Estatistica Basica

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Capítulos (conteúdos)

Indice

Página

Apresentação

3

O que é Estatística?

4

Cap. 1 - Conceitos fundamentais

4

Cap. 2 – Arredondamento de dados

5

Critério de Arredondamento de dados

6

Cap. 3 – Freqüências

8

Freqüências absoluta e absoluta acumulada

8

Freqüências relativa e relativa acumulada

9

Cap. 4 – Saiba um pouco mais

11

A Estatística é o melhor calmante

11

O que derruba uma aeronave?

11

Cap. 5 – Distribuição de freqüência

12

Cap. 6 – Representação gráfica

14

Gráfico de Colunas e de Barras

14

Histograma

15

Gráfico de Setores

16

Cap. 7 – Medidas de Tendência Central

18

Média Aritmética

19

Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes

21

Mediana

21

Moda

22

Cap. 8 – Medidas de Dispersão

23

Desvio padrão e variância

23

Zona de normalidade

24

Bibliografias

25 -2-

Apresentação Caros alunos e professores, este material visa proporcionar um aprendizado mais dinâmico e simplificado no estudo de Estatística e também mais momentos de participação e acompanhamento na confecção dos exercícios e aprendizado efetivo, de uma forma simples e direta. A Estatística nos dias de hoje é uma ferramenta indispensável para os cursos técnicos em geral, pois é aplicável em qualquer área de conhecimento, porém caberá ao professor fazê-lo bom uso e não ser somente a única ferramenta de trabalho, sendo indispensável adaptá-la com outras fontes paralelas de estudo ( jornais, revistas, computador, pesquisas, etc. ). Quaisquer dúvidas e sugestões entre em contato via e-mail: [email protected].

Bom estudo!

Professor Valdeci (Agosto/2002) -3-

O que é Estatística?

ESTATÍSTICA

De origem muito antiga, a Estatística teve durante séculos um caráter meramente descritivo e de registro de ocorrências. As primeiras atividades datam de cerca de 2000 a.C. e refere-se a iniciativas como o recenseamento das populações agrícolas chinesas. No início do século XIX, os estudos estatísticos ganharam a contribuição de grandes matemáticos. Nos trabalhos de dois deles, o francês Simon Laplace e o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), surge a idéia de “distribuição normal de freqüência”. Essa idéia levou a uma teoria muito útil para fazer previsões. A teoria da distribuição normal foi usada pelo astrônomo e matemático belga Adolphe Quételet (1796 – 1874), no estudo estatístico de diversas características das populações humanas: altura, peso, natalidade, mortalidade, renda mensal, etc. Fisher (1890 – 1962) – Ronald Aylmer Fisher, geneticista e estatístico britânico, concentrou seus estudos na genética das populações, campo em que obteve importantes resultados, sendo considerado um dos grandes criadores do neodarwinismo. Na Estatística trabalhou com ajustes de curvas de freqüências, com coeficientes de correlação, os chamados coeficientes de Fisher, na análise de variância e nas técnicas de estimação de um parâmetro. Influenciado pelos trabalhos de Karl Pearson, outro importante geneticista e estatístico britânico, Fisher utilizou os resultados que obteve na Estatística como ferramentas para aplicação nos seus estudos de genética, sendo hoje considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatística e na Estatística aplicada à Biologia. A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados , sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados. Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação atual provém de pesquisas e estudos estatísticos.

Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais

População e Amostra – Em Estatística ao estudarmos um conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrências, podemos considerar todo o conjunto, chamado de população, ou parte deste conjunto, chamado de amostra. Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre Flamengo, Botafogo, Atlético Mineiro e Grêmio, sendo realizado em um único dia, no Maracanã. Se quisermos saber qual é a composição da torcida que está no estádio, podemos desenvolver o estudo entrevistando: · o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio (população); · ou parte desse conjunto de torcedores (amostra). Portanto: População são grupos, geralmente numerosos de mesmas características que podem ser estudados estatisticamente. Exemplos: 48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola; Clubes campeões paulistas de futebol, etc. Amostras são partes de grupos de mesmas características, que geralmente são muito numerosos e que para ser verificado em sua totalidade seria muito dispendioso. Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos; 2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinião política, etc. -4-

Capítulo 2 – Arredondamento de dados Se pedirmos a diferentes pessoas que meçam um segmento, certamente obteremos resultados diversos. Alguns poderão dar como resposta 3,4 cm, outros, 3,5 cm. Quem poderá nos garantir que tal medida não seria 3,45 cm ou 3,449 cm? A medida que encontraremos vai depender de quem a efetuou e do instrumento utilizado. Qualquer medição, por mais bem feita que seja, sempre nos dará um resultado aproximado. Assim, também cálculos que envolvem divisões nem sempre resultam em números exatos. Observemos o resultado de 146 : 99. O número 1,474747... envolve uma dízima periódica. É, portanto, um número decimal não-exato. Para calcularmos o valor da expressão 3,578 + 146 : 99, poderíamos pensar em usar apenas três casas decimais, considerando: · Um número menor que o valor real: 3,578 + 1,474 = 5,052 · Um número maior que o valor real: 3,578 + 1,475 = 5,053 Nos dois casos estaríamos cometendo erros: para menos, no primeiro, e para mais no segundo. O erro é a diferença entre o valor real do número e o valor considerado. A quantidade de algarismos a conservar após a vírgula depende do problema que estamos resolvendo. O erro de 0,5m na medida do comprimento de uma rua é diferente do erro de 0,5m na medida do comprimento de uma sala. Vejamos isso por meio de duas situações práticas: Exemplo: a) Um funcionário da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relação às medidas obtidas. O portão da casa do Sr. Francisco está a 21,5 m do início da rua, no lado dos números ímpares. O funcionário dá o número 21 à residência em questão. Cometeu, assim, um erro de 0,5 m. b) Um operário mede o comprimento de uma sala, para a colocação de um carpete em seu piso. A medida obtida é 3,5 m. O operário anota 3m, cometendo, portanto, um erro de 0,5m. Nos dois exemplos, o número que representa os erros é o mesmo, mas o significado dos erros cometidos é diferente, uma vez que as situações são diversas. Continuemos nosso raciocínio completando o problema do exemplo b: o operário, ao medir a sala, obteve comprimento 3,5 m e largura 2,3 m. Assim, a área do piso da sala é 3,5 m . 2,3 m = 8,05 m2. O erro de 0,5m cometido pelo operário na anotação da medida levará ao seguinte cálculo de área: 3 m . 2,3 m = 6,9 m2 O erro na medida da área seria, portanto, de: 8,05 m2 – 6,9 m2 = 1,15 m2 Você já deve ter percebido que devemos ter certo cuidado no arredondamento de dados. Deve ter notado também a importância do arredondamento e da definição de critérios para reduzir o efeito dos erros. Convém notar que as formas de representação 2; 2,0 e 2,00 não são equivalentes. -5-

