5.3 Equações 1° e 2° Grau

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SUMÁRIO EQUAÇÕES PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU......................................................................................... 2 ENCONTRANDO A SOLUÇÃO PELA FÓRMULA DE BHASKARA................................................ 2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .....................................................................................................................5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................................6 GABARITO ...............................................................................................................................................9 RESUMÃO LJORTANO...........................................................................................................................11

ENTÃO VAMOS LÁ, LJORTANOS....

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EQUAÇÕES PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU ENCONTRANDO A SOLUÇÃO PELA FÓRMULA DE BHASKARA:

𝑥=

−𝑏 ± √𝛥 2𝑎

Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a equação terá.

𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Quantidade de soluções de uma equação: • • •

Se Δ < 0 a equação não possui soluções reais. Se Δ = 0 a equação possui apenas duas soluções reais iguais. Se Δ > 0 a equação possui duas soluções reais distintas.

Passo a Passo para resolver uma equação de segunda grau: 1º passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 2º passo: Calcular o valor de delta. 3º passo: Calcular as raízes substituindo todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara. Exemplo: Determine as raízes da equação 2x² - 3x - 5 = 0 1º passo: identificar os coeficientes, assim temos: a=2 b=-3 c=-5 2º passo: encontrar o valor do delta.

𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49

2

3º passo: Resolver a fórmula de Bhaskara, pois o delta foi positivo, ou seja, apresenta duas raízes reais distintas, temos então:

𝑥1 =

𝑥2 =

−𝑏 + √𝛥 −(−3) + √49 3 + 7 10 5 = = = = 2𝑎 2⋅2 4 4 2

−𝑏 − √𝛥 −(−3) − √49 3 − 7 −4 = = = = −1 2𝑎 2⋅2 4 4

Assim, as raízes da equação 2x² - 3x - 5 = 0 são x =

5 2

e x = - 1.

Encontrar as raízes por Soma e Produto: Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros.

Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:

𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑃 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 =

𝑏 𝑎

𝑐 𝑎

Sendo,

𝑥1 e 𝑥2 : raízes da equação do 2º grau a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau Onde S é a soma das raízes e P é o produto delas.

Exemplo: Encontre as raízes da equação x2 - 7x + 12 = 0 a = 1 , b = -7 e c = 12 Logo:

𝑏 −(−7) = =7 𝑎 1 𝑐 12 𝑃= = = 12 𝑎 1

𝑆=−

Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12 e a soma desses mesmos valores sejam iguais a 7.

3

Temos que: 1.

1 x 12 = 12

e

1 + 12 = 13

2.

2 x 6 = 12

e

2+6=8

3.

3 x 4 = 12

e

3+4=7

Logo os únicos valores que satisfizeram o produto e a soma foram os valores 3 e 4, assim, as raízes desta equação será 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 4.

𝑆 = {3,4}

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EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 1) (SAMAE) As raízes da equação -x² + 6x = 5 representam a quantidade de vagas em certo concurso público para os cargos de instalador hidráulico e operador de estação de bombeamento. Sabendo-se que a quantidade de vagas para o cargo de instalador hidráulico foi maior do que a quantidade de vagas para o cargo de operador de estação de bombeamento, quantas são as vagas para o cargo de operador de estação de bombeamento? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2) (COPEL). Dada a equação do segundo grau x² – 3x – 4 = 0, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, os valores de Δ e da soma das raízes dessa equação. A) 36 e 2 B) 25 e 5 C) 25 e 3 D) 36 e 4

3) (CESGRANRIO). Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? (Dado: raíz (76) = 8,7) A) 7,40% a 7,89% B) 8,40% a 8,89% C) 6,40% a 6,89% D) 6,90% a 7,39% E) 7,90% a 8,39%

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Aprofundando No Que CAI 1) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas. A) 2/5 B) 1/5 C) 5/2 D) 5 E) 3/2 2) Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais. Para essa condição, o valor de ∆ precisa ser igual a 0. A) 5 e 17 B) 7 e -17 C) 3 e 7 D) -3 e 7 E) -7 e 17 3) Resolva a seguinte equação do 2º grau.

A) 5 e 1 B) 2 e -1/7 C) 1/2 e -3 D) 3 e /12 E) -7 e 3/2 4) Quais são as raízes da equação x²-x-20=0? A) B) C) D) E)

S={-4 e 5} S={7 e 9} S={-25 e 75) S={-7 e 4} S={6 e 8}

5) Quais são as raízes da equação x²-3x-4=0? A) B) C) D) E)

S={1 e 7} S={9 e 14} S={2 e 8} S={-1 e 4} S={3 e 4}

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6) Quais são as raízes da equação x²-14x+48=0? A) B) C) D) E)

S={9 e 10} S={4 e 8} S={6 e 8} S={1 e 5} S={-6 e -4}

7) Escolha qual das alternativas correspondem as letras a, b e c, da equação x²-7x+5=0? A) B) C) D) E)

a=-1, b=7 e c=-8 a=1, b=-7 e c=5 a=1, b=-2 e c=12 a=1, b=-3 e c=1 a=4, b=-8 e c=9

8) Quais são as raízes da equação x²-5x+6=0? A) B) C) D) E)

S={-2 e 4} S={1 e 9} S={2 e 3} S={8 e 13} S={-2 e 4}

9) Quais são as raízes da equação x²+2x-8=0? A) B) C) D) E)

S={1 e -5} S={7 e -1} S={1 e -1} S={2 e -4} S={-2 e -7}

10) Escolha qual das alternativas correspondem as letras a, b e c, da equação x²+5x+6=0? A) B) C) D) E)

a=2, b=-5 e c=7 a=-1, b=-5 e c=-6 a=1, b=5 e c=6 a=9, b=3 e c=7 a=1, b=3 e c=5

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QUESTÃO EXTRA – (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

A) B) C) D) E)

a2 - 2b a2 + 2b a2 – 2b2 a2 + 2b2 a2 – b2

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Gabarito

Exercícios de Fixação 1. A 2. C 3. D

Aprofundando no Que CAI 1. A 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. C QUESTÃO EXTRA: A

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LJORTANO, QUAL É SUA MISSÃO? IR PARA O CONCURSO E TRAZER APROVAÇÃO! LJORTANO, O QUE É QUE VOCÊ FAZ? NÓS DEIXAMOS A CONCORRÊNCIA PARA TRÁS!

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RESUMÃO LJORTANO: O QUE EU NÃO POSSO ESQUECER?

EQUAÇÕES: EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU: Encontrando a solução pela Fórmula de Bhaskara:

𝑥=

−𝑏 ± √𝛥 2𝑎

1º passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 2º passo: Calcular o valor de delta.

𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 3º passo: Calcular as raízes substituindo todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara.

Quantidade de soluções de uma equação: • • •

Se Δ < 0 a equação não possui soluções reais. Se Δ = 0 a equação possui apenas duas soluções reais iguais. Se Δ > 0 a equação possui duas soluções reais distintas.

Encontrar as raízes por Soma e Produto:

𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑃 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = Sendo,

𝑥1 e 𝑥2 : raízes da equação do 2º grau a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau Onde S é a soma das raízes e P é o produto delas.

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𝑐 𝑎

𝑏 𝑎