^ ^ j se divide -jr R esolu ción para

7Í

S a b em os que — equivale a 90° y * equivale a eo s

180°, en ton ces de acuerdo a la regla práctica del primer caso, ten em os

(7 7 n )

„ . . 77 ' se divide —

luego el residuo reemplazará al numerador.

• seri(*+ x) = -s e n x

sen( ! H = -

Para entender un p o co m ás al respecto sigam os con unos ejem plos

cosa

( 77n\

• c o s ( —+ x ) - - s e n x

*

SCn ~ 6 ~

77 ’ se div¡cle \ 2

• c o s(* - x ) = - c o s x

77 Q2 ¿ 6 residuo (reem plaza al 77)

reem plazando lo anterior en y y = ( - s e n x ) ( - s e n x ) + (-c o sx )C -c o sx ) y

=

sen x

eos x

(7 7 n \ 75* = ss e n ----- = s e n —

l 6

y=l

J

[6

Segundo Caso

luego reducim os

Las razones trigonométricas de un ángulo no se alteran porque se le su m e o reste al ángulo cualquier múltiplo d e 360° ó 2*

s e n lfj- s e n H h H ^ H

[r /T.(360°1C+6)=R T.(6) ;VKe Z ]

.-.sen

77*

319

Lumbreras Editores

sen

T rigonom etríá E jem plo Reduzca al primer cuadrante sec20000°

11

U tO

; se divide — ; b

3

11 [§_

20000 ° j360°

De lo exp u esto en

_5_ 1

1800°

la sugerencia, tenem os:

residuo (reem plaza al 11) 'lln 'l ‘ f 5 n sen — = sen — 3 . 3

U ti)

2000°

se c 20000 ° = s e c 200 °

1800°

se c 20000 ° = se c (1 8 0 °+ 2 0 °)

200°

,„ 7t) 7t ~yj3 => sen 2 tc— = - s e n - = —— 3 3 2 sen

55

.-. se c 20000 ° = - s e c 2 0 °

Ejem plo Halle los valores d e Y = cosí l

S

+x 3

si x e ( 0 ; 71/2) •

sení— ) ; s e divide

41112

^ 6 ’

Resolución

1 3

v

residuo (reemplaza al 41)

41tc) 1 6 H j 2

,(8l7u)

Y = eos) - + x

f „„

,(8071 7t)

tu)

J

10X

l

= 1 27t + - |= c o t - =

365° 4 j

otra manera de llegar a esta última expresión es: „ (270171 Y = eos — — + x l 3

\ *

/

“ 4 “ =cot

se divide 2701 ; 2701 [6 _

4

*m=

cot

Sugerencia Cuando se reduce al primer cuadrante la razón trigonométrica de un ángulo mayor a una vuelta, se divide dicho ángulo entre 360°; donde la razón trigonométrica de dicho ángulo será igual a la misma razón trigonométrica del residuo obtenido en la división planteada.

^

6

450

residuo (reemplaza a! 2701)

v

(2701 tu

j=> Y = eo s -

I

-+ x

3

Y = c o s í —+ x c o m o u sted p u e d e com p rob ar e s la rnism; expresión. 7t

co m o 0 < x < — 2

7T

57t

=> —< x + — < — 3 3 6

Seguidam ente representaremos los arcos x + en la C.T.

320

\

r cos\H

360°

= cot! — + - l = cotl 2Ü71+- 1=

81tu)

cot

1( Tt

\

:2ji+ —h T ^

Otra manera de resolver es:

cotí —

ti

Y= cosí 90071 + 5 + x

>sen|^ sen

( 2700tu

Y = eos --------+ - + x i 3 3

C A P ÍTU L O V

Identidades trigonom étricas E jem plos • sen300° = -sen 6 0 ° • cos350° = c o sl0 ° • cot320° = - cot40° la propiedad indicada se cum ple e n general si a + P = 3 6 0 ° n /n e Z

T ercer C a so Identidades para el arco (-0 ) D em ostración

Figura 5.17

S

(n

V< i-

----- e c o s - + i 2 3

73 2

2

I

s e c 2 9 + 1 = =* s e c 2 0 + l =

Ejemplo 1 •

sen 20 =

2 (l/V 2 )

+1

2 1 - tan 0 2 tan 0

( l - t a n 20 )ta n 0 tan 20 s e c 20 + l = tan 0

A partir d e las relacion es (u iii) y (ix), calcu le s e n 20 y c o s 2 0 ,s i tan 0 = -¡= V2 Veam os 2 tan 8 sen 20 = 1+ tan 0

Ejemplo 2 Reduzca la expresión k = (se c 4 ° + l) ( s e c 8 ° + l ) ( s e c l 6 ° + 1)

Resolución

1+ 0 /V 2 )

De la igualdad se c 2 0 +1 s e n 20 =

2 v/2

También

326

tan 20 ta n 8

La expresión k será k=

e o s 20 =

2 tan 20 1 ^-tan 0

„Q , 2tan9 . n s e c 2 0 - l = -------- — x ta n 0 l - t a n 20

1- tan 2 0

l + tan 20

1=

1- tan 2 0

Ordenando

.....(uñí) y -

eo s 20 - c a te t0 adyacente cateto opuesto

l+ ta n 20

1-tan 0

r l a n f s'Y Jangtr'| tan 16° tan 2 o .tarrifé Jan 8 tf

1+ tan 0 1- ( l / V 2 ) c o s 20 = 1 + (l/V 2 )

Reduciendo la expresión

c o s 2 0 = 1 /3

=> k =

k = ta—— ; em pleando tan 16°= ~ tan2° 24 7 /2 4 tan 2o

k = — cot 2° 24

&

A P L IC A C IO N DE LAS ID E N T ID A D E S EN EL D IS E Ñ O DE C O L U M N A S

En el análisis de la estabilidad y diseño de elem entos prism áticos verticales de las colum n as, p rincip alm ente de las que soportan carga a xial excéntrica, se d e sa rro lla la

Fórmula de la Secante que relaciona los esfuerzos m edio y m áxim o en una colum n a; es de cir si la carga no se aplica pasando p o r el cen tro de gra ved ad, la colum na soporta un esfuerzo com b in ado axial y de flexión.

Las aplicaciones matemáticas son fundamentales en el diseño de columnas, como las utilizadas en la construcción de puentes.

En la fig u ra se considera una colum na a rticu la d a som etida a una carga P ap lica da con excentricidad e. Para el cálculo de la expresión para la m áxim a de flexión, se d e fin e la ecuación de l m ovim iento arm ónico sim ple: y = A senpx+Bcospx - e

...(1 )

Las constantes A y B se obtienen de las condiciones de fro n te ra . H a cien do i)

x = 0 ,y = 0

. ii) x = 1 , y = 0

en la ecuación (1) se tien e B = e

en la ecuación (1) se tie n e AsenpL = e(1 - cospL)

A p lica n d o las identidades de arco doble a ( 2sen^j: c o s ^ :

S im p lifica nd o queda

e l 2sen

2 pL

A = e ta n !PL

Sustituyendo A y B en (1) se obtiene

y =e

tan

pL

. sen px + eos px - I

...( 2 }

■ § i*

327

El va lo r de la deflexión m áxim a se h a lla haciendo x = — en la ecuación (2) ' 2 pL pL pL . 1 ta n 1^- sen— + c o s ^ - - 1

^móx

2 pL 560 ---------r2- + c o sPL - — ,1 pL 2 COSL

y*max . = e sec— - 1 2

Si sustituim os P =

en la ú ltim a ecuación

P L

Vmdx = '

S eC ,J E ¡- 2 j

-1

do nd e E l es una constante qu e se d e te rm in a según el tip o de m aterial de la colum na. Finalm ente se determina el esfuerzo m áxim o en la columna y, conocida como la fórmula de la secante, que resuelva para b fuerza por unidad de área, P/A la cual causó un esfuerzo m áximo especificado am á x y esbeltez efectiva Le/r

P^ A

om ax i ec ! + -j-s e c r

IPLe EA r

En el diseño de estructuras (edificios, puentes; qtc) es necesario conocer la m áxim a carga q u e va a so p o rta r la estructura, adicionalm ente se requiere otros datos referidos a l m a te ria l (fle xib ilid a d , co e ficie n te de d ila ta c ió n , etc) q u e nos p e rm ite n conocer de an te m a n o el com p ortam iento de las estructuras frente a cua lq u ie r variación, llám ese de carga, tem pe ratura , hum edad, etc. D icho análisis en las estructuras pe rm ite hoy en día diseñ ar grandes ed ificio s que, fre n te a una catástrofe n a tu ra l o a rtific ia l, se m antienen en p ie o en su defecto si colapsan . no afectan los alrededores d a d o que están construidos tal que al caer lo hagan verticalm ente. El estudio de estructuras ha p e rm itid o con stru ir lo que h o y en día se llam a "Edificio

Inteligente", capaz de rea ccio nar fre n te a un cam bio externo.

328

C A P ITU LO V

Identidades trigonométricas

E jercicios Utilizando cualquiera de las identidades anteriores (d esd e (i) hasta (ix)), reduzca u obtenga el valor de las siguientes expresiones:(com pare sus resultados con las respuestas indicadas). a) 2 se n l5 0c o sl5 °

0 1 - c o sx =

W cos2(? )-s e n 2(?

8 ) l+ c o s |

c) 1- 2 se n 22 x =

h) l+ c o s 7 0 ° =

f)=

2tan5°

h (X

d) 2 c o si | - l

=

° 1 - tan 25o " .. 1 - tan 26 x

e ) 1 - cos4xr =

1 + tan 6 r

R espuestas 1

fí . y¡2

(se usó la identidad ii)

0

eo s- ó — 4 2 c o sa „ 2X 2 se n —

(se usó la identidad vif)

h)

2 co sJ35°

(se usó la identidad vií)

(se usó la identidad iii)

i)

c o s l 2x

(se usó la identidad ix )

a)

se n 3 0 ° ó ^

(se usó la identidad i)

b)

c)

eos 4x

(se usó la identidad iu)

d)

e)

2 sen 22 x

(se usó la identidad v i)

g)

2cos2í ^ ]

i)

tan 10 °

2

(se usó la identidad v) (se usó la identidad v i)

Ü p l O b ie r v Q r í in s ...-sr _

,

sen9 =

sen 0 =

e 2

e 2

2se n -c o s-

„ „

...1

e

e

e

4

4

2

... ‘f ° paso

2x 2se n -c o s ~ c o s -

0 0 0 0 sen 0 = 2 x 2 x 2 s e n - c o s - c o s - c o s 8 8 4. 2

0

0

0

.. 3er paso

0

0

se n 0 = 2 x 2 x 2 x 2 s e n — e o s — c o s - c o s - c o s - ........................ 16 16 8 4 2 0 0 0 0 0 sen 0 = 2 x 2 x 2 x ............. 2 s e n — e o s— ..........c o s - c o s - c o s 2 2 8 4 2 n v eces b e o s*— 0 sen 0n = 2on s e n — 2

, Luego

2

paso

. 4la paso t í°

paso

0 0 0 c o s-c o s-c o s8 4 2

0 0 0 0 sen 0 e o s — ........ c o s - c o s - c o s - = -----------jr2n ♦ 8 4 2 2 ns e n _0

; n e Z+

2 329

Lumbreras Editores

Si

hacem os

Trig o n o m e tría

6 = 2"x con n e Z +,

y

lo

4

reem plazam os en (a ) , obtendrem os

X

sen2sx 2®senx

•

hacem os que 0 = í , obteniendo

2

4

2 s e n —= l- c o s x ; 2cos —= l+ c o s x de

donde

d e s p e ja n d o

sen —

2

V

2

xO

X

y

-co sx

X

eos — 2

1+ co sx

l-c o s x X ta n — 2 4 1 + cosx

eo s —

jl + cosx

.j g j f Observación Si Ae [0 ; n], se cumplen las siguientes fórmulas:.

COS2 = ± V n radicales

com o 2sen

¡x

2 _ l-c o s x tan2 —= 2 2 eos2— 1+ c o s x

despejando ta n ^ , obtenem os la identidad: X

. l-c o sx

2

V 1 + cosx

tan—= +,/----------

... xii)

Nota De las identidadesx, xi y xii el signo positivo o negativo dependerá del cuadrante al que pertenezca: x/2 y del operador sen, eos, tan, respectivamente.

330

^2-V 3

, X

respectivam ente, obtendrem os las siguientes identidades: X , l- c o s x x) sen — = ± , ----------

' x/3 2 )_

7k L - el si signo es negativo porque — e IIC

sen -

X

|1+

. ___7ic -V 2 - V 3 => sen — = ------ -----12 2 Otra forma de expresar o utilizar las identidades x,x¡, xii es

2sen 26 = 1- e o s 20; 2cos28 = 1+ c o s20

2

1+cos — 6 _

V12;

De las fórmulas d e degradación

7X

elC

2

f7x) • eos — =.

Identidades para el Ángulo M itad (x/2)

oX

O

y ¡ 2 - sÍ2

8

sen256x 256 sen x

cosxcos2xcos4x... cosl28x=-j

2

=> se n — = — ——

sen22x _ sen 4 x cosxcos2x= 22se n x 4 se n x sen 2a x sen8x cosxcos2xcos4x= 23se n x 8 se n x

•

_

*-*• el signo es positivo porque

Ejemplos •

*

1 - eo s4 _ ,|1 _ f • sen| — 1=± II *z ) .2

se n 2 nx 2ns e n x

cosxcos2xcos4x... cos2n ’x

Así por ejemplo

2*n(£] = n radicales

Demostración V2+2cosA = ,/20+ cosA ) = |2 x 2 co s: V2+2cosA = 2 eo s— ! 2

o

A A

A

Dado que 0 < — < -= > eos — > 0

2

2

2

• V2 +V2 + 2cosA = ¡ 2 + 2 c o s ^ = 2 c o s ^ ; ^ = ~

Identidades trigonométricas

C A P ITU LO V

Otras identidades para el arco mitad

Remplazando lo anterior • ^2+1j2 + ,/2+2cosA = ^ 2 + 2 c o s ^ = 2 c o s ^ ;:—=

Demostrar tan| — 1 = cscx - cobr

Análogamente

.... Xlll

Desarrollando en el segundo m iem bro íx ) 1 cosx tan = ----------------\^2J sen** serur

“n radicales”

Ejemplos

Por identidades de arco doble

tan| | | =

x 2sen2 ^ 2 2 sen —e o s— 2

2cos^—— | = y 2 + ^2 + ^2 + ... +\¡2+\¡3 ín \ 2sen A 26 2

(6 radicales)

■

Si hacem o s A = 7t, y lo reem plazam os en las identidades de la observación anterior, se obtiene las siguientes identidades:

;? )

(n-1) radicales

fn ^ 9"

2

2

■s

eso r + cobr

^

2 + V2 + ...-+ >/2

"Esto es lo que s e '' buscaba dem ostrar

En form a análoga a la dem ostración anterior, se d eja p ara el lector la d em o strac ió n d e la identidad

H 2 + V2 + \¡2+.... + >¡2

2 eos

2sen

x senf ta n —= x 2 e o s— 2 ta n —= ta n —

2sení-^-)=-y 2 - \ ¡ 2 + ^ ¡ 2 + . . . + *J 2 +/2 256

2

Simplificando

.... x 10

En los siguientes ejemplos se han aplicado las identidades (xiií) y (xiu)

Ejem plos

•

ta ñ í— ) = csc37° - cot37° =

• 2 eos — = 2 c o s ^ = V2+V2+72 (3 radicales) 16 2

•

cot(15°) = csc30° + cot30° = 2 A V3

71 y 2 + \¡ 2 + n/2 ,c ° s- = 2 • 2sen — = 2 s e n 4 = t / 2 - v í2 + i^ W 2 + W 64 26 V , (5 radicales) ti

sen— = 64

v 2 - J2+\¡2+yj2+\¡2 1-------------------2

i 2 J

3

3

3

tanf^l = esef —] —cotí 7 ] = V2-1 \8 ) ’ 4J i4 tan0 = csc2 0 -co t2 0

/e l e , cot - = CSC- + c o t14 J 2 2 tan3a = c s c 6 a -c o t6 a cot2x = csc4* + cot4x 331

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

>*' Observatión 1)

1er' paso

taru — = asee-coto 2 tan — = cscx -(c sc 2x + c tá 2 x) __ .............................................................................. ........... tan — = cscx -csc2 x -(csc4 x + oot4x)

___

tan ^—J = c s c x - c s c 2 x -c s c 4 x - ( c s c 8 x + c o t 8 x ) ......................... 7 .

2do paso 3 ta n B = 3

Reemplazando tanB = | en E, se obtiene E=29

También sabemos que sen 6x+cos6x = 1 -3 se n 2xcos2x entonces, en forma análoga al problema anterior, se dem uestra que 6 6 5 3 sen x + cos x = - + -c o s 4 x

8 8

337

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 5 sen8x + c o s8x

elevando al cuadrado \2 sen2 2x ^ 1< 0n 2

•

c o s6- < 0A = * 2

I 2 / 0 De donde (l + sen0) = s e n - + eos - í 2 2J

=>

0 0 sen- = sen2 2 0 e o s0 - iÍ = - c o s 2l 2

339

Lumbreras. Editores

Trig o n o m e tría

0 0 0 0 s e n - < c o s - => s e n - < - c o s 2 2 2 2

e

CH=Rsen26 a OH=Rcos20 % C om o M es punto m edio, tenem os

e .

=> s e n - + c o s - < 0 2 2 e e¡ se n -+ c o s-= -

2

21

En e l ^JOHC p o r re s o lu c ió n d e triá n g u lo s secíángulos, tenem os

6 0 sen - + cos2 2

MH = — 2

= —sen 20 2

En el A OHM, ápficam os el Teorem a de Pitágoras Todo lo d e d u c id o d e la fig u ra a n te rio r, lo reem plazam os en (1) „ ( 0 0) 0 0 Y = - se n - +cos- -c o s - + se n -

2

2J

2

OM2 = OH2+MH2

=» x 2 = (Rcos20) 2 + ^ s e n 2 © j

2

/. Y = - 2 c o s 2

x 2 = R2cos220 + — se n 2 20 4

Problema8

R2 x 2 = y ( 8 c o s z2 0 + 2 se n 220)

Siendo O centro de la sem icircunferencia, donde x2 = f(4 0 ). Calcule f(* /4 ) si R = (V lO -3V 2)u

x 2 = ^ - ( 4 x 2 eos220 + 2 sen 2 20) R2

x = — (4(l + cos40) + l- c o s 4 0 ) 8 x 2 = — (5 + 3cos40) 8 com o x2= f ( 4 0 ) por condición, reem plazando tenem os Resolución En la figura se ha trazado OC , donde AAOC es isósceles.

f(40) = ^ - ( 5 + 3cos40) para 40 = * 4 f ^ =

5

+3cos4

fr n ) _ (V lO -3 V f)V 5 , 3V2^

J

/lO - 3 V2 Y

1 0 + 3 n/2

fU J ” l — s— ’A — 5

-'(Í K 340

'l J

C A P ITU L O V

Identidades trigonométricas

Problema 9

Problemati

cos2x=n, escriba la expresión M en términos de

Simplifique la siguiente expresión

. ( tanx „ 2 V 2 n, si M = — — - 2sen x eos x ^sen2x J

_

senx+cosx - 1 Vi - senx

^

ln \4

11 2

Resolución f

Resolución

senx

2 M= — ^ s x ------ 2 sen 2x eos X 2senxcosx

senx-(l-cósx) F=Vi -senx

„ x x „ 2x •2sen—.eos— 2sen — 2

2X

2______ 2 2X „ x x

sen —+cos — 2 sen—.eos—

M=| —r—5— 2 sen 2x |eos2x 2cos x M=

( , «2 2 2 ^ 1 -2 sen x c o s x

c-

ptís^x

2 ^ 0 s 2x M:

2{

cos^-sen ^ | 2sen H eos - - s e n — |

2 2 i _ ____ 2l 2 2) X X x x eos-— sen— eos— sen— 2 2 2 2

1 - s e n 2x de la condición 0 < x < — 2

1 -2 => M= - e o s 2 x , cos2x = n /.

2sen

{I)

A x n 0 < —< — 2 4

por dato '

M= - n 2 2

Problema10 JL Sabiendo qu e x = — determ ine el valor de P = senxcos3* - sen3xcosx Resolución Analizando en la circunferencia trigonométrica

P = sen x co sx(co s2x - s e n 2x ) cos2x

X

X

se cum ple eo s—> s e n — 2 2

2P = 2senxcosxcos2x sen2x

X

X

es decir e o s-----s e n —> 0 2 2

4P=2sen2xcos2x=sen4x p _ sen4x

luego el equivalente será sustituyendo el valor de x

x

24

x x X X e o s— s e n — = eo s— s e n — 2 2 2 2

Tí 1 sen 6 _ 2 => p = 4 4

Reem plazando en (I) y simplificando, se tiene

,P = I 8

.\F = 2 sen — 2 341

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Problema 12

sum ando 1

Siendo s e n í— - —1 = — [ \2 2 ) 4

1 - >/2 -------- = tan 2x cos2x

I. [ 2 sen a eos6 = se n (a + 6 ) + sen(ct - 6)]

se n 2 x { 2 c o s K 0 =tan2x

=> tan2x = tan2x

II. [2 c o s a c o s 9 = to s ( a + 0 ) + c o s ( a -6)1 Ejemplo 9 Demuestre la siguiente igualdad 2 7x 2 5x ' s e n ----- sen — = senGxsenx 2 2

III. ¡ 2 sen a s e n 9 = cos(a - 6) - co s(a + 6 )j Las demostraciones se realizan fácilmente de las identidades a, b, c y d deducidas en la página 346

Resolución l 1*" forma Degradando por arco doble

Ejemplos de aplicación Exprese en forma d e sum a o diferencia

- Í 2 s e n 2— - 2 s e n 2— | = sen6xsenx 2

2

2

i [ l - eos 7x - (1 - eos 5x)] = senóxsenx

Ejemplo 1 2sen7xcos4x Resolución Utilizando la identidad (I) 2sen7xcos4x = sen(7x+4x) + se o (7 x -4 x ) 2sen7xcos4x = sen l lx + sen3x

(cosSx - cos7x) = sen6xsenx

^(-2 sen 6 x sen (-x )) = sen6xsenx Ejemplo 2 2cos3l°cos9°

=» se n ó x se n x = se n ó x sen x 2d" forma Por diferencia de cuadrados; en la igualdad inicial (

1

7x 5xY 7x Sx't _ s e n ---- s e n — I se n — + sen — = s e n 6 x se n x

2

2 A

2

2J

transformam os cada factor a producto. X

X

2 eos 3x se n —2 sen 3x eos —= sen 6x sen x 2 2 Agrupando convenientem ente X

X

2 sen 3 x co s3 x 2 sen—e o s - = s e n 6 x se n x . 2 2 sen6x

senx

.-. se n 6 x se n x =sen6xsenx 352

Resolución Utilizando la identidad (II) 2cos31°cos9° = cos(31°+9°) + co s(3 1 °-9 °) 2cos31°cos9° = cos40° + cos22° Ejemplo 3 2senl0°cos40° Resolución Utilizando la identidad (I) 2senl0°cos40° = sen(10°+40°) + sen(10°-40°) 2senl9°cos40° = sen50° + sen(-30°) 2senl0°cos40° = sen50° - sen30°

C A P ÍTU LO V

Identidades trigonométricas

Ejemplo 4

T ra n sfo rm a n d o d e p ro d u c to a d ife re n c ia utilizando identidad (III)

3x x 2 s e n — sen — 2

2senx[cos 2x - eos 120o] = senx

2

t Resolución Utilizando la identidad (III) „ 3x x ( 3x x \ Í S ií Jt'l 2 se n — s e n — = eos — - — - e o s +— 2 2 [2 2) L 2 2 J 3x x 2 se n — s e n — = cosx - cos2x 2 2

senx(2cos2x+ 1)=sen3x sen3x=sen3x Ejemplo 3 4cosxcos(60°+x)cos(60°-x) = cos3x

D em uestre q u e se verifican las siguientes igualdades

Resolución 2 co sx[2co s(6 0 °+ x )co s(6 0 °-x )] = cos3x

Ejemplo 1 co s(x + y )co s(x -y ) = cos2x - s e n V

2cosxj~c o sl2 0 °+ cos2x j = cos3x Resolución M u ltip licam os y d iv id im o s p o r 2 al p rim e r

=> cosx(2 eos 2x -1 ) = eos 3x

m iem bro 2co s(x + y ) c o s ( x - y ) ------ i— LL---- i— LL 2

= Cos

2

x

2

transform ando a sum a de cosenos cos2x + cos2y ------------------2

=> cos3x=cos3x

- se n 2y •

¡ 2 = eos x - sen y

sustituyendo con la identidad del c o se n o d e arco,

Ejemplo 4 cos3xsen2x - cos4xsenx = cos2xsenx Resolución Multiplicamos y dividimos por 2

doble

i [2 eos 3x sen 2x - 2cos 4x sen x] = eos 2x sen x

(2 eos2 x - 1 ) + (1- 2 se n 2y) 2 2 ^ ^ ------------ — = eos x - sen y 2

^4 -[sen 5 x - s e n x -(se n 5 x -sen 3 x )] = cos2xsenx

cos2x -se n 2y = cos2x - sen2y ^ [s e n 3 x - s e n x ] = eos 2xserrx Ejemplo 2 4senxsen(60°+x)sen(60°-x) = sen3x transform ando a producto Resolución Agrupando convenientem ente los factores

^[2cos2xsenx] = cos2xsenx

2 sen x [2 se n (6 0 °+ x )se n (6 0 °-x )] = sen 3 x

=> cos2xserur = cos2xsenx 353

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Ejemplo 5

multiplicando por 2 y transform ando a su m a de

tan(x + 30°)tan(x - 30°) = ■~ 2c0s2x 1+ 2cos2x

senos „ a n , ., o 4 ji 3rt 2 x 4 se n -W = 2 s e n — eo s— 7 7 7

Resolución Expresando a senos y cosenos

sen it + s e n y ; (sen7t .= 0)

sen(x+30°) se n (x -3 0 °) _ l- 2 c o s 2 x cos(x + 30*) co s(x - 30°) 1+ 2 eos 2x

8 s^ n y

multiplicando x2 al num erador y denom inador

w -j

2sen(x + 30°)sen(x -30°) _ l- 2 c o s 2 x 2 cos(x + 30°) cos(x - 30°) 1+ 2 eos 2x Si A+B+C = 180° , se cumple „ A B C 1) senA+senB+senC = 4 e o s—e o s—e o s —

transformando a sum a o diferencia co s6 0 °-c o s2 x _ l- 2 c o s 2 x *2 cbs2x + cos60° l + 2cos2x |- c o s 2 x

A B C . 2) cosA+cosB+cosC = 4 s e n y s e n —se n —+ 1

j_ 2cos2x

Demostración de (1)

cos2x + I ' 1+ 2cos2jr 2 l-2 c o s 2 x l+ 2 c o s2 x

De la condición A +B+C = 180°, se tiene

l- 2 c o s 2 x l+ 2 c o s2 x

A 1---B C --1--- = 90° 2

2

2

aplicando propiedad de ángulos cuya sum a es 90°

Ejemplo 6

A+B C s e n ------- = e o s— 2 2 A+ B e o s------- = sen — 2 2

Demuestre que c o s ^ y jc o s ^ y jc o s ^ y j = ( ¿ )

c

Resolución Designando W al 1er. m iem bro de la igualdad y

transformando el 1er m iem bro

multiplicando por 2sei^yj „ i t ... 2 s e n -.W 7

„ «n n 2n 3n = 2 s e n - c o s - c o s — e o s— 7 7 7 7

.

_ „ A B C senA + senB + senC = 4 eo s—e o s—eos — -------- ------e- —' 2 2 2

„ . Ti. . . „ 2rt 2n 3n 2 x 2 s e n -W = 2 sen — e o s— eos — 7 7 7 7

2sen(

. n„, 4 se n -W 7

„ C f'A -B ) „ C C „ A B C 2cosyCos - y - + 2sen-y e o s - = 4 c o s-e o s - eos -

354

=

4n 3n s e n — eos — 7 7

]C0S(

] +2sen f cos f = 4 eos | c°s 5 eos |

C A P ÍTU L O V

Identidades trigonom étricas

Factorizando 2 eos — se tiene „ A B C , A - B 'i C 2 eos — C O S I - y - | + s e n 2 = 4 cos—eo s—eo s— 2 2 2 2

Si A+B+C = 180°, se cumple 3) sen2A+sen2B+sen2C = 4senAsenBsenC 4)

cos2A+cos2B+cos2C = - 4cosAcosBcosC -1

„ , ; C f A+B R eem plazando s e n — por eos —— A

.A-B'i ÍA +B 2 eos — cos| 2 l+ cosl 2

B C

= 4cos—eos—eos — 2 2 2

2

„ A B . A B C 2 e o s— 2 eos —e o s — =4cos —eos —e o s—

2

2

2

2

2

aplicando propiedad de 1sen(A + B) = sen C ángulos cuya sum a es 180°J cos(A + B) = -c o s C

2

„ A B C . A B C 4 c o s —e o s —e o s —= 4cos —eo s—eos —

2

2

2

2

2

Dem ostración de (3) En la condición tenem os A+B+C=180°

transform ando el ler. m iem bro

2

sen2A+sen2B + sen 2C = 4 sen A sen B senC

esto es lo qu e se buscaba demostrar.

2sen(A+B)cos(A-B)+ 2senCcosC=4senAsenBsertC

Dem ostración d e (2) Luego

2senCcos(A -B)+ 2senCcosC= 4senAsenBsenC 2senC [cos(A -B)+ cosC 1= 4senAsenBsenC

cosA+cosB + co s£ = 4 s e n ^ s e r y s e r y + 1

2senC[cos(A - B) - cos(A + B)1 = 4 sen AsenBsenC 2cosí

Ico sí ——- 1 +1 - 2senJ —= 4sen ^ s e n ? sen ^ + 1

{

2 J

(

2 J

2

2

2

2

2 se n C( - 2 sen A sen(-B ) ] = 4 sen AsenBsenC 4senAsenBsenC=4senAsenBsenC

„ C f A -B 'i 0 ,C , . A B C . 2sen—eos ------ -2 sen —+ l = 4sen—sen—sen —+ 12 1 2 1 2 2 2 2 , . A B C , + l = 4sen—s e n -s e n —+ 1

2sen —

2

2

2

2

. A B C , ,2sen— c r eos( —-— A-B'i -eos1—+— + l, = 4sen— sen—sen —+ 1 2L

l

2 J

2

{ 2 JJ

Se d e ja p a ra el le c to r la d e m o stra c ió n d el teorem a (4).

2

2

Ejemplo 1 Calcule la sum a de los senos de una serie de cucos en progresión aritmética, tal com o se presenta S=seruc+sen(x+r)+sen(x+2r)+ ... + sen [x + (n - l)r]

„ A ( B 2sen — -2 sen y sen - 2

, A B C , + 1^4 sen—sen —sen —+ 1 2

2

2

Resolución Multiplicando por 2 se n ^ a am bos m iem bros de

. 4

A B C . . A B C , s e n —sen - s e n —+1 = 4 se n —sen - sen —+ 1

2

2

2

2

2

2

la expresión propuesta, donde observam os que r es la razón del ángulo.

355

Lumbreras Editores

T rigonom etría

2sery S = 2senxsen^+2sen(x+r)sen^+2sen(x+2r) sen ^+ ... +2sen[x+(n- l)r]sen^ com o sabem os cada doble producto de senos ta m b ié n n o s r e p r e s e n ta u n a d ife re n c ia d e cosenos, es decir 2 s e n x s e n - = cos x - - |- c o s 2 2 H

j

Resolución Multiplicando por 2sen ^ a am bos miembros de la expresión propuesta, Sonde observam os que r es la razón del ángulo. r r ’ r 2 s e n -S = 2 c o s x se n -+ 2 c o s(x + r)se n - + 2 2 2 2cos(x + 2 r)sen ^+ ... + 2 c o s [ x + ( n - l)r]se n ^ com o sabem os cada doble producto d e coseno por seno nos representa una diferencia de senos, es decir

2 sen (x + r) s e n ^ = eos í x > y I - e o s ( x ^ y 2 c o s x s e n - = sen f x y - I - sen x--j~ 2 \X 2 ) { 2 2 sen (x + 2r) sen - = eos I x ^ y

- eos I x ^ y j

2co s(x + r ) s e n - = se n j^ x > -'y j - s e n 2co s(x + 2 r)sen ^ = senj x + y |- s e n

2 sen (x + (n - l)r) sen - = 2 r ri r eos x + p f í ^ í y - - e o s x + ( 2 n - l ) L 2J sum ando m iem bro a miembro; o b tenerlos 2 s e n -S = cosí x - -

2

l

2

- eos x + ( 2 n - 1)^

(2n - ljr 2 cos[(x + ( n - l) r ] s e n - = sen x + -— —— ¿ J 2 (2 n -3 )r -sen 2 sum ando m iem bro a m iem bro obtenem os ( 2 n - l)r -sen| x —— 2 s e n -S = sen x + 2 transform ando a producto el segundo m iembro

transform ando a producto el segundo m iem bro (n -i)r 2 se n ~ S = - 2 s e n x + 2

SCn(-?—■ )-¿sen x + /. S = -----* r sen2

( n - l)r

Ejemplo 2 Calcule la sum a de los cosenos de una serie de n a rc o s e n progresión aritm ética, tal co m o se presenta en S = co sx + co s(x + r)+ co s(x + 2 r)+ ... + cos[x+ (n - l)r]

356

^ Ísen -S = ,2fcos x + 2

S=

(n -l)r

sen-

nr sen I — .. -1.2- eos x + ( n - l)r r sen2

Observador! Para simplificar la notación de una suma de n términos, introducimos ahora el símbolo X . La letra griega X (correspondiente a la S) se utiliza para indicar la “suma de”. Con dicho símbolo se utiliza una especie de subíndice que se suele denominar con K.

C A P ITU LO V

Identidades trigonom étricas

Por ejemplo 4 k=i

J V K=I

2°, es decir, n = 9 0, r =2 , P< = 2°, U< = 180°.

se lee “la suma de las x a la K-ésima potencia, con K=l,2,3,4”, es decir = x + x 2 + x 3 + jr"1

Así escribimos la sum atoria de senos y cosenos cuy o s á n g u lo s s a tis fa c e n u n a p ro g re sió n aritmética d e razón r en notación I ' n V c o s U + CK-Or] = cosx+cos(x+r)+cos(x+2r)+ ... + c o s [x + ( n -l)r ] La propiedad p ara la sum atoria de senos y cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética se presenta nr n sen — P<

3 jt

n

■

5n

1. L = e o s ------ -i-cos------- + c o s--------+ ..... 2n+l 2n+ l 2n+l 27t

4it

6rc

H. M =cos----- + cos— —+ c o s-------- + . 2n+l 2n+l 2n+ l Resolución (i) Completando la serie con el enésim o térm ino .

n 2n+l

3n 2n+l

5it 2n+l

L = eos— — + cos------ + cos------- +

Identificando al primer térm ino

(2n - l)n 2n + l

-hcos1--------—

K

L = J ^ g ^ = l

\

2o 5 6 0 ^ — ^ 2 n +l

2

Resolución (II) Com pletando la serie, con el enésim o térm ino 2n 4n 6n 2nn M = COS--------- + COS--------- + COS---------- + + COS2n+ 1 2n+l 2n+l 2n + l análogo d e la a n te rio r serie, la razón d e la 2n progresión del ángulo es TjjT+j 2nn ^

-+ 271 1 i 2 " 2n + l | eos 2 n + l 2 n + l 2n S 2 sen f l x l 2 2n +1J

sen

termino

( n , n 27i (2n - l)rt' sen -r» 2n-t-l 2n+l L = - - V? 2" H ' .cos 1 2n sen 2 2n + l nn „ nn nn sen 2 se n ----- eos2n +1 nn 2n+1 2n+1 -- - 1.eos-----L= n 2n+l sen2sen2n+l 2n+l

2n

senj M=

, último

(2n - l)n , y razón de la progresión del 2n + l 2n ángulo , entonces 2n+l

2

M=

nn ) ú n ic o s !

nn+n) 2n+l

J

senl 2 n + í) 2sen

M= -

nn ) ( nn + n cosf 2n+l 2n + l 7t 2sen 2n+l

senn + sen M= 2sen

n 2 n + lj _

í 2n +1 )

2n+l 2sen

2n + l

Finalmente quedan com o propiedad (2 K -l)n n 3n 5n 7n ( 2 n - l) n 1 eos--------— = e o s -------+ c o s — — + c o s------- + co s-------- + ... + COS------------= 2n + l 2 n + l 2 n + l 2 n + l 2n + l 2 n + l 2 K=l

2Kn 2n + 1

2ti 2n+l

4n 2n+l

6n 2n+l

8n

eos------= eos------- + cos---- : + eos-—— + eos ——- + ...+ cos-

358

2n+l

2nn 2n+l

Identidades trigonom étricas

C A P ITU LO V

Veamos algunos casos particulares n 1 eos- = Para n = l ^ ? 2Tí 1 eo s---= - 3

2 3?7

5 4 ti

2

5

5

7t

2

3rc

5i

I

„

eos - + eos — + eos — = 7 2rt

Para n = 3

477

6 71

Ejemplo 3 Calcule el valor de

1

e o s— + e o s — = — ,

271

1 '

e o s - + e o s ---= 5 2 71

,

.-.T =

4T = -

71

Para n= 2

„ „

entonces 4T = l+ c o s — + co s— + cos — 7 7 7

7 4rr

7 6rt

2

7

2

2 2 77

2 77

2 4 71

2 3 71

K = sen —+ sen — + sen — + sen — 1

eos — + eos —- + eos — = - 7

-

7

Ejemplo 1

Resolución Multiplicando por 2

23 k 71 , 2n Calcule D =cos —+ cos - + cos‘ — 7 / y

2K = 2sen2- + 2sen‘

Resolución Multiplicando por 2

,

, 277, 4 ti , 6tc 2D = l + co s— + 1+ COS— + l + cos — 7

(

7

2 ti

7

4i t

6n

2D = 3+ e o s — -+COS— + c o s— IV 7 7 7=» 2D _-3+(-l/2) D = 5/4

Calcule el valor d e T = c o s ^ . c o s a c o s 7 7 7 . Resolución Multiplicamos por 2 y transformando a sum a de cosenos: 2T

=

2T

=

4T

=

Tí 377 2 ti 2c o s — eo s — c o s 7 7 7 5 77 — +

471

,

6n

1-cos— 9

,

1-cos

. f 277 477 677 877^ 2K = 4 - eos — + cos— + cos — + cos— ( 9 9 9 9 J Por propiedad, para n=4 se tiene que

Sn

9 rn

1

2n 477 677 877 1 eos— + cos — + cos-— + cos— = — 9 9 9 9 2 Reemplazamos en (1)

+

11 + eos

Ejemplo 4 Halle el valor de R = -se n 5 0 ° + sen70° -se n lO ° +

R = - sen 50° + sen 70° - sen 10o + sen 30°

7

/ix = e o s — 671 + eo s — 4T 7 7

, K= ? 4

Resolución

71

77

eo s — c o s 7 7 „ 5X7 77 2n 2c o s — , c o s - + 2 co s — 7 7 7 eos

,

2K = 4 - í - - ' | = 4 + - = { 2) 2 2

Ejemplo 2

'

2 77

1-cos— 1-cos— 9 9

2D = 2cos2— + 2 cos2— + 2cos2— 7 7 7

_

4 77

+ 2sen2— + 2sen2— y9 9

9

R = eos 140° + eos 20° + eos 100° + eos 60° _

777

77

5 77

3 77

R = cos — + c o s - + c o s — ^^+cos — 9 9 9 9 2 77

7

R= -

359

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Ejemplo 5 2n 4n 4it 6 ji 2tc 6tt Calcule el valor de R = eos— eos — + eos — eo s— + co s— e o s— 7 7 7 7 7 7 Resolución Multiplicando por 2 y transformando cada producto a sum a de coseno» oc> „ 4n277 . 6it 4i n fe 2n 2R =2cos— eos — + 2cos— eo s— + 2 c o s— eo s— 7 7 7 7 7 7 „„ 6n 2ir IOtt 2rt 8n 4 tu « jt lOn 2R = c o s— + eo s— + eo s-— + eo s— + e o s— + e o s— se cam biarán e o s— y eos — 7 7 7 7 7 7 7 7 2tt 4?t 6n 2R = cos— + eos— + eos— + cos 7t + -

{

.7 - c o s í;

2tc 4n 6n ( 2R=eos — + eos — + eo s----7 T 7 1 "2 1 entonces 2R = -1 => R = - ;

271

3 tc )

+cos n + — + eos— 7 )

-C O S y

-C O S y

71 371 5 ir C O S - + COS---- + COS-----

7

7 í

7

"

2

Ejemplo 6 Calcule el valor de H = s e n - s e n — sen — 7 7 7 Resolución Como s e n - > 0 s e n — > 0 y s e n — > 0 = > H > 0 7 7 3 7 Elevando al cuadrado y degradando , .2 H

9 77 2 2n o = s e n - - s e n — sen — 7 7 7 4n í 1 - e o s— 1 - eos H2 i -----------7 —

. 6n 1 - e o s— U =

4 7 tY .

6n

8H2=[ 1 - e o s — 1 1 - e o s5— S 1 - e o s— 7 1 7-

efectuando , 2 77 477 677 277 4?7 277 677 477 677 277 477 677 8 H 2= l - C O S y - C O S y - C O S y + C O S y C O S y + C O S y C O S y + C O S y C O S y - C O S y C C S y C O S y -C O S y

277

477

277

677

477

677

77

f

277

-eo s" 377

277 477 677 8H2= 1 - eo s— + eo s— + cos— + e o s— eo s— + eo s— eos — + e o s— e o s—— e o s—e o s— eos — 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 V

^

"2

5

(este valor se calculó en el ejem plo anterior) 8H2=1 + :

1

1

2 2 8

7' .. V7 U2 u V< H = — => H = y

360

„

y¡7

v H = -y

ti

n

pero com o H >0

u

s/T

77

277

377

V?

H= y - v sen ^sen y s e n y = y

[Problemas Resueltos Problema1

a partir de co sx + cos(120°-x) + cos(120°+x) = 0

Simplifique las expresiones siguientes i) se n x + sen (x -1 2 0 °)+ sen (x + 1 2 0 °) ii) c o s x + c o s (x - 120°)+cos(x+120°)

d e (I) cosx +cos(240°+x) +cos(240°-x) = 0 fó r lo que concluim os tam bién

.

fcosx + cos(240°+x) + cos(240°-x) = 0] ... (2) v ------------- -------- -------- -------------J A continuación, observe los siguientes ejemplos M = cos20°+ cos260° + cos220°

R esolución De (i) transform ando a producto P = se n x + sen(x-120°)+sen(x+120°) 2senxcos(-120°) P = s e n x + 2 se n x cosl20°

M = cos20°+cos(240°+200)+cos(240°-200) .•. M = 0 N = cos50°+

cos290°

+

e o s190°

2 N = cos50°+ cos(240°+ 50°)+cos(240°-50°) N= 0

P = sen x -sen x p =0 De (ii) transform ando a producto

También podemos obtener el equivalente de la siguiente

E = co sx + co s(x -1 2 0 °)+ co s(x + 120°) 2cosxcos(-l20°)

expresiónR = cos2x + co s2(120°-x)+cos2(120°+x)

E= co sx + 2 c o sx .cosl20°

E = cosx-cosx

Resolución A partir de la expresión R, por 2 2R = 2cosJx + 2cos2( 120°-x)+ 2cos2( 120°+x)

2 E= 0

De este prob em a, com o cos(x-l 20°)=cos( 120°-x); podem os concluir que_____ _________ jcosx + cos(120°-x) + eos (x + 120°) = 0j ... (1) _ _y___________ ís e n x + s e n (x - 120°)+sen(x+120°)=0 Son ejem plos de esta conclusión A = eos 20°+ eos 100° + eos 140°

Si utilizamos la fórmula de degradación 2cos2a = 1+ c o s 2 a , se obtiene 2R= 1+ cos2 x + 1+cos(240°-2x)+1 +cos(24Q°+2x) Efectuando 2R = 3+cos2x+cos(240° - 2x)+cos(240°+2x) ' l Có) L .. reduciendo R = 2

A = cos20°+cos(l20°-20°)+ cos( 120°+20°) B = co sl°+ cosí 19° + eos 121°

A=0

B = cosl°+cos(1200- l 0)+cos(120°+1°)

B= 0

dado este resultado notam os que se cum ple la siguiente igualdad cos*23x + c o s2(120°+x)+cos2(120° - x ) = :

C = cos2x+cos(120D-2x)+cos(120°+2x) ,\C = 0

transform ando el primer m iembro, utilizando la

120°- x + 240° +x = 360°

identidad cos2a = 1 - se n 2a , obtenem os l- s e n 2x + l- s e n 2(120°+x) + l- s e n 2(120°-x) = ^ agrupando ^ 3 - (sen2x + se n 2( 120° + x )+ sen2( 120°-x)) = ^

= *cos(120°-x) = cos(240°+x)

de donde obtenem os

pero com o recordará, si a + P = 360° =» eos a = eos p , luego com o

120° +x + 2 4 0 °-x = 360° =¡>cos(120°+x) = cos(240°-x)

U

sen 2x + s e n 2( 12 0°+ x)+ sen2(l 20°-x)

3 2.

...(4)

361

Lumbreras Editores

T rigonom etría

E jem plos A = sen 210°+sen2130o+ se n 2110°

:.A =

A = sen 210 °+ sen 2( 120° + 1 0o) + s e n 2( 12 0 °-l 0o) B = cos240°+ cos21600+ cos280° B=

c o s 24

0 ° + c o s 2( 1 20°+ 40°)+ c o s2(l

20°-40°)

Queda para usted lector el com probar que De (1) se obtiene

co s 2jr+ c o s2(2 4 0 ° + x )+ c o s2(240°-jr) = -

y d e (4) se obtiene sen 2jr+sen2(2 4 0 ° + x )+ se n 2(240°-x) =

-3

... (5)

... ( 6)

seguidam ente teniendo en cuenta la degradación 4cos3a = co s3 a + 3 e o s a obtendrem os el equivalente d e R = c o s 3jr+cos 3( l 2 0 °- x ) + c o s 3(120°+x) R esolución se sabe que

4cos x

= cosSx + 3cosx

4cos3(120°-x) = Cos(360°-3x)+3cos(120°-x)

(+ )

4cos3(1200+ x)= cos(360°+ 3x)+ 3cos(120°+ x) agrupando 4 ( c o s 3x + eos 3(12 0 °-x )+ e o s 3(120° + x ) ) = co s3 x + co s(3 6 0 °-3 x )+ co s(3 6 0 °+ 3 x ) R

+ 3 (co sx + c o s(1 2 0 0-x)-t-cos(120°+ x)) 6

puesto que cos(360°-3x) = co s3 x

y

=> 4R = 3cos3x + 3(0)

...d e ( l)

co s(3 6 0 °+ 3 x ) = cos3x 3 •• R = t COs 3x

dado este resultado planteamos la siguiente identidad ccs3x + c c ^ l 20p-x)+oos 3( 120P+Jf) = - c o s 3 x 4 Otra forma de llegar a este resultado e s utilizando una identidad algebraica. S ia + b + c = 0 => a 3+ b 3+ c 3 = 3abc co m o c o sx + c o s ( 120 ° - x ) + c o s( 120 ° + x ) = 0 =* cos 3x + c o s 3(1 2 0 °-x )+ co s 3(1 2 0 °+ x ) = 3 co sx co s( 12 0 °-x )co s( 120°+ x ) pero c o s ( 120°-x ) = -c o s (6 0 °+ x ) ... (revise ángulos suplementarios) y c o s ( 120 °+ x ) = -c o s(6 0 °-x ) => co s 3x + c o s 3( 12 0 °-x )+ c o s 3( l 20°+ x ) = 3 c o s x (-c o s(6 0 ° + x ))(-c o s(6 0 ° -x )) ■= 3cosx co s(6 0 °+ x )co s(6 0 °-x ) 3 = -4 c o s x c o s ( 6 0 ° + x ) c o s ( 6 0 ° - x ) 4 s---- -------------- -------------------- ' eos 3* o

finalmente cos 3x + c o s 3( 12 0 °-x )+ co s3( 120° + x ) = - c o s 3 x

362

-(7 )

Identidades trigonométricas

C A P ÍTU LO V

Ejemplos A = eos310o+ eos3110°+eos3130° A = cos3l 0°+ cos3(l 20°-l 10°)+ co s3(l 20°+10°)

:.k

A = - cos3(10°) = - cos30° = - í ^ .

. 4

'4

B=

c o s 32

B=

c o s 32 0 ° +

4

^2J

3&

=

0 ° + c o s 3 1 0 0 ° + c o s 31 4 0 °

cos3( 120°-20°) + cos3( 120° + 2 0 ° )

B = 7 cos3(20°) = ~ cos60° 4 4

, s - ¡ 412

Queda para el lector la verificación de sen 3 a + se n 3(a -1 2 0 ° ) + se n 3( a +120° ) = —- sen 3 a

... ( 8)

sugerencia, utilice 4 sen 3 a = 3 s e n a - se n 3 a

Ejemplo A = sen 310°-sen3l 10°+sen3130° A = sen 310o+ s e n 3(10o-120o) + s e n 3(10°+120o) ; - s e n 3 110° = se n 3(-110°)

A = --se 'n 3 (1 0 °) = ~ s e n 3 0 ° 4

=

4

•••* = - §

4^2;

o

B = sen 32 0 °-sen 3100o+ sen 3140° B = sen 320o+ s e n 3(20o-120o) + s e n 3(20°+120°) ; - s e n 3 100° = se n 3(-100°) B = - - sen3(20°j = ~ 7 s e n 6 0 ° 4 4

= -7 4

s

/.B = -

2

3V3

En el tem a d e arcos múltiplos se com probó 4 3 + 4 c o s 2 a + co s4 a eos a = --------------------------

8

c o s 4( 120 ° - a ) =

, . ; d e igual forma:

3 + 4 cos(240° - 2 a ) + cos(480° - 4 a )

8

(+ )

3 + 4 cos(240°+ 2a) + co s(4 8 0 °+ 4 a ) 8 sum ando m iem bro obtenem os co s 4( 120 ° + a ) =

cos4a + eos4(120° +a) + eos4(120° -a ) = i 9 + 4(cos 2a + cos(240° -2a) + cos(240° +2a) + eos 4a + cos(480° -4a) + cos(480i°+ 4 a )] 8

• 8[cos4 a + eos4(120° +a) + eos4(120° - a ) ] = 9 + eos 4a + cos(480°-4a) + cos(480°+4a) 8[cos4 a

+

eos4(120° +a) + eos4(12 0 °-a )]=

9 +

eos 4a

+

cos(120°-4a) + cos(120°+4a)

363

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Finalmente eos4 a + eos4(120° + a) + eos4(120° - a ) = - ... O ) 8 dejam os para el lector la verificación d e se n 4 a + se n 4(120° + a) + sen4(120° - a ) = -

8

... (10)

. . . . 4 3 - 4 c o s 2 a + c o s4 a sugerencia, utilice sen a = -----------— ----------o

3 1 tam bién sen4a + cos4a = - + - e o s 4 a 4 4

*

Ejemplo A = sen410°+sen450°+sen470° A = sen410o+ sen 4130o+ se n 4llÓ° A = sen410°+sen4(120o+10o)+ se n 4(120o-10°) A= — 8

*

El lector d ebe entender que la m atem ática es única, por lo que podem os utilizar y com binar todos nuestros conocimientos. Un ejem plo de esta com binación es utilizar una identidad algebraica y una trigonométrica, para ello sigam os con el desarrollo de los ejemplos siguientes Si . a+b+c = 0 tam bién a + b + c = 0 =»

f a2 + b2 + c2 jf a3+b3+ c31 k 3 J l 2

as+b5+ c5 5

...0)

f a 2+b2 + c2l f a5+b5+c5'j f a 7+b7+c7l l 2 J l 5 ... J " l 7 J ... (II)

utilizando (I), calculem os la sum atoria de las quintas de los coseno para ángulos x, 1 2 0 °-x co m o cosx+cos(120°-x)+cos(120°+x) = 0 ( eo s2x + cos2(l 2 0 °-x ) + cos2(l 20°+x) 'j l 2 J de 3:. (3 1 .

cos3x + c o ^ (1 2 0 P -x )+ c o í (120P + x) 3 _______________________ :__________ l de (7): I ic o s 3 x

eo s5 x + cos5(120°+x)+ cos5(l 20° - x ) eos5x + cos5(l 20° - x ) + eos5(120°+x)

3f 1 = - -co s3 x 4 4

d e d onde deducim os co ss x + cos5(l 20°- x ) + cos5(l 20° +x) =

364

eos3x ¡ ...(11)

y 120°+x

CAPÍTULO V

Identidades trigonom étricas

Ejemplo B = co s’24°+ cos’96°+ eos0144° B= B=

cos324°+ cos5( 120°-24°)+ cos5( 120°+ 24°)

16

cos3(24°) = — cos72° = sen l8 ° 16 16

; senl8° =

4

si utilizamos la identidad (11), ahora calculem os la sum a d e las sétimas de los cosenos cuyos ángulos son x, 120°-x, 120°+ x com o cosjr+cos(120°-x)+cos(120°+jr) = 0 ( cos2x + cos2(1 20°- x )+ cos2(120°+ x ) ) 2

( eos5* + eos5(120°-* )+ c o i (t20°+x )

r l

5

de (3): |

eos’ * + cos7( I 2 0 ° - * )+ cos7(120°+Ar)

de (II): ^cos3x

eos7 x + cos7(l 20° - x ) + cos7(120° + x

)

--------- ---------de donde concluim os

)

J---------------------------- 7

3(3)

,

7 --í l i s j ™ 3' CO cos7jc+cos7(120°-x)+ cos7(1200+jr)= — cos3x 64

Ejemplos Aplicando la identidad (12), calcule el valor de • A = c c s710°+cos7l 10°+ cos7130°

•

... 0 2 )

C = eos75o - e o s 7 65°- s e n 735° Se sabe que cos65° = - cosí 15°

A = eos710o+ eos7(120o-10o) + cos7( 120°+10o)

A = g c o■cos3 s3(10°) = | c o s 3 0 ° = g [ ^ .-.A =

Además cos55° = - eos 125° Luego en la expresión

63%/3 128

B = cos720° -

sen35° = cos55°

C = eos7 5o - ( - eos 115o )! - ( - eos 125° )7 cos780°

- cos;40°

Efectuando C = eos7 5o + eos7115° + eos7125°

B=

cos72 0 °+ (- cos80°)7+ (- cos40°)7

B=

cos720°+ cos7100°+ cos7140°

B=

C = eos75o + eos7(120° - 5o) + eos7(120° + 5)

cos720°+ coS7( 120°-20°)+ cos7( 120°+20°)

B = — cos3(20°) = g cos60° = 64 64 64 B=

y

C = ^ eos 3(5°) = — eos 15o 64 64 Pero com o eos 15°=

76 + V2

63 128

365

Lumbreras Editores

Problema 2 sen2x+sen3x+sen4x D eterm ine el valor de L = cos2x+cos3x+cos4x p a ra x = 5° R e so lu c ió n

Transform ando a producto convenientem ente al num erador y denominador, respectivamente

T rigonom etría

Para este problema tam bién podem os aplicar otro m étodo de resolución, pero para ello es necesario que el lector recuerde la siguiente identidad se n 2a - s e n 2p = se n (a + 3 ) s e n ( a - p ) ... (1) Otro m étodo * A partir de la expresión K = sen2x - sen22x + se n 23x

2sen3xcosx

^ _ sen3x+sen4x+sen2x _ sen3x(\j±2ca§x) cos3x+ cos4x+cos2x cos3x£bfc2cxSsx) 2cos3xcosx . sen3x ■ L = -------- = tan3x cos3x sustituyendo el valor de x = 5o

K= sen(x-2x)sen(x+ 2x)+ sen23x K= sen(-x)sen3x+ sen 23x factorizando senSx obtenem os K = sen3x(sen3x+sen(-x)) de donde K = sen3x(sen3x - senx)

.\L = tan l5 ° = 2 -v /3 K = sen3x(2cos2xsenx)

Problema 3 Halle el valor máximo de H = sen(x - 40°) - cosx R e so lu c ió n

C a m b ia n d o a co sx por se n (9 0 ° - x ) y transform ando a producto H = sen(x-40°)-sen(90°-x) = 2cos25°sen(x-65°) sab em o s que -l< s e n (x -6 5 ° )< 1 en tonces el valor máximo de sen(x - 65°) es 1 luego, e n H . Hmáximo = 2cOs25°

Problema 4 Transforme a producto K = sen2x - sen22x + sen23x R e so lu c ió n

M u ltip lic an d o p o r 2 a a m b o s m ie m b ro s y degradando 2K = 2sen2x - 2sen22x + 2sen23x 1 - cos2x

1 - cos4x

2K = cos4x - cos2x + 2sen23x -2sen3xsenx

Finalmente K = 2senxcos2xsen3x

Problemas Reduzca T = sen2(x-120°)+sen2x + s e n 2(x+120°) R e so lu c ió n

M u ltiplican d o p o r 2 a a m b o s m ie m b ro s y degradando 2T = 2sen2(x - 120°)+2sen2x + 2 sen 2(x + 120°) 2T = 1 - cos(2x -240°)+1 - cos2x +1 - cos(2x+240°) 2T = 3 - cos(2x -240°) - cos2x - cos(2x+240°) ordenando los términos 2T = 3 - cos2x - (cos(2x+240°)+cos(2x-240°)) 2T = 3 - cos2x - (2cos2xcos240°) ... (I) Pbr reducción al prim er cuadrante 1 cos240° — ~2 Reem plazando en la ecuación (1) 1' 2T = 3 - cos2x - 2cos2x í -

factor com ún 2sen3x

2T = 3 - cos2x + (cos2x)

^ K = jfsen 3 x (s e n 3 x - senx) 2cos2x.serw K = 2senx.cos2x.sen3x

de donde 2T = 3

366

C A P ÍTU L O V

____________Identidades trigonom étricas

Problema 6 Calcule el valor del ángulo x si 2 co s2 0 °-se n 5 0 ° ; 0°/3) y eo s 18° = 0,95. Calcule p + q . B

x = 60°

Problema 7 Calcule el valor de K = (cos6.v+cos2x)(cos9x+cos7x); para x = ~

Resolución Transfornriando a producto cada térm ino „ „ f6x-+2xl (6x-2x) (9x+7x) J$ x-7 x) K = 2 c o s (_ jc o s [— }2cos[— Jcos}— ] K=4cos4xcos2xcos8xcosx ordenando y multiplicando por serur senxK =2 »2serrxcos_xcos2 x;os4 jcos8 x sen2x

(a)

Resolución

Aplicando resolución de triángulos rectángulos B

senxK =2sen2xcos2xcos4xcos8x sen4x m ultiplicando por 2 2senxK = 2sen4xcos4xcos8x sen&x multiplicando por 2 . 4senxK = 2sen8xcos8x =»4senx(K) = se n l6 x senI6x de d onde se obtiene k

=H 2 !Ü 4 sen x

... (i)

— reos 12° (b )

Figura 5 J 8

367

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Luego tenem os p = r(cos48° - cos78°) nos piden

q = r(cos 12o - cos42°)

p + q = r(cos480 -co s7 8 °+ c o sl2 0 -c o s4 2 °) transformando a producto convenientem ente p + q = r ( cos48° - cos42°+ cos!2° —cos78° ) -2sen45°sen3°

-2sen45°sen(-33°)

p + q = r(-7 2 sen 3 °+ 7 2 se n 3 3 °) factorizando p + q = 7 2 r(sen 3 3 °-sen 3 °)’ transform ando a producto

Problema 10

p + q = 72r (2cosl8°senl5°) reem plazando los valores num éricos

Si en un triángulo acutángulo ABC, se cum ple sen2A+sen2B+sen2C = 2senA.senB Calcule la m edida del ángulo C.

p + q = 72(4+473)2(0,95)^ ^ ~ ^

'

.-.p+q = 7,6

Problema 9 Siendo A, B y C, ángulos internos d e un triángulo ABC, simplifique senB + senC T „ B C A T = 2cos—.eo s—.esc— 2 2 2 sen A Resolución Transformando a producto

„

■_

=>senC = |

B

C 0

fB+C4

2

2

i

2 co s—.eo s— 2sen

2

(B-C'l

com o el triángulo ABC es acutángulo CF =

3 eos 6 a + 30 32

Finalm ente cos6a + c o s6(120° + a ) + c o s6(l 20° - a ) =

S— —30

32

375

Trigonometría

Lumbreras Editores

E jercicios I.

Transforme cada sum a o diferencia d e los ejercicios del 1 al 10, en producto.

II. Transforme cada producto de los ejercicios del 11 al 20 en sum a o diferencias.

1.

sen9x + sen*

2.

co s7 °-co s5 1 °

3.

sen 14*- s e n 10*

13.

-2sen27°senl°

jé 4.

ii n eo s— + e o s 16 8

14.

eos 4 a sen 5 a

11.

5.

12.

15.

sen(50°+*) + sen(*+ 20°)

6.

cos(45° - 3*)+cos(15°+3*)

7.

71 í 7t „ 'i sen — sen — 2* 7 [7 j

8.

16.

n 4it s e n —e o s— 9 9

17.

2cos(f+0)cos(^-e)

18.

cos(it + 0 $ e n 0 i - l )

19.

9 1 se n -se n 4 4

c o s ll° - s e n 8 1 °

9.

sen(30°+*)+cos*

10.

cos(10°+2*) - senfi*

20.

R espuestas 1.

2sen5*cos4*

8.

-2 se n l0 °se n l°

2.

2sen29°sen22°

9.

V3cos(x - 30°)

1 o 1 . 15. - c o s 2 x - 1 2

5n 9

73 4

16. - s e n —----- — 3.

2cosl2*sen2*

10. 2cos(40°+ 2*)sen (40°-4*)

4.

_ 3n 7t 2cos—- e o s — 32 32

11. sen9* + sen5x

5.

2sen(350+*)cosl50

12.

-cosl8°+^cos(18°-2x) 2 2

6.

V 3cos(15°-3x)

13. cos26° - cos28°

7.

2sen*cos^ y-*j

14,

376

-1s e n 9«a + -1s e n a

17. - 1 - se n 20 18. ~ - s e n 2

2

1 0 1 | 19. - c o s 2 - - c o s 2 2 1 20. - + cos2*

2

P

I.

j

roblemas propuestos, Si la siguiente igualdad 2

2

6.

.2

Dado sen0cos0 =

---------- + ----------- = p + q c o r x 1+cosx s e c x - 1 calcule W =

verifica un a identidad, halle p+ q. A) 1

B) 2

Dé igualm ente el valor de a + b + c cum ple

B) 1

7 B> 5

A)

tál que se

3serur+2cosx . _ sec2x -3cos3x-2sen4x+5(senx+cosx) a+btan2x+ctanx

A) -1 D) 3

•sen40 + eos40 sen 60 + cos60

C) 3 E) 3csc — O

D) 4

1

7 C )8

« I 7.

Calcule el valor d e sec4x - sec2x a partir d e tan r - tan2x = 1

C) 2 E) 5

A) 1

B) -1

C )0

Simplifique la expresión siguiente D)

3 - sec2x - csc2x tan4x + cot2x si x e IVC M=

8. A) -s e n x D) -c s c x

B) cosx

C) secx E )-ta n x

B) 1

D)f 1+ sent „ Si se t i e n e -------— = ¿ cost halle el valor de cosf

Si 0 s IIC, reduzca la expresión

A) B) C) D) E)

C) 2 E) 3

E) - 2

E = tan0

Halle a + b + c de la siguiente identidad senxcosx = asenx+ bcosx+ c senx+ cosx - 1

« i

1

9.

ícscOT cot 0 . „ j sec0 + tan0 - + cot0. cot0 V se c 0 -ta n 0 Vc s c 0 -

sec0 + csc0 csc0 -sec0 se c0 -csc 0 se c0 + tan 0 csc0 + cot0

S ie n d o 0 u n án g u lo ag u d o , se tie n e la siguiente igualdad 1 -C O S 0

sen0 + = (a~ - a + (a~2 - 1)1' 2) ' 1+ a sen0cos0 Halle a en función d e 0

CQ

4 °> 5

O

T5

f—s

a)

« I 3 E )8

A )sen 0 D) cot 0

B) eos 0

C) tan 0 E) sec 0

377

Lumbreras Editores

T rigonom etría

10. Si se cum ple sen 30 - eos 5 0 = 0

14. Halle el valor de cot0 - tan0 si se cum ple

obtenga w = ta n '° 0 + 2 tan 8 0 + tan 6 0 1 A) ^

1 B) 2

D) 2 11.

sec 40 + esc 4 0 - 2 se c 2 0 - 2 csc 2 0 = 2 %

C)1

A) V2

E) 4

C) ±\¡2

B) -y¡2

D) 1-V2

Ccilcule tanx +cotx si senx +cosx = se n x cosx

E) ±VV6 - 2

15. Siendo asenx + bcosx = c A) - 1 + V2

B) -\~ y¡2

D) 2 + V2

c ) - 2 +V 2

ademáis, ( a + b + c ) ( a + b - c) = 2 ab

E) 2s¡2

a3 b3 halle el valor de la expresión ------ + ------senx cosx

12. De la figura adjunta, halle tanx. Datos: AB=2, BC=3, m/8). C)

7 2 -7 6 4

D) 17

í 7 6 -7 2 .

65. A) S

B) 2\¡2

D) 473 62.

56ji 3737t 45 ’ 180

E) 17

4

72 - 7 6 )

Calcule E = (tan3a - tan30)/tan30tan3a siendo tan20+ tah2a=3t£in20tan2a + 8tan6tana+ 3

C) 3^3 E) 573

B) 0

A) -1 D) 2

Si a + p + 0 = 0 , obtenga el valor d e P siendo

C)1

E)

72

P = cos2a + eos2P + eos20 - 2cosa eos p cos0 66. A) 1 D) 4 63.

B)

2

C) 3 E) 5

■ i d . f 5Jt+0) calcule P=cot —— •j + tan —- —

El gráfico muestra un triángulo ABC isósceles. Calcule R = tan] - + a |tan|

Si se verifica la igualdad 0 0 0 2csc - + 4 cot - = 7 tan 2 4 4

A) 21

H

D) 67.

B) 22

C) 11 E) 1CK/3+1

1073-1

Si tanxtany= -J2 -1 reduzca E = l+ ta n 2(x+ y).tan2(x-_y) ta n x | tany ) tan y tan x A) 1 D) 1/3

384

B) 2

0 1 /2

E) 1/4

C A P ITU L O V

Identidades trigonom étricas

68. Siendo C= cos8°sec363sec46° V=tan28°(24tan46°-tan36°) Calcule 7C+V A) 8 D) 13

B) 25,5

73. Se tienen x ,y x proporcionales a tan(9 + a ) ; tan(6 + P) ;tan(0+Y), respectivam ente. D eterm ine el valor de la expresión 'y+z' E= X+y ls e n 2(a ~ P ) + sen2( P l i ­ [x-yj ly~z I

C) 25 E) 24

sen2( y - a ) 69. Sabiendo que: a + p + 8 = ;t; co sa = cosPcos8 calcule el valor de E = sen (a - P)secasecf5 + ta n (a + p)

A) -1

B) 0

D) ±1

se

tie n e

que

Del 74 al 78 verifique cada u n a d e las siguientes

E) 2

identidades:

m r- x ]

Log;

; n im par

f| n 2- --xx l

tan (n + l) 5 + x cot ( n - l ) f - x sabiendo que x es ángulo agudo y adem ás se cum ple

A) tanj x + arc tan — B) tan| x - a r c t a n -

-sen x - eos

11571

=0 ; ne Z C)

A)

D> 1

388

3 j

3 B) 2

3 ,3 o — ó w 2 2 e)

4

a-b a+ b

D) ±tan| X-+Í

E) — - r a-b

V 3+4

E)1

» 4 ° ) ~2

C)

C A P ÍTU L O V

Identidades trigonom étricas

101.Halle el valor d e la siguiente expresión sen[ k jt- — tan (2k + l ) 5 _ í 2 6 1 6 co sí k r r + - cot ( 2 k - » í + f 2 6J l 6J donde k = 0 ; ± 1 ; ± 2 . . .

B) - S

* r D) -

O S

s

E) 2

102.Si se cum ple c o s a + sen 7 2 1 °< 0 s e n a - e o s 423° > 0 halle los valores de a , si a g

106.Calcule el valor de M=

tan l° (1 - t a n 2l°)(l - t a n 22°)(l - t a n 24°)

A) 1/6 D) 1/56

B) 1/58

107.Simplifique E = V (l-ta n 23)(cot23 - 1 ) A) 2cot6 D) 3senl2

B) tan6

1+sen Y=

(n ) U U

103.Halle el equivalente de tan^ y ] + tan|^ ^ j + t a n |^ j + ... (8 términos) cos^ y j + cosj^ ?y j + cosj^ ~ j+ ... (5 términos)

A) 1 .

B )ta n ^ j

C) E) senj^yj

D) -1 104.SÍ a + b = kn ; k e Z

calcule el valor d e M= ta n (a + m ) tan (b + n )-tan (a-n )tan (b -m ) A) 1 D) 0

B) -1

C) 1/2 E) 2

105. Simplifique P = 4(sen4A-sen4B+sen2B-sen2A)+cos4B-cos22A A) cos22B D) sec22A

B) -se n 22B

C) -ta n 22B E) tan22A

A) 2V2 D )3

l-s e n

ftc

)

3)i x

T +2

B) E)

C )se c6 E) -2cot6

108.SÍ 0 sen2b+ zsen3b= sen4b xsenc+ ysen2c + zse n 3 c= sen4c 392

“0 .5+V Í3 ’ 2

C)

L

D)

2

" B)

’

5+V13' 2

J E)

H

’ , 5 + V l3 \ 2 /

136.Exprese com o producto 1. 1- cos2 - cos4+cos6 A) 4cos3sen2cosl B) 4sen3cos2cosl C) - 4cds3sen2cosl D) - 4cos3sen2senl E) - 4cos3cos2cosl 11. sen 2 -sen 4 + sen 6

133.De la ecuación

A) 2/3

A)

A) 4sen4cos3secl B) sen4cos3secl C) sen4cos3cosl D) cos4cos3cosl E) sen4sen3cosl 137.1ndique el valor de (cosx+cosüx)(cos4x+cos6x) M= %/2 eos x eos 2x eos 5x Cuando x= — A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

C A P ITU L O V

Identidades trigonom étricas

138.Siendo cos4.r = - p exprese en térm inos de p lo siguiente: _ sen3x-sen5x-2senx 4 se n x A)

1+p /

C)

P- 1 2

D) 139.

B)

-0 + p )

E)

1- p 2P

1+P.

Exprese com o un monomio K = n/3 csc 20°-2

A) cos40° C) 4sen70° D) 3cos40° 140.

B) 4sen40° E) 4cos40°

I 4 3 .S1 CQS^X

P , obtenga eí valor de

tan x

en

térm inos d e p. i+ p A )T IÍ

1 -p B> T+p

O

i-p D) l + 2p

E)

1—2p 1+ p l-2 p l + 2p

144.En la siguiente igualdad sen(cot5)+sen(tan5) = 2senAcosB, determ ine el valor d e A/B. A) e s c 10 C) sec?0 D) se c2 0 + 1

B) csc80 E)seclO

145.Simplifique la siguiente expresión cos3A+sen5Asenx - Cos7A M= sen3A+cos5Asenx -sen 7 A

En la siguiente igualdad

sen(Ax) senx ¿cuál es el valor de A para q u e sea u n a identidad?

4(cos2v+cos6x)(cos6x+cos& x)=l +

A) 13 D) 16

B) 14 ,

C) 15 E) 17

B) cot5A

A) tan5A D) cot3A

C) tan3A E) sen5A

146.Determine el valor de E = 1+2senl6°+4cos23°sen7° A) 2

B) 3

C) 4

D) 4

141.Halle los valores de f=

sen5x+sen3x V * s ( - ;.Jt 2sehxcosx(cos2x - sen 2x) A) (-4 ; 0)—{—2 V2 }

20 2e

e

B) -1

D) 1

C) {-2V2 ; 0)

V0e R C) 0 E) 2

148.Sabiendo que tan40 = Ktan30; ( K * l ) calcule en térm inos de K la expresión: M= eos 20 + eos 40 + eos 60

,

142.Transforme a producto E = cos23° - sen 22° A) A) cos5°cos2° C) co s5 °cosl° D) sen 5 °co sl°

30

.