O valor “2” está compreendido entre os valores 1,5 e 2,5: -----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|----1 1,5 2 2,5 3 O valor “2,0” está compreendido entre 1,95 e 2,05: -----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|----1,9 1,95 2,0 2,05 2,1 O valor “2,00” está compreendido entre 1,995 e 2,005: 1,995 2,005 -----|--------------------|----------|----------|----------|----------|--------------------|----1,98 1,99 2,00 2,01 2,02

Critério de Arredondamento de Dados

A definição de critérios para considerar números próximos aos que representam os valores reais é necessária par reduzir ao mínimo os efeitos dos erros. Exemplos: a) O melhor arredondamento para o inteiro mais próximo de 72,8 seria 72 ou 73? Veja o esquema abaixo: ----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|---------72 72,8 73 Vemos que 72,8 está mais próximo de 73. Considerando 73, o erro será: 73 – 72,8 = 0,2 Considerando 72, o erro será: 72,8 – 72 = 0,8 No segundo caso o erro é maior. Conclui-se que será melhor a aproximação (arredondamento) para 73. b) Qual o melhor arredondamento do número 72,814 com aproximação par o décimo mais próximo? (chamamos “aproximação para o décimo mais próximo” o arredondamento do número considerando a casa dos décimos, ou seja, considerando uma casa decimal.) 72,814 ----------|----------|-----|-----|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|--------72,8 72,9 Vemos que 7,814 está mais próximo de 72,8. Seu arredondamento para o mais próximo é, então, 72,8. c) Aproximar 72,814 para o centésimo mais próximo (2 casas decimais). ---------|--------------------------------|----------|-------------------------------------------|--------------72,81 72,814 72,815 72,82 -6-

A aproximação para o centésimo mais próximo é 72,81 porque está mais próximo do que 72,82 (o erro é menor). d) Qual é a melhor aproximação do número 72,815 para o centésimo mais próximo? ---------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|--------------72,81 72,815 72,82 Deparamos agora com um número que tem a mesma distância tanto de 72,81 de 72,82. Na prática, costuma-se aproxima o algarismo que precede o 5 para o número par mais próximo. Assim, a aproximação de 72,815 para o centésimo mais próximo é 72,82. Esta prática é valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados por arredondamento. Vejamos o exemplo seguinte: e) Adicionar os números: 7,35 + 8,65 + 3,25 + 3,15 + 2,95 + 0,75 e 4,85. Solução: · Adicionamos diretamente (sem arredondamento): total = 30,95 · Com arredondamentos para décimos considerando o número par no algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,6 + 3,2 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,8 = 31,0 · Com arredondamentos para décimos acrescendo 1 ao algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,7 + 3,3 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,9 = 31,3 O erro no segundo processo é 31,0 – 30,95 = 0,05 e no terceiro processo é 31,3 – 30,95 = 0,35. Logo o segundo nos leva a um erro menor que o terceiro arredondamento, o que torna o segundo processo mais aconselhável.

Exercícios Propostos 1- Faça o arredondamento dos números conforme a precisão indicada: a) 47,8 para a unidade mais próxima; b) 37,257 para o décimo mais próximo; c) 37,257 para o centésimo mais próximo; d) 7,314 para o centésimo mais próximo; e) 2,484 para o décimo mais próximo; f) 136,5 para a unidade mais próxima; g) 0,0435 para o milésimo mais próximo; h) 4,50001 para a unidade mais próxima; i) 5,56500 para o centésimo mais próximo; j) 5,56501 para o centésimo mais próximo. 2- Efetue as operações indicadas e calcule o erro, em cada caso de arredondamento (se possível, use calculadora): a) 3,253 + 1,725 + 1,23001 + 2,471 + 5,6451 b) 3,150 · 2,335 c) 4,75 ¸ 1,2 d) 3,112 - 1,3374 e) 45 + 29,12 - 14,3303 + 9,99 Para cada operação considere: · sem arredondamento; · com arredondamentos para décimos; · com arredondamentos para centésimos; -7-

· com arredondamentos para milésimos; · com arredondamentos para a unidade. Em cada caso indique qual é o arredondamento que traz o menor acúmulo de erros.

