Estatistica 2016 Aula 5

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Prof. Luiz Antônio Gouveia

Estatística

Aula 5

Objetivos desta aula ❖

Aplicar o princípio fundamental da contagem;

❖

Aplicar os princípios aditivo e multiplicativo de contagem;

❖

Calcular o fatorial de um número natural;

❖

Aplicar as propriedades dos fatoriais;

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Reconhecer um arranjo simples, uma permutação simples e uma combinação simples;

❖

Calcular o número de arranjos, permutações e combinações simples.

Análise Combinatória ❖

Quantas placas diferentes de automóveis, formadas por três letras e quatro algarismos, podem existir?

❖

De quantas maneiras diferentes você pode escolher seis entre 60 números para jogar na Mega-Sena?

❖

Quantos números de telefone de oito dígitos podem existir?

❖

Em uma classe de 40 alunos, quantas são as possíveis escolhas para dois representantes de sala?

Análise Combinatória ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los um a um. Ex.: ❖

jogos de azar: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc.,

❖

confecções de horários de trabalho ou estudo, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.

Princípio Multiplicativo da Contagem Se um experimento E pode apresentar n resultados distintos e um experimento F pode apresentar k resultados distintos, então o número de resultados distintos que pode apresentar o experimento composto de E e F, nessa ordem, é dado pelo produto n k. •

Ex.: ❖

Se, em um teatro, os lugares são distribuídos em 15 fileiras com 20 poltronas em cada fileira, então o número total de poltronas é dado pelo produto 15 20; •

❖

Se existem cerca de 1011 estrelas em uma galáxia e aproximadamente 1011 galáxias, então o número estimado de estrelas no cosmo é dado pelo produto 1011 1011. •

Princípio Multiplicativo da Contagem Se os experimentos E1, E2, E3, …, Ek podem apresentar n1, n2, n3, …, nk resultados distintos, respectivamente, então o número de resultados distintos que o experimento composto de E1, E2, E3, … e Ek pode apresentar, nessa ordem, é dado pelo produto n1 • n2 • n3 • … • nk. Ex.: Para identificar e organizar os participantes de um congresso, serão feitos dois tipos de crachá: tipo I, destinado aos palestrantes; e tipo II, destinados à platéia. Cada crachá do tipo I terá impresso um dos algarismos de 1 a 5 seguido de uma das letras A, B ou C, por exemplo 1B; e cada crachá do tipo II terá um dos algarismos de 1 a 5 seguido de uma das letras A, B ou C e ainda de uma das letras gregas α , β ou λ . Quantos crachás de cada tipo podem ser criados?

Princípio Multiplicativo da Contagem

ALGARISMOS

Crachás tipo I:

LETRAS LATINAS A B C

1

(1, A)

(1, B)

(1, C)

2

(2, A)

(2, B)

(2, C)

3

(3, A)

(3, B)

(3, C)

4

(4, A)

(4, B)

(4, C)

5

(5, A)

(5, B)

(5, C)

Matriz de Possibilidades 5

•

3 = 15 crachás do tipo I

Princípio Multiplicativo da Contagem

PARES

Crachás tipo II: (1, A) (1, B) (1, C) (2, A) (2, B) (2, C) (3, A) (3, B) (3, C) (4, A) (4, B) (4. C) (5, A) (5, B) (5. C)

LETRAS GREGAS

α

β

(1, A, α ) (1, B, α ) (1, C, α ) (2, A, α ) (2, B, α ) (2, C, α ) (3, A, α ) (3, B, α ) (3, C, α ) (4, A, α ) (4, B, α ) (4, C, α ) (5, A, α ) (5, B, α ) (5, C, α )

(1, A, (1, B, (1, C, (2, A, (2, B, (2, C, (3, A, (3, B, (3, C, (4, A, (4, B, (4, C, (5, A, (5, B, (5, C,

λ

β ) β) β ) β ) β) β ) β ) β ) β ) β ) β) β ) β ) β ) β )

(1, A, λ ) (1, B, λ ) (1, C, λ ) (2, A, λ ) (2, B, λ ) (2, C, λ ) (3, A, λ ) (3, B, λ ) (3, C, λ ) (4, A, λ ) (4, B, λ ) (4, C, λ ) (5, A, λ ) (5, B, λ ) (5, C, λ )

Matriz de Possibilidades 15 • 3 = 45 crachás do tipo II

Exercícios 1. Uma loja de roupas femininas vende 4 modelos diferentes de calças jeans. Cada calça pode ter uma das cores: preto, marrom ou azul. Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja?

