Clase virtual 7 - Matemática

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INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7 

4° Ciencias Naturales - 4° Turismo

El modelo cuadrático - funciones y ecuaciones  ¡Bienvenidos/as a esta nueva clase virtual! Hasta acá trabajamos con las funciones y los gráficos cartesianos, estudiamos algunos modelos matemáticos y profundizamos en el estudio de los modelos lineales y las funciones lineales. En esta clase centraremos el análisis de la ​función cuadrática​, que permite modelizar una serie de fenómenos y situaciones. Aprenderemos acerca de los valores característicos de su expresión analítica y de su representación gráfica, y aprenderemos a resolver ​ecuaciones cuadráticas​. Esta clase tiene los siguientes ​objetivos​: ● ● ● ●

Identificar las características de las funciones y ecuaciones cuadráticas. Graficar correctamente las funciones a partir de los parámetros característicos. Proponer estrategias adecuadas de resolución de situaciones problemáticas que involucran modelos lineales. Construir aprendizajes de manera colaborativa y a partir de los aportes singulares de cada uno/a de los estudiantes.

Tomando como punto de partida esos objetivos, las actividades se valorarán a partir de los siguientes ​criterios de evaluación​: ● ● ● ● ●

Comprensión de los contenidos y desarrollo de argumentos propios. Articulación e integración de saberes del mismo u otros campos disciplinares. Participación y asistencia a las actividades de la clase (Grupo Colaborativo, encuentros sincrónicos, espacios de consulta, etc.). Resolución correcta de problemas y ejercicios de funciones y ecuaciones cuadráticas. Responsabilidad y esfuerzo en la entrega de actividades de aprendizajes, y en la resolución de la evaluación, cumpliendo las pautas sugeridas de presentación.

        Les deseo una excelente clase y saben  que estoy cerca para acompañarlos. 

Profesor Fabián G. Díaz​

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Modalidad de trabajo  En esta clase trabajaremos con dos tipos de ​actividades obligatorias​: Las ​Tareas que, en este caso, permitirán armarse de las ideas centrales de toda la clase. No tendrán que entregar actividades finales por lo que es importante que todos los integrantes del Grupo Colaborativo participen de su resolución (gran parte de la valoración de la clase depende de esto). ​Las tareas deberán realizarse en el transcurso de la primera semana de clases. Se realizará una ​evaluación individual y sincrónica​, a través del aula de Edmodo con los temas de la Clase 7. ​La evaluación es obligatoria ya que reemplaza la resolución de Actividades Finales​. Esta vez, ​su resolución y porcentajes de aciertos inciden sobre la valoración de la Clase. ​Se comunicará el horario a través del Aula de Edmodo. Para obtener la valoración conceptual “Desarrollado” deberán obtener una puntuación mínima equivalente al 60%.

   Los modelos cuadráticos  En la foto de la página anterior se observa que los chorros de agua forman unas curvas en forma de “U” invertidas. Otras tantas situaciones describen ese tipo de curvas. Por ejemplo, al lanzar una pelota de rugby o al golpear una pelota de tenis con una raqueta -sin “efecto”-, la trayectoria de la pelota es una curva en forma de “U”, con mayor o menor apertura.

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INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7  Esas formas geométricas se llaman ​parábolas y son curvas que surgen de seccionar un cono con un plano, tal como se observa en el siguiente video.

https://www.youtube.com/watch?v=TN6mudrIdbk Pero en esta clase no centraremos la atención en la parábola como objeto geométrico. Analizaremos las funciones cuya gráfica es una parábola y las aplicaremos a algunas situaciones en las que construiremos modelos matemáticos cuyo gráfico tiene forma de parábola. Analicemos la siguiente situación: 

Las funciones cuadráticas (primera parte) Las funciones cuadráticas son aquellas en las que la variable independiente (es la que habitualmente llamamos “x”, aunque sabemos que puede ser otra letra) está elevada al cuadrado. Por ejemplo, las funciones f, g y h que les comparto a continuación son cuadráticas:

En general, una función cuadrática es una expresión de la forma:

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INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7  donde ​ax​2 es el término cuadrático, ​bx es el término lineal y ​c​, ​el término independiente (o, como vimos anteriormente, la ordenada al origen). En esos términos, ​a​, ​b y ​c son números reales cualesquiera que se llaman ​coeficientes​. Veamos ahora, ¿cuánto valen ​a​, b ​ ​ y ​c​ en los ejemplos anteriores? a) En la función:

los valores de los coeficientes son: a = -2 b=0 c=0 Observen que, cuando “no aparece” el coeficiente, sabemos que su valor es cero. b) En la función:

los valores de los coeficientes son: a=3 b = -1 c=4 c) En la función:

para saber los valores de los coeficientes, debería resolver el cuadrado y aplicar, luego, la propiedad distributiva:

recuerden que para desarrollar el cuadrado podemos usar la fórmula:

Entonces, el desarrollo algebraico será:

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Luego, resolvemos las cuentas y, aplicando propiedad distributiva, multiplicamos por dos al “contenido” del paréntesis, nos queda:

Una vez expresada de esta manera, podemos obtener los coeficientes de la función: a=2 b = -4 c=2

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado son aquellas en las que el máximo exponente de la variable es 2, es decir, está elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática completa es de la forma:

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¿Cómo se resuelve una ecuación de este tipo?

Si tratan de resolver una ecuación como esta, despejando tal como hacemos siempre, se van a encontrar con la dificultad de que, si despejan, siempre les van a quedar “x” y “x​2​” sin poder simplificar o eliminar. ¿Cómo podemos hacerlo entonces?

La fórmula resolvente o fórmula de Bhaskara  Para  resolver  una  ecuación  cuadrática  completa  (o  incompleta)  podemos  utilizar  una  estrategia  que  desarrolló  un  matemático  indio  conocido  como  Bhaskara  (1114-1185),  quien  estudió  los  desarrollo  acerca  de  la  resolución  de  ecuaciones  del  matemático  árabe 

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INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7  al  que  podemos  considerar  el  padre  del  Álgebra:  Abu  Abdallah  Muhammad  ibn  Musa  Al-Khowarizmi (780-850).  Si “traducimos” la estrategia de Bhaskara a una fórmula sería lo siguiente: 

  donde  a,  b  y  c  son  los  coeficientes  de  la  ecuación.  Esta  expresión  se conoce como ​fórmula  resolvente​ o ​fórmula de Bhaskara​.    Los  signos  +/-  que  aparecen  delante  de  la  raíz  en  la  fórmula  indican  que  debemos  desdoblar la resolución: 

   

TAREA 1   (Para  resolver  durante  la  primera  semana,  ​del  viernes  9/10  al  viernes 16/10​).  Actividad  1:  ​Esta  actividad  ​es  individual​,  ​no  se  entrega,  ​pero  es  fundamental  resolverla​ en sus carpetas para las próximas Tareas de la Clase y la Evaluación.  Vean el video del canal de YouTube Susi Profe:

https://www.youtube.com/watch?v=IGhjsc8lEKY

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INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7  a) Elijan un ejemplo, resuélvanlo y expliquen en sus carpetas el “paso a paso” de la resolución. b) Transcriban los otros ejemplos resueltos que propone la profe Susi en el video. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Actividad 2  ● Esta  actividad  es  ​grupal  y  ​se  resuelve  y  entrega  en  el  Grupo  Colaborativo.  Resuelvan,  utilizando  la  fórmula  de  Bhaskara,  las  siguientes  ecuaciones  cuadráticas: 

  Actividad 2  ● Esta  actividad  es  ​grupal  y  ​se  resuelve  y  se  entrega  en  el  Grupo  Colaborativo.  Traduzcan  del  lenguaje  coloquial  al  simbólico  y  resuelvan  la  ecuación  por  la  fórmula de Bhaskara.  a) El  producto  entre  el  anterior  de  un número y su siguiente es ochenta. ¿Cuál  es ese número?  b) Encontrar  el  número  que  cumple  que  la  diferencia  entre  su  cuadrado  y  su  anterior es 31.   c) Si  al  cuadrado de un número se le suma su triplo el resultado es 44. ¿Cuál es  el número buscado? 

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Reflexiones sobre lo trabajado hasta ahora (no son  preguntas para responder por escrito; solo para pensar y  actuar en consecuencia)…  ●

¿Cómo venís hasta acá? ¿Entendiste cómo usar la fórmula de Bhaskara? ¿Qué necesitás preguntar? ¡Recordá que podés hacer consultas en el Grupo  Colaborativo de Edmodo! 

 

Las funciones cuadráticas (segunda parte) Ya sabemos qué son las funciones cuadráticas pero, ¿cómo las podemos graficar? ¿Qué información necesitamos para ello? El siguiente esquema-resumen1 presenta todo lo que podés calcular en una función cuadrática y cómo interpretarlo en un gráfico.

