Analiza matematyczna 2 mat

SAVE OFFLINE

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny

zebrał i opracował: Łukasz Błaszczyk korekta: Antoni Kijowski

Politechnika Warszawska 2012

Na wstępie: Treść (prawie) wszystkich definicji, lematów, twierdzeń, wniosków i przykładów pochodzi z prezentacji prof. Tadeusza Rzeżuchowskiego. Dowody twierdzeń i sformułowania niektórych definicji opracowano na podstawie notatek z wykładu, skryptu prof. Rzeżuchowskiego „Analiza matematyczna 2005/06” oraz podręczników prof. Franciszka Lei „Rachunek różniczkowy i całkowy”, prof. Grigorija M. Fichtenholza „Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1-3” oraz prof. Waltera Rudina „Podstawy analizy matematycznej”. Opracowanie powstało jako inicjatywa studencka i ma na celu pomoc w przygotowaniu do egzaminu ustnego. Nie jest autoryzowane przez prof. Rzeżuchowskiego, może więc nie być kompletne oraz zawierać (oby nieliczne) błędy. Autor nie ponosi odpowiedzialności za wszelkie (choć niezamierzone) odstępstwa od wymagań prof. Rzeżuchowskiego i tego konsekwencje podczas egzaminu.

2

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

CZĘŚĆ I – POCHODNE – NIEKTÓRE ZASTOSOWANIA 1.

Reguła de l’Hospitala, dowód w przypadku symbolu nieoznaczonego typu ⁄ . Sprowadzanie badania granic różnych wyrażeń o charakterze symboli nieoznaczonych do badania granic wyrażeń o charakterze ⁄ lub ⁄ .

TWIERDZENIE 1.1 (reguła de l’Hospitala): Załóżmy, że ( ) i

( )

,

albo ( ) przy czym samym

{

}. Jeśli

( )

i i

,

mają pochodną w otoczeniu

), oraz jeśli istnieje granica

(poza ewentualnie

( )

( )

(

( )

, to istnieje też granica )

i zachodzi równość ( ) ( ) DOWÓD: Niech iloraz

( ) ( )

będzie symbolem typu

( ) ( ) w punkcie . Korzystamy z twierdzenia

Cauchy’ego: ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ). ( ( ) ( ) Podstawmy we wzorze i ( ) . Warunki twierdzenia są spełnione, więc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Niech poprzez wartości większe niż . Wówczas i w myśl założenia prawa strona dąży do pewnej granicy, gdy , zatem lewa strona, jako równa prawej, dąży do tej samej granicy. Analogicznie otrzymuje się równość dla założenia poprzez wartości mniejsze niż . □ Iloczyn dwu funkcji liczbowych nazywamy symbolem nieoznaczonym typu ( ) ( ) w punkcie , gdy i . Symbol ten sprowadzamy do postaci ⁄ albo ⁄ stosując tożsamość: względnie . ⁄ ⁄ ( ) nazywamy symbolem nieoznaczonym typu Podobnie różnicę ( ) w punkcie ( ) ( ) , gdy . Symbol ten sprowadzamy do postaci ⁄ stosując tożsamość: ⁄ ⁄ . ⁄ Analogicznie potęga może być w pewnym punkcie symbolem nieoznaczonym typu , ( ). lub . Symbole te sprowadzamy do postaci stosując tożsamość

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

3

2.

Przykład funkcji klasy na prostej, mającej w zerze minimum globalne, ale której wszystkie pochodne w zerze są równe .

globalne właściwe, jest klasy DOWÓD: 1° Ciągłość w punkcie

⁄

gdy , ma w punkcie gdy , a wszystkie jej pochodne w zerze są równe .

PRZYKŁAD: Funkcja dana wzorem ( )

{

2° Istnienie pochodnej w ( ) ( ) ( )

⁄

( )

:

minimum

.

: ⁄ ⁄

⁄

,

,

[ ] ⁄

,

[ ]

a więc:

.

⁄

3° Pochodna w pozostałych punktach: Dowodzimy indukcyjnie, że dla gdzie ( ) – wielomian. ( )

(i) ( ) (ii) Zakładamy, że (iii)

(

)

( ( )

⁄

⁄

⁄

( )

( ⁄ )

⁄

)

⁄

( ) ⁄

⁄

(

)

(

⁄

)

⁄

(

)

( ⁄ ).

⁄

( )

( )

zachodzi:

(

( ⁄ )

⁄

( ⁄ )

( ⁄ )

(

( ⁄ ) (

)

) ⁄

)

)(

(

a zatem na mocy zasady indukcji matematycznej teza jest prawdziwa dla

⁄ ) .

4° Wyższe pochodne w : Dowodzimy indukcyjnie, że wszystkie pochodne w zerze są równe . ( ) (i) ( ) ( ) (ii) Zakładamy, że . ( )(

(iii)

)

( )(

)

(**) dla

parzystych (

⁄

⁄

):

→

⁄

nieparzystych ( oraz

⁄

|

):

matematycznej teza jest prawdziwa dla

4

( ⁄ )

:

⁄

a zatem

⁄

( )

⁄

Wystarczy dowieść, że dla każdego (*) dla

( )

( )(

)

( )(

)

|

| (

⁄

)| →

, ,

, więc na mocy zasady indukcji

.□

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

3.

Poszukiwanie najmniejszej i największej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograniczonym.

TWIERDZENIE 1.2 (Weierstrassa): Funkcja określona na odcinku domkniętym i ograniczonym, ciągła, osiąga w jakimś punkcie dziedziny wartość najmniejszą i w jakimś punkcie wartość największą. DOWÓD: Przyjmijmy { ( )} jest to liczba skończona. ]. W takim Gdyby tak nie było, i funkcja ( ) była nieograniczona dla z przedziału [ ] taka wartość przypadku dla każdej naturalnej liczby istnieje w przedziale [ , że | ( )| . W myśl twierdzenia Bolzano-Weierstrassa z ciągu { } można wyjąć podciąg { } zbieżny do granicy skończonej: , dla , przy czym oczywiście . Na mocy ciągłości funkcji w punkcie powinno być ( ), co jest niemożliwe, bo z założenia wynika, że wówczas również ( ) | ( )| . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie było fałszywe, skąd wynika prawdziwość twierdzenia, czyli ( ) dla . Załóżmy (prowadzimy dowód nie wprost), że wszędzie ( ) , tj. że kres nie jest osiągany. W takim przypadku można rozważyć funkcję pomocniczą ( )

. ( ) Ponieważ z założenia mianownik nigdzie nie przyjmuje wartości , funkcja ta jest ciągła, a więc (z poprzedniego twierdzenia) jest ograniczona: ( ) ( ). Ale łatwo stąd otrzymać, że wówczas jest ( )

,

⁄ , mniejsza niż , jest krańcem górnym dla zbioru wartości funkcji ( ), co tj. liczba nie jest możliwe, bo liczba jest kresem górnym tego zbioru. Otrzymana sprzeczność ] istnieje takie , że ( ) wykazuje prawdziwość twierdzenia w przedziale [ jest największą z wszystkich wartości ( ). Podobnie można dowieść twierdzenia o najmniejszej wartości. □ Punkty, w których może wystąpić ekstremum lokalne, to takie, gdzie: 1° istnieje pierwsza pochodna i jest równa zero – z warunku koniecznego na ekstremum; 2° nie istnieje pierwsza pochodna – na przykład ( ) | |; [ ]. 3° punkt położony jest na brzegu dziedziny – na przykład ( ) dla Trzeba znaleźć wszystkie takie punkty i wybrać taki, w którym wartość funkcji jest najmniejsza i taki, w którym jest największa (takich punktów dziedziny może być wiele).

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

5

4.

Asymptoty ukośne i pionowe wykresu funkcji. Warunek konieczny i wystarczający na istnienie asymptot ukośnych, sposób ich znajdowania. Przykład funkcji, dla której istnieje kierunek asymptotyczny w , ale która nie ma asymptoty.

DEFINICJA 1.1: Prostą o równaniu ( ( )

nazywamy asymptotą funkcji ( )) ,

, jeśli

w

a asymptotą w , jeśli ta równość zachodzi dla . Te asymptoty są też nazywane ukośnymi, choć mogą być poziome – nie mogą być pionowe. TWIERDZENIE 1.3: Prosta o równaniu wtedy i tylko wtedy, gdy ( )

jest asymptotą wykresu funkcji ( ( )

i

w

)

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla asymptoty w . Jeżeli pierwsza z granic istnieje (a druga istnieje lub nie), to mówimy, że prosta (przy dowolnym ) ma względem wykresu funkcji ( ) kierunek asymptotyczny. DOWÓD: 1° „ ”: zakładamy, że funkcja ma asymptotę w ( ( ) ( ( ( )

zatem istnieje także granica:

(

ponadto:

( ( )

. Z definicji: ))

(

))

( )

co można rozpisać jako:

2° „

:

( ( )

, ( )

) )

”: zakładamy, że spełnione są warunki z tezy: ( ) ( ( ) i

Zachodzi zatem: ( ( ) )

,

,

( ( )

)

)

6

ma w )

, ale

.

. ( ( )

(

DEFINICJA 1.2: ( ) ( ) 1° Jeśli lub , to prostą o równaniu asymptotą pionową wykresu funkcji . ( ) ( ) 2° Jeśli lub , to prostą o równaniu się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji . ( ) ( ) 3° Jeśli lub , to prostą o równaniu się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji . PRZYKŁAD: Funkcja ( ) asymptoty, ponieważ: ( ) (

)

))

.□

nazywa się nazywa nazywa

kierunek asymptotyczny, ale nie ma ( ( )

)

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

nie istnieje.

5. Pojęcie zbioru wypukłego w przestrzeni liniowej. Kombinacje wypukłe. Lemat o kombinacjach wypukłych punktów zbioru wypukłego. DEFINICJA 1.3: – przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór nazywa się wypukłym, jeśli dla każdych dwóch punktów odcinek łączący te punkty leży wewnątrz tego zbioru. Punkty odcinka łączącego i mają postać ( ) ( ) [ ], tak więc zbiór jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla [ ] ( ) . i∑

DEFINICJA 1.4: Jeśli

, to punkt ∑

nazywa się kombinacją wypukłą punktów LEMAT 1.1: Jeśli zbiór

.

jest wypukły, to dla każdego

zachodzi warunek

∑

∑

.

∑

∑

.

DOWÓD: Indukcja względem . 1° Dla prawdziwe z definicji. 2° Zakładamy prawdziwość dla pewnego :

3° Sprawdzamy tezę dla

: ∑

Wystarczy zastanowić się nad przypadkiem (

dla każdego )

(∑ ) ( ∑ ⇒ ∑ ∑ ∑ Oznaczmy ten element jako . Mamy wtedy

∑

⇒ (∑ )

)

∑ .

∑

(∑ ∑

.

) ∑

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

.□

7

6.

Funkcje wypukłe, określenie przy pomocy epigrafu, analityczny warunek równoważny – formalna definicja. Warunek równoważny wypukłości funkcji zmiennej rzeczywistej wyrażony przy pomocy ilorazów różnicowych.

{ } gdzie DEFINICJA 1.5: Funkcję jest podzbiorem wypukłym przestrzeni liniowej , nazywa się wypukłą, jeśli spełnia warunek [ ] ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). DEFINICJA 1.6: Epigrafem funkcji ( )

{ {(

} nazywa się zbiór ( ) }.

) {

LEMAT 1.2: Niech . Funkcja jej epigraf jest zbiorem wypukłym.

} jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy

DOWÓD: 1° „ ”: Zakładamy, że

)( ) [ ]. Mamy wypukła. Niech ( i ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Dodając stronami: (ostatnia nierówność z definicji), stąd kombinacja wypukła punktów epigrafu spełnia: ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) . [ ]. 2° „ ”: Zakładamy, że wypukły. Niech , Jeśli ( ) lub ( ) , to spełniona jest nierówność ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). ( )) ( ( )) Przyjmijmy, że ( ) ( ) oraz ( . jest wypukły ( )) ( )( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( . ( ) { ( ) }. Ostatecznie Stąd , gdzie ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). □ LEMAT 1.3: Funkcja , określona na wypukłym zbiorze i tylko wtedy, gdy dla każdej trójki liczb należących do ( ) ( ) ( ) ( ) . DOWÓD: Jeśli

i

(

), to dla

(

)

,

, jest wypukła wtedy zachodzi:

jest .

Również odwrotnie, jeśli lambda jest zdefiniowana poprzez tą równość, to ( ) . Dla następujące nierówności są równoważne: ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

8

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

(

)( ( ) ( )

( )) ( )

(

)( ( ) ( )

( )

( ))

skąd wynika potrzebna równoważność. □ Własności ilorazu różnicowego jednostronnych, ich własności.

7.

LEMAT 1.4: Jeśli funkcja { }

funkcja

funkcji

( )

określona wzorem ( )

(

)

( (

)

(

(

( )

pochodnych

jest niemalejąca.

)

( ) (

(

istnienie

jest wypukła, to dla każdego ustalonego punktu

DOWÓD: W przypadku nierówność Należy rozważyć pozostałe przypadki: 1° :

2°

wypukłej,

)

(

)

)( ( ) ( )) ) ( ) ( )

(

(

) wynika z

(

) )

( ( )

( )

(

))

(

))

(

(

( )

)( (

( ) ( ) : dowód analogiczny, bądź rozważając ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

LEMATU

( )

1.3.

)

( ))

): (

)

( )

(

)

co kończy dowód. □ TWIERDZENIE 1.4: Funkcja wypukła ma obydwie pochodne jednostronne w każdym punkcie wewnętrznym swojej dziedziny oraz dla zachodzą nierówności ( ) ( ) ( ) ( ). DOWÓD: Ustalmy punkt , dowolny. Weźmy funkcję jak w ( ) i ze względu na monotoniczność jest granicą: ( ) ( ) ( ) ( ) oraz symetrycznie

( )

( )

i, na podstawie LEMATU 1.3, nierówność ( ) dowolność , dla każdego . Ponadto, ponownie korzystając z LEMATU 1.3, dla ( ) ( ) ( ) ( )

( )

LEMACIE

1.4. Istnieje

( )

( ) jest spełniona, ze względu na mamy ( )

( ). □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

9

8.

Twierdzenie o mocy zbioru punktów, w których funkcja wypukła zmiennej rzeczywistej może nie mieć pochodnej.

WNIOSEK 1.1: Funkcja wypukła o skończonych wartościach ma pochodną poza co najwyżej przeliczalnym zbiorem punktów dziedziny. DOWÓD: Oznaczmy przedziałów:

{

( )

}.

Rozpatrzmy

zbiór

rozłącznych

{( ( ) ( )) }. W każdym z przedziałów należących do tego zbioru można wybrać punkt, który jest liczbą wymierną (wynika to z pewnika wyboru). Zatem tych przedziałów jest co najwyżej tyle, co liczb wymiernych, a więc jest ich co najwyżej przeliczalna ilość. □ 9.

Charakteryzacja wypukłości funkcji różniczkowalnej przy pomocy własności pierwszej pochodnej i przy pomocy drugiej pochodnej. Charakteryzacja przy pomocy położenia wykresu względem stycznych do wykresu. ( ) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna

TWIERDZENIE 1.5: Funkcja jest funkcją niemalejącą.

DOWÓD: 1° „ ”: Zakładamy, że wypukła. Niech Na mocy LEMATU 1.3 możemy stwierdzić, że ( ) ( )

(

. Ustalmy dowolne ( )

( )

).

.

Ponadto mamy: ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ). a stąd: ( ) 2° „ ”: Zakładamy, że niemalejąca. Niech ( twierdzenia Lagrange’a, zatem istnieją punkty ( ) ( ) ( ) ( ) ,

)i ( )

. Spełnione są założenia ( ) takie, że (

)

a więc ( )

( )

( )

( )

co na mocy LEMATU 1.3 dowodzi wypukłości . □ WNIOSEK 1.2: Funkcja jest funkcją nieujemną.

10

( ) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej druga pochodna

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

TWIERDZENIE 1.6: Jeśli funkcja jest wypukła, a wykres ma w jakimś punkcie styczną, to cały wykres funkcji leży powyżej tej stycznej. DOWÓD: Zakładamy, że w punkcie 1° dla

:

2° dla

:

( )

( ) ( )

( )

( ).

istnieje pochodna ( )

czyli ( )

( )

( ) (

).

( )

czyli ( )

( )

( ) (

). □

TWIERDZENIE 1.7: Jeśli funkcja jest różniczkowalna na przedziale i jej wykres leży nad każdą ze stycznych do wykresu, to funkcja jest wypukła. DOWÓD: Przypuśćmy, że funkcja nie jest wypukła. Istnieją punkty dziedziny takie, że ( ): ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). dla niektórych ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) osiąga na [ ] maksimum Funkcja ( ). Oznaczając ( ) mamy dodatnie dla pewnego ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) a więc

( )

( )

( )

.

