Aula 4 - Radiciação - Material do aluno

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Curso Matemática do Zero Professor Rodrigo Sacramento Matemática

Radiciação  Propriedades de Radicais 1)Expoente fracionário. Se b e c são números inteiros e a é um número real:

c

√ab

=

b ac

Caso a < 0 a propriedade acima é válida somente se b for par ou c for ímpar. Ex.: 6

5 26

8

9 38

a) √25 = b)

√39

=

2)A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores. n

n

n

√a. b = √a. √b

Ex.: 3

3

3

𝑎) √4.5 = √4 . √5 Papazinho: “Essa letra b é importantíssima, pois com isso você não terá dificuldade em multiplicação de radicais”. 4

4

4

4

𝑏) √6 . √7 = √6.7 = √42 Papazinho: “Essa propriedade 2 faz todo o sentido quando aprendemos a propriedade 1, pois utilizamos as propriedades de potência”. 1 1 1 4 4 4 4 4 1 1 4 4 √6 . √7 = √6 . √7 = 6 . 7 = (6.7)4 = √(6.7)1 4

= √6.7

3)A raiz de uma divisão é igual à raiz do dividendo dividida pela raiz do divisor. 7

4 √4 𝑎) √ = 7 5 √5 7

5

√8

8 5 𝑏) 5 = √ = √4 2 √2 5

Papazinho: “Essa propriedade 3 faz todo o sentido quando aprendemos a propriedade 1, pois utilizamos as propriedades de potência”. 1 1 5 1 5 85 8 5 5 8 √8 √8 5

√2

=

5

√21

=

1 25

=( ) = √ 2 2

 Operações com radicais Radicais semelhantes Apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Ex.: 5

5

a) 8 √4 e 7 √4 7

7

b) 10 √9 e 73 √9 Adição e Subtração Só podemos somar ou subtrair radicais semelhantes.

Ex.:

5

5

5

𝑎) 12 √4 + 18 √4 = 30 √4 3

3

3

𝑏) 2 √5 − 8 √5 = −6 √5 Multiplicação e divisão Só podemos multiplicar ou dividir radicais que possuem os mesmos índices.

Ex.:

3

3

3

3

𝑎) √10 . √3 = √10.3 = √30 4

𝑏)

√16 4

√4

4

=√

16 4 = √4 4

Potência Ex.:

a)

3

( √42 ) 3

2

3

3

3

= √42.3 = √46 3

3 b) ( √2) = √22 = √4

Papazinho: ”Olha o porquê dessa propriedade”. 3 3 3 3 3 2 ( √4 ) = ( √42 ) . ( √42 ) . ( √42 ) 3

3

= √42 . 42 . 42

3

= √42+2+2 = √42.3 Raiz Ex.:

5 3

5.3 15 𝑎) √ √5 = √5 = √5

Papazinho: ”A propriedade 1 mais uma vez sendo utilizada para demonstrar” 1 5 1 1 1 1 5 11 5 5 3 5 3 1 √ √5 = √ √5 = √(53 ) = √(53 ) = (53 ) = 53.5

=

1 515

15

15 = √51 = √5

Racionalização Papazinho: “Racionalizar é tirar a raiz do denominador”.

1° Tipo: O denominador tem um único radical de índice 2. Papazinho: ”Para tirar a raiz do denominador nesse caso, devemos multiplicar a raiz do denominador por ela mesma, pois sempre que fazemos isso na raiz quadrada, o resultado é o número de dentro √5. √5 = √5.5 = √25 = 5, ou seja, é só fazer assim mesmo √5. √5 = 5”.

Ex.:

𝑎)

4 √3

=

4 √3 4√3 . = 3 √3 √3

5

5 √6 5√6 𝑏) = . = 6 √6 √6 √6

4

4

√3

4√3 4√3 𝑐) = . = = 2.3 6 2√3 2√3 √3 ou

4

4

2√3

8√3 8√3 4√3 𝑐) = . = = = 4.3 12 6 2√3 2√3 2√3

2°Tipo: O denominador tem um único radical de índice diferente de 2. Papazinho: “Para retirarmos essa raiz do denominador, temos que lembrar de 6 multiplicação de radicais, pois se temos √22 , qual é o radical que teremos de multiplicar para desaparecer com essa raiz?Se multiplicarmos assim está 6 6 6 6 6 solucionado o problema √22 . √24 = √22 . 24 = √22+4 = √26

=

2. Na prática é só olhar para o denominador √22 e ver quanto que falta para o 6

expoente de dentro se transformar no número do índice, ou seja, o expoente é 2, com isso falta 4 para ele se tornar o 6”. Assim:

3

3

6

√24

6

3 √16 6 2 = 6 2.6 4 = 2 √2 √2 √2 Ex.:

7

2

√24

7

2 √24 7 4 7 a) 7 =7 .7 = = √2 = √16 2 √23 √23 √24 2

8

√43

8

8

3 √43 3 √64 b) 8 =8 .8 = = 3 5 5 4 4 √4 √4 √4 3

3

3°Tipo: O denominador é composto pela soma ou diferença de radicais de índices 2. Papazinho: “Para tirarmos esse denominador, teremos que lembrar”: (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 2

(√5 + 2). (√5 − 2) = (√5) − 22 = 5 − 4 = 1 “Observe que a raiz foi eliminada de (√5 + 2) quando multiplicamos por (√5 − 2) que é chamado de seu conjugado, pois tem os mesmos números, porém o sinal trocado. Para tirarmos a raiz desse caso de racionalização é só multiplicar pelo conjugado no numerador e no denominador”. Ex.:

a)

3 √3 + 1

=

3

.