Capítulo 3 – Freqüências

Freqüência absoluta e freqüência absoluta acumulada

A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados colhidos sobre uma população estatística. Escolhida uma característica estatística sobre os elementos de uma população estatística, devemos elaborar uma tabela de dados denominada distribuição estatística. Exemplo1 - Considerem primeiramente as idades de 15 pessoas de um grupo de alunos num curso de artesanato: 15 18 19 17 17 19 16 19 17 20 16 18 19 15 20 Nesse caso temos: População estatística: 15 alunos de um curso de artesanato; Amostras: alguns alunos (3 ou 4) desse grupo de 15 alunos; Variável estatística: as idades desses 15 alunos. A partir desses conhecimentos, vamos elaborar uma tabela: Idades Contagem Número de Alunos (Xi) (Fi) 15 1+1 2 16 1+1 2 17 1+1+1 3 18 1+1 2 19 1+1+1+1 4 20 1+1 2 Total = 15 Na primeira coluna aparecem os diferentes valores da variável estatística, que representamos por Xi. Na última coluna aparece o número de vezes que cada valor se repete; essa coluna é chamada freqüência absoluta, que representamos por Fi. Freqüência absoluta (Fi) do valor de Xi é o número de vezes que cada variável estatística assume o valor de Xi. A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamada freqüências absolutas acumuladas (F. i. a.), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüência absoluta, os valores das freqüências anteriores. Veja o complemento da tabela anterior: Idades (Xi) 15 16 17 18 19 20

Número de Alunos (Fi) 2 2 3 2 4 2 Total = 15

Soma dos números de alunos (Fia) 2 4 7 9 13 15 Total = 15 -8-

Pelo quadro e usando a freqüência acumulada, podemos fazer algumas observações como: a) 9 pessoas possuem menos que 19 anos de idade, ou seja, entre 15 e 18 anos; b) 15 – 9 = 6 pessoas possuem idade acima de 18 anos, ou seja, entre 19 e 20 anos. Portanto, a freqüência absoluta acumulada permite uma análise mais abrangente na tabela de freqüências, possibilitando visualização globalizada de alguns parâmetros estatísticos.

Exercícios Propostos 3- Em uma escola, o conceito de cada bimestre é representado por letras: A, B, C, D e E. Em um determinado bimestre, os conceitos dos alunos da 6ª série A, em Geografia foram os seguintes: Disciplina: Geografia Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Conceito B A C C D C D A A C E D D C B C B C C B Nessas condições, elabore um quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas, sabendo que a nota mais alta é A e a mais baixa é E. Analise também os resultados obtidos em alguns aspectos. 4- Um dado foi lançado 15 vezes, tendo-se obtido os seguintes pontos: 2, 5, 6, 6, 1, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 3, 2, 4 e 6. Construa uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas. 5- Os salários mensais, em reais, dos 20 funcionários de uma empresa são: 720, 720, 800, 880, 840, 720, 760, 800, 920, 720, 760, 800, 840, 720, 680, 760, 800, 720, 880 e 760. Elabore um, quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas, analisando em seguida os resultados obtidos, fazendo um comparativo desses salários com a situação atual de nosso país. Sugestão: tome com extremos o menor e o maior salário. 6- Agora vamos fazer uma pesquisa em nossa classe para verificar as idades de todos os alunos, em seguida vamos elaborar uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas e analisar os resultados obtidos.

Freqüência relativa e freqüência relativa acumulada Chama-se freqüência relativa (fi) do valor Xi da variável, o quociente entre a freqüência absoluta e o número de elementos da população estatística, ou seja: f i = F i (%) N

Devemos observar que a freqüência relativa é dada na forma de porcentagem (%), ou seja, vai ser necessário multiplicar o resultado do quociente acima por 100; ela vai nos tornar mais clara a análise de certos dados. Se tomarmos como exemplo o quadro de freqüências das idades das 15 pessoas num curso de artesanato, temos: f 15 = 2 = 0,13333... = 13,33% f 17 = 3 = 0,2 = 20% (0,2 x 100 = 20) 15 15 -9-

Podemos então, completar o quadro de distribuição de freqüências com mais duas colunas: a coluna das freqüências relativas (f i) e a coluna das freqüências relativas acumuladas (f i a). Idades (Xi)

Número de Alunos (Fi) 2 2 3 2 4 2 Total = 15

15 16 17 18 19 20

Soma dos números de alunos (Fia) 2 4 7 9 13 15 Total = 15

freqüência freq. relat. relativa acumulada f.i. (%) f.i.a. (%) 2/15 = 13,33 13,33 2/15 = 13,33 26,66 3/15 = 20 46,66 2/15 = 13,33 59,99 4/15 = 26,67 86,66 2/15 = 13,33 99,99 Total = 99,99 Total = 99,99

Observando essa tabela, podemos dizer que: · 20% dos alunos possuem 17 anos de idade; · 59,99% possuem idade inferior a 19 anos; · 99,99% – 59,99% = 40% possuem idades superior a 18 anos. Observação: Quando tratarmos com valores dizimais (f.i. e f.i.a.), podemos fazer o arredondamento utilizando 2 casas decimais, totalizando aproximadamente 100% com margem de erro de 2 décimos, superando-se esse erro o aluno deve rever seus cálculos e melhorar sua aproximação.

Exercícios Propostos 7- Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtido os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 2. Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas. 8- Observando a tabela do exercício cima, responda: a) Quantas vezes o número 2 foi obtido no dado? b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5? c) Qual o índice em % em que o número 6 foi obtido no dado? d) Qual o índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos no dado? 9- A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos da 1ª série do curso de ensino médio de um determinado colégio, em Química, no primeiro bimestre de um determinado ano: Disciplina: Química Números 1 Médias 4

2 7

3 5

4 5

5 5

6 4

7 9

8 4

9 5

10 6

11 6

12 7

13 6

14 6

15 5

16 4

17 4

18 8

19 7

20 6

21 6

22 8

23 5

24 5

Tomando como extremos a menor e a maior nota: a) Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas. b) Quantos alunos obtiveram média 6? c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6? d) Quantos alunos obtiveram média maior que 6? e) Qual o índice em % de reprovação em Química neste bimestre? f) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior que 7? g) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior ou igual a 5 e menor que 7? - 10 -

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Capítulo 4 -Saiba um pouco mais A ESTATÍSTICA É O MELHOR CALMANTE

