AULA 4 - 2019 - 2 - BIOESTATÍSTICA - Versão Alunos

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Bioestatística: Aula 4 Capítulo 4: Medidas de Tendência Central Prof. M. Sc. Nelson Antônio Sá Santos

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Símbolos Matemáticos Amostra com n unidades: x1, x2, x3, ..., xi,...xn x1: primeira observação, x2: segunda observação, xi: i-ésima observação, xn: n-ésima observação. 2

Exemplo: Peso de Bebês 1º) São dados os pesos, em quilogramas, de sete recém-nascidos em um hospital, na ordem em que eles nasceram: 3,500; 2,850; 3,370; 2,250; 3,970; 2,987; 3,555. Escreva esse conjunto de dados na notação geral e identifique n.

3

Agora é com vocês.... 1º) São dadas as alturas, em centímetros, de dez recém-nascidos em uma maternidade, na ordem em que eles nasceram: 3,604; 3,000; 3,452; 3,255; 3,171; 3,332; 2,990; 3,565; 3,985; 2,987. Escreva esse conjunto de dados na notação geral e identifique n.

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 Na sequência x1, x2, x3, x4, xn, não existe ordem com relação à grandeza dos dados;

 A soma (Σ) dos valores x1, x2, x3, x4,... xn é escrita: x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn

 Menor valor não é, necessariamente, o primeiro da amostra, nem o maior valor precisa ser o último;

Ou

 Qualquer que for a amostra, os valores x1, x2, x3, ... xn estarão na ordem em que foram coletados; 5

Exemplo: A Notação de Somatório 2º) São dados os pesos, em quilogramas, de cinco recém-nascidos em um hospital, na ordem em que eles nasceram: 3,50; 2,85; 3,37; 2,25; 3,97. Calcule a soma desses pesos, mas faça a indicação da soma usando a notação de somatório.

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Agora é com vocês.... 2º) São dados os pesos, em quilogramas, de sete recém-nascidos em um hospital, na ordem em que eles nasceram: 2,99; 3,41; 4,50; 3,85; 2,37; 2,15; 2,87. Calcule a soma desses pesos, mas faça a indicação da soma usando a notação de somatório.

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Média ou Média Aritmética da Amostra Medida de tendência central mais conhecida e utilizada;

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Como se Calcula uma Média? Podem ocorrer 3 situações distintas!!!. 1a) Para um conjunto de dados:

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Exemplo 3º) Um professor de Educação Física mediu a circunferência abdominal de 10 homens que se apresentaram em uma academia de ginástica. Obteve os valores, em centímetros: 88; 83; 79; 76; 78; 70; 80; 82; 86; 105. Calcule a média da circunferência abdominal dos 10 homens.

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Agora é com vocês.... 3º) Um enfermeiro mediu o teor de glicose de 20 mulheres que comparecerem a clínica W para realizar exame de taxa de glicemia. Obteve os valores, em mg/dL: 88; 99; 105; 85; 110; 112; 84; 94; 87; 151; 100; 96; 108; 114; 115; 97; 120; 100; 99; 125. Calcule a média do teor de glicose das 20 mulheres.

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2a) Quando a amostra é grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores repetidos; Nesses casos é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências, como já visto (Aula 2).: Dados x1 x2 ... xn

Frequência f1 f2 ... fn

Total

Σf 12

Dados x1 x2 ... xn Total Dados x1 x2 ... xn Total

Frequência f1 f2 ... fn Σf

Frequência f1 f2 ... fn Σf (= f1 + f2 + ... fn)

x.f x1.f1 x2.f2 ... xn.fn Σx.f (= x1.f1 + x2.f2 + ... xn.fn) 13

Exemplo: A Média do Número de Filhos 4º) Para calcular a média do número de filhos em idade escolar que têm os funcionários de uma empresa, a psicóloga que trabalha em Recursos Humanos obteve uma amostra de 20 funcionários. Os dados estão apresentados em seguida. Como se calcula a média? Tabela: Número de filhos em idade escolar de 20 funcionários.

