MATEMATICA BASICA - 1º BIMESTRE

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MATEMÁTICA BÁSICA – Prof. Cunha Módulo 1- Primeiro Bimestre 

Sistemas de numeração

Muitos povos criaram o que chamamos de Sistema de Numeração que é formado por símbolos e regras que quando utilizadas geram uma escrita numérica. Vejamos alguns sistemas de numeração empregados ao longo dos séculos e registrados por duas das principais civilizações antigas.  O sistema de numeração egípcio Sendo um dos mais antigos que se conhece, o sistema de numeração egípcio baseava-se nos símbolos criados por eles mesmos, com significados e valores. Veja no quadro abaixo os símbolos que eles usavam.

Exemplos:

a)

= 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35

b)

= 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 = 142

c)

= 1.000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 1.243 

O sistema de numeração romano

De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Eles foram espertos, pois não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto, conforme mostra o quadro abaixo.

Agora veja como eles utilizavam esses símbolos: • Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. II = 1 + 1 = 2

XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30 • Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores. IV = 4 porque 5 – 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90 • Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60 • Quando aparecia um traço sobre uma letra significava que o valor dessa letra estava sendo multiplicado por 1.000; dois traços indicavam que o valor devia ser multiplicado por 1.000.000. = 5.000 porque 5 x 1.000 = 5.000 = 60.000.000 porque 60 x 1.000.000 = 60.000.000

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Base de contagem Quando queremos contar os elementos de um agrupamento, devemos separá-los em grupos com a mesma quantidade de modo a facilitar a contagem. A essa mesma quantidade chamamos base de contagem.

Observe que temos: 2 grupos de 4 bastões mais 3 bastões Nesse caso, os bastões foram contados de quatro em quatro, ou seja, na base quatro. Esse resultado pode ser escrito e lido da seguinte maneira: 23(4) , “dois , três, na base quatro” Nesse número, o símbolo 2 representa as oito unidades e o 3 representa as três unidades restantes. Veja como verificar:

Obs.: Note que o valor de cada símbolo depende de sua posição no número. Para reforçar essa observação, vamos ver outro exemplo:

Ao contarmos as estrelas em grupos de três em três, obtemos: 2 grupos de 3 estrelas mais 2 estrelas. Observe o resultado:

O valor posicional do 2 da direita é 2 unidades e o valor posicional do 2 da esquerda é 6 unidades (2 x 3). Em muitas situações, contamos fazendo agrupamentos. Veja algumas: • Hora: Contamos as horas agrupando os minutos e os segundos em grupos de 60. 60 segundos formam 1 minuto 60 minutos formam 1 hora. • Dúzia: Contamos ovos, laranjas, bananas etc. agrupando-os de 12 em 12. 12 unidades formam 1 dúzia. • Semanas: Contamos as semanas agrupando os dias de 7 em 7. 7 dias formam 1 semana.  Sistema de numeração decimal O sistema de numeração que usamos foi inventado pelos hindus e aprimorado e divulgado pelos árabes, por isso recebe o nome de Sistema de Numeração Indo-arábico. Acredita-se que eram usados os dedos das mãos para contar, agrupando, com isso, os objetos de 10 em 10 e recebendo assim a denominação de Sistema de Numeração Decimal. São dez os símbolos utilizados. Vamos conhecê-los: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A regras utilizadas para agrupamentos também são válidas no sistema decimal, ou seja, para contar com mais facilidade, os objetos são organizados em grupos de 10. Exemplo:

Observe que o mesmo símbolo tem valores diferentes. No sistema de numeração decimal, quando colocamos um número à esquerda do outro significa dizer que ele vale dez vezes mais do que se estivesse no lugar desse outro. Assim... • Dezena: grupo de dez unidades • Centena: grupo de dez dezenas ou cem unidades. • Milhar: grupo de dez centenas ou mil unidades.

As posições ocupadas pelos algarismos em um número recebem nomes especiais. São as classes (unidades, milhares, milhões, bilhões...) e as ordens (unidade, dezena, centena).