( ) ( ) ( Wynika stąd, że styczna o równaniu ( )), ( ( )) wykresu, co jest sprzeczne z założeniem. □ (

) leży powyżej punktów

10. Funkcje wklęsłe, punkty przegięcia wykresu. DEFINICJA 1.7: Funkcja określona na podzbiorze wypukłym przestrzeni liniowej jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła. DEFINICJA 1.8: Jeśli w pewnym otoczeniu jakiegoś punktu na lewo od niego funkcja jest wypukła, a na prawo wklęsła (lub odwrotnie), to nazywamy go punktem przegięcia wykresu funkcji. TWIERDZENIE 1.8: Jeśli w punkcie przegięcia funkcja ma drugą pochodną, to jest ona równa zeru. )) i istnieje druga DOWÓD: Niech będzie punktem przegięcia, (( pochodna w punkcie . ) a funkcja Załóżmy, że funkcja jest wypukła na odcinku ( wypukła na ( ). odcinku Wtedy z TWIERDZENIA 1.2 mamy, że jest niemalejąca na przedziale ( ) oraz ) (bo ( ) jest niemalejąca na jest nierosnąca na przedziale ( tym przedziale). Mamy wtedy ( ) ( ) dla { . dla Ponieważ granica przy zbiegającym do zera istnieje, gdyż funkcja posiada drugą pochodną w punkcie , więc musi być ona równa zeru. ) i wypukłej na ( ) dowód jest Dla funkcji wklęsłej na odcinku ( analogiczny. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

11

CZĘŚĆ II – CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 11. Definicja ciągu funkcyjnego, pojęcie zbieżności punktowej, zbieżności jednostajnej, ich zależność. Przykłady. DEFINICJA 2.1: Ciąg funkcyjny to ciąg, którego wyrazami są funkcje mające wspólną dziedzinę i przeciwdziedzinę. DEFINICJA 2.2: Obszarem zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego o przeciwdziedzinie nazywa się podzbiór dziedziny złożony z takich punktów , dla których ciąg liczbowy ( ) jest zbieżny. Powstaje nowa funkcja, której dziedziną jest obszar zbieżności, określona wzorem: ( ) ( ). Mówimy, że ciąg jest w obszarze zbieżności zbieżny punktowo do określonego w ten sposób odwzorowania , jeśli | ( ) ( )| . DEFINICJA 2.3: Ciąg odwzorowań funkcji , jeśli zachodzi warunek

jest zbieżny jednostajnie na zbiorze | ( )

( )|

do

,

co oznaczamy jako . Na ogół nie istnieje największy (w sensie zawierania) podzbiór dziedziny, w którym ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny. ], ale nie jest PRZYKŁAD: Funkcja ( ) jest zbieżna punktowo w przedziale ( zbieżna jednostajnie na tym przedziale. Jest za to jednostajnie zbieżna w każdym przedziale [ ], gdzie . 12. Lemat o sprawdzaniu zbieżności jednostajnej poprzez ograniczanie supremów przez wyrazy ciągu zbieżnego. Metryka zbieżności jednostajnej w przestrzeni funkcji ograniczonych, ograniczoność funkcji będącej jednostajną granicą ciągu funkcji ograniczonych. LEMAT 2.1: Jeśli istnieje ciąg liczbowy taki, że oraz { ( ( ) ( )) } , to ciąg odwzorowań jest jednostajnie zbieżny do odwzorowania na zbiorze . DOWÓD: Ustalmy . Istnieje takie, że dla zachodzi . Weźmy takie, że ten warunek jest spełniony. Dla dowolnego mamy ( )| ( )| | ( ) {| ( ) } . Dzięki temu z dowolności wyboru mamy jednostajną zbieżność ciągu. □ ) rodzinę ograniczonych funkcji o wartościach DEFINICJA 2.4: Oznaczmy przez ( ( ) {| ( ) ( )| } rzeczywistych. Metrykę ) nazywamy metryką zbieżności jednostajnej. w przestrzeni (

12

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

LEMAT 2.2: Granica jednostajna ciągu funkcji ograniczonych jest funkcją ograniczoną. DOWÓD: Załóżmy – ograniczone, | ( )| | ( ) ( ) Ustalmy . Istnieje takie, że | ( )|

| ( )

( ) ( ). ( )| | ( ) ( )| | ( )| ( )| | ( ) . Ponadto | ( )| ( )|

|

( )|

.

.□

( ) jest zbieżny jednostajnie do funkcji LEMAT 2.3: Ciąg wtedy, gdy jest zbieżny w sensie metryki .

(

) wtedy i tylko

13. Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego i szeregu funkcyjnego. TWIERDZENIE 2.1 (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej): Ciąg jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek: | ( ) ( )| DOWÓD: 1° „ ”: ustalmy . Dzięki zbieżności jednostajnej istnieje ( )| wszystkich zachodzi | ( ) . Dla : | ( )

( )|

| ( )

( )|

| ( )

jest zbieżny

takie, że dla

oraz

( )|

2° „ ”: jeśli ustalimy , to ciąg liczbowy ( ) spełnia warunek Cauchy’ego. ( ) (granicę punktową). Definiujemy ( ) Ustalmy . Korzystamy z warunku Cauchy’ego – istnieje takie, że dla : | ( ) ( )| ( )| (dla wszystkich ). Ustalmy . Przy mamy | ( ) wszystkich .□

dla

TWIERDZENIE 2.4 (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych) : Szereg funkcyjny ∑ jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy spełnia warunek |∑

( )|

.

Warunek Cauchy’ego zapisuje się również w taki sposób: |∑

( )|

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

.

13

14. Lemat o zamianie kolejności granic dla ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnej ciągu funkcji ciągłych i sumy szeregu funkcyjnego o wyrazach ciągłych. LEMAT 2.4 (o zamianie kolejności granic): Załóżmy, że jest punktem skupienia zbioru , { } do funkcji . Wtedy, a ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na zbiorze ( ) , jeśli istnieją granice: ( )

to: Oznaczając przez

granicę ciągu funkcyjnego tezę można zapisać jako: ( ) .

DOWÓD: Ustalmy . Dla dowolnego | ( ) | | ( ) | Istnieje , że dla : | |

( )

( )|

| ( )

|

|.

, że dla

, oraz

i wszystkich

:

}:

| ( )

̃(

|

, że jeśli

Istnieje

oraz mamy: ( )| | ( ) | |

(ze zbieżności jednostajnej). {

Weźmy ̃

( )

|

Wobec tego, jeśli

)|

|

| |

̃(

)

, to |

̃| ̃(

, to | ( )

|

)

|

̃ ̃|

|

|

̃(

)

̃|

.

.

.□

TWIERDZENIE 2.2: Granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. DOWÓD: Niech Ustalmy | ( ) ( )| | ( )

( ) . Ponieważ

ciągłe oraz oraz dowolne dla wszystkich ( )|

( )|

| ( ) jest ciągła w

Funkcja wszystkich

dla

( )|

, spełniających nierówność |

takich, że |

| ( )

|

( )|

( )|

| ( )

| ( )

takie, że

| | ( )

.

( )|

( )|.

taka, że | ( )

. Istnieje liczba

| ( )

, więc istnieje

. Ustalmy jakąkolwiek liczbę

i

| ( )

( ).

( )|

dla

. Dlatego ( )|

.□

WNIOSEK 2.1: Jeżeli szereg ∑ ( ) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze i jego wyrazy są ciągłe w punkcie , to suma ( ) ∑ ( ) jest funkcją ciągłą w punkcie .

14

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

15. Twierdzenie o różniczkowalności granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego. [ ] TWIERDZENIE 2.3: Zakładamy, że funkcje : (1) są różniczkowalne, (2) ciąg ich pochodnych jest jednostajnie zbieżny, [ ] zbieżny jest ciąg liczbowy (3) dla pewnego Wtedy: 1° ciąg jest jednostajnie zbieżny, ], 2° jego granica jest funkcją różniczkowalną w [ 3° zachodzi równość: DOWÓD: 1° Ustalmy | ( )

( )

( ).

( ).

. ( )|

( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))| |( ( ) ( )) ( ( ) ( ))| | ( ) ( )|. |( ( ) Korzystając z twierdzenia Lagrange’a dla funkcji mamy dla pewnego pomiędzy ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ). i : ( ( ) Istnieje

jest | ( )

, że dla

( )|

.

Ciąg

jest zbieżny jednostajnie, więc spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej. ( )| Istnieje , że dla jest | ( ) . ( ) Weźmy

{

}. Dla | ( )

mamy nierówność:

( ) ( ) spełnia więc warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności, więc

dla wszystkich . Ciąg jest jednostajnie zbieżny. ( ) 2° Oznaczmy granica

( )

( )|

( ). Ustalmy

[

]. Chcemy wykazać, że istnieje

( )

. Tworzymy pomocnicze funkcje: ( )

( )

( )

,

( )

( )

( )

( ) ( ) dla określone dla z dziedziny. Zachodzi zbieżność punktowa . ( ) ( ). Ponadto Wykażemy, że dzięki założeniu zbieżności jednostajnej ciągu ciąg również jest jednostajnie zbieżny (korzystając z warunku Cauchy’ego zbieżności jednostajnej): ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )| | | |

( ( )

( ))

(

( )

( ))

|

|

( ( )

| ( ) ( )| dla pewnego pomiędzy i . Ze zbieżności jednostajnej ciągu pochodnych wiemy, że istnieje ( )| [ nierówność | ( ) zachodzi dla wszystkich

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

( )) (

takie, że dla ]. Dla

)

|

i dla

15

( )| ( ) spełnia warunek wszystkich zachodzi nierówność | ( ) . Cauchy’ego zbieżności jednostajnej, więc jest zbieżny jednostajnie. Wobec tego zgodnie z LEMATEM 2.4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). □ TWIERDZENIE 2.6 (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie) : Zakładamy, że [ ] funkcje (1) są różniczkowalne, (2) szereg ich pochodnych ∑ jest jednostajnie zbieżny, [ ] zbieżny jest szereg liczbowy ∑ ( ). (3) dla pewnego Wtedy: 1° szereg ∑ jest jednostajnie zbieżny, ], 2° jego suma jest funkcją różniczkowalną w [ ∑

3° zachodzi równość:

( )

∑

( ).

16. Szeregi funkcyjne, zbieżność punktowa i jednostajna, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. DEFINICJA 2.5: Niech , gdzie , będzie ustalonym ciągiem funkcyjnym. Szeregiem funkcyjnym nazywa się parę ciągów funkcyjnych ({ } { }), przy czym ( )

∑

( )

Przy każdym ustalonym para ({ } { }) jest zwykłym szeregiem liczbowym. Obszarem zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego ({ } { }) jest obszar zbieżności ciągu funkcyjnego . Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego oznacza jednostajną zbieżność ciągu funkcyjnego . TWIERDZENIE 2.5 (kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych) : Jeśli istnieje zbieżny szereg liczbowy ∑ o wyrazach nieujemnych taki, że dla każdego zachodzi nierówność {| ( )| } , to szereg funkcyjny ∑ jest jednostajnie zbieżny. DOWÓD: Ustalmy i zachodzi ∑

. Szereg ∑ jest zbieżny, więc istnieje . Wobec tego dla i |∑

dla wszystkich . Szereg ∑ jednostajnie zbieżny. □

16

( )|

∑|

( )|

takie, że dla

∑

spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej, więc jest

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

17. Szeregi potęgowe, twierdzenie o charakterze obszaru zbieżności szeregu potęgowego wraz z wnioskiem o możliwych postaciach tego obszaru. DEFINICJA 2.6: Szeregiem potęgowym nazywa się szereg funkcyjny postaci (

∑ Dzięki podstawieniu

) .

można szereg potęgowy sprowadzić do postaci ∑

.

Obszar zbieżności (punktowej) ulega wtedy przesunięciu (w lewo) o jest ujemne to przesunięciu w prawo o | |).

(oczywiście, jeśli

TWIERDZENIE 2.7: Jeśli szereg potęgowy ∑ jest zbieżny w punkcie , to: (1) jest zbieżny bezwzględnie w przedziale ( | | | |), ] dla dowolnego ( | |). (2) jednostajnie zbieżny w każdym przedziale postaci [ DOWÓD: Szereg liczbowy ∑ jest zbieżny, a więc ciąg jego wyrazów jest ograniczony – | | istnieje takie, że . (1) Ustalmy dowolne | | | |. |

|

|

|

|

| |

|

| |

Przy ustalonym można ten szereg traktować jako szereg geometryczny, dla | | | zbieżny. zbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego | | |, [ ]: (2) Ustalmy dowolne | | | | | zbieżny (bo a ponieważ ∑| ), to na podstawie TWIERDZENIA 2.5 szereg ∑ jest jednostajnie zbieżny. □

| |

WNIOSEK 2.2: Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest całą prostą, albo jednym ), [ ), ( ], [ ]. z przedziałów postaci (

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

17

18. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego. √|

TWIERDZENIE 2.8 (Cauchy-Hadamarda): Niech szeregu potęgowego ∑ jest następujący: (1)

, gdy

;

(2)

, gdy

;

|. Promień zbieżności

(3)

, gdy

.

DOWÓD: Ustalmy dowolne. Twierdzenie wynika z kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów dzięki zastosowaniu równości √|

|

| |

√|

Aby szereg był zbieżny, musi zachodzić | |

|

| |

.

, zatem promieniem zbieżności jest .

Końce przedziału mogą należeć do obszaru zbieżności lub nie. □ TWIERDZENIE 2.9: Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności. ( ). Weźmy przedział [ ] ( ) taki, do którego należy DOWÓD: Ustalmy punkt . Szereg potęgowy jest na tym przedziale jednostajnie zbieżny, zatem w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału funkcja jest ciągła. □ DEFINICJA 2.7: Szeregiem pochodnym szeregu potęgowego ∑ potęgowy złożony z pochodnych jego wyrazów: ∑

nazywa się szereg

.

TWIERDZENIE 2.10: Funkcja ( )

∑

określona dla z obszaru zbieżności tego szeregu, ma wewnątrz przedziału zbieżności pochodną równą sumie szeregu pochodnego. ( ). Weźmy DOWÓD: Niech będzie promieniem zbieżności i takie, że [ ], [ ] ( ). ] założenia TWIERDZENIA 2.6 o różniczkowaniu szeregu Szereg ∑ spełnia na [ wyraz po wyrazie. Funkcja ma w punkcie pochodną oraz ( )

18

∑

.□

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

TWIERDZENIE 2.11: Promień zbieżności szeregu ∑ zbieżności szeregu ∑ .

jest taki sam jak promień

DOWÓD: )|

√( |

√| A zatem granica górna √| zbieżności jest taki sam. □

| |

|

|

√|

√

|

(|

)

| jest taka sama jak taka sama jak √|

|, więc promień

19. Twierdzenie Abela o ciągłości sumy szeregu potęgowego na krańcach dziedziny. Przykłady zastosowań. TWIERDZENIE 2.12 (Abela): Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny w którymś z końców przedziału zbieżności, to jego suma jest w tym punkcie ciągła (jednostronnie). DOWÓD: Wprowadzając podstawienie (

∑

) dostaniemy szereg potęgowy

( )

)

∑(

o promieniu zbieżności równym i zbieżnym w punkcie . Można założyć, że wyjściowy szereg ma tę własność. Udowodnimy, że szereg jest jednostajnie zbieżny na przedziale [ ]. W tym celu wykażemy, że spełnia warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności. Ustalmy . Dla oznaczmy: . Dzięki zbieżności szeregu ∑ Dostajemy oszacowanie |

istnieje

|

, że:

( (

)

(

)

(

( ) ( Warunek Cauchy’ego jest więc spełniony. Suma szeregu jest lewostronnie ciągła w punkcie . □ PRZYKŁAD: Korzystając z tego, że dla | | (

)

PRZYKŁAD: Korzystając z tego, że dla | |

) )

)

|

| .

:

można stwierdzić, że:

można stwierdzić, że:

.

|

| |

|

(

)

(

)

(

)

.

:

(

)

.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

19

CZĘŚĆ III – FUNKCJE PIERWOTNE 20. Pojęcie funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej, twierdzenia o całce sumy funkcji, całce iloczynu funkcji przez liczbę oraz o całkowaniu przez części. Przykłady. DEFINICJA 3.1: Niech nazywa się każdą funkcję

będzie przedziałem. Funkcją pierwotną funkcji spełniającą dla wszystkich warunek: ( ) ( ).

LEMAT 3.1: Jeśli jest funkcją pierwotną funkcji , gdzie jest przedziałem, to funkcja jest też funkcją pierwotną funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla jakiejś ( ) ( ) stałej : . DOWÓD: 1° „ ”:

( )

( ).

( )

( ( )

)

( )

( )

( ).

( ) ( ). ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2° „ ”: ( ) a więc z wniosku z tw. Lagrange’a (dla przedziałów) różnica jest wartością stałą. □ DEFINICJA 3.2: Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji nazywa się całką nieoznaczoną i oznacza przez ∫ ( )

.

TWIERDZENIE 3.1: Jeśli istnieją całki nieoznaczone ∫ ( ) ( )) i zachodzi równość nieoznaczona ∫( ( ) ∫( ( )

( ))

(o ile istnieją)

∫ ( )

oraz ∫ ( ) ∫ ( )

, to istnieje całka

.

DOWÓD: (∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

)

∫ ( )

TWIERDZENIE 3.2: Jeśli istnieje całka nieoznaczona ∫ ( ) istnieje całka nieoznaczona ∫ ( ) i zachodzi równość ∫

( )

∫ ( )

( )

, to dla każdej liczby

.

DOWÓD: ( ∫ ( )

20

)

∫ ( )

( ). □

( ). □

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

TWIERDZENIE 3.3 (całkowanie przez części): Jeśli funkcje zachodzi wzór ∫ ( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ( ))

DOWÓD:

i

( ) ( )

∫

( ) ( )

są klasy

na przedziale

, to

.