A = s e n — s e n1-- + C0S cos 4 4 2 A )-2

B) (-4 ; 0 )-(-|V 2 }

D) (-4 ; -2%/2> E ) -4 ;0 )-{ ^ }

147.Halle el mínimo valor de

B) cos5°cos3°

1

K-l-

B)

1 K+ l

C)

K+ l

2 E) sen 5 °sen l°

D)

K+ l

E)

K -1 393

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

149.Cakule la sum a del máximo y mínimo valor de la siguiente expresión:

153.En qué tipo de triángulo ABC se cum ple 'A 'j _ -senA 2 tañí 2 j senBsenC

W = sen^2x - ^ j s e n ^ ^ + 2x

AJO

B) \

o

A) B) C) B) E)

!

E )I 150.Determine el intervalo de M definido com o M = cos2xcosx ——eos x

A) cot|

n . 2n 3 ’T. 2 | B) '4 ’ 2

* ‘ -5 = 5

154.SÍ A+B+C = 7i , simplifique senAsec A/2 + (senB+senC)tan(A/2) L= senB - senC B -C 2 B -C C) cot 4 B+ C D) cot

2

paira todo x a

Rectángulo isósceles Rectángulo Isósceles Acutángulo Obtusángulo

B -C

B) cot

B+ C

E) cot

155.Dado x+ y+ z= n , ad em ás 4sen2x = cosy + co&z

« ‘4

=5

3+4cosx 5+4cosx ' 4 + 3cosx C) 4+5cosx 4 - 3cosx D) 5 + 4cosx

151.Si en un triángulo ABC se cum ple tanB =

A)

cos(B r .C). . senA + se n (C -B )

¿Cuál es la m edida del ángulo A? A) 45°

B) 60°

D) 90°

E) 105°

B)

3 - 4cosx 5+4cosx

E)

4 - 3cosx 4 - 5cosx

156.Determine el mínimo valor de _ 2A 2B 2^ R = s e n ' —+ sen —+ sen — 2 % 2 Si A,B y C son las m edidas d e los ángulos

3 A) g

B)

1 8

C) -1 3 °) 4

E)

5 4

1 -0 -4 3

394

2

internos d e un triángulo ABC.

R_

B )-[

z

C )75°

152.Halle el valor de la siguiente expresión 3 sen—- 2 eo s—s e n — 9 9 9 . n ta n 9 •- . 1 « i B) 2

y

2

entonces el valor d e tan 4 ta n —

E )(--;0

Identidades trigonométricas

C A P ÍTU L O V

157.En un triángulo ABC, halle la expresión L en térm inos d e B: f cosA +cosB+cosC - 1], L= ¿os1

(

m

l~senf ('

B A) - 2 s e n -

B B )4 sen -

A) 64X3 - 112*2 - 56x - 7*=.0 B) 6 4 r5 +112x2- 5 6 * - 7 = 0 C) 6 4 ^ - 1 1 2 ^ + 5 6 * - 7 = 0 D) 64**- 112*2 + 56*+7 = 0 E) 64*3 - 112x2 + 5 6 * -1 7 = 0 162.Halle PD en el gráfico adjunto, si PC = 4 B

. B C) 4cos — B D) 2 se n —

B E) s e n -

158.SÍ en un triángulo ABC se cum ple sen2A+ sen2B+ sen2C< 4cosAcosBsenC ...(I) sen2A+sen2B+ -J3 cos(2B+C) = 0 ...(II) entonces la m edida del ángulo C es A) 60° C ) 120° D) 150°

B) 90° E) 160°

159.SÍ x - y + z = 360° exprese en producto la siguiente expresión sen2x - sen2y+sen2z A) 2senxsenysenz B) -2serursenysenz C) -4senxsenysenz D) 4serursenysenz E) senxsenysenz

163.SÍ A,B,C y D son ángulos de un cuadrilátero, sim p lifiq u e y e x p re s e e n p ro d u c to lo siguiente: tanA-t-tanB+tanC+tanD cotA+cotB+ cotC+ cotD A) cotAcotBcotCcotD B) tanAtanBtanCtanD C) tanAtanBcotCcotD D) cotAcotBtanCtanD E) 2cotAcotBcotCcotD

160.Simplifique: 3n l 2lt sen — + 2sen — + 3sen ... + 12sen— 13 13 13 13 + A) 13cot(rt/26)

A) 4tanxtan2xtan4x B) 4tarurcot2xtan4x C) 4tan2xtan4xcotx D) 4tan2xcot4xcotx E) 4cot2*cot4xcot*

B) 13/2

164.Reduzca la sumatoria T = senx -sen 2 x + sen 3 * -sen 4 x + ... + sennxy (n: impar) A) 2 sen — c s c x c o s — sen(n +1)—

1

.2

2

2

C) 13tan(7t/26)%

B) 2cos— c s c x c o s — sen(n + l)—

D) — tan (n/26) 4

x nx x C) 2tan— c s c j c c o s — sen (n + l)— . 2 2 2 , „ x nx , nx D) 2 s e n - c s c x s e n — sen (n + l ) -

1

E) ■yCot(n/26)

161.Halle la ecuación cuyas raíces sean: 2n 2 2n 2 3n sen — , sen — sen —

2

X

2

2

mf

X

2

2'

E) 2 sen — s e c x s e n — sen(n + l) — J

2

395

Trig o n o m e tría

Lumbreras Editores

165:Halle la sum a (fe diagonales trazadas desde un mismo vértice d e un polígono regular de n lados, inscritos en una circunferencia de radio r. 71 n csc' 2n 2n n ji B) rse n ( n - 2 ) 2n 2n

•A) 2 rsen ( n - 3 )

C) 2rsen

D) reo s

( n - 3 )é

( n " 3 )¿ .

E) 2rsen ( n - 4 )

2n

sec2n

cos(3 + 2V2sen¡3 c o s (a -2 (j) A) 1

2n

ir csc’ 2n

A) 4sen[ ^

B) |

D) 1

C) 2 E) 3

168.La siguiente sum atoria S = lsenx!+senx+lcos2x!+cos2x+lsen3xl + sen3x+ ... + sen37x + eos 38x+1 eos 38x |

csc-

166.Transforme a producto la siguiente expresión senA + senB + senC + seriD siendo A,B,C y D ángulos de un cuadrilátero in scrip tib le; a d e m á s A y B so n áng u lo s opuestos.

'

Halle el valor d e la expresión

equivale a m e se — - n M 38 cuando x=ro'38. Calcule m + n . A) 0 D )4

B) 1

C) 2 E) 3

2jt 169.Halle los valores de R en el recorrido 0 ; 9 siendo R la expresión siguiente R = tanx+tan2x+cotx tan2x tan3x A) (-«o ;'- V 3 ] u [ l; + ~ )

x fA- B B) 4senl -

B) (-0 0 ; -3 > /3 ]u { 0 ; +co) C) ( - “ ; - 2 ) u ( l ; +)

fA + B C) 4 c o s l - y -

D) (-=» ;-l]u [3 > /3 ; + °°) E) {-oo ;0]u[3->/3 ; +)

„ fA -B D) 4cosl -

170.Determine el intervalo d e valores d e M siendo

E) 4. s ef nA ^+ B „ )- j c fB o s+ ^D J) s e (nB+C'i |_ J

M=

A)

167.En el siguiente gráfico, MN = 1/2 y AB = 3

3 - ta m - jc o tx ta n 3 X para tarw>0 3 - tan 2* J - 3 /2 ] u .[ s /Í 3 /6 ;.+ » )

B) R - ( - 3 / 2 ; 3/2) C)

3 / 2 - 7 Í 3 / 6 ] u [ V Í 3 / 6 + 3 /2 ; + )

D) R -{ ± V 3 /2 } E)

396

V

9 - V 7 8 \ u 9 + V78- ; +

6

/

oo

y/3 -3

J_ T F 1_ T

d

X

a

S

18 nr 19 nr

52 r

B

36 H

d

53 r

C

70

37 J~ B

54 r

C

71 l~ B ~

. 55 F D

72 f~ P ~

_Z3JTF"

±_J~D

21 nr

38 j~ Q

_5JH e

22 F F

39 r r

56 r B

_6_TF

_23_nr

40 f ~D

1Z_Tb

24nr

41 f p

_t_ T

b

42 rr

_8_Tc

2L_T

± S

J k T c

43

JlS~ A

44 I F

a

io _ J " c

b

■ 69 nr

35 J B

rr

28nr _ 4LÍ~D

74r* 75 l «

59 n r

76 I »

6o r C

....77. n ~

61 r

■ 78 I *

B

n T c

_ 2 Í_ T d ‘

46 f~C

6 3 -r C

79nr so nr

i ± U

30 f~R~

47 Í~C

64 | E

si r ~e~

48 |~ F

65 r B

. .82 |~ C ~

1 ± -T

i±

b

T

e

15 _ fÓ

J i J T

32 nr

J l_ T c

-3 3 _ T T

u S Á

34_Td

49 I R~

. 50 V a _51_T

b

62 r A

' 66 I B 67 |. E

68 f

C

83 í

R

nr _85__f~4 ~ 84

3

[~ 5 Z T ~

p

fW

S

f6 9 T

q

firr

0

o r w

q

r u r

3

| Z91

o

y

[991

0

~

a -a r w

~

V

\T ñ ~

r w

0

r w

q

r w

q

rz ir

fó sT

o

r w

r w

0

[W

y | £91

y 1 9M

y

r w

o

q

y

rw " | 6gl

rw r

rz F r

0 | £91

y | 9frl

8

q | 391

y j SfrL

0 I 831

q

I L9l

3

3

I 091

y | £H

q

[ 6SL

q

| m

0

q

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q

_ 0 J7

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| m

y

I L Zl

y 1 9ZI

_ £ J W

Jiól q ro ó T y r w 86

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J 0 js o f

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8

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'

CAPÍTULO

TRIGONOMETRÍA

VI

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

— — — — ' Distancia entre puntos inaccesibles

7

.

v

A

En topografía es usual determinar distancias en forma indirecta, asi dados los puntosAyB, desde los cuales sean visibles tanto Pcomo Q, si conocemos la distancia AB los ángulos a, (5, 0 y mediante la aplicación de ley de senos y cósenos, se determina la distancia PQ. V ... .

--r

>• " '

________ _1___...___ ;_____________

J

TU RB IN A DE VAPOR

Describam os una tu rb in a de v a p o r cuya función es transfo rm a r la energía del tip o térm ico en energía m ecánica. La e n e rg ía té rm ic a se o rig in a p o r el cam bio de estado de l v a p o r a l e n tra r y salir de la turbina . Una turbina de vap or de acción consta de las siguientes partes: •

Un distribuidor fijo com puesto p o r una o varias toberas.

•

U n a corona m óvil com puesta p o r

.

alabes

Ahora ilustraremos los cambios de velocidades que el vapor experimenta en Ja corona móvil. 'E l va p o r sa le d e la to b e ra y p e n e tra e n tre los alabes de la corona m óvil con una velocid ad C ,. l a velocidad tangencial o pe riférica es u, y p o r lo ta n to la velocidad relativa del v a p o r a la en trada es W t , que es la que observaría un espectador que se moviese arra stra d o p o r los alabes de la tu rb in a . La ve lo cid a d re la tiv a de l v a p o r a la en trada se calcula de la siguiente m an era :

W, = Ju, + C* - 2u,C,cosa, =

senp,

Donde •

u,; u2 : velocidad axial

•

C ,; C2: velocidad absoluta d e l va p o r

•

W ,; W 2: velocidad relativa del va p o r

R elacio n es fundam entales . _______

J en el triángulo oblicuángulo

OBJETIVOS • - •

Com prender otras alternativas de resolución de triángulos, usando leyes trigonométricas. Conocer las técnicas y relaciones para cálculos de elem entos auxiliares, distancia entre puntos notables y área en el triángulo oblicuángulo.

INTRODUCCIÓN

En el p resente capítulo se aplicará el teorem a de los senos para resolver triángulos oblicuángulos de los que se conocen las m edidas de dos ángulos y un lado, o las m edidas de dos lados y el ángulo opuesto a uno d e ellos. Luego em plearem os la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos en otras circunstancias. De la m ism a forma estudiarem os la ley de proyecciones y la ley de tangentes, así com o sus diversas aplicaciones en los diversos cam pos de la ingeniería. En el desarrollo del capítulo se presentan las leyes fundam entales para resolver cualquier triángulo. Se recom ienda al lector que antes de aplicar dichas leyes deb e dibujar el triángulo donde ilustre Jos datos y la incógnita para analizar cuál de las leyes se debe aplicar. Posteriormente, desarrollarem os en forma analítica el cálculo de los otros elementos de un triángulo, com o la bisectriz, m ediana, alturas, inradios, exradios, área, etc. Finalmente explicaremos fórmulas para el cálculo del área de una región cuadrangular. Los elementos fundamentales de ún triángulo se denotan convencionalmente con A, B y C a los ángulos; a, b y c a las longitudes de los lados. Los triángulos oblicuángulos u oblicuos pueden tener o no un ángulo obtuso; es decir un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo (véase figura 6.1). : \

B

B

C

C

Triángulo Acutángulo A, B, C,

A

ib ) Figura 6.1

A

b

C

Triángulo Obtusángulo A>90° (0

Lumbreras Editores

T|-igonom etría

¿Q u é sig n ific a re s o lv e r u n triá n g u lo ?

Significa calcular las longitudes de sus lados y la m edida de sus ángulos. Para esto necesitam os conocer por lo m enos la longitud de un lado junto con Otras dos cantidades ya sean dos ángulos o los otros dos lados o bien un ángulo y un lado. Así, hay cuatro posibilidades por considerar. Se Se Se Se

CASO I CASO II CASO 111 c a s o iv

conoce conoce conoce conoce

un lado y dos ángulos. dos lados y e l ángulo opuesto a uno de ellos. dos lados y el ángulo entre ellos. tres lados.

TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOS La ley de senos se usa para resolver los triángulos de los casos I y II. La ley d e cosenos se usa para resolver los triángulos de los casos III y IV ¿Teorema de los senos (ley de seaos)

En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a _ b _ c senA senB senC

Demostración Considerarem os un triángulo acutángulo (figura 6.2(a)) y obtusángulo (figura 6.2(b)) por ser la p rim e ra d e m o s tra c ió n , y v e re m o s q u e las conclusiones son las mismas. De la figura 6 .2 (a ) y 6 .2(b) en el triángulo rectángulo CDO, se tiene

o senA=-~ R

a entonces 2 R = ------, senA

bajo procedim ientos similares, obtendrem os los siguientes resultados 5 2R = ——^ senB

y

2R =

c senC

Por lo tanto . senA

senB

senC

= 2R

(b) Figura 6.2

402

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

C A P ÍTU L O VI

Por lo cual q u ed a dem ostrado dicho teorem a. Q ueda para el lector verificar que dicho teorem a tam bién es válido para un triángulo rectángulo.

Observadón l

■

4sen45° >c = senl20°

senl20°

4 x A 2

'

Cada lado se puede expresar como el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo, multiplicado por el seno del ángulo que se opone a dicho lado, así tenemos a = 2RsenA b = 2RsenB c = 2RsenC Se conoce un Lado y dos Ángulos Ejem plo 1 R e su elv a eL triá n g u lo m «C = 45° y a = 4

sen45°

ABC, si m«A=120°,

s 2

4 n/6 =>c = 3 E jem plo 2 En el gráfico adjunto, calcule la distancia d esd e un punto B de la orilla d e un río, a un árbol A qu e qued a en la otra orilla. Dado en la orilla una base BC y desde cada extremo de la base se dirige, con el teodolito,- una visual a la base del árbol y o tra al o tro e x tre m o d e d ic h a b a se . D atos: BC=30m, m cosB = ------------------ = ------= 0,0792 P 2x10x12 240

f A + B'j ( A -B - t 2 J l 2 „ ( A + B'i f A - B 2sen ------ eos

a-b / A + BY f A - B N, JJE - H — M — I-; Pero

Con respecto a los ángulos interiores de un triángulo, si el coseno de uno de ellos es positivo y menor a uno este será agudo; y si el coseno es negativo y mayor a -1 este será obtuso y finalmente si el coseno es igual a cero este será recto.

cot

A-i-B

1 tein

m

, a-b a+ b

A -B tan, [ 2 . fA + B tan

Como c o sa = 0,6033 y cos(3 = 0,0792 a = 52,89°

P = 85,46°

esto es lo que se buscaba demostrar. 407

Lumbreras Editores

De la ley de senos, si utilizamos

Trigo no m etría

a senA

c b senC y senB

c senC

y realizamos un procedim iento similar sil anterior, obtendrem os las otras dos expresiones restantes del Teorema d e tangentes.

las proyetapnes) En todo triángulo, se cumple que un lado cualquiera es igual a la suma de sus otros dos lados multiplicados cada uno por los cosenos de los ángulos adyacentes a dicho lado. a = bcosC + ccosB b = acosC + ccosA c = acosB + bcosA

Demostración En la figura 6.11 se h a trazado la altura BD. Asimismo en el triángulo rectángulo ADB y BDC, tenem os AD=ccosA y

DC=acosC

Pero AC = AD + DC => AC=ccosA + acosC z.b = acosC + ccosA En el triángulo ABC, si trazam os las otras dos alturas correspondientes a los lados AB y BC, obtendrem os las otras dos relaciones restantes del teorem a.

Como ya se planteó al inicio de este capitulo, cuando se (ten tres elementos cualesquiera de un triángulo, siempre que al menos uno de ellos sea un lado, los teoremas que hemos demostrado nos permiten hallar los valores numéricos de los elementos no conocidos del triángulo; pues en cualquier ecuación que relacione cuatro cantidades donde tres de ellas sean las conocidas, podrá hallarse la cuarta. Así por ejemplo, si c, a y B son dados, podemos calcular b con |a fórmula: ' b2 = c2 + a2- 2cacosB

y si B, C y b son conocidos, hallamos c por medio de la fórmula

408

c senC

b

senB

C A P ITU L O VI

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL SEM IPERÍM ETRO Y L A D O S ______________________________ En un triángulo ABC, se desea calcular las razones trigonom étricas de los sem iángulos y , ^ y ~

Para A/2: En un triángulo ABC, el ángulo interior A debe A verificar 0 < A < 180°, entonces 0 < — < 90°. Utilizando identidades del aireo m itad tenem os sen

H

1- cosA

... (O

Asumimos qu e el perím etro del triángulo ABC sea 2 p = a + b + c. Despejando a + b = 2 p -c ; a + c = 2 p -b y reem plazando en (3) obtenem os A _ j(2 p -2 c ) (2 p -2 b ) sen 4bc A _ ¡(p -b ) (p -c ) sen2 \ be Análogamente utilizando la identidad

De la ley d e cosenos tenem os cosA=

b 2 + c2 - a 2

2bc

A 1+ cosA COS^2= V 2 y ... ( 2)

* b2 + c2 - a 2 , . cosA = ----—------- , se obtiene 2bc

R eem plazando (2) en (1) tenem os A sen—=

2

1-

íb 2+c2- a 2N| 2bc 2

A _ a2 -Cb2 +C2-2bc) Sen2 ~ ] 4bc sen-

j2 ( p - c ) 2 ( p - b ) 4bc

A _ IjP ( p - a ) C0S 2 " \ be A . A Se2RÍ 2 s e n —e o s—

l

c= 2 R sen C ... (2)

■

2

2

Reem plazam os (2) en (1), obteniendo .

2

.

2

.D A B C .-. r = 4R sen—se n —sen —

-i

________ 2

ha =2RsenBsenC Análogamente se obtienen \ hb=2RsenAsenC h =2RsenAsenB y Ejemplo 10 Halle el radio r, del círculo inscrito en un triángulo en función d e los ángulos y el radio del círculo circunscrito.

2

2

Fórmula que relaciona al inradio, circunradio y ángulos de un triángulo. Ejemplo 11 Exprese el sem iperím etro de un triángulo ABC en térm inos del inradio y los semiángulos. (Véase figura 6.14) B

Resolución

Figura 6.14

Resolución

De la figura 6.13 de los triángulos rectángulos ODB y ODC se obtienen B D = rco t^ y DC = rcot

Del ejem plo (1)

A B C p = 4Rcos — eo s—e o s—

Del ejem plo (10)

A B C r= 4Rsen - sen - sen -

Dividiendo am bos miembros .n A B C „ 4 Reos -r e o s—eos — ' P_ 2 2 2 r „D A B C 4 R sen —s e n —s e n — 2 2 2 p A B C . Simplificando ~ = c o t—co t - c o t y

com o ^ B C BC = BD+DC => BC = rcot ^ +rcot ^ B .C l => a = r cot —+ co t—

.

2

2J

Por lo tanto

,A B C p = rc o t—co t—c o t— 2

2

2

F órm ula q u e rela cio n a el se m ip e rím etro , el inradio y semiángulos de un triángulo ABC. 411

-lum breras Editores

Trigonom etría

Análogamente

Ejemplo 12 Exprese bada uno de los radios de los círculos exinscritos d e un triángulo, en función de los ángulos y del radio del círculo circunscrito.

,D A B rh = 4Rcos—s e n —eos 2 L • A B C rr = 4Rcos—eo s—s e n —

Resolución De la figura 6.15(a), ra es el ex radio relativo al lado a d e un triángulo ABC. Asimismo de los triángulos rectángulos BDO y CDO obtenem os BD = ra t a n |

y DC = rata n ^

c

2

ra

Además

A B C 4R sen—e o s—eos —

2

2___ 2

A B C 4Rcos—eos —e o s— 2

BC = BD + DC

2

2

ra A — = ta n —

B C => a = r. tan - + r. tan —

2

2

Si generam os el cociente entre ra y p obtenem os

p r

a

2

2

(, B , ( / tan—+ ta n — l 2 2)

. ra = p ta , n— A

l

2J

Otra m anera d e obtener esta fórmula >2R f 2 sen —eo s—l = r a ^ -— l 2 2 J a __ B ___C eo s—e o s — 2 2 4Rsen— eo s— = r, B C 2 / 2 a eo s—eos — 2

2

.D A B C r, =4R sen—eo s—eo s— * .

2

2

Figura 6.15

2

En el triángulo rectángulo AHO figura 6.15(b) se A sabe que AH=p, luego ra= p ta n — Análogamente A1 rb = P l a n -

y

, c

rc = ptan — ___________ / C om o ejercicio p a ra el lector, se d eja p ara dem ostrar que el inradio r d e un triángulo ABC, puede ser expresado com o: g r = ( p - b ) ta n — r = (p -a ) ta n -

r = ( p - c ) tan-

412

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

C A P ÍTU LO VI

Ejem plo 13 Exprese 4m a en térm inos de los lados b, c y el ángulo A en un triángulo ABC, si m a es la m ediana relativa al lado a.

Del ejemplo (13) 4ma2= b2 + c2 + 2bccosA De la ley de cosenos a2= b2 + c2-2bccosA Sumando 4ma2 + a2 = 2b2 + 2c2

Resolución

, . . 2 2b2 + 2c2 - a 2 Por lo tanto: m . -------------------4 Fórmula que relaciona la mediana relativa al lado a,

A

con los lados del AABC Análogamente 2 2aJ + 2c2 - b 2 mb = ------- -------2_

nV

En la figura 6.16; m a es la m ediana relativa al lado a del AABC. Asimismo se ha prolongado AM hasta un punto A' de tal m anera que

2a2 + 2b2- c 2

E jem plo 14 Exprése la bisectriz interior relativo al lado a en función d e los lados b, c y el ángulo A d e un triángulo ABC. Resolución

AM = MA' En consecuencia, el cuadrilátero ABA'C es un paralelogramo, entonces m a

A nálogam ente, para las bisectrices interiores relativo a los lados b y c respectivam ente 0 2ac B Pb “ aa +. c^ C0So 2

y

„

2ab

C 2

Ejemplo 15 Exprese la bisectriz exterior relativa al lado a(¡3a ) , en función de los lados b y c y el ángulo A de un triángulo ABC.

5 r-ü-. Tenga en cuenta en la aplicación de las fórmulas p lan tead as en el ejem plo 15, q u e de las diferencias d e lados qu e a p a re c e n en el denominador de ios segundos miembros, se debe tomar el valor absoluto, pues su signo sólo indica el lado por el cual la bisectriz corta el lado opuesto al ángulo correspondiente. Entonces, las fórmulas del ejercicio 12 también pueden expresarse de la siguiente manera: ni 2bc A s , "¡b ^ 5 “ " z :

., 2ac B l>* ‘ Í C d s“ 2 ; Q, 2ab C s - - r a " " 2

D Figura 6.18

Resolución * En la figura 6.18,

Area de una Reglón Triangular es la bisectriz exterior relativa

al lado a. * A dem ás m 2S3 = h ahbh cR S Reduciendo y despejando S2 obtenem os ha: altura relativa al lado a hb: altura relativa al lado b h c: altura relativa al lado c R: circunradio del triángulo ABC

2 c

V^a^bK: R V2

Como

a=2R senA b=2RsenB c=2RsenC

s =V h A M sen456

De donde obtenem os =>S = ^

2

= ^ (2 R se n A ) 2

S = A/h ah bhc R sen 45°

Reduciendo obtenem os = h a R senA

...(17)

De igual m anera =*S = ^

= í^(2R senB )

De donde S = hb R senB

...(18)

(20 ) -

Esta igualdad relaciona el áre a las tres alturas respectivas a cada uno d e los lados así com o el circunradio del triángulo ABC. Área de una Región Cuadrangular El área de una región cuadrangular cualquiera se expresará en función de sus diagonales y del ángulo que estas diagonales forman'

De forma análoga, usted puede obtener S = h c R senC

...0 9 )

w .____________ ’________ /

Las igualdades (17), (18) y (19) relacionan el área, el circunradio, la altura relativa a un lado, así com o el ángulo que se opone a! lado en m ención. Finalm ente si multiplicamos las igualdades (17), (18) y (19) m iem bro a m iem bro obtenem os S3= (haRsenA) (hbRsenB) (hcRsenC)

En la figura 6.19 se tiene un cuadrilátero ABCD donde se ha asumido la m edida del ángulo que forman sus diagonales. 417

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

En la diagonal BD, sean BE = m y ED= n, e n to n c e s d e te rm in a m o s las a ltu ra s d e los triángulos ABC y ADC com o m se n e y n se n e respectivam ente; luego para el área de la región cuadrangular ABCD: S abcd

=

c ^ABCD ^ abcd pero c

^ABC

Ejemplo 2 Calcule el área d e u n a región cuadrangular en función de sus lados y la sum a d e dos ángulos opuestos.

+

AC(msen0) AC(nsen0) j + 2 _ AC (m+n)sen0^> ■ ’ ------ Y m + n= B D _ (AC)(BD)Sen0

• • a ABCD —

o

Figura 6.20

El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las diagonales multiplicado por el seno del ángulo que éstas forman.

Resolución En la figura 6.20 se tiene el cuadrilátero ABCD de lados a, b, c, d y ángulos A, B, C y D. Aplicando la ley d e cosenos a los triángulos BAD y BCD tenem os BD2 = a2 + d2-2 ad co sA BD2 = b2 + c2-2bccosC

Ejemplo 1 Las diagonales de un paralelogramo m iden 5 cm y 6 cm y se cortan formando un ángulo 0. Si el área d e su región es 7,5 cm 2 ¿cuál es el valor de e ?

Igualando los d o s v alo res d e BD2 hallados, tenem os

a2 + d 2-2adcosA = b 2 + c2 - 2bccosC a2+ d 2 - b 2-c 2=2adcosA - 2bccosC ... (1)

Resolución Aplicando el teorem a anterior, tenem os 7,5 cm =

(5cm )(6cm ) -sen0

R educiendo se obtiene 1 sene = 0

418

= 30°

150°

S e a S el á r e a d e la r e g ió n c u a d r a n g u la r ABCD, entonces ad senA

~T

be senC

+2

=> 4S = 2adsenA + 2bcsenC

... (2)

C A P ÍTU LO VI

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

Sum ando los cuadrados d e (1) y (2) (a 2 + d 2 - b 2 - c2)2 + (4S)2= (2adcosA - 2bc cosC)2 + (2adsenA + 2bc senC)2 (a 2 + d 2 - b 2 - c 2)2 + 16S2 = 4a2d 2 + 4b2c2 - 8abcd(cosAcosC - senAsenC) (a 2+ d 2- b 2- c2)2+ 16S2 = 4a2d2+ 4b2c2 - 8abcdcos(A +C)

... (3)

Asumimos que A +C =2 , entonces cos(A +C) — cos2 = 2cos2 - 1

... (4)

Reem plazando (4) en (3) tenem os (a 2 + d 2 - b 2 - c2)2 +16S2 = 4a 2d2 + 4b2c2 - 8abcd(2cos2ij)- 1 ) (a 2 + d 2 - b 2 - c2)2 + 16S2 = 4(ad + be)2 - 1 6abcdcos2 16S2 = 4(ad + bc)2 - ( a 2 + d2 - b 2- c 2)2-16 ab cd co s2 i diferencia de cuadrados

16S2 = (2ad + 2bc + a 2 + d2 - b 2 - c2)(2ad + 2bc - a 2 - d2 + b 2 + c2) - I6abcdcos20 16S2 = ((a + d)2 - (b - c)2) ( (b + c)2 - (a - d)2) - 1 6abcdcos20 16S2 = ( a + d + b - c ) ( a + d - b + c)(b + c + a -d )(b + c - a + d )-1 6 a b cd c o s2 Sea 2p = á + b + c + d , el perím etro d e cuadrilátero ABCD entonces 16S2 = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)-16abcdcos2 S2 = (p - c)(p - b )(p - d)(p - a) - abedeos2

O rdenando y despejando S

S =^(P - a)(p - b )(p - c)(p - d) - abcdcQS2

Fórmula que relacion a el área, perím etro, la d o s y sum a de d o s ángulos o p u esto s de un cuadrilátero ABCD

.

. . . A +C , B+D donde é = —-— o 6 = —-—

419

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Casos particulares D e la fó rm u la an terio r

en consecuencia % a = p-c; b = p-d; c = p - a; d = p - b;

Para un cuadrilátero inscrito o inscriptible A B C D ,(véase figura 6.21) la s u m a d e dos

por lo tanto, el área respectiva al cuadrilátero será

án g u lo s o p u e s to s es 180°, e n to n c e s 4>=90°, p o r lo ta n to el á re a resp e ctiv a será:

S

= i/abcd - abcdcos2

r e d u c i e n d o __________ ____ S=V(P - a)(P - b)(p - c)(p - d)

S

= Vabcdsentj)

Figura 6J21

Brahmagupta, matemático hindú, generalizó la fórmula de Herón para calcular el área de un cuadrilátero, el cual lleva su nombre y está dado por

S = ^ ( p - a ) ( p - b ) ( p r c ) ( p - d ) . Donde

a,b,c,d son los lados del cuadrilátero y p el semiperímetro, pero esta fórmula quedó limitada ya que solo se podía calcular para cuadriláteros inscriptibles.

Para un c u a d rilá tero c ircu n scrip tib le ABCD (véase figura 6.22) se cumple el teorem a de Pithot, es decir a + c = b+ d; entonces p = a+ c ó p =b+d

420

Para un cuadrilátero inscriptible y circunscrito a la vez (bicéntrico) (véase figura 6.23) se tiene que = 9 0 ° y (p -a )(p -b )(p -c )(p -d )= a b cd Entonces, el área respectiva al cuadrilátero es —

S = Vabcd

Problemas Resueltos Problema 1

dividiendo a y P obtenem os

En la figura 6.24(a), calcule m < DBC; si m < DAC = 2m < DCA = 40° .y

BCsen20° _ sen40° ADsen60° serve

, . Y

BC = V3AD B

com o se tiene BC=V3AD, entonces l

= ^ysen60° = Y -

reem plazando en ( y ) tenem os Resolución Del enunciado obtenem os

y

V3sen20° _ sen40° n/3 serve 2

m < DAC = 40° m < DCA = 20° *

Por geom etría elem ental m < BDC = 60°

=> 2sen20° = 2sen20°cos20° „„„ serve => senx=cos20° => serve =sen70°

Sea x = m < DBC (véase figura 6.24(b))

En la figura, x puede ser agudo u obtuso, por lo tanto x = 70° ó x=110°

Problema 2 De la figura mostrada, calcule 0siAC=BD

En la figura, aplicam os ley de senos a los triángulos DBCyADC BC sen60°

PC serve

AD _ PC sen20° sen40°

... (a) ... (P)

R esolución Aplicamos ley de senos a los triángulos ABD y ABC (véase figura 6.25(b))

421

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 3 • —— = — — sen30 sen60 b sen(18O °-70) •

—— = — sen70 sen40

...(0

En un triángulo oblicuángulo (A * B * C) ABC, obtenga el equivalente de la siguiente expresión

c sen40

£ _ bcosB + ccosC ■ acosA + ccosC eos (B - C) cos(A - C)

...(2) acosA + bcosB eos (A - B) B Resolución De la ley de senos a = 2RsenA, b=2RsenB y c=2RsenC Reem plazando en la expresión E obtenem os E _ R(sen2B + sen2C) + R(sen2A + sen2C) eos (B - C) eos (A - C) R(sen2A + sen2B) eos (A - B)

E Rx2sen(B + C)cos(B - C) | Rx 2sen(A +C)cos(A - C) cos(B-C) cos(A-C) Rx 2sen(A + B)cos(A - B) cos(A-B)

Dividiendo (1) y (2) obtenem os sen70 _ sen40 sen30 sen60

E = 2Rsen(B + C) + 2Rsen(A + C) + 2Rsen(A + B)

sen70 _ sen40 ,sen3? ¿sen 3 fco s3 0

E = 2RsenA + 2RsenB + 2RsenC E=a+b+c

=* 2sen70cos30 = sen40

Problema 4 => senlO0 +

= .je r r íí

=>senlO0 = O =>100 = 0°, 180°, 360°,... =>0 = 0°, 18°, 36°,... Para q ue el triángulo de la figura 6.25(a) exista el único valor que tom a Oes 18° 422

Calcule los ángulos de un triángulo ABC si sen(B + C) _ cos(A + C) a b y C-A = 25° Resolución Como A + é+ C = 180°=» sen(B +C )=senA cos(A+C) = -c o sB

y

C A P ÍTU L O VI

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

R eem plazando en la igualdad

~x2RsenAxse.i|

B-C

2RsenB - 2RsenC^ A = V2| -------- ----------s e n 2

J

2

f( x2.sefí ^cos-^sen^5_i;| = V2K(senB- senC).sefí

Reem plazando a=2RsenA y b=2RsenB,

< |N

senA _ -c o sB a b

2

obtenem os senA -co sB v - ----- - = — ------ => tanB = -1 2RsenA 2RsenB

^ Sen(

) = ^ x'^-sel^[ ~2~-)C0S(

)

tan B + C ^ = V2

B = 135°

co,r ^

Como A +B +C = 180°,

, A y¡2 tan—= —

2

entonces A+C = 45°... (1)

2

Sustituyendo valores en (1) A dem ás por dato C - A = 25° De (1) y (2) C=35° y

ra= (6m )x

...(2)

=3 V2 m

Problema 6

A=10°

Resuelva el triángulo ABC

Problema 5

s i a = 2 V 6 , c= 6 - 2 V3 y B=75°

En un triángulo ABC, calcule el exradio relativo al lado a, si

(0,5)asenj^ ^

j = V2 ^ ^

jsen | ;

adem ás ef perím etro de dicho triángulo es 12 m.. R esolución Utilizamos la expresión del exradio relativo al lado a, esto es A ra= ptan ^ Por dato: 2p=12m => p= 6m .\ra = 6 t a n ^ * . .. ( l )

Resolución Estamos en el caso LAL Por ley de cosenos hallam os el lado b b 2 = a 2 + c2 - 2accosB b2 = (2>/6)2 + (6 - 2V3)2 - 2(2v/6)(6 - 2v/3)cos75°

b 2 = 24 + 48 - 24n/3 - ¿V 6 x V6 - V 2 y a q u e cos75°=---------4 b2 = 24 => b = 2\/6, como a = 2>/6

Para calcular ra sólo la m edida del ángulo A o en A su d e fe c to ta n — ; p ara tal sim plificam os la

entonces a = b y mtan

COt (A- B) = ^

Problema t i

2n

'

271 A ------+ A 3 tan

\

= — =* ta ñ í A - —1= — 2

=» A — = arctan 3

í 72] { 2 J

>A = —+ arctan 3

En un triángulo ABC el ángulo C m ide 60° y los lados a y b m iden a = 272 + 72 y b = 272 - 72 Calcule la m edida del ángulo A.

2

Pero B=— - A .entonces

529

Finalmente csc2(A-B) = 1+ 5?9 _ 961 432 432

A - B V ^2

(I

buscando su equivalente f ¡2

=> A = arctan(72)+arctanl — R e so lu c ió n '

En la figura 6.28 se tienen esquem atizados los datos del problema.

Por propiedad 2

A =arctan 1 - V3

+ 7T

V2

A=arctan(-4 72 - 372)+ 7t /. A=n-arctan(472 + 372) Luego la medida del ángulo A:- +arctan— ó ít-arctan(472 + 372) 3 2 426

C A P ÍTU LO VI________________________ Relaciones fundam entales en el triángulo oblicuángulo

Problema12 S ie n d o

6 u n á n g u lo c u a lq u ie r a , e n t o n c e s h a lle u n e q u i v a l e n t e p a r a la e x p r e s ió n

a c o s ( e - B) + b c o s ( e + A)

en un triángulo ABC.

Resolución Sea K la expresión a simplificar K = a c o s (0 - B ) + bcos(0 + A) = a[cos0cosB +sen0senB ] + b [(co s0 co sA -sen 0 sen A )] K = ac o se cosB + asenO senB + bcosO cosA - bsen 6 senA K =cos0(acosB+bcosA ) + senO(asenB - bsenA)

... (1)

De la ley d e s e n o s ----- - = -—— , entonces asenB = bsenA senA senB A dem ás d e la ley d e proyecciones tenem os c = acosB + bcos A, reem plazando en (1) K = cos0(c) +sen0(O) .-. K = ccos0 Luego acos ( 0 -B ) + bcos (0 + A) = ccos0

Problema13 ccosA + ccosB En un triángulo ABC, si cosC = 0,1. Calcule el valor de E= 1 --------------------a +b

Resolución a + b - ccosA - ccosB L = --- ------------ ;-----------a+ b. a - ccosA + b - ccosB h = -------------------- --------a + b

-U J

De la ley d e proyecciones a - ccosA = acosC y b - ccosB = bcosC, reem plazando e n (1) tenem os _ acosC + bcosC ( íh -TO cosC ' „. E = ---------------------= — ------ -=— = cosC = 0,1 a+b £a+t>)

Problema14 En un triángulo ABC, se tiene com o datos el lado a, la m ediana relativa a dicho lado m a y el área correspondiente a dicho triángulo es S. Exprese cotA en térm inos d e los datos.

427

Lumbreras Editores 4

Trigonometría

R esolución

b 2 + c 2 + ,2bc - a z=.2fec

Del teorem a de la m ediana 4m^ = b 2+ c2+2bccosA

...(1)

De la ley de cosenos a2= b 2 + c2 - 2bccosA

(2)

Teorem a d e Pitágoras % Por lo tanto el triángulo ABC es del tipo rectángulo y es recto en A.

Problema16

Restando (1) y (2), tenem os 4m2a - a2=4bccosA

... (3)

Com o S es el área correspondiente al A ABC, tenem os „ S

b2+ c2= a 2

be « 2S = — senA=> be = ---2 senA

...(4)

Reem plazando (4) en (3)

A partir d e un c u a d rilá te ro ABCD d e lados respectivos a,- b, c y d. H alle la t a n ^ - j j en términos de a, b, c y d y el sem iperím etro p. Resolución A partir del e n u n c ia d o p o d e m o s p la n te a r el siguiente gráfico.

4m 2 - a 2 =4 í ^ Icos A a VsenAj 4m 2 - a 2 = 8S cotA 4m2 - a 2 cotA =8S

Problema15 ¿En qué tipo de triángulo ABC se cum ple 2rbrc = be?

C= 180°-A (por ser un cuadrilátero inscriptible)

R esolución

En el triángulo ABD (teorem a d e cosenos)

B Como rb= ptan -

C y rc= ptan -

Figura 6J¿9

BD2= a 2+ d2-2 ad cosA

...(1)

En el triángulo BCD (teorem a d e cosenos) Sustituyendo en la condición (

B)

2 p ta n -

BD2= b 2+ c2-2 b c

í p t a nC- ) = bc

«-V

>

j( p - a ) ^ < )

l

• y

, j(p - a)(jx-^f>í

=> BD2= b 2+ c 2+ 2bc

eos (180°-A) cosA

...(2)

De (1)=(2) a2+ d 2-2ad cosA =b2+ c 2+ 2 b c cosA Despejando cosA obtenem os

2 p (p -a )= b c , ,. , J a+ b+ c (a + b + c ) — - a =bc

cosA =

Pero cóm o 0< A < 180° = >0 < — < 90° 2

V

(a + b + c )(b + c - a ) = 2bc (b + c )2 - a 2 = 2bc

428

a +d - b - c 2ad + 2bc

de donde

A! . A es agudo con lo que ta n — = ta n —

1-cosA , A => tan — = ...(4) 2 1+ cosA

21

2

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

C A P ÍTU LO VI

De donde concluim os 8 e IC ...(-1) Por otra parte sea S el área pedida

Reem plazando (4) en (3), obtenem os , A tan —= 2 -

a +d -b 2 ad + 2 bc 1+

=>S = y sen 0 cos 0 tan 0 co te (por ser un cuadrilátero bicéntrico)

-

2 ad + 2 bc Reduciendo obtenem os

„ A • tan — = -

2

, A • tan — = 2

=> S = -JsenQ cos0 ...(2) D eb id o á q u e ABCD es un c u a d rilá te ro

(b + c + a - d ) 2 (a + d) 2 - ( b - c ) 2 b + c + a - d = 2 p b + c - a + d = 2p a + d + b - c = 2p a + d - b + c = 2p

- 2d - 2a ( 6) - 2c - 2b

Reem plazando ( 6 ) en (5) A |( 2 p - 2 d ) ( 2 d - 2 a ) tan 2 ~ ]] ( 2 p - 2 c)( 2 p - 2 b) (p -d )(p -a ) \ (p - c)(p - b)

Problema17 Dado un cu ad rilátero ABCD bicéntrico ABCD d o n d e AB = s e n 8 , BC = c o s 0 , CD = t a n 0 , D A =cot 8 . Halle el área de 1« región contenida por este cuadrilátero.

Resolución Del en u n ciad o p o d em o s plantear el siguiente

De la figura 6.30(b) sen0 +tan 8 = co s 8 + co t 0 _ „ c o s 8 senB eos 2 8 - s e n 2 8 => se n 0 - cos 8 = ---------------- ---------------------s e n 0 co s 0 se n 0 cos0 Efectuando, obtenem os (s e n e -c o s e ) = -C sene+cose)(sen 0 - c o s 8 ) sen 8 cos 8 De donde s e n 0 - c o s 0 =0 ...(3) ( s e n 8 + co s 8 ) o tam bién 1 = -| ...(4) , se n 0 co s 8 J De (3) sen 0 = co s 0 => tan 0 = 1; 0 =45°+360°K; K e Z ...(5) Reem plazando (5) en (2) S = Vsen(360°K + 45°)cos(360°K + 45°) Reduciendo S = V sen45°cos45°;

V2 V2 . V2 2 — => S = —- u ¿ ,.(6)

2

2

2

Si analizam os la condición (4)

Como las longitudes son cantidades positivas, entonces podem os plantear senG > 0 , eos 0 > 0 , ta n 8 > 0 , c o te > 0 .

í s e n 0 + cos 0 ) ; (porque 8 e 1C) X = -í l c o s 0 sen 0 J (+) M ( + ) = ( - ) ( + ) (lo cual no es posible) ¡2 El área d e dicha región es S = —- u 2 429

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Trigonom etría

Problema18 Del gráfico m ostrado BD=

6^3 . Calcule DE si M es punto medio de BC. 5

R esolución Como BD es bisectriz interior del AABM, utilizamos la fórmula obtenida en el ejemplo 15 de este capítulo 2(3) x (BM) x e o s 30° 3 + BM

BD l 0

0

5

0 { m ) y 0

~

3 + BM * 2

BM = 2 ; com o BM = MC, entonces MC=2 (véase figura 6.3 l(b))

F ig u ra 6.31

Asimismo BE es bisectriz interior fiel A ABC, y aplicando otra vez la fórmula obtenida en el ejemplo 15 de este capítulo tenemos: 2(3X4) x e o s 30° 3+4 = 12n/ 3 _ 6 n/3 7 5

Luego . ”

de=

DE = BE - BD

18n/3 35

Problema19 Determine en función del circunradio y de los ángulos de un triángulo, las distancias d a, db y dc del centro d e la circunferencia inscrita a los vértices.

Resolución De la figura 6.32; da es la distancia del incentro al vértice A ( r : inradio).

430

C A P ÍTU LO VI

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

En el triángulo rectángulo ATI A r r s e n —= — => d = ------ t2 da sen — 2 C

Vea el ejem plo 10 de este capítulo

j s 4

Luego da= 4R sen—sen — Análogamente ._ A C dh= 4Rsen—s e n — b 2 2

y

y

, AO A B d c=4Rsen—se n — 2 2

Problema20 Determine en función del radio d e la circunferencia circunscrita y d e los ángulos de un triángulo, la distancia entre el incentro y circuncentro.

Resolución En la figura 6.33 O es circuncentro e I es incentro del A ABC. Asimismo por geom etría m < AOC = 2m < ABC = 2B Como el A AOC es isósceles se tiene m < OAC=m < OCA=90° - B Ademáis por ser 1 incentro, se cum ple que ,. „ A m < 1AC = — Entonces m < IAO = ~ - (9 0 °- B) ; pero A +B+C = 180° Figura 6.33

B -C m < IAO = —— En el triángulo IAO, x es la distancia del incentro al circuncentro del AABC, da y R son la distancia del incentro al vértice A y circunradio del AABC, respectivam ente. Por ley de cosenos tenem os % *2= d¡ + R2 - 2 d* Rcos(m < IAO) Pero B C da = 4 R sen—s e n — ... (del problem a anterior)

431

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Entonces

jc?=f4Rsert—se n —1 + R2 - 2 í4Rsen —se n —I rcosT———

2

x

2)

1,

2

2)

1 ,2 2

2 = ic d2 2® ^ o2 qd 2 B sen—e C o sfB-----C 16R¿sen —s e n2 —+ RZ-8R ¿sen— 2 2

(B c y „ B C x 2 = R2 + 8R2s e n —s e n — 2sen—sen— - eos — L 2 2 u ~ 2)_ „ B C ( B C B C x 2 = R2 + 8R2s e n —sen — 2 se n —se n — e o s—e o s—+ s e n —s e n — 2 2 . 1 . 2 2 2 2 2 2

t cr

B C B C x 2 = R2 - 8 R 2s e n —s -see n — e o s—eos — s e n —s e n — 2 2 2 2. 2 2L ? r»2 od2 B C f B C\ x 2 = R - 8R s e n —s e n — x eos —+ — 2 2 { 2 2 ) 2 r>2 od2 B C A x ¿ = R - 8R s e n —s e n — x s e n —

2

2

2

x 2 = R 2 l - 8 s e n —se n —se n -

Fórmula que relaciona la distancia (x) entre el incentro y circuncentro, con el circunradio y ángulo de un AABC

Problema21 Exprese en función del radio del círculo circunscrito y de ios ángulos de un triángulo, las distancias La, Lt, y Lc d e su ortocentro a los vértices respectivos.

Resolución En la figura 6.34 L a es la distancia del ortocentro al A y en el triángulo rectángulo AD2H se deduce La =A D 2 x c s c C ...(1) Pero e n el triángulo rectángulo AD2B, se cumple AD¡¡ = ccosA ... (2) Reem plazando (2) en (1) tenem os La=ccosA xcscC= 2R.sertCícosAx— —^ La = 2RcosA Análogamente .-.L5 = 2RcosB 432

y

•••Lc = 2RcosC

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo

C A P ÍTU LO VI

J

Mol

__________ =

=

Si ei ortocentro es exterior al triángulo, las fórmulas deducidas en este problema se siguen verificando.

x2

L- -co s(B + C ) x2

= R2 - 4 R 2 cos A [ cos(B +C ) + c o s (B -C )]

x2

=

f

Problema 22 Exprese en función del radio d e la circunferencia circunscrita y de los ángulos de un triángulo la distancia entre su ortocentro y su circuncentro. Resolución En la figura 6.35 O es el circuncentro y H es el ortocentro del A ABC, x es la distancia entre el ortocentro y el circuncentro.

= R2 + 4R2cosA [cosA - cos(B - C)]

R2 - 4R2cosA(2cosBcosC)

' .......

" -.ir. -.—

.-. x2= R2(l - ScosAcosBcosC) V - ........-

- - ...........-

—‘

Fórmula que relaciona la distancia entre el ortocentro y circuncentro, circuncentro y ángulos de un A ABC. El lector puede aplicar un método semejante y comprobar que esta fórmula es válida también cuando el ortocentro es exterior al triángulo.

Problema23 Demuestre que en un triángulo ABC se deben verificar l)

cosAcosBcosC < g

¡i)s s e nA- s e nB- s e nC- < -1 R e so lu c ió n

i) De la fórmula deducida en el problema(20) x2 = R2C1 - 8cosAcosBcosC) De donde establecemos 1 - 8cosAcosBcosC > 0

m < OAH = m < OAC - m < HAD = 90° - B - (90° - C)=C - B

•\ cosAcosBcosC < I 8 ii) De la fórmula deducida en el problema (18) 2

a2f ,

0A B

C)

2

2 j

x =R 1^8sen—sen—sen— En el A OAH, aplicamos ley de cosenos x2 =R2 + La2 - 2RLacos(C - B) ... (1)

l

2

en forma análoga que (i) tenemos A B C 1 sen—sen -sen —< 2

2

2 8

Además La =2RcosA ... del problem a anterior Reem plazando en (1) x 2 = R2 + (2RcosA)2 - 2R(2RcosA)cos(C- B) x 2 = R2 + 4R2eos2A - 4R2cosAcos(B - C)

En un triángulo ABC, el mayor valor que toma A B '• C . , 1 s e n —se n —se n —, es igual a 2

2

2

8

433

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Trigo n o m e tría

Problema24

Análogamente

E xprese el áre a del triángulo exincentral del triángulo ABC, en función del circunradio y de los ángulos del triángulo dado.

Resolución

C A BEc= 4 R se n ~ c o s—

...(2)

Luego

EaEc=BEa+BEc

...(3)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) ( A C C AY EaEc= 4 R |s e n - c o s - + s e n - c o s - l

EaEc=4R$enj^—y —j = 4R cos^

...(4)

Cálculo del circunradio (R') del AEaEb Ec

EaEc=2R'sen(^90o- | j = 2 R 'c o s | ...(5) De (4) y (5) obtenem os R'=2R Bien, la expresión que determ ina el áre a (S‘) d e triángulo exincentral

S' = 2(R ')2 senj^O0- ^ jsen^90°-|jse.n|^90o- | j . Hallando los ángulos del triángulo exincentral EaE*Ec. mm n + nt + tr + m r =

’ ABCD

1 V = -se n a

2

+ d 2- ( a 2+ c2) 2cosa

•'•Sabcd = —ta n a [(b 2 + d 2) - ( a 2 + c 2)] 4

Problema 28 En un cuadrilátero inscriptible ABCD d e área S, con circunradio R, simplifique la siguiente expresión K = V(ab + cd )(ac + bd)(ad + be) R esolución Para el cuadrilátero ABCD véase figura 6.40 S = S^B0 + SBCD „ S

pero luego

ad .b e _ = — senA + — senC 2 2 ,A + C = 180° => senA = senC S =^ d p

j se nA ... ( i)

Aplicando ley de cosenos en el A ABD y BCD, con el objetivo de calcular las diagonales BD2 = a 2 + d 2 - 2adcosA

... (2)

BD2 = b 2 + c 2 - 2bc cosC => BD2 = b2 + c2 + 2bccosA ... (3) , -cosA De las ecuaciones (2) y (3) a 2 + d2 - 2adcosA = b 2 + c2 + 2bccosA => cosA =

a 2-t-d2 - b 2 - c 2 2Cad + be)

.

437

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Trigonom etría

Sustituyendo en (2) BD2 = a 2 + d2- ¿ a d

a 2+ d2- b 2- c 2 /( a d + b c )

Ep; ^ (ab + cd)(ac + bd) ab + bc

b c(a2 + d2) + ad(b2 + c2) ad + be

, Bp _ j(ab + cd)(ac + bd) V ab + bc .

Si aplicam os ley de senos en el A ABD, obtenem os Despejando senA de (1) y sustituyendo en (4) d e (4) y (6):

I

(ab + cd)(ac + bd) ad + bc

^

BD = 2RsenA

BD- 2R( j y

... (5)

- (6)

4RS ad + bc

.-. K = 4RS

P A R A L A JE Si se mira a un objeto desde dos lugares diferentes, la dirección de la visual es distinta en ambos casos. Asf, por ejemplo, si un observador es colocado en A mira a un objeto P la dirección es AR Si el observador se traslada a B, la dirección en la que se observa al (Ajeto P es ahora BR La diferencia entre las dos direcciones AP y BP es el ángulo APB, este ángulo recibe el nombre de PARALAJE de P. Si A es una posición de la Tierra en su trayectoria anual, alrededor del Sol (S) B es la posición que ocupa seis meses después (vuelve otra vez a A en un año) y P es una estrella, el ángulo APB se llama PARALAJEANUAL DELA ESTRELLA.

te

, Q i. a '-

Problema29 En un instante determ inado el ángulo SOL ■TIERRA - ESTRELLA de una cierta estrella es de 95°27’45" y seis m eses m ás tarde mide 84°34'13.6". Calcule la paralaje anual de la estrella a la distancia a la que se encuentra d e la Tierra en la prim era posición y su distancia al Sol. R e so lu c ió n

En la figura 6.41, E representa la prim era posición de la Tierra y E’ la segunda, las líneas segm entadas con centro en S representa la trayectoria anual de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol. Ilustrando los valores de los ángulos dados en E y E' respectivamente entonces 0 = 1 8 0 °- ( E + E') .-.0 = 1,4" la línea EE' es una recta que pasa por el Sol y se d a com o EE' = 298 000 000 km. es la distancia diám etro de la órbita de la Tierra. Para calcular PE aplicamos la ley de senos. 438

Figura 6.41

C A P ITU LO VI

Relaciones fundam entales en el triángulo oblicuángulo

v:

EL P R IN C IP IO DE LA T R IA N G U L A C IO N V

Para m ed ir ia distancia que separa a dos puntos A y B, localizados en la superficie de la Tierra, uno de los cuales B es inaccesible, se recurre a la triangulación. El observador m arca en el suelo un tercer pu n to C, s e p a ra d o de A p o r u n a d is ta n c ia co n o c id a .

Lu eg o,-

apostándose en A enfoca con un te o d o lito hacia C y luego hacia B, anotándose el á n g u lo a . Repite el procedim iento desde el punto C, d a n d o el á n gu lo 0 del triá n g u lo ABC ' se tie n e tres inform aciones, un lado y dos ángulos y po r cálculo los trigo no m étricos (de la ley de senos), se puede calcular la distancia AB, la precisión del m étodo depende de dos factores: a q u e lla con que se m id a n los ángulos y la distancia AC, y el v a lo r del án gu lo B. Si éste es muy

>AB = d sen9

pequeño los ángulos a y 0 son casi rectos.

sena

Los pasajes de Venus M e d ir la d is ta n c ia T ie rra -S o l p o r tria n g u la c ió n de sd e dos bases de la T ie rra y aprovechando las ocasiones

en que Venus se ubica e n tre el Sol y la Tierra.

En este

m om ento desde los pu ntos A y B en la Tierra a latitudes distintas verán a Venus proyectado en posiciones

dife ren te s sobre el disco solar: para un observador el tránsito de Venus

durará más tiem p o que para el otro. M id ie n d o esos tiem pos de tránsito se obtiene, sobre el disco solar, la distancia d entre los dos pasajes de l pla n e ta . Luego se aplica el m étodo de tria n g u la ció n , el que dará con g ra n precisión la distancia.

*

£s innegable la utilidad de h matemática en la astronomía.

Así, por el principio de la triangulación es factible determinar la distancia Tierra - Sol.

439

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

E jercicios Resuelva los triángulos con los datos siguientes: 1. 2.

a= 40, A=60°, B=45° b=20, A=60°, B=70°

3. 4.

a= 4 , b= 5, A=60° b = 2 , c= 3, B=40°

5.

a= 3 , b= 7, B=150°

10. 11.

6.

a= 8 , b=10, A=30°

12.

7.

a= 5 , b=10, A=30° a= 6 , b = 4 , C=60°

8. 9.

a= 5 , b= 8, c= 9 b = 4 , c = l , A=20° a= 5 , b= 6, c= 4 a = 2V3 , b = 3+ S ,

R espuestas 1.

b =^ l O

; c = ^ (3 V 2 + >/6) ;C = 75° ü

2.

a = 10>/3csc70o ; c = 20sen50°csc70°; C = 50°

3.

N o existe e l triángulo

a = 3cos40° + 2 (4 - 9 s e n 240°)1/2; A = 140° -arcsenj^|sen40° j ; C = arcsen^

5.

-

V Í87-3 n/3 „ ono 3 . (3 c = --------------; C = 30° - arcsen— ; A = arcsen — 2 14 ^14

6.

B = a rc s e n ^ |j ; c = 4V3 + 2-72Í; C = 150°- arcsenj^|

7.

A = a rc s e n j^ j ; c = ^(\/Í5 + V3) ; C = 1 5 0 ° - a r c s e n ^

8.

c

= a/28 ; A = arcsen(3V 3) ; B = arcsen

2V3 V28,

9.

A = arccos| - | ; B = arccos|

ií);C-"cos(ii)

2 /3 ^ 10. a = 5 ; B = arcsen ----- ; C = arcsen — 5 10

11. A = árceos

12. 440

{» -

arccosl - I; C = arccosl - I

A=45°; B=!05°; C=30°

CO | C 'l

4.

Problemas propuestos 1.

La fam o sa Torre inclinada de Pisa te n ía originalmente 11073 pies de altura. Desde un punto situado a 80+307Í9 píes de la base de la torre, se encuentra que el ángulo de elevación de la parte m ás alta de la torre es de 60°. Encuentre la altura d e dicha torre. A) B) C) D) E)

82,2573 pies 80V3pies 82,25 pies 2073 pies 9073 pies

Encuentre el equivalente de senAsenBsenC

c)!

«i D>1 5.

En un triángulo ABC se conoce - + - = 72

c

á

;

B - C = 90°

Calcule 2tanAcos(B+C) A) - 7 3

B) - 7 2

D) -3 2.

La estación de guardacostas A está localizada a 120 millas al oeste de la estación B. Un barco e*nvía una llam ada SOS de auxilio desde el m ar, y la re c ib e n a m b a s e s ta c io n e s. La llam ada a la estación A indica que el barco está a 40° al norte del este. La llam ada a la estación B indica que el barco está a 30° al n o rte d e l o e s te . ¿A q u é d ista n c ia d e la estación A se encuentra el barco en mención?

6.

C) -2 E) -272

En un triángulo ABC simplifique M = (a+ b )2( l-c o s C ) + ( a - b ) 2(l+ co sC ) A) 2c2 D )2b2

7.

A) 110 73 csc70° millas

B) 2a2

C) 3b2 E) c2

En un triángulo los lados son núm eros enteros im p a re s co n sec u tiv o s. La su m a d e d o s ángulos es 60°. Calcule el á re a de dicha región triangular.

B) 100 73 millas

3.

C) 80 73 millas

A ) 1^

D) 200 millas E) 150 millas

D) 573

En u n triá n g u lo ABC se tie n e q u e m < A = 80°, se traza la ceviana BP, (P en AC) tal qu e : m < PBC = 10°, adem ás AB = PC. Calcule m « BCP. A) 10° D) 40°

4.

B) 20° *

'

C)30° E) 50°

8.

B) 373

0 E)

473 273

Los catetos de un triángulo rectángulo son: AB = 3 cm y BC = 4 cm; el triángulo gira 60° a lre d e d o r d e AB. C alcule el ángulo qu e form an la posición inicial y la posición final d e la hipotenusa AC. A) árceos |" |j

B) 30°

C) 16°

En un triángulo ABC se tiene que: cosA cosB cosC a 2+ b 2+ c 2 :---- — —----- i--------= ------- ñ----a b e R3

D) a r c o s j ^ j

E) 18°

441

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9.

Trig o n o m e tría

En un-tri ángulo ABC, reduzca la expresión:

2 A) 3

Q =a[sen(A + C )-senC ]+ b[senC -senA ] + c[senA -sen(A + C)] A) 0 D) -1

B) 1

C) 2 E) -2

3 'B ) 5

D )2

14.

10. Del gráfico m ostrado, calcule la longitud del segm ento AB.

2 C) 5 E )3

Dado el triángulo ABC, halle el equivalente de _ a-c co sB b -a c o sC c - b c o s A ’ E ---------------+ -------------- + ----------------- 2 RsenB RsenC RsenA R: circunradio del triángulo ABC A B C A) 8 s e n —se n —sen — 2

2

2

B) 8 seriAsenBsenC C) 4senAsenBsenC 11.

En un triángulo ABC, se cum ple B=0,25a, C=120° Determine el valor d e tan (A - B)

3J 3 11

B)

2 s Í3

3s/3

D) 4cosAcosBcosC „ A B C E) 8 co s—eos—eo s— 2 2 2 15. Del gráfico, halle el valor de EF si r = 1. ABCD es un cuadrado. F y G son puntos de tangencia.

C) 3^3 ’ E) 3V2

7 12. En un triángulo ABC, se cum ple 2a 2 + 3b 2 = 7ab a C = 30°. Calcule ta n ^ ^ ^ - ^ j ; siendo A>B

A ) i( 2 + V3)

B )^ J

D) 2V3

C )f E) V3 + 3

13. En un triángulo ABC, se cumple 2C 2 A ,, acos —+ eco s' — = kb

2

2

. Halle el valor de k para que sus lados estén en progresión aritmética. Además A): Su dominio es un conjunto de números reales o un intervalo de valores en el eje X. z = f(x; y) Su dominio es un conjunto de pares ordenados o una región en el plano xy. w= f(x;y;z) Su dominio es un conjunto de ternas ordenadas o una superficie en el espacio xyz. A continuación m ostram os algunos ejemplos al respecto.

Ejemplo 1 La función f(x )= x 2 tiene una sola variable independiente x. Su dom inio es el conjunto de todos los núm eros reales ( x e R ) . Su rango lo form a el conjunto de los valores de f(x) (variable dependiente), los cuales son todos los valores no negativos, es decir Ranfe [0;+°°). Evaluando para algunos valores d e x se tendría

m

h f(-l)=(-D 2 = l

f(-D = i

f(4) = (4)2 =16

f(4) = 16

Ejemplo 2 La función f(x;y) = | x | + 1y | tiene dos variables independientes x e y, el dom inio d e esla función e$ e\ conjunto de p ares (x;y) con x ,y e R y el rango es el conjunto de valores d e f(x;y) (variable dependiente), para esta función, sus valores son los no negativos, es decir Ran f= [0 ;+ ° ° ), evaluando para algunos valores d s x e y se tiene: f ( - l ; 2 ) = | - l | + | 2| = 3

f¡

l=m+ 2lj! = 23 ’

,

Un ejem plo real de una función de dos variables sería aquella co n la cual, anteriorm ente, se enfrentaban los alum nos postulantes a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) com o es su nota final d e ex am en d e admisión.

Aplitaqón Sea I la nota de examen de admisión de un postulante a la UNI (Universidad Nacional de ingeniería), en la actualidad (agosto 2002), el valor de esta nota depende de dos variables como son la nota promedio de examen A y la nota del colegio B. La correspondencia entre las variables queda así: I(A;B) = 0,9A + 0,1B Si la nota promedio de un postulante es 16,745 y la nota de colegio es 14,234, entonces para obtener la nota de exam en de admisión se procedería de la forma siguiente Identificando A= 16,745 y B=14,234 Luego

1(16,745; 14,234)=0,9(16,745)+0,1(14,234)

De donde la nota I de ingreso que obtendría el postulante sería 1= 16,493. De ahora en adelante nos abocarem os al estudio de aquellas funciones reales de una sola variable real (y=f(x)), au n q u e tam bién se analizarán funciones con m ás de una variable. .451

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T rigonom etría

Gráfica de Funciones La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos O; y) en el plano cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x). , Ejem plo 1 Grafique la función definida en y = x3 R esolución El dominio de esta función son todos los núm eros reales. En la tabla 2 listamos cinco parejas ordenadas d e la función. (Los valores del dominio se escogieron enteros de m anera que los correspondientes valores d e la imagen fueran fáciles de calcular).

-2 -1 -8 -1

X

y

0 0

1 1

2 8

Luego marcamos las cinco parejas ordenadas en el plano cartesiano, tal como se muestran en la figura 7.4(a). La curva resultante de la figura 7.4(b) sólo es una aproxim ación a la gráfica real de la función. Entre m ás puntos m arquem os m ás exactitud tendrem os en la curva resultante.

Figura 7.4

Ejem plo 2 Grafique la función y = 3x + 4 Resolución El dominio consiste en todos los núm eros reales. A continuación escogem os algunos valores convenientes para x y calculam os los correspondientes valores de y. X

-i

0

1/3

y

i

4

5

1 7

Tabla 3

En la figura 7.5, se ha m arcado las parejas ordenadas y al unir estos puntos m ediante una curva suave o lisa, la gráfica resulta ser un a línea recta. 452

C A P ÍTU LO Vil

Funciones trigonom étricas

A continuación, se tiene la gráfica de algunas funciones de uso frecuente. y= x y=x2 y=M y='Jx

1 —

y = V 1-x2

'

y = logr

Si la gráfica de una función y = f(x) se dibuja con precisión, usualmente es posible ver el dominio y el rango de f. (W ase figura 7.7). Nótese que el dominio de f es algún intervalo u otro conjunto de números reales en el eje X (se proyecta la gráfica de f sobre el eje A), y el rango de f es algún'intervalo u otro conjunto de números reales en el eje Y (se proyecta la gráfica de f sobre el eje Y).

Luego, dominio de f:[a;bl Figura 7.7

-453

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Trig o n o m e tría

Prueba de la Recta Vertical para una Función de la Forma y = f(x) Por la definición de una función sabem os que por cada x en el dominio de f corresponde un valor único f(x) en el rango. Esto significa que cualquier recta vertical que intersecte la gráfica de f puede hacerlo com o máximo en un punto. Y viceversa, si cada recta vertical intersecta la gráfica de una relación por lo m enos en un punto, entonces la relación es una función. , E jem plo

I.

En la figura 7.8(a) vemos que cualquier recta vertical intersecta la gráfica de la relación definida por y = (x + 2 )2, en máximo un punto. Por lo tanto, la relación determ ina una función y = f(x). II. Como la m uestra de la figura 7.8(b), una recta vertical puede intersectar la gráfica de la relación definida por (x| + |y | =2, en m ás de un punto. Por lo tanto, la relación no determ ina una función y=f(x). .

(a) Gráfica de una función

(b) No es la gráfica de una función

(Porque toda línea vertical la corta a lo más en un punto)

(Porque presentados puntos de corte)

(c) Gráfica d e una función (Porque presenta un solo punto de corte) Figura 7.8 Construcción de Gráficas de Funciones a partir de Gráficas de Funciones Conocidas A continuación se m uestra un conjunto de reglas que le ayudarán a realizar u obtener gráficas a partir de gráficas conocidas com o son una parábola, una recta, una senoide, etc.; para ello le sugerimos que siga con atención cada una de la reglas, asf com o sus ejemplos respectivos. 454

Funciones trigon om étricas

CAPÍTULO Vil ■

Regla 1

^

-

La gráfica d e la función y= f(x)+c se obtiene a partir de la gráfica de la función y =f(x) m ediante el desplazamiento de ésta a lo laigo del eje Y, c unidades hacia arriba si c>0, ó | c | unidades h ad a abajo si c T= 2n ; Si K = - 1 => T = - 2 n

Reem plazando (2) y (3) en (1) obtenem os Si K=2 => T= 4n ; Si K = -2 => T = -4rc

sen (x+T )=senx sen(x+ T )-senx= 0

.....(4)

y por transformación a producto de (4) se obtiene x +T - x x +T+x eos = 0 2 sen

R e d u c ie n d o 2s e n | ^ ^ j c o s | ^ ^ j = 0 de donde obtenem os dos condiciones.

sólo involucra a T, lo cual indica que existe T, en consecuencia, la función es periódica

468

Si K=3 => T= 6n ; Si K = -3- =>T = -6 n Si K=4 => T= 8rt ; Si K = -4 =*T.= -8 tt ... etc. de donde T = . .. - 4 n ; - 2 n ; 2 n ;2n;47i;67t;...

....(6)

todos estos valores son periodos de la función

Pero co m o h a b ía m o s m e n c io n a d o , se considera com o periodo principal o mínimo a! menor valor positivo d e estos valores (6), en consecuencia escogem os T= 2rt. Luego podem os afirm ar qu e para la función f(x)=senx existe un periodo T y este es -2n.

C A P ÍTU LO Vil

Funciones trigonom étricas

S egundo M étodo. M étodo d e id en tid ad • Si k = l => T = ~ => s e n íx + - 1 = c o s x 2 ■ I, 2J

A partir de la definición

reducción al primer cuadrante

f(x + T) = [ W ; T >0 sen(x+ T )= serur

....(1)

(No cum ple la condición (1) porque

D e sa rro lla n d o el p rim e r m ie m b ro p o r identidad de arcos com p u esto s (revise la página 300)

el segundo m iem bro debería ser sen * )

=> de (1) serur cosT+senT cosx: = serur

seguiremos nuestro tanteo con el siguiente ángulo^ cuadrantal.

=> El periodo no es ^ , en consecuencia,

... (2)

Com pletando el segundo m iem bro se tiene cosTserur + senT cosx = 1•serur + Ocosur ...(3)

------ T

T

• Si k = 2=>T = 7t=> sen (x + 7i) = - s e n *

T

por reducción al primer cuadrante

(No cum ple la condición 1).

Identificando obtenem os cosT = 1 y senT = 0 (No olvide que estéis dos condiciones d eb en verificarse en sim ultáneo para que la igualdad (3) se cum pla) Como T d ebe ser positivo T > 0

=> El periodo no es i t , en consecuencia proseguim os nuestro tanteo. •• Si c- ik = 3=>T o ' *r 3 ti =>sen ( x +3?t) =— — = -co sr ,

-

2

De (4) a (5) se obtiene que los valores d e T son T= 27t;47t;67t;8Tc;...;2nk ; ( k e Z +) Puesto que se escoge el periodo T com o el m enor valor positivo, éste sería 2 n . Luego podem os afirmar q u e la función f(x)=serur es periódica de periodo T= 2 n . T ercer M éto d o . Tanteo p o r ángulos cuadrantales

A partir de sen(x+ T )=serur

.... (1)

T

acerca de T

Por las identidades de reducción al prim er cuadrante se tiene que T debe ser un ángulo cuadrantal

=

; k e Z+ j , de tal forma se

em plearía el tanteo con

I

2 J

por reducción al primer cuadrante

Si cosT -1 => T = 2ti ; 4rc; 6 n ; 8 tc; 1Oti ;... (4) senT= 0 => T = 7t; 2 n ; 3 n ; 4rr; 5?t; 6 n ; ...(5)

.

(No cum ple la condición 1). =» El período no es ~ , luego seguiremos ta n te a n d o c o n el sig u ie n te án g u lo cuadrantal. • Si k = 4=»T = 27i=»sen(jr+2n) = s e n x por reducción al primer cuadrante

(Si cum ple la condición 1). P u e sto q u e el v alo r d e T = 2n c u m p le , podem os afirmar luego que los valores d e T s e rá n lo s m ú ltip lo s d e

2 n , e s to es

T = 27t;47i;67t;8n;... Pero se esco g e có m o p erio d o al m e n o r positivo, por lo qu e podem os afirmar q u e la función f(x)=senx es periódica y d e periodo igual a 2 n . 469

Lumbreras Editores

II.