 Conjunto dos números naturais Nos dias atuais, normalmente usamos o sistema de numeração indo-arábico para representar números naturais como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.... A coleção desses números é chamada de Conjunto dos Números Naturais, sendo representado pelo símbolo IN e escrito entre chaves, da seguinte forma: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... } As reticências indicam que o conjunto dos números naturais é infinito. Subconjuntos dos números naturais a) Conjunto dos números naturais não-nulos: é o conjunto IN* (lê-se: ene asterisco ou ene estrela), sendo formado por todos os números naturais com exceção de (0), zero. Assim... IN* = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,... } b) Conjunto dos números naturais pares: é o conjunto que apresenta na ordem das unidades: 0, 2, 4, 6 ou 8. c) Conjunto dos números naturais ímpares: é o conjunto que apresenta na ordem das unidades: 1, 3, 5, 7 ou 9. 

Operações com números naturais

 Adição Utilizamos a adição para juntar, somar, acrescentar quantidades de mesma espécie. Veja a situação a seguir: Ex: Durante as eleições 2016, para o cargo de prefeito de uma determinada cidade, o primeiro colocado recebeu 352 votos, na urna A e 281 votos na urna B. Quantos votos o candidato recebeu, ao todo, nas duas urnas? Solução: Para resolver esse problema, basta juntarmos a quantidade de votos da urna A com a quantidade de votos da urna B.

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Propriedades da adição de números naturais

 Propriedade comutativa: Na adição de dois números naturais, podemos mudar a ordem das parcelas que o resultado não muda. Veja um exemplo:

 Propriedade associativa: Na adição de dois ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de maneiras diferentes que o resultado é o mesmo.

Exemplo:

 Propriedade do elemento neutro: O número zero (0) é o elemento neutro da adição, uma vez que não interfere no resultado. Veja alguns exemplos: a) 0 + 14 = 14 b) 258 + 0 = 258 c) 0 + 12 578 = 12 578  Subtração A subtração é o inverso da adição. Em vez de adicionar, o que se faz é tirar, diminuir, verificar a diferença entre quantidades de mesma espécie. Na matemática utilizamos a subtração basicamente em duas situações: 1 - Quando queremos tirar uma quantidade de outra quantidade; 2 - Quando temos duas quantidades e queremos saber quanto falta para completar a outra ou quanto tem a mais que a outra. Exemplo: Ex: Que o futebol é uma paixão nacional, disto todos sabemos. No Estado do Pará não seria diferente. Na capital, a cidade de Belém, está localizado o estádio mais bem equipado do Estado – o estádio do Mangueirão – com capacidade para 54 000 pessoas. Para se ter uma ideia do tamanho do Mangueirão, se colocarmos nele 38 000 pessoas ainda sobrarão muitos lugares. Vamos calcular quantos? Solução: Dos 54.000 lugares devemos tirar os 38.000 lugares que foram ocupados e então teremos a nossa resposta.

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Propriedade fundamental da subtração

A diferença é o número que, somado ao subtraendo resulta no minuendo. Diferença + subtraendo = minuendo Obs.: Essa propriedade é bastante útil, para você verificar se acertou a subtração.  Multiplicação Exemplo: Uma determinada escola resolveu organizar uma excursão onde foram alugados 6 microônibus, cada um com 16 lugares. Todos eles tiveram a lotação completa. Quantos alunos participaram da excursão? Solução: Esse problema pode ser resolvido somando 6 parcelas iguais a 16.

Você está somando 6 parcelas iguais a 16, ou seja, está somando 6 vezes o 16, que é, representada por: 6 x 16



Combinando elementos na multiplicação

Ex.1: Ruan tem duas calças de agasalho e três camisetas para treinar atletismo. De quantos modos distintos ele pode se vestir para esses treinamentos?

Solução: Que dúvida! Para tomarmos essa decisão, vamos montar o que chamamos de árvore de possibilidades.

Ao contarmos todas as maneiras de vestir, encontramos 6 maneiras, ou seja, como são 2 calças para combinar com 3 camisetas, temos 2 x 3 = 6. 

