AVA 1 - Matemática Financeira

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA

Fernanda Soares Gama – 20182300788

AVA 1 Aplicação prática do regime de juros compostos

Campos dos Goyatcazes, novembro 2019

SUMÁRIO INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 3 SITUAÇÃO PROBLEMA ............................................................................................................... 4 I.

Situação 1 ............................................................................................................................... 4

II.

Situação 2 ............................................................................................................................... 5

III.

Situação 3 ........................................................................................................................... 6

IV.

Situação 4 ........................................................................................................................... 8

V.

Situação 5 ............................................................................................................................... 9

Referências ...................................................................................................................................11

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INTRODUÇÃO

A capitalização composta consiste na incorporação dos juros do período anterior ao capital, para efeito de cálculo dos juros do período seguinte. Os juros de cada intervalo de tempo são calculados a partir do saldo no início do correspondente intervalo, isto é, os juros de cada intervalo de tempo são incorporados ao capital inicial e passa a render juros também. Os juros são oriundos do seu capital, raciocina o seu detentor. E então, fazem parte do mesmo e como continua na mão do tomador do empréstimo, nada mais justo do que pagar juros também por eles. Em tese, o tomador do empréstimo inicial está postergando o pagamento dos juros periódicos e deve pagar juros por cada tempo que a quantia não foi paga. Objetivando associar a teoria à prática e fortalecer a capacidade de reflexão, trabalho em equipe e solução de problemas, segue proposta para elaboração do primeiro Trabalho da Disciplina (TD), no formato de Resolução de Situações Práticas envolvendo o Regime de Capitalização de Juros Composto, como um importante exercício de aprendizagem.

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SITUAÇÃO PROBLEMA

Sobre a aplicação de Juros Compostos, regime de capitalização mais utilizado no sistema financeiro, e conhecido como: “JUROS SOBRE JUROS”, vamos resolver as seguintes situações: I.

Situação 1

Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% am, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% a.m e nos últimos 15 meses foi de 2,5% a.m, qual o valor de resgate deste capital aplicado? 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖)𝑛 = 𝐹𝑉 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 onde, PV = Valor do montante (Valor Presente) FV = Valor do futuro i = Taxa de juros n = Período de aplicação Dados para a resolução: n1 = 10 meses i1 = 2% a.m => 0,02 n2 = 15 meses i2 = 1,5% a.m => 0,015 n3 = 15 meses i3 = 2,5% a.m => 0,025 FV = ? Resolução 4

𝐹𝑉1 = 50.000. (1 + 0,02)10 𝐹𝑉1 = 50.000. (1,02)10 𝐹𝑉1 = 50.000 . 1,218994 = 60.949,72 𝑭𝑽𝟏 = 𝑹$ 𝟔𝟎. 𝟗𝟒𝟗, 𝟕𝟐  Montante acumulado ao final do décimo mês. 𝐹𝑉2 = 60.949,72. (1 + 0,015)15 𝐹𝑉2 = 60.949,72. (1,015)15 𝐹𝑉2 = 60.949,72 . 1,250232 = 76.201,30 𝑭𝑽𝟐 = 𝑹$ 𝟕𝟔. 𝟐𝟎𝟏, 𝟑𝟎  Montante acumulado ao final do vigésimo quinto mês 𝐹𝑉3 = 76.201,30. (1 + 0,025)15 𝐹𝑉3 = 76.201,30. (1,025)15 𝐹𝑉3 = 76.201,30 . 1,448298 = 110.362,20 𝑭𝑽𝟑 = 𝑹$ 𝟏𝟏𝟎. 𝟑𝟔𝟐, 𝟐𝟎  Valor final do montante acumulado dentro dos 40 meses. Conclusão: Uma rentabilidade de mais de 50%, obtendo resultados positivos. II.

Situação 2

A Concessionário Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro. Resolução: Valor financiado = R$ 35.000,00 Entrada = 20% de 35.000,00 = R$ 7.000,00 Então teremos: 35.000,00 – 7.000,00 = 28.000,00 5

VP = 28.000,00 FV = 31.000,00  No final de 5 meses, ou seja, n = 5 Cálculo da taxa de juros da concessionária. 𝐹𝑉 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 31.000 = 28.000 . (1 + 𝑖)5 (1 + 𝑖)5 =

31.000 28.000

(1 + 𝑖)5 = 1,1071 (1 + i) = 5√1,1071 𝑖 = 1,0206 − 1 = 0,0206 ⇨ 2,06% 𝑎. 𝑚 Usando a taxa do mercado financeiro temos, 𝐹𝑉 = 28.000. (1 + 0,035)5 𝐹𝑉 = 28.000. (1,035)5 𝐹𝑉 = 28.000 . 1,187686 = 33.255,22 𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟑𝟑. 𝟐𝟓𝟓, 𝟐𝟐  Montante se for aplicado os R$ 28.000,00, valor maior do que a concessionária cobraria após os 5 meses. Conclusão: A melhor opção é comprar a prazo e aplicar o capital no mercado financeiro com a taxa de 3,5% a.m. III.