É inevitável. Depois de um ano sombrio para a aviação comercial, como foi o de 1996, até o passageiro mais viajado sente medo. Diante de tantos desastres aéreos nas manchetes dos jornais, não há quem o convença de que as quedas são raras, de que o normal é tudo dar certo. Mas é exatamente isso que dizem as estatísticas. A chance de alguém bater o carro e morrer a caminho do aeroporto é 500 vezes maior do que a de o avião cair. Segundo a Administração Federal de Aviação, americana, de cada 1000 mortes, 228 acontecem em acidentes rodoviários e 0,45 em aeroviários. Até nadar é mais perigoso. A cada 1000 fatalidades, 26 são por afogamento. “Seria preciso viajar todos os dias, durante 712 anos, para que alguém se envolvesse com certeza em um acidente aéreo”, disse a SUPER Stuart Matthews, da FSF (sigla para a fundação de segurança no vôo, em inglês).O que aconteceu no dia 31 de outubro em São Paulo, quando um fokker 100 despencou sobre várias casas segundos depois de decolar, foi uma tremenda falta de sorte, levando-se em conta as estatísticas. Pesquisas mostram que desde o final da década de 50 o número de desastres caiu bastante, embora eles tenham matado mais de 20.000 pessoas. Há 37 anos, eram sessenta casos para cada milhão de decolagens. Hoje são três. E Brasil segue a tendência. Em 1987, quando o país tinha 7.890 aviões, houve 226 acidentes. Hoje com uma frota quase 20% maior, o número baixou para menos da metade. Mas a matemática nem sempre tranqüiliza. A lei da gravidade parece ser mais cruel na América Latina. Aqui, a cada milhão de pousos e decolagens 32,4 não dão certo. Na América do Norte a freqüência é oito vezes menor. “E o maior problema é a tripulação”, diz Stuart Mattews. Ou seja, em geral a culpa não é da tecnologia. Os números animadores também não valem para aviões pequenos. No Brasil, entre 1982 e 1984, os desastres com jatinhos aumentaram 55%. Alguns viraram notícia. Na noite de 2 de março de 1996, um Learjet chegou ao aeroporto de Guarulhos com velocidade superior à indicada para pouso. O piloto subiu e virou à esquerda. Chocou-se com uma montanha. Morreram nove pessoas. Eram os Mamonas assassinas e a tripulação. Conclusão do inquérito policial: erros do piloto, do co-piloto e da torre.

O que derruba uma aeronave 15,7% Falha mecânica – O atrito com o ar e os processos de compressão e descompressão provocam trincas na fuselagem, que é o corpo do avião. Quando não são percebidas e reparadas a tempo, parte da carcaça se solta em pleno vôo. Informações sobre o vôo chegam ao painel por fios conectados a aparelhos espalhados pelo avião. Interferências eletromagnéticas alteram os dados, confundem os pilotos e podem acionar equipamentos em hora errada. O desgaste na ligação entre as turbinas e a asa pode fazer com que uma delas se solte parcialmente e deixe de funcionar. As turbinas empurram a aeronave, mantendo-a no ar, e ajudam na freagem, com o mecanismo chamado reverso. São partes delicadas do aparelho, que já causaram muitos acidentes. Cadeiras mal fixadas esmagam os passageiros. Além disso, é sob elas que se colocam as bombas. O terrorismo não entra nas estatísticas, mas é um dado importante, tal qual a tragédia de 11 de Setembro de 2001, nos EUA. 3,4% Manutenção – Antes do vôo, todo o aparelho deve ser avaliado. Peças desgastadas que já derrubaram muitos aviões poderiam ter sido trocadas nessa fase. - 11 -

4,8% Clima – Nevoeiros diminuem a visibilidade e correntes de vento podem desestabilizar o aparelho. O relâmpago é uma fatalidade que não se pode evitar. Fagulhas surgidas em possíveis atritos entre partes do avião podem chegar ao tanque de combustível e provocar explosões. 69,2% Falhas humanas – Piloto e co-piloto causam nada menos que 64,4% das quedas. Por inexperiência ou cansaço, confundem-se com aparelhos e orientações da torre e cometem deslizes. Pela lei, podem ficar no comando até 9 horas e 30 minutos por dia. Mas o sindicato Nacional dos Aeronautas garante que a norma não é respeitada. A torre de controle orienta o tráfego no aeroporto e é crucial no pouso e na decolagem. Falhas na comunicação e orientações erradas causam 4,8% dos acidentes. 7,1% Outras causas (Testes e vôos militares) – O trem de pouso é controlado por um sistema hidráulico. Às vezes ele não funciona e o avião tem que pousar de barriga.

Capítulo 5 - Distribuição de freqüência

Algumas coletas com muitos dados não favorecem a elaboração de tabelas detalhadas. Nesses casos, é mais interessante agrupar os valores em determinados intervalos que apresentam a mesma amplitude. Exemplo: Em uma olimpíada estudantil, com alunos do ensino fundamental, foi medida a altura de cada um dos participantes, encontrando-se os seguintes valores, em centímetros. 152 155 167 176 155 156 166 178 153 162 155 160 155 160 162 158 178 162 152 160 163 161 155 160 164 158 179 162 160 167 151 150 152 174 167 156 154 166 162 152 156 152 171 161 170 157 151 153 172 157 Para fazermos a distribuição de freqüência, procedemos da seguinte forma: 1º passo Organizamos todas as medidas em ordem crescente ou decrescente. Essa relação, assim organizada, chama-se rol. 150 152 154 155 157 160 162 163 167 174 151 152 155 156 158 160 162 164 167 176 151 152 155 156 158 160 162 166 170 178 152 153 155 156 160 161 162 166 171 178 152 153 155 157 160 161 162 167 172 179 - 12 -

2º passo Notamos que a menor estatura é 150cm e a maior é 179cm. Assim, a variação é de 179cm – 150cm = 29cm. Esse valor é chamado de amplitude total (H). 3º passo

Agrupamos os valores em intervalos de classe. Podemos considerar, por exemplo, a classe de 150 ( inclusive ) à 154 ( exclusive). Em símbolos, é denotada por 150 |¾¾¾ 154. Nesse caso, 150 é o limite inferior e 154 é o limite superior da classe. A diferença entre o limite inferior e o limite superior é igual à amplitude da classe (h). Adotando-se a amplitude da classe igual a h = 4, teremos oito classes. Construímos, então, uma tabela de freqüências com classes.