Propriedades da multiplicação de números naturais

• Propriedade comutativa da multiplicação: em uma multiplicação, os fatores podem vir em qualquer ordem que o resultado sempre será o mesmo. Veja um Exemplo: 65 x 36 = 2340 agora vamos trocar os fatores 36 x 65 = 2340 • Propriedade distributiva da multiplicação: podemos relacionar a multiplicação com a adição, ou subtração, fazendo o produto de um número pelas parcelas da soma, ou diferença. Exemplos:

 Propriedade associativa da multiplicação: numa multiplicação de três ou mais fatores, o produto não depende do modo como esses fatores são agrupados para se efetuar o cálculo. Exemplo:

 Propriedade do elemento neutro da multiplicação: o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois se multiplicarmos qualquer número natural pelo 1, temos o próprio número como resposta. a) 5 x 1 = 5

b) 13 x 1 = 13 c) 1 x 150 = 150  X

Construção da tabuada 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Divisão

Um Projeto voltado para Cidadania organizou a venda de algumas camisas para arrecadar dinheiro e ajudar algumas instituições de caridade. Foram embaladas 215 camisas em sacolas contendo 5 camisas cada uma. Quantas sacolas foram necessárias para isso? Solução: Para saber quantas sacolas foram necessárias, devemos procurar o número que multiplicado por 5 dê 215. Ao fazermos isso já estamos realizando a divisão.

Logo foram necessárias 43 sacolas. Agora o que aconteceria se embalássemos as camisas em sacolas contendo 4 camisas cada uma. Como ficaria a divisão?

O processo de divisão seria o mesmo, porém dividindo 215 camisas por 4 teríamos 53 sacolas e ainda sobrariam 3 camisas. Com isso concluímos que a divisão de 215 por 5 é exata porque o resto dá zero (não sobrou camisa), já a divisão de 215 por 4 é não-exata porque o resto não é igual a zero (sobraram camisas). Em toda divisão, temos os seguintes elementos:



Relação fundamental da divisão

Essa relação se baseia no fato de que: O produto entre o divisor e o quociente adicionado com o resto é igual ao dividendo. Dividendo = divisor x quociente + resto Obs.: a) Para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior que o divisor ou igual a ele. b) Não existe divisão por zero. 

Potenciação entre números naturais

Até aqui já recordamos todas as operações estudadas na 4ª série: adição, subtração, multiplicação e a divisão. Agora vamos conhecer uma nova operação chamada potenciação. Chamamos de potenciação a toda multiplicação em que os fatores são todos iguais. O fator repetido é chamado base da potenciação e o número de vezes que o fator se repete é o expoente. Representa-se uma potência e seus elementos da seguinte maneira:

Veja alguns exemplos: a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24, onde: 2 é a base e 4 é o expoente. O resultado dessa multiplicação é igual a 16 que chamamos de potência. b) 7 x 7 x 7 = 73, onde: 7 é a base e 3 é o expoente. O resultado dessa multiplicação é igual a 343 que chamamos de potência. A leitura de potências é feita da seguinte maneira: • 7 x 7 = 72 – lê-se: sete elevado a segunda potência ou sete ao quadrado. • 5 x 5 x 5 = 53 – lê-se: cinco elevado a terceira potência ou cinco ao cubo. • 2 x 2 x 2 x 2 = 24 – lê-se dois elevado a quarta potência. • 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 16 – lê – se: um elevado a sexta potência.  Propriedades da potenciação • No produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Exemplo: 84 x 87 = 8