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Korzystamy z tego, że każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną – stąd całki funkcji po lewej stronie i po prawej istnieją: ∫ ( ) ( )

∫( ( ) ( ))

∫

{

}

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

.□

PRZYKŁAD: ∫ ∫

{

(

∫ }

) (

∫

, )

,

21. Wzór na całkowanie przez podstawienie dla całko nieoznaczonej – dwa sposoby interpretowania. Przykłady. TWIERDZENIE 3.4 (całkowanie przez podstawienie): Niech będą przedziałami, , oraz różniczkowalna w . 1° Jeśli jest funkcją pierwotną funkcji , to funkcja ( ( )) jest funkcją pierwotną ( ). funkcji ( ( )) ( ) jest funkcją pierwotną funkcji 2° Jeśli funkcja jest odwracalna, a ( ), to funkcja ( )) jest funkcją pierwotną funkcji ( ). ( ( )) ( ∫ ( )

∫ ( ( ))

( )

DOWÓD: 1°

( ( ))

2°

(

( ( ))

( ))

( )

( ( ))

( ))

(

( )

( )))

( (

( )

(

( ))

(

( ))

( )□

PRZYKŁAD: ∫

{ √

∫

√

{

}

√

}

∫

√

, ∫

√

√

√

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

,

21

22. Całki funkcji ,

√ ∫

√ √

[

√

∫√

∫ ∫

]

,

√

∫

√

.

√ ∫

√

,

√

∫

√

√ ∫

√

∫

√

√

√

[

√

√

√

]

√

∫√

∫√

√

√

∫√

∫√

√

√

√ ( ∫

√

|

√

]

√ ∫

∫

√ |

∫√

22

| |

∫

√ [

∫√

)

√ √

√

|

∫

√ √ |

√ ∫√

√

|

√

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

|

23. Całkowanie funkcji wymiernych, przykłady. ( )

DEFINICJA 3.3: Funkcją wymierną nazywa się każdą funkcję postaci ( )

( )

, gdzie ( ),

( ) są wielomianami. TWIERDZENIE 3.5: Każdą funkcję wymierną da się przedstawić jako sumę wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych, to znaczy funkcji postaci , ) ( są nierozkładalne.

( przy czym trójmiany

( )

ALGORYTM OBLICZANIA CAŁKI FUNKCJI WYMIERNEJ ( )

1° Jeśli

( ), to dzielimy

( )

)

:

( ) przez

( ):

( )

( )

( )

( )

( )

gdzie

( )

jest resztą z dzielenia. 2° ( ) ( )

( ) (

( (

)

(

)

) (

(

( (

)

)

)

)

( (

(

(

)

)

(

)

)

)

)

(

) ( ) ( ) 3° Szukamy parametrów , , doprowadzając powyższy ułamek do wspólnego mianownika i rozwiązując układ równań powstałych poprzez przyrównanie współczynników przy kolejnych potęgach . 4° Całki ułamków prostych: (a) ∫ (

)

,

|

∫

:

∫( (b) ∫ (

)

∫(

)

| (

(

)

)

)∫(

)

(

pierwszą całkę znajdujemy przez podstawienie (

aby znaleźć drugą korzystamy z równości √

podstawienia ∫

(

)

, oznaczając ∫

(

dla

mamy: ∫

dla

mamy wzór rekurencyjny: ∫ (

√ ∫

)

)

(

)

)(

(

)

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

) (

)i

mamy

,

) ∫(

)

23

DOWÓD (wzoru rekurencyjnego): ∫

(

∫

)

(

∫

)

(

{

(

(

)

} (

(

∫

)

)

(

(

)(

)

(

)(

)

)(

)

)(

)

)(

)

∫

(

)(

(

∫

)

)

(

□

)

24. Całki funkcji zawierających pierwiastek funkcji homograficznej i pierwiastek kwadratowy trójmianu sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych. ∫

1° całka z pierwiastkiem z funkcji homograficznej podstawienie: √

,

(

,

(

√

)

| |

| |

) (

)

2° całka z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego (a)

∫

(

podstawienie: √ (b) podstawienie: √

24

( √

∫

) )√ ,

( √ (

) )

√ ,

√

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

(

)

25. Całki z funkcji zawierających wyrażenia trygonometryczne oraz funkcję wykładniczą sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych. 1° całka funkcji zawierających funkcje trygonometryczne ) (a) ∫ ( podstawienie:

,

, , (

∫

(b) podstawienie:

,

) , ,

2° całka funkcji zawierających funkcję eksponencjalną podstawienie:

,

∫

(

)

,

26. Metoda współczynników nieoznaczonych dla całek zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego. 1° metoda współczynników nieoznaczonych, dla całek postaci gdzie

( ) jest wielomianem stopnia ∫√

( )

∫√

( )

można poszukiwać w postaci ( ) √

∫√

( ) jest wielomianem stopnia , jakąś stałą. Współczynników wielomianu ( ) oraz liczby poszukuje się różniczkując tę równość stronami, porządkując i porównując współczynniki wielomianów, które znajdą się w licznikach lewej i prawej strony.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

25

CZĘŚĆ IV – CAŁKA RIEMANNA - WPROWADZENIE 27. Sumy całkowe, definicja całki Riemanna, ograniczoność funkcji całkowalnych, przykład funkcji ograniczonej na przedziale, ale nie mającej całki Riemanna. ] nazywa się każdy skończony ciąg punktów DEFINICJA 4.1: Podziałem odcinka [ ( ) spełniający warunek: . { }. Średnicą podziału nazywa się liczbę ( ) ] podziału po jednym punkcie , to Jeśli wybierzemy z każdego z przedziałów [ ( ) odpowiada podziałowi . mówimy, że ten wybór, oznaczany ] DEFINICJA 4.2: Niech [ . Sumą całkową funkcji dla podziału ( ) nazywa się sumę i odpowiadającemu mu wyboru punktów ( DEFINICJA 4.3: Ciąg podziałów

)

∑ ( ) (

odcinka [

(

)

).

] nazywa się normalnym, jeśli ( )

czyli ciąg średnic tych podziałów jest zbieżny do zera. [ ] DEFINICJA 4.4: Niech . Jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów ] i odpowiadających im wyborów punktów ) odcinka [ ciąg sum całkowych ( jest zbieżny (i granica nie zależy od wyboru), to granicę tę nazywamy całką Riemanna (całką ] i oznaczamy jako oznaczoną) funkcji na przedziale [ ∫ ( )

.

) są zawsze zbieżne, jak w definicji, to granica UWAGA: Jeśli ciąg sum całkowych ( jest zawsze taka sama – stąd wynika jednoznaczność określenia całki. TWIERDZENIE 4.1: Funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest ograniczona. [ ] DOWÓD: Przypuśćmy, że funkcja jest równocześnie całkowalna ( ). i nieograniczona. Ustalmy pewien podział ] o dodatniej długości funkcja Na jednym z przedziałów postaci [ jest nieograniczona. Ustalając w pozostałych przedziałach dowolne [ ] i dobierając [ ] znajdziemy nieograniczony ciąg sum całkowych postaci odpowiednio punkcji ( ). □ UWAGA: Ograniczoność funkcji na przedziale [

26

] nie wystarcza do jej całkowalności.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

PRZYKŁAD: Funkcja Dirichleta,

[

]

określona w następujący sposób: , gdy ( ) { , gdy nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Dla dowolnego skończonego ciągu podziałów ( ), ( ), można wybrać punkty oraz . Wówczas ( ) ) , ( . TWIERDZENIE 4.2: Jeśli funkcje ]i jest całkowalna na [

są całkowalne na przedziale [

i

∫( ( )

( ))

∫ ( )

przedziału [ ).

DOWÓD: Weźmy normalny ciąg podziałów punktów . ( ), ( (

)

∑( (

)

∑ (

) (

∫ ( )

(

)) ( )

( ) ( Co przy przejściu granicznym daje równość w tezie. □

( )

∫ ( )

(

)

∑

(

) (

)

∑ (

.

) ∑ (

) (

)

) ] to dla każdej liczby

.

przedziału [ ).

DOWÓD: Weźmy normalny ciąg podziałów punktów . ( ), (

też

] i odpowiadający mu wybór

TWIERDZENIE 4.3: Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale [ funkcja też jest całkowalna i ∫

], to suma

] i odpowiadający mu wybór

) (

)

(

)

Co przy przejściu granicznym daje równość w tezie. □ ] WNIOSEK 4.1: Rodzina funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ustalonym odcinku [ spełnia wszystkie warunki przestrzeni liniowej z działaniem dodawania funkcji i mnożenia przez skalar. Oznaczmy tę przestrzeń jako [ ] . Odwzorowanie

∫

( )

jest odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

[

]

w .

27

28. Sumy górne i sumy dolne, ich własności. ] DEFINICJA 4.5: Niech [ [ ]. Sumą górną dla podziału

(

będzie ograniczona. nazywa się liczbę

(

)

∑(

(

)

∑(

[

]

[

]

) – podział odcinka

( )) (

),

( )) (

).

a sumą dolną liczbę

] i każdego odpowiadającego mu wyboru odcinka [ ( ) ( ) ( ).

LEMAT 4.1: Dla każdego podziału punktów zachodzą nierówności:

DOWÓD: Weźmy dowolny podział odcinka [ ( ) zachodzi: wyboru punktów ( ) ( ) [

]. Dla każdego odpowiadającego mu

]

[

( )

]

a więc także: (

[

]

( )) (

)

( ) (

)

(

[

]

( )) (

)

co przy sumowaniu po daje nierówność z tezy. □ ( LEMAT 4.2: Dla każdego podziału ( )i ( wybory punktów ( ) ( ) [

DOWÓD: Wystarczy dobrać punkty ( )

(

[

]

) odcinka [ ) takie, że: ( ) ] oraz

( ))

( )

,

[ (

] i każdego (

)

istnieją

.

] takie, by dla każdego [

]

( ))

Wtedy zachodzi: ( ) ( (

)

(

) )

( ) (

oraz (

)

(

((

((

∑(

]

)

∑( )

)

[

[

]

)

( )) (

) ( )

( )) (

(

) )

) ( )

(

(

)

(

)

) )

co kończy dowód. □ DEFINICJA 4.6: Podział ̃ jest rozdrobnieniem podziału podziału jest też punktem podziału ̃, co oznaczamy

28

odcinka [ ̃.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

] jeśli każdy punkt

LEMAT 4.3: Jeśli funkcja

[ (

]

jest ograniczona i ( ̃) ( ̃)

)

DOWÓD: Uzasadnimy nierówność ( przedziałem, a punkty

)

̃, to (

).

] [ ] będzie dowolnym ( ̃). Niech [ jego podziałem. Korzystając z własności: ( ) ( )

otrzymujemy [

]

( ) (

)

∑

[

]

( ) (

)

∑

[

]

( ) (

).

]. Traktujemy każdy z przedziałów wyznaczonych przez podział jako taki przedział [ Punkty podziału ̃ dzielą go na pewną liczbę podprzedziałów. Pozwala to na uzasadnienie ) nierówności ( ( ̃). ( ) można wykazać analogicznie, a nierówność ( ̃) Nierówność ( ̃) ( ̃) jest oczywista. □ WNIOSEK 4.2: Dla dowolnych dwóch podziałów i ( ) (

odcinka [ ).

] zachodzi nierówność

] zawierającym wszystkie punkty podziałów DOWÓD: Niech będzie podziałem odcinka [ ( ) ( ) ( ) ( ) i . Zachodzi i , zatem z lematu: co daje nierówność z tezy. □ 29. Całka górna i całka dolna. Zbieżność sum górnych i sum dolnych dla normalnego ciągu podziałów. Charakteryzacja całkowalności przez całkę górną i dolną. [

DEFINICJA 4.7: Całką górną ograniczonej funkcji

a całką dolną liczbę:

]

nazywa się liczbę:

∫ ( )

{ (

)

podziały [

]} ,

∫ ( )

{ (

)

podziały [

]} .

] LEMAT 4.4: Jeśli funkcja [ jest ograniczona, ciągiem normalnym podziałów ], a jego dowolnym, ustalonym podziałem, to: odcinka [ ) ( ) ̃ ̃ ( , ) ( ) ̃ ̃ ( . ( )i [ ] ( ) DOWÓD: Ustalmy . Niech . Jeśli punkt podziału w ciągu pokrywa się z punktem ustalonego podziału, to mamy sytuację jak w lemacie, więc nierówność jest spełniona. Pozostały te „siedzące okrakiem”, może ich być co najwyżej tyle, ile jest punktów ustalonego podziału z wykluczeniem dwóch punktów krańcowych, a więc .

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

29

Weźmy normalny ciąg podziałów będą odcinkami

Niech

, oznaczmy odcinki tego podziału jako

(

)

∑ (

.

zawartymi całkowicie w jakimś odcinku podziału , natomiast

będą pozostałymi, jest ich co najwyżej | ∑ (

,

.

) | ||

(

∑ | |

) | |

∑ (

Należy więc dobrać tak duże ̃, aby dla

)

(

) | |

(

)

)

(

̃ średnica podziału była mniejsza od

) (

)

(

)

.

Dla sum dolnych dowód jest analogiczny. □ [

TWIERDZENIE 4.4: Jeśli funkcja ], to: podziałów odcinka [ (

)

]

∫ ( )

(

)

∫ ( )

) (

(

) (

,

(

DOWÓD: Z lematu wiadomo, że zatem:

jest ciągiem normalnym

jest ograniczona,

) (

( )

. ),

)

Nierówność jest prawdziwa dla każdego podziału , więc: (

)

Z drugiej strony dla każdego podziału :

(

)

∫ ( )

(

)

∫ ( )

więc:

(

)

,

∫ ( )

.

Dowód dla ciągu sum dolnych jest analogiczny. □ [ TWIERDZENIE 4.5: Ograniczona funkcja wtedy, gdy: ∫ ( )

Dla funkcji całkowalnych:

30

∫ ( )

]

ma całkę Riemanna wtedy i tylko

∫ ( )

∫ ( )

.

∫ ( )

.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

DOWÓD: 1° „

( )

”: Załóżmy, że ∫

podziałów. Weźmy (

( )

∫

). Istnieje wybór punktów (

)

(

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że ( Istnieje jednak też wybór punktów

będzie normalnym ciągiem

. Niech , że (

)

)

(

)

)→

∫

( )

∫

( )

)

.

.

(

, że (analogicznie)

Granice nie są równe, a zatem całka nie istnieje. 2° „ ”: Niech będzie normalnym ciągiem podziałów, a wyborów punktów. ( ) ( ) (

(

)→

∫

( )

.

odpowiadającym mu ciągiem ) ( )

∫

Korzystając z równości całki dolnej i górnej i z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy (

) [

WNIOSEK 4.3: Ograniczona funkcja i tylko wtedy, gdy

] (

∫ ( )

.□

jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy ) ( ) .

DOWÓD: 1° „

( ̃) a więc: ( ̃) (

)

( ̃)

( ̃), (

( )

∫

”:Ustalmy

z czego wynika, że:

( ̃)

( )

∫

,

– wspólne rozdrobnienie ̃ i ̃. Wtedy

( ̃). Mamy zatem

)

)

(

∫ ( )

∫ ( )

( ̃)

)

. Istnieje , że ( ∫ ( )

a więc:

. Istnieje ̃ i ̃, że:

( )

∫

,

. Weźmy

( 2° „

( )

. Zakładamy, że ∫

”: Ustalmy

(

) ) ,

∫ ( )

∫ ( )

(

( ̃) )

.

∫ ( )

(

.

(

)

(

)

)

czyli funkcja

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

,

jest całkowalna. □

31

30. Całkowalność funkcji ciągłych. LEMAT 4.5: Jeśli funkcja ( )

jest ograniczona, to: ( ) ( )) ( ( )

DOWÓD: 1° Pierwsza równość: Dla dowolnych ( )

| ( )

( )| .

: ( )

( )

( )

skąd wynika: ( ( ) Nierówność w drugą stronę – ustalmy ( )

( )) , istnieją elementy ( ) ,

. takie, że

( ) ( ) czyli ( )) i stąd ( ( ) Ze względu na dowolność dostajemy nierówność ( )) ( ( )

.

skąd ostatecznie wynika równość. 2° Druga równość: Wynika z tego, że zbiór { ( ) względem zera. □ [

TWIERDZENIE 4.6: Jeśli funkcja DOWÓD: Ustalmy ciągła. Istnieje ( (

)

)

∑( ∑( ∑( ∑

32

jest ciągła, to ma całkę Riemanna.

|

| ( )

) podział odcinka [ (

} jest symetryczny

. Funkcja jest ciągła na zbiorze zwartym, więc jest jednostajnie [ ] takie, że dla wszystkich |

Niech

]

( )

[

]

[

]

) (

)

[

]

∑(

) (

. Wówczas: [

)

) (

]

)

( )|) (

]

(

.