2. Quantos números naturais de três algarismos podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9? 3. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9? 4. Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 0, 2, 3, 7, 8 e 9?

Princípio Aditivo da Contagem Se existem x maneiras de se tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma decisão B, o número de opções de se tomar a decisão A ou a B será dada por x + y. Tal princípio trabalha com eventos independentes. Em outras palavras quanto temos a opção de escolher uma coisa ou outra. Ex.: ❖

Num cesto colocamos as laranjas (L1, L2, L3, L4 e L5) e as mexericas (Ma, Mb, Mc, Md). Se formos retirar da cesta apenas “UMA FRUTA”, quantas são as possibilidades DISTINTAS?

❖

Suponha que existam cinemas e teatros em sua cidade, e que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro diferentes para passarem no próximo sábado, e que você tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento destes 5 que foram descritos anteriormente. Quantos são os programas que você pode fazer neste sábado?

Princípio Aditivo da Contagem Atenção! Quando temos dois conjuntos finitos A e B de elementos, o número total de elementos da união de A e B é dado por:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Ex.: Mensalmente, um colégio oferece aos alunos duas palestras sobre orientação profissional. No mês passado, a primeira foi sobre Informática e a segunda foi sobre Economia. Todos os alunos de uma classe assistiram a pelo menos uma das palestras, sendo que 18 assistiram à primeira, 23 assistiram à segunda e 8 assistiram às duas palestras. Quantos alunos há nessa classe? n(A) = 18

n(B) = 23

n(A ∩ B) = 8

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 33

Exercícios 1. Quantos números naturais de três ou quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2. Uma pesquisa feita com um grupo de internautas sobres os sites de vendas A e B revelou que, dos entrevistados: •

todos conhecem pelo menos um dos dois sites;

•

40 conhecem os dois sites;

•

82 conhecem o site A;

•

64 conhecem o site B

Quantas pessoas foram entrevistadas? 3. um instituto de medicina do sono realizou um estudo com uma amostra de 80 moradores de grandes centros urbanos. A pesquisa revelou que que 56 deles dormiam menos de quatro horas por noite e que 28 dormiam mais de duas horas por noite. Quantas pessoas da amostra dormiam mais de duas e menos de quatro horas por noite?

Resumindo… Em Análise Combinatória, quando usamos o termo “OU” devemos somar as possibilidades dos eventos, e quando usamos o termo “E” devemos multiplicar o número de possibilidades.

Fatorial Seja n um número natural tal que n ≥ 2. Define-se o fatorial de n (n!) como o produto dos números naturais consecutivos n, n - 1, n - 2, …, 1. Ou seja:

n! = n i (n − 1) i (n − 2) i ...i1 Ex.: a) b) c) d)

2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Propriedade Fundamental dos Fatoriais 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

⇒

6! = 6 . 5!

5!

n! = n i (n − 1)! Ex.: a) b) c) d)

9! = 9 . 8! 10! = 10 . 9! 10! = 10 . 9 . 8! 10! = 10 . 9 . 8 . 7!

Extensão da Definição de Fatorial n! = n i (n − 1)!

1! = 1

0! = 1

Fazendo n = 2, temos: 2! = 2 . (2 - 1)! ⇒ 2! = 2 . 1!

Fazendo n = 1, temos: 1! = 1 . (1 - 1)! ⇒ 1! = 1 . 0!

Se 2! = 2 . 1, então: 2 . 1 = 2 . 1! ⇒ 1! = 1

Se 1! = 1, então: 1 = 1 . 0! ⇒ 0! = 1

Exercícios 1. Simplificar as frações: 10! a) 9!

