EP NÚMEROS RACIONAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS

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EP NÚMEROS RACIONAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS Prezados alunos, Nós já estudamos sobre números racionais nas aulas 4 e 5 e também já trabalhamos sobre o ensino de frações e operações de adição e subtração com racionais usando réguas de frações. Agora vamos tratar dos racionais enfocando as dízimas periódicas. Conforme já vimos, os números racionais são aqueles que podem ser representados por frações em que o númerador e o denominador são números inteiros (lembramos que o denominador deve ser não nulo). Para encontrar a representação decimal de uma fração basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador (você colocará isto em prática na primeira questão abaixo). Já para transformar decimais em frações, o método é bem simples, sendo necessário apenas escrever os algarismos que estão presentes na forma decimal no numerador e colocar no denominador uma potencia de 10 que tenha tantos zeros quantas fores forem as casas decimais depois da vírgula em seu número (por exemplo, 1,32 = 132/100). Contudo, quando surgem as dízimas periódicas essas conversões se tornam mais misteriosas... o que extamente é 1,323232...? É possível representar este número como fração? Como se faz isso? Talvez você tenha visto na escola algumas regras para lidar com esse tema, mas para deixar tudo bem claro e compreensível, vamos trabalhar com algumas questões.

Quest˜ ao 1. Represente na forma decimal os n´ umeros racionais dados pelas fra¸c˜oes: a) 12/5 b) −27/18 1

c) 2/6 d) 1998/6000 Vocˆe pode observar no exerc´ıcio acima que os dois u ´ltimos itens tˆem respostas parecidas. Por´em fique atento, h´a um detalhe muito importante. Uma delas ´e um n´ umero com expans˜ao decimal finita, enquanto a outra ´e uma d´ızima peri´odica, isto ´e, tem uma expans˜ao decimal que se repete infinitamente. Vocˆe ´e capaz de efetuar a subtra¸c˜ ao destes dois resultados para encontrar a diferen¸ca entre eles? Se o fizer ver´a que ´e um n´ umero bem pequeno (menor que 0,01). Por que os resultados s˜ao t˜ao pr´oximos se estamos dividindo, em um caso, dois n´ umeros pequenos (2 e 6) e em outro dois n´ umeros grandes (1998 e 6000)? Vocˆe tem alguma id´eia? A reposta a esta pergunta est´a relacionada `as propor¸c˜oes: 2 representa um ter¸co de 6, e 1998 est´a bem pr´oximo de 2000, que tamb´em representa um ter¸co de 6000. Quando dividimos dois n´ umeros estamos buscando a propor¸c˜ ao entre eles. Vamos fazer mais uns exerc´ıcios com d´ızimas.

Quest˜ ao 2. Represente na forma decimal os n´ umeros racionais dados pelas fra¸c˜oes: a) 7/9 b) 4/33 c) 44/3 d) 16/11 e) 20/7 Como estamos vendo, n˜ao h´a nada de milagroso nas d´ızimas peri´odicas, elas surgem naturalmente nas divis˜oes (felizmente a linguagem matem´atica nos permite colocar os trˆes pontinhos para indicar que a expans˜ao segue se repetindo, sen˜ao ter´ıamos que passar a vida toda escrevendo os n´ umeros e nunca terminar´ıamos a divis˜ao). Entretanto, vocˆe poderia me fazer a seguinte pergunta: “Est´a bem, professora,

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sei transformar uma fra¸c˜ ao em n´ umero decimal e isso pode gerar uma d´ızima. Mas o que eu fa¸co se jogarem na minha m˜ao a d´ızima e me pedirem para achar a fra¸c˜ao correspondente?” Essa pergunta seria muito pertinente! J´a foi tema de alguns concursos, mais adiante encontraremos duas quest˜oes de provas p´ ublicas que pediam isso. Os m´etodos que nos ensinam no col´egio s˜ao quase imposs´ıveis de serem lembrados, h´a uma f´ormula misteriosa que diz que temos que por tantos noves embaixo, e tantos zeros em cima. Vamos esquecer isto tudo e vou mostrar para vocˆe como ´e f´acil o “truque” para responder a estas quest˜oes. Para isso vou resolver explicando os dois primeiros itens da quest˜ao a seguir.

Quest˜ ao 3. Para cada item da quest˜ao anterior, tome a d´ızima peri´odica obtida e converta novamente para fra¸c˜ao. a) Solu¸c˜ao: A d´ızima que t´ınhamos era 0,77777777... Vamos chamar este n´ umero de x: x = 0, 777777 . . . Nosso objetivo ´e dar um fim na infinidade de casas decimais. Observe o que acontece quando eu multiplico este n´ umero por 10: x = 0, 777777 . . . 10x = 7, 777777 . . . Agora, se vocˆe subtrair o segundo do primeiro, ter´a dado o passo m´agico para eliminar as casas decimais: 9x = 7 E ent˜ao j´a sabe qual ´e a fra¸c˜ao que representa x? x = 7/9, ´e claro! O macete foi multiplicar por 10 e subtrair fazendo desaparecer a infinitude de casas decimais. Vamos tentar com o segundo item.