Estatura (cm)

Freqüência Absoluta

Freqüência Relativa (%)

150 |------ 154 154 |------ 158 158 |------ 162 162 |------ 166 166 |------ 170 170 |------ 174 174 |------ 178 178 |------ 182 TOTAL

10 11 9 7 5 3 2 3 50

0,20 ou 20% 0,22 ou 22% 0,18 ou 18% 0,14 ou 14 % 0,10 ou 10% 0,06 ou 6 % 0,04 ou 4% 0,06 ou 6% 100%

Exercícios Propostos 10- O exame de quarenta pacientes de um hospital constatou o seguinte número de leucócitos (glóbulos brancos) por mm3. 5800

3900

7100

3500

2800

4500

6900

5700

2000

2400

1500

1400

5900

7200

3100

5800

1300

2100

4100

3400

2000

3100

2900

1600

4000

2500

8300

4200

3200

2400

1900

6800

5900

2600

6100

8900

2900

1900

1900

1100

Com esses dados, construir uma tabela de freqüências absoluta e relativa, considerando a amplitude da classe igual a 2000 (h = 2000 ). 11- Um comerciante de calçados masculinos pretendendo renovar seu estoque fez um levantamento dos pares vendidos no mês anterior e levando em conta apenas o número do sapato, chegou a seguinte ralação: 40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 34 36 40 40 38 40 39 42 39 38 35 36 40 40 38 40 39 42 39 38 35 38 41 39 39 41 38 43 40 36 37 38 41 39 39 41 38 43 40 36 37 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36 - 13 -

Estabeleça o rol desses dados, em seguida divida em intervalos de 2 em 2 números e construa uma tabela completa de freqüências, analisando em seguida os resultados obtidos.

Capítulo 6 – Representação Gráfica Dados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas e por quadros de distribuição por freqüência quanto por gráficos. O uso gráfico para representar uma situação estatística pode muitas vezes expor melhor visualmente do que uma tabela estatística, porém o seu uso deve ser feito com bastante cautela, utilizando o gráfico adequado em cada situação, veja alguns casos: A) Gráfico de Colunas - é um tipo de gráfico muito utilizado em diversas situações, indica quantidades, porcentagens e de fácil comparação entre suas variáveis. 10 8 6

João José

4

Maria

2 0

1o Bim. 2o Bim. 3o Bim. 4o Bim.

O gráfico acima mostra o desempenho de 3 alunos durante o ano num determinado curso, pode-se perfeitamente verificar que João teve o melhor desempenho, seguido de Maria e José teve o pior desempenho. B) Gráfico de Barras – também é um tipo de gráfico muito utilizado para comparar diversos tipos de dados e é uma outra variante do gráfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas, empresas, etc. 4o Bim. 3o Bim.

Maria José João

2o Bim. 1o Bim. 0

5

10

15

O gráfico demonstra a mesma situação do gráfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos.

- 14 -

C) Histograma – é um gráfico construído no plano cartesiano por retângulos em número igual ao número de classes da distribuição. Cada classe é representada por uma coluna de altura correspondente a sua freqüência. Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para variáveis contínuas, por isso, o gráfico também é contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporcional à freqüência da classe que representa. Logo, a área de todo histograma é proporcional à soma total das freqüências. Para construir um histograma, representamos as classes no eixo das abscissas de um sistema cartesiano, utilizando segmentos de mesma medida. Para cada um deles, registramos os limites superior e inferior. No ápice do eixo das ordenadas, registramos o maior valor da freqüência, dividindo o restante proporcionalmente aos outros valores. Levantamos então as colunas, justapostas. Quantid. de alunos 10 F R 8 E Q 6 U Ê 4 N C 2 CLASSES I A S 0 150 155 160 165 170 175 180 185 Altura (cm)

Exercícios propostos 12- Sessenta jurados escolheram as sedes das próximas olimpíadas entre cinco países( A, B, C, D e E). Uma entrevista com esses jurados revelou que nove deles optaram pelo país A, seis por B, 27 por C, três por D e 15 por E. a) Construa uma tabela relacionando os países escolhidos e as freqüências absoluta e relativa. b) Construa o gráfico de colunas para representar os dados dessa tabela. 13- Um laboratório realizou, num certo dia, noventa coletas de sangue. Um dos itens analisados foi o grupo sanguíneo do sistema ABO. Desse total, constatou-se que 27 coletas eram do grupo sanguíneo A, 36 do B, 18 do AB e 9 do O. a) Construa uma tabela relacionando os grupos sanguíneos e as freqüências absoluta e relativa. b) Construa o gráfico de barras para representar os dados dessa tabela. 14- A tabela abaixo representa o salário de famílias de uma pequena comunidade.

Salário ( Reais)

Frequência

8.000,00 a 9.000,00 18 9.000,00 a 10.000,00 31 10.000,00 a 11.000,00 15 11.000,00 a 12.000,00 3 12.000,00 a 13.000,00 1 13.000,00 a 14.000,00 1 14.000,00 a 15.000,00 1 Construa com esses dados um histograma e analise os resultados. - 15 -

D) Setores – Dos gráficos de Estatística, mais importante que a contribuição de Descartes foi a do escocês William Playfair, que trabalhava com estatísticas comerciais. Em 1786 ele começou a inventar maneiras de representar dados numéricos por meio de figuras. Uma de suas criações foram os gráficos de barras ou colunas, como aqueles de João, José e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, ele inventou os gráficos de setores, também chamados de “tortas” ou “pizzas”. Vejamos um exemplo: POPULAÇÃO DE REGIÕES METROPOLITANAS - BRASIL/1992 5% 6%

Grande S.P. (37 municípios)

6%

Grande R.J. (15 municípios) 37% 7%

Grande B.H. (14 municípios) Grande Porto Alegre (14 municípios)

