# ANAC_matematica_guilhermeneves_Aula 06 - Parte 03

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula 6 – Parte 3 Derivada .................................................................................................................................... 2 Reta normal ............................................................................................................................... 6 Derivadas das funções elementares ............................................................................................ 7 Derivada e continuidade ............................................................................................................ 8 Regras de derivação ................................................................................................................... 8 Regra da Cadeia ....................................................................................................................... 12 Derivada da inversa.................................................................................................................. 13 Derivadas Sucessivas ................................................................................................................ 14 Concavidade ............................................................................................................................ 15 Ponto de inflexão ..................................................................................................................... 17 Regra de L´Hospital .................................................................................................................. 18

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noções fundamentais no estudo de Cálculo são as de derivada e Vamos estudar, nesta parte da aula, derivadas. Nosso principal será calcular a inclinação de uma curva em um ponto dado. A da função nos dará essa inclinação.

Existem várias aplicações da derivada em Física onde ela pode ser interpretada como uma taxa de variação. Vamos considerar uma curva qualquer e um ponto P sobre ela. Vamos tentar definir as noções de inclinação da curva e de reta tangente à curva no ponto P. Em vários casos se diz que a tangente à curva em um ponto é a reta que “toca” somente neste ponto. Isto não tem sentido. Veja, por exemplo, as seguintes figuras:

Destarte, temos que abandonar a ideia de que a curva toca somente em um ponto e procurar outra saída. Podemos analisar o problema com duas visões. Uma delas é dar a ideia geométrica que nos permitirá definir a tangente à curva, e a outra é verificar se esta saída leva ao cálculo efetivo da reta tangente quando a curva é dada por uma função simples com coeficientes numéricos. Para definir a inclinação da curva em P, não devemos considerar o que acontece em um ponto Q muito afastado de P. Devemos nos restringir às proximidades de P. Vamos tomar um ponto Q na curva y=f(x) e vamos supor que Q P. Esses pontos P e Q determinam uma reta com uma determinada inclinação que depende de P e Q. Vamos agora supor que o ponto Q se aproxime de P sobre a curva, mas se mantenha diferente de P. Quando Q ficar bem pertinho de P, a

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES inclinação da reta que passa por P e Q vai se aproximando da inclinação desconhecida da reta tangente à curva no ponto P.

Na figura acima, desenhamos a reta tangente à curva em P e 3 outras retas, passando por P e um outro ponto próximo de P. Observe que a inclinação da reta PQ3 é mais próxima da inclinação da reta tangente do que a da reta PQ1. Se o limite da inclinação da reta PQ existe quando Q se aproxima de P, então esse limite será considerado como a inclinação da própria curva no ponto P. É essa a ideia básica implícita na definição de inclinação da curva em P. Dada uma curva y=f(x), seja P um ponto sobre ela. A inclinação da curva em P é o limite da inclinação das retas passando por P e outro ponto Q da curva, quando Q se aproxima de P. Essa ideia foi descoberta de forma independente por Newton e Leibniz (os “pais” do Cálculo). Na aula sobre função afim, vimos que há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular ( ). Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,

Vamos considerar a função f(x) = x2. Vamos tentar achar a inclinação desta curva no ponto (1,1). Vamos considerar um ponto bem próximo de (1,1) nesta curva, por exemplo, o ponto de abscissa x = 1,1. Neste caso, f(1,1) = 1,12=1,21.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Desta forma, o ponto (1,1 ; 1,21) pertence à curva. A inclinação da curva que passa por esses dois pontos é dada por:

Mas esta reta não é tangente à curva!! Ela é uma secante. De um modo geral, a abscissa de um ponto próximo a (1,1) pode ser escrita como 1+h, onde h é suficientemente pequeno. No nosso exemplo, utilizamos h=0,1. Vamos calcular f(1+h).

Logo, o ponto (1+h, 1+2h+h2) pertence à curva. A inclinação da reta que passa pelos pontos (1,1) e (1+h, 1+2h+h2) é dada por:

Quando o ponto de abscissa 1+h se aproxima do ponto (1,1), o número h se aproxima de 0. Quando h se aproxima de 0, a inclinação da reta que passa pelos dois pontos se aproxima de 2, que é, portanto, a inclinação da curva no ponto (1,1). Em suma: o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2 no ponto (1,1) é 2. E como achar a equação desta reta? Ora, existe uma fórmula muito fácil que podemos utilizar. A reta de coeficiente a e que passa pelo ponto (x0,y0) é dada por:

Assim, a equação da reta que procuramos é

Eis o gráfico da função y=x2 e da reta que acabamos de calcular:

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Vamos continuar com a nossa função y=x2. Em vez de escolher um ponto específico como o ponto (1,1), vamos considerar um ponto genérico (x,x2). Escrevemos a abscissa de um ponto próximo como x+h, onde h é pequeno e diferente de zero. A ordenada desse ponto é:

Ou seja, o ponto passa pelos pontos

e

pertence à curva. A inclinação da reta que é dada por:

Quando h se aproxima de 0, 2x+h se aproxima de 2x. Consequentemente, a inclinação da curva y=x2 em um ponto qualquer (x,y) é 2x. No nosso caso particular do ponto (1,1), a inclinação é 2x = 2.1 = 2. Agora achamos uma fórmula geral que nos dá a inclinação em qualquer ponto da curva!! Então a inclinação da curva no ponto de abscissa x = 5 é igual a 10. Quando x = -4, a inclinação da curva é -8. Fantástico! Newton foi, de fato, um gênio. O exemplo que acabamos de ver nos fornece o processo para ser usado em qualquer caso. Dada uma função f(x), formamos o seguinte quociente:

Este quociente fornece a inclinação da reta que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x+h, f(x+h)). Este quociente é chamado de QUOCIENTE DE NEWTON. Se ele Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES se aproxima de um limite quando h se aproxima de 0, este limite é a famigerada derivada de f em x e dizemos que f é derivável em x. A derivada será denotada por f´(x). Portanto:

A derivada pode ser considerada uma função f´, que é definida para todos os números x em que o quociente de Newton tenda para um limite quando h tende a 0. Dizemos que uma função f é derivável quando ela admite derivada em todos os pontos do seu domínio. No caso de f(x)=x2, temos f´(x)=2x. A derivada de uma função no ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x0. A equação da reta tangente será dada por:

Habitualmente a derivada da função f é representada por f´oudf/dx ou Df.

Reta normal A reta normal à curva no ponto (x0,y0) é a reta perpendicular à reta tangente no ponto (x0,y0).

Na figura acima, a reta t é a tangente e a reta r é a normal. O coeficiente angular da reta normal é dado por -1/f´(x0). Portanto, a equação da reta normal no ponto (x0,y0) é dada por:

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Derivadas das funções elementares Vamos agora aprender a calcular rapidamente a derivada das principais funções elementares (Não demonstrarei essas fórmulas neste curso, por não haver necessidade. Qualquer livro de cálculo contém essas demonstrações, que são bastante mecânicas por sinal). Derivada da função constante A derivada da função constante f(x) = k é a função nula. Ou seja, f´(x)=0. Exemplo: A derivada da função f(x)=7 é a função f´(x)=0. Derivada da função potência A derivada da função

é a função

Numa linguagem informal, “descemos” o expoente multiplicando a função e diminuímos uma unidade do expoente. Por exemplo, a derivada da função f(x) = -3x5 é a função

Derivada da função seno A derivada da função f(x)= sen x é a função f´(x) = cos x. Derivada da função cosseno A derivada da função f(x)= cos x é a função f´(x) = - sen x.

Derivada da função exponencial A derivada da função f(x)= ax é a função No caso particular da função exponencial de base e, temos:

Ou seja, a derivada da função ex é a própria função ex.

Derivada da função logarítmica A derivada da função

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No caso particular do logaritmo neperiano, ou seja, em que a = e, temos:

Derivada e continuidade Se uma função f é derivável no ponto x0, então a função f é contínua em x0. O recíproco deste teorema é falso, ou seja, existem funções contínuas em x0 e que não são deriváveis em x0.

Regras de derivação Vamos considerar duas funções u(x) e v(x) deriváveis em um determinado intervalo (a,b). É possível demonstrar que: A derivada da soma seja,

´ é igual à soma das derivadas, ou .

Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de n funções. Note também que a derivada de uma diferença de funções é a diferença das derivadas. Exemplo: Calcule a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 4x3 + 2x -5 b) g(x) = sen x + cos x c) h(x) = 3x4 - ex Resolução

A derivada do produto é dada por , ou seja, a derivada da primeira vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Essa propriedade pode ser estendida para n funções, como veremos nos exemplos a seguir. Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Quando multiplicamos uma função por uma constante, temos o seguinte caso particular: . E quando temos uma potência de uma função, devemos seguir a seguinte fórmula: É importante memorizar as seguintes fórmulas de trigonometria:

Exemplos:

Esta função deve ser vista como a soma de duas parcelas que a primeira parcela é um produto.

Fazendo

, temos que

e

, sendo

e, portanto,

Exercício: Determinar a equação da reta tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto de abscissa . Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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Resolução Vamos calcular a ordenada do ponto, substituindo x por .