] taki, że ( )

| ( )

[

( )|

(

) )

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

)

31. Całkowalność funkcji monotonicznych. TWIERDZENIE 4.7: Funkcja monotoniczna, ograniczonym, ma całkę Riemanna.

określona

na

przedziale

domkniętym,

DOWÓD: Przyjmijmy, że funkcja niemalejąca (i nie stała). Funkcja jest ograniczona – wartością najmniejszą jest ( ), największą ( ). ( ) odcinka [ ] taki, że Ustalmy . Weźmy dowolny podział ( ) . ( ) ( ) (

)

(

)

∑(

[

]

) (

)

∑ ( ) (

)

∑ (

∑( ( )

(

)) (

∑( ( )

(

))

( )

(

))

( ) ∑( ( ) ( ) ( ( )

∑(

[

]

) (

) (

) )

)

( ))

( )) ( ( ) ( ) ( ) Dla funkcji nierosnących dowód analogiczny. Jeśli funkcja jest stała, to średnia podziału może być dowolna. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

33

CZĘŚĆ V – CAŁKA RIEMANNA – WŁASNOŚCI, OBLICZANIE 32. Addytywność całki względem przedziałów. ] TWIERDZENIE 5.1: Jeśli funkcja [ ] [ ]. na każdym przedziale [ DOWÓD: Ustalmy

](

[ [

](

̃)

przedziału [

. Z WNIOSKU 4.3 wiemy, że istnieje podział ) ) [ ]( [ ](

Weźmy ̃ – podział więc

jest całkowalna, to jest ona również całkowalna

z dołożonymi punktami , . Mamy ̃) ̃) ) [ ]( [ ]( [ ]( ̃) . [ ](

̃)

[

](

̃)

](

[

)| |

∑ (

], że

)

)| |.

∑ (

odcinki ̃

odcinki ] w[

A zatem funkcja jest całkowalna na przedziale [

]. □

[ ]. Funkcja [ ] TWIERDZENIE 5.2: Niech jest całkowalna na przedziale [ ] i [ ]. Zachodzi równość: wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na przedziałach [ ∫ ( ) DOWÓD: 1° „ ”: Ustalmy . Niech ( ) – podział [ ( Niech

](

](

[

] taki, że

)

](

[

[

](

.

](

[

)

[

](

)

oraz )

.

] zawierającym punkty

)

∑(

) (

)

)

∑(

) (

)

i

.

”: Wynika bezpośrednio z TWIERDZENIA 5.1. – normalny ciąg podziałów [ – normalny ciąg podziałów [

3° równość:

[

34

) ) (

∑(

(

∫ ( )

) będzie podziałem odcinka [ [

2° „

] taki, że

) – podział [ (

∫ ( )

]

)

](

)

∫ ( )

], ], ,

– wybory punktów odpowiadające – wyboru punktów odpowiadające [

](

)

, .

∫ ( )

– podziały [ ] złożone z i , – wybory punktów złożone z { ( ) ( )} – normalny ciąg podziałów [ ].

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

i

.

Wtedy: ](

[ ](

[

)

)

](

[

)

∫

∫

( )

( )

∫

( ) □

( )

Rozszerzamy definicję całki ∫

. Chcemy zachować prawdziwość

na przypadek

wzoru: ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) niezależnie od wzajemnego położenia punktów . Całka na przedziale o długości równa się , więc dla dowolnych , : ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

czyli ∫ ( )

∫ ( )

.

33. Wnioskowanie o całkowalności funkcji wynikające z nierówności | ( ) ( )| | ( ) ( )|. Całkowalność modułu funkcji całkowalnej, całkowalność minimum i maksimum dwóch funkcji całkowalnych. ], funkcja LEMAT 5.1: Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale [ tym przedziale oraz istnieje taka stała , że zachodzi warunek: [ ] | ( ) ( )| | ( ) ( )| to też jest całkowalna. DOWÓD: Ustalmy [ ] takim, że (

(

) będzie dowolnym podziałem odcinka . Dzięki równości z LEMATU 4.5 mamy

. Niech ) ( ) [

]

jest określona na

( )

[

( )

]

| ( )

[

( )|

]

oraz analogiczną równość dla funkcji . Uwzględniając założenie dostajemy: (

)

(

)

∑ ∑

Dla

| ( )

( )| (

)

| ( )

( )| (

)

[

]

[

]

mamy, że funkcja

( (

)

(

))

jest stała, więc teza jest spełniona. □

TWIERDZENIE 5.3: Jeśli funkcja jest całkowalna na [ oraz prawdziwa jest nierówność |∫ ( )

|

∫| ( )|

], to funkcja | | jest też całkowalna

.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

35

DOWÓD: Całkowalność | | wynika bezpośrednio z lematu dla : ( )|. || ( )| | ( )|| | ( ) W celu uzyskania nierówności weźmy dowolny normalny ciąg podziałów wyborów punktów : | ( )| ( ) ( )| ∑ | ( )| ( |∑

oraz ciąg ) □

|∫

( )

∫ | ( )|

| [

] są całkowalne, to funkcje { ( ) ( )} są również całkowalne na [ ].

WNIOSEK 5.1: Jeśli funkcje ( ) { ( ) ( )}, ( ) DOWÓD: {

|

}

( )

|

{

, ( )

{ ( ) ( )}

|

} ( )

| ( )

|

( )|

- różnica funkcji całkowalnych jest całkowalna, - moduł funkcji całkowalnej jest całkowalny, - suma funkcji całkowalnych jest całkowalna, - iloczyn funkcji całkowalnej przez liczbę jest całkowalny. □ 34. Całkowalność kwadratu funkcji całkowalnej i iloczynu funkcji całkowalnych. LEMAT 5.2: Jeśli funkcja ]. całkowalną na [

jest całkowalna na [

], to jej kwadrat

[ ] zachodzi: DOWÓD: Dla każdego | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| a zatem z LEMATU 5.1 dostajemy całkowalność. □

(| ( )|

TWIERDZENIE 5.4: Jeśli funkcje sa całkowalne na [ funkcją całkowalną i zachodzi nierówność (∫ ( ) ( )

)

∫

( )

∫

jest również funkcją

| ( )|) | ( )

( )|

], to ich iloczyn jest również

( )

.

DOWÓD: 1° całkowalność iloczynu:

( )

( )

(( ( )

( ))

( )

( ))

a zatem iloczyn jest całkowalny (bo suma, różnica, kwadrat oraz iloczyn funkcji przez liczbę są całkowalne).

36

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

2° nierówność: ∫( ( )

∫

( ))

( )

∫ ( ) ( )

(∫ ( ) ( )

)

( )

∫

( )

∫

∫

( )

funkcja kwadratowa jest dla każdej wartości zmiennej większa bądź równa a współczynnik przy dodatni, więc jej wyróżnik musi być mniejszy bądź równy : (∫ ( ) ( ) TWIERDZENIE 5.5: Jeśli funkcja ( ) zachodzi nierówność (

)

( )

∫

jest całkowalna na [ , to )

∫ ( )

( )

∫

.□

] i dla wszystkich

(

,

[

]

).

DOWÓD: Dowolna suma całkowa spełnia nierówności: ( (

)

∑

(

)

)

∑ ( ) (

∑ ( ) (

) )

(

∑

)

(

)

zatem spełniona jest nierówność z tezy. □ WNIOSEK 5.2: Całka z funkcji nieujemnej jest nieujemna, całka z funkcji niedodatniej jest niedodatnia. DOWÓD: Bezpośredni wniosek z TWIERDZENIA 5.5. □ TWIERDZENIE 5.6: Jeśli [ ], to

i

są całkowalne na [

] i

∫ ( )

.

DOWÓD: Z założenia wiadomo, że ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ( ) a więc zachodzi

∫

( )

( )

( ) dla wszystkich

, zatem na podstawie WNIOSKU 5.2 mamy ( ))

∫

( )

.□

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

37

WNIOSEK 5.3: Jeśli nieujemna funkcja jest całkowalna na [ [ ] tej funkcji zachodzi ( ) ciągłości , to ∫ ( )

.

DOWÓD: Dzięki założeniu istnieją liczby [ ] [ ] i przynajmniej jeden z punktów ]. Tworzymy pomocniczą funkcję przedziału [ [ ] [ ( ) { ] zachodzi nierówność Na przedziale [ TWIERDZENIA 5.6 zachodzi ∫ ( )

] i dla pewnego punktu

( )

,

że lub ]

( )

dla należy do

.

( ), dzięki czemu na podstawie

∫ ( )

.□

35. Twierdzenie o wartości średniej dla całki. [ ] TWIERDZENIE 5.7 (o wartości średniej dla całek, I): Jeśli funkcja ] ], to istnieje punkt a funkcja [ całkowalna i stałego znaku na [ że: ∫ ( ) ( ) DOWÓD: Przyjmujemy

[

( )

Dzięki nierówności ∫

( )∫ ( ) ,

]

[

( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫

( )

∫ ( )

( ) ( )

∫

( )

∫ [ ( )

.

( ) mamy:

( )

a dzięki własności Darboux istnieje

]

.

], że ( ) ( )

∫ ∫

( )

i otrzymujemy równość z tezy. □

38

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

jest ciągła, ( ) taki,

[

WNIOSEK 5.4: Jeśli funkcja

]

jest ciągła, to istnieje punkt

∫ ( )

( ) (

DOWÓD: Wniosek z TWIERDZENIA 5.7 dla ( )

[

] taki, że

).

.□

36. Własności funkcji górnej granicy całkowania. Związek całki z funkcją pierwotną. TWIERDZENIE 5.8 (o funkcji górnej granicy całkowania): Niech funkcja będzie całkowalna na [ ], ustalmy punkt [ ] i rozważmy na [ ] funkcję określoną wzorem: ( ) ], a jeśli Funkcja jest ciągła w [ ( ). w punkcie pochodną i ( ) DOWÓD: 1° ciągłość: Ustalmy punkt | (

)

Jeśli | |

( )|

[

|∫

, to | (

2° równość: Ustalmy

[

ma

. Wtedy:

∫ ( ) ( )|

.

] jest punktem ciągłości funkcji , to

] oraz

( ) )

∫ ( )

|

|∫

( ) |

| ∫ | ( )|

|

| |.

.

. Dzięki ciągłości w punkcie istnieje | | | ( ) ( )| .

, że

Wówczas: |

(

)

( )

| |

( )|

| ∫

|∫ ( ( )

( )

( )) |

∫

| |

( ) |

| |

| ∫ ( ( )

( )) |

.□

WNIOSEK 5.5: Funkcja ciągła na przedziale ma funkcję pierwotną. DOWÓD: Funkcja jest ciągła na przedziale, więc jest na nim całkowalna. Weźmy funkcję z TWIERDZENIA 5.8, wówczas ma ona w każdym punkcie należącym do przedziału pochodną równą wartości funkcji w tym punkcie, a zatem jest jej funkcją pierwotną. □ TWIERDZENIE 5.9 (Newtona-Leibniza): Jeśli [ ] , to ∫ ( )

jest dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji

( )

( ).

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

39

DOWÓD: Funkcja

czyli

z TWIERDZENIA 5.8 również jest funkcją pierwotną funkcji , więc ( ) ( ) ( ), skąd , gdzie jest pewną stałą. Dla mamy ( ) , więc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

dla

, skąd wynika wzór z tezy. □

dla

37. Twierdzenie o związku całki z funkcją, której pochodna jest równa funkcji całkowalnej poza skończonym zbiorem punktów. TWIERDZENIE 5.10 (uogólniona postać twierdzenia Newtona-Leibniza): Jeśli funkcja [ ] jest ciągła i poza co najwyżej skończoną liczbą punktów różniczkowalna oraz ( ) ( ) poza tymi punktami, a jest całkowalna na [ ], to ∫ ( )

( )

( )

DOWÓD: Niech ( ) będzie normalnym ciągiem podziałów przedziału [ ], przy czym każdy zawiera wszystkie punkty, w których warunek ( ) ( ) nie jest spełniony. ] istnieje punkt Dzięki twierdzeniu Lagrange’a w każdym z przedziałów [ taki, że ( ) ( ) ( ) ( ) Korzystamy ze zbieżności sum całkowych do całki: ( )

( )

∑( (

)

(

))

∑ (

) (

)

(

)

∫ ( ) Ciąg jest stały, zbieżny do całki, a zatem zachodzi równość z tezy. □ 38. Różniczkowanie całki ze zmiennymi granicami całkowania. [

TWIERDZENIE 5.11: Załóżmy, że funkcje ] a [ jest ciągła. Wtedy funkcja

]

[

] mają pochodną w [

( )

( )

∫

( )

( )

jest różniczkowalna w [

] oraz ( )

∫

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( ).

( )

40

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

]

( )

( )

( ) . ∫ Korzystając z TWIERDZENIA 5.8 oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy DOWÓD: Rozpatrzmy funkcję

( )

( )

∫ Uwzględniając fakt, że ∫ ( )

∫

( )

( ) ( )

( )

( ( )) ( )

∫

( )

( )

dostajemy wzór:

( )

( )

(∫

( )

∫

( ( ))

)

( )

( ( ))

( ). □

( )

39. Całkowanie przez części dla całki oznaczonej. ([

TWIERDZENIE 5.12 (o całkowaniu przez części): Niech ( ) ( )

∫

[ ( ) ( )]

∫ ( ) ( )

W powyższym wzorze przyjęto konwencję [ ( ) ( )] DOWÓD: Ze względu na równość ( ( ) ( )) ∫( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫( ( ) ( )

( ) ( )

∫

]). Wtedy: . ( ) ( )

( ) ( ) mamy

( ) ( ))

( ) ( )

∫ ( ) ( )

co daje równość z tezy. □ 40. Całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej. ([

TWIERDZENIE 5.13 (o całkowaniu przez podstawienie): Niech , [

Jeśli

([

]) oraz ( )

, ( )

∫ ( ) DOWÓD: Niech

]

[

]) oraz przyjmijmy

]

, to ∫ ( ( ))

( )

.

będzie funkcją pierwotną funkcji . Oznaczmy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ( )). Wtedy

skąd ∫ ( ( ))

( )

( )

( )

( ( ))

( ( ))

( )

( )

∫ ( ) □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

41

41. Całka granicy ciągu funkcyjnego, całka sumy szeregu funkcyjnego. [

TWIERDZENIE 5.14: Jeśli ciąg funkcji całkowalnych to granica jest również funkcją całkowalną i ( ))

∫(

]

jest jednostajnie zbieżny,

( )

∫

.

DOWÓD: Ustalmy

. Niech ̃ będzie takie, że dla ( )| zachodzi nierówność | ( ) . ( ) Stąd dla

[

̃ dla wszystkich

]

̃ i każdego podziału : | (

)

| (

( )

Ustalmy ̂ ̃. Funkcja ( ̂ ) .

̂

)|

(

)|

)

|∑ (

|

)

. Istnieje ̅, że dla

)

(

)

̂

( [

̅ i wszystkich | ( )

( )|

,

|

.

odcinka [

jest całkowalna. Istnieje podział

( ) ( ) ( ) ( ̂ a więc granica jest funkcją całkowalną. Ustalmy

|∑ (

)

̂

(

̂

], że ( )

(

̂

)

)

] zachodzi nierówność .

Wtedy mamy: |∫

( )

∫ ( )

|

|∫( ( )

( ))

|

∫| ( )

( )|

∫

a więc zachodzi równość z tezy. □ [ TWIERDZENIE 5.15: Jeśli szereg funkcyjny ∑ całkowalnych funkcji jednostajnie zbieżny, to jego suma jest funkcją całkowalną i zachodzi równość ∫ (∑

( ))

∑∫

( )

.

DOWÓD: Bezpośredni wniosek z TWIERDZENIA 5.14. □

42

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

]

jest

CZĘŚĆ VI – CAŁKI NIEWŁAŚCIWE 42. Funkcje lokalnie całkowalne, całka niewłaściwa. [ ) ) dla

DEFINICJA 6.1: Punkt nazywa się punktem osobliwym funkcji lub funkcja nie jest ograniczona w żadnym przedziale postaci (

, jeśli .

[ ) DEFINICJA 6.2: Funkcja , gdzie , jest lokalnie całkowalna, jeśli ] [ ). istnieje jej całka Riemanna na każdym przedziale domkniętym [ Analogiczne definicja dla funkcji DEFINICJA 6.3: Jeśli

(

]

. [

jest punktem osobliwym lokalnie całkowalnej funkcji

∫ ( ) to tę granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale [ samym symbolem co całkę Riemanna

)

oraz istnieje granica

∫ ( )

∫ ( )

) i oznaczamy tym

. (

Analogiczna definicja dla funkcji lokalnie całkowalnych punktem osobliwym.

]

, których

jest

43. Kryterium Cauchy’ego zbieżności całki niewłaściwej. TWIERDZENIE 6.1 (kryterium [

)

Cauchy’ego

zbieżności

całki

niewłaściwej) :

Niech ( )

punkt osobliwy. Całka niewłaściwa ∫ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek będzie lokalnie całkowalna,

[

) |∫ ( )

|

.

DOWÓD: 1° „

”: Zakładamy, że całka ∫

( )

∫

( )

Istnieje

|

( )

∫

|∫ ( )

∫ ( )

|∫ ( )

∫ ( )

.

.

( )

|

.

. Przyjmijmy, bez straty ogólności, że

, |∫ ( )

( )

∫ to |∫

, że jeśli

Niech

istnieje ( – punkt osobliwy). Ustalmy

:

|

∫ ( )

∫ ( )

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

|

43

|∫ ( ) 2° „

∫ ( )

|∫ ( )

|

∫ ( )

|

.

”: Zakładamy, że spełniony jest warunek Cauchy’ego. Skorzystamy z warunku

Cauchy’ego dla ciągów. Niech ( ) . Weźmy

Ustalmy Istnieje

, że dla

A zatem

|∫

( )

∫

, że jeśli

|

, to |∫

. Jeśli teraz |∫

( )

( )

∫

( )

|

( )

|

.