7%

Grande Recife (9 minicípios) Grande Salvador (8 municípios) 8%

Grande Fortaleza (5 municípios) Grande Curitiba (14 municípios)

24%

O gráfico acima mostra a distribuição populacional nas grandes metrópoles brasileiras e permite um comparativo entre as quantidades de habitantes existentes em cada metrópole, sendo que não confunde o leitor e sim permite uma análise mais ampla da situação no momento. Veja tabela a seguir, geratriz desse gráfico:

REGIÕES METROPOLITANAS

POPULAÇÃO

PERCENTUAL

Grande S.P. (37 municípios) Grande R.J. (15 municípios) Grande B.H. (14 municípios) Grande Porto Alegre (14 municípios) Grande Recife (9 municípios) Grande Salvador (8 municípios) Grande Fortaleza (5 municípios) Grande Curitiba (14 municípios)

15.444.900 9.814.600 3.436.100 3.026.800 2.874.500 2.496.500 2.307.000 2.000.800

37,3% 23,7% 8,3% 7,3% 6,9% 6,0% 5,6% 4,8%

TOTAL

41.401.200

100,0%

Foi feita uma enquete a 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado obtido foi o seguinte: - 16 -

Atividade Esportiva

Número de Alunos

voleibol 600 basquete 200 futebol 100 natação 50 outras 250 Com esses dados pode-se construir uma representação gráfica de setores dessa distribuição, em que usaremos um círculo. Lembrando que uma circunferência completa tem 360º, podemos calcular por meio de uma regra de três simples e direta o ângulo central correspondente a cada uma das atividades desejadas pelos alunos. Assim, temos: 1200 ------------ 360º à v = 600 x 360º = 180º 600 ------------ v 1200 1200 ------------ 360º 200 ------------ b

à b = 200 x 360º = 60º 1200

1200 ------------ 360º 600 ------------ f

à f = 100 x 360º = 30º 1200

1200 ------------ 360º 50 ------------ n

à n = 50 x 360º = 15º 1200

1200 ------------ 360º 250 ------------ o

à o = 250 x 360º = 75º 1200

Com essas medidas, poderemos, então construir com o uso de régua e compasso um gráfico de setores de forma correta, utilizando-se de cores e legenda para representar melhor a opinião dos alunos quanto ao esporte praticado. Veja a construção do professor.

Exercícios propostos 15- Uma pesquisa sobre atividades culturais extraclasse foi feita entre 1000 alunos de uma escola. O resultado está no quadro seguinte:

Atividade

Nº de Alunos

Visita a museus 400 Visita a outras cidades 200 Palestras 250 Exposições 100 Outras 50 Usando um gráfico de setores, faça a representação gráfica dessa distribuição. Faça também uma pesquisa na sala sobre a mesma preferência, construa também um gráfico de setores e faça uma análise comparativa entre as duas situações. - 17 -

16- Usando a tabela do exercício 11, construa um gráfico de setores para as colunas Xi e Fi. 17- A tabela abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma escola de ensino médio do Rio de Janeiro, onde foram ouvidas 40 pessoas. Complete-a e faça o gráfico de setores correspondente:

Time preferido

Frequência

Taxa Percentual

Vasco

10

25%

Flamengo

12

Fluminense

8

Botafogo

6

20%

Outros

10%

18- Usando a tabela com a freqüência do exercício anterior, faça o gráfico de colunas; em seguida compare: qual dos dois é ideal para esse estudo?

Capítulo 7 – Medidas de tendência central Há certas medidas que são típicas numa distribuição: as de tendência central (médias, medianas) e as de dispersão.

Médias

Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B): Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8 Turma B: 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 9 Observemos para cada turma: · O valor que ocupa a posição central: Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8 cinco notas abaixo de 6 cinco notas acima de 6 posição central Turma B: 2 3 4 4 4 cinco notas abaixo de 6

5

6 7 7 8 9 cinco notas acima de 6

posição central ·

·

O valor que aparece com maior freqüência: Turma A: 7 aparece com maior freqüência Turma B: 4 aparece com maior freqüência. O quociente da somatória (å) dos dados (x) pela quantidade de dados (n): åx n Turma A: 2+3+4+4+5+6+7+7+7+7+8 = 60 = 5,45 11 11 - 18 -

Turma B: 2+3+4+4+4+5+6+7+7+8+9 = 59 = 5,36 11 11 Colocando estes três valores lado a lado, temos:

Turma

Posição Central

Maior Freqüência

A

6

7

åx n 5,45

b

5

4

5,36

Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor que a turma B. Esses três valores caracterizam as distribuições. São chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que significa a denominação medidas de tendência central ou médias. O valor que ocupa a posição central chama-se mediana ( Md ) : Para a turma A, a mediana é 6: Md = 6. Para a turma B, a mediana é 5: Md = 5. O valor que aparece com maior freqüência chama-se moda ( Mo ) : Para a turma A, a moda é 7: Mo = 7. Para a turma B, a moda é 4: Mo = 4. O quociente da soma pelos valores pela quantidade deles é a média aritmética ( Ma ) : Para a turma A, a média aritmética é Ma = 5,45. Para a turma B, a média aritmética é Ma = 5,36. Portanto, mediana, moda e média aritmética são medidas de tendência central ou médias da distribuição. Existem outros tipos de média, como a média geométrica e a harmônica, que não constarão deste capítulo por não serem muito utilizadas neste nível de ensino.