Assim, o ponto de tangência é

, ou seja,

e

.

Vamos calcular a função derivada. Fazendo e

Como queremos a derivada no ponto de abscissa igual a por .

, temos que

, vamos substituir x

Este é o coeficiente angular da reta tangente. Assim, a equação da reta que passa pelo ponto coeficiente angular é dada por:

e que tem

Vamos agora à equação da reta normal:

Vejamos a regra da derivada do quociente de duas funções.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Seja

definida por

Vamos treinar...

Vejamos a derivada da função tangente.

Mais um exemplo:

Façamos

Calculemos

e

.

.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Portanto:

Regra da Cadeia Sabemos como construir novas funções, a partir de funções dadas, por meio de somas, produtos e quocientes. Existe uma outra maneira importante de construção de novas funções. Daremos inicialmente, exemplos deste novo processo. Consideremos a função . Como calculamos seus valores numéricos? e, em seguida, Ora, primeiro calculamos o valor numérico de calculamos o seno do resultado. Seja e seja f a função seno f(x) = sen x. Então podemos calcular o seno (função f) de (função g), ou seja, podemos calcular f de g(x).

Quando temos duas funções f e g tais que f seja definida para todos os números que são resultados da função g, então podemos construir uma nova função representada por (função composta) cujo valor em um número x é dado por . A regra que define esta nova função é: tomar o número x, achar o número g(x) e então calcular o valor em f deste número g(x). Neste caso, dizemos que g é a função interna e f é a função externa. Se puder, releia a parte de composição de funções na parte 2 da aula 3. Vamos agora tratar o problema de achar a derivada de uma função composta (regra da cadeia). Sejam f e g duas funções deriváveis. A função tem a fórmula:

também é derivável e se

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Podemos dizer que tomamos a derivada da função externa e multiplicamos pela derivada da função interna. No nosso exemplo temos:

Como a derivada da função sen x é cos x, temos:

Exercício - Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:

A derivada da soma é a soma das derivadas. A derivada da primeira parcela (x) é igual a 1. Vamos calcular a derivada da função h(x) = 3 tg 4x A derivada da função externa é a função 3sec2 4x. Vamos multiplicar pela derivada da interna. Então ficamos com:

Portanto a derivada de f(x) é 1+12sec24x.

A derivada da função interna é (-senx). Portanto:

Derivada da inversa Vamos agora estabelecer um teorema que nos permite determinar a derivada de uma função inversa quando conhecemos a derivada da função dada. Consideremos uma função y=f(x) bijetora (admite inversa) e derivável, tal que a sua derivada f´(x) é diferente de zero. A sua função inversa f -1(y) é derivável e temos que:

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Como consequência deste teorema, podemos calcular a derivada das funções inversas de seno, cosseno e tangente. A função y = arcsen x é a inversa da função x = sen y.

Ora, se , então a derivada de x é da derivada da inversa.

Mas como

. Agora aplicamos a fórmula

, temos que

. Portanto:

Resumidamente:

Analogamente podemos obter a derivada da inversa das funções cosseno e tangente.

Derivadas Sucessivas Seja f uma função contínua e derivável em um determinado intervalo. Já definimos a derivada primeira de f, denotada por f´. Vamos agora definir a derivada segunda de f e indicaremos por f´´. No caso, a derivada segunda f´´ é a função derivada de f´. Repetindo o processo, podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc. A derivada de ordem n de f representaremos por f(n). Exemplo: Calcular as derivadas de Resolução Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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Concavidade Consideremos uma função contínua no intervalo (a,b) e derivável em um ponto de abscissa x0. Dizemos que o gráfico de f tem concavidade positiva em x0 se, e somente se, existe uma vizinhança de x0 tal que os pontos do gráfico de f estão acima da reta tangente à curva no ponto x0. Analogamente, se existe uma vizinhança de x0 tal que os pontos do gráfico de f estão abaixo da reta tangente à curva no ponto x0, dizemos que o gráfico de f tem concavidade negativa.

Na figura da esquerda, temos uma função com concavidade positiva e na direita uma função com concavidade negativa. E como determinar a concavidade de uma função em um determinado ponto sem ter acesso ao seu gráfico? Basta aplicar o seguinte teste: i) Quando para cima). ii) Quando para baixo).

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Exemplo: Determinar os intervalos onde a curva positiva ou negativa.

Vamos calcular a segunda derivada.

Queremos determinar os intervalos em que calcular as raízes desta função.

é positivo ou negativo. Vamos

Utilizando a fórmula:

A função é quadrática e seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, conforme já estudamos.