Trig o n o m e tría

Por definición g(x+T) = tan(x+T) Desarrollando el segundo m iem bro , tanx + tanT g(x + T) = —— -------- -, para que se cumpla 1- t a n x t a n T la definición d e función p erió d ica; , ' ., . , . tan x + tanT gO +T)=gO ), es decir — ----- --— - = t a n x , 1 - ta n x ta n T tenemos tanT = 0 Entonces T = n ; 2j i ; 3rc; . .. ; nk 4 k e Z Luego la función y = tanx es periódica; el periodo de dicha función es n . Análogamente El periodo de la f u n c i ó n y= cosx es 2 j i , de y=cobr es es 2rt.

ji

, de y = secx es 2n , de y= cscx

Como ya habíamos m encionado al inicio del presente capítulo, la característica principal de la s fu n c io n e s tr ig o n o m é tric a s e s q u e s o n periódicas, lo que ocasiona que su uso sea frecuente p ara m o d elar de form a m atem ática diversos fenómenos reales. A continuación mostramos una de éstas aplicaciones, para ello se sugiere que preste la atención respectiva, ya que el objetivo es que usted com prenda que la m atem ática com o ente abstracto tiene relación con la vida cotidiana. Continuidad de una Función en un Punto La noción intuitiva de continuidad d e una función em un p u n to e s tá re la c io n a d a estrechamente con el aspecto gráfico de la función en los alrededores del punto, sugerim os que lea la siguientedefinición provisional de lo que es una función continua. Una función y=f(x) es continua en un punto x = a de su dominio, si en ese punto la gráfica de la función no presenta saltos (se puede realizar su gráfica sin levantar el lapicero). Veamos a continuación gráficas de funciones qu e no cum plen con la condición m encionada anteriorm ente. 470

Figura 7.28

Visto anteriorm ente podem os m ostrar ya la definición m atem ática d e continuidad d e una fu n ció n en u n p u n to , d ic h a d e fin ic ió n formalmente es La función f es continua e n x = a ; d onde a es un punto de acum ulación y pertenece al dominio si se cumple las tres condiciones siguientes: 0

f(a) existe

/'/')

lim f(x ) existe

x-»a

iii) lim f(x) = f(a) x -+ a '

En la definición d ad a la palabra existe indica que existe un núm ero real cuando se efectúan los cálculos en los incisos i) y ii). Si alguna de estas tres condiciones rio llegara a verificarse afirm a re m o s q u e la fu n ció n es discontinua (no continua) en x = a . «ota

■ [

La notación limf(x) se lee límite-de f, cuando x x -» a

* tiende a a (éste es el valor aproximado de f • cuando x, está más próximo de a).

■ C A P ÍTU L O Vil___________________________ ___________________________Funciones trigonom étricas

- - ANÁLISIS DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES Función Seno Ei dominio de la función y = sen x son todos los núm eros reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese q u e los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos especiales del prim er y segundo cuadrante, d e tal form a que los valores correspondientes de la im agen (y) son fáciles de calcular.

X

0 71/6

y = senx 0

1/2

71/3

n/2

2ti/3

3ti/4

V2/2 V3/2

1

S/2

V2/2

7t/'4

5ti/6 ' n 1/2

0

Luego m arcam os en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal com o se m uestra en la figura adjunta.

Figura 739

Ai m arcar otros pares ordenados (utilizando una calculadora científica) y unirlos m ediante una curva suave o lisa, se obtendrá la gráfica de la función y =senx, llam ada senoide.

•

Dom f = R , es decir, x e R

•

Es una función impar, ya que se n (-x )= -se n x (la gráfica presenta simetría con respecto al origen de coordenadas).

y

Ran f = [-l;l], e s d e c i r ,- l < s e n x < l

1

Es creciente Vxe

+ 2 k n ;^ + Ikn'j y'decreciente V xe ^ + 2 k n ; ^ + 2kn^; donde k e Z

• Es de periodo 2n • Es continua Vx e R , o sea es continua en su dominio. También es de uso frecuente'la definición siguiente para la función seno f = {(x;y)/y = s e n x ; V xe R} 471-

*’*'*

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Función Coseno

.

De m anera similar a la función seno, se obtiene la gráfica de la función v=cos.r, llam ada cosenoide.

De la gráfica de la función y=cosx, tenem os •

Dom f = R , es decir, x e R

•

Ranf = [—I;l], es decir, - l < c o s x < l

• •

Es una función par, ya que cos(-x)= cosx, (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y). Es decreciente Vx e (2k7t;2k7i + n) y creciente V xe (ji+2krc; 2jt + 2k7t), donde k e Z

• •

Es d e periodo 2n. Es continua V x e R, o sea, es.continua en,su dominio. De igual form a, q u e la fu n ció n a n te rio r, e s c o m ú n utilizar su d e fin ic ió n d e la fo rm a

f= {(*;>')/y = c o sx ; V r e R} Función Tangente Los elem entos del dominio de la función y= tanx, puede ser cualquier número real, excepto los de la forma (2k + l) ^ siendo k un núm ero entero. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dom inio (x) están entre - n /2 y n /2 y son ángulos especiales, de m anera que los valores correspondientes d e la imagen (y) sean fáciles de calcular. y VaX

-í

O

s

- ti/6 |0 co

= tanx

- rt/4

1

y

- n /3

jc/ 6

V 3/3

Tt/4 71/3 1

s

Tabla 6 Luego m arcam os en el plano cartesiano. Los pares ordenados obtenidos en la tabla anterior, tal com o se m uestra en la figura adjunta (ver figura 7.32). Al m arcar otras parejas ordenadas y unirlas m ediante curvas suaves o lisas, se obtendrá la gráfica de ja función y = ta n x (v éa se figura 7.33). Las lín e a s v e rtic a le s punteadas no son parte de la gráfica, son asíntotas. La gráfica se aproxima a cada una de las asíntotas pero nunca las alcanza. 472

VL. 3 7

3

4

6

—i--- r— r -

-t —T

JE

S.

£

6 4' 3

3

--------~ - V 3

Figura 7.32

JE

2.

C A P ÍTU L O VH

Funciones trigonom étricas

Del gráfico de la función y=tanx, tenem os Domf = R - ( 2 k + l)^ ; k e Z e s decir x * ( 2 k + l) ^ Ran f = R , es decir tanxe R •

Es un a función impar, ya que ta n (-x )= -ta n r (Laográfica presen ta sim etría con respecto al origen).

•

Es creciente V x e ^ - 2 + k n ; í + k n ^ ;k e Z

•

Es u n a función periódica, de periodo igual a n .

•

Es continua V x e ^ - í + k tr ;^ + k n ^ ;k é Z . Es decir, es continua en su dominio.

Función Cotangente De m anera similar a la función tangente, se obtiene la gráfica de la función y = cote (véase figura 7.34).

473

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

De la gráfica de la fundón y = cotx, tenem os •

D om f = R -{ k rt} ;k e Z , es decir, x * krc

•

Ran f = R , es decir, cotve R

•

Es una función impar, ya que c o t(-x ) = -cotx . (La gráfica presenta simetría con respecto al origen). ■

• • •

Es decreciente Vx e (kit: kn + n ); k e Z . Es una función periódica de periodo igual a r t . Es continua V x e (krc; krt + jt); k e Z . Es decir, es continua en su dominio.

Función Secante Los elem entos del dominio de la función y = s e c x , puede ser cualquier núm ero real excepto los de la forma (2k + 1 )- , siendo k un número entero. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están entre Oy n y son ángulos especiales, de m anera que los valores correspondientes de la im agen (y) sean fáciles de calcular. X

-n /3

- jt/4

- 7 t /6

0

n/6

x /4

n /3

2V3 2^3 y = se c x V2 V2 2 2 3 1 3 Tabla 7 Luego m arcam os en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal com o se m uestra en la_ figura adjunta. Al m arcar otras parejas ordenadas y unirlas m ediante curvas suaves o lisas, se o b te n d rá la gráfica d e la función y = s e c x (v é a se la figura 7.36). Las líneas verticales punteadas no son parte de la gráfica, son asíntotas. En la figura se h a graficado tam bién y = c o s x ; ya que

secx = —í— e n to n c e s las cosx ordenadas de la función y = secar, serán los recíprocos de las ordenadas de la fu n ció n y = c o s x , p a ra v alo re s correspondientes de x pertenecientes a los dominios de las funciones secante y coseno. N ótese la m an era en que au m en ta o disminuye sin límite la función secante cuando x se aproxima a (2k + l) ^ para cualquier entero k. 474

Figura 7.35

F ig u ra 7.36

De la gráfica de la función y = s e c x , tenem os Domf . R - { ' (2k + l);

; k e Z; es decir x * (2k + l ) ^

Ranf = {-°°;-1] u [1;-h=°); es decir s e c x s - l ó s e c x ^ l Es u na función par ya que s e c ( -x ) = s e c x (la gráfica presenta sim etría con respecto al eje Y). •

Es

c r e c ie n te V xe ¡2kn-,2kn+~j donde k e Z ó V xe ^2kn+^;2kjt+Jt)

y

es

d e c r e c ie n te

V xe ^2kn+7r, 2kn+ — j ó V xe ^2kn + — ;2kn+ 2nJ. •

Es un a función periódica, de periodo igual a 2 n .

•

Es continua Vxe ^ - í + krt;~ + knj; k e Z . Es decir, es continua en su dominio.

Función C osecante E m p le an d o la gráfica la función y = s e n x , p o d em o s graficar ia función y = c s c x . Ya q u e esc x = — — , entonces puede calcularse la ordenada de un punto d e la gráfica d e la función cosecante senx evaluando el reciproco.de la ordenada correspondiente en la gráfica del seno para cada valor d e x, excepto x = krc para cualquier entero k. ( Si x = k n , senx = O y, por consiguiente —-— es indefinido). senx Nótese la m an era e n que aum enta o disminuye la función cosecante, cuando x se aproxima a kn para cualquier entero k. En la figura 7.37 se tiene las gráficas de las funciones y = e sex e y - s e n x .

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Figura 7.37

De la gráfica de la función y = cscx , tenem os •

Domf = R-{krt};ke Z, esd ecir,x * k n

•

Ranf = (-© o;-l]u[l;+°o), es decir c sc x < - l ó cscx > 1

•

Es una función impar ya que csc(-x) = -csc x (la.gráficá presenta sim etría con respecto al origen).

•

Es

c re c ie n te

' Vx/2k7i; 2kn +

Vxe / —+ 2kn; n + 2kn\ donde ke Z ó Vx/it + 2k7r; — + 2kn\ ; \2 / \ 2 / ó V xe

y

d e c re c ie n te •

+ 2krc; 2kn + 2nj .

•

Es una función periódica, de periodo igual a 2n .

•

Es continua Vxe (k7t;kir + jt); k e Z , es decir, es continua en su dominio.

Resum en

2n

ninguna

2n

par

x = —+ n k ; k e Z 2

R

ti i x = - + Jtk 2

n

impar

x = nk; k e Z

R

-x = nk

rt

im par

x = —+ n k ; k e Z 2

271

par

ninguna

2n

impar

ninguna j_--------------------- —

Rango

y = seav

R"

l —l;l]

y = cosx

R '

y = taav

r - ( íM

y = cotx

. R -{nk}

y - secx

R - j í + nk}

y - cscx

R-{rtk}

; - l ] u [ l ; °°)

Asíntotas Verticales ninguna

n , x = - + nk 2 x = nk Tabla 8

476

Intercepciones ¡

Par o Impar impar

Dominio

Periodo

con el eje X x = Jtk; k e Z

C A P ÍTU LO Vil

Funciones trigonom étricas

Gráfica de la Función que tiene por Regla de Correspondencia r---------1—*----- !-------- ---- \ [ f(x)=Asén(Bx+C)+D j En el estudio de las funciones trigonométricas, debem os dar importancia a la curva senoidal por su aplicación en diversas partes de la astronom ía, m atem ática, m ecánica, electricidad, etc. Realizando el estudio de la función definida por y=Aserw La amplitud de esta onda es |A| Además • |A| es el m áxim o valor de la función • —| A | es el m ínim o valor de la función Ejemplo Grafique en un m ism o plano cartesiano las siguientes funciones, cuyas reglas de correspondencia son f(x) = ^serur; g(x)= sen* y h(jc) = 2seruc

R esolución En la figura 7.38(a) se han graficado las funciones f; g y h, donde la amplitud de estas son respectivamente 1/2,1 y 2.

Si la constante A en y=Aserur es negativa, se tendrá una reflexión en torno al eje X (véase regla 3 d e este capítulo). 477

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Entonces la gráfica de y = --Uenx ; es una reflexión de y = -se n x v tiene una amplitud d e - 2 2 ' | 2 (Véase figura 7.38(b)).

Análogamente en las figuras siguientes, se observan las gráficas de las funciones que tienen por regla d e correspondencia y = - c o s x ; y = 2tanx ; y = -co tx ; y = 3secx ; y = -2cscx. En lineas entrecortadas 4 3 se han graficadó las funciones definidas por cosx;

ib) En la figura 7.39(a) se observa que las gráficas y=

y= - c o s x los periodos son iguales a 2ir, los

coeficientes 1 y ^ no alteran el periodo. El periodo de las funciones y=tanx ó y = 2 ta n x , es el m ism o y es igual a T = it. (Ver figura 7.39(b)) En la figura (7.39(c)) se observa las gráficas y= cotx a y= i cotx que el periodo para am b as funciones es el m ismo e igual a re; y los coeficientes 1 y ^ que se observa no alteran el periodo, tam poco el rango. En la figura (7.39(d)) se observa las gráficás de las funciones y=secx, y=3secx que el periodo para am bas funciones es el mismo e igual a 2re. Y tam bién los coeficientes 1 y 3 no alteran el periodo.

478

C A P ITU L O Vil

Funciones trigonom étricas

y = 3secx

(c) (d) F ig u ra 7.39

Estudio de las Funciones de la Forma y=F t(B x) Realizando el estudio de la función definida por y= senB x determ inam os que su periodo es 2n T=- . tB |

Ejemplo

G ra fiq u e e n u n m ism o p la n o c a rte s ia n o las s ig u ie n te s fu n c io n e s c u y a s re g la s d e correspondencia son f(x) = s e n ^

En efecto, por definición de función periódica tenem os senB(jc+T) = senBx.

g(x) = senx

Entonces

h (x ) = sen2x

sen(Bx+BT)= senBx de donde la igualdad anterior, se cum ple para BT=.... -27t; 0; 2íc; 4 zz; 6rt;... escogem os el m enor valor positivo BT= 2;t Despejando T=

2n B

Si B < 0 => T =

Es evidente que las am plitudes d e f, g y h son ig u a le s a 1. Sin em b arg o , los p e rio d o s so n diferentes y se hallan d e la siguiente m anera •

Periodo d e f :

T=

2te T

T = 4?t

2

2ít Si B > 0 => T = — B •

Resolución

271

• . . es decir

Periodo d e g:

T=

2n

T = 2ti

111

. 2)t T = -—IB | •

Periodo de h:

• 2n T=

|2|

T = 7t

479

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Las gráficas de las funciones f; g y h se encuentran representadas en la figura 7.40

Figura 7.40 En la función definida por y=senBx, siendo la constante B positiva. •

Si B> 1, la gráfica se contrae hacia el eje Y.

•

Si B< 1, la gráfica se estira con respecto al eje Y (ver regla 6 en este capítulo).

•

Análogamente, se observan las gráficas d e las funciones que tienen por regla d e correspondencia X y =cosSx ; y = ta n ^ a y= csc4x (verfiguras 7.41 (a), 7.41 (b) y7.41(c)).

480

¿APÍTULO Vil

Funciones trigonom étricas

En líneas entrecortadas se han graflcado las funciones definidas por y=cosx; y=tanx a y=cscx. El periodo de la función definida por _

_

2n

=cos3x es T= -JTT’ l13!

2ji

:; piientras

que el periodo de la función definidopory=cosjres 2n(verfigura 7.41(a))

El periodo de la función definida por y=tan -

es T=

n |1 /2 |'

=2 Jt, mientras

que el periodo de la fundón definida por y = tan* es n . ver figura (7.41 (b)) El periodo de la función y=csc4x es

2it

it

T= — = - ; mientras que el periodo de y=cscx es 2 n . (ver figura 7.41 (c))

Figura 7.41

Considerando que A, B * Oj-entonces los periodos de las funciones cuya regla de correspondencia son y-AsenRr ; y=AcosBx ; y=AsecB* e y-AcscBjt .

,*

_

2n

sonigualesa T=r=r l°l

'

,

' ■ •'

Además los periodos de las funciones cuya regla de correspondencia son y=AtanBx e y=AcotRir son iguales T= — .

1B |

481

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Así por ejemplo: 1 , y = - sen5x 3

es

2n T = — ■= 5% I5|

El periodo de la función definido por

y = cos(-2x)

es

T = — = Tt |-2j

El periodo de la función definido por

y = tanrcc

es

El periodo de la función definido por

y = 2csc(-& x)

es

T=— = 1 l«l ' 271 _ 71 = F s ¡ ~4

El periodo de la función definido por

y = - 5c° t [ | ]

es

El periodo de la función definido por ♦

Ejem plo 1 Una boya en el océano oscila de arriba hacia abajo m ientras las olas pasan. Suponiendo que la boya está en su punto m ás alto en t=0, adem ás la boya se'm ueve un total de 80 cm desde el punto m ás alto cada 12 s. E n c u e n tre la e c u a c ió n d e la bo y a q u e e s tá en movimiento.

3 ji T=— = 2 y

J

so ¿m1

Resolución Sea y = AcosBt

Figura 7.42

del gráfico A=40 cm y del periodo y = 40 eos

12 = — B

B= -

f 7tt 6

Realizando el estudio de la función definida pory=sen(x+ C ), entonces el cam bio o núm ero d e fase es -C , si consideramos x+C=0, tenem osx=-C; si x+C= n , tenem os x= n - C y cuandox+ C = 2 n, tenem os x= 2 n-C; esto significa que la gráfica de y = sen * se desplaza a lo largo del eje X una magnitud | C | . Ejem plo 2 Com parem os las gráficas de lasTunciones cuyas reglas de correspondencia son f(x)= sen^jr + 5 j

,

g(x)= senx

y

h (x )= se n ^ x -^

Para cada una de estas funciones la amplitud y periodo son 1 y 2 7t respectivamente. Para hallar el núm ero de fase basta igualar a cero cada ángulo, es decir ''Significa que la gráfica de y=senx se ^

De la función f: x + - = 0, entonces x = - 4 4

De la función h:

482

n Jt x — =0, entonces x= 4 4

desplaza — unidades a la izquierda. Significa que la gráfica de y=serur se ' desplaza ~ unidades a la derecha.

C A P ÍTU LO Vil

Funciones trigonom étricas

En e! siguiente gráfico se tienen las gráficas de las funciones f, g y h (véase los desplazam ientos a la izquierda y d erecha con respecto a la función que tiene por regla de correspondencia g(x)=senx).

* Si C>0, la función definida por y = sen (x+C ) se desplaza C unidades a la izquierda • Si C x * K n ; (K e Z )

=> - l < s e n 2x c o s2x - l < —-

D e ( l) y ( 2 ) se concluye r e R - y

1 4 -1 > -----=------- 5------ > — sen x c o s x - 1 3

Invirtiendo

...........(2) ; (K e Z )

V. D o m f = R - y ; (K e Z )

Hallando el rango cam biam os el sentido d e la desigualdad I. ~ - l <

3

,

1

2 -

sen x c o s Jf-1

Si x e I C v x e I I C ^ c s c x > 0 = > |c s c x | = cscx

f(x) = - ta n x

.....(4)

se n x => - - < f ( x ) < 0 C om o .-. Ran f = - - ;0 3 J

X * ~ Y =* fanx?tO

d e (3) y (4 ) se

concluye Ran f = R - {0}

Problema 5

Problema4 Halle el dominio y rango de f(x) =

secx I cscx I

8 De la función f, definida por f(x )= —---- =- analice 2 - s e c 'x la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones

% Resolución Se sabe, por teoría, que la secante no está definida

I.

Dom f = R - j( 2 n + l)^ J; n e Z

para arco s q u e ad o p ta n la form a ( 2 K + 1 ) ^ ;

II.

Ran f = (0 ;+ « )

(K e Z ) => x * (2k + 1 ) - ; (K e Z ) ...........(1)

III. f es una función par

493

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Resolución

Problema 6

l.

Averigüe qué funciones son pares o im pares en los siguientes caso s q u e tien en p o r regla de correspondencia.

Para que f este definida, debem os tener en cuenta que por ser x argumento de la secante, tenemos que x * (2K + 1 )^ ; (n e Z) Además, sec2x * 2 => s e c x * ± V 2 n n 3n 5it => x # . . . ; — ; —; — ; — ;... 4 4 4 4

f(x) = s e c x - | tanx | .

III. f(x) = 2senx + 3cosx IV. f(x)=x3tan(rcx) Resolución De acuerdo a la definición de función par o impar, busquem os la ecuación de f(-x)

x * n r c ± - ; ( n e Z) 4 Entonces concluimos que D o m f= R - (2K + l)^ ;n jt + í

II.

; n.KeZ

I.

—X

—X

f(-x ) = ----- -— - = ------- , entonces c o s(-x ) co sx

Por lo tanto, I es falso. II.

f (- x )= — — , luego f(-x )= -f(x ) co sx f(x)

Ahora considerando el dominio, tenem os que sec2x > ] ; se c x * ± y ¡2

f es u n a función impar.

- s e c 2x < - I ; - s e c 2x * - 2 2 - s e c 2x < l ; 2 - s e c 2x * 0

II.

f(-x ) = s e c (-x ) - 1ta n (-x ) | f(-x ) = s e c x - |t a n x |

2 - s e c zx< 0 v 0 < 2 -s e c 2x < 1 ------ — =—< 0 v -----— 2~>1

2 -se c x

2 -se c x

en to n ces' f(- x ) = s e c x - 1tan x | luego f(-x)=f(x) ••• f es una función par.

Las particiones se han invertido III. f(-x ) = 2 se n (-x ) + 3 c o s(-x ) 8

-8

=> Ran f = { -" ;0 } u [8 ;°°)

f(-x ) = -2 sen x + 3 c o s x , entonces f(-x ) * f(x) y f(-x ) *- -f(x ) f no es una función par, tam poco impar.

Por lo tanto, II es falso. IV. f(-x) = (-x)3 tan ( - n x)

III. Finalmente, como 8 f(-x ) = , 2 - s e c 2( - x )

8 = f(x ) 2 - s e c 2x

e n to n c e s, f es u n a fu n c ió n p a r ; III es verdadero. 494

= (-x ^ í-ta n n x) f(-x) = x3 tan( k x) f(-x) = f(x) .-. f es función par

C A P ITU LO Vil

Funciones trigonom étricas

Problema 7 S ea la fu n c ió n f d e fin id a p o r ia re g la d e correspondencia f(x)= secx+ tanx.

ta n ji< ta n Í2 + 5 l < t a n — 2 4' 4 0

<

f(x )

á

1

, halle el rango.

Si x e

R esolución Transformando la función f. f(x) = se c x + tanx f(x) = c s c ^ 2 - x j + c o t ^ 2 - x

Aplicamos la identidad de arco m itad e COt- = CSC0 + COt0 2

f W - c o t |J - | También, por su cofunción, obtenem os

Finalmente, Ran f = (0; 1]

f(x) = ta ñ í 2 + | | ........(I)

Problema 8 Halle el dom inio y el rango de la función f, cuya regla de correspondencia es

Ahora, del dato, form am os (1) Tenemos

^ 2 < x < 2n

f(x) = Ví + sen2x+ \/l + cos2x

Multiplicando ^ : ^ 2 < 2 < n „ , x Sum ando ^ : X

ti

3n it x x , ' J +4 < 2 +4

R esolución n 4

5 te

=» 7t< —+ —< — 2 4 4

Véase la figyra 7.50 donde se h a presentado los X

71

—

f(x) = Ví + sen2x +Vl+cos2x De la función f se observa que aparecen

funciones seno y coseno, sabemos que están definidas en R , además los radicales no afectan el dominio ya que l+sen2x>0 a 1+cos2x>0; V xeR

valores d e —+ ^ . luego obtenem os los valores de tan

fx

J t\ -

Elevando al cuadrado

f2(x) = 3 + 2^2+sen2x eos2x

495

T rigonom etría

Lumbreras Editores

Extrayendo raíz cuadrada f(x) = v3 + 2V2+sen2x eos2x Recordem os

- i < s e n x c o s x < - ..... 2 2

(1)

Formamos f(x) a partir de I Elevamos al cuadrado 0 < s e n 2x c o s 2x < 4 Sum am os 2 Q 2 < 2 + s e n 2x c o s2x < 4

Extraemos raíz cuadrada y¡2i =V 3u

Multiplicamos 2 De la ecuación 2>/2 < 2^2+ sen2x eos2x < 3

y=2cosBx

Sum am os 3 Al periodo lo expresam os com o 3

+ 2%/2 D = 3 - 2 = l V3 f S a) T - .c o ^ T B

V3B

n ■-

Luego, la ecuación q u ed aría así f(x )= 2 sen (x + C )+ l ..........(1)

Luego, ^ = 3\/3 Evaluemos el punto M: f|

(H

Reem plazando en (1) T = 2(3>/3) = 6>/3

T = 6>/3

ca lc u lare:

en (I), para

f ^ ^ j = 2sen| -1

Problema 10 Í5 n

Halle la regla d e correspondencia de la siguiente

,e n \ T

senoide.

,

5n

c )=_1: T

„

3n

C=T

_

^

n

c= 4

Por lo tanto, la ecuación d e f es f(x) = 2sen!

(**!)*'

Problema11 D etermine el periodo d e las siguientes funciones I.

f(x) = 2sen3x - cos2x

II.

h(x) = tan(cosx)

Resolución R e so lu ció n

R ecordem os q u e p ara to d a función periódica (

C o n s id e re m o s la e c u a c ió n d e la o n d a g e n e ra liz a d a *f(x) = A sen (B x + C ) + D. P ara determ inar la am plitud del gráfico es conocido:

d e b e e x istir u n n ú m e ro rea l T > 0 , tal q u e

ymax = 3 . Tmin = -1 • Luego, la am plitud de f es | A | = ^'max ^min = 2, es decir A=2. La constante

f(x+T)=f(x) De (1) f(x+ T )=2sen3(x+ T )-cos2(x+ T ) f(x+ T )= 2sen(3x+ 3T )-cos(2x+ 2T ); f(x )= 2sen3x-cos2x

497

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Se cu m p le f(x+ T )= f(x) si

f(x) = \/2 csc2x

3 T = 2 n ; 4 n ; 6 tt; 8 n ; .... ;2kTt, k e Z

2 n .4 7i.[ TW

!'. 8?:,. .... ; 2 k | , k e Z •3 ’

f(x) = V 2 c s c x ; 0 < x < 7t II.

T am bién,

y¡2 I C S C X -|

f(x) =

n< x< 2n

...(1)

f(x) = x / [ c s c x |( |c s c x |+ c s ^

2T = 2j i ; 4 te; 6 rt; 8 rt; .....;2n7c, n e Z

| cscx | = —cscx

* -c sc x

^cscx

T = n ;i 2n ¡ ;3 it;4 jt;.....; n ; t ; n e Z L uego, elegim os al m e n o r valor d e T co m ú n .

se obtiene f(x) = ^ (- c s c x ) ( - cscx + cscx)

.-. p e rio d o d e f e s 2ti..

=> f(x) = x/-cscx(0)

De (II) h (x + T) = ta n [c o s(x + T)] ; h (x )= ta n (c o sx ) S e cu m p le h (x + T )= h (x ) Si T. = 2 j t ; 4 n ; 6 n ;

f(x) = 0

;

ti <

x < 2tc ... (2)

De (1) y (2)

;2 7 tk ;k e Z

I

/. p e rio d o d e h e s 2 ji .

-j2 csc x 0

; ;

0< x < 7 i 7t < x < 27t

Problema 12 Halle el rango y construya la gráfica d e la siguiente función f(x ) = ^ f c s c x j( ¡ ^ s c x ¡ T c s c jr ) tal q u e x e (0 ; 2%) - {re}

Resolución C o n sid erem o s 0<

II.

7 t< x < 2 n =» |c s c x | = - e s c x

x

<

=> |c s c x | = c s c x

I.

tc

L uego, sustituyendo e n f(x) I.

0

desigualdades (1) y (2) se p ueden multiplicar, de

lim s e n x = s e n - = l n

2

2

donde se obtiene

2

lim f(x)

n* x~>—

=*

kit limkx+2 = — + 2 x-+— 2

2

jt+

0 < x ( l- c o s x ) < 2 ;i

2

=* 0 < f(x )< 2 it

Como lim f(x) debe existir n X~¥2

Aplicando el m étodo d e producto de funciones, obtenem os la gráfica d e la función

=> lim f(x) = lim f(x) ji* x~>-zX-*— 2 2 l

III.

f(x)=x( 1-cosx)

= Í2 +2

2

, krc -1 = — 2

. 2 => k = — rt

lim f(x) = f [ J j = l

, 2 . r . 7t k = — hace que f sea continua en x = 71

¿

Problema10 Si el d o m in io d e la fu n ció n f d e fin id a p o r f(x )= x ( 1-cosx) e s [0;n], e n to n c e s halle los valores de f y bosqueje la gráfica de f.

502

Ranf = [0;2it]

Funciones trigonom étricas

VPITULO Vil

froblema20 t Dada la función f; cuya regla de correspondencia

y por prop ied ad d e arcos com puestos f(x) se convierte en

presentam os a continuación I-

'

. 2tanx l-ta n 2x f(jf) = -------- — +

1+ tan2*

1+ tan2*

A nalice la v erdad (V) o falsed ad (F) d e las h . . i siguientes proposiciones L

f(x) = 72 se n ^ 2 x + ^

aplicación d e sen0 + cos0 = 72 senj^ 0 + í j Pero 2jr + - ^ ( 2 k + l ) n + 4 4

R a n f= [-7 2 ;7 2 ] - { - ! }

se deduce d e x * ( 2 k + l)—; k e Z

f es una función cuyo periodo es igual a n

Luego -1 < sen

III.

fe sm á x im a Vx = k n - ^ ; k e Z O

Véase en la C.T. adjunta

IV.

25n Si x e ( — ; 4n) => la función f es creciente

Íí II.

Resolución

H ) sl

,

* J „ . 2tanr l - t a n 2x Dado f(x)= --------s - + ------- 5— 1+ tan 2x l+ ta n 2x

sen^2x+-®)

1ro. -1 Restringimos los valores de la variable angular por estar p resen te la tan*; x * ( 2 k + l ) í ; k e Z por haber cocientes 1+ tan2* * O (Debido a que esto siem pre se cum ple, no hay restricción alguna) 2x + p u e d e ser. cualquier arco d e la C.T. 4 ] % '

Dadas las restricciones se-tiene que * * (2 k + l ) |; k e Z

2do. '

menos los de la forma (2k + l)n+ — ; k eZ 4

•

Por

72 :

-7 2 < 7 2 s e n ^ 2 x + ^ js 7 2

Para poder analizarla de m anera m ás sencilla pasarem os a reducir la regla de correspondencia de las identidades de arco doble

-7 2

< f(x) < 72

=> Ranf= [-7 2 ;7 2 ]

f(x)=sen2x+cos2x

De doude ía proposición I es falsa. 503

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

D ada la gráfica o b se rv a m o s q u e f e n el •

De lo anterior

f(x)= y¡2 senj^2x+^ j ..... (1) intervalo solicitado ( ~ |~ ; 4,T) es creciente y

Se sabe que si g(x)=Asen(Bx+C)+D

decreciente, por lo que la proposición IV es % falsa.

=* El periodo T = ^ 2n Por lo que de (1) se tiene T(= |2 | => Tf=.7t

Problema 21 Se tiene un circuito digital de un proceso industrial a u to m a tiz a d o , fo rm a d o p o r u n a b o m b a

De donde la proposición II es verdadera.

centrifuga, la válvula de control y la tubería. El circuito está encargado de detectar si la bom ba

•

está en m archa o parada.

También com o f(x)=V2 sen 2 x + -

l

Los valores d e salida son 1 si el circuito está

4

funcionando, y 0, en caso contrario. Si la salida

f es máxima, si sen [ 2 x + - I= 1 4

d epende de la siguiente función;

Luego 2 * ± ^ = 2kji + í D e sp e ja n d o

f(t) = tan^ sen ^ j, t> 0

x;

x = k 7 t+ - ;K e Z y un 8 d e e s te c o n ju n to e s

e q u iv a le n te

Determine los valores d e t para observar en la salida que el circuito no funciona.

i 7n - ' x = k n ----- ; k e Z 8

ENTRADA

De donde la proposición III es verdadera.

CIRCUITO DIGITAL

SALIDA

F ig u ra 7.60

•

A p arte

de

(1)

f(x) = >/2 s e n j ^ + ^ j ; x e

se

tie n e ; 4n)

Resolución Siendo

Graficando f se obtiene la figura 7.59(b) f(t)= tan | s e n y j; t> 0 A partir del enunciado podem os plantear Si el circuito funciona, la salida e s f(t) = 1 Si el circuito no funciona, la salida es f(t)=0 Pero también m enciona que se v ea ia salida, para que el circuito no funcione, por lo que se puede plantear la siguiente ecuación f(0 = 0 ......(1)

504

C A P ITU L O Vil

Funciones trigonom étricas

Problema 22

pero

Halle la regla d e correspondencia del senoide f(t) = tan| sen y |..... (2)

mostrado (ver figura 7.61 (a)) si el área de la región n 2 tnangulares -y^u .

(2) e n ( l )

tanj s e n y l = ®..... (3)

Nota sen(kn) = 0 ; Vke Z

tan(kn)= 0; V keZ

De (3) 2t sen— = m n ; m e Z 3 D an d o v alo re s a m se o b tie n e la sig u ien te

Resolución

igualdad

Bx 4rt Se tiene y = B sen| — I =» el periodo es T =

s e n y -- 0 ;± 7 i;± 2 7 t;± 3 jt;± 4 n ; ...(4) pero sen j e [ - l ; l ] ...(5) por lo que d e (4) y (5) se obtiene com o única posibilidad s e n — = 0 ...(6) 3 Luego, resolviendo (6) y = kn; k s Z+ (El su sten to de q u e k sa a positivo es porque

Entonces d = —= — 2 B

inicialmente, por condición, se plantea t> 0)

El área som breada es

D espejando t se obtiene 3rck * t = ----- ; k e Z 2

2n ¥ X h . 71 :7 f

V2

505

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

h es la ordenada del punto P.

Sea S el área de la región som breada, entonces S

R e em p laz an d o en la e c u a c ió n d e la re c ta , tenem os

se calcula m ediante la siguiente relación:

B 12Bx - 2\Í2tíB = 20n x - = ■n Despejando x, tenem os x = y¡2n

La d e m o stra c ió n re sp e c tiv a se h a c e e n el capítulo X.

El valor obtenido para x es la abscisa del punto P, e n to n c e s las c o o rd e n a d a s d el p u n to P son J in

las c u a le s re e m p la z a m o s e n la

ecuación del senoide

Problema 23 „ - . . 3tan2a - t a n a - 4 Definimos f(a) = —------- -=----------2tan2a - 3 ¿Qué valores debe tom a f(a ) para que la igualdad sea válida para todo valor adm isible d e a ?

' bsK t )= sen

V2nB

Resolución Como a va tom ar valores adm isibles

V2

tan rae R

Resolviendo

^

ya que el punto P está

A

teína * ±

£ 2

h a c e m o s un c a m b io d e v a ria b le : tan a = x; reem plazando en f obtenem os

ubicado en la ram a decreciente del senoide. f(a ) = 3>/2 D espejando B: B = —— , en to n ces la regla de correspondencia del senoide es

3 x2 - x - 4 2jc2 - 3

O rdenando la ecuación cuadrática en x. (2f (a ) - 3) jc2 + x +(4 - 3f (a )) = 0

r 3-JÍ ' 3s¡2 y = ----- sen 4 8 * v C om o un caso particular podem os citar si A>0,

Para tener soluciones reales, la ecuación será válida siem pre qu e el discrim inante d e dicha ecuación sea mayor o igual a cero, es decir (l)2 -4 (2 f(a ) -3 )(4 - 3 f( a ) ) > 0 Reduciendo y ordenando se tiene f2( a ) - j f ( a ) + ^ > 0

506

C A P ÍTU L O Vil

Funciones trigonom étricas

Al redefinir f por cuadrantes

Com pletando cuadrados >755 “ 432 De donde

-y=( c o tx + ta n x )

; sixs-IC

- y = (c o tx -ta n x )

; s i x e IIC

f(*) = 1

17 > V755 f(cO 1 2 “ 12V3

V

17 ^ 2 "

f(a )

V755 12V3

'T í

(tan x + co tx ) ; six e lIIC

- - j= ( c o t x - ta n x ) ; six e lV C /. f(cx) =

/ \

V755 17 ]2\Í3 + 12

u

V755 | 17 12>/3 + 12

Por identidades d e circo doble cotx+tanx = 2csc2x cotx-tanx = 2cot2x

Problema 24 Construya el gráfico de f, siendo f(x)

Entonces f q u ed ará redefinido d e la siguiente m anera

co sx senx + %Jl- c o s 2 x V Í+cos2x

V 2csc2x

; s ix e IC

V 2cot2x

; s i x e IIC

f(*) =

R esolución

-\¡2 csc2 x ; si x e IIIC

Recordando 2sen2x = l- c o s 2 x ; 2cos2x = 1 + cos2x

-\/2 cot 2x ; s i x e IVC Graficando f en (0;2n) se obtiene

Además ten er presente cos2x*±l es decir, se d eb e cum plir 2x *k7t ( k e Z ) kix => x * — 2 Luego f(x) =

f(x ) =

" co sx

se n x

V2sen2x + 7 W 7 co sx t se n x |c o s x |

T 2 \ |s e n x |

507

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Problema 25 De la función f(x) = ----------------- determ ine en el siguiente orden: c o sx -se n x 1. Dominio de f 11. Rango de f 111. Periodo de f

*

IV.

Gráfica de f

Resolución 1. El dominio de f son todos los valores admisibles de x, entonces co sx -se n x

=* c o s x ^ s e n x 4

Por lo tanto Dom f = R - |kjr + 11. Una vez que está bien definido el dom inio de f, podem os simplificar f para obtener el rango de f.

tr

cos2x

_ cos2x - s e n 2x _ (co sx + s e n x ) ( c o s x - s e n x )

Por lo tanto, para f -V Í x * n k ± ^ , k e Z 4 Graficando

O pcionalm ente de la gráfica, se tiene Dom f= R - n k ± j |

;

Ran f= [ 0 ;2 )

509

Lumbreras Editores

_

Trigonom etría

Problema 27 Calcule el cam po de variación de la función f definida por la regla d e correspondencia , l-co U c + s e c x c s c x • f(* )= - ------------------1 - ta n x + s e c x c s c x Resolución R ecordem os la identidad sec x cscx = tan x + cotJf Sustituyendo en f(x) cr ^ 1 -^ o C x + ta n x + c fK x l + ta n x fW - l - t ^ +í ^ +c o t,=T ^

es evidente que

A dem ás

l + c o tjr* 0 => c o t J r * - l

Donde

x * — + k J t;k e Z 4

R educiendo

ffjc) = 1+ tan * _ (1 + tanjr) ta n * = tanjr 11 1 (tanjr+1) tanjr

De (1) y (11):

Dom f= R-

njt x ^ y ;n .e Z

........(11)

rut 3n . — ; — +krt ; n , k e Z 2 4

Construimos el gráfico de f, de esa m anera determ inam os su variación.

Del gráfico, se tiene f = R - {-1; 0} 510

(0

Funciones trigonométricas

N T U L O Vil

Asma 28 ifique la siguiente función

h(x) =

se n 2 x se n x + c o s x - 1

olución íe s de graficar debem os llevar la furffción h a una form a m ás simple. :*■. h(x) =

2 senxcosx se n x + c o s x - 1

(senx + c o s x ) - 1 senx + c o s x - 1

^ s e n jc j- e o s í^ í) (sen x + eos x + 1) h (x) • =* h (x) = s e n x + co sx + l ,

pero s e n x + c o s x - 1 * 0

=> h(x) = '/ 2 sen[ x + - | + 1 ; V2 sen 4) Es decir

h(x) = V2 s e n fx + ^ l + l ;

donde

x + —* —+ 2nn v x + 2 * — + 2 n n , n e Z 4 4 4 4 Luego decim os que •

La am plitud de h es V2

•

El cam bio de fase

{ •

x + —= 0 I es - 7 4

Dominio d e la función

4

J

=> x * 2rm v x * 5. + 2 n n , n e Z 2 •

El periodo d e h es 2n

•

El desplazam iento vertical es 1

x e R - |2 7 m ;^ + 2 n n |; n e Z

El gráfico es com o se m uestra

511

ÍA P ÍTU L O Vil

Funciones trigonom étricas

buena 30

I :errhine 6' el á r e a

d e la región form ada por las funciones

-3V3 en el intervalo

f(x ) = ? tan ^_x ; g(x) = 3\/3 ; l + \/3 tan 3 x

n 8n - ía t í — o+ y

leso lu ció n Kntes de graficar las funciones dadas; expresaremos a la función f(x) com o sigue r / ta n 3 x - t a n ta n 3 x - \/3 f(x) = 3tan| 3 x - — | , d o n d e su g rá fic a e s u n a = 3 __________ 3 f(x) = 3 l + x/3tan3x 1+ ta n - ta n x 3 ¡entoide con desplazam iento horizontal. icemos 3 x - —= 0 => x = — (la tangentoide se desplaza hacia la d erech a - unidades) 3 9 9

8n Luego, el área solicitada está form ada por ABCD, que trasladando la región ABP a la región DMC (por simetría) el áre a a calcular sería el rectángulo PBCM. S = - x 6 v /3 =27rV3u2 3 513

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema 29 . Acerca d e la función 1.

f(jc) = senx+2cosx, analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones II.

R a n f = [ - N/5 ;V 5 ]

III. Si

f es creciente

Si x e

n _n 4 ’4

f es decreciente

IV. El periodo de f es 2 ji

R esolución f(x)= senx+ 2cosx 2 f(x) = V 5sen(x + 0) tal q u e se n 0 = - ^ =

a

1 eos 6 = - ^

Donde 0 = 63° 30' aproxim adam ente. Graficamos f(x) = V 5sen(x + 0) ta lq u e 0 = 63°3O', donde la abscisa del punto M e s -6 3 ° 3 0 '

Del gráfico •

Rf = [-V 5 ;s /5 ] => I es verdadera.

•

Pára

•

/ 71 P a r a x e í - —;0 ^ f e s creciente => III es verdadera.

•

Por definición f(x+T)=f(x)

f es creciente y decreciente => II es falsa.

y¡5 sen (x + 0 + T) = V5 sen (x + 0) el m en or valor que cum ple es T = 2rt => IV es verdadera. 512

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Problema 31 Acerca d e la función f(x)= tan x -co tx , analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones I . ’ D om f = R -{ n n } ; n e Z

II.

R anf = ( - “ ; + “ )

III. Si x e { 0 ; ~ ' j , entonces f ( x ) < 2

IV. Si x e

, entonces f(x )> 2

Resolución f(x) = - (c o tx - ta n x ) = -2cot2x Graficando la función f(x) con periodo T = - . El coeficiente -2 hace que la gráfica d e la función y=cot2x; se reflejen, todos sus puntos respecto al eje X.

. Del gráfico. entonces

. 3 tt nn x * .... - 2 ' ° : 2 " ’ T ..... Y Dom f = R - R anf = R => R anf = (-«■;+■*}

En el interveilo de ((*;

En el intervalo de

la gráfica d e f(x) está por debajo de la recta y=2, entonces f(x) L nf(x) = senx

- l < s e n x < l ; V xe R - l< L n f ( x ) < l

Propiedades de logaritmos neperianos •

L nex= x"

=> L ne= l ; Lne~‘= -1

Lne 1 < L n f(x )< L n e e~' < f(x) < e Como la función logaritmo es creciente | Graficando f(x) y g(x) y luego sum ando estáis funciones tenem os

R ecordando que sólo se sum an las ordenadas de cada punto para un mismo elem ento del dom inio com ún de las funciones. En tal sentido (observe la gráfica) para x0 Si a la ordenada del punto B le sum am os la ordenada del punto A, resulta igual a la ordenada del punto C.

En la gráfica de y=h(x) el rango es [e~’ - l ; e + l]

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 33 Sea f(jf) = v 'sen x -co sx y g(x) = ^íog(serw ) + log(cosx). Halle el dorqmio d e la función h definida por

h(x)=(f.g) O*) en el recorrido de y ,~ 7 ~ )

Resolución Nos piden hallar •

De

Dom h=D om f nDomg...(i)

f(jr)- ^ senx - eos x => senx - eos x > 0

=> senx > eos x, resolviendo gráficam ente (Observe la figura 7.71)

Domf =

•

De,

971 13jt\ re 5rt teniendo en cuenta el recorrido ' 0;-— ) u 4 4 /’{ , 4 ’T . \ 4 /J

g(x)= ^Log(senx)+Log(cosx), se tiene serur>0

Es decir Domg =

a c o s x >0

= » x e IC

. /. 13n\ ^teniendo en cuenta el re c o rrid o '0 ;- ^ -)

De (i), intersectando los dominios tenem os Domh =

4 ’ 2/

u

5n\

T ’T /

Problema 34 Grafique la función f(x)= |senx| + co sx Resolución En la figura adjunta, se han graficado las funciones y= | senx | e y =cosx, estas funciones están definidas para todo x e R , entonces el dominio de la función f(x) = | sen x | + co sx abarcará todos los núm eros’ reales. Aplicando el m étodo de la adición de funciones se obtiene la gráfica de f. 516

1 TU LO Vil

¡e n d o

Funciones trigonométricas

y, = |s e n x | ;

T’’-

do X

f(x) = yv+ y2

0

1

it/4

V2

n/2

1

n

-1

3 n /2

1

7 n /4

V2

2 tt

1

-

C om o conclusión a partir del gráfico para la función f, se tiene Domf= R ; R a n f = [ - 1 ; ^ ] ; T = 2n

frafilema35 Grafique la siguiente función f(x)= 4senx+ sen3x R esolución S ea g(x) = 4serur T = 2 jt

y

h(x) = sen3x x _2n

3 Graficamos g y h y luego graficamos f, por sum a de ordenadas de la siguiente formá, en el intervalo de [Ó; 2n ].

Esta gráfica se construye con m ás precisión m ediante la aplicación de técnicas de derivadas, que permite conocer intervalos de crecimiento, decrecim ientos, puntos m áxim os y mínimos, que desarrollaremos en el capítulo X. 517

Trigonom etría

Lumbreras Editores

ll F

unciones

T rigonométricas I nversas //

El lector m uchas veces encuentra que la teoría d e las funciones trigonométricas inversas es muy c o m p lic a d a ya q u e tie n e gran c a n tid a d d e fórmulas difíciles de demostrar. Podem os decir que este capítulo no es difícil, para ello lo desarrollaremos de una forma sencilla y didáctica, sin obviar las definiciones formales, para esto es suficiente conocer lo elemental de Trigonometría. A m anera de introducción, podem os señalar q ue el tem a tiene gran aplicación en diversos cam pos com o m ecánicá, medicina, astronomía, robótica, etc. Aquí se tiene una aplicación en la m ecánica (carrera militar) • La carga de un cañón destructor alcanza una velocidad del 1500 pies/s. La distancia que recorre la carga esta dado por d, en donde v es la velocidad inicial de la carga y 0 es el

ángulo de elevación del cañón, dicho ángulo 0 es tal que la carga h a c e blanco en un transportador y esta d ado por la siguiente expresión

Figura 7.74

. NOCIÓN PE LA FUNCIÓN INVERSA En el capítulo anterior se estableció que una función asigna a cada elem ento del dominio, una y solam ente una im agen que desde luego puede ' ser com ún a varios o a todos los elem entos del dominio. Si la función tiene adem ás la propiedad de que la im agen es exclusiva o sea que cada im agen en el recorrido lo es de un solo elem ento del dominio, se dice entonces que esta función e sta b le c e u n a co rresp o n d en cia biunívoca o biyectiva entre los elem entos del dom inio y los del recorrido. Cuando tal es el caso, se puede definir un a nueva función, inversa de la función original, cuyo recorrido sea el dom inio de la primera. Se dice entonces que cada función es la inversa d e la otra. - 518

Definición de una Función Inyectiva Una función f se llama inyectiva o univalente si y sólo si para todo x,, x2e D om f se cumple —

^ f(Xj) ~ f(x2)

xj = x2

llam ada tam bién función uno a uno o función, univalente. 1 Si quisiéramos averiguar si una determ inadafunción f es o no inyectiva te n d ría m o s q u e: plan tear f(x,) = f(x2) y luego d e resolver esta; igualdad concluir com o única solución x, = x2, eñj c a s o se lleg u e a o tra re la c ió n d ife re n te ; afirm arem os que no es inyectiva. El ejem plo’ siguiente aclara al respecto. i

CAPÍTULO Vil

Funciones trigonom étricas

Ejem plo Identifique si las siguientes funciones son o no univalentes. I.

f(x) = x2 -1

II.

f(x) = x 3+2

III. f(x) = senx

X. + X2

.\K

—— - = (2k + D - v

IV. f(x )= tan x ; 0 < x < | Resolución Si s e d esea averiguar si una función es inyectiva ■se deberá plantear f(x,)=f(x2) y de esta ecuación se d eb e obten er com o única condición x, = x2. I.

III. Aplicando la definición f(x,) = f(x2) senx, = senx2 senx, - senx2 = 0

Aplicando la definición f(x ,) = f(x2)

2

2

X ,-X 2

—-— ¿ = nn

2

= » x ,+ x 2= (2k+ l)?t v x , - x 2=27tn; k, n e Z Como x, y x2 se relacionan de m uchas formas, no satisface la definición .-. f no es univalente IV. Aplicando la definición f(x,)=f(x2) tanx,= tanx2 De donde x , = x 2 + kjt ; k e Z ...(1)

x,2 - 1 = x f - 1 xf - xf

=0

Pero

Por diferencia de cuadrados

(x,-x2)(X|+x2) = 0 => x, = x 2 v x, = -x 2

'obtenemos que se cumple dos condiciones' y x, = x2 (Si se cum ple)

D e ( l)

r-,

... (3)

k = 1 => x, = x2 + ir

**

3t n Como 0 < x , < - => 7t x, = x 2 v xf + x,x2 + xf = 0 % f no tiene soluciones reales'

( excepto x, = x2 = 0 Luego sólo se cum ple x, =x2 f es univalente.

no se cum ple porque 0 < x, < — Para k = 3; 4;..., así com o para valores negativos notarem os que siguiendo el criterio expuesto, dichas posibilidades no se cumplieron. => La única que cum ple es x, = x2 .-. La función f es inyectiva.

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Trig o n o m e tría

E jem plos aplicativos a.

b.

La función f(x) = | x - 11 no es m onótona (revise la página 460) en todo su dominio, pero si elegim os un intervalo donde f es siem pre creciente o decreciente (tal com o se m uestra en el gráfico adjunto) estas serán univalentes.

La función f(jc) = sen*; x 6 i

\ 2

^ )

2/

j

Gradeando y considerando sólo el intervalo

!

Como frío es estrictamente creciente o decreciente => f no es univalente (a)

f(x )= \x -\\; x< \ como fe s decreciente fe s univalente (b)

f(x )= \x -\\; x> \ como fe s creciente => fe s univalente (c)

Figura 7.75 520

■ ¡

4

vr

■

SftPÍTULO V il

.

_____________________________________ Funciones trigonom étricas

interpretación G eom étrica de una Función Inyectiva I- Una función f e s inyectiva si cualq u ier re c ta horizontal co rta a la gráfica d e f a lo m á s en un ninto.

La recta horizontal corta en un sólo punto al gráfico de la fundón y = x 3+ l , entonces la fundón es univalente.

Ejemplo

En este caso la recta horizontal corta a l gráfico de la fundón y = senx en infinitos puntos, entonces la función seno no es inyectiva, de igual forma la recta horizontal en la figura 7. 78(d) corta a la fundón y = ta n x en varios puntos por lo que afirmamos que dicha función tangente no es inyectiva.

Figura 7.78 521

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Trigonom etría

Ejem plo Indique si la siguiente función es univalente cf \ sen3x » /ri f(x) = --------; 0 < x < J t / 2 senx

Ejem plo La función f: (0: - \- > [ 0 ;l] , f(x )= sen x no es \ 2/ sobreyectiya, dado que Si 0 < x < 0 < se n r< l 2 es decir 0 < f(x) < 1 => Ran f = (0; 1)

Resolución Simplificando ^ _ senx(2cos2x + l) senv

y se observa que el conjunto de llegada [0;1] no

Por la identidad sen3x = senx(2cos2x+ 1) f(x) = 2cos2x+ i

coincide con el rango Ran f = (0; 1} Función Biyectiva

(Simplificando serur t- 0) Una función f se llama biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva

Graficando f(x) = 2cos2x+ 1

Ejem plo La función f: [0; n ] b iyectiva, dado que

Como se observa, la recta horizontal corta al gráfico d e f en un solo punto, entonces para 0 < x < ^ la función es inyectiva.

[-1; 1), f(x) = eos x, es

•

0 < x < n =>-1 < c o sx < 1=> Ran f = [-l; lj entonces la función es sobreyectiva.

•

Sea f(a)=f(b) = > c o sa = c o sb eos a - eos b = 0 -2 sén a ~ k sen =o, luego 2 2 a-b a +b =n7t V —— = k n ; n, k € Z 2

Con el dominio dado tenem os a= b , entonces la función es inyectiva (véase figura 7.80)

Función Sobreyectiva U na fu n ció n f se llam a so b re y e c tiv a , suryectiva o sobre si el conjunto d e llegada coincide con el rango de f. También podem os definirla de la siguiente forma -----------

N

Dada la función f A -> B si V y e B 3 x e A /( x ; y ) e f —> f es sobreyectiva

522

Por lo tanto la función f(x) =cosx es biyectiva

r r u L O v i!

Funciones trigonométricas

Inición de Función Inversa

Sea f uña fundón biyectiva, entonces f posee rsa denotada por f '* o f*. y se define de la ¡ente manera: f~' = {(y ; x ) /y e f(x) ;x e Domf>

• G rá fic a d e u n a fu n c ió n in v e rsa

La gráfica de la función inversa y=r'(x) se obtiene de la gráfica de la función y=f(x) por la representación simétrica de la recta y =x.

M

Nota - ........ ^ .

Para cualquiera que sean los puntos (x; y) e (y; x) , son simétricos respecto a la recta y=x.

Observación

La fundón f'*1I. también es inyectiva. La regla de correspondencia de la función inversa se obtiene a partir de la ecuación: x=r'(y), sustituyendo simultáneamente x por y.eyporx. ¡ • Luego se concluye que D r'=R f, Rf"'=Df

A continuación se muestran los gráficos de las funciones y=2x, y = ^ x - 2 , respectivas inversas.

y de sus

Ejemplo

Halle la regla de correspondencia de la función Inversa de L

f(x) = 2x

II.

f(x) = x?+2

R e so lu ció n

. Como estas fundones son biyectivas, por lo tanto 'poseen inversa. 1.

y=2x, despejando x. -x = - , intercambiando variables (x por y e y por x). y=

, es la función inversa.

II. y=x3+2, despejando x % x = y —2 , intercambiando variables (x por y eyp orx).

y = y¡x- 2 es la función inversa de f. Además Dom f 1= R, Ran f 1= R

Figura 7.81

523

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Trigonom etría

F U N C IO N E S TR IG O N O M E TR IC A S INVERSAS R ecuerde que para que una función tenga inversa la función debe ser biyectiva. La figura 7.82 m uestra una senoide, esta función no es biyectiva, pues todo núm ero d e su rango (contradom inio o ám bito) es el valor de la'función de m ás de un núm ero de su dominio. Por consiguiente, la función seno no tiene inversa, obsérvese sin em bargo que en el intervalo de 3 j i .571

T 'Y _

, cualquier recta horizontal sólo corta a esta porción de Ja gráfica en un punto. De esta forma la 3rt 5tt es biyectiva, y por tanto, tiene una función inversa. t 2 2

función y = senx si x e

Figura 7.82

Entonces, las Funciones Trigonométricas por se r periódicas no son biyectivas, pero se pueden elegir m uchos intervalos de su dominio tal que cum pla la definición de funcióa biyectiva.

En e s ta s r e s tric c io n e s las fu n c io n e s trigonom étricas elem e n ta les p o se e n función inversa, veamos O b s e r v a t ió n ________________ _ _ _ _

S eguidam ente consideram os el siguiente cuadro (convencional) de restricciones, para que las funciones trigonométricas sean biyectivas y por tanto tengan inversa. F u n ció n

D om inio

y = serw

7t Jl 2 ’ 2.

S i f t ( e ) =n donde 0 pertenece al rango de su respectiva función inversa =s> 0 = arcft(n) v 9 = f r '( n )

R an g o E je m p lo s

y = cosat

[0; n]

[-1; i]

y = ta n *

n n ~2’ 2

R

(0; n)

R

y = co tx y = secx y = c scx

[ 0;

tan0 = '/5=> 0 = arctan\/5 cotp = 2

tu]

Tí' K

2 ’ 2. 524

1 1 se n a = -= > a = a r c s e n - a a e 3 3 1 1 K i cos= -= > ó = arcc0S2 = 3 A Ós

[-1; i]

=>

R -(-i;i>

•

= arccot2

a

r/\ "i I0;7tj

a

P e ( 0 ;n )

3 tt 3k r_ -i 17t y = amccsc 14 a ye 2 ’2 sec(p = -V 2

-{0}

P

n .n 2 ’~2

C A P ÍTU L O Vil

Funciones trigonom étricas

H acem os la aclaración que los norteam ericanos e ingleses em plean 0 = f r '( n )

Arcsec2 = 2krt±— ; k e Z 3 3 rt. 7t. 5 ti . 97t. 1 Arccscl =

Para los números reales que son elementos del

. T ’ i ’ T ’ T ’ "'/

Arccscl = ( 4 k - 3 ) - ;k e Z

conjunto solución de la ecuación eos 0 = ~ tal como — ; —; — ; etc., es decir 9 = 2rut ± - ; n e Z a 3 3 3 3 este conjunto de números se da el nombre especial 1 A rceos - que se puede leer com o “arco cuyo coseno es - ”, otro ejemplo que podemos citar es « 2 f 7t n 3n ArccosO 2 ,

Función Arco Seno A partir d e la función y= serur d a d o q u e; - - < * < 5 o b te n e m o s su fu n c ió n in v e rsa 2 2 considerando el siguiente procedim iento • •

ArccosO = ( 2 n + l ) ^ ; n e Z

Explicaremos posteriormente la diferencia entre A rccos0 = (2n+ 1) - ; n e Z y arccosO = - ; sugerim os al lector no confundir estas dos igualdades, la primera indica los valores generales y la segunda indica el valor principal. Inclusive hay d isc re p an c ia en algunos autores con ' referencia a este punto.

Despejando x, en términos d e y je=arcseny o Jt=sen*'y Cambiando la variable x pory e y por*, se tiene y=arcserur o y = se n “'x (se lee: “y es un arco cuyo seno es x"). O bteniéndose así la función inversa definida con regla de correspondencia f(x ) = a r c s e r«

Análogamente se definen los conjuntos Arcsen, Arcsec, Arcese. Como ejem plos citarem os lo siguiente: . . ÍJt 57t 9 ti 13rt 1 Arcsenl = ( - ; — ; — — ;...! .

12 2

2

2

J

Arcsenl = (4k + 1)^ ; k e Z ArcsenO ?={—7t; 0; 7t; 27r; 3 n ; 4 n ;...} ArcsenO = kTt ; k £ Z _3Tt.7t 57t.97t. 1 Arctanl = ~ T ’ 4 ’T ’T ’"'J Arctanl = (4k + l ) - ; k e Z 4 A f 7t . 7t 37t 571 1 I 2 2 2 2 J Arccot0 = (2k + 1)^ ;k £ Z . Arcsec2 = (—^ ; 1 3 3

3

— ; ...j 3 I

Figura 7.83

Del gráfico observam os que la función Domf = [-1;1| 7t.7t 2 ’2 es inyectiva es impar no es periódica la función es creciente en todo su dominio. Ranf =

525

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Trig o n o m e tría

Función Arco Coseno

•

A partir de la función y = c o s* d a d o que 0 < * < ji o b te n e m o s su fu n ció n in v e rsa considerando que x = arccosy ó *=cos~'y ad em ás cam biando la variable x por y e y por*; obteniéndose X = árceos* o y= cos_1* (se lee: “y es un arco cuyo coseno es * ”) O bteniéndose la regla de correspondencia f ( * ) = árceos*

•

Dominio de f es R i n tc\ Rango de f es ( I - /

•

La función es impar.

•

La función es % creciente en todo su dominio

Función Arco Cotangente

Dada la gráfica de la función f(* )= a rc c o t* se observa

• • • • • •

D om f = I-l;l] Ran f = [0;rc] es univalente no es par, ni impar no es periódica la función es decreciente en todo su dominio Del m ism o m odo, definimos otras funciones trigonométricas inversas.

•

Dominio de f es R

•

Rango de f es (0; n)

•

La función no es par, ni impar.

•

La función es decreciente en todo su dominio.

Función Arco Secante

Función Arco Tangente

Del gráfico observam os que la función f( * ) = a r c s e c *

Del gráfico observam os que la función f(* )= a rc ta n *

526

•

Dominio de f es R - (-1; 1).

•

Rango de f es [0; rc ] -

• •

La función, no es par ni impar. La función es creciente en el intervalo -1) v

(l; +oo} .

P ITU L O VI!

Funciones trigonométricas

Dada la gráfica de la función f(x)=arces ex se tiene

Función Arco Cosecante 1 TZ 2 f(x)=arccscx '

/

•

Dominio d e f e s R - (-1; l) Jt -{0} . 2 ’ 2.

1

K

•

Rango d e f es

!

r > . ______ lí

•

La función es impar.

•

La función es decreciente e n el intervalo

-7t 2

-1) v (1; +«>}

Figura 7.88

C u ad ro d e Resum en Dom inio

■v R ango

-1 £ x < l

TT K — Sy£2 2

y -á r c e o s x

-1 p = 7t—arccoslÍV2 —

Asimismo, sea 6 =arccosx, entonces eos 0 =x

it a =__

2

•

0 = arctan(->/3) =» 6 = - arc tan(\/3) 5t 3

-x

- 1

Como es evidente O S n - 0 S n • L uego c o s ( » t- 0 ) - - x a O í n - 0 S u aplicando la propiedad fundam ental de la pág in a 528 p o dem os d esp eja r n - 0 p ara obtener

n -

e

S

5 •

arccos(-x) = 7t - arccosx

\|/= arcsec(-l) =* \|/ = 7i-arcsecl

árceos x

De donde se verifica

5n¡

=> y = 7t-arccot 73

= arccos(-x)

7t - arccosx = arccos(-x)

y = arccot (-7 3 )

•

y =

X = arccsc(-1) =>' X = - a r c c s c l n/2

X= 2 533

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Trig o n o m e tría

Propiedad del Seno Inverso

Para este tipo de ejercicio, d eb em o s hallar el 2ít , equivalente d e s e n y . tal que se exprese

De la definición y=arcsenx seny = x ; <

y < ^ ; !< * < ! como- la razón se n o d e o tro a rc o en el

se obtiene

n.7t , pero que tenga el mismo ~2'2 p ara e sto c o m o e s e v id e n te :

intervalo • sen(arcsenx) = x ; - 1 < x * = 4

7t arctan9x + a rc io tl 08 = => 9* = 1 0 8 =» * = 12

•

arcsec24 + árcese — = — 3 2 => í = 24 =* * = 7 2 O

_ n Como aresen* + árceos* = g árceos * = —- are sen * 2 Luego reem plazando aresen* = — a re se n * 2 „ n 7t 2arcsen*= ^ ; arcsen*= — * = se n 4

\Í2 *= ■

537

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Trigo n o m e tría

■ :.r ■ ■ '

.S-r

••• ■ ' ■

Sumando las expresiones 3 y 4

Teorema

1

arctarw + arctany = are®?

3 rr 3rr 3 3 —— < n ?t< — =* - ~ < n < 2 2 2 2

f x +y \- x y

siendo n = 0 , si xy < 1

Como n e Z se tiene n = {—l , 0,1}

n = l , si xy > 1

a

x

n = - l , si Xy >

a

x < 0,y <

1.

> 0, y > 0 0

Analizamos las condiciones de n

¡ En la expresión 2, tom ando cosenos a am bos m iem bros

Demostración eos (arctarw+ arctany) = eos arctan

Sea F = arctarw + arctany

. . . (1)

Tom ando tangentes a am bos miembros tanF=tan(arctanx+arctany)

x +y . +nn 1 -x y

Efectuando cos(arctanx)cos(arctany)-sen(arctarw)sen(arctány]|

tanF - tan(arctan x) + tan(arctan y) 1- tan(arctan x) tan(arctan y)

=cosí arctan ~ - — cos(rot)

x +y ta n F = r ^

y

Resolviendo la ecuación trigonométrica F= nn + arctani

l

_

Vi+x2 Vi+y2 'fi+x* J'+ y2

■cos(nit, h jx + y J

i; n e Z , i- x y

De (1)

i

x+y arctanx + arctany = arctan + rat ...(2) 1 -x y

1 -x y

| I-w y |

V(l + x 2)(14-y2)

,J(l + x 2)(l + y2)

Luego.

Hallando los valores de n

cos(nn) =

Por teoría sabem os rt n ti n — < a r c ta n x < - ; - - < a r c t a n y < 2 2 2 2

cos(nn)

Si

—|l - x y |

x y < l =>cos(nn) = l => n = 0 xy> 1 =» cos(nrr) = - l =» n = -1 ó n = 1

Sum ando estas desigualdades se tiene - n < arctan x + arctan y 0 sea 0 un arco de la C.T.

•■•6 = i E jem plo 2 Calcule el valor de Y. si Y= arctan*2 + a rd a n 4 R esolución Aplicando el teorem a 3 2+4 Y= a r d a n ! --------- I+ njt '1 - 2 x 4 539

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Trigonom etría

De la figura se tiene a r c t a n í - - l = a r c c o t í ; —^ < 0 3 2 3

• tan0 = x = » 0 = arctan x . . .(1) También

•

arctan(\/2 + l) = a rc c o t(4 2 ~ l) ; (>/2 + l)> 0

1 • c o t0 = —=>0 = a r c c o tí— | . . . ( 2 ) ' x Vx J

.

* / i arctan(l-v/5)= arccot -

t -Jt;(l-V 5 )< 0

Igualando (1) y (2) arccot(-2 )= arctan ¡

arctanx = arc co tí i j; x > 0 •

tií) D em ostrem os

Partimos de com o (-x )> 0

A continuación se desarrollarán ejemplo; para utilizar el teorem a de la página 531.

Ejemplo 1

arctanx = - a r c c o tí — ' V -x arctanx = -arcc o t

1 T = arctan(cos2x-4)+ji; ^cos2x - 4

arccot

eos2 x - 4 < 0

arctanx = arccot^—j-7 t; x < 0

arctanx = -a re la n (-x)

Calcule F=arctan(2003)+arctan - J J I . \ fcUvi5 }

(4 )

Resolución

arctanx = - rc-arcco t — x

F=arctan(2003) +arccot(2003)

arctanx= arccot

í 1t

Por propiedad F = -

['Esto es lo que s e t

l X J n t buscaba demostrar J

Ejemplo 2

Ejemplos

Calcule D =sen(13n + arccsc(l,5))

Se cum ple que •

; -^ < 0

(í)-

aresen - = arcc sc3

arccos| | j = a r c s e c ^ |

Resolución D = sen| 12n+jt+arccsc ¡É l-U I

(I)

D = sen 7t+árcese2 arctan4 = a r c c o tí'

4> 0 D = - s e n árcese -

arctan í — ]=arccotlO

lio j 24' arctan| — | = arccotf — 25 J {24

540

— >0 10 ; ^>o 24

D = -se n [ a r c s e n ^ l d ad o que | e [—1;H =»

d

=- 3

TÍTU LO Vil

Funciones trigonom étricas

Ejemplo S

nplo 3 p alcu le

N = ta n (a rc c o t(l-V 2 ))

Halle el valor d e R = s e n í arctan - + arctan l 3 4

solución

Resolución A partir de la expresión R tenem os 1 1 ' ---h — R = sen arctan . 3 _ 4 + kn ,1—1 x — 1 3 4

N= tan (arcco t(-(V 2 - l) ) ) N= tan (n - are cot (V2 - 1)) N= -tan (arcco t(V 2 - l ) )

*

pero com o 1S= - ta f í a re tá n l

N = -, i?

V 2-1

V 2 -i

sR

K = 0

Luego reduciendo R = senj^ arctan — , 7 7 sea a = arctan — => ta n a = —

V 2-1

N= ~(V2 +l)

Ejemplo 4 Calcule P = cot(arctan2+ arctan5) de donde R= seria

Resolución (2 )(5 )= 1 0 > 1 a 2 > 0

=* K = 1

entonces

/. R =

7VÍ70

170

Ejemplo 6

( 2+5 P = cot! arelan! ^ . U -2 x 5 p = cot arctan -

7 9

p - cot| -a rc ta n | ^

u

P = - c o t| a r c ta n í-

P = ~ p ó í\ ¿ r e c o tí j ) j dado que y e R

Halle el valor de F = c o s |a rc s e n ^ | j+ a r c c o tj^

Resolución A partir de F tenem os F = cosj^ arctan | + arctan3 \ 3 ■' I4 + 3 F = cos arctan + krc 1 -4x3 (

f

V

l

Pero |^ |j ( 3 ) > l

a

4

J

^ > 0 => k = l

Luego reduciendo F = - c o s ( a r c ta n ( -3 ) ) P = '7

F = cos(arctan3)

Vio F= 10 541

Trig o n o m e tría

Lumbreras Editores

A continuación desarrollarem os ejem plos

Ejemplo 2 y = are eos 2x

gráficos donde se da la regla de correspondencia y se pide dominio, rango y gráfica.

Resolución

Ejemplo 1 x y = arcsen —

Resolución

•

El dominio de la función se determ ina a partir de —1 - - < * < i . 2 2 Domf =

•

2 ’2

El rango de la función se halla por 0< arcco s2 x < n 0 <

El dominio de la función se determ ina a partir

y' < n

Ranf =[0;7t]

de -1 < — - 2 < x < 2 2 Dom f = [-2 ; 2] El rango de la función es evidente jt x n — < a rc se n —< 2 2 2

Ran f =

542

2 ’2

Ejemplo 3 y = 2 are sen x

-

VPITULO Vil

Funciones trigonom étricas

Itesolución El dominio de la fundón se halla por -1 < x < 1 Domf = [-l;l]

E jem plo 5 y = arc sen (jr-1) R esolución

El rango d e la función se determ ina a partir n _n d e _ 2 ~ arc Sen X ~ 2 ’ m ult*PÍ*can^ ° Por ^ entonces

-Jt< 2arcsenA f< Jt < n

-n Ranf = [-7t;n]

Figura 7.100

[E je m p lo 4

•

v = -arcco sA r

y

3

El dom inio d e la función se hedía a partir de -1 < jc—1< 1 => 0 < J t< 2 .

lución

Dom f = [0;2] •

El réingo d e la función se halla por 2

< «irc senfjr -1 ) < — , . 2

71 “ tt < 2

y

ji

< . 2

.-. R anf = _ n -n l ” 2 ’2 j Ejem plo 6

Figura 7.99 y = árceos •

El dominio de la función se halla por -1 < x < 1 Domf = [-l;l]

•

(f+1)

R esolución

El rango d e la función se determ ina a partir de 0 < árceos x < n , dividiendo entre 3 entonces

1 7t 0 < - arccosx < — 3 . 3

s( f + 'l

n °< Ranf = [0; n/3]

y

< 3

Figura 7.101 543

Lumbreras Editores

•

Trigonom etríi

El dominio de la función se halla a partir de

Ejem plo 8 77 y = are cosx - -

- 1 < - + 1 a /b = l =» a = b

Si k = 0 => a = b ,e s lo que se quería demostrar.

g(x) es inyectiva O tra fo rm a

Este es un m ecanism o práctico m ediante el c u a l p o d e m o s c o n stru ir e l g ráfico . Si tra z a m o s u n a r e c ta h o riz o n ta l, d e b e intersectar a la gráfica por lo m enos en un solo punto, así f(x) = 2cot 2x - cot x; x * n f(x) = 2cot 2x - (esc 2x+cot2x) f(x) = -(e s c 2x - cot2x) f(x) = -tan x 546

c)

Para este p ro b le m a p o d e m o s ap licar el siguiente criterio. Por d efin ició n d e fu n c ió n p e rió d ic a • h(x+T )=h(x) _ Entonces cos’[sen(x+T)] = eos (sen x ) Donde se cum ple para T= n ; 2rt; 3 n ;.... Entonces, com o h es un a función periódica y com o toda función periódica no es función iey eájS ^ Concluimos q u e h no es fundón ¡rfyecwá.

Funciones trigonom étricas

Problemas Halle la regla de correspondencia d e la gráfica dela fu n d ó n f, p resen tad a en la figura 7.108.

R e so lu c ió n

Sea la ecuación d e f: f(jr) = A arcsen(B x+C )+ D Considerando del gráfico

A, B > 0 - 2 < J t< 4

Multiplicando B y sum ando C -2B + C - 6 < x < 2 4 2

aculo del rango d e f

0< arccosí ^ + 4 ] -3 < x < 7

II.