1 2 2 0 3

0 1 2 1 0

1 2 1 1 0

0 1 5 1 0 14

Agora é com vocês.... 4º) Para calcular a média do número de filhos em idade escolar que têm os funcionários de um hospital, o psicólogo que trabalha em Recursos Humanos obteve uma amostra de 20 funcionários. Os dados estão apresentados em seguida. Como se calcula a média? Tabela: Número de filhos em idade escolar de 20 funcionários.

1 3 2 3

0 1 1 1

1 0 0 1

0 1 5 5

6 1 3 5

2 6 3 2

3

0

0

0

2

3 15

3a) Em certos casos - principalmente quando a variável é contínua e a amostra é grande são apresentadas apenas as tabelas de distribuição de frequências - os dados brutos não são fornecidos; Para calcular a média de dados agrupados em classes, é preciso calcular o valor central de cada classe (média dos dois extremos de classe).

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Exemplo 5º) Os dados da tabela abaixo foram agrupados em faixas de peso.

Nesse caso, como se calcula a média? 17

Agora é com vocês... 5º) Dados de alturas de nascidos vivos foram agrupados nas seguintes faixas: entre 30 (inclusive) e 40 cm (exclusive) constituíram a primeira classe, entre 40 (inclusive) e 50 cm (exclusive) constituíram a segunda classe, entre 50 (inclusive) e 60 cm (exclusive) constituíram a terceira classe e entre 60 (inclusive) e 70 cm (exclusive) constituíram a quarta classe. Veja a tabela ao lado.

Tabela: Nascidos vivos segunda a altura ao nascer, em centímetros.

Nesse caso, como se calcula a média? 18

Observações A média é, de longe, a medida de tendência central mais usada e, por isso, mais conhecida; Em certas circunstâncias, porém, é melhor usar outras medidas de tendência central, como a mediana ou a moda.

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Mediana da Amostra Valor que ocupa a posição central do conjunto dos dados ordenados;

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Cálculo da Mediana da Amostra Dependerá se o conjunto de dados apresenta um número total ímpar ou par de dados: Quando o número Quando o número de dados é par, de dados é impar, existe um único existem dois valores valor na posição na posição central; a central, esse valor é mediana é a média a mediana; desses dois valores. 21

OBS.: O valor da mediana não necessita, necessariamente, ser um valor pertencente ao conjunto de números da amostra. Dado o seguinte conjunto de números ímpar: 23, 29, 20, 32, 24, 21, 33

Dado o seguinte conjunto de números par: 21, 29, 20, 32, 23, 21, 33, 25

Ordenando o conjunto de números: 20, 21, 23, 24, 29, 32, 33

Ordenando o conjunto de números: 20, 21, 21, 23, 25, 29, 32, 33

Mediana: 24

Mediana:

=

= 24; 22

A mediana divide a amostra em duas partes: uma com números menores ou iguais à mediana, outra com números maiores ou iguais à mediana; Para os seguintes conjuntos de números, cuja mediana foi igual a 24: 20, 21, 23, 24, 29, 32, 33 20, 21, 21, 23, 25, 29, 32, 33 23

Exemplo 6º) São dados os pesos, em quilogramas, de cinco recém-nascidos em um hospital na ordem em que eles nasceram: 3,500; 2,850; 3,370; 2,250; 3,970. Calcule a mediana do peso, em quilogramas, dos cinco bebês nascidos neste hospital.

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Agora é com vocês... 6º) São dados os pesos, em quilogramas, de nove recém-nascidos em um hospital na ordem em que eles nasceram: 2,989; 3,300; 2,750; 3,470; 3,300; 2,350; 3,870; 2,888; 3,100. Calcule a mediana do peso, em quilogramas, dos cinco bebês nascidos neste hospital.

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Exemplo 7º) São dados os pesos, em quilogramas, de seis recém-nascidos em um hospital na ordem em que eles nasceram: 2,987; 3,578; 3,150; 3,577; 3,150; 2,570. Calcule a mediana do peso, em quilogramas, dos seis bebês nascidos neste hospital.

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Agora é com vocês... 7º) São dados os pesos, em quilogramas, de dez recém-nascidos em um hospital na ordem em que eles nasceram: 3,025; 3,999; 3,187; 3,178; 3,450; 2,577; 3,850; 3,254; 3,000; 2,970. Calcule a mediana do peso, em quilogramas, dos seis bebês nascidos neste hospital.

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Em algumas circunstâncias a mediana mais bem descreve a tendência central dos dados do que a média; É o caso dos conjuntos com dados discrepantes, isto é, dados de conjuntos que têm um ou alguns valores bem maiores ou bem menores que os demais: 2, 7, 5, 10, 8, 1, 9, 55 42, 53, 49, 55, 47, 59, 51, 3 28

Exemplo 8º) Calcule a média e a mediana dos dados: 42, 3, 9, 5, 7, 9, 1, 9.

Ordenando os dados: 1, 3, 5, 7, 9, 9, 9, 42 Como o número de dados é par:

A média (11) é maior que a mediana (8) pois 42, que é um valor discrepante, "puxa" a média para cima. 29

Agora é com vocês... 8º) Calcule a média e a mediana dos dados: 42, 43, 49, 45, 47, 49, 41, 9.

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Observação Existem casos, porém, em que o uso da média aritmética é mais razoável do que a mediana, mesmo que haja um valor discrepante; Considere que você jogou na loteria e ganhou: • na primeira vez, x1 = R$ 0,00; • na segunda vez, x2 = R$ 0,00; • na terceira vez, x3= R$1.000.000,00. Mediana: zero (diga isso aos seus parentes); Média: 1/3 do valor de x3 (esse valor diz mais sobre seu ganho nas três tentativas); Qual medida melhor descreve o seu ganho?. 31

Moda da Amostra Valor que ocorre com maior frequência.

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Exemplo 9º) Determine a moda dos dados: 0, 0, 2, 5, 3, 7, 4, 7, 8, 7, 9, 6.

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Agora é com vocês... 9º) Determine a moda dos dados: 10, 9, 13, 15, 13, 17, 15, 17, 18, 17, 19, 16, 10, 9, 16, 14.

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 Um conjunto de dados:  Quando uma tabela de distribuição de  pode não ter moda frequências apresenta porque nenhum valor grande quantidade de se repete maior dados, é importante número de vezes: destacar a classe de 0, 2, 4, 6, 8, 10 maior frequência, a chamada classe modal;  ter duas ou mais modas:  Essa classe mostra a 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 área em que os dados estão concentrados. tem duas modas: 2 e 4.

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Exemplo 10º) Na tabela a seguir é dada a distribuição da população brasileira segundo a faixa de idade, no Censo 2000. Determine a classe modal.

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Agora é com vocês... 10º) Na tabela a seguir é dada a distribuição da população brasileira segundo a faixa de idade, no Censo 2000. Determine a classe modal.

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A moda também pode ser usada para descrever dados qualitativos; Nesse caso, a moda é a categoria que ocorre com maior frequência.

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Exemplo 11º) Veja os dados apresentados na tabela abaixo. Qual é a moda? Tabela: Distribuição de indivíduos segundo o grupo sanguíneo. Grupo sanguíneo

Frequência

O

550

A

456

B

132

AB

29

Total

1.167 39

Agora é com vocês... 11º) Veja os dados apresentados na Tabela abaixo. Qual é a moda? Grupo sanguíneo

Frequência

O

290

A

325

B

532

AB

790

Total

1.937

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Observações  Moda é bastante informativa quando o conjunto de dados é grande;  Se o conjunto de dados for relativamente pequeno (menos de 30 observações), você pode até obter a moda, mas, na maioria das vezes, ela não terá qualquer sentido prático;  Média e mediana fornecem, nesses casos, melhor descrição da tendência central dos dados. 41