ANAC_matematica_guilhermeneves_Aula 06 - Parte 02

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula 6 – Parte 2 Limites ....................................................................................................................................... 2 Propriedades do limite de uma função ............................................................................................... 3 Limite de uma função polinomial........................................................................................................ 4

Limites Trigonométricos ............................................................................................................. 7 Limite Exponencial Fundamental ................................................................................................ 9 Continuidade ........................................................................................................................... 10

Prof. Guilherme Neves

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Limites Qual o objetivo do estudo de “limites”? Ora, estamos interessados no comportamento de uma função, à medida que nos aproximamos de um determinado valor. lim

A expressão

→

=

deve ser entendida assim: o limite da função f à medida que x se aproxima de a é igual a L. Ou ainda, o limite de f(x) quando x tende a é igual a L. Observe que não estamos interessados no que realmente acontece quando x = a. Estamos interessados nas “proximidades” de x = a. Desta forma, não é necessário que a função esteja definida em a. Veja o gráfico seguinte:

Pelo gráfico, vemos que f(1) = 2. Mas, quando x está nas proximidades de 1, y está nas proximidades de 3. Ou seja, quando x tende a 1, y tende a 3. Assim, dizemos que: lim =3 →

Pelo exemplo acima, percebemos que é sempre importante ter em mente que calcular o limite significa descobrir o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não o que ocorre efetivamente quando x = a. Existe um teorema (da unicidade) que afirma que uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando x se aproxima de a (tanto pela esquerda quanto pela direita, ou seja, quando x se aproxima de a por valores menores que a e quando x se aproxima de a por valores maiores que a). Prof. Guilherme Neves

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Vamos aprender algumas propriedades que nos ajudarão nas resoluções das questões sobre limites. Propriedades do limite de uma função i) Se k é uma constante real e f é a função constante definida por f(x) = k, para todo x real, então o limite de f(x) quando x tende a um número qualquer é igual a k. Essa propriedade é bem fácil de entender. O que significa a função f(x) = 3? Ora, esta lei de formação nos indica que todos os elementos do domínio “mandam flechas” para o número 3. Graficamente temos uma reta horizontal passando pelo ponto (0,3). Assim, a medida que mudamos o valor de x, o valor de y permanece constante e igual a 3. Assim, por exemplo, teríamos os seguintes limites: lim =3 →

lim →

lim →

lim →

∙

=

lim →√

∙ lim

=3 =3

=3

→

Assim, constantes que multiplicam f, podem “sair” multiplicando o limite. lim

+

→

= lim →

+ lim →

O limite da soma de funções é a soma dos limites. lim

−

→

= lim →

− lim →



O limite da diferença entre funções é a diferença dos limites. lim →

∙

= lim →

∙ lim →

O limite do produto de funções é o produto das funções. lim →

= lim →

O limite da potência de uma função é a potência do limite.

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES lim →

=

lim

, !" lim

→

lim

≠0

→

→

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites. Limite de uma função polinomial =

Quando temos uma função polinomial do tipo limite lim →

é igual ao valor numérico f(a).

+%

&

+ ⋯+ , o

Por exemplo: Calcular lim 3 →

−4 +5

(

Pelo exposto, basta substituir x por 2. lim 3

(

→

− 4 + 5 = 3 ∙ 2( − 4 ∙ 2 + 5 = 24 − 8 + 5 = 21

Exemplo: Calcule o seguinte limite: 3 lim . → −

Resolução

−2 −5 / +3 +4

(

Pela propriedade vi, temos: 3 lim . → −

−2 −5 3 / = .lim → − +3 +4

−2 −5 / +3 +4

(

( lim 3 −2 −5 / =0 → +3 +4 lim −

−2 −5

(

(

Pela propriedade vii, temos: 3 .lim → −

→

+3 +4

1

Agora temos limites de funções polinomiais. Basta substituir x por 2.

0

lim 3 →

lim −

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→

−2 −5

(

3∙2 −2∙2−5 1 1 =. / = −2 + 3 ∙ 2 + 4 8 +3 +4 (

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Exemplo: Calcule o seguinte limite:

→&

Resolução lim 2 →&

3

(

(

lim 2

+2 −3 +2 3 = 2 lim →& +4 +3

(

3

+2 −3 +2 +4 +3

(+2 −3 +2 3 + 2 − 3 + 2 3 lim →& 2 = = √−8 = −2 lim +4 +3 +4 +3 →&

Exemplo: Calcule o seguinte limite:

lim →

2

Resolução

−2 −1

No cálculo do limite de uma função, quando x tende a um certo valor, interessa o comportamento da função quando x se aproxima deste valor e não o que realmente ocorre com a função quando x é igual a este valor. Assim, no nosso exemplo, não estamos interessados em saber o que acontece com a função quando x = 1, até porque a função não é definida para x = 1 (neste caso o denominador é igual a 0 e não podemos efetuar divisões por 0). Podemos fatorar o numerador. Colocando 2x em evidência, temos:

2

−2 2 = −1

−1

−1

Como x é diferente de 1, podemos cancelar x-1.