0 < a r c c o s ^ ^ g - ~ j^ n =* 0 < y < 3 n

Luego

b = 10 ;

En (1): S = 15nu2

548

3rr (c) Figura 7.110

Funciones trigonométricas

CAPÍTULO Vil

n- lema 6

Sustituyendo en la expresión original

lálcule el valor de

r

k = sen 2 are tan k= 5tan —+ 2arc esc

f

V4

*

- arcsec 2,6 2

Aplicando arctan(-x)= -arctanx y sen(-x)= -senx

v

V3l k = -s e n |2 a rc ta n - g

ilución

r fea

m

are esc —— = a

mo

ae

\

0 ;- ' 2

csc a =

sen a =

•M

Sea 0 = are tan — =s> tan0 = — 9 9

O < 0< — 2

_________ 2(V3/9) 2tan0 1+ tan20

pálculo d e cos2 a

-

a

Cálculo de sen 20 VÍ3 sen 20 =

J

,0 )

eos 2 a = 1 - 2sen2 a

i + (7 3 /9) 2

3 73 14

sen 20 =

cos2a=l-2Í-¡Ll = —

3V3 Sustituyendo e n (I): k = — —

2 a = a rc s e c 2 ,6 ... ya que 0 < 2 a < n

Problema 8

j 13 => s e c 2 a = 2,6 o s e a

Determine el valor d e la expresión

Reemplazando e n la expresión original

*i 3n 1 1 tan — + - a r c s e n 4 2 3 .

k = 5 ta n ^ + a r esec2 ^ - arqsec2^í k = 5 ta n 4 k=5

Resolución Sea a = a r c s e n - => se n a = 3 3

Proli!ema7 75

, / 3 rt a 'l (3 n ^ f 3n tan — + — = c sc — + a - c o t — + a 4 2 2 2

Resolución iea a = are sen

V5

v 3 ; Cálculo d e eos 2 a . eos 2 a = l- 2 s e n 2a

75 >se n a = — 3

n it a 0 * ¿ 1 Domf = [ - l ; l )

Problemas

Cálculo del rango de f ; expresando f únicamente con árceos x

Determine el valor de , V6 1 E = cos are ta n ------ are e o s2. . 5

aresenx _ 2 a rc c o sx _ 2 árceos* árceos* árceos *

y =

Resolución * y=

Hacemos que a

=

, V6 , -s/6 arctan — => ta n a = 2 2

a

n jt 0< a< — 2

árceos* árceos*

¡i --1 2arccosx

Del dominio de f: -1 < * < 1, se obtiéne 0< árceo s* — se invirtió puesto que arccosx>C árceos* n

También P = are eos i => cosB = 5 5

a

0 _ I 2 arccosx

~ 2 ’+°°

2

Funciones trigonom étricas

VPITULO Vil

D&lema 11

Resolución

| D eterm ine los valores de la función f y represente |s u gráfico. t f(x)=sen(arccosx) co s(arcsenx) ¡jrResolución

tira, forma ^ I( n eos — arc co sx

L lJ _

J

= sen (are cosx) . sen (are eos x) = sen 2(arc cosx)

C om o es sabido 0 < arccotx < n , en to n c e s no existe un x, tal que arccotx=0. Analizando el radicando de la expresión f(x) arc ta n |x | ^ arccotx • => arctan | x | > arccotx ya que arccotx es positivo. Resolviendo la inecuación gráficam en te (ver figura 7.115) se observa qu e la d e sig u a ld a d anterior se cum ple si x > 1

= 1 - cos2(arc cosx); f(x) = 1 - x2 ; V xe [—1;1] jj Del dominio de

f: - 1 < x < 1

= > 0 < f( x )< l

| La gráfica de la función f se m uestra en la figura 7.114

Figura 7.115 Dom f =[l;+«o)

Problema 13 Exprese W en términos de x W = se n (se n 'lx -c o s ~ l2x) ; - l < x < 0

j; 2da. forma

Resolución

t Recordando el teorem a, de la página 536 | sen(arccosx)= %/l-x2,

También W se puede escribir com o W = sen (are senx - are eos 2x) donde x e [ - l / 2 ; 0 ) Sea

co s(arcseru )= V1—x 2 entonces

0

f(x)= se n (a rc c o sx ).c o s(a rc se n x ) Vl-x2

=* cos0 = V l- x 2 porque 0 e [ - r t/6 ;O )

Vl-x2 •

f(x )= l-x 2 Com o es ev idente p ara —1< x < 1, se obtiene 0 < f(x )< l.

Problema 12 Determine el dominio de la siguiente función f, cuya regla de correspondencia es /a rc ta n M ^ V arccotx

= árese nx => sen0 = x ; - - < x < 0

p = arccos2x => co sP = 2 x ; - l < 2 x < 0 =* senP = V l- 4 x 2 porque P e ^ ; n

E fe c tu a n d o la e x p re sió n W a p lic a n d o las identidades de arcos com puestos W = s e n (0 -P ) = se n 0 c o s3 -c o s9 se n p Sustituyendo valores W = x(2x) - Vl - x 2.V l-4 x 2 W = 2x2 - Vi - 5x2 + 4x4 551

Lumbreras Editores

Trigonom etría j

Problema 14

■>

Entonces

Luego de analizar la función H(x) = 4 senx - cos2x

s e n (n + 6 )< se ru :< l

. . ¡H r/f para todo x e ( —;n + á rc eo s—

-sen 0 < se n x < l

4 A •-1

%

determ ine su

i

1

3

rango.

;

— < senx< l 4

....(I)

Resolución Expresando H en términos senos H(x) = 4 s e rw -(l-2 s e n 2*) se uso la identidad eos 2x= ]-2 sen2x

A partir de la desigualdad (I) form am os H(x), de donde se obtiene que -,'j - ^ < 2 ( s e r u r + l)2- 3 < 5 8

H(x) = 2(sen2x+2serur)-l Com pletando cuadrados

RanH =

H(x) = 2(sen2x + 2serur + l - l ) - l (senx+1)2 H(x) = 2 (sen x + l)2- 3 ya q ue la función H sólo depende del senx, pues analizam os los valores de éste en el dom inio dado. 71 y¡7 —< x < rc + a rc c o s— 5 _ __4, "e -. „ V7 Si 0 = a rc co s— 4 V7 => COS0 = —

a

Problema 15 Determine el valor de 1271 ( 9 tiA y = arcsen eo s— + arcc o s sen ^

Resolución Recordando el teorem a áreseme = — arccosx 2

o 0 < ( x - l ) 2 < 4 553

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

También el rango se verifica en la gráfica de f, véase figura 7.118

Problema 19 Resuelva árceos ( * ^ ) + arcco s x = ~

Resolución U tilizando el m ism o te o re m a d el p ro b le m a anterior árceos (* 7 7 ) = - - á r c e o s * árceos (x s fi) =

a re se n *

Evaluando cosenos en am bos m iem bros Ranf = [0;4] cosJ^arccos(*\/7 )J = co síarcsen * )

Problema 18 Resuelva

Entonces (*V7) = -s/l—**

are senx - 2arccos * = ? 4

Elevando al cuadrado

Resolución 7*z = l - * z

V 6-V 2

*= ±

V2

V2 La ecuación original verifica sólo p ara x = — 4 x -

V6 +V2 ' F ig u ra 7.119

Problema 20 Resuelva

Recordam os que n aresen x + árceos * = — Reem plazando en lá ecuación del problema (n => are se n x - 21 - - a r e s e n x 5n 3, aresen x = — 4 5rc aresen x = — 5n x = sen yy

554

arccot * - arccot (* + 2 )= yy

Resolución Recordam os que are tan * + are cot * = — entonces are cot * = - - are tan * 2 Luego sustituyendo en la ecuación original

x ■

S + y¡2

--a rc ta n * 2

- - a r c ta n ( * + 2)

n_ 12

i

ÉGAPÍTULO Vil

Funciones trigonom étricas

f — ----------------- -

í

; O rdenando

|

Cálculo d e sen2 a . Sabem os que

are tan (x+2) - are tan x =

2 tan a 1 + ta n 2a 2x sen 2 a = 1+ x2

sen 2 a =

°

are tan (x+2) + are tan(-x) = ^ (x + 2) + (-x ) => are tan l - ( x + 2 )(-x ) => are tan

Sea B = aresen — 2

n 12

=> s e n p = — a - - < B< 5 H 2 2 H 2 Sustituyendo y o rd en a n d o e n (1) o b ten em o s 2a + P=jt

12

1+ x + 2x

y sabem os

que

p a ra

a rc o s

suplem entarios se cum ple sen 2a = sen P arelan

7t

Sustituyendo el equivalente de cad a seno 2x _ x 1+ x 2 _ 2

, 0 + x )2_ Í2 2

tan 12

Resolviendo la ecuación obtenem os

(1 + x f

^ = {-v /3 ;0 ;V 3 } 2 -> /3 = (1 + x )2

Pero reem plazando en la ecuación (1), este sólo se verifica para x = -J3 .

Resolviendo obtenem os * = { -2 -V $ S }

Problema 21 D eterm ine la abscisa del punto de intersección entre las gráficas de las funciones fO) =2 are tan x

a

Una fo rm a d e d eterm in a r el n ú m ero de soluciones de la ecuación (1) es graficando las funciones f y g, veamos

g(x) = n - a re se n —

Resolución Com o el enunciado del problem a indica que las gráficas de las funciones f y g se intersectan, es decir existen puntos com unes, en to n ces para dichos pu n to s se cum ple f(*)= g(x), luego el problem a se reduce a resolver la ecuación: 2 are tan x — n - aresen — .. 2

Como o b se rv a m o s sólo en un punto se

Sea a = are tan x => tan a = x

0)

a

n n — cosp = x + - A 0 s p ¿ n ...( 3 ) Sum ando (1) y (3) c o s a + cosp = 2x ==>eos a + eos 3 = 2cos 0 puesto que x = eos 0 Transform ando a producto se tiene

í f c o s ^ ^ i f i j c o s ^ ^ ¿ j = /2'cos0 ... (4) bién tenem os a + 0 + p = — =* cos0 = - s e n ( a + p) Reem plazando en (4)

cosf —-^ -Ic o s^ ^ 2

j = - s e n (a + p)

c o s í^ lc o s ^ ^ j= -2 s e n j^ ^ jc o s j^ j S( 2 J

Tenemos cosj^^y ^l = 0

Este gráfico indica que la ecuación posee una sola ‘ solución, pero no determ ina dicho valor, en ese \ sentido procedem os de la siguiente m anera: aresen x + aresen 2x= - - aresen x 2arcsen x + aresen 2x =

Sea 0 = aresen x SLÍÉ = Í => a + P = n , luego 0 = |

=* sen0 = X d e donde x = cosB = 0 556

A - - < 0 < -

2

2

(I)

fcAP IT U L O Vil

Funciones trigonom étricas

Problema 25

¡En (0

Calcule el valor de

2 0 4 arc sen 2 x = 2

1 9 A= arctan 44-arctan - 4-are tan -

arcsen 2x = ^ - 2 0 => s e n í^ -2 0 | = 2x |

=> eos 20 =2x => l- 2 s e n 20 = 2x

1 => l- 2 ( * ) 2 = 2x fí O rdenando la ecuación cuadrática i 2x24 2 x - l =0 , , , d e d o nde

Resolución Expresando co m o un arco tangente a los dos últimos términos, y aplicando el teorem a de la página 538.

A =arctan 4 4 arctan

x/3 “ 1 f V3 +1 x = ------ v x = - l -------2 ^ 2

1 9 2 + 2 4-kn i 1 9 ‘ ~ 2 X2

V3 —1 La ecuación sólo adm ite x = —- —

Para elegir el valor de K, analizam os el producto , 1 9 entre - y 2*2

Problema 24

. . .k =. l, puesto que -1x 9- >, I Asi

De la ecuación, halle el m enor valor d e x.

Entonces

are tan (x) + 2arc tan (2x)= are tan (7x)

A = arctan ( 4 ) 4 arctan ( -4 ) 4 n => A = arc larrtíT - a r c - t a n t ^ n

R eso lu ción

arctan(2x) 4 arctanx= arctan(7x)- arctan(2x) S im p lific am o s c a d a m ie m b ro a p lic a n d o ef te o re m a 3 d e la página 538.

A = rt

Problema 26 Calcule el valor de

, 2 x 4 x 'i . ( 7 x -2 x are tan — -—-— = are tan 1 -2 * x l + 7x.2x are tan

3* = are tan \-2 x \

3x l-2 x 2

5x l+ 14x2

5x

)

1+14x2 J x =0

(verifica la ecuación original)

W = 1 6 are tan ^ - 4 a rc ta n —!— 5 239 Resolución W = 4¡4 are t a n - - a r c t a n —!— | ___ (I) l 5 239 1 Sea 0 = a r c ta n 5

puesto que tan 0< tan

También 3 l-2 x 2

8

O tan0 = 4 A - - < 0 < — 5 2 2

26 V26

JÍI2 p f

tan20 = - ^ 1 - tan20

j

12

26 557

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Cálculo del valor de tan 40

tan 40 =

2 tan 2 0

l - t a n ¿20

El valor de k es 1; puesto que 8 x 5 > 1

2[ 12 I J 5

y = arctan|

120

¡+ rt+arctan 2

119 y = tt + arctan 2 + arctan Í - 1 3

12 Como el arco 40 e (0;

1

40 = are tan

120 119

y = ji + arctan

Luego en la expresión de la ecuación ( I )

ú

' + rm

-i

El valor de n es 0; puesto que 2 x

1 W = 4 ardan! ~ l+arctan, ___ '1 1 9 ) l 239

Luego,

r 120 1 ) 119 239 + kn W = 4 arctan j 120 -1 k 119*239)

5rt

^ j

0

0

=> arctarur - arctany = arctan

Para un radical

x-y

M, = ^2 + ^ = V2 + 2cos0 = >/2(l + cose)

1+ xy

20 ) _ „ 0 M, = ,(2| 2cos‘!- j = 2cos—

Problema 27 Calcule el valor de

ir)

Parados radicales

y= arctan 8 + arctan 5 + arctan 2 M2 = V2 + V 2 + ñ = V 2 + 2 co s0 /2 R esolución Efectuando los dos primeros térm inos y = arctan

558

8 +5

1-8x5

+ kn+ arctan 2

M2 = V 2 (l+ co s0 /2 ) = V2(2 eos 2 0 /4 ) 0_ M2 = 2cos - 2 22

P1TULO Vil

Fundones trigonométricas

tlogamente p a ra (n -l) radicales se tiene M,(n-l) = 2 eos

f(x) = A

e

+ /

+ 1

f(x) = 1

itonces la expresión para n radicales será

—T

•Luego, redefiniendo la función

M = , | 2 - 2 c o s ^ r = ^l2| 1 -cos 2n-i J

3; 0 < x < l f(x) = 1; - l < x < 0

M= .|2| 2sen2- 4 l = 2sen 0

2"

2"

....(II)

Si g rafica m o s d ic h a fu n ció n o b te n e m o s la

>(I) se obtiene 0 = árceos -

cos9 = —

sm plazando en (11) M = 2 s e n f-i-á rc e o s - i 12n 4j

E

rrablema 29 Grafique la siguiente función r;

fM _

are sen x [ [árceos | x | | |} |á r c s e n |x || a r c c o s |x |

R esolución Cálculo del dom inio «■ áreseme | x | * 0 = > I Xf I =>

Problema 30 a

árceos| x | * 0

0

A

| X | 3^ 1

X *0

A

x*l

Dom f e (—1; 1) —{0}

f

h(x) = aresenx4+ arccosx4+ arctanx4+ arccotx4 + areseex4+ arces ex4

Resolución

S ea0 i =» x s - i v x > r lntersectando los dominios .-. Dom h = { -!;!} 559

Lumbreras Editores

i¡)

Trigonom etría:

Cálculo del rango de f

Intersecando (1), (2) jr (3)

h(x) = (arcsenx4+arccosx‘')+(arctanx4+arccoU‘) ' it/2 7" ' í/2 ’ + (árese or4+arccscx4) ü/2

h(x) = y

Domf = [ —1; cosí] Cálculo del Rango de f

Si el dominio es -1 < x < eos 1 (véase figura 7.124)

R a n h = j~ J

iií) Gráfica de h(x)

Figura 7.123

Se observa que la función es par

Problema 31

=» 1< arccosx < rc Tomando logaritmos

Halle el dominio y el rango de la siguiente función f(x) = (/logíarccosx)

.<

log 1< log(arccos x ) < log n 0

i

Tomando raíz cuarta

i

]

Resolución

0

< ^/log(arccosx) < (/logre

Cálculo del dominio de f

fU ) •

-l< x £ l •

- ........0 )

De la función logarítmica 0

< árceos* J+V5 ¡

keZ

A) |(4k + l)=;(2k+l)7tJ A) R -(2 k + l)5 * -{? } 3.

y = — L—+ — L - ; k e Z sec x esc x

. 6.

B )(4k + l ) í 4

566

A) R-{kn}

oMt)

C * -{f}

«Mt!

. 2X jX . y = tan —+ sec — , k £ Z 2 2

E) R -ík n }

D) R-{2kn}

E) R -{(2k + l)7t}

VPÍTULO Vil

Funciones trigonométricas

p ñ los problem as del 7 al 13 determ ine el rango jÜe las sig u ie n te s fu n c io n e s c u y a re g la de correspondencia se indican a continuación.

sen*

12. > =

Vi +

COt *

A)

y = senx + 2co sx

B) [-i;0>

D )[-l;l] - { 0 } A) Pmin= 0

D eterm ine la extensión de 0 tal que ^ tanJ0 + |tan 0 | >72tan0 ; SelC oIV C ; k e Z

Halle

frnin A) 8 e { - 5 + 2k7i;5 + 2k7t) ; 0*2kir

A) 7 6

B) 276

C) 72

E) 1

D) 272

B) 0 e (-— + k 7 t;^ + kn

66. Si el valor m edio del máximo y m ínim o valor de la función f(x) = s e n íx j tiene la forma pq, siendo p y q números-irracionales, determ ine

C) 0 e ( - | + k n ; | + kjt

el m enor d e ellos cuando x e (0; 2 n ).

D) 0 e {—~ + k n ; ~ + 2k7i

A) sen2,5 D) cos2,5

E) 0 e ( - | + 2 t e ; í + 2 k n ) ; 0*2k7t

B) sen3,5

C) sen4,5 E) cos3,5

575

Lumbreras Editores

frigo no m e trí,

69. Determine el rango de f definido por

74. Determine el valor de p= sen a rc,ta n 3- + árceosí - 14 {8 % L

f(x) = tan Í x + j í j si 0 < x < -

A ) [ ta n l;+ ~ )

12v/7-3 40

D)

V7 10

B)

12v7 39

3 v7 C) -

40

B) [ - 2 ; +=»} C) [-1 ; 1]

D) (-oo;+oo\

E) (-1;+°°)

70. Sea f(se n a) = c o s 2 a - 6 s e n a + 10,entonces el rango de f es A) [7; 13] D) [5; 10]

A)

B) (11 ; 13]

C) [6 ; 10] E) [13; 17]

E)

75. ¿ Cuál es el valor de árceos sen

l2\¡7+3 40

Un "3

rt O "!

A) 3

71. Determine el valor num érico de N = sen(arctan(- V3) + arcsen l) 1 A>4

B )-4

1 O 2

D)

71 . E )-:

76. Halle el dominio y rango de la función f, si ; f(x) = 4 árceos^ 7 + 1

D)

E) 0 A) Domf = [-4; 0]

72. Calcule 7t { lY] M = tan — árceos _2 V" 3ó JJ

Ranf = [0; 4n] B) Domf = [-2; 0]

A)

V3

B) -

Ranf = [0; n]

S

« T C) Domf = [-2; 1] Ranf = [2n; 4rt]

73. Calcule

M = sen(rc + 2arctan 3)

D) Domf = [-4; 0] Ranf = [0; 4]

« Í 5 D )-f 576

B) - f

c> f

E) Domf = [-1; 1] Ranf = [0; 4]

E> Í3

\|

PÍTULO Vil

Funciones trigonométricas

Nrr. El cam po dé existencia y cam po de variación de

79. Indique el gráfico c o rre sp o n d ie n te a la • función g si g(x) = a r c s e r ^ í j

*' h(x) = |a r c c s c ( x 2- 2 x ) 4

es

4 A) ;...... 07

A) Domh = (_oo; -V 2 + 1 ] u [>/2+1; )

B) :

, 1; X

r

Y

0

.

7

-*/2

Ranh-;°:fH-f} B) Domh = ( - 00; - v /2 + l ] u [ 2 ^ 2 + l;oo)

R anh*(ftl]u{i} E)

C) Domh = ( - 00; - ,/ 2 + l ] u [ \ / 2 + l; o»)

Í7

R anh-(°;iM-fl

80. Construya el gráfico de f(x)=arccos(6x - 5 )+ n

D) Domh = ;'_oo¡ - ^ 2 + l ] u [ ^ + l; o.)

R "h'(0;fR i] E) Domh = (-«>; - l ] u [ l ; ~ ) D u / n n Ranh = 1 — \ 2 4J

78. Calcule el rango de la función g, si 2 x - 3 'j 2 g U ) = -arcse n 3

Á)

N)

D)

B)

»

C) (0; n)

L 0:2J

rt

#

H) .

E)

n t. n *

. 4’

2.

. 4;

Lumbreras Editores

81. Realice el bosquejo de la función h, si

Trig o n o m e trí

83. Halle la regla de correspondencia de la curv

h(x) = árese n3x - -I 3l

B) f(x) = 2arcsen^^~ pj+ 2rc

C) f(x) = 4 a r c s e n ^ ^ j + ^ D) f(x) = 4 a r c s e n ^ ~ ^ j+ n E) f(x) = 4 a rc se n í;~ ^ j + n 84. Determine la ecuación d e la gráfica 82. Realice la gráfica de la función g, si

rf

g(x) = aresen x - árceos x

C) f(x)= arccot(2>/2x + l) + ^

D) f(x) = are cot (2V2x - 1) + ^ E) f(x) = are cot (2 V2x - 1) - ^

578

CAPITULO V il

Funciones trigonométricas

B5. ¿Cuál es la regla de correspondencia de la gráfica ?

87.. ¿Cuáles son los valores de la siguiente función g(x) = x se n (a rc se n x )-2 c o s(a rc c o sx )+ l? A) [0; 2]

B) [0; 3)

D) (0; 4] 88.

C) X X“ calcule «— +

A) / (4n —1)—; ( 4 n + l ) - \ \ 2 21, B) ( ( 2 n - l ) - ; ( 2 n + l) í ' ,2 2

A)

B)

84

11

C) (2rm; ( 4 n + l ) ^

C)

E)

D ) 84

14 11 84

D) ((4n + l)5 ; (2n+ l)jij 123.Simplifique Z +W si

E )(f+2rm ;y+2n7t)~{(2n+15

2 -sen Z=arccot

2n 120-Si árceos a+ arccos b+ arccos c = — , calcule

n cos7

los valores de x en la desigualdad ■aresen a + a rc se n b + aresen c < 5 aresen x

l- 2 s e n W =arccot

7 / n 2n 3n —3 eos - e o s — eos —

eos ’ 1. >/3" C) 2 ’ 2 i

1 2 1 .S ea la función correspondencia es h (x )= sen

h

cu y a

reg la

I--------

E)

i__ i—

H fe i

B)

i

D)

1

i_____ i

A)

A)

Jt b )7

71 Ti 9k Ti

C)

5k Tí

E)

3 Jt 7

-

de 124.1ndique verdadero (V) o falso (F).

árceos. i. tan"11+ tan-12 + ta n '13= n

Calcule el dominio y rango ii. arcsecx=árcese A) D o m f= [0;ll ; R an f= [0 ;ll B) Dom f=[l;2] ; R anf= [0;l/2]

íi. si tan (a) = n -> a=^gptan(n)

C) Dom f=(0;3] ; R an f= [0 ;ll D) Dom f= [-l;3 ] ; R anf=[0; 1/21 E) D om f=[l;3] ; Ranf=lO;l) 584

A) VW D) VFF

B) FFF

C) VFV F )W F

Funciones trigonom étricas

C A P ÍTU L O Vil

125.De las siguientes proposiciones, indique verdadero o falso: i. Si arccscX |> arccsar2 —► x, >x2

128.¿C uál d e las s ig u ie n te s f u n d o n e s trigonométricas son inyectivas? i.

f(x) = 2sen4x;

xg

( ^ ’y )

ii. Si árceos*, > arccosx2 —>JC| iii. Si y = a r c t a n ( t a n 2 x ) T = í iv. Si y = 7 t+ |arcserw | e n to n c e s e s u n a función univalente. A) VW F D) FFVF

B) FW F

C) FVW E) FVFF

ii. g W = ^ (c o s 4* - s e n 4* ) ; * e ^ ; y ^ m. h(*) = c s c y + c o t y ; x 6 f — A) Sólo i D) i y iii

B) Sólo ii

)

C) i y ii E) Sólo iii

126.Reduzca 129.Siendo x e

reduzca la expresión

,tn ,= ,an ''( T T í ) + ,“ " ( í ^ ) t l m '' ( ¡ ? )

A) f(n) =

B) f(n) =

ÍO;Vne R —I—1;1] { jr,V n e(-l;l)

( l- 2 e 2*)’

2e‘ V l - e 2jI

Siendo e b ase d e los logaritmos neperianos

ín;V ne R —[—1; 1]

A) e* D) -1

j-7r;V ne

C) f(n) = 0; V ne R —{—1; 0,1} D) f(n) = ít; V ne R -[-!;!]

B )-e ‘

C) e E)1

130.Halle x en la siguiente igualdad .,i . i J-M ] tan - + tan — + sen ----7 18 65

0; Vn e R -[-l;!]

E) f(n) =

7 \

1 M =cos -árcese 2e'VT 2

c o t'1x = 0

-jr;V n e (-l;l) A )|

127. Resuelva

— = are sen

Vers2*

B )|

D) 3

C )2 E) 4

1 3 1 .En u n triá n g u lo ABC cu y o s la d o s so n A) ¿

%/9 + l l n - 3

±^

Z

3

2 la rc s e n 0 lu y 4 u , el ángulo formado por

, 0

dichos lados es 0 , calcule la variación del área de dicha región triangular. A) [1; 2senl]

C )± V

9 ^ 3 ;]

D) ±1 E) 0; ±

B) [sen (sen l); 4senl) C)

V9 + 1 2 n -3 2

( 0 ;3 s e n l]

D) (sen (sen l); 4senl] E)

(4sen(senl); 4 se n l] 585

Lumbreras Editores

Trigonom etrí

132.Definimos f(>; y)=arccosx - arccosy

135.Se define f ú ) = cos(arctan(sen(arccotx)J

Para los valores dé x e y en el recinto [-1; 1]

Determine el rango d e f

m, representa el valor de f(a;b) cuando a > b m 2 representa el valor de f(a;b) cuando a < b . calcule m !- 2 m 2 en térm inos de a y b.

A) Ranf= (0;1) B) Ranf=[0;l 1 C) Ranf=

A) 3árceos(ab + Vi - a2vi - b 2) B) -3 arcco s(ab - Ví+ a 2 Vi + b 2)

\3 ’ J

D) Ranf=

C) 3arccos(ab W l + a 2 V l- b 2) E) Ranf=

D) 6 aíccos(ab + V l- a 2 V l- b 2)

v/2 .1 \ 4 ’2 /

136.Calcule el valor de la expresión

E) 6 a r c c o s ( a b - V l- a 2Vl + a 2)

arctaní ^ (eos 2 a sen 2 0 + eos 2¡3sec2a) 133.Definimos el polinomio en x (polinomio de Chébichev).

- arctan(tan 2( a + 0 ) tan 2( a - 0 )

T t _ U + '! x 2- i ) n + (x - Vx2- i ) n ,W “ • 2n .

A) f

V n eZ ;

D)

B)

Halle el equivalente cos( 2 a rc co sx ) TÍOO A) 8

B) 2

C) 16

D) 32

E) 1/2

134.Determine el valor de la expresión a (a + b + c ) . |b (a + b + c ) F = arctan + arctan ' be ca V .

+

lc (a + b + c ) a rc ta n ,/—------------------V ab

, n

s . ( 4nh ^ A) arctan — — (an + a J , Y 2 nh 'l B) arctan — 5—— \ an + 2 a I

7T

TC

B )6

C )4

D) arctan

E)

E) arctan - T - ) an + a )

71

D 2 586

n

ji

2 3ji E) 4

137.En un triángulo ABC (recto en A), lahipotenus tiene p>or longitud a, es dividida en n partí igueiles con n entero impar. La parte centfi subtiende un ángulo a en el vértice A, h es 1 perpendicular d e A hacia el segm ento B( Determine a en térm inos de n, a y h.

C) arctan

A^ 3 ,

C)

_ 2 n h _ Nj an 2 - 1 J

Funciones trigonométricas

C A P ITU L O Vil

138.Sea la función cuya regla de correspondencia

141.Determine el rango de f definido por

. f 1 - x 12) es f(x )-á rc e o s 1

( f(x) = arcsen

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? A) [-1 ; 11 I.

Es función creciente en (0;+°°)

11.

Es función decreciente en (-~;0)

III. Es función constante

2 ^ X v 1+ x 27

B )R

D) [0;1)

C)

10; 11

E)

[ -1 ; 1)

142.Halle el área de la región som breada.

IV. R a n f= [0 ;n ] A) Solo I B) I y III C) I y II D) 1y IV E) Todas son correctas 139Al resolver la ecuación a rc se n — j + arcsenl — j = a rc se n x indique el núm ero de soluciones B)

A) 1 D) 4

2

A) 4it

C) 3 E) 5

D)

140.Sim plifique la expresión que co n tien e n térm inos. 1

3

, 6

10

arctan - + arctan - + arctan - + a rrta n — ... 2 4 7 11 A) arctan)

1 n +1

B) arctanj

n n+1

B) 4-67t

6 r t-4

E) 8 n - 2

143.En cuántos puntos se cortan las gráficas de las funciones f y g siendo f (x ) = árceos x + árceos x 3 + árceos x 5 g(x) = arc co s(-l) + arcsen(l) + —■ A) 4 D)1

B) 3

nit . f n n i — + arctan ----4 l n +1

a

g(x) = cos(arccosx)

halle los valores de x tal que los valores d e f no sean m enores a los valores d e g. A) R

nn , f n E ) ----- arctan -r— 4 U +2

C) 2 E) 0.

144.Dadas la funciones f y g definidas por f(x) = sen(arcsenx)

C) n n - a rc ta n ---- l n+1

C) 8-271

D) 0

B) [-1 ; 1]

C)1 E) -1 587

”

; - - •■ »

. ■

— \h*■ 1

cM SM

*l¿Jíiin,

91

104 1 4

118 [ C

132

92

105 | E

119 i £

133 f B

93

io 6 n r

i 2o n r

J ü J ~E

107 n r

121 f F

135 n r

io s r ~5 ~

122 F P

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96 1 o

109 r r

123 F cT

137

97 Í~C~

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124 |~ 5 ~

138 n r

98 I B

ni nr

125nr

139 V e

99 1 4

n 2 r~c~

126 HÁ~

140

100 I B

n3 r r

127

,101 l O

n4 r r

128JT

102

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129

m

143- f F

103

1 C

n6 r r

130

n r

144

n 7 H s~

131 rr

B

94

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95

r r

ir «SV'i'-■«'X*«¿Vfí*&*»A

i

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b

r r

n r

b

n r

rr

141 f p 142 H e"

r r

CAP TU LO

T R IG O N O M E T R ÍA

VIII

Ecuaciones trigonométricas

Aprovechamiento hidráulico Aquí tenemos una presa hidráulica en forma trapezoidal, que sirve para transformar energía hidráulica en eléctrica. S i la parte inferior y los lados del canal mide 8m, siendo 9 el ángulo formado entre e l lado del canal y el nivel del piso. Y el área de la región transversal del canal es 48'¡3 m¡; se debe resolver 4senQ(1+cos8)=3'}3paré determinar 9.

L j E 't i

T s U R

LAS E C U A C IO N E S Y LA E V O L U C IÓ N DE UN CAPITAL % En matem ática, al igual que en la vida cotidiana, el primer grado evoca lo que es simple e inm ediato. El segu n d o grado, en cambio, indica que existe en sentido oculto, una solución no evidente que hay que buscar.

¿Es posible clasificar todos los problemas? Es lo que esperaban los matemáticos cuando lograron asociar claramente curvas y ecuaciones de grado preciso. Sin embargo, cuando examinaban ciertas curvas o ciertos • problemas, debieron convenir que no eran ni de primero, ni de segundo ni de ningún grado. Los problem as donde porticipan los sen os y los cosenos son de este tipo, com o los problemas de intereses. Ejemplo: Lo cantidad de 10 0 0 0 nuevos soles se coloca al 10% anual. ¿Podríamos saber en todo m om ento cóm o evoluciona el capital? La solución exacta d ep en d e d e una curva (de una función) que no tiene grado. Es una función cuyo nom bre e s exponencial.

En la figura, C e s el capital obtenido a un tiempo t (en años). Por ejem plo, al cabo d e 3 años (f= 3) se ob tien e un capital de C = 1 4 6 4 1 nuevos soles (ver figura). Para qu e el capital se duplique, se tendría que resolver la ecuación 2 0 0 0 0 = 10 0 0 0 (1 + 0 , l ) x. Con el uso de una calculadora se p u ede determinar que dentro de 7 años con 3 m eses se logra que el capital se duplique a 2 0 0 0 0 .

¡

,

E c u a c io n e s •/ t r i g o n o m é t r i c a s

OBJETIVOS

• • • •

Diferenciar las definiciones de una identidad y una ecuación. Conocer las diversas formas d e resolver una ecuación trigonométrica elem ental o cualquier ecuación q ue pueda ser reducida a dicha forma. Relacionar la periodicidad de las fundones triogonométricas y las propiedades de las funciones trigonométricas inversas pora determ inar las soluciones de una ecuación trigonométrica. Interpretar geom étricam ente las soluciones de una ec u ad ó n e inecuación.

INTRODUCCIÓN La resolución d e ecuaciones y de sistem as d e ecuaciones, se d a

~---------

——

- -------------s

--------

--------------

"

m atem ática. Esta atención para las ecuaciones no pued e considerarse casual, ya q u e se explica por la importancia que tienen las ecuaciones en las aplicaciones prácticas de la m atem ática, ingeniería y otras disciplinas. Veamos algunos ejem plos donde se aprecia su gran utilidad:

w — X

B

............... ..

__________]w , Fig u ra 8.1

Determ inación del centro de gravedad d e un cuerpo Se coloca un cuerpo sobre apoyos en A y B, siendo W el peso del cuerpo y si se tom a un eje d e m om entos del extrem o A, generalm ente la ecuación xW - £W, = 0 ; de donde: x =

w

x es la distancia del extremo A al centro de gravedad del cuerpo, y W, es la reacción en el extremo B. Determ inación d e las oscilaciones d e una barra de hierro Para hallar la frecuencia x de las oscilaciones de una barra de hierro con extrem os em potrados, som etidos a un golpe, se debe resolver la ecuación e* + e '* = —— ; donde e=2,7182... cosx 593

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

En matem ática existen diversas formas de resolver ecuaciones. Ei i el presente capítulo se desarrolla en .fo rm a esquem ática las ecuaciones trigonom étricas, a partir de las identidades fundam entales podem os reducirá expresiones com o una ecuación de'giado uno, y aplicar los conceptos vertidos en Circunferencia Trigonométrica. . También es necesario que el lector recuerde el dominio y rango de las funciones tngonométricas inversas que son válidas para la resolución de ecuaciones. Eln reiterados problem as será necesario interpretar las soluciones de una ecuación o inecuación, por ello se sugiere la construcción de gráficos de funciones. E C U A C IÓ N T R IG O N O M É T R IC A

¿Q ué es una ecuación con u n a incógnita? \ ¿ Sean f y g dos funciones, a la igualdad de dos funciones con una misma cantidad variable, es dedi fC^r)=g(jc), se denom ina ecuación con una incógnita. La variable x que figura en la ecuación sí denom ina incógnita y los valores de x que la satisfacen se llaman soluciones de la ecuación. *.

Á continuación se presentan ejem plos de dos funciones que relacionan a una ecuación:

1.

Si f(x)=2x, g (x )= ^ + l ;

luego, la ecuación es

2x=x2+l

2.

Si f(.\)=x!- 3x, g(x)=2x2- l ;

luego, la ecuación es

x3-3x=2x2- l

3.

Si f(x)=v5+ >/2 x4+ \/3x, g(x)=2 ;

luego, la ecuación es

a5+ x/2a 4 + n/3a

4.

Si f(x)= y ¡x - 1 + x 2, g(x)=-2x ;

luego, la ecuación es

VA -• 1 +x2--2 x

5.

Si f(x) =

luego, la ecuación es

cosA=tanA

cosa, g(x)=tanx ;

6.

Si f(x) = 2'*1, g(x) = 8t_2- 4X“2 ;

luego, la ecuación es

7.

Si f(x) =

luego, la ecuación es

xcosx~ sen x

8.

Si f(x) = log2(5x-l), g(x)=log(12x+l) ; luego, la ecuación es

9.

Si f(x) = a , g(x)=senx;

luego, la ecuación es

A=senA

10. Si f(x) = CSCX, g(A)=COtA ;

luego, la ecuación es

cscx=cotv

;

=2

] i

’

_ gx-2 __ ^x-2

2^-1

acosa, g(x)=senx

.

!og2(5A-l) = log(12A+l)

Una ecuación se ilama algebraica si cada una de las funciones contenidas en f(x) y g(x) es algébrale (racional o irracional), donde adem ás una de estas funciones puede ser constante. Los ejem plos del al 4 son ecuaciones algebraicas. Una ecuación se llama trascendente si por lo m enos una de las funciones contenidas en f o g no * algebraica. Los ejemplos del 5 al 8 son ecuaciones trascendentes.

J f l N o ta __________ Si una ecuación es válida para cualquier valor admisible de la variable x, entonce» la ecuación serí una identidad. 594

Ecuaciones trigonom étricas

C A P ÍTU L O VIII

¿Qué es u n a ecu ació n trigonom étrica? En prim er lugar, una-ecuación trigonométrica es de tipo trascendente cuando cada un a d e las funciones contenidas ert f(x.) y-g(x) son funciones constantes o funciones trigonométricas d e la forma FTn(ax + b ), d onde a ; b e R ( a * 0 ) y n e Z - Í O } E jem plos 1.

s e n Í 2 x - | l = l - c o s Í 4 x - y j =*f(x) = s e n 2 x -~ A g (x ) = l - c o s J ^ 4 x - y

2.

se n 2x - c o s 2 x = l => f(x) = sen2x -c o s 2 x A g (x ) = l

3.

tan3[ | + í j = -2 = *f(x) = tan3|^ | + J j Ag(x) = -2

¿Cómo re c o n o c e r u n a ecuació n trigonom étrica? En un a ecuación trigonométrica se verifica que los arcos o ángulos d e la form a x, ax o (a r+ b ), se encuentran afectados siem pre de algún operador trigonométrico, com o sen, eos, tan, etc. Ejem plos 1. serw + cos2v = 1 2. x2+ cosx= 2 -

sí es ecuación trigonométrica. no es ecuación trigonométrica (porque x2 no está afectado por ningún operador trigonométrico).

3.

tan 2j^x + ^ j + l = ta n x

sí es ecuación trigonorríétrica.

4.

sen 2r + c o s 2x = 1

es identidad, ya que la igualdad se cum ple V xe R

5.

sen (co sx )-x = 0

no es ecuación trigonométrica.

La m ayor parte de este capítulo está abocado a resolver ecuaciones trigonométricas. Para esto, partim os d e la ecuación trigonométrica elem ental. E C U A C IÓ N T R IG O N O M É T R IC A E L E M E N T A L

Es d e la form a

FT(ax-+b)=Nj donde a, b y N son constantes reales y x es la variable o incógnita;

ad em ás a * 0 y N debe tom ar valores correspondientes a la FT (por ejemplo, si FT fuese el operador seno, ento n ces N e [-1; 1]). • A continuación se presentan ejem plos de ecuaciones trigonométricas elem entales %

§]= ' Y : c o s 3 x = 0i tan3* = -V 3

sen{ 2x+

cotf 3x + y j = -1 ; sen | = i fsecj"4x- 1 j = |

595

Lumbreras Editores

Trigo n o m e tría

Antes de plan tear reglas g en e rale s p ara resolver una ecu ació n trigonom étrica elem en tal, resolverem os algunas de estas, sin n ec esid ad d e ninguna regla (utilizarem os d efiniciones en circunferencia trigonométrica). E jem p lo 1

•

Resuelva la ecuación sen x = R eso lu ció n

Los valores de x que resuelven la ecuación están dados por —> ~ y sus respectivos coterminales (véase figura 8.2).

Figura

es decir x =

6

r e - - ; 2 r e + - ;3 it- ^ ;4 it + 6 6 6 6

En general x = k n + ( - l)k ^ ; k e Z . 6 +*rr*t*Z’JR*r* -

^

Observación

Las soluciones de la ecuación serur= 1 , son las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas 2

de las funciones f(x)=senx y g(x)= i ; veamos:

596

C A P ÍTU L O VIII

Ecuaciones trigonom étricas

Ejemplo 2 Resuelva la ecuación cos2x = -

V2 2

Resolución V2 T e n ie n d o e n c u e n ta la o b se rv a c ió n an terio r, las so lu c io n e s d e la e c u a c ió n co s2 x = - — serán N y¡2 las abscisas d e los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones f(x)=cos2x y g(x) = - — ; (véase figura 8.4).

c * Entonces

. 3it 3rc ,3 it , ,3 n , ,3 n x = ... - 7 t ± — ; 0 n ± — ; 71 ± — ; 2 n ± — ; 3 ji ± — 3 8 8 8 8

En general

x = kre±— : k e Z 8

Expresiones generales para todos lo s casos en una ecuación trigonométrica elemental I. Si senG = N , entonces un valor de 0 es are sen(N), en general el valor 0 se puede expresar por: 0

= k 7 t+ (-l)karcsen(N); k e Z

II. Si eos 0 =N, entonces un valor de 0 es are eos (N), en general el valor d e 0 se puede expresar por: 0

= 2kjt±arccos(N); k e Z

III. Si tan 0 =N, entonces un valor de 0 es are tan (N), en general el valor d e 0 se puede expresar por: 0

= krc + arctan(N); k e Z

597

Lumbreras Editores

Trigonom etj

D ed u cció n gráfica de la fórm ula III, en e fe c to g rafica n d o las funciones • y = ta n 0 e

y=N

Resolución De la observación para la form a general del ai en seno. 2x = kji + ( -l)k arcsen; 2J 1 _ Jt 2x = k>i-t-(-l)k- - I se usó a r c s e n - = ■ 2~6 Despejando x .v x = — + ( - l) k — ; k e Z 2 12

Ejemplo4 De la figura 8.5, si tan0 = N, e n to n c e s las soluciones de la ecuación dada son las abscisas d e los puntos de intersección entre las gráficas de y= tan 0 e y=N (considerando a N >0), por lo

Resuelva eos 3x —

=-

V2

Resolución Identificamos la fonna general del arco en cose

tanto 0 = -7t + a ; Ort + a ; rt + a ; 2rc + a ; . . .

3 x - - = 2krc ± árceos] 6

=> 0 = k n + a ; k e Z com o

V2 3x - —= 2krc + n - a r c c o s '

0 3x = 2kn± — + ^ 4 6

Ejemplo3

Despejando x

1 Resuelva sen2x= ^

598

2krt ti ti , ^ x = — ± - + — ;k e Z 3 4 18

Ecuaciones trigonométricas

C A P ÍTU LO Vil!

E jem plo 5 Resuelva tanf —+ — ¡= V3 ( 3 4j Resolución Id en tific an d o la fo rm a g e n e ra l del a rc o en tangente. ^

^ = kn + arctan(V3)

s u s titu c io n e s d e n tro d e la e c u a c ió n . Las so lu cio n es p o te n cia le s q u e no satisfagan la ecuación son rechazadas, estas se denom inan soluciones extrañas. Los ejercicios qu e se dan a continuación m u e s tra n alg u n as c la se s d e so lu c io n e s d e ecuaciones trigonométricas. Ejemplo 6 R esu elv a la e c u a c ió n s e n x + c ó s x = - l, p a ra 0 < x < 2n

x n , n —+ —= k:i + 3 4 3 se usó arctan %Í3 = — 3 Operando x . Jt —= kn + — 3 12

Resolución A partir de la ecuación se n v + c o sx = -l (senx+ cosx)2 = ( - 1 ) 2 ...elevando al cuadrado se obtiene l+ se n 2 x = 1 ... para su mayor comprensión revise se n 2 x = 0 identidad de arco doble 2x = krr+( - l)k arcsen(O) 2x = kit

+

( ~ l ) k 0 . . . ya que are sen(0)=0

Despejando x obtendrem os x = 3kn + - , k e Z 4 ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica que no es elementad? Si una ecuación trigonom étrica no es de la form a elem ental, aplicarem os las identidades trigonométricas para obtener un m ism o tipo de arco y operador trigonométrico (en lo posible); luego se realizan operaciones algebraicas para re d u c irla y fin a lm e n te a p lic a m o s los p ro ce d im ie n to s p a ra reso lv e r u n a e c u a c ió n trigonométrica elem ental. No existen reglas generales para transform ar una ecuación trigonométrica d ad a a la form a de una ecuación trigonométrica elemental. Cuando se haya logrado u n a solución por medio de una elevación a alguna potencia de los dos. la d o s d e la e c u a c ió n o p o r m e d io de multiplicaciones o divisiones de expresiones que com prenden a la variable, debem os com probar c a d a so lu c ió n p o te n c ia l p o r m e d io de

Despejando x se obtiene krt . , •x =— ; k e Z 2 com o .0 ~ |

¡ ^ ^ O b s e r v a ción ' %

■'____________ ■ ____________ 1

________________________ __

Ecuaciones trigonométricas usuales con sus respectivas soluciones generales (k e Z ) 1.

sen0 = O=> 0 = kit

IV.

cos0 = O=>0 = (2k + l)^

11.

senG = 1=> 0 = 2kn + — 2

V.

cos0 = l=>0 = 2kit

III.

sen0 = -l= > 'G = 2k7i + — 2

VI.

eos 0 = -1 => 0 = 2k7l + 71

v

0 = 2krt--

2

Ejem plo 7 Resuelva la ecuación sen2x=cosx R esolución A partir de la ecuación sen2x=cosx. se obtiene 2senxcosx = eos*

. . . utilizando sen2x=2senxcosx

=> 2senxcosx-cosx = 0 => cosx(2senx-l) = 0

. . . descom poniendo en factores

=> cosx=0 v 2 s e n x - l = 0 =>x = (2k + l ) - ; k e Z v s e n x = ^ 2 2 => x = (2k + í) ^ v => x = k7t+ (-l)k^ . . . (del ejem plo 1) 2 b

Por lo tanto, el conjunto solución de sen 2 x = cosx, esj(2k + 1 ) - u kn + (~ 1) - ^ k e Z

Ejem plo 8 Resuelva la ecuación sec2 ~ = 2 tan ^

600

C A P ÍTU LO VIII

Ecuaciones trigonom étricas

Resolución Expresando a senos y cosenos 1 2x eos — -3

Pasando todo al prim er miembro tan2 —- 2 t a n —+ 1= 0 3 3

2sen^ x eos — 3

de lo anterior se observa que eos —* 0, entonces |* ( 2 k + l ) í ; k 6 Z .

=> [ t a n | - l j = 0 = > t a n |- l = 0 => tan ^ = 1 3

=> ^ = k n + a rc ta n (l); k e Z ; arctanl = ó 1 x = 3krc+— ; k e Z 4

A hora, si p o d e m o s c a n c e la r e o s — e n el d en o m in ad o r, obtenem os 1 eos

— = 2 s e n —=>l = 2 s e n ^ c o s ^ * 3 3 3

.

Ejemplo 9 Halle el conjunto solución que verifica la siguiente ecuación trigonométrica sen7x=cos4x. Resolución Cuando se tiene la igualdad entre el operador seno y coseno, se cumple

2x => s e n — = 1 3 2x n =* — = 2kn + — 3 2

i)

7x + 4x = (4k + l ) | ; k e Z =>x = (4k + l ) g

...(1)

x = 3krt+— ;k € Z 4 ii) Dado que Vx = 3 k 7 t + ~ / k e Z , se cum ple que x „ e o s—* 0 3

7 x - 4 x = (4n + l ) í ; n e Z = * x = (4 n + l) £ U

...(2)

De (1) y (2), el conjunto solución será podem os concluir que el conjunto solución es

{3k» + T l

'

Otro m étodo para resolver sec —= 2 tan — . 3 3 => 1+ tan2—= 2tan— 3 3 (em pleando la identidad sec20 = 1+ tan20 )

••• x = j( 4 k + l ) i ; ( 4 n + l) 2 |; n ; k e Z Para entender un poco m ás al respecto revise la página 368. Ejemplo 10 Halle las soluciones de la siguiente ecuación sen2x + cosx-1 = 0 ; que verifiquen 0 £ x < 2n

601

Lumbreras Editores

Trig o n o r

R esolución

•

1- eos2* +

cosa- -

1=0

...(por la identidad sen 2* = 1-cos2*)

=> eos* - eos2* = 0 =s cos*G cos*-l)=0 => cos*=0

ó co s* = l

Como 0 < * < 2n , tenem os cos*=0 =>* = rt/2 ; 3n/2 y d e c o s * = l => *=0; 27i Por lo tanto, el conjunto solución de sen2* + co s* -l = 0 tal que 0 < * < 2 r , es jo • í • • 2n 1 2 2 . Ejemplo 11 Resuelva la ecuación 2sen*+cot*= csc* Resolución 2 se n * +

eo s* sen *

1 se n *

f por las identidades cot* = y c s c * = —-— | v sen* sen * I

De lo anterior, se observa que s e n * * 0 , entonces x * k n / k e Z multiplicando por sen* a los dos m iem bros de la ecuación obtenem os 2sen2* + co s* = 1 2 (l-c o s2* )+ c o s* = 1

...(usando sen2* = 1-cos2*)

=s 2cos2* - cos*-l = 0 => (2cos*+ l)(c o s* -l)= 0 Igualando cada factor a cero

o

co s* = —1 =>* = O. 2 k n X2" ± — A sen * = ^± — 2 3 2

...(cumple con la condición se n * * 0 )

co s* = l => * = 2krc

...(lo cual no es solución, dado que de la restrii

a

se n * = 0

inicial se obtuvo se n * * 0)

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2sen*+col*= csc* es |2kn + y / k e z j

'• ;> v --; O b s e r v a tió n ^ ,,

....

. ■__________

____r..

, ............-...... -

---

Para resolver ecuaciones trigonométricas de la forma asenx+bcosx=c se debe tener en cuente asenr+bcosjc=Va2+b2 sen(* + 0) ; donde tan0= a

Ecuaciones trigonom étricas

PITULO VIII

emplo 12 esuelva se n x + c o sx = l solución 1 nultiplicando por —¡= los dos miembros, obtenem os 1 ^ 1 1 1 ccnx i co g x se h a sustituido — ■ s¡2

V2~V2

v2

p o r

n eos -

n s e n - convenientem ente.

y

4

-

4

71 7t s¡2 => sen x eo s—+ eos x s e n —= — 4 . 4 2 s/2 sen í x + - = „ 1 4 J 2 x + —= k 7 t+ (-l)karcsení — 4 l 2

.• .x

. solución de un a ecuación trigonométrica elem ental

x + —= k 7 r+ (-l)k — 4 4 = k7t + ( - l ) k- - - ; k e Z 4 4

.. se utilizó aresen

í^ )

( t

n

J= í

Pero el ejem plo se puede resolver de otra forma 7)

senx + c o sx = 1=* (cosx;senx) =(0;1) I o

ti)

s e r u + c o s x = 1 => (c o s x ;se n x ) = (1;0);

0 1 Para senx + cosx = 1 CS:jr = [ | + 2 K « u 2 K j t J ; K € Z ;

Este punto en la C.T. es el extrem o d e todos los arcos de la forma x= —+ 2Kn, k e Z 2 Este punto én la C.T. es el extrem o de todos los arcos de la forma x = 2Krc

queda para el lector la resolución del ejem plo 6 en forma análoga.

• j> r- Observatión o s La solución general de una ecuación no tiene forma única veamos: sen^ x + ^ j -=e eos

’n .2

r ~ 4 j

\

= eos

f

71

iH

^

Por identidad cos(ce - P) = cos((3 - a) entonces se obtiene que sen^ x + ^ = cosj" x - 1 ( n \ ^¡2 r _ \ Jó Luego, en la ecuación elemental del ejemplo 12 senx+cosx=l => sen|^x + - J = — queda c o s j x - —j= — De donde, si aplicamos la forma general de los circos en coseno, obtenemos x - —= 2kn ± arccosf — 4 1 2 X,' 71 71 . _ V .-. x = 2k7t± —+ —; k e Z 4 4 Los conjuntos |k7t + (—l)k ^

^ / k e Z j y j2kn ± ^ + ^ / k e z | son conjuntos equivalentes, dado que tienen

los mismos elementos, por tanto, ambos expresan el conjunto solución de la ecuación.

603

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Ejem plo 13 Resuelva la ecuación senx+ v3 cosx = - %Í2 R esolución Dada la ecuación sen x + V3 eos x = - V2 1 V3 \Í 2 - se n x + — cosx = - — 2 2 .c 2 jt

ic

, multiplicando por - a am bos miem bros, obtenernos \Í2

sen x co s - + sen - eos x = -----3 3 2 , M • ^2 S enX + 3j 2

i

V3

7Í

7t

...sustituyendo - y — - por eos— y s e n —, ^ ¿ á• 3 respectivam ente, en el primer m iem bro convenientem ente ... por identidad de arcos co m p u esto s'

x + - = kn + ( - l) karse n í - — 3 l 2

...solución de una ecuación trigonométrica elem ental

x + —= k jt+ (-l)kj - — 3 4

...se utilizó aresen -

\¡2

I / ,\k Ít 71 . -y .-. x = k 7 t - ( - l ) ------ ; k e Z 4 3

Despejando x se obtiene

Mota Histórita

Él profesor Scipión del Ferro (1496 -1526) de la Universidad de Boloña (Italia) encontró una fórmula para la ; búsqueda de una raíz positiva de las ecuaciones concretas de la forma x3+px=q (p>0, q>0). Él la mantuvo en secreto reservándola como arma contra sus contrarios en las disputas científicas. Al final de i sus días comunicó este secreto a su pariente y heredero en el cargo Anníbal Della Nave y a su alumno Fiore. A comienzos del ciño 1535 debía realizarse un duelo científico entre Fiore y Nicolo Fontana, conocido con el apodo de Tartaglia, debido a su tartamudez, consecuencia de un golpe en la cabeza durante su infancia. Este último era un científico talentoso, procedente de una familia pobre, que se ganaba la vida con la enseñanza de la matemática y la mecánica en las ciudades del Norte de Italia. Conociendo que Fiort poseía la fórmula de Ferro, yhabiendo preparado a su contrincante con problemas sobre la resolución de ecuaciones cúbicas, Tartaglia fue capaz de descubrir nuevamente esta fórmula, la que le permitió la victoria en la disputa celebrada el 12 de febrero del año 1535. El método de Tartaglia, como al parecer también el de Ferro, consistía en la elección de la fórmula adecuada en la irracionalidad algebraica para la expresión de la raíz de las ecuaciones del tipo indicado anteriormente, x 5+px=q (p>0; q>0). Suponiendo que x = |/¡I - Zfv , sustituyendo esta expresión en la ecuación y poniendo p=3^/uv él obtuvo el sistema p - v = q ; lxv=^ Interpretando a p y v como raíces de una ecuación cuadrática, Tartaglia halló

" J .f H í ’

q

v=

ÍS

2 ’ Y12J {3 Así, en poco tiempo, Tartaglia pudo resolver la ecuación de la forma x3=px+q (p>0; q>0) con la sustitución x=^/¡I + yfv604

Nicolo Fontana Tartaglia (1500 -1 5 5 7 )

C A P ÍTU L O VIII

Ecuaciones trigonom étricas

D E S IG U A L D A D E S T R IG O N O M É T R IC A S D E U N A S O L A IN C Ó G N IT A Sean las funciones y=f(x) e y=g(x) cuyos dominios son Domf y Domg, respectivam ente. Ahora, la solución de la desigualdad f ( » > g(x) serán todos los núm eros p erten ecien tes al cam po Domf n Domg donde cada núm ero verifica la desigualdad propuesta. De una m anera similar se resuelven las desigualdades f(x) g(x) y f(x) < g(x). Ahora bien, las desigualdades anteriores serían desigualdades trigonométricas, si fOc) o g(x) son funciones constantes o funciones que contengan funciones trigonométricas d e la forma FTn(axf-b), donde a * 0 y n e Z . Si

A continuación se presentan ejem plos de dos funciones que relacionan a una desigualdad f(x)= senx-cosx, g(x)=0; luego las desigualdades que se pueden generar, serían las siguientes: senx-cosx< 0; senx-cosx< 0; senx-cosx> 0; senx-cosx> 0.

Si

f(x)= tan | 2 x -

j, g(x) = 1; luego las desigualdades que se pueden generar, serían las siguientes:

tan2^ 2x - ^ j < 1; tan2^ 2x - ^ j < 1; tan2^ 2x - ^ j > 1; tan2^ 2x - ^ j > 1

Si

3x f(x )= co s3 x -l; g(x)= se n 3— ; luego las desigualdades que se pueden generar serían las siguientes: o í 3 „ , 3 3x ... 3 3x o í 3 cos3x-l < sen — ; cOs3x-l < sen — ; cos3x-l > sen — ; cos3x-l > sen — 2 2 2 2

Si

f(x) =sen(Rx), g(x)=cos(M x); luego las desigualdades que se p ueden generar serían las siguientes: sen(Rx) cos(M x); sen(Rx) > cos(Mx).

¿Cómo se resuelve una desigualdad trigonométrica? Graficando las funciones f(x) y g(x), se p u ed en hallar las soluciones d e las desigualdades anteriores (f(x)> g (x ); f(x )< g (x ); f(x) > g(x) y f(x) < g(x)) Para un m ejor entendim iento, veam os el siguiente cuadro, donde suponen la gráfica d e y=f(x) e

y=gO)

605

Lumbreras Editores

De ia figura 8.6 I. Para la ecuación f(x)=g(x), tenem os x = {x,;x2;x 3}

Trigonom etrí.

V.

Para la desigualdad f(x) > g(x), se plantea |1. f ( x ) > g(x) = > x= (x1;x2) u ( x 3;+«’} [ll.f(x)=g(x) =>*x={x¡;x2;x3}

II.

Para la desigualdad f(x); x ) u ( x 2;x 3)

y u n ie n d o d ic h o s co n ju n to s obtenem os x = [x,;x.2] u [ x 3 ; + ~>

411. Para la desigualdad f(x)>g(x), tenem os x = ( x ,;x 2) u ( x 3;+~) IV. Para la desigualdad f(x) < g (x ) se plantea ÍI. f(x )< g (x ) => x = ( - “>;x1) u ( x 2;x3) o , [Il.f.(x) = g(x) => x = {xi;x2;x3} ' t * y uniendo dichos conjuntos obtenem os x = (-°= ;x ,]u [x 2;x3]

Observación

Para justificarla solución de la desigualdad f(x)>g(x), simplemente hemos realizado la comparación entre; las ordenadas de f y g para cualquier valor del dominio x; en el intervalo de x, hasta x2, véase la figura 8.7. Para abreviar razonamientos, se dice que la solución de una desigualdad generalmente se da por intervalos,: ya que en realidad se sobreentiende gue la solución es cualquier valor en dichos intervalos. j Ejem plo 14 Resuelva la desigualdad s e n x > ^

]

Resolución

j

Se construye la gráfica de f(x)= senx y g(x)= - (véase figura 8.8), entonces planteam os f(x)>g(x).; La desigualdad en cuestión se satisface para todas aquellas x donde la gráfica de f se ubica por encima

606

r ~

7

•CAPÍTULO VIH

E cu acio n es trig o n o m é tric a s

Entonces, las soluciones de la desigualdad s e n o - e s á n dadas por com o el periodo de la función sen* es igual a 2 n , bastará con resolver la desigualdad propuesta solo en algún intervalo d e longitud 2rr. En la figura 8.8, se observa que será m ás conveniente tom ar el Jt 5jt segm ento d esd e 0 hasta 2n .donde la solución será - < x < — , los dem ás intervalos se obtienen

sum ando 2n; 4rt; 6 n i - .. a los extremos del intervalo \ g : ~g~) ■ De esa m anera, la solución general de /

5n

t í*

^

*

la inecuación es la siguiente x = { - + 2krr ; — + 2krt!; k e Z \6 6 / Ejemplo 15 Resuelva la inecuación senx < cosx

Resolución En la figura 8.9 se ha construido los gráficos de f(x)= senx y g(x)=cosx, de la inecuación serur s cosx, satisface para todas aquellas x donde la gráfica d e f se halla por debajo (o coincide) d e la gráfica d e g. Las abscisas d e los puntos de intersección las hallam os resolviendo la ecuación f(x)=g(x) s e n .-

,

.

.

ti

=» sen x = co sx =*------- = 1 = > tanx = l . \ x co sx

'4

, 5 jt.9 jt.1 3 r t. 1 4 ’ 4 ’ 4

Entonces, las soluciones de la desigualdad senx< cosx están contenidas en los siguientes intervalos .

7 n . -3 ji ~ n . 5tt" r 9it.i3it" ! —com o el periodo de la función serur y cosx es 2n, bastará con 4 ’ 4 J L4A » 4A J L T ;X . n

5 ji

resoh/er en el intervalo desde 0 hasta 2rt, donde la solución es - ^ x < — ; la solución com pieta se obtiene sum ando a cada extrem o del intervalo entonces la solución de la inecuación será

i t , 5 ji

4’ 4 .

un núm ero entero de veces el período ( 2 ji ) ,

— + 2 k J t ; — + 2 k it

.4

; kSe Z

4

607

Lumbreras Editores

Trigonorm

E jem plo 16 Resuelva la inecuación trigonométrica tan[ 2x + ^ |< -1 Resolución A sum iendo que 2x + —= 0 , entonces resolverem os la inecuación tanG < -1 . Para esto, graficamc funciones (véase figura 8.10) de la desigualdad anterior, donde f(0) = tan6 y g(9) = - l entonces, la desigualdad a resolver sería f(0) < g(0)

L as s o lu c io n e s de la in e c u a c ió n t a n 0 < - l e s tá n c o n te n id a s en los s ig u ie n te s in te n / - ti

2

- j i\

4/

/ tc 3 ji\ l3 n 7n\ • -• Com o el periodo T de la función tan 9 es T= n , bastará con res \2 4 / \ 2 4

en el segm ento desde - ^ hasta ~ , (sobre el eje 9 ) donde la solución es 0 =

| enlonces

obtener la solución com pleta se tendrá que sum ar a cada extremo un núm ero entero de vec periodo por lo que la solución a la inecuación será 0 = ( - ^ + k 7r, - í + k r t) ;k e Z

H aciendo 0 = 2x + ^ en tan0 < - l , se obtiene la desigualdad requerida, entonces 2x + ^ = ( - - + kjt ; - - + kn 3 \ 2 4 • 2x = ( - — + k n ; - ~ + k n 6 12 / 5rt kTt 7n k n \ . x = t ----- + — ; ------+ — ; k e Z \ 12 2 24 2 608

>2x = { - —+ k n - — ' 2 3

—+ k n - - ) ...í sum ando - — 4 3/ 3

...I multiplicando por -

Ecuaciones trigonom étricas

C A P ITU LO VIII

Observarían

>*

En la figura 8. í 1(a) se ha graficado la función f(0) = sen 9, entonces

f(0)i sen9>0 1

• Si sene > 0 , => 6 = [2lot; 2krc+7cl; k e Z • Si s e n 9 < 0 , => 0=; k e Z

\

3ji

4~ ° -1

En la figura 8.11 (b) se ha graficado f(0) = cos0, entonces

^ ''-sen 0 < 9 '/ (a)

• Si co s9 > 0 , =* 0=

2

+ 2kit; —+ 2krc ; k e Z 2

Si cos0

0=^í+2k7t;^+2kit);keZ Figura 8.11

Ejemplo 17

2x / n 3 ti — = ( - + 2 k 7 t; — + 2 k n 3 \2 2

Resuelva s e n ^ 2 x - y j > 0

D espejando x R esolución » Haciendo 2-v - — = 0 en la inecuación, al resolver obtenem os sen 0 > 0 , entonces de la observación anterior tenem os 0 = [ 2 k r c ; 2 k ji+ 7 i] => 2 * - y = [2k7t; 2 k n + ti]

* = ( t + 3kn ’ T +3k"^ ’ k 6 z Ejemplo 19 Resuelva ( 2 1 6 * 'i

y despejando x al igual que en el ejercicio anterior, obtendríam os : .x -

ik n

71 .

4n ;k e Z

+ — ;kn + — 14 7.

„

sen ------- >0 ^ 2003 )

R esolución A nálogam ente al ejem plo anterior, teniendo en cuenta la última observación tenem os que

Ejemplo 18 21 6jc Resuelva c o s ^ y y jc O Resolución Análogamente al ejemplo y observación anterior, tenem os

= (2 k 7 t; 2k7i + 7 t ) ; k e

Z

2003

D espejando x, obtenem os /2 0 0 3 k 7 t 2003kT t

2 0 0 3 t i\

,

'

" " h o 8 - ' - ¡ 5 8 “ -t ! T 6 7 ; k , z 609

• .

|

Trigonometríal

Lumbreras Editores S IS T E M A DE E C U A C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S

Resolver un sistema de ecuaciones no es otra cosa que hallar todos los conjuntos de valores de las incógnitas que convierten al m ism o tiem po todas las ecuaciones del sistem a en igualdades numéricasjustas. El m étodo m ás usado para resolver sistem as de ecuaciones trigonométricas es eliminar una de la® incógnitas, con ayuda de las otras ecuaciones del sistema, se reduce al sistema d e ecuaciones algebraicas: m ediante sustituciones acertadas de identidades o nuevas incógnitas o transform ando las ecuaciones del sistema. j Las dificultades que se presentan están relacionadas con el hecho d e que las ecuaciones'que conform an un sistem a de ecuaciones generan para el sistema un núm ero infinitamente grande de soluciones. j No olvidemos que para tener un sistem a de ecuaciones trigonométricas al m enos un a de las ecuaciones debe ser trigonométrica (las variables siem pre deben estar afectadas d e algún operado! trigonométrico). A continuación, se resolverá algunos ejercicios de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Ejemplo 20 Resuelva el sistema de ecuaciones cosArseny = =¿

...(1) ...(2 )

Resolución La écuación (2) del sistema por exam inar perm ite fácilmente expresar una incógnita por la otra. Esto • nos sugiere que es m ejor resolver el sistem a su stitu y e n d o d ire c ta m e n te u n a in c ó g n ita , después de lo cual el sistem a se reduce a una ecuación trigonométrica de u n a sola incógnita. No importa qué incógnita se elimine, entonces despejando y de (2), tenem os y = " • * . . . (3) (3) lo sustituimos en el primer m iem bro de (1), obteniendo eos x sen!

2 2

COSX co sx = —...por reducción al primer cuadrante

=> 2cos2x - l = 0 cos2x = 0 Luego 2x = ( 2 k + l)^ ; k e Z kn 7t . ■_ x = — +- ;k e Z 2 4 610

En consecuencia, reem plazando en 3 kjí -|---71 y = _71_ kjr --y=2‘ 2 4 T de esta form a o b te n e m o s las soluciones di sistema inicial, así _ kn n

_ it kn

*“ !F +4 ' y _ 4 ~ T

siendo k=0; ±1; ± 2 ;...

Nota

________________ = ____

La comprobación que aquí es indispensable! demuestra que todos los pares de los valórese obtenidos de x e y satisfacen el sistema inicial. Debe entenderse también que a cada número entero k le corresponde el par de los valores de x e y, osea, la solución del sistema inicial, por ejemplo, si k=0, se* 71 71 . "i obtiene los valores * = — o y = —, los cuales 4 4 .• reemplazados en las ecuaciones del sistema inicial, convierten a estas en igualdades numéricas justas. El sistem a en m e n ció n tien e un númerdi infinitamente grande de soluciones. -

Ecuaciones trigonom étricas

C A P ITU L O VIII

Ejem plo 21 • Halle todas las resoluciones del sistem a 2

2

\3

com o

.

sen x + eo s y = — +1

2 x - —= — 3 6 7it despejando x se obtiene x = Í2

4

IL x - y =que satisfacen las condiciones si 0 sen 2 x — . — = — 3 2 4

„

7n

(2 co s 2x - I )-(2 co s2y - l ) = 2n

sl3

) I ¡sen J

7i

y = x — ------------ - =>y = — 3 12 3 4 4

Resolución En (2), utilizamos identidades del arco doble

V3

-2 sen(y+ x)sen(y-x)= —

=> sen

com o

d e s e c a m o s porque y =

...(3)

Antes de reem plazar (3) en (1), harem os algunas o p eracio n es p ara facilitar este reem plazo, así en (1). Multiplicando por 2 a los dos miembros -3 2sen2x + 2 co s2y = — + 2

cos2y - cos2x =

n n n n _ „ Tt y =x - - =- - - =- - = > y ~ -

2m

n

despejando x se obtiene x = —

y= 2Rt ta re co s! HL—n |siendo k abe Z . 2m

611

p.roblemas Resueltos Problema 1

Se ha utilizado cos2x= l-2sen"x

Resuelva la siguiente ecuación trigonom étrica senSx- 8sen3x= 0

4se,n'! A + 2 sen J A - 4 s e n 4.v = 1 ... operando 2sen2* = 1 . . . degradado por dobles

Resolución 3sen* - 4sen3x - 8sen3* = 0 . . .

l-cos2x = 1 => cos2x = 0 *

2x = 2kjt ± arccos(O)

Se ha usado sen3x=3senx- 4sen3x 3 sen r - 12sen3x = 0 . . . operando

(expresión general para el arco en coseno)

dividiendo am bos miembros por (3) sérix- 4sen3x = 0 se n x (l-4 se n 2x )= 0

.-. * = kn ± - ; k e Z 4

Em pleando degradación {2 sen2 0 = 1 - cos2 0)

'i

_

í

2* = 2 k 7t ± - se sabe que arccos(0)= - h 2 I 2 I■:!

Otra forma de hallar la solución general d e la ecuación anterior, es utilizando circunferencia trigonométrica.

reem plazando tenem os senx(2cos2jc-l)= 0 Igualando cada factor a cero I.

sen* = 0 => * = m i ; m e Z

II.

cos2* = - = » 2 * = 2kit + - ; k e Z 2 3

Como

i i. — 77 ' => A' = kji

cos2x = 0

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: c= |m7t;kJt + ^ |; m; k e Z

2v = (2k + l)-

.-.* = (2k + l ) - ; k e Z 4

1 * 3 Nota

Problema2

Los conjuntos j k n t ^ J ó j(2k + l) ^ J , dondej

Resuelva 4sen4* + 2sen2*cos2*= l

k e Z son equivalentes, es decir, tienen losgj mismos elementos. Entonces, la respuesta a estej problema podría ser cualquiera de estos d a» conjuntos. \ j

Resolución 4sen4x + 2 sen 2x (l-2 s e n 2x) = 1 612

C A P ÍTU L O VIII

Ecuaciones trigonom étricas

Problemas

tenem os'

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica: cosxcos2xcos3x=- e indique la m enor solución

x = {...;-n /8 ; De

te/ 8;

3rt/8; ...}

ti/ 3;

2 n /3 ; 4rt/3;..,}

x = kn ± - , 3

positiva. tenem os Resolución Multiplicando por 2 los dos miembros

x = {...;-n/3;

Por lo tanto, la resolución general d e la ecuación

2cosxcos2xcos3x = -

eosxeos2xeos3x=5 es j(2k + 1 )5 ;krt±5j; k e Z (

(eos 3x + eos x ) eos 3x = -

7t mientras que la m enor solución positiva es —. O

2

eos2 3x + 2 eos 3x eos x = 1

Problema4 Resuelva la ecuación se n3x + cos3x = cos2x

/ +cos6x + cos4x + cos2x = i . . . se ha em p leado identidades del arco doble y transform aciones trigonométricas. ♦ eos 6x + eos 2x + eos 4x = 0

2cos4xeos2x+cos4x = 0 cos/tx(2cos2x+ 1) = 0

. . . se ha factorizado

Igualando cada factor a cero "1.

cos4x=0 => 4x = (2 k + 1)5; k e Z , de manera similar al problem a anterior =»x = (2k + l)5 8

H

.-. x = k n - 5 ; k e Z 4 • Luego de simplificar, queda por resolver 1-senxcosx = cosx-senx , 1 -senxcosx-cosx+ serur= 0

Igualando cada factor a cero

=> x = krt ± 5 3

I.

s e n x = -l =>'x= 2krt + ^

II.

c o s x = l= > x = 2k7t

x = (2k + l) 5 8

-*

factorizando (1 + senx )-co sx (l + senx)= 0 (l+ se n x )(l-c o sx )= 0

c o s 2 x = - - = * 2 x = 2 kit± — 2 3

A continuación, se tienen algunas soluciones particulares de la ecuación a resolver. Estas se obtienen asignando valores enteros a k. De

R esolución (se n x + c o sx )(se n 2x -se n x c o sx + c o s2x ) = c o s 2x sen2x (cosx + sen x )( 1-sen x co sx )= (co sx + senx) (cosx-senx) simplificamos al factor (cosx+senx); pero lo igualamos a cero, entonces cosx+ senx= 0 => tan x = -l

Por lo tanto, el conjunto so lu ció n d e la ecuación señ3x + co s3x = cos2x es 2k7t + ^ 5 u 2 k 7 iu k 7 r -5 j; ( k e Z )

613

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Problema 5 Calcule la sum a de soluciones de la ecuación cos6x = í i —s— V s c 2x ( sec2x ) q ue verifiquen 0 < x < 7 i Resolución cos6x=

1 l+ s e n 6 x ' 1 sen2x cos2x

De lo a n terio r, e s obvio q u e c o s 2 x * 0 sen 2 x * 0 , entonces operando tenem os cos6x =

y

cos2x(l + sen6x) sen2x

7ít 1171 2x = — ; v 2x = — 6 6 =>

sen2xcos6x=cos2x+sen6xcos2x

7ji 1 Iji x = — ;vx = — 12 12

Por lo tanto, la sum a pedida será 7jr 1lit _ 3 jt* T 2 + ~nf ~ T

0= cos2x+ sen6xcos2x- sen2xcos6x sen 6x eos 2x - sen 2x eos 6x + cos2x = 0*2 => s e n (6 x -2 x )

+ cos2x = 0

Problema 6

j

Resuelva la ecuación se n x + tanG cosx = 2sen0 . sen4x+cos2x=0

donde 0 es un valor conocido.