8! b) 10!

10!i 4! c) 8!i 6!

n! d) (n − 2)!

(n − 3)! e) (n − 1)!

2. Um garçom anotou os pedidos de três fregueses. Cada freguês pediu um prato principal, um acompanhamento e uma bebida. Posteriormente, o garçom não sabia identificar o autor de cada pedido. Lembrava-se, porém, de que não havia nenhuma coincidência entre os pedidos: os pratos principais eram diferentes entre si, o mesmo ocorrendo com os acompanhamentos e as bebidas. O número de maneiras diferentes que o garçom poderia distribuir os pedidos entre os três fregueses é: a. (3!)3 b. (33)! c. 3! d. 33! e. (3!)3!

Classificação dos Agrupamentos Arranjos

Agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos. Ex.: A={2, 4, 6, 7, 8} 246 = 426

Agrupamentos

Combinações

Agrupamentos em que se não considera a ordem dos elementos. Ex.: A={vermelho, azul e amarelo} vermelho e azul = azul e vermelho

Arranjo Simples Um arranjo simples é um agrupamento de elementos distintos que não se repetem. Observe que dois arranjos simples quaisquer se diferem pela ordem dos elementos ou pela natureza dos elementos que o compõem: Ex.: Conjunto I = {a, b, c, d}

(a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a)

• •

(a, b, d) (a, d, b) (b, a, d) (b, d, a) (d, a, b) (d, b, a)

(a, c, d) (a, d, c) (c, a, d) (c, d, a) (d, a, c) (d, c, a)

(b, c, d) (b, d, c) (c, b, d) (c, d, b) (d, c, b) (d, b, c)

1º elemento

2º elemento

3º elemento

4

3

2

Número de possibilidades A4,3 = 4 . 3 . 2 = 24

(a, b, c) = (b, c, a), pois diferem pela ordem dos elementos; (a, b, c) = (a, b, d), pois diferem pela natureza dos elementos (elementos diferentes)

Cálculo do Número de Arranjos Simples Sendo I = {a1, a2, a3, …, an} um conjunto formado por n elementos e p um número não nulo tal que p ≤ n , o número de arranjos simples dos n elementos de I tomados p a p (isto é An,p) pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem:

1º elemento 2º elemento 3º elemento 3º elemento …

n

n-1

n-2

n-3

pº elemento

n - (p -1)

An, p = n i (n − 1) i (n − 2) i (n − 3) i ...i [(n − ( p − 1)] An, p = n i (n − 1) i (n − 2) i (n − 3) i ...i (n − p + 1)

An, p

n! = (n − p)!

Exercícios 1. Aplicando o princípio fundamental da contagem, calcular A6,4.

2. Cinco jogadores de futebol, A, B, C, D, E, concorrem a um dos títulos de 1º, 2º e 3º melhor jogador do Campeonato Brasileiro. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser distribuídos?

3. Aplicando a fórmula An, p = a. A9,3 b. A5,5 c. A6,2

n! , calcular: (n − p)!

Permutações Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. Ex.: a) Três candidatos, A, B e C, disputaram uma eleição e não houve empate. Considerando como resultado a sequência 1º, 2º e 3º colocado, os possíveis resultados desse pleito são todas as permutações das letras A, B e C: ABC

BAC

CAB

ACB

BCA

CBA

P3 = 6

b) Em um torneio quadrangular de futebol, com os times T1, T2, T3 e T4, não houve empate no número de pontos da classificação final. As possíveis classificações dos times ao final do torneio são todas as permutações de T1, T2, T3 e T4. Para calcular o número total dessas permutações, podemos aplicar o princípio fundamental da contagem: 1º colocado

2º colocado

3º colocado

4º colocado

Número de possibilidades

P4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4! = 24

Cálculo do Número de Permutações Simples Seja I = {a1, a2, a3, …, an} um conjunto formado por n elementos. O número de permutações simples dos n elementos de I (Pn) é igual ao número de arranjos simples desses n elementos tomados n a n, isto é:

Pn = An,n

n! n! n! = = = (n − n)! 0! 1

Pn = n!

