Aula 20 (09/10) - Hidrostática

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Hidrost´atica

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Introdu¸ c˜ ao

Uma ´ area de grande importˆancia para a f´ısica ´e a mecˆanica dos fluidos, que consiste em entender fenˆ omenos relacionados a, de um modo geral, l´ıquidos e gases. Atrav´es dela podemos entender porque p´assaros e avi˜oes voam, descrever furac˜ oes e a nossa atmosfera e at´e mesmo analisar o comportamento de estrelas. Apesar de n˜ ao estarmos no p´areo para essas quest˜oes, j´a podemos aprender sobre a hidrost´ atica, uma pequena fatia de toda essa ´area da f´ısica, que descreve fenˆ omenos relacionados a fluidos parados, como o final do nome sugere, e sem ser comprimidos, o que tem rela¸c˜ao com o fato da ´agua ser um fluido incompress´ıvel. Repare pela maneira como a u ´ltima frase foi constru´ıda que a hidrost´atica n˜ao se limita ` a ´ agua, como o nome pode sugerir, e sim a fluidos que possam ser admitidos como incompress´ıveis, bem como a ´agua. Estudaremos, ent˜ ao, entre outras quest˜oes, o motivo pelo qual certos corpos boiam enquanto certos corpos afundam, como elevadores hidr´aulicos funcionam e o porquˆe de n˜ ao podermos nadar em ´aguas muito profundas.

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Densidade

Come¸camos, ent˜ ao, relembrando um conceito importante a ser usado neste cap´ıtulo. A densidade ´e a raz˜ao entre a massa e o volume de um objeto, ou seja m V Assim, a densidade diz respeito `a quantidade de massa de um certo material necess´ aria para ocupar um certo volume. A ´agua tem densidade de 1g/cm3 , o que significa que precisamos de 1g de ´agua para ocupar um volume de 1cm3 , ou, invertendo o racioc´ınio, que 1cm3 de ´agua tem 1g de massa, ou seja, pesa 0, 01N . A densidade de massa tamb´em pode ser expressa pela letra µ, e pode ser chamada de massa espec´ıfica. No SI, as suas unidades s˜ao dadas por d=

[d] =

[m] kg = 3 [V ] m 1

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Press˜ ao

Na termodinˆ amica, se entende a press˜ao causada pela presen¸ca de um g´as em um certo recipiente, e como ela se relaciona com grandezas como volume e temperatura. Na hidrost´ atica, a press˜ ao ´e um conceito muito importante quando entendemos a sua rela¸c˜ ao com o conceito mecˆanico de for¸ca. Basicamente, a press˜ao ´e a distribui¸c˜ ao de uma for¸ca aplicada em uma superf´ıcie. Sendo assim, a rela¸c˜ao que temos ´e

F~ P~ = A sendo A a ´ area da superf´ıcie na qual a for¸ca ´e aplicada. A press˜ ao ´e o motivo pelo qual facas s˜ao amoladas. Afinamos o m´aximo poss´ıvel a superf´ıcie que entrar´a em contato com aquilo que queremos cortar, e, quanto menor for a ´ area de contato da faca com o objeto a ser cortado, menos for¸ca precisaremos exercer sobre a faca, pois essa for¸ca ser´a distribuida em uma area muito pequena. ´ Outra situa¸c˜ ao interessante de levar em considera¸c˜ao ´e a cama de pregos. Se, por um lado, sentimos muita dor ao pisar em um prego, n˜ao sentiremos dor se nos deitarmos lentamente sobre uma cama de pregos, pois o nosso peso ser´a dividido entre as superf´ıcies de contato de todos os pregos que nos tocarem. No SI, a unidade de press˜ao ´e dada por

[P~ ] =

[F~ ] = N/m2 [A]

A essa unidade damos o nome de Pascal (P a), que ser´a o nome usado no lugar de N/m2 . Por outro lado, existem outras unidades em outros sistemas de medida para a press˜ ao. Uma bastante conhecida, usada muitas vezes na termodinˆ amica, ´e o atm, sendo 1atm a press˜ao exercida pela atmosfera ao n´ıvel do mar, e 1atm = 105 P a. Temos ainda o mil´ımetro de merc´ urio (mmHg), usado com frequˆencia na qu´ımica, sendo 1mmHg a press˜ao exercida por uma coluna de 1 mil´ımetro de merc´ urio.

