Aula 01 - Potenciação e Notação Científica

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Renan M. Souza

Lista 1 / Aula 1 - Potenciação e notação científica

Dicas de estudo

04/2017

Exemplo 1.5

𝜋4 = 𝜋 · 𝜋 · 𝜋 · 𝜋 Primeiramente, sejam bem-vindos!! Ao longo das aulas e das listas, darei algumas dicas de estudos. São sugestões baseadas na minha experiên- Exemplo 1.6 6 cia dessa época de vestibular, tanto como aluno quanto (−2) = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 64 como professor. Exemplo 1.7 ∙ Crie uma ROTINA de estudos. −26 = − (2) · (2) · (2) · (2) · (2) · (2) · = −64 Analise o tempo disponível que você tem para estudar. Dentro deste tempo, crie horários fixos Veja que o sinal de - não está elevado a 6. Essa é a reservados para o estudo. A intenção é criar um diferença para o exemplo anterior. hábito, uma rotina de estudos. Veja, não é necessariamente a quantidade de ho- Exemplo 1.8 ras de estudo o mais importante, mas sim criar a (︀ 3 )︀4 (︀ 3 )︀ (︀ 3 )︀ (︀ 3 )︀ (︀ 3 )︀ 2 = 2 · 2 · 2 · 2 rotina. Exemplo 1.9 (︂ )︂4 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2 2 2 2 2 = · · · 3 3 3 3 3

∙ EVITAR usar calculadoras.

Resista à tentação de usar a calculadora do celular ou qualquer outra. Faça as contas “na raça". Mesmo que seja chato ou mais devagar fazer as contas na mão, ou mesmo que você tenha dificul- Exemplo 1.10 dades, esse treino é importante. (︁√ )︁3 (︁√ )︁ (︁√ )︁ (︁√ )︁ 27 = 27 · 27 · 27 Após um tempo fazendo as contas na mão, você sentirá a melhora :) Independente de você conseguir fazer essa conta na mão ou não, entenda o conceito envolvido. Multiplicamos a base por ela mesma 3 vezes. Potenciação

1 1.1

Exemplo 1.11

Definição: expoente positivo

5 Seja 𝑎 um número real qualquer, e 𝑛 um número 5, 0·10 = 5, 0·10·10·10·10·10 = 5, 0·100000 = 500000 natural (Ex.: 1,2,3,4,...). Chamamos o número 𝑎 de Repare que, multiplicar 5, 0 por 105 foi equivalente a potência de base e o número 𝑛 de expoente. deslocar a vírgula do 5, 0 cinco casas para a direita. E se tivéssemos multiplicado 5, 0 por 103 ? Pelo mesmo ∙ 𝑎1 = 𝑎 raciocínio, teríamos deslocado a vírgula três casas para 2 a direita, obtendo 5000. ∙ 𝑎 =𝑎·𝑎 Obs.: 500000 = 50000, 0. Apenas omitimos o , 0 no ∙ 𝑎3 = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 número do lado esquerdo da igualdade.

∙ 𝑎4 = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · 𝑎

Nos exemplos anteriores, veja que não importa qual ou quão estranho seja o número sendo elevado. Apenas multiplicamos ele por ele mesmo o tanto de vezes pedido.

𝑛

∙ 𝑎 = ⏟𝑎 · 𝑎 · ·𝑎⏞· 𝑎 · · · 𝑎 n vezes

Obs.: definimos 𝑎0 = 1 (um número elevado a 0 é igual a 1)

1.2

Definição: Expoente negativo

Dado um número real 𝑎 não nulo e um número natural 𝑛, temos:

Exemplo 1.1 2

2 =2·2=4

∙ 𝑎−1 =

Exemplo 1.2

1 𝑎

1 𝑎·𝑎 1 ∙ 𝑎−3 = 𝑎·𝑎·𝑎 1 ∙ 𝑎−4 = 𝑎·𝑎·𝑎·𝑎 1 ∙ 𝑎−𝑛 = 𝑎 ⏟ · 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 ⏞· 𝑎 · 𝑎 · · · 𝑎

23 = 2 · 2 · 2 = 8

∙ 𝑎−2 =

Exemplo 1.3 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 Exemplo 1.4 37 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 2187 1

n vezes

Renan M. Souza

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04/2017

Perceba que o sinal de − é um código que nos diz: inverta o número 𝑎.

Multiplicação / Divisão por potência de 10

Exemplo 1.12

Baseado nos exemplos 1.11 e 1.18, podemos concluir que: 2−1 =

1 2

∙ Multiplicar um número por 10+𝑛 equivale a deslocar a vírgula 𝑛 vezes para a DIREITA. ∙ Multiplicar um número por 10−𝑛 equivale a deslocar a vírgula 𝑛 vezes para a ESQUERDA.

Exemplo 1.13 1 1 = 2·2 4

2−2 =

Lembre-se disto! Você usará bastante esse resultado. Para ajudar a memorizar: desloca para a direita, diminui o expoente. Direita, Diminui. Direita, Diminui.