" 2sen2xcos2x+cos2x=0

J

Resolución sen 0 „ . se n x + ------co sx = 2sen0

cos2x(2sen2x+l) =0

COS0

=>cos2x = 0

ó

sen2x = - 2

sen x eos 0 + eos x sen 0 = 2sen0 eos 0

Pero, inicialmente cos2x * 0

a

. sen2x * 0

entonces, nos quedam os con la ecuación sen2x = - 2 C om o O á x < jr , en to n c e s 0 < 2 x < 2 rt, p o r lo tanto, las únicas soluciones posibles de 2x serán (ver figura 8.13)

614

sen(x + 0) = sen20 C om o un v alo r d e (x + 0) es 2 0 , p o d e m o s generalizar d e la siguiente m anera x + 0 = k n + ( - l ) k2 0 ; k e Z . \ x = k J t+ ( - l) k2 0 - 0 ; k e Z

C A P ÍTU LO VIII

Ecuaciones trigonométricas

ft0 b le m a7

La ú n ic a p o sib ilid ad p ara q ue se cu m p la la

Resuelva la siguiente ecuación trigonom étrica

ecuación (2) es que el numerador sea igual a cero,

tan(x+ 45°)+tan(x - 45°)-2cotx = 0

entonces cos3x = 0 => 3x = (2k +1)90°; -k e Z

Resolución . Al pasar a senos y cosenos tenem os

sen(x + 45°) + sen (x-45°) cos(x + 45°) cos(x-45°)

2 cosx _ q ^ senx

se observa que cos(x+45°) * 0, eos ( x - 45°) * 0 y senx * 0 . Operar en la ecuación (1), resultaría laborioso,

x = (2k +1)30°

C om o p a ra to d o x = (2k + l)3 0 °;(k e Z) si se cum ple que cos(x+45°) / 0, c o s(x -4 5 °)^ 0 y se n x ^ O , e n to n c e s la solución g en eral d e la ecuación tan(x+45°)+tan(x-45°)-2cotx=0, es:

mejor volvamos a la ecuación original {(2 k + l)3 0 °} ;k e Z

tan(x+45°)+ tan(x-45°)-2cotx=0 Problemas cot(45°-x)-tan(45°-x)-2cotx=0 ...(por identidad de arco doble)

Halle las soluciones de la ecuación 3sen 2x -c o s 2x-2senxcosx=0 que verifiquen - it< x < J t

2cot '90°-2x) - 2cotx=0 R esolución

2tan2x-2cotx=0

expresando en términos de senos y cosenos. sen2x _ cosx cos2x senx sen 2 xsenx - cos 2 xcosx cos 2 xsenx

^

- c o s ( 2 x + x) . --------- ------- = 0 eos 2 x se n x

eos 3x = 0 ...( 2 ) eos 2x senx

Por identidades del arco doble

3^j - ^ s25 j - ^ ± c | s2_x ^ Sen 2 x = 0

operando 1

- 2 cos 2 x - sen 2 x = 0

se n 2x + 2 cos2x = l => V5 sen(2x + 0) = 1 Por p ro p ied a d d e arcos com puestos, d onde se p u e d e c u m p lir 0 = a r c ta n ( 2 ), v é a s e figura 8.14(a).

615

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación

Luego sen(2x + 0) = >/5

3sen2x - cos2x - 2senxcosx=0 que verifican -T E < X < Jt

son L 3 í ; 5 _ e ; £ > , 9) 1 4 -4 4 4 J; =» 2x + 0 = k n + ( - l) karcsenj

j . . . (I) donde

(expresión general para el seno); arcsen-4= = --0 V5 2

0 = arctan(2)

Reem plazando en I

2x + e = k jt+ (-l)kj^ -0 kn 1, . o / je .-. x = — + - ( - 1 ) - - 0 2 2 [2 i

o

JE

0 . _ — ; keZ 2 0

0

Si k = - 2 = » x = - j E + -------------- = 4 2 2 -.

.

.

JE

0

JE

3 ie 1 , , -----------0 . . . 1 2 1- te;7e]

4

0

J

3 je

Si k = - l = * x = -------- + -------= -----2 4 2 2 4

Si k = 0= > x = 0+

4

2

2

JE

0

0

—- 0 4 e [-

c .

,

,

JE

je ; je ]

JE

Si k = l= *x = ------ + ------- = 2 4 2 2 4

■ tó c. .' Si k = 2 = » *

c.

'

2 je

je

0

0

5 je

3 je

je

0

0

5 je

= — + -----------= ------ 0 2 4 2 2 4 .

Si k = 3= > x = -------- + -------= — ... e [—j e ; je ] 2 4 2 2 4 (véase Figura 8.14(b))

616

.

Figura 8.14

Ecuaciones trigonom étricas

VPITULO VIII

O tro m éto d o Com o la ecuación 3sen2x -cos2x-2senxcosx=0 no se v erifica p a ra todo x = (2k + l ) ^ ; k e Z , entonces podem os dividir a am bos m iem bros por

Tam bién de x = k?r + 4 Si

k = -l-» x = -

3te

k = 0 —^ x —— 4 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación

. cos2x

3sen2x - co s2x - 2senxcosx=0 ; qu e verificar! 3 se n 2x eos2 x

eos2 x _ 2 se n x x o sx eos2 x eos2 x

-7t < x < n , serán cos2x

f 371

1 71

I—— ; - arctan —; —; ti —a rd a n 3 4 1

=> 3tan2x -l-2 tan x = 0

)

.=> 3tan2x-2tanx-l =0 => (3tanx+ l) (ta n x - l) = 0 . . . i

= s ta n x = - ^

ó

tanx= l

Los conjuntos L ^ ; * . e :5 ;5 í-e } y 14 4 4 4 f 3n

,

1 re

n

( - T ; - a r c t a n - ; 5 Í 7 t - a r c tg - )

x =k7t+arctaní - -2 j ó x = kTC+arctan(l) d o n d e 6 = a r c ta n ( 2 ) , son e quivalentes y a q u e

Expresió i general para la tangente

1 , 1 7t arelan - +arctan - = 3 2 4

x = k T i-a rc ta n - ó x = k7t+— 3 4

1 7t ,1 arelan - = - -arelan 3 4 2

Hallando algunas soluciones de Si

1 7t arctan - = - - arccot (2) 3 4 w

x = krt - arc tan ^ (Véase figura 8.14(c))

1 n => arctan - =■— — arctan (2) 3 4 [_2

k = - l -» x = - ti- arctan -

3 arctan

k = 0 —>x = - a r c ta n 3 k=l

—»x = 7t- arelan

3

= - - + arctan(2) 4 w

Como 1 71 0 = arctan(2) =» arctan - = - - + 0 Por lo tanto

k = 2 -» x = 27i - arctan 3

1 7t „ • 1 5ti . -arctan - = — 0 y 7t - arctan - = ----- 6

3

4

3

4

617

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Trigonom etría

Problema 9 Resuelva 2senx + cosx-2tanx= l Resolución Ira. Forma

donde k es un entero, se verifica que eo s* * 0 , entonces concluimos que la solución general de la ecuación a resolver es 2k7t u k n - a r c ta n - [ ;k e Z

pasando a „ 2sen x . 2 se n x + c o s x ------------- 1 senos y cosenos cosx Nótese que co sx * 0, entonces multiplicando por cosx am bos miembros tenem os

2senxcosx+cos2x -2 sen x = cosx ■2senxcosx-2serur+cos2x - cosx=0 >2 sen x (c o sx -l)+ c o sx (c o sx -l)= 0 . (cbsx-1) (2senx+ cosx)= 0 Igualando cada factor a cero => c o s x - l = 0 co sx = l ó x = 2kn

ó

2senx+cosx= 0

2da. forma Utilizando las identidades (triángulo de arco doble)1- tan2 — . 1 2 ta n ^ se n x = co sx = ¡ 1+ tan2 — 1+ tan2 — 2 2tany tanx=1 -ta n 2 reemplazando en la ecuación a resolver, tenem os

tan x = - 2

ó

x = k n -a rc ta n -; ke Z 2

Como Vx = 2ktt ó

x = krr- arctan

4 ta n _____ 2

1 -ta n 2^ ’

1+ tan2— 1+ tan2 — 1- tan2 — 2 2 2 4 t a n - + 1 - tan 2— 2 . 2 1+ tan

Realizando operaciones elem entales, se llega a la siguiente ecuación 3* tan4 —- 4 tan3 —- tan2 ^ = 0

tan

tan2— 4 ta n — 1 = 0 2 2

=> tan2—= 0 ; tan2 — 4 tá n — 1= 0 2 2 2 x ta ni— —= ■ 0 ; i ta n —= 2 + >/5 v ta n ^ = 2 - \/5 2 —= kn ; 1—= kjt + arctan(2 + \ / 5 j v ^ = k7t + arc ta n (2 -\/5 ) x = 2 krt ; |x = 2 krc + 2 arctan ( 2 + í ) v x = 2 krt + 2 arctan ( 2 - n/s )J Por lo tanto, la solución general de la ecuación a resolver será j2kn u 2kn + 2 arctan (2 + v 5 2kn + arctan ( 2 - n/ 5 )j ; k e Z

618

4tan — _____ 2

4 tan — 2 -1 1- tan 2*

C A P ITU L O VIII

Ecuaciones trigonom étricas

Finalmente la solución general de la ecuación propuesta es

Nota Las soluciones generales o conjuntos solución, obtenidos en los dos métodos de solución del problema (9) son equivalentes.

k7t + —v 2k7t + árceos *T

'y¡2' o

TE ;k e Z 4 *T

Problema 10

Problema11

Resuelva la ecuación 2(cosx - senx) + 10 serurcosx-5 =0

Resuelva el sistem a d e ecuaciones 1 -ta n x ■tan y 1+ ta n x te

Resolución Si hacem os qu e cosx-senv= a; entonces por

*-y=-=

1 -a2 identidades fundam entales s e n x c o s x = —-—

De la segunda ecuación tenem os y = x - í , luego 6 reem plazando^ en la primera ecuación, tenem os

reem plazando en la ecuación por resolver, tenem os 2 a + 10

^ 1~ a 2 ^

Resolución

1 - ta n x . ( ti —------- - = tan x — 1+ tan x ^ 6

-5 = 0

=> 2a - 5a2 = 0 =s> a(2-5a) = 0

tan^ _ x j = tan^Jr~ g ) — se utilizó la identidad de arcos com puestos en el prim er m iembro.

Igualando cada factor a cero f * 2 => a = 0 o a = 5 Pero a= c o sx -sen x , adem ás por identidades de arcos com puestos tenem os

-tan| x - ~ j = t a n | x - ^

tañí x - * l+tarif x - ~ | = 0

c o s x - s e n x = s/2cos| x + I

sen entonces V 2cos| x + — 1= 0 ó V2 c o sí x + —| = l 4J { 4J 5

X --

,

eos X —

4)

COSI

x + —= (2 k + 1 )— ó x + — = 2k7t ± á rc e o s 4 v ’2 4

V

7t

+ X --

f

6 n

l

6

7

v

5

y

=0

eos X -----

sen| 2 x - — 12

Tt'jj , 71 1 . í 7t cos| x + — = 0 o eos x + - =4 I 4J 5

V2 7t = s x = k7t + - ó x = 2kn:±árceos 4 5

4 ttj

=0

x-5 eos x -f

>s e n j ^ 2 x - ^ j = 0;

>2x~ — = k7t;ke Z 12 619

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T rigonom etríal

de donde despejando x se obtiene

C om o

kn 5 k x =— + — 2 24

Entonces de

n y= X - 6 ' entonces _ kn ti

c o s(* -y ) = i tenem os que

y " T + 24

7T . 571 o x - y = —— 3 3

x-y

Por lo tanto, las soluciones del sistem a a resolver son las siguientes k7t 5n kn 7t x = — + — ;y = — + — : ( k e Z )

24

(p a ra el c a s o £ e n x > 0 ) y:

-2 n < x - y < 0 ó 7t-tan 2 0 = 2cos9 627

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Trig o n o m e trí

sen26 . =>--------- — = 2cOS0 eos 20 2 sen 0 eos 0 + 2cos0 = O eos 20 2 co s0 (sen0 + cos20) eos 20

= 0; eos20 * 0

De (2):

f(x) = log|S?B-íj = loga .>. (5)

Pero De(5)

0 < se n x < l= s 0 < a < l f(x) = loga

=>

f(a)=log(a); dibujando lafunción logarítmica (Véase figura 8.22(a))*

>20*(2n + l) ^

► cos0 = 0 v sen0 + eos20 = 0; 0 *■(2n + l ) - ; n e Z > cos0 = O v sen0 + l- 2 s e r i20 = O De la prim era ecuación

0 = (2k + l ) - ...( l) ;k e Z

De la segunda ecuación 2 sen20 - sen 0 -1 = 0 (2 sen 0 + l) (s e n 0 - l) = O 1 se n 0 = -

Se observa que Si a tom a valores ascendentes desde 0 hasta 1,1 gráfica de la función sería

sen0 = l

0 = kjt + (-l)k^ j . . . ( 2 ) ¡0 = 1 + 2101 ...(3) Luego, regresando a la variable angular x (1 )

e n ( l) => x = 2kn + y

(2) en (I) => *=2krr + | - ( - l ) k^ (3) en (I)

x = 4kn +

3 7t

Donde k e Z

Problema 22 Halle el núm ero de soluciones para la siguiente

Planteando una tabulación en K=log(senx) par. el intervalo 0 < x < n

ecuación |log(senar)| = e ' senx; Vxe (0;3rc) rc/6

Y •og(l/2)

71/4

log(V2/2)

71/3

logCV3/2)

jc/2

0

X Resolución |lpg(senx)j = e ' senx... (1) H acem os corresponder las siguientes funciones f(x ) = log(senx)

...(2)

g(x) = |log(senx)| ...(3) h (x ) = e '

628

... (4)

2 n/3

log(V3/2)

•3ji /4 5it/6

log(V2/2) lo g a / 2 )

1 TU L O V III

Ecuaciones trigonom étricas

ijserve q u e si x va d e 0 a * => la g ráfica es d e la form a c re c ie n te co m o se p re se n ta en i figura 8.22(c) 2 71 serve que si x va de - a

ji

=> la gráfica es de la forma decreciente

Nótese que la gráfica de f(x)=log(senx) no está definida cuando -1 < sen x < 0 ; es decir esta función no estaiá definida si x e UlC, IVC o es un arco de la forma (4k + 3 ) -; k e Zya que el logaritmo de un núm ero negativo no está definido en el conjunto de los núm eros reales; expuesto lo anterior no se realizará ningún gráfico en el intervalo cuya form a general es ((2k-l)7i; 2kit); k e 1. A p artir d é l a figura 8.22(c) o b te n e m o s la fu n ció n g(x) = | log sen x | p o r sim etría re s p e c to del eje X, e n to n c e s la gráfica a o b te n er, te n ie n d o en c u e n ta la sim etría se rá la m o stra d a e n la figura 8.22(d).

629

Lumbreras Editores

T rigonom etrú

Seguidam ente presentam os la gráfica de la función h (Véase figura 8.22(e)).

Luego, d ada la ecuación log(senx) = e saiir gU) hW G ráficamente el número de soluciones quedará indicado por el núm ero de puntos de corte entre am b a funciones en el intervalo (0;3n), para ello observe la figura 8.22(0.

Figura 832 Com o puede apreciar hay 4 puntos de intersección. Hay 4 soluciones 630

r

r o b le m

a s

p r o p u e s to s .

Resuelva las siguientes ecuaciones: 1.

sen2x-sen245° = 0

2.

tan4x = c o s— 2

3. 4.

eos —= 1 6

20. 4senxsen| | - x j s e n | í + x | = sen 3 x 21. tanx= senxsecx 22. Al re so lv e r, se n x + c o s 2 x = 1; d é cp m o r e s p u e s ta ia su m a d e s o lu c io n e s p ara x e (0;2n).

se n í 4 x + = 1 A) n

5. ^ 1 f - |

-v s

6.

cotx = 4 -ta n x

7.

6 s e n x - 8 s e n 3x - s e n 3^ = 0

8. sen 4 x + cos 4 x = -1 9.

eos4 3x - se n 4 3x =

10. sen 2 x + cos2x = V2 11. 2cos2x = 3senx 12. sen7x-4sen3x = senx 13. 3 tan x = tan2x; x * k n

B) 2n

D) 4n

C) 3n E) 5 |

23. Al resolver la ecuación senx+ sen2x+ sen3x - 0 indique |x ,-x 2| siendo x, y x2las dos menores soluciones positivas d e la ecuación.

« i D)

* !

12

!. * .i

24. Para qué valor de x, en el segundo cuadrante, se verifica la ecuación. ( ns n 'i = tan x + —i tan ( x - — 4J l 4 .1 l - 5 tt a) t

, 2n b) y

C)

3n 4

E)

Un 12

14. 3tan2x-1 6 sen2x+ 3 = 0 D) y 15. 11 +cos2x = 6(l-cosx) 16. cosx+cos2x+ cos3x=3 %

25. Resuelva tan3x+cotx = tanx+cot3x. Indique las tres primeras soluciones positivas.

17. Iog(senx) = l-sen x

7t 7T 2n 6 ’ 3 ’T

18. 2lanjt+COU;=4cos2 n 19. secxcscx= tanx+ cotx

D)

n 5n 7n 4 ’T ’T

7t.57t.5n n . 3 n .5 n BJ 3 ’ 4 ’ 6 C:) 4 ’ T ’ T E)

3 n.5n 7n T

’T

’T

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Trigonom etrí;

26. Indique el m enor ángulo positivo que verifica la ecuación. X

X

X

X

e o s—+ cos —+ 3cos— + 3 c o s— = 0 4 5 10 20 A) o

12

» s

, f

30. Halle una solución de cos(x-a)cos(x-b) = sen a sen b + co sx cose

C) E)

20n 3 20rc

A) a -b -c B) a + b -c C) a + b + c , D) a+ 2 b + c E) 2 |a + b + c | 31. Resuelva tanx+ tan2x+ tan3x = 0

27. Halle la solución general de

Indique un conjunto solución, k e Z .

3tan2x- 4tan3x = tan23xtan2x,donde k e Z

A) k n í árceos

A)

y/\Ó .12 )

D)

Vío^

B) kit ± árceos V

kn 2

»T

«5

krc

E) (2k + l 4 O

32. Resuelva

C) k n ta re c o s ' M

'

( 4n

cscx + c s c ( f + x ) + c s c ^ + x h 6 ; k e Z

D) 2kn ± arccosí —

u

A) f

1} E) kjr ±arccos| ,4

B> y + (_ ,)k 6

28. Si tarur, tan3x, tan4x están en progresión aritmética, halle la sum a de valores de x en el intervalo

+H ) ‘ §

o

. krc f ^ t +H ) n

< 4 N 71 B )6

, 2n

« i

«Vil r El — + ( - l) ; 3 15

_ 571

d) t

e) t

29. Al resolver la ecuación cos2x+51 senx | cosx=3 in d iq u e el n ú m e ro d e so lu c io n e s si

33. Al resolver la siguiente ecuación (l + co s2 0 )tan x = cos20tan2x; O < 0 < ; indique la su m a d e las soluciones positivas m enores a un a vuelta.

x e (0;2n). A) 1 D) 4 632

B) 2

C) 3 E) 5

A) n D) 4;t

B) 2rt

C) 3n E) 5rt

Ecuaciones trigonom étricas

C A P ÍTU LO VIII

34. Calcule la mayor solución negativa de ta n * = tan! x + — Itanl x + - itanl x + ^f 18 9J

B ,- f

«-I D) -

C) -

4n T

17rt E) 36

5it

35. Resuelva la ecuación a2 1 -ta n x

sen 2x + a 2 - 2 ; donde k e Z . co s2 x .

/3 sen a 2 2 B) kit ± arctan V3 eos a C) k it-a rc ta n %/3cosa D) kit+ arctan%/3sena E) — ± I arctan V 3cosa 2 2 38. Dada la función f(x)=cosx+sen3x, halle el n úm ero d e puntos d e co rte d e la gráfica d e d ich a función co n el eje d e ab scisas

en B) 2 k it± -á rc e o s

C) kit ± - are sen 2

a 2- 3 a +1

36.

A) 3 D )6

B) 4

05 E )2

a 2 +3 Y

^ a 2- 3 ^ a2 + 1 V ( a_ 2‘ - 3

D) 2 k n ± arcsen

E) kn ± arctan

7t. n 2 '2 '

39. Calcule la su m a de soluciones de la siguiente ecuación perteneciente al intervalo ^ 0 ; ^ eos3 x + eos33 x +eos39x co sx + cos3x + cos9x

a +1

¿Qué relación debe existir entre a, b, c y d para que la ecuación a sen 4x + ^ sen22x+ c cos4x = d 4 adm ita soluciones reales? A) a 2 > 4 (b a + a c - a c - d c )

A) 2n

^

B) n

„ 27it D) * f 40. Resuelva x^-Sx-l =0. A) 2cos20° ; 2cos40° ; 2cos80°

B) c2 > 4 (a c + ád + dc + bd) C) b 2 > 4abc D) a 2 > 4 (ac + ad + dc + bd) E) b 2 > 4(ac + ad + dc + bd)

B) ~ cos20° ; ^ eos 100° ; cos80° C) cos20° ; cos40° ; cos80° D) 2cos20° ; 2cosl00° ; 2cosl40° E) cos220° ; cos240° ; cos280° 633

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T rigonom etrí;

41. C alcule el n ú m e ro de so lu c io n e s d e la ecuación

46. Resuelva se n x co sy = -

3 se n 2 x - - = 0 , en el intervalo de (0; — 3 \ 2 A) 0 D) 3

x +y = — • 2

€) 2 E) 4

B) 1

keZ .

42. E ncuentre el núm ero de soluciones d e la ecuación

A)

3X= |cosx| ; jr€ (-n ;n ) A) 1 D) 4

B) 2

43. Al re s o lv e r, la trigonométrica

C) 3 E) 5 s ig u ie n te

e c u a c ió n

....(2)

-

+— 6* . ni y = kn - —■ ' 31

B) x -

= kn + — 3 n i y = — kn 6

jc

C) x = kn + 3 n i y = --k rr 4 D) jr = 2kn + -

E) x=4kn+-

y =--2 k n 6

571 y- ñ - *

| esc54 6 1- 2| esc4 4 0 1- 4| csc401 + 8 = 0 indique la sum a de soluciones en el intervalo

kn

n _7n\ 47. Halle x del sistema ( k s Z )

3 ’T

B) 22n

A) 18ji

C) 21tt E) 24rt

D) 23h

44. Al resolver la siguiente ecuación | jcj3 = arc cos(cos2002x) determ ine el núm ero de soluciones.

secx + secy = l 4n x +y = — 3 A) 2kn + —+ — 3 3

B) k n ± ^ í u

C) (2 k + 1 )«

B) 1964

A) 1963 D ) 1966

C) 1965 E) 1967

45. Halle la diferencia entre la solución principal y la mayor solución negativa que verifica la siguiente ecuación trigonométrica: s e n x s e n | —- x -3

J

= se n * + sen

E) k n + '

D) 2kn + 6

48. Resuelva e indique un conjunto solución para ísen x = cos2y [tan* = tan3 y keZ .

1 B) kn + í

A) kn + — 4

® f , « T 634

c) T ® f

C) kn±arctan D) kn + — 12

0 para x e (0;jt)

y = se n x ; - 3 n < x < 5 n ¡ tí

(x - 2jtk)2 + y2 = Jt2; k e Z, indique el núm ero de paires ordenados que cum plen dicho sistema. A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

51. Resuelva el sistem a de ecuaciones x-y = a 2(cos2*+cos2y) = l+ 4 c o s2(jr-y) -y) señale com o respuesta x.

A) kit ± - á r c e o s 2

/^l + 4 co s2a '' 4 eos a

l + 4 cos2a ' 1 B) kit ta re c o s co sa v y

. Jt

¡ tí 2 n \ E) \ s ; y )

6 ji

D) [ 7 : T ; siendo xe[0;Tr].

.... (1) .... (2)

A)

u

N

D) ; ke Z

3it ——; 7t

>5

¡Tí

5 jt\

E)W;T /

55. R e su elv a la sig u ie n te in e c u a c ió n trigonométrica: eos22x + eos2x < 1; si k e Z .

A) . . . 1 f l + 2cos2a l a . . E) k n ± - a r c c o s ------------- + - ; k e Z J 4 1 4 eos a ) 2

B)

2ji ' — ; Jt i 3 /

:* r

- ; ke Z 2

5n T ;“

C)(

D) k ír± a rctan (4 co s2a + l) + ^ ; k e Z

cos2x+ cosx

C) 2 k J t± a rc c o s (l+ 4 c o s 2a ) + a; k e Z

52. Resuelva se n *

tí

A) \ 4 : 2

it _2n 3’ 3

Jt

.

5tt

.

¡ tí

,

5 ji

.

B) —+ k;t; — + kJt 6 6

Jt ni 2jt C) - + 2kjt; — + 2k n

/ Jt

k jt

5 ji

kn\

D> 6 * T ' T + t )

e

j * k” ' T + k "

635

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T rigonom etría

56. Halle el conjunto que cum ple la siguiente desigualdad sen4x > 4senxsen2xsen3x, ,,

, 71 71 ' 2 2

1 5n ¡3n \ . . A) arctan - ; — ^ i — \2 n r {n} 2 4 \ ¿ i 1 3n 1 / 3n 7j i > B) arctan - ; — u — ; -— i . 2 4J \ 2 4/

V x e ( — ;—

C)

« ( -H M

* !

-

arc,anÍ5

D) ; arctan

■J2 \ 5n \

/ 5 rt, 3n'\

T

\ T ’T /

’T ,/

E) (0; 7t) u ( n ; 2rr) D)

'

2

3

59. D ete rm in e el c o n ju n to so lu c ió n e n e l recorrido de

57. Halle el conjunto de valores p a ra x q u e cum ple con la siguiente desigualdad: sen2jr - sen3x > 0; para xe(-;t;7 t).

>y ^ - siendo

t a n x - l + |c o s x |> 0 .

371 3 tc T ’T

A) x e ^

B)

C)

3 -1

-n ;

3 jt

U

tr-

5

*] r t 3tt\

;0 CJ

n 3rt 5 ’I f

3;i 7C 3n \ u [ o ; - ] u — ;n ) T ’~5_ L 5 j L 5 ’ / , 3n

E)

r

n\

I

n\

r

3tA 3rt

C) x e 0 ; í ) u n;D )x e (0 ;^

E) ^ ( - y o W n i y

60. Resuelva si x e (0; 2tt)

3rc \ ~ T :n )

se n 2 x -2 •>0 cos2x + 3 c o s x - l

58. S ean C(x) = senx+1 senx ícosx; s ix e (0;jt) V(x) =

|t a n x - l ; sixe{7t;27i)

luego de resolver C(x) > V (x ), el conjunto solución será 636

/ 7t 5n\ A) \ 6 ’T / ' u 5n D) ' 3 ’ T

B)

¡n 1Itx\ 6’ 6

I tt 5 jr \| C) \4 : t ) | ¡ ti 3n\

je s

©

®

?

j

3

41

| C

51

I >4

42

| C

52

i £

43

| B

• 53

S B

44

| C

54

| E

45

!I £

55

| B

}^J~ A

46

!n r

56

¡I C

1Z _T

e

47

I A

57

! B

38

r r

48

n r

58

¡[ A

39

n

r

49

I r.

59

l C

40

H T

50

I D

60

I D

té -

&

r

-.1

fe 1

CAPÍTULO

I

Números complejos en el análisis trigonométrico

X

Sistemas no lineales Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y la geometría fractal (estudio de los sistemas no lineales) como la climatología, el crecimiento poblacional que son también fractates, los científicos han podido comprender y contribuir significativamente en la capacidad para modelar fenómenos 'naturales, imágenes digitales, la superactividad y otras aplicaciones electrónicas.

•*< EL APORTE DE R 1EM A N N A LA M A TEM ÁTIC A Fue indiscutiblem ente u n o de los h o m b re s q u e m arcoron el rum bo q u e to m aría la m atem ático del siglo XX. S iendo m uy ¡oven (1840) estudió las o b ra s d e Euler y se cu en ta q u e en m e n o s d e uno se m a n a dom inó el Tratado sobre T e o ría d e n ú m e r o s d e L a g ra n g e . A los 19 añ o s llegó a la Universidad d e G o ttin g en , sig uiendo los d eseo s p a te rn o s decidió estu d iar teologio y h acerse pastor. A fo rtunadam ente su vocación religiosa se vio pronto sustituido por su atracción por la m atem ática. La presencio d e G auss hacia d e Gottingen el centro d e la m atem ática m undial; sin em b arg o , G au ss resultaba inaccesible p a ra la m ayoría d e estudiantes, esp ecialm en te los recién llegados, y Riemann d e sp u é s d e un a ñ o d ecide tra sla d a rse a la U niversidad d e Berlín, d o n d e a tra jo la a te n c ió n d e Dirichlet y Jaco b i, d o s a ñ o s m á s ta rd e reg resó a G ottin g en , d o n d e obtuvo su g ra d o d e d octor e n 1851. D urante los ocho a ñ o s sigu ien tes soportó u n a pobreza d ebilitante y produjo sus m ejores obras. En 1 8 5 4 fue n o m b rad o P r iv a td o z e n l (sin solario), q u e e n ese tiem po era un

Riemann (Alemania, 1 8 2 6 - 1886)

p a s o n ecesario e n la carrera a cad é m ica . G auss m urió e n 1855, y Dirichlet fu e lla m a d o a G o ttin g en p a ra su c e d e rle . Dirichlet a y u d o a Riem onn al p ro m o cio n arlo com o profesor ay u d an te. A lo m u erte d e Dirichlet, Riemann le sucedió e n su puesto. Para en to n ces su salu d esta b a ya d estro zad a , a los 3 9 añ o s m urió de tuberculosis e n Italia. Su p r im e ra p u b lic a c ió n fu e s u c é le b r e d isertació n d e 1851 so b re la t e o r í a g e n e r a l d e f u n c io n e s d e u n a v a r i a b l e c o m p le ja . Su t e o r í a s e b a s ó e n lo q u e h o y ll a m a m o s ec u a c io n e s d e C auchy - R iem ann (que n o s d a n co n d icio n es n ec e sa ria s p a ra q u e u n a función d e v a r ia b le c o m p le ja s e a d if e r e n c ia b le e in te g r a b le ) . Los m é to d o s g e o m é tr ic o s d e R iem an n e n an álisis co m plejo constituyeron el o rig en real d e la to p o lo g ía. Los e stu d io s d e Riem ann so b re los n ú m ero s c o m p le jo s le p e r m itie r o n d e t e r m i n a r u n a re p re s e n ta c ió n esférica d e d ich o s n ú m e ro s , ta m b ié n llam ad a p ro y e c c ió n e s t e r e o g r á f i c a q u e se p u e d e explicar d e la siguiente form a: Seo P el plan o com plejo y considérese u n a esfera un itaria (de rad io uno) ta n g e n te a P e n Z = 0 . El d iám etro NS e s perpendicular a P y llam am os a los p u n to s N y S los polos n o rte y sur. P ara cu a lq u ie r p u n to A so b re P p o d em o s constituir u n a recta NA q u e corta e n el p u n to A'. En este c a s o , a c a d a p u n to d el p la n o c o m p le jo P c o rre sp o n d e u n o y so la m e n te un p u n to d e la esfera, y p o d em o s rep resentar cualquier nú m ero c o m p le jo p o r u n p u n t o s o b r e l a e s f e r a .

P ara term in a r el p u n to N c o rre sp o n d e al p u n to e n el infinito del p la n o . El co n ju n to d e to d o s los p u n to s e n el plan o , in clu y en d o el p u n to e n él infinito, recibe los n o m b re s d e p l a n o c o m p le jo e n t e r o , e l p la n o e n t e r o Z o e l p l a n o c o m p le jo e x te n d id o . El m é to d o e x p lic a d o a n te r io r m e n te p a r a a p lic a r el p la n o so b re la e s fe ra s e d e n o m in a p r o y e c c i ó n e s t e r e o g r á f i c a y la e s f e r a e s lla m a d a e s f e r a d e R ie m a n n . El m étodo d e la proyección estereo g ráfica es utilizado p a ra el m a p e o d e los relieves o pu n to s sobre superficies esféricas y p ro y ectad o s sobre un p lan o p a ra el análisis respectivo, d e ello se vale la carto g ra fía y la a e r o n á u tic a p a r a a n a liz a r superficies d e p lan etas; relieves d e astro s, etc.

Números complejos en el ---- — — / análisis trigonométrico OBJETIVOS • • •

Extender el análisis de los núm eros reales al cam po de los núm eros complejos. — Sentar las b ases para el estudio de las funciones de variable compleja. Com prender que el estudio de las funciones devariable com pleja nos proporciona múltiples aplicaciones en diferentes ram as de la ingeniería.

INTRODUCCIÓN El estudio de los núm eros reales nos ha permitido resolver problem as m atem áticos de diversos tipos. Sin em bargo, en la resolución de dichos problem as han surgido a lo largo de la historia expresiones que generaban interrogantes, tal com o la igualdad x2+ 1 = 0, la cual obviamente no acepta valores reales para x tal que se verifique. Ante sem ejante problem a era necesario crear un conjunto de núm eros x donde x 2 - - \ , es decir x - ± V—í , y com o se observa, dicho núm ero no está contenido en el conjunto de los núm eros reales, por tanto, está contenido en otro al cual llamamos conjunto d e n ú m ero s com plejos; donde -V—í lo simbolizamos con / (inicia! de imaginario). Luego si x= i o

x = - i la ecuación anterior se resuelve.

Entendem os entonces que los núm eros com plejos surgieron en m atem ática a fin de hacer posible la raíz cuadrada de un núm ero negativo, con la invención de este nuevo conjunto de números, ya no fue necesario inventar nuevos núm eros para que tuvieran raíces todas las dem ás ecuaciones algebraicas, sean cuales fueran sus grados. Cuando se inventa este nuevo conjunto de núm eros no se imaginó la enorm e importancia que tendría en la resolución de problem as en diversos cam pos de la ciencia; así, se aplica en el ámbito de la electricidad, la electróhica, la m ecánica de fluidos, etc. Si bien es cierto, el estudio de núm eros com plejos resulta novedoso, es im portante estudiar correctarnente la teoría, y conocer las aplicaciones de m odo que nos familiaricemos con las operaciones #y diversas propiedades que se cum plen en este campo, con ello podem os ir avanzando en el desarrollo de los diversos Ítems que se presentan en este capítulo. 641

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Trigonom etría

D EFIN IC IÓ N DE N Ú M ER O C O M P L E JO Sea el conjunto C = {(x; y) / z - (x; y) donde x, y e R} cuyos elementos satisfacen las operaciones 0 Z,+Z2 = (x 1;y,)+(x2;y2) = (x 1+ x2;y 1+y2) ü) Z,Z2^ x , ;y,) (x2;y2) = (x ,x2-y ,y2; x ,y2+ y ,x2) A cada elem ento (x; y) del conjunto C se denom ina núm ero comfflejo y se denota por Z = ( x ; y) parte real «

I ^------ * parte imaginaria

Es decir x = Re(Z );y = Im(Z) Ejem plos d e lo s elem entos del conjunto C Z |= (2 ;3 );

Z2 = (V3;ji) ;

Z3

4

Veamos las operaciones en C Dados

Z,=(2;3) y Z2=(5;9)

entonces

Z,+Z2= (2+5;3+9)=(7;12) Z,.Z2-(2 x 5 -3 x 9 ; 2x9+3x5)=(-17;33)

Representación Geométrica de los Números Complejos Los núm eros com plejos pueden representarse por puntos de un plano. Un núm ero complejo sej representa gráficam ente en un plano de núm eros com plejos (llamado tam bién plano de Gauss diagrama d e Argand), el cual usa el eje horizontal (eje real) para ubicar la parte real; y el eje vertical para ubicar la parte imaginaria (eje imaginario), de los núm eros complejos. Entonces, el núm ero compleja Z=(x;y), puede representarse por un punto de abscisa x y ordenada y, observe la figura 9.3. Al punto de la figura 9.1 se le denom ina polo.

-t

I

642

C A P ÍTU L O IX______________________________ Núm eros com plejos en el análisis trigo n o m é trico

D efinición Sea a e R, entonces (a;0) = a o (a;0)=a es d e c ir el n ú m e ro co m p lejo (a;0) le co rre sp o n d e el n ú m e ro rea l a; v eam o s su re p re se n ta c ió n g e o m é tric a . Eje Imaginario

E¡e Real

-2 I \ (-2 ;0)

1 2 I T (i;0)

3

6

n 1 1 (>c;0)

8 1 i (8;0)

Figura 9-2

(/ = ^ T )

D em ostración /2= (0 ;1 ).(0 ;1 )= (0 -1 ;0 + 0 )= (-1 ;0 )= .-. /2= - 1

T eorem a

T eorem a (fo rm a binóm ica)

D efinición (0;l)= f, / e s lla m a d o la u n id a d im aginaria

V re R

r(0;l)= (0 ;r)

. Vx,y e R

Z = (x\y) = x+ yi, .

donde i = V^í D em ostración r(0; 1 )= (r;0). (0; 1)=(0 - 0; r + 0) = (0;r) .-. r(0;l)= (0;r)

D em ostración Z = (x;y) = (x;0) + (0;y) Z = (x;0) + y(0;l)

E jem plos 2(0;1)=(0;2) -3(0;2) = (0;-6) T eorem a ¡2= - l , d o nde i = -J-í

Z = x + yi .-. Z = (x;y) = x + yi E jem plos Z1= (2;3)= 2+ 3/, Z2= (-2 ;4 )= -2 + 4 /

De la form a general de un núm ero com plejo (Z -x+ yi), siy = 0 se tiene %=x, entonces Z sería solo -u n n ú m e ro re a l (los n ú m e ro s re a le s so n un c a s o p a rtic u la r d e los n ú m e ro s c o m p le jo s). Si x = 0 , se tiene Z=y/, entonces Z sería un núm ero imaginario puro. 643

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Trigo no m etría X

Ejem plo Grafique en el plano com plejo los núm eros

eos 0 = —p=>x = rcosG r

Z, = 3+ 2i ; Z2 = - ^ 2 - 2/; Z3 = 5 ; Z4 = -3 i

sen0 = - => y = rsenG r

y

A Eje Imaginario Z f= 3 + 2 /= (3 ;2 )

Z3=5=(5;0)

-V2 O

Eje Real

-2 (-V2 ;-2)= -V2-2/= ¿j (0;-3)=-3/=Z. -3

Luego; si Z=x+iy Reem plazando lo anterior si x=rcos0 y= rsen0 Se tiene Z =rcos0 + /rsenú, • luego ' • Z=r(cos0 +/sen0), es la form a polar o trigonométrica del núm ero com plejo Z. ..... .......... ..............................................^

Figura 9.3 Resolución • Z, =3 + 2i = (3;2) .

z 2= -V 2

- 2 / = ( - V2 ;-2 )

Donde • r es llamado m ódulo del núm ero com plejo Z=x+iy, y se le denota por modZ ó IZI, tal que

• Z3 =5 + 0/ = (5;0)

r = !Z! = jx+/y! = y]x2 + y2

r

• Z4 = 0 -3 / = (0;—3) Form a P o la r o T rig o n o m é tric a d e un Número Complejo Si P es un p u n to e n e l.p la n o c o m p lejo correspondiente al núm ero com plejo (x; y) o x+ iy entonces vemos que, según la figura 9.4, si Z * 0, por razones trigonométricas de un ángulo en posición normal se tiene

La expresión cos0+/sen0 se puede escribir abreviadam ente com o cis0 , esta form a de abreviatura se lee como cis de 0 E jem plos jr . it . n e o s —+ /sen —= cis — 3 3 l 3 n . n n\ . n eos — /sen - = eos — +zsen — 4 4 { 4 J 4 n . n . n eo s— /sen —= cis — 4 4 l 4 •

644

0 e s llam ad o a rg u m e n to d el n ú m e ro complejo Z= x+iy y se le denota por arg(Z)

C A P ÍTU LO I X

Nota

__________________________ N úm eros com plejos en el análisis trigo n o m é trico

_____________

.

____________ ;____________________ .

El argumento de un número complejo puede ser cualquier ángulo trigonométrico cuyo lado inicial se encuentra en la parte positiva del eje real, el vértice se ubica en el polo, y el lado final está contenido en la recta que une el polo con el punto que representa al número complejo.

arg(Z)=0

arg(Z)=0

Figura 9.5

í

•

Argumento Principal de un Número Complejo (Arg(z)) Si 0 es un argum ento d e Z q ue verifica - ti < 0 < 7i

ó

0 < 0 < 2n , entonces' e se denom ina argum ento principal de Z.

En consecuencia, un argum ento cualquiera d e Z será arg(Z) = Arg(Z) + 2k7t; k = { ...-1; 0; 1;...} Ejem plo Exprese en forma trigonométrica el núm ero com plejo Z = -1 -i Resolución Hallando el módulo de Z r = |Z| = V (-l)2 + ( - l f = V2 3 ti , El argum ento principal de Z p ued e ser —— (ver figura 9.6) => Arg(Z) = - ^ e arg(Z) = —— + 2Ktí ; (co n ju n to g en eral) 3n 3it Finalmente, la forma polar de Z será Z = V2 e o s ----- + 2K7i + / s e n ------+ 2Kn

; V K eZ

645

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Z=4( -c o s a

-

/se n a )

=> Z=4[cos(7t + a ) + /sen(jt + a)]

La forma polar de Z no es única, ya que

luego !Zl=4 y un argum ento de Z es (n + a). llTt Si K = -1 =s Z = a/2 cos| - - j - l+ /sen| — V 4 Si K = 0 => Z = >/2 cosj - ^ j + /sen|^

_3rtV

4 J-

d) Cambiando a se n a y se n a por su co-razón, luego aplicam os identidades de arco doble

Z=1 -c o s| —- a |+/sen - - a 2

r s it'i . rsítV Si K = 1=> Z = V2 eos — + /sen —

l 4J

l 41

„

„

Z=2sen Ejemplos Exprese en su forma polar los núm eros complejos a) Z = sena + /cosa

21 4

2

a'] ., 1+ /2sen( —- —jeosf —- — 2J l 4 2J l4 2 fu

a"!

.

^ 71

a

Z=2sení —- — s e n -------+ / c o s --------- , [4 2 l 4 2j [4 2)J

b) Z = cosa - /sena c) Z= - 4(cosa+ /sena)

« K

d) Z = l-s e n a + /c o s a ; 0 < a < — 2 Resolución a) Notamos que Z no está en su forma polar, recordando se n a = cos| - - a | y

= eos

1fn

co sa =

= Sen( f - a)

'l1 • 1f n + /sen

r “j

\

H

m

H

m

M

h

I

. n n n a n com o 0 < a < —= > - < —+ — 2 4 4 2 2 es decir cosí —+ — I > 0; l 4 2j luego IZl = 2cos

(M ) y un argum ento de Z es | ^

^

luego |Z|=1 y un argumento de Z es Forma Exponencial de un Número Comptc b) Aquí Z tam poco está en su forma polar, por identidad para arcos d e la form a ( - a ), se tiene la siguiente igualdad Z = c o sa - / s e n a

En el año de 1749, LEONARDO EULER escrit* un trabajo sobre los logaritmos d e los númeraj negativos e imaginemos. EULER adoptó com o bas d e sus ex p o n en ciales y d e sus logaritm os

Z = c o s ( - a ) + /se n ( - a ) ó Z = c o s ( 2 n - a ) + /s e n ( 2 r t- a ) luego IZl = 1 y un argum ento de Z es ( - a ) ó (2 71 - a). c)

646

N otam os q u e el co eficien te del n ú m ero co sa + /sena es - 4 , entonces este no puede ser módulo, por lo tanto

núm ero e, donde e = 2,718281... = lim f 1 + —1 n->s n prim eros térm inos del segundo m iem bro es jfun v a lo r a p ro x im a d o p a ra e* y q u e e s a j¡.aproxim ación se puede hacer tan precisa com o i s e d esee, al tom ar n suficientem ente grande. ¡,: Desde m ucho antes de Euler se conocían los • desarrollos en serie de senx y cosy: senx= x-

x3 + *5 3! + 5! \

x6 6! +

2!

x7 L ___ 7!

------ T

4!

E1 desarrollo en serie de e* para x real sugiere de modo evidente la definición de la exponencial ez, donde Z = x + ¡y es un núm ero complejo, basta escribir

Aplicamos la fórmula d e Euler, obtenem os que ( z = re*6 ) , es la form a exponencial de un número

com plejo donde r es módulo de Z y 0 es el argum ento de Z Finalmente, com o resum en se tiene _Z = (x;y) = x+ iy = r (eos 0 + i'senO) = r e ie E jem plo 1 Exprese cada núm ero en la forma x+ iy i+— Z,=e “ , Z2= e in/3, Z3= e 2 Resolución Z, = cosrt + iserm = -1 + 1(0) => Z, = -1 „ 71 . 71 1 .y¡3 Z, = c o s - + rsen —= - + (— 3 3 2 2 Z3 = e.em/2 = ej c o s ^ + /s e n ^ |=> Z3 = el E jem plo 2 E xprese e n fo rm a CcLrtesiana, form a polar y form a

z , , Z2 Z3 Z4 Z" e - 1 + Z + — + — + — + ...+ — + ... 2! 3! 4! n! En el ca so particular en que Z = ,/y es un núm ero imaginario puro, tom ando en cuenta los valores d e las potencias sucesivas de /= V -í , reem plazando y agrupando los térm inos se tiene z!+/ z ! +z! A 2! 4! - 6! 8!' 5

seny

... (forma cartesiána)

Además 1 S . Z= 2 - - + = IZl(cos0 + /'sen0) 2 2 donde 0 : arg(Z) Q

7

y + -y— — y + ... +í y - — 3! 5! 7! V

R esolución • Z = -1 +\/3/

Se observa que

cosy 3

e x p o n en cial el n ú m e ro com p lejo (-1;V3)

/

=> i e iy= cosy + /seny j , (denpm inada fórmula de Euler) De la form a polar de un núm ero complejo Z=r(cos0 + /sen0)

1 2

0

V3 2

2tt luego 0 = 2Ktc+ — ; K e Z Reem plazando Z = 2^cosj^2K7t + ^pj+/sen^2K 7i + ^ (forma polar) 647

Lumbreras Editores

T rig o n o m e trí

También •

Z = 2J

Si Z = x+ íy= r(cos0+ ísen0)=r.e,e 3'

Z = x-yi=r(cosB- /se n 0 )= r.e '16

(form a exponencial)

Así podem os afirmar que

Teorema

2n Z = ( - l ;%/§) = 2^cos^2Kn + y j+ fe e n ^ 2 K ji+ g

= 2e'

3f K , Kee Z

Números Complejos Conjugados Dado el núm ero com plejo Z e C / Z = x + /yse

Si Z = x+iy

1 = x - i y => Z.Z = x^+y2

Demostración « Como Z=x+yr a Z =x-yi luego Z.Z = {x+yi )(x -y ¡)= x 2-y ¥

define el conjugado del núm ero com plejo Z com o (x - ¡y) y se denota Z tal que Z = x - i y

a

pero i2= - l

Nótese que Re(Z)= Re(Z) a Im (Z ) = - I m (Z ); es decir dos núm eros com plejos son conjugados entre sí cuando sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias solo se diferencian en el signo. Interpretando geom étricam ente los puntos que r e p r e s e n ta n los n ú m e ro s c o n ju g a d o s so n simétricos con respecto al eje real. Los módulos d e los n ú m e ro s co m p le jo s c o n ju g a d o s so n iguales, es decir lzi=lzl

por tanto Z.Z = x2+y2 i* De lo anterior se deduce Z.Z = IZI'

Ejemplo Si Z=3-s¡3i => Z = 3 + V3i Por tanto Z.Z=32.+ (-V 3 )2 =12 Inverso Aditivo de un Número Complejo

D ado el n ú m e ro c o m p le jo Z=x:+y( S define el inverso aditivo d e Z com o -Z tal qu Z + (-Z) = 0 Ejemplo *

Si Z=3 - 2i su inverso aditivo es -Z = -3 + 2 (

• y los argumentos se diferencian en el signo, es

Si Z= - sec0+ /'tan0 su inverso aditivo es,

decir Arg(Z)=-Arg(Z)

-Z = se c0 -/tan 0

648

-

¡jr

.

jf~

’• •

:

■_

:

_.

Ig A P ÍtU L O IX

T

:

*»

:---------------------- '

''

N úm éros complejos en el análisis trigonom étrico

Representación gráfica del conjugado e inverso aditivo d e un numero com plejo r Si Z = x+y/; ^ e g o j z = x - y i ...conjugado d e Z |- Z - - x - y i ...inverso aditivo de Z

Demostración d e 1 Sea Z=(x;y)=x+ry donde Z = (x;-y)= x-iy De Z = x-yi= x+ (-y)i se tiene Z = x-(-y )/= x + y ; = Z , Demostración d e 2 Sean Z, = x, + iy¡ a Z2 = x 2 + iy2 Sumando Z ,+Z 2 = (x 1+ x 2)+ /(y 1+ y2) => Z ,+ Z 2 = ( * ,+ x !) -/( y l + y 2) = X , -/y, + x2-/ y 2 Luego

De la figura 9.8 se observa que Z y Z son sim étricos con respecto al eje real; Z y -Z son sim étricos con respecto al polo.

Z ,+Z 2 =

+

Z2

Demostración d e 3 Sean Z,= x,+ry,

Propiedades d e lo s conjugados de núm eros com plejos.

Z,

a

Z2 = x 2+iy2

donde Z,Z2=(x,+ry1)(x2+/y2)

1. Z = Z ... (El conjugado del conjugado de Z es igual al m ismo núm ero Z).

Z,Z2= x,x2-y ,y 2 + /(x,y2+ y,x2) Z,Z2= x,x2-y ,y 2 - /( x ,y 2+ y,x2)

2. Z¡ + Z, = Z| + Z2 Z,Z2= x,x2-y ,y 2-ix ,y 2-y ,x 2/ 3. Z,Z2 = Zj Z2 =x2( x ,- y ,/) - /y 2(x ,-y ,/) z 'T~ = =A ; si Z2 * 0

7

'

-

5. Re(Z) = Z+Z Alm(Z) = ^ 6. Z = Z W Z e R

%

'

, ... (es decir Z = xpr e R) ( 7. (Z)m =(Z™) ; V m e Z+

¿ /

= (x i-y iO (x2- y 2f) Z,Z2=

Zj

z2

Demostración d e 4 Como Z ,= Z ,. l Si Z2 * 0 se cum ple Z2_1 Z2 = 1

, ... ( a ) . ... ( Y) 649

T rigonom etrí;

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reem plazando en y en a Z, = Z1(Z;'Z2)

donde Z,.Z2 = ¡Z,le6i.|Z2je“ 7

Z, ’ Z, = ^ - Z 2 De la propiedad (3) ya dem ostrada

Z,=í|i]Z,

- ¡ p (a + 0 )i I-¿7. Z,Z2 = r^Ccos©, + /sen9,)(cos02 + /sen02) =>Z¡Z2=r1r,^cos81cose2- sen^sertfij +/(senA^osa, +cose,sene2 )] =>Z,Z2=rlr2[

cosf^+Sj)

+

/senf^+Qj)]

|Z||2 +|Z2|2 +Z,Z2 +Z2ZÍ < 2|Z,||Z2| + |Z1[2 +¡Z2|2 |Z| +z2|2

< f¡Z,¡ +|Z2|)2

La dem ostración de 2 se deja com o ejercicio para el lector. 651

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Trigonom etría

Ejemplos 1.

Si Z, = 2(cos20° + ;sen20°) a Z2 = 3(cosl0°+ /senl0°) Se tiene Z,Z2 = (2) (3) (cos(20°+10°) + /sen(20o+10°)) es decir Z, Z2 = 6(cos30° + /sen30°)

2.

Si Z, =5(cos3o +/sen3 e )

a

Z2 = 2(cos Q + /sen 0 )

cAticno z i 5(cos30 + isen30) se tie n e - í- = - —-----------------— Z2 2 (cose + /sene) 3.

. Z, _ ■ , OA . es decir —i- = 2,5(cos29 + isen28) Z2 H

Si Z ^ c o s ^ + /s e n — „ 71 . 71 Z ,=2| e o s - + í se n — >arg Z,Z2 = arg Z, + arg Z2 = ^ + 5 4 argZ,Z2 = 9

4.

20

Si Z¡ = 3 i/2 ^ c o s ^ + / s e n ^ j 7t

= 4

v

.

7t

e o s -+ i sen— 3 3 ( 5n tí f Sn e o s -------- + / s e n ---------V6 3J 1, 6 3

7t

.

71

= V6 e o s—+ / sen — 2 2

Es decir —L= N/6i Además arg— = a rg Z ,-arg Z 2 = — - —=>arg— = — 5 Z2 * 1 s 2 6 3 BZ2 2 Fórmula d e D’ Moivre Sea nun entero positivo y Z = r(cos0 + 7sene), Z eC , Z * 0, r=IZ| , entonces Zn= rn[cos(n0) + /sen(n0;

Prueba La dem ostración es por inducción m atem ática, que consiste en suponer que la fórmula se cumple para n = l, n= h, a partir de ello com pruebe que se cum ple el teorem a para n = h + 1 • Para n = l, se cum ple Z=r(cos0 + /sen0)

652

•

Pára n = h , suponga que se cumple Zh= rh [cos(h0)+/sen(h0)]

•

Para n = h + 1, debe cumplirse que Zh+l= ríl+l[co s((h + l)e )+ /se n ((h + l)e )]

j

Veamos En el paso 2 se tenía Zh= rh [cos(h6)+/sen(h0)J

Números complejos en el análisis trigonométrico

CAPITULO IX Multiplicando por Z

Sum ando (1) y (2) se obtiene

ZhZ = rh [cos(h0)+/sen(h6)J r(cos0 + /'ser6) del primer paso

e^+e"*8 COS0 —' n 2 Restando (1) y (2)

Zh+I = rhxr[cos(h0)+/sen(h0)](cQ s0 + /serfi)

e* - e~* 2/ E x te n d e m o s e s ta s d e fin ic io n e s al c a m p o com plejo, es decir

se obtiene sen0 ■

Zh+1 = r h+1[cos(h0 + 0)+/'sen(he+e)] Zh+i _ rh+ltc o s(h + l)0 + /se n (h + O 0 ] Por lo tanto, la proposición Z"= r"[cos(n9) + /sen(n0)] se cum ple V ne Z+ Si ( 2n . 271^ Z = 2| eos — + /se n — |=*

Z®=26 eos

, e ^ -e -* 2 , e K+ e ^ senZ = -----------; cosZ = -----------2/ 2 Las o tra s cu a tro fu n cio n es trigonom étricas, definidas e n térm inos de las funciones seno y coseno serán . , senZ , , cosZ tanZ=— , cotZ = — cosZ senZ

es decir Z6 = '64(cos47t + /sen4n)

secZ = —í— , cscZ=—í— cosZ senZ

irvaaon a

La fórmula de D’ Moivre es válida para cualquier entero negativo n.

Ejemplo

sen/ =

Si „

¡-i

3tc

.

e -e 2i

310,

Z = V7 eos— + /sen — |=> Análogamente cosí = rM V zf

cos(-4)f y j+ /s e n ( - 4 ) f

-92>

■ • S iZ = x + fy =^lezl = ex Aarg(ez) = y

-

• ez

e®1 fe* r= e® n, V neZ • e®> =e®* » 0 | = 02 +2kn; k s Z

654

• e

- pZ|-Zj

e 2* • ez = lZ = 2Kra ;K e Z

T I T U L O IX

N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

ación entre la Fórmula de D’ Moivre y el Binomio de Newton

cosnx + /sennx=(cosx + is e n x f =

£

C £(cosr)r>~k (/serur)k

k=0 Donde (cosx+ /senx)n es el binomio de Newton adem ás se conoce ci ^ n! k (n -k )!k ! Desarrollando el binomio (cosx+isenx)" = eos" x + C" eos11"* 1x(isenx) + C¡J cosn‘2 x(/senx)2 + CJ (eo s* )"'3 (/serur)3 +.... + C u íc o s x)(/senx)‘>~1+ C¡¡(í'senx)n cosnx+/sennx = eos" x + t'C" eos""1xsenx - C!J eos""2x se n 2x - íC j eos"-3 x sen 3x +.... + C¡¡_,(cosjir)(/senx')!>~1+ C"(tsenx)n Por igualdad d e núm eros complejos cos(nx)= eos" x - C J eo s"'2 xsen2x + CJ eo s"'4 x sen4x - C¡? eo s"'6 xsen6x + ... sen (n x )= C" eos""1xsenv - C? eos"-3 xsen3x + C" e o s " '5 x se n 5x + ... C" eos" ' x senx - CJ eos" 3x se n 3x + Cj cos1^ 5x sen 5x +... =s ta n (n x )= cosnx - Cj cosn~2x sen 2x + CJ eos" 4x se n 4x - C g eos" 6x se n 6x + ... Adicionalmente Dividiendo entre cosn x al num erador y denom inador tan(nx) - C " ta n x -C 3tan3x + Cgtan5x - .......... 1- C£tan2x + CJtan4x Ejem plo Degrade a) cos6x

b) sen3x

Resolución a) cos6x com o eos x = -

655

Lumbreras Editores

.co s6* = — (e“ + e-“ f 26

eos6 x = — (efc + £>esue~bc +15etoe ^ + 20eJ£re-te +1 S e^e-4* + 6e“ e-to + e"6'*) 64

*

eos6 x = — (e'6* + e~'6x + 6(e'4jr + e-4" ) + 15(eí2x + e-'2*) + 20e°) 64

. 1 cos6x = — (2cos6x + 6 (2cos4x)+15 (2cos2x) + 20) 64 s 1 c 3 . 15 . 5 eos x = — c o s 6 x + — cos4x + — cos2x + 16 32 16 32 b) senx = -

2i

>se n 3x = —-— (e “ - e~“ )3 (2/)* se n 3x = — (e'3r - 3e,2xe-“ + 3e“ e ^ - e w3*)

Si

se n 3x = ——(e ,3r - e " 1' - Se* + 3 e ^ )

Si

se n 3x = — (e,3‘ - e i3x - 3(e“ - e “ )) -8 i sen 3x = —1 4

2;

e -e 2i

3 1 0 3 sen x = -— sen3x+ - senx se n 3,x = - sen x - - sen 3x 4 4 Ejemplo Exprese en términos de cosx y senx a ) cos5x b) cos 8 x Resolución a) cos5x = eos 5 x - C, eos 3 x sen2x + C 3 eos x se n 4x (ver página anterior) eos 5x = eos 6 x -1 0 eos 3 x sen2x + 5cos x se n 4x Adicionalmente sen5x = Cf eos 4 xsenx - C3 eos 2 x se n 3x + Cf eos 0 xsensx (ve sen5x = 5 eos 4 xsenx -1 0 eos 2 x se n 3x + se n 5x 656

N úm eros complejos en el análisis trigonom étrico

C A P ÍTU LO ¡X

Ejemplo 2 Grafique

Análogamente se puede obtener b) cosSx = eos8* -C * co s6xsenJA-+CÍjeos4jesen4* - Cl eos2x s e n bx + Cf eos0 xsen8*

Re(Z) = -2 v Resolución

cos8x —eos8x - 28cos6xsen2x +70cos4 xsen4x - 28cos2x sen6x + sen8x L u g ar G e o m é tr ic o y R e g io n e s La parte real R e(Z ), parte imaginaria I m(Z), m ódulo | z | y argum ento Arg(z) son núm eros reales, d o n d e z= x+ ¡y ; e n to n c e s se p u e d e n relacionar m ediante una igualdad o desigualdad con otras cantidades reales y representarlos en el plano co m p lejo co m o lugares geom étricos o regiones donde se ubican los núm eros complejos. Ejemplo L Ubique todos los núm eros com plejos cuya parte real es igual a a. Resoluc'ón Los puntos pertenecientes a la recta vertical x= a (véase figura 9.9), es el lugar geom étrico donde se ubican todos los números complejos cuya parte real es igual a a.

Ejemplo 3 Represente todos los núm eros com plejos, tal que su parte real sea mayor que a. Resolución La región so m b re a d a vista d e la figura 9.11, re p re se n ta al co n ju n to d e to d o s los n ú m e ro s com plejos, d o nde la parte real e s m ayor q ue a.

1m(Z) ¡

I m(Z) )

>

! i

x=a

x= a' \¡

| O

ja

0

a!

-i# * '

V Re(Z)

R e(Z) N En esta recta, se ubican todos los números com­ plejos Z=x+yi, que satis­ facen Re(Z)=a.v*=a

Figura 9.9

1 En esta región sombreada, sin considerar la recta rr=a, i se ubican todos los números l complejos Z=jr+yi, que 1 verifican Re(Z)>avx>a

Figura 9.11 657

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Ejemplo 4 Grafique R e(Z )> l

La reg ió n s o m b r e a d a in c lu y e n d o la re c ta y = b , v ista en la figura 9.15, r e p r e s e n ta el co n ju n to de to d o s los n ú m e ro s c o m p le jo s d ó n d e la p arte im ag in aria es m e n o r o igual q u e b.

Resolución

Figura 9.12

Los puntos pertenecientes a la recta horizontal y=b, es el lugar geométrico donde se ubican todos los n ú m e ro s co m p lejo s Z = x+ yi cu y a p a rte imaginaria es igual a b Es decir Im (Z )= b Im (Z)j i b

Ejemplo 6 Grafique Im (Z ) > -3

/y = b

0

En esta región som breada, se ubican todos los núm eros complejos Z=jr+yi, ; que satisfacen I m (Z) sb v y s b • . .ji Figura 9.15 ■‘j ,s

Resolución Re(Z)

Figura 9.13

Ejemplo 5 Grafique Im(Z)=V2 Resolución

Figura 9.14

C u a lq u ie r n ú m e r o c o m p le jo n o n u lo 2, u b ic a d o e n e l la d o fin a l d e l á n g u lo 0 | m o strad o en la figura 9.17 tiene el a rg u m e n to p rin cip al igual a 0 .

¡CAPÍTULO IX

Núm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

Im (Z ) ,

1

-

Im(Z)< 0,

r .0 \ 0

0

1 ; 1 u

En esta se m irrecta s e ubican todos los aúm eros cromplejos Z =x+iy, q ue verific.in Arg (Z)=0

<

0,

Figura9.19

Re(Z)

?"

Re(Z)

\

0 ,£ A r g(Z)

_

E jem plo 8 Grafique *

- - 4sen20 = se n 20 [ 3 -4 s e n 20 f ; com o ^ < 0 < 5 — , entonces 2 6 1

- < sen0 < 1 2

< se n 20 < 1, entonces cancelam os sen 20

sfn igualar a cero ya que sen20 * 0, obteniendo 4 = [3 - 4 sen2o]" => ± 2 = 3 - 4 s e n 20 => se n 20 = — ó 4

se n 20 = — 4

Com o - < sen 0 < 1 se tiene sen 0 = 4 4 => sen0 = ± 2 Com o —< sen0 < 1 2

considerem os sen8 = - ; 2

com o — < 6 < — 2 6

8=

5n

Reem plazam os 0 = — ■en Z = 2cos0 + /sen38 , obteniendo Z = 2 c o s 5 - + /se n 3 Í— l = 2 x —^ + /x l

6

( 6 J

2

Z = -sÍ3 + i = 2^ eo s— + /se n — 6 6

... forma polar de Z

Generalizando la forma polar de Z, obtenem os Z = 2 cosj" — + 2rutl + /sen í — + 2retl

6

J

i 6

J

; ne Z

Problema 6 Calcule el argum epto principal y m ódulo del siguiente núm ero complejo: Z = (1 +i)7~í (-J2) R esolución Como 1 + i =V 2e'*'4 y

=(* 5 1

U J e n to n c e s-Z ^ v ^ fe 1í^/4)7’!^

•

\í-r

„ . (■s/2e"t / 4 )[

= [e'n/4]

n ,,n

rt

._n

= e4 4 = e4 xe 4

V2

667

Lumbreras Editores

Trigonom etría

De la forma exponencial de un núm ero com plejo Z = re16 donde IZI = r y Arg(Z) = 0, tenem os Z = e ' Me"*/4 =>IZl = e*/4

a

;

Arg(Z) = — 4

Problema 7 De la siguiente identidad sen7a = A eos6 a s e n a + Bcos4a s e n 3a + C eos2 a s e n 5a + Dsen7a Calcule los coeficientes A, B, C y D

«

Resolución

1

Del teorem a de ©’Moivre, tenem os eos7a + /sen 7 a = (c o sa + /se n a)7 ...(*) Para desarrollar (co sa + /sen a)7 podem os utilizar el binomio de Nevvton o el triángulo d e Pascal. Para este problem a harem os uso del triángulo de Pascal, para determ inar los coeficientes del desarrolla del binomio a la séptima. ■ ; 1 1 ---------------(a + b )'= a + b i

’

Y 2 j":--------- < a+ b )2= a2+ 2a b + b 2

• 1 3 3 1}---------- < a+ b )3= a3+3a?b+3a b 2+ b 3 14 6 4 1 15

10 10 5

1 6 15 20 15

1 6 1

i

| |

;1 7 21 3535 21 7* 11—(a+ b )7= a7+7a6b+21a5b J+ 3 5 ab 3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b? Entonces en el segundo m iem bro de (*) tenem os

í ' , 1

a

|Z |< 2

El recinto requerido en el plano complejo, será la intersección d e las regiones

l x l |y | > 1 a |Z |2 < 4 |x y | > 1

a

obtenidas en la figura 9.41 (a) y figura 9.41 (b)

X2+ y 2 < 4

Graficando las relaciones anteriores: Im(Z) fAi t

Im (Z ) Im(Z)i i

lAt

2 / 0

-^E R e(Z ) -2» \

0

¡, j 2 /

Re(Z) —►

\

O l

\

\ (b) Figura 9.41

670

,'1 / ✓

'A

-2 i (a)

/

(c)

s

\ \ V \ "C.__ * : R e (2

*

i

TULO IX

N ú m e ro s com plejos en el análisis trigonom étrico

Para o b tener la región pedida se tiene que buscar u n a relación entre x e y, para ello planteam os:

Por condición lez2|e*2' >’J Z2'= x 2 - y2 + i2xy =>ez2

=>x2- y 2 < 0

i2x*

=*(x + y ) ( x -

=*e2i = e’*-y2e l2xyi

=>x + y > 0

O \R e ( Z )

<

«)

Alm(Z) / ✓ /

4&n(Z) \

Y

\

A

i)

w It

i Z2 II = e x * - \yJ =» le

a

A Im(Z) ✓ O \

Re(Z)

Intersectando

Re(Z)

✓

o

s

r

7 (z )

Intersectando

(a) De las figuras 9.42(a) y 9.42(b) se obtienen

(b)

Im(Z)

Im(Z)

\

n

\

(c)

Re(Z) N

(d)

Uniendo las regiones d e las figuras 9.42(c) y 9.42(d), se obtiene la región pedida. Para ello observe el gráfico d e la figura 9.42(e)

(e)

Figura 9.42 671

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 10

b)

R e(Z )>-3 !m(Z)n

Determine el conjunto de los núm eros complejos correspondientes a la región R, representado en la figura 9.43(a).

-3

O

Re(Z)

(c) Si interceptamos lo obtenido en a y b, se logn obtener la reglón R, en consecuencia R » puede representar por el conjunto

La reg ió n R p u e d e e s ta r d e te rm in a d a , p ara

R = { Z e C /i< IZ + 3 - 5 ílS 2 a R e (Z )> -3 } O tra fo rm a d e o b te n e r la re g ió n I representado com o un conjunto d e núm ero com p lejo s es in te rse c ta n d o las reg io n e obtenidas en a) y c) si

un

0 < A rg (Z + 3 )< -

Resolución Z = x + ¡y, m e d ia n t e

re la c io n e s a)

la s

s ig u ie n te s

0 < Arg(Z - (-3 + 0 0 ) < 7

l < [ Z - ( r 3+ 5/)|< 2

V

Z0 =(-3;5)

. Re(Z) (d) Figura 9.43

Intersectando a) y c), o b ten em o s la región i entonces R = Z e C /1 < IZ + 3 - 5í'l < 2 672

a

0r)+ ne'(w ~2jr)) í- 4 s e n 2^ l e “ ( é '“ )

. _ ? - ( n + l) e '(lvt)+ n e '(,“ +jr) A + /B = -------- ------------- r------------

|-4 s e n 2 je^

A ^ .D ( n + 1)e'(rut) - n e'(iur+j:) -1 A + iB = -------------------------------4sen2— 2 A

-

J-E _ (n+l)[cosruf+ /senny] -n [c o s(n r+ jr)+ /s e n (n r+ .r j[ - l 4sen2 — 2

A + ;E _ (n + l)c o sn y + /(n + l)se n n y - n c o s(n r+ x ) - / nsen(nr +x)-l 4sen2 — 2 A + /B=

(n + l)c o sn x - n c o s ( n + l) r - l + /[ ( n + l ) s g m r t- nsen (n + 1 )rl 4sen2—

A + f B - ^n + ^ cosnx ~ n cos(n ~H)y ~ 1+ i í( n ■+1)sennr - nsen(n +1 >r] 2X 4sen 2* 4sen A _(n+ l)co sn x : -n c o s ( n + l> r - 1 a

B=

(n + l)se n n c -n s e n (n + l)x ix 4sen'

Finalm ente podem os concluir que cosx+2cos2x+3cos3x-+ ... + ncosrw

(n+ l)co sn x - ncos(n+ l)jr - 1 4sen2— 2

senx+2sen2x+ 3sen3r+ ... + n se n n r =

(n+ l)sen n jc - n s e n ( n + l) x • 4sen2 — 2 675

Lumbreras Editores

■.■i

c) Sean A = -c o sx + -c o s2 x + -c o s3 x ’+ .... + — cosnx 2 4 8 2

/B = /-sen x + /ise n 2 x + /-se n 3 x + ... + / — senm 2 4 8 2 i >A+/T5=A(cosx+fserurJ+A(cos2x+/sen2x)+A(cos3x'+/sen3x) + ... + I(c o sn x + íse n n x );

1 ¿x+-e , 1 i2x+-e . 1 i3x +.... . + —e™ =-e 2 4 8 2n Sea Ae“ = z => Ae,2í=Z2 ; Ae2 4 8 =>a +/b=z+z2+z3+ ... + Zn • . ,, Z-Zn+1 A + iB==—= — 1-Z

Reem plazando Z = - e u tenem os n+l l e " -1f i e - ] 1 1L a U l A+/B= 2

, 1 ir '- 2 *

_1 p- ___ I_„i(nr+r) oc 9n+lc A + /B=—------ é------------1 1- -e “ 2

1 ir _ 1 i(nr+x) 2

A + /B=

2"+1 M

'- V 1- r ' u

ipir__ !_ p'(nr+r) _ 2 pO i 1 p'(nr) _2 A + /B=

2n+l

4

2n+2

1 - - e 1* - - e ' “ + - e

2

2

4

A[cosx+iseru-]-^Ij-[cos(nr+x)+ísen(rur+x)] -A +^~^-[cosr«:+/ sennx] A + /B= , _ i ( e - +e^ ) + A

676

C A P ITU L O IX

A + /B=

N úm e ro s com plejos en el análisis trigonom étrico

1 1 , ,,, 1 1 . - e o s * -------rC os(n+l)x + — cosnx — + r ^ senx -) 2n+l 2 1 4

s e n (n + 1)x

|- |( 2 c o s x )

A + /B=

|c o s x - ^ c o s C n + O j c + ^ c o s i u v - i i ^ s e r u f - ^ Ts e n ( n + l ) x + ^ í? senn* _5 + 55; “ --e o s* — eos X 4 4 \ c o s x - - ^ r cos(n+ l)x + - ¿ j C ° s n v - ] 2 ------------------- 2 ------------ ----------------------- 2 _ ----------- ------------ —

5

—

Como n es muy grande (n

Aj

a

B =

cosa:

1 1 , 1 - s e n x - - —7 s e n (n + 1}x+— ^ sennx 2 y*1 2 2 5 --C O S * 4

-H»), obtendrem os que *

~ eos x - 0 cos(n+ l)x + 0 c o s n x - ----------------i 5 ----- COSX 4

^-sen sen*x -O - Oser sen(n+1)*+0sen* A B, = ------------ g- -“ - e o s * 4

. 2 c o s* -l Ai —— 5 -4 co s*

A

D

2sen* 5 -4 co sx

D i = --------------------

Finalm ente podem os concluir que 1 1 _ 1 „ 1 2 c o sx -l - c o s x + - c o s 2 x + - c o s 3 x + ...+ — cosnx + ... = ------------2 4 8 2" 5 -4 co sx 1 1 „ 1 „ 1 2senx - s e n x + - sen2x + - sen3x + ... + — eos nx +... = ------------ 2 4 8 2 5 -4 co sx A partir del problem a anterior, podem os resolver los siguientes ejem plos , Q ,- /io .° ) ( o 10° sen(8 +1)1 — Icos! 8—

1.