)|

.

, to |∫

i

, ( )

.

|

| (

)

(

Więc na mocy warunku Cauchy’ego dla ciągów, funkcja ( ) ma granicę, gdy

.

.□

44. Warunek zbieżności całki niewłaściwej funkcji nieujemnej. TWIERDZENIE 6.2: Całka niewłaściwa nieujemnej funkcji lokalnie całkowalnej jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja

jest ograniczona na [

( )

∫ ( )

( )

jest zbieżna. Funkcja

[

)

).

DOWÓD: 1° „

”: Zakładamy, że całka ∫ ( )

niemalejąca.

( )

∫

( )

∫

( )

jest

( )

czyli funkcja ( ) jest ograniczona. 2° „

”: Zakładamy, że funkcja ( ) jest ograniczona i niemalejąca. ( ) [

Ustalmy nierówności

44

. Istnieje ( )

)

[ ) taki, że ( ) a więc całka jest zbieżna. □

. Dla

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

zachodzą

45. Kryterium porównawcze zbieżności całki niewłaściwej. TWIERDZENIE 6.3: Niech ). Wtedy: w[ 1° jeśli całka ∫

( )

[

)

jest zbieżna, to zbieżna jest też całka ∫

2° jeśli rozbieżna jest całka ∫

( )

( )

Ponieważ ( )

jest zbieżna, więc funkcja ( ) ( ), to z

TWIERDZENIA

( )

∫

( ) ( )

Ponieważ

( ), więc

( ), to z

( )

( )

TWIERDZENIA

5.6 dla funkcji

6.2 (jako warunku

( )

∫

( )

( )

∫

.

jest ograniczona.

5.6 dla funkcji

jest rozbieżna, więc funkcja ( )

( )

,

TWIERDZENIA

( ), więc ( ) również jest ograniczona. A więc całka ∫

2° Całka ∫ ( )

( )

( )

, to rozbieżna jest również całka ∫

DOWÓD: Twierdzenie wynika z dwukrotnego zastosowania koniecznego i wystarczającego): 1° Całka ∫

( )

będą lokalnie całkowalne oraz

zachodzi

jest zbieżna.

jest nieograniczona. ( )

( )

∫

zachodzi

( ) również jest nieograniczona. A więc całka ∫

( )

jest

rozbieżna. □ 46. Bezwzględna i warunkowa zbieżność całek niewłaściwych. DEFINICJA 6.4: Całka niewłaściwa lokalnie bezwzględnie zbieżna, jeśli zbieżna jest całka

[

całkowalnej funkcji

∫| ( )|

)

jest

.

Jeśli całka jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że jest warunkowo zbieżna. TWIERDZENIE 6.4: Całka bezwzględnie zbieżna jest zbieżna i zachodzi nierówność |∫ ( )

∫| ( )|

|

.

DOWÓD: Zbieżność całki wynika z kryterium porównawczego. Na mocy [ ) zachodzi mamy, że dla każdego |∫ ( ) (przyjmujemy, bez straty ogólności, że |∫ ( )

|

5.3

∫| ( )|

) a zatem dla każdego |

TWIERDZENIA

[

)

∫| ( )|

z czego wynika nierówność. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

45

47. Przykład całki niewłaściwej warunkowo zbieżnej. ( )

PRZYKŁAD: Całka ∫

funkcji ( )

, gdy

{

, gdy jest warunkowo zbieżna. DOWÓD: ∫ ( )

∫

∫ ( )

[

∫

]

[

) zachodzi |

|

]

∫

∫ [

Ponieważ dla każdego

mocy kryterium porównawczego całka ∫ |

|

Dla

[

(

)

|

|

|

|

jest więc zbieżna przy |

|

| |

.

.

zachodzi |

],

jest zbieżna, więc na

jest zbieżna, a to oznacza, że ∫

jest zbieżna bezwzględnie, więc zbieżna. ∫ Rozpatrzmy teraz zbieżność całki ∫

, a całka ∫

(

|

, a więc dla tego przedziału: (

)

.

)

Weźmy funkcję ( )

{ (

(

[

, gdy

)

)

]

,

,

, w p.p. dla której zachodzi (

)

∫

( )

(

)

(

)

a więc można oszacować ją z dołu przez szereg harmoniczny rozbieżny. Ponieważ | ( )|

( ), więc na mocy kryterium porównawczego ∫

rozbieżna, a więc całka ∫

46

( )

jest warunkowo zbieżna. □

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

|

|

jest

48. Kryterium całkowe zbieżności szeregów. TWIERDZENIE 6.5 (kryterium całkowe zbieżności szeregów): Niech funkcja będzie nierosnąca. Wtedy szereg

[

)

∑ ( ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka ( )

∫

.

DOWÓD:

𝐾

1° „

”:

( )

∫

( )

𝐾

∑

podstawie TWIERDZENIA 6.2 całka ∫ 2° „

”: ∑

a więc szereg ∑

( )

( )

∑

𝐾

( ) ( ) ( )

𝐾

𝐾

∑

𝐾

( )

, gdzie

⌊ ⌋, a więc na

jest zbieżna. ( )

∫

( )

, gdzie

⌊ ⌋,

( ) jest zbieżny. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

47

CZĘŚĆ VII – ZASTOSOWANIA CAŁEK 49. Pole figury pomiędzy wykresami funkcji. Przykłady. ], są całkowalne oraz dla TWIERDZENIE 7.1: Jeśli funkcje i , określone na odcinku [ [ ] zachodzi nierówność ( ) ( ), to pole figury ograniczonej przez ich wykresy i proste oraz jest równe całce ∫( ( ) DOWÓD: Istotnie, gdy ( )

i ( )

∫ ( )

( ))

.

, mamy pole równe

∫ ( )

∫( ( )

( ))

Jeżeli ( ) i ( ) przybierają wartości ujemne, to istnieje stała ( ) . W tym przypadku wystarczy zauważyć, że wzór pozostaje prawdziwy. □ PRZYKŁAD: Pole elipsy określonej nierównością ∫

√

.

taka, że ( ) ( ) (

oraz ), więc

:

[ √

]

.

50. Pole pod wykresem funkcji określonym parametrycznie. Pole ograniczone cykloidą. TWIERDZENIE 7.2: Niech ( ) ( )

([ ]), ( ) , ( ) oraz [ ] ( ) ( ) . Wtedy pole figury ograniczonej krzywą określoną parametrycznie funkcjami dane jest wzorem ∫ ( ) ( )

i

oraz osią

.

DOWÓD: Istotnie, funkcja ( ) jest rosnąca, bo ( ) , więc ma funkcję odwrotną ( ) w przedziale ( ), ( ). Zatem krzywą można , gdzie przedstawić jednym równaniem ( ) ( ( )), , przy czym zachodzi ∫ ( ( )) ( ),

Wykonując w tej całce podstawienie PRZYKŁAD: Cykloida o równaniu ogranicza pole ∫

48

(

.

( )

, otrzymujemy wzór z tezy. □

( )

), (

( ) )

(

), dla .

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

[

]

51. Pole ograniczone krzywą daną równaniem biegunowym. Spirala Archimedesa. [ ] TWIERDZENIE 7.3: Funkcja , gdzie , jest nieujemna, ciągła. ( ). Rozważmy krzywą opisaną równaniem biegunowym Pole figury ograniczone krzywą daną równaniem biegunowym i promieniami wychodzącymi z początku układu pod kątem i jest równe ∫ DOWÓD: Podzielmy przedział [ i niech

i

] na

( )

.

części

będą kresami dolnymi i górnymi funkcji

jest polem wycinka kołowego o promieniu

( ) w przedziale

i kącie środkowym

. Iloczyn , więc suma

∑

jest polem obszaru zawartego w obszarze danej figury. Podobnie

∑

jest polem obszaru obejmującego obszar figury. Gdy

tak, że

największy z przedziałów dąży do zera, obie sumy dążą do całki z tezy twierdzenia, która przedstawia zatem pole obszaru ograniczonego przez krzywą daną równaniem biegunowym. □ PRZYKŁAD: Spirala Archimedesa jest krzywą o równaniu biegunowym ( ) gdzie [ ], jest równe . Pole ograniczone jednym zwojem tej spirali, to znaczy dla ∫

52. Krzywe prostowalne, łuki i krzywe regularne, długość łuku regularnego. Przykład. DEFINICJA 7.1: Przez krzywą w rozumiemy obraz ciągłego odwzorowania odcinka w ( ) ( ( ) ( )) [ ]. ,

:

], przy czym DEFINICJA 7.2: Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów odcinka [ ( ) jest zbieżny, to ( ), ciąg długości łamanych łączących punkty mówimy, że krzywa jest prostowalna, a granicę ciągu długości łamanych nazywamy długością tej krzywej. (Jeśli te granice ciągów długości łamanych zawsze istnieją, to są wszystkie równe.) DEFINICJA 7.3: Krzywą określoną odwzorowaniem ( ) ( ( ) ( )) nazywamy łukiem regularnym, jeśli odwzorowanie jest różnowartościowe, funkcje ( ) i ( ) są klasy i [ ] ( ) ( ) . Krzywą nazywa się regularną, jeśli daje się podzielić na skończoną liczbę łuków regularnych.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

49

( )

TWIERDZENIE 7.4: Łuk regularny określony funkcją krzywą prostowalną i jego długość wyraża się wzorem ∫√ ( )

( )

( ( ) ( )),

[

], jest

.

DOWÓD: Długość łamanej wyraża się wzorem )

∑ √(

) ,

( ),

gdzie gdzie

(

i

( ). W myśl twierdzenia Lagrange’a mamy ( ) ( ) , ], więc należą do przedziału [ ∑ √( ( ))

( ( ))

.

Można to dalej rozpisać jako ∑√ ( )

( ) ∑√ ( )

( )

∑ (√ ( )

( )

√ ( )

( ) )

.

Pierwszy składnik sumy dąży do całki , gdy średnica podziałów dąży do zera. Drugi składnik jest dowolnie mało, gdy średnica jest dostatecznie mała, ponieważ pochodna ( ) jest ], zatem długość łamanej dąży więc do całki . □ jednostajnie ciągła w przedziale [ PRZYKŁAD: Cykloida o równaniu ( ) długość ∫

√(

(

)

), ( )

(

√ (

∫

), dla

)

[

∫

.

53. Długość łuku regularnego danego równaniem biegunowym. Przykład. ( ) ma równania parametryczne postaci ( ) ( ) [ ], dana jest wzorem Długość łuku takiej krzywej, dla Krzywa o równaniu biegunowym

∫ √ ( )

( )

.

PRZYKŁAD: Dla spirali Archimedesa o równaniu biegunowym ∫

50

√

,

.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

] ma

[

]:

54. Objętość figury obrotowej. ( ), gdzie TWIERDZENIE 7.5: Niech krzywa płaska o równaniu , ( ) , obraca się dookoła osi . Obszar zawarty między krzywą, osią i rzędnymi w punktach i zatoczy po obrocie o pewną bryłę obrotową . Objętość bryły wyraża się wzorem ( )

∫

.

] punktami DOWÓD: Podzielmy przedział [ na i niech i będą kresami dolnym i górnym funkcji ( ) w odcinku niech będzie średnicą podziału. Utwórzmy sumy ∑

,

∑

części ,a

.

Pierwsza jest sumą objętości walców zawartych w bryle , druga – sumą objętości walców pokrywających łącznie . Gdy tak, że , to obie sumy i dążą do całki, więc bryła ma objętość równą tej całce, czego należało dowieść. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

51

VIII. CAŁKA STIELTJESA 55. Sumy górne i dolne Stieltjesa, całki górne i dolne, całka Stieltjesa. Przykłady. Związek całki Stieltjesa z całką Riemanna. [

] (

[ ] ograniczona, ) podział odcinka [

ograniczona i monotoniczna. ].

DEFINICJA 8.1: Suma górna i dolna Stieltjesa: (

)

∑(

(

)

∑(

[

]

[

]

( )) ( ( )

(

)) ,

( )) ( ( )

(

)) .

DEFINICJA 8.2: Całka górna i dolna Stieltjesa: ∫ ( )

( )

(

) ,

∫ ( )

( )

(

).

DEFINICJA 8.3: Jeśli ∫ ( )

( )

∫ ( )

( ),

to tę wspólną wartość nazywamy całką Stieltjesa funkcji [ ] i oznaczamy ∫ ( )

[

PRZYKŁAD: Niech

)i

( )

{

dla dla

względem funkcji

na przedziale

( )

(funkcja Heaviside’a). Jeśli funkcja

jest ciągła w , to ∫ ( ) PRZYKŁAD: Jeśli ( )

[ ] (część całkowita), a ∫ ( )

(sumowanie od , gdyż funkcja

52

( )

( )

( ). ciągła, to dla ∑ ()

jest w każdym punkcie całkowitym ciągła prawostronnie).

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

] ] TWIERDZENIE 8.1: Jeśli [ jest całkowalna w sensie Riemanna, [ ] oraz monotoniczna, klasy , to istnieje całka Stieltjesa funkcji względem w [ ∫ ( )

( )

∫ ( ) ( )

jest

.

DOWÓD: Zauważmy, że WNIOSEK 4.3 sformułowany dla całki Riemanna pozostaje prawdziwy również dla całki Stieltjesa i mówi, że jeżeli dla dowolnego istnieje podział ( ) taki, że ( ) ( ) Ponadto prawdziwe jest również twierdzenie wynikające bezpośrednio z niego, mówiące że ( ) i jeżeli i jeżeli powyższa nierówność zachodzi dla pewnego podziału ], to są dowolnymi punktami odcinka [ ∑| ( )

( )| ( ( )

(

))

Przejdźmy teraz do dowodu twierdzenia. Oznaczmy [ ] | ( )|. Ustalmy ( ) odcinka [ ] taki, że i zastosujmy wniosek do ( ). Istnieje podział ( ) ( ) (1) ( ) ( ) oraz Oznaczmy . Twierdzenie Lagrange’a wskazuje [ ] takie, że ( ) punkty dla . [ ], to z (1) i twierdzenia wymienionego wcześniej Jeżeli ∑| ( ) Ponieważ więc z (2) wynika, że

( )|

(2)

∑ ( )

∑ ( )

( )

,

|∑ ( )

∑ ( )

( )

|

(

)

∑ ( )

W szczególności

[ ]. Wobec tego ( ) ( przy dowolnym wyborze ( ) ( Identyczna argumentacja pokazuje, że z (3) wynika też: ( ) ( ) Zatem: Zauważmy teraz, że (1) pozostaje w mocy, jeżeli zastąpimy rozdrobnieniem. Wobec tego też i (4) pozostaje prawdziwe. Zatem |∫ ( )

a ponieważ

było dowolne:

( )

∫ ( )

∫ ( ) ( )

( )

|

(3)

) ) (4) jego dowolnym

,

∫ ( ) ( )

dla dowolnej ograniczonej funkcji . Nierówność dla całek dolnych wynika z (3) w podobny sposób. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

53

IX. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE, CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ 56. Norma w przestrzeni , zbieżność ciągów. Ciągłość odwzorowań przestrzeni skończenie wymiarowych. DEFINICJA 9.1: W przestrzeni

‖ ‖

rozważamy normę (

oraz związaną z nią metrykę

)

√∑

√ ‖

‖

√∑

(

) .

DEFINICJA 9.2: Kulą otwartą o środku i promieniu nazywa się zbiór ( ) { ( ) } Kulą domkniętą o środku i promieniu nazywa się zbiór ( ) { ( ) } DEFINICJA 9.3: Zbiór

nazywa się otoczeniem punktu , jeśli dla jakiejś liczby ( )

DEFINICJA 9.4: Ciąg

(

TWIERDZENIE 9.1: Ciąg ( i tylko wtedy, gdy dla każdego

) jest zbieżny do

dla

√∑( 2° „

”: Załóżmy, że

(

‖

) →

∑(

) →

) → ‖

|

. Dla każdego |

zatem z twierdzenia o trzech ciągach mamy |

√∑

( |→

zachodzi ) , .□

DEFINICJA 9.5: , , jest punktem skupienia zbioru jest granicą odwzorowania w punkcie , jeśli ‖ ‖ ‖ ( ) ‖ Piszemy wtedy ( )

54

) wtedy

. Zatem:

( )(

→

), jeśli

:

DOWÓD: 1° „ ”: Załóżmy, że ( )

(

) jest zbieżny do ‖ ‖

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

. Mówimy, że

LEMAT 9.1: czym

( )

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu

, przy

, (

)

DEFINICJA 9.6: Odwzorowanie spełniony jest jeden z warunków:

, gdzie , jest ciągłe w punkcje ( ) ( ), 1. 2. jest punktem izolowanym w . ( ) { } dla pewnego ( jest punktem izolowanym w , jeśli .) DEFINICJA 9.7: Odwzorowanie w każdym punkcie dziedziny.

, jeśli

, jest ciągłe, jeśli jest ciągłe

, gdzie

UWAGA: Obowiązują analogiczne twierdzenia dla granicy i ciągłości sumy odwzorowań i iloczynu przez skalar, jak w przypadku funkcji z w . ( )). Jeśli , , to ( ) ( ( ) LEMAT 9.2: Ciągłość odwzorowania jest równoważna ciągłości wszystkich funkcji . ( ) ( ( ) ( )) DOWÓD: ( ) ( ). Z wariantu Heinego charakteryzacji ciągłości mamy: Zbieżność wektorów jest jednak równoważna zbieżności elementów, więc (

)

( )

( (

)

( )

(

)

( )), Jeśli , , to ( ) ( ( ) WNIOSEK 9.1 (przypadek szczególny): Ciągłość odwzorowania wszystkich funkcji .