4+7

= 811

• No quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Exemplo: 38 : 35 = 3

8–5

= 33

• Na redução de uma potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Exemplo: [(12)3]6 = 123 x 6 = 1218  Potências de expoente 1 e de expoente zero a) A potência de qualquer número natural elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número. Exemplo: • 31 = 3 • 101 = 10 •2471 = 247 b) A potência de qualquer número natural, diferente de zero, elevado ao expoente zero é igual a 1. Exemplo: • 70 = 1 • 5000 = 1 • 10.2540 = 1  Potências de base 10 para escrever números grandes Para você entender como trabalhar com potências de base 10, vamos analisar algumas delas pela própria definição de potenciação. • 100 = 1 • 101 = 10 • 102 = 10 x 10 = 100 • 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 • 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 Quando queremos escrever números grandes, usamos as potências de base 10. Nelas, o número do expoente é igual ao número de zeros da potência. Veja: • 100 = 1 expoente zero, nenhum zero • 101 = 10 expoente 1, um zero depois do 1. • 102 = 10 x 10 = 100 expoente 2, dois zeros depois do 1. • 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 expoente 3, três zeros depois do 1. • 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 expoente 4, quatro zeros depois do 1. E assim por diante... Com isso concluímos que quando a base é 10, a potência é o número formado pelo 1 seguido de tantos zeros quanto indica o expoente. 

Raiz quadrada exata de números naturais

Para acharmos a raiz quadrada de um número natural, nós procuramos um outro número que elevado ao quadrado seja igual ao número inicial dado. Como 32 é igual 9, dizemos que 3 é a raiz quadrada de 9. Como 152 é igual 225, dizemos que 15 é a raiz quadrada de 225. símbolos:



Divisibilidade de números naturais



Critérios de divisibilidade

• Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando for par. Exemplos: a) 1.458 é divisível por 2 porque termina em 8. b) 3.476 é divisível por 2 porque termina em 6. c) 1.250 é divisível por 2 porque termina em 0. d) 3.004 é divisível por 2 porque termina em 4. • Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma entre seus algarismos for um número também divisível por 3. Exemplos: 1) Verifique, sem efetuar a divisão, se os números 315, 1257, 2004 e 7381 são divisíveis por 3. a) 315 é divisível por 3, pois 3 + 1 + 5 = 9 que é divisível por 3. b) 1.257 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 5 + 7 = 15 que é divisível por 3. c) 2.004 é divisível por 3, pois 2 + 0 + 0 + 4 = 6 que é divisível por 3. d) 7.381 não é divisível por 3, pois 7 + 3 + 8 + 1 = 19 que não é divisível por 3.  Divisibilidade por 4 Todo número acima de 99 é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4 ou quando terminarem em 00. Exemplos: a) 1400 é divisível por 4 porque termina em 00. b) 236 é divisível por 4 porque termina em 36 que é divisível por 4. c) 1012 é divisível por 4 porque termina em 12 que é divisível por 4. d) 2004 é divisível por 4 porque termina em 04 que é divisível por 4. • Divisibilidade por 5 Todo número natural terminado em zero ou em 5 é divisível por 5. Exemplos: a) 1585, divisível por 5 porque termina em 5. b) 21.000, divisível por 5 porque termina em 0. • Divisibilidade por 6 Todo número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: a) 210 é divisível por 2 porque é par, assim como 2 + 1 + 0 = 3 que é divisível por 3, logo 210 é divisível por 6. b) 426 é divisível por 2 porque é par, assim como 4 +2 + 6 = 12 que é divisível por 3, logo 426 é divisível por 6. • Divisibilidade por 8 Todo número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8 ou quando terminarem em 000.

Exemplos: a) 1240 é divisível por 8, porque termina em 240 que é divisível por 8. b) 42.000 é divisível por 8, porque termina em 000. • Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma entre seus algarismos for um número também divisível por 9. Exemplos: a) 270 é divisível por 9, porque 2 + 7 + 0 = 9 que é divisível por 9. b) 1638 é divisível por 9, porque 1 + 6 + 3 + 8 = 18 que é divisível por 9. • Divisibilidade por 10 Todo número natural terminado em zero é divisível por 10. Exemplos: a) 220 é divisível por 10 porque termina em zero. b) 4.260 é divisível por 10 porque termina em zero.  Múltiplos e divisores dos números naturais Saiba que os resultados das multiplicações possuem um nome especial, são os chamados múltiplos. Isso acontece porque quando dividimos esses números – 3, 6, 9, 12 e 15 – por 3 obtemos uma divisão exata, ou seja, o resto é igual a zero.