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Assim, vemos que: (concavidade positiva) (concavidade negativa)

Ponto de inflexão Dizemos que o ponto P de abscissa a é um ponto de inflexão do gráfico de f se, e somente se, existe uma vizinhança tal que os pontos abaixo de a tem sempre o mesmo sinal, que é contrário ao sinal da concavidade nos pontos acima de a. Em outras palavras, o ponto de abscissa a é o ponto em que a concavidade troca de sinal.

No nosso exemplo anterior, os pontos de abscissa 0 e 2 são pontos de inflexão da função y=x4 – 4x3, já que a concavidade muda o sinal. Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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E qual a condição para que f(x0) seja um ponto de inflexão? Seja f uma função com derivadas até terceira ordem. Se , então x0 é abscissa de um ponto de inflexão.

e

Exemplo: Determinar os pontos de inflexão do gráfico da função real definida por . Vamos calcular as derivadas.

Vamos resolver a equação

.

Resolvendo esta equação, encontramos os valores 2 e -1. São os “candidatos” a ponto de inflexão. Pois bem, vamos substituir estes valores em Se os valores forem diferentes de zero, confirmamos que eles são pontos de inflexão. De fato,

Portanto, 2 e -1 são abscissas de pontos de inflexão. Vamos agora calcular as ordenadas dos pontos, substituindo x por 2 e -1 na função f(x).

Resposta: Os pontos de inflexão são (2,-29) e (-1,-26).

Regra de L´Hospital Nos deparamos com muitos exemplos no cálculo de limites de um quociente f(x)/g(x), no qual ambas as funções tendem para zero. Na parte 2 desta aula, utilizamos algumas “técnicas” para nos livrar deste problema. Em tais exemplos, dizemos que o quociente f(x)/g(x) toma a “forma indeterminada 0/0”. Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Por vezes o trabalho pode ser encurtado pelo uso de uma técnica de derivação conhecida por regra de L´Hospital. A ideia base do método consiste em analisar o quociente de derivadas f´(x)/g´(x) e por seu intermédio tentar obter informação relativa a f(x)/g(x). Também podemos nos deparar com casos em que ambas as funções tendem a . São as indeterminações do tipo . É possível, entretanto, que a função f(x)/g(x) tenda a um limite preciso. Eis a regra de L´Hospital: Se f(x) e g(x) são deriváveis em um intervalo (a,b) e se f(x0)=0 e g(x0)=0, então:

Podemos também usar este teorema quando ambas as funções tendem a infinito. Vamos a alguns exemplos:

Calcular os seguintes limites:

Ora, ao substituir x por 2 encontramos uma expressão indeterminada 0/0. Com as técnicas que aprendemos na parte 2 desta aula, teríamos que fatorar os polinômios para então tentar encontrar o limite. Mas agora temos o teorema de L´Hospital para facilitar a nossa vida. Basta derivar o numerador e o denominador.

Acabou a graça agora!! Veja agora os exemplos da página 8 da parte 2 da aula 6.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Substituindo x por 0, temos uma indeterminação 0/0. Vamos derivar o numerador e o denominador. Como a derivada de cos x é –sen x, então a derivada de –cos x é sen x.

Substituindo x por 0, temos novamente uma indeterminação 0/0. Vamos derivar o numerador e o denominador. Ou seja, vamos aplicar novamente a regra de L´Hospital.

Muito mais fácil!! Veja outro exemplo ainda da página 8 da parte 2 desta sexta aula.

Vamos derivar o numerador e o denominador, já que temos uma indeterminação do tipo 0/0. Observe que não queremos calcular a derivada do quociente!! E sim calcular, separadamente, as derivadas do numerador e do denominador.

Lembre que sec x = 1/cos x, e sabemos ainda que cos 0 = 1. Substituindo x por 0, temos:

Mesmo resultado obtido e com muito menos trabalho. Por isso que eu comentei na aula passada que vários professores de cálculo não deixam seus alunos usarem a Regra de L´Hospital, pois essa regra acaba com a “graça” dos problemas difíceis de limites. Quando aplicamos a regra de L´Hospital repetidas vezes, é necessário algum cuidado no sentido de averiguar se os quocientes realmente geram uma indeterminação. Um tipo de erro muito comum é mostrado pelo exemplo seguinte.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Quando substituímos x por 1, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L´Hospital.

Observe que agora quando substituímos x por 1, encontramos o valor 4. Ou seja, não podemos mais aplicar a regra de L´Hospital. Se o fizéssemos, encontraríamos um valor errado. Assim, o valor correto do limite acima é 4.

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