√3 − 1

√3 + 1 √3 − 1

=

3(√3 − 1) 2

(√3) − 12

=

3(√3 − 1) 2

Produtos notáveis Papazinho: ”São produtos que você tem que saber de cabeça para facilitar as suas contas. Lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto 2.3=3.2, então quer dizer que o 2 e 3 são fatores, com isso você entenderá o que vai acontecer a seguir”.

1° Caso: Quadrado da soma (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 Comentário... (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 “Quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” Ex.:

a)(x + 2)2 = x 2 + 2. x. 2 + 22 = x 2 + 4x + 4 b)(z 4 + 3)2 = (z 4 )2 + 2. z 4 . 3 + 32 = z 8 + 6z 4 + 9 2° Caso: Quadrado da diferença (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

Comentário... (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 “Quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” Ex.:

a)(x − 1)2 = x 2 − 2. x. 1 + 12 = x 2 − 2x + 1 b)(z 4 − 3)2 = (z 4 )2 − 2. z 4 . 3 + 32 = z 8 − 6z 4 + 9 3° caso: Produto da soma pela diferença (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 Comentário... (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 “Quadrado do primeiro menos quadrado do segundo”

Ex.:

a)(x + 4). (x − 4) = x 2 − 42 = x 2 − 16

b)(z 2 + 3). (z 2 − 3) = (z 2 )2 − 32 = z 4 − 9 4° caso: Cubo da soma (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Comentário... (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 . (𝑎 + 𝑏) = = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ). (𝑎 + 𝑏) = = 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑏 3 = = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Ex.:

a)(x + 1)3 = x 3 + 3x 2 . 1 + 3. x. 12 + 13 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 5° caso: Cubo da soma (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 Comentário... (𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)2 . (𝑎 − 𝑏) = = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ). (𝑎 − 𝑏) = = 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 3 =

= 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 Ex.:

a)(x − 2)3 = x 3 − 3x 2 . 2 + 3. x. 22 − 23 = x 3 − 6x 2 + 12x − 8 6° caso: Quadrado de um trinômio (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 Comentário... 2

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )2 = ((𝑎 + 𝑏) + 𝑐) = = (𝑎 + 𝑏)2 + 2(𝑎 + 𝑏). 𝑐 + 𝑐 2 = = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 𝑐 2 = = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 Ex.:

a) (x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz

Fatoração Papazinho: “Na fatoração você pega “algo” e coloca na forma de fator, por exemplo, se eu pegar o 6 e fatora-ló vai ficará assim 2.3, com isso ficou fatorado”.

1° caso: Evidenciação Papazinho: Quando eu tenho 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥, observe que “a” está multiplicando “x” e o “b” está multiplicando o outro “x”, então “a” e “x” são fatores, da mesma forma “b” e “x” são fatores. Tanto em “ax” como em “bx”, nós temos o “x” em comum, lembrando que o “x” é fator, então ele é um fator comum. Na evidenciação colocamos o fator comum em evidência 𝑥. (𝑎 + 𝑏). Na prática: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥. (𝑎 + 𝑏) Observe que se você fizer a distributiva o 𝑥. (𝑎 + 𝑏) que já está fatorado, pois está na forma de fatores (virou uma multiplicação), ele vai virar novamente 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥. Ex.:

a) 3xy + 6x 2 a = 3xy + 2.3. x. x. a = 3x. (y + 2xa) 𝑏) 6𝑥 2 𝑦 4 + 9𝑥 3 𝑦 3 − 12𝑥 4 𝑦 6 = 2.3. 𝑥 2 . 𝑦 4 + 3.3. 𝑥 3 . 𝑦 3 − 2.2.3. 𝑥 4 . 𝑦 6 = = 3. 𝑥 2 . 𝑦 3 . (2𝑦 + 3𝑥 − 4𝑥𝑦 3 )

2° caso: Agrupamento Separamos os termos em grupos e fazemos evidenciações sucessivas. Ex.: a) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y). (a + b) b) 8xy + 4ax − 6y − 3a = 4x. (2y + a) − 3. (2y + a) = (2y + a). (4x − 3)

3° caso: Diferença entre dois quadrados 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) Ex.:

a)x 2 − 9 = (x + 3). (x − 3) b)x 2 − 81 = (x + 9). (x − 9) Papazinho: “Qualquer diferença de dois quadrados você consegue fatorar é só fazer a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do segundo termo”. Esse termo que iremos fatorar 𝑥 − 3, ai você pensa “ Isso não é diferença de dois quadrados?”, na verdade é, pois está implícito, lembresse que é só passar a raiz quadrada no primeiro e depois no segundo que surge o

𝑎 𝑒 𝑏 𝑑𝑒 (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏).Por exemplo: 𝑎) 𝑥 2 − 9 =? Na prática para achar a fatoração nos fazemos assim, mesmo que seja na mente: √𝑎2 − √𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 com isso surge o 𝑎 𝑒 𝑏.