2

Portanto:

lim →

2

−2 2 = −1

−1

−1

=2

−2 = lim 2 = 2 ∙ 1 = 2 → −1

Problemas mais difíceis de limites, que envolvam fatorações um pouco mais complicadas, não podem ser cobradas neste concurso pois o aluno deveria ter conhecimento prévio de assuntos como Teorema de D´Alembert e o Algoritmo de Briot-Ruffini, pesquisa de raízes racionais de polinômios, etc. Assim, não temos condições, pela limitação do conteúdo programático, de resolver problemas mais complicados. Veja um exemplo: Prof. Guilherme Neves

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Calcule o seguinte limite: (

lim

(

→(

−6 −9 −8 −3

Quando substituímos x por 3, ficamos com 0 no numerador e 0 no denominador. Ou seja, os polinômios ( − 6 − 9 e ( − 8 − 3 anulam-se para x = 3. Desta forma, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por x – 3, ou seja, x – 3 é um fator comum aos dois polinômios. Efetuando a divisão dos polinômios ( − 6 − 9 e ( − 8 − 3 pelo algoritmo de Briot-Ruffini (dispositivo prátivo para divisão por binômios do 1º grau), obtemos: lim

→(

( (

−6 −9 = lim →( −8 −3

−3 −3

+3 +3 = lim →( +3 +1

+3 +3 21 = +3 +1 19

Agora uma ressalva: muitos casos são “salvos” pela Regra de L’Hôpital. Este assunto vamos estudar logo depois de derivadas. A regra de L’Hôpital é uma carta na manga para resolver muitos problemas difíceis de limites. Inclusive, vários professors de Cálculo 1 nas universidades avisam nos topos de suas provas que os alunos NÃO PODEM resolver as questões de limites utilizando a Regra de L’Hôpital. Mas como o próprio CESPE colocou a Regra de L’Hôpital no conteúdo programático, estaremos livres para usá-lo. Repito: vamos estudar essa regra fantástica logo após derivadas.

Voltemos aos exemplos que “podem cair”... Exemplo: Calcule o limite seguinte: lim →

√ +3−2 −1

Novamente, ao substituir x por 1, obtemos 0/0. Neste caso, com a aparição de um radical, vamos utilizar uma técnica diferente. Vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo “conjugado” do numerador. 6√ + 3 − 276√ + 3 + 27 − 1 6√ + 3 + 27

=

−1

− 1 6√ + 3 + 27

=

1

√ +3+2

Assim:

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1 1 1 √ +3−2 = lim = = → √ +3+2 −1 √1 + 3 + 2 4

Vejamos um parecido: Exemplo: lim →

√3 − 2 − 2 √4 + 1 − 3

Novamente, quando substituímos x por 2, temos numerador e denominador iguais a 0. Neste caso, o radical aparece no numerador e no denominador. Vamos então multiplicar o numerador e o denominador pelo “conjugado” do numerador e também pelo “conjugado” do denominador.

Limites Trigonométricos Há alguns limites trigonométricos básicos que precisamos conhecer para resolver alguns problemas. Ei-los: lim !"8 = !"8 →

lim 9:! = 9:! →

lim ; = ; , < = ;:>: ≠ →

? + ? 2

E agora, o famoso Limite Trigonométrico Fundamental: lim →

!"8

= 1

Observe que neste último limite, devemos ter x tendendo a zero. Vamos aplicar estes limites em alguns exercícios:

Exemplo: Calcule os seguintes limites: lim →

!"8 4

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Para que possamos aplicar o Limite Trigonométrico Fundamental (doravante LTF), vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4. lim →

!"8 4

= lim 4 ∙ →

!"8 4 4

A constante que multiplica a função pode “sair” do limite.

% lim →

lim 4 ∙ →

1 − cos

!"8 4 !"8 4 = 4 ∙ lim =4∙1=4 → 4 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo “conjugado” de 1 - cosx. lim

Ora, como !"8

→

1 − cos + 9:!

= lim →

1 − cos 1 + cos 1 + cos

= 1, então !"8

lim →

1 − 9:! 1 + cos

= 1 − 9:!

= lim →

1 − 9:! 1 + cos

. Portanto:

!"8 1 + cos

= lim →

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos: .lim →

!"8

/ ∙ lim →

1 1 + cos

= Clim →

Exemplo: Calcule lim →

!"8

; + !"8

=

Como tg x = (sen x)/(cosx), temos: +

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!"8

=

→

1 1 + cos

= 1∙

1 1 = 1 + cos 0 2

; + !"8

Vamos desenvolver a expressão:

;

D ∙ lim

!"8 / cos

+

;

!"8

+

!"8

=

!"8

∙

1 !"8 + cos

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8

MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Portanto: lim →

; + !"8

= lim →

!"8

∙

1 !"8 + cos

!"8

= lim C →

D × lim →

= 1×1+1=2

1 cos

!"8

+ lim C →

D

Limite Exponencial Fundamental = C1 + D

Chamamos de e o limite da função

definida nos naturais não-

nulos, quando x tende a +∞. Ou seja, à medida que substituímos x por números cada vez maiores, o valor numérico da função f se aproxima cada vez mais deste número e, chamado de número de Euler (base dos logaritmos neperianos ou naturais). Este número e é um número irracional e vale aproximadamente 2,718281. Assim, temos: " = lim

