1° Ano - Matemática e suas Tecnologias

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Aprendizagem Conectada

Atividades Escolares 3ª semana

1º Ano EM Nome da Escola Nome do Estudante Ano/Ciclo

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Unidade

2

Área de Matemática

1. Sistema cartesiano aplicações

ortogonal

de

coordenadas

e

suas

Os sistemas de coordenadas são aplicados em diversas áreas da ciência, tais como: matemática, cartografia, sensoriamento remoto, geoprocessamento, entre outros no nosso cotidiano: Por exemplo: um ponto de uma superfície da terra é determinado por duas coordenadas, a latitude e a longitude. O Sistema de Posicionamento Global – GPS permite identificar determinada localização por meio de mapas gráficos. Sem os mapas gráficos, você não teria informações sobre as ruas, estradas e locais. Apenas saberia que está a tantos graus de longitude e latitude, o que é bastante vago no uso urbano do sistema.

https://brasilescola.uol.com.br/geografia

Outro tema que pode ser desenvolvido por meio dos planos cartesianos são as funções matemáticas, uma vez que as suas definições dependem de gráficos. Os gráficos têm a propriedade de mostrar a evolução de um fenômeno em

perspectivas (aumento ou

diminuição do evento em função do tempo, por exemplo). Para localizar um ponto em um plano, podemos adotar um sistema de coordenadas. O mais comum é o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que apresentaremos a seguir. A palavra ortogonal tem origem no latim (orthogônius) e significa que forma um ângulo reto (ângulo de 90º). Desse modo, esse sistema é ortogonal porque os eixos formam ângulos retos entre si.

Apesar de outros matemáticos já terem utilizado o conceito de coordenadas cartesianas, é atribuído a René Descartes a sua formalização, na obra La Géométrie (1637). Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/b_rdescartes/

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O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é formado por dois eixos denominados de eixo das abscissas(x) e eixo das ordenadas(y).

Esses cartesiano

eixos em

separam

o

quatro

denominadas quadrantes.

plano regiões

No

1º

quadrante, os valores de x e y são positivos (+,+); no 2º quadrante, o valor de x é negativo e o valor de y é positivo (-, +); no 3ºquadrante x e y são negativos (-,-); no 4º quadrante x é positivo e y é negativo

(+,-).

Veja um exemplo de alguns pontos marcados no plano cartesiano: A(4, 3)

2º elemento 1º elemento eelement Podemos indicar por (x, y) o par o pelos elementos ordenado formado x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

f

Dúvidas? Assista ao vídeo:https://www.youtube.com/watch?v=iC4q1AGeN5A

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Formalização do conceito de função Nas semanas anteriores, já trabalhamos a noção de função no cotidiano. Agora que você já conhece diversas de suas aplicações, precisamos formalizar o conceito de função. Isso é importante, é a linguagem matemática. Vamos considerar uma relação f de A em B tal que qualquer elemento de A esteja associado, através de f, a um único elemento de B: Exemplo 1: f

Essa propriedade caracteriza um tipo particular de relação, ao qual damos o nome de função de A em B. Assim, definimos: Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, qualquer elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Considerando a função f e analisando a figura acima, podemos definir o seguinte: 

O domínio da função é o conjunto A, logo D(f) = {1, 2, 3}



O conjunto B é o contradomínio, logo CD (f) = {2, 3, 4, 5}



Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A são chamados de imagem da função, logo Im (f) = {2, 3, 4} Vemos que essa relação é de fato uma função, já que cada valor de A nos dá apenas

um valor de B. No entanto, não há uma fórmula imediatamente evidente para expressar esta relação. No exemplo 1, temos um número finito e pequeno de valores para as nossas variáveis, assim, foi possível descrever a função usando um diagrama com flechas. Isso não seria possível se o domínio da variável fosse infinito ou muito grande, e dessa forma não conseguiríamos escrever todos os valores em uma tabela ou diagrama! Se tivermos uma relação entre variáveis x e y na qual algum valor de x seja levado a mais de um valor de y, essa relação não é uma função.

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Exemplo 2 x

y

f

Nessa relação do exemplo 2, o valor 1 da variável x está relacionado aos valores 3 e 4 da variável y. Logo, essa relação não é uma função. Anote Nem toda relação é uma função!

Exemplo 3 Um valor de uma variável pode ter dois ou mais valores da outra variável. No gráfico abaixo, y não pode ser dado em função de x, pois há mais de um valor de y para um mesmo valor de x. Por exemplo, para x = 4 temos y = 2 ou y = 5.

Exemplo 4 No gráfico abaixo, y também não pode ser dado em função de x, pois há mais de um valor de y para um mesmo valor de x. Por exemplo, para x = 2 temos y = 2 ou y = -2. Logo, essa relação não é função.

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Podemos traçar o gráfico de qualquer relação, mesmo que ela não seja uma função.

Dúvidas? Assista ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=G3zjNRYbDv8

3. Conectando os conceitos para construir e interpretar os gráficos de uma função afim Uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais e a ≠ 0, é chamada de função afim. Dizemos que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função.