( )). □ dla . jest równoważna ciągłości

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

55

X. POCHODNE CZĄSTKOWE 57. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, różniczka, postać współczynników różniczki. ). Funkcja jest określona na zbiorze będącym otoczeniem punktu ( ) względem zmiennej DEFINICJA 10.1: Pochodnymi cząstkowymi funkcji w punkcie ( i zmiennej nazywa się odpowiednio granica ilorazów różnicowych (o ile istnieją): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . , Stosuje się też oznaczenia

(

),

(

).

Do znajdowania pochodnych cząstkowych stosuje się wszystkie reguły obowiązujące dla funkcji jednej zmiennej. Drugą zmienną traktuje się jak parametr. W znajdowaniu pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych zasada jest taka sama jak dla funkcji dwóch zmiennych. Określając pochodną w jakimś punkcie względem którejś ze zmiennych wszystkie pozostałe traktujemy jako stałe o wartościach będących współrzędnymi tego punktu. ( ) ( ) ( ) (o ile ta granica istnieje.) DEFINICJA 10.2: Różniczką funkcji dwóch zmiennych o wartościach rzeczywistych ) nazywa się funkcję liniową dwóch zmiennych w punkcie ( ( ) jeśli spełniony jest warunek (

)

(

)

(√

).

DEFINICJA 10.3: Różniczką funkcji zmiennych o wartościach rzeczywistych w punkcie ( ) nazywa się funkcję liniową zmiennych ( ) ∑ , jeśli spełniony jest warunek (

Przyjmując

)

(

), (

TWIERDZENIE 10.1: Jeśli funkcja punkcie ciągła.

(

)

( )

( )

∑

(√∑

) warunek z definicji można zapisać: (‖ ‖).

zmiennych ma w jakimś punkcie różniczkę, to jest w tym

DOWÓD: Teza wynika bezpośrednio z definicji różniczki. □

56

).

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

TWIERDZENIE 10.2: Jeśli funkcja zmiennych ma w punkcie różniczkę, to w tym punkcie istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji i są równe współczynnikom różniczki. (

)

(

)

∑

(√∑

)

Istnienie pochodnych cząstkowych nie implikuje jednak różniczkowalności. DOWÓD: Ustalmy numer zmiennej . Niech (

(

) (|

|)

[

]. )

( )

(‖

‖)

( )

→

a zatem granica jest równa pochodnej cząstkowej tej funkcji względem zmiennej

.□

PRZYKŁAD: Funkcja gdy gdy ) pochodne cząstkowe i są one równe , ale funkcja nie jest ciągła w ( (

ma w punkcie (

)

{

Różniczkę funkcji w punkcie można zapisać skrótowo jako potrzeba zaznaczenia o jaki punkt chodzi. (

)

, jeśli istnieje

∑

Przez oznacza się również funkcje rzutowania na -tą oś, czyli ( ) różniczkowalne i dzięki czemu różniczkę funkcji można zapisać w postaci ∑

bądź

).

(

)

. Są one

.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

57

58. Warunek wystarczający istnienia różniczki funkcji wielu zmiennych. TWIERDZENIE 10.3: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji zmiennych istnieją w otoczeniu punktu i są w tym punkcie ciągłe, to funkcja ma różniczkę w punkcie . [

DOWÓD:

] . Korzystając z twierdzenia Lagrange’a: ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) (

( ( ( (

) )

(

( (

(

) )

)

(

)

(

)

∑

(

∑[

(

) )

Pozostaje sprawdzić, czy drugi składnik jest równy (‖ weźmy pojedynczy składnik: |

)

)

(

[

)

(

) ‖ |

‖). Jest to suma skończona, więc

(

)] | )

| | ‖

‖

)]

‖

(

Nierówność wynika z tego, że

(

| | √∑

(

.

, natomiast granica wynika z założenia

o ciągłości pochodnych. □

58

)| →

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

59. Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji. DEFINICJA 10.4: Niech

. Mówimy, że płaszczyzna o równaniu ( ) ( ) ( ) w punkcie (

, gdzie ∑ jest styczna do powierzchni o równaniu ( ) (∑

jeśli

( (

)

)

),

.

)

TWIERDZENIE 10.4: Jeśli funkcja zmiennych ma różniczkę w punkcie , to wykres do tej ( )). Punkt ( ) należy do funkcji ma płaszczyznę styczną w punkcie ( płaszczyzny stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie ( )

∑

(

). (

DOWÓD: Przyjmijmy we wzorze z definicji różniczki ( ) ( ) oraz ( )

( ( )

∑

(

))

(‖

). Wówczas

‖).

Dzieląc obustronnie ostatnią równość przez ‖ ‖ i przechodząc do granicy, gdy ‖ ‖ , otrzymujemy równość z definicji stycznej, co oznacza, że płaszczyzna o równaniu z tezy twierdzenia jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . □ 60. Pochodne funkcji złożonych. ( )) o wartościach w TWIERDZENIE 10.5: Jeśli funkcja ( ) ( ( ) jest określona w otoczeniu punktu i funkcje mają w punkcie pochodne, a funkcja zmiennych, o wartościach rzeczywistych, ma wszystkie pochodne cząstkowe w otoczeniu ( )) ma punktu ( ) i są one ciągłe w tym punkcie, to funkcja złożona ( ( ) w punkcie pochodną i ( )

( DOWÓD: ( (

(∑

∑( |

(‖ (

))

( ))|

( ( ))

∑

( ).

( ( ))

( )

(

( ( )) )

( )) ( ( ( )‖) |

|

(‖ ( ‖ (

)

( ( )

)

)

( )) (‖ (

(‖ ( )

)

( )‖))

( )‖)

(‖ ( ) ( )‖) ‖ ( ) | | ‖ ( ) ( )‖ ) ( )‖) ( ) ( ) | ‖ ‖→ ) ( )‖ |

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

( )‖

|

59

(równość wynika z jednorodności normy, a granica z faktu, iż pierwszy czynnik dąży do zera, a drugi jest ograniczony). Zatem granica ilorazu różnicowego dąży do wartości z tezy twierdzenia. □ ) jest funkcją zmiennych, oprócz tego ( ) ( ) są funkcjami Funkcja ( zmiennych, określonymi na wspólnej dziedzinie, a zbiór wartości odwzorowania ( ) ( ( ) ( )) jest zawarty w dziedzinie funkcji . TWIERDZENIE 10.6: Jeśli funkcje mają w pochodne cząstkowe względem ( ) wszystkie pochodne cząstkowe zmiennej , a funkcja ma w otoczeniu punktu i są one ciągłe w tym punkcie, to (

)

(

)

( (

∑

))

(

)

61. Pochodna wektorowa i gradient. DEFINICJA 10.5: Funkcja jeśli istnieje granica

(

) ( )

Pochodna jest tą granicą i oznacza się ją ( ) ‖

pochodną wektorową,

ma w punkcie ( )

.

( ). Warunek z definicji jest równoważny: ( ) ( )‖ .

( )) w punkcie LEMAT 10.1: Pochodna wektorowa funkcji ( ) ( ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wszystkie pochodne ( ). Zachodzi wzór: ( ) ( ( ) ( )) DOWÓD: Wynika to z równości: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

LEMAT 10.2: Jeśli istnieje pochodna ( ), to ( ) ( ) ( ) ( gdzie ‖ ( )‖ | | DOWÓD: Z różniczkowalności ( ) [ ] [ ( )

60

w punkcie wynika ( ) ( ) ] [ ] ( ( ) ( )

.□ ]

)

(

)

)

(

). □

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

istnieje

DEFINICJA 10.6: Gradientem w punkcie funkcji rzeczywistych, nazywa się wektor pochodnych cząstkowych ( )

( )

(

zmiennych, o wartościach ( )) .

( ).

Inne oznaczenie:

Różniczkę funkcji w punkcie , o ile istnieje, możemy zapisać w postaci 〈 ( ), a 〈 〉 oznacza iloczyn skalarny wektorów. gdzie UWAGA: Istnienie gradientu nie gwarantuje istnienia różniczki.

( )

〉

WNIOSEK 10.1: Dla funkcji różniczkowalnej w punkcie możemy napisać ( ) ( ) 〈 ( ) 〉 (‖ ‖). 62. Macierz Jacobiego odwzorowania, macierz Jacobiego złożenia odwzorowań. Różniczka odwzorowania, związek z macierzą Jacobiego. Dziedziną odwzorowania jest obszar zawarty w , a przeciwdziedziną przestrzeń . Można je reprezentować przy pomocy funkcji zmiennych: ( ) ( ( ) ( )). Wektory zapisujemy kolumnowo, żeby móc stosować zasady rachunku macierzowego: [

],

[

DEFINICJA 10.7: Jakobianem odwzorowania pochodnych cząstkowych

],

[

w punkcie

]

dziedziny nazywa się macierz

( )

[

]

TWIERDZENIE 10.7: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe punktu gdzie

i ciągłe w tym punkcie, to ‖ ( ‖

)‖ ‖

(

)

( ) są określone w otoczeniu ( )

( )

(

)

.

Odwzorowanie liniowe reprezentowane przez macierz jakobianową różniczką (lub pochodną) odwzorowania .

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

( ) nazywa się

61

DOWÓD: (

)

( )

[

]

(

)

(

)

( )

[

]

(

)

) { ( co można zapisać w postaci:

( )

[

]

[

( (

) )

(

)

]

[

( ) ( )

]

[

( ) (

(

[

)

( )

DEFINICJA 10.8: Odwzorowanie (

)

( )

] (

( (

)

(

]

)

) (

w jakimś obszarze, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe

klasy

)

)) nazywa się

istnieją w tym obszarze

i są ciągłe. UWAGA: Odwzorowanie klasy TWIERDZENIE 10.8: Niech odwzorowania i są klasy

DOWÓD:

(

)

(

)

Dla każdego

ma w każdym punkcie różniczkę. , ; , to ich złożenie też jest klasy ( ) ( ) ( ( )) ( ( ( (

, (

)

) ) zachodzi: [

(

,

,

( )

. Jeśli

i

)), (

)).

] [

]

zatem macierz Jakobiego złożenia ma postać:

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

[

][

] □

62

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

63. Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji

zmiennych.

TWIERDZENIE 10.9 (Lagrange’a dla funkcji zmiennych): Załóżmy, że funkcja , ma pochodne cząstkowe w . Jeśli punkty i należą do ( ), że łączący je jest zawarty w , to istnieje ( ) ( ) 〈 ( ) 〉.

, gdzie i odcinek

): DOWÓD: Dla dowodu podstawmy do funkcji ( (przy ), tj. rozpatrzmy naszą funkcję właśnie w punktach prostoliniowego odcinka łączącego punkty ( ) jest ciągła w całym przedziale [ ], i . Funkcja zmiennej : ( ) a wewnątrz niego ma pochodną, która w myśl TWIERDZENIA 10.5 jest równa ( ) bo dla każdego

(

)

:

(

∑

)

. Zastosujmy do funkcji

( ) w przedziale [

( ) ( ) ( ) twierdzenie Lagrange’a: Jeśli zauważymy, że zgodnie z definicją funkcji ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) i podstawimy zamiast pochodnej ( ) znalezione przed chwilą wyrażenie (dla otrzymamy wzór z tezy. □

]

), to

64. Przykład na niezachodzenie tw. Lagrange’a dla funkcji wektorowych. Twierdzenie Lagrange’a nie jest prawdziwe dla funkcji o wartościach wektorowych. PRZYKŁAD: ( ) Dla każdego

(

[

],

( )

[

]

): (

)

( )

[

]

[

]

bo przynajmniej jedna z pierwszych dwóch współrzędnych ostatniego iloczynu jest różna od zera. 65. Pochodna kierunkowa, związek z gradientem. DEFINICJA 10.9: Niech

,

oraz ‖ ‖

,

oznacza półprostą opisaną równaniem w kierunku definiuje się jako

√∑

. Pochodną funkcji (

)

( )

. Niech w punkcie

.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

63

TWIERDZENIE 10.10: Jeśli pochodne cząstkowe funkcji istnieją w otoczeniu punktu i są ciągłe w tym punkcie, to dla każdego kierunku istnieje pochodna kierunkowa funkcji w tym kierunku oraz ( )

∑

〈

( ) 〉.

DOWÓD: Weźmy funkcję zmiennej : ( ) ( ). Jest ona ciągła w otoczeniu punktu , a więc w myśl TWIERDZENIA 10.5 ma w punkcie pochodną równą: ( bo dla każdego

)|

∑

( )

〈

( ) 〉

.□

:

66. Parametryzacja naturalna krzywej. DEFINICJA 10.10: Zakładamy, że łuk regularny ma długość , wybieramy jeden z jego końców oznaczany jako . Parametryzacją naturalną nazywa się przyporządkowanie każdej [ ] tego punktu ( ) na łuku, dla którego długość tego łuku pomiędzy punktami liczbie i ( ) jest równa . Krzywa klasy

w

dana równaniem parametrycznym: (

Pochodna wektorowa: ̇ ( ) ̇( )

[

)

̇ ( ) ̇ ( )

( )

( ),

[

].

:

] , ‖ ̇ ( )‖

√∑ ̇ ( ) .

̇ ( ) Długość łuku pomiędzy punktem ( ) i ( ): ( )

∫‖ ̇ ( )‖

Pochodna przyrostu długości łuku wzdłuż krzywej: ( ) ‖ ̇ ( )‖. [ ] pochodna wektorowa jest niezerowa: ‖ ̇ ( )‖ Zakładamy, że dla wszystkich . ( ) jest ciągła, silnie rosnąca – ma funkcję odwrotną ( ) określoną na Funkcja przedziale [ ( )]: (

)( )

‖ ̇(

.

( ))‖

( ):

Parametryzację naturalną można zapisać wychodząc z parametryzacji ( ) ( ( )) Pochodne wektorowe tych parametryzacji łączy związek: ̇( )

̇(

( ))

( )

̇(

( ))

̇( ‖ ̇(

( ))‖

‖ ̇(

( )) ( ))‖

.

WNIOSEK 10.2: Długość wektora stycznego przy parametryzacji naturalnej jest równa : ‖ ̇ ( )‖

64

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

CZĘŚĆ XI – POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW, EKSTREMA 67. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Różniczka rzędu drugiego. Jeśli w jakimś obszarze istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji zmiennych, to są one również funkcjami zmiennych. DEFINICJA 11.1: Pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych funkcji pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu. ): Dla funkcji (

nazywa się jej

(

)

(

(

)) ,

(

)

(

(

)) ,

(

)

(

(

)) ,

(

)

(

(

))

Definicja pochodnych cząstkowych dowolnego rzędu jest indukcyjna. Znamy określenie pochodnych rzędu pierwszego. Jeśli określone są pochodne cząstkowe rzędu , to pochodne cząstkowe rzędu są pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu pochodnych rzędu . TWIERDZENIE 11.1: Jeśli w otoczeniu jakiegoś punktu istnieją pochodne mieszane funkcji względem którychś jej zmiennych i oraz są w tym punkcie ciągłe, to te pochodne mieszane są w tym punkcie równe: (

)

(

).

DOWÓD: Weźmy wyrażenie: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ). Mamy ( ) ( ). 1° Definiujemy ( Z założenia istnieją pochodne cząstkowe 2 rzędu funkcji , możemy zastosować twierdzenie ( ) Lagrange’a: ) ( )) ( ( ( (

)

( 2°

Z (

drugiej

(

))

)

( ) ( ) ( ) i mamy strony definiujemy ) ( ). Ponownie możemy zastosować twierdzenie Lagrange’a: ( ) ) ( )) ( (

( ( ( Zatem, przy założeniu że (

)

(

))

) mamy: )

(

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

)

65

A więc z ciągłości pochodnych mieszanych mamy: ( )→ (

)→

(

)

(

)

a ponieważ wyrażenia są równe, to granice również. □ DEFINICJA 11.2: Funkcja zmiennych określona w jakimś obszarze jest klasy , jeśli istnieją wszystkie jej pochodne cząstkowe do rzędu włącznie i są ciągłe w tym obszarze. TWIERDZENIE 11.2: Jeśli funkcja jest klasy , to wszystkie pochodne cząstkowe, do rzędu włącznie, w których występuje tyle samo różniczkować względem każdej ze zmiennych, są sobie równe. DOWÓD: Z ciągłości pochodnych cząstkowych i TWIERDZENIA 11.1 wynika, że można zamieniać kolejności dwóch sąsiednich różniczkowań – zmieniamy kolejność tyle razy ile trzeba. □ Jeśli funkcja zmiennych jest klasy , to ze względu na równość pochodnych mieszanych można każdą pochodną cząstkową rzędu zapisać w następujący sposób:

gdzie są odpowiednio krotnościami występowania różniczkowań względem zmiennych oraz . Kolejność wykonywania operacji różniczkowania względem poszczególnych zmiennych nie ma znaczenia. DEFINICJA 11.3: Zakładamy, że funkcja

jest klasy . Różniczkę rzędu pierwszego ( ) ( ) traktujemy jako funkcję zmiennych i przy ustalonych i . Ta nowa funkcja ma różniczkę rzędu pierwszego, a jej wartość dla przyrostów i nazywa się różniczką rzędu drugiego funkcji dla przyrostów , :

Często zapisywana jest tak:

przy czym różniczki.

