Emanuelle Cristina - EM_1ano_semana 2

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SEMANA 2 Relação entre perímetros ou entre áreas de triângulos semelhantes Primeiro vamos recordar como é calculada a razão de semelhança entre os triângulos semelhantes. Dados dois triângulos semelhantes, a razão k de semelhança é calculada pela razão entre os lados homólogos (correspondentes). Determine a razão de semelhança entre os triângulos ABC e DEF.

Logo, a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo DEF é igual 3. Exemplo 1 Os triângulos I, II e III são semelhantes.

Vamos calcular as razões de semelhança entre os triângulos.

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Razão de semelhança de I para II. 10 8 6 = = =2 k= 5 4 3

Razão de semelhança de II para I. 5 4 3 1 = k= = = 10 8 6 2

Razão de semelhança de III para II. 15 12 9 k= = = =3 5 4 3

Razão de semelhança de II para III. 5 4 3 1 = k= = = 15 12 9 3

Razão de semelhança de III para I. 15 12 9 3 k= = = = 10 8 6 2

Razão de semelhança de I para III. 10 8 6 2 = k= = = 15 12 9 3

Com as medidas dos seus lados, vamos construir a seguinte tabela. Triângulo

Perímetro

Área

I

24

24

II

12

6

III

36

54

Razão

I para II

III para II

III para I

II para I

II para III

I para III

de semelhança

2

3

3 2

1 2

1 3

2 3

entre os perímetros

24 =2 12

36 =3 12

36 3 = 24 2

12 1 = 24 2

12 1 = 36 3

24 2 = 36 3

entre as áreas

24 =4 6

54 =9 6

54 9 = 24 4

6 1 = 24 4

6 1 = 54 9

24 4 = 54 9

A partir dos dados do quadro acima é possível observar que a razão entre: • •

os perímetros é igual a razão de semelhança; as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Exemplo 2 A figura mostra o suporte lateral de um equipamento de ginástica, sendo ĪķÐďĮÐæĉÐĊĴďɁABɁĉÐÌÐǧǟÆĉșďĮÐæĉÐĊĴďɁADɁĉÐÌÐǠǡǟÆĉșďĨÐīòĉÐĴīď ÌďĴīð¶ĊæķăďɁABCɁĉÐÌÐǡǥǟÆĉșÐďĮĮÐæĉÐĊĴďĮɁɁÐɁ#'ɁĮÃďĨ­ī­ăÐăďĮȘ sķ­ăďĨÐīòĉÐĴīďÌďĴīð¶ĊæķăďɁADEșÐĉÆÐĊĴòĉÐĴīďĮȟ Resolução. Observamos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes (teorema fundamental da semelhança). 1º passo: Calcular a razão de semelhança triângulo ABC: k =

k

do triângulo ADE para o

AD 120 = = 1,5. AB 80

2º passo: Para calcular o perímetro do triângulo ADE, vamos multiplicar o perímetro de ABC pela razão de semelhança. Perímetro de ADE = 260 x 1,5 Perímetro de ADE = 390 cm.

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Exemplo 3 Dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é 4. Se a área do triângulo menor mede 10 cm2șĪķ­ăÑ­ĉÐÌðÌ­Ì­®īЭÌďĴīð¶Ċæķăďĉ­ðďīȟ Resolução. Considerando a área do triângulo maior igual a x e sabendo que a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, temos:

x

10

= 42

x = 42 x 10 x = 160 cm2

ATIVIDADES Agora é sua vez! Resolva os problemas a seguir.

5 1 – (Banco de itens) Os triângulos da figura são semelhantes e a razão entre eles é dada por AB = . 3 DE Se a área do triângulo ABC é 75 m2șĪķ­ăÑ­®īЭÌďĴīð¶Ċæķăď#'9ȟ a) b) c) d)

27m2. 45m2. 125m2. 208m2.

2 – (Banco de itens) Dois triângulos retângulos T1 e T2 são semelhantes. A medida da hipotenusa de T1ɁÑ o triplo da medida da hipotenusa de T2. Com relação a esses dois triângulos, são feitas as seguintes afirmativas, que podem ser verdadeiras ou falsas. Classifique-as. I. O perímetro de T1ɁÑĴīÔĮŒÐšÐĮďĨÐīòĉÐĴīďÌÐ}2Ș II. A área de T1ɁÑĊďŒÐŒÐšÐĮ­®īЭÌÐ}2. Com relação a essas afirmativas, é correto afirmar que a) ambas são verdadeiras. b) ambas são falsas. c) somente I é verdadeira. d) somente II é verdadeira.

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3 – (Banco de itens) Na figura, todos os triângulos são equiláteros e o triângulo BMC tem 10 cmǡɁde área.

Os pontos B e C são os pontos médios de AD e AE, respectivamente. Os pontos D e E são, respectivamente, os pontos médios de AF e AL. Já os pontos M e K são os pontos médios de DE e FL, respectivamente. Desse modo, a área da figura colorida de cinza é, em centímetros quadrados, igual a a) 50. b) 60. c) 70. d) 90. 4 – (Banco de itens) Os triângulosɁɁÐɁEFGɁĮÃďĮÐĉÐăì­ĊĴÐĮșɁABɁɒǢÆĉÐɁEHɁɒǣșǤÆĉȘ

Utilizando os dados fornecidos, a razão perímetro ABC é igual a perímetro EFG a) 1

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b)

2 3

c)

1 3

d)

1 4

5 – (Banco de itens) Em uma praça, há dois canteiros em forma de triângulo, como mostra a figura, onde os lados MN e PQ são paralelos. Sabe-se que a medida do lado OQ é igual ao triplo da medida do lado OM, e que a área do triângulo menor é igual a 10 m2.

Desse modo, a área, em metros quadrados, do triângulo maior é igual a a) 30. b) 60. c) 70. d) 90. 6 – (Banco de itens) Sejam os triângulos T1 e T2 semelhantes. Se a relação entre suas áreas S1 = 16, a S2 P1 relação entre os perímetros é P2 a) 4. b) 8. c) 16. d) 256.

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