√𝑥 2 − √9 = 𝑥 − 3.Com isso a fatoração fica assim: 𝑥 2 − 9 = (𝑥 − 3). (𝑥 + 3). 𝑏) 𝑥 − 3 =? √𝑥 − √3 𝑥 − 3 = (√𝑥 − √3). (√𝑥 + √3) 4° caso: Trinômio quadrado perfeito 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2

Ex.:

a) x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2. x. 3 + 32 = (x + 3)2 b) z 6 − 4az 3 + 4a2 = (z 3 )2 − 2.2a. z 3 + (2. a)2 = (z 3 − 2a)2 Papazinho: “Se é uma soma de três parcelas e você quer fatorar, em primeiro lugar para verificar se é do tipo acima é só passar a raiz quadrada no primeiro e no último termo. Na prática é assim: x 2 + 6x + 9 =? 1° passo: √𝑥 2 = 𝑥 , quando você faz isso está achando o 𝑎 𝑑𝑒 (𝑎 + 𝑏)2 . √9 = 3, quando você faz isso está achando o 𝑏 𝑑𝑒 (𝑎 + 𝑏)2 . 2° passo: Depois de descobrir o 𝑎 𝑒𝑏 𝑑𝑒 (𝑎 + 𝑏)2 , faça o desenvolvimento de (𝑥 + 3)2 para ver ser realmente é a fatoração de x 2 + 6x + 9, com isso verificamos que (𝑥 + 3)2 = 𝑥 2 + 2. 𝑥. 3 + 32 = x 2 + 6x + 9

5° caso: Soma de dois cubos e Diferença de dois cubos a3 + b3 = (a + b). (a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b). (a2 + ab + b2 ) Ex.:

a) x 3 + 8 = (x + 2). (x 2 − 2x + 4) b) x 3 − 1 = (x − 1). (x 2 − x + 1)

Exercícios Extras: 1) O valor da expressão √13 + √+7√2 + √4 é: a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 2) Desenvolva: a) (a + 1)3 = b) (b - c)3 = c) (a + b + 2)2 =

3) Fatore os seguintes polinômios: a) a3b2c2 + a2b3c2 + a2b2c3 = b) 25x2 + 70x + 49 = c) 12 + 4a + 3b + ab =

4) Fatore as seguintes expressões: a) 3x + 3y b) 4x2 + 4y2 c) 3xy2 + 2x3y d) ab + ac + ad

5) Fatore as seguintes expressões: a) 2a - 4 b) 9a2 - 12a c) 10y3 - 15y2 + 20y d) x(a + b) + y(a + b)

6) Se ax2 = 14 e a + x = 9, quanto vale 3a2x2 + 3ax3?

7) Calculando 9342872 – 9342862, obtemos: a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) 0

8) A expressão mais simples de

a 2  2ab  b 2 a 2  b2

a) -1 b) 2ab c) (a+b)/(a-b) d) -2ab e) (1/a)-b 9) Se a = 16 e x = 1,25 quanto vale ax? a)

2

b) 32 c) 20 d) 16 2 e) 64 10) Qual desses números é igual a 0,064 ? a) ( 1/80 )2 b) ( 1/8 )2 c) ( 2/5 )3

é:

d) ( 1/800 )2 e) ( 8/10 )3

Gabarito: 1) A 2) a) a3 + 3a2 + 3a +1

b) b3 - 3b2 c + 3bc2- c3

3) a) a2 b2 c2 (a + b + c) 4) a) 3(x + y) 5) a) 2(a - 2)

b) 4(x2 + y2)

b) (x + 7/5)2

c) a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)

c) (3 + a) (4 + b)

c) xy(3y + 2x2)

b) 3a(3a - 4) c) 5y(2y2 - 3y + 4)

d) a(b + c + d) d) (a + b) (x + y)

6) 378 7) A 8) C 9) B 10) C

 Na prática para o Enem: 1) (Enem 2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Bücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

𝑎) 𝑠 = 𝑘. 𝑀 𝑏) 𝑠 = 𝑐) 𝑠 = 𝑑) 𝑠 = 𝑒) 𝑠 =

1 𝑘. 𝑀3 1 1 𝑘 3 . 𝑀3 1 2 𝑘 3 . 𝑀3 1 𝑘 3 . 𝑀2

2)( Enem 2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e as faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa e uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As formulas que determinam esses índices são:

ARAUJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. Indice de Massa Corporal: Um Questionamento Cientificio Baseado em Evidencias. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, n.o 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a, em

𝑐𝑚/𝑘𝑔

1 3:

a) 0,4 b) 2,5 c) 8

d) 20

e) 40

Gabarito: 1) D 2) E