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b) Solu¸c˜ao: Se vocˆe fez a divis˜ao corretamente, encontrou a d´ızima 0,12121212. . . . Vamos fazer o mesmo que antes, chamemos este n´ umero de x e vamos multiplic´a-lo por 10: x = 0, 12121212 . . . 10x = 1, 21212121 . . . Ops, se vocˆe olhar bem, vai ver que a coisa n˜ao est´a t˜ao boa para fazer a subtra¸c˜ao e matar as casas decimais... Elas n˜ao est˜ao bem alinhadas, x tem uma repeti¸c˜ao de 12 e 10x tem uma repeti¸c˜ao de 21. E agora? Veja o que acontece se em vez de 10x, usarmos 100x:

x = 0, 12121212 . . . 100x = 12, 1212121 . . . Ufa, muito melhor, n˜ao? Agora podemos facilmente subtrair 100x − x e descobrir que 99x = 12. Da´ı, descobrimos que x = 12/99. Se vocˆe simplificar a fra¸c˜ao encontrar´a a mesma fra¸c˜ao que tinha na quest˜ao anterior, 4/33. Agora vocˆe tem que tentar fazer os outros itens, mais fique atento, alguns podem ser desafiadores. Quest˜ ao 4. A quest˜ao a seguir foi parte do concurso da Secretaria da Fazenda do estado de Amazonas em 2005. Tente resolver. (SEFAZ – AM –2005) A fra¸c˜ao que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . ´e: (A)

3012 99

(B)

3012 999

(C)

3012 9999

(D)

2982 990

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(E)

2982 999

Quest˜ ao 5. Outra quest˜ao de concurso p´ ublico, esta para a Agˆencia Nacional de Transportes Terrestres. (ANTT-2005) Ao fazer uma divis˜ao entre dois n´ umeros inteiros, numa calculadora, Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divis˜ao feita por Josimar. (A) 999/1234 (B) 1000/1234 (C) 12/34 (D) 12341234/9000000 (E) 1234/9999

GABARITO Quest˜ ao 1. Solu¸c˜ao: a) Fazendo a divis˜ao obtemos 12/5 = 2, 4. b) Fazendo a divis˜ao obtemos −27/18 = −1, 5. c) Fazendo a divis˜ao obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . . d) Fazendo a divis˜ao obtemos 1998/6000 = 0, 333. Quest˜ ao 2. Solu¸c˜ao: a) Fazendo a divis˜ao obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . . b) Fazendo a divis˜ao obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . . c) Fazendo a divis˜ao obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . . d) Fazendo a divis˜ao obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . . e) Fazendo a divis˜ao obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . .

Quest˜ ao 3. Solu¸c˜ao: a) Resolvido na lista. b) Resolvido na lista. c) A d´ızima que devemos converter ´e 14,66666. . . . Se x = 14, 66666 . . . , ent˜ao 10x = 146, 66666 . . . e 9x = 146, 666 · · · − 14, 666 · · · = 132. Portanto, x = 132/9. Simplificando a fra¸c˜ao, obtemos x = 44/3. d) A d´ızima ´e 1,454545. . . . Se x = 1, 454545 . . . ent˜ao 100x = 145, 454545 . . . e 99x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 · · · = 144. Logo, x = 144/99, que simplificando resulta em 16/11. e) A d´ızima ´e 2,857142857142857142. . . . Se vocˆe j´a entendeu porque ´e que `as vezes temos que encontrar 10x e ou.tras vezes temos que encontrar 100x, ent˜ao vocˆe j´a sabe o que fazer... Vamos ter que multiplicar x por 1.000.000 para que quando subtraiamos x, a parte decimal desapare¸ca: Se x = 2, 857142857142857142 . . . ent˜ao 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e 999.999x = 2.857.140. Da´ı, x = 2.857.140/999.999. Essa ´e a reposta correta, mas se vocˆe quiser simplificar a fra¸c˜ao para chegar em 20/7 sugiro que divida o numerador e o denominador por 142.857 (uma calculadora ajuda).

Quest˜ ao 4. Solu¸c˜ao: Se x = 3, 0121212 . . . , ent˜ao 100x = 301, 212121 . . . e 99x = 301, 212121 · · ·−3, 012121 · · · = 298, 2. Logo, x = 298, 2/99 que ´e o mesmo que 2982/990.

Quest˜ ao 5. Solu¸c˜ao: Temos que multiplicar o n´ umero do Josimar por 10.000: Se x = 0, 123412341234 . . . , ent˜ao 10000x = 1234, 123412341234 . . . e 9999x = 1234. Logo, x = 1234/9999.