Exercícios 1. Dez CDs diferentes, sendo seis de música clássica e quatro de música popular, devem ser colocados lado a lado em um porta-CDs. Em quantas sequências diferentes esses discos podem ser dispostos de modo que os de música clássica fiquem juntos e os de música popular também fiquem juntos? a. CDs de música clássica à esquerda dos de música popular: música clássica

6

5

4

3

2

música popular

1

4

3 2

1

Pelo princípio multiplicativo: 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 4 . 3 . 2 . 1 = P6 . P4 = 6! . 4!

Exercícios b. CDs de música clássica à direita dos de música popular: música popular

4

3

2

1

música clássica

6

5

4

3

2

1

Pelo princípio multiplicativo: 4 . 3 . 2 . 1 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = P3 . P6 = 4! . 6!

(6! . 4!) + (4! . 6!) = 17.280 + 17.280 = 34.560 sequências diferentes

Exercícios 2. Para o desfile de abertura dos jogos olímpicos, 4 nadadores, 3 tenistas e 2 batistas entrarão no estádio em fila indiana. Em quantas sequências diferentes essa fila pode ser formada se atletas de uma mesma modalidade devem se apresentar juntos? 3. Sete pessoas entram em um banco. Em quantas sequências diferentes ela podem formar uma fila no caixa?

Permutações com Elementos Repetidos Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos não permutam entre si. Ex.: Quantos anagramas podemos formar com a palavra BALA? Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Considerando que a palavra BALA tem 1 letra que se repete 2 vezes:

4 i 3i 2! = 12 P4 = 2!

Cálculo do Número de Permutações com Elementos Repetidos Considerando n elementos, entre os quais o elemento a1 compareça n1 vezes, o elemento a2 compareça n2 vezes, …, o elemento ak compareça nk vezes: n elementos

a1 a1

…

a1 a2

…

a2 ak ak

…

ak

n1 elementos n2 elementos nk elementos iguais a a2 iguais a ak iguais a a1 sendo a1, a2, … e ak distintos entre si e n1 + n2 + n3 + … + nk = n

(n1 ,n2 ,...,nk ) n

P

n! = n1 !i n2 i n3 !i ...i nk !

Exercícios 1. Com a palavra PANTANAL: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas começam pela letra A? 2. Uma urna contém duas bolas brancas e algumas bolas pretas. Retirando-se todas as bolas da urna, uma de cada vez e sem reposição, o número de sequências possíveis de cores, na ordem de retirada, 21. Determine o número de bolas pretas que essa urna contém.

Combinações Simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Cn, p

n! = p!i (n − p)!

Combinações Simples Ex.: Entre 4 candidatos, a, b, c e d, devem ser escolhidos 3 para ocupar 3 vagas de programador no departamento de informática de uma empresa. Como os candidatos são igualmente capazes, a escolha será feita por sorteio. Quantas escolhas diferentes podem ser feitas? I = {a, b, c, d} a b c

c b a

mesmos candidatos

{a, b, c} {a, c, d} {a, b, d} {b, c, d}

Combinações simples dos 4 elementos de I tomados 3 a 3.

Exercícios 1. Calcular: a) b) c) d)

C7,5 C4,4 C4,0 C0,0

2. Entre 8 policiais serão escolhidos 5 para garantir a segurança pessoal de um senador da República durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formadas se os escolhidos terão funções idênticas?

Arranjo ou Combinação? Ao tentar resolver um problema de análise combinatória, forme um dos agrupamentos sugeridos pelo problema com pelo menos dois elementos distintos. A seguir, mude a ordem dos elementos distintos do agrupamento formado: •

Se, com essa mudança, obtivermos um agrupamento diferente do original, então esses agrupamentos são arranjos;

•

Se, com essa mudança, obtivermos um agrupamento igual ao original, então esses agrupamentos ao combinações.