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Princ´ıpio de Pascal

Imagine uma bexiga, e ent˜ ao imagine-se pressionando levemente essa bexiga no meio. O que acontece com todas as outras regi˜oes da bexiga? Elas se expandem. Isso ocorre porque a press˜ ao que vocˆe aplica sobre o fluido dentro da bexiga (ar) ´e distribuida por esse fluido para tudo o que o cerca (o resto da bexiga). Sendo assim, cada peda¸co da superf´ıcie interna da bexiga sente a mesma press˜ao que vocˆe aplica na regi˜ ao da superf´ıcie externa que entra em contato com a sua m˜ao. 2

Esse ´e o princ´ıpio de Pascal. Toda press˜ao aplicada sobre um fluido n˜ao compress´ıvel ´e distribuida em todas as dire¸c˜oes por esse fluido. Um uso do princ´ıpio de Pascal ´e em elevadores hidr´aulicos. Imagine um recipiente completamente preenchido por algum fluido incompress´ıvel, como o da figura abaixo, sendo as regi˜oes escuras m´oveis. Aplicamos a for¸ca 1 na superf´ıcie A1, e o fluido dentro do recipiente transmite a press˜ao gerada por essa for¸ca por todas as paredes do recipiente, inclusive a superf´ıcie denotada por A2.

Sendo assim, as press˜ oes em A1 e A2 s˜ao iguais, e temos ent˜ao

P1 = P2 F1 F2 = A1 A2 Isso significa, por exemplo, que se A1 for metade de A2 , a for¸ca que A2 sentir vai ser o dobro da for¸ca que aplicarmos em A1. Esse resultado ´e usado em elevadores hidr´ aulicos, com o intuito de levantar com facilidade grandes pesos.

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Teorema de Stevin

Levando em considera¸c˜ ao a influˆencia do campo gravitacional da Terra, sabemos que os corpos s˜ ao sujeitos a uma for¸ca causada por esse campo, que age sobre todas as part´ıculas desse corpo. Se pensarmos isso para um fluido, sabemos ent˜ ao que esse fluido vai ter um peso de valor mg, e que a press˜ao que, por exemplo, uma piscina faz sobre o ch˜ao que a sustenta ´e igual ao peso de toda a´ agua dentro dessa piscina divido pela ´area de contato da piscina com o ch˜ao, como acabamos de discutir na se¸c˜ao de press˜ao. Matematicamente, podemos expressar esse resultado da seguinte maneira

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P =

mg dV g = A A

sendo d a densidade do fluido e V o volume. Por outro lado, para essa piscina, o volume ´e igual ` a´ area de sua base multiplicado pela sua altura. Ficamos ent˜ao com

P =

dAhg A

P = dgh Esse ´e o teorema de Stevin. O significado dele ´e que a press˜ao exercida por um fluido aumenta conforme aumentamos a coluna de fluido sobre o objeto pressionado. Esse ´e o motivo pelo qual rel´ogios `a prova d’´agua possuem a demarca¸c˜ ao de uma profundidade m´axima. Se um rel´ogio desses tem a demarca¸c˜ ao de 30m de profundidade, significa que ele se quebra a uma press˜ao igual ` a gerada por 30m de a´gua. Tamb´em ´e o motivo pelo qual poucos seres sobrevivem a ´ aguas muito profundas, e grande dificultador das atividades em submarinos Esse tamb´em ´e o motivo pelo qual a press˜ao atmosf´erica diminui a grandes altitudes. Em S˜ ao Paulo, por exemplo, temos 760m a menos de coluna de atmosfera para fazer press˜ ao em n´os. Outras consequˆencias envolvem o ”estalo” que sentimos nos nossos ouvidos quando subimos uma montanha e a necessidade de se pressurizar avi˜ oes. Uma observa¸c˜ ao importante ´e que a press˜ao, por exemplo, no fundo de um copo de ´ agua n˜ ao se deve somente `a ´agua nesse copo, mas tamb´em `a atmosfera. Sendo assim, ao longo do copo, temos a press˜ao descrita pela rela¸c˜ao

P = P0 + dgh sendo P0 a press˜ ao na superf´ıcie do copo, geralmente igual `a press˜ao atmosf´erica. Um caso importante do teorema de Stevin ´e o de dois l´ıquidos de diferentes densidades em um sistema de vasos comunicantes. Veja a figura a seguir. Nessa figura, devemos tomar as alturas da regi˜ao pontilhada de baixo nos dois bra¸cos como regi˜ oes que sofrem a mesma quantidade de press˜ao. Sendo assim, aplicaremos uma igualdade `as press˜oes sentidas pelos pontos nos pontilhados dos dois bra¸cos, que s˜ao causadas pelos dois diferentes l´ıquidos.

P1 = P 2 4

P0 + d1 gh = P0 + d2 gx d1 gh = d2 gx d1 h = d2 x h d2 = x d1 Sendo assim, a propor¸c˜ ao pela qual h ´e maior que x ´e a propor¸c˜ao pela qual a densidade do l´ıquido ` a esquerda ´e menor que a do l´ıquido `a direita.

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Teorema de Arquimedes

O Teorema de Arquimedes diz respeito `a intera¸c˜ao entre fluidos e corpos imersos nesses fluidos. Veja a figura abaixo, que mostra um cubo imerso em um l´ıquido.

Pelo princ´ıpio de Pascal, todas as faces do cubo est˜ao sujeitas a press˜ao da ´gua, distribuida igualmente, por´em, pelo teorema de Stevin, sabemos que h´a a uma varia¸c˜ ao do valor da press˜ao relacionada `a profundidade de cada regi˜ao na agua. ´

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Sendo assim, as faces laterais do cubo, que est˜ao todas a uma mesma profundidade, n˜ ao importar˜ ao, j´ a que a face esquerda sofre uma press˜ao para a direita igual em valor ` a press˜ ao para a esquerda sofrida pela face direita, o que anula as duas press˜ oes, e por a´ı vai. Por´em, as faces superior e inferior sofrem press˜oes, respectivamente, para baixo e para cima, com valores diferentes. Sendo assim, podemos calcular a press˜ ao resultante sofrida pelo cubo da seguinte maneira, sendo P1 a press˜ ao na face superior e P2 a press˜ao na face inferior.

PR = P2 − P1 PR = (P0 + dgh2 ) − (P0 + dgh1 ) PR = dg(h2 − h1 ) por´em, sendo h2 a profundidade na qual se encontra a face inferior do cubo e h1 onde se encontra a face superior, sabemos que essa h2 −h1 resulta na altura do cubo, que ser´ a denotada por h. Assim, a for¸ca sentida pelo cubo ser´a dada por

F = PR · A = dghA = dgV Como a press˜ ao de baixo para cima ´e mais forte que a press˜ao de cima para baixo, essa for¸ca ´e direcionada para cima, e damos a ela o nome de empuxo (E = dgV ). Essa for¸ca ´e definida pelos valores da densidade do fluido no qual o objeto se encontra, pelo valor da acelera¸c˜ao local da gravidade e pelo volume submerso do objeto, ou seja, pelo volume de l´ıquido que foi deslocado para submergir o objeto. Para definir se um objeto boia ou n˜ao em um recipiente preenchido por algum fluido, basta comparar o empuxo como o peso do objeto. Para que o objeto boie, precisamos que o empuxo seja mais intenso que o peso, e ent˜ao

E>P df luido gVobjeto > mobjeto g mobjeto df luido > Vobjeto df luido > dobjeto Ou seja, o objeto boia se for menos denso que o fluido. De maneira complementar, o objeto afunda se for mais denso que o fluido. N˜ao flutuamos na Terra porque somos mais densos que a atmosfera, e um dos motivos pelos quais aves possuem facilidade para voar ´e o fato de que possuem ossos ”aerados”, diminuindo assim as suas densidades. 6

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V´ıdeos Demonstrativos 1. Este v´ıdeo mostra uma bigorna, um objeto muito denso, boiando em um l´ıquido. Isso acontece porque o l´ıquido em quest˜ao ´e o merc´ urio, que ´e ainda mais denso que o material da bigorna. 2. O segundo v´ıdeo mostra diferentes l´ıquidos de acomodando, sendo o laranja o mais denso e o amarelo o menos denso, e objetos sendo lan¸cados para se acomodarem entre os l´ıquidos. Isso acontece porque esses objetos podem ter densidades intermedi´arias `as dos l´ıquidos. 3. Provavelmente o v´ıdeo mais interessante deste cap´ıtulo, este mostra uma fibra feita em laborat´ orio que ´e menos densa que o pr´oprio ar, e, quando a cientista puxa alguns fios dessa fibra e para de tension´a-los, eles flutuam ao inv´es de cair. 4. O u ´ltimo v´ıdeo nos mostra um g´as mais denso que o ar atmosf´erico sendo despejado sobre velas. Esse ar mais denso se p˜oe sobre as velas, que ´e a regi˜ ao mais baixa que ele tem acesso, e sufoca a combust˜ao que ocorre em cada uma dessas velas, j´a que a combust˜ao, como sabemos da qu´ımica, s´o ocorre na presen¸ca de oxigˆenio, e as velas est˜ao em contato apenas com esse novo g´ as.

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