Assim 3, 6, 9, 12 e 15 são múltiplos de 3 ou 3 é fator de 3, 6, 9, 12 ou 15. Também podemos dizer que 3, 6, 9, 12 e 15 são divisíveis por 3 ou que 3 é divisor de 3, 6, 9, 12 e 15. Obs.: Se a divisão de um número pelo fator não for exata, então ele não é considerado múltiplo. Exemplo: Assim 16 não é múltiplo de 3 ou 3 não é fator (ou divisor) de 16. Ok!

Assim 16 não é múltiplo de 3 ou 3 não é fator (ou divisor) de 16. Agora que já sabemos o que são múltiplos e divisores, podemos generalizar a definição da seguinte maneira: a) Para acharmos todos os múltiplos de um número, basta multiplicarmos cada termo da sequência dos números naturais pelo número dado. Exemplos: 1) Vamos achar a sequência de múltiplos de 5. Multiplicando pelos IN, temos → 0 x 5 = 0, 1 x 5 = 5, 2 x 5 = 10, 3 x 5 = 15, 4 x 5 = 20 ... Assim a sequência dos múltiplos de 5 é: 0, 5, 10, 15, 20, ... 2) Determine os múltiplos de 11 que estão entre 14 e 52. Multiplicando pelos IN, temos → 0 x 11 = 0, 1 x 11 = 11, 2 x 11 = 22, 3 x 11 = 33, 4 x 11 = 44 ... Assim a sequência pedida é: 22, 33, 44. Observações importantes:

• A sequência dos múltiplos de um número é infinita; • O zero sempre é múltiplo do número; • Todo número natural é múltiplo dele mesmo. b) Para acharmos todos os divisores de um número, devemos utilizar o método das tentativas, dividindo o número dado pelos termos da sequência 1, 2, 3, 4, 5,... (ou seja, IN*) As divisões que forem exatas indicam os divisores do número. Exemplos: 1) Vamos achar a sequência de divisores de 10. Dividindo pelos IN*, temos → 10 : 1 = 10, 10 : 2 = 5, 10 : 3 = Não é exata, 10 : 4 = Não é exata, 10 : 5 = 2, 10 : 6 = Não é exata, 10 : 7 = Não é exata, 10 : 8 = Não é exata, 10 : 9 = Não é exata, 10 : 10 = 1. Assim a sequência dos divisores de 10 é igual a: 1, 2, 5 e 10.  Números primos Para entendermos bem a definição de números primos, vamos organizar a sequência de divisores de 0 até 9.

Chamamos de números primos aos números que só são divisíveis por dois números: por 1 e por ele mesmo. Obs.1: Os números que são divisíveis por mais de dois números distintos chamam-se compostos. Portanto, analisando o quadro ao lado, verificamos que são primos os números: 2 , 3 , 5 , 7. Obs.2: O número 1 não é primo nem composto, pois só possui um divisor, ele próprio.  Números primos entre si Dois números são primos entre si quando possuem apenas o número 1 como divisor comum.  Máximo divisor comum (m.d.c.) Exemplo: Uma determinada escola possui 40 alunos no 6º Ano e 42 na 7ºAno. O professor de Educação física da escola, pretendem iniciar uma aula organizando uma demonstração de ginástica com todos os alunos dessas duas séries. Eles querem formar grupos com o mesmo número de alunos e colocar o maior número possível de alunos em cada grupo, sem misturar os alunos de uma turma com outra. Quantos alunos eles devem colocar em cada grupo? E quantos serão os grupos de cada turma?

Assim, o m.d.c (40, 42) = 2, pois é o único fator comum aos dois. Portanto, serão formados 20 grupos da 6ºAno e 21 da 7ºAno, sendo que devem colocar 2 alunos em cada grupo. Obs.: Se tivéssemos mais de um fator comum, o m.d.c. seria o produto desses fatores.