,

traktowane są bądź jako przyrosty zmiennych niezależnych, bądź jako

W zapisie operatorowym: ( (

66

) , )

(

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

)

,

( Dla funkcji

)

∑

zmiennych: (

) ,

(

)

68. Wzór Taylora dla funkcji

zmiennych.

TWIERDZENIE 11.3: Funkcja punkty i są zawarte w odcinku taki, że

, gdzie jest obszarem w , jest klasy wraz z łączącym je odcinkiem, to istnieje punkt

(

)

( ) (

W skrócie: gdzie różniczki

( ) )

( )

(

,

w punkcie , dla przyrostu , a

(

DOWÓD: Rozpatrujemy funkcję dwóch zmiennych. Ustalmy ( rozważmy funkcję jedynie na prostej łączącej te dwa punkty. Parametryzacja: ( ) { ( ) ( ) Tworzymy funkcję pomocniczą: ( ) rozważmy jej pochodną w zerze oraz poza zerem: ( )

[

] [

( )

( )

)

( )

. Jeśli na tym

(

]

)

(

(

)

( ).

)

) oraz (

)

),

)(

(

(

)

)

Ponadto: ( )

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

)

( ( ) ( )) ( )

(

)

( ( ) ( )) (

)

Można indukcyjnie wykazać, że

( )

( )

a zatem, w zapisie skrótowym:

( )

( )

( ( ) ( )) (

(

) )(

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

(

)(

)

),

67

) ( ), ( Wiadomo, że ( ze wzoru Taylora dla funkcji jednej zmiennej: ( )

( )

gdzie

( )

)

( ). Wobec tego można skorzystać ( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

. A zatem:

(

)

(

)

(

)

∑

(

)

∑ (

(

(

)

)

)

∑ ∑( )

(

)

(

)

∑(

(

) ( )

)

( ). gdzie Dla funkcji zmiennych pierwszy wzór pozostaje bez zmian, z dokładnością do zapisu: (

)

( )

∑

( )

∑ (∑

(

) )

(

.□

)

69. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych, warunek konieczny. DEFINICJA 11.4: Funkcja zmiennych ma w punkcie swojej dziedziny 1° maksimum lokalne, jeśli dla pewnej liczby dodatniej ‖ ‖ ( ) ( ), 2° minimum lokalne, jeśli dla pewnej liczby dodatniej ‖ ‖ ( ) ( ). TWIERDZENIE 11.4 (warunek konieczny na ekstremum funkcji wielu zmiennych): Jeśli funkcja zmiennych ma w punkcie wewnętrznym dziedziny ekstremum lokalne oraz istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe tej funkcji, to (

)

( ( )

DOWÓD: Rozpatrzmy funkcję lokalne, a więc

)

(

)

(

( )

), która ma w ( )

Podobnie postępujemy dla pozostałych zmiennych otrzymując (

68

)

(

)

(

)

.□

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

ekstremum

70. Warunek dostateczny na ekstremum funkcji dwóch zmiennych. TWIERDZENIE 11.5 (warunek wystarczający na ekstremum funkcji dwóch zmiennych) : Funkcja ( ) jest klasy ). Niech w otoczeniu punktu ( (

)

(

) .

Jeśli spełniony jest warunek konieczny na ekstremum, wtedy: ) ) jest ekstremum, 1° gdy ( , to w ( ) ) nie ma ekstremum, 2° gdy ( , to w ( ( , to maksimum, , to minimum). (

DOWÓD: Niech

)

. Wzór Taylora w przypadku ( ) ( )

(

(

)

(

(

)

uwzględniając warunek konieczny, ponadto (

)

(

ma postać )

) . Rozpatrzmy wyrażenie

)

(

)

[(

)

[(

)

[(

)

(

(

(

(

)

) ]

) )

]

]

Drugi czynnik tego wyrażenia ma stały znak, więc znak wyrażenia jest zdeterminowany przez . Z założenia, że funkcja jest klasy stały znak w otoczeniu: Niech teraz

( (

)

(

)

( (

(

) jest funkcją ciągłą, a więc ma

. Funkcja ma więc ekstremum w (

).

. Ponownie rozpatrujemy wyrażenie

. Przyjmijmy

)

(

wynika, że

) )

( (

)

)

(

)

)

Wyróżnik pierwszego czynnika wynosi: (

)

(

a więc trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Weźmy

) oraz

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

takie, że

69

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

) oraz ( Mamy więc punkty ( Rozpatrzmy teraz wyrażenie wynikające ze wzoru Taylora: (

)

(

,

) wyznaczające

)

proste.

(

) .

Wartość wynika ze wzoru Taylora i jest ustalona, również jest ustalone, można więc manipulować jedynie . Dla wartości dostatecznie małych wyrażenie zbiega do (

)

(

)

(

)

,

co wynika w faktu, że funkcja jest klasy . Ostatecznie dla takich wyrażenie jest większe od zera. Analogiczne rozumowanie prowadzi się dla , dowodząc, że wyrażenie wynikające ze wzoru Taylora jest mniejsze od zera. Zatem trójmian ma wartości dodatnie i ujemne przy dowolnie ). małych wartościach , wobec czego funkcja nie ma ekstremum w ( ) ) Gdy ( , to nie można stwierdzić czy istnieje ekstremum, na przykład ( ) ma ekstremum w ( ), natomiast ( nie ma ekstremum, a w obydwu przypadkach ( ) .□ Funkcja

(

) z warunku na ekstremum może być zapisana jako wyznacznik funkcyjny: (

)

(

)

| |

71. Warunki istnienia i nieistnienia ekstremum funkcji Druga różniczka funkcji

( )

[

| |

zmiennych klasy

zmiennych jest formą kwadratową zmiennych

:

]

[

[

70

.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

]

]

TWIERDZENIE 11.6: Funkcja zmiennych jest klasy . Jeśli w punkcie spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, to: 1° jeśli druga różniczka w jest formą dodatnio określoną, to w jest minimum lokalne, 2° jeśli druga różniczka w jest formą ujemnie określoną, to w jest maksimum lokalne, 3° jeśli druga różniczka w jest formą nieokreśloną, to w nie ma ekstremum. DOWÓD: Na mocy wzoru Taylora dla (

)

( )

i warunku koniecznego istnienia ekstremum: )(

(

)

(

∑

)

.

Prawa strona wzoru, gdy pochodne są liczone w punkcie jest formą kwadratową zmiennych . Stosując do niej rozumowanie analogiczne jak w TWIERDZENIU 11.5 otrzymujemy tezę twierdzenia. □ ) ∑ TWIERDZENIE 11.7: Forma kwadratowa ( 1° jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy dla |

|

:

,

2° jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy dla (

) |

|

.

72. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. TWIERDZENIE 11.8: Funkcja (

) jest klasy ( )

w otoczeniu punktu ( ( )

) oraz

Wtedy istnieje ( Ponadto funkcja ( ) jest klasy

) w( ( )

( (

( ) ( ) oraz ( ))

)

(

( ))

( ))

DOWÓD: ) ) przez 1° Zakładamy, że ( (gdy przeciwnie, można zastąpić ( ] [ ], w Wobec ciągłości istnieje kwadrat [ ( ) . Niech będzie dowolną liczbą dodatnią mniejszą niż . Pochodna względem ( ) jest w przedziale [ ] dodatnia, więc funkcja ( ) jest ) przedziale ściśle rosnąca, a ponieważ ( więc ( ) ( ) ,

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

( )). którym funkcji w tym

71

Funkcje ( otoczenie Mamy więc

) i

(

) zmiennej są ciągłe w punkcie , więc istnieje , w którym obie zachowują ten sam znak co w punkcie .

( ) ( ) , dla ). Funkcja ( Niech będzie dowolnym punktem przedziału ( ) przybiera ] wartości o znakach przeciwnych, więc, jako funkcja na końcach przedziału [ ( ) wewnątrz tego przedziału wartość ciągła, przybiera w pewnym punkcie ) jest dodatnia, więc (własność Darboux). Punkt taki istnieje tylko jeden, bo pochodna ( ) jest rosnąca. Wobec tego pierwsza część twierdzenia jest udowodniona, bo funkcja ( ) istnieje funkcja ( ) spełniająca tożsamościowo nierówność w przedziale ( | ( ) | ( )) ( ). oraz równanie ( dla | 2° Funkcja ( ) jest ciągła w każdym punkcie przedziału | . Istotnie, punkt ( ), gdzie ( ), leży w prostokącie ( ) ( ) wraz ) ( ) o środku ( ), przy czym z pewnym prostokątem ( ( ) . W myśl poprzedniej części dowodu można do dostatecznie małej liczby ) odpowiadała dokładnie dobrać tak małe, by każdemu z przedziału ( ) | jedna wartość ( ) spełniająca równanie ( oraz nierówność | . Lecz ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), funkcja musi być identyczna z funkcją więc i zatem | ( ) ( )| | dla | , co dowodzi ciągłości funkcji ( ). ) będzie punktem zmiennym, a ( ) – punktem stałym krzywej ( ), więc Niech ( ( ) ) i ( , i niech , . W myśl twierdzenia o wartości Lagrange’a, mamy: ( ) ( ) , ), gdzie przy czym pochodne są obliczone w pewnym punkcie ( . ) ( ) i ponieważ Ponieważ w prostokącie ( , , więc ( ) ( ) ( ) ( ) Przechodząc do granicy dla otrzymujemy wzór z tezy. Pochodna ( ) jest ciągła ), bo pochodne i są ciągłe, co kończy dowód. □ w przedziale ( Jeśli nie znamy postaci funkcji uwikłanej możemy jednak znaleźć z zależności ( )

( ), to wartość pochodnej funkcji uwikłanej ( (

) )

(Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ( ).)

72

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

73. Druga pochodna funkcji uwikłanej. Jeśli w twierdzeniu o funkcjach uwikłanych założyć, że funkcja jest klasy ), uwikłana też jest klasy . W przypadku funkcji ( (argumenty ( ) ( ) ( ) (

(

))

(

(

, to funkcja i ( )):

))

( ) (ostatni wzór dla argumentów postaci ( ( ) )). 74. Funkcje uwikłane wielu zmiennych. TWIERDZENIE 11.9: Funkcja ( ( oraz Wtedy istnieje takie, że:

) jest klasy ) , ( ( ) w ( (

( ) ( ) oraz ( ))

(

(

Ponadto funkcja ( ) jest klasy

))

w otoczeniu punktu ( ) )

,(

(

)

( ))

)

DOWÓD: Analogiczny do dowodu TWIERDZENIA 11.8. □ [ TWIERDZENIE 11.10: Niech ) ( Jeśli funkcje ( ) ( ) ( ), zachodzi

( (

) )

] , ( ) zmiennych są klasy ( ) , dla |

(

). w otoczeniu punktu , oraz jakobian

| ,

| jest w tym punkcie różny od zera, to istnieje ( ) ( ) ). Ponadto funkcja ( ) jest klasy w (

| takie, że ( ) (

( ))

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

,(

)

73

DOWÓD: Przeprowadzimy dla przypadku ( ) ( będą spełnione w pewnym punkcie

. Niech więc dwa równania: ( ) ) i niech jakobian

, , ( (

) )

będzie w tym punkcie różny od zera. Wówczas przynajmniej jedna z pochodnych w punkcie

różna od zera. Załóżmy, że

względem Niech

w otoczeniu punktu (na mocy poprzedniego twierdzenia). ( ) będzie tym rozwiązaniem. Funkcja

(

) wartość

Podstawmy za (

funkcję

,

jest

, więc pierwsze równanie można rozwiązać ma w punkcie

, a w otoczeniu tego punktu pochodną

.

w drugim równaniu. Ponieważ (

))

||

|| ,

więc, w myśl założenia o jakobianie, pochodna po lewej stronie jest w punkcie różna od ( )) zera, zatem równanie ( daje się rozwiązać względem ( ) będzie tym rozwiązaniem. Wówczas: w otoczeniu punktu . Niech ( ) , ( )) ( ) poszukiwane równania i w myśl poprzedniego spełniają w otoczeniu punktu ( twierdzenia są ciągłe i mają ciągłe pochodne cząstkowe. □ 75. Ekstrema funkcji uwikłanych. ) jest klasy Jeśli funkcja dwóch zmiennych ( i spełnione są warunki ( ) ( ) , ( ) ( ) , ), ma w punkcie to funkcje uwikłana, do wykresu której należy punkt ( lokalne. Rodzaj ekstremum określony jest znakiem drugiej pochodnej ( ) ( ) . ( )

74

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

ekstremum

76. Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych przy jednym warunku. Niech , . ) dziedziny, w którym ( ) DEFINICJA 11.5: Funkcja ma w punkcie ( , ) ) maksimum warunkowe przy warunku ( , jeśli istnieje taki, że dla ( ) ) spełniających warunek ( ) (( zachodzi ( ) ( ) ). Poszukujemy warunku koniecznego istnienia ekstremum. Ustalmy punkt ( Załóżmy, że dla funkcji spełnione są założenia TWIERDZENIA 11.8 o funkcjach uwikłanych ) spełnione są warunki i dla punktu ( ( ) { . ( ) ( )) ). Wówczas istnieje funkcja ( ) ( ( ) ) taka, że ( w otoczeniu ( ( )) w punkcie ( ) oznacza, że Istnienie maksimum funkcji ( ( )) ( ). ( ) Zagadnienie znalezienia ekstremów funkcji przy warunku ( sprowadza się więc do znalezienia ekstremów funkcji jednej zmiennej ( ) ( )). ( Jeśli założymy, że funkcja jest klasy ( ( ) jest klasy z TWIERDZENIA 11.8), to otrzymujemy ( )

( ))

(

.

Poszukiwanie ekstremów sprowadza się więc do rozwiązania układu równań {

.

Zauważmy, że pierwsze równanie jest wynikiem rugowania parametru

z równań

{ i że lewe strony tych równań są pochodnymi cząstkowymi funkcji . Wobec tego punkty, w których możliwe jest ekstremum funkcji przy warunku , można wyznaczyć w taki sposób: Tworzymy funkcję , gdzie jest czynnikiem stałym, i szukamy ekstremów tej funkcji tak, jak gdyby zmienne , były niezależne, a więc tworzymy podane wyżej równania. Następnie do równań tych dołączamy warunek i z tych trzech równań o trzech niewiadomych , i obliczamy i . Metodę tę nazywamy metodą nieoznaczonego czynnika Lagrange’a.

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

75

77. Wartość największa i najmniejsza symetrycznej formy kwadratowej na sferze jednostkowej. PRZYKŁAD: Znajdziemy najmniejszą i największą wartość formy kwadratowej o danych współczynnikach (

)

zmiennych

∑

) przy warunku ( . Można ten problem inaczej zapisać jako poszukiwanie wartości najmniejszej i największej funkcji ( ) dla ‖ ‖ , gdzie . Stosując metodę mnożników Lagrange’a tworzymy funkcję . Ustalmy zmienną . Składniki funkcji zawierające mają postać ∑ zatem pochodne cząstkowe funkcji ( dla każdego

∑

∑

,

są następujące: ∑

(

)

)

∑

( . Warunek na ekstremum ma zatem postać układu równań (

)

∑

,

)

.

Można to zapisać w postaci macierzowej jako ( ) . Rozwiązanie zerowe nas nie interesuje, więc szukamy mnożników wśród rozwiązań ( ) . Mnożniki Lagrange’a są więc wartościami własnymi macierzy , natomiast wektory są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom. Ustalmy wartość własną , niech będzie wektorem własnym (dowolnym niezerowym, odpowiadającym ). Wiemy, że ( ) ‖ ‖ , ale bierzemy pod uwagę jedynie wektory leżące na sferze ‖ ‖ , więc . Zauważmy, że po lewej stronie równości mamy wartość formy w . Punkty podejrzane o ekstrema to wektory własne, więc najmniejsza wartość formy kwadratowej jest równa najmniejszej wartości własnej (największa wartość formy równa największej wartości własnej). Wektory, dla których forma przyjmuje te wartości, to wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym.

76

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

78. Sformułowanie metody mnożników Lagrange’a dla funkcji wielu zmiennych i więcej niż jednego warunku. Metodę nieoznaczonego czynnika Lagrange’a można uogólnić. Mając wyznaczyć ekstrema ) przy warunkach (gdzie warunkowe funkcji zmiennych ( ) o postaci ( ) ( ) { , (

)

) tworzymy funkcję ( , gdzie są dowolnymi czynnikami stałymi, i szukamy punktów , w których mogą istnieć ekstrema funkcji tak, jak gdyby zmienne były niezależne. Tworzymy więc równania ,(

).

Następnie do tych równań dołączamy równań warunkowych i z tego układu o niewiadomych obliczamy .