Revisando O conjunto dos números reais é representado pela letra maiúscula ℝ e é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Faça uma revisão em: https://www.youtube.com/watch?v=J4vD5RpOqJY

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Vamos construir o gráfico de certa situação que resulta na seguinte lei de formação: y = x + 2. Para esboçar o gráfico da função y = x + 2, primeiro construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculamos os correspondentes valores de y. Depois, representamos no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que foram obtidos. Por exemplo: para x = -3, temos:

y = x + 2, substituindo x por -3, obtemos: y = -3 + 2 = -1

Continue fazendo essa substituição para os valores -2, -1, 0, 1, 2 e 3. Depois confira os valores obtidos na tabela abaixo: Depois é só marcar os pontos no plano cartesiano, veja o resultado:

Dúvidas? Assista ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=2KWDWpmDZwQ

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Analisando o gráfico, temos:  Nessa função y = x + 2, temos: o coeficiente angular a = 1 e o coeficiente linear b = 2. O valor do coeficiente linear é onde a reta intercepta (corta) o eixo y.  Essa função é crescente, à medida que aumentamos os valores de x, os valores correspondentes de y também aumentam.

Observe a figura abaixo, que representa a função y = -x + 3

Veja que o valor de a é -1. Desse modo, a função é decrescente, à medida que aumentamos os valores de x, os valores de y diminuem.

f(x) = a x + b

f(x) =-a x + b Coeficiente angular positivo – função crescente

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Coeficiente angular negativo – função decrescente

Taxa de variação da função afim

A temperatura de certa região, no intervalo de 0 a 6 horas de um dia do inverno, é descrita por um meteorologista por meio da função afim y = 2x - 4. Essa função descreve a temperatura

y,

em

graus

Celsius,

em

função

do

tempo

x,

em

hora.

Qual a taxa de variação de temperatura dessa região?

Hora (x)

Temperatura (y)

0

-4

1

-2

2

0

3

2

4

4

5

6

6

8

Analisando o gráfico, observamos que: Quando x varia de 1 a 3, a variação correspondente de y é de -2 a 2; logo, a razão de variação de y e a variação dos valores correspondentes de x é: ∆𝑦 2−(−2) ∆𝑥

=

3−1

4

= =2 2

Isso significa que a temperatura variou 4 graus Celsius em 2 horas, o que equivale a variação de 2 graus Celsius por hora. Assim, a variação da temperatura é diretamente proporcional à variação do tempo. Observe que 2 é o coeficiente angular da função y = 2x – 4. Logo, a taxa de variação de uma função afim é dada pelo coeficiente angular.

Dúvidas? Assista ao vídeo:https://www.youtube.com/watch?v=6kh9U1yop4c

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Desafios - Matemática

1. A ferramenta computacional GeoGebra é um software simples e interativo, com vasta documentação, gratuito, e em Português. O site do fabricante disponibiliza as versões de execução direta, via Internet (http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html) e, ainda, a versão de instalação (http://www.geogebra.org/cms/en/installers). Você também pode baixar pelo Play Store do seu celular. Diante da possibilidade de trabalhar o plano cartesiano, com o uso de um recurso tecnológico, a professora Kátia solicitou aos seus estudantes que identificassem no plano cartesiano do Geogebra os seguintes pontos: A, B, C, D, E, f e G. Eles marcaram o ponto A (3, 2). Analise a figura abaixo e verifique se os demais pontos que os estudantes marcaram estão corretos.

a) Todos os pontos marcados pelos estudantes no plano cartesiano estão corretos? _______________________________________________________________

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b) Descreva as coordenadas de cada ponto que está marcado na figura acima. A( ,

)

B( , ) C( , ) D( , ) E( , ) F( , ) G( , ) 2. Quais dos gráficos abaixo representam funções? Em todos os casos, as variáveis representadas podem assumir todos os valores reais.

2.O valor cobrado por um estacionamento é composto de duas partes: uma fixa, de R$ 3,50, e outra de R$ 2,25 por hora de permanência no estacionamento. Com base nessas informações, responda:

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a) Quanto paga, ao todo, um cliente desse estacionamento que permanece estacionado por 2 horas? _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ b) Escreva a lei de formação de uma função que relaciona o preço p(t) a pagar por um tempo de t horas nesse estacionamento. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ c) Esboce um gráfico que represente a função cuja lei de formação você escreveu no item anterior, para 𝑡 ≥ 0. 3. Complete as situações II, III, conforme o exemplo da situação I. Depois verifique, nas três situações dadas, se a variação de uma das grandezas é diretamente proporcional à variação da outra grandeza. Situação I Considerando x a quantidade de litros e y o preço: ∆𝑦 15 −5 10 5 = = = ∆𝑥 6 −2 4 2 ∆𝑦 ∆𝑥

=

35 −15 14 −6

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=

20

5

8

2

=

Situação II Considerando x a medida do lado e y a área: ∆𝑦 ∆𝑥

∆𝑦 ∆𝑥

=

=

Situação III

Situação III Considerando x o tempo e y o volume: ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑥

= =

Quais das três situações podem ser representadas por uma função afim? ____________________________________________________________________________ 4. Marque a alternativa correta 4.1.(UFG -GO) Analise o gráfico a seguir. Crescimento dos voos domésticos no Brasil, por ano, em relação ao ano anterior, no período de 2006 a 2011.

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Analisando-se dados apresentados, conclui-se que o número de voos: a) diminuiu em 2007 e 2008. b) sofreu uma queda mais acentuada em 2008 do que em 2007. c) teve aumento mais acentuado em 2009 do que em 2010. d) é mais que o dobro em 2010, comparado a 2009. e) é mais que o dobro em 2011 (estimativa), comparado a 2009.

4.2 (UERN) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos, colocados por ele, num gráfico, resulta a figura abaixo

Se mantida sempre essa relação entre tempo e altura, a planta terá no trigésimo dia, uma altura igual a a) 5

b) 150

c) 15

d) 30

e) 6

4.3 (ENEM) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

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Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. e) y = 0,07x + 6.

Parabéns, você concluiu os desafios!

Até a próxima, Jovem Estudante!

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