Média aritmética

A média aritmética (Ma) é a medida de tendência central mais conhecida. Já sabemos que ela é o quociente da soma dos valores (åx) pela quantidade (n). Exemplo 1 – Consideremos os dados abaixo: 18 17 17 16 16 15 15 13 13 13 13 13 12 12

15 12

A quantidade de dados é n = 20 A soma dos dados é åx = 18 + 17 + ... + 11 + 11 = 280 A média aritmética é: Ma = åx = 280 = 14 n 20 - 19 -

14 11

14 11

Exemplo 2 – Consideremos os mesmos dados do exemplo1 dispostos em uma distribuição por freqüência: x

Fi

18

1

17

2

16

2

15

3

14

2

13

5

12

3

11

2

TOTAL

20

Veja que o número de observações é igual ao da soma das freqüências absolutas Fi = n = 20, que pode ser efetuado da seguinte forma: åx = 1 . 18 + 2 . 17 + 2. 16 + 3 . 15 + 2 . 14 + 5 . 13 + 3 . 12 + 2 . 11 = 280 Os fatores que multiplicam os dados são as freqüências que aparecem na tabela da distribuição. Logo:

Ma = åx = å Fix n å Fi

Na prática, quando temos a distribuição por freqüência, acrescentamos à tabela uma coluna com os produtos Fi x de cada valor pela sua freqüência, veja:

x

Fi

Fi x

18

1

18

17

2

34

16

2

32

15

3

45

14

2

28

13

5

65

12

3

36

11

2

22

TOTAL

20

280

Ma = 280 ® Ma = 14 20 - 20 -

Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes

Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados em classes, são considerados coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da Ma, usaremos os produtos dos pontos médios pelas freqüências de cada classe. (Pm . Fi). Acrescentamos, então, à tabela dada a coluna Pm . Fi. Exemplo 3 – Seja a tabela que nos dá altura (x) dos estudantes de uma classe de primeiro grau: x (cm) 150 155 160 165 170 175

|--- 155 |--- 160 |--- 165 |--- 170 |--- 175 |--- 180

Pm Ponto médio 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5

TOTAL

Fi

Pm . Fi

6 9 16 5 3 1 40

915,0 1417,5 2600,0 837,5 517,5 177,5 6465,0

Queremos, a partir da tabela, calcular a média aritmética. Solução: completando a tabela, com a coluna Pm . Fi, à direita temos a coluna com os dados em “vermelho” acima:

Ma = å Pm . Fi å Fi

Ma = 6465 40

Ma = 161,625

Este é o cálculo da média aritmética pelo chamado processo longo. Você deve ter notado que a média aritmética é um valor que engloba todos os dados. Se houver dados discrepantes, eles influirão no valor da Ma.

Mediana

Mediana é o valor que divide a distribuição ao meio de tal modo que 50% dos dados estejam acima desse valor e os outros 50% abaixo dele. Exemplo 4 – Sejam as nove observações: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Md = 5 Mediana Mediana é o número que tem antes e depois de si a mesma quantidade de valores. Quando a quantidade de observações é um número par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais. Exemplo 5 – Sejam as seis observações: 10 11 15 17 18 20 Nesse caso a mediana é: 15 + 17 = 16 2

Md = 16

Obs.: Para o efetivo cálculo ou localização da mediana, os dados observados devem estar em ordem crescente, vejam os exemplos 4 e 5. - 21 -

Moda

A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. A moda pode não existir, e se existir pode não ser única. Exemplo 6 – O conjunto de números: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18 tem Mo = 9 Exemplo 7 – No conjunto de dados: 3, 5, 7, 9, 10, 11, todos os dados têm a mesma freqüência. Não existe nenhum valor que apresente maior freqüência do que os outros. É um caso em que a moda não existe. Exemplo 8 – Seja o rol de dados: 3 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 e 9. Os números 4 e 7 apresentam freqüência 3, maior que a os demais. Nessa distribuição há, portanto, duas modas: Mo = 4 e 7 Uma distribuição com duas modas é denominada bimodal. A rigor, a moda não é uma medida empregada para um pequeno número de observações. Existem fórmulas para o cálculo da moda, mas, na prática, ela é determinada pelo valor ou pela classe que apresenta maior freqüência. Neste último caso, ela é chamada classe modal, que representa uma aproximação da moda.

Exercícios propostos 19- Calcular a Ma, Md e a Mo dos seguintes dados: a) 3 5 2 6 5 9 b) 51 6 48 7 3 50 c) 10 12 8 7 9 12

5 49 15

2 5; 22

8

6;

17

7.

20- Certo pesquisador aplicou um teste aos alunos de um colégio e obteve os seguintes resultados: 32 15 26 16 22 37

13 22 13 17 23 31

14 19 23 20 38 16

20 22 23 16 38 18

23 22 29 23 19 21

21 19 26 19 19 40

22 28 30 20 34 24

12 15 15 33 24 20

30 27 36 15 17 34

20 25 19 17 20 17

16 26 29 27 31 40

25 19 12 21 11 18

21 20 22 23 11 36

29 10 30 32 30 29

17 22 21 12 20 21

25 31 27 22 15 24

21 22 22 22 24 31

21 21 16 22 17 35

Pede-se para: a) Organizar o rol dessa distribuição; b) Indicar a amplitude total (diferença entre o maior e o menor valor); c) Fazer uma distribuição por freqüência; d) Calcular a média (Ma) de acertos; e) Calcular o número mediano (Md) de acertos; f) Calcular a moda (Mo); g) Representar o histograma da distribuição e assinalar nele a Ma, Mo e Md. h) Analisar os resultados obtidos. 21 – Elabore uma pesquisa, em grupo (5 alunos), utilizando um tema para que a coleta de dados permita o cálculo de medidas de tendência central, construa um gráfico para essa situação e a conclusão do grupo, justificando o porque da escolha do tema e qual a sua importância. 22- Verifique as idades de todos os alunos da classe até o presente momento, em seguida, calcule a média, mediana e moda desses dados, construindo um gráfico para essa situação e analise seus resultados. - 22 -

Capítulo 8 – Medidas de dispersão Em Estatística é importante saber como variam as características do conjunto de dados colhidos e tabelados. Precisamos às vezes comparar fatos, como a produção de uma firma em um ano e em outro, ou características físicas de indivíduos, como sexo, raça, altura, etc. Para tal, necessitamos de uma média. Se soubermos, por exemplo, que a média de altura das meninas recém-nascidas de certa idade é 47,3 cm e que, nesse mesmo local nasceu uma menina medindo 50 cm, podemos afirmar que ocorreu uma variabilidade, ou uma dispersão, em relação à média. Dizemos que houve um desvio de 2,7 cm em relação à média (50 – 47,3 cm). O significado de desvio é o mesmo que se tem comumente em relação a esse termo. Quando dizemos que um avião teve um desvio de 10 Km de sua rota, entendemos que havia uma rota (referência) a ser percorrida e que o avião se desviou dela. Em Estatística, a referência é a Ma, que seria o valor provável para todos os dados se eles fossem em qualquer caso, iguais; mas normalmente eles se desviam da Ma.