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

równań

77

CZĘŚĆ XII – CAŁKI PODWÓJNE I WIELOKROTNE 79. Definicja całki funkcji dwóch zmiennych na prostokącie. Definicja całki funkcji zmiennych na iloczynie kartezjańskim przedziałów. Niech będzie funkcją określoną i ograniczoną w prostokącie domkniętym określonym }. Podzielmy prostokąt nierównościami { na dowolnych ( ), | | prostokątów domkniętych i oznaczmy przez pole prostokąta , pole | |. prostokąta oznaczać będziemy tym samym symbolem . Mamy Niech i będą kresami górnym i dolnym funkcji w prostokącie , i – kresami ) niech będzie dowolnym punktem górnym i dolnym tejże funkcji w prostokącie ,a( prostokąta . Utwórzmy trzy sumy: ∑

∑ (

,

)

∑

,

.

| |. Spełniają one (jak w przypadku jednej zmiennej) nierówności | | ( ) Oznaczmy przez długość największej ze wszystkich przekątnych prostokątów i liczbę tę nazwijmy średnicą podziału. Ciąg podziałów dla nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli ( ) , gdy . Jeżeli ciąg sum odpowiadający każdemu normalnemu ciągowi podziałów jest zawsze ), zbieżny, i to zawsze do tej samej granicy bez względu na dobór punktów pośrednich ( to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji w prostokącie i oznaczamy symbolem ∬ (

)

,

a funkcję nazywamy całkowalną w prostokącie w sensie Riemanna. Sumę nazywamy sumą dolną całki, a – sumą górną. Supremum sum dolnych to całka dolna, infimum sum górnych to całka górna, odpowiednio: ∬ (

)

,

∬ (

)

.

Niech teraz będzie funkcją zmiennych określoną w obszarze złożonym z punktów ( ), gdzie dla . Obszar taki nazywamy przedziałem wymiarowym. Objętość | | i przekątną tego przedziału określamy wzorami | | ( ) ( ), ) ( ) . √( Punkt ( ) oznaczmy krócej przez . Podzielmy przedział na przedziałów -wymiarowych o objętościach i niech będzie najdłuższą przekątną przedziałów częściowych. Obierzmy w przedziale dowolny punkt , utwórzmy sumę ∑ ( ) i niech rośnie nieograniczenie tak, by , gdy . Jeśli istnieje granica ciągu i jest niezależna ani od podziałów przedziału , ani od wyboru punktów w przedziałach , to granicę tą oznaczmy symbolem ∬

∫

(

i nazywamy całką -krotną funkcji

78

) w przedziale

lub ∫

( )

w sensie Riemanna.

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

80. Związek całki podwójnej z całką iterowaną. DEFINICJA 12.1: Niech będzie funkcją określoną i ograniczoną w prostokącie { } i niech przy każdym stałym istnieje całka pojedyncza (

∫

)

.

Jest ona funkcją zmiennej , określoną w przedziale ], to całką całkowalna w przedziale [ (

∫ [∫

)

]

, czyli ∫

. Jeżeli funkcja ta jest (

∫

)

,

nazywamy całką iterowaną funkcji . Analogicznie określamy całkę iterowaną (

∫ [∫

)

]

, czyli ∫

(

∫

)

TWIERDZENIE 12.1: Jeżeli funkcja jest ciągła w prostokącie istnieją i są równe całce podwójnej, tj. ∫

(

∫

)

∬ (

)

∫

.

, to obie całki iterowane

∫

(

)

.

] punktami Dowód: Podzielmy prostokąt na prostokątów dzieląc przedział [ [ ] punktami na części oraz przedział na części i kreśląc przez punkty podziału równolegle do osi współrzędnych. Oznaczmy przez i kresy dolny i górny funkcji w prostokącie o bokach , , przez – dowolny punkt odcinka . Wówczas ∫ oraz

(

)

(

)

(

∫

)

)

, więc

dla ∫

(

)

,

∫

(

)

,

∫

(

)

Dodając te nierówności, mnożąc następnie przez ∑∑

(

∫

∑∫ (

. i sumując względem otrzymujemy

)

∑∑

.

Pierwsza i ostatnia z tych trzech sum są sumami dolną i górną całki podwójnej w prostokącie ) , a środkowa jest sumą przybliżoną pojedynczej całki funkcji ∫ ( w przedziale [ ]. Gdy i tak, że najdłuższy z odcinków i dąży do zera, sumy skrajne dążą do wspólnej granicy równej całce podwójnej. Suma środkowa dąży więc do tej samej granicy, przy czym granica ta jest całką iterowaną, więc pierwsza równość jest dowiedziona. Dowód drugiej równości jest analogiczny. □

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

79

81. Definicja miary Jordana zbiorów na płaszczyźnie. DEFINICJA 12.2: Niech będzie obszarem lub dowolnym zbiorem płaskim ograniczonym (np. sumą obszarów, krzywych i punktów). Zamknijmy go w pewien kwadrat , podzielmy na skończoną ilość prostokątów domkniętych i oznaczmy 1° przez sumę pól tych prostokątów, które zawierają (wewnątrz lub na brzegu) jakiś punkt zbioru ; 2° przez sumę pól tych prostokątów , których każdy punkt należy do zbioru (jeżeli takich nie ma, przyjmujemy ). Zbiór wszystkich sum odpowiadających różnym podziałom kwadratu na prostokątów i różnym ma pewien kres dolny , który nazywamy miarą zewnętrzną Jordana zbioru . Podobnie zbiór sum ma pewien kres górny , który nazywamy miarą wewnętrzną Jordana zbioru . Oczywiście . Jeżeli , to zbiór nazywamy mierzalnym powierzchniowo w sensie Jordana, a wspólną wartość obu miar nazywamy miarą Jordana (lub polem) zbioru . 82. Ogólna definicja całki podwójnej na płaszczyźnie, warunek całkowalności (tylko sformułowanie). DEFINICJA 12.3: Niech będzie funkcją określoną i ograniczoną w dowolnym zbiorze ograniczonym na płaszczyźnie. Zamknijmy zbiór w pewnym prostokącie i rozszerzmy określenie funkcji na cały prostokąt: ( ) dla ( ) ( ) { . ) dla ( ( ) Mówimy, że funkcja jest całkowalna w zbiorze , jeżeli istnieje całka ∬ . Całkę funkcji w zbiorze oznaczamy ∬

(

)

i określamy wzorem (

∬

)

(

∬

)

.

Określenie to nie zależy od doboru prostokąta . ∏ [ ]. Jeśli zbiór punktów nieciągłości ograniczonej TWIERDZENIE 12.2: Niech funkcji ma miarę Jordana równą zero, to funkcja jest całkowalna na . WNIOSEK 12.1: Jeżeli funkcja (określona jak w Definicji 12.3) ma zbiór punktów nieciągłości miary Jordana równej zero, to funkcja jest całkowalna na . WNIOSEK 12.2: Funkcja oraz

ograniczona i ciągła na obszarze normalnym ( )

∬

(

)

∫

(

∫

)

.

( )

80

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

jest całkowalna na

SPIS TREŚCI: Część I – Pochodne – niektóre zastosowania ......................................................................... 1 1.

Reguła de l’Hospitala, dowód w przypadku symbolu nieoznaczonego typu ⁄ . Sprowadzanie badania granic różnych wyrażeń o charakterze symboli nieoznaczonych do badania granic wyrażeń o charakterze ⁄ lub ⁄ . .............................................. 3

2.

Przykład funkcji klasy na prostej, mającej w zerze minimum globalne, ale której wszystkie pochodne w zerze są równe . ....................................................................... 4

3.

Poszukiwanie najmniejszej i największej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym i ograniczonym. ......................................................................................... 5

4.

Asymptoty ukośne i pionowe wykresu funkcji. Warunek konieczny i wystarczający na istnienie asymptot ukośnych, sposób ich znajdowania. Przykład funkcji, dla której istnieje kierunek asymptotyczny w , ale która nie ma asymptoty. ........................... 6

5.

Pojęcie zbioru wypukłego w przestrzeni liniowej. Kombinacje wypukłe. Lemat o kombinacjach wypukłych punktów zbioru wypukłego. .............................................. 7

6.

Funkcje wypukłe, określenie przy pomocy epigrafu, analityczny warunek równoważny – formalna definicja. Warunek równoważny wypukłości funkcji zmiennej rzeczywistej wyrażony przy pomocy ilorazów różnicowych. ............................................................. 7

7.

Własności ilorazu różnicowego funkcji wypukłej, istnienie pochodnych jednostronnych, ich własności. ....................................................................................... 9

8.

Twierdzenie o mocy zbioru punktów, w których funkcja wypukła zmiennej rzeczywistej może nie mieć pochodnej. ....................................................................... 10

9.

Charakteryzacja wypukłości funkcji różniczkowalnej przy pomocy własności pierwszej pochodnej i przy pomocy drugiej pochodnej. Charakteryzacja przy pomocy położenia wykresu względem stycznych do wykresu. ................................................. 10

10. Funkcje wklęsłe, punkty przegięcia wykresu. .............................................................. 11 Część II – Ciągi i szeregi funkcyjne ...................................................................................... 12 11. Definicja ciągu funkcyjnego, pojęcie zbieżności punktowej, zbieżności jednostajnej, ich zależność. Przykłady. ............................................................................................. 12 12. Lemat o sprawdzaniu zbieżności jednostajnej poprzez ograniczanie supremów przez wyrazy ciągu zbieżnego. Metryka zbieżności jednostajnej w przestrzeni funkcji ograniczonych, ograniczoność funkcji będącej jednostajną granicą ciągu funkcji ograniczonych............................................................................................................... 12 13. Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego i szeregu funkcyjnego. ................................................................................................................. 13 14. Lemat o zamianie kolejności granic dla ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnej ciągu funkcji ciągłych i sumy szeregu funkcyjnego o wyrazach ciągłych. ............................................................................... 14 15. Twierdzenie o różniczkowalności granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego. ................................................................................................................. 15 16. Szeregi funkcyjne, zbieżność punktowa i jednostajna, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. .............................................................. 16

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

81

17. Szeregi potęgowe, twierdzenie o charakterze obszaru zbieżności szeregu potęgowego wraz z wnioskiem o możliwych postaciach tego obszaru. ........................................... 17 18. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego. ........ 18 19. Twierdzenie Abela o ciągłości sumy szeregu potęgowego na krańcach dziedziny. Przykłady zastosowań. ................................................................................................. 19 Część III – Funkcje pierwotne .............................................................................................. 20 20. Pojęcie funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej, twierdzenia o całce sumy funkcji, całce iloczynu funkcji przez liczbę oraz o całkowaniu przez części. Przykłady. ......... 20 21. Wzór na całkowanie przez podstawienie dla całko nieoznaczonej – dwa sposoby interpretowania. Przykłady. .......................................................................................... 21 22. Całki funkcji ................................................................................................................. 22 23. Całkowanie funkcji wymiernych, przykłady. ............................................................... 23 24. Całki funkcji zawierających pierwiastek funkcji homograficznej i pierwiastek kwadratowy trójmianu sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych. ....................... 24 25. Całki z funkcji zawierających wyrażenia trygonometryczne oraz funkcję wykładniczą sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych. ............................................................. 24 26. Metoda współczynników nieoznaczonych dla całek zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego. .......................................................................................... 25 Część IV – Całka Riemanna - Wprowadzenie ..................................................................... 26 27. Sumy całkowe, definicja całki Riemanna, ograniczoność funkcji całkowalnych, przykład funkcji ograniczonej na przedziale, ale nie mającej całki Riemanna. ........... 26 28. Sumy górne i sumy dolne, ich własności. .................................................................... 28 29. Całka górna i całka dolna. Zbieżność sum górnych i sum dolnych dla normalnego ciągu podziałów. Charakteryzacja całkowalności przez całkę górną i dolną. .............. 29 30. Całkowalność funkcji ciągłych. .................................................................................... 32 31. Całkowalność funkcji monotonicznych. ...................................................................... 33 Część V – Całka Riemanna – Własności, obliczanie ........................................................... 34 32. Addytywność całki względem przedziałów. ................................................................ 34 33. Wnioskowanie o całkowalności funkcji wynikające z nierówności ( )|. Całkowalność modułu funkcji całkowalnej, | ( ) ( )| | ( ) całkowalność minimum i maksimum dwóch funkcji całkowalnych. ........................... 35 34. Całkowalność kwadratu funkcji całkowalnej i iloczynu funkcji całkowalnych. ......... 36 35. Twierdzenie o wartości średniej dla całki. ................................................................... 38 36. Własności funkcji górnej granicy całkowania. Związek całki z funkcją pierwotną. ... 39 37. Twierdzenie o związku całki z funkcją, której pochodna jest równa funkcji całkowalnej poza skończonym zbiorem punktów. ....................................................... 40 38. Różniczkowanie całki ze zmiennymi granicami całkowania. ...................................... 40 39. Całkowanie przez części dla całki oznaczonej. ............................................................ 41 40. Całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej. ................................................. 41 41. Całka granicy ciągu funkcyjnego, całka sumy szeregu funkcyjnego. .......................... 42

82

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2

Część VI – Całki niewłaściwe ................................................................................................ 43 42. Funkcje lokalnie całkowalne, całka niewłaściwa. ........................................................ 43 43. Kryterium Cauchy’ego zbieżności całki niewłaściwej. ................................................ 43 44. Warunek zbieżności całki niewłaściwej funkcji nieujemnej. ....................................... 44 45. Kryterium porównawcze zbieżności całki niewłaściwej. ............................................. 45 46. Bezwzględna i warunkowa zbieżność całek niewłaściwych. ....................................... 45 47. Przykład całki niewłaściwej warunkowo zbieżnej. ...................................................... 46 48. Kryterium całkowe zbieżności szeregów. .................................................................... 47 Część VII – Zastosowania całek ............................................................................................ 48 49. Pole figury pomiędzy wykresami funkcji. Przykłady. ................................................. 48 50. Pole pod wykresem funkcji określonym parametrycznie. Pole ograniczone cykloidą. 48 51. Pole ograniczone krzywą daną równaniem biegunowym. Spirala Archimedesa. ........ 49 52. Krzywe prostowalne, łuki i krzywe regularne, długość łuku regularnego. Przykład. .. 49 53. Długość łuku regularnego danego równaniem biegunowym. Przykład. ...................... 50 54. Objętość figury obrotowej. ........................................................................................... 51 VIII. Całka Stieltjesa.............................................................................................................. 52 55. Sumy górne i dolne Stieltjesa, całki górne i dolne, całka Stieltjesa. Przykłady. Związek całki Stieltjesa z całką Riemanna. ................................................................................ 52 IX. Przestrzenie euklidesowe, ciągłość odwzorowań........................................................... 54 56. Norma w przestrzeni , zbieżność ciągów. Ciągłość odwzorowań przestrzeni skończenie wymiarowych. ........................................................................................... 54 X. Pochodne cząstkowe .......................................................................................................... 56 57. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, różniczka, postać współczynników różniczki. ...................................................................................................................... 56 58. Warunek wystarczający istnienia różniczki funkcji wielu zmiennych. ........................ 58 59. Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji. ..................................................................... 59 60. Pochodne funkcji złożonych. ........................................................................................ 59 61. Pochodna wektorowa i gradient. .................................................................................. 60 62. Macierz Jacobiego odwzorowania, macierz Jacobiego złożenia odwzorowań. Różniczka odwzorowania, związek z macierzą Jacobiego. ......................................... 61 63. Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji

zmiennych. ...................................................... 63

64. Przykład na niezachodzenie tw. Lagrange’a dla funkcji wektorowych. ...................... 63 65. Pochodna kierunkowa, związek z gradientem. ............................................................. 63 66. Parametryzacja naturalna krzywej. ............................................................................... 64 Część XI – Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, ekstrema ........................................... 65 67. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Różniczka rzędu drugiego. .......................... 65 68. Wzór Taylora dla funkcji

zmiennych. ....................................................................... 67

69. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych, warunek konieczny. ............................... 68

Łukasz Błaszczyk, Antoni Kijowski, Politechnika Warszawska 2012

83

70. Warunek dostateczny na ekstremum funkcji dwóch zmiennych. ................................ 69 71. Warunki istnienia i nieistnienia ekstremum funkcji

zmiennych klasy

. ............... 70

72. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. .......................................................................... 71 73. Druga pochodna funkcji uwikłanej. ............................................................................. 73 74. Funkcje uwikłane wielu zmiennych. ............................................................................ 73 75. Ekstrema funkcji uwikłanych. ...................................................................................... 74 76. Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych przy jednym warunku. ................ 75 77. Wartość największa i najmniejsza symetrycznej formy kwadratowej na sferze jednostkowej. ................................................................................................................ 76 78. Sformułowanie metody mnożników Lagrange’a dla funkcji wielu zmiennych i więcej niż jednego warunku..................................................................................................... 77 Część XII – Całki podwójne i wielokrotne ........................................................................... 78 79. Definicja całki funkcji dwóch zmiennych na prostokącie. Definicja całki funkcji zmiennych na iloczynie kartezjańskim przedziałów. ................................................... 78 80. Związek całki podwójnej z całką iterowaną. ................................................................ 79 81. Definicja miary Jordana zbiorów na płaszczyźnie. ...................................................... 80 82. Ogólna definicja całki podwójnej na płaszczyźnie, warunek całkowalności (tylko sformułowanie). ............................................................................................................ 80 Klasyfikacja pytań: A – pytania podstawowe, B – pytania o podwyższonej trudności, C – pytania zaawansowane Sformułowania wszystkich definicji, lematów, twierdzeń, wniosków, przykładów mają klasyfikację A, niezależnie od tego jaką klasyfikację ma pytanie, w którym są zawarte.

84

Opracowanie pytań pomocniczych na egzamin ustny z analizy matematycznej 2