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Effenberg, P. (2019). ​Matemática IV (p.99)​. Buenos Aires, Edicones Mandioca.

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TAREA 2  (Para  resolver  durante  la  primera  semana,  ​del  viernes  9/10  al  viernes 16/10​).    Actividad 4  ● Esta  actividad  ​es  individual​,  ​no  se  entrega,  ​pero  es  fundamental  resolverla  en sus carpetas para  las próximas Tareas de la Clase y la  Evaluación.  Vean el video del canal de YouTube Susi Profe:

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https://www.youtube.com/watch?v=J3qQWvxqFI4 a) Elijan uno de los casos que resuelve y grafica. Transcríbanlo a sus carpetas y, nuevamente, expliquen el “paso a paso” de la resolución. b) Transcriban el ejemplo propuesto en el esquema-resumen de la página anterior. Analicen las similitudes y diferencias en el estilo de resolución de la profe Susi y lo que propone el autor en ese esquema. ¿Cuál les resultó más fácil? ¿Por qué? c) A partir del esquema-resumen anterior, ¿cómo se calcula el discriminante? ¿Para qué sirve? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Actividad 5  ● Esta  actividad  es  ​grupal  y  ​se  resuelve  y  se  entrega  en  el  Grupo  Colaborativo.  Determinen  las  raíces,  el  eje  de  simetría,  el  vértice  y  la  ordenada  al  origen.  A  partir  de  esos  valores,  grafiquen  las  siguientes  funciones.  en  cada  caso,  suban  la  resolución hecha “ a mano” y la verificación realizada con el GeoGebra.: 

  Actividad 6  ● Esta  actividad  es  ​grupal  y  ​se  resuelve  y  entrega  en  el  Grupo  Colaborativo.  Calculen  el  discriminante  en  cada  caso  y  determinen,  a  partir  de  ese  resultado,  cuántas raíces reales posee cada una de las siguientes funciones cuadráticas. 

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¡No te olvides que el miércoles 28/10, a las  11 hs, tenemos la evaluación!  Durante  la  segunda  semana  será  obligatorio  que  reentreguen  las  tareas  que  presenten  errores.  También  es  importante  que  realicen  consultas  a  través del Grupo de Edmodo y se preparen para la evaluación.      La  evaluación  reemplaza  las  actividades  finales  y  no  solo se valorará  la resolución sino los resultados que obtengan:  ● Entre el 0% y el 30% de respuestas correctas: ​No desarrollado​.  ● Entre el 30% y el 60% de respuestas correctas: ​En desarrollo​.  ● Entre el 60% y el 80% de respuestas correctas: ​Desarrollado​.  ● Más del 80%: ​Altamente desarrollado​.

A modo de cierre 

En esta clase terminamos el desarrollo de las funciones que iniciamos ya hace varias clases atrás. Es uno de los temas que, por su importancia, dan origen a una rama de la matemática: el ​Cálculo Diferencial e Integral​ o ​Análisis Matemático​. Las funciones cuadráticas permiten modelizar una infinidad de situaciones y, si bien los límites de este tipo de propuestas -en la distancia y la virtualidad- nos impiden una mayor profundización, en esta clase sentamos las bases de lo central de las ecuaciones y las funciones cuadráticas. En esta clase, además, incorporamos las evaluaciones sincrónicas como herramienta de valoración de los aprendizajes que cada uno/a de ustedes. Esta modalidad nos permitirá, Profesor Fabián G. Díaz 11 

INSTITUTO JUANA MICONO DE GIARDINO  MATEMÁTICA - CLASE VIRTUAL 7  además, realizar las evaluaciones integradoras que les permitan a ustedes acreditar los saberes de este año de trabajo tan singular. Ya nos queda poco y todos sentimos el peso del esfuerzo realizado. Si bien este no es el escenario “ideal”, con el trabajo compartido logramos sostener una forma sistemática de enseñanza y de aprendizaje. Este es un logro de todas y todos nosotros. En un año muy particular, con los primeros impactos sostenidos de la pandemia en nuestras localidades, en nuestras familias y entre nuestros amigos, los sigo invitando a ser sumamente cuidadosos y respetuosos de las medidas sanitarias que nos ayudan a combatir este virus. Que la Virgen Niña nos sostenga y nos proteja.

¡Nos vemos y nos leemos en la próxima clase  virtual de Matemática! 

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