Desvio padrão e variância

O desvio padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser a mais precisa. Ele determina a dispersão dos valores em relação a média. Exemplo – Consideremos os pesos de 20 crianças recém-nascidas, numa cidade X: 10 meninos e 10 meninas.

Meninos

Peso (g)

Meninas

Peso (g)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3750 3750 3350 3250 3250 3100 3150 3100 3350 3350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3000 3300 3200 3250 3100 3100 3300 3000 3100 3150

As médias aritméticas dos pesos são: Meninas: 3150g Meninos: 3340g Podemos observar que o peso dos meninos é em média maior que o das meninas. Desvio (d) Desvio (d) Meninos Peso d2 Meninas Peso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3750 3750 3350 3250 3250 3100 3150 3100 3350 3350

410 410 10 -90 -90 -240 -190 -240 10 10

168100 168100 100 8100 8100 57600 36100 57600 100 100 - 23 -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3000 3300 3200 3250 3100 3100 3300 3000 3100 3150

-150 150 50 100 -50 -50 150 -150 -50 0

d2 22500 22500 2500 10000 2500 2500 22500 22500 2500 0

d = xn – Ma, onde xn é o elemento considerado, exemplo x1 peso 3750g e Ma = média aritmética dos dados. Para d1 (meninos), temos x1 – Ma (meninos) = 3750 – 3340 = 410,e assim por diante.

A média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância [var(x)]. Calculemos as variâncias das duas distribuições. Para os meninos: Var(x)1 = (168100 . 2) + (100 . 3) + (8100 . 2) + (57600 . 2) + (36100 . 1) = 50400 10 Para as meninas: Var(x)2 = (22500 . 4) + (2500 . 4) + (10000 . 1) = 11000 10 A raiz quadrada da variância é o desvio padrão. Calculemos os desvios padrões de cada uma das distribuições: Para os meninos s1 = Ö50400 = 224,5 g Para as meninas s2 = Ö11000 = 104,9 g Comparando os dois valores, notamos que a variabilidade no peso dos meninos é maior que no das meninas (s1 > s2). O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada em casos de distribuições simétricas. Lembramos que, graficamente, distribuições desse tipo se aproximam de uma curva conhecida como curva normal ou curva de Gauss: | | | | | | | | | O desvio padrão tomado com os sinais – e + (-s e +s) define em torno da média aritmética uma amplitude (2s) chamada de zona de normalidade. Processos matemáticos indicam que 68,26% dos casos se situam nessa amplitude. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | -s Ma +s |--------zona de--------| normalidade - 24 -

Exemplo – Considerando os resultados do exemplo anterior, a respeito dos pesos das meninas: Ma = 3150g e s = 104,9 g, calcular a zona de normalidade. Solução: Devemos encontrar um intervalo de amplitude 2s, em torno de Ma: Ma + s = 3150 + 104,9 = 3254,9 g Ma - s = 3150 - 104,9 = 3005,1 g Serão consideradas dentro da normalidade todas as meninas com pesos entre 3005,1g e 3254,9g.

Exercícios propostos 23- Consideremos a seguinte tabela: NOTAS DE MATEMÁTICA DE UMA CLASSE X NOTAS P.m Fi 0 |-----2,0 2,0 |----- 4,0 4,0 |----- 6,0 6,0 |----- 8,0 8,0 |----- 10,0

1,0 3,0 5,0 7,0 9,0

3 9 16 8 4 å Fi = 40

Calcular : a) a média aritmética; b) a variância; c) o desvio padrão: d) a zona de normalidade; e) analisar os resultados encontrados. 24- Um professor aplicou um teste a seus alunos e obteve os seguintes resultados: 30 40 45 30 30 50 35 30 40 45 40 35 50 60 50 50 30 60 50 60 30 40 50 45 Calcule: a) A média aritmética dos resultados; b) A moda; c) A mediana; d) A variância; e) O desvio padrão; f) Zona de normalidade. 25- Se a média das alturas de um grupo de pessoas é 175 cm e o desvio padrão é 20 cm, uma pessoa com estatura de 150 cm está dentro da normalidade? Por quê? 26- Na pesagem de 24 crianças de quinta série obtiveram-se os seguintes resultados, em Kg: 38 40 45 42 45 40 43 38 45 45 40 41 41 38 46 32 48 46 42 43 44 50 48 40 Nesse grupo de crianças, um menino com 35 Kg seria considerado com peso normal? Por quê? - 25 -

Bibliografia · Matemática – Benigno Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva – Editora FTD – Volume Único; · Curso Básico de Estatística – Helenalda Nazareth - Editora Ática; · Matemática – Jorge D. Silva, Valter dos S. Fernandes e Orlando D. Mabeleni – Editora IBEP – Novo Ensino Médio – Volume Único; · Matemática – José R. Giovanni e José R. Bonjorno – Editora FTD – Versão Progressões; · Matemática Fundamental - José R. Giovanni, José R. Bonjorno e José R. Giovanni Jr. – Editora FTD – Volume Único; · Estatística – Murray R. Spiegel – Coleção Schaum – Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA. · Apostila Matemática – Sistema de Ensino IBEP – Jorge D. Silva; Valter S. Fernandes; Orlando D. Mabelini – Volume Único- Curso Completo; · Estatística – Pra que Serve a Matemática? – Imenes, Jakubo e Lellis – Atual Editora – 3a Edição.

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