Exemplo: Vamos achar o máximo divisor comum, m.d.c, de 40 e 60

Logo o m.d.c (40 , 60) = 22 x 5 = 20 Com isso, concluímos que o máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores comuns.  Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) Exemplo: Hellen e Fernanda, duas colegas de classe, praticam natação na ESEFPA (Escola Superior de Educação Física do Pará), porém, nem todos os dias elas se encontram, isso porque seus dias de treinamento são diferentes. Hellen treina de 4 em 4 dias, enquanto que Fernanda treina de 6 em 6 dias. Se Hellen e Fernanda se encontraram pela última vez no dia 13 de maio de 2017, qual será o próximo dia em que elas estarão juntas novamente? Para encontrarmos o dia em questão, basta acharmos o menor múltiplo comum entre 4 e 6 e teremos o intervalo de tempo em que elas ficam sem se ver. Uma forma mais rápida de encontrarmos o menor múltiplo comum é fazendo a decomposição simultânea dos valores dados, sendo o resultado o produto de todos os valores encontrados.

Assim sendo, o próximo encontro entre elas ocorrerá daqui a 12 dias, no dia 25 de maio de 2017. Com isso, concluímos que o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais é o menor de seus múltiplos comuns e diferentes de zero. Veja outro exemplo: Vamos achar o mínimo múltiplo comum, m.m.c., de 6, 8 e 12.

Resumo teórico 

Divisibilidade: Um número natural é divisível por outro natural, excluindo-se o zero, se a divisão entre eles é exata, ou seja, se tem resto zero.

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Número primo: Um número é primo quando possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.

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Múltiplos: O múltiplo de um número natural é todo resultado da multiplicação desse número por qualquer número natural.

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M.D.C. (Máximo Divisor Comum): O m.d.c. entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores comuns.

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M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum): O m.m.c. entre dois ou mais números naturais é o menor de seus múltiplos comuns e diferente de zero.

 Estudo das Frações

• b é o denominador e indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. • a é o numerador e indica quantas dessas partes foram consideradas. Exemplos:

Leitura de frações A leitura das frações é feita da seguinte maneira: lê-se em primeiro lugar o numerador, e a seguir, o denominador. Para o denominador, adotamos alguns nomes especiais.

Número misto Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto. Observe a seguinte situação: Os retângulos a seguir possuem o mesmo tamanho. Cada um representa um inteiro e está dividido em 4 partes iguais

Forma prática

De maneira geral, dividimos o numerador pelo denominador. O quociente é a parte inteira, o resto é o novo numerador da parte fracionária e o denominador permanece o mesmo.

Problemas com frações Observe as seguintes situações: 1ª situação: Paulo ganhou uma coleção com 20 figurinhas. Ele deu um quarto da coleção para sua irmã Fernanda. Quantas figurinhas Paulo deu a Fernanda?

2ª situação Juliana adora refrigerante. Para a sua festa de aniversário, sua mãe encomendou três grades contendo 24 refrigerantes cada. Foram consumidos dessa quantidade. Quantos refrigerantes foram consumidos?

Somando as partes pintadas, temos: 18 + 18 + 18 = 54 Logo, foram consumidos 54 refrigerantes. Frações equivalentes Observe a figura:

Vamos usar quatro figuras iguais, porém, divididas de maneiras diferentes e colorir a parte correspondente às frações. Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade são chamadas de frações equivalentes. Vamos usar quatro figuras iguais a ele e colorir a parte correspondente às frações

Uma propriedade importante

Com isso, podemos enunciar a propriedade fundamental das frações:

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtemos sempre uma fração equivalente à fração dada. Simplificação de frações

Simplificar uma fração é achar uma fração equivalente a ela que tenha os termos menores.

Operações entre frações Os números fracionários na adição e na subtração 1ª situação Em um domingo, Taiane resolveu caminhar na Av. João Paulo II. Ela caminhou comprimento total da avenida, deu uma pequena parada e caminhou mais

do

. Não suportando

mais o cansaço, ela parou definitivamente. Qual a fração que corresponde à parte percorrida por Taiane?