1+ eos 10o+ cos20°+ cos30°+ ........ + cos80°=

10° sen-

e o s40° => l+ c o s l0 0+cos2€0+ cos30°+ ........ + cos80°= ^ V 2sen5° 2

1 1 1 1 2sen2° - sen 2o+ - sen 4o + - sen 6o+— sen 8 °+ .........= ------------2 4 8 16 5 -4 co s2 ° 677

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Problema 12

Resolución

D e m u e stre q u e el co n ju g a d o del n ú m e ro

De la ecuación: x2" = 1 .............(*); como 1 = e2k:° ; K e Z -

c o m p le jo (e'“- l ) es (e"'“- l ) , c o n s id e ra n d o ae R Resolución Sea Z = e'“ - 1

x => x

por definición de la exponencial com pleja

—ep 2n = ikn = en ;

donde K=0;1; 2; 3 ;...; n -1 ; n;. n+ 1 ; ...; 2 n - l

Si definimos al conjugado de Z Las raíces de la ecu ació n (*) tienen la forma => Z = co sa + /se n a -1 => Z = c o sa -1 + /sen a z = c o s a - 1 - /s e n a

fluí

Determinando l^s (2n) raíces d e la ecuación (*) ¡o . x n= e =1

=> z = c o sa - /se n a—1 Z = e 4a - 1

Problema 13 Utilizando las raíces de la ecuación x2" - 1 = 0

...(i)

13

OOt 3 ,. 7=1

halle las siguientes productorias ' v rr1 Kn: . a) U s e n — k=i 2n , , "ñ1 Kn b) I le o s — K*1 2n , tí Kn c) l l s e n — k=i n

De lo anterior, se observa que la ecuación (*) tiene; 2n raíces de las cuales dos son reales (1 y -1) y

d) f í sen

Kn 2m +l

Kn e) I I eos k- i 2m +l

678

las (2n-2) restan tes so n n ú m e ro s com plejos; donde (n-1) de estas son parejas conjugadas d e las otras; así por ejem plo * 2 n -I= *l

i * 2 n -2 = *2

i ............

< * n + l = * n -l

Núm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

VPITULO IX

Luego

- 1 = (x-X0) (x-X,)(x-X2 (x-X„_,)(X-Xn) (x-Xn+,) .......U ^ n ^ K ^ - ^ n - l) X2n-1 = (x-l)Cx-Xj)(x-X2) .......(x -X ^ X x + lX x -X n -l).......(X-X2)(x-Xl) X in

n-1

O rdenando los factores

x2n- 1 = (x2 - 1) ñ (x - xK) Cx - x K) - 1 = ( . X 2 - 1) J l ( x 2 - ( X K + X K ) x + XKX K )

X 2n

ikn

com o xK = e n

-ikn a xk

— Kk — ► X^ + -X"k = 2 eo s--- A X £ = 1 n

= eo n = n-\ f

Entonces x 2n -1 = (x 2 -1 ) f l í x 2 - 2cos— x +1 „2n

1 tí/" = n i x 2 - 2 c o s— x + 1

X -1

>

K -\

H allan d o la p a rte (a):

ti= s e n —n

n-1

W’TT

k i

2

x 2n- l Si hacem os x = 1 en e! recuadro anterior, en el límite el valor real d e —5—- es n x -1 , . x 2n- l 2nx2n~' 2 n (l)2[>' 1 es decir Lim— —- = Lim—r-----= —r rf :— = n jt->i x - 1 x-»l 2 x 2(1) n = f í 'í l2 - 2 co s— x l + 1 k=H n =* n = f l í 2 - 2 co s— M n n-1

=>. n = f l 2 l - c o s — n

; pero 1 - c o s — = 2 serr

2n

K jt => n = It Ií 02 2 sen 2 — k=i 2n

=» n = 2 2(n_l) í l s e n 2 — k=i 2n -i2 2 ÍI>_1) f f s e n — k=i 2n

, n-1

=> yfñ = 2 n 1 n s e n — k=i 2n

tí Kn Vñ 11 s e n — = — r 2n 2

k=i

679

Trig o n o m e trí

Lumbreras Editores

kn H allando la p a rte (b): k0 ,cos! 2 n Análogamente al caso anterior ahora si hacem os x = - \ en el límite, el valor real de r n~ 1 2 n r2 '- 1 2n(—l)2'1' = Lim -=n tam bién es n ya que Lim *-»-l X -1 2x x 2- l 2 (-l) >n = i í f (-1)2 - 2cos— (-1) + 1 K=ll n-1 ( \r— = > n = n 2+.2cos— M n n-l n „| , Kit-! , Kit „ 2 Kit > n= 112 1+ co s— ; pero 1+eos— = 2cos K=1 2n n Kit => n = rr I l102 2 eos2 — k=i 2n ► n= 22(n_l) n eos2 — k=i 2n n-l krw 2 ^ n eos— k- i 2n n-l Kit >r/ñ=2n-1 Í1 cosK=I 2n

Kit Vñ . 11 eos =—t K=1 2n 2""'

De donde se concluye: 4n 2n 3it sen — s e n —-sen — s e n — ... s e n ( n - l) ^ - = nn-1 2n 2n 2n 2n 2n it 2n 3it 4n 4it , ... it -Jñ . ril eo s— eo s— eo s— e o s— ... c o s ( n - l) — = — - , V n e Z - t i l 2n 2n 2n 2n 2n 2 H allando la p a rte ( c ) :

n-l k=i

Irrr se n — n

P ara (c) 0 6 tí Kit Kit Kit utilizando la identidad sen0 = 2 s e n - c o s • U s e n — = 1 1 2 se n — eos — K=1 2 2 k=i 2n 2n n n-l . n-l Kit Kit 2"~‘ n sen — f l eo s— por(a) y (b) obtenem os »c=i 2nK=i 2n = 2"

Vñ Vñ

n . - . l l s e n —- = . k=i n 2

Desarrollando la produeforia, obtenem os it 2it 3it , ..n s e n —se n — s e n — ... s e n (n - l) —=

680

r; V ne Z+-{1}

P ITU LO IX

Núm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

ir Haciendo que n se a impar, es decir n = 2 m + 1 ; m e Z* | entonces n-1 =2m ; y reem plazando en el último recuadro obtenem os ü • t sen

n se n 2 n ... sen (m -1) n sen m n s en (m + l)jx sen (m + 2) r t - s e n (2 m -l) n sen 2nm _ 2 m + l r>2m 2m +l 2m +l 2m +l 2m +l 2m +l 2m +1 2m + l 2 m + l

J suplementarios suplementarios suplementarios suplementarios C om o ios s e n o s d e d o s án g u lo s su p le m e n ta rio s so n ig u a le s (Si a + p = n =*se n a = sen3) entonces

n

2irm

2iz

(2m -l)n

mrt

(m+l>t

s e n -------r= s e n - ------: ; s e n --------= s e n ------------ ; s e n - ------:= se n 2m +l 2m +l 2m + l 2m +l 2m +l 2m +l reem plazando se tiene

2

n

> 2n

i nu

sen --------sen ------- : ... sen 2m +l 2m +l 2m +l

sen -

n

-sen

2n 2m +l

.. s e n -------2 m + l.

mn n 2n s e n -----—se n ... se n 2m +l 2m +l 2m +l

2m + l 22m 2m + 1 2^m

\/2m + 1 2"

jt 2n 3n . mn V 2m +1 _ s e n - ----- : s e n - ----- : s e n - ----- ; ... s e n - ----- ; = ----—— ; V m e Z 2m +l 2m +l 2m +l 2m +l

o tam bién, utilizando el sfmbol& n (productoria) tenem os i l sen

k= i

Kn

V2m+1 ¡

2m+1

681

Lumbreras Editores

T rigonom etrú

Para (e) Como . it

2it

3rc

4n

5n

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

- 2m7t' 2m + l

27t 2m + l

sen-:------r se n ------- - s e n - ------ : s e n -------- s e n -------- se n -

(2m-2)7i 2m + l

4tx 2m + l

6n

(2m-4)7t 2m + l

s e n - ------r se n --------s e n --------------s e n ---------s e n --------------se n -

47t

2tt

67:

( 2m - 4) 7i

, se n -

2m + l

v2m + ]

miu

2m + l

. 2"

67t

V 2m + 1 2m

2m +l

2m 7t

(2m -2 )rt

V2m + 1

s e n - -------s e n -------- s e n ---------... s e n ---------------s e n --------------se n 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m +1 2m +1 „

7t

„

ti

2 ti

2jt

„

3 ti

37t

_

nrm

m7t

2sen- ------reos- ------: 2sen- ------ : co s- ------ : 2sen- ------ : co s- ------ ... 2sen- -------co s2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l „m

7E

271

371

IT17I

71

271

371

1X171

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2m + l

2 s e n -------- sen--------- s e n —------. ..s e n ----------e o s ---------e o s — — e o s---------... co s-

¿ 2 r tí+ \

yptC

27:

Jt

Ji

2n

371

2m + l

2m + l

2m + l

e o s - ------- e o s ---------c o s -

3ti

m rt

1

^

e o s - ------r c o s^ ----- r e o s ------- : ... e o s - ------ : = — 2m + l 2m + l 2m +1 2 m + l 2"

4

V2m +1

n/ 2 iti

rrm _ J 2 rrí+ 'i 2m +l

_ +

Vme Z

r11i e o s - ------K * = —1 2m + 1 2

o también

k- i

Teniendo en cuenta el desarrollo d e este problema, p od em os plantear los ejem plos siguientes .

7t

27t

3ít

4Tt

71

271

37t

7t

• A = sen — s e n — s e n — sen — = s e n — s e n — s e n — s e n ( 5 - l ) ----10 10 10 10 10 10 10 . 2(5) =>A - 4 , /.A =— 25- 1 16 •

n 27t 3rc • 4 ti 5 ti te 2k 3 tt 4 t: .. ti B = c o s — e o s — e o s — e o s — eo s — = e o s — e o s — e o s — e o s — co s(6 - 1 ) — — 12 12 12 12 12 12 12 12 12 2(6)

_

A 26-' •

_

n

32

2n

3n

4n

5tt

6tc

tí

2k

3tc

4n

571

(7-1) tc

C = s e n - s e n — sen — s e n — s e n — s e n — = s e n —s e n — s e n — sen — s e n — s e n — - — 7 7 . 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7, =>C =-

682

64

+1

C A P ÍTU LO IX

N úm e ro s com plejos en el análisis trigonom étrico

Problema 14 Calcule P = s e n l0sen 20s e n 3 ° ... se n l7 9 ° R esolu ción Com o sab em os que si a + P = 180p => sen a = sen p , en ton ces p o d em o s plantear que sen 179°=sen 1° se n l7 8 °= se n 2 ° y así sucesivam ente, luego la expresión P se p u ed e plantear com o P = sen l°sen 2 °sen 3 0 ... sen S 8°sen 89°se n 9 0 °se n 9 10 sen92° ... se n l7 8 ° se n l7 9 °

P = s e n l°se n 2 °se n 3 °... sen88°sen89°

(1) sen89°sen88° ...

se n 2 °se n l°

R educiendo se obtiene P = se n 2l° s e n 22°sen23° ... se n 28 8°sen 289° „

P = [sen l°sen 2 0sen3° ... sen88°sen89°]2

En radianes

Del problem a 13 tenem os

(n - l)rt _ Vñ n 2n 3it s e n — s e n — s e n — ...se n 2n 2"'1 2n 2n 2n Para el problem a que estamos resolviendo, 2n = 180 en ton ces n = 9 0 por lo tanto 89rt =V90 = n 2n 3n 89rt s e n -----s e n — s e n — ... sen i»u _ 290' 1 _ 289

... (2)

R eem plazando (2) en (1), tenem os

V90l

90

2&9

2178 683

Lumbreras Editores

Trígonos

Problema 15 Al r e so lv e r la s ig u ie n te e c u a c ió n in d iq u e

Ahora; evaluam os cuando 0 = 3

u n c o n j u n t o s o l u c i ó n y e v a lú e c u a n d o -s e n

0 = 7 1 /3

(x + co s0 + í'senB)m + O + c o s 9 - /s e n 0 )m = 0 R eso lu ció n Sea

cos0 + /sen9 = e ,e ; c o s 0 -;s e n 0 = e “ U + e i9r

-1; Sea: Z = -1 = e'K

3

.7 1 (1 , J L Í - s e n - — x - + c o s2m 2 2 ml 2 x 71 se n 2m

X

x + e"'

71

se n 2m

= -(jc + e"'9)m

x +e

71

2m

1 n/3 , TI = — + — c o t---2 2 2m

Problema 16 Encuentre la región correspondiente al conj

¿a

» * r

_;a

v

d e los números com plejos definidos por

R = { ze C /!ez2|< l} luego R e so lu c ió n Com o Z es un núm ero com plejo, consideral Z = x + iy , donde r , y e R ahora

iir x + e íe = e m(x + e~'6)

gZ 2 _ g (x + iy )2 _

g x2+2xyi-y2

e Z2 _ gX2 y2 e (2xj)/

• l-e m

luego el m ódulo del complejo: e z2, será co sí — - 0 + / s e n -----0 - c o s 0 - /s e n 0 l . ■ im lm ]____________ 1 - c o s ---- rsen — m m

I 1 r 2 _ v2 ’ =» |ez | = e " ;

~2sen-—sení — — 0) + /2cos —- sení — - 0 2m

l 2m

J

2m

71

je Z2 | = |e x2-y2 e ^ o l = |e x2-y2l

l2 m

n

2sen2—— - /2sen eos 2m 2m 2m

pero por condición del problem a ¡ 7l \ - v 2 _ v2 |e | |y| > Ixl

jgiZxyl

N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

C A P ÍTU LO IX

Cuando

y > 0 -> y > \x

v

y < 0 -> y < —Ijc I Im(Z)

Re(Z)

Finalmente, uniendo las regiones de las figuras 9.44(a) y 9.44(b) ob ten em os la figura 9.44(c)

Problema 17 Halle el equivalente de la siguiente sumatoria C = 3(2) + 4(3)(2)cos0 + 5(4)(3)cos20 + ...+ 22(21)(2O )cosl90 Si e'209 = 1

a

e"#!

Resolución Para poder resolver esta expresión m ediante núm eros com plejos se le sum ará un término adicional de tal forma que se forme la expresión cosA + i'senA = e iA o AcosA+A/senA = AelA según lo anterior C = 3(2) + 4 (3 )(2 )co s0 + 5(4)(3)cos20 + ... + 22(21)(2O )cosl90 ...(1) el térm ino adicional sería S = + 4(3)(2)sen 0 + 5(4)(3)sen20 + 6(5)(4)sen30 +... + 22(2 l)(2O )senl90 y para formar la sum atoria com pleja multiplicaremos por (;') a (2), en ton ces z'S = + /4 (3 )(2 )sen 0 + /5(4)(3)sen20 + /6(5)(4)sen 30 + ... + /22(21)(2O )senl90 ...(3)

...(2)

685

Lumbreras Editores

T rigonometrra

sum ando (1) y (2) se obtiene C+/S = 3(2)+ 4(3)(2)cos0 + 5 (4 )(3 )co s2 e + 6 (5)(4)cos36... + 22(21)(20)cosl9e Z + /4(3)(2)sfen e+/5(4)(3)sen 29 + /6(5)(4)sen 39 + ... + /22(21)(20)senl98 Z= 3 (2 )+ 4 (3 )(2 )ei9+ 5(4)(3)e'29 + 6(5)(4)e'39 + ... + 22(21)(20)e'199

...(4) ...(5)

Puesto que Z =C+¡'S ... (6) De (6) nuestro propósito será calcular R e (Z ), porque C = Re(Z)

... (7)

Multiplicamos a (5) por ( l - e íe) y o b ten em os (1 - e ,e )Z = (1 - e'9) (3(2) + 4(3 )(2 )eíe + 5 (4 )(3 )eí20 + 6(5)(4)eí39 +... + 22(21 )(2 0 )ei199) = > ( l- e '6)Z = [3(2) + 4(3)(2)e'6 + 5(4 )(3 )eí2e + 6(5)(4)e'30 + ... +22(21 )(2O)e'190] (3(2)e'e + 4{3)(2)e'20 + 5(4 )(3 )e'30 + ... + 21(20)(19)e'199 + 22(21)(20)e,2oe) R educiendo se tiene ► (1 - e ffl)Z = 3(2) + 3(3)(2)e'9 + 3(4 )(3 )e'20 + 3(5)(4)e'39 +... + 3(21 )20e'190 - 22(21)(20) = > ( l- e '9)Z = 3 2 + 3(2 )e10 + 4(3)e'20 + 5(4)e'30 + ...+21(20)eíl

-2 2 (2 1 )(2 0 )

Z,

>(1 - e'9)Z = 3Z, - 22(21)(20)

-(8 )

Seguidam ente hallaremos una expresión equivalente para Z,, puesto que Z, = 2 + 3(2)eí0+ 4 {3 )e'28+ 5 (4 )e ,39+... + 21(2O)e',9e

...(9)

Multiplicamos a (9) por (1 -e'9) ( l - e í9)Z, = ( l - e ,0)(2 + 3 (2 )e'9 + 4 (3 )e '20 + 5 (4 )e'30 +... +21(2O)e"90) Multiplicando obtenem os r => ( l - e '9)Z, = 2 + 3(2)eíe + 4(3)e'29 + 5(4)eí30 + ...+ 21(2O)e'190 - ((2)eí0 + 3(2)e-20 + 4(3)e'30 + ... + 20(19)e;l99 + 2 l(2O)ef200 ) n r ( l - e '9)Z| = 2 + (2)e'9 + 2(3)e'20 + 2(4)e'30 + ...+ 2(20)e'199 -2 1 (2 0 ) (1 -e '9)Z, = 2(1 + 2eíe + 3e'20 + 4e'39 + ... + 20e'199) - 21(20) V => ( l - e ' 9)Z, = 2Zj -2 1 (2 0 )

686

...(10)

;a

ÍÜ V;4 Á

-C A P ITU L O IX

N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

t S e g u id a m e n te h a lla r e m o s u n a e x p r e sió n i equivalente para Z¿ puesto que í' Z2 = 1+ 2e,e + 3e'20 + 4e'36 +... + 20e'199

D espejando Z se obtiene

...(11)

— 3(2)(20)

3(21) (20)

-22(21)(20)

( 1 - e ' 6)3

( 1 - e '9)2

1- e'9

Z

Multiplicamos a (11) por (1—e'e) (1 - e'9)Z, = (1 - e'9)(l + 2em+ 3e'29 +4e'38 + ...+ 20e'l98) •- Multiplicando obtenem os (1 - e í0)Z2 = 1+ 2e'9 + 3e'20 + 4e'39 + ...+ 20e'199) - (e'e + 2e'29 + 3e'30 +... + 1 9e'190 + 2Oe'200 ) i R educiendo obtenem os

•••(16)

Pero 16 / re

-¡O\ 2 1e 2 _ p 2 ) ----- — 2/ 2i

í6 / -/8 £0 \ 1- e'9 10 = e 2 le 2 - e 2 ) = (

¿9

1- e

- - 20.^2 = /e 2

=> (1 - ei9)Z? = 1+ e'9 + e 1-9 + e,3e +... + e '199 - 20 ...(12)

íe -/e ^ e 2-e 2

= - 2 / e 2 sen 2

2i

forma compleja del sen|

esta suma es un cociente notable se sugiere repasar sus lecciones de Álgebra

=» 1 - e '8 = - 2 / e 2 s e n -

...(17)

respecto a lo mencionado. , m ¡7ñ no aqfl (e,20e- l ) el denom inador es diferente d e 0 => 1+ e'9 + e'20 + e'3a +... + e'199 = 0

„. j 6 - 2 / e 2 .sen 2

...(13) R educiendo

R eem plazando (13) en (12) ob ten em os = > ( l - e ,e)Z2 = 0 - 2 0

z _ —3(2)(20)

-20 => D espejando Z2 : Z2 = ----- ¡g-

...(14)

22(21)(20) .• / = í»ix2

3(21)(20)

8 / e 2 .sen32

-sen o

¿

2 /e 2 .sen — 2

R eem plazando (14) en (10) ob ten em os Si se reem plaza / por / = e 2 se obtiene ( l - e ' e)Z, = 2 ^ 2 - 1 - 2 1 ( 2 0 ) v 1- e'9 j Z=

D espejando Z¡ se obtiene -2(20)

Z| = ; (1 - e 10) 2

21(20) ( 1 - e 10)

3(21)(20) ^

8 se n 3 3

. 2e 4sen -

...(15).

R eem plazando (15) en (8) obten em os ( l - e ' 9)Z = 3f - 2(20) (1 —e íe)2

3(2)(20)c- ( f + f |

2 1 (2*7 0 )^ - 2 2 ( 2 0 (2 0 ) (1 —e'e) j

22(21)(20)e í 2 2 ^

...0 8 )

2 sen -

687

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Se sabe que para una sum a de núm eros com plejos Z=Z3+Z4+Z5 se cum ple Re(Z) = R e(Z3) + Re(Z4) + Re(Z5) De (18) Re(Z) =

-3C2)(2 0 )c j 3 e + n ) - 3 ( 2 0 ( 2 0 ) ^ + 22(21)(20) 8sen 3-

-

4 sen 2-

^ 2___ÍL;

í , + 6)

2 sen 2 (O ! A cos2x + Rcosx + F = lS c o s’ ^ e ' ^ ^ c o s ^ - í j + ¡s e n ^ -^ j

s4- e i2j;[e'í‘ ^ I

A cos2x + R cosx + F = 16cos

A eo s 2x + Rcosx + F = 16cos4 —e'2xe l( 2x) R educiendo obtenem os A c o s2 x + Rcosx + F = 16cos4 —

P erosesab e

23c o s 4í = c o s 4 ^ j . + 4 c o s 2 ^ j + 3

R eem plazando (2) en (1)

Identificando A =2, R =8 y F=6

688

...(2)

A eo s 2 x + R e o s x + F = 2(cos 2x + 4 5 o s x + 3 )

=> Acos2x'+tRcosx+iFj=2cosx+i8lc o sx + [6j

A + R + F = 16

...(1)

C A P ÍTU L O IX

__________

N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

Problema 19

ordenando

Halle a en el intervalo

=> 3 tan q = le lCln2003J¡ + le'(ln2004)[ + le '* 380»}

j

i

...(6)

j

(cad a uno d e estos m ódulos son unos por la propiedad m encionada)

si se cu m p le la siguiente igualdad 3 tan a =! 2003'! +!2004'! + i2005' i

' leí9l = l

Resolución

De (6): 3tan a = 1 + 1 + 1

Partimos d e la fórmula de Euler e'9 = c o s 9 + /sen 0 i

= » 3 ta n a = 3 tan a = 1

y por m ód u lo se sabe •' le'8l = lc o s 9 + /s e n 9 | = y (c o s 0 )2 + (s e n 0 )2 le'8! = \ /c o s 20 + se n 20

...(1)

tan a = tan — ^ a = —+ Kn; K e Z 4

(revise el tema de funciones trigonométricas)

Algunos valores d e a son Pero por identidad trigonométrica s e n 20 + c o s20 =* 1

- ü

(Revise el capítulo 5)

4

’

’

—11 n •_ -15tt

~4~

’

~ 4 ~

’

4

* •"

Pero puesto que hay una condición para a ;

R eem plazando (2) e n (1) obten em os lei0¡ = '

~3n . -7n.

a ~ 4

...(2 )

a e (-2 n ;

s e concluye

a = - 7 n /4

...(3)

(la cual e s una d e las propiedades d e la forma

Problema 20

exp onencial com pleja m encionada en la página

Sabiendo que

654)

Z = x + \y , x ,y e R ; /=>/—í

Se sab e por propiedad de logaritmos que

indique qué representa la siguiente ecuación

V a e R + se cum ple a = e lna según.esto, 2003, 2004 y 2005 pueden expresarse respectivam ente co m o

Resolución A partir de (1) se sab e que

2003 = e 1"2003

( 7

2004 = e ta2004 ...(4) 2005 = e

Arg

In2005

= Arg Z, - Arg Z2 \ '^ ¡

y c o m o la condición inicial es 3 tan ct = 12003' I+ 12004' 1+¡2005' I %

Si Argj ...(5)

Z - 2 ) _ 7t

Z -2 rJ

3

A r g (Z -2 )-A r g (Z -2 /) = ^

R eem plazam os. (4) en (5) obteniendo

3tana

S)1 + í(eln200‘, y + (eln2005)'

tí x + iy

1Í x + iy

cea

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tríi

Ordenando se obtiene

®

A rg[(x-2)+fy] ' ” v .

A rg[x+/(y-2)] = í v ' O

arctánf _____ i, x - 2

arctan

-

y -2 x

Observación

La ecuación

n

7 3 x 2 - ( 2 7 3 + 2 ) x + 73y2 -(2 x /3 + 2)y + 4 = 0

3

Al completar cuadrados se obtiene ,2 f ' i

71

a

3

...(2)

X- ( S + \ )

r- x%2 !y J J 3+l

l s

l 73

J)

,

u r f

7s J

d e donde y ta n a = —í x -2

; ta n p = — y

...(3)

x

y para encontrar una relación entre x e y d e (2) tom arem os un R.T., la cual por conveniencia se sugiere tangente > ta n ( a -p ) = t a n 3 Desarrollando ta n a - tanP 1+ ta n a ta n P

= 73

...(4)

Reemplazando (3) en (4) obtenem os y

y

x -2

1+

ÍU

Problema 21

-2 y -2

= 73

x 2n+ x " + 1 = 0

X

x y -(x -2 )(y -2 ) * (x - 2) + y(y - 2)

Usando la ecuación

Reduzca la productoria = 73

xy ~ ( x y ~ 2 x - 2y + 4) _ ^

x 2 - 2x + y2 - 2y R educiendo

n c o s 2í & I l í ] K=0 ^ 3n J

Resolución Dada la ecuación x 2n+x" + l = 0 se resuelve parax" „ _ -l ±73/ x —de los cuales

=* 2x+2y - 4 = TSx2 - 273x + 7 3 y 2 - 273y F inam ente se obtiene la siguiente ecu ación

-1 73 1. =>X n =COS ( 2K ov 2lí • Xn = — + ---7T + — 2 2 l 3

7 3 x 2 - (2 7 3 + 2)x + V3y2 - (2 7 3 + 2)y + 4 = 0 la cual representa a una circunferencia.

690

+ fsení 2Krt + — l 3

CAPITULO IX

x"=e •

N ú m e ro s co m p lejo s e n el an álisis tr ig o n o m é tric o

2n(3K-l>; ?Ks+— ;/ •3 ~ p 33n rt * i■ =>xk=e

k = 0 ,l ,2 ,... n - 1

Las raíces son conjugadas

x n= - - - — / => x n= cosí 2101+ - ) - is e r í 2K 7i+^ 2 2 { 3 J \ 3 ■f

>Xk=e

(2s(3K+l)f 3n

k = 0 ,l ,2 ,...n - 1

Se observa que la ecu ación tiene 2n raíces en la cual n son com plejas y las otras n raíces son sus conjugadas. Luego _

n -l

n -1

n+ n+ ] _ j-j K=0

_

j f ] ( x - X k) K K=0

n-1

Problema 22 Halle Z eC , tal ,que se verifique la sigu ien te igualdad senZ =2 R esolución A partir del dato sen Z = 2 se sabe que senZ = -

_

= n ( x - xk)( x - x k) K—U

...(1)

2/

Reemplazando (2) en (1) ob ten em os

X2n+ x n+ 1= JT J x 2 - x (x K+ XK) + (|xK|)2] K—U

2i

-= 2 => e iz - e~'~ = 4/

Se sabe r «2?t(3K+))í xK+X K =2R eLe 3n J A ¡XK| = 1

=> e ,z — jr i= 4/ e

Luego

=> e az -1 = 4ei:i

„ í 2rt(3K + 1) x K+ xk = 2 co s ------------V 3n Luego n-1

x 2n+ x n+ i =

n

K=0

=> e2íz - 4el:i -1 = 0 ...(3)

x 2- 2 x c o s ( ^ ü l i ) | +1 l

Si hacem os e ,z= a ... (4) Reemplazando (4) en (3)

3n => a 2 —4 o ;-1 = 0

se cumple para todo x e R , en particular si x = - l

2+ (-i)n

n-1 = n

K=0

2 t2 c „ s í? !e £ ± fl 3n

n-1 2 + ( - l ) n = n 4 co s2í « ± í l K=0 3n

a=

4í±-'/(4i)2 -4 (1 )(-1 ) 2 4¡±% f-\2

4/±2 n^3í

2

2

a=-

=>a = (2 + \¡3 )i v a = ( 2 - V 3 ) í

-(5 )

Reemplanzando (5) en 4 2 + ( - l ) n =- 4n [ Ti c o s í — — K=0 3n

= > e '-= (2 + V 3)í v e “ = (2 —V3)/ =>/z = ln (2 + V 3 )/ v /z = ln (2 -V 3 )/

te 1 2 Jt(3K + 1) 2+ (-!)" n e o s — --------- - - — K=0 3n 4n

los valores de z serán -iln(2 + V3); v - i ln { 2 - -J 2 )i 691

Problemas propuestos En los problemas del 1 al 8, exprese en forma polar

19.

Sea el siguiente número complejo:

lo s n ú m eros co m p lejo s d ad os (c o n s id é r e se argum ento principal) 1.

3V2 + /3V2

2.

2 - i2%/3

3.

-5/

4.

-4

5.

->¡3 - í

6.

-2 -f(3 -0

7.

Jt + y¡2í

8.

se n 4 + fc o s4

'

» Z= r(cos0 + i'sen0) ; r>0

calcule el valor de

O

3 jt 4

97t 4

1771

TU

571

9n

4

2

4

4

TU

TU !--- •

TU

Re

4 TU

4 1 371 :L _i 4 í 7tu 4

_\ Ln(v/2 )

4 7U

2

D)

4 L n (j2

)

Re

ln

371

4 4

Im

2

9rt 4 5n 4

Tí

JL

4 Tí

4 ' 4

4 3rt ' 4

71 --- • -— 2

Jn ' 4

ti

„^ Ln 2

Re

R*

1571

E)

Im

' Lnj2

Re , Ln 2

693

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Kn. B) Z ,e "'

(2K-1) . A) Z,e n

26. Si 2 tc/ 3 e s el argum ento d e un núm ero com plejo que se genera por el cociente de dos núm eros com plejos conjugados entre sí y ad em ás el producto de los m ód u los de d ich os n ú m eros com p lejos e s 4, calcule dichos números com plejos conjugados.

„ (K-Ó-í C) Z,e n 2fct. D) Z¡e * '

. (K-l)n. E) Z,e

30. Resuelva A) Z = \¡3 + i

B) Z = S - i

Z=S - i

Z = V 3+t

sen(ix) + /cos(/x) = 2/ • K eZ

C) Z = 1 + V 3 í

r2 = -1

a

B) 2K rri-ln2

A) 2Krt+ln2

Z = 1 - V 3/

C) K rt-ln2 D) 2Krt+iln2

D) Z = \ - & i

E) Z = l + /

Z = l + V3i

Z = 1- /

31. Simplifique j.

27. Calcule e o s

E) 2Krti+ln2

cos20+/sen29 cos20 - /sen29 I cos(0+(j)-/sen(O + fi) cos(0 + P)+ísen(0-t

(1 + /

si i = -J -Í

sien d o n s Z A) 2 c o s(3 6 -P )

28.

A) -1 C) 1

B) 0

D) { -! ;!}

E) {-l;0 ;l}

B) 2cos(36 + P)

C) cosC30 + P) E) 2csc(30 + P)

D) c o s(3 0 -(3 )

Resuelva co sz= 2 , siendo z = x + ry ; r = - 1 a K e Z

32.

S iz = a + b í, donde/'2= - l ; a > 0 a b > 0

A) rln(2+V3)

B) 2Kn±íTn(2+V3)

Calcule en térm inos de a y b: sec[arg(LnZ)]

-/ln (2 - -J3) A) J4arctan2| — |+1 C> 2K ji± /'ln (2- -JZ) D) 2Kjt ± i ln(V5 - 2)

E) 2Krt ± i In (2 ± 7 3 )

ardan! — +1

C) 29. Encuentre tos vértices zK d e un polígono

lnVa2+ b 2

regular de n lados si su centro se encuentra en el punto z= 0 , y uno de sus vértices z es conocido. Dato K = 0 ;l;2 ;....; n-1 694

b' i —f + 1

aJ

í o2arctanjr — t»T\2

+1 [ lnVa2+ b 2 t

N úm e ro s com plejos en el análisis trigonom étrico

C A P ÍTU LO IX

33. Se define el sen o hiperbólico de 0 denotado e e_ e '9 por se n h (0 )= ----------, en ton ces el valor de 2 !sen/a! sen h a A) -1

B) 1

D) -2

3 6 . Indique qué alternativa corresponde a IcosZl, si s e d e fin e 2 c o s h (a ) = e * + e 'a y 2 se n h (a )= e a- e ' a, adem ás Z = x + iy , i2= - l A) N'cos2x c o s h 2(y) + se n 2x sen h 2(y)

C) 2

B) ^ c o s2x c o s h 2(y) - s e n 2;rsenh2(y)

« i

C) N'cos2x se n h 2(y) + se n 2x co sh 2(y)

34. Calcule cos(/ín5)

D) v c o s2^ sen h 2(y) - sen 2x c o sh 2(y) s 13

12

B ) l^

a) t

^ '2 C) 17 , 13

13

E) y

D )y

35. Calcule arcsen(z'),

E) v/sen h 2(v) + c o sh 2(y) 37. Identifique gráficamente en el plano complejo' lo s conjuntos de núm eros com p lejos que satisfacen las siguientes condiciones I) Re(z) = 2

siendo i2 = -1

III) A) ,ln(V2 - 1 ) D)

B) /ln(V2 +1) C) ln(V2 -1 )

Infv^ +1)

Re(z) > -7i

V) lm (z) < 0

E) íln(%^2)

11) lm (z) = -1 IV) Im(z) = Re(z) VI) Im(z) = -2R e(z) < 3

VII) Im(z) =[R e(z)]2 +1

En los problem as del 38 al 50, identifique gráficamente en el plano com plejo los conjuntos de números com plejos que verifican las condiciones señaladas. 38.

Identifique gráficamente en el plano com plejo el conjunto d e núm eros com plejos que verifican la co n d ic ió n señalada. R ,={Z e C /Im (Z )< |R e(Z )|

A)

a

!ZI Re2(z) +1 Alm(z) - 2Re(z) < 3j

T rigonom etría

40. R = { z e C /|lm (z )|+ |R e (z )| < l}

42. R =

r z e C /I m ( z ) 2

N úm eros com plejos en el análisis trigo n o m é trico

•M a

C A P ÍTU L O IX

44. R = j z e C / Ó < A r g ^ j < !

697

Lumbreras Editores

Trigonom etría

45.R = { z e C /lz —1—/!< 1 a Im (z )> se n (R e (z )) a a

46.

A 0 < A r g (Z :i) < | }

I m (z )> 2 - R e (z ) } A)

D)

R = {Ze C /a < !Z !< b ; a A b s R + A

A |m (z)

B)

A Im(z)

A Im(z)

'47. R = Ze C /Im (Z )< A

A Im(z)

B)

A Im(z)

C)

A lm (z)

/3 Re(z) 40

698

C A P ÍTU L O IX

N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico

50. R = {z e C/lz-l! > 2|z +1|}

699

Lumbreras Editores

Trigonom etría

En los problem as del 51 al 54, exprese las regiones co rre sp o n d ie n te s a núm ero s com plejos por .m edio de conjuntos. 51.

^ im(z)

!

-\

11

A) jz e C /¡ z - l- v 3 ík lA lr n ( z ) < R e ( z ) + - | B)

{ze

€/

|z - 2 -V 3 /| < lA Ím ( z ) < R e ( z ) + l}

C) {z s C/ Iz-1-/1 1a arg (z) > ^ J B )|zeC /¡z-(;< lA lz!> 3 A 0 < a rg z< ^ B) {ze C / |R e(z)|+ |lm (z)|< 1a Izl > 3}

C ) |z e C /¡z -l-4 /|> lA !z i> 2 A ^ < a rg z < íJ

D) zeC /¡z-2-\/3/'!< lA Íz;< 4 A 0 < a r g z < í j E) jz e C /¡z -\/3 -2 íÍ < l A 'z!>2A ^ Re(z)AQ — a Im(z) < |senRe(z)| a

C)

| Z = r e i9/] Z l < í

D)

j z = r e ,9/ l z l <

E)

704

a Im (Z )

— a

z = r e ‘9/ l z | < ^

< |s e n R e ( Z ) | a

— < Arg ~

< A rg

A rg

z+

in 'j

— <

C" II. continua por la derecha de c, si y solo si lim f(x) = f(c) X— >C‘r En la figura 10.9(a), tenem os un ejem plo de continuidad por la d erech a de cero; y en la figura 10.9\b) tenem os un ejemplo de continuidad por la izquierda de cero.

Función continua a ia derecha de O, ya que

Función continua a la izquierda de O. ya que

lim -íx =0 0

lim -Ax = 0 Figura 10.9

Definición (continuidad en un intervalo cerrado) Para una función f definida sobre un intervalo [a; b ] . diremos que f es continua en dicho intervalo si se cumplen las siguientes condiciones: I. Continuidad en cada punto c del intervalo abierto (a:b) II. Continuidad por la derecha de a, y. III. Continuidad por la izquierda de b. Por ejemplo, la función f(.v) = árceos .Y(cuya gráfica la tenem os en la figura 10.10). Es continua én el intervalo cerrado [-1; 1], puesto que es continua en cualquier núm ero d e ( - l; 1), continua por la derecha de -1 y continua por la izquierda de 1.

716

C A P ÍTU LO X

Elem entos d e cálculo: Límites y derivadas

Definición (continuidad en un intervalo abierto) Si u na función f es continua en cada punto del intervalo abierto {a; b ) , entonces direm os que f es continua en (a; b ; .

Ejemplo 1 T en em o s

entonces f no es continua en c e Z la fu n ció n

f(x) = tan x d o n d e su

gráfica parcial, la tenem os en la figura 10.11 (a) Y

-3

í

T 3

:

:

2

-1

O

-2

3

4

X

(b)

Ejemplo 3 La función f(Y)=senx, donde su gráfica parcial, la tenem os en la figura 10.11 Ce). Esta función es continua en el. intervalo abierto / n n\ \ 2 ’ 2 / ’ Puesto Que es continua en cada numero perteneciente a dicho intervalo.

Ejemplo 2 , . f3, x e T La función fCArj = i , [ 2 ,x e R - Z cuya gráfica es 10.11 (,b), tiene límite en todo punto

Figura 1 0 .il

de su dominio R, pero si c e Z entonces Esta función es continua en el intervalo (0; 2n) ya lim f(x) = 2 X~¥C'

f(c) = 3 # 2

que es continua en cada núm ero que pertenece a dicho intervalo.

717

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Teorema de la función intermedia o de estricción Si las funciones f, g' y h están definidas en algún intervalo abierto I, donde está contenido ei núm ero c, excepto posiblem ente e n e mismo, y que f(x ) < g(x) < h(x) para todo x en I para lo cual x * c , entonces si lim f(x) = lim h(x) = i X — >C

X — >c

Por lo tanto lim g(x) = l X ~ *C

Para ilustrar este teorema, en la figura 10.12 están representadas las gráficas de tres funciones f, g y h. Se observa que, para x próximo a c, g esta “atrapada” entre f y h (los valores de estas funciones en el mismo punto c no tienen importancia); adem ás, se observa que cuando* tiende a c, f(x) y h(x) tienden am bos al m ism o límite C, entonces tam bién g(x) tiende a C.

Ejemplo Calcule

-0 < x s e n —I o x

>lim x sen —= 0! (Por el teorem a de estricción) X-.0 x I

Resolución 1 x sen — = Ix ls e n — x x com o .sen

lim x sen —=0, x - td

X

pues lim f(x)=0 jf— >0

>Ixl í

718

i^]0

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU L O X

L ÍM ITE S TR IG O N O M É TR IC O S N O TA B LE S A continuación, vam os a utilizar el teorem a de la función interm edia para dem ostrar límites trigonométricos que serán de m ucha utilidad para cálculos posteriores.

Teorema

v

üm se n *

Ahora, analizando cuando x tiende a cero por la izquierda, es decir x 0 .

Q

(b) Figura 10.13

En la figura 10.13(b) se tiene una circunferencia cuya m edida en radianes del ángulo central es |x |, adem ás se verifica: -Ise n x l < —Ixl < -Itanxl 2 2 2 C om o x < 0 y próxim o a cero , e n to n c e s Isenxl = - s e n x ; 1x1 = - x y Itanxl = - ta n x , d e 1 1 1 donde obtenem os - - s e n x < - —x < - - t a n x

(a) En la figura 10.13(a) se tiene que el ángulo x positivo, está expresado en radianes, donde 'á r e a del ' 'á r e a de la ' área de sector región la región circular triangular triangular [ oaq J OPA i. OPA J 1 -se n x

<

-X 2

<

senx

<

X

<

2

i senx

1

i *

X

Multiplicando por s e n x ; (senx>0) se n x 1 x O rdenando sen x cosx

- ta n x 2

se n x co sx cosx se n x

De donde senx>x> tanx senx x tanx = ) ------ < ------- < ------senx senx senx Reduciendo 1 < —— 0

.. sen3x „ , lim --------= 3x1 x— »0 x

3x->0

3x

.. sen3x „ .-.lim ---------- = 3 X-+0 X

Teorema Para todo número rea! p diferente de cero, se verifican . senpx I. ltm -— — = p

r

Ejemplo Determine si existe lim s e a ^* x-tO

X

Resolución Hay que escribir el cociente sen3x de tal m anera x qu e podam os aplicar el teorem a com o x * 0 (ya q u e x so lo s e ap ro x im a a c e ro ); te n e m o s sen 3 x _ 3sen3x x 3x

720

y X

sen3x

II. l i m ^ H = p J-0 X

tanx , .-.lim------= 1 x->0

x—»0 lim

=1

Sin embargo, este teorema lo podem os demostrar utilizando identidades y aplicando lo anterior, sen x ta n x = lim cosx lim x— >0 *-»o X. se n x = lim -------> X-.0

Cuando x tiende a cero, 3x tiende a cero; lo mismo sucede con 3x, entonces sen3x 3 se n 3 x lim -------- = lim -

Ejempl° tan2x Calcule el siguiente límite lim -------x-^o tan5x Resolución tan 2x 2x tan2x ..... L= lim — lim x-*otan5x x-*o g^tanDX 5x tan2x tan2x 2x lim lim 2 2x^0 2x->0 2x 2x _ 2x1 tan5x 5*1 tan5x 5x lim lim 5 5x-*0 5x 5x-*0 5x

2 ' 5

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ITU LO X

Teorema

¡ I ^ N o ta

Para todo p y q pertenecientes a los reales, tal que q * 0 , se verifica

L lim 5 ^ =P q

III. l i m ^ M = E *->o tan(qx) q

II. l i m ^ P í l = P tan(cpr) q

IV i¡m Í£QÍP£l = P sen(qx) q

*-» sen(qv)

Ejemplo .. se n 4 x 4 . lim -------- = — * -°sen 2 x 2

En las demostraciones anteriores, se ha utilizado algunas propiedades de limites. Para su revisión y demostración se sugiere al lector revisar un texto más abocado al tema de límites en general. A continuación, se plantea algunas de éstas propiedades o teorem as de límites. I.

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x~ *a

2

x-*a

~ x —*a

II. lim [f(x )g (x )] = lim f(x) lim g(x)

T en ien d o en c u e n ta el lím ite sig u ie n te sen* , lim ------- = L se p u e d e d em o strar el teo rem a ic~*P

I

X

ffy') lim f(x) III lim l7í ia^ : S (* )* 0 “ *• *-*ag(x)T = fIimg(x)

siguiente !__________________ Teorem a re se n x lim --------— = 1 x -» 0

arctanx , hm-— --------= 1 x -*0

X

IV.

lim c ^ C ; donde c es constante

V.

lim [fW ] n = [lim f(x )]n ; para todo n e Z +

a _____ x

V!. Hm!v/fW = D em ostración Ppr la propiedad de funciones trigonométricas inversas sen(arcsenx)= x . are sen x are sen x luego ------------= ------— --------x sen (arcsen x ) com o x tiende a cero, lo m ism o su ced e con aresenx, entonces fim ^ s e n x _ ¡¡m are sen x x~*o x x-.o se n (a rc se n x ) haciendo arcsenx=9 , en c o n s e c u e n c ia 0 tiende a cero, luego ,. aresenx 9 Iim-----------= lim -----x—o x «-o sen 6 areseav (se n 0 í lim -----------= hm ——

(Esto es lo que se buscaba demostrar)

; para todo n e Z + ,

c o n la re stric c ió n d e q u e si n e s par, lim f(x )> 0 x -*a

L x jttU p iU

Halle el siguiente límite .. i se n 4 x are sen x L h m l----- — + *->o(sen2x 2x .

.. se n 4 x *-*°sen2x

,

4 2

,

L -l 2

aresenx *->o

2x

1 2

Otro núm ero irracional de bastante uso dentro del cálculo es la base de los logaritmos naturales (e); el cual tiene varias utilidades como, por ejemplo, para expresar la forma exponencial de los núm eros complejos. Antes de ver su cálculo mediante límite, le sugerimos que analice la siguiente lectura.

721

Lumbreras Editores

L .

Trig o n o m e tría

LA POLEMICA ENTRE LEIBNIZ Y NEWTON

El _ .¿

r®

La m ayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia fue la prioridad de la invención

*

del cálculo. Las suspicacias entre N ew ton y Leibniz y sus respectivos seguidores, prim ero sobre quién habría descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado

R

de! otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que am a rgó los últim os años de

A 5

ambos genios. Para com enzar direm os que la disputa fue evitable pues ios m étodos de ambos genios tienen im portantes diferencias conceptuales que indican claram ente la génesis

V

•

; C-

in dependiente de los mismos. N e w ton consideraba las curvas generadas por el m ovim iento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la m edida de la variación de la m ism a -de su flu ir-, m ientras que Leibniz consideraba una curva com o fo rm a d a por segm entos de lo n g itu d in fin ite s im a l cuya pro lo nga ció n

'. j v T í v r y r r y

••vjp

generaba la tangente en cada punto y de cuya geom etría se o b tie n e la c o r r e s p o n d ie n te

r e la c ió n

e n tre

las

H&ftgss diferenciales. Incluso la fundom entación de ambos métodos es totalm e nte distinta. Si el de N ew ton fue resuelto totalm e nte m ediante e! concepto de lím ite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70, hasta la aparición del Análisis no estándar de A brahan Robinson. La polém ica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un la do Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo in finite sim al de N ew ton -que el m ism o N e w to n le había in d ic a d o que existían en sus

T b iS G ottffíed W ilhelm Vori Leibniz (Alemania 1646 - 1716)

Epistolae- además que en Holanda -com o le aseguró Wallisse atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado l

el prim er libro sobre el cálculo: el Analyse des infinim ent petits que redactó el M árquez de

fí

edición podemos a d m ira r una fo to -nótese que no aparece el nom bre de su au tor por

eí

n in g ú n s itio - uno de los p ro blem as que se resolvió gracias a la nueva h e rra m ie n ta

íj

descubierta por N ew ton y Leibniz: el problem a de la braquistocrona.

L'Hospital a pa rtir de las clases particulares que le dio Juan Bem oulli y de cuya prim era

El problem a consistía en de te rm in a r la curva por la que un cuerpo desciende en el m en or tiem p o posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este pro blem a ya interesó en su día a G a lile o aunque éste fue incapaz de reso lve rlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es com o sigue. 5¡:

722

C A P ITU L O X

En ju n io de 1696 de las Actas

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

Erodiiorum , Juan Bem oulli lanzó un reto a los m ejores

m atem áticos del m undo. En realidad era un reto en cub ierto a N ew ton. Al cabo del a n o el plazo o rig in a l fu e de seis meses pero a petición de Liebniz se am p lió para que tuvie ran ' tie m p o los m atem áticos franceses e italianos que se habían enterado tarde - aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz, una del m ism o Juan B ernoulli, o tra de su herm ano Jacobo, un a de l co n d e W a lte r de Tschirnhaus, de l M a rq u é z de L'Hospital y una anónim a. Todas, excepto la de L'Hospital

,r-

•> ’

da ba n con la solución: la cicloide. ¿Q uién era ese a u to r a n ó n im o que escogió las P hiiosophical Transacfions para p u b lica r su genial solución que sólo contenía 67 palabras? Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli e x c la m a ra «ta n q u a m ex un gu e leon en» , a lg o así com o «¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era N ev/ton. Años más tarde se aclaró toda la historia. C om o ya dijim os el reto estaba d irig id o a los m atem áticos ingleses y a Nev/ton en particular justo en el m om ento en que comenzaba la polém ica sobre la prioridad para ver si el cálculo de New ton

Isaac Newton (Inglaterra 1642 - 1727)

era tar, bueno y poderoso para resolverlo. Adem ás, en una carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá lesolverlo -N ew ton entre ellos claro está-. Incluso años después, ya en plena polém ica, Leibniz en una reseña a la solución del problem a a firm a b a que el problem a no podía ser resu elto sin la ayuda de su recién in ve n ta d o m é to d o q u e sólo aquellos que ha bían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L'Hospital y N ew ton. Com o no podía ser de otra form a el reto llegó a N e w ton au nq ue por aquel entonces ya no «hacia ciencia» sino que traba ja ba en la Casa de la M oneda inglesa. Según cuenta la sobrina de N ew ton, este recibió el problem a a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la M oneda y tenía lista su solución 12 horas después -au nq ue lo que p ro ba ble m en te no sabía la sobrina era que N e w ton ya había pensado en ese problem a unos años a n te ^ y que casi seguro lo había resuelto po r lo que sólo tuvo que refrescar la m em oria ese día-. N uevam ente aparece la m ism a pre gu nta: Si N ew ton ya había resuelto el pro blem a ¿por qué no lo publicó? C om o respuesta fo ra l a esta pregunta tom arem os la que dio A ugusto de M organ «Cada descubrim iento de N ew ton tenía dos aspectos. New ton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho»,.

723

Lumbreras Editores

Trigonometría

El número e - Sean las funciones f y g cuyas reglas de correspondencias se dan a continuación f W = (l + Jf)* ;

g(jr)=j 1+ i |

Para que f y g estén definidas en el cam po real, sus respectivas bases deben ser positivas y d ife re n te s d e la u n id a d , es d e c ir: l+x>0

1+ —> 0 ; x * 0 x Por lo tanto, los dominios de f y g se dan a continuación a

’ El número e por definición es un límite de f cuando x tiende hacia cero (por la d erecha o izquierda); o también pu ed e ser igual al límite de g cuando x tiende hacia +■*= ó - 0

Iim(l + sen r) * = [e]1= e x->0 Ejem plo 2 Calcule L = lim

x-tO l

Resolución L = imí

u

x -» 0 l

i f x j

L = lim 4 . x -* 0 rl . * Xí) f L = [el2 L = e2

724

Problemas Resueltos Problema 1 Demuestre que la longitud de una circunferencia 2 de radio Res igual a 2rtR y el área del círculo es rtR .

Longitud de n „ = lim 2 R n sen — Circunferencia n->» n 2Rrí

Resolución Se dem ostrará A. Longitud de la circunferencia

L = Iim-

Tí ' n ^ sen n n

{^ rt n sensen L = lim 2Rn----- = 2Rn lim -------n —»*»

n —»*»

Tí

n Si n-

Tí

n

=» ——>0 n

i senluego, hm ___ n _ j

L = 2Rn

En una circunferencia de radio R inscribimos un polígono regular de n lados, se puede calcular el perím etro de dicho polígono, considerando el gráfico mostrado Sea P el perímetro del polígono regular de n lados. /

P= n( A,A2 )... (1) En el triángulo A¡OA2 (isósceles) trazam os la altura OH. luego «A .O H = A=nS. ..(1), . _ R *R 27t donde S= — -—s e n — ¿ n Reem plazando en (I) . nR2 2ti A = -----sen — 2 n Se observa que si n se increm enta, el área del polígono se acerca al área del círculo de radio R. area del círculo

nR 2re = lim ----- sen — n-*» 2 n

O rdenando para aplicar el límite P = 2R nsenn Se observa que si n se increm enta, el perím etro del p o líg o n o se a c e rc a a la longitud d e la circunferencia; por tanto

2n sen — S = lim TtR2 __ n_ 2n • 725

Lumbreras Editores

Trigonom etría

luego 2ir sen —

S = nR lim ___ n_ 2n n

...0 )

2 71 — => o n

Si

2n senn =i luego, lim

en (1) S = tcR2 x(1) S

= JtR

Problema 2 ¿Cuál es el área de la región limitada por la gráfica d e la fu n c ió n y = sem r y el e je X situ a d o entre 0 y n? Resolución

(b) De la figura, el área de la región buscada S es m e n o r q u e la su m a d e las á r e a s d e los rectángulos (S,), esto implica que el cálculo será por aproximación, así . ir jr ir 2n n 3ir ir mr S. = —sen —+.—sen — + —sen — + ... + —sen — n n n n n n n n _ 71 71 271 3 71 » 7T S .= — s e n - + sen — + s e n — + ...s e n ( n - l ) n[_ n n n n.

Para simplificar la sumatoria de senos aplicamos la fórmula de serie trigonométricas dado en el tem a de identidades de transformación 71 s *, = n-

s e n (n -l)

7t

2n xsen

r

71

— h (n —lj —

2n

Tí s,= — 1 n

n 2n xsen 71 se n — 2n

sen

,n o 2

tí n S' = ñ c o t2ÍÍ - (1)

Si consideram os que la longitud de la base — de • •

Representam os por S el valor del área de la región indicada. Ahora, imaginamos que el intervalo [0; ir] es dividido en n partes iguales, de tal m anera que se van a formar rectángulos verticales 71 externam ente (de base — y altura igual a la o rd en ada según y=senx) a la región cuya área buscam os hallar; de la siguiente m anera:

726

c a d a rectángulo sea m uy p e q u e ñ a y de esa m anera el área en exceso tam bién sea ínfima, asum im os que n sea muy grande, es decir

S= i™ s, ...(2) sustituyendo ( l) e n ( 2 )

S= lim í cot — n->* n

2n

S= n-»oo lim

n n tan2n

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU LO X

Para aplicar el límite notable, efectuam os 71

2n S = 2, lim JI s r ° tan 2n S = 2 (l) S=2p2

R esolución Evaluando en el valor de x dado a

..

7t

V2

d■ lim se n x = s e n - = — „ * 4 2

7IX o

lim se c ----- 2x = sec x->2 2

En general el área entre la gráfica d e la función 71

y=AsenBx y el eje X situado entre 0 y g . c. (Ver figura)

fn

Ir2)

arcsenl x - \ \ arcsen! 1limX — >1 a rd a n x a rd a n 1 arcsen| ard an 1

n 4

3

Mota'1 v .__________ ________ ____ En cada uno de estos casos, al calcular el límite respectivo hemos evaluado directamente, pues las funciones están definidas y son continuas en d ichos puntos. En lo que sigue, d arem o s problemas donde la evaluación no es directa. Es 'rallado por

Problema4

Ejem plo • x El área debajo de la curv ay = 3 sen —, con el eje X,

Calcule s e n 7 x -s e n 3 x lim -------------------x-*0 x co s3 x R esolución Evaluandox=0 se obtiene i (indeterminado) por

entre 0 y 27: es S = 2 ^ ^ j = 12 u2 tanto

Problema 3 Calcule el valor de los siguientes límites a.

lim sen x rt

b.

lim s e c — - 2 x 2 'J

c.

lim *-»i

a rc sen x — 2are tan x

s e n 7 x -s e n 3 x 2 co s5 x sen 2 x h m ------------------- = hm -------------------*->o x co s3 x jt-*o x co s3 x s e n 7 x -s e n 3 x sen2x cos5x h m ------------------- = 21im lim x-*G x x->0 x co s3 x x->o cos3x .. se n 7 x -s e n 3 x „ (1 ) lim ------------------- = 2x(2)x *->o x co s3 x llj s e n 7 x -s e n 3 x lim -------------------- = 4 jt->o x co s3 x 727

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Problema 5 Evalúe el siguiente límite

.. ta n x - s e n x J .. sen 9 lim-------- =■------= 2 lim ------ ¿ *->«senx sen x

f 3 s e n 7i x - s e n 37tx E = lim ------------j---------- tan x x4 _ ..

ta n x - s e n x J lim-------- =------ = 2

Resolución De las fórmulas del arco triple

3 sen rcc-sen 3 n x = 4sen Ttx Reemplazando con E E = lim

Problema^ co tx + cot2x Calcule R = lim "í s e n 2 x - s e n x

tanx

3

x -> 0

E = lim4¡

,2 ' ,

ta n x - s e n x Um-------- ;------ = I “>0 sen x

3 sen 0 - sen 30 = 4 sen3 0 entonces

f . 3 "\ 4sen ux

Resolución Como

sen 7tx 1 tan x

x —>0

E = 4(7t) x l

sen (2 x + x ) co tx + cot2x _ s e n x sen 2x x 3x sen 2 x - s e n x 2 s e n —eos — 2 2

E = 4 ji3

co tx + cot2x s e n 2 x -s e n x

E = 4| l i m , *-*0

^ l lim ^ H

X

J *-*0

1 lim*->0coSX

X

se n 3 x 2 s e n x s e n 2 x s e n —c o s ^ 2 2

Problema 6 Calcule

lim *-*°

c o tx + cot 2x sen 2 x - s e n x

tan x - sen x sen x

Resolución cotx + cot2x se n 2 x -se n x

senx -se n x ta n x - s e n x .. r0 c *• lim -------- x= lim -* 3 sen x x-*° sen x ^eríx-f —-— lim ^ x - se n x = 1¡m------- I c o s x x-^°

sen 3x

x-*°

serdT se n 2x 2X

2sen 1-cosx 1¡m ta n x - s e n x =1¡m_ c ^ =lim _ c o ^ . v. 0 sen x. *->° sen x

ta n x - s e n x .. „ lim -------- =------ =lim 2> x-*° sen x x_>0

728

sense n x

% s e n x s e n 2 x s e n —c o s / í 2 / 2 3x sense n x se n 2 x se n — 2

Entonces, reem plazando en R, tenem os 3x senR = lim sen x sen 2x s e n — 3 2 n senR = _________2 TI 2rt 71 se n -se n — s e n 3 3 6 R=

co sx

¿ seny

1 S -— 2

X

V3 1 X — 2 2

* - !

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU LO X

Problema 8

Problema 10

se n x -se n n Halle L = lim *-»n x -n

18jc2 Calcule P lim — x-»0 1_ Vcosrcr Resolución

Resolución

18x2 (lW c o srcx ) P = lim x-*°í--Jco s jvc (í + y/cosnx)

„ , x - n i I x +n 2sen[ —— |cos| — lim Como x tiende a n, tanto la diferencia x - n tiende a cero, con lo cual escribimos sen x - s e n n x -n

L= lim x-n-*0

n

,x -n ] fx + n ------ e o s -----2 n 2 x -n

x -n -> 0

x-.0

P = lim x-,0

2sen

L= lim

_ .. 18x2(l + \/c o s 7tx) P = lim ---------------------- -

X — H

. r - n —»0

^

rtX

sen — __ 2

2

P_

91im(l + -Jcosñx) x-»0______________ . o

sen — lim ------ — X-.0 X

L= lim e o s—— — —cos(n) x -n -> 0

18x2(l W cosjix) 2 7Uf 2 sen

p = lim 9 ( l W ^ p

sen 2 J .. ( x +n —— 1 1lim L= 1lim 111L ----- *-------1111 eos -- ~ -n -» 0

1-COS7W

2

P=9

Problema 9

(l + VcosO)

9(2)

72

n_ 4

Calcule el valor del siguiente límite arc sen (x -2) lim ------ «---------x 2 - 2x

Problema 11 Si f(x) es una función tal que

Resolución El lím ite a ca lc u lar se p u e d e escribir co m o sigue arc sen (x -2) .. a rc s e n (x -2) L= lim ------ 5---------- = lim ------- ;----—t—

U-2 )—>0

x

2- 2

x

(x-2 )-> 0

x(x-2)

arc sen (x -2 ) lim — lim --------- i-----(X-2P-.0 x- 2 [(x-2)->0x_

1 + x 2 < f(x )< ta n ^ x

+^

Calcule lim f(x) x-*0 Resolución Utilizamos el teorem a de estricción, pues lim (1 + x 2) = 1 lim tan x + - | = 1

x->o

.L= 2

^

4,

entonces lim f (x ) = 1 x-*0

729

Lumbreras Editores

Trigonometría

Problema 12 2 ' r 2 -Jm + c o ~s 'x" -V m + cos"a . , . - Vrr — ■ Halle lina---------------------------------- , en térm inos de las constantes m y a. se n a-sen x Resolución Vm + eos2x - Vm + eos2a (Vm + cos2x ■ V m T cos^a) (Vrñ + cos2x + Vm + eos2a ) lina-------------------------- ------- = lim (sena -señar) • sena - sen * (Vm + eos2x + Vm + eos2a ) (m + eos2x ) - (m + eos2a) A = Hm — ---------- _ ----------— *_>a(s e n a -s e n x )(V m + cos‘ x + Vm + cos a j 2 2 eos x - c o s a A= lim J~*a (se n a - senx)(V m + eos2x + Vm + cos‘ a ) P ero e o s 2 x

- e o s 2a = (l - s e n 2* ) - ( l - s e n 2 a ) = s e n 2a - s e n 2* = ( s e n a + s e r u r ) ( s e n a - s e n x ) (sen a + sen x ) ( ¿ s a a ^ S e n x ) A= lim ----------------------- _ (¿en0 xVcsc2x - c o t 2x

Pero CSC2X-C0t2X= 1 (por identidades fundamentales) (are sen 3x) Vtanx

hm-----? X -.0*

X V c S C X - C O tX

(aresen 3x) Vtan x esc x + tan xcot x

j_ ,o *

X

(arcsen3x)Vlanx - lim ------------- lim V secx + l lim .--------------x-*0' x V cscx -co tx .. (arcsen3x)Vtanx lim x V cscx-cotx .. "(arcsen3x)Vtanx _ lim ----- 7 ..... ...... = 3 n/2 x-,0' x V cscx-cotx

mo *

730

..

(arcsen 3 x )V secx + l

= lim --------------------------------------------- = lim ------------------------ —

Vsec0+1

x -» 0 *

x

C A P ÍTU L O X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

Problema 14

Problema 15

De la figura adjunta, calcule l i m ^ —

l- c o s ( s e n 4 x ) Calcule lim x~'° sen (sen3x) Resolución Sea

Resolución En la figura, hacem os que CE=a, entonces por resolución d e triángulos rectángulos, tenem os

¡( sen 4 x 2sen' , .. l-c o s ( s e n 4 x ) L = lim ------—---------—= lim *-*° sen (sen 3x) *-*° sen (sen 3x) 's e n 4 jr '" 1 sen L = lim2 x ->0 sen (sen 3x) sen

, sen 4 x

( se n 4 x ) 2 L = 21im x-+0 se n (se n 3 x ) (sen 3 x )

( se n 4 x 'j [ T J (sen3x)

Com o x tiende a cero, entonces s e n ^x y sen3x 2 tam bién tienden a cero, por lo tanto escribimos sen • En el A BEC : BE= a tan a • En el ¿3BAE : AB= a tan a sen a • En el ¿3CDE: C D = a c o s a Entonces CD -A B .. a c o s a - a t a n a s e n a lim — —— = lima-*0CE-BE a-*0 a -a ta n a sen a cosa.. CD-AB cosa lim ----— — = lim se n a a-»o CE —BE 1cosa

lim

sen 4*-*0

L=2

, sen 4 * 1

l2

sen 4 x

se n 4 x _2_ „ ,- x -1.. l i m --------sen (sen 3x) 2*->o sen 3 x lim ,(sen3x) o \ xníx-^o

1 1 4 L= 2 - x - x - ’ =* 9 .1 2 3

L=. 9

Problema 16

(c o sa + s e n a ) (c o s a - s e n a ) .. CD -A B lim ----------- = lim --------------- £ 3 ^ -------------co sa-sen a a->o CE - BE a-»o cosa

|x + sen jc. + ¡tan jc —jc| Calcule lim x-*Q Itan jc¡

lim — —A®. = i¡m (co sa + se n a) a->o CE —BE ó-*o .. CD -A B n lim -----------= cosO + senO CE —BE

Resolución Prim ero ca lc u larem o s el lím ite cu a n d o x se aproxim a a cero, a través de valores positivos, es

..

CD-AB CE - BE

lim ------------ = 1 “ -*0

x + sen2x + lta n x - x | decir lim ---------- ¡—i— -----------x-»o|tanjrj

731

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Como para todo x > 0, próximo a cero se verifica que |x + sen2xj = x + sen 2x ;jta n x - x | = t a n x - x (ver figura 10.19) y ¡tan x\ = tan x

Vxe

se cum PÍe M > sen 2x = > -x > sen x

.-. 0 > x + sen 2x y ta n x < x = > ta n x - x < 0 Entonces V x e ( 0 ;- | se cum ple tanx> x B = lim x-»0~

x + sen 2 x! + Itan x - xl Itanxl

B = lim x->0"

- x - s e n 2x + (-ta n x + x) - ta n x

Entonces x + sen x\ + Itan x - x \ A = lim ■ tan x X~»Cf A = lim

JC-tO*

A = lim x -,0 '

x + sen x + t a n x - x tanx sen x + tanx tanx

A = lim (se n x c o sx + 1) x-*0" A = sen 0 co s0 + l = l Ahora, para x negativo próximo a cero, tenem os x + sen2 x| + Itan x - xl lim -— tan x x-*0‘ com o para todo xo' B= 1 Com o los lím ites laterales A y B son iguales entonces , x + sen x + 't a n x - x limx -a |tanx| existe y es igual a 1

Problema 17 Calcule

lim xsen!

Resolución

x + sen 2x = - x - sen2x |ta n x - x | = - ta n x + x ... (ver figura 10.20) 732

lim x se n — |= lim lx ,

2 x

x2

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ITU LO X

se tie n e

5 ,

escribimos

—

=>o> e n to n c e s

sen lim x se n — ¡= lim 2m --+ 0

(2

1

— ±2

Calcule lim (cosx)*

)

x -* 0

^ X2

Resolución Sea

X ( 2 \

sen

—

1

1

L=lim(cosx)x = lim (l+ cosx-l)x

2 lim u

Problema 19

X

x-iO

x-*0

X

Como x —>0 , entonces (eos x -1 ) -> 0 . entonces iim x se n | —J = 2 x 1

1

L=

cosx-1

lim (1 + cosx-1)™**-* *

cosx-l->0

lim xsenj — j = 2 L= |

lim

l cosx~l-+0

(1 + c o sx —1)cosx-i '" J

*

rodlema18 Calcule lim

-2sen —

x a r c ta n x - s e n x

Resolución .. x a r c ta n x - s e n x .. , se n x lim -----------------------= lim a r c ta n x x x a r c ta n x - s e n x .. . * .. se n x lim -----------------------= lim arelan x - lim lim

x a r c ta n x - s e n x

* 2

La gráfi :os d e y= arctanx

a

y=

sen—

l i m ----------- - 2 lim ----------------- 2- lim s e n -

L — g r~*°

sen *

A.

0=* 2

se observan en las figuras 10.21 (a) y 10.21 Cb)

x

- g

x-*o

x

x—o

2

-2 x -x 0

= g

¿

L=1

L = e° =1

Problema 20 l+ 2 se n 2 x Calcule lim *->oLl-2sen2x. Resolución Sea l+ 2 se n 2 x L = lim *->o|_l-2sen2x L = lim

x-»0

(a)

l+ 2 se n 2 x -1 + 1 l- 2 s e n 2 x

4sen 2 x L = lim - +1 x-»oLl-2sen2x Como x -+ 0 , entonces tanto escribimos

4 sen 2 x l- 2 s e n 2 x

qt

por [Q

4sen2x t 2sen2x >r-»oO-2sen2x)sen3x

4sen2jc \4sen2x L= lim 1+ 4sen2* ,01. l- 2 s e n 2 x j ,1 - 2 sen 2 x

(b )

Figura 10.21

0

........

.....

x-*osen 3x x - . o l - 2 s e n 2x _ ^

. 2,

4 x -x l 3

L= e3 733

Lumbreras Editores

Trigonom etría

N O C IÓ N IN TU ITIV A DE LA D ER IV AD A DE U N A FU N C IÓ N La Derivada se define como un límite, y se usa al principio para calcular las tasas de variación y las pendientes de las tangentes a curvas. El estudio de las derivadas se llama cálculo diferencial y una aplicación matemática de las derivadas es obtener la gráfica de funciones, obtener los valores extremos (máximos y mínimos) de las mismas y extenderlo en el análisis de diversos fen ó m en o s físicos, químicos, etc. Bar ello tiene muchas aplicaciones en los diversos campos de la ciencia, por ejemplo, en Física, para hallar la velocidad, aceleración y analizar el comportamiento de una partícula; en Economía, para estudiar el ingreso, costo y utilidad marginal, que son conceptos importantes en el análisis económico, y así podemos citar diversas aplicaciones. Muchos problemas de cálculo d ependen de la determ inación de la recta tangente a una curva dada en un punto específico de la misma, por ello iniciamos el estudio de la derivada analizando dicho problema. La Recta Tangente y la Derivada Examinemos una curva continua rf en el plano (figura 10.22 (a)). Supongamos que A es un p u n to fijo de dicha curva y A' es otro punto tam bién en :€ . La recta S es denom inada secante de la curva W . Ahora, com encem os a desplazar el punto A' por íf aproximándolo a A. en este ca so la secante S girará resp e cto a A (figura 10.22(b)). Transformándose en ia recta T(figura 10.22(c)) a la cual se le denom ina recta tangente a la curva W en el punto A.

f

Figura 10.22 Ahora, su p o n g am o s que la curva ÍF es la gráfica de un a función continua y=f(x) (figura 10.23(a)) y A (x;í(x)) un p unto fijo d e dicha curva, d o n d e x p e rte n e c e al intervalo abierto 1. Ahora, elijam os un n ú m ero p eq u eñ o h* Ó tal que (x + h ) e l , en to n ce s el punto C (x+h; f(x+ h )) p e rte n e c e a la gráfica de f. La secan te S que p asa p o r A y C, forma con la dirección positiva del eje de las abscisas un ángulo p Cuya tangente es igual a: f(x + h ) - f ( x ) tanP = h Si hacem os qu e h tienda a cero, entonces debido a la continuidad de f en el intervalo abierto I, el punto C se desplazará por & y tenderá hacia la posición de A, luego se puede apreciar que ta n a = lim tanP h^O ta n a =lim h->0

734

f(x + h ) - f ( x ) h

C A P ÍTU LO X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

Ahora bien, no siempre tal límite existe, com o por ejem plo en la función í(x) = !x-2l + le n el punto A(2;l).