Situação 3

Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos Bancos Alfa e Beta? Dados para a resolução: FV total: 255.000 6

FV do Banco Alfa: 38,55% de 255.000 = 98.302,50 FV do Banco Beta: 61,45% de 255.000 = 156.697,50 Taxa de Alfa: 8% = 0,08 Taxa de Beta: 6% = 0,06 n = 1 mês Resolução: Aplicação no Banco Alfa 𝐹𝑉 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 98.302,50 = 𝑉𝑃. (1 + 0,08)1 98.302,50 = 𝑉𝑃. 1,08 𝑉𝑃 =

98.302,50 1,08

𝑽𝑷 = 𝑹$ 𝟗𝟏. 𝟎𝟐𝟎, 𝟖𝟑 Aplicação no Banco Beta 𝐹𝑉 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 156.697,50 = 𝑉𝑃. (1 + 0,06)1 156.697,50 = 𝑉𝑃. 1,06 𝑉𝑃 =

156.697,50 1,06

𝑽𝑷 = 𝑹$ 𝟏𝟒𝟕. 𝟖𝟐𝟕, 𝟖𝟑 Conclusão: Os valores aplicados nos Bancos Alfa e Beta foram R$ 91.020,83 e R$ 147.827,83.

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IV.

Situação 4

Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos? E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre? Resolução: 

Quantidade de dias 𝐹𝑉 = 3. 𝑃𝑉 3𝑃𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 3

𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝑃

3 = (1 + 𝑖)𝑛 Aplicando logaritmo dos dois lados da igualdade temos, 𝑙𝑜𝑔3 = 0,47712 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔(1 + 0,06)𝑛 0,47712 = 𝑛. log(1,06) 0,47712 = 𝑛. 0,02530 𝑛=

0,47712 = 18,8585 0,02530

18,8585(𝑎𝑛𝑜𝑠)𝑥 360(𝑑𝑖𝑎𝑠) = 𝟔. 𝟕𝟖𝟗, 𝟎𝟔 𝒅𝒊𝒂𝒔 Conclusão: Serão necessários aproximadamente 6.789,06 dias para que o investidor triplique sua aplicação financeira de 6% ao ano. 

Quantidade de meses 𝐹𝑉 = 2. 𝑃𝑉 2𝑃𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 2

𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝑃

2 = (1 + 𝑖)𝑛 Aplicando o mesmo método do logaritmo temos, 𝑙𝑜𝑔2 = 0,3010 8

𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔(1 + 0,035)𝑛 0,3010 = 𝑛. log(1,035) 0,3010 = 𝑛. 0,0149 𝑛=

0,3010 = 20,2013 0,0149

20,2013(𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒) 𝑥 6(𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) = 𝟏𝟐𝟏, 𝟐𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 Conclusão: Serão necessários aproximadamente 121,20 meses para que o investidor duplique sua aplicação financeira de 3,5% ao semestre. V.

Situação 5

Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização. Dados para resolução PV = R$ 100.000,00 FV = R$ 110.000,00 n = 63 dias 1 ano = 252 dias úteis logo, 𝑛=

63 = 0,25 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑜 252

Resolução 𝐹𝑉 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛 110.000 = 100.000. (1 + 𝑖)0,25 110.000 = (1 + 𝑖)0,25 100.000 1,1 = (1 + 𝑖)0,25

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𝟎,𝟐𝟓

√1,1 = 1 + 𝑖

1,4641 = 1 + 𝑖 ∴ 𝑖 = 0,4641 ⇨ 46,41% 𝑎. 𝑎 𝑖 = 0,4641 ⇨ 𝟒𝟔, 𝟒𝟏% 𝒂. 𝒂 Conclusão: A taxa anual de juros que o investidor teve para o rendimento de seu montante foi de 46,41% a.a.

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Referências https://youtu.be/ZSH-Ab_R7Mw https://youtu.be/CFN76OHjm6o https://youtu.be/AgcJlWjY0LA Matemática financeira [livro eletrônico] / Vicente Eudes Veras da Silva – Rio de Janeiro: UVA, 2016.

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