Assim, concluímos que a soma ou diferença de frações com denominadores iguais é uma fração em que o numerador é a soma dos numeradores e o denominador é o mesmo das frações. Exemplos:

2ª situação Fernando gasta

do seu salário com o aluguel da casa onde mora e

com atividades e lazer.

Que fração do seu salário Fernando gasta com aluguel e lazer?

Assim, concluímos que a soma ou a diferença de frações com denominadores diferentes é solucionada quando as transformamos em frações de mesmo denominador usando a equivalência. Depois efetuamos a soma ou a diferença. Exemplos:

Multiplicação O produto de dois ou mais números na forma fracionária é uma fração na qual: • O numerador é o produto dos numeradores; • O denominador é o produto dos denominadores. Situação 1: Uma máquina extrai suco de laranja, que é colocado em um recipiente. O volume de suco de laranja produzido por essa máquina em 1 minuto é da capacidade desse recipiente. Em 3 minutos, essa máquina produz um volume de suco equivalente a que fração da capacidade do recipiente? Solução: Para resolvermos esse problema, basta efetuarmos a multiplicação: Situação 2: Cláudio comprou

de um terreno. Revendeu

dessa parte. Que fração do terreno

corresponde à parte que Cláudio revendeu?

Situação 3: Cláudia comprou uma barra de chocolate e deu a metade para seu filho mais velho. Este prometeu dar a seu irmão Vítor do que recebeu. A promessa foi cumprida. Vítor recebeu que fração da barra de chocolate?

Os números fracionários na divisão

Dividimos dois números fracionários, multiplicando a fração – dividendo pelo inverso da fração – divisor (diferente de zero). Situação 1: Marcos comprou uma televisão de 42 polegadas. Deu de entrada e o restante foi dividido em 6 prestações iguais. Qual é a fração que corresponde ao valor de cada prestação?

Exercícios 1- (OBM) Marina, ao comprar uma blusa de R$ 17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$ 10,00 e outra de R$ 50,00. O vendedor, distraído, deu o troco como se Marina lhe tivesse dado duas notas de R$ 10,00. Qual foi o prejuízo de Marina? a) R$ 13,00 b) R$ 47,00 c) R$ 37,00 d) R$ 50,00 e) R$ 40,00 2- (OBM) O Campeonato 2005 é disputado por 22 times. Cada time enfrenta cada um dos outros duas vezes, uma vez em seu campo e outra no campo do adversário. Quantas partidas serão disputadas por cada time? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 3- (OBM) Pedro Américo e Cândido Portinari foram grandes pintores brasileiros e Leonardo da Vinci foi um notável artista italiano. Pedro Américo nasceu em 1843. Já Leonardo nasceu 391 anos antes de Pedro Américo e 451 anos antes de Portinari. Em que ano Portinari nasceu? a) 1903 b) 1906 c) 1904 d) 1907 e) 1905 4- (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120 5- De quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calça, uma paletó e um par de sapatos? a) 52 b) 86 c) 24 d) 32 e) 48 6- Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?” a) 7 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 7- (OBM) O piso de uma cozinha foi revestido de ladrilhos brancos e pretos, conforme a figura. Cada ladrilho branco custou R$ 2,00 e cada ladrilho preto custou R$ 3,00. Quanto foi gasto na compra dos ladrilhos? a) R$ 126,00 b) R$ 144,00 c) R$ 174,00

d) R$ 177,00 e) R$ 189,00 8- (OBM) Fábio tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma preta de mangas compridas, uma azul, uma cinza e uma branca, e quatro calças: uma preta, uma azul, uma verde e uma marrom. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores distintas? a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 20 9- (OBM) Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Até hoje cada time já disputou 20 jogos. Se um desses times venceu 8 jogos e perdeu outros 8 jogos, quantos pontos ele tem até agora? a) 23 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 10- (OBM) Podemos colocar de várias maneiras um par de parênteses 20:2 + 3 . 6 na expressão, como, por exemplo, 20:(2 + 3 . 6) e 20: (2 + 3) . 6 . Qual é o maior valor que se pode obter desse modo? a) 24 b) 28 c) 30 d) 78 e) 138 11- (OBM) Qual das expressões abaixo tem como resultado um número ímpar? a) 7 x 5 x 11 x 13 x 2 b) 52 + 32 c) (2005 - 2003) x (2004 + 2003) d) 3 x 5 + 7 x 9 + 11 x 13 e) 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