Figura 1033

es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x; f(x)). A m enudo hablarem os de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f es (!r; f(x)) o sim plem ente com o la pendiente de la gráfica d e f en un determ inado valor d e x.

Pues g eo m étric am e n te, e n A ex iste u n a esquina o vértice y no es posible tener una recta tangente (T) bien definida en ese punto. (Ver figura 10.23(b))

Definición La derivada de una función f es aquella función, denotada por f c u y o valor en un número cualquiera x del , . . , r f(x + h ) - f ( x ) dominio de f esta dado por t (x ) = lim ------------------- si este límite existe. h -* 0

h

Si c es un núm ero particular en el dominio de f, ' f(c + h ) - f ( c ) entonces f ( c ) = lim —------ -— — h^O h Si este límite existe, notam os que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (c;f(c)) es precisam ente la derivada de f evaluada en c. (Véase la figura 10.24), es d e c ir : m, = f'(c) pendiente deja recta

Ejemplo Dado f(x) = 2x^+1, obtenga f'(x), y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que p asa por el punto (1;3). Resolución Hallando f'(x) f'(x ) = lim

h —>0

f(x + h ) - f ( x ) h

,_ [ 2 ( x + h)2 + l ] - [ 2 x 2 + l] f'(x ) = lim h-»0 ....... h^ 2'+ 4xh+2h2+ Í - ^ - f h^O .. 4xh + 2h2 f 'W = lim -----------h->0 h 735

Lumbreras Editores f'O ) = lim (4x + 2h)

Trigonom etría

______ _________ Teorem a _______ _______

f 'M = 4x+2x0 f'(x) = 4x Hallando la pendiente de la recta tangente m T = f '( l) = 4 x l = 4 • Por la ecuación de una recta, tenernos

y->0 = mT0 - x 0) donde podem os considerar que (xD¡ y j = (1 i 3), entonces y-3 = 4 (x -l), y = 4 x -1 (La ilustración de este ejemplo la tenem os en la figura 10.25)

Si una función f es diferenciable en c, entonces f es continua en c

Así por ejemplo f(x)= senx es continua en n /2 , puesto que

- 2 s e n 2^ co sh -1 = lim = lim ---------- — h-»0 ~ h h-»0 h

Q u e d a p a ra u ste d reso lv e r el sig u ien te ejem plo en forma idéntica. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida por f(jc)=x2+2, en el punto P (l;b) A jo que debe encontrar y - 2x -1 = 0

Al proceso de determinar la derivada se le llama diferenciación (o derivación). Por tanto, esta operación consiste en deducir una función f’ a partir de una función f. Si una función tiene derivada en c, se dice que dicha función es diferenciable (o derivable) en c. Es decir, la función f es diferenciable en c si f'(c) existe. Para evitar confusiones posteriores, aclaramos que Diferenciar es lo mismo que derivar. Diferenciación es lo mismo que derivación. Diferenciable es lo mismo que derivable.

736

„ h h -2 sen -x sen — 2 2 = lim h->0 h

h sen — 2 ■{? |1= lim h-»0 h I 2, 2

lim s e n —= -(l)x (0 )= 0 h-*0 2

Como f'(tt/2 ) existe, entonces f(x )= sen x es diferenciable o derivable en

tc/ 2

por lo tanto, f es co n tin u a en n /2 .

ii. \ «oto ~

■

_

La función f(x) = senx, es continua V x e R

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ITU LO X

Teorema I. f(x) = c, e n to n c e s f’(x) = 0 ; (p a ra todo c c o n sta n te ) II. f(x) = y , e n to n c e s f'(x ) = n x n_l; V n racional III. f(x) = cg(x), e n to n c e s f'(x) = cg '(x ) (p a ra to d o c c o n sta n te ) IV. h(x) = f(x )+ g (x ), e n to n c e s h'(x) = f'(x )+ g '(x ) V. h(x) = f(x) g(x), e n to n c e s h '(x ) = f'(x )g (x )+ f(x )g '(x ) VT. h(x) = - y 4 , e n to n c e s h ( x ) = * M g W

SW

g2(x)

— ; si g(x)

A p lic a c io n e s d e l te o r e m a a n te rio r

Para V

Para I

•

•

Si f(x) = 2,

e n to n c e s f ( x ) = 0

•

Si f(x) = —7i , e n to n c e s f ( x ) = 0

*0

Si h (x ) = (x 2- 2 x + 3 ) ( x - l ) . e n to n c e s

h'(x) = (x2-2 x + 3 )'(x -l)+ (x 2-2 x + 3 )(x -l)' h'(x) = (2x-2+0) ( x - 1) + (x2-2 x + 3) (1-0)

Para II

h'(x)= 2 (x -l)(x -l) + (x2-2 x + 3 )(l)

•

Si f(x) = x 2, e n to n c e s f’(x )= 2 x

•

Si f(x) = x '3, e n to n c e s f '( x ) = - 3 x _1

h'(x)= 2 (x -l)2+ x 2-2 x + 3 h'(x)= Sx^-ñx + 5

•

Si f(x)

= — =x \

P ara VI

X

e n to n c e s f (jc) = - x~ 2 ó •

Si f(x)

•

f’(jc) = — \

x~ + 1

Si h ( x ) = ^

X

X

= -fx = x ,/2t h '( x )

( x 2 + 1) ( x 3 - l ) - ( x 2 -t-l)(x 3 - l ) '

=—-

(x 3 - l f

e n to n c e s f '( x ) = -gx ' 1 2 ó f '(x ) = —7= 2 2v x h '(x )

=

H

x - 2 x +1

P ara III •

Si f(x) = 2 x 4, e n to n c e s f ( x ) = 2(x 4)'= 2 x 4 x 3= 8 x 3

•

Si f(x)

- 2 x 4 - ■2 x - 3 x 4 - 3 x 2 h '(x ) = —— - 2x 3 + 1

= - v 2 4r = - \¡ 2 x 2 x

h '(x )

e n to n c e s f'(x ) = -y /2 ( x “2 )• = - J 2 ( - 2 x ~3 ) = 2\Í2x~3 =

-

x - 2x 3 + l

Observatióñ

~

La derivada de y = f(x ) la h e m o s d e n o ta d o co m o

Para IV •

, e n to n c e s

f '(x) q u e viene a ser la derivada d e f con respecto a

Si f(x) = x 4+ r 3

x. Sin em bargo, existen otras notaciones p a ra f’(x).

e n to n c e s f ( x ) = ( x 4) '+ ( x 3)' = 4 x 3 + 3 x 2 L as Si f(x) = 2 x 3 + 3\¡x n ‘-

— ‘ = 2 x 5 + 3 x ’ 2 - 7x~ x

e n to n c e s f'(x ) = (2x5)’+ ( 3 x ! 2) '- (7x_1)' = 1Ox4 +

s i g u ie n t e s

n o ta c io n e s :

— dx

; Drf(x )

significan lo m ism o q u e f '(x). Así p o r ejem plo si f(x)= 2x 3+ 3, en to n c e s f'(x )= 6x 2 ó — = 6 x 2 ó Dr f(x ) = 6 x 2 dx

737

Lumbreras Editores

Trigonometría

DER IVADAS DE LAS FU N C IO N E S TR IG O N O M E TR IC A S En los siguientes teoremas, se han considerado que los ángulos están medidos en radianes. Teorema

(h sen — >f'(*) = -lim sen! x + — lim ,Ü h-»o .1 2 1h—o n => f'(x) = -sen (x + 0 )x 1

La derivada de la función seno es el coseno. Es decir (senx)'=cosx

/. F (x) = - s e n x (Esto es lo que se buscaba demostrar) ¡J^

Demostración Sea f(x)=senx, entonces se buscará dem ostrar que f'(x)=cosx, por definición tenem os que:

f'(x ) = lim h-»0

f(x + h) - f(x) _ .im h h->o

E jzt '¿Z 1! 'h w w-

o f h) ( h 2sen - eos x + l 2j l 2 h

La derivada de la función tangente es la función secante elevada al cuadrado, es decir: d (tanx) = sec x dx

Dado que x se m antiene constante cuando h se aproxim a a cero, tenem os f '(x ) = 1x cos(x + 0 ) = eos x f ’( x ) = COSX (esto es lo que se buscaba dem ostrar)

Teorema

J

La derivada de la función coseno es el opuesto de la función seno, es decir: (cosx)' = - senx Demostración Sea f(x)=cosx, entonces se buscará dem ostrar que P(x)=-senx, por definición tenem os que: cos(x + h ) - c o s x

h-»0

- 2 sen| x + ^ 'j se n | ^ f'(x ) = lim h->0 738

h

En lo que sigue de este capítulo, para un mejor entendimiento de la regla de la cadena y derivadas de orden superior, utilizarem os la notación introducida porLeibniz para la derivada de f que dy es dx ’ Teorema

(Por transformaciones trigonométricas) í h) sen — , f '(•*■)= lim — l i m cosí x + — h->0 h h->0 I 2

f'(x ) = lim

Nota

.

Demostración Sea f(x)= tanx, entonces se buscará demostrar que f'(x)= see 2x; por definición tenem os que: f ’(x)= -7 - (tanx) f'(x)= * d ftanx)= d í senx ¡ dx dx\ cosx J Del teorem a V, tenem os — (sen x) eos x - sen x — (eos x) d . , dx dx — (tanx) = — — —----------- ó---------------------dx eos x d , , co sx co sx -sen x (-sen x ) — (tanx) = ---------------- —-------- ------dx eos x d , . cos2x + se n 2x — (tdnx j = o dx c o s 'x

dx

(tanx) = sec2x

1 2 eos x

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU LO X

En forma análoga, se dem uestra el siguiente teorem a

Teorema_______________ La derivada de la función cotangente es el opuesto de la función cosecante elevado al cuadrado, es decir

La derivada de la función secante es el producto de las funciones secante y tangente.

— (secx) = secx tan x dx D em ostración d(l) , d , , - ^ ^ c o s x - l — (cosx) d x _______ d x ______ — (secx) = -í-! —-— | = cos2x dx dx! co sx ,! _ O x c o s x - lx ( - s e n x ) _

se n x

cos2x

eos x eos X

senx

= -------x ------- = s e c x ta n x eos x eos x En forma análoga, se dem uestra el siguiente teorem a

Teorema

Resolución Primero hallarem os f'(x), aplicando teorem as de diferenciación f ’(x) = ( x ) ' sen x + x(sen x )' = sen x + x eos x

_ .,( n ) 6 + rt\/3 ' l 6 j_ 12

Teorema

J________

para f(x)=xsenx

Veamos ahora qué valor tom a f ’ en ^ es b 7t 7t 7t 1 n%/3 r f í U sen - + - eos - = - + ----6 6 6 2 12 16 )

— (cot x) = - esc2 x dx

1

Ejem plo 1

_____________

La derivada de la función cosecante es el opuesto del producto d e j a s funciones cosecante y cotangente, es decir: — (esex) = -c s c x c o tx dx

Ejem plo 2 secx ) Halle — í d x ^ c o tx J Resolución Por el te o re m a VI, d ad o en los te o re m a s de diferenciación tenem os , , . — (s e c x )c o tx -s e c x -(c o tx ) d j se c x j _ d x _________________ dx______ d x ^ c o tx J cot2x d f secx) d x ^ c o tx J

s e c x ta n x c o tx - s e c x ( - c s c 2x ) co t2x

d f secx ) d x ^ c o tx j

s e c x + se c x esc2 x co t2x

± ( s e c x ) = l ^ L ( 1+ CSc2x) d x ^ c o tx J cot x E jem plo 3 Halle una ecuación para la recta tangente a lá , , 2n curva y = cosx en el punto x = — Resolución „ . 2tc Dado q u e eos —

3

A continuación se plantean y resuelven algunos ejemplo ilustrativos.

punto de tangencia es

( 3 ’ 2j" 739

Lumbreras Editores

Trigonometría

Para hallar la pendiente de la recta tangente, hallam os la derivada — = - s e n x d.v Y la evaluamos en x = — , obteniendo 3 2n _ _V¡3 m = -sen 3 2 que es la pendiente de la recta tangente, cuya ecuación puede escribirse como V3

2n

_ „ e „ „ „ i esta 6 y + 3 \ 3.v - 2v37t + 3 = 0 í 1 de

es la ecuación la recta tangente

A m a n e ra d e resum en, las d eriv ad as d e las fu n c io n e s trig o n o m é tric a s e le m e n ta le s se presentan en el siguiente cuadro f(x) seav cosx tanx cotx secx

f(x) eos* - sen* sec2x -

C SC*

Observación ^ i-...i' 1- --

_

C S C 2*

secxtanx - cscxcotx

.

Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en g(x), la composición (f o g) es diferenciable en x, y se verifica: (f°g )'(x ) = f (g (x ))g '(x ) Notación de Leibniz para la Regla de la Cadena Cuando

y=f(t), donde t = g (x ), entonces y = f (g(x)) y = (f o g ) ( » cuya derivada con respecto de x es ^ = (f ° g )'U )= f ’(g W ) S 'W = f ’tO g'(x) dx

7

¡ dy _ dy dt ^dx dt dx .

740

dy _ dy d t d x j ds . dt d x ds i Y si adem ás, s depende de u, entonces "O 1 i

i

2k '¡ ' 3 r

Se lee: “La derivada de y respecto d e x es igual a la derivada de y respecto a t multiplicado por la derivada de t respecto a x ”. La fórmula anterior puede extenderse fácilmente a m ás variables: Por ejemplo, si x es tam bién una función que depende de s, tendrem os que

dt d x ds ! dy du dt d* ds du Y así sucesivamente. Cada nueva dependencia añ ad e un nuevo eslabón a la cadena. £ je m p lo Halle 4^-; para y = 3 s e n t; t= x 2 + x+2 dx Resolución — = 3cost ; — = 2x + l dt dx Luego ^d x = Tu dt d x = (3 cost^ 2x + 0 C o m o t= x 2 + x+ 2 tenem os — = 3(co s(x 2 + x + 2))(2x +1) dx — = ( 6 x + 3 )co s(x 2 + x + 2) dx .-. — = ( 6 x + 3)cos(x 2 + x + 2) dx Los te o re m a s q u e a c o n tin u a c ió n plantearem os, son deducidos a partir de la regla de la cadena.

Teorema Si f es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, tenemos que ¿ [f(u )] =A [f ( u )] £

C A P ITU LO X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

Del ejemplo anterior, tenem os y=3sen(x2+ x + 2), entonces dy dx

— (cos7x) = -se n 7 x -^ -(7 x ) dx dx

d r„ 3 se n (x 2 + x + 2)j d x !-

dx

^ = 3 .— | se n (x 2 + x + 2)l d.v dxL J

— (cot 7ZX) = -CSC2Ttx — (jtx) dx dx

dv => —— = 3 c o s (x 2 + x + 2 )x — (. dx d.v dv => —- = 3 co s(x 2 + x + 2)x(2xd.v dy = (6x + 3 )co s(x 2 + x + 2) d.v R egla de la C a d e n a T rigon om étricas

(cos7x) = -sen 7 x (7 ) = -7 sen 7 x

=> — (cot rtx) = - e s c 2 nx(n) = - n c s c 2 itx dx — [secf.v3+ 2! = sec(x3 +2)tan(x3+ 2)— (x3+ 2) dx dx — fsec(x3 +2)] = sec(x3 + 2)tan(x3 + 2)(3x2) dx

y — [s e c (x 3 +2)] = 3x2sec(x 3 + 2 )tan (x 3 + 2) dx

Si f es una función diferenciadle de u y u es una función diferenciadle de x, h em os visto en el

Ejemplo teorem a que — [f(u)] = ——[f(u)]— M d.v du dx

Si y = se n 2¡ 2 x - í

Utilizando este teorema, las derivadas d e las seis funciones trigonométricas se expresan de la siguiente m anera d' . du — (sen u ) = cosu — dx . dx

dy n halle á x en x = Resolución

d , . du — (eos u) = - s e n u — dx dx

Sea u = 2 x - í ; s= sen u , entonces y = s2 ,

d , . 2 du (tanu) = sec u — dx dx

du dx

— (cot u) = - e s c 2 u dx dx

p ara aplicar la regla d e la cad en a, h allam o s

I

Ejem plos d — (sen2x) = co s2 x ~ —Xdx ' dx

dx

(sen2x) = cos2x(2) = 2cos2x

dy ds

„

En x = — tenem os u = - — y 12 12 3

— (sec u) = se cu tan u — dx dx d , . * , du ——(csc u j = - c s c u c o t u i -dx dx i

ds du

s = sen

Kj J 12

\Í2 -yf6

es decir du dx

ds du

(

n\ 12

V2 +V 6 4

d.v _ 2 (V2 - V 6 ) _ v/2 - > / 6 ds 4 2 741

Lumbreras Editores

Trigonometría

Por lo tanto dy _ dy ds du d x ds du d x

V2 —*^6 V2 +V6 2 4

^

dy _ d ( 1 1 -sen 4 x dx dxl 2 2

j

dy dx dx

•• f _ dx________ _________________ dx_________

d*2

Resolución d / 2) — (arese n x 1= dx

1 dy = _ 1 2 ’ dx 5

Resolución dy _ dx

— (are senx2) dx

1

Halle d y : si y=arccot(seav) dx2

1 dp I — (arccsc^i) = - ----(p 2 _ ld x l.u|V

Halle

i( x 2)

1

2 dx

2x

(l +sen2x)2

d 2y _ se n x (l + se n 2x ) + co sx (0 + 2 se n x c o sx )

fcüí

d (arese / — n x A) -~ dx

■

(l + sen 2x)

d 2y _ se n x + sen3x + 2 se n x co s2x (l + se n 2x)

Ejemplo 2

d 2y _ sen x + sen 3 x + 2 s e n x ( l- s e n x)

Si

dx‘

(l + sen 2x)

( x +1 y = arcc° s | —

d2y _ 3 s e n x - s e n 3x Calcule dy/dv para x = 1/2 746

1

dy _ 1_____ dx lx + 2¡ J2x + 3

1 — (arctanu) = —í- y — dx\ ' i + p2 dx

Ejemplo 1

\x +2\

yj2x +3 (x + 2)2

dx

(l + sen 2x)

C A P ITU L O X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

La Diferencial

En la figura 10.27 está representada la gráfica d e una función f y, debajo de ella, la gráfica de la recta tangente en el punto (x; f(x)). Como se observa en la figura, para h pequeño, se puede aproximar f(x + h ) -f ( x ) = h ta n a , pero ta n a = f '( x ) , entonces f(x + h ) - f ( x ) = hf'(x)

Definición La diferencia f(x+h)-f(x) recibe el nombre de incremento de f d esd e x a x + h , y se denota Af Af = f ( x + h ) - f ( x ) El producto f'(x )h se denomina diferencial en x con incremento h, y se denota d f. df = f ’(x)h Usualmente, a h se le denota por Ax , entonces Af = f (x + A x ) - f ( x ) d f = f'(x)Ax La figura nos dice que para h pequeño, Af y df son aproximadamente iguales Af = df

Del gráfico anterior, cuanto m ás cercano esté el punto Q del punto P, la diferencia entre Ay y dy será m enor o tiende a cero, es decir Ay - dy = 0 Entonces f(x + A x )-f(x )-f'(x )A x = 0

Por lo tanto | f (x + Ax) = f(x) + f'(x)Ax j Esta relación es la llamada propiedad de aproxim ación del valor de una función por diferenciales.

747

Lumbréras Editores

Trigonom etría

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Calcule el valor aproximado de VÍ46 , m ediante diferenciales

Calcule el valor aproxim ado d e sen 46°.

Resolución

Resolución

Si f(x)=seav, entonces f'(x ) = cosx Ya conocem os

Sea f(x) = Vx entonces f'(x) = — 2v x

f (x + Ax) = f(x) + f'(x)A x sen(x + Ax) = sen x + eos x Ax

Como f(x + Ax) = f(x) + f'(x)Ax

A Ax = 1° = Resolviendo x = 4 5 ° = 180 4 Entonces n n n s e n - + c o s - x ---sen 4 1,80 4 4 180

Entonces J x + Ax = Vx + —¡=Ax 2Vx Haciendo

jc=

144 y Ax = 2 tenem os

, . - Q 10\ s'2 \ 2 ^ sen(4a0+l°) = — + — x — v ' 2 2 180

Vi 44+ 2 = x/Í44 + —J = x 2 2V144

sen(46°) = 0,7071 + 0,7071x0,0174

VÍ46 = 12 + — = 12 + 0,083 = 12,083

sen46° =0,7194

12

El valor aproximado de VÍ46 es 12,083

El valor aproxim ado d e sen46° es 0,7194

Teoremas sobre las Funciones Derivables

Teorema de Rolle Sea f una función tal que I. Sea continua en el intervalo cerrado (a;bl II. Sea diferenciable en el intervalo abierto (a;b) III. f(a)=f(b) Entonces, existe al menos un número c, en el intervalo abierto (a;b) tal que f'(c)= 0 La interpretación geom étrica de este teorem a lo tenem os en el siguiente gráfico.

Se observa que la derivada en c ¡. c2 . c3 es cero.

748

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU LO X

Definición Si c es un núm ero de! dominio de la función f y si f '(c )= 0 o f '(c) no existe, entonces c es un punto crítico de f.

Ejemplo Halle los puntos críticos de la siguiente función g(x) = sen2* Resolución Como g'(x) = 2sen*(senx)' = 2seavcos* = sen2* Para hallar los puntos críticos de g hacem os

g 'M = 0 sen2x = 0 2* = kit => * = — ; k e Z 2 Por lo tanto, los puntos críticos de g son todos los * = — donde k es cualquier núm ero entero.

T e o r e m a

_______________________________

Teorema del valor medio (Teorema de Lagrange) Sea f uña función tal que I. Sea continua en el intervalo cerrado [a;b| II. Sea diferenciable en el intérnalo abierto (a;b) Entonces, existe por lo menos un número c en el intervalo abierto (a;b) tal que f ‘(c) = -----------' b -a En la figura 10.29, tenem os la interpretación geom étrica de este teorema.

De la figura anterior tan a =

b -a

^ = f '(c)

De aquí se afirma que existe algún punto en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por A y B.

749

Lumbreras Editores

Trigonom etría

Ejemplo 1 Calcule el valor c que satisfaga el teorem a del valor m edio para los valores de a y b indicados.

b = 5= *g(b)= g! | ¿ \¿ • g (b )= co s-

f(x) = s e n x ; a = 0 ;

g(b)=0

Resolución El c buscado debe satisfacer f (b ) -f ( a ) f ’(c) = b -a

Reemplazando (2) y (3 ), Así como los valores d e a y b en (1), obtenemos

Pero

f'(x ) = c o s x , f(b) = f j ^ |=1

...(3)

y

g'(c) =

0 -1 5 -0

f(a) = f(0) = 0 => -sen e = — n

„ 1 -0 2 entonces cose = —— => co se - — 71 ?-0 /. c = árceos

ya que c e

>sene = De donde

•»í c= arcsen

Usando calculadora, se tiene c=0,88 Ejemplo 2 Halle el valor de c que satisfaga el teorem a de valor m edio p y a los siguientes valores de a y b indicados a continuación

porque c e o; Si pudiésem os h a c e r uso d e un a calculadora, veríamos que

, „ n g(x)=cosx; a= 0; b = - ■ Resolución El valor d e c que se b usca d eb e satisfacer la siguiente condición. g (b )-g (a ) g 'W = b -a Pero com o g(x)=cosjr => g'(x) = -sen x A dem ás a=0=> g(a)=g(0) g(a)=cos0 g (a )= l ...(2) 750

a r c s e n ^ - j = 0,69 el valor de c sería 0,69 Intente Ud, el cálculo del valor d e c que satisfaga el teorema del valor m edio para los siguientes casos 1.

f(jr)=senx+cosx ; a = — ; b = 0 4

11. g(x)=cos2x ; a = 0; b = 111. h(x)= tam ; a = 0 ; b = 3

CAPÍTULO X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

Regla d e L'H ospitai

Ejemplo 2

Se aplica para calcular los límites de la forma o °° ~u ; ©o estas se llam an indeterminadas.

Calcule

lim

x->0

sen 5 x 2x

R esolución Aquí tenem os la indeterm inación —

f(x) f 'W lim x->a gU ) = lim_g .r (x)^

lim

x~*a

f"00

g"M

Derivando separadam ente las funciones f(x) y g(x) h asta q u e el lím ite de la fracción s e a determ inada. Ejemplo I Calcule el siguiente límite lim — x-+o tanx

Aplicando la regla de L’Hospitai lim jr->0

sen5x (sen5x)' = lim x-*0 (2x)' 2x

5cos5x lim x—0

5 co s0 _ 5 2 ~2

2 ~

lim x-,0

sen5 x 2x

5 2

Ejemplo 3 Calcule lim

x - arctan x

*->0

Resolución Evaluando para x = 0

R esolución .

lim = —; (forma indeterm inada) *-*otanx 0 . Aplicando la regla de L’Hospitai .. a: (x )’ lim — = lim -------— x->o tanx *-»o (tanx) ’ = lim ---- 5*-*o sec x evaluando

*->o tanx

x - arctan x lim -------- x------ = lim x-»0 x-,0 X lim

x - are tan x

x-»0

1 1+ x 2 3x2

y

=- lim 3 x^ 0X2O + x ¿)

l 3

Ejemplo 4 e x —e -x —2x Halle lim - — ----- — x-*o x - s e n x

secO

1

.-.lim— = 1 *->0 tanx i

0 Forma de indeterm inación - , por L' Hospital

Observación Además las formas 0 . 00 ; oo—oo ; 0o ; °°0 ó 1°°

Forma de indeterm inación jj .. e x - e ' x - 2 x ( e * - e ~ * - 2 x )' lim ---------------- = lim -------------------x->o x - s e n x *->o ( x - s e n x ) ' e* - e * - 2 x e* + e"x - 2 lim ---------------- = lim —------------.v—>0

x-sen x

x->o 1 - c o s x

sigue presentándose la indeterm inación

O Io

0 pueden ser transformadas a las formas 0 °°

Resolución

751

Lumbreras Editores e v - e~v - 2x (e1 + e~‘ -2) = lim lim >—o (1 -cosx)' Por L'Hospital x— *0 x - s e n x lim x- >0

e* -e ~ x - 2 x e v -e~* = lim x-rO se n x x -sen x

0 evaluando se tiene 0 ( e x - e x )' e* - e ~ r - 2 x = lim Por L’Hospital x- >0 (senx)' x -sen x

lim x-0

e x - e ' x - 2 x = lim e* +e~x x- »0 cosx x -sen x

lim

x-0

Trigonometría Resolución Como f(x) = se n x =s f (x) = c o s x Cálculo de la pendiente de la recta tangente = cos

it 6

s 2

Para el ejercicio tenem os

Como la ecuación de la recta tangente se halla por y - f ( x 0) = m ( x - x 0)

lim ---— *-*o cosO Por lo tanto la ecuación de la recta tangente será 9 T: 6V3x - 1 2 > + 6 - V 3

* -0

x -sen x

Aplicaciones de la Prim era y Segunda Derivada P e n d ie n te d e la re c ta tangente a la g r á ñ c a d e u n a fu n ció n . Con la derivada de una función,

m = f (x 0) En consecuencia, la ecuación de la recta 9’ será > -f(x o ) = f ’(x0)(x-X o) y la ecuación de la recta normal a 9 en el punto (x0;f(x0)) será y - f ( x 0) = - —i - ( x - x 0) 1 l*o)

Ejemplo

Halle la ecuación de la recta tangente y norm al a la g ráfica d e la fu n ció n f cu y a re g la d e c o rre sp o n d e n c ia es f(x )= se n x e n el p u n to

752

= 0

Hallando la ecuación de la recta norm al

( 9 N)

a

, f rt i 9 T en el punto g 0 . De m anera análoga, es razonable suponer que f sea decreciente en el intervalo donde f'0 para a< x< b y f es estrictamente decreciente en (a;b) si f'(x)0; y “cóncava hacia abajo” en cualquier intervalo 1donde f " (x)0)

Figura 10.37

P u n to s d e Inflexión En la figura 10.38 en el punto A y B la concavidad cam bia de sentido.

A estos tipos de puntos (A y B) se les denom ina puntos de inflexión. Como los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cam bia de sentido, debe suceder que en ellos f cam bia de signo. Así, para localizar posibles puntos de inflexión necesitam os sólo determ inar los x en que f "(x)=0 o en lo que f " no está definida. Esto es análogo al procedim iento de localización de extremos relativos de f. 757

Lumbreras Editores

Trigonometría 2do.

Teorema

• Puntos dé inflexión Si (c;f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces es f"(c) = 0 o f "(x) no está definida para x=c.

Hallando los puntos de inflexión com o f'(x)= co sx + sen 2 x derivando f "(x)= - senx+2cos2x hacem os f" (*)=0

Ejemplo G rafiq u e

la

función

f

cuya

re g la

de

es decir - senx+2cos2x = O

correspondencia es f(x) = s e n x - ^ c o s 2 x para

- se n x + 2 (l-2 se n 2x) = O

x e (0;rr)

- senx+2 - 4sen2x = O 4sen*x+senx-2 = O

Resolución Para graficar esta función, se sugiere seguir los pasos siguientes: 1. 2. 3.

4.

Halle los puntos críticos, para ello se resuelve f'(x )= 0 Halle los p u n to s de inflexión, p a ra ello resuelva f "(x)=0 Halle el signo de f ' y f ’’ en cada uno d e los intervalos, así com o si la función es creciente o decreciente. Con toda la información represente la gráfica de f en el sistema XY.

1ro. • Hallando los puntos críticos de f. f'(x ) = c o s x - ^ (-s e n 2 x )(2 x )' = O cosx+sen2x = O cosx+2senxcosx = O cosx(2senx+ l) = O => cosx = O v

2senx + l = 0

=> cosx = 0

senx = - 2

7i => x = — v 2

v

—1± >/l —4(4)(—2) 2(4) se n x =

-l± \/3 3 8

733-1

se n x = — -— 8

v

8

no se cum ple porque

com oxe(0;7t)

si x e (0;ti) => se n x > O

-7 3 3 -1

=>senx>0

8

-< 0

■J33 - 1 >0 8 luego de senx =

733 -1 8

se obtiene x = kji + ( - l) karcsen

733-1 8

Como x e (0 ; tt) , entonces x tomará dos valores x, = are sen

7 3 3 -1

x 2 = t i -a re s e n

758

—733 —1

sí cumple porque

7k llrt x = — ; —6 6

(Por dato x e (0 ;n ))

se n x =

o 36°22'30,7"

^ - i

143°37'29,3"

C A P ÍTU L O X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

3ro. 0

Signo de f"

X -

”T 0, entonces f(c) es un mínimo relativo. II. Si f''(c) f(x ) = ^sen2x

760

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU LO X

Calculamos los valores críticos de f Para ello ten em os que hallar la prim era derivada f (f'0c)) y resolver la siguiente ecuación f'(x )= 0 f'(x)=cos2.v = 0 => 2.í = (2k + l) ^ ; k e Z ■ 3í . 55. x = jr = (2k + l ) f ’4 ' 4 ’ 4 ” 4 Para obtener los m áxim os y mínimos relativos tenem os que hallar segunda derivada d e f(f "00) y resolver la siguiente ecuación f ”0 0 = 0 Entonces f " 0 0 = -2 se n 2 x aplicando el criterio de la segunda derivada com o sigue Valor de x

Signo de f

n x ~— 4

f"i -

3n x =— 4

f"f— j = - 2 s e n ^ = 2>0

5n x =—

r, f 5ít ' = -2 se n — = -2 < 0

,4J

= - 2 s e n í = ^2= ^ d T = d í ( m c o s 0 + d í (n) -m sent 0 f(t) = -m sen t . . . (9)

«f I - | = -m s e n -

De (2) y (4):

•nf

— + n = 4 ..(5 ) 2 Seguidam ente tendrem os que calcular f(t) f(t) = m cost+ n

Reemplazamos (11) en (5) es un valor constante

764

De (10) y (3) tenem os - y = 2=>m = -4 ...( 1 1 )

f(1) = (m c o st + n)'

f(i) = ^ < m cost) + ^

■•• n=6 2 El valor de mn será mn =-24

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU L O X

Problema 2 Una pared de a metros de altura dista b metros de un edificio! Determine el ángulo que debe formar

Aplicando teoremas de diferenciación y los teoremas de derivadas de funciones trigonométricas, tendremos

con el suelo una escalera apoyada en la pared y el edificio para que su longitud sea mínima. Resolución

UL.

,

— = -acsco.cot0 +bsec0 .tan do a continuación, igualamos a cero ^acsc0coto+bsec0 tan0 =O 1

1

«

a

b.----- tano= a - — cot 0 => tan 0 = — coso seno b la

[a

\b

\b

=> tanO=3 - => 0 = arelan 3/-

Problema3 Dada la función f definida por Del gráfico, aplicamos resolución de triángulos rectángulos AE = acsco

a

EC=bseco

Pero L = AE+EC L = acscq+bsecq ... (1)

f(.v)=2xarcsen2 x, luego de evaluar f l

, el valor

4

obtenido será: Resolución

A la función f, definida anteriormente, la expresamos como un producto de funciones gyh-

Observamos que la longitud de la escalera L depende del ángulo o . Según el problema, debemos determinar un valor de ó tal que la longitud de la escalera sea mínima; por lo tanto, debemos aplicar los criterios de máximos y mínimos de una función. Según este criterio, debemos derivar L con respecto de q ; luego, igualarlo a cero. L = acsc0+bsec0 — = — (acscq+bseco) dó d(j>

Esto es f(x)= 2 x .arcsen2x gU)

h(x)

=> f(x)=g(x).h(x)

=> f'(x) = g’(x) ,h(x) + h'(x)g(x) ...(1) pero g(x)= 2x=> g'(x) = 2 ...(2 )

0

//) h(x)=arcsen2x v,' , = — d (arcsen r o2x a 2x)- . =>hf ) . d( - i— dv dx (Regla de la cadena)

765

Lumbreras Editores

"h'(.o -

T rigonom etría

V T -(2 x ):

Resolución Dada la ecuación

'(2)

f(x)=cos4x - s e n V . . . (1) >h' M '

1

VT 4 x l

(2)

f(x) = (cos2x - sen2x )(co s2x + sen2x ) fM = -2 s e n 2 x . . . (6) ,, / ti i „ 2n 2 ii \Í3 luego f I — = -2 se n — ; pero se n — = —

=»f'í - ) = - 2 ' í ^ l

Seguidamente, hallarem os la ecuación de la recta norm al (LN), pero, p ara ello, le sugerim os que observe nuevam ente el gráfico, y verificará que (n n el punto de paso para esta recta es P[ 3 ’_ 2 > por lo que solo faltaría la pendiente de dicha recta normal, la cual se h a deno tad o por m N.

= - v/3, lo que Indica que mT= - y 3 ... (7) Cálculo de m N Recordem os el siguiente esq u em a Hasta el m om ento, se ha calculado la pendiente de la recta tangente

Ln

y el punto de paso R esto

es, de 5 y 7.

Lt

Como usted recordará, la ecuación de una recta

(b )

Figura 10.46

Lt que p asa por el punto P y tiene pendiente m T se halla de la form a siguiente , .m

L t . I T lj —

v - ordenada(p) ~ r x -a b sc isa (p )

Ln : con pendiente m N L,-: con pendiente m T se verifica m N.mT = -1 . . . (8)

Reem plazando los valores correspondientes, se tendría

De (8) r

Lt :-V 3 = x-\ -

L t : ---s/3 :

m N . m j = —1 m N C—n/3) = —1

3(2y + l)

(3x-7t)2 Luego, pára la recta norm al se tiene la pendiente

=> Lt : - 2 \ /3(3jr-7t) = 3(2y + l) => Lt : - 6 n/3 x + 2\¡3n = 6y + 3

m Ny el punto de paso P. Esto es \3

;

pÍ-

; - (3 . 2 767

Lumbreras Editores Para hallar la ecuación, plantearem os L , N

_ y - ordenada(p) ' • x -a b sc isa (p )

Reem plazando valores, se tiene

Trigonometría

Dada f(x) = se n x + -c o s 2 x Hacemos corresponder a f com o una sum a de dos funciones g y h, esto es f(x) = se n x + ^ c o s 2x f(x )= g (x ) + h(x)

...( 0

-

Donde 1 V3

3(2y +1) 2(3x - ít)

g(x)=senx h (x )= ^ co s2 x

=>Ln: 2(3x - rc) = 3V3 (2y +1) De (1) (f(x))' = (g(x) + h(x))' => Ln : 6x - 2n = 6V3y + 3^3 Finalmente, para obtener la ecuación d e la recta n o rm al LN , p asam o s todos los té rm in o s al segundo miembro, esto es

f(r) = §(t) + h(r) - • • (3) De (2) g(x)=senx

Ln 6 \/3y —6x + 3>/3 + 2n —0 (ecuación de la recta norm al LN)

Problema 5

gu) = co sx . . . (4)

De (2) h (x )= ^ co s2 x

Analice el crecim iento o d ecrecim iento d e la siguiente función definida por =* h (xj = ^ c° s 2 x j = ^ (c o s2 x )' f(x )= se n x + ^ c o s 2 x , /3 n para x e í — ;n

=> h'(x) = ^ (-2 se n 2 x ) Reduciendo h'(x) = -sen2x . . . (5)

Resolución Debemos recordar que, para saber si una función es creciente o decreciente, una d e las formas es

seguidam ente reem plazarem os (4) y (5) en (3) => fjx) = eos x - sen 2x

m ediante el análisis de su prim era derivada, esto es, el signo que tom a dicha expresión para cada x que pertenece al intervalo 768

=> f('t) = c o s x - 2 s e n x c o s x f(r) = c o s x (l- 2 s e n x ) . . . (6)

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ÍTU L O X

/3 tc \ pero en el intervalo l >71j 3it

—

4

, \Í2 < X < T Í = S - l < C O S X < --------

2

■• • (7)

tam bién ^ 0n < senx< — 2 => 0 > - 2 s e n x > -V2 => 1> l - 2 s e n x > l- \/2 => 1- -J2 < l - 2 s e n x < 1 • • (8) Resolución

De (6) (7) y (8) f(l) = co sx

( l- 2 s e n x )

siem pre

puede ser positivo

es negativo

negativo o cero

En cons icuencia, fo.) p u ed e ser positivo (f es cre cie n te), negativo (f es d e c re c ie n te ), cero (presenta un m áxim o o un mínimo). Concluimos que f es creciente y decreciente

/3 n

\

en el intervalo ( — i 77)

Problema 6 En la figura, se m uestra un avión que vuela de oeste hacia el este con una rapidez de 250 m/s y

(b )

Figura 10.47

a una altura constante de 200 m; un rayo de luz em itido por un faro de rastreo, ubicado en tierra, incide en la parte inferior del avión; si la luz se m antiene sobre el avión, ¿qué tan rápido gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia horizontal de 1000 m al oeste del faro?

En p rim e r lu g ar a s ig n a re m o s u n p u n to d e ubicación a cada referencia a utilizar: sea A la ubicación del faro de rastreo, B la ubicación del avión (en el mismo instante) y sea t segundos el tiempo que transcurre d esde que la luz del faro incide en el avión; adem ás 769

Lumbreras Editores

Trigonom etría

x : es la distancia horizontal hacia e! Oeste desde el faro hacia el avión. a : el n ú m e ro de ra d ia n e s d el án g u lo de elevación del avión a los ( segundos.

Reem plazando er> (3) tenemos = > tana =

200 m

lOOOm

=> ta n a = 5

Recordando Del dato El avión vuela hacia el este con una rapidez de 250 m/s

puesto que se pide que, tan rápido gira el rayo de

'

sec2a = l + tan 2a 2 26 sec a = — 25

Reem plazando en (5), tenem os finalmente da _ 5 dt ~ 104

da luz, podem os expresar que esto es — .. .(2) cuando, x =1000 m Del g ráfico, p o d em o s c o n s id e ra r en fo rm a bastante aproximada k-ABH : ta n a =

x

razón de

Problema 7

200 dx 2 da => sec a — = dt x ¿ dt Pero del dato

Resolución ...

— = -250 dt

Lnf(x) = Ln(senmxcosnx) Lnf(x) = Ln(senmx)+L n(cosnx)

Derivamos con respecto a x

da 200. ocfV. ■sec a — = -----=-(-250) dt x 2

. . da D espejando — dt 50000

Tomamos el logaritmo natural a am bos miembros

Lnf(x) = m Ln(senx)+nLn(cosx)

Reem plazando en (4).

=+

Calcule el máximo y mínimo valor de la función f si f(x)= senmx cosnx; si n e Z * m e Z +

d (tan a) _ d f 200 T dt dtl^ x J

da

1 .■ (s e n x )’ (co sx )1 — f(x)= m ---------- + n ---------f(x) se n x cosx 1 co sx ( -s e n x ) ——fír, = m -------+ n -----------f(x) se n x cosx

..(5) C ) = fM

Puesto que se pide da para x= 1000 dt 770

5 rad 104

...(3)

En (3), derivamos respecto al tiem po t

^

Lo cual se interpreta como: en el instante dado, la m edida del ángulo esta creciendo a una tasa o

m -n ta n x tcinx

CM = sen mxcosnx

tanx

- n ta n x

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ITU LO X

De f ’(x) =0 se obtiene que f(x) tom a un valor

Paja calcular el máximo y mínimo de f hacemos fw = 0

m

n

I m n negativo - . ;--------hTTñ, un valor nulo y un valor (m + n)'

m , n n —----- n ta n x =0 tanx

positivo

=>senmx = 0 v c o s nx = 0 v — — n ta n x = 0 tanx

m

m

xn

\ /

2 —m se n x = 0 v -c o s x = 0 v tan x = — n

n

\m-rt »

U m + n) Por lo tanto

Si senx=0 => f(x)=0 Si cosx=0 => f(x)=0

m

fmin . =■

m

n

n

m

(m + n ) m*n ’ fmax

m

i/

n

n

\m +n

((m + n)

Si tan2 x = — De aquí, se plantean los siguientes teorem as. Vm ta n x = — - vn

v

v'n Vm+n

-V m teorem a

■y/ü

Si m y n son enteros positivos, tal que al menos uno de ellos es impar, entonces

x e 11C v x e lV C -rnr_

e IC v x e 1UC •*m ,rnr*. y/m+n vm+n _

tanx =

vm +n

r r r r _ ~v'n vm +n

T_ - vn vm+n

__

\ (m t n ) "

m ^

^

■f(x) = /_m " ni \l / (m + n)

m n , • < sen Arcos x < (m + n )

Resolución

vm + n V. /

Vm + n

n

Ejem plo Calcule los valores de y = sen 3xcos2x

c__

r

n

m

vn Vm+n

Así para x e I C, reem plazando senx y cosx en f; tenem os f(A) =

m

vm +n

’

i

33 x- 22 „ __ 3........ 2 . _ 33x 22 ij . e\ — 2 wUl 1 A CUS A (3 + 2)3' 2 V 3+2) V(

Simplificando Así para x e 1IC, sustituimos el valor de senxy cosx en f; tenem os n f /— \ n vm f(x) 1 Vm + n Vm+n

6V Í5„

T

=> f W =

/

m

n

n

\n

(m + n )

2

6VÍ5

Teorema Si m y n son números pares positivos, entonces

asum iendo n impar m

3

---------< sen x co s x < -------125 125

se cumple 0 < senmx eos" x < (m + n)

771

Lumbreras Editores

Trigonometría

E jem plo Calcule los valores de y= sen2xcos8x

-

.

.

ti

-x

\

J_

o

2 4

4

2

K

4

,

5z

3rt "n 2 ti

4

2

4

Figura 10.48

R esolución 2 8 „ I 22x 88 0 < s e n x c o s x < --------=-,• V(2 + 8) Simplificando n 2 8 . 256 0 < s e n x co s x < -----3125

Sea 0 < x < - - » f ’( x )< 0 4 Sea - < x < - - » f ( x ) > 0 4 - 2 Sea - < x < — -> f (x) < 0

Problema 8 . D etermine los valores de f, si se define por la regla d e correspondencia f(x) = sen

,

re 3^

£

x + eos x ; n e Z

R esolución Para determ inar los valores máximo y mínimos, aplicam os el criterio de la primera derivada para así o b ten er los puntos críticos; veamos

Sea ^ < x < n -> f'(x ) >0 4 Nótese que es suficiente analizar en una longitud igual al periodo de f. Veamos f (x + T) = se n 2" (x + T) + cos2n (x + T) esto sólo cum ple para T = í Si observam os la figura 10.48 , se tiene que para

f'(x )= 2 n sen 2n‘lx*(serur)'+2ncos2n~1x « (c o sx )’ X = . . ■0 , — 2 , n -- . . f e s máximo y para f'(x )= 2 n sen 2""1* (cosx)+2ncos2n~ 'x (-se n x ) X= . . f'(x )= 2 n se n * co sx |se n 2n_2x - c o s ^ ^ x j

7t 3n . . f es mínimo 4 ’ T ’'

'

Entonces f'(x ) = n s e n 2 x |se n 2"~2x - c o s 2n~2x)

ímáx = f(0) = se n 2n 0 + co s2n 0 = 1

H acem os f'(x)=0 De donde o

y

a

se n 2 x = 0 v sen tan

2n-2

x -co s

2n-2

«

x =0

,

J

.

J t 'l

fm m = f — = sen (4 J

2n n

*2n 71

—+ co s 4

Finalmente, tenem os

x =1

1

-

— r < sen

2n

2n

x + eos

- ,

x < 1-

Resolviendo las ecuaciones •

sen 2 x = 0 -» x - — ;ke Z 2

Ejem plos

•

ta n x 2n 2 = l- » ta n x = ±l

Si

x = k ;t± 4 Y estos valores representan los puntos críticos, d onde f es máximo o mínimo. Evaluamos en los intervalos para determ inar el signo d e f’(x) 772

n= 2 1

,

4

4

,

• - < s e n x + cos x < 1 2 Si

n= 3 1 - 6 6 - - < sen x + eos x < 1 4

1

—= — r 4 2

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

CAPITULO X Si

n=4

De la condición del problem a

=> - < sen x + cos x < 1 8

„ df df" df = 0 ...( 4 ) dx dv~ dv Reem plazando (1), (2) y (3) en (4),

— < s e n 10x + eos10x < 1 16

4 (2 se n x c o sx ) + (2cos2x) + (-4 se n 2 x ) = 0 =s 4 sen 2x + 2 eos 2x - 4 sen 2x = 0

Problema 9 Si se define f(x) = sen2x Obtenga la sum a de soluciones para ia siguiente ecuación , df

df2

d f3

dv

cLx2

dv3

n

.

R educiendo 2cos2x = 0 => cos2x = 0

[A . , 1

► 2x = (2k + l)^

J

(R evise el c a p ítu lo trigonométricas)

Resolución A partir de f(x) = sen2x

de

e c u a c io n e s

=>x = (2k + l)^ ; k e Z i)

df d (sen \v ) _ d(senx) -— = ------------- = 2 se n x ----------dx dv dx = 2 se n x (c o sx )

Se pide resolver en el intervalo [0 ; 2n] Damos valores adecuados a k:

df = 2 s e n x c o s x . . . (I) dv ... 11)

k= 0

df d ( d f) d x ■— =■= — — = — (2 sen x c o sx ) d x ' dx( dv J dv

i

k = li

= — (sen 2 x ) = eos 2x d - dvv ’ dv 9 2 =>^-j- = c o s 2 x ( 2 )=í> ^ 2 = 2cos2x . . . (2) dv dx .... df3 d df d „ d(co s2 x ) ni) — y = — — f = T " ( 2 cos 2x) = 2 dv dv3 dx dx d>f =2

d(cos2x) d(2x) d(2x) dx

df = -4 se n 2 x . . .(3) j 3 dx

—» x = -

3 jt x=— 4

k= 2

-> x =

k=3

—> x =

>C.S.

5 tt

T 7 tc

[ k 3n 5 re _ 7n ¡4’ T ’ T ’ T

Pero en el enunciado se pide dar com o respuesta al problem a la sum a de soluciones, así

7t 37t 5rc 7n - +— +— +— 4

4

4

4

La sum a de soluciones es 4n

773

R roblemas propuestos. 1.

Calcule

5.

Calcule

eos (esc 2a + cot 2 a ) -1 lim 2 \ 5n eos a a~* 2 tan 1+ s e n a B) 0

A) -1 D) 2

c s c 2 x - 2 c o t4 x iim ---------- —— -------- -

x_>2(1 + cosx)(2 cosx-1)

0 -2

A )-3

B) 8V3

,

C) -2v"3

E) 1 E)

2.

8 #

S ea la fu n ció n d e fin id a c o n reg la de correspondencia f ( r ) = Vcosax + X¿ * V co sb x - x -1 D eterm ine el yalor al cual se aproxim a la función cuando x se aproxim a a cero.

x a-1 A ) bTI

B)

a2- 4 , b2+4

a2 + 1 D) b 2- l ■3.

6.

fU ):

a 2+4 C) b 2 + 4

A)

a E) b

C)

.. s e n ( x + 9 - 6 \/x ) ‘™ ( 3 ^ - 9 ) t a n ( ^ - 3 )

B) 3



1 a Sea

fU ) =

cost

sent

B)

Vk + cos2t sen t

D)

7.

3 - s e n 2 x -3 c o s 2 jc „116sen2r -1 9 -1 5 eos 2x

B) -1

-1 D) 2

se n 2(sen4x)

1 D )4

774

C) 2 E) -2

Calcule ..

i B )8

cost t

Evalúe el siguiente límite

A) 10

determ ine lim ffx) x->0 3 A) 16

E)

Vk + COS t

C )3 E) -2

l- c o s ( s e n 3 * )

> Jk + sen t

cost -

lim

-

Vk + COS2X" - Vk + cos2t

sen t - sen x Calcule el límite de la función, si x se aproxima a t.

Halle el valor del siguiente límite

A) 1

Sea una función f definida por

„ 9 E) 32

/

\COS4XC5C2.T

lim (secjc) x-»0

2 C> 9 A) Ve D) V i

B) e -1

C) e 2 E) e

C A P ÍTU L O X

9.

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

A partir del gráfico mostrado, halle el valor de r S lim — S2

B)

E) 2

D) o

donde S ,: área de la región triangular AOC S2 : área de la región triangular CDB

C)1

12. Halle el valor de lim f(x ) tal que % f (x) =[Ln (sen 3x) - Ln (sen x )](cot 4 x - esc 4x) B) 4

A) 1 D) -2

C )'e2 E) e

13. Calcule el valor del siguiente límite: lim esc x

x-*n

B) 3

A) 1 D) 1/2

C) 2 E) 3/2

A) 2

", /T+s -senx L Vi --s s en*

B) 2e

D) 1 10. D efin id a

la

fu n ció n

con

reg la

E)

1

de

correspondencia f(x) = e ’x co sro r; luego, el

14. Calcule

valor de lim [f(l) + f(2) + f(3) + f(4) +... + f(n)]

^ s e c 2x - l + '7 t a n x - l - l

n—>°°

es

A)

2e e +1

B)

e-1 2e

C)

e +1 e-1

E) -

D) e ( e - l )

1 e +1 15. Evalúe el siguiente límite

11. D efin id a la fu n ció n f c o n re g la d e correspondencia

fO ) =

€sen x + 2sen x

lim n X~*2

\/tan5x + tan4 x - \ ¡ tan4 x + tan 3 x

ln(l + 2 sen x )

determ in e el valor al cual se aproxim a la función f, cuando x se aproxim a a 0.

A) -1/2 D) -1/8

1 -+ - 1 5 tan4— 4 tan 5 — 2 2 B) -1/4

C) -1/9 E) -1/27

775

T rigonom etría

Lumbreras Editores

20. Calcule e¡ valor de

16. Si se verifica que

.. \ 8 + eos3 8 - v /5 -sen 20 hm ---------------- -5— -------- l - s e n 20

nsenx + (n - l)sen2x + (n - 2)sen3x +... + se ñ ar *->o x(cos x + cos2x + cos.Sr + ...cosar) l i m ----------- -------------------------------------------------- ----------

es igual a 57. Halle el valor de n si es entero. A ) 12 D) 17

B) 13

B)

A) ~4

C) 14 E) 19

C ) ~8 E)

16

17. D eterm ine el equivalente de la siguiente serie: .. ,

2x

M = l-s e n —

2

eos

?x—sen2 x

A )(2 fíj

2

4

2x eos 2 x—x eos 2x

—

2

4

B )f2 H f m

D) (jrserur)2

8

21. Sea f una función d efin id a con regla de correspondencia. —sen — .... f(x) = s e c |s e c r |- 2

c)

Í— í * ) E) (rcosx)2

18. D efin id a la fu n ció n f co n re g la d e correspondencia n se n x -x se n n n e R -{ 0 } f(x ) = n c o sx -x c o sn / Halle el valor al que se aproxim a f cuando x se aproxim a a n. n co sn -se n n A ) ----------- r-----se n n + n co sn

halle lim f(x) 71 X—t~ 3

A) 1 D) 2

B) 0

C) -2 E) -1

22. A partir del gráfico m ostrado calcule lim — . a ti S. siendo Sf. área de la región cuadrangular OABC. S2: área de la región cuadrangular ODEF.

n se n n -c o sn ; n c o sn -se n n

senn - ncosn C) -----------------co sn + n se n n s e n n + n co sn J co sn -n se n n

E)

se n n -n c o sn n se n n -c o sn

19. Si a ,= a y a2=b, a n+2 = -a~ ~ +——, n > 0 . Calcule lim (a n).

A) D)

776

2a+ b 3 a + 3b

3

B)

a+ b C) E)

2a + 3b 3 a + 2b

C) 1

<

E) 0

Elementos de cálculo: Limites y derivadas

C A P ÍTU LO X

23.

27.

Halle el valor de l + sen3ror + cosrtx lim X—*1 x 4- l

lim 2

, 3 ji A) 2 D )-

Evalúe el siguiente límite

C)

3it

i1 - s e n ■ ->" x COS" X

B) 2"

A) 2n+1 D) 2 n+2

C) 2Zn E) 2

E) 28. Siendo n ; p e Z * , halle el valor del siguiente límite

24. Calcule tan 4 x - 6 - Vsec 2 x + 5 lim -----------------------------secx-2

n e o s "*1x - (n + l)cosn x + 1 lim *-o cosp*'x - cosp x +1 - co sx

A) 4

A)

n(n + 1) B -f

P

B)

n ( n - l) p

n(n + 1) C)

. n (2n - l ) _ 25. D efin id a la fu n c ió n correspondencia

f co n reg la d e

D)

A )n

B)

D) 2 26.

C )i E)]6

n ( 2 n + 1) 2p

29. Calcule el valor de lim cscx arctan

ta n x (se c 2 x - 2 ) + c o tx tan 2 x s e n 2 x + co t 2 x c o s 2 x

«i

B) 2

f(x l = M ± £ ° £ £ _ 2 se c x co sx Si x se aproxim a a ~ ■ luego f se aproxima a

E)

P

2p

C)1 E )-l

d> 4 30. D efin id a la fu n ció n correspondencia

con

re g la

de

Siendo f(x) = - sen (árcese vcosx+l - are sec v co sx +1 j , m s e n 3x + n s e n 2x + se n x + 3 L = lim ------------- t---------------7 —t-----x-,5 5 - 4 U e n x + cos~x!

Halle el valor al cual se aproxim a la función cuando x se aproxima a cero.

adem ás, Le R calcule el valor de 2L-m -n. A) -1 A) 4 D) 5

B) 7

C) -9 E) -14

B) 1

C )0

D) -2

777

Lumbreras Editores

Trigonom etría

31. Halle el verdadero valor de

36. En un laboratorio de análisis de señales, se

sen —+ cosr lim -------------------x_MIs e n 'x + cosx + 1

disponen de los generadores A; B y C que respectivam ente y d e m a n era sim ultánea em p iezan a em itir se ñ a le s

A) 1/4 D) 0

B) 1/2

C) 2 E) 1

d e la form a

sen23t r eos2 2 t ; cos2t ; sie n d o t el parámetro tiempo. En el gráfico dado, se pide determ inar el valor al que tiende la señal de

32. Halle lim n— v»

salida en el punto P cuando t tiende a nn ; ne Z •

siendo a = a + bi A) ea(cosb+/'senb) B) cosb+fsenb C) cosb-r'senb D) cosa+ /sena E) eb(cosa+/sena) 33. Halle el equivalente de „

72 2

72

+ 72 7 2 + 7 2 + 72 x - --------- ------------ x 2 2

E = — - x - ------------

A) 2 tc D) 1/n

B) 71

C) 7t/2 E) 2/ ji

34. Evalúe el siguiente límite f senB -cosú + l L = lim arctan i cos0 + s e n 9 -l

f ^ t: operador que sum a las L £ J señales im n r i : operador que divide las L —J señales realizando JL m

A) 1 D) -3 A) 4

B)

37. O b ten g a el valo r d e l s ig u ie n te lím ite A A e o s— COS ~rT cos2A cosA 2 X 2 E = lim 2A n— eos2 A 2A A eos — eos 2— cos ^ 4 2 cuando

35. Evalúe L = lim f W - f( f n n 3 3 siendo f(x)=sen2xcosjr

D> - 4 778

C) 3 E) -2

C)

D) 71

A) |

B) 2

A = 11 8

A) 1 B) " 2

C ) ~4

-

E) -1

B) 2

0 3

O s

CAPÍTULO X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

38. Halle el valor q u e tom a M cu an d o x se aproxima a cero.

2S lim , siendo S el área 3 ji 6-*T 0 -

M= cot,r+ Y - l t a n f * ¿->9' (^2i 1 A) 2 '

B) 2

D )2n

39.

41. D eterm ine

-C)

de la región triangular ABC, si adem ás B es punto d e tangencia

E) 1

OA, y OB son los vectores que representan a 1 e 1, respectivam ente. D esde O se ha levantado una perpendicular a OA2 y A,B; desde A2se ha trazado una perpendicular A¡A3 a OA,; d e s d e A3 se h a tra z a d o una perpendicular A3A, a A, A2, etc, según la regla: desde An se ha trazado u n a perpendicular AnAn+, a A.^A,,.,. Halle el límite de la sum a

X

OA, + A,A2 + A2A3 +.... A) 1+i

B) 3+ i

C) 3-1

A )-2 D) 3

B) 2

C )-3 E) -6

Sea y= x2 40.

En el gráfico m ostrado,

= AN , calcule

lim AB 0->O

Halle el valor de lim dy x - > 0 d (co sx ) A) 2

B) 4 1

« 4

o 4 E) -2

43. Un punto se m ueve sobre la curva 3x2-y2= 12 de m anera que su coordenada y crece a razón constante d e 6 m/s. ¿A qué razón cam bia la co o rd en ad a x cuando x = 4 m? ¿Cuál es la pendiente de la curva cuando x= 4 m? A) ±3m s ;+2 E) 5R

B )± 2 m /s ;± 3

Q ± 4 m /s ; 3 D) + 2 m /s ; ± 4

E) ±3m s ; ± 3 779

Trigo n o m e tría

Lumbreras Editores

44. Dos barcos A y B se alejan en línea recta del punto 0 siguiendo rutas, tales que el ángulo AOB es 120°. ¿Con qué rapidez varía la distancia entre ellos? si, en cierto-instante, OA=8 km, OB=6 km, el barco A avanza a razón de 20 km/h y el barco B a 30 km/h A) ^2 0k 0m1 / h

46. En la figura, la recta L es tangente a la curva y=2sertx; y a la circunferencia de radio r en el punto P (Q también es punto de tangencia) Determine £.

2 20, j3 7 km h

250 km h C) V37 280 D)

V37

km h

26 0 , O

, h A) 2/3

45. De la figura, calcule las coordenadas de P si L,//L2. (P punto de tangencia), ad em ás L, pasa por A y B.

|rt-a rc se m C 1 ; sen|arccos7t~' j + 4j

B)

(n -a rc c o s 2 ír l ; sen(arccos2rc ') + 4 j

C)

(rc-arccosT f1 ; se n (a rc co srf1j+ 4^

w

,'3 n \ ^2 . I 4 ’ 2 + ' 5rr

E) 780

C) 1/3 E)

A)

df dx

1 f, 2 V l-x

B )V T 7

C) - eos x

9

I 6 ’ 2

tt/4

47. En la figura, se tiene la gráfica de ia función f, halle

A)

B) 2/5

D) 1

D) sen x

E)

S

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

C A P ITU L O X

48.

Halle los intervalos de decrecim iento de la función f si rf \ 3 3 f(x) = sen x + cos x Analizando en el intervalo [0 ; 3tt/2]

A)

y -(V 3 + ti)

O

y (V 3 -V 2 )

D)

y ( 2 V 3 - ;i)

B) ~ ( 2 tt-V 3).

A) 0 ; jt 2) u(n 2 ; it)(j(5 ji/4 ; 3n/2} C) n 2;n; u(57t/4 ; 37t/2

52. Dada la función f(x) = cos2x - 2cosx obtenga los valores de x que hacen m áxima

D) (0;it)

E) n 4;it 2’,u(jt';5jt/4) 49.

Halle la ecuación de la recta tangente a la curva definida por

a la función (k £ Z)

f(x) = are cos2x, en un punto

A)

f

A) 2x/3+3y + V3+Ji = 0

C)

27tk+n

D)

(4k + 3 )^

B) 2^3 - 3y + -J3n + 1= 0

B) (2k + l ) |

E) 4 k n ± í

C) 2 S - 3 y - j 3 n - \ = 0 D) 4ví3x + 3 y - n - V 3 = 0 E) 50.

53. A partir del gráfico mostrado, obtenga el área del rectángulo ABCD, el cual tiene perím etro máximo.

4 v 3 x -3 y + 7i + %/3 = 0

A partir de la función f definida por f(x) =¡x| + se n x En el intervalo para x,

/

tí

n \

i —) elposible(s)

puntos(s) de inflexión será(n)

A)

{0}

C)

y 0.n _3 3

D)

o-71U, —t 6 3j

n _ tí Í 2 ’12

51. D eterm in e el á re a m ín im a d e la región lim ita d a p o r la se m ic irc u n fe re n c ia d e d iám etro AB = 2R y la poligonal ABCD si AD = BC (C y D en la semicircunferencia)

■2 A) Jtu

471 2 B) y U

n 2 Q -u 47t 2 ~3

5n 2

E) y u

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

54. En la figura m ostrada, se verifica que BC = ta n - s e n a + cosa, AB = BC 6

56. Halle la segunda derivada de la función f, si f(x) = xsen¡ L n x - — ’( L4

Halle la longitud del segm ento AC cuando el segm ento BC sea máximo.

C)

\/2sen(Lnx) A % V2sen(Lnx)

D)

V icos (Lnx)

A)

B)

V2cos(Lnx)

E)

s/2

57. Halle lim x—

n - 2 are tan x 'l e

A)

« 1

C)

D) 2

E)

55. Halle aproxim adam ente el área de la región som breada.

3*

.

-1

B)

D)

C) E)

58. Al cortar un sector circular de radio R, este secto r d eb e ser tal q u e, al enrollarlo, se obtenga un embucio de capacidad máxima. Halle el ángulo central del sector.

«

-f3

B) 2 n fí

c) 3 ^

2n f:

[2

D) 4 ^ 5

E) 3 i

59. Sea fia función real, definida por la regla de correspondencia f(x) = sen x ^2- s e n 3 x j + tanj^1

je o s4 x_

determ ine el mínimo valor d e la función A) -4 A) 0,15 D) 0,46 782

B) 0,23

C) 0,31 E) 0,51

B) -3

C )-2

C A P ÍTU LO X

Elementos de cálculo: Límites y derivadas

60. Sea AD una tangente a la semicircunferencia y AD = AC ■La prolongación de DC corta a la prolongación AM en B. ¿A qué lím ites se acerca la longitud AB para arcos pequeños, esto es, para « 0?

63. Demuestre que existen dos valores de k tales que y =ekx satisface la ecuación diferencial y” +5y’+6y=0. Determine tales valores k, y k2. A) -2 y -3 D) 2 y 4

B) 2 y 3

C )2 y -2 E) 2 y 6

64. Determine los valores de a y b tales qu e ia función y = a x se n x + bxco sx satisfag a la ecuación diferencial y” + y = 3senx+cosx

A)

C) r ; 2

B )3r

2r

A)

10

E) r

D) 4r

» a - 2

C)

61. Sea

D) a = ^ i b = 3

n xflfsenxl 2 + eos x fW = , , 4 ^

:b '- 2

E ) a = ’ ’ b=2

65. Dada la función y=f(x), dada implícitam ente

1+ X

por la expresión x y c o s1 = 1 g(x) = (l + se n 2x) V

2 sen2x 5 + cos2x

+ sen2xL n

4x i + x4

Reduzca E(x) = jrcos- + y s e n - |y+[ x c o s ^ - y s e n - Uy1

1+ X

A) 1 D) 0

Al reducir la expresión f'M , se obtendrá: g(x) A) f(x)

B) 2f(jc)

D) f(x )+2

B) 1/3

x

B )x

)

y

X

c)y E)xy

66. Para n e Z calcule. C) f(x)-2 E) f(x)+3

62. C o n s id e re la fu n ció n y = f(x ), implícitam ente por la expresión are tan (x+y) + y = n/4 Calcule f ’(x) en el punto (1; 0) A) -1/3 D) -2/3

x

1 2 + eos2x ^

C) 2/3 E) -1

dada

dx

(senx)

A) sen| x + n —

B) sen(x+nrc)

C) cos| x + n -

D) c o s (x - n n )

E) sen x

783

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

67. A partir de un tronco de radio R, se puede h acer una viga, si la resistencia de la viga depende directam ente del ancho (b) de la secció n transversal y del cu ad rad o d e la longitud de la altura (h), halle el ángulo de m odo que la resistencia de la viga sea máxima.

Si para t= 0 la posición de la partícula es

5

x = -m 2 ' Indique la gráfica que describe la velocidad de la partícula. A)

B)

V*

V

C) V» C) a r d a n (>/2) D) are eos ^ j

E) are cot (V2j

68. La sombra de un edificio de 50 metros sobre el suelo es de 100 m de longitud. Si el ángulo que forma la luz solar con el suelo disminuye a razón de 15° por h o ra, ¿a q u e raz ó n aproxim adam ente aum enta la longitud d e la sombra? A) 62,5 m/min C) 63,5 m/min D) 64,5 m/min

E)

V»

V*

B) 69,5 m/min E) 71,5 m/min

69. El desplazamiento de una partícula se puede describir m ediante la gráfica x vs t ‘ *(m ) 4

D)

70. Dos barcos A y B se alejan en línea recta partiendo de un punto 0, A en dirección N40°E y B en d ire c c ió n S 20°E. ¿C uál e s la rapidez con la que varía la distancia entre A y B si en cierto instante OA=8km, OB=6km el barco A avanza a razón d e 20 km /h y B a 30km/h? A) ' « f k m /h

B),

120V2. .. ]3 k m /h

C ) ' 3f k m / h D) 2 6 0 í t m /h

784

„ 260V37, ,. E) 37 k m /h

24

I C

14

25

l A

15

26

l B

16

27

I £

17

28

n r

29

| c

6

I D

18

7

n r

19

8

j o ___ T e "

20 21

31 B

32

[ A rr

10

22

33

11

23

34

12

35

fm

B

13

© ám M m c entonces P(x;y) está en la elipse si FP+PF=2a; es decir , / ( * - c Y + ( y - O )2 +

s¡(x +

Com o es evidente si un foco es F(2;0) el otro es F'(-2;0) ya que el centro es el origen, luego c=2.' Y

c ) 2 + ( y - O )2 = 2 a

(0;/5)

Simplificando V (-3;0 ) / l F

x ^ - c ^ + a V = a 2(a2- c 2)

\v (3 ;0 ) F J

' 0

En el t\FOM' (ver figura 11.5(b)) a 2 = b2 + c2 => b 2 = a 2 - c2

X

(0;-/5)

Reemplazando obtenem os Figura 11.6 Además con el vértice V(3;0), tenem os V '(-3;0) entonces a= 3 Es la ecuación canónica de u n a elipse con centro en (0;0) con eje m ayor sobre el eje X, donde a > b (véase gráfico 11.5(b))

792

Pero

b 2 = a 2 - c2 => b2 = 32 - 22 => b 2 = 5 2

~

2 = 1 (figura 11.6)

C A P ÍTU L O XI

Traslación y rotación de ejes

Ejemplo 2 2 Dada la ecuación x 2 + — = 1, calcule el centro, 4 los focos y los vértices.

Resolución De la ecuación identificamos a2= 1 ; b2=4 entonces el eje mayor es vertical y a2= b2 - c2 => c =

Si c> 0, entonces FF’=2c. La diferencia constante de P a F’ y F será 2a. Si P(x;y) está en la hipérbola se cum ple ¡ d(P;F’) - d(P;F) | = 2a , es decir

0 ( 0 ;0) , F (0;V 3) , F '(0 ;-V 3 ) y V (0;2) , V (0 ;-2 )

i. v (x - c)2 + ( y - 0 ) 2 - N/(x + c)2 + (y - O)2 I = 2a

(vea la figura 11.7) Simplificando

x2 y2 a c -a

=1

H acem os b2= c 2- a 2; b > 0 2 Entonces

2

a 2 b2

Es la ecuación canónica de una hipérbola con centro, en (0;0) con eje mayor en el eje X. Los vértices son (-a;0) y (a;0), (véase la figura 11.8(b))

Definición de Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llam ados focos, también en el plano, es una constante. Para obtener una ecuación sencilla de una hipérbola, consideram os al eje X com o la recta que pasa por los focos F y F' y el punto m edio de FF' es el origen o centro de la hipérbola (véase figura 11.8(a)).

Figura 11.8

Los puntos extremos del eje conjugado son (0;b) y (0;-b) los focos están en (-c;0) y (c;0), donde c 2= a 2+ b 2, las re c ta s

y = —x , y = — x so n a a

asíntotas de la hipérbola. 793

Lumbreras Editores

Trigonomet ría

Ejemplo Halle la ecuación de una hipérbola, tal que el centro está en (0;0), un vértice en (2;0) y un foco en (4;0)

Pero la forma que m ás se utiliza por su facilidad para ser analizada es cuando el término Rxy no está presente, y se obtiene una ecuación de la forma

Resolución Com o se tiene un vértice en (2;0) y origen en (0;0) es evidente que el otro vértice es (—2;0), entonces el eje mayor coincide con el eje X ; adem ás a=2, c o m o un foco es (4;0) el otro se rá (-4;0) entonces c=4, luego b2= c 2- a 2

Para esta ecuación sus ejes principales (eje focal, eje mayor, eje menor) serán paralelos a los ejes AY. Antes de explicar en qué consiste la traslación y rotación de ejes d eb em o s recordar que una posición referencial es la ubicación o lugar desde el cual se van a c o n s id e ra r ev e n to s, características, situ ac io n es gráficas, etc., de algunos elem e n to s. P ara n u estro caso en la traslación y rotación d e ejes, algunos puntos geom étricos del plano XY los expresamos de una form a en dicho plano, p ero d e otra diferente m anera para otro plano distinto del XY, aunque los m encionados puntos siem pre estén estáticos.

=> b 2 = 42- 2 2 =» b 2 =12 2 ••• —

2 j^ -l

(figura 11.9)

.Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo En la figura 11.10 Y'

Ecuación General de una Sección Cónica P u esto q u e u n a se c c ió n c ó n ic a e s tá c o n te n id a en un plano, a d ich a curva se le a s o c ia rá u n a d e term in a d a ec u ac ió n de dos v ariab les r e y resp e cto del sistem a X Y, la m encionada ecuación tiene com o forma generad: Ax2 + Bxy + Cy2 + D a: + Ey + F = 0 (ecuación de segundo grado) d onde A, B, C, D, E, F, son constantes reales. 794

I.

La circ u n fe re n c ia (su e c u a c ió n ) p u e d e e s c rib irse e n el s is te m a X Y co m o ( x - 4 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = r2

II.

La misma circunferencia para el sistema A' Y' tendrá com o ecuación (x ')2 + (y ')2 = r2

Las dos m aneras son correctas respecto a su sistem a de coordenada, tam bién se nota que la circunferencia siem pre está ahí, y lo ónice qúe ha cam biado es su forma de representarla com o ecuación.

C A P ÍTU LO XI

Traslación y rotación de ejes

TRA SLA CIÓ N DE EJES

Se da cu an d o el origen de co o rdenadas se traslad a a un d eterm in ad o punto del plano XY m anteniendo sus respectivos ejes homólogos paralelos (en el nuevo sistem a X 'Y ' , X ’ es homólogo de X e Y' de Y), tam bién deben m antener la m ism a unidad de escala, esto es, si en el sistem a XY la distancia entre dos puntos Ay B es 10 entonces en el sistem a X 'Y ' sigue siendo 10. Gráficamente

Figura 11.11

C(h; k) : origen del nuevo sistem a X 'Y '. Además, estará usted observando que el punto P tiene dos formas de poder expresarlo: En € 1sistem a X Y : P(x; y) En el sistem a X 'Y ' : P '(x ';y ') Luego, de la figura 11.11 obtenem os x = x '+ h y = y'+ k

...O )

Estas relaciones m ostradas sirven para encontrar las coordenadas en el sistema XY (jr;y) cuando nos dan com o dato las coordenadas (x ';y ') de un punto cuando los ejes se han trasladado a un nuevo origen 0'(h; k). El caso recíproco ocurre cuando a partir de la ecuación (1) se despeja x ' e y ' , así se obtiene x ’= x - h ... (2) y’= y - k ----- ----- ------- / I^ N o ta A las ecuaciones (1) y (2) se les llama Ecuación de traslación.