Exemplo 1.14 2−5 =

1 1 = 2·2·2·2·2 32

Exemplo 1.15

2 (−2)

−3

1 1 1 = = =− (−2) · (−2) · (−2) −8 8

Propriedades da potenciação

Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, e sejam 𝑚 e 𝑛 números inteiros (Ex.: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3).

Exemplo 1.16 (︂ )︂−4 1 1 2 81 = (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ = 16 = 2 2 2 2 3 16 81 · · · 3 3 3 3

∙ 𝑃1 .

𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

∙ 𝑃2 .

𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑎𝑛

∙ 𝑃3 . Exemplo 1.17 ∙ 𝑃4 . 3 2−3

+3

=3·2

= 3 · 8 = 24

∙ 𝑃5 .

Novamente, lembre-se do significado do sinal − no expoente. Ele nos diz para inverter o número. Se ele estiver no numerador da fração, é jogado para o deno- Exemplo 2.1 minador. Se ele estiver no denominador (como neste caso), é jogado para o numerador.

𝑛

(𝑎 · 𝑏) = 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 (︁ 𝑎 )︁𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑏 𝑏 𝑛

(𝑎𝑚 ) = 𝑎𝑚·𝑛

23 · 22 = 23+2 = 25

Exemplo 2.2 Exemplo 1.18 5, 0 × 10−3 = 5, 0 ×

27 = 27−2 = 25 22

1 = 10 · 10 · 10

Exemplo 2.3

1 =5, 0 × = 5, 0 × 0, 001 = 0, 005 1000

4

(3 · 5) = 34 · 54

Repare em um coisa. Multiplicar por 10−3 foi equi- Em mais detalhes, teríamos: valente a deslocar a vírgula do 5, 0 três casas para a esquerda. E se tivéssemos multiplicado o 5, 0 por 10−4 ? 4 (3 · 5) = (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) = Pelo mesmo raciocínio, teríamos deslocado a vírgula =3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 = quatro casas para a esquerda, obtendo 0,0005. =34 · 54 Obs.: ao multiplicarmos um número por uma poExemplo 2.4 tência de 10, algumas vezes usaremos o símbolo × ao invés do ·. Ambos × e · significam “vezes". Fazemos isso apenas para facilitar a leitura. 2

(︂ )︂4 24 16 2 = 4 = 3 3 81

Renan M. Souza

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04/2017

Exemplo 3.1

Poderíamos ter feito este exemplo de outro modo: (︂ )︂4 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2 2 2 2 2 = · · · = 3 3 3 3 3 2·2·2·2 16 24 = = 4 = 3·3·3·3 3 81

50 = 5 · 10 = 500 · 10−1 = 5000 · 10−2 Escrever um número em notação científica significa colocá-lo na forma abaixo:

Exemplo 2.5 (︀ 2 )︀3 = 22·3 = 26 2

𝑁 × 10𝑛

· 𝑁 é um número entre 1 e 10 (1 ≤ 𝑁 < 10)

Poderíamos ter feito este exemplo de outro modo: (︀ 2 )︀3 (︀ 2 )︀ (︀ 2 )︀ (︀ 2 )︀ = 2 · 2 · 2 = 22+2+2 = 22·3 = 26 2

· 𝑛 é um inteiro qualquer (Ex.: − 5, −4, −3, · · · , 6, 7, 8)

Exemplo 2.6 (︀

104

)︀6

= 104·6 = 1024

Em nosso exemplo anterior, o número 50 em notação científica é representado como 5 × 101 = 5 × 10. Atenção! Em contas, não é necessário colocar os números em notação científica nos passos intermediários. A notação científica é utilizada para representar a RESPOSTA FINAL.

Exemplo 2.7 )︀3 (︀ (︀ )︀3 5 × 10−2 = 53 × 10−2 = 53 × 10−2·3 = 53 × 10−6 Exemplo 2.8 Siga com atenção este exemplo. Não entendeu algum passo? Pergunte! Ele é importante. 9 × 109 · 5 × 10−6 · 3 × 10−3 2

=

(0, 3 · 10−2 ) 9 · 5 · 3 · 109 · 10−3 · 10−6 2

0, 32 · (10−2 )

135 · 109+(−3)+(−6) = =⎛ ⎞2 ⎝3 · 10 ⏟ ⏞

−1 ⎠

Exemplo 3.2 0, 0001 = 1 × 10−4

= Deslocamos a vírgula 4 casas para a direita, logo, multiplica por 10−4 .

= 135 · 100 2

32 · (10−1 ) · 10−4

Exemplo 3.3 =

300000 = 3 × 105

· 10−2·2 Deslocamos a vírgula 5 casas para a esquerda, o que equivale a multiplicar por 105 .

0,3

135 · 1 135 135 = = = 9 · 10−2 · 10−4 9 · 10−6 9 · 10(−2)+(−4) +6 135 · 10 = = 15 × 10+6 9

=

3

Exemplo 3.4 1 1 × 10−1 1 = = = 0, 2 × 10−1 = 2 × 10−2 +1 50 5 × 10 5

Notação científica

Neste exemplo, fizemos o seguinte. Primeiro, calcula1 explicitamente. Em seguida, converPodemos escrever um número qualquer em termos mos o valor de 50 temos esse resultado para notação científica. de potências de 10 de várias formas.

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