→HI

1+

1

Esta expressão também pode ser escrita da seguinte forma: " = lim 1 +

/

→HI

Ou ainda: 1 1 = lim 1 − →HI "

Vamos treinar um pouco: Calcule os seguintes limites: lim

→HI

1+

1

(

Resolução lim

→HI

%

lim

→HI

+1 −1

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1+

1

(

= J lim

→HI

1+

1

(

K = "(

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Vamos dividir o numerador e o denominador por x. +1 −1

lim

→HI

1 1 lim C1 + D 1+ " " = lim L M = →HI = ="∙ =" 1 →HI 1/" 1 1 1− lim C1 − D →HI

Continuidade Dizemos que uma função é contínua em um ponto a, se o limite da função f quando x tende ao valor a, é o próprio f(a). São 3 condições para que uma função seja contínua em um ponto a. i) Existe f(a). ii) Existe lim

iii) lim →

→

=

.

Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo (a,b) se a função f for contínua em todos os elementos x desse intervalo.

A função seguinte:

que vimos no início da aula, é descontínua em x=1, pois: lim →

=3≠

Vamos, por exemplo, verificar se a função no ponto x=4. Prof. Guilherme Neves

1

3 − 10, !" > 4 = O 2, !" = 4 é contínua 10 − 2 , !" < 4

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES Devemos analisar o comportamento de f em torno de x=4 e verificar se = 4 lim →R

Vamos verificar o comportamento quando x tende 4 por valores menores que 4 (por baixo ou à esquerda). limS = 10 − 2 ∙ 4 = 2 →R

Vamos agora verificar o comportamento quando x tende a 4 por valores maiores que 4 (por cima ou à direita). limT

= 3 ∙ 4 − 10 = 2

→R

Esses são os chamados limites laterais. Quando o limite à esquerda é igual ao limite a direita, dizemos que o limite é o próprio valor obtido. No nosso caso, temos que: =2

lim

→R

E como pela definição da função temos que f(4)=2, a função é contínua. =U

Exemplo: Verificar se é contínua a função

, !" ≠ 0 0, !" = 0 &VWX

Resolução Pela definição da função, vemos que f(0)=0. Basta calcular o limite da função quando x tende a 0. lim →

1 − cos

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo “conjugado” de 1 - cosx. lim

Ora, como !"8

→

1 − cos + 9:!

= lim →

1 − cos 1 + cos 1 + cos

= 1, então !"8 lim →

1 − 9:! 1 + cos

= 1 − 9:!

= lim →

= lim →

1 − 9:! 1 + cos

. Portanto:

!"8 1 + cos

Vamos usar um artifício: Multiplicar numerador e denominador por x. Prof. Guilherme Neves

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MATEMÁTICA PARA ANAC (ESPECIALISTA – ÁREA 4) PROFESSOR: GUILHERME NEVES lim →

!"8 1 + cos

∙

∙ !"8 1 + cos

= lim →

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos: .lim →

!"8

/ ∙ lim →

= Clim

1 + cos

→

!"8

D ∙ lim →

1 + cos

= 1∙

0 =0 1 + cos 0

Portanto, f(x) é contínua.

Mais um exemplo: Verificar se é contínua a função

=U

, !" ≠ 0 1, !" = 0 &XYZ

H[\

Pela lei de formação da função, verificamos que f(0) = 1. Vamos agora calcular o limite da função quando x tende a 0. lim →

− sen + !"8

Dividindo o numerador e o denominador por x, temos: lim Como lim →

0 ≠

→

1− 1+

sen sen

=

lim C1 − →

lim C1 + →

sen sen

D D

=

1−1 =0 1+1

0 , então f(x) é descontínua em x=0.

Exercício: Determine a no intervalo (0,2?) para que a função

seja contínua em x=0.

; =O , !" ≠ 0 !"8 2 cos , !" = 0

Resolução Pela lei de formação, temos que f(0)= cos a. Para que a função seja contínua em x=0, o limite de f quando x tende a 0 tem que ser igual a cos a. lim →

; !"8 2

Na aula de trigonometria, vimos que tg x = (sen x)/ (cosx) e que !"8 2 = 2!"8 cos . Basta ir na fórmula de sen(a+b) e substituir a e b por x.

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Ficamos com:

!"8 ; cos lim = lim → !"8 2 → 2!"8 cos

= lim →

!"8 1 × cos 2!"8 cos

= lim →

1 2cos

=

1 1 = 2∙1 2

Assim, cos a = 1/2. No intervalo de 0 a 2?, o arco cujo cosseno é 1/2 é ?/3 (60 graus). Resposta:

= ?/3

E para finalizar esta parte, uma propriedade importante: Se f e g são funções contínuas no ponto x=a, então as funções f+g, f-g, f.g e f/g também serão contínuas em x=a. No último caso, desde que g(a) seja diferente de 0.

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