795

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Ejemplo 1 Halle las coordenadas del punto P(3;5) en el n uevo sistem a X 'Y ' cu a n d o el origen se ha trasladado al punto (1;2) r*

5- 3 - -

|(3 3 ) para el sistema XY I (2;3) para el sistema X ’Y'

(9;4) para el sistema AY (8;2) para el sistema X 'Y '

4- 2 -

3 12 t 4 - } t 0 (1:2) 1 2 3 4 1' “O

1 2 3 4

5

t ....4

•»

1

t .............

5

6

7

8

9

X'

6

7

8

9

10

X

Se observa que un punto P(x;y) del sistem a XYse puede escribir com o x = Jf'+h %

y = y'+ k Figura 11.12

donde 0'(h;k) es el nuevo origen, luego

De los datos P(x,y) = (3;5) y 0'(h;K )=(1 ;2) Aplicando la fórmula 2 x ' = x - h = 3 - l => x ’ = 2

y ' = y —K = 5 —2 => y' = 3

Ar = Jf'_1j . . . ( a ) y = y - 1J La ecuación d e la circunferencia en el sistem a

X'Y' deberá estar en térm inos de

e y’, por lo

que reem plazam os ( a ) en la ecuación ( x ’;y ') = (2;3)

x2 +

y2 = 1

(coordenadas de P en el sistem a X 'Y ') De la misma forma usted puede verificar para las coordenadas del punto Q. Ejemplo 2 Halle la ecuación de la C.T. (x 2 + y2 = l) en un nuevo sistema X ' Y ' , cuyo origen esta en el punto ( - ! ;- ! ) • Resolución D ado el e n u n c ia d o , c o m o el ra d io de la circunferencia trigonométrica es uno y la distancia d el origen a los ejes X e Y es un o tam bién, entonces podem os plantear el siguiente gráfico (vea la figura 11.13(a)) 796

=> ( x '- l) 2+ (y ’- l ) 2 =1 Esta ecuación es para el sistem a figura 11.13(b))

X'Y' (véase la

Traslación y rotación de ejes

C A P ÍTU LO XI

Ejem plo 3 Realice la gráfica y = 2sení x - —1 + 1 ; por el m étodo de traslación de ejes.

l

2j

R esolución Dada la ecuación original y = 2sen x - ~ 1+1, acom odam os esta expresión y - l = 2sen| x Debido a que y - 1 puede ser cam biado por y ' (nuevo sistem a) y 71 puede ser cam biado por x ' (nuevo sistema) „ . , Entonces qued a

y

,

„ , (La gráfica de esta ecuación para un sistem aX Y es = 2 sen x , 5 .... . . . ! bastante sencilla y la m ostramos a continuación.

Y la pregunta que se hará el lector es ¿dónde está el sistem a XY? A continuación le inform amos que debido a las ecuaciones deducidas en (2) ir x' = x - h en nuestro caso son ~ 2 y' = y - k .y = y -1 De do rde O'(0;0) en el sistema X 'Y ' tendrá el siguiente par ordenado O'

;1 respecto del sistema

X Y com o se m uestra en la figura 11.14(b).

Figura 11.14

ild j¿ Nota

___ _______________________

Del ejemplo anterior, notamos que la curva es la misma y, sin embargo, se escribe de diferente forma, esto se debe a que toda curva puede ser escrita de acuerdo al sistema de referencia que se considere, es decir, una misma curva puede tener varias, ecuaciones, una para cada uno de los sistemas que se consideren. 797

Lumbreras Editores

Trigonom etría

ROTACIÓ N DE EJES

Dado que la ubicación de un punto en un plano puede ser representado de varias formas (distintos pares ordenados) de acuerdo al sistem a de referencia que se utilice, dicho sistem a puede ser obtenido m ediante una traslación o rotación de ejes. En la presente sección h arem os m ás énfasis en lo último. Como se sabe, las secciones cónicas presentan muchas aplicaciones, pero mayormente cuando se requiere analizarlas están escritas en su forma canónica (más sencillo de analizar), esto es cuando los ejes de la sección cónica son paralelos a los ejes del sistema de referencia, com o por ejemplo lo que se muestra en las figuras 11.15(a) y 11.15(b).

Pero hay ocasiones en las cuales dichos ejes no son paralelos a los ejes X o Y, como es el caso de

Algo más que podem os acotar sobre la forma de la e c u a c ió n d e d ic h a elip se , la cu a l la obtenemos a partir del punto P(x;y) que pertenece a la elipse, teniendo com o dato adicional que la distancia V,V2 =6 Para que sea un a elipse debe cumplir que dPF^ + dPF) = VjVj => >/(jc —l)2 + (y —2)2 +-J(x + l f + (y + 2)2 =6

(b) 798

Elevando al cuadrado dos veces obtenem os la siguiente ecuación 8x2-4 x y + 5y2 = 36 La cual presenta el térm ino cruzado -4xy que indicará en adelante que los ejes de dicha sección cónica no son paralelos a los ejes del sistem a XY. Una pregunta inm ediata por parte del lector sería ¿¡por qué no rotamos los ejes del sistem a de tal forma que coincidan con los ejes de la sección cónica? Esta a p re c ia c ió n es co rre c ta , p ero observe que no se puede rotar cualquier ángulo; para que lo m encionado suceda, para hallar dicho ángulo de rotación es necesario tener en cuenta ciertas nociones previas.

C A P ÍTU LO XI

Traslación y rotación de ejes

A continuación se verá la forma de relacionar un punto P(x;y) con su forma de expresarlo en o tro s is te m a X 'Y ' d o n d e e s te ú ltim o con resp e cto al sistem a XY ña rotad o un ángulo antihorario tal com o a , el cual se considerará en el siguiente intervalo 0 < a < 90°. Una explicación acerca de este intervalo se hará m ás adelante. Gráficamente

r-

tsOMP OM = rcos(oc + P) PM = rs e n ( a + P) Pero

OM = x ; PM = y

Luego

x = rc o s(a + P) y = r s e n (a + p)

En el triángulo OPN aplicaremos

K ,p

y Y ' - ’'

■X x' ia

ON = rcosP ; PN = rsenp

"1 X

0 (a)

Al punto P se hace coincidente dos pares ordenados P(x y ) : respecto del sistem a AY y P (x ';y '): respecto del sistem a X 'Y '

Pero, ON = x ’ ; PN = y' Luego,

x ' = rcosP ...0 0

y' = rsen p

De las relaciones (1) y (II) tenem os De (I) x = r c o s (a + P) =s x = r [c o s a c o s P -s e n P s e n a ] =» x = r c o s P c o s a - r s e n P s e n a x' x=

y'

x 'c o s a

-

y ’s e n a

...(III)

También de (I) y = r s e n ( a + p) => y = rfs e n a c o s p + sen P co sa] =s y = r senacosP + rsenPcosa Ordenando y = r c o s P s e n a + rs e n P c o sa A continuación deducirem os las ecuaciones que relacionan x, y, x ‘, y ’ y oe.

.

x'

■■■ y = x ’s e n a

y' +

y 'c o s a

... (IV) 799

Lumbreras Editores

. Trigonom etría

De las igualdades (III) y (IV) se concluye /--------------)------------------------------ \

! x = x 'c o s o t- y 's e n a

1

{ y = x 's e n a + y 'c o s a donde ( x 1; y ') :

... (V)

Dato: P(25;5)= P ( x 'y ') ; en el sistema X 'Y ' , de donde x' =25 ; y' = 5 Ángulo de rotación: a = 37°; entonces x = x 'c o s a - y 's e n a y = x 's e n a + y 'c o s a

par ordenado del punto P en el sistem a X 'Y '

(x;y) :

par ordenado del punto P en el sistema AY

a

ángulo de rotación del sistem a AY para obtener el sistema A" Y'

Luego de las ecuaciones de rotación obtenem os x = 25cos37°-5sen37° Para calcular el valor de x utilizaremos

3K

Nota

_ 4K

' A las ecuaciones de la relación (V) se les llama Ecuaciones de rotación.

(c) Figura 11.17

A continuación mostramos un ejemplo de aplicación. Ejem plo Calcule las coordenadas del punto P(x;y) en el sistem a AY, si en el nuevo sistem a X Y que se genera cuando lo ejes de XY giran un ángulo de 37°, sus coordenadas son P(25; 5). Gráficamente Y

”

25( í ) ' 5( l ) =20' 3 - 17

=> x=17 También y = 25sen37° + 5cos37°

=> y = 19

...................... P(x';y') Por lo que podem os afirmar que el punto P en el sistem a XY tendrá las siguientes coordenadas: P(17;19). Pero se puede presentar el caso contrario, es decir, se puede pedir las nuevas coordenadas teniendo com o datos el ángulo de rotación y las coordenadas en el sistem a XY. Paira resolver este tipo de ejemplos se sugiere despejar x ' e y’ de las ecuaciones de rotación, d e las que se obtiene el siguiente par de ecuaciones, que también se conocen con el nom bre de formuláis d e rotación inversa. ___________ ______ x' = x co sa + y se n a y’ = -x s e n a + y cosa Para entender un poco más, mostramos el siguiente ejemplo de aplicación. 800

C A P ÍTU LO XI

Traslación y rotación de ejes

Ejemplo 1 Determine las nuevas coordenadas del punto P en el nuevo sistem a X 'Y ' , el cual se obtiene a partir del sistem a XY, cuando los ejes han rotado un ángulo de 30° en sentido antihorario; si adem ás las c o o rd e n a d a s d e P en el siste m a X Y son

Si re e m p la z a m o s n u estro s d ato s en d ic h as ecuaciones obtenem os lo siguiente x ' = 4 eos 30° + 2%/3 sen 30° , - . 4 ( f ) + 2J 3 ( i ) = , ' , 3 j 3 También

( 4 ; 2 v 3 ).

y' = - 4 sen 30°+2V3cos30°

Gráficamente

Y r Por lo que podem os afirmar que el punto P en el

(va a rotar 30°!

P(x;yj

nuevo sistem a X 'Y ' obtenido, luego d e una rotación d e 30 °en sentido antihorario, tendrá las siguientes coordenadas P = (3\¡3 ; l)

! (va a n ! rotar 30°)

Ejem plo 2

O

(a)

Ya

Suponga usted que los ejes coordenados X Y han rotado un ángulo de 45° en sentido antihorario para obtener un sistem a de coordenadas X ' Y ' . Halle la ecuación en este último sistem a si su ecuación en el sistema AY es x 2 - xy + y2 - 6 = 0 Resolución De las ecuaciones de rotación se tiene x = x 'c o s a - y 's e n a - ..( 1 ) y = jr's e n a + y 'c o s a P uesto q u e a es el ángulo d e ro tació n del problem a a = 45° De (1)

A partir del gráfico observam os P(x;y) en el sistem a XY, pero P(4;2\/3) son sus coordenadas en este sistema. De donde x = 4, y =2 %Í3 , pero otro lado P en el nuevo sistem a X ’Y ' ; P (x ';y ’) son sus nuevas coordenadas y a el d o rotación a =30°

R e e m p la z a n d o

I y' = -x se n c t + y c o s a

sen45° = -U V2

eos 45

obtenem os X - x'

De las ecuaciones de rotación inversa í x' = x c o s a + y se n a

x = x 'co s4 5 °-y 'sen 4 5 ° y = x'sen45° + y'cos45°

y -x '

A j i ,

+y

A

=» x = x '- y ' \ \Í2

A.

^

x'+ y' y ~~ V2 .

801

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Reem plazando (2) en la ecuación x 2- x y + y2- 6 = 0 se obtiene

Eliminación del Térm ino xy Dada la ecuación general com pleta de una sección cónica Ax2 + Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 . . . (1)

x ' - y ' Y x '+ y ’ V2 V2

Es tal que B * 0 , en este caso si consideram os

S eguidam ente efectuarem os los binom ios al cuadrado así com o la diferencia de cuadrados. x

'2- 2

x ’y'+ y'2 (x '2- y '2) | x ,2+ 2x'y'+ y'2 6 _ Q 2 2 2

x '2- 2 x 'y '+ y '2- x ' 2-t-y'2 - + x '2+2x'y'-t-y'2-12

un sistem a X 'Y ' el cual se o b ten d rá por una rotación de ejes, entonces lo qu e se buscará es expresar la ecuación (1) en el nuevo sistem a X ' Y ' , ello mediante las ecu acio n es de rotación: ■

x = x 'c o s 0 - y 's e n 0

...(2 )

y = x 's e n 0 + y 'c o s 0

...( 3 )

Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene A (x’c o s 0 -y 'se n 0 )2

=> x ,2+ 3y’2 = 12 De donde la nueva ecuación será ( s f , (y')2 12 4

,

Esta ecuación representa a una elipse, la cual se presenta a continuación

+ B (x 'c o s0 -y 's e n 0 )(x 'se n 9 + y 'c o s0 ) + C (x 'sen 0 + y ’co s0 )2 + D (x 'c o s 0 -y 'se n 0 ) + E (x 'sen 0 + y 'co s0 ) + F = 0 Efectuando obtenem os A(x'2eos28 -y'2sen20-2 x'y' sen 0cos 0) + B(x'2sen0cos8 + x'y’cos20 -x 'y 'sen 20 - y '2sen0cos0) + C(x’2sen20 +y-2eos20 + 2x’y11sen 0cos 0) + D(x'cos0-y'sen0) + E(x'sen0 + y'cos0) + F = O A co n tin u a c ió n se a g r u p a rá r e s p e c to de x '2,y'2, x 'y ', x \ y ‘ se tiene =* (Acos20 + Bsen0cos0 + Csen20)x'2+

Figura 11.19 Observe que la curva es la m ism a para am bos sistemas, lo que solo cam bia es la forma de la ecuación. 802

(-2A sen 0cos 0 +B(eos20 - sen20) + 2Csen 0cos 0)x' y' + (Asen20 - Bsen 0cos0 + Ccos20)y'2 + (Dcos0 +Esen0)x'+ (-Dsen0 + Ecos8)y'+ F= 0

C A P ÍTU LO XI

Traslación y rotación de ejes

Si usted observa detenidam ente la última e c u a c ió n n o ta rá q u e tie n e la fo rm a (o es equivalente) de

Ejem plo Elimine el térm ino X Y y encuentre la ecuación luego del giro de los ejes

A 'x '2+ B 'x 'y '+ C 'y '2+ D' x ’+ E 'v ’+F' = 0

3 x2 -2 \Í3 x y + y 2 + 2x + 2 j3 y = 0 .... (a )

y si identificamos cada coeficiente correspondiente para x '2, x ' y y ' 2, x', y ', se obtiene A' = A cos20 + B sen0cos9 + C sen20 B' = B (cos29 - s e n 20) + 2 (C -A )se n 0 c o s9 C' = A sen 20 -B s e n 0 c o s 9 + C cos20

Resolución Dada la ecuación de segundo grado, así com o la ecuación general 3x2 - 2s¡3xy + y2 + 2x + 2\¡3y = 0

(5)

Ax2 -Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

D' = D cos0 + E sen0

Identificando A, B y C obtenem os

E' = -D sen 0 + E cos0

A = 3 ; B = -2yj3 ; C = 1

F’ = F

Calculemos el ángulo de rotación con

Si nosotros quisiéram os eliminar el térm ino x ’y' d e b e ría v e rific a rse q u e B' = 0 , p o r lo q u e podem os plantear B' = B(cos29 - s e n 20) + (C - A )2sen0cosO = 0 eo s20 s e n 20 De donde

cot 20 =

A -C _ 3 -1 -7 3 B -2 V 3 ~ 3

=> 0 = 60° Luego, en las fórmulas de rotación x = x 'e o s 60°-y 's e n 60°= ——

B = B c o s 2 0 + ( C -A )s e n 2 0 = O Finalmente

>’ x ’sen 60° +y' eos 60°= cot 20 =

A -C B

...( 6 )

R e em p laz an d o en la ec u ac ió n a , te n em o s * ’ = - ( y ') 2. Véase la figura 11.20

\J 'í \ Nota Puesto que esta última ecuación (donde A; B y C son constantes) puede ser positiva, negativa o incluso cero, siempre será posible satisfacerla con un ángulo 0 que verifique (0< 0 < 90°), razón por la cual se le utilizará gn la rotación de ejes, ello sin negar que se puede rotar un ángulo mayor de 90° e incluso ángulos negativos, para estos casos se trabajará de manera análoga. Figura 1120 803

Lumbreras Editores

Uso def Discriminante Teniendo en cuenta la ecuación de 2do. grado com pleta, esto es Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Al término B2- 4AC se le llama discriminante de la ecuación cuadrática y com o se puede verificar de las expresiones dadas en (5) (la dificultad sería solo algebraica) se cum ple la relación B,2-4 A 'C ' = B2 -4A C . .. ( 7 ) Ello significa q u e la re la c ió n e n tre los co e fic ie n te s A, B y C es in v ariante po r u n a rotación, si 0 se ha escogido de tal forma que verifique (6), entonces la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 se transformaría en A'x ’2+ C'y ’2+ D'x'+ E’y '+ F = 0 entonces B'=0 Cumpliéndose, adem ás, la relación -4 A 'C ' = B2 -4A C El uso del discrim inante radica en que es posible identificar la gráfica de una ecuación de segundo grado sin rotar los ejes coordenados, a saber se presentan los siguientes casos: I.

Si B2- 4AC < 0: La ecuación representa a una elipse, una circunferencia, un punto o bien no tiene gráfica.

II.

Si B2 - 4AC =0: La ecuación representa a u n a parábola, u n a recta, u n a pareja de rectas paralelas o bien no tiene gráfica.

III. Si B2- 4AC >0: La ecuación representa una hipérbola o una pareja de rectas que se interceptan. A continuación sigam os con la dem ostración de uno de los casos (el primero); aquel en el cual se verifica B2-4A C 0 =) A' y C' (tienen el mismo signo) . Suponiendo A' > 0 => C' > 0 (x ’- h ) 2 ( y '- k ) 2 (x/C7)2

V(A7

De esta ecuación I. Si K< 0: Esta ecuación no tiene gráfica. II.

SiK=0: Laecuaciónsólo satisfaceparax’=h; y’=k, por lo que afirmamos qu e la gráfica solo es un punto (h; k)

III. Si K>0: Es un a elipse o circu n feren cia, dependiendo de A' y C' si son diferentes o iguales respectivamente. De igual forma los otros casos. Ejemplo Usando el discriminante, identifique la gráfica a la cual p e rte n e c e la sig u ien te e c u a c ió n de segundo grado. 8x2-3 x y + 5y2- 7 x + 6 = 0 B? -4AC = -151 P1 P '(-i;5) Petra hallar las coordenadas de P' en el sistema X Y usarem os las fórmulas de rotación x = Y c o s a - y ’s e n a y = x 's e n a + y ’c o s a (at; y): las coordenadas de P en el sistem a XY. donde

(Y; y') = (-1 ;5) y a = 37°

en to n ces

at =

(-1)

son jr = jc 'c o s a - y 's e n a + x,0 ...(1) y = jr's e n a + y 'c o s a + y0 ... (2)

i_sr*v— 5 i, 5 J 5

Donde (Ar^o) son las coordenadas del nuevo origen, entonces (jr0;y0)=(4;7) ...(3)

y = ( - 0 í + 5 |^ |= v (Y; y '): las coordenadas d e R en el nuevo sistem a Luego, las coordenadas de P son

-19,17 5 ’5

0*'; y') = (13; 26) ...(4)

Problema 2

(jr; y ) : las coordenadas de R en el sistem a XY.

Debido a una traslación de ejes de coordenadas al nuevo origen 0'(4;7) luego de rotar los ejes un

Si

(1 2 'j ángulo a = arctanl — I. las coordenadas de un cierto punto R en el sistem a X Y se transforman en (13;26). Halle las coordenadas del punto R en el sistem a original. R esolución Del enunciado: nuevo origen O' (4; 7) del sistem a X ’Y , e n d ic h o sis te m a R tie n e c o m o coordenada(13;26) y el ángulo de rotación es a = arctan

12 a = arctan —

12 => se n a = — a c o s a = — ...(5) 13 13

reem plazando (3) y (5) en las ecuaciones (1) y (2) obtenem os jt;= 13| -r- | _ 2 6 Í | | ) + 4 13 ^ = 131 i f I + 26| 77> 13 I + 7 Resolviendo obtenem os

jc= —15

; y =29

las coordenadas de R en el sistem a X Y son (-15; 29). 805

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Trigo no m etría

Problema 3

Problema 4

Sea P(10;5a) las coordenadas de un punto en el sistemaAYy P'(22;a) las coordenadas de un punto en el sistem aA T c[üe se obtuvo al rotar el sistema AY un ángulo a .

A partir de la figura 11.22(a), determine la ecu ad ó n de la elipse cuando el sistema AY se traslada al

Halle el valor de M = a sen a + 2a eos a .

punto (\Í3 ; l ) ; si en el sistema X ”Y" P y Q tienen com o coordenadas (-2; 0) y (6;0) respectivamente, adem ás O es un foco de la elipse.

Resolución Se tiene

P( 10;5a) en el sistem a XY P'(22;a) en el sistem a A" Y'

Para calcular a y a rotación

usarem os las fórmulas de

x = x 'c o s a - y 's e n a y = x 's e n a + y ’c o s a De (I) obtenem os

jr= 1 0 , x ' = 22 ,

F o rlotanto

y =5a y' = a

lQ = 2 2 c o s a - a s e n a

....(II)

5a = 22 s e n a + aco sa ....(111) De (III) al despejar a, obtenem os a = 2 2 sen a (,v ) 5 -co sa

Resolución D ado el gráfico m o strad o p o d em o s o b te n e r c ie rto s e le m e n to s p a ra la elip se co m o las coordenadas de los focos y de los vértices.

Reemplazando en (II) 10

„ 2 2 se n a = 2 2 c o s a ---------—s e n a 5 -c o sa

=> 50 -1 0 eos a = 110 eos a - 22cos2 a - 22sen2a => 120 eos a = 50 + 22(se n 2a + eos2 a ) 1 3 => 120cosa = 72 => c o s a = -

a

4 se h a = -

Reemplazando en (IV)

( ) => a = 4

22 1

3 = —^

F, (Foco 1) =+ F, (0,0) Se pide a s e n a + 2 a c o sa = 4 - +2(4) .-. M = 8 806

F2 (Foco 2) => F2 (4;0) C (Centro) => C (2;0)

Traslación y rotación de ejes

C A P ÍTU LO XI

L.a ecuación de la elipse en el sistem aX "Y" será ( - Y 2} +

-r

y'

-T = l

(2sí3)"

Grafique la siguiente cónica 17x2- 12xy + 8y2- 80— 0

-.(I)

Para tran sform ar al sistem a XY u sarem o s las fórmulas de rotación (ángulo de rotación 30°) .y "

Problema 5

= x cos30° + ysen30°

v" = -x sen30° + y cos30° Luego obtenem os

(*)

Resolución Para graficar, simplifiquemos por rotación de ejes; previamente B2- 4AC=(-12)2- 4(17)(8)= -400< 0 Por teoría es una elipse o su degenerada, para eliminar el térm ino XY debem os hallar 0 tal que

...(2)

A -C B

cot2 0 = Reem plazando (2) en (1) obtenem os

3 0V3 2

fx V 3 + v 1 2

1 7 -8 -12

12

16

ya q u e cot20 = - -

Reduciendo obtenem os

3(v3x + y - 4 ) 2 + 4 (-x + >\¡3 f = 192 ...(3)

y O/3xy + 3y2 + 8>/3x-8y + 32 = 0 Resolución Se tiene B2- 4AC= ( z S ) 2- 4(I)(3) =* B2-4A C = 0 Luego la gráfica es una parábola o su degenerada. A partir d e la ecuación se obtiene A -C B

1 -3 2S

Pbr tanto 2g>= 120° y 0 =60° S . i sen0 = — y cos0 = -

808

1 V3

Problema7 Identifique el tipo d e curva q u e rep resen ta la ecuación 4X2 - 4 x y + y 2+ 8 x - 4y - 5 = 0

% Resolución B2- 4A C = (-4 )2- 4 ( 4 ) ( l) = 0 , por teoría es un a parábola o su d eg en erad a

Traslación y rotación de ejes

C A P ÍTU LO X!

Luego hallam os 6 el ángulo de rotación tal que 4 -1 -4

A -C

cot2G = ------B

3 por problem a 5 4 x =

0 = 63°30', sen0 = —= y cos0 = V5

y=

y '- 2y’ S 2y '+ y '

Luego reem plazam os, en la ecuación dada; que tiene por equivalente (2y-y)2+4 (2,v- y ) - 5= 0

- 2>"1 r 2x’+ y ) f V5 J l 5 Jj J

)2 , 4

— -— T 5 V5

r

-

Dada la ecuación com pleta de 2do grado Ay2+ Bxy+ Cy2+ D.v+ Ey+ F=0 dem uestre que si B2- 4AC>0, dicha ecuación p e r te n e c e a u n a h ip é rb o la o u n a se c c ió n degenerada. Resolución Puesto qu e debido a u n a rotación de ejes se obtiene una ecuación de la forma A ’x ’2'+B'x'y''+C'y',2 + D'x'+ E'y11+ F = 0 ... (1) Se verifica que B'2 - 4A ' C' = B2 - 4AC; co m o B 2-4 A C > 0 =* B'2 - 4A’C' > 0 ...(2)

'j 2y’+ v, 'j f ; í

Problema 8

J

Pero si se elimina el térm ino x ’y ’ => B' = 0 -5=0 De (1): A 'y^+C 'y'2 + D 'y ’+ E'y'+F'=0 ...(3) Luego de (2)

j~-

-4A 'C' > 0 => A 'C (v/5 y '-2 )2 =9 (lo cual indica qu e A'C' tienen signos opuestos) Efectuando , 3

De (3) podem os obtener ,

y=7I °

,

3

y =“7 f

A

+C y '2+ ^ y

= -F

Graficando Completando cuadrados D' \ , í D’ x.2+2o! — \x + —

2A'J

+ C y'2+2|

/jy

2

2A

^2A’

y+ J L 2C

2

+C cte

2C = -F +

cte

+— 4A' 4C cte

esas constantes las cam biam os por m; n y k e R re sp e c tiv a m e n te , ésto p a ra te n e r u n m ejo r panoram a de dicha ecuación A'(x' + m )2 + C '(y'+ n)2 = k ...(4) 809

-

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

Com o A' y C tienen signos opuestos se tendrán d o s casos: l e r C aso A’ > 0 a C '< 0 , hacem os C' = - P ; P e R* ...(5) R eem plazam os (5) en (4) A '(y + m )2-P (y '+ n )2 = k ...(6) Pero respecto de k se tienen a su vez dos casos i) S ik e R - { 0 } ii) Si k= 0 Analizando la posibilidad i) la e c u a c ió n (6) se transform a en

Problema 9 Un avión vuela siguiendo la trayectoria hiperbólica que se observa en la figura. Si. la ecuación de la trayectoria es 2(y')2- (x ') 2=8 en el plano X 'Y ' generado al rotar 45°, determ ine la ecuación de dicha trayectoria en elsistemaXE, adem ás calcule la altura del avión cuando éste se encuentra por encim a del origen de coordenadas con respecto al sistema AY. Y(km)

( x ’+ m ) 2 (y ’+ n )2

í

(esta ecuación representa a u na hipérbola) Si analizam os la posibilidad ii) la ecuación (6) se transform a en A '(x '+ m )2- P ( y '+ n ) 2 =0

...(7)

la q u e a su vez se puede escribir com o %/A'2( x ’+ m )2->/P2(y ,+ n)2 = 0 =» (N/ACx’+ m í + M^PCy'+n)) (Va t( x '+ m ) - 7P(y'+ n)) = 0 De d onde se obtienen las siguientes ecuaciones

Resolución Para calcular las coordenadas originales, cuando el sistema ha rotado un ángulo a aplicam os las siguientes fórmulas: x ' = x c o s a + ysenct y ' = -x s e n c t+ y c o s a

>/Py' + -JXx'+ •ÍXm + JPn = 0 (es u na recta de pendiente igual a ->/A '/ Vp )

Se tiene de dato a = 45°, luego ¡2 x ' = xcos45°+ysen45° => x ' = — (x + y)

—Jpy' + VAx'+ 'ÍA'm - VPn = 0 (es u n a recta de pendiente igual a V A '/ n/P ) C om o las pendientes son opuestas significa que estas dos rectas son secantes o que se cortan.

<

^2 y' = -xsen45°+ ycos45° =» y' = — ( y - x )

Sustituyendo en la ecuación 2 (y ’)2 - (x ')2 = 8 2 d o . caso A ' < 0 a C’> 0 ; hacem os A’ = - Q ; Q e R +

Este segundo caso queda para el lector, el desarrollo es en form a análoga, y obtendrá lo mismo, una hipérbola o dos rectas secantes. Expuesto lo anterior .podemos concluir que en la e c u a c ió n A*-2+Bxy + Cy2+ D x + E y + F = 0 , si B2-4AC>0, la ecuación representa a una hipérbola o dos rectas secantes (sección cónica degenerada). 810

Efectuando qu ed a x2- 6xy+y2-16=0 Es la ecuación d e la trayectoria del avión en el sistem a original XY. Si hacem os x=0, determ inarem os el valor (y) de la altura del avión 02-6(0)y + y2- 1 6 = 0 y2= 16 y = 4km

roblemas propuestos 1.

Se hace rotar un ángulo de n/ 3 y se traslada

4.

a la vez; determ ine las coordenadas del nuevo o rig en

si

el

p u n to

p ( 4 ;7 3 )

tie n e

Para la ecuación dada en el sistem a AY, lleve a cabo un a rotación apropiada d e ejes para q u e la e c u a c ió n re su lta n te en el n u evo sistem a no tenga el térm ino xy. x 2 - 2xy + y 2 - 8x - 8y = 0

coordenadas en el nuevo sistema.

B) 2y'2 = \Í3x'

A) 72y' = x '2 C) Zy'2 = \¡2x'

A) (1;0)

)B ) C A ( - ! :0 ] E )D

D) (0; -1 ) 2.

D ) y ,2= 4 7 2 x ’

C)(2;3) '

E) (-1,1)

5.

Del gráfico mostrado, halle el área de la región som breada, si las coordenadas de P en el

E ) y ' = 3 7 2 x '2

D eterm ine la ecuación de la circunferencia tangente a los semiejes positivos que encierra con estos un áre a igual a ( 4 - r c ) u 2 al ser trasladado el origen al punto PC—1; 3)

sistem a X V son (372 ; 2 72). A) x '2+ y'2- 6 x ’+ 2y’+ 6 = 0 B) x '2+ y '2+ 6 x '+ 2 y '+ 5 = 0 C) x '2+ y '2-8 x '+ 4 y '+ 1 0 = 0 D) x ’2+ y '2-6 x '+ 1 0 y '+ 1 2 = 0 E) x '2+ y '2-1 4 ;r’+8y'+10 = 0 6.

A) —

u2

B)

D) 372 u2 3.

u2

C) 4.72 u2 E) 72 u2

Dada la ecuación Sx2 + 8y + 4 - 4 x y - 12jc= 0, luego de analizarla podem os concluir que corresponde a A) una elipse. B) una parábola. . C) una circunferencia. D) una hipérbola. E) dos rectas paralelas.

D ado el sig u ien te gráfico, d e te rm in e la ecuació n d e la recta en el nuevo sistem a g e n e ra d o al traslad a r el origen al p u n to M(3;7), AB=5 u. Y* ^ / /

/

/

/

A rs30° X A) 6 y '+ 2 7 3 x '+ 1 0 7 3 -4 = 0 B) 6 y '-2 7 3 x '+ 2 7 - 6 7 3 = 0 C) 6 y '+ 2 7 3 * '+ 5 7 3 -2 = 0 D) 5 y '+ 1 0 7 3 x '-8 7 3 + 2 = 0 E) 6 y '-2 7 3 x '+ 8 7 3 -2 = 0 811

Trigo n o m e tría

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7.

la c u rv a

10. Luego de eliminar el término xy de la ecuación

s is te m a

■$:sen(60'+ajx^+senaxy+senieO0- a)iy2+Dx +Ey+F=0:

generado al rotar los ejes un ángulo 45° en

a * krc; k e Z . Determine el ángulo que hace

sentido antihorario.

posible esta eliminación.

D ete rm in e la e c u a c ió n ^ ; ( j>c—2)2 = 4y

en

el

de

nuevo

A) 30°

A) x '2+ y '2+ 2 x ’y ’+ 8 x '-1 0 = 0

B) 45°

C) 60°

D) arctan (>/2 - 1) '

E) 75°

B) 2x’2+ y '2- 2 x ,y'+8V2x,- 8 = 0

11. Dada la gráfica C) x ,2+ y ’2- 2 x ,y ,- S S x ' + » - 0

i

:sen)xy + cos0 y a m tan

4

_____ __________________ tan 45° tan 15o tan 15o tan 15o

=> t a n | = \/(2- n/3)3 => | = arctanV (2-> /3)3

excede a 18°° => E=4arctan% /(2-\/3)3 E = (A + B + C )-180° i V___________________ } 820

••• E=31,56°

Trig o n o m e tría esférica

C A P ÍTU L O XII

Área del Triángulo Esférico (S) El área de un triángulo esférico es el área de la superficie de la esfera, el cual se obtiene al multiplicar el cuadrado del radio con el exceso esférico. S

B

= R2.E

Siendo E: Exceso esférico expresado en radianes. R: Radio d e la esfera.

(a)

Dem ostración En la dem ostración de la fórmula para calcular el área(S), es necesario considerar qu e el área de un huso esférico (véase figura 12.7(c)), siendo a ángulo expresado en radianes, se calcula por la siguiente

formula,

Área del ^uso esférico

, „2

(b)

(c) Figura 12.7

Adicionalm ente, dadas tres circunferencias m áxim as, se determ ina (véase figura 12.7 (b)) sobre la esfera triángulos esféricos simétricos (ABC y A'B'C'; A'BC y AB'C', etc) los cuales tienen igual área respectivam ente. Sean: luego

S: áre a de T.E. ABC, S,.área del T.E. A'BC; S2: área del T.E. AB'C S+S, = 2AR2 .........(/) S+S2 = 2BR2 ........07) Además com o el T.E. A'BC es simétrico con el T.E. AB C' luego estos triángulos tendrán igual área, es decir S2= área del T.E. AB C' Luego S, +S2=*2(7t-C)R2........ («7) Si hacem os (/)+ ( h)-( h7) S

= (A + B + C - 7i)R~ . E: exceso esférico expresado en radianes E ’ S=ER2 (esto es lo que se buscaba dem ostrar) 821

Lumbreras Editores

Triángulo Polar o Suplementario El triángulo polar de un triángulo esférico es otro triángulo esférico que se obtiene por arcos d e circunferencias máximas cuyos polos son los vértices del triángulo dado. (Véase figura 12.8 (a))

Trig o n o m e tría

I.

Si A es un polo; d e

B'C'

(a rc o d e

circunferencia máxima). II.

MN = Á

III. Por

d efin ició n

de

d is ta n c ia

p o la r

§ ^ = MC' = 90° IV.

a ' = B ^ + M C-M N => a ’ = 90°+ 90°-A => a ' = 180°-A .-.

A = 1 8 0 °-a'

Ejemplos • • A' es polo del lado a. • B' es polo del lado b.

Halle los lados de los triángulos polares de los triá n g u lo s e s fé ric o s q u e tie n e n los siguientes ángulos:

Relación entre lados y ángulos de un triángulo esférico y su polar correspondiente.

Resolución

> II* 00 s 1

I. A =40°, B = 8 0 °, C=110° A = 180°- a ' B = 1 80°-b' C = 180°- c '

a' = 140°, b' = 100°, c ’ = 70°

B' = 180°-b C' = 1 8 0 °-c

Demostración De la figura 12.8 (a), graficamos la curva % la cual es un arco de circunferencia máxima, tom ando com o polo B, análogamente % con polo en C y % con polo en A, entonces el triángulo A'B'C' es triángulo polar del triángulo ABC.

II. A = 70° 10', B = 56°20', C = 92°15’ Resolución a ' = 109°50' , b' = 123°40' , c ’ = 87°45' •

Halle los ángulos de los triángulos polares de los triá n g u lo s e s fé ric o s q u e tie n e n los siguientes lados: I. a = 8 0 ° , b=50° y c=100° Resolución A '= 100°, B' = 130o,C ’ = 80° II. a = 7 4 °4 2 \b = 9 5 °06',c = 66°25' Resolución A' = 105° 18' B'=84°54' C'=U3°35'

822

Trigonom etría esférica

C A P ÍTU LO XII

Triedros polares o suplem entarios Son los triedros q u e corresponden a dos triángulos esféricos suplementarios. • Propiedad de los triedros suplementarios Cada arista de un triedro es perpendicular a una cara d e su triedro polar. En efecto, esta arista corta la esfera en el polo del plano de la cara correspondiente. Triángulo Esférico Rectángulo (T.E.R.) Se llama triángulo esférico rectángulo a un triángulo esférico tal que uno o m ás d e sus ángulos sea recto. En el triángulo ABC recto en C, (véase figura 12.10) se cum plen las diez relaciones fundam entales siguientes: 1. sena = senAsenc = tanAsenb

2. tana 3. tana 4. cose 5. cosA 6.'

7.

cosBtanc = cosa cosb = senB cosa senb = senBsenc tanb = tanB sena tanb - cosAtanc cose = cotAcotB

B

=

8. 9. 10. :osB :

*

..........

/

*Cj1- 9 0 3 \rC

A (6) Figura 12.10

senA cosb

La deducción de estas relaciones aparece en los problem as resueltos del presente capítulo. •

O bservación Un triángulo esférico rectángulo pueden ser de uno, dos o tres ángulos rectos, veamos:

823

Trigonom etría

Lumbreras Editores R eglas de Neper

John Neper (1550 -1617), matemático inglés, establece las siguientes reglas para facilitar la obtención de las diez relaciones fundamentales m encionadas para el caso de un triángulo esférico rectángulo. Se sustituye del triángulo original, al lado c por (90°- c), el ángulo A por (90o- A), el ángulo B por (90°-B). 90°-B

90o- c

90°-A (c)

Observe que los elem entos se encuentran en el círculo mostrado (véase figura 12.12(c)), de donde Neper m enciona las siguientes reglas

El seno de cualquier elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes.

Ejemplo • Considerando al lado b com o el elem ento intermedio, entonces sus elem entos adyacentes son a y 90°-A, entonces senb=tanatan(90°- A) => senb = tanacotA tana=tanA senb (es la relación 2) • Considerando al lado a com o el elem ento intermedio, entonces sus elem entos adyacentes son b y 9 0 °-B se n a= ta n (9 0 °-B )ta n b => sena=cotB tanb tanb= tanB sena (es la relación 7)

El seno de cualquier elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos.

Ejemplo 1 » Para el elem ento a, sus elem entos opuestos son 90°-A y 90°-C sena = cos(90°-A) cos(90°- c) =» sena= senA senc (es la relación 1) • Para el elem ento 90o- c, sus elem entos opuestos son a y b. sen(90°- c) = cosacosb => co sc= cosacosb (es la relación 4) Ejemplo 2

g Del siguiente triángulo esférico, (vea la figura 12.13) calcule 2 sen2 —

824

Trigonom etría esférica

C A P ÍTU LO XII

R e s o lu c ió n

Por las reglas de Neper, cam biam os por su com plem ento a los elem entos A, c y B.

Figura 12.14

Por la regla 1 sen(90° - B) = tan45°tan 16° => cosB =tan45° tan 16°

R e s o lu c ió n d e t r iá n g u lo e s f é r ic o is ó s c e le s S e

=> cosB= l x - r z4 7 o 2B 17 cosB ■l- 2 s e n 2- = — : >2sen —= — 2 24 24 2 24 Dado el triángulo esférico ABC, la'relación (1) sen a-sen A senc. Para determ inar si á e s m enor o mayor a r e 90°, se necesita una inform ación adicional, esta información se obtiene de la regla de los cuadrantes.

realiza en form a análoga a la d e un triángulo isósceles plano, es decir dividiéndolo en dos triángulos esféricos rectángulos iguales p or un arco de circunferencia m áxim a, trazado d esd e el v értice, p erp e n d icu la r a la b a s e . (V éase figura 12.15 (a)). B

R e g la d e c u a d r a n t e s

1. El lado a y el ángulo A (lo mismo que lado b y el ángulo B) pertenecen al mismo cuadrante. 2. Si c< 90°, entonces los lados a y b (lo m ismo que los ángulos A y B) pertenecen al mismo cuadrante; si c> 9 0 °, entonces los lados a y b (lo m ism o q u e los án g u lo s A y B) pertenecen a diferentes cuadrantes.

Triángulo C uadrantal Es un triángulo esférico tal que uno de sus lados es un cuadrante (igual a 90°). Por tanto; para resolver se realiza m ediante su polar. (Véase figura 12.15(b)).

E je m p lo s

I.

Si A=100° =s a > 90°

II.

Si c=120° =r b < 90°

...(Ira. regla) a

a > 90'

ó b > 90° a a < 90° Si c=40° =s b > 90°

a

a > 90°

ó b senh = sena se n B .. . (11)

90°-a

90°-B

■

(b )

Figura 12.17 Igualando (1) y (II) sena senB = senb senA sena _ se n b senA senB 826

análogam ente para los ángulos B y C sena __ senb _ sene senA senB senC

C A P ÍTU L O X II

Trigonom etría esférica

Ejem plo Del T.E. ABC mostrado en la figura 12.18, calcule el valor de M =1 + co s2a C

Resolución Por ley de senos para un triángulo esférico: se n a _ sen b senA senB reem plazando valores: sena sen60° V3 sena = sen60° => sena = — sen+00^ 2

C

utilizando la regla 1 de Neper • se n m = tanh cotA • senh = senb senA • cosb = cosh cosm ahora en el T.E. CFB, se cumple cosa = cosh cos(c - m) cosa = cosh(cosc cosm + sene senm ) eos a = cosh cosm cose + cosh senm sene c o s a = cosb. c o se + cosh(tanh cotA)senc eos a = cosb cose +

luego:

2)

M = 1+ cos2a = l + l - s e n 2a = 2 -¡ — l 2 ,. 5 M= — 4

Ley de Cosenos para Lados

En todo triángulo esférico ABC, el coseno de un lado cualquiera es igual al producto de los c o s e n o s de los otros dos lad o s, m á s el producto de los senos de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman:

se nh cotAsenc senbsenA Luego: cosa = co sb co sc+ senbsenccosA A nálogam ente para los otros lados. La ley d e sen o s y cosen o s tam bién po d em o s dem ostrarla d e la siguiente forma (en el ángulo triedro O-ABC) se a O C = l

i cosa = cosbcosc + senbsenccosA ! cosb = cosccosa + sencsenacosB j cose = cosacosb + senasenbcosC 3)

Ley de Cosenos p ara Ángulos

En todo triángulo esférico ABC, el coseno de un ángulo cualquiera es igual a m enos el producto de los cosenos de los otros dos ángulos m ás el producto de sus senos por el coseno del lado que forman cosA = -cosBcosC + senB senC cosaj cosB = -cosCcosA + senCsenAcosb I ,cosC = -cosAcosB + senAsenBcosc J D em ostraciones En el triángulo esférico ABC (figura 12.19) Sea AF = m y en el T.E. ACF, se tiene

P ara Ley d e se n o s De la figura 12.20 mostrada se tiene el A PHC senasenB sen b sen a _ se n b luego senA senB >senA =

827

Lumbreras Editores

Análogamente para los ángulos B y C sena _ sén b _ sene senA senB senC Para Ley de cosenos (para lados) De la figura 12.20 tomamos el cuadrilátero OB'HP

Trigo n o m e tría

Ejemplo En el sig u ien te triángulo esfé rico (véase figura 12.23 (a)), calcule F = 3cosA-2V2

.

Resolución Sea el triángulo esférico ABC B

tenem os cosa= cosbcosc + senbsenccosA Demostración (Ley de cosen os para ángulos) Sea el triángulo polar A'B'C para el T.E. ABC donde á = 180°- A y A' = 180°- a , b’ = 180°- B y c'=180°- C, se cum ple cosa’ = cosb’cosc' + senb'senc'cosA'... (i) cosa' = cos(180°-A ) = - cosA cosb' = cos(180° - B) = - cosB cose' = cos(180° - C) = - cosC Reem plazando estas relaciones e n (i) -co sA = (-cosB )(-cosC ) + (senB )(senC )(-cosa) cosA = - cosBcosC + senBsenCcosa

Por ley de cosenos para lados cosa = cosbcosc + senbsenccosA cos45° = cos60°cosl20° + sen60°senl20°cosA ^ =ií_ I) +^ í ^ 2 2^ 2 ) 2 [ 2

cosA

V2 _ _ ! + 3 cosA 2 “ 4 4 2>/2 = -l+ 3 c o sA 3cosA -2-J2 = 1 ••• F=1

AP LIC AC IO N ES DE LA TR IG O N O M E TR ÍA ESFÉRICA EN AS TR O N O M ÍA Y N AVEGACIÓN L a teoría antes expuesta tiene su utilidad al analizar a la. Tierra, es decir, al h a c e r cálculos d e d istan c ia en tre puntos sobre la Tierra c o n s id e ra m o s a é s ta co m o u n a e s fe ra d e 6370 km d e radio. Básicamente tenem os que recordar que el movimiento rotacional d e nuestro planeta, tiene com o ejes d e rotación al diámetro que pasa por los polos Norte(N) y Sur(S), ad em ás da una vuelta com pleta en 24 horas. Esto es, tarda 24 horas en girar 360° (cada hora gira 15°). El lector debe recordar que el tiem po de 24 horas para que la Tierra d é una vuelta com pleta es una aproxim ación, ya que lo real es que dicho giro se realiza en 23 horas, 56 m inutos y 4 segundos Ecuador Es la circunferencia m áxim a cuyos polos son Norte y Sur. (Vea la figura 12.24) 828

Trigo no m etría esférica

C A P ÍTU L O XII

Longitud (/.)

M eridiano El m e rid ia n o d e un lugar (A) e s la se m ic irc u n fe re n c ia d e la T ie rra q u e p a s a por los p o lo s N o rte y Sur. (V ea la fig u ra 12.25).

Es la distancia esférica q ue hay d esd e el m eridiano de G reenw ich (Inglaterra) h asta el m eridiano que p asa por el lugar de observación, varía de 0o a 180° y hacia el este u oeste. De la fig u ra 12.26, las c o o rd e n a d a s Figura 12J25

geográficas de P es ( lat 5 N,long >, W)

Sistema de Coordenadas Geográficas

N

Sistem a utilizado para la ubicación d e un punto en la superficie de la Tierra, m ediante las coordenadas latitud (5) y longitud ( a.). Latitud ( 5 ) Es la d is ta n c ia e s fé ric a (m e d id a e n su meridiano) que hay desde fa línea ecuatorial hasta el círcu lo p ara lelo q u e co n tien e al lugar en observación, varía de 0o a 90° y hacia el norte o el sur. Distancia entre dos puntos de la superficie de la Tierra La distancia m ás corta entre dos puntos situados sobre la superficie d e una esfera es el m en o r arco (0o a 180°) d e circu n feren cia m áxim a. Así e n la figura 12.27(a) la d istan cia m ás c o rta en tre A (iataS; Iong|3W) y B (latON; longO°) es la longitud del arco AB de circunferencia máxima. Para dicho cálculo se puede utilizar el triángulo esférico ANB o ASB.

N

Lumbreras Editores

T rigonom etría

Rumbo Cuando un navio o aeroplano recorre un arco de circunferencia máxima entre dos puntos, su rumbo es el ángulo que el recorrido forma con el m eridiano del navio o del aeroplano (El rum bo se m ide a partir del norte y con el sentido horario). Ejemplo 1 Un navio que parte de A hasta B (figura. 12.28); el rum bo en A es el ángulo NAB= a y el rum bo en B es el ángulo NBC= y .

Ejemplo 2 Un navio que parte de B hasta A (figura 12.29); el rum bo en B es el ángulo NBA= 0 y el rum bo en A es el ángulo NAD.

N

N

EL ESTRECHO V IN C U L O ENTRE T R IG O N O M E T R IA Y A S T R O N O M IA

Las aplicaciones más im portantes d e la Trigonometría esférica se han d ad o en la Astronomía. En efecto, la Trigonometría fue desarrollada primero por los astrónom os y durante siglos fue estudiada solam ente en conexión con la Astronomía. Nosotros estudiarem os algunos de los problem as aplicativos que se presenta en esta ciencia.

dhkldUfafek,

M

Observatorio astronómico W illiam Herschell, en la la Tierra y se rigen por las leyes de Kepter.

830

isla española de La Palma.

C A P ÍTU LO XII

Trigonometría esférica

C H A N C H U L LO : O B S E R V A T O R IO A S T R O N O M IC O DE LA COSTA P E R U A N A

A sólo diez kilómetros de Cosm a, se ubica la muralla de Chanquillo. La m uralla se halla derrum bada, pero conserva la curvatura original de su diseño (véase el primer gráfico). Se pue de o bservar los trece e n ig m á tic o s to rre o n e s y los e n o rm e s m u ro s de u n a p la z a enterrada. En 1937, el Dr. Julio C . Tello recorre la zona en el marco de su célebre expedición por el valle de Casm a, describiendo a Chanquillo como "un m onum ento de prim er orde n en su g é n e ro ", lu e go de realizar croquis, tom ar fotografías y mediciones. El estudio ta m bié n lla m a la En la imagen, la muralla de Chanquillo. Expresan del desarrollo atención sobre los grandes portales cultural de los antiguos pueblos peruanos. " techados con troncos de algarrobo que aún se pueden observar en » ... Chanquillo, y según un fechado en radio - carbono realizado dio una fecha sorprendente de 3 2 0 + /- 80 años antes de nuestra era. - - ; £1 Dr. Paúl Kosok, el mismo que inició las investigaciones de las líneas y geoglifos en ’as pam pas de N azca, propuso que Chanquillo cumplió una función astronómica calendaría, relacionada con la observación del Sol, la Luna y las estrellas. Resaltó además que los torreones coinciden con los 13 meses del calendario lunar y que las 3 murallas concéntricas del monumento tendrían referencia con los tres años solares que constan en cada ciclo lunar.

Hipotética reconstrucción del observatorio astronómico de Chanquillo por el arquitecto Carlos M illo .'io s trece torreones coinciden con el número de meses lunares.

831

Problemas Resueltos Problema 1

Problema 3

Halle el área de un triángulo esférico, sabiendo q u e sus ángulos m iden 70°, 80° y 85°, adem ás el radio de la esfera es 12m (tom en:=3,14).

En un triángulo esférico ABC recto en C sen3b simplifique R :

Resolución De los datos: A=70°, B=80° y C=85° calculando el exceso esférico => E = A+_B_+C -180° E = 235°-180° E = 55° luego, calculam os el área del T.E. S = R2E S c S

= 122 x

tanb 4tanB

se n 3 senb

f tan3a sen3a: 3tan3A Resolución S ea el T.E. ABC rec to en C

55x —

180 144x55x(3,14) 180 = 138,16m2 *

Por la regla de Neper

Problema 2 Dado un triángulo ABC, donde se cum ple a + b + c = 180°, calcule K =(l-cosA )tanbtanc Resolución sénbsenc K = (l-cosA ) cosbcosc senbsenc - senbsenccosA K= cosbcosc pero de la ley de cosenos para lados cosa = cosbcosc + senbsenccosA => senbsenccosA = cosa - cosbcosc ... (II) Reem plazando (II) en (I) v sen b sen c - co sa+ cosbcosc iv — ---------- ——---------------------------------------cosbcosc y _ co s(b - c) - cosa cosbcosc Del dato a + ( b + c ) = 180° => cosa = - e o s (b+ c) cos(b - c) + cos(b + c) cosbcosc K _ 2_cosbcósc cosbcGsc K=2

sen a= tan b tan(90° - B) => sen a= tan^ tanB sen b = tana tan(90° - A) Uina senb = tanA

... (II)

Reehiplazando (I) y (II) en R

y

832

-0 )

sen3b

r sena l

sen3a

4 se n 3b

se n 3 a ' 3 ,J se n b 'j

4 J

Trigonom etría esférica

C A P ÍTU LO XII

sen3a

R esolución

sen3b ( 3 s e n a - 4 s e n 3 a) Se con o ce ta ñ í—1 = ...(I) ( 2 J \ 1+cosA d e la ley d e cosenos para lados co sa = cosbcosc + senbsenccosA

sen3aj 4 se n 3b - 3 s e n b j -sen3b Simplificando obtenem os R = -l

cosa - cosbcosc => cosA = ---------------------senbsenc

Problema 4 En un triángulo esférico ABC, se cum ple que

Sustituyendo en (I) j _ cosa - cosbcosc senbsenc I cosa - cosbcosc

obtenga el valor de la expresión siguiente: K = c o s b (s e n A s e n C + c o s c )+ c o s A (s e n b s e n c cosC) A) 2j

Resolución K = cosbsenAsenC + cosbcosc + cosAsenbsenc - cosAcosC Agrupando convenientem ente K= (cosbcosc + senbsenccosA) + (-;osA cosC + cosbsenAsenC) identificando, por la ley de cosenos para lados y ángulos K = cosa + cosB K = 2cos

a+ B

eos

a-B ...

©

Del dato eos

senbsenc /se n b se n c -c o sa + cosbcosc y senbsenc + cosa - cosbcosc

Identificando, las identidades de arcos compuestos (A ) ta n ¡ 2 J

| cos(b - c) - cosa \ cosa - cos(b+ c)

Transform ando a producto en el radical sen

,a#

'a + b - c ' l

sen

(a -B )

COSI ---------- I = l

2

,

sen

Cc + a - b ) L- ^ J f'b + c - a ')

l

2

J

72

—

2

Reem plazando en (1) K= 2 I ^ ]= > K = —

Del perím etro del T.E. tenem os n , a + b -c 2p = a + b + c =>----- — = p - c análogam ente

—- = p - b 2 b + c-a

Problema 5 En un triángulo esférico ABC dem uestre tan] —1= /sen(p - b)sen(p - c) 2J \ s e n p s e n (p -a ) siendo p = (a + b + c )/2

sen

J

' a + b + c^ l

a+ B

2

=p - a

De d o n d e finalmente obtenem os que

ta ñ í —V ísen(p - c)sen(p - b) 2J ) se n p se n (p -a )

833

Trig o n o m e tría

Lumbreras Editores

Problema 6

La m BC , expresamos en radianes

De una base militar B ubicada en el Polo Norte se dispara un misil por el Meridiano de Greenwich im pactando en una ciudad B (lat 30°S; long 0o). De otra ciudad C (lat 0o ; long 45°E) parte una misión exploradora. Halle la distancia m ás corta entre B y C, sabiendo que el radio terrestre m ide aproxim adam ente 6300 km. Considere árceos

x = 52°

n { 180°

13tt 45

Cálculo de la longitud del arco BC, en el sector circular BAC r BC = —

45

x (6300 km) = 1820ji km

= 52°

Problema? D el gráfico q u e se m u e s tra : ABC es un triángulo esférico, cuya

Resolución

a re a

es

343n 2 — cm .

¿C uál es el valor d el radio de la esfera que contiene el triángulo?

Resolución R ecuerde, el área d e un triángulo esférico es S=E.R2 ... (1)

(a) Resolviendo el triángulo esférico rectángulo BMC d e la figura 12.31 (a).

T en e m o s q u e el e x c e s o esférico E, se calcula así E = A + B + C - 180°, v éa se figura 12.32 (b) E = 45° + 85° + 120o- 180° E = 70°, en radianes es 7n . E .- m d

Empleando la Regla 11de Neper (véase figura 12.31) sen(90° - x ) = cos30°cos45°

luego, reemplazando en (1) ¿ = --R 2 Dato 18

cosx =

S V 2 = >/6 2 * 2 ” 4

x = arccos

=52°

343ra 2 7ra 2 ------ era = — R 2 18 R=21cm

834

A Figura 12.32

C A P ÍTU LO XII

Problema 8 El rum bo inicial de un derrotere a lo largo de una c irc u n fe re n c ia a p a rtir d e u n a c iu d a d A fla ta N ,longW )e s e ; (180°< 0 < 2 7 0 °).Halle las coordenadas geográficas de M, (en térm inos de a, 8 y ) donde el recorrido corta al Ecuador.

Trigonom etría esférica

R esolución U biquem os los puntos A, B y C en la Tierra.

Resolución Del enunciado; ubicando al punto A

Resolviendo el triángulo esférico ABC A

(b )

Figura 12.34

se n a = tan r tan(27O°-0) se n a = tarurcotO => tanx = senatanO =s x = arcot(senatanO )

Aplicando la ley de cosenos para lados en la figura 12.34(b) cos(90° - x ) = eos 120°cos(90° - x) + sen 120°sen(90° - jc) co s 60°

luego las coordenadas geográficas de M son M = (lat0° ; long(arctan(senc'.tan0) + í(>)W)

Problema 9 Tres bases A, B y C se encuentran distribuidas de la siguiente forma: B equidista de Ay C. Determine la latitud de B, si se sabe que se encuentra en la iong 18°0. Además, A está en el Polo Norte y C : (lo n g 7 8 °0 ; lat30°S). Dato: tan73°53'=2\/3

Reduciendo y sustituyendo valores 1 \Í3 1 => senx = — .se n x + — c o s x .2 2 2 s 3 V3 =>—s e n x = — c o s x 2 4 ^3 => ,tanAr = — 6 => cot x = 2\¡3 No olvidem os que tan 73°53' = 2-J3 x = 90°-73°53' = 16°07' 835

Lumbreras Editores

Trig o n o m e tría

Problema 10 Encuentre la m enor distancia entre dos ciudades A y B cuyas coordenadas geográficas son: latitud 45° Norte ; longitud 40° Oeste y latitud 45° Sur ; longitud 20° Este, respectivam ente.

Resolución Del enunciado, se ubican los puntos A y B en la figura 12.36 del T.E.R ANB tenem os

Resolución Del enunciado; ubicam os los puntos A y B en la figura 12.35.

Figura 12.36

Por N eper en el T.E.R ABN se tiene • Del gráfico T.E. ANB, por ley de cosenos para lados cosx = cos45°cosl35° + sen45°senl35°cos60° 1 =>cosx = -¡= X;

1 1 1 + —J=X—7=X— V 2 V 2 2 V2 J

1 71 =»co sx = — ; com o —< x < n 4 2 ■=>

seny = cos40°cos60° seny = - e o s 40° seny = 0,38 => y= arcsen(0,38) => y = 22°

•

senx = tan60°tany senx = \Z3tg22° senx - 0,68 => x=arcsen(0,68) => x = 34°

x = árceos 1 x = 71- á r c e o s 4

Problema 11 El rum bo inicial de un derrotero a lo largo de una circunferencia máxima, ^ partir de una ciudad A (lat 40°N, long 74°W) es N30° E. Localice un punto B del recorrido m ás cercano al Polo Norte(N) y calcule (en millas náuticas) la distancia en la circunferencia m áxima desde A hasta la ciudad B. Datos:

senx = cos40°cos(90° - N) sen x senN = -----— , eos40° sen34° . se n N = --------- = 0,73 N=arcsen(0,73) eo s40° => N = 47° Identificando las coordenadas de B B = (lat(90° - y)N ; Iong(74° - 47°)W) B = (lat68°N , long27°W) Luego calculamos la distancia AB AB =x=34°

• ^ eos 40° =0,38

• arcsen(0,38) = 22°

* V3tg22°=0,68 . s e n 34°/e o s 40° =0,73

• arcsen(0,68) = 34° • arcsen(0,73) = 47°

836

com o l ’= 1 milla náutica =s ÁB = 34 x 60'=2040' AB = 2040 millas náuticas

Trigo no m etría esférica

C A P ITU L O Xil

Problema 12 Dado un triángulo esférico ABC se tiene que E = A + B + C -n d em uestre que E tan — 4

y

2p=a+b+c

tan —tan

R esolución Analizando el lado a por teorem a de cosenos para lados, c o sa = co sbcosc+ senbsenccosA c o s a - c o s b cose cosA=se n b sene

Por degradación

A 2 sen2— = ! 2

R eem plazando tenem os

-

cosA a

A 2cos2 — = 1+ eos A 2

2A _ c o s ( b - c ) - c o s a A _ c o s a - c o s ( b + c) 2sen: - a 2cos — : senb sene 2 se n b s e n c

a + c - b '' __ ( a + b - c ^ sen A 2 2 J sen — = “ A 2 sen b sen c

sen¡

a+b +c

sen

b +c -a

sen b sen c

B B C C A nálogam ente para sen —, e o s —, s e n — y c o s —

f A + B 'i

A

B

A

B

por arcos com puestos sen ------- = s e n —eos —+ cos —sen — 1^ 2 J 2 2 2 2 reem plazando fa + b -c '

sen

a + c - b 'i ~ 2 ~ J

{¥ )-\

se n b se n c fa+ b + c4 í b + c-aV sen ---------- s e n ! ------2 J { 2 se n b se n c \

sen

'a + b + c 'l

' a + c - b 'l

sen

l 2___J se n asen e b + c -a 4

sen

2

J

( a + b -c

sena sene

Factorizando tenem os

i sen

A +B

Isen

a+ b+ c' a+ b -c sen 2 2 senbsena

, a + c -b " i ( b + c-a sen| — -— j + s e n l — -— sene 837

Lumbreras Editores

Trigo no m etría

f a-b 'A + B ) _ C COS[ ~ 2 ~ >sen; C0S2 ‘ c ' eos -

J

Análogamente ( a +b ,'A + B l C COSj 2 cos[ 2 I sen 2 . ' eos2 com o E = A + B + C -7 t

Propiedad sen

A+B

/ a - b 't J

COSI - y

f C -E

Reem plazando de (1) y (2) tenemos

Sl ~

a -b

eos

-co s|

C - E 'l cos| ------ “ 2

c + COS2

J

c cos2

C

COS — 2

C f C - E 't eos —— + c o s— l.

2

J

2

Transformando a producto y reduciendo

lan|ErH Er)-t"(f-!}Bn! de (3) cos| A * B j = s e n ^ y

- | reem plazando de (2) tenem os

,'a + b \ (C-E cosí 2 1 sen! 2 C sen — 2

c cos2 ta n —.tañ í — 2 [ 2

el

E

reduciendo análogam ente que (4) tenemos

/C E

ta n -.c o t U

- -

Multiplicando (4) y (5) tenem os

tan-s

. L e

W

i ^ W

i ^ W

^ l I

838

2

r b u soc ea b: al7d e ues? m o s tra r

(C -E

COS - y

c 2

COS —

j "róblenlas propuestos 1.

Es p o s ib le o b te n e r u n triá n g u lo e s fé ric o ABC c u y o s la d o s so n :

~

I. II.

2.

Es p o s ib le o b te n e r u n triá n g u lo e s fé ric o ABC c u y o s á n g u lo s so n : I. II.

3.

4.

5.

6.

9 4 ° ; 8 4 ° ; 140° 20° ; 151° ; 110°

c = a = A = A =

50° ; b = 65° ; b = 30° ; B = 30° ; B =

100° ; a = 1 20°; c = 37° ; C = 85° ; C =

70° 35° 128° 140°

a = a = A = A =

40° ; b = 130° ; c = 90° ; b = 155° ; c = 109° ; B = 103° ; C 55° ; B = 65° ; C =

'

70° 100° = 31° 135°

D e te rm in e si s e fo rm a el triá n g u lo e sfé ric o ABC e n c a d a u ñ ó d e lo s s ig u ie n te s c a so s : I.V I. II. III. IV.

a a A A

= = = =

80° 70° 40° 40°

;b = ;b = ;B = ;B =

100° ; c = 120° 79° ; c = 158° 70° ; C = 100° 1 0 0 °; C = 140°

40° ; 60° ; 90° 120°; 130°; 50°

Es posible obtener un triángulo esférico cuyos _ lados sean: 35° ; 65° ; 120° 110°; 9 0 °; 120° '

10. ¿Es posible construir un triángulo esférico ABC co n los siguientes datos? I. II. III. IV.

a = a = A= A=

45° ; b = 1 3 5 °; c=75° 90° ; b=150° ; c=100° 120° ; B=103° ; C=33° 55° ; B=65° ; C= 127°

11. En una esfera de radio 2 m se encuentra un triángulo esférico ABC cuyos ángulos están en progresión aritmética, adem ás: cotA = -7 ; cotB = - V3 , calcule el área de dicho triángulo. A) 4n m 2 D) 87tm2

D e te r m in e la e x is te n c ia d e lo s triá n g u lo s e s fé ric o s e n lo s s ig u ie n te s c a s o s : I. II. III. IV.

7.

1 4 5 °; 1 0 0 ° ; 63° 8 0 ° ; 1 0 0 °; 180°

D e te rr in e e n c a d a u n o d e lo s s ig u ie n te s c a s o j si e x is te el trián g u lo e s fé ric o ABC. I. II. III. fV.

9.

I. II.

1 3 0 °; 1 2 0 °; 110° 2 0 ° ; I4 Q °; 120°

Es p o sib le o b te n e r u n trián g u lo e s fé ric o cuyos á n g u lo s so n : I. II.

Es posible obtener un triángulo esférico cuyos ángulos sean: I. II.

1 8 0 °; 7 0 ° ; 130° 160°30’ ; 100°30’ ; 60°30’

Es p o sib le o b te n e r u n trián g u lo e s fé ric o cuyos la d o s so n : I. II.

8.

B) 5ti m 2

C) 6n m 2 E) lO jtm 2

12. H alle el á r e a d e un trián g u lo e sfé ric o , sa b ie n d o q u e sus ángulos m iden A=50°, B=70°, C=90°. Además el radio de la esfera es 63,437 m. A) 2106,03 m 2 D) 2503,87 m 2

B) 1002,54 m 2C) 302,50 m2 E) 408,75 m 2

13. D ado u n trián g u lo esférico c u a d ran ta l e isósceles de lados iguales a y b e iguales a a Halle el valor de la siguiente expresión D

A) 1

1+ cosCsec2a cosCcsc2cc + cos2C B )2

C) 3 0

1 839

Lumbreras Editores

Trigonom etría

14. ¿Qué parte representa el área del triángulo esférico ABC bicuadrantal del áre a de la superficie de dicha esfera? A dem ás el lado desigual es 60°. A) 1/8 D) 1/12

B) 1/15

C) 2/9 E) 3/11

A) 2

B) 2

E) 2

20.

Dado un triángulo esférico ABC, obtenga el valor de la siguiente expresión

B) 120°

C) 80° E) 150°

16. Si los lados de un triángulo esférico ABC están en progresión aritmética y el lado intermedio m id e 40°, c a lc u le el á r e a d e su correspondiente triángulo polar, siendo su radio R = 3m. A) 1271 m 2 D) 871 m 2

B) lOitm2

c o s(A -B )-c o s(A + B )

K=---------------- — --------------- ---------------- —-------1- cos2C 1- cos2c

A) 1 A) 100° D) 45°

C) i

D) 1

c o s(a -b )-c o s(a + b )

15. En un triángulo rectángulo esférico ABC recto en C, si A = 60°, B = 45°, obtenga el lado á de su respectivo triángulo polar A’B'C'

-

B) 0

1 .

O

2

1 °)

g

4

«

3

21. En un triángulo esférico ABC, simplifique (1 - cos2a)senB senc M = ------ —--------------------- 2tanA(cosa - cosbcosc) A) sena D) senB

C) 9 n m 2 E )157tm 2

B) senA

C) senb E) seca

22. En un triángulo esférico ABC, simplifique 17. En un triángulo esférico ABC, recto en A, si a =75° y b = 45°, calcule cosccosCsenB

N=

-cosA - eo s2—eos (B+ C) 2 se n 2|^ j c o s ( B - C)

A) 5 + V3B)

7-473

0

5 + 273

D) 7 + 4^3

E)

A) 1

73+715

1 D) ~4

18. En un triángulo esfé ric o ABC (C = 90°), simplifique 23. 2sen2A senbcosc M = -------------- 5--------- 5—cosa(2cos B - sen A) A) tan2a D) tan2B

B)

tan2b

19. En un triá n g u lo e s fé ric o ABC (C = 90°), simplifique 2cosAcosc - senBcosb senBcosbcos2a 840

C) tan2c É) sen2A re c tá n g u lo

B) 2

C )-l 1 E )-2

Halle la m enor distancia (sobre la superficie de la tierra) entre dos ciudades R y F cuyas coo rd en ad as geográficas respectivas son (latitud 30° N orte, longitud 80° O este) y (latitud 45° Sur; longitud 40° Este). Considere que el radio de la Tierra es 6300 km A) B) C) D) E)

10700 km 10704,26 km 12774,29 km 21603 km 10478,26 km

,

Trigonom etría esférica

C A P ÍTU L O XII

24. Dado un triangulo esférico ABC, indique ¿cuál de las'siguientes alternativas es falsa?

ta n ^ ( A -B )

se n -(a -b )

C )

c o t-C 2

se n -(a + b ) 2

D) t a n j l - s j

ta n ||-s j

A)

E) cot[ s " f ]

1 e l C B) co s-(A + B ),c o s- = c o s - ( a + b ) s e n —

ta n 2 ( a +

C)

b)

tan-

ta n -( a - b ) D)

^ cqs( a

- B)

27. Del siguiente triángulo esférico, la m ediana ma relativa a la hipotenusa, se calcula con cosm a y es igual a

cos(A+B)

se n -(A -B )

2 c ' = ----- 1---------ta n se n -(A + B ) 2 2

1 1 1 B E) tan - (A + C) = eos - (a - c) sec - (a + c) cot — 2 2 2 2 25. El rum bo inicial de un velero, a lo largo de un a circunferencia m áxim a, a partir de la ciudad de Lima latitud sur 37°, longitud 232° Oes e, es 315°. C alcule la distan cia en la circu n feren cia m áxim a desde dicha ciudad, hasta donde el recorrido corta al Ecuador. Datos: • arctan(3\/2 /4 ) = 46°42’ • radio terrestre 6300 km • n = 22/7 A) 5 210 km D) 5 137 km

B) 4 817 km C) 6 476 km ' E) 6 350 km

26. Dado un triángulo esférico ABC, siendo S la sem isum a de los ángulos A, B, C de dicho triángulo y a, b, c, son los lados, halle el equivalente de * .

A) 0,5cos ^ (cosb - cose) B) 0,5sen ^ (cosb - cose) C) 0,5sen ^ (cosb+cosc) D) 0,5cos ^ (cosb+cosc) E) 0,5sec ^ (cosb+cosc)

28. Dado un triángulo esférico ABC, siendo S la sem isu m a de los lados a, b y c d e dicho triángulo, halle el equivalente de K-

A) sen | — j

D) c o t [ ¡ )

I senSse n ( S -b ) \ sen(S - A)sen(S - C)

B) c° sj j j

C) t a n j ^ j

E) t a n j ^ j

841

1

I. No es posible

____ II. Si es posible

8

//. No es posible

1. Si es posible

19

I. Si es posible II. No es posible

9

1. No es posible II. Si es posible

20

B

21

A

------I. Si es posible II. No es posible

10 I. Si es posible II. No es posible I. Si es posible II. No es posible III. Si es posible IV. No es posible

6

-yj B

11

C

23

B

12

A

24

C

A

25

D

D

26

E

15

B

27

E

16

A

28

17

nr

I. Si es posible II. No es posible III. Si es posible IV. No es posible I. Si es posible II. No es posible III. Si es posible IV. No es posible

1. No es posible IL Si es posible III. No es posible

! D

|

D

T rigonometría

TABLA

DE SÍM B O L O S

EL ALFABETO GRIEGO Y LO S SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Alfa Beta Cama Delta Épsiton Zeta Eta Teta

A B r A E Z H 0

Iota Kappa Lambda Mu

a P y 5 e

N u

r

X I

s . n 6 .

SÍMBOLO

Ómicron Pi

SIGNIFICADO

=

I K A M 4N H

l K k \X V

o

e' S O

n

Tí

SÍM BOLO

Ro Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega

P £ T Y X

X

V

V

a

co

es igual a

c

incluido en

pertenece a

<

menor que

>

mayor que



mayor o igual que

tal que

i

perpendicular a

implica

; 11

/ -■':=> '

.

O

equivale a, si y solo si

O

reunión o unión

X 6

*

SIGNIFICADO

no pertenece a

e £

P a

paralela a en consecuencia, por lo tanto

;~

semejante

A

y

oo

infinito

V

o

ÁX

el cambio en x

r*

intersección

A x-+ 0

Ax tiende a cero

O

equivalente

áx

la derivada de x respecto á t

dt