12- (ENEM) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é:

a)

b)

c)

d)

e) 13- (ENEM) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro,4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? a) 13º b) 12º c) 11º d) 10º e) 9º 14- (ENEM) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar do Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de: a) U$ 4.174.000,00 b) U$ 41.740.000,00 c) U$ 417.400.000,00 d) U$ 41.740.000.000,00 e) U$ 417.400.000.000,00

15- (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1 538 16- (ENEM) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25kg/m², então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/ b) 2,5cm/ c) 8 cm/ d) 20 cm/ e) 40 cm/ 17- (ENEM) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004-2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será a) menor que 1 150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1 200. 18- (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, n°25, 25 jun. 2008 (adaptado)

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406 b) 1 334 c) 4 002 d) 9 338 e) 28 014 19-(ENEM) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões ( ) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte Integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), NationalGeographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208)(adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? a) b) c) d) e) 20-(ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) b) c) d) e)

9 45 64 81 285

21-(ENEM) Para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009.

De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi a) 2004-2005. b) 2005-2006. c) 2006-2007. d) 2007-2008. e) 2008-2009. 22- (Enem)O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido como “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto de 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é a) 2614

b) c) d) e)

3624 2715 3725 4162

23- (Enem) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos. Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados. Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos? a) 3390 pés b) 9390 pés c) 11200 pés d) 19800 pés e) 50800 pés 24- (ENEM) Café no Brasil O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras. Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.

Considere que a xicara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? a) b) c) d) e)

8 bilhões de litros. 16 bilhões de litros. 32 bilhões de litros. 40 bilhões de litros. 48 bilhões de litros. 25- (ENEM) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte: - Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos. - Meia hora de supermercado: 100 calorias. - Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. - Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. - Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. - Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades? a) 50 minutos b) 60 minutos c) 80 minutos d) 120 minutos e) 170 minutos

26- (ENEM) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano: - Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. - Um copo americano cheio de arroz rendo o suficiente para quatro pessoas. - Para a farofa, quatro colheres de sopa por convidado. - Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. - Uma garrafa de cerveja serve duas. - Uma garrafa de espumante serve três convidados. Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um. Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de: a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. 27- (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

Uma jovem com IMC = 20 kg/m², 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é: (Use √ √ a) b) c) d) e)

reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. manter seus níveis atuais de gordura. aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%. aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.

28- (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38 000 b) 40 500 c) 41 000 d) 42 000 e) 48 000 29- (ENEM) Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potência de 4 800 W consome 4,8 kW por hora. Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW? a) 0,8 b) 1,6 c) 5,6 d) 11,2 e) 33,6

30- (ENEM) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010

Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de: a) 250 b) 25 c) 2,5 d) 0,25 e) 0,025 31- (ENEM) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).

Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? a) 0,45 b) 0,42 c) 0,30 d) 0,22 e) 0,15 32- (ENEM) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a formula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h², onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros.

No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.

A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são: a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. b) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso c) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal.

33- (ENEM) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Época. 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a a) 4 mil b) 9 mil c) 21 mil d) 35 mil e) 39 mil

34- (ENEM) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10 000 K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade? a) 20 000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28 000 vezes a luminosidade do Sol. c) 28 850 vezes a luminosidade do Sol. d) 30 000 vezes a luminosidade do Sol. e) 50 000 vezes a luminosidade do Sol. 35- (ENEM) Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.

Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a: a) 3 534,85. b) 3 544,20. c) 3 534 850,00. d) 3 534 859